IUT de Nantes Génie Thermique et Energie 1er avril 2010

Semestre 4

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DS de mécanique des fluides

Durée : 1h20

Avertissement : la note prendra en compte la qualité de la rédaction et la présentation de la

copie. Aucun document n’est autorisé. Calculatrice autorisée. Toute réponse non justifiée

sera comptée fausse.

Partie I : Equilibrage d’un réseau aéraulique

On considère le réseau aéraulique suivant :

Données :

Rugosité absolue pour les branches A, C et R : 90 µm

Rugosité relative pour la branche B : 0,03

Branche racine : DR = 400 mm,

Branche A : DA = 300 mm, coude = 0,22

Branche B : DB = 400 mm,

Branche C : DC = 300 mm, coude = 0,22

Dérivation : A = 1,766, B = 0,106, C = 1,766

Chaque branche verticale du réseau a une longueur de 3 m. Les branches A et C débitent à

1500 m3/h. La branche B débite à 2000 m

3/h. On prendra 1,29 kg/m

3 pour la masse volumique

et 1,43.10-5

m².s-1

pour la viscosité cinématique de l’air circulant dans le réseau.

Le diagramme de Moody est donné en annexe page 4.

1°) Le réseau est-il équilibré ?

2°) Quelle modification préconisez-vous si le réseau n’est pas équilibré ?

3°) Déterminer les caractéristiques du ventilateur à installer.

Partie II : Une tuyère peu divergente

On considère une tuyère convergente divergente placée à la sortie d’un réservoir dont la

pression est maintenue constante grâce à un compresseur et vaut Pi = 3.105 Pa et la

température vaut Ti = 293 K. Le débit massique dans la tuyère vaut 0,2 kg.s-1

. Cette tuyère

ventilateur

A

B

C

LR = 10 m

LA = 10 m

LB = 30 m

LC = 15 m

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fait communiquer le réservoir avec l’atmosphère de pression Patm = 105 Pa. On constate que

l’écoulement est subsonique dans le convergent, sonique au col et supersonique dans le

divergent. La tuyère est bien dimensionnée ; il n’apparaît ni choc ni détente. Pour les calculs,

on prendra = 1,4 et r = 287 J.kg-1

.K-1.

On résoudra cet exercice en utilisant les tables données en annexe. Il faudra prendre garde à

conserver une grande précision dans les calculs.

1°) Que valent la pression et le nombre de Mach à la sortie du divergent ?

2°) Quelles sont la température, la pression et la masse volumique au col ?

3°) Calculez le diamètre de la tuyère au col Dcol (en cm).

4°) Quel est le rapport entre le diamètre de sortie Ds et le diamètre au col Dcol de cette tuyère.

Quelle est la différence de diamètre (Ds – Dcol) en µm ?

5°) Que peut-il se passer si on diminue la pression dans le réservoir? La géométrie de la

tuyère restant identique et le col restant sonique. Expliquez.

Partie III : Ecoulement de fluides compressibles dans une tuyère

Une tuyère convergente divergente à section circulaire possède les caractéristiques suivantes :

- diamètre d’entrée : 80 mm,

- diamètre au col : 40 mm,

- diamètre de sortie : 42 mm.

Cette tuyère est alimentée par un réservoir où règnent la pression Pi et la température

Ti = 300 K. le fluide qui s’écoule dans la tuyère est de l’air considéré comme un gaz parfait

(air = 1,2 kg/m3, = 1,4 et r = 287 J.kg

-1.K

-1). On suppose que la tuyère est amorcée (le col

est critique) et qu’il ne se produit pas de phénomène irréversible.

1°) Comment qualifie-t-on les variables Pi et Ti ?

2°) Donner l’équation de Barré de Saint-Venant lorsque l’on néglige les forces de pesanteur.

3°) Quelle est la valeur du nombre de Mach au col Mcol?

4°) Calculer le rapport Ssortie/Scol.

5°) Montrer que dans le divergent, l’écoulement peut être subsonique ou supersonique. Pour

cela, vérifier que Msortie = 0,69 et Msortie = 1,38 sont des solutions possibles du nombre de

Mach dans le divergent.

6°) Dans chacun des deux cas précédents, déterminer :

- les conditions de sortie, Ps, Ts et vs,

- la pression Pi,

- les conditions au col Tc, Pc et vc,

- le débit massique.

On utilisera le formulaire suivant pour répondre aux questions 4°) à 6°) de la partie III.

1γ2

1γ

2

c

M2

1γ1

1γ

2

M

1

S

S

;

1γ

γ

2M2

1γ1

P

Pi

;

2M

2

1γ1

T

Ti ;

1γ

1

2M2

1γ1

ρ

ρi

.

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