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Dr. Edwin Alfonso Sosa 1

Razonamiento Cuantitativo

GEMA 1000Sección 23914 23910

Dr. Edwin Alfonso Horas de Oficina: Martes 3:30-4:30 PM

http://home.coqui.net/alfonso234/Notas_de_Clase/Notas_de_Clase.htm


Capacitantes

Capaz de definir los postulados de la geometría euclidiana Diferenciar entre lo que es una recta, línea, semirrecta y

segmento de línea. Reconocer los diferentes tipos de ángulos y rectángulos. Capaz de encontrar la medida de un ángulos usando los

postulados para rectas paralelas cruzadas por una transversal. Capaz de encontrar la medida de los ángulos interiores y

exteriores de un triangulo usando los postulados para triángulos.

Identificar lo que es un radio, secante, tangente, semicírculo.


Geometría Euclidiana

El compendio de Geometría mas antiguo es Los Elementos obra escrita por Euclides alrededor del año 300 a.C.

La obra inicia con definiciones de conceptos básicos, como el punto, la línea y el plano; luego, expone cinco postulados y proporciona el fundamento de todo lo que sigue.


Los cinco postulados de Euclides

Dos puntos determinan una y solo una línea recta.

La línea recta es aquella que se extiende de manera indefinida en cualquier dirección

Un circulo puede trazarse con cualquier centro y cualquier radio dados.

Todos los ángulos rectos son iguales.

Dados una recta k y un punto P fuera de la línea, existe una y solo una línea, m, que pasa por P y que es paralela a k.


Punto, Línea, Plano

Euclides lo definió como: Punto: “lo que no se divide en partes”. Línea: “lo que tiene longitud pero carece de

ancho” Plano: “Una superficie uniformemente

distribuida con rectas que se cruzan sobre ella”.


Líneas, semirrectas, rectas y segmentosNombre Figura SímboloLínea AB o línea BA

Semirrecta AB

Semirrecta BA

Recta AB

Recta BA

Segmento AB

o segmento BA

A B

A B

BA

A B

BA

A B

BAAB o

BA

AB

BA

AB

BAAB o


ángulo

Unión de dos rectas que tienen un punto extremo en común, como se aprecia en la figura 5.

Las rectas que forman un ángulo se llaman lados del ángulo. El punto en común de las rectas es el vértice.

ABCB

A

C

LADO

LADO

Vértice


Los ángulos se miden por la cantidad de rotación Los astrónomos babilonios eligieron el

numero 360 para representar la cantidad de rotación de una recta sobre si misma.

1 grado (1° ≡ 1 / 360)

B

A

C

LADO

LADO


Ángulos agudos


Ángulos rectos


Ángulos obtusos


Ángulos opuestos por el vértice tienen medidas iguales

(6x-5)°(4x+19)°

675)12(6

67194(12)

12 xdoSustituyen

12

224

552519

5219

5641944

56194

x

x

x

x

xxxx

xx


Ángulos alternos internos son iguales

1 2

3 4

5 6

7 8

Líneas Paralelas

Línea Transversal


Ángulos alternos externos son iguales

1 2

3 4

5 6

7 8


Ángulos correspondientes son iguales

1 2

3 4

5 6

7 8


Ángulos interiores en el mismo lado de la transversal suman 180°

1 2

3 4

5 6

7 8


Ejercicio 66 Demostración de que los ángulos alternos

externos tienen la misma medida:

a) La medida del ángulo 2 = medida del ángulo ______, ya que son ángulos opuestos por el vértice.

b) La medida del ángulo 3 = medida del ángulo _______, ya que son ángulos alternos internos.

c) La medida del ángulo 6 = medida del ángulo ______, ya que son ángulos opuestos por el vértice.

d) Por los resultados de las partes (a), (b), y (c), la medida del ángulo 2 debe ser igual a la medida del ángulo ______, con lo que se demuestra que los ángulos alternos ________ tienen la misma medida.

1 2

3 4

5 6

7 8

3

6

7

7

externos


Tarea

Pág. 498 67, 68, 69, 70, 77


Curvas, polígonos y círculos

Curva simple: No pasa dos veces por el mismo punto

Curva cerrada: Tiene sus puntos inicial y final localizados en el mismo lugar (puntos extremos coinciden.

Simple; no cerrada

Simple cerrada


Figura convexa

A B

A B

ConvexaNo convexa

Segmento de línea AB tiene que estar completamente dentro de la figura.


Polígonos

Los tipos de curvas mas comunes en las matemáticas están las que son simples y cerradas, y quizás las mas importantes de estas sean los polígonos.

Un polígono es una curva cerrada y simple constituida solamente por segmentos de línea recta. Los segmentos se llaman lados, y los puntos donde se encuentran los extremos se conocen como vértices.


Clasificación de polígonos de acuerdo al numero de lados.

Numero de Lados Nombre

3

4

5

6

7

8

9

10

Triangulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Nonágono

Decágono


Polígonos regulares

Tienen lados iguales y ángulos iguales.


Triángulos

Ángulos

Lados

Todos Agudos

Un ángulo recto Un ángulo

obtuso

Triangulo acutángulo Triangulo rectángulo Triangulo obtusángulo

Todos lados iguales Dos lados iguales

No tiene lados iguales

Triangulo equilátero Triangulo isóscelesTriangulo escaleno


Cuadriláteros

El trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos

El paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos

El rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto (y por consiguiente cuatro ángulos rectos)

El cuadrado es un rectángulo con todos sus lados de la misma longitud.

El rombo es un paralelogramo con todos sus lados de la misma longitud.


Suma de ángulos de un triangulo

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo es de 180°.

x°

(X+20)°

(210-3x)°

60150210))(3210(

70205020)(x

ssustituimo Si

50

50

230180

180230

180)3210()20(

x

x

x

x

x

xxx


Medida de ángulo exterior

La medida del ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos.

1

2

3

4

5

6


Ejemplo

x°

(X+20)°

(3x-40)°A

B

C D

La suma de los ángulos interiores A y B debe ser igual a la medida del ángulo BCD.

140]40)60(3[

40)8060(180

80)2060(

60A

dosustituyen

60

60

204032

403202

40320

BCD

C

B

x

x

xx

xx

xxx


Círculos

Se llama círculo a un conjunto de puntos en un plano, cada uno de los cuales esta a la misma distancia con respecto a un punto fijo (O, centro).

RT

PQ

OQOP oRadio del circulo

Tangente del circulo

Secante del circulo

PQcuerda

P

QO

R T

semicírculo


Ángulo inscrito en un semicírculo

Para estar inscrito en un semicírculo, el vértice del ángulo tiene que estar en el circulo con los lados del ángulo dirigidos a los puntos extremos del diámetro en la base del semicírculo.

90°


Tarea

Pág. 505 Ejercicios:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37, 43,45,49,51,54

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