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DRFC-SCP EUR-CEA-FC-1094

ETUDE DE LA FC NOTION DE DISTRIBUTION IONIQUE ET DES DEPOTS D'ENERGIE DANS UN PLASMA

DE TOKAMAK CHAUFFE PAR INJECTION DE NEUTRES RAPIDES

B. GAGEY

Mars 1981 ?&%\00<\fâ

ORSAY

n ° il ' ordre : 4AÏ

THESE PRESENTEE

A L'UNIVERSITE DE PARIS-SUD CENTRE D'ORSAY

POUR OBTENIR LE TITRE DE DOCTEUR INGENIEUR

Spécialité: Physique des Gaz et des Plasmas

PAR

Brigitte GAGEY

Sujet de la Thèse

ETUDE DE LA FONCTION DE DISTRIBUTION IONIQUE ET DES DEPOTS D'ENERGIE DANS

UN PLASMA DE TOKAMAK CHAUFFE PAR INJECTION DE NEUTRES RAPIDES

Soutenue le 3 Avril 1981 devant la Commission d'Examen

MM. FIT AIRE Président

P. BROSSIER R. DEI-CAS

jf.P. GIRARD } Examinateurs G. LAVAL R. SULTAN

ABSTRACT

The knowledge of the energy deposition profiles and of the fast ions distribution function is very important to do a good energy balance of a plasma heated by fast neutrals injection. Besides,in the Tokamak TFR 600, the injection is done almost perpendicular to the magnetic field : it is expected theoretically that perpendicular injection would be more susceptible to drive microinstabilities. Assuming the energy si owing-down is classical, a Honte-Carlo code has been modified in order to calculate self-consistently the behaviour of the fast ions in the real plasma and the real magnetic configuration. The code allows to obtain the energy deposition profiles and the fast ions distribution function at a given moment of the Injection. On an other hand, with the help of absolutely calibrated electrostatic analysers, we have measured the fast ions which are lost by charge exchange versus toroidal and poloTdal angles in different experimental conditions. The measurements are in good agreement with the code. So, we have studied the plasma evolution during the injection by assuming the calculated energy deposition profiles. For this purpose, the Honte-Carlo code has been coupled with an one-dimensional plasma simulation code which treats the evolution of the densities, temperatures and ohmic current, without any additionnai heating. An experimental situation in TFR 600 will be developed. At last, an extrapolation, based on our present knowledge, to the Torus Supra which must follow the TFR 600, will be given.

PLAN

page I - INTRODUCTION 1

II - CONDITIONS EXPERIMENTALES 5

11.1 - Le Tokamak 5

11.2 - L'injection de neutres 8

11.3 - Trajectoires 12

1 - Mouvement de Larmor 12 2 - Mouvement du centre guide 13

a - Particules circulantes 13 b - Particules piégées 15 c - Particules localisées 18

3 - Collisions 21

11.4 - Equation de Fokker-Planck des ions rapides 22

I I I - CODE DE HONTE-CARLO •. 27

III. 1 - Intégration des trajectoires 28

a - Equations du mouvement 28 b - Collisions 30 c - Caractéristiques du plasma 31 d - Champ magnétique toroidal 32 e - Champ magnétique poloîdal 33

111.2 - Bilan d'énergie 33

111.3 - Résultats 36

a - Fonctions de distribution 36 b - Bilan neutronique 36 c - Spectre d'échange de charge le long d'une corde de visée 38

111.4 - Accélération du calcul 39

III.5 - Le cas TFR 600

a - Injection de faisceaux d'Hydrogëne sur un plasma de

Deuterium

b - Injection de faisceaux de Deuterium sur un plasma de

Deuterium

IV - VERIFICATION EXPERIMENTALE

IV. 1 - llontage expérimental

a - Description

b - Etalonnage

c - Montage

d - Traitement des mesures

IV.2 - Résultats flux de neutres ,

1 - Mesures

a - Injection Deuterium sur Deutëri um

b - Injection Hydrogêne sur DeutéHum

2 - Comparaison avec le calcul Monte-Carlo

a - Injection Deuterium sur Deuterium

b - Injection Hydrogène sur Deuterium

c - Difficultés du calcul

IV.3 - Comparaison des flux de neutrons

V - COUPLAGE

V. l - Description du code d'évolution

a - Evolution de la densité

b - Evolution de la température électronique

c - Evolution de la température ionique

d - Champ magnétique poloîdal

e - Evolution des neutres lents et d'échange de charge

V.2 - Principe du couplage

V.3 - Simulation

V.4 - Difficultés du couplage

V.5 - Intérêt du couplage

VI - EXTRAPOLATION DE TORE SUPRA 107

VI.1 - Etude des dépats d'énergie et des flux de neutrons 111

VI.2 -Couplage 113

a - Simulation avec le code de Honte-Carlo 113 b - Simulation avec la description multi-groupe 117 c - Comparaison 119

VII - CONCLUSION 131

1

I - INTRODUCTION

•ans les machines fermées à confinement magnétique de type tokamak, un courant électrique circulant dans le plasma assure à la fois le chauffage et le confinement des particules. Cependant, fi est à présent admis que ce chauffage ohmique est Insuffisant pour atteindre 1'ignition, c'est-à-dire l'état où le plasma libère par les réactions de fusion une énergie suffisante pour le maintenir a la température de réaction. D'autre part, le double rôle du courant plasma rend difficile une étude correcte des lois de transport de la chaleur en fonction de la température. Un procédé de chauffage qui prenne le relais de l'effet Joule, lorsque celui-ci aura conduit le plasma à une température de l'ordre du KeV, est donc nécessaire : l'injection de particules neutres très énergétiques ainsi que l'absorption d'une onde a la fréquence cyclotronlque ionique sont les chauffages additionnels dont est muni le tokamak TFR 600 [1] .

L'objet de cette thèse est d'apporter une contribution â l'injection de neutres tel le qu'elle est employée dans le TFR 600 : des particules neutres très rapides, produites à l'extérieur de la machine, sont introduites dans l'enceinte de confinement et transformées par capture dans le plasma en ions confinés qui contribuent a chauffer le plasma. La connaissance du profil de la puissance absorbée par les différentes espèces composant le plasma est nécessaire à l'établissement du bilan d'énergie pendant l'injection. Il peut être obtenu par Vintermédiaire de la fonction de distribution des ions rapides.

Deux approches numériques peuvent être utilisées : la première s'appuie sur la résolution d'une équation de type Fokker-Planck ; cette méthode développée primitivement par Cordey [21 a été reprise, dans le département, pour introduire dans le code "MAKOKÛT" [31 d'évolution du plasma, l'équation de Fokker-Planck des ions rapides à trois dimensions [41 . La seconde approche consiste à simuler le faisceau par un certain nombre de particules test ini-tiallsées le long de la ligne d'injection [SI . Cette méthode, si el le nécessite un temps calcul important, présente le grand avantage de pouvoir tenir compte de tous les effets réels de trajectoires puisqu'on considère la géométrie exacte du champ magnétique de confinement. C'est a cette seconde méthode qu'on s'est intéressé : dans l'approximation du centre-guide, les particules test sont suivies le long de leur trajectoire jusqu'à la thermalisation, en supposant

- 2 -

classique la degradation en énergie ; les collisions sont prises en compte par un processus de Honte-Carlo. Le plasma étant supposé stationnaire le temps du calcul, on obtient ainsi les profils de dépôts d'énergie et la fonction de distribution des ions rapides â un instant donné de l ' in ject ion.

dans le tokanrak TFR 600, l ' injection est quasi-perpendiculaire S î'axe magnétique. La théorie prévoit alors que des micro-instabilités r is quent de se développer, entraînant une déformation importante de la fonction de distribution des ions rapides ou du moins une dégradation accélérée de l'énergie. Une vérification expérimentale des calculs est donc nécessaire.

La fonction de distribution des ions rapides peut être mesurée en uti l isant Te fa i t qu ' i l existe toujours au sein du plasma une faible population d'atomes neutres ayant réussi à pénétrer sans ionisation. Ces atomes lents, quand i l s passent au voisinage d'un ion énergétique, peuvent subir une réaction d'échange de charge, au cours de laquelle l'électron de l'atome est capturé par 'Mon. Cette réaction ne change pratiquement pas les vitesses des noyaux concernés. Le plasma émet donc en permanence des atomes neutres énergétiques dont les vitesses reflètent la fonction de distribution des ions rapides. Le flux d'atomes neutres émis sur différentes cordes de visée a été mesuré S. l'aide d'analyseurs électrostatiques, préalablement étalonnés, pendant l ' i n jection de neutres rapides dans TFR 600. Des comparaisons avec les calculs numériques simulant les différentes situations expérimentales permettent de vérif ier si le comportement des ions rapides est classique.

Ces comparaisons s'étant révélées satisfaisantes, nous avons alors étudié l'évolution temporelle des différents paramètres du plasma (densités, températures) sous l 'ef fet des dépôts de puissance calculés. Pour cela, le code de Monte-carlo a été couplé à un code de simulation du plasma, unidi-mensionnel [7] qui trai te les équations d'évolution du courant et des densités et températures en l'absence de chauffage additionnel.

Le plan de la thèse est donc le suivant : Les conditions expérimentales sont décrites au paragraphe I I . Le paragraphe I I I présente le code numérique qui a été développé. Les mesures de spectres émis pendant l ' injection sont exposées au paragraphe IV ainsi que les comparaisons avec le calcul.

- 3 -

La procédure utilisée pour coupler le code de Monte-Carlo au code de simulation du plasma unidimensionnel est décrite en V ; la simulation d'une décharge dans le T R 600 a été fa i te . Enfin, le paragraphe VI présente une extrapolation au projet Tore Supra qui doit succéder au TFR 600.

s

II - CONDITIONS EXPERIMENTALES

II-l- LE TOKAMAK

Tous les dispositifs ds confinement magnétique sont basés sur le

fait qu'une particule chargé» dans un champ magnétique tend â décrire une

hélice autour des lignes de flux de ce champ et est ainsi confinée dans les

directions transversales à B* si les dimensions du dispositif sont suffisantes.

Dans les machines fermées, les lignes de flux se referment sur elles-

mêmes; le confinement longitudinal et l'équilibre magnéto-hydrodynamique du

plasma exigent qu'elles soient dessinées sur des "surfaces,magnétiques" en for

me de tores, emboîtées les unes dans les autres [6 1 , chaque ligne de flux

tournant indéfiniment dans la direction poloîdale e et toroîdale • ( voir sché

ma I ).

Le champ magnétique de base des machines fermées est un champ toroî-

dal B, produit par un solénoîde torique. A ce champ s'ajoute un champ poloï-

dal B créé soit par des bobinages extérieurs en forme d'hélices ( stellarators )

soit par un courant électrique J(r) circulait dans le plasma dans la direction

toroîdale (Tokamaks).

direction

toroiclale

direction

poloîdale

surface magnétique

SCHÉMA N° 1

- 6 -

CHAMP POLOlbAL Source cfertergie Induisant un courant toroïlai dans le plasma I*.

Source tf énergie asservie Démettant de centrer le plasma par raçttonde çhampa maujiéiiquai horizon* taux et verticaux.

ÛROUPEIMPUIJ5IONNEL100MW J J

Source aerwejle c » isooïmn antiechamp magne-I,SMW. tique torotdalB toc

Circuidenirotfm-

Secttans tfobserva-

- champ magnétique torofdal B T =• 6 T

- courant maximum du plasma I = 600 kA

- densité du plasma n : 1 0 ' 4 cm"^

-volumedu plasma V = 1,2 m 3

- puissance (ohmique) du plasma : 1 MW durant 0,5 s

FIG. 1 : SCHEMA DE P R I N C Y ET CARACTERISTIQUES PRINCIPALES DE TFR 600

7 - t

Actuellement, les dispositifs Tokamaks donnent un espoir très sérieu,

de réaliser la fusion thermonuclêaire contrôlée par confinement magnétique.

La machine TFR 600 de Fontenay-aux-Roses est du type Tokamak (voir

[1 ] et figure 1) ; ses principales caractéristiques sont les suivantes :

Grand rayon du plasma RQ

Petit raycn du plasma a

Courant plasma I

Champ toroidal B̂

98 cm

20 cm

150 â 400 KA

30 à 60 KGs

Le courant y est induit de l'extérieur par un bobinage formé de

spires toroïdales jouant le rôle -u primaire d'un transformateur dont le

secondaire est le cordon du plasma. Dans le cas de TFR 600 qui ne comporte

pas de coque de stabilisation, l 'équilibre du plasma vis-â-vis des déplacements

horizontaux et vertical A se f a i t par des champs variables asservis aux déplace

ments. Ces champs sont réalisés par des bobines externes.

Les bobinages inducteurs extérieurs font apparaître dans le plasma

un champ électrique £, inversement proportionnel à la distance R au grand axe.

Ce champ tend à faire progresser les électrons le long des lignes de f lux,

dont la direction est voisine de la direction toroTdale, et produit ainsi une

densité de courant J ( r ) . Celle-ci est donnée par la loi d'Ohm :

Ç, = n(r) J(r) (1)

où n(r) est la résistivité du plasma due aux collisions entre les électrons

et les ions. Elle vérifie approximativement la formule :

n(r) la cm] = 2.8 3 10" 6 Z g f f y r f 3 / Z , (2)

où T [KeV] est la température électronique du plasma ; T.ff est sa charge e zn. Z , z e f f

effective, soit Z e f f = — — — où n̂ et Z i sont les densités et charges des e

différentes espèces ioniques du plasma et n est la densité électronique.

Ce champ électrique produit un effet Joule : la puissance

£ J = ri 0 apparaît sous forme d'énergie thermique des électrons.

- 8 -

Le courant toroîdal produit donc en même temps le confinement et un

chauffage appréciable du plasma. Cependant, l'expression même de la rësist i -

vité indique que le chauffage ohmique est de moins en moins efficace au fur

et â mesure que la température monte. Cette insuffisance du chauffage ohmique,

démontrée de longue date par les simulations numériques [ 7 ] , a êtë confirmée

par les expériences actuelles qui ont montré que les températures ionique

et électronique prennent des valeurs tel les que :

T e - T. = 4.4 1(T 3 ( Z e f f • 4) B T

4 / 5 a 2 / 3 (eV, fi, cm) (4)

Quelles que soient les expériences considérées, les applications

numériques donnent toujours des températures de l'ordre du KeV, ce qui est

nettement insuffisant vis-à-vis du critère de Lawson. La nécessité d'un

chauffage additionnel est donc apparue.

I I . 2 - L'INJECTION DE NEUTRES

I l existe différentes méthodes de chauffage auxiliaire : notamment

par absorption d'ondes à diverses fréquences ou par injectic:i de neutres rapi

des. Ce second procédé consiste à injecter un puissant faisceau d'atomes

neutres : H° ou D"°, très énergétiques par rapport aux particules du plasma.

I ls traversent librement la configuration magnétique jusqu'au moment où i ls

sont capturés par le plasma suivant différents processus : ionisation par

impact électronique, ionisation par impact ionique, échange de charge avec

les ions du plasma. L'énergie d'injection doit être te l le que cette capture

a i t l ieu au coeur du plasma : on montre que pour cela, i l faut que :

1 < i < 4 où le l ibre parcours moyen au centre du plasma est \ = 1/na , A o o c

a étant la section efficace totale de capture [ 8 ] . Les atomes injectés

sont donc transformés en ions confinés qui vont céder leur énergie aux ions

et aux électrons du plasma par l'intermédiaire des collisions coulombiennes.

A l'heure actuelle, la réalisation d'injecteurs de neutres à par

t i r de sources d'ions positifs est d'une technologie bien maitrisée, â ten

sion d'accélération pas trop élevée (eV < 80 KeV) grâce aux importants dé

veloppements effectués ces dernières années. Le principe en est décrit sur

le schéma n° 2.

- 9 -

Ionisation sur le

Plasma

Un tel appareillage peut être installé assez loin du plasma et ne

nécessite que quelques ouvertures dans la machine afin de permettre l'injection

du faisceau.

Les neutres rapides sont injectés dans TFR 600 S. l'aide du dispositif suivant : les sources d'ions sont du type duopigatrons [9] avec un diamètre

d'extraction de 10 cm. Chaque source fonctionne à une tension de 30 a 40 KV et

délivre en moyenne un courant de 7 a 8 A. Le rendement d'injection, rapport de la puissance injectée dans le tore a la puissance extraite, est voisin de 50 % . Les faisceaux sont composés de trois types de particules : H + (D +), HÎ (DÎ), HÎ (0Î),

accélérées â la tension nominale et possédant après neutralisation différentes

énergies : énergie d'accélération E , E./2, E / 3 . Les proportions de particules

neutres â ces trois énergies ont été mesurées [9] : 60 % I E , 30 % à E./2,

10 % à E /3. o

La machine comporte deux lignes d'injection, chacune constituée de

cinq sources d'ions. Une fois neutralisés, les faisceaux sont injectés dans TFR

600 sous un angle de 75° avec l'axe magnétique de la configuration (figure 2) en

co-injection, soit dans le sens du courant plasma. Les sources sont focalisées

sur 1'axe (figure 3).

a c 3D m

u

LIGNE D'INJECTION DE NEUTRES

FIGURE 3

- 12 -

Le mécanisme physique du chauffage par injection de neutres est, dans son principe, particulièrement simple puisque le transfert de l'énergie se fait par l'intermédiaire des collisions coulombiennes entre les particules du plasma et les particules rapides injectées. Pour étudier l'efficacité de ce chauffage, il est nécessaire de connaître les profils de dépôt d'énergie dans le plasma. Ces derniers sont d'abord déterminés par les trajectoires que suivent les ions rapides dans le plasma.

II-3- TRAJECTOIRES

Le mouvement d'une particule rapide injectée dans un Tokamak peut se décomposer suivant trois échelles de temps croissantes : la première correspond à un mouvement hélicoïdal autour du centre guide à la fréquence cyclotronique (1). Le mouvement du centre guide de la particule se fait à une fréquence dite de transit (2). Enfin, du fait de la présence du plasma, la particule effectue des collisions avec les différentes espèces le composant, à la fréquence de collisions (3).

1 - Mouvement de Larmor

Dans un champ magnétique B presque uniforme, une particule chargée décrit localement une hélice autour de la direction de Ëf : elle tourne autour d'un centre instantané de rotation C appelé aussi centre-guide, dans un plan perpendiculaire â ? avec la vitesse v. ; le rayon de airation ou rayon de Larmor

Vj_ ZeB e s t rL = ~ o û "c = ~n~ e s t 1 a f r ê Q u e n : e cyclotronique. Le centre C se déplace

c le long d'une ligne de force avec la vitesss vf . Pour cela, la condition d'adia-badicité spatiale doit être satisfaite : la variation de I dans 1'espace est suffisamment lente et B suffisamment fort pour que sa variation relative sur un rayon de giration r, soit faible : r, « L oû L est une dimension caractéristique de t, c'est-à-dire la distance sur laquelle o n a J B ^ B . Dans un tokanak, L est de l'ordre de R Q. Un ion hydrogêne d'énergie 40 KeV confiné dans un champ magnétique de 4.5 T a un rayon de Larmor r, < 6.5 mm et une fréquence cyclotronique a = 4.3 10 rads . La condition d'adiabadicitë spatiale est bien satisfaite avec R de l'ordre du mètre. On peut alors démontrer l'invariance des quantités suivantes le long de la trajectoire :

- 13 -

conservation de l'énergie cinétique,

conservation du moment magnétique.

conservation du moment canonique orbital .

L'invarianc» de ces quantités est une lot approchée d'autant mieux réalisée que la condition d'adiabadicité l 'est elle-mêi"».

2 - Mouvement du centre-guide

La conservation de E et de y entraîne l'existence d'un effec miroir lorsque la particule se déplace vers une région de champ croissant sa vitesse perpendiculaire augirante au détriment de sa vitesse parallèle ; en particulier v̂ s'annule si i l existe une valeur B du champ magnétique tel le que B = E/u. En première approximation, le champ du tokamak se met sous la forme

B T B = 1 + cos " BTo U ~ e c o s e ) o u e = ~- e t BT est le champ magnétique

' o toroïdal. Le champ poloîdal a été négligé.

La condition d'annulation de v̂ ou condition de piêgeaye devient

alors : E/u < B m x = B T o ( l + e ) ou -£ < V & ~

I l existe donc deux classes de particules :

a - Particules circulantes

I i Elles sont telles que — >\2c. Leur vitesse parallèle ne s'annule

jamais. Le mouvement de leur centre guide se compose d'un déplacement le long de la ligne de force à la vitesse \ig et d'un mouvement de dérive dans le champ magnétique toroïdal. Un exemple îst donné sur la figure 4 en projection sur une section droite. Dans la géométrie du tokamak, la vitesse de dérive des ions est verticale, sa direction dépend du sens du champ magnétique ; la trajectoire d'une particule circulante se referme alors sur elle-même, les dérives dans la partie supérieure du tore et dans la partie inférieure se compensant.

E = | m ( V / + v, )

14

FIGURE 4 : CENTRE GUIDE D'UNE TRAJECTOIRE CIRCULANTE INITIALISEE EN I : R= 88CM, z= O.Pf£\ = 0.35 SANS COLLISIONS w / 0

E 0 = 30 KeV, CO-INJECTION

- 15 -

L'écart maximum de la trajectoire du centre guide par rapport à la

surface magnétique sur laquelle se trouve initialement la particule est :

B T v l

^ • ' L ^ V ' ( 5 >

Le temps d'oscillation sur une orbite est défini comme étant le

temps minimum pour que la coordonnée angulaire S prenne toutes les valeurs

qui lui sont permises. Dans le cas de particules circulantes, ce temps est :

2TT R q

v-f- (6)

où q le facteur de sécurité est égal à £ | | . Pour un ion hydrogène d'énergie

cinétique 40 KeV, confiné.par un champ magnétique toroTdal de 4.5 T et un

courant plasma de 300 kA, on obtient la fréquence de transit :

-2L * 4 10 rad s en supposant R = 1 m. Cette valeur est nettement infé

rieure à u .

b - Particules piégées

v. Elles vérifient —<y2elorsqu'une te l le particule atteint la

zone où B = B , el le est réfléchie : e l le oscille le long de sections de

lignes de force tout en dérivant sous l 'e f fe t du champ magnétique toroidal.

Leurs trajectoires sont dites "bananes" parce que leur projection sur une

section droite de tore ressemble à une banane. Suivant la valeur in i t ia le

v» de la vitesse in i t i a l e , leurs allures diffèrent. Lorsque v̂ est posi

t i f (co-injection), la trajectoire est décalée par rapport a la surface

magnétique in i t ia le vers l ' intérieur du tore (figure 5) . Lorsque v» est " o

négatif (contre-injection), la trajectoire est décalée par rapport à la surface magnétique In i t ia le vers l'extérieur du tore (figure 6) . Dans ce

second cas, les pertes sont plus importantes puisque les particules quittent

plus facilement le plasma.

L'écart maximum de la trajectoire i la surface in i t ia le est :

B, »rD • 1 r V^" • (?)

- 16 -

FIGURE 5 : CENTRE GUIDE D'UNE PARTICULE PIEGEE INITIALISEE EN I :R= 108cm, z= 0 , (^ l ) o = 0.28 SANS COLLISIONS E„ = 30 KaV. CO-INJECTION

17 -

FIGURE 6 : CENTRE GUIDE D'UNE PARTICULE PIEGEE INITIALISEE ENI:R = 108 cm. z = SANS COLLISIONS

0.2

30 KaV : CONTRE-INJECTION

- 18 -

La comparaison de (5) et (7) indique que les particules piégées s'écartent

nettement plus de leur surface magnétique in i t ia le que les particules c i r

culantes.

On calcule également le temps d'oscillation sur une orbite banane

(8)

Avec les mêmes conditions et en supposant e = 0 . 1 , on obtient la

tu

2 f f R o \ P -

2— g i fréquence de transit -=— » 10 rad s , ce qui est nettement inférieur 3

c

c - Particules localisées

Dans une réalisation pratique, le champ magnétique B, est créé

par un nombre discret N de bobines. Si on t ient compte de la modulation

torofdale de B T qui en résulte, le champ peut se mettre sous la forme

/ l - ^ c o s N * N

approchée r B_ [ — — o V 1 + e cos

Lorsqu)une particule a une vitesse in i t ia le te l le que

111)..,, ' < B'max * ~ ^ * e 1 1 e reste l o c a 1 1 s ê e e n t r e * = - f « t * = + w . v 1 + e COS 0

La trajectoire est alors dite "superbanane" : e l le reste localisée entre

deux bobines et dérive verticalement vers l'extérieur du to>-e, ne sentant

plus l 'e f fe t de moyenne ; un exemple est donné sur la figure 7, v̂ ayant

été choisie positive. °

On peut calculer le temps que met la particule à sortir de la

configuration :

T d vr [ < 9 '

où d est la distance verticale à laquelle se trouve la particule du bord du

plasma.

- 19 -

FIGURE 7 : TRAJECTOIRE LOCALISEE INITIALISEE EN I : R = 107 cm . z = 0 ^ | =0.02

SANS COLLISIONS. E„ = 30 KeV, CO-INJECTION

- 20 -

lp = 300 kA

FIGURE 3 : CAS DU TOKAMAK TFR 600

- 21 -

Avec les mêmes conditions que précédemment et en supposant

4- - 0 . 1 , on obt ient la fréquence de t rans i t — = 5 10 rad s" , ce qui R o T d est nettement in fér ieur à a .

En résumé, on peut séparer l'espace des phases en t r o i s zones

d i f férentes, en fonction de l-ç- 1 :

zone I : la part icule est c i rculante,

zone I I : la part icule est piégée.

zone I I I : la part icule est local isée.

Dans le cas du tokamak TFR 600 (N « 24), la f igure 8 représente

ces dif férentes zones en coordonnées r,ç lç= Arcsin [-rr) ) . Les zones

sont légèrement di f férentes de celles calculées plus haut ; en e f f e t , on

a considéré la var iat ion exacte du champ magnétique et non pas une expres

sion approchée. La zone IV correspond aux part icules qui qu i t tent le plasma

du f a i t du dêcentrement de leur t r a j ec to i r e . I l est également indiqué sur

la f igure 8 la pos i t ion, dans l'espace des phases, des ions rapides in jec

tés dans TFR 600 avant q u ' i l s aient subi des co l l i s ions .

3 - Col l is ions

Les co l l is ions coulombiennes des ions injectés avec les d i f f é

rantes espèces du plasma ont un double e f fe t : d'une par t , i l y a t ransfer t

d'énergie des part icules rapides au plasma ; d'autre par t , les ions rapides

changent de t ra jec to i res , ce qui modifie le p ro f i l des dépôts d'énergie.

Le temps que met une part icule tes t dans un plasma de température

T S dévier d'un angle de 1° sous l ' e f f e t des co l l is ions [10J est :

1.7 102 A , 1 ' 2 E 3 ' 2

T,O = I (eV, cm" J , s) , n e Z e f f

si E l 'énergie de la part icule est très supérieure â kT. A f est le poids

atomique de la par t icu le . Pour un ion hydrogène d'énergie cinétique 40 KeV 14 -3

confiné dans un plasma de densité n. = 10 cm et de Z . - - = 1 par un champ

magnétique toroidal de 4.5 T et un courant plasma de 300 kâ, — = 4.6 10 rad s" T 1 °

ce qui est in fér ieur aux dif férentes fréquences de t r ans i t . A

- 22 -

En se plaçant 3 l'échelle de temps des collisions, il faut mainte

nant étudier la dégradation en énergie des ions rapides, ce qui doit donner

les dépôts d'énergie lors de l'injection. Pour cette étude, différentes

approches sont possibles.

II.4 - EQUATION DE FQKKER-PLANGK DES IONS RAPIDES

L'approche usuelle passe par l'étude de l'équation de Fokker-

Planck des ions rapides dans l'approximation de Landau pour des collisions

binaires aux petits angles, dans laquelle doivent être inclus les principaux

effets dus à la géométrie toroidale :

étant res-Soit v,- la vitesse thermique Ionique : v.. = 4/ -rr-*-, T. et m.

pectivement la température et la masse des ions du plasma.

Soit v la vitesse thermique électronique : v = \j e .

En supposant : v. « v « v , où v est la vitesse de l ' ion injecté de masse m~, l'équation de Fokker-Planck peut s'écrire [11] en fonction de

t / * 1/2 v et de î = ( 1 - -O-J* |

V rafv /

.TE " 7 5 7 | ( v c + v > f J

+ e 77X77 ^ d - n < f >

Ts no "ech f

raf a7

4 7 ** î\ 2 2 v e

V 2 • Y V , 2 -£ )»} + 6 K(f) T 6(V - v )

(I )

(II)

( I I I )

(IV)

(V)

(VI)

(10)

- 23 -

Le terme (I) représente d'une psrt le freinage dû aux collisions

avec les différentes espèces ioniques du plas» (-7-37 (v c f) ) . d'autre

part le freinage dû aux collisions avec les électrons [-7-37 (v f ) ) .

On définit une énergie critique :

E c = ? m f v c 3 = 1 4 - 8 T e A f i n , Z 4

z 1 2 ' 3

î î n. A. e 1

(H)

cù n-, Z., A. sont respectivement la densité, la charge atomique et le poids omique des différentes

sera donnée en I I I .1.a. atomique des différentes espèces ioniques du plasma. Le sens physique de Ec

Le ternie ( I I ) correspond à la diffusion en angle due aux co l l i sions binaires,

OÙ a = ^ 1 ^ z . 2 A,

0

<-^ ->a une expression similaire. V

C'est par l'intermédiaire de ces deux dernières quantités qu'est introduit l 'ef fet de la géométrie toroidale.

Le terme ( I I I ) représente les pertes par échange de charge avec les neutres lents, toujours présents dans le plasma, de densité n . On a

6.27 10 8 A. T i / Z . x. = 2 • e (eV, cm"J, s) , (12)

n e Z f un A

où m A est le logarithme coulombien [11] .

"ech e s t l a s e c t ' î o n efficace d'échange de charge.

Le terme (IV) est l'accélération (co-injection) ou la décélération (contre-injection) des particules par le champ électrique £.

- 24 -

Le terme (V) correspond à la diffusion en énergie des ions rapides

sous l'effet du mouvement des électrons dans le champ électrique.

On a y = 0.75 A .

Quant au dernier terme ( V I ) , c'est le terme source de l ' inject ion.

Puisque les ions injectés sont presque mono-énergétiques, leur dépendance en

v est une fonction de Dirac. Généralement, i l y a une certaine dispersion

angulaire représentée par la fonction K( f ) .

Certaines remarques peuvent être fa î te sur l'ordre de grandeur

des différents termes. Le terme de diffusion en énergie, en — , peut être E

négligé : suivant les cas, l'énergie E des ions injectés est de l'ordre de

20 à 40 T . L'accélération due au champ électrique est en général négligeable

devant les autres termes.

Des méthodes analytiques [2 ] et numériques ([12] , [131 ) ont

été utilisées pour résoudre cette équation. Hais certi'nes difficultés sont

apparues :

Tout d'abord, l'introduction de profils de densité et de température est

assez malaisée. Généralement, le plasma est supposé être homogène, en den

sité et température, ou est divisé en couches multiples homogènes.

Ensuite, l ' e f f e t , sur les dépôts d'énergie, de la variation du champ

magnétique le long de la trajectoire est négligé. I l est uniquement pris en

compte dans l'opérateur collision. Tout au moins dans les machines actuelles,

cette approximation est assez grossière.

Enfin, les particules localisées sont négligées. Or dans le cas d'une

injection quasi-perpendiculaire comme sur TFR 600, la figure 8 indique qu'une

partie des particules injectées suivent des trajectoires localisées. Dans

certains codes numériques ( [8] , [ 12 ] ) , le traitement a été amélioré par

l'introduction d'un c5ne de perte dans l'espace des vitesses : lorsque ?

est inférieure 3 une certaine valeur î , les particules sont supposées per

dues. Mais ceci est a r t i f i c ie l et surestime les pertes dans le cône.

I l apparaît évident qu'une autre méthode de calcul est nécessaire.

- 25 - {

Compte-tenu de toutes les remarques précédentes, on s'est intéressé a une méthode d'obtention des profils de dêpSts d'énergie différente de celle par résolution d'une équation de Fokker-Planck. Cette seconde approche consiste a suivre un certain échantillonnage de particules test pendant leur dégradation en énergie jusqu'à la température ionique.

27 -

III - CODE OE MONTE-CARLO

Le problême est traité en utilisant un certain nombre de particules

test représentant les ions créés le long du faisceau. Chaque particule est

suivie le long de sa trajectoire initialisëe au point d'ionisation, soit jus

qu'à la dégradation complète de son énergie, soit jusqu'à ce qu'elle sorte du

plasma. Si les trajectoires suivies sont bien choisies et si leur nombre est

suffisant, 1'échantillonage représente bien l'interaction entre le faisceau

de neutres et le plasma; on peut alors calculer les profils de dépôts d'énergie.

Dans le paragraphe IV-1, la manière suivant laquelle chaque trajec

toire est suivie est décrite.

Le paragraphe II1-2 explique comment est obtenu le bilan d'énergie

associé aux particules rapides injectées.

Enfin différentes grandeurs peuvent être également calculées :

l'évolution au cours du temps de la fonction de distribution des neutres rapides

(III-3-a), les flux de neutrons émis (III-3-b), la distribution spectrale de

neutres s'échappant du plasma <IIt-3-c).

La nécessité d'avoir un nombre de particules test assez important

pour obtenir des profils crédibles a amené à accélérer le calcul d'une manière

qui sera décrite au paragraphe II1-4.

Des exemples des résultats obtenus pour le cas de TFR 600 sont donnés

en III-5.

Le système d'unités adopté est le suivant : les températures et éner

gies sont en électron-volt (eV), les distances en cm, les champs en Gauss, les

densités en cm et les temps en secondes.

- 28 -

I I I . l - INTEGRATION DES TRAJECTOIRES

a - Equations du mouvement

Un échantillonage donné de part icules tes t est i n i t i a l i s e l e long

de la l igne d ' i n j ec t i on . I l s ' ag i t alors de suivre la t ra jec to i re de chaque

par t icu le . On ignore l e mouvement de rotat ion de Larmor ; seul le mouvement

du centre-guide '(C) est considéré. La j u s t i f i c a t i o n de 'cette approximation

a été donnée précédemment ( I I . 2 ) .

* L'équation donnant la position R de C est la suivante :

| 5 j î U p ) ? 1 2 t y B x [ p ) l T l t r j x f ( 1 3 )

" M c B 3 ' raf "c B 2 ' T B z

Le premier terme de l 'équation (13) représente la dérive due â la

force d ' i n e r t i e , d i te dérive de courbure des lignes de force [141 .

Le second terme est la dérive due â la var iat ion du rayon de g1-

ra t l on , d i te dérive de gradient [14 ] ; i l faut noter que son expression

suppose v x B = 0, c 'es t -à-d i re que le diamagnétisme du plasma est nég l i

geable ( 6 = ^ 9 - < ; ' 1 ) . ce qui est assez bien v é r i f i é dans un Tokamak où

S est de l 'o rdre de 1 X ou in fé r ieur . Sinon i l faudrai t ajouter I cette dé-r ive un terme = 4 _ H _ ' » ( î x 7)

m f m c ?

Le troisième terme représente la vitesse paral lè le et l e dernier

la dérive due au champ électr ique £ [ 1 4 1 .

* En ce qui concerne la composante de la vitesse paral lè le au champ

magnétique, on a :

• Ô T " nÇ B — + HÇ T ( 1 4 >

Le premier terme représente la force de Lorentz dans une région

de champ non constant et le deuxième la force de Coulomb.

29

* Il faut également introduire une équation relative à l'énergie de la particule :

A l'instant t, un ion-test de vitesse v représente un certain groupe de particules, qui vérifie l'équation de Fokker-Planck (10) sous la condition v. « v « v . La perte moyenne d'énergie du groupe de particules simulées, par collisions coulombiennes avec les différentes espèces du plasma, se calcule en

1 2 multipliant l'équation de Fokker-Planck pari mv et en intégrant sur l'espace des vitesses.

A l'aide d'une méthode de perturbation on obtient [111

où la puissance transmise aux ions du plasma est : e transmise aux iot

tandis que celle cédée aux électrons du plasma est : — E

On peut montrer que la diffusion en angle n'affecte pas le transfert d'énergie, ni la prise en compte du mouvement de la particule [11 1

Ce résultat peut s'interpréter ainsi :

ii r- > 1 , les particules rapides cèdent préférentiellement leur c

énergie aux électrons,

si -r- < 1, les particules rapides cèdent préférentiellement leur c

énergie aux ions.

L'équation (15) peut également s'écrire :

< dT > = " T (16)

T = T 7tî\W < 1 7 ' 1?T

- 30 -

Les particules mettent un temps x

•-jf*-*-H*n (18)

pour passer de l'énergie &> à l'énergie thermique. Dans le cas particulier

où : n e = n i = 1 0 1 4 cm" 3, T e = 1 K

(faisceau et plasma d'hydrogène).

où : n e = n i = 1 0 1 4 cm" 3, T e = 1 KeV et Eo = 40 KeV, on a T r = 6.6 ms

L'équation déterminant la dégradation en énergie est donc :

On a ajouté à l'équation (16) un terme de puissance dû au champ électrique du

ïokamak.

Les équations (13),(14) et (19) sont intégrées numériquement de la

façon suivante : on utilise d'abord la méthode de Runge-Kutta 3 4 pas inversés

chaque fois que les données initiales sont changées (initialisation de la tra

jectoire ou collisions). Puis c'est la méthode d'Adams qui est appliquée (voir

Annexe A). La première méthode d'intégration est beaucoup plus précise que la

seconde, mais par contre le temps de calcul qu'elle nécessite est nettement plus

long. Or, un nombre important de particules test est nécessaire pour simuler

correctement l'Injection. Aussi, les équations sont intégrées suivant la procé

dure indiquée plus haut de façon â réduire le temps de calcul tout en gardant

une précision suffisante.

b - Collisions

Le changement de direction de la vitesse du centre-guide sous l'in

fluence des collisions coulombiennes est décrit par une méthode de type Monte-

Carlo. Il faut tout d'abord rappeler que l'angle du cône de diffusion, cane

dans lequel peut se trouver la direction de v après un parcours de longueur 1

dans un plasma de densité n est donné par :

A e 1.25 10 8 / Zeff n e ! (20)

31

Ce résultat est déduit de la formule de Spitzer [10] : < ( M O 2 >

= ± , temps pour une déviation moyenne de 90°, formule el le-v

dérivée de l'équation de Fokker-Planck. Pour simuler les collisions, on procède donc comme suit :

Au départ de la trajectoire, on t i re aléatoirement un angle as., compris entre 1 et 5°. Le produit Z g f f n e i est ensuite intégré le long de la trajectoire. Lorsqu'il a atteint une valeur suffisante pour que ae soit supérieur ou égal â as., on effectue une collision : un tirage au sort définit alors la nouvelle position du vecteur vitesse, de module inchangé dans le cône de diffusion. La trajectoire du centre-guide est alors réinitialisée avec les nouvelles données du vecteur et une nouvelle valeur de âe* tirée au hasard entre 1 et 5° comme précédemment.

I l faut souligner que l'angle as. ne doit être choisi ni trop grand ni trop petit : en effet, la probabilité d'effectuer une collision est d'autant plus faible que l'angle est important ; par contre s ' i l est trop faible, le coût du calcul devient prohibitif puisque chaque collision nécessite l 'ut i l isat ion de la méthode de Runge-Kutta.

Des tests ont été fa i ts , pour vérif ier la précision du calcul, en particulier pour les particules piégées, au voisinage des extrémités des "bananes" où les collisions sont susceptibles de modifier les trajectoires, car les particules y restent un temps long.

c - Caractéristiques du plasma

Les profils de températures, densités, charge effective ont été introduits dans le code sous forme statique. Le plasma est considéré comme constant le temps du calcul :

Température électronique

Température ionique T.

Densité électronique

- 32 -

n a = ne(°)

/ "3'

( 1 - (F) r Densité ionique ^ = n,.(o)

1 <v V - (F) ) "

Charge effective Zeff = Zeff(°) (-(il , r où b est le rayon de la paroi supérieur au rayon a du plasma.

Les impuretés, supposées avoir le même profil que les ions du plasma,

sont définies par leur densité moyenne, leur masse moyenne et leur charge

moyenne.

La densité de neutres lents, dits de recyclage, toujours présents

dans le plasma, dont la connaissance est nécessaire à l'établissement du bilan

d'énergie, â cause des pertes par échange de charge, est choisie de la forme :

n0(r) = nQ(o) + ( nQ(a) - nQ(o) ) exp M où X est une distance ajustée de manière i obtenir un profil semblable au profil expérimental.

Pour effectuer l'intégration des équations du mouvement du centre-

guide, il est surtout nécessaire de connaître la valeur du champ magnétique

réel en tout point.

d - Champ magnétique toroîdal

Son calcul est effectué â l'aide des formules classiques donnant le

champ créé par une boucle de courant. Suivant les configurations utilisées,

les bobines sont représentées par des spires, arcs de cercle, polygones, etc..

Le champ résultant est calculé une fois pour toutes puis stocké sur une bande.

Au cours de l'intégration de la trajectoire, le champ toroîdal est obtenu en

un point donné par interpolation entre les valeurs stockées.

33 -

s - Champ magnétique poloîdal

Il est supposé ne dépendre que de r et obéir 3 la relation :

2 2 q(a)+l B M - **• B

1 - ( 1 - ( ^ 2 ) BS ( , ) " qlaT+T B T r

où B T est le champ toroidal au centre. Cette formule représente a s s " bien 'o

les résultats expérimentaux.

q (al . 5-^l < 2 2 ' V'p

où I est le courant plasma et q(a) est le facteur de sécurité au bord du plasma.

II1-2- BILAN D'ENERGIE

Chaque particule test simule en fait un faisceau de particules d'énergie initiale En donnée (énergie d'injection). Le long de sa trajectoire, son énergie diminue, sous l'effet des collisions coulombiennes. L'intensité du faisceau qu'elle simule décroît également, car il y a perte par échange de charge ou perte de confinement. Il est donc nécessaire de calculer â chaque pas de temps : la puissance perdue par échange de charge, la puissance cédée aux ions du plasma, la puissance cédée aux électrons du plasma ainsi que l'intensité du faisceau.

Le plasma étant décomposé en k couches toriques concentriques, on procède de la sorte :

Soient E, I, V, l'énergie, 1'intensité et la vitesse â l'instant t.

- 34 -

Soient E-AE, I-AI, V-âV, les mêmes grandeurs à l'instant t + At.

On pose £ - = E - ^ , T - I - ^ L . V - ^

La puissance perdue par échange de charge pendant At est :

Pech " r * l

La puissance cédée aux ions du plasma est :

P H = F i T A E où F i = ^ ™ • d'après l'équation (15)

La puissance cédée aux électrons du plasma est :

P = (1 - Ff) T A E e

L'intensité du faisceau se calcule de la manière suivante :

I -Ai « I exp (-7 At a e c h (£) n 0 (r) ) où o h (TT) est la section efficace d'échange de charge.

Ces différentes quantités sont additionnées pour chaque pas de temps effectué dans une même couche. De la sorte, à la fin de la trajectoire, (la particule a dégradé toute son énergie ou est sortie du plasma), on connaît, dans chaque couche, Ta puissance perdue par échange de charge, celle cédée aux ions, celle cédée aux électrons. Ces quantités sont alors ajoutées â celles obtenues pour les trajectoires précédentes.

La valeur initiale de I est donnée par la fr-ction capturée de neutres rapides au point d'initialisation de la particule test. Son calcul nécessite la connaissance des diverses sections efficaces des réactions changeant le neutre en ion :

ionisation par collision avec les électrons : ïï° + e •* H' + 2 e ( a. )

ionisation par collision avec les ions : W + H + •* H + + H + + e (o .)

échange de charge : ïï° + H + •* H + + H" (° e c n)

- 35 -La section efficace o qui tient compte de ces différents processus

de capture est écrite de la façon suivante :

"i °c " °ie + Zeff "pi + TÇ •«* < 2 3>

Cette formulation tient compte grossièrement des impuretés qui changent la capture dans le plasma.

Il aurait été préférable de prendre :

n.- . v n. î / y T

»1t + T£ ("ech + °pi ) + I TÇ ("I + °Iech ) (24)

où o,. et " T e c n sont respectivement les sections efficaces d'ionisation et d'échange de charge avec les différentes impuretés de densité n T. Des calculs récents ainsi que des mesures ont permis de déterminer o». + <iT e c h [15]. Hais, jusqu'à présent, cette formulation n'a pas été prise en compte à cause d'une mauvaise connaissance des n. .

Numériquement, on a :

* uje> section efficace d'Ionisation par impact électronique, peut s'écrire [16] :

• ^ • - ^ ^ ^ + 1 O ' 1 0 ( l - B ( l ' + è , ) )

e

* a . , section efficace d'ionisation par impact ionique, peut s'écrire

[17] :

"pi " 1 0

- (o.872 (1og1Q (E/A f) ) 2 + 8.156 log 1 Q (E/A f) - 34.833) (26)

* aech' s e c t l ' o n efficace d'échange de charge, peut s'écrire [17] :

- 0 6937 H T " (* * ° - 1 5 5 1°9lQ (E/A f)) ' , „ , e c n 1 + 0.1112 10 w (E/A f)

J ' J

36 - 1

II1-3- RESULTATS

a - Fonctions de distribution

Les particules test, dégradant leur énergie au cours du temps,

sont repérées en rayon, énergie et angle, à des intervalles de temps réguliers.

On constitue ainsi les fonctions ffa (r, j, E, t) pour des intervalles discrets

en angle (0 < ç < 180°) et en énergie. D'autre part, ces fonctions sont calcu-.

lées aux rayons centraux de chaque couche torique de plasma précédemment définie.

Enfin, elles sont normalisées de façon à ce que leur sommation en angle et en

énergie donne localement la densité des ions rapides.

b - Bilan neutronique

Ce calcul est valable dans le cas d'un faisceau de Deuterium, injecté

dans un plasma d'Hydrogène, Deuterium ou Tritium, puisque les réactions qui

entrent en jeu sont :

D + D - H e

3 (0.82 MeV) + n (2.45 MeV) (ernn - figure 9)

D + T - H e

4 (3.5 MeV) + n(14.1 MeV) (a n T - figure 9).

Les neutrons de 2.45 MeV peuvent être produits par trois types d'in

teractions :

Dans un plasma d'Hydrogène ou de Tritium, ils ne peuvent être produits

que par une interaction faisceau-faisceau.

Mais si le plasma comporte du Deuterium, ils peuvent être produits

par interaction faisceau-plasma, faisceau-faisceau, et plasma-plasma. L'impor

tance de ces trois types d'interactions est variable : elle dépend des densités

respectives du plasma et du faisceau ainsi que de la manière dont est faite

l'injection. Ce point est important car il définit la façon dont pourrait fonc

tionner un réacteur Tokamak : soit a densité et temps de vie élevés là -1

(n T = 10 cm s ), le faisceau ne sert alors qu'à allumer les réactions ther-13 -3 monucléaires; soit à densité et temps de vie faibles (n t - 3 10 cm s), les

réactions les plus importantes sont alors produites par le faisceau t 181 .

37 -

10 c-

1 r

1 HT1

UJ u < o

10-' z o 5

i<j-°r

10"

i i

i in

n

: *- / a J

••

/ y / '

1 / / 1 I 1 1 1 1 I I 1 1 1 M i l l

10 100 1000

ENERGIE DU DEUTON EN KeV

FIGURE 9 : SECTIONS EFFICACES POUR LES REACTIONS O-T et D-D (TOTAL)

- 38 -

Les neutrons de 14.1 MeV ne sont produits que par interactions

faisceau-plasma et plasma-plasma si le plasma est composé de Deuterium et de

Tritium.

La réaction Deutérium-Tritium a une section efficace qui varie très

vite avec l'énergie. L'importance des faisceaux apparaît donc et montre la

nécessité de pouvoir évaluer les différentes interactions.

* Dans le cas de l'interaction faisceau-plasma, le flux de neutrons ou

de protons créés peut s'écrire :

•fp ( t ) = l v o 1 ( k ) ni (rk) T I f b ( rk* ç" E' *> °DD <E> k ' ' " "•' 5 E

oO vol (k) représente le volume de la couche k.

UDT (E) (28)

Il n'est pas tenu compte de la correction due à la distribution en

température des ions du plasma, puisque dans la plupart des cas elle est très

inférieure à 1'énergie du faisceau injecté.

* Dans le cas de l'interaction faisceau-faisceau, le flux de neutrons

peut s'écrire :

•ff ( t ) = ï 7 v o 1 W E 2, E z, fb < rk' ? I E' *' f b ( | V ç'> E'' t > < a v : $ ( 2 9 ) K % % t £

où <<jv>, est le taux de production moyenne pour un ç et un V donnés le long

des directions azimuthales <p et <?'.

On a

v - v . i éfi éf' 2ÏF 2ïf

(30)

c- Spectre d'échange de charge le long d'une corde de visée

Il est également possible de calculer le flux de particules neutres

s'échappant du plasma sous un angle d'observation donné. Il faut signaler que

ce calcul est nécessaire pour obtenir des informations sur le comportement des

Ions rapides dans le plasma.

39 -

Ce flux est, pour une énergie donnée E :

* (E, t) = f njr (s) ) f„ f p (s), ç (s), E, t) 0 e c n (E) JÇfttt(s) £ ds

"S V / (3D s est l'abscisse curviligne le long de la corde de visée, s^et s, sont les intersections de cette ligne avec les bords du plasma.

dn est l'angle solide que voit le détecteur, en s. Tir

C (s) est l'angle d'oossrvation par rapport au champ magnétique.

Att (s) est l'atténuation le long de la corde de visée :

Att (s) = exp ( - f \ . (r(s)) ( V h + •„,) + n o x „ c x / \ ds (32)

L'oxygène est supposé être l'impureté dominante, ce qui est pratiquement toujours le cas expérimentalement :

6 ID" 1 5

o°05 , n V u a"2 ( E e n K e V ) (33> ucx/o 0.05 /:,/ivr\

«v ( W w )

II1-4- ACCELERATION DU CALCUL

Etant donné qu'il faut un ëchantillonage suffisant de particules test, le calcul du dépôt d'énergie par cette technique demande un temps d'exécution très long. Il est donc nécessaire de considérer la possibilité d'accélérer le calcul. Plusieurs méthodes sont possibles, entre autres :

a -Augmenter la longueur du cas d'intégration ;

Mais les résultats risquent d'y perdre en précision. Un compromis est nécessaire. Le pas de temps est ainsi défini : At = •£ où h est une distance donnée et v la vitesse de la particule. Suivant la classe de la particule (voir II), une plus ou moins grande précision est demandée.

- 40 -

Quand la particule est circulante, on peut choisir une valeur importante de h : on a pris h = 3 h , où h est une distance de référence ( 3 cm dans le cas du Tokamak TFR 600 ).

Quand la particule est piégée, h doit être plus faible : h = 2 h Q

Enfin, quand elle est localisée, on prend : h = h 0.

Différents testi ont été faits pour chaque classe de particules.

b - Modifier certains paramétres tels.que densité, vitesse,

en les multipliant par un certain facteur. Par exemple, si la densité est multipliée par un facteur 100, le nombre de collisions est multiplié par le même facteur. La particule cède alors son énergie au plasma beaucoup plus rapidement. Le problème est de savoir si la topologie des dépSts reste correcte. En fait, le facteur multiplicatif dépend de la nature de la particule :

~ Eâr.îlç.ylëi-SiïÊylàD.îÊS :

Il a été déjà été vu que le temps moyen que met une particule pour dégrader son énergie jusqu'à l'énergie thermique est T (voir III.1.a).

D'autre part, le temps de diffusion angulaire de 90° est :

1.4 1 0

6 A, 1' 2 E 3' 2 A, Tscatt ( 9 0°) = = T" ji en supposant ,A=17 (34) scatt n e z e f f A f

T r e t Tscatt étant tous deux inversement proportionnels à la densité, — — est indépendant de n . On peut donc multiplier la densité par un Tscatt e

facteur s.ns pour cela modifier la diffusion angulaire ni la topologie des dépôts d'énergie, les surfaces de dérives étant en général assez proches des surfaces magnétiques ( voir II ).

" EâCïi£!ilë§.Eil9îi§ :

Pour celles-ci, les surfaces de dérive peuvent être très éloignées des surfaces magnétiques. Multiplier par un facteur trop important pourrait empêcher la particule d'effectuer un transit complet et donc de déposer de l'énergie dans toutes les régions de plasma traversées lors de son excursion réelle. Par conséquent, si on veut maintenir une topologie de dépôt correcte, quelques transits doivent être effectués.

- 41 -

Le temps de transit -rtb ou d'oscillation sur une orbite banane a

déjà été donné en II.

<:„<• * T tb B6" "e Zeff , « , Soit v = = — 777, (35)

Tscatt 2 .10 1 2 / f y E V T

Afin que la particule test puisse accomplir quelques transits de

manière à conserver une topologie de dépôt correcte, le facteur d'accélération

sera pris égal au max ( 1, ̂ - V o e plus, il décroît comme le carré de l'énergie

au cours de la dégradation en énergie de la particule.

" ESCÎiSilÊS.lSÇSliïlSÊ :

Ces dernières sortent très rapidement du plasma et n'ont pas le temps

de lui céder leur énergie. Utiliser alors un facteur multiplicatif reviendrait

à" diviser le temps de ralentissement par ce même facteur, puisqu'il est inver

sement proportionnel à n , et à le rendre comparable au temps de dérive. Les

particules, contrairement 3 la réalité, céderaient alors une partie de leur

énergie au plasma. Par ailleurs, les collisions dépiègeraient facilement ce

genre de particules.

Au vu de toutes ces considérations, on a traité les particules loca

lisées en temps réel et utilisé un facteur multiplicatif adéquat pour les autres.

II1-3- LE CAS DE TFR 600

PREMIERS EXEMPLES DE CALCUL

On a considéré deux situations expérimentales différentes :

a - Injection de faisceaux d'Hydrogène sur un plasma de Deuterium :

Un cas d'injection de 800 KW d'hydrogène sur un plasma de Deuterium

a été simulé dans les conditions suivantes, correspondant à une décharge réelle

- 42 -

p eV/cm 3

FIGURE 10 : PROFILS DE DEPOT." . IE AUX IONS ET AUX ELECTRONS DANo S D'UNE INJECTION DE 800 KW DE H° SUR UN r>.ASMA DC D +

43 -

B T = 37 KGs I « 300 KA a = 20 cm R,= 98 cm T p .0

n e (o) = 1.58 1 0 1 4 era"3 T f i (o) = 1000 eV T 1 (o) = 810 eV

Z e f f - l ' S

Les profils de densités et températures sont tracés en Annexe D.

Pour chaque ligne d'injection, quatre sources (18°, 9°, 0°, -9°)

étaient en opération. La simulation a nécessité 240 trajectoires en tout :

120 à l'énergie E 0 = 30 KeV (7058 du courant de neutres)

120 à l'énergie E Q/2= 15 KeV (30% du courant de neutres).

La contribution des particules à l'énergie Ei/3 a été négligée ce

qui est correct pour les sources d'ions employées. La dispersion de chaque

faisceau a été simulée en supposant plusieurs lignes d'injection filamentaires

reparties dans l'épaisseur du faisceau.

On a ainsi obtenu les profils de dépôts d'énergie cédée aux ions

P N- (r) et aux électrons P.. (r) (figurs 10). Ces résultats indiquent que 180 KW

ont été cédés aux ions tandis que 400 KM ont été cédés aux électrons. Le reste

des 800 KW injectés est perdu soit par mauvaise capture ( À • 2.2 ), soit par Ao

échange de charge, soit par mauvais confinement. La puissance est transmise

préférentiel!ement aux électrons. De fait, si on calcule l'énergie critique au

centre du plasma, où elle est maximum en raison de sa dépendance en T , on

obtient E » 9 KeV. Etant donné que l'énergie d'injection est de 30 KeV, il est

normal que les électrons soient les particules qui absorbent le plus d'énergie,

quelque soit le rayon considéré ( voir III-1-a ).

b - Injection de faisceaux de Deuterium sur un plasma de Deuterium

Un second cas expérimental d'injection de 650 KW de Deuterium sur un

plasma de Oeutérium a été simulé dans les conditions suivantes :

B T = 40 KGs I = 200 KA a = 20 cm

n e (o) = 1.2 1 0 1 4 cm" 3 T e (o) = 1000 eV Z f i f f =1.5

Les profils de densités et de températures sont donnés en Annexe D.

44

p eV /em 3

FIGURE 11 : PROFILS DE DEPOTS D'ENERGIE AUX IONS ET AUX ELECTRONS DANS LE CAS D'UNE INJECTION DE 650 KW DE 5° SUR UN PLASMA DE D +

- 45 -/ / f b ( r , E, £,t|4ir*Rrdrdt

l i i i i

E=Ein,72=13-5 K « V

- 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 60 80 J !

FIGURE 12: FONCTION DE DISTRIBUTION ANGULAIRE DES IONS RAPIDES DANS LE CAS D'UNE INJECTION DE 650 KW DE D° SUR UN PLASMA DE D +

* NEUTRONS n/s

510

8 » «m. W

FIGURE 13: FLUX DE NEUTRONS EMIS DANS LE CAS D'UNE INJECTION DE 650 KW OE D° SUR UN PLASMA D E D +

- 46 -

Toutes les sources étalent en opération. La simulation a nécessité

ZOO trajectoires en tout : 100 à E Q = 27 KeV (60 % du courant de neutres),

100 à E./2 = X3.5 KeV. Mais l'épaisseur des faisceaux n'a pas été prise en

compte. On a obtenu les profils de P N e(r) et P N i(r) donnés en figure 11.

Ces résultats indiquent que 190 KW sont cédés aux ions et 240 KW aux électrons.

Le reste des 650 KW injectés est perdu soit par mauvaise capture (f- = 2.35), Ao

soit par échange de charge, soit par mauvais confinement. L énergie critique

au centre du plasma est de 19 KeV alors qu'au bord, elle est de 2 KeV. C'est

pourquoi, au centre, l'énergie cédée aux Ions et celle cédée aux électrons sont

â peu près égales, alors qu'au bord l'énergie est principalement cédée aux

électrons.

Il est possible de tracer la fonction de distribution angulaire des

ions rapides suivant l'énergie considérée : celle-ci a été représentée pour

deux valeurs de E(E Q et E Q/2) sur la figure 12 : on remarque que le spectre

à l'énergie E Q/2 est plus large que le spectre à l'énergie E Q ; en fait, les

particules à E 0/2 subissent plus de col lisions élastiques que celles à E 0.

Du fait des réactions plasma (D +), faisceau (0 +), un flux de neutrons

est émis. Le code calcule alors un flux dû à l'interaction faisceau-plasma net-12 tement supérieur î celui dû 3 l'interaction faisceau-faisceau ; *,„ = 1.2 10

10 "

neutrons/s alors que $ f f = S 10 neutrons/s â pleine puissance. La figura

13 donne l'évolution de ces flux depuis le début de l'injection jusqu'au

moment où les premiers ions rapides injectés ont l'énergie thermique. Le

dépôt de puissance a alors atteint sa pleine valeur et les flux de neutrons

ne varient plus. On néglige i ce stade l'effet des augmentations de tempéra

tures et de densités. L'écart entre l'interaction faisceau-faisceau et l'in

teraction faisceau-plasma doit diminuer avec I'augmentation de puissance pour

une même énergie d'injection. En effet, le flux faisceau-faisceau varie comme

le carré du courant de neutres, alors que le flux faisceau-plasma est propor

tionnel au courant de neutres.

- 47 -

IV - VERIFICATION EXPERIMENTALE

Tous les calculs décrits précédemment ne sont valables que si la

dégradation en énergie des ions rapides suit les lois classiques citées plus

haut. Or, la fonction de distribution totale des ions n'est pas monotone

décroissante; de plus, elle est anisotrope perpendiculairement, surtout pour

une injection quasi-perpendiculaire comme sur le Tokamak TFR 600. Dans ce cas,

la théorie prévoit que des instabilités peuvent se développer â des fréquences

proches de la fréquence cyclotronique ionique et de ses harmoniques [19] .

Il pourrait alors apparaître une déformation importante de la fonc

tion de distribution et une perte des particules rapides ou du moins une dégra

dation accélérée de l'énergie.

C'est pourquoi, une vérification expérimentale est nécessaire.

Dans ce but, des mesures de spectre des neutres rapides s'échappant

du plasma, pendant l'injection, ont été faites à. l'aide d'analyseurs électro

statiques semblables à celui décrit en TY-1.

La comparaison de telles mesures avec le calcul Honte-Carlo permet

alors de savoir si le comportement des particules injectées est classique (IV-2).

Enfin, comparer les valeurs des flux de neutrons calculées par le

code Monte-Carlo avec celles mesurées peut également renseigner sur le compor

tement des ions rapides (IV-3),

IV-1 - MONTAGE EXPERIMENTAL

Afin de mesurer le spectre de neutres rapides, l'analyseur électro'

statioje décrit ci-dessous a été construit et étalonné [201 .

a - Description

Le principe de l'analyseur est le suivant (figure 14) :

Les neutres rapides, provenant du plasma, sont réionisés par passage

à travers une feuille très fine de carbone.

- 48 -

PLASMA

FIGURE 14 : ANALYSEUR ELECTROSTATIQUE

- 49

Les ions ainsi créés sont analysés en énergie â l'aide d'une déviation électrostatique â 90°. La détection des ions est ensuite effectuée à l'aide d'un multiplicateur tubulaire ou "channeltron" du type CEM 4730 [21] .

La feuil le de carbone est faite en réalité d'un dépôt de carbone sur une gr i l le transparente de cuivre. Elle a une épaisseur de Tordre de 100 â

o

200 A. L'utilisation d'une telle feuille comme cible de rêîonisation simplifie

de beaucoup le montage. Habituellement on utilise une cellule â gaz; mais alors

se posent les problèmes du pompage, de la régulation de la pression... D'autre

part, son utilisation facilite l'étalonnage : en effet, les proportions d'ions

et de neutres 1 la sortie de la feuille sont les mêmes que le faisceau incident

soit composé de particules chargées ou neutres : étant donné la forte den

sité de la cible solide, l'équilibre est obtenu pour une épaisseur inférieure,

de l'ordre de quelques Angstroms; dans ces conditions , une collision inëlas-

tique de plus ou de moins ne change pas la fraction de particules ionisées.

Les électrodes de la déviation électrostatique sont réalisées avec

des lames de rasoir afin de diminuer une influence possible des ions diffusés

ou de la lumière parasite. De plus, pour éliminer la lumière directe, il a été

introduit un puits de lumière dans l'axe du faisceau incident.

La résolution de l'analyseur est ^|-= 30. Le rayon moyen de la dévia

tion est de 60 mm, tandis que Ta distance entre les plaques de deflexion est

de 10 mm.

b - Etalonnage

La source utilisée peut produire des ions accélérés jusqu'à une

énergie de 20 KeV maximum. Le faisceau traverse un aimant afin de séparer les

ions H + des ions H 2

+ au H, +.

L'étalonnage se fait en deux étapes :

La feuille étant escamotable, une première mesure sans feuille

permet de connaître le courant initial de protons et la loi liant la tension

de deflexion V d â l'énergie E des particules.

Théoriquement :

El " e ' r, ' = Z e a vd < 3 5> 2Lo 9 fi

- 50

T r COUPS/S

10"

10J

-i r

AV = 440v

6 E, = 2473 KeV

J l_ J 1_ 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2.100 2400 2500 2600 V d

v 2 v 1 VOLTS

FIGURE 1S : ETALONNAGE DE L'ANALYSEUR

- 51

où r, est le rayon de la plaque extérieure et r. celui de la plaque intérieure.

Le trou fait pour laisser passer la lumière directe affaiblit le champ électri

que et conduit 3 employer une tension plus élevée pour une énergie donnée.

L'étalonnage donne a = 2.81 au lieu de o = 3, valeur théorique.

La feuille étant maintenant interposée devant le faisceau, une

seconde mesure consiste 3 analyser en énergie et à compter les protons après

passage à travers la feuille. Les courbes ainsi obtenues (figure 15) donnent

la perte d'énergie due 3 la traversée de la feuille : SE = E - E 2 ainsi que

l'élargissement du spectre m. Le pic 3 plus haute énergie (E ), non dispersé, provient des protons initiaux passant par de petits trous de la feuille et sert

de référence. On a vérifié que la surface de ces trous est faible par rapport

3 la surface de la feuille. L'étude de ces courbes en fonction de E. a montré

que l'usage d'une feuille de carbone comme cible de rêTonisation n'est possible

que pour des énergies supérieures à 5 KeV. En dessous de cette valeur, la dif

fusion élastique est trop importante et l'efficacité trop faible.

Sur la figure 16, «E, a été tracée en fonction de l'ëner;:e primaire

El . La perte d'énergie suit bien la loi déterminée par Gott [22] :

!!i • ay_| f { 3 7 )

d 10 ° y ' - " + C

où a = 2.92, b = 0.018, c = 0.14, y = 10 v. cm/s pour une feuille de carbone, o

et correspond 3 une épaisseur, d, de la feuille de l'ordre de 220 A •

L'efficacité de rêTonisation R de la feuille de carbone est égale au

rapport du flux 3 l'énergie secondaire E 2 mesuré avec feuille 3 celui à l'éner

gie primaire E , mesuré sans feuille. Soit :

. - fry* m) R " U (h) *Èi < 3 8 )

û E i i 0 Û T 7 = -as

La courbe d'efficacité (figure 17) a une allure similaire 3 celle de

Gott qui a mesuré l'efficacité relative normalisée 3 l'unité pour 15 KeV.

- 52 -

T 1 r

0 1 I I 1 I S 10 15 20 E H +

KeV " FIGURE 16 : PERTE D'ENERGIE DANS LA FEUILLE DE CARBONE

53

2 10 20

E H+enKeV

FIG 17 : EFFICACITE DE REIONISATION

100

- 54 -

Enfin, l'étalonnage a été effectué pour deux sortes d'ions primaires:

D et H +. R et SE, dépendent uniquement de la vitesse :

«h < V " E> = « I (E. + = 2 E) R (Ej + - E> - R <E° + . 2 E )

c - Montage

Dans un premier temps, deux analyseurs ont été montés, un dans chaque

ligne d'injection, mais faisant avec la ligne un angle de 30° dans le plan

horizontal. Chaque appareil peut être déplacé verticalement.afin de viser dif

férentes cordes dans le plasma. Cependant, cette position n'est pas excellente :

en effet, les analyseurs sont perturbés par des particules qui, provenant de

l'injection rebondissent sur les surfaces métalliques. Aussi, dans un second

temps, un troisième analyseur a été monté dans un autre queusot. Il vise le cen

tre du plasma à 102° par rapport 5 l'axe magnétique, mais n'est pas mobile.

Le spectre en énergie des neutres rapides est mesuré en appliquant

une tension en dent de scie aux plaques de deflexion (figure 19). On peut ainsi

obtenir plusieurs spectres pendant le même tir. Chaque dent.de scie a une

amplitude variable de 0 à ± 8 KV et peut d>rer de 5 à 40 ms. Le signal provenant

du multiplicateur est tout d'abord amplifié et mis en forme; puis il est soit

visualisé sur un oscilloscope, soit stocké en vue d'être traité, de même que la

tension en dent de scie.

d - Traitement des mesures

Dans le cas d'une injection de Deuterium sur un plasma de Deuterium,

les neutres rapides ïï° donnent par capture dans le plasma des ions TT de forte

énergie £.. Leur distribution est une fonction f (E ). Ces D* effectuent de

l'échange de charge avec les neutres lents du plasma de densité n„ 0 (r). Ce

sont les ïï° rapides obtenus qui, s'échappant du plasma puisque non confinés

par le champ magnétique, sont détectés par l'analyseur.

Soit un volume de plasma dT que voit l'analyseur sous l'angle da ;

le nombre 5° provenant de dT et frappant la feuille de rêionisation peut s'écrire :

d *1 ' $ r'D° <p> f < El' r> i E l °ech < V \ c" X dT (39)

http://dent.de

- 55 -

CALCULATEUR

CALCULATEUR

FIGURE 18

- 56 -

où . v, est la vitesse des neutres rapides solt^j^s-

• °ech ( v l ' e s t ' a s e c t f o n efficace d'échange de charge (équation 27)

-x est l'atténuation du flux de neutres sortant due a la cecapture

passible dans le plasma.

Par conséquent, pour le volume de plasma t vu par l'analyseur dans une position donnée, lé nombre de ïï° frappant la feui l le de réTonisation est :

• l = / n

D o ( r ) f ( E l ' r ) "ech^l) 4 E 1 § e " * d * (40)

qui devient en négligeant l'atténuation et 1e prof i l de neutres lents :

* l = " D o f (*!> "ech < V V l i E l / 0 d T (41)

A la traversée de la feuille de carbone, il y a une perte d'énergie

a£j ; de plus, un certain nombre de B° ne sont pas réionisés. L'efficacité de

réTonisation R a été déterminée par l'étalonnage.

Si les tensions de déflexion sont réglées pour une énergie

E 2 • Ej - «Ej, le multiplicateur reçoit un flux d'ions égal à :

* 2 » i t n . 0 o

f (%) » e ch l\) v i a E 2 f B d T (* 2)

oû4E2 = 2 , résolution de l'analyseur. US

Le signal stocké peut donc s'écrire :

S = KR 0 e c h (Vj) v a AE 2 f (E^ = Ky f (Ex) (43)

K= k n _ / * <1T , k étant une constante dépendant de la chaîne de T

mesure (multiplicateur, préamplificateur, pont diviseur...).

h L'évaluation de y = R a h (v ) v, « donne S/ y proportionnel à la

fonction de distribution des ions rapides f (E.). Prenant en compte toutes

ces quantités, un programme numérique [231 a été écrit : il permet d'obtenir

à partir du signal S et de la tension correspondante un spectre proportionnel

à f (Ei).

La figure 19 donne un exemple des signaux avant traitement : la tension

sur une plaque (figure 19-a), S (figure 19-b). Le signal correspondant â la

quatrième dent de scie a été traité. On obtient ainsi la fonction de distribu

tion des ions rapides en unités arbitraires (figure 20);il faut comparer cette

dernière aux calculs numériques décrits en III.

où

57 AVANT TRAITEMENT

4

i

* /I v d

(Tension en dents de scie)

3

2

1

n

1/ é I il 1

1 I

1 1 1

^ /

.

FIGURE

19-a

60 70 80 100 150

S ua

60 70 80

APRES TRAITEMENT

lnf(E,) 13 —r " i t i i i i

ua 11 i X^_/̂ -̂̂ ^^ 9 ^ ^ - - ^ -7

5 J

1 1 1 I 1 1

7

5 t 1 1 1 I 1 1

10 15 20 25

FIGURE 20

30 35 E 1 KeV

58 -

IV.2 - RESULTATS FLUX DE NEUTRES

Corme i l a déjà été d i t , sur TFR 600 chaque ligne l ' injection est

composée de cinq sources d'ions disposées à ± 18°, + 9 ° , 0" du plan méridien.

On peut donc choisir d'uti l iser une ou plusieurs sources. Pour fac i l i ter la

compréhension des mesures, i l est attribué un numéro à chaque source suivant

le schéma 3 :

2 a m e ligna d'injection 1 a r e ligne d'injection

Grand axe du plasma

SCHÉMA N° 3

1 - Mesures

Différentes situations expérimentales ont été explorées.

a - Injection de Deuterium sur un plasma de Deuterium

Dans ce cas, on a étudié l'influence tout d'abord de la position

aes sources et ensuite de la position de l'analyseur. Pour cela, seule une

ligne d'injection, la deuxième, é ta i t en opération. Les spectres ont été

mesurés avec l'analyseur situé dans la ligne opposée.

Les mesures ont été effectuées sur une série de plasmas reproduc

tibles ; le champ toroidal étai t maintenu & 40 KGs, le courant plasma à

- 59 -1 SOURCE D'INJECTION (S)

KeV

InffE,) ua 15

3 SOURCES D'INJECTION (7,8,9)

10 15 2C 25 30 35 KeV

InfIEW ua 15

2 SOURCES D'INJECTION (6.10)

KeV INJECTION DE D° SUR UN PLASMA DE D +

L'ANALYSEUR VISE LE CENTRE OU PLASMA (h = 0 cm)

InflE,) - 60

ua h = O w n I 1 • 1 1

17

15

13

11

9

7 -• • • • i i 5 • • • • i i

10 15 20 25 30 35 40

FICURE

22-a

KeV

lnf(E,) 1' ua

FIGURE

22-b

KeV

InflE,) u a

15 16 cm

INJECTION DE D' SUR UN PLASMA DE D+ 5 SOURCES D'INJECTION (6,7, S, 9.10)

FIGURE

22-c

KeV

- 61 -

150 kA, tandis que le rayon du plasma étai t égal à 17 cm.

Des exemples de signaux obtenus après traitement sont donnés :

* Variation du nombre de sources :

figure 21-a : une seule source (8) étai t en opération. L'analyseur visait

le centre du plasma (0 an),

figure 21-b : trois sources (7-8-9) , l'analyseur visant 3 0 cm.

figure 21-c : deux sources (6-10), l'analyseur visant 3 0 cm.

* Variation de la position de l'analyseur :

figure 22-a : cinq sources (6-7-8-9-10), l'analyseur visant au centre du

plasma (0 cm),

figure 22-b : cinq sources (6-7-8-9-10), la hauteur de la corde de visée

de l'analyseur était de 7 cm.

figure 22-c : cinq sources (6-7-8-9-10), l'analyseur visait au bord du

plasma (16 cm).

L'énergie d'injection était de l'ordre de 27 KeV tandis que la

puissance totale injectée (5 sources) dans le tore était de 200 KW

b - Injection d'Hydrogène sur un plasma de Deuterium

C'est l'influence du champ toroidal By qui a tout d'abord été

examinée, puis celle du courant plasma I . Les deux lignes d'injection étaient

en opération, tandis que les spectres étaient mesurés avec l'analyseur non

mobile.

* Variation du champ toroidal :

Tandis que le courant plasma étai t maintenu 3 300 kA, le champ

toroidal a été varié de 37 3 48 KGs.

figure 23-a : BT = 40 KGs I = 300 kA a = 20 cm

figure 23-b : BT = 43 KGs I = 300 kA a = 20 cm

figure 23-c : BT = 45 KGs I = 300 kA a = 20 cm.

62

f(E,)

10 5

1 — 1 — — 1 — I 1 1 1

10*

1 • I I I 1

-

_| FIGURE 23-a

B T = 40 KGs I = 300 kA

10 15 20 25 30 35 E, KeV

B T = 43 KGs

10 15 20 25 30 35 E, KeV

f(E,) ua

10 u 1—:—i 1 i 1 1 1

10 5 ^^~~"\-^

i i i

10^

— i i i i i i i

FIGURE 23-e

Bf= 45 KGs lp = 300 kA

10 15 20 25 30 35 E1

INJECTION DE H" SUR UN PLASMA DE D +

h = 0 cm VARIATION OU CHAMP TOROIDAL

KeV

ua

ua

- 63 -

10 e

< ^ - l 1 1 1 1 1

10 5 V—-—-̂ __. "

• 1 1 1 1 1

10*

1 • 1 1 1 1 1

10 15 20 25 30

10 15 20 25 30

35 KeV

10 e

1 — 1 1 1 1 1 1

10 5 - \ — - ~ - ~ ~ ^ — ~ ;

• i i _ i i _ i

104

1 • i i _ i i _ i

KeV

FIGURE 24«

B T = 48 KGs l p = 320 kA

FIGURE 24-b

B j= 46 KGs l p = 200 kA

INJECTION DE H° SUR UN PLASMA DE D +

h= Ocm VARIATION DU COURANT PLASMA

- 64 -

* Variation du courant plasma :

Tandis que le champ toroîdal était maintenu à 46 KGs, le courant plasma a été varié de ZOO â 300 kA.

figure 24-a : BT = 46 KGs I = 320 kA a = 20 cm figure 24-b : BT = 46 KGs r = 200 kA a = 20 cm.

La puissance InjsE.tée dans le tore a pu être évaluée â 800 KW, tandis que la mesure de l'énergie d'injection a donné une valeur de 30 KeV.

2 - Comparaison avec le calcul Honte-Carlo

a - Injection de Deuterium sur un plasma de Deuterium

L'allure des spectres est principalement déterminée par le temps de ralentissement des ions rapides : plus ce temps est long, plus le flux de particules détectées augmente aux énergies élevées. Or ce temps varie comme T ' : i l est donc très faible au bord du plasma et nettement plus important au centre.

L'échange de charge est beaucoup plus important au bord du plasma (n 0 (16 cm) = 4 101 cm 3) qu'au centre (nQ(o) = 4 10-cm J ) .

Au bord du plasma, les particules peuvent avoir des trajectoires localisées et être ainsi perdues très rapidement : cette éventualité dépend de la variation de champ que rencontre la particule le long de sa trajectoire ( 24] . En f a i t , on peut séparer le plasma en deux zones (voir Annexe B) : dans la zone I , la modulation toroîdale du champ to ta l , due â la réalisation pratique de BT par un nombre discret N de bobines, crée des miroirs locaux (cas n° 1 du schéma 4) ; si les particules ont une vitesse parallèle suf f i samment faible, elles décrivent une trajectoire localisée dans un miroir local en dérivant verticalement vers l'extérieur. Dans la zone I I , la modulation toroïdale ne crée pas de miroirs locaux (cas n° 2 du schéma 4).

!

10 12 14 16

FIGURE 25: DELIMITATION DES ZONES DE PLASMA : ZONE 1 ; EXISTENCE DE MIROIRS LOCAUX ZONE S : PAS DE MIROIRS LOCAUX

DANS LES CONDITIONS PLASMA DU CALCUL SPECTRES D'ENERGIE AVEC VARIATION DE LA POSITION DE L'ANALYSEUR

- 66 -

Bi

s s

Cas n° 1 Cas n° 2

SCHÉMA N° 4

Ces deux zones ont été tracées sur la figure 25 avec les valeurs de

champ magnétique et de courant plasma auxquelles ont été faites les mesuras.

Lorsque l'analyseur vise à 16 cm, les particules proviennent de la zone I ,

alors que s ' i l vise plus au centre, elles proviennent de la zone I I .

Les spectres les plus représentatifs du comportement des ions ra

pides sont donc ceux obtenus pendant l ' injection avec cinq sources dans les

deux cas extrêmes : l'analyseur visant le centre du plasma (0 cm), puis le

bord (16 cm). Ces deux spectres ont été simulés à l 'aide du code de Monte-

Carlo [ 2 0 ] , Les conditions expérimentales étaient les suivantes :

B T = 40 KGs I = 150 kA a = 17 cm R„ = 90 cm T p O

T e (o) = 1040 eV n e(o) = 1.05 10 1 4cm" 3 Z g f f = 1.77

nQ(o) = 4 107cm"3 nQ(o) = 4 10 1 0cm" 3


Au centre du plasma (figure 26), les deux spectres, numérique et

expérimental, sont monotones avec un accord d'à peu près 30 %, alors qu'au

bord du plasma (figure 27) i l s présentent tous deux un creux ; la contri

bution du courant de neutres à l'énergie E /2 ressort nettement par rapport

à celle à E 0 . A partir des co -idërations précédentes on peut attribuer en

partie cette déformation du spectre à la dépendance du temps de ralentisse

ment avec la température électronique : cette dépendance a pour effet de

faire ressortir le pic à E /2 puisque T est beaucoup plus faible au bord.

i

10!

*(E)sn

| 9 . .

10' »..

10 ? . .

10°

1 — 1 — \

1 1 1 „

\ \ SPECTRE NUMERIQUE \

\ \ SPECTRE EXPERIMENTAL \ \ \ \

\ ^ V - -\ ~' ^ \ X \ "v — • *

N*

\ s "—so.

^*\~* *7 ^ / "̂̂ v.

1 1 - 1 _

•s. N

1 \

\

10 15 20 25 E KeV

FIGURE 26 : INJECTION DE ffQ SUR UN PLASMA DE D +

SPECTRES DE NEUTRES RAPIDES h = 0 cm, 5 SOURCES D'INJECTION (6,7,8,9,10)

SPECTRE NUMERIQUE / 2

SPECTRE EXPERIMENTAL

10°--

10?--

- - N

15 4-

20 10 FIGURE 27 : INJECTION DE D~° SUR UN PLASMA DE D +

SPECTRES DE NEUTRES RAPIDES h = 16 cm; & SOURCES D'INJECTION (6,7,8,9,10)

25 E KeV

- 69 -

D'autre part, du fait des pertes par échange de charge et dans les miroirs locaux accrues au bord, les particules rapides sont perdues avant dégradation totale de leur énergie, ce qui sépare la contribution du courant â EQ, de l'ordre de 60 % du courant total, de celle â EQ/2.

b - Injection d'Hydrogène sur un plasma de Deuterium

* Variation du champ toroïdal B- :

Si on examine le signal brut avant traitement, on peut constater qu'il présente deux pics : le premier correspond â la contribution du courant de neutres â l'énergie E / 2 , le second à la contribution du courant de neutres à l'énergie EQ. Or il a été constaté expérimentalement que lorsque le champ toroidal augmente, le second pic augmente tandis que le premier n'évolue pas. Un exemple est donné sur les figures 28-a où BT » 39 KGs et 28-b où BT = 45 KGs.

Afin de déterminer si le calcul numérique donne la même évolution, on a simulé les deux cas extrêmes : BT = 37 KGs et BT = 48 KGs. Les conditions expérimentales étaient celles indiquées sur le tableau I.

1 e r Cas 2ëms Cas

BT 37 KGs 48 KGs

JP 300 kA 300 kA

a 20 cm 20 cm

T e (o ) 975 eV 1250 eV

^ ( o ) 830 eV 895 eV

"et") 1.5 7 10 1 4 cm" 3 1.2 4 10 1 4 cm" 3

Z e f f 1.5 1.5

"of") 4.5 10 7cm" 3 4.2 10 7cm" 3

"o<«> 5 10 1 0 cm- 3 5.5 10 1 0 cm- 3

Tableau I

Les profils de densités et de températures sont donnés en Annexe 0.

- 70 -

FIGURE 28-a B T = 39 kGs l p = 3 0 0 k A

1 : SIGNAL 2 : DENT DE SCIE 3 : INJECTION

FIGURE 28b B T =45kGs l p = 300 kA

* ( E ) S «

10' ,9 . .

10° ••

10 ? .-

SPECTRE NUMERIQUE


10 15 20 25 30 KeV 35

FIGURE 29 : INJECTION DE H° SUR UN PLASMA DE D + . SPECTRES DE NEUTRES RAPIDES B T =37KGs I =300kA

*(E) S «

10' ,9 • -

10' ,8 . .

10?

SPECTRE NUMERIQUE


10 15 20 26 30 KeV 35

FIGURE 30 : INJECTION DE H° SUR UN PLASMA DE D+. SPECTRES DE NEUTRES RAPIDES B T =48KGs I =300kA

- 73 -

Les spectres simulés ont effectivement le même comportement en

fonction du champ toroîdal : figure 29 - B- = 37 KGs et figure 30 -

B T = 48 KGs. Pour tenter d'expliquer ce comportement on a essayé de faire

un bilan de la puissance apportée par les neutres (Tableau II).

Bj = 37 KGs Bj = 48 KGs

Puissance injectée

Puissance capturée

Puissance cédée aux ions par

collisions coulombiennes

Puissance cédée aux électrons par

collisions coulombiennes

Puissance perdue par échange de

charge

Puissance perdue par mauvais

confinement

Puissance thermalisë'e

800 KM

780 KIJ

180 KU

380 KU

80 KU

100 KU

40 KU

800 KU

770 KU

190 KU

280 KU

130 KU

130 KU

40 KU

Tableau II

La puissance thermalisée correspond aux ions rapides qui ayant

totalement dégradé leur énergie sont assimilés aux ions du plasma.

Le tableau II indique que :

- la puissance perdue par échange de charge double lorsque le champ toroîdal

passe de 37 KGs a 48 KGs.

- la puissance perdue par mauvais confinement augmente de 30 %.

Or, i courant plasma constant, la zone I, où la modulation toroîdale

du champ magnétique total crée des miroirs locaux, augmente légèrement lorsque

8j augmente (figure 31). De plus, compte-tenu des profils de densité différents

le calcul montre que, a 48 KGs, les neutres rapides injectés sont capturés plus

J 1 1 1 1 1 1 I I 1 1 1 1 1 I I I I I I I I I I I I l__l I I I L—J I I I I I I 80 88 88 108 R c m 118

FIGURE 3 1 : DELIMITATION OES ZONES DE PLASMA : ZONE I : EXISTENCE DE MIROIRS LOCAUX ZONE H : PAS DE MIROIRS LC^AUX

DANS LES CONDITIONS PLASMAS DES CALCULS SPECTRES D'ENERGIE AVEC VARIATION DU CHAMP TOROIDAL

- 76 -

au bord du plasma : par conséquent, les ions rapides ainsi formés sont plus

sujets â des phénomènes d'échange de charge et de dérive dans les miroirs

locaux. Ceci explique probablement 1e creux qui s'accentue entre les pics

a EQ/2 et a EQ quand BT passe de 37 KGs à 48 KGs.

D'autre part, la température électronique est nettement plus

élevée â 43 KGs qu'a 37 KGs. Le temps de ralentissement de l'énergie est

donc plus long : c'est pourquoi le pic a E. est deux fois plus élevé â 48 KGs

qu'a 37 KGs : ce facteur correspond a peu prés a la variation de (T e(/!8 KGs)/

T e(37 KGs) ) 3 / 2 .

Ce comportement des spectres semble donc dû a une modification des

profils (densités, températures) plutôt qu'a un effet direct du champ toroîdal.

De f a i t , i l faudrait effectuer plusieurs calculs avec les mêmes profils de

n et T e , en modifiant uniquement la valeur de By. I l est probable que le

champ toroîdal n'a d'effet que par l'intermédiaire de J(r) qui dépend de q

et qui est déterminant pour les trajectoires.

* Variation du courant plasma I :

L'analyseur ut i l isé regarde le centre du plasma. Or, au voisinage

de l 'axe, les bananes centrales sont d'autant moins épaisses que la densité

de courant au centre est forte : c'est l 'e f fe t de str ict ion. D'autre part,

l'étude des zones I et I I , décrites en IV.2.2.a, montre que la zone I où la

modulation toroîdale du champ crée des miroirs locaux, augmente lorsque le

courant plasma diminue. Bien que ce dernier effet joue peu lorsque l'analy

seur regarde le centre du plasma, on s'attend cependant a constater une

modification des spectres. Or aucun changement notable n'a pu être mis en

évidence.

Toutefois, un cas a bas courant a été simulé :

BT = 46 KGs r = 200 kA a = 20 cm R„ = 93 cm T p 0

T e(o) = 850 ev T.{o) = 670 eV n e(o) = 1.5 10 1 4 cm' 3

n 0(o) = 5 107cm"3 n 0(a) = 4 10 1 0cm" 3 Zgff = 1.5


*(E)SÎ2

10' ,9 - -

10°

10'

SPECTRE NUMERIQUE


10 15 20 25 30 KeV 35

FIGURE 32 : INJECTION DE H° SUR UN PLASMA DE D+. SPECTRES DE NEUTRES RAPIDES B T = 46KGS l p = 200 kA

- 77 -

Un bilan intégré de la puissance apportée par les neutres peut être

fait (tableau III)

Puissance injectée 800 KW

Puissance capturée 770 KW

Puissance cédée aux Ions par collisions

coulombiennes 140 KW

Puissance cédée aux électrons par collisions

coulombiennes 430 KVJ

Puissance perdue par échange de charge 70 KW

Puissance perdue par mauvais confinement 90 KW

Puissance thermalisëe 40 KW

Tableau H I

En fa i t , devant le bon accord obtenu (figure 32), on peut conclure que, ccœM irëcêdemnent, les conditions plasma ne pouvant être maintenues fixes, l 'e f fet du courant plasma est noyé ou annulé par d'autres effets comme ceux de variation des profils de densités et de températures.

c - Difficultés du calcul

Pour obtenir ce bon accord, entre spectres calculé et mesuré, un certain nombre de problèmes ont dû être résolus.

D'une part, des problêmes liés au calcul numérique lui-même. En particuler, dans le premier cas étudié (IV.2.2.a), l'analyseur ut i l isé se trouve à 105° de l'axe magnétique, alors que l' injection se fa i t â 75°.

- 78 -

-J? analyseur

injection

SCHÉMA N° 5

V v /anal = V v / i n j D'après le schéma n° 5, i l e=t évident que

'anal \ ' / i n j Or la fonction de d is t r i bu t ion des ions rapides est discrét isée par rapport

a ç • Arc sin I — I . Les part icules qui viennent d 'être injectées et celles

qui sont détectées par l 'analyseur se trouvent donc stockées sous le même

angle ç. De ce f a i t , le spectre calculé présentait un pic à l 'énergie d ' i n

j ec t i on , ce qui ne correspond pas à la réa l i t é physique. Le problême a été

résolu de la façon suivante : pendant leur première révolution autour du to re ,

la dégradation en énergie des part icules n'est pas accélérée ( I I I . 4 ) . De plus,

leur fonction de d is t r ibu t ion n'est stockée qu'à p a r t i r du moment où el les

se trouvent dans la part ie du tore que vo i t l 'analyseur. Les part icules ont

alors tourné d'un certain angle et ne sont plus stockées sur le mime ç que

cel les vues par l 'analyseur. Ensuite les t ra jecto i res sont suivies avec une

accélération dépendant de leur classe.

D'autre par t , certaines d i f f i c u l t é s sont l iées aux conditions ex

périmentales : à cause de la dispersion en énergie des sources, l 'énergie

d ' in jec t ion n'est pas connue avec précis ion. En pa r t i cu l i e r , dans la simu

la t ion décr i te en IV.2.2.a, i l a f a l l u sommer les résultats des inject ions

à 26, 27 e t 28 KeV et de même pour jes énergies moi t ié. Ensuite, i l existe

une certaine incert i tude sur la densité des neutres lents présents dans le

plasma, en pa r t i cu l i e r au bord. De f a i t , le p ro f i l considéré a été obtenu

à pa r t i r d'une simulation numérique avec un code unidimensionnel (26] qui

prend en compte, en pa r t i cu l i e r , la pression de remplissage du tore ainsi

79 -

que la densité du plasma. C'est pourquoi, le spectre calculé au bord du plasma (IV.2.2.a) présente un facteur 2 par rapport au spectre mesuré ; par contre, au centre, l'accord est bon en valeur absolue â 30 % prés.

Certains spectres présentent une allure assez discontinue due uniquement au manque de statistiques. En effet, malgré l 'ut i l isat ion du processus d'accélération, le coût du calcul Ilonte-Carlo est encore élevé.

IV.3 - COMPARAISON DU aUX DE NEUTRONS

La mesure du spectre de neutres rapides s'échappant du plasma n'est pas la seule qui puisse l'enseigner sur le comportement des particules injectées. Lorsque le faisceau est de Deuterium, la mesure du flux de neutrons peut, par comparaison avec le calcul Monte-Carlo ( i r i .3 .b ) , donner également une indication sur la manière, classique ou non, suivant laquelle les ions rapides dégradent leur ënergfe. En particulier, une injection de Deuterium a été faite sur un plasma de composition prédominante Hydrogêne nH

•£• = 4, dans les conditions suivantes : n D

I = 300 kA By = 40 KGs a = 20 cm

n (o) = 1.4 10 1 4 cm" 3 T g (o) = 1000 eV T^o) = 800 eV 70 % des particules sont injectées S. 36 KeV. 30 % à l'énergie moitié.

La figure 33 montre l'évolution expérimentale du flux de neutrons en fonction du temps. La puissance injectée était de l'ordre de 1.2 flW dans le tore. Avant injection, le flux de neutrons, du uniquement aux 20 % de deutons thermiques est de 6 10 n/s. Pendant l ' in ject ion, i l monte à prés de 2 10 n/s. La simulation attribue alors 1.4 10 i u n/s à l'interaction faisceau-plasma et 3 10 n/s à l'interaction faisceau-faisceau.

Ce bon accord a été confirmé lorsque la puissance extraite a été variée de S00 à 2300 KW : les mesures donne, t alors des valeurs assez semblables à la simulation (figure 34).

Le flux de neutrons varie fortement avec l'énergie d'injection i

- 80

• FLUX DE NEUTRONS <n/s>

10«

1011

10™

109

108

o o

o o

o o o o o

J 200 260 300 350

FIGURE 33 : EVOLUTION DEFLUX DE NEUTRONS INJECTION DE D° SUR UN PLASMA DE H + (20% D + )

FLUX DE NEUTRONS

n/J

1 1 1 -f- MESURES

CALCUL MONTE-CARLO

1

210 1 2

+

+

1 0 *

'- 1 1 1 t -0.5 1 1.5

FIGURE 34 : INJECTION DE D"° SUR UN PLASMA DE H+ (Einj = 36 KeV) FLUX DE NEUTRONS FONCTION DE LA PUISSANCE EXTRAITE

PUISSANCE EXTRAITE (MW)

- 82 -

1 RAYONNEMENT X-MOUS

10ms/d

2 FLUX DE NEUTRONS

3 COURANT PLASMA

20ms/d 4 DIFFUSION MICRO-ONDES

CRENEAU D'INJECTION

6

10ms/d

1

RAYONNEMENT A u , ci

1 2ms/d

7 PARTICULES LOCALISEES

FIGURE 35 : SIGNAUX RELEVES PAR DIFFERENTS DIAGNOSTICS PENDANT L'INJECTION DE NEUTRES DANS TFR 600

83 -

cause de la dépendance de la section efficace de production des neutrons.

On a donc varié l'énergie entre 28 et 40 KeV et mesuré le t.ux. De nouveau,

un bon accord a été obtenu.

Par conséquent, même pour une injection quasi-perpendiculaire, la

dégradation en énergie des ions rapides peut être calculée classiquement,

bien qu'on ait mesuré a l'aide dt boucles magnétiques un certain rayonnement

autour des fréquences cyclotronfques des ions Injectés (figure 35). Le champ

électrique associé â ce rayonnement n'a pas été mesuré ; toutefois on a pu

évaluer la puissance à 100 W ce qui est faible mais cette valeur n'est

pas représentative de ce qui se passe au coeur du plasma à cause de la

réabsorption possible des ondes électromagnétiques.

- 85 -

V - COUPLAGE

Ce bon accord entre les mesures et les résultats obtenus avec le

code Honte-Carlo nous a encouragés à t i r e r un plus grand profit du calcul.

En particulier, la connaissance des dépôts d'énergie : P„ et P»., et de la

fonction de distribution des ions rapides permet une étude de l'évolution

temporelle des températures électronique et ionique et de la densité du

plasma pendant l ' inject ion. Pour cela, i l faut connaître tous les autres

termes, autres que ceux dus aux neutres injectés, des équations régissant

l'évolution de ces quantités. Dans ce but, le code de simulation du plasma

[25] , décrit en V . l , a été couplé au code de Honte-Carlo comme expliqué en

V.2. En V.3, la simulation d'un cas expérimental typique est décrite.

V. l - DESCRIPTION DU CODE D'EVOLUTION

Le modèle quasi-cylindrique tra i te les équations d'évolution de la

densité et des températures électronique, et ionique sous l 'e f fe t des coef

ficient? de transport (conductivitês thermiques électronique et ionique,

diffusion des particules) et des sources et puits d'éne.gie (effet Joule,

transfert d'énergie entre électrons et ions par collisions, pertes thermiques

de surface, pertes radiatives). I l t rai te également l'équation de Maxwell

décrivant la diffusion du champ magnétique poloTdal et donc l'évolution du

courant électrique.

En 1'absence de chauffage additionnel, les équations 3 t ra i ter

sont les suivantes :

a - Evolution de la densité

L'équation de conservation de la matière s 'écri t :

| f + div (n V r ) = S (44)

où S est un terme source qui comprend le recyclage des particules, détail lé

- 86

plus lo in , et l'alimentation en particules provenant du faisceau de chauffage quand i l y a injection de neutres. V désigne la vitesse macroscopique radiale du plasma.:

ï = 0 i ^ (45) r n or * '

où 0, coefficient de diffusion des particules, est mal connu mais en tout état de cause ne correspond pas 3 la valeur néoclassique [261 . Aussi, pour traiter le problème spécifique du chauffage du plasma par injection, l'évolution de la densité a été asservie à 1'évolution expérimentale.

b - Evolution de la température électronique

Le bilan thermique électronique s'écrit :

n J - W-e = ivariation de l'énergie Interne + travail de compression + pertes thermiques + pertes radiatives > .

o où n J représente la puissance ohmique

" ie e s t ' e t r a n s f e l r t d'énergie entre ions et électrons par collisions coulombiennens :

3 T e " T i W ie = j n k -S 1 (46) Tequ

Où :

Ce bilan s'écrit :

,2

T 3/2 Tequ " 6 - 4 3 l ° 3 ° TT roi < 4 7 >

•T. 2(n J« - W i e) 3T 2 T e , 2 3 / „ p » M

, P , + P < 4 C > 2 rad reye

" 7 lui—*~ où P d représente les pertes radiatives qui se décomposent en :

- 87 -

* pertes par Bremsstrahlung : P h = 10" 1 3 n 2 T 1 / 2 (eV.cm'.s" 1) (49)

* pertes par rayonnement cyclotronique électronique en champ

4 . 1 0 - V B , 5 / 2 3 , inhomogëne : P, • =^-pX— (eV>cm ,s )

C (n R 0 )1 / 2

* pertes par rayonnement des impuretés.

(50)

P , les pertes dues au recyclage des particules seront détaillées plus

lo in.

x e est le coefficient de conductivité thermique électronique anormal par

rapport au coefficient néoclassique x e

K C L [261 . En ef fe t , si l'on étudie à

l 'aide de bilans soignés la dépendance radiale de x e> on trouve que l'anomalie

varie très schématiquement de la façon suivante :

x. 1

^NCL l 100

\ v /

>^ / / X / /

10

• /

r(q=1) r(q=2)

SCHÉMA N° 6

- 88 -

On a donc été amené sur TFR à diviser le plasma en trois zones

différentes [271 :

1) Une région interne entre le centre du plasma et la surface

q = 1 : le bilan y est gouverné par les disruptions internes entraînant des

changements importants de la température et/ou des déformations de la

fonction de distribution électronique.

6 1 0 1 9

Dan» cette région, on prend : x e = „ H e o

2) Une région intermédiaire située entre les surfaces q - 1 et q = 2. Le gradient de température électronique y est important. La con

duction thermique anormale domine :

15 / r \ 3 / 2 T e 3 / Z

Dans cette région, on prend : xe = 10 \v-) TT-- o' e

3) Une région périphérique : le plôsma y perd la plupart de son

énergie par des processus atomiques , principalement rayonnement des Impu

retés, et/ou recyclage des particules quand des quantités importantes de

gaz neutre sont présentes autour du plasma, ou par conduction thermique,

nécessairement anormale puisque la valeur néoclassique est trop faible

pour évacuer la chaleur. Cette région est la plus difficile i étudier puis

que le plasma y est en contact avec des surfaces solides (diaphragme, parois).

3 10 Dar cette région, on prend : x e - X* • B

e o

c - Evolution de la température ionique

Le bilan peut s'écrire :

Wj « /variation de l'énergie interne + travail de compression

+ pertes thermiques ioniques}

Soit :

8 T i , 2 "ie 9 T i v 2 T i 3 , r V . 2 a / „ r *Ti \ 3r*ÏTÔT W\ 1 — 3r <rV -3En73r \ * n x i r 7r-)

2 p 3n reyi

(51)

- 89 -

où P r c vj> pertes ioniques dues au recyclage des particules seront détaillées

plus loin.

,. est le terme de conductivité thermique ionique qui est pris sous la NCL NCL

forme : X-Î • « x* + X-tc- x, est le terme de conduction de chaleur

ionique néoclassique [26] calculé en champ magnétique homogène auquel il

faut ajouter un terme lui aussi néoclassique lié à la corrugation du champ

magnétique. Ce terme a tout d'abord été décrit par Stringer [28] ; mais

il ne tenait pas compte de la variation de la profondeur du puits en fonc

tion de e, de plus il ne considérait que des plasmas faiblement collision-

nels. Vu l'importance des pertes ioniques associées à ce terme, de nombreux

calculs, de plus en plus raffinés, ont été entrepris. Une synthèse complète

des connaissances sur ce sujet a été faite dernièrement [29] et appliquée

à divers Tokamaks (voir Annexe C).

d - Champ magnétique poloîdal

choisi

A partir des équations de Maxwell et dans le système d'unités

a / n o

\*r

Les conditions au bord sont fixées par la connaissance du courant

de décharge I .

Dans le modèle, 1e plasma est divisé en un certain nombre de

couronnes cylindriques concentriques. Les températures et densité sont sup

posées uniformes dans chaque couche et égales à la valeur au centre de la

couche. Par contre, B est calculé au bord de chaque couche, puisqu'il est

nécessaire de connaître la valeur du courant circulant dans toutes les cou

ches intérieures.

e - Evolution des neutres lents et d'échange de charge

Les hypothèses suivantes sont faites :

- 90 -

Les neutres lents de dêsorption (1 eV - 5 eV) proviennent de la

dissociation de molécules H 2 ou 0, très froides entourant le plasma. Ces

neutres pénètrent isotropiquement dans le plasma. Ils sont alors sujecs

d'une part à l'ionisation par les électrons du plasma, ce qui constitue

une source de matière, d'autre part à l'échange de charge avec les ions

chauds du plasma, ce qui crée des atomes neutres rapides et des ions froids.

Ces atomes neutres rapides, possédant la température ionique locale de leur

création, pourront aller isotropiquement dans toutes les directions s'ioni

ser de nouveau, ce qui constitue une perte d'énergie.

Pour traiter ce problème, le code utilise un modèle quasi-

cylindrique â 3 dimensions : le plasma est représenté par une série de cou

ronnes cylindriques, les surfaces cylindriques étant divisées en surfaces

élémentaires, si bien qu'une particule neutre peut aller dans l'un quelconque

des angles solides qui lui sont offerts. On calcule ainsi la répartition des

atomes lents n 0i(r) et d'échange de charge n R ( r ) , ce qui permet d'obtenir

le terme source d'ions S de l'équation 44.

En ce qui concerne le bilan thermique électronique (P_ r„.), la , rcye réaction H°, t + e -» H , t + e + e crée un électron qu'il faut porter â

la température électronique locale. Cette réaction nécessite en plus une

énergie de 13.6 eV. Un terne supplémentaire dû I la dissociation des molé

cules H 2 est calculé dans la dernière couche du plasma. Un électron est créé

par cette réaction : 11 faut donc le porter à la température électronique de

la couche, la réaction nécessitant en plus 30 eV.

En ce qui concerne le bilan thermique ionique (P r c vi)> il faut

prendre en compte des termes dus aux neutres lents : la première réaction

écrite ci-dessus crée aussi un ion lent qu'il faut porter à la température

ionique locale. Il en est de même pour la réaction : H ° 1 e n t + R* •* H° h + H +

l e n t -

La réaction de dissociation des molécules H 2 crée aussi un ion lent au bord

du plasma. Enfin il entre en jeu un terne do. aux neutres d'échange de charge :

si un neutre d'échange de charge, créé dans la couche i, s'ionise dans la

couche ,1, il la chauffera si T^(1) > T i ( j ) , la refroidira dans le cas con

traire. Un bilan est établi dans chaque couche, le bilan global étant négatif

à cause des neutres qui vont à la paroi.

- 91 -

Le code permet ainsi de calculer l'évolution des densités, températures, courant ohmique, en l'absence de tout chauffage additionnel. On note les équations traitées : (•$) . ( 3 ^ 7 > ( j F V P o u r obtenir l'évolution de ces quantités pendant une injection de neutres rapides, ce code a été couplé au code de Monte-Carlo qui permet de calculer les termes supplémentaires nécessaires.

V.2 - PRINCIPE DU COUPLAGE

Le code de Honte-Carlo permet de calculer :

le profil de dépôt d'énergie aux électrons P N e(r) le profil de dépôt d'énergie aux ions * W r ' la fonction de distribution des ions rapides fb(r,ç,E) le nombre d'irns rapides absorbés, par unité de temps, dans le plasma : f a D S ( r ) .

En cours d'injection de neutres, les équations d'évolution précédemment écrites sont alors à modifier comme suit :

H = ( 3 î ) o

+ W> < 5 4 > 3 Te _("e\ + 2 PNe^ . (2 „ 5 . - \ ,„, W ' \W)0

+ 1-WT Se U U-5 + Te) < 5 5>

Le dernier terme correspond aux électrons froids que crée le faisceau.

3 Ti _ / 3 M +2PN<<r> ,«, Les particules rapides peuvent interagir avec les neutres lents ou

d'échange de charge. Deux types de création peuvent avoir lieu : l'ionisation ou l'échange de charge. Les densités des atones neutres lents et d'échange de charge diminuent donc :

En un rayon r, les quantités : L E f b ( r , c ' E ' n

0 l ( r ) (< " v > ech + < o V ^ o n ' d a t o m e s neutres lents et E 5

- 92 -

Z E fb(r,£,E) n o R ( r ) ( < o v > e c h + < a v > 1 o n ) d'atomes neutres d'échange 3 de charge seront perdues par unité de temps et par cm .

Par contre, la densité du plasma augmente de la quantité :

I If b(r,ç,E)(n o 1(r) +n o R<r) ) < o » > 1 o n

De plus, les bilans thermiques sont modifiés de la façon suivante :

3 T e W

et

(*\\ . 2 P MeC) , f 2 1 3 6 + T X

-T- (ÇÇ fb(^'E) ("olf) + "oR< r> > < a v > i o n ) < 5 7 >

3 T i ("A + 2 >W> **" = V^/o 7 " " ^

j _ j énergie de 1 ( l ' i o n f roidi . _ ,_,

Z E f b ( r , ? , £ ) ( n o l ( r ) + n Q R ( r ) ) (58) n(r) / E «

< < o v > e c h + < o v > f o n >

Les paramétres du plasma évoluant au cours de l'injection de neutres, il n'est pas correct d'effectuer un calcul Monte-Carlo au début de l'injection et de supposer ensuite que les dépôts d'énergie et la fonction de distribution des ions rapides sont inchangés jusqu'à la fin du chauffage.

C'est pourquoi, on a procédé de la façon suivante : tout d'abord, on calcule l'évolution du plasma en chauffage ohmique avant injection, avec le code unidimensionnel décrit précédemment. Au début de l'Injection, on effectue un calcul Monte-Carlo avec les caractéristiques du plasma obtenues : "(•")• T e(r), T^(r),£ (r), B Q(r), j(r), les points calculés étant interpolés paraboliquement. Ceci permet d'obtenir les différentes quantités citées plus haut : P N e(r)>

PNi( r)» i y r ' 5 , E ) ' f

a b s ^r ' - C e s d e r n l ë r e s s o n t ^ors injectées

dans le code de simulation qui calcule l'évolution du plasma en les considérant constantes. Puis au bout d'un certain temps, de Tordre de 10 à 20 ns, un calcul fionte-Carlo est effectué avec les nouvelles caractéristiques obtenues. Les résultats sont ensuite injectés dans le code de simulation et ainsi de

- 93 -

suite. En moyenne, trois à quatre calculs Monte-Carlo sont nécessaires pour

décrire correctement l'évolution du plasma.

V.3 - SIMULATION

Un cas déjà étudié (III.5.a) a été repris. Une puissance extraite

de 1.6 MW d'Hydrogène (70 % â 30 KeV, 30 % â 15 KeV) a été injectée pendant

60 ms sur un plasma de Deuterium dont les caractéristiques avant injection

ont été données en III.5.a. L'épaisseur des faisceaux a été simulée comme

précédemment. Il a été fait trois calculs Monte-Carlo à 15 ms d'intervalle

chacun. Ensuite une saturation des températures apparaissant â la fois dans

le calcul numérique et dans les mesures, on a supposé les profils de dépôts

inchangés, bien que la densité centrale ait continué d'augmenter un peu. La

figure 36 montre les évolutions de températures obtenues ; l'évolution de

densité suit l'évolution expérimentale.

La figure 37 donne une comparaison entre le dépôt de puissance

ohmique P et les dépôts de puissance sur les électrons P N et sur les ions

P«.. Dans ces conditions d'injection, les dépôts de puissance sont aussi

étroits que le dépôt ohmique. Par conséquent, si expérimentalement le temps

de vie global de l'énergie diminue, cela est dû â des pertes de chaleur ou

de particules accrues. Les figures suivantes représentent les bilans ionique

(figure 38) et électronique (figure 39). Effectivement, en ce qui concerne

le bilan ionique, la conduction thermique joue un rôle prépondérant au coeur

du plasma tandis que les phénomènes atomiques contrôlent le bord. Quant au

bilan électronique, il est dominé par la conduction de chaleur.

Les profils de températures mesurés â la saturation peuvent être

comparés à ceux obtenus par le calcul : sur la figure 40, la température

ionique calculée est comparée 3 celle obtenue par mesure par échange de

charge ; sur la figure 41, la température électronique calculée est comparée

â celle obtenue par mesure par diffusion Thomson. En particulier au centre de

la décharge, l'accord est très bon. Cela montre que pour le plasma traité,

les pertes électroniques semblent augmenter avec la température électronique,

tout au moins dans la zone du gradient.

T eV

1250 +

1000

760 +

+ 20 ms + 40ms + 60ms FIGURE 36 : EVOLUTION DES TEMPERATURES CENTRALES

SIMULATION TFR 600 AVEC LES CODES COUPLES

- 96

P KW

" ' i

250 "

" ^ ^ / ^ V s * * "

^X N \ X N .

P X ^ \

/ ^convection N \ X N .

P X ^ \ \ V N p \ réchange de charge

250 •

1

patomic

i 10 20

FIGURE 38 : BILAN IONIQUE SIMULATION DE TFR 600 AVEC LES CODES COUPLES

- 97 -

500 • •

P KW

250 -

- 2 S 0 • •

atomic

-500 • -

10 20

FIGURE 39 : BILAN ELECTRONIQUE SIMULATION DE TFR 600 AVEC LES CODES COUPLES

98 -

FIGURE 40 : TEMPERATURE IONIQUE INJECTION DE H" SUR UN PLASMA DE 0 +

(1.6 MW EXTRAITS)

99 -

eV

1250 -

AVANT SIMULATION 1

ION O DIFFUSION THOMSON

PENDANT ION

SIMULATION 2 COOES COUPLES

OIFFUSION THOMSON

1000

750 -

500 • -

250 - -

FIGURE 41 : TEMPERATUREELECTRONIQUE INJECTION DE H° SUR UN PLASMA DE D +

(1.6 MW EXTRAITS)

- 100 -

V.4 - DIFFICULTES DE COUPLAGE

Certaines d i f f i c u l t é s ont dû être surmontées avant de parvenir

â ce bon accord avec l 'expérience.

D'une par t , des d i f f i c u l t é s l iées â l ' informat ique elle-même :

Les deux codes, ttonte-Csrlo et d 'évo lu t ion, ne se trouvaient pas sur

le même calculateur : l e premier é t a i t sur un ordinateur de type CDC 7600,

alors que le second se t rouva i t sur un IBM 3033. De plus, ces deux machines

n'admettent pas l e même langage Fortran. Le CDC 7600 étant plus sc ient i f ique

e t plus rapide, l e code d'évolut ion a été transféré sur c e l u i - c i . Son é c r i

ture a donc été modifiée. Une fo is ce t r ava i l accompli, i l a f a l l u alors

rendre les deux codes compatibles entre eux a f in de pouvoir les coupler.

D'autre par t , des d i f f i c u l t é s d'ordre plus physique :

En pa r t i cu l i e r , les valeurs de P N e ( r ) et P N . ( r ) obtenues par le premier

calcul Monte-Carlo correspondent aux dépôts à pleine i n j ec t i on , sans ten i r

compte du temps de dégradation : l ' i n j e c t i o n n'est pas un chauffage instan-

tannê, 11 faut attendre un temps T de l ' o rd re de quelques ms, pour que les

part icules injectées au début du puise soient thermalfsëes ; c 'est seulement

alors que le dépôt de puissance a a t t e i n t sa pleine valeur.

Pour remédier â ce la , on a supposé que pendant l e temps de dégradation

T , les dépôts pouvaient s 'écr i re : P N ( r ) — . Une vé r i f i ca t ion expérimentale r

de cette approximation a été f a i t e : en e f f ^ t , on peut obtenir le taux de

croissance de l 'énergie contenue dans les électrons au début de l ' i n j e c t i o n ,

â l ' a ide de la méthode de mesure de la température électronique par rayon

nement X-Mou- i30 ] . De te l l es mesures ont été fa i tes sur le mène type de

chocs que celui simulé mais â plus fa ib le puissance ex t ra i te : 1.2 MU au

l ieu de 1.6 Mil. Le début de la simulation a donc été r e f a i t : la comparaison

avec le taux de croissance mesuré s 'est révélée très sat isfaisante ( f igure

42) dans le cadre de l'approximation c i tée .

Par contre, la méthode des pentes ne permet pas d'obtenir le dépôt brut

de puissance te l que calculé par le code ftonte-Carlo. Celui-c i a été reporté

- 101

Warn3

— CODES COUPLES

•+• + X-MOUS PAR LA METHODE DES PENTES

CODE 1-D SEUL

0,75 --

0,50 " -

0,25 •-

0 '

PIQURE 42 : EVOLUTION DE LA TEMPERATURE ELECTRONIQUE AU DEBUT DE L'INJECTION. INJI-CTION DE H" SUR UN PLASMA DE D +

(1.Î. JWEXTRAITS)

- 10Z - t

p Ne W/cm3

— CODES COUPLES

2 - - + + + X-MOUS PAfi LA METHODE DES PENTES

1.6" -

1 • -

•- + +

0.5

FIGURE 43 : DEPOT OE PUISSANCE AUX ELECTRONS. INJECTION DE H° SUR UN PLASMA DE D + (1.2 MW EXTRAITS)

- 103 -

sur la courbe mesurée ( f igure 43}. On constate un facteur 2.5 entre les deux

courbes : en f a i t , l ' i n j e c t i o n n'étant pas un chauffage instantanné, on do i t AT t

s'attendre à trouver -nr a PN e - p , ce qui est bien vérifié avec i t = 3 a 4 ms

et T = 8 ms. En outre, pendant le temps de dégradation, IE Ï termes regroupés

sous la notation l - j ^ f l qui déterminent également l'évolution des tempéra

tures ne peuvent être considérés comme constants.

V.5 - INTERET DU COUPLAGE

Avant ce t ravai l , pour simuler, avec le code décrit en V . l , l'évolution des différents paramétres du plasma pendant l ' injection de neutres, on u t i l i sa i t une description multi-groupe des ions rapides : c'est-à-dire qu'une particule née sur une surface magnétique est supposée y rester pendant sa dégradation en énergie. Moyennant cette hypothèse, les profils de dépots d'énergie et la fonction de distribution des ions rapides sont calculés de façon beaucoup moins onéreuse que par le code de Monte-Carlo. Cependant, du fa i t de la géométrie du modèle, i l n'est possible de simuler qu'une injection soit totalement parallèle, soit totalement perpendiculaire : on ne peut donc tenir compte ni de l'angle réel du faisceau, ni de son épaisseur. D'autre part, les particules sont supposées être toutes circulantes : tous les effets de trajectoires décrits en I I , sont négligés ; or les pertes dans les miroirs locaux peuvent atteindre 10 à 15 % de la puissance capturée dans le cas considéré.

Le cas expérimental précédent (1.6 fil! extraits) a été simulé en util isant cette description multi-groupe des rapides, fiais pour tenir tout de même compte des pertes dans les miroirs locaux, on a supposé une puissance injectée plus faible. Le tableau TV donne la répartition de la puissance apportée par les neutres suivant qu'on uti l ise l'une ou l'autre description.

- 104 -

Code Monte-Carlo Description nulti-groupe

Puissance capturée 760 KW 630 KU

Puissance transmise 360 KW 370 KU aux électrons

Puissance transmise 190 KU 200 KU aux ions

Puissance perdue

par échange de 80 KM 60 KU

charge

Puissance perdue

par mauvais 80 KU C

confinement

Puissance therma- 50 KU 50 KW lisêe

Tableau TV

Les valeurs intégrées de P N et PNl- sont sensiblement les mêmes

quelle que soit la simulation utilisée. Hais leurs profils différent et

donnent alors des variations de températures dissemblables (Tableau V).

Calcul Mesure

1-D + Honte-Carlo 1-D + description

multi-groupe

échange de

charge

iT.(o)

4^(12.5 cm)

380 eV

110 eV

310 eV

130 eV

380 eV

50 eV

âT a(o)

iT g(13 cm)

1-0 + Monte-Carlo 1-D + description

multi-groupe

Diffusion

Thomson

âT a(o)

iT g(13 cm)

370 eV

100 eV

280 eV

110 eV

400 eV

90 eV

Tableau V

- 105 -

Le code de Monte-Carlo donne des variations de températures beaucoup plus proches des valeurs mesurées, surtout au centre. De fa i t , en injection quasi-perpendiculaire, de nombreuses particules décrivent des trajectoires "bananes" et explorent donc une grande zone de plasma. Aussi i l est particulièrement important de prendre en compte réellement les trajectoires des ions. En supposant la puissance extraite égale à 1.2 MW, on a refait une simulation avec la description multi-groupe. On peut constater sur la figure 42 que le profil de rupture de pente de T est nettement différent du profil expérimental. Par contre, avec le calcul Îlonte-Carlo, moyennant l'approximation faite (IV.4), l'accord était satisfaisant. Toutefois, la différence entre les évolutions de températures, suivant qu'on prenne en conpte ou non les trajectoires, n'est pas encore très importante bien que significative aux niveaux de puissance actuels. I l faut s'attendre S la voir amplifiée avec des puissances injectées plus élevées ou dans des Tokamaks plus puissants.

107 -

VI - EXTRAPOLATION A TORE SUPRA

Il est apparu souhaitable d'étudier une machine de plus grande

taille que le TFR 600. C'est le Tokamak Tore Supra ([31] et figure 44)

actuellement en projet au DRFC qui a été choisi pour cette étude.

Ses principales caractéristiques sont les suivantes :

I = 2 MA B T = 45 KGs a = 75 cm R Q = 225 cm

nombre de bobines = 18

Afin de diminuer au maximum les pertes dues a la modulation du

champ, le plasma est poussé vers l'intérieur de la chambre : le grande rayon

des bobines est de 244 cm alors que celui du plasma est de 225 cm ; la

figure 45 qui représente les surfaces "équi-modulation"

I T T " ftTnBX x a 1""- = constante ) indique un 4£ maximum de 3 %, alors que \ B BTmax + ^min / B

si le plasma est centré comme les bobines, 11 peut atteindre au bord 5 â

6 %. A titre de comparaison, dans le cas de TFR 600, la modulation du champ toroidal est au maximum de 3.5 % au bord du plasma. La figure précédente ne

tient pas compte du courant plasma qui modifie la corrugation du champ total.

Si cet effet est inclus, on peut séparer le plasma en deux zones I et II

(figure 46) (voir IV.2,2.a). La zone H où la modulation du champ ne crée pas

de miroirs locaux, couvre une grande partie de la surface du plasma. Ce ré

sultat a été obtenu après trois itérations de la machine [;'] : le rayon et

la taille des bobines ont été modifiés pour diminuer le plus possible les

pertes de chaleur et de particules tout en gardant une machine possédant de

grandes ouvertures.

Dans Tore Supra, l'injection a été choisie quasi-tangentielle. Dans

ce cas, on peut espérer minimiser les pertes dans les miroirs locaux et aussi

Induire soit un courant dans le plasma [33] , soit une rotation [34] pour

lutter contre l'afflux d'impuretés venant de l'extérieur.

Dans un premier temps (VI.1), on a essayé d'obtenir les profils de

dépôts d'énergie, au début de l'injection, et le flux de neutrons émis à

pleine puissance. Ce dernier a une grande incidence sur l'ëpairseur de la

- 108 -

INJECTION DE

NEUTRES

BOBINES TOROIDALES

PAROI INTERNE DE LA CHAMBRE A VIDE

AXE DES BOBINES AXE OU PLASMA

FIGURE 44 : TORE SUPRA

155 165 175 185 195 205 215 225

FIGURE 45 : TORE SUPRA - COURBES aEQUl-MODULATION»

235 6B_

B

245 255

Bmax - Bmin Bmax + Bmin

265

Cste

275 285 R

295 cm

i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r

135 165 175 185 195 205 215 225 235 245 255 265 275 285 295 R

FIGURE 46: DELIMITATION DES ZONES DE PLASMA : ZONE I : EXISTENCE DE MIROIRS LOCAUX ZONE H : PAS DE MIROIRS LOCAUX

TORE SUPRA AVEC B T = 45 KGs l_ = 2 MA a = 75 cm

- Ill -

protection externe pour le personnel et l'environnement. Puis en VI.2, cette

étude a été étendue en calculant, â l'aide des codes couplés (voir V), l'évo

lution d'un plasma dans lequel des neutres rapides sont injectés.

VI.1 - ETUDE OES DEPOTS D'ENERGIE ET DU ELUX DE NEUTRONS

En chauffage ohmiqua, une simulation avec le code d'évolution uni-

dimensionnel décrit plus haut a donné un état stationnaire type â densité

élevée :

B T = 45 KGs r = 2 MA a = 75 cm n e = 7.5 1 01 3 cm" 3

TJo) = T.(o) = 1600 eV r - = 1 n„(o) = 7.10 5 cm" 3

n 0(a) = 6.10° cm"*

Les profils de densités et températures sont donnés en Annexe D.

Un faisceau de 10 MW de Deuterium a été injecte sur ce plasma lui-

même de Deuterium. L'énergie d'injection a été prise égale à 100 KeV. Toute

contribution éventuelle du faisceau â l'énergie d'injection moitié comme à

l'énergie tiers a été nëglîgëe. La figure 47 donne les profils de dépôts

d'énergie aux ions (PNl-) et aux électrons(PN ) obtenus avec un échantillon

nage de cent trajectoires înitialfsées le long de la ligne d'injection.

L'angle d'injection était de 45° par rapport à l'axe magnétique.

Le calcul permet également d'effectuer un bilan intégré en volume

de la répartition de la puissance apportée par les neutres (Tableau VI) :

Puissance capturée 10 ilW

Puissance cédée aux électrons 7.561 HU

Puissance cédée aux Ions 1.518 riH

Puissance perdue par échange de charge 74 KW

Puissance perdue par mauvais confinement 815 KU

Puissance thermalisêe | 32 KU 1

Tableau n° VI

- 112 -

1 0 1 9 - .

DEPOT DE OUISSANCE AUX IONS P N j

DEPOT DE PUISSANCE AUX ELECTRONS P N a

10

FIGURE 47 : TORE SUPRA - INJECTION DE 10 MW DE 5° A 100 KeV SUR UN PLASMA DE D + - DEPOTS DE PUISSANCE

- 113 -

La puissance est transmise préférentiellement aux électrons. De

f a i t , l 'énergie c r i t ique au centre de la décharge est égale â 30 KeV, ce qui

est nettement in fér ieur i l 'énergie d ' i n j ec t i on . Comme i l avai t été prévu,

les pertes par mauvais confinement (pertes dans les miroirs lccaux) sont

faibles : inférieures à 10 % de la puissance in jectée. L'angle d ' in jec t ion

a d 'a i l l eu rs été varié dans de larges l imi tes : 40 à 50° par rapport £ l 'axe

magnétique sans pour autant modif ier notablement l e b i lan .

Les f lux de neutrons émis à pleine puissance ont été calculés :

Le f lux dû â l ' i n te rac t ion plasma-plasma (<f>uù) est de

Le f lux dû â l ' i n te rac t ion faisceau-plasma (**_) est de

Le f lux dû à l ' i n te rac t ion faisceau-faisceau ( f f f ) est de

Hais cette évaluation minimise les f lux de neutrons qui pourront

être obtenus pendant l ' i n j e c t i o n . En e f f e t , on sa i t que le temps de dégrada

t ion de l 'énergie varie comme T ' : par conséquent, quand la température

électronique va augmenter, les f lux de neutrons émis augmenteront aussi puis

que les part icules injectées conservent alors plus longtemps une énergie im

portante. De plus, étant donné que la température Tonique va e l l e aussi

c ro î t r e , le f lux dû à l ' i n te rac t i on plasma-plasma augmentera. Ceci indique

la nécessité d'un calcul avec les codes couplés.

VI.2 - COUPLAGE

L'évolut ion du plasma, pendant l ' i n j e c t i o n de neutres, a alors été

simulée à l 'a ide des codes couplés décri ts précédemment.

En VI .2 .a , l ' i n j e c t i o n est décr i te à l ' a ide du code de Monte-Carlo.

En VI .2 .b , on a u t i l i s é une description multigroupe des ions rapides.

Enf in , une comparaison entre les deux types de résultats est f a i t e en

VI .2 .c .

a - Simulation avec le code de Itonte-Carlo

Les caractér ist iques, à l ' é t a t s tat ionnai re, du plasma étudié sort

celles données en V I . 1 . On a supposé une in jec t ion de 10 MU de D° â 130 KeV

7.35 10" n/s 9.95 10 1 4 n/s 3.83 10 1 3 n/s

T(KeV)

+ 500 ms

FIGURE 48 : TORE SUPRA - INJECTION DE 10 MW D° A 100 KeV - EVOLUTION DES TEMPERATURES ET ">E LA DENSITY CENTRALES - CODE 1-D COUPLE AU CODE MONTE-CARLO

1.2510 14

10 1 4 ~

- 0.7510 M

- 115 - t

FIGURE 49 : TORE SUPRA • BILAN IONIQUE APRES 400 ms D'INJECTION-INJECTION 10 MW D° A 100 KaV - CODE 1-D COUPLE AU CODE MONTE-CARLO

6 P

MW

- 116 -

FIGURE 50 : TORE SUPRA • BILAN ELECTRONIQUE APRES 400 ms D'INJECTION INJECTION 10 MW 15° A 100 KeV - CODE 1-D COUPLE AU CODE MONTE-CARLO

- 117 -

pendant 600 ms. L'évolution des températures et densité centrales est donnée

en figure 48 : la température ionique sature à 6.5 KeV, tandis que la tempé

rature électronique ne dépasse pas 3.3 KeV. Cette saturation de T. est due

S l'augmentation de la densité du plasma. Cinq calculs Honte-Carlo ont été

faits aux temps suivants :

*o i n j ' *o in j + 4 0 ras- % în j + 8 0 m s ' *o înj + 2 0 ° ras* l o in j + 4 0 0 m s -

L'intervalle de temps séparant deux calculs Monte-Carlo est plus faible au

début de l ' injection puisque c'est alors que l 'é ta t du plasma varie le plus ;

on peut donc considérer moins longtemps que les dépôts restent constants.

A la saturation des températures, les bilans de puissance fonctions

du rayon sont tracés sur les figures 49 (bilan ionique) et 50 (bilan électro

nique). C'est le couplage électron-ion (P g l-) qui domine le bilan ionique. Par

contre en ce qui concerne le bilan électronique, le terme de conduction dicte

l'évolution de T : l'importance du choix des coefficients de conductivité

rst une fois de plus mise en évidence. Dans une machine te l le que Tore Supra,

avec un chauffage apportant une puissance de l'ordre de 10 MU, on doit donc

pouvoir étudier correctement le comportement anormal des électrons et part i

culièrement la dépendance de x e avec la température électronique.

b - Simulation avec la description multi-groupe

Le même calcul a été fa i t en ut i l isant , pour obtenir les dépôts de

puissance, la description multi-groupe des particules rapides citée plus haut.

On a supposé la même puissance capturée que dans le cas précédent. L'évolution

obtenue pour les températures et densité centrales est donnée en figure 51. I l

apparaît une trës nette différence par rapport à la simulation précédente : la

température ionique ne dépasse par 3 KeV alors qu'elle saturait â 6.5 KeV.

L'écart est moins important pour la température électronique qui atteint

2.9 KeV au lieu de 3.3 KeV. L'évolution de la densité centrale est pratiquement

semblable. Ces différences s'expliquent très aisément par la comparaison des

profils de dépôts d'énergie.

• 0.75101 4

FIGURE 51 : TORE SUPRA : INJECTION DE 10 MW 0° A 100 KeV SUR UN PLASMA DE D + - EVOLUTION DES TEMPERATURES ET DE LA DENSITE CENTRALES-CODE 1-D+ DESCRIPTION MULTIGROUPE

- 119 -

c - Comparaison

Effectivement, le code de Honte-Carlo calcule un profi l de dépôt d'énergie cédée aux ions beaucoup plus étroit que celui que donne la description multi-groupe (figure 5Z). Par contre, la différence est moins nette en ce qui concerne le profi l de dépôt d'énergie cédée aux électrons (figure 53). Ces écarts se retrouvent sur les profils de température : T { (figure 54) et T (figure 55) ont été tracées à la saturation soit 400 ms après le début de Tinjection. Au même instant, le profi l de densité (figure 56) apparaît moins plat lorsque le ralentissement des ions rapides est décrit par le code de Honte-Carlo : du fa i t des pertes au bord, le nombre d'ions rapides ayant complètement dégradé leur énergie et absorbés par le plasma diminue par rapport â la description multi-groupe.

Dans la seconde simulation, les pertes par mauvais confinement ont été négligées puisque la puissance capturée a été prise égale 3 10 flW. Or ces dernières évoluent avec la température électronique : en effet, le temps

3/2 de dégradation de l'énergie varie comme T ' ; à température électronique plus élevée, les particules dégradent donc moins vite leur énergie ; elles sont alors plus susceptibles d'être perdues par mauvais confinement ou par échange de charge. En fa i t , à la saturation où T (o) = 3.3 KeV, une estimation grossière permet de dire que les pertes seront multipliées par un

/ 3 3 \ 3 / 2

facteur 1 ^ 1 = 3. Les pertes par mauvais confinement devraient donc atteindre 2.6 MU, si on se réfère au calcul de début d'injection (VI.1.1). Or le calcul Monte-Carlo estime alors, à 400 ms après l ' injection les pertes par mauvais confinement S 2.4 tu. Si au début de l'injection,on peut négliger les pertes par mauvais confinement, ce n'est plus vrai lorsque la température électronique augmente. La deuxième simulation aurait donc dO être faite en supposant une puissance capturée diminuant avec l'augmentation de T . Les écarts par rapports à la simulation avec le code de Honte-Carlo auraient été encore accrus.

Oans ces différentes simulations, i l n'a pas été tenu compte de l'augmentation des impuretés due à l ' inject ion. En fa i t , on peut calculer le flux d'impuretés lourdes provenant de la pulvérisation due aux ions rapides non confinés. Le calcul Monte-Carlo donne la fonction de distribution des ions perdus par mauvais confinement et qui vont frapper la paroi : f.'Z). L'accrois-

120 -

T 1 r 1 1 1 r - DESCRIPTION MULTIGROUPE

- CODE DE MONTE-CARLO ioia.

PNi

eV/cm3

10 18-

1 0 " - -

FIGURE 52 : TORE SUPRA - INJECTION DE 10 MW DE D° A 100 KeV DEPOT DE PUISSANCE AUX IONS APRES 400 ms D'INJECTION

- 121 -

1 1 1 1 -

- DESCRIPTION MULTIGROUPE

- CODE DE MONTE-CARLO

« J 1 » .

r Ne

eV/cm3

10 18..

10 17.-

7.5 15 22.5 30 37.5 45 52.6 60 67.5

FIGURE 53 : TORE SUPRA - INJECTION DE 10 MW DE D° A 100 KeV DEPOT DE PUISSANCE AUX ELECTRONS APRES 400 ms D'INJECTION

122

KeV

6 "

.DESCRIPTION MULTIGROUPE

.CODE DE MONTE-CARLO

4 - s - - ^

2 - -

7.5 15 22.5 30 37.5 45 52.5 60 67.5 r ,

FIGURE 54 : TORE SUPRA - INJECTION 10 MW B° A 100 KeV TEMPERATURE IONIQUE APRES 400 ms D'INJECTION

- 123 -

V

1 1 1 1 _1 ( ! ! ! DESCRIPTION MULTIGROUPE

CODE DE MONTE-CARLO

3 • -

2 •

\ v. \ ^ \ V \ v. \ N-\ ^ \ N \ N \ \ \ \ \ \ \ \

1 "

1 1 1 1

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\

_l 1 1 1 1 75 15 22.5 30 375 45 52.5 60 67.5 r ,

FIGURE 55 : TORE SUPRA - INJECTION 10 MW D° A 100 KeV TEMPERATURE ELECTRONIQUE APRES 400 ms D'INJECTION

124

n 1 1 r 1 i i i • i

lO^cm" 3

1 DESCRIPTION MULTI-QROUPE

nonp np M O N T P ^ A R I n

N \ \ \

N \

^ "̂ *̂ 0.75 -

- — . ^ N

^ ^ • ^ ^

\ \ \ \ X N \ \

\ \ 0.50 ' \ \ \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \ \

0.25 "

1 1 I— 1 1 1 1 1 1 1 7.5 15 22.5 30 37.5 45 52.5 60 67.S r ,

FIGURE £6 : TORE SUPRA-INJECTION 10 MW 5° A 100 KeV DENSITE APRES 400 ms D'INJECTION

- 12S -

sèment de densité d'impureté lourdes est alors :

i n Z = TZ f TZ<E> VZ)dE

où T , est le temps de confinement de l'impureté lourde considérée et Y Z

son taux de pulvérisation [35] . L'augmentation de puissance rayonnée est

approximativement :

Pray = °Z 1 0 " 2 6 n e A n Z ^ R o ** W

où a, dépend de l'impureté lourde considérée. A la saturation des tempéra

tures, on obtient ainsi dans le cas du Fer (o p = 1) :

e

i n F = 1.42 1 0 1 0 cm"3

et P p a y . 2 0 3 KU

en supposant un temps de confinement moyen du Fer de 300 ms. Cette augmen

tation de puissance va modifier l 'équilibre et entraîner une diminution des

températures maximales obtenues. Mais i l n'en a pas été tenu compte dans les

simulations.

Dans le cas considéré, le plasma comme le faisceau sont de Deuterium.

Les flux de neutrons émis ont donc été calculés. Avec le code de Monte-Carlo,

on peut obtenir les trois types de contribution : interaction plasma-plasma,

interaction faisceau-plasma, et interaction faisceau-faisceau. Avec la des

cription mu!ti-groupe, la distribution angulaire des ions rapides n'est pas

connue : l ' interaction faisceau-faisceau ne peut pas être calculée correcte

ment. On a reporté les résultats obtenus par les deux simulations sur les

figures 57 (interaction plasma-plasma), 58 (interaction faisceau-plasma),

59 (interaction faisceau-faisceau) sur laquelle i l n'est tracé qu'une courbe

correspondant au calcul Monte-Carlo.

Le tableau VII compare les valeurs maxima obtenues :

- 126 -

Code de Monte-Carlo Description Multi-groupe

*pp 1.03 10 1 5 n/s 6.6 10 1 4 n/s

*fp 3.1 1 0 1 5 n/s 4 10 1 5 n/s

V 6.7 1 0 1 4 n/s

Tableau VII

La température ionique est beaucoup plus élevée si on simule l ' injection de neutres avec le calcul Monte-Carlo : le flux de neutrons dQ 3 l'interaction plasma-plasma est donc plus fort. Par contre, â cause des effets de trajectoires, le code de (tonte-Carlo donne à l'interaction faisceau-plasma une valeur plus faible que celle obtenue par la description multi-groupe.

r»14J-

n14J-

+ -±-i-±-

DESCRIPTION MULTIGROUPE

CODE DE MONTE-CARLO H-

4.10 1 4 - -

3.10 1 4 - -

2.1014 - -

i m14 . .

4-

+. 1

+ 300 ms -f-

l oinj + 100 ms + 200ms + 400 ms + 500ms

FIGURE 57 : TORE SUPRA-INJECTION 10 MW 5° A 100 KeV-FLUX DE NEUTRONS DU A L'INTERACTION PLASMA-PLASMA

5io 1 5 r

"f P

n/s

4 1 0 1 5 • •

210 15 . .

1 • — 1

DESCRIPTION MULTI-GROUPE

I 1 1

++ CODE DE MONTE-CARLO

. / +

+

+ +

_.

/ +

1 1 1 1 1— tojnj 00 ms + 200 ms +300 ens + 400 ms + 500 ms

FIGURE 58 : TORE SUPRA - INJECTION 10 MW D° A 100 KeV - FLUX DE NEUTRONS DU A L'INTERACTION FAISCEAU-PLASMA

* f f n/s

510''» ••

410'^ --

210™ •-

+ 10Oms + 200 ms + 300 ms + 400 ms + 500 ms

FIGURE 59 : TORE SUPRA-INJECTION 10 MW 6° A 100 KeV-FLUX DE NEUTRONS DU A L'INTERACTION FAISCEAU-FAISCEAU

- 131 - (•

VII - CONCLUSION

Le code de Honte-Carlo qui a été développé permet l'étude du

chauffage d'un plasma confiné dans une configuration du type Tokamak par

Injection de neutres rapides. En effet, il calcule :

- les dépôts de puissance aux ions et aux électrons du plasma,

- la fonction de distribution des ions rapides,

en supposant que la dégradation en énergie est classique. Cette hypothèse

importante nécessite des vérifications expérimentales.

La mesure des flux de neutres rapides émis par le plasma pendant

l'injection de neutres a été particulièrement étudiée. Des comparaisons

avec le calcul Monte-Carlo se sont révélées satisfaisantes. De même, l'in

tensité des flux de neutrons émis est en accord avec le calcul. Ces mesures

ont donc validé l'hypothèse faîte jusqu'à la puissance considérée, soit

800 KW au maximum, pour le Tokamak TFR 600.

Ces résultats nous ont encouragés à tirer un plus grand profit

du calcul en étudiant l'évolution des caractéristiques du plasma sous l'effet

des dépôts de puissance calculés par le code de Monte-Carlo. Pour cela, ce

dernier a été couplé 4 un code de simulation uni-dimensionnel qui traite les

équations du chauffage ohmique. L'évolution du plasma calculée par ces codes

couplés a été comparée à un cas expérimental. Le bon accord obtenu a encore

confirmé l'hypothèse de dégradation classique de l'énergie. Le même cas a

été simulé en supposant que toutes les particules injectées ont une trajec

toire circulante (description multi-groupe des ions rapides). L'importance

des effets de trajectoire a ainsi été mise en lumière : ce second calcul qui

ne les prend pas en compte donne une évolution du plasma beaucoup plus éloi

gnée de l'évolution expérimentale que celle obtenue par le premier calcul.

La différence entre les deux types de simulation : code de Monte-

Carlo et description multi-groupe est amplifiée lorsqu'on s'intéresse à des

machines de plus grande taille : en particulier, une application au Tokamak

TORE SUPRA, actuellement en projet, a permis de le constater. Pourtant, l'in

jection y est quasi-tangentielle et les pertes dans les miroirs locaux sont

- 132 -

plus faibles qu'en injection perpendiculaire. Toutefois, le problême de l'ex

trapolation des coefficients de conduction de la chaleur se pose : si, par la

suite, cette extrapolation se révêle inexacte, les résultats prévus pour Tore

Supra pourront être modifiés.

Ainsi, compte-tenu de la restriction suivante :

La vérification expérimentale du code de Honte-Carlo n'a été faite

que jusqu'à une puissance de neutres capturés dans le plasma de 800 KM.

Ce code permet d'avoir un accès aux bilans de puissance en cours

d'injection des neutres rapides, en tenant compte des effets de trajectoires

que ce soit pour les machines actuelles ou pour celles de la génération sui

vante.

- 133 -

REFERENCES

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Le Tokamak TFR 600

Rapport EUR-CEA-FC n° 916 (1977).

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- 137 -

A N N E X E A

METHODES D'INTEGRATION NUMERIQUE UTILISEES

I - METHODE DE RUNGE-KUTTA D'ORDRE 4

Pour plus de c lar té , considérons tout d'abord l ' intégration d'une équation dif fêrentfel le

a - Intégration numérique d'une équation di f férent ie l le par la méthode de Runge-Kutta

Le principe de la méthode est le suivant [11 :

Soit : x" = f(t,x)

x(t„) = xQ

On cherche à déterminer : x(t Q + h) = x, au point t, = t + h, à

partir de (t Q,x) sous la forme :

x» = x,. + R» Ki + R^ ko + R<5 ko •*• R* k*

avec kj = h f(t Q,x 0)

kj = h f(t Q + ah,x + o kj) k3 = n f ( t o + b h ' x o + 6 kj + f k2) k, = h f(t + ch.x t f k, u kj t n L )

On désire en outre que le développement de x, autour de t coïncide

avec le développement de Taylor, qui est :

x(t0+h) = x Q + h (*)c*(é). Les constantes (a .... o ..., R ...) doù.. . donc être cho'isies de

telle manière que le développement de x, coïncide jusqu'aux termes en h avec

le développement de Taylor déduit de l'équation différentielle.

- 138 -

On obtient alors un système de 8 équations à 10 inconnues ; i l existe donc un grand nombre de possibilités.

Si on prend a = b = -n-. on a :

h • h f<V xo> k. k2 = h f(t 0 + £. x0 + j.)

K3 - h f ( t 0 + \, x 0 + -%•)

ki = h f ( * n

+ •»» *« + M

et x(t Q + h) - xQ = \ (kj + 2k2 + 2k3 + k4)

5 L'erreur de troncature sur un pas est de la forme K h . L'erreur

s globale portant sur la valeur x f l est Kn h .

b - Intégration numérique d'un système d'équations différentielles par la méthode de Runge-Kutta

Dans le cas qui nous intéresse ( I I I . 1 ) , i l faut intégrer un système de 5 équations à 5 inconnues :

g - f 1{t,xor.z.v /.E)

gf • f 2(t,x,y.z,v / ,E)

3§ » f 3(t,x.y,z,v / ,E)

dv* -gç- = f 4(t,x,y,z,ty,E)

3§ • f5(t,x,y,z,v^,E)

La méthode est alors semblable à celle décrite dans le cas d'une équation

139 -

Et on peut adopter la solution suivante

x l - x o = £ (kj +.2k2 + 2k3 + k4)

y x " * 0 = Ç ( l j + 2 1 2 + 2 1 3 + 1 4 )

Z j ' z o = ç (m^ + 21112 + 2m3 + m4)

v / i - ^ o = £ (nj + 2n 2 + 2n 3 + n 4)

Ej " E o - | (Pi + 2 P 2

+ 2 P 3

+ p 4>

où

kj = h f ^ , x 0 , y 0 , z Q , v^ 0, E 0).

Pi " h f 5 ( t o' V V V v /o' Eo> h ^1 ' l m l " l P l

k2 = h f j(t 0 + 5, xQ + - ^ y0 + T , zQ + x , V / Q • • j - . E . t y ) .

h k. 1, m, n, p, P 2 •

h ̂ o + 7- *o + T' *o + T- zo + T' % + T' Eo + T ) h k? V m2 n2 p2

k3 = h f l ( t o + 7- xo + T- yo + T- zo + T» v*o + T' Eo + T>-p2* p 3 = h f 5 ( t Q f J , x 0 + - ^ , y 0 + -2-, z 0 + - r > v # 0 * f, EQ + -J-)

k 4 • h f j ( t Q + h, zQ + k 3 , y 0 + 1 3 , z 0 + m3, ty0 + n 3 , EQ + p 3 ) .

P4 = h f 5 ( t Q + h, x 0 + k 3 , y Q + 1 3 , zQ + m3, M„Q + n 3 , E0 + p 3 ) .

II - HETHODE D1ADAMS

La méthode précédente présente le désavantage de ne pas utiliser toute l'information fournie par les points déjà calculés ; il semble intéressant d'utiliser cette information lorsqu'elle existe.

- 140 -

a - Intégration numérique d'une équation différentiel le par la méthode

d'Adams

Soit le système x' = f(t,x)

Supposons que Ton connaisse les points x 1, x 2, ... x n calculés

pour une succession de valeurs équidistantes de t ; on peut alors écrire :

/

'n+1 f ( t , x ) dt ,

"n-k

et calculer l ' Intégrale en remplaçant la fonction f par un polyndme défini

sur les points d'abcisse t n . p , t n , p + 1 > . . . , t f l . q .

Dans le cas présent, on a pr is k = 0, p = 0, q « 4 et on a u t i l i s é

le polynôme d'interpolation de Newton par différences ascendantes ; celui-ci

s'écrit [ 1 ] :

u(u-l) 2 u(u-l)(u-2) -p,(x> = x„ - u â x ^ ! • — — A x n . 2 — A x n . 3

u(u-l)(u-2)(u-3) , + â Va

4 ! où u = n - •£, h étant le pas d'intégration.

et où A est l'opérateur différence défini par : Ay. = y. , - y.

L'intégrale devient alors : h j (^(u) du

et par conséquent :

V l " xn + h [ x n + 7 4 x n - l + TZ à\-Z + ï 4 Vs + Hff 4 \ - 4

Le reste de la formule d ' in terpolat ion de Newton par differences

ascendantes s'écrit :

c f ( 5 ) (ç } R = h & Si- U (U+l) . . . (u+4) ,

* 5 !

où E dépend de u et est compris entre 0 et - 4.

- 141 -

En intégrant R., on peut montrer S 1'aide du théorème de la

moyenne, que l'erreur de troncature est :

h6 1° e = _ f ( 5 ) ( n ) / u{u+l)...(u+4) du

51 J_,

où 0 < - n < 4

Soit 160

h 6 f < 5 > ( n ) .

b - Intégration numérique d'un système d'équations différentielles par

la méthode d'Adams

Dans le cas qui nous intéresse, il faut intégrer un système de 5

équations à S inconnues « x, y, z, ty., E.

Par le même type de raisonnement que précédemment, on obtient :

xm-l "• x n + h

1 5 2 3 3 251 4 x n + 1 â x n - l + Tï A V2 + 8 û V3 + 720" A xn-4

y n + i • *n + h

1 5 2 3 3 251 4 y n

+ 7 *Vl + TZ A *n-2 + ï û *n-3 + TSS à *n-4

z n + l " zn + h

1 --5 ? 3 ? 251 4 zn + ? " n - 1 + TT * zn-2 + 1 4 zn-3 + 7ZtJ * zn-4

v ^ n + l ' v * n + h "v^n + 1 A v -?n- l + 17 ' S n - Z * 1 A n - 3 + 7W A n - J

E n + 1 " En + h ' c j . 1 »c x 5 .2 F . 3 ,3- . 251 Ar T

En + 2" A E n - l + 17 A En-2 + B" A En-3 + 770" A En-4j

•

Références

[1] H. Hineur Techniques de calcul numérique Dunod, 1966.

143 -

A N N E X E B

EXISTENCE DE MIROIRS LOCAUX

Ou f a i t du nombre N nécessairement f in i de bobines qui réalisent

le champ toroidal, i l existe une certaine modulation du champ :

5(r,e)

B T ( r , * = | ) - ^ ( r , * = 0)

(1) B T (r , * = fj) + B T ( r , * = 0)

Le champ magnétique total peut alors s'approximer par l'expression

B » B„ (1 - s(r ,e) cos N $)

1 + e cos 9 (Z)

Où e *o"

ou encore :

Il « 8 (1 • 4(r,e) COS N * - e cos 9) (3)

Le long de la ligne de force que suit une particule ($ • qe) :

1 3 B . M H r l e l ( a s 1 „ e + s i n „ t ) ( 4 )

*o" ^

1 3 en négligeant le terme -^ ^ S(r,9). On a posé o = q N /( r;ëT •

L'équation (4) ne peut s'annuler que si a|sin e| < 1. B possède

alors des extraira dont les positions sont données par es sin e + sin N ç - 0.

On obtient alors un puits de champ magnétique de profondeur :

B„.„ - B_ (5) 2 4(r,S) = ir-ij = 2 f f

T T

- 144

où B et B ._ sont respectivement un maximum et un minimum de champ voisins. max min

f = f(a,e) = ^ 1 - a Zsin Z9 - « 7 - M * sin {o|sin e|) |sin e| (6)

On peut donc séparer le plasma en deux zones : lorsque o|sin e| < 1, la modulation toroïdale du champ total crée des miroirs locaux : une particule de vitesse parallèle suffisamment faible peut être localisée dans un puits magnétique tout en dérivant verticalement vers l'extérieur du plasma. Lorsque ct|sin e| > 1, il n'y a pas création de miroirs locaux, donc pas d'existence possible de trajectoires localisées.

- 145 -

A N N E X E C

J

INFLUENCE DE LA MODULATION DU CHAMP TOROIDAL SUR LA CONDUCTION IONIQUE

Dans la plupart des cas, la modulation de By se met sous la forme :

6(r,e) = 6(r) exp(- ee )

Cette modulation a différents effets sur les trajectoires des ions créés dans le tore :

Tout d'abord, superposée à la modulation en e cos 3, elle peut créer des miroirs locaux (voir Annexe B). Pour cela, la quantité a(r) |sin e| exp(ee ) doit être inférieure à 1, en posant o(r) = ^ îj s , . . Dans ce cas, des particules sont perdues dans les miroirs locaux, °si les collisions sont suffisamment peu fréquentes pour ne pas les délocaliser. Cette condition peut s'écrire : v-- < « ' v. -Jj où v,. est la fréquence de collision ion-ion et v. la vitesse thermique ionique. Cet effet n'affecte qu'un petit groupe de particules, celles qui ont une vitesse parallèle suffisamment faible pour être piégées dans les miroirs locaux. Le terme de conduction résultant

D

est noté x.- •

De plus, même si la modulation du champ toroTdal n'est pas effective 2

(a(r) sin a exp(aa ) > 1), elle a pour conséquence de faire dériver les bananes (voir figures 5 et 6 du I I ) . Cet effet sera particulièrement important si les collisions sont suffisamment peu fréquentes pour ne pas empêcher cette dérive : on peut écrire cette condition v. . < v, s ' /qR ; le terme de con-

RB n i duction résultant est noté xt •

Sinon (M.. > V. e ' /qR), i l existe toutefois une certaine conduc-t ion, moins importante, notée xs •

Requin et Samain [1] ont obtenu les expressions suivantes pour ces différents termes :

J' [a, 0) 1

10-1 I

10'

10--

10'

FIGURE 2

147

1) a(r) sin © exp(ee2) < 1 et v.. < s3/Z{v. N/R)

x3/2 / cT. \ 2

où

R .3/2 / cT. \ 2

4 = 4 1 V ( ^ ) J (°' 8 )

J(o»B) = j - / e x P(- f Be ) sin e (1 - a sin 9 exp(692) ) •'o

où a exp ee sin e < 1.

J(a,6) a été tracé sur la figure 1 pour différentes valeurs de 6.

2) o(r) sin 0 exp(e©2) > 1 et v^ < e 3 / 2 v./qR

2 1 / Z / cT \ 2

XiRB = 22-9^r(F) ^ ( F A J J ' ^ >

oû J'(o.e) = •%? I exp(- 2 se ) ds.

oû o exp(Be ) sin e > 1

J'(a,g) a été tracé sur la figure 2 pour différentes valeurs de s.

3) ot(r) sin e exp 69 > 1 et v^. > e ' v^qR.

L'influence de ces termes a été examinée dans différents cas

A - TFR 600 •

Si le plasma est centré en P. - 98 cm, la modulation du champ

peut s'écrire :

4(r,8) = 9.10"4 exp(0.186 r) exp(- 0.36 S 2)

148

E 10 3

FIGURE 3 : COEFFICIENTS DE CONDUCTION THERMIQUE IONIQUE DANS LE CAS DE TFR 600

FIGURE 4 : EVOLUTION DE LA TEMPERATURE IONIQUE CENTRALE PENDANT L'INJECTION DE NEUTRES DANS INTOR

100 180 rteml

FIGURE 5 : COEFFICIENTS DE CONDUCTION THERMIQUE ("NIQUE DANS INTOR

- 149 -

La figure 3 donne les termes de conduction thermique cités plus haut pour un plasma de basse densité (n (o) = 6.10 cm" ) confiné par un

RP PB champ de 45 KGs. Le coefficient x-j est négligeable. Le terme XJ + x-i

MCI

(= Xj ) correspond à la conduction de chaleur ionique calculée en champ magnétique homogène [2] .

Si on applique une puissance de chauffage de 2.4 MM sur ce plasma, le code de simulation du plasma [3] montre que la ti ...pérature Ionique cent r a est limitée â 3.6 KeV sous l'effet des pertes dues à ces termes (x,- est

R entièrement déterminé par les pertes ripples Xj )• alors qu'en prenant 6 = 0, la même puissance permet d'atteindre T^(o) = 7.8 KeV. Un résultat intermédiaire est obtenu si l'on pousse le plasma de 2 cm vers l'intérieur de la configuration ce qui pourrait permettre de déterminer la validité des calculs théoriques.

6 - INTQR

Les caractéristiques de base de la configuration d'IHTOR [4] sont : R = 480 cm a = 150 cm B r = 5 T N = 12 I p * 4 HA, et on a

i(r,@) = ( 0.2 + 1.8 l^ ) 10" 2 exp(- 0.2 9 2 ) . a

Le plasma est chauffé par 80 MW d'injection perpendiculaire de neutres rapides à 100 KeV. L'évolution de la température ionique centrale, en prenant n(o) = 10 cm" , donnée sur la figure 4, est obtenue â partir du même code de simulation. C'est seulement pour «(o) = 4.10~ que Tignition

R RB

peut être atteinte. Dans ce cas x-j est faible, c'est x^ qui occasionne les pertes par conduction les plus importantes (figure 5).

Références

[1] G. Requin, A. Samain, B. Gagey, J.P. Girard New calculation of ion conduction due to magnetic ripple in large tokamaks Heating in toroTdal plasmas. Come-1980.

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[3] M. Knelladi Chauffage par injection de neutres rapides d'un plasma confiné dans

- 150 -

une configuration magnétique du type Tokamak Rapport interne DPH-PFC EUR-CEA-FC- n° 671 (1973).

[4] Intor Report IAEA Vienne Octobre 1979.

- 151 -

A N N E X E D

PROFILS DE OENSITES ET TEHPERATURES UTILISES POUR LES DIFFERENTS CALCULS

Figure 1 : Conditions plasma TFR 600 pour le calcul de l'injection de

800 KW de R° dans un plasma de D +.

Figure 2 : Conditions plasma TFR 600 pour le calcul de l'injection de

650 KW de D° dans un plasma de 0 +.

Figure 3 : Conditions plasma TFR 600 pour le calcul spectres d'énergie

avec variation de la position de 1'analyseur.

Figure 4 . Conditions plasma TFR 600 pour le calcul spectres d'énergie

avec variation du champ toroïdal : B, = 37 KGs, I. » 300 kA.


avec variation du champ toroidal : B T = 48 KGs, I. = 300 kA.


avec variation du courant plasma : Bj = 46 KGs, I. = 200 kA.

Figure 7 : Conditions plasma TORE SUPRA pour le calcul de l'injection

de 10 m de D° à 100 KeV dans un plasma de D + .

- 152 -

T eV

1000

750 • • 1 S

5 0 0 - - 1

250 - - 0.5

FIGURE 1 : CONDITIONS PLASMA POUR LE CALCUL INJECTION OE 800 KW H°-> D +

- 153

T sV I O 1 4 ™ - 5

1000

750 - 15

500 •" 1

250

FIGURE 2 : CONDITIONS PLASMA POUR LE CALCUL INJECTION DE 650 kW 6" •* D +

- 154 -

FIGURE 3 : CONDITIONS PLASMA POUR LE CALCUL SPECTRES D'ENERGIE AVEC VARIATION DE LA POSITION DE L'ANALYSEUR

- 155 -

T eV l O 1 4 ^

1000 --2

750 --1.5

£00

250 --0.50

10 10

T,

10 a

10°

10'

10 15

FIGURE 4 : CONDITIONS PLASMA POUR LE CALCUL SPECTRES D'ENERGIE AVEC VARIATION DE B T

By = 37 KGs

- 1S6 -

Te eV

1000 -

750 -•

500

250 - -

FIGURE S : CONDITIONS PLASMA POUR LE CALCUL SPECTRES D'ENERGIE AVEC VARIATION DE B T

S T = 48 KGs

- 157 - t

T eV 10"* cm

1000"• 2

750

500

2 5 0 - 03

FIGURE 6 : CONDITIONS PLASMA POUR LE CALCUL SPECTRE D'ENERGIE A 8 T = 46 KGs l p = 200 kA

- 158 -

FIG' IRE 7 : TORE SUPRA - CONDITIONS PLASMA POUR L'INJECTION DE 10 MW B° AlOOKeV

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