d.ssa roberta romanelli psicometria ii (fascia i-z)
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d.ssa Roberta RomanelliPsicometria II (fascia I-Z)
http://www.psicometria.unich.it
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• L’ANOVA è una tecnica statistica che permette di verificare ipotesi su differenze tra medie di 2 o più popolazioni.
Che cosa è?
Var. DipendenteScala a Intervalli e/o a Rapporti
equivalenti
Var. Indipendente
Scala Nominale
Gruppo sperimentale VS Gruppo di controllo
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TerminologiaVariabile indipendente/
sperimentaleuna variabile che il
ricercatore sottopone a manipolazione sperimentale
Variabile quasi-indipendente una variabile utilizzata per
distinguere fra diversi gruppi di
risultati (es: sesso)
Variabile dipendente: una variabile il cui valore è determinato da quello dei fattori
FATTORI
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• È una tecnica statistica basata sulla scomposizione della variabilità totale dei dati in due parti:
Una prima definizione
VARIABILITA’ SPERIMENTALE che
è dovuta alle variabili introdotte o
studiate dallo sperimentatore
VARIABILITA’ ACCIDENTALE o
RESIDUA dovuta a tutte le variabili che
non è possibile controllare o che non sono state controllate
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può assumere diversi valoriOgni punteggio Y dipende dal gruppo cui appartiene il soggetto
(più un errore).
Possiamo prevedere il
punteggio di ogni soggetto in base
al gruppo cui appartiene
Come verifichiamose i punteggi
osservati dipendono
dall’appartenenza a gruppi diversi?
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1 2 … j k1 x11 x12 … x1j x1k
2 x21 x22 . . . … . . . … i xi1 xi2 … xij xik
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .n xn1 xn2 … xnj xnk
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• Differenza tra le medie = Variabilità tra gruppi
VARIABILITA’ TOTALE
VARIABILITA’ TRA I GRUPPI (o Between)
VARIABILITA’ ENTRO I GRUPPI
(o Within)
-Trattamento- Differenze individuali-Errore casuale
- Differenze individuali-Errore casuale
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• Differenza tra le medie = Variabilità tra gruppi
VARIABILITA’ TOTALE
VARIABILITA’ TRA I GRUPPI (o Between)
VARIABILITA’ ENTRO I GRUPPI
(o Within)
Viene isolata eliminando la variabilità che esiste all’interno di ogni gruppo
Deve essere isolata dalla variabilità tra i gruppi
Il punteggio ottenuto da ogni soggetto viene confrontato con la media generale
Il punteggio ottenuto da ogni soggetto viene confrontato con la media del proprio gruppo
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• Non ci sono differenze significative tra le medie dei gruppi• Il trattamento non produce effetti• La variabilità tra gruppi e quella entro i gruppi sono molto
simili perché comprendono entrambe solo la varianza d’errore
Quando l’IPOTESI NULLA è vera
• Ci sono differenze significative tra le medie dei gruppi• Il trattamento produce effetti• La variabilità tra gruppi sarà maggiore di quella entro i
gruppi
Quando l’IPOTESI NULLA è falsa
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Il modello teorico
Media generale dei punteggi nel campione totale
Effetto dovuto al trattamento
Errore casuale (o Residuo)
-È specifica per ogni soggetto- Il suo valore dipende da:
- differenze individuali tra i soggetti-Errore di specificazione del modello-Non attendibilità delle misure
Questo modello è relativo ai dati della
popolazione
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…. Noi lavoriamo sulle stime campionarie dei parametri della popolazione….
Stima
Media generale del campione
Differenza tra la media dei gruppi e la media generale del campione
Differenza tra il punteggio del soggetto e la media del gruppo in cui si trova
Quanto il punteggio del soggetto j è determinato
dall’appartenenza alla condizione
i
Variabilità dei punteggi del
soggetto j all’interno di ogni gruppo
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Solo 1 Var.Indipendente ANOVA A 1 VIA
2 o più Var.Indipendenti ANOVA FATTORIALE
Solo 1 Var.Dipendente ANOVA UNIVARIATA
2 o più Var.Dipendenti ANOVA MULTIVARIATA o MANOVA
Classificazione generale
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• È definita anche:• “Disegno di ricerca tra i soggetti” ad un solo
fattore• Disegni per gruppi indipendenti
• La condizione sperimentale è determinata dai livelli della VI
• Ad ogni condizione troviamo un gruppo di soggetti diversi
Gruppi indipendenti
ANOVA UNIVARIATA
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• 3 gruppi esposti a 3 trattamenti diversi T1,T2,T3.
• La media complessiva è 10
Se il punteggio del soggetto fosse dovuto solo all’effetto della media allora ….
Esempio
T1 T2 T3
10 10 10
10 10 10
TUTTI I SOGGETTI HANNO LO STESSO PUNTEGGIO
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• Se il trattamento ha effetto. Ad esempio:– T1: diminuzione di 2
punti– T2: diminuzione di 1
punto– T3: aumento di 3
puntiIl punteggio di ogni
soggetto sarà:
• Se nel punteggio influiscono sia la media generale, sia il trattamento sia la variabilità dovuta all’errore casuale
Il punteggio di ogni soggetto sarà:
T1 T2 T3
8 9 13
8 9 13
T1 T2 T3
9 (ε = 1) 8 (ε = -1) 13 (ε=0)
7 (ε = -1) 9 (ε = 0) 13 (ε=1)
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somma dei quadrati degli scostamenti di ogni punteggio dalla media
La devianzaDEVIANZA
1)DEVIANZA TOTALE Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi ( ) dalla media generale ( )
2) DEVIANZA TRA I GRUPPI Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi (o Dev. BETWEEN) medi del gruppo di appartenenza ( ) dalla media generale
3) DEVIANZA ENTRO I GRUPPI Somma dei quadrati degli scarti dei punteggi di (o Dev. WITHIN) ogni singolo soggetto ( ) dalla media del
gruppo di appartenenza ( )
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…..in formuleDEVIANZA
TOTALE
DEVIANZA BETWEEN
DEVIANZA WITHIN+
= +
n - 1
k - 1 n - k
n – 1 = k – 1 + n - k
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Riprendendo i dati dell’esempio precedente
Calcoliamo le devianze:
… esempio
T1 T2 T3
9 (ε = 1) 8 (ε = -1) 13 (ε=0)
7 (ε = -1) 9 (ε = 0) 13 (ε=1)
media 8 8,5 13
yij Gr.appartenenza
Dev.Totale Dev.Between
Dev.Within
9 1 (9-10)2= 1 (8-10)2 (9-8)2
7 1 (7-10)2= 9 (8-10)2 (7-8)2
8 2 (8-10)2= 4 (8.5-10)2 (8-8.5)2
9 2 (9-10)2= 1 (8.5-10)2 (9-8.5)2
13 3 (13-10)2= 9 (13-10)2 (13-13)2
14 3 (14-10)2=16 (13-10)2 (14-13)2
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• Dividendo le devianze per i rispettivi gradi di libertà otteniamo:
…. come ricaviamo la varianza?
Riflette l’effetto del trattamento sperimentale, delle differenze
individuali e dell’errore
Riflette l’effetto delle differenze individuali e
dell’errore casuale
Differenze sulla VD tra le medie dei gruppi sottoposti a trattamenti diversi
Differenze sulla VD tra i punteggi di soggetti appartenenti allo stesso gruppo
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FONTI DI VARIAZION
EDEVIANZA GDL VARIANZA CONFRONTI
Trai i gruppik - 1
Entro i gruppi/residua
n – k
Totale n - 1
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• Supponiamo di aver effettuato un esperimento nel quale abbiamo assegnato casualmente 10 soggetti ad un gruppo sperimentale e di controllo.
• Supponiamo che la nostra variabile dipendente sia QUANTITA’ DI PAROLE DI UNA LISTA RICORDATE DOPO 5 MINUTI
• Supponiamo che la nostra variabile indipendente sia MODO DIVERSO DI DARE LE ISTRUZIONI (amichevole VS neutro)
Esempio
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Modo amichevole (gr. Sperimentale)
Modo neutro (gr. di Controllo)
Soggetto
Nr. Parole ricordate
Soggetto
Nr. Parole ricordate
1 10 1 8
2 10 2 7
3 14 3 10
4 16 4 14
5 15 5 11
MEDIAMEDIA 1313 MEDIAMEDIA 1010
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Media totale = 11,5
Gr.Sperimentale
Gr. Controllo
10 8 (13-11,5)2 (10-11,5)2
10 7 (13-11,5)2 (10-11,5)2
14 10 (13-11,5)2 (10-11,5)2
16 14 (13-11,5)2 (10-11,5)2
15 11 (13-11,5)2 (10-11,5)2
Media Media gr.sperimentagr.sperimenta
lele1313
Media Media gr.controllgr.controll
oo1010
11,2511,25 11,25
DEVIANZA BETWEEN CON DEVIANZA BETWEEN CON k-1 gdlk-1 gdl
11,25 + 11,25 = 22,50 con 2-1=1 gdl
Calcoliamo la variabilità between
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Media totale = 11,5
Gr.Sperimentale
Gr. Controllo
10 8 (10-13)2 (8-10)2
10 7 (10-13)2 (7-10)2
14 10 (14-13)2 (10-10)2
16 14 (16-13)2 (14-10)2
15 11 (15-13)2 (11-10)2
Media Media gr.sperimentalgr.sperimental
ee1313
Media Media gr.controllogr.controllo
1010 3232 30
DEVIANZA WITHIN CON n-k DEVIANZA WITHIN CON n-k gdlgdl
32+30= 62 con 10-2=8 gdl
Calcoliamo la variabilità within
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FONTI DI VARIAZION
E
DEVIANZA
GDL VARIANZA CONFRONTI
Trai i gruppi 22,501 22,50/1=22,
50F = 22,50/7,75
= 2,90
Entro i gruppi/residua 62 8 62/8 = 7,75
Totale 84,50 9
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Con le formule abbreviate…
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1 2 … j k1 x11 x12 … x1j x1k
2 x21 x22
. . . …
. . . …
i xi1 xi2 … xij xik
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
n xn1 xn2 … xnj xnk
T1 T2 Tj Tk TQ1 Q2 Qj Qk Qn1 n2 nj nk Nμ1 μ2 μj μk μ
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CQDevT
Cn
TDev
k
1jj
2
B
j
k
1jj
2
W n
TQDev j
Somma dei Qj
Somma dei singoli valori elevati al quadrato di ciascun campione
NT
C2
Somma dei singoli valori di ciascun campione
Somma dei Tj
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gruppo 1 gruppo 2 gruppo 3soggetti xi1 xi1
2 xi2 xi22 xi3 xi3
2
1 2 4 2 4 1 12 1 1 4 16 1 13 3 9 3 9 2 44 2 4 2 4 2 45 1 1 4 16 1 1
T1=9 Q1=19 T2=15 Q2=49 T3=7 Q3=11
317159 T 79114919 Q
07.6415
312
C
93.1407.6479DevT
CQDevT
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gruppo 1 gruppo 2 gruppo 3soggetti xi1 xi1
2 xi2 xi22 xi3 xi3
2
1 2 4 2 4 1 12 1 1 4 16 1 13 3 9 3 9 2 44 2 4 2 4 2 45 1 1 4 16 1 1
T1=9 Q1=19 T2=15 Q2=49 T3=7 Q3=11
07.6415
312
C
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• Le osservazioni devono essere raccolte indipendentemente le une dalle altre: il punteggio che presenta un soggetto non deve essere stato influenzato da quello osservato in un altro soggetto
• Gli errori εij si distribuiscono normalmente con media =0. Indici di Asimmetria e Curtosi
• La variabile indipendente ha k≥2 livelli ed è su scala nominale o ordinale
• La variabile dipendente è misurata su scala a intervalli e/o a rapporti equivalenti
Assunzioni di base
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• OMOSCHEDASTICITA’: in base alla quale la varianza degli errori σε deve essere uguale in ogni gruppo ( test di Levene). Se non è rispettata i diversi gruppi hanno un peso diverso nel determinare la varianza d’errore
• Gli effetti hanno natura addittiva la VI aggiunge qualcosa alla condizione base in maniera identica per tutti i soggetti
• Gli errori εij devono essere indipendenti il punteggio di un soggetto non deve essere correlato con quello di altri soggetti. Randomizzazione
Assunzioni di base
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• Il test di verifica delle ipotesi si basa sulle seguenti considerazioni:
– Se HO è vera i dati differiscono tra loro solo per l’effetto del caso
– Se H1 è vera entrambe le fonti di variabilità determinano la variabilità complessiva
Verifica delle ipotesi (1)
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• Segue la distribuzione della F
Verifica delle ipotesi (2)
Le ipotesi che esamina sono:Ho le popolazioni da cui provengono i campioni hanno medie uguali sulla VD
H1 almeno due medie sono diverse, cioè almeno due campioni provengono da popolazioni con medie diverse tra loro
![Page 35: D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/5542eb64497959361e8cf24f/html5/thumbnails/35.jpg)
• Si fissa il livello di α (solitamente pari a .05)
• Si calcolano i Gradi di Libertà
• Si calcola il valore dell’Fcrit(gdlB, gdlW) usando le tavole
• Si calcola il valore del nostro F secondo la formula Fott = VarB/VarW
Verifica delle ipotesi (3)
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Verifica delle ipotesi (4)
• Si prende una decisione:– Se Fott < Fcrit si accetta H0
le medie delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti non sono significativamente diverse
• Il trattamento non produce effetto
• Le VarB e VarW sono molto simili
• F assume valori bassi, cioè F<1
![Page 37: D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/5542eb64497959361e8cf24f/html5/thumbnails/37.jpg)
– Se Fott > Fcrit si rifiuta H0
almeno due medie delle popolazioni da cui i campioni sono stati estratti sono significativamente diverse La VarB sarà > della VarW
F assume valori elevati
![Page 38: D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/5542eb64497959361e8cf24f/html5/thumbnails/38.jpg)
I pacchetti statistici forniscono due indicazioni:• il valore della statistica test• il p-value
Il p-value rappresenta, intuitivamente, la probabilità di osservare, sotto l’ipotesi nulla, un valore meno verosimile di quello dellastatistica test.
P-value
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• Il p-value (p) `e quindi un valore compreso tra 0 e 1 tale che:
– se α < p si accetta H0
– se α > p si rifiuta H0
• Il p-value è molto utile perchè consente di fare il test anche non conoscendo nei dettagli la regola di decisione specifica (è sufficiente conoscere l’ipotesi nulla).
Il test mediante il p-value
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• Se i gruppi (k) sono 2 t di Student F di Fisher
• Se i gruppi (k) sono più di 2 non si può usare la t di Student perché:a) I diversi t non sono indipendenti:
aumento del livello di α
a) Diminuzione della potenza del testb) La varianza d’errore è maggiore con la t di
Student perché la numerosità del campione è ridotta.
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• Se F è significativo e quindi la VI ha un effetto significativo possiamo dire che:
Almeno tra due delle medie dei gruppi a confronto esiste una differenza significativa
Ma quali gruppi
differiscono?
Uso dei confronti
![Page 42: D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/5542eb64497959361e8cf24f/html5/thumbnails/42.jpg)
• Il ricercatore non può selezionare in anticipo i gruppi da confrontare
• Ogni media viene confrontata con tutte le altre
Confronti post hoc
k (k – 1) /2
Il livello di probabilità per un confronto è α
Il livello di probabilità per k confronti è
Svantaggio
All’aumentare del numero dei gruppi aumenta il numero dei confronti
Aumenta la probabilità di commettere l’errore di I° Tipo (rifiuto Ho quando è vera)
![Page 43: D.ssa Roberta Romanelli Psicometria II (fascia I-Z)](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062300/5542eb64497959361e8cf24f/html5/thumbnails/43.jpg)
• Il ricercatore decide in anticipo quali medie vanno confrontate.
• Le medie possono essere relative ai singoli gruppi oppure è possibile combinare le medie di più gruppi
• Per valutare la significatività del gruppo di confronti pianificati, si usa il livello di significatività che si utilizzerebbe se si facesse un unico confronto.
Confronti pianificati