Dva dnys

didaktikou matematiky2014

Sborník příspěvků

Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta

Praha, 13.–14. 2. 2014

Organizátor:

Katedra matematiky a didaktiky matematiky,Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta

Společnost učitelů matematiky JČMF

Programový a organizační výbor:

Naďa Vondrová (předsedkyně)Antonín JančaříkDarina JirotkováMichaela Kaslová

Editor:

Naďa Vondrová (e-mail: nada.vondrova@pedf.cuni.cz)

Programový a organizační výbor děkuje studentům a doktorandům za pomoc při or-ganizaci konference.

Tato publikace neprošla jazykovou úpravou. Příspěvky nebyly recenzovány. Za ob-sah příspěvků odpovídají autoři.

Vyšlo v roce 2014. Systémem LATEX zpracovali Zuzana Kocourková a Jan Kozubek.

ISBN 978-80-7290-801-1

Obsah

ZVANÁ PŘEDNÁŠKA 9

Řešení a tvoření úloh (nejen v přípravě učitelů)Alena Hošpesová, Marie Tichá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

PRACOVNÍ DÍLNY 18

Veria ľudia dôkazom?Anino Belan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Hry vo vyučovaní matematikyMária Beniačiková, Alžbeta Brišová, Miriam Dubovská,Daniela Guffová, Michaela Chvojková, Elena Murinová . . . . . . . . . . . . . 25

Jak si zavázat boty, rozstříhat čtverecANEB zase ta Pythagorova věta

Alice Bílá, Veronika Havelková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Chyby, překážky a výuka matematikyJarmila Novotná . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Využití analogií ve výuce matematikyEva Patáková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Tabulka 100 – gradované úlohyJana Slezáková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Aditivní mnohoúhelníkyAnna Sukniak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Matematické rarity a jejich role ve výuce na 2. stupni ZŠ a na SŠLukáš Vízek, Petr Řehák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3

JEDNÁNÍ V SEKCÍCH 62

Tvorba video-databázy pomocou pera SmartPenKatarína Furcoňová, Veronika Hubeňáková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Využitie GeoGebry pri riešení lineárnych optimalizačných úlohŠtefan Gubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Formulator Tarsia – jednoduchý program pro tvorbumatematických skládaček

Veronika Havelková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Možnosti GeoGebry pri medzipredmetových vzťahochmatematiky a fyziky

Ladislav Jaruska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Tvorba problémů jako motivační faktor i jako nástrojintelektového rozvoje dítěte

Michaela Kaslová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Aplikačné úlohy zo stochastiky pre 8. ročník ZŠZuzana Kellnerová, Jaroslava Brincková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Využitie e-testov pri rozvíjaní schopnosti odhadu v školskejmatematike

Lilla Koreňová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Proces řešení slovních úloh žáky prvního stupněMichaela Králová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Výuka elementární matematiky pro posluchače s rozdílnýmivstupními znalostmi na oboru Arts management na VŠE

Ondřej Machek, Hana Scholleová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Výuka matematiky metodou CLIL – jak sladit jazykovéa matematické cíle výuky

Hana Moraová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

Lineární rovnice (Analýza učebnic ZŠ)Anežka Nováková . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

Využití aplikačních úloh při zavádění soustav lineárních rovnicTomáš Novotný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

Uchopení matematických výukových prostředí dětmipředškolního věku (5–7 let)

Jana Slezáková, Eva Šubrtová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4

Kombinované studium matematiky I– sonda do názorů studentů

Dana Smetanová, Jana Vysoká . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Tabuľkový kalkulátor vo vyučovaní algebry na ZŠNoémi Székelyová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Koncepce kombinatoriky s důrazem na problem-solvingPavel Šalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

K jednomu způsobu řešení slovních úloh o společné práciFrantišek Šíma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Sebehodnocení žáků (nejen) v hodinách matematikyVladimír Škuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Studentské reflexe výuky elementární matematiky metodoubudování schémat

Renáta Zemanová . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5

Milí čtenáři, všichni, kteří se zajímáte o vyučování matematice,

skutečnost, že se stále scházíme na konferenci Dva dny s didaktikou matema-tiky a že nacházíme stále nová a nová témata, která nás uchvacují, pálí, zajímajía někdy i děsí, jen dokazuje, že didaktika matematiky je dynamický obor, respektiveže práci učitele matematiky či badatele v didaktice matematiky můžeme považo-vat za svým způsobem dobrodružnou. Vydejme se tedy na exkurzi do „krajinydidaktiky matematikyÿ popsané v tomto sborníku.

Některé následující texty se nás snaží poučit, jiné nám nabízejí oporu pro přípravuhodin, plánů či pro vlastní reflexi, další nám pomáhají analyzovat a interpretovatnám více či méně známé situace. Každý text plní kromě role po/naučné i rolisvým způsobem inspirativní, záleží na úhlu pohledu čtenáře. Může se tedy stát, žese na tentýž článek podíváte podruhé a může nás oslovit novým způsobem třebai do té míry, že se k nám na následujících Dnech s didaktikou matematiky 2015,2016,. . . vrátíte a obohatíte nové sborníky i o vlastní náhledy.

Těšíme se na Vás.

Za programový a organizační výbor

Michaela Kaslová

7

ZVANÉ PŘEDNÁŠKY

Řešení a tvoření úloh (nejen v přípravě učitelů)

Alena Hošpesová, Marie Tichá1

Řešení slovních úloh patří v matematickém vzdělávání na základní škole k nejobtíž-nějším oblastem učiva. Někteří autoři (i naše vlastní výsledky) ukazují, že úspěšnéřešení úloh můžeme podpořit tím, že řešitelé úlohy také tvoří. V příspěvku jsoupřipomenuty různé možnosti tvoření úloh (k danému výpočtu, se zadanými údajinebo výsledkem, určené struktury) a jejich ilustrace pomocí úloh vytvořených stu-denty učitelství. Z výsledků našich šetření vyplývá, že tvoření úloh lze vnímat jakocíl vzdělávání, vzdělávací a diagnostický prostředek a také jako zdroj motivace.

Souvislost řešení a tvoření úloh

Řešení slovních úloh je jedna z nejobtížnějších partií učiva v základním matematic-kém vzdělávání. Např. (Rendl, Vondrová et al., 2013) označují řešení slovních úlohza kritické místo. Důvodů je řada. Jmenujme alespoň:

• není možné nacvičit se žáky algoritmus, který by „bezpečněÿ vedl k vyře-šení úlohy; řešení úloh spočívá v řadě rozhodnutí užít při řešení posloupnostmetod, o které se domnívám, že povede k nalezení výsledku (Tichá, 1982),

• při řešení se zapojují složitější myšlenkové operace ve smyslu revidovanéBloomovy taxonomie: hledání faktů – transformace – výpočty – ověření –transformace (Anderson & Krathwohl, 2001).

Proces řešení úloh byl popsán mnoha autory. V tabulce 1 ukažme alespoň dvaz nich (Polya, 1957; Fridman, 1977).

Na celý proces řešení slovní úlohy se můžeme dívat jako na rozhovor řešiteles úlohou (Jak začít? Jak pokračovat z dosaženého stavu?) (Tichá, 1982). Svá roz-hodnutí řešitel modifikuje na základě informací od úlohy a konfrontace s cílem(otázkou úlohy). Střídá se řešení úlohy a tvoření otázek, resp. úloh. Řešení úloh

1Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, hospes@pf.jcu.cz;Matematický ústav AV ČR, v.v.i, ticha@math.cas.cz

9

G. Polya L. M. Fridman– uchopení úlohy – analýza úlohy

– stanovení strategie – hledání plánu řešení

– realizace strategie – uskutečnění nalezeného plánu

– interpretace řešení – kontrola a posouzení celé činnosti při řešení úlohy

Tab. 1

a tvoření úloh jsou tak činnosti vzájemně propojené. Závěrem řady uskutečněnýchvýzkumů je, že úspěšné řešení úloh můžeme podpořit tím, že řešitelé úlohy takétvoří (Tichá & Hošpesová, 2010).

Ve školním vyučování často učitel žákovi poskytuje podporu při řešení úlohy,např. tím, že úlohu přeformulovává, tvoří její jednodušší variantu, formuluje otázky„vedlejšíchÿ úloh (Dopočítejte si . . . ).

V našem předchozím výzkumu jsme realizovaly řadu studií, kdy žáci a studentitvořili úlohy, např.:

• k danému výpočtu,

• se zadanými údaji, např. se zadaným výsledkem (Tichá & Hošpesová, 2011),

• určené struktury apod.

Většinou jsme se zaměřovaly na tvoření úloh v prostředí zlomků. Jednak pova-žujeme vztah celku a části za jeden z nejdůležitějších, jednak se v prostředí zlomkůčasto projeví ne zcela správné představy o některých pojmech. Představy a zna-losti jsou často formální, to znamená, že je studenti (ani učitelé) nejsou schopniani aplikovat (v řešení matematických i „nematematickýchÿ úloh), ani dále rozví-jet a prohlubovat (např. zjednodušená představa o aritmetické operaci, formálnípředstavy o zlomcích) (Hošpesová & Tichá, 2009; Tichá & Hošpesová, 2013 a).

Dlouhodobě se zabýváme zařazováním tvoření úloh do přípravy budoucích uči-telů. Ukazuje se, že tvoření úloh není jen cílem a prostředkem vzdělávání učitelů. Jeto také prostředek diagnostický a zdroj motivace (podrobněji v (Tichá & Hošpesová,2010, 2013 a)). Ilustrujme toto tvrzení na několika ukázkách z našeho dosavadníhovýzkumu.

Tvoření úloh, které lze vypočítat daným výpočtem

S budoucími učiteli prvního stupně základního vzdělávání jsme tvořily úlohy k za-danému výpočtu. Zadaly jsme jim následující sekvenci úkolů:

10

• tvoření úloh, které lze vypočítat výpočtem 14 ·

23 ,

• řešení vytvořených úloh a individuální reflexe/hodnocení (obojí tvůrcem úlohyi jinými studenty),

• společná reflexe/hodnocení vytvořených úloh.

Na závěr jsme se studentů zeptaly, jak hodnotí zařazení tvoření úloh do přípravyučitelů.

Ve vytvořených úlohách i jejich následné reflexi se objevily signály, že studentimají některé nepřesné představy. Pro ilustraci uveďme tři úlohy jedné ze studentek:

1. Na stole ležely 23 koláče. Dušan snědl 1

4 ze 23 koláče. Kolik koláče zbylo?

2. Na stole ležely 23 kg mandarinek. Veronika snědla 1

4 kg. Kolik mandarinekzbylo?

3. Sklenice byla ze 23 plná. Gabriel vypil 1

4 . Z kolika byla sklenice plná?

Nedostatky v porozumění násobení zlomků byly ještě výraznější v následné ref-lexi, kterou prováděli jiní studenti v semináři. Podrobně jsme o tomto šetření in-formovaly v roce 2009 na konferenci Jak učit matematice žáky ve věku 11–15 let(Tichá & Hošpesová, 2010). Připomeňme dvě „varujícíÿ hodnocení vytvořenýchúloh:

Jeden ze studentů napsal k první úloze: „Jestliže máme 23 koláče, můžeme

sníst 14 , ale jmenovatel se nám neshoduje. Kdyby snědl 1

3 ze 23 to ano.

Prakticky by to udělat šlo, ale matematicky to správně není.ÿ Totovyjádření student doplnil obrázkem (obr. 1) a úlohou, o které byl přes-vědčen, že je dobře: „Dnes máme ve třídě A 1

4 žáků z celkového počtu,ve třídě B 2

3 z celkového počtu. Pokud počet přítomných žáků obou třídvynásobíme, jaký výsledek dostaneme?ÿ

Obr. 1

Další student hodnotil 1. úlohu následovně: „David snědl 14 ze 2

3 koláče == 1

4 ·23 = 1

6 koláče. Úloha je správně.ÿ To vypadalo nadějně. Své řešeníale doplnil obrázkem 2 a ten odhalil závažné neporozumění.

11

Obr. 2

Tvoření úloh dané struktury

Podle Mareše (2013) by měla úloha, model problémové situace fixovaný v jistémjazyce, vykazovat určité charakteristiky: strukturu, způsob jazykového vyjádření,logickou správnost, stupeň určenosti, míru zobecnění a úplnosti. Ten, kdo tvoříúlohy, by měl tyto charakteristiky mít na mysli. Z toho důvodu jsme začaly zařazo-vat do přípravy učitelů tvoření úloh dané struktury. Domníváme se, že tato aktivitapomůže (budoucímu) učiteli (a) odstranit stereotyp vytvářených úloh (uvědomí sistavbu úloh a potřebnou pestrost), (b) získat při řešení úlohy vhled do strukturya (c) přestat vnímat jen posloupnost výpočtů, které vedou k získání výsledku.

Pro zviditelnění struktury úloh jsme použily schémata podobná větveným ře-tězcům, které byly používány v učebnicích Kabinetu pro didaktiku matematikyMÚ AV ČR (Kittler & Kuřina, 1994, např. úloha ze str. 71 na obr. 3) zpracovanýchna základě dlouhodobého výzkumu a spolupráce s učiteli experimentálních škol (Ti-chá, 2013). Kittler větvené řetězce charakterizoval jednak jako grafické znázorněnípostupu řešení, ale také jako model struktury úlohy v jazyku řetězců.

Obr. 3

12

Šetření realizujeme dlouhodobě. Při rozborech úloh vytvořených respondenty sezamýšlíme také nad tím, zda a jak tvůrci a řešitelé úloh uvažují o struktuře slovníchúloh:

• zda „vidíÿ grafická schémata jako znázornění struktury úlohy nebo procesujejího řešení,

• jaké jsou překážky při tvoření úloh s danou strukturou,

• jak je možné rozvíjet schopnost vědomě a záměrně pracovat se strukturou.

Naznačíme jednu sérii zadaných úkolů. (Podrobněji jsme o zadávaných úkolechmluvily také na podzim 2013 na konferenci Jak učit matematice žáky ve věku 10–16let, Tichá & Hošpesová, 2013 b).

Úkol 1: Studentů (a také učitelů v praxi) jsme se zeptaly: „Co vám při-pomíná tento obrázek (schéma na obr. 4)? Použili jste něco podobnéhove vyučování? A k čemu? A jak byste ho nazvali?ÿ Poté jsme zadalyúkol: Sestavte úlohu (historku, příběh) k tomuto schématu, (větvenémuřetězci, modelu, reprezentaci . . . )

Obr. 4

Studenti vytvořili například následující úlohy:

4. Matyáš dostává do školy kapesné od maminky a tatínka. Od ma-minky vždy dostane 20 Kč a od tatínka 30 Kč. Kolik celkem korundostal Matyáš v jednom týdnu, pokud nebylo žádné volno?

5. Matyáš si koupil autíčko za 450 Kč. Na autíčko si šetřil ze svého ka-pesného 15 dní. Kolik korun mu musela maminka doplatit, pokudjeho kapesné je 15 Kč na den?

6. Veverka za zimu spotřebuje 50 lískových ořechů, myši stačí 35.Babička spotřebuje do rohlíčků dvakrát tolik, co veverka a myšdohromady. Kolik oříšků spotřebuje babička?

13

Poslední úlohu uvádíme pro pobavení, úlohy 4 a 5 ale opět vykazují nepřes-nosti ve vyjádření i neschopnost popsat pravděpodobnou situaci, vytvořit „pěknouÿúlohu.

Následoval Úkol 2:

• Vytvořte úlohu k obr. 5.

• Poté jeden ze zadaných údajů nahraďte jednoduchou úlohou (např.jako na obr. 6), aby vznikla úloha, k jejímuž vyřešení stačí dvavýkony.

• Najděte jiné možnosti „rozšířeníÿ obr. 5.

Obr. 5 Obr. 6

K obr. 5 vytvořili studenti úlohu: Koupím 4 koláče po 7 Kč. Kolik za nězaplatím? Následovala společná reflexe vytvořených úloh, ve které měli,např. posoudit a odůvodnit (Proč ano?, Proč ne?), zda obr. 6 odpovídajíúlohy, resp. situace:

7. Koupím 1 koláč makový a 3 povidlové. Každý koláč stojí 7 Kč.Kolik zaplatím?

8. Koupím 4 koláče po 7 Kč. Platím dvacetikorunou a dvěma dvou-korunami.

V další fázi jsme studenty seznámily s přístupem popsaným v (Nesher, Hersko-vitz, 1994). Autorky vytvořily tři možná uspořádání dvou jednoduchých schémata ve svém výzkumu použily pro reprezentaci úloh se dvěma operacemi následujícítři „diagramy pro schémataÿ (diagram for schemas) (obr. 7):

Na závěr byl studentům zadán Úkol 3: Vytvořit ke každému z uvede-ných tří „diagramů pro schémataÿ slovní úlohu a požádaly jsme je, abynapsali, jak hodnotí práci se schématy (jednoduchými grafickými zná-zorněními).

14

Obr. 7

Výše popsaný výzkum je v současnosti na svém počátku. Zpracováváme dataa získáváme další.

Co si respondenti myslí o zařazování činností spojených s tvo-řením úloh

Na otázku, zda pro ně znamenalo tvoření úloh přínos, odpovídali studenti většinoupozitivně. Např. „Určitě důležitější je tvoření úloh. Naučím se tvořit úlohy tak, žekombinuji, přetvářím, zkouším, dosazuji. Říkám si, na co musím dát pozor, s čímmohou mít žáci potíže a podobně, . . . při řešení se nad zadáním jen krátce zamys-lím a snadněji mi mohou uniknout obohacující poznatky.ÿ Je ovšem otázkou, zdastudenti vyjadřovali opravdu své přesvědčení.

Jak vidíme přínos zařazování tvoření úloh do přípravy uči-telů?

Přínos tvoření úloh shrnujeme do několika bodů:

• Změna klimatu: tvoření úloh motivuje a povzbuzuje studenty, zlepšuje jejichpřístup a přesvědčení, sebedůvěru, . . .

• Změna charakteru úloh:

– od jednoduchých, snadno řešitelných úloh „učebnicovéhoÿ typu, kterébyly nezajímavé (kontext i matematika), chybně formulované;

– k úlohám, které jsou výzvou pro žáky, nejsou běžné; mají pestré zadání(grafy, tabulky, . . . ); umožňují různé metody řešení, přístupy; vyžadujívysvětlení, další úvahy (otevřené úlohy).

• Hlubší porozumění a vhled do obsahu školní matematiky.

15

Tvoření úloh se nám v současnosti jeví jako metoda, která respektuje konstruk-tivistické přístupy a podporuje badatelsky orientované aktivity v přípravě učitelů.

Pozn.: Výzkum byl uskutečněn s částečnou podporou projektu GA ČR 14-01417SZkvalitňování znalostí matematického obsahu u budoucích učitelů 1. stupně a RVO67985840.

Literatura

[1] ANDERSON, L. W., KRATHWOHL, D. R. (2001). A taxonomy for learning,teaching, and assessing: a revision of Bloom’s taxonomy of educational objec-tives. Complete ed. New York: Longman, 352 s.

[2] KITTLER, J., KUŘINA, F. (1994). Matematika pro 2. ročník základní školy.Praha: MÚ AV ČR.

[3] MAREŠ, J. (2013). Pedagogická psychologie. Vyd. 1. Praha: Portál, 702 s.

[4] NESHER, P., HERSHKOVITZ, S. (1994). The role of schemes in two-stepproblems: Analysis and research findings. Educational Studies in Mathematics(1–23). vol. 26, issue 1. DOI: 10.1007/BF01273298.

[5] RENDL, M., VONDROVÁ, N., HŘÍBKOVÁ, L., JIROTKOVÁ, D., KLO-BOUČKOVÁ, J., KVASZ, L., PÁCHOVÁ, A., PAVELKOVÁ, I., SMETÁČ-KOVÁ, I., TAUCHMANOVÁ, E., J. ŽALSKÁ. (2013) Kritická místa mate-matiky na základní škole očima učitelů. Praha: UK v Praze, PedF, 360 s.

[6] TICHÁ, M., HOŠPESOVÁ, A. (2013 a). Developing teachers’ subject didac-tic competence through problem posing. Educational Studies in Mathematics(133–143). vol. 83, issue 1. DOI: 10.1007/s10649-012-9455-1.

[7] TICHÁ, M., HOŠPESOVÁ, A. (2011). Gramotnost učitele matematiky a tvo-ření úloh. In A. Hošpesová, et al. Matematická gramotnost a vyučování mate-matice (39–56). Vyd. 1. České Budějovice: Jihočeská univerzita, Pedagogickáfakulta.

[8] HOŠPESOVÁ, A., TICHÁ, M. (2009). Rozvíjení didaktických znalostí obsahumatematického vzdělávání v přípravě učitelů 1. stupně. In T. Janík, et al.Možnosti rozvíjení didaktických znalostí obsahu u budoucích učitelů (119–128).Brno: Paido.

[9] TICHÁ, M., HOŠPESOVÁ, A. (2013 b). Tvoření úloh dané struktury.In E. Fuchs (ed.) Jak učit matematice žáky ve věku 10–16 let, sborník příspěvkůcelostátní konference. Praha: JČMF a SUMA, 2014, 288–300.

16

[10] TICHÁ, M., HOŠPESOVÁ, A. (2010). Tvoření úloh jako cesta k matematickégramotnosti. In N. Stehlíková (Eds.), Jak učit matematice žáky ve věku 11–15let. Sborník příspěvků celostátní konference (133–145). Plzeň: Vydavatelskýservis.

[11] TICHÁ, M. (1982). K strategiím řešení úloh v učení žáků matematice na zá-kladní škole. Praha: Kandidátská disertační práce. Matematický ústav ČSAVPraha.

[12] TICHÁ, M. (2013). Modernizace vyučování matematice v letech 1965–1985.Orbis scholae (119–130). roč. 7, č. 1.

[13] FRIDMAN, L. M. (1977). Logiko-psychologičeskij analiz školnych učebnychzadač. Moskva: Pedagogika.

[14] POLYA, G. (1957). How to solve it. Princeton University Press.

17

PRACOVNÍ DÍLNY

Veria ľudia dôkazom?

Anino Belan1

Článok sa zaoberá vnímaním matematických dôkazov ako kritéria pravdivosti. Res-pondentom prieskumu sme predložili desať rôznych matematických dôkazov, z kto-rých niektoré boli správne a niektoré nie. Tieto dôkazy samy o sebe predstavujú zau-jímavý námet na diskusiu so žiakmi. Následne sme na odpovediach, ktoré sme zís-kali, skúmali, či sú ľudia schopní uveriť správnemu dôkazu a odmietnuť nesprávny,či sú v prípade nesprávneho dôkazu schopní správne určiť, kde je v ňom chybaa ktoré typy dôkazov robia ľuďom najväčšie problémy.

V prípade hádok a diskusii v bežnej konverzácii sa ľudia často dožadujú dôkazov.Je to spôsobené tým, že dôkaz ako taký má už od antického Grécka istú autoritu.V prípade demokratického štátneho zriadenia, ktoré sa v antickom Grécku obja-vuje, bolo totiž nutné svoje názory obhájiť a metóda dokazovania sa vyvinula akodôsledok tejto potreby.

Umenie dokazovať sa vyvíjalo v dvoch paralelných líniách. Jednou je logika.Najvýznamnejšou osobnosťou antiky v tejto oblasti bol Aristoteles – spomeňmenapríklad jeho spis (Aristoteles, 1961). Druhou vetvou je matematika. Za všetkýchslávnych matematikov staroveku spomeňme Euklida, ktorý vo svojich Základoch(Eukleides, 2008) prvýkrát použil spôsob dokazovania z axióm.

Žiaci sa s logikou a matematickými dôkazmi stretnú na matematike v prvýchročníkoch stredných škôl a s logikou sa opätovne ale väčšinou len okrajovo stretnúv štvrtom ročníku na náuke o spoločnosti. V našom výskume sme sa rozhodli zis-tiť, aké stopy na žiakoch tieto stretnutia zanechali. Prieskum sme robili formoudotazníku, v ktorom sme respondentom predviedli 10 dôkazov z rôznych oblastímatematiky: 3 z logiky, 3 z aritmetiky, 1 z geometrie, 2 z pravdepodobnosti a šta-tistiky a 1 z matematickej analýzy. Respondenti mali určiť, či sú dôkazy správnea v prípade, že nie sú, popísať, kde je v nich chyba. Museli sa potýkať s týmitodôkazmi:1Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium, Teplická 7, Bratislava, anino@smnd.sk

18

Tvrdenie 1: Existujú mimozemšťania.Dôkaz: Všetkých mimozemšťanov si rozdelíme na dve skupiny – na existujúcich mi-mozemšťanov a na neexistujúcich mimozemšťanov. Tými neexistujúcimi sa nebu-deme zaoberať, lebo sú pre nás nezaujímaví. Budeme teda dokazovať, že existujú tíexistujúci mimozemšťania. Ale existujúci mimozemšťania nemôžu neexistovať, pre-tože by došlo k logickému sporu. Takže existujúci mimozemšťania existujú a tedamimozemšťania existujú.2

Tvrdenie 2: Ak vieme, že o Dlhom, Širokom a Bystrozrakom platia tieto tri vety:

• Ak nie je doma Dlhý, tak je doma Široký.

• Ak je doma Bystrozraký, tak nie je doma Široký.

• Ak nie je doma Bystrozraký, tak je doma Dlhý.

Tak je zaručené, že Dlhý bude doma.3

Dôkaz: Aká by bola situácia, keby Dlhý doma nebol? Podľa prvej vety vieme, žetým pádom musí byť doma Široký. Keďže je Široký doma, tak podľa druhej vetyvieme, že Bystrozraký byť doma nemôže. A keďže Bystrozraký doma nie je, takpodľa tretej vety je Dlhý doma. Ukázali sme, že ak Dlhý nie je doma, tak je Dlhýdoma. Takže Dlhý musí byť doma.

Tvrdenie 3: 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 97 + 99 = 1 000, teda súčet všetkých nepárnychčísel od 1 do 99 je tisíc.Dôkaz: Pre súčet nepárnych čísel od 1 do n platí vzťah

1 + 3 + 5 + ...+ n =(n3+ 1)·(n3+ 2)

V prípade, že za n dosadíme 99, dostaneme 1+3+5+ ...+99 = 34 · 35 = 1 000.

Tvrdenie 4: Máme test, ktorý vie zistiť, či má niekto AIDS. V prípade, že mániekto AIDS, test vyjde zaručene pozitívne. V prípade, že niekto AIDS nemá, jepravdepodobnosť 0,04 %, že test tiež vyjde pozitívne. Predpokladajme, že na Slo-vensku je 5 miliónov obyvateľov a 50 z nich má AIDS. Ak sa niekto na Slovenskupodrobí zmienenému testu a ten vyjde pozitívne, tak pravdepodobnosť, že naozajAIDS má, je menej ako 3 %.Dôkaz: Koľkým ľuďom na Slovensku vyjde test pozitívne? V prvom rade tým päť-desiatim, ktorí ho majú. Zvyšných obyvateľov je 4 999 950 a z nich vyjde pozitívnytest 0,04 %, čiže 2 000 ľuďom. Dokopy teda vyšiel test pozitívne 2 050 ľuďom, pričom

2Dôkaz je parafrázou na Descartov dôkaz Božej existencie a je prevzatý z (Smullyan, 1986)3Úloha pochádza z knihy (Sochor, 2011)

19

AIDS má len 50 z nich. Pravdepodobnosť, že človek AIDS naozaj má, je teda50 : 2 050 = 2,44%.

Tvrdenie 5: Autizmus je spôsobený zvýšenou spotrebou biopotravín.

Dôkaz: Korelácia medzi počtom ľudí s diagnostikovaným autizmom a predajombiopotravín je extrémne vysoká (r = 0,997 1) Viď graf na obr. 1.

Obr. 1: Autizmus a biopotraviny.

Tvrdenie 6: Všetky nepárne čísla väčšie ako 1 sú deliteľné presne dvomi inýmiprirodzenými číslami.

Dôkaz: Vyskúšajme. Vezmime si číslo 3. Ako delitele do úvahy pripadajú čísla 1, 2alebo 3.

3 : 1 = 33 : 2 = 1,53 : 3 = 1

Celé číslo sme dostali v prvom a treťom prípade, takže to funguje. Vezmime sičíslo 5. Ako delitele do úvahy pripadajú čísla 1, 2, 3, 4 alebo 5:

5 : 1 = 55 : 2 = 2,55 : 3 = 1,666 6665 : 4 = 1,255 : 5 = 1

20

Celé číslo sme dostali iba v prvom a poslednom prípade, takže tvrdenie opäťplatí. Vyskúšajme to ešte aj pre 7. Skúsime vydeliť všetkými číslami od 1 do 7:

7 : 1 = 77 : 2 = 3,57 : 3 = 2,333 3337 : 4 = 1,757 : 5 = 1,47 : 6 = 1,166 6667 : 7 = 1

Opäť sme celé číslo dostali iba v dvoch prípadoch. Platnosť tvrdenia sme overiliaž na troch rôznych číslach, takže tvrdenie platí.

Tvrdenie 7: Keď si narysujeme kružnicu a nejaký jej priemer AB a okrem tohosi na tej kružnici zvolíme bod C, pričom ten bod nesmie byť rovnaký ako bod Aani ako bod B, tak uhol ACB bude vždy 90 stupňov, bez ohľadu na to, kde sme sibod C zvolili.Dôkaz: Stred kružnice si spojíme so všetkými tromi bodmi A,B,C. Dostaneme takveľký trojuholník ABC a dva malé trojuholníky ASC a BSC, z ktorých sa tenveľký skladá (viď obr. 2).

Obr. 2: Ilustrácia k dôkazu č. 7.

Obidva malé trojuholníky sú zaručene rovnoramenné, pretože každý z nich máako dve zo svojich strán polomery kružnice. A rovnoramenné trojuholníky majúuhly pri ramenách rovnaké. Rovnaké uhly vidíte vyznačené na obrázku.

Súčet uhlov v trojuholníku je vždy 180 stupňov. Pozrime sa teda na trojuholníkABC. Súčet jeho uhlov sú dva jednočiarkované uhly a dva dvojčiarkované uhly.Tie musia dať dohromady 180 stupňov. Takže jeden jednočiarkovaný uhol a jedendvojčiarkovaný uhol musia dávať dohromady 90 stupňov. A jeden jednočiarkovanýa jeden dvojčiarkovaný uhol tvoria dohromady presne uhol ACB.

Tvrdenie 8: Ak označíme dĺžky odvesien pravouhlého trojuholníka a, b a dĺžkujeho prepony c, tak platí a2 + b2 = c2.

21

Dôkaz: Predpokladajme, že sa výrazy a2 + b2 a c2. nerovnajú. Ich rozdiel označmed a platí

a2 + b2 = c2 − d.Obe strany rovnosti vynásobíme výrazom (a2 + b2)− c2 a dostaneme

(a2 + b2)((a2 + b2)− c2) = (c2 − d)((a2 + b2)− c2).

Na oboch stranách roznásobíme zátvorky:

(a2 + b2)2 − (a2 + b2)c2 = c2(a2 + b2)− (c2)2 − d(a2 + b2) + dc2.

K obom stranám pripočítame výraz d(a2 + b2) a dostaneme

(a2 + b2)2 − (a2 + b2)c2 + d(a2 + b2) = c2(a2 + b2)− (c2)2 + dc2.

Vľavo vyjmeme pred zátvorku (a2 + b2) a vpravo vyjmeme pred zátvorku c2. Do-staneme

(a2 + b2)(a2 + b2 − c2 + d) = c2(a2 + b2 − c2 + d).

Obe strany vydelíme výrazom a2 + b2 − c2 + d a dostaneme

a2 + b2 = c2.

Tvrdenie teda platí.

Tvrdenie 9: Chlieb s klobásou je lepší, ako večná blaženosť.Dôkaz: Čo je lepšie, ako večná blaženosť? Nič. A chlieb s klobásou je lepší ako nič.4

Tvrdenie 10: 0,999 999 9. . . = 1 (Po slovensky: „nula celá deväť periodických –teda deviatky v desatinnom zápise až do nekonečna – je iný zápis čísla 1ÿ).Dôkaz: Nekonečný geometrický rad s kvocientom z intervalu (−1, 1) môžeme sčítaťpodľa vzťahu

a+ a · q + a · q2 + a · q3 + . . . =a

(1− q).

Číslo 0,999 999 9. . . znamená, že máme zobrať deväť desatín, deväť stotín, deväťtisícin atď. Teda

0,999 999... =9

10+

9

100+

9

1 000+

9

10 000+

9

100 000+ ... =

=9

10+

9

10· 110

+9

10· 1

100+

9

10· 1

1 000+ ...

4Úloha opäť pochádza z knihy (Smullyan, 1986)

22

To je geometrická postupnosť s prvým členom 910 a kvocientom 1

10 a podľa uve-deného vzťahu je jej súčet 9

10 : (1−110) =

910 :

910 = 1 Takže 0,999 999... = 1.

Nášho prieskumu sa zúčastnilo 354 respondentov. Správne odpovede, úspešnosťa percentuálne zastúpenie jednotlivých typov odpovedí nájdete v tabuľke 1. Tabuľkaje zoradená od dôkazov, ktoré odhadlo najviac ľudí správne po dôkazy, ktoré bolinajtvrdšími orieškami.

V tabuľke 1 je možno nájsť niekoľko zaujímavých pozorovaní. V prvom rade smeboli zvedaví, ako dopadnú tvrdenia 4 a 10, o ktorých vieme, že sú pre človeka, ktorýsa hlbšie nevenuje matematike, prekvapujúce. (Napr. tvrdenie č. 4 je známe aj ako„false positive paradox.ÿ) Ukázalo sa, že prítomnosť správneho matematického dô-kazu nie je úplne dostatočná protiváha faktoru, že tvrdenia sú kontraintuitívnea približne tretina respondentov ich ako pravdivé odmietla uznať.

Tab. 1: Výsledky

Istý vplyv je treba pripísať aj vplyvu toho, že tvrdenia, o ktorých sa ľudia v školeučili ako o pravdivých, sú automaticky pokladané za správne dokázané. Preto sapravdepodobne Tálesova veta umiestnila najvyššie spomedzi pravdivých tvrdenía Pythagorova veta s jej nesprávnym dôkazom sa zase umiestnila najnižšie medzinesprávnymi dôkazmi.

Veľmi nás prekvapilo umiestnenie dôkazu o súčte nepárnych čísel od 1 do 99.Pokladali sme ho za úplne zjavnú demagógiu – vzťah nefunguje a dá sa to ľahkooveriť pre malé n. Okrem toho 34 · 35 rozhodne nie je 1 000. Napriek tomu obsadil

23

tento „dôkazÿ šieste miesto a takmer 20 % respondentov neprišlo na to, že ideo podvod.

Za úplne najväčšie prekvapenie považujeme to, ako dopadli logické úlohy. Jed-nak sme vôbec nečakali, že dôkaz sporom z úlohy č. 2 bude za pravdivý považovaťlen niečo vyše polovice respondentov. Okrem toho nás prekvapilo, že dôkaz s mi-mozemšťanmi síce pokladalo za nesprávny približne 85 % respondentov, ale iba asi31 % respondentov bolo schopných správne zdôvodniť, kde je v dôkaze chyba. Toje úplne najmenšie percento spomedzi všetkých nesprávnych dôkazov.

Na druhú stranu vzbudzuje mierny optimizmus, že každý dôkaz správne odhadlaviac ako polovica respondentov, ktorí sa mu venovali. Niektoré komentáre nás po-tešili a príjemne prekvapili. Napríklad komentár k Tálesovej vete: „Krásný důkaz,nikdy mě nenapadlo nad Thaletovou kružnicí takto uvažovat.ÿ Takéto komentáresú presne dôvodom, prečo matematiku učíme.

Komentáre k jednotlivým dôkazom, ktoré sme počas výskumu nazbierali, tvoriapomerne rozsiahly a pestrý materiál a pravdepodobne sa k ich rozboru vrátimev niektorom ďalšom článku. Takýto rozbor, ktorý by obsahoval analýzu bežnýchchýb, by mohol byť užitočný pre pedagógov, ktorí danú oblasť vyučujú.

Komentáre k jednotlivým dôkazom a „správne riešeniaÿ testu nájdete na linke:https://docs.google.com/document/d/14L2QufZEhHWADYgJ6vInn19aQCIo0Z1IpOHAW4kdkJ8

Literatura

[1] ARISTOTELES. (1961). První analytiky. Praha: ČSAV.

[2] EUKLEIDES. (2008). Základy I–IV. Nymburk: OPS.

[3] SMULLYAN, R. M. (1986). Jak se jmenuje tahle knížka? Praha: Mladá fronta.

[4] SOCHOR, A. (2011). Logika pro všechny ochotné myslet. Praha: Karolinum.

24

Hry vo vyučovaní matematiky

Mária Beniačiková, Alžbeta Brišová, Miriam Dubovská,Daniela Guffová, Michaela Chvojková, Elena Murinová1

Existuje množstvo hier, ktoré sú využiteľné vo vyučovaní matematiky. Je dostup-ných niekoľko publikácií, venovaných rôznym typom matematických hier s kockami,kartami, papierom a ceruzkou. My sa venujeme využitiu moderných spoločenskýchstolových hier. Mnohé z nich priamo nabádajú k využitiu v hodinách matematiky.Pri iných stačí kreatívna úprava pravidiel, ďalšie slúžia ako inšpirácia na tvorbupodobnej hry s matematickým obsahom. Niekoľko nápadov uvádzame.

Najprv ponúkame hry, ktoré sme na základe známych spoločenských hier upravilitak, aby boli využiteľné vo vyučovaní matematiky.

Matematické kvarteto

Klasická detská hra Kvarteto pozostáva z 32 kariet, je určená pre 3–6 hráčov. Vo ver-zii, ktorú sme vytvorili pre študentov stredných škôl, sú karty rozdelené do ôsmichskupín tak, aby každú štvoricu (kvarteto) spájala jednotná téma. Na každej kartesú znázornené aj ostatné karty z kvarteta. Za každé získané kvarteto má hráč 1 bod.

Hru je možné modifikovať pre študentov všetkých stupňov škôl (v závislostiod zvolených tém). Ďalšou možnosťou je ponúknuť výrobu tejto hry samotnýmštudentom. Hra slúži na precvičovanie matematických pojmov a vlastností mate-matických objektov, rozvoj krátkodobej pamäti, pozornosti, strategického myslenia.

Obr. 1: Príklad jedného kvarteta z našej úpravy hry.

1Katedra matematiky, Fakulta prírodných vied, Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici,maria.beniacikova@umb.sk, alzbeta.brisova@umb.sk, miriam.dubovska@umb.sk, daniela.guffova@umb.sk,michaela.chvojkova@umb.sk, elena.murinova@umb.sk

25

Matematické človeče, nehnevaj sa!

Pravidlá sú podobné ako pri klasickej hre Človeče, nehnevaj sa!, hádže sa kockou,koľko bodov hráč hodí, o toľko políčok sa posunie. Hrá sa na upravenom hracompláne. Keď hráč zastane na vyfarbenom políčku, musí vyriešiť zadanú úlohu. Úlohurieši hráč, ktorý stojí na políčku, ostatní nemôžu pomáhať. Pri riešení môže požiadaťo pomoc učiteľa, ale za každú pomoc sa musí posunúť o 2 políčka späť. Ak úlohunevyrieši, získa jeho počet bodov na posunutie súper po pravej strane. Ak úlohuvyrieši správne, môže hádzať ešte raz. Vyhráva ten hráč, ktorý sa ako prvý dostanedo domčeka, prípadne ten hráč, ktorý prejde najväčšiu vzdialenosť od štartu. Ak sahráč dostane na políčko, ktoré je už obsadené iným hráčom, dostanú títo dvaja hráčirozstrelovú otázku. Kto správne odpovie ako prvý, zostáva na políčku. Druhý hráčsa vracia na štart. Ak hráč vyrušuje, alebo nerešpektuje pokyny, dostane trestnébody – musí sa posunúť o 5 políčok späť (určuje učiteľ).

Cieľovou skupinou sú študenti strednej školy. Po prispôsobení otázok je možnéhru hrať so žiakmi prvého i druhého stupňa základných škôl. Pomocou hry je možnéprecvičovať práve preberané učivo a rozvíjať logické myslenie.

Na hracej ploche môžu byť rozložené príklady typu:

• Vyrieš rovnicu (x − 6)2 + (x − 8)2 = 0 .

• Nájdi súradnice vrcholu grafu funkcie f : y = −2x2 + 2x − 24 .

• Vyrieš nerovnicu x2 − x− 2 > 0 .

• Načrtni graf funkcie f : y = −2x2 + 2x + 4 .

• Dievča hnalo husi na pašu. Jedna hus šla pred dvomi, jedna medzi dvomia jedna za dvomi. Koľko husí dievča hnalo? Jedna tehla váži 1 kg a pol tehly.Koľko vážia dve tehly?

• Otec mal tri dcéry, každá z nich mala jedného brata. Koľko detí mal otec?

• Ktoré číslo je o tri väčšie, keď ho obrátime hore nohami?

Rozstrelové otázky: Čo musíme vložiť medzi číslice 5 a 9, aby sme dostali čísloväčšie ako 5 a menšie ako 9? Koľko krát môžete odčítať číslo 2 od čísla 32? Koľkovajíčok môžeš vložiť do prázdneho košíka? Čo váži viac: kilo železa, alebo kilo peria?

K výrobe hry prispeli študentky Jana Kollárová a Katarína Krišková.

Násobkové človeče

Cieľom hry je precvičiť násobky čísel, zvolenú tému a dostať sa presne na políčko„CIEĽÿ. V nultom kole každý z hráčov raz hodí kockou, komu padne najväčšiečíslo, začína. Na začiatku hry hráč nemusí čakať, kým mu padne číslo 6, posunie

26

sa o toľko políčok, koľko bodov mu padlo na kocke. Ak hodí číslo 6, posunie sao 6 políčok, nehádže ešte raz ako pri klasickom Človeče.

Na každom políčku hracieho plánu je napísané číslo, niektoré políčka sú vy-farbené zelenou farbou – ide o „prémiovéÿ políčka. Ak sa hráč dostane na políčkos násobkom čísla 7, hádže ešte raz a posunie sa späť o toľko políčok, koľko mu padlona kocke. Ak hráč skočí na políčko s násobkom čísla 8, stojí jedno kolo. Ak sa hráčdostane na políčko s násobkom čísla 9, hádže ešte raz a posunie sa dopredu o to-ľko políčok, koľko bodov mu padlo na kocke. Ak hráč prejde na prémiové políčko,zoberie si kartičku s úlohou. Pokiaľ úlohu vyrieši správne, posunie sa o dve políčkadopredu. Ak nie, ostáva stáť na mieste. Ak sa hráč dostane na políčko deliteľnésúčasne dvoma deliteľmi (spomedzi čísel 7, 8, 9), riadi sa pokynmi pre väčšieho de-liteľa. Hráči sa navzájom nevyhadzujú, len si vymenia pozície. (Napríklad ak hráč1 stojí na políčku 29 a hráč 2 na políčku 27, pričom hráč 2 hodí dvojku, hráči savymenia – hráč 1 pôjde na políčko 27 a hráč 2 na políčko 29.)

Hru je možné využiť na prvom, druhom stupni základných škôl, ako aj na stred-nej škole. Prémiové úlohy je možné meniť a prispôsobiť tej oblasti matematiky,ktorú chceme so žiakmi precvičiť.

Matematické pexeso

Pri hraní tejto hry si deti zopakujú násobilku, trénuje sa ich strategické myslenie,pozornosť, pamäť.

Na stole sú kartičky s číslami 1–9 a hrací plán s tridsiatimi políčkami (tabuľka6x5), pričom každé políčko obsahuje jeden zo súčinov ľubovoľných dvoch čísel od 1po 9. Cieľom hry je ako prvý mať v riadku, stĺpci alebo na diagonále 4 svoje značky.Hru hrajú dvaja hráči, ktorí si určia poradie. Kartičky s číslami sú otočené tak, abyhráči tieto čísla nevideli. Prvý hráč otočí dve kartičky, vynásobí čísla, označí súčinsvojou značkou (krížik/krúžok) na hracom pláne a obráti kartičky späť. Pokračujedruhý hráč a ďalej sa striedajú. (Ak už je niektoré políčko obsadené, nemôže byťznova označené).

Hru môžeme využiť na prvom aj druhom stupni základnej školy. Môžeme me-niť počet kartičiek pexesa, prípadne počtovú operáciu, a tak vytvoriť hru vhodnúna precvičenie práve preberaného učiva.

Matematické dobble

Dobble je hra obsahujúca 55 rôznych kariet, na každej karte je umiestnených 8 ob-rázkov (symbolov). Každé dve karty majú spoločný práve jeden symbol. Je veľaspôsobov ako hrať hru s týmito kartami. Vždy však ide o to, čo najrýchlejšie nájsťna dvoch kartách ich spoločný symbol.

27

My sme sa hrou Dobble inšpirovali a vytvorili sme sadu 13 kariet, na každej sú4 vyjadrenia dĺžky, resp. objemu. Na rozdiel od klasickej hry, nehľadajú sa na kar-tách rovnaké symboly, ale rôzne vyjadrenia tej istej dĺžky, resp. objemu. Napríkladna jednej karte je napísané 1 m, 100 l, 50 cm, 5 km, na druhej karte je 5 dm, 100 mm,500 m, 100 cl. Ich spoločným prvkom je 50 cm = 5 dm.

Cieľovou skupinou tejto konkrétnej úpravy sú žiaci druhého stupňa základnýchškôl. Na spestrenie hodín matematiky je možné vytvoriť si vlastné hracie kartyna princípe hry Dobble. Ako symboly môžeme použiť matematické pojmy alebogeometrické objekty, ktoré chceme precvičiť.

V Tabuľke 1 uvádzame východisko na zostavenie vlastnej sady kariet. S1, S2. . .,S13 reprezentujú rôzne symboly, K1, K2. . ., K13 zastupujú karty, + znamená, žepríslušný symbol sa na danej karte nachádza. Napríklad na karte K7 sú znázornenésymboly S2, S7, S10, S13.

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13K1 + + + +

K2 + + + +

K3 + + + +

K4 + + + +

K5 + + + +

K6 + + + +

K7 + + + +

K8 + + + +

K9 + + + +

K10 + + + +

K11 + + + +

K12 + + + +

K13 + + + +

Tab. 1: Zostavenie vlastnej sady kariet(podľa http://en.wikipedia.org/wiki/Projective plane).

Hra Dobble má matematické pozadie. Hľadanie čo najväčšieho systému kariet s nsymbolmi na jednej karte, s čo najmenším počtom rôznych symbolov tak, aby každédve karty mali spoločný práve jeden symbol je problém analogický s konštrukcioukonečnej projektívnej roviny rádu n− 1. Maximálny počet rôznych kariet je potomn2 + n+ 1, minimálny počet rôznych symbolov v hre je tiež n2 + n+ 1.

28

Hra Dobble zodpovedá konečnej projektívnej rovine rádu 7 (keďže na jednejkarte je 8 symbolov). Teda minimálny počet rôznych použitých symbolov je 57a v hre môže byť maximálne 57 kariet.

So žiakmi môžeme riešiť rôzne úlohy súvisiace s hrou Dobble. Napríklad: Nájdite,ktoré dve karty by sa dali do sady doplniť. Aká je minimálna sada kariet, z ktorýchmôžem zrekonštruovať ostatné?

Chyť ma!

Podľa spoločenskej hry Duch sme vytvorili hru Chyť ma! (určenú pre žiakov pr-vého, druhého stupňa základných škôl) na trénovanie postrehu, logického mysleniaa opakovanie pomenovaní geometrických útvarov.

Hra obsahuje 5 drevených kvádrov so znázornenými geometrickými útvarmi,120 hracích kariet (na každej karte sú znázornené 2 geometrické útvary rôznychfarieb). Ak sa na otočenej karte nachádza niektorý z útvarov v správnej farbe,cieľom je chytiť kváder s týmto útvarom. Ak na otočenej karte nie je ani jedenz útvarov v správnej farbe, cieľom je chytiť ten kváder s útvarom, ktorý na kartenie je zastúpený ani farbou, ani tvarom.

Objekty v hre Chyť ma! možno prispôsobiť aktuálne preberanej téme, môžemenapríklad vytvoriť farebné telesá a na karty farebne uviesť vzorce na výpočet ichobjemu, alebo načrtnúť grafy funkcií a na kartách uviesť ich predpis, vlastnosti,alebo napísať farebne rímske číslice a na kartách uviesť arabské (alebo naopak).

Nasledujúce hry možno použiť v hodinách matematiky aj bez úpravy, ich pra-vidlá možno nájsť na internetových stránkach. Pri niektorých poskytujeme nápadyna prípadnú modifikáciu.

Mathable Quattro

Moderná spoločenská hra určená pre 2–4 hráčov. Prikladaním vhodných kartičiekk už vyloženým si deti 1. stupňa ZŠ precvičia sčítanie, odčítanie, násobenie a deleniečísel do 100 a strategické myslenie. Na opakovanie je hra vhodná aj pre 2. stupeňZŠ.

Po úprave môžeme tento herný princíp využiť pre všetky stupne škôl, po do-plnení vhodných čísel je takto možné precvičovať umocňovanie, odmocňovanie;po úplnej výmene číselných kartičiek za obrázky alebo symboly zopakujeme na-príklad množinové operácie, či goniometrické funkcie.

29

Zeus na úteku (Zeus on the loose)

Hra určená pre 2–5 hráčov, pre 1.–2. stupeň základných škôl, ale môžu ju hrať ajviacerí hráči rôzneho veku. Pôvodné pravidlá umožnia precvičovanie sčítania do 100,odčítania, zaokrúhľovania, násobkov desiatich, postrehu, strategického myslenia,pozornosti.

Po úprave pravidiel môžeme precvičovať všetky násobky, prípadne postupnosti,mocniny, sčítanie, odčítanie, či násobenie väčších čísel.

6 bere!

Pri tejto hre si dvaja až desiati žiaci 1. a 2. stupňa ZŠ precvičia usporiadanie číseldo 104, ich porovnávanie, odčítanie, strategické myslenie.

SushiZock im Gockelwok

Táto hra môže poslúžiť ako prvé stretnutie so zápornými číslami pre deti 1.–2.stupňa ZŠ, aj na precvičovanie sčítania a odčítania prirodzených čísel, zápornýchčísel, rozvoj odhadu pravdepodobnosti a krátkodobej pamäti.

Swish

Hra je určená pre žiakov prvého, druhého stupňa základných škôl, študentov stred-ných škôl. So študentmi druhého a tretieho stupňa môžeme rozoberať matematicképozadie hry Swish – aké zhodné zobrazenia využívame, keď hľadáme „swishÿ? Ktorékarty sú osovo súmerné? Sú niektoré stredovo súmerné? Sú niektoré dvojice karietstredovo súmerné? Takto je možné precvičiť postreh, priestorovú predstavivosť,zhodné zobrazenia.

Continuo

Žiaci prvého a druhého stupňa základných škôl, a študenti stredných škôl si pri tejtohre precvičujú sčítanie, násobky 3, deliteľnosť, strategické myslenie, logické mysle-nie. Snažia sa získať čo najviac bodov vytváraním čo najdlhších reťazcov.

Grabolo

So žiakmi prvého stupňa základných škôl pri hraní tejto hry precvičíme farby, číslaod 1 do 6, postreh, pamäť. So žiakmi druhého stupňa môžeme v rámci kombinato-riky diskutovať o počte kariet v prípade, že hráme hru Grabolo s dvoma kockami(1 číselná, 1 farebná), prípadne s tromi kockami (2 číselné, 1 farebná).

30

Okrem hier, ktoré sme popísali, je možné nájsť inšpirácie i v ďalších spolo-čenských hrách, napríklad: Scopa, Qwixx, 20 Express, Superfarmár, Rummikub,Heckmeck.

Literatura

[1] DICKSON, B. Math Circle Problem: Analysis of the Game ”Spot it!” [online].[cit. 2014-03-24]. Dostupné z: http://bowmandickson.com/2012/07/15/math-circle-problem-analysis-of-the-game-spot-it/

[2] WIKIPEDIA.CZ. Projective plane. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online].[cit. 2014-03-24]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Projective plane

[3] WORDPRESS.COM. Dobble visto da un matematico [online]. [cit. 2014-03-24].Dostupné z: http://eliacalderan.wordpress.com/2012/11/12/dobble-visto-da-un-matematico/

Jak si zavázat boty, rozstříhat čtverecANEB zase ta Pythagorova věta

Alice Bílá, Veronika Havelková1

Způsobů, jak zavádět a procvičovat Pythagorovu větu, je celá řada. V odborné litera-tuře a učebnicích najdeme jistě celé desítky způsobů. Cílem dílny bylo představit třize způsobů, jak se tomuto tématu věnovat. Všechny tyto způsoby se nesou v duchukonstruktivistického způsobu vyučování a je v nich kladen důraz především na sa-motnou aktivitu žáka. První z nich „Jak objevit Pythagorovu větuÿ se věnuje tomu,jak žáci mohou postupně objevit Pythagorovu větu, druhý „Jak rozstříhat čtverecÿukazuje, jak si mohou žáci tuto větu „dokázatÿ, a třetí „Jak si zavázat botyÿ dávánámět k tomu, jak je možné tuto látku postupně procvičovat a ukázat v jiné souvis-losti.

Pro tvorbu pracovních listů byl použit program GeoGebra (www.geogebra.org),který rovněž slouží i jako pomocník při řešení úloh a generování úloh nových.

1Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,alicebila@seznam.cz, veronika.havelkova@pedf.cuni.cz

31

Jak objevit Pythagorovu větu

První aktivita má za úkol žáky postupně navést na vlastní objevení Pythagorovyvěty. K tomuto účelu slouží dva pracovní listy2, které obsahují posloupnost gra-dovaných úloh, které žáci řeší prostřednictvím čtverečkovaného papíru. V prvnímpracovním listu (obr. 1) mají žáci za úkol dokreslovat čtverce nad přepony (zdeje výhodou, nikoliv však nutností, pokud žáci mají již předchozí zkušenost s pracína čtverečkovaném papíru). Zároveň zaznamenávají do tabulek hodnoty pro a, b, c2

a dopočítávají hodnotu c. Trojúhelníky jsou voleny tak, aby hodnoty žáky navedlyna vztah mezi c2, a a b.

Obr. 1: Pracovní list č. 1

V momentě, kdy žáci společně s učitelem přijdou na vztah Pythagorovy větypro předložené konkrétní příklady, přichází na řadu druhý pracovní list (obr. 2).Při práci s ním žáci zjišťují na konkrétních příkladech, zda nalezený vztah platíu všech typů trojúhelníků či jen u trojúhelníku pravoúhlého. Žáci opět dokreslujíčtverce, dosazují hodnoty a přepočítávají prostřednictvím již objeveného vztahu.

2Tyto pracovní listy vznikly jako součást během předmětu Didaktika matematiky I na PedF UK (autory listůjsou V. Havelková, V. Svobodová, K. Zavřel). Výuka s pomocí těchto listů probíhala pak na FZŠ Táborská běhemdvou vyučovacích hodin pod dohledem garantky předmětu N. Vondrové.

32

Obr. 2: Pracovní list č. 2

Jak rozstříhat čtverec

Druhá aktivita má za úkol dokázat pravdivost objevené Pythagorovy věty. Tatoaktivita není sice tradičním matematickým důkazem, ale vzhledem k znalostema možnostem žáků tohoto věku má tato aktivita k důkazu asi nejblíže. Inspiracik této aktivitě jsme získaly v knize Dítě, škola a matematika (Hejný & Kuřina,2001).

Úkolem žáků zde je narýsovat na list A4 libovolný pravoúhlý trojúhelník sečtverci nad jeho každou stranou. Následně vést průsečíkem úhlopříček u většíhočtverce nad odvěsnou trojúhelníku rovnoběžku s přeponou trojúhelníku a na nivést tímto průsečíkem ještě kolmici. Podle vzniklých úseček mají pak žáci za úkolčtverec rozstříhat a společně s menším čtvercem nad odvěsnou trojúhelníku tytokusy naskládat do čtverce nad přeponou.

Tato aktivita zabere poměrně mnoho času, protože doba, kterou žáci potřebujík vyrýsování objektů, není krátká. Pokud chceme aktivitu zkrátit, můžeme žákůmpřipravit pracovní listy, na kterých již budou trojúhelníky se čtverci připraveny;žáci tak již budou pouze stříhat a skládat. Přijdeme tak však o ten moment, kdy sižáci sami vyzkouší, že věta platí skutečně pro každý trojúhelník, který zvolí, a nejen pro ten trojúhelník, který jim nabídl učitel. V obou případech je také možné si

33

pomoci již hotovým appletem (obr. 3, dostupný a volně stažitelný z profilu VeronikyHavelkové na GeoGebraTube), na kterém lze pomocí manipulace s body ukázatobecnou platnost.

Obr. 3: Pythagorova věta v programu GeoGebra

Jak si zavázat boty

Vstup do problému3

Třetí způsob práce s Pythagorovou větou ukazuje, jak je možné tuto látku aplikovatv netradičním prostředí. Zvoleným způsobem pro procvičování je řešení problémovésituace. Součástí práce s problémovou situací je přesnější formulace problému, jehožjádrem je hledání takového vzoru vázání na botě, aby tkanička byla co nejkratší.Byly ukázány a hledány vzory šněrování, délky vzorů byly porovnávány v závislostina parametrech; některé hrozny problémů jsou naznačeny v obrázku 4, který jevýběrem z pracovního listu.

Vztahy pro délku tkaniček vyjádřené pomocí parametrů:

• americký: g + 2(n− 1)√d2 + g2

• evropský: (n− 1)g + 2√d2 + g2 + (n− 2)

√4d2 + g2

• obchodní: (n− 1)√d2 + g2 + (n− 1)g +

√(n− 1)2d2 + g2

• kanadský: 2(n− 1)d+ (n− 1)g = (n− 1)(2d+ g)

3Vycházíme přitom z kapitoly Aritmetika a tkaničky do bot z knihy Iana Stewarta Jak rozkrájet dort (Stewart,2009).

34

Obr. 4: Některé vybrané problémy z pracovního listu

Několik zajímavých speciálních případů

• Pro n = 8, g = 2, d = 1:americký vzor – 33,3;evropský vzor – 35,4;obchodní vzor – 36,9;kanadský vzor – 28.

• Pro n = 18, g = 2, d = 1:americký vzor – 78;kanadský vzor – 68.

• Pro g2 + d2 = 25:g = 3, d = 4: kanadský je pro libovolné vhodné n kratší než americký;g = 4, d = 3, n = 4: kanadský je stejně dlouhý jako americký;g = 4, d = 3, n > 4: kanadský je delší než americký.

Porovnání délky tkaniček pomocí práce se sítí

Pro libovolné možné d, g a vhodné n je evropský vzor kratší než obchodní; americkýje kratší než evropský. Pěkná demonstrace tohoto tvrzení je demonstrace na síti.

35

Vzor je do sítě zanesen takto: 1. řada puntíků na síti představuje nejdříve levouřadu oček na botě, 2. řada puntíků představuje pravou řadu oček na botě, 3. řadapuntíků představuje opět levou řadu oček atd., délka tkaničky na vzoru je takstejná a situace se zpřehlední. Na obr. 5 je porovnání amerického a evropskéhovzoru pro n = 8, má však obecnou platnost. Na obr. 6 je porovnání evropskéhoa obchodního vzoru po vypuštění společných úseků.

Obr. 5: Americký vzor – nepřerušovaně, evropský vzor přerušovaněpodle Stewart (2009).

Obr. 6: Evropský vzor souvislou čarou tlustě, obchodní přerušovanou tlustě,po využití osových souměrností některé úseky tence podle Stewart (2009).

36

Pomoc prostřednictvím programu GeoGebra

Umožní hledat zajímavé hodnoty parametrů a jiné závislosti mezi délkou vzorů.Může pomoci učiteli i ke kontrole výsledků, mají-li žáci počítat metodou tužkaa papír. Příklad využití na obr. 7.

Obr. 7

Další rozvíjení úlohy

Práce s parametry, porovnávání vlastních vzorů, práce s různým softwarem (Excel,GeoGebra), úvaha o různém počtu tkaniček a další.

Závěr

Uvedené tři aktivity měly za úkol čtenáři poskytnout náměty na možnosti zavá-dění a procvičování Pythagorovy věty a dokázat netriviální tvrzení demonstracína síti pomocí jednoduchého geometrického triku. První dvě aktivity byly úspěšněvyzkoušeny u žáků osmého ročníku, třetí aktivita na vyzkoušení teprve čeká. Dou-fáme tedy, že vás aktivity natolik zaujaly, že vyzkoušíte alespoň jednu z nich.

Literatura

[1] HEJNÝ, M., KUŘINA, F. (2001) Dítě, škola a matematika: konstruktivisticképřístupy k vyučování. Praha: Portál.

37

[2] GALE, D. (1995). Mathematical Entertainments. The mathematical intelligen-cer. 17. No. 4. New York: Springer–Verlag.

[3] GEOGEBRA [online]. [cit. 2014-01-09]. Dostupné z:https://tube.geogebra.org/

[4] GEOGEBRA TUBE: Osobní profil – Veronika Havelková [online]. [cit. 2014-01-09]. Dostupné z: https://tube.geogebra.org/material/show/id/267947#

[5] STEWART, I. (2009). Jak rozkrájet dort a další matematické záhady. Dokořán,Argo.

Chyby, překážky a výuka matematiky

Jarmila Novotná1

Příspěvek vycházející ze stejnojmenné dílny na konferenci je věnován nezdaru,chybě a překážkám ve vyučování matematice. Seznamuje se základními pohledyna tyto pojmy důležitými jak pro školu, tak i v běžném životě. Kromě charakteris-tik a klasifikace jednotlivých pojmů je velká pozornost věnována také práci učiteles chybou a překážkou a možnostem jejich odstraňování. Příspěvek představuje částrozsáhlejší práce publikované v rámci projektu OPPA: Podpora vzdělávání studentůstředních škol v přírodovědných předmětech a matematice (Novotná, 2014).

S nezdary a chybami se každý člověk setkává nejen ve škole, ale i v běžném životě.Jinde než ve škole je chyba většinou považována za přirozenou součást procesuučení. Ve škole je však často na chybu nahlíženo jako na něco negativního, na něco,čemu je třeba se vyhnout.

Tento text představuje pohled na nezdar a chybu tak, jak je zpracována v Teoriididaktických situací v matematice (TDSM) (Brousseau, 1997, 2012); neomezuje sevšak jen na tuto perspektivu, ale doplňuje ji i jinými pohledy na problematiku chybve vyučování.

V TDSM jsou v souvislosti s problematikou chyb rozlišovány tři různé pojmy:nezdar, chyba a překážka. V textu uvedeme základní charakteristiky těchto pojmů.Budeme je ilustrovat na několika konkrétních příkladech z prostředí vyučování ma-tematice.2

1Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,jarmila.novotna@pedf.cuni.cz2Řadu příkladů ilustrujících pojmy a myšlenky, se kterými v příspěvku pracujeme, lze najít v (Novotná, 2014).

38

Nezdar a chyba

V TDSM jsou tyto dva pojmy velice pečlivě odlišovány. Nezdar je ukazatelem toho,že výsledek, který byl očekáván, požadován, nebyl dosažen. Odhalení toho, že do-šlo k nezdaru, je prvním krokem k nápravě. Je třeba hledat, co je jeho příčinou,kde došlo k chybě. Chybou tedy není, např. špatný výsledek, k chybě došlo někdev procesu řešení, kdy se řešitel odklonil od správného postupu. Odstranění nezdarutedy vyžaduje najít, kde došlo k chybě a jak chybu opravit.

Pokud má žák být schopen vysvětlit svůj nezdar, musí zjistit svůj nezdar u vý-sledku, nalézt místo, kde došlo k volbě, která k nezdaru vedla (k chybě), naléztsouvislost s chybnou volbou a upravit ji tak, aby nové řešení už neskončilo nezda-rem.

Typy chyb

Chyby mohou být jednorázové nebo se mohou opakovat, často v odpovědích na určitéotázky. Jednorázové chyby nejsou závažné a není třeba se jim nějak mimořádněvěnovat. Opakujícím se chybám je třeba věnovat zvýšenou pozornost. Máme zdena mysli chyby, se kterými se každý učitel setkává, a to nejen opakovaně u jednohožáka, ale stejné chyby se opakují u mnoha žáků. U takových chyb je třeba hledatjejich příčinu; odstranění příčiny současně vede i k odstranění chyby.

Příklad: Velice často žáci používají, např. zápisy jako (a+b)2 = a2+b2, případně√(a2 + b2) = a+ b; 0 · a = a;

√a2 = a; (0,3)2 = 0,9; 1,1 < 1,09.

Chyba nemusí být jen důsledkem neznalosti nebo náhody. Může být důsledkemnějaké předchozí znalosti, kterou žák získal v jiných podmínkách a která v novýchpodmínkách už je nesprávná nebo nevhodná. Chyba je v takovém případě projevempřekážky při získávání znalostí.

Příklad: S takovými situacemi se učitelé matematiky na všech stupních školsetkávají poměrně často: např. při přechodu od uspořádání přirozených čísel podlevelikosti k uspořádání zlomků žáci zapíší 1

3 <14 a odůvodňují to tím, že 3 < 4.

Překážky

V tomto případě máme na mysli situace, kdy žák použije znalost, