dsp 6 the fast fourier transform (fft ... 6 the fast fourier transform (fft)...
TRANSCRIPT
DSP 6The Fast Fourier Transform (FFT)การแปลงฟรูิเยร์แบบเร็ว
รศ.ดร. พรีะพล ยวุภษิูตานนท์
ภาควชิา วศิวกรรมอเิล็กทรอนกิส์
DSP 6The Fast Fourier Transform (FFT)การแปลงฟรูิเยร์แบบเร็ว
CESdSP DSP6-1EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
เป้าหมาย• นศ รูจ้กัความหมายของ การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็ว (Fast
Fourier Transform :FFT) และผลการแปลงจากสญัญาณในโดเมนเวลา
• นศ เขา้ใจกระบวนการลดความซบัซอ้นดว้ยเทคนิก FFT
• นศ รูจ้กัความหมายของ การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็ว (FastFourier Transform :FFT) และผลการแปลงจากสญัญาณในโดเมนเวลา
• นศ เขา้ใจกระบวนการลดความซบัซอ้นดว้ยเทคนิก FFT
CESdSP DSP6-2EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DFT คาํนวณช้า...เพราะการคูณของเลขเชงิซ้อน
• DFT
• สงัเกตวา่ แตล่ะคา่ของ X(k) จาํนวนเชงิซอ้น• ถงึ N คา่ คอื x(0) ถงึ x(N-1)• และ ถา้ตอ้งการ X(k), k=0 ถงึ N-1 ก็ตอ้งคณูจาํนวน
เชงิซอ้น อกี N NxN หรือ N2• !!!
1
0
( ) ( ) , 0,1, ..., 1N
knN
n
X k x n W k N
โดยเลขเชิงซ้อน
• DFT
• สงัเกตวา่ แตล่ะคา่ของ X(k) จาํนวนเชงิซอ้น• ถงึ N คา่ คอื x(0) ถงึ x(N-1)• และ ถา้ตอ้งการ X(k), k=0 ถงึ N-1 ก็ตอ้งคณูจาํนวน
เชงิซอ้น อกี N NxN หรือ N2• !!!
เลขเชิงซ้อน
CESdSP DSP6-3EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
จาํนวนการคูณและบวกเลขจริงต่อ
ตวัอยา่ง
วธิทีาํ1 1 2 2 1 1( ).( )a jb a jb c jd
จงหาจาํนวนการคณูและบวก สาํหรบัการเลขเชงิซอ้นขา้งลา่ง1 1
2 2
X a jb
Y a jb
XY
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ).( ) ( )a jb a jb a a b b j b a a b
1 1 2 2 1 1( ).( )a jb a jb c jd
มกีารบวกสาม
มกีาร
CESdSP DSP6-4EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
จาํนวนการคูณเลขเช ิงซ้อนสาํหรับ 2-point DFT
0 02 20 1
2 2
(0) (0)
(1) (1)
X xW W
X xW W
กรณี N=2
2คณู0 0
2 2
0 12 2
(0) (0) (1)
(1) (0) (1)
X x W x W
X x W x W
มีการคณูเลขเชิงซ้อน 4
CESdSP DSP6-5EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
2
2 รอบ
คณู
จาํนวนการคูณเลขเช ิงซ้อนสาํหรับ 4-point DFT
0 0 0 04 4 4 40 1 2 3
4 4 4 40 2 4 6
4 4 4 40 3 6 9
4 4 4 4
(0) (0)
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
X xW W W W
X xW W W W
X xW W W W
X xW W W W
กรณี N=4
4คณู0 0 0 0
4 4 4 4
0 1 2 34 4 4 4
0 2 4 64 4 4 4
0 3 6 94 4 4 4
(0) (0) (1) (2) (3)
(1) (0) (1) (2) (3)
(2) (0) (1) (2) (3)
(3) (0) (1) (2) (3)
X x W x W x W x W
X x W x W x W x W
X x W x W x W x W
X x W x W x W x W
มีการคณูเลขเชิงซ้อน 16
CESdSP DSP6-6EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
4
4 รอบ
คณู
วธิ ีลดจาํนวนการคูณเลขเช ิงซ้อนลองมาดวูา่กรณี N=2 เราได้
22N W
10. 1.
2 2 20
( ) ( ) (0) (1) , 0,1kn k k
n
X k x n W x W x W k
เราได้
10. 1.
2 2 20
( ) ( ) (0) (1) , 0,1kn k k
n
X k x n W x W x W k
0
2
12
(0) (0).1 (1)
(1) (0).1 (1)
X x x W
X x x W
CESdSP DSP6-7EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
วธิ ีลดจาํนวนการคูณเลขเช ิงซ้อน (ต่อ)
02
12
1
1
W
W
(0) (0) (1)
(1) (0) (1)
X x x
X x x
โดยการคาํนวณ WN ไวก้่อน จะทาํใหล้ดการคณูเลขลง!!!
02
12
1
1
W
W
หรอื
CESdSP DSP6-8EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
The Fast Fourier Transform (FFT)เร็ว...เพราะการสลับลาํดับข้อมูล
• FFTแปลง DFT อยา่งเร็ว
• วธิี“แบง่แยกแลว้ปกครอง (Divide and conquer)” ก็
• เราใช้ การลดทอนทางเวลา (Decimation in time)หรือ DIT กบั N N เป็นเลขกาํลงัของ 2 หรือเรยีกวา่ Radix-2Radix-2 DIT-FFT
• FFTแปลง DFT อยา่งเร็ว
• วธิี“แบง่แยกแลว้ปกครอง (Divide and conquer)” ก็
• เราใช้ การลดทอนทางเวลา (Decimation in time)หรือ DIT กบั N N เป็นเลขกาํลงัของ 2 หรือเรยีกวา่ Radix-2Radix-2 DIT-FFT
CESdSP DSP6-9EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
x(n) for 4-point DFT (N=4)
x(0) x(1) x(2) x(3)x(0) x(1) x(2) x(3)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-10
n=0,1,2,3
x(n) for 4-point DFT (N=4)
x(0) x(2)x(1) x(3)
x(2n)x(2n+1)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-11
x(1) x(3) x(2n+1)
= เลขคู่ (Even) = (Odd)
n=0,1
3
40
.0 .1 .2 .34 4 4 4
( ) ( ) , 0,1,3, 4
(0) (1) (2) (3)
kn
n
k k k k
X k x n W k
x W x W x W x W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-12
3
40
.0 .1 .2 .34 4 4 4
( ) ( ) , 0,1,3, 4
(0) (1) (2) (3)
kn
n
k k k k
X k x n W k
x W x W x W x W
= เลขคู่ (Even) = (Odd)
3
40
1 1
4 40 0
.0 .2 .1 .34 4 4 4
( ) ( ) , 0,1,3, 4
(2 ) (2 1)
(0) (2) (1) (3)
kn
n
kn kn
n n
k k k k
X k x n W k
x n W x n W
x W x W x W x W
จดัเรียงข้อมูล3
40
1 1
4 40 0
.0 .2 .1 .34 4 4 4
( ) ( ) , 0,1,3, 4
(2 ) (2 1)
(0) (2) (1) (3)
kn
n
kn kn
n n
k k k k
X k x n W k
x n W x n W
x W x W x W x W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-13
.0 .2 .1 .34 4 4 4( ) (0) (2) (1) (3)k k k kX k x W x W x W x W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-14
.3 .(2 1) .24 4 4 4k k k kW W W W
2 .2 . .2 2 ..2 4 24 2
4 2
kk kk kW e e e W
.0 .2 .1 .0 .24 4 4 4 4( ) (0) (2) [ (1) (3) ]k k k k kX k x W x W W x W x W
.22
k kN NW W
2 .2 . .2 2 ..2 4 24 2
4 2
kk kk kW e e e W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-15
.0 .1 .1 .0 .12 2 4 2 2( ) (0) (2) [ (1) (3) ]k k k k kX k x W x W W x W x W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-16
1
1 20
( ) (2 ) , 0,1,2,3kn
n
X k x n W k
1
2 20
( ) (2 1) , 0,1,2,3kn
n
X k x n W k
ผลการแปลง DFT X(k) , k=0,1,2,3
01 4 2
11 4 2
21 4 2
31 4 2
(0) (0) (0)
(1) (1) (1)
(2) (2) (2)
(3) (3) (3)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-17
01 4 2
11 4 2
21 4 2
31 4 2
(0) (0) (0)
(1) (1) (1)
(2) (2) (2)
