druck: kraft pro fläche - mpip-mainz.mpg.devollmerd/vorlesung_ss2012/kapitel 5... · druck: kraft...
TRANSCRIPT
Druck: Kraft pro Fläche
Kapitel 5 Druck
𝑃 =𝐹
𝐴
P: Druck F: Kraft A: Fläche
Einheit: [P] = 1 𝑁
𝑚2 = 1𝑃𝑎 = 10−5𝑏𝑎𝑟
1 bar ≈ Atmosphärendruck
F A
- Der Druck im Kolben ist an allen Stellen mit derselben Höhe gleich
- Druck ist unabhängig von der Form des Kolbens
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑃 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑃 ∙ 𝑑𝑉 (Volumenzunahme)
𝑊 = −𝑃 ∙ 𝑑𝑉 , d.h 𝑊 < 0 bei Volumenabnahme
Druckarbeit
Kolbendruck
Kompressibilität:κ
F A 𝑑𝑉 = −κ 𝑉 𝑑𝑃
Drucksteigerung um 𝑑𝑃 bewirkt Volumenabnahme um - 𝑑𝑉
κ = −1
𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑃 Beachte: Kompressibilität
ist temperaturabhängig
Mit Drucksteigerung verbundene Arbeit (Gas: langsame Kompression)
𝑊 = − 𝑃 𝑑𝑉 = 𝑃 κ 𝑉 𝑑𝑃 =𝑃2
𝑃1
𝑃2
𝑃1
1
2 κ 𝑉 𝑃2
2 − 𝑃12
Beachte: Volumen bleibt trotz- dem nahezu konstant
Kapitel 5 Druck
𝑃 =𝐹
𝐴
Angenommen wurde, dass sich das Volumen nur minimal ändert. Nur dann darf man V vors Integral ziehen.
Der Kehrwert des Kompressibilität ist das Kompressionsmodul
Schweredruck (Druck einer Flüssigkeitssäule)
𝑃 =𝐹
𝐴=
𝑚 𝑔
𝐴=
ρ 𝐴 ℎ 𝑔
𝐴= 𝑔 ρ ℎ h
Schweredruck wird genutzt für besonders genaue Einstellung niedriger Drücke.
ρ: Dichte 𝑔: Erdbeschleunigung A: Querschnittsfläche
Auf dem Gefäßboden ausgeübter Druck
h
Schweredruck ist unabhängig vom Volumen der Flüssigkeit - alleinig bestimmt über die Höhe der Flüssigkeitssäule,
mit
Kapitel 5 Druck
𝑃 = 𝑃 Höhe ist < ℎ0 Höhe ist > ℎ
A
Kommunizierende Röhren
Kapitel 5 Druck
kommunizierende Röhren
Druck ist überall gleich und
unabhängig von der Form.
𝑃1 = 𝑔ρ1ℎ1 = 𝑔ρ2ℎ2 = 𝑃2
da 𝑃1 = 𝑃2
ρ1
ρ2=
ℎ2
ℎ1
ρ1ℎ1 ρ2ℎ2
Höhenunterschied, falls ρ1< ρ2
H2O: HG => ρ1:ρ2 = 1:13.6
𝑃 = 𝑔ρℎ
!
Anmerkung: h1, h2 einfach messbar falls ρ1bekannt ist, lässt sich ρ2 bestimmen. Voraussetzung : Flüssigkeiten sind nicht mischbar
Auftrieb: 𝐹𝑎
Kapitel 5 Druck
Grundfläche: 𝐹𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 = 𝑔ρ ℎ𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 A = 𝑔ρ ℎ2 A Deckfläche: 𝐹𝑜𝑏𝑒𝑛 = 𝑔ρ ℎ𝑜𝑏𝑒𝑛 A = 𝑔ρ ℎ1 A
𝒉𝟏 𝒉𝟐
Auftrieb: 𝐹𝑎= 𝐹𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 − 𝐹𝑜𝑏𝑒𝑛 = 𝑔ρ ℎ2 A - 𝑔ρ ℎ1 A
= 𝑔ρ ℎ2 − ℎ1 𝐴 = 𝑔ρ∆ℎ𝐴
= 𝑔ρ V
Auftrieb: Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge
(Anmerkung: bei schiefen Körpern heben sich die Kräfte auf die Seitenflächen auf.)
∆h
Gegenstand ist in Flüssigkeit getaucht. Auf dem Boden lastet zusätzlich die Gewichtskraft des Gegenstands. Der Flüssigkeitsdruck an der Unterseite des Körpers ist größer als Druck an Oberseite. Nach oben weisende Auftriebskraft ist betragsmäßig gleich der nach unten gerichteten Gewichtskraft.)
Luftdruck
Kapitel 5 Beispiel: Druck (zu zeigen: ρ ändert sich mit der Höhe)
Auf der Höhe des Meerespiegels gilt:
mit: 𝑃0 = 𝑔𝜌0ℎ
𝐻 = 𝑃0
𝑔ρ0=
1.013∙105𝑃𝑎 10 𝑚 𝑠−2 1.29 𝑘𝑔 𝑚−3 ≈ 8 ∙ 103 𝑘𝑔 𝑚 𝑠−2
𝑚2
𝑠2 𝑚3
𝑚𝑘𝑔= 8𝑘𝑚
𝑃0= 1.013 ∙ 105𝑃𝑎
ρ0 = 1.29 kg/ 𝑚3
g = 10 𝑚/ 𝑠2
Der Mount Everest würde ins Luftleere ragen, da für Höhen oberhalb H
gelten würde: 𝑃 = 0.
Dies kann nicht sein!! Das bedeutet, eine Annahme muss falsch sein!
Die Dichte ändert sich mit dem Druck!
Eine Beziehung zwischen Dichte und Druck liefert Boyle Mariotte.
=> Berechnung der Höhe der Luftsäule, 𝑃 = 𝑃 Höhe ist < 𝐻0 Höhe ist > 𝐻
Hypothese.: P0= gρ0ℎ 𝑔𝑖𝑙𝑡 𝑎𝑙𝑙𝑔𝑒𝑚𝑒𝑖𝑛
Kapitel 5 Beispiel: Luftdruck
𝑑𝑃
𝑑ℎ= −𝑔ρ = −𝑔
ρ0
𝑃0𝑃
𝑃 ℎ = 𝑃0𝑒−𝑔ρ0 ℎ/𝑃0
𝑃 ℎ = 𝑃0𝑒−ℎ/𝐻
d𝑃 = −𝑔ρ 𝑑ℎ
Mit Boyle Mariotte: 𝑃𝑉 = 𝑃0𝑉0 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡
=> P𝑚
ρ= 𝑃0
𝑚
ρ0
𝑃
ρ=
𝑃0
ρ0 => ρ =
ρ0
𝑃0𝑃
Auf der Höhe des Meerespiegels gilt: mit: 𝑃0 = 𝑔𝜌0ℎ
𝐻 = 𝑃0
𝑔ρ0≈ 8𝑘𝑚
Gleichung P = 𝑔 ρ ℎ gilt nur für kleine Höhen- und Druckänderungen (dh, dP)
Druckabnahme mit zunehmender Höhe
=> Berechnung der Höhe der Luftsäule, mit 𝑃 = 𝑃 Höhe ist < 𝐻0 Höhe ist > 𝐻
Ziel: Herleitung der allgemeinen Formel
Bislang war die Flüssigkeit oder das Gas in Ruhe.
Was ändert sich wenn sich die Flüssigkeit oder das Gas bewegt?
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
Blutkreislauf besteht aus Arterien, Venen und Kapillaren
-Verzweigtes Netzwerk
- Durchmesser variiert erheblich
=> unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeit
Frage:
=> Was bestimmt die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit?
Wasser, Honig, Ketchup
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
Bernoullische Gleichung
• Ideale inkompressible Flüssigkeit
(=> Volumen bleibt konstant!
Druckerhöhung bewirkt Geschwindigkeitszunahme und keine Volumenabnahme)
• keine Reibung mit der Wand
(=> keine Änderung der Geschwindigkeit infolge von Reibung)
• laminare Strömung
=> Moleküle bewegen sich entlang der Stromlinien (Pfeile); vertikaler Abstand zwischen
benachbarten Pfeilen ist ein Maß der Geschwindigkeit, geringer Abstand => hohe Geschwindigkeit
v1
A1 A2
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
Arbeit W (Energie) um Blut zu befördern
z.B.: 𝑊 = 𝑃𝐴𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑉 + 𝑃𝐴𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑉
A: Querschnittfläche
s: Strecke
V: Volumen
P: Druck
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑠 =𝐹
𝐴𝐴 𝑠 = 𝑃𝑉
Anmerkung: Bernoulli Gleichung beschreibt Bewegung von Gasen oder Flüssigkeit in Röhren unter Vernachlässigung der Wandreibung (später)
v1
A1 A2 𝑃𝐴
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
v1
v2 A1 A2
𝑠1 = 𝑣1∆𝑡 𝑠2 = 𝑣2∆𝑡
∆𝑉1 = 𝑠1𝐴1 = 𝑣1∆𝑡 𝐴1 Flüssigkeitkeitsvolumen ∆𝑉1, das in ∆𝑡 durch Querschnittsfläche 𝐴1 fließt
∆𝑉2 = 𝑠2𝐴2 = 𝑣2 ∆𝑡𝐴2 Flüssigkeitkeitsvolumen ∆𝑉2, das in ∆𝑡 durch Querschnittsfläche 𝐴2 fließt
Gleiche Flüssigkeitsmengen:
=> ∆𝑉1 = ∆𝑉1 𝑣1 ∆𝑡 𝐴1 = 𝑣2 ∆𝑡 𝐴2 𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2
⇒ 𝐼𝑣 = 𝑣𝐴 =∆𝑉
∆𝑡
Volumenstrom (bzw. Massenstrom, falls Dichte = konst.)
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
𝐼𝑣 = 𝐴 𝑣 = 𝜋𝑟2𝑣 = 𝜋(0.01𝑚)2∙ 0.3𝑚/𝑠 = 9.4 × 10-5 m3 / s
Das Blut fließt in einer Schlagader mit einem Radius von 1.0 cm mit einer Geschwindigkeit Von v=0.3m/s. Wie groß ist der Volumenstrom? (Vernachlässigung der Wandreibung)
Lösung:
Dies entspricht 94 Milliliter pro Sekunde.
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
𝐼𝑣 = 𝐴1𝑣1 = 𝜋𝑟1
2𝑣1 = 𝜋(0.3 ∙ 10−2𝑐𝑚)2∙ 0.1𝑚/𝑠 = 2.8 × 10-6 m3 / s
Das Blut fließt von einer großen Arterie mit dem Radius 0.3 cm, in der die Strömungsgeschwindigketi v=10cm/s beträgt, in eine Ader, deren Radius aufgrund von Ablagerungen auf den Gefäßwänden (Arteriosklerose) auf 0.2 cm verengt ist. Wie schnell fließt das Blut im Bereich der Verengung?
Lösung: 𝐼𝑣 = 𝐴2𝑣2
𝑣2 =𝐼𝑣
𝐴2
𝑣2 = 2.8 × 10−6 m3 𝑠−1/𝜋𝑟22
= 𝜋(0.3 ∙ 10−2𝑐𝑚)2∙ 0.1𝑚/𝑠 = 0.23 m/s = 23 cm/s
Beachte: dies gilt nur falls die Reibung an den Gefäßwänden vernachlässigt werden kann.
v1 v2
A1 A2
Bernoullische Gleichung
Ideale Flüssigkeit, keine Reibung “Energieerhaltung” (Arbeit und kinetische Energie)
Geschwindigkeitszunahme bewirkt Druckabnahme
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
𝑃𝑉 + 1
2𝑚𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑃𝑉 + 1
2𝜌𝑉𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.
𝑃 + 1
2𝜌𝑣2 = 𝑃0
𝑃1𝑉 + 1
2𝑚𝑣1
2 = 𝑃2𝑉 + 1
2𝑚𝑣2
2
𝑃1𝑉 + 1
2𝜌𝑉𝑣1
2 = 𝑃2𝑉 + 1
2𝜌𝑉𝑣2
2
𝑃1 +1
2ρ𝑣1
2 = 𝑃2 +1
2ρ𝑣2
2
D. Vollmer
Druckabfall Konsequenz von Bernoulli
Druck sinkt, um die erforderliche Energie zu liefern, um die Zunahme der kinetischen Energie zu ermöglichen.
Druckabfall
P1 P1 P2
Wasserstrahlpumpe Sturm: v ist hoch => P klein (Unterdruck) => Hausdächer werden abgehoben
Kapitel 5 Viskosität: Bernoulli
Luft
Unter- druck (Sog)
Druck- differenz
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
𝑣1 𝑣2 𝑣2 𝑣1
𝑃 +1
2ρ𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.
Kapitel 5 Zur Übung
8) Um die Druckdifferenz von derzeit Δp1 = 5 bar zu senken, soll eine Wasserleitung mit einem Innendurchmesser von d1 = 12 mm gegen eine Rohrleitung mit einem Innendurchmesser von d2 = 15 mm ausgetauscht werden. Wie hoch ist die zu erwartende Druckdifferenz Δp2 der neuen Leitung, wenn der Volumenstrom unverändert bleiben soll?
Lösung: p2 = 2,048 bar
v1
Bernoullische Gleichung
Geschwindigkeitszunahme bewirkt Druckabnahme gilt unverändert!
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
𝑃2 +1
2ρ𝑣2
2 = 𝑃1 +1
2ρ𝑣1
2 =>
In Anwesenheit von Schweredruck: 𝑃𝑉 −> 𝑃𝑉 + 𝜌𝑉𝑔ℎ
Strömung entlang der Horizontalen: v1
v2
𝑃 + 𝜌 𝑔ℎ +1
2ρ𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 oder
h Anmerkung: Bislang haben wir den Schweredruck vernachlässigt. Falls er vorhanden ist (senkrechte Säule), dann muss er dazu addiert werden.
v2
P v1
v2
A1 A2
Bernoulli’sche Gleichung (Energieerhaltung) (ausführliche Herleitung)
Geschwindigkeitszunahme => Druckabnahme
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung (für Interessierte)
𝑊𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 + 𝑊𝑘𝑖𝑛
𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 + 𝑊𝐺𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 𝑊𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘
𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠 + 𝑊𝑘𝑖𝑛𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠 + 𝑊𝐺
𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠
𝐹𝑠1 +1
2𝑚1𝑣1
2 + 𝑚1𝑔ℎ1 = 𝐹𝑠2 +1
2𝑚𝑣2
2 + 𝑚𝑔ℎ2
𝐹
𝐴1
𝐴1𝑠1 +1
2ρ𝑉1𝑣1
2 + ρ𝑉1𝑔ℎ1 =𝐹
𝐴2
𝐴2𝑠 +1
2ρ𝑉2𝑣2
2 + ρ𝑉2𝑔ℎ2
𝑃1𝑉 +1
2ρ𝑉𝑣1
2 + ρ𝑉𝑔ℎ1 = 𝑃2𝑉 +1
2ρ𝑉𝑣2
2 + ρ𝑉𝑔ℎ2
𝑃1 +1
2ρ𝑣1
2 + ρ𝑔ℎ1 = 𝑃2 +1
2ρ𝑣2
2 + ρ𝑔ℎ2 (dies ist die allgemeine Gleichung)
𝑃 +1
2ρ𝑣2 + ρ𝑔ℎ = konst.
𝑭
𝑉1=𝑉2
ℎ1
ℎ2
v1
v
2
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
Flüssigkeit in Ruhe, 𝑣1 = 𝑣2 = 0
𝑃1 + 𝜌 𝑔ℎ1 +1
2ρ𝑣1
2 = 𝑃2 + 𝜌 𝑔ℎ2 +1
2ρ𝑣2
2
𝑃1 + 𝜌 𝑔ℎ1 = 𝑃2 + 𝜌 𝑔ℎ2
⇒ 𝑃1 −𝑃2 = 𝜌 𝑔ℎ2 − 𝜌 𝑔ℎ1 = 𝜌 𝑔∆ℎ
⇒ ∆𝑃 = 𝜌 𝑔∆ℎ (Schweredruck)
=> Für Flüssigkeiten in Ruhe wird die Bernoulli-Gleichung zur Gleichung für den Schweredruck
Beispiel: Spritze beim Arzt
Arzt drückt mit F ≈ 20 N
Kolbenfläche A ≈ 1 cm2
(Weltrekord im Sprint: v= 10 m/s)
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
(Reibung der Flüssigkeit an der Wand der Spritze sei vernachlässigbar)
Einheiten:
1Pa = 1 N/m2
1N = 1 kg m s-2
ρ: Dichte Wasser 1g/cm3 v: Geschwindigkeit
𝑃1 +1
2ρ𝑣1
2 = 𝑃2 +1
2ρ𝑣2
2 mit 𝑃 = 𝑃1, 𝑣1 = 0 (bzw. klein)
und 𝑃2 = 0 (bzw. klein), 𝑣2 = 𝑣
𝑃 =1
2ρ𝑣2 => 𝑣 =
2𝑃
𝜌≈ 6 𝑚/𝑠
𝑃 =𝐹
𝐴≈ 20 𝑘𝑃𝑎
Im Folgenden diskutieren wir den Einfluss von Reibung (Viskosität)
1. Definition von Viskosität
2. Einfluss der Viskosität auf die Strömung einer
Flüssigkeit in einer Kapillare
Kapitel 5 Viskosität
Substrat (z.B. Kapillare, ebene Fläche)
Kraft
Wasserfluss: bewegte Flüssigkeit
Wasserfluss verursacht durch: Gravitation & externer Druck
Kohäsion
Adhäsion
Kohäsionskraft: Bindungskräfte zwischen Atomen sowie zwischen Molekülen innerhalb eines Stoffes Adhäsionskraft: Bindungskräfte zwischen Atomen sowie zwischen Molekülen unterschiedlicher Stoffe
Kapitel 5 Viskosität
Moleküle müssen sich bewegen
=> Bindungen müssen gebrochen und neue gebildet werden
Wasserfluss
Substrat (z.B. Kapillare, ebene Fläche)
Kraft
x0, v0 = 0
x1, v1 > v0
x2, v2 > v1
=> Geschwindigkeit der Flüssigkeit nimmt mit Abstand zur Wand zu
Kapitel 5 Viskosität
Substrat (fest)
Kraft
x0, v0 = 0
x1, v1 > v0
x2, v2 > v1
Substrat (beweglich, z.B. Plättchen)
Wasser
Fläche A
F ~ A Kraft nimmt “linear” mit der Plattengröße zu
Kapitel 5 Viskosität
Substrat (fest)
Kraft
x0, v0 = 0
x1, v1 > v0
x2, v2 > v1
Substrat (beweglich, z.B. Plättchen)
Wasser
Fläche A
Kraft nimmt mit zunehmenden Plattenabstand ab
x
Kapitel 5 Viskosität
Substrat (fest) x0, v0 = 0
x1, v1 > v0
x2, v2 > v1
Substrat (beweglich, z.B. Plättchen)
Wasser
Fläche A
Kraft nimmt mit Plattengeschwindigkeit zu
x
Kraft, Geschwindigkeit
Kapitel 5 Viskosität
Abb.:7.28
v
Kraft
x
: Viskosität
x: Dicke der Flüssigkeitsschicht
v: Geschwindigkeit
A: Fläche
F: Kraft
v
Substrat (fest)
(Maß der inneren Reibung)
Flüssigkeit
Beachte: gilt nur für dünne Flüssigkeitsfilme
Kapitel 5 Viskosität
Substrat (beweglich) Fläche A
x
Kraft
: Viskosität
Geschwindigkeit
Substrat (fest)
Länge der Pfeile: Maß für Geschwindigkeit
Vereinfachte Darstellung
Kapitel 5 Viskosität
1 Pa = 1N/m2
Pa: Pascal
Viskosität: Einheit
Viskosität Wasser: ca. 1*10-3Pa s = 1 mPa s
Viskosität Blut: ca. 5*10-3Pa s = 5 mPa s
τ: Schubspannung
Kraft
x
v
Substrat (fest)
Flüssigkeit
In einigen Systemen (z.B. Ketchup, Blut) gilt F ~ v/x nicht, sondern nur Grund: Ketchup enthält lange Moleküle, die verschlaufen (Polymernetzwerk). Falls so ein verschluftes Netzwerk anfängt zu fließen, ordnen sich die Moleküle um, so dass sie besser aneinander vorbei fließen können.
Kapitel 5 Viskosität
Kraft: F
Fläche: A x
(lineare Änderung der Geschwindigkeit für kleine Ortsänderung)
τ: Schubspannung
Kapitel 5 Viskosität
Grund: 𝐹 = η𝐴 𝑣
𝑥 gilt i.a. nur für geringe Geschwindigkeitsänderungen
und kleine Änderungen der Dicke der Flüssigkeit.
𝐹 = η𝐴 𝑣
𝑥 ⇒ 𝐹 = η 𝐴
Δ𝑣
Δ𝑥
Viskosität sinkt mit zunehmender Temperatur
=> Arrhenius-Gesetz
η0: Materialkonstante
EA: Aktivierungsenergie
(Maß für benötigte Energie
um Bindungen zu brechen,
Platzwechsel)
kB: Boltzmann-Konstante
T: Temperatur in Kelvin
Fläche
Konstante
Kapitel 5 Viskosität
η = η0 ∙ 𝑒+
𝐸𝐴𝑘𝐵∙𝑇
η𝐻20 20°𝐶 = 1 ∙ 10−3 𝑃𝑎 𝑠
η𝐻20 60°𝐶 = 0.65 ∙ 10−𝑃𝑎 𝑠
Kapitel 5 Zur Übung
5) Bei einem Experiment zur Messung der Viskosität einer Flüssigkeit wurde der Zahlenwert 𝜂1 =1,6×10S3 Pa·s bei der Temperatur T1 = 300 K gefunden. Wie groß ist die Viskosität bei der Temperatur T2 = 330 K? (Aktivierungsenergie EA = 5,0×10S20 J; kB = 1,381×10S23 J/K)
Lösung: 𝜂2 = 5,34×10-4 Pa s
SS2010
Kapitel 5 Zur Übung
Lösung: 𝜂2 = 8,3 * 10-3 Pa s
SS2011
4) Eine Kühlflüssigkeit hat bei 0°C eine Viskosität von 𝜂 = 2,3 *10-3 Pa·s. Welchen Betrag hat die Viskosität bei -25°C? (Aktivierungsenergie EA = 4,8 *10-20 J; kB = 1,381*10-23 J/K)
Kapitel 5 Viskositätsbestimmung
Kugel-Fall Viskosimeter
- Wichtige Methode zur Viskositätsbestimmung
- Wird auch verwendet zur Bestimmung der
Größe von Molekülen, Proteinen,…
Sedimentation
r
mit
Kapitel 5 Viskositätsbestimmung
Glycerin-Wasser
Stokes-Reibung
Idee: F = 𝐴𝑣
𝑥
𝑢𝑛𝑑 𝐴 = 4𝜋𝑟2 Faktor 6: genaue Rechnung
ρK: Dichte: Gegenstand ρFl: Dichte Flüssigkeit
v
Auftriebs- kraft
Sedimentation
r
• Viskositätsbestimmung
• Bestimmung des Teilchenradius
• Erhöhung von g (Zentrifuge)
=> z.B. Auftrennung von Proteinen
nach Molekulargewicht
( => 106 )
Kapitel 5 Viskositätsbestimmung
Glycerin-Wasser
Sedimentation
r
Kapitel 5 Viskositätsbestimmung
v G
esch
win
dig
keit
=>
Glycerin-Wasser
Anmerkung: Zunächst nimmt die Geschwindigkeit zu. Nach einer gewissen Zeit ist sie jedoch konstant. Dies gilt auch für fallende Regentropfen oder beim Fallschirmspringen (vergl. Kapitel 2 Mechanik). In Kap. 2 hatten wir Reibung vernachlässigt.
Kapitel 5 Strömung
http://www.mathlab.de/mathematik/seminare/stroemungsmechanik/zylinder.jpg
Geschwindigkeit ändert sich beim Umfließen eines Gegenstandes
Eine zeitlich konstante Geschwindigkeit nennt man stationäre Strömung
Konsequenzen von Reibung auf Strömung in Kapillare
rote Linien: Stromlinien (gebildet aus vielen Geschwindigkeitsvektoren)
Pfeile: Richtung der Strömung
Abstand der Stromlinien: Maß für die Geschwindigkeit großer Abstand => Flüssigkeit fließt langsam enger Abstand => Flüssigkeit fließt schnell
Kapitel 5 Bernoulli-Gleichung
Strömungsprofil in Kapillare
Kraft
v = 0
v = 0
Länge der Pfeile: Maß für Geschwindigkeit
kurzer Pfeil: langsamer Fluss
langer Pfeil: schneller Fluss
laminare Strömung v = max
http://www.youtube.com/watch?v=o11NDvrZMNs ab 1.2 min
Strömungsprofil in Kapillare
Kraft
v = 0
v = 0
laminare Strömung
𝐼𝑣: Volumenstromstärke V: transportiertes Volumen
Im allgemeinen: Blutkreislauf: 𝐼𝑣 ≈ 10-4 m3/s Blutstromstärke: 𝐼𝑣 ≈ 6l/min
Kapitel 5 Viskosität
𝐼𝑣 =∆𝑉
∆𝑡
𝐼𝑣 = 𝑉 =𝑑𝑉
𝑑𝑡
Strömungsprofil in Kapillare (geringer Durchmesser)
laminare Strömung
Hagen-Poiseuille
Wandreibung ist wichtig! (Flüssigkeitsmoleküle haften an der Wand
auf Grund von Adhäsionskräften)
Zähigkeit (Viskosität)
Reibung Wand- fläche
Geschwindigkeitszunahme Wandabstand
Kapitel 5 Viskosität
Länge Kapillare
r
𝐼𝑣 = 𝜋 𝑟4 (𝑃1 − 𝑃2)
8 η 𝑙 =
𝜋 𝑟4
8 η 𝑙 ∆𝑃
r
R Reibungskraft an der Mantelfläche (x=r)
Druckkraft auf die Deckfläche (Schweredruck)
r
Nach gewisser Zeit (stationärer Zustand) sind beide Kräfte gleich, d.h. Geschwindigkeitsprofil ändert sich nicht mehr.
Idee der Herleitung von Hagen Poiseuille (für Interessierte)
𝐹𝑝 = 𝜋𝑟2(𝑃1 − 𝑃2)
2𝜋 𝑟 𝑙 𝜂 𝑑𝑣
𝑑𝑟= 𝜋 𝑟2 (𝑃1 − 𝑃2)
𝑑𝑣
𝑑𝑟=
𝑃1 − 𝑃2
2 𝑙 𝜂 𝑟 𝑣 𝑟 =
𝑃1 − 𝑃2
4 𝑙 𝜂 𝑟2
𝑃1
𝑃2
r
R r
Ziel: Die transportierte Menge Flüssigkeit pro Zeiteinheit berechnen, d.h.
Idee: Man betrachte viele “ineinander geschachtelte” Hohlzylinder mit Dicke
Durch den Hohlzylinder zwischen r und r + dr fließt der Volumenstrom
Fortsetzung
𝑣 𝑟 =𝑃1 − 𝑃2
4 𝑙 𝜂 𝑟2
𝐼𝑣 = 𝑉
𝑑𝑉 𝐼𝑣
0
= 2𝜋𝑟𝑣 𝑟 𝑑𝑟 𝑅
0
= 𝑃1 − 𝑃2
4 𝑙 𝜂 𝑟3𝑑𝑟
𝑅
0
𝐼𝑣 =𝜋 𝑟4
8 𝜂 l ∆𝑃
Strömungsprofil in Kapillare
laminare Strömung
Hagen-Poiseuille
R: Strömungswiderstand
=> Wärme
Beispiel: Ziel: konstante Körpertemperatur
=> Bei Kälte ziehen sich die Blutgefäße ein wenig zusammen
Kapitel 5 Viskosität
𝐼𝑣 =𝜋 𝑟4
8 𝜂 l ∆𝑃
𝐼𝑣 =∆𝑃
𝑅
Druckabfall: Reibung entlang der Wände bewirkt Druckabfall
ΔP
Δs
Kapitel 5 Viskosität
Hagen-Poiseuille
Zähigkeit (Viskosität)
Reibung Wand- fläche
Geschwindigkeitszunahme Wandabstand
Länge Kapillare
𝐼𝑣 = 𝜋 𝑟4
8 η 𝑙 ∆𝑃
laminare Strömung r
ΔP
P1 P2
𝑣1 𝑣2 𝑣2 𝑣1
𝑃 +1
2ρ𝑣2 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.
Bernoullische Gleichung
Ideale Flüssigkeit, keine Reibung “Energieerhaltung”
Beachte: in der Realität kann Reibung nie vollständig vernachlässigt werden. Hier wird nur angenommen, dass der Beitrag klein ist im Vergleich zu dem auf Grund der Änderung des Duchmessers. In der „Realität“ ändert sich P1 und damit die Höhe des Flüssigkeitsstands in den Säulen nach Hagen Poiseuille.
1P P
Kapitel 5 Zur Übung
15) In 300 s fließen durch ein 30 m langes Rohr (Durchmesser d = 3 cm) 60 000 l Petroleum bei einem Druckgefälle von 2 bar. Welche Viskosität besitzt das Petroleum?
Lösung: 𝜂 = 6,63 10-4 Pa s
Kapitel 5 Zur Übung
Lösung: t = 5692 s
WS2010/2011
16) Ein Schwimmbecken wurde mit einem Schlauch mit einer Länge von 11 m und einem Durchmesser von 1,8 cm mit Wasser gefüllt. Die Druckdifferenz betrug 0,6·105 Pa. Wie viel Zeit wurde benötigt, um das Becken mit 80 m3 Wasser zu füllen? (Viskosität von Wasser: 𝜂 = 1·10-3 Pas)
Kapitel 5 Zur Übung
Lösung: Erfüllt
WS2008/2009
9) Durch eine Leitung mit einem Innenradius r1 = 15 mm fließen in 1 Minute 810 Liter einer Flüssigkeit. Durch eine zweite, gleichlange Leitung mit einem Radius von r2 = 5 mm fließen bei der gleichen Druckdifferenz p in 1 Minute 10 Liter derselben Flüssigkeit. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Flüssigkeit das Hagen-Poiseuille-Gesetz erfüllt.
Kapitel 5 Anmerkung: Turbulenz
Beispiel: - Blut - Luftzug vorm Heizkörper
Laminare Strömung wird
turbulent falls
𝑅𝑒 =2𝑟ρ𝑣
η
𝑅𝑒: Reynolds-Zahl
Übergang laminar -> turbulent ca. für 𝑅𝑒 ≈ 2000
Flüssigkeit bewgte sich in „Schichten“ mit unterschiedlicher Geschwindigkeit
r
http://www.youtube.com/watch?v=6rPL-QkUFf8&feature=related
Kapitel 5 Viskosität
http://www.youtube.com/watch?v=m8-5D1Sqflc&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=OO2LPnOYfDg&NR=1 Simulation des Flusses von Blutzellen
(Verengung einer Kapillare, vereinzelte Blutzellen)
Kapitel 5 Zur Übung
16) Welche Aussagen sind korrekt? (Pro richtiger Antwort 0,25 Punkte, pro falscher Antwort 0,25 Punkte Abzug, minimal erreichbare Punktzahl 0. Aufmerksam lesen! Richtige Antworten ankreuzen) a) Wenn eine Flüssigkeit eine Festkörperoberfläche benetzt, gilt: [ ] die Kohäsionskräfte sind größer als die Adhäsionskräfte. [ X ] die Adhäsionskräfte sind größer als die Kohäsionskräfte. b) Die laminare Strömung einer Flüssigkeit zeichnet sich durch folgende Eigenschaft aus: [ X ] die Flüssigkeitsteilchen strömen in Schichten. [ ] die Flüssigkeitsteilchen bewegen sich ungeordnet und bilden Wirbel. c) Die Aktivierungsenergie im Arrhenius-Gesetz beschreibt [ X ] den Platzwechsel von Flüssigkeitsteilchen. [ ] die Adhäsion von Flüssigkeitsteilchen. d) Wird ein Rohr auf das doppelte verlängert, so fließt bei gleicher Druckdifferenz zwischen den Rohrenden [ ] ein sechzehntel des vorherigen Flüssigkeitsvolumens pro Zeit [ X ] halb so viel Flüssigkeitsvolumen pro Zeit
SS2011
Oberflächenspannung
Die Viskosität beschreibt Eigenschaften von Teilchen oder Molekülen im Volumen und in der Nähe von Oberflächen.
Die Oberflächenspannung beschreibt Wechselwirkungen
von Teilchen oder Molekülen in der Oberfläche.
Kapitel 5 Oberflächenspannung
56
Oberflächenspannung: Wo tritt sie auf?
• Wieso schwimmen Gegenstände auf Wasser? • Wieso sind Wassertropfen rund? • Wieso kann ich atmen?
Unterschiede Volumen Oberfläche (Grenzfläche)
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Grenzfläche:
Im Volumen hebt sich
die Summe der
Kohäsionskräfte auf.
Kraft um Molekül vom Volumen zur Oberfläche zu bringen
Beachte: Energie = Kraft mal Weg (hier: Abstand)
Wasser
Luft
58
Unterschiede Volumen Oberfläche (Grenzfläche)
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Grenzfläche:
Im Volumen sind die
Wechselwirkungsenergien
zwischen den Atomen
/Molekülen gleich.
positionsabhängige
Wechselwirkungsenergien
W W W
W
W W W
W
W W
Beachte: Energie = Kraft mal Weg (hier: Abstand)
Wasser
W
W W W
W Luft
Kapitel 5 Oberflächenspannung
59
= spezifische Oberflächenenergie
WOberfl. = Energiezunahme
A = Oberflächenzunahme
Oberflächen-
zunahme
: Maß für benötigte Arbeit um neue Oberfläche zu schaffen => minimale Oberfläche (rund)
Volumen = konst.
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Flüssigkeitslamelle
Δs b
s
1 J = 1 Nm
In der Literatur werden die folgenden Begriffe verwendet (die Bedeutungn ist gleich): • spezifische Oberflächenenergie oder Oberflächenspannung oder Grenzflächenspannung
Einheit:
Kapitel 5 Oberflächenspannung
61
Flüssigkeitslamelle
Δs b
s
Bügel
ΔA = 2∙b∙Δs
da ΔWOb. = σ∙ΔA
ΔWOb. = 2∙b∙σ∙Δs
mit ΔWpot = F∙Δs
F∙Δs = 2∙b∙σ∙Δs
F = 2∙b∙σ
ΔWArbeit = ΔWOb.
zwei Lamellen (von Auge nicht sichtbar)
Kraft um Bügel in Position zu halten
Kapitel 5 Oberflächenspannung
62
Flüssigkeitslamelle
Δs b
s
Kraft um den Bügel in Position zu halten ist const.
Bügel
Kapitel 5 Oberflächenspannung
63
: Energiezunahme pro Oberflächenzunahme hängt von Flüssigkeit ab
spez. Oberflächenspannung: [10-3J/m2] oder [10-3N/m]
Öle 18 – 25
Ethanol 22.5
Aceton 23.3
Silikon ~ 25
Wachs ~ 30
Ethylenglykol 48.4
Glycerin 63.4
Wasser (80°C) 62.6
Wasser (20°C) 72.8
Quecksilber 476
Beachte:
ist Temperatur- abhängig
Flüssigkeit/Luft
Kapitel 5 Oberflächenspannung
64
Kapillare Steighöhe
2r
h
h : Steighöhe
Δh : Steighöhenänderung
g: Erdbeschleunigung
V: Volumen
ρ: Dichte der Flüssigkeit
R: Radius Kapillare
Glaskapillare: Wasser-Glas Kontakt ist energetisch vorteilhaft im Vergleich zum Wasser-Luft Kontakt. Glas probiert Kontaktfläche zur Luft zu minimieren
Δh
Kapillare
(Arbeit gegen Erdanziehungskraft)
(Abnahme Glas-Luft Grenzfläche durch Benetzung mit Wasser)
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
Flüssigkeit: Wasser, Blut,...
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Kapillare Steighöhe
2r
h
Beispiel: ρ = 1 g/cm3
g = 10 m/s2
r = 1mm
Kapillaren
Work
W(1L) = 1200 J W(1L) = mgh = 1 kg 10 ms-2 2m = 20 J
Arbeit um Wasser zu transportieren: W = m*g*h
Durchschnittlicher Baum 800 L/Tag*
* Campbell, Biologie
Kapitel 5 Oberflächenspannung
h=2m
h=120m
1 μm < r(Tracheiden) < 400 μm*
grh
2
• r = 100 μm
• r = 1 μm
h = 0.14 m
h = 14 m
*Strasburger, Lehrbuch der Botanik
=> Maximale Steighöhe: ca. 15 m
ℎ =2 ∙ 70 ∙ 10−3𝑁𝑚−1
1𝑔𝑐𝑚−310𝑚𝑠−2𝑟
Kapitel 5 Oberflächenspannung Kapillarkräfte
= 1.4 ∙ 10−5
𝑟𝑚2
Wurzeln
Zweige
Blätter
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Kapillarkräfte sind hinreichend um einen ca. 15 m hohen Baum mit Wasser zu versorgen.
Versorgung der Spitze eines Baums mit Wasser erfolgt über andere Mechanismen
Kapitel 5 Zur Übung
4) Welchen Innenradius r müsste eine Kapillare haben, damit Ethanol aufgrund der Kapillarwirkung 5 m hoch aufsteigt? (Ethanol = 0.02255 N/m; Ethanol = 0,79 g/cm3; Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s²)
Lösung: r= 1,16 μm
SS2010
Kapitel 5 Zur Übung
Lösung: d = 0.4 mm
SS2010
2) In einer Kapillare wird eine Steighöhe von 5,7 cm beobachtet. Die aufsteigende Flüssigkeit besitzt eine Dichte von 1,25 g/cm3 und eine Oberflächenspannung von 0,07 N/m. Wie groß muss dementsprechend der Durchmesser der Kapillare sein? (g = 9,81 m/s2)
Kapitel 5 Zur Übung
Lösung: = 0,021 N/m
WS2009/2010
13) Die Oberflächenspannung einer unbekannten Flüssigkeit soll über die Steighöhe (h = 3,6 cm) in einer Kapillare mit einem Durchmesser von 0,3 mm bestimmt werden. Das zuvor ermittelte Masse von 100 ml dieser Flüssigkeit ergab 80 g. Welchen Wert hat die Oberflächenspannung? (g = 9,81 m/s²)
Kapitel 5 Zur Übung
Lösung: = 1,47 g/cm3
WS2008/2009
10) In einer Kapillare mit dem Innendurchmesser d = 0,6 mm steigt Chloroform 1,25 cm hoch (vollständige Benetzung). Welche Dichte von Chloroform kann man auf Basis dieser Beobachtung errechnen? (Chloro = 27,1×10-3 N/m; Erdbeschleunigung g =9,81 m/s2)
http://www.ks.uiuc.edu/Research/silica/MOVIE/hydrophobic02.mpg
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Silizium Substrat
Wassertropfen
(1981 Wassermoleküle)
Moleküle auf einer Oberfläche sind sehr mobil
(MD: Molekulardynamik Simulation)
: Kontaktwinkel
Bislang Grenzfläche Flüssigkeit (Wasser) – Luft
Im allgemeinen gibt es 3 Grenzflächen
Beachte: Von Auge hat man den Eindruck, dass die Wasser-Luft Grenzfläche sehr ruhig (statisch) ist. In Wirklichkeit bewegen sich die Moleküle stark. Trotzdem sind die Kohäsionskräfte in Wasser hoch. =>In niedermolekularen Flüssigkeiten mit geringen Kohäsionskräften bewegen sich die Moleküle noch mehr.
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Substrat
σS : Festkörper- Luft
σS L: Festkörper- Flüssigkeit
σL: Flüssigkeit – Luft
: Kontaktwinkel
3 Grenzflächen (Jede Grenzfläche hat eine bestimmte Oberflächenspannung)
Adhäsionskraft: Kräfte zwischen Flüssigkeit - Festkörper
Sie bestimmen z.B. wie gut Blut, Bakterien, …. auf Oberflächen haften
=> Biofilme, Verschluss der Kapillaren bei Herz-Lungenmaschinen)
Wassertropfen
(1981 Moleküle)
Youngsche Gleichung
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Festkörper (solid)
Luft
Hydrophile Oberfläche
Hydrophobe Oberfläche
(z.B. Pflanzenschutzmittel Θ -> 0)
(z.B. Teflon Θ = 90 … 120°)
Wie hängt von σ ab?
Youngsche Gleichung
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Festkörper (solid)
Luft
Hydrophile Oberfläche
Hydrophobe Oberfläche
(z.B. Pflanzenschutzmittel Θ -> 0)
Wie hängt von σ ab?
(z.B. Teflon Θ = 90 … 120°)
Kapitel 4 Lotuseffekt
77
Lotusblatt
Veränderung des Benetzungsverhaltens durch Strukturierung der Oberfläche => Mehr Kontaktfläche
Kapitel 5 Laplace Druck (für Interessierte)
Laplace Druck
2 Blasen
R
Druck in einer Blase
R2 < R1
=> ΔP2 > ΔP1
Eine Blase wächst, andere verschwindet
Kapitel 5 Oberflächenspannung
Laplace Druck
2 Blasen
Druck in einer Blase
=> ΔP1 < ΔP2
Eine Blase wächst, andere verschwindet
R
1 2
R
1 2
(Vorgang wird auch Ostwald Reifung genannt)
Kapitel 5 Reduzierung der Oberflächenspannung
80
hydrophober “Schwanz”
O
HO O
O
Phosphorlipid
hydrophile Kopfgruppe
Kapitel 5 Reduzierung der Oberflächenspannung
81
Tensidkonzentration
Mizellbildung
Luft Luft
Kapitel 5 Kritische Mizellbildungskonzentration
82
O
HO O
O
Konzentration (mM)
Kapitel 5 Kritische Mizellbildungskonzentration
83
cmc: 7.5 mM
O
HO O
O
cmc: critical micelle concentration
Konzentration (mM)
Kapitel 5 Emulsionen
Emulsionen Wasser in Öl Dispersion Öl in Wasser Dispersion
z.B. Milch, “weiche” Hautcreme
z.B. “Butter”, “fettige” Hautcreme
Welche Struktur gebildet wird, ist abhängig von der
“bevorzugten Krümmung” der Tensidmonolage
Kapitel 5 Emulsionen
85
Membranen
Lamellare Phase Modellmembran
für Zellen
Die physikalische Beschreibung von Membranen und Tensidstrukturen ist nahezu identisch.