(3) (3) (3)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
21 4 2
2.0 2.12 2
(2) (2) (2)
(0) (2)
X X W X
x W x W
0.2
2 .( 2). 2 . . 2 .( 2).( 2). 2 2 2
2 2
1nN
k N n k n N n
k N n kN N NN N
W
W e e e W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-18
2 02 2
NN NW W
0.2
2 .( 2). 2 . . 2 .( 2).( 2). 2 2 2
2 2
1nN
k N n k n N n
k N n kN N NN N
W
W e e e W
2 .(0 2). 2 .0. 2 .2.2. 02 2 2
2 21
2 .(1 2). 2 .1. 2 .2.3. 12 2 2
2 21
n n nn
N
n n nn
N
W e e e W
W e e e W
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-19
2 .(0 2). 2 .0. 2 .2.2. 02 2 2
2 21
2 .(1 2). 2 .1. 2 .2.3. 12 2 2
2 21
n n nn
N
n n nn
N
W e e e W
W e e e W
01 4 2
11 4 2
21 4 2
31 4 2
(0) (0) (0)
(1) (1) (1)
(2) (0) (0)
(3) (1) (1)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
ผลการแปลง DFT X(k) , k=0,1,2,3(ลดรูป)
01 4 2
11 4 2
21 4 2
31 4 2
(0) (0) (0)
(1) (1) (1)
(2) (0) (0)
(3) (1) (1)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-20
• (signalflow graph) บตัเตอร์ฟลาย มกีารคณูเลขเชงิซอ้น สอง
บตัเตอร์ฟลาย Butterfly
1(0)x (0)X
02 1W
• (signalflow graph) บตัเตอร์ฟลาย มกีารคณูเลขเชงิซอ้น สอง
1(1)x (1)X
Note: จรงิๆแลว้แมว้า่ =1 สว่น = -1,นบัไปก่อนวา่เป็นเลขเชงิซอ้น
02 1W
12 1W
12W0
2W
CESdSP DSP6-21EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
หา 01 4 2(0) (0) (0)X X W X
(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
1(0)X
1(1)X
2 (0)X
04W
การรวม (Recomposition)
(1)x
(3)x
(2)X
(3)X
2 (0)X
2 (1)X
หมายเหต :ุ “1”CESdSP DSP6-22EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.comAssoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
หา 11 4 2(1) (1) (1)X X W X
(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
1(0)X
1(1)X
2 (0)X
04W
(1)x
(3)x
(2)X
(3)X
2 (0)X
2 (1)X
14W
การรวม (Recomposition)CESdSP DSP6-23EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.comAssoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
หา
(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
1(0)X
1(1)X 04 1W
2 21 4 2 1 4 2(2) (2) (2) (0) (0)X X W X X W X
14W
(1)x
(3)x
(2)X
(3)X
2 (0)X
2 (1)X
14W
24W
CESdSP DSP6-24EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
การรวม (Recomposition)
หา
(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
1(0)X
1(1)X0
4 1W
14W
3 31 4 2 1 4 2(3) (3) (3) (1) (1)X X W X X W X
(1)x
(3)x
(2)X
(3)X
2 (0)X
2 (1)X
14W
24W
34W
CESdSP DSP6-25EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
การรวม (Recomposition)
ผลลพัท์ทา้ยสดุคอื 4-point DIT-FFT
(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
1(0)X
1(1)X
2 (0)X
04 1W
14W
10
4W
24W
1(1)x
(3)x
(2)X
(3)X
2 (0)X
2 (1)X
14W
24W
34W
24W
10
4W
24W
2-point DFT x 2CESdSP DSP6-26EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.comAssoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
การรวม (Recomposition)
x(n) for 8-point DFT (N=8)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-27
x(n) for 8-point DFT (N=8)
x(0) x(2) x(4) x(6)x(1) x(3) x(5) x(7)
x(2n)x(2n+1)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.YuvapoositanonDSP6-28
x(1) x(3) x(5) x(7) x(2n+1)
8-point DIT-FFT2
8 488 2 2
j jN W e e j
7
80
0. 1. 2. 3.8 8 8 8
4. 5. 6. 7.8 8 8 8
( ) ( ) , 0, ..., 7
(0) (1) (2) (3)
(4) (5) (6) (7)
nk
n
k k k k
k k k k
X k x n W k
x W x W x W x W
x W x W x W x W
7
80
0. 1. 2. 3.8 8 8 8
4. 5. 6. 7.8 8 8 8
( ) ( ) , 0, ..., 7
(0) (1) (2) (3)
(4) (5) (6) (7)
nk
n
k k k k
k k k k
X k x n W k
x W x W x W x W
x W x W x W x W
0. 2. 4. 6.8 8 8 8
1. 3. 5. 7.8 8 8 8
( ) (0) (2) (4) (6)
(1) (3) (5) (7)
k k k k
k k k k
X k x W x W x W x W
x W x W x W x W
จดัรปูแบบใหม่
CESdSP DSP6-29EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
8-point DIT-FFT (ต่อ)
22 .2
2 2/ 2
jN
jN
N NW e e W
จาก
.0 .2 .4 .68 8 8 8
.1 .0 .2 .4 .68 8 8 8 8
( ) (0) (2) (4) (6)
(1) (3) (5) (7)
k k k k
k k k k k
X k x W x W x W x W
W x W x W x W x W
2
2 .22 2
/ 2
jN
jN
N NW e e W
.0 .1 .2 .34 4 4 4
.1 .0 .1 .2 .38 4 4 4 4
( ) (0) (2) (4) (6)
(1) (3) (5) (7)
k k k k
k k k k k
X k x W x W x W x W
W x W x W x W x W
สงัเกตวา่ เหลอืเพยีงการคาํนวณสาํหรบั 4-point DFT
1( )X k
2 ( )X k
CESdSP DSP6-30EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
ลดรูปลงได้อ ีกไหม?
1 1( ) ( 4)X k X k 2 2( ) ( 4)X k X k
01 8 2
11 8 2
21 8 2
31 8 2
(0) (0) (0)
(1) (1) (1)
(2) (2) (2)
(3) (3) (3)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
41 8 2
51 8 2
61 8 2
71 8 2
(4) (0) (0)
(5) (1) (1)
(6) (2) (2)
(7) (3) (3)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
ไดใ้ชป้ระโยชน์จากความเป็นคาบของสญัญาณ
01 8 2
11 8 2
21 8 2
31 8 2
(0) (0) (0)
(1) (1) (1)
(2) (2) (2)
(3) (3) (3)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
41 8 2
51 8 2
61 8 2
71 8 2
(4) (0) (0)
(5) (1) (1)
(6) (2) (2)
(7) (3) (3)
X X W X
X X W X
X X W X
X X W X
CESdSP DSP6-31EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
8-point บตัเตอร์ฟลาย(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
(2)X
(3)X
08W
18W
28W
4-pointDFT(4)x
(6)x
1(1)X
1(2)X
1(3)X
1(0)Xการรวม (Recomposition)
(3)X3
8W
(4)X
(5)X
(6)X
(7)X
4-pointDFT
(6)x
(1)x
(3)x
(5)x
(7)x
2 (0)X
2 (1)X
2 (2)X
2 (3)X
48W
58W
68W
78W
CESdSP DSP6-32EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
แต่เรายังลดรูปได้อ ีก.1
1 8 2( ) ( ) ( ), 0, ..., 7kX k X k W X k k .0 .1 .2 .3
1 4 4 4 4
.0 .1 .2 .34 4 4 4
.0 .2 .1 0. .24 4 4 4 4
( ) (0) (2) (4) (6)
(0) (2) (4) (6)
(0) (4) (2) (6)
k k k k
k k k k
k k k k k
X k x W x W x W x W
x W x W x W x W
x W x W W x W x W
จาก สมการ 8-point DFT 4-point DFTx2
.0 .1 .2 .31 4 4 4 4
.0 .1 .2 .34 4 4 4
.0 .2 .1 0. .24 4 4 4 4
( ) (0) (2) (4) (6)
(0) (2) (4) (6)
(0) (4) (2) (6)
k k k k
k k k k
k k k k k
X k x W x W x W x W
x W x W x W x W
x W x W W x W x W
2-point DFT1 ( )aX k 1 ( )bX k
2-point DFT
4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTx2
CESdSP DSP6-33EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
แยก 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTสาํหรับ x(0),x(2),x(4) และ x(6)
(0)x
(2)x 4-pointDFT
1(1)X
1(0)X(0)x
(4)x
1(0)X
1(1)X
104 1W
14W
104W
24W
4-pointDFT
(4)x
(6)x
1(2)X
1(3)X
1(2)X
1(3)X
14W
24W
34W
24W
04W
24W
(2)x
(6)x
CESdSP DSP6-34EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
สาํหรบั x(1),x(3),x(5) และ x(7)
1.1 8 2( ) ( ) ( ), 0, ..., 7kX k X k W X k k
.0 .1 .2 .32 4 4 4 4
0. .2 .1 .34 4 4 4
0. .2 .1 .1 .34 4 4 4 4
( ) (1) (3) (5) (7)
(1) (5) (3) (7)
(1) (5) (3) (7)
k k k k
k k k k
k k k k k
X k x W x W x W x W
x W x W x W x W
x W x W W x W x W
.0 .1 .2 .32 4 4 4 4
0. .2 .1 .34 4 4 4
0. .2 .1 .1 .34 4 4 4 4
( ) (1) (3) (5) (7)
(1) (5) (3) (7)
(1) (5) (3) (7)
k k k k
k k k k
k k k k k
X k x W x W x W x W
x W x W x W x W
x W x W W x W x W
2-point DFT2 ( )aX k 2 ( )bX k
2-point DFT
4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTx2
CESdSP DSP6-35EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
แยก 4-point DFT ออกเป็น 2-point DFTสาํหรับ x(1),x(3),x(5) และ x(7)
(1)x
(3)x 4-pointDFT
(1)x
(5)x
104 1W
14W
104W
24W
2 (0)X
2 (1)X
2 (0)X
2 (1)X4-pointDFT
(5)x
(7)x
14W
24W
34W
24W
04W
24W
(3)x
(7)x
2 (2)X
2 (3)X
2 (2)X
2 (3)X
CESdSP DSP6-36EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DIT-FFT สาํหรับ N=8(0)X
(1)X
(2)X
(3)X
(0)x
(2)x
(4)x
(6)x
08W
48W
08W
28W
08W
48W
68W
18W
08W
28W
(3)X(6)x
(1)x
(3)x
(5)x
(7)x
48W
08W
48W
08W
48W
68W
28W
08W
48W
68W
38W
48W
58W
68W
78W
(4)X
(5)X
(6)X
(7)X
CESdSP DSP6-37EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
สรุป8-point DFT แตกตัวออกได้จนเหลือ 2-point
DFT8-point DFT
4-point DFT + Wk8 x 4-point DFT
8-point DFT
4-point DFT + Wk8 x 4-point DFT
2-point DFT + W4k x 2-point DFT 2-point DFT + W4
k x 2-point DFT
CESdSP DSP6-38EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
กรณี 8-point DIT-FFT(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
(2)X
(3)X
(4)x
(6)x
1(1)X
1(2)X
1(3)X
1(0)X
ตวัรวม8-point DFT(Recomposition to8-point DFT)
2 point
DFT
2 point
DFT
ตวัรวม4-point DFT
(3)X(6)x
(1)x
(3)x
(5)x
(7)x
2 (0)X
2 (1)X
2 (2)X
2 (3)X
ตวัรวม8-point DFT(Recomposition to8-point DFT)2 point
DFT
2 point
DFT
ตวัรวม4-point DFT
(4)X
(5)X
(6)X
(7)X
CESdSP DSP6-39EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
กรณี N-point DIT-FFT2-point DFT
2-point DFT
2-point DFT
/ 4N
/ 4N
/ 2N
/ 4N
/ 4N/ 2N
N2-point DFT
2-point DFT
2-point DFT
/ 4N
/ 4N
/ 2N
/ 4N
/ 4N
/ 2N
N
CESdSP DSP6-40EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
ทาํไม FFT ใช้การคาํนวณเพยีง N log2N ?
22
RN
R เป็น (stage) เราจะไดว้า่
2 2 2log log 2 log 2RN
จงึได้2
2
log 1
log 1
N R
R N
จงึได้
สาํหรบั 4–point DFT, R=1สาํหรบั 8–point DFT, R=2
CESdSP DSP6-41EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
(R)
422
4-point DFT
การรวม (R)= 18
4
4
222
8-point DFT
การรวม (R)= 1 422
การรวม (R)= 1 2
CESdSP DSP6-42EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
จาํนวนบตัเตอร์ฟลายต่อคอลัมน์ (B)
422
4-point DFT
84
4
222
8-point DFT
จาํนวนบตัเตอร์ฟลาย (B)=
422
จาํนวนคอลมัน์ 2 จาํนวนบตัเตอรฟ์ลาย (B)= 4 4 4
จาํนวนบตัเตอร์ฟลาย (B)= 2 2
จาํนวนคอลมัน์ 3CESdSP DSP6-43EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.comAssoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
จาํนวนการคูณเลขเช ิงซ้อน• จ.น.บตัเตอร์ฟลายตอ่คอลมัน์X จ.น.คอลมัน์ X มีการคณู
2
2
2
( / 2) log 2
(log )
N N
N N
2
2
( / 2) log 2
(log )
N N
N N
CESdSP DSP6-44EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
ของ DFT และ FFTเราลดการคาํนวณ จาก เหลอื2N 2logN N
N DFTN2
FFT(N log2N)
248:
256512
1,024
41664:
65,536262,144
1,048,576
2824:
2,0484,60810,240
248:
256512
1,024
41664:
65,536262,144
1,048,576
2824:
2,0484,60810,240
CESdSP DSP6-45EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
ปรับปรุงบตัเตอร์ฟลายr
NW
/ 2r NNW เราทราบวา่ / 2 1N
NW
จาก
r= เลขใดๆ
-1rNW
ทาํใหเ้หลอื จ.น.การคณูเลขเชงิซอ้นเป็น (N/2)log2N
1
CESdSP DSP6-46EEET0485 Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
1
(0)x
(2)x
(0)X
(1)X
11(0)X
1(1)X
2 (0)X
1
11
11
-1
1
1
บตัเตอร์ฟลาย 4-point DFT
1
11
-1 -1
(1)x
(3)x
(2)X
(3)X14W
2 (0)X
2 (1)X
11
-1
-1
04W
เหลือจ.น. การคณูเลขเชิงซ้อนเพียง (N/2)log2N= 4CESdSP DSP6-47EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.comAssoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
สรุป• FFT ก็คอื DFT แตเ่ป็นการสลบัตาํแหน่งขอ้มลูและเทค
Decimation in Time (DIT) และDIT-FFT
• การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็ว (FFT) แบบจะทาํใหเ้หลือการคณูเลขเชงิซอ้นเหลือเพียง Nlog2N N2
DFT• หรืออาจจะลดการคณูเลขเชงิซอ้นลงไดอ้กีเป็น (N/2)
log2N หากใชก้ารปรบัปรุงบตัเตอร์ฟลาย
• FFT ก็คอื DFT แตเ่ป็นการสลบัตาํแหน่งขอ้มลูและเทค
Decimation in Time (DIT) และDIT-FFT
• การแปลงฟูรเิยร์แบบเร็ว (FFT) แบบจะทาํใหเ้หลือการคณูเลขเชงิซอ้นเหลือเพียง Nlog2N N2
DFT• หรืออาจจะลดการคณูเลขเชงิซอ้นลงไดอ้กีเป็น (N/2)
log2N หากใชก้ารปรบัปรุงบตัเตอร์ฟลายCESdSP DSP6-48EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.comAssoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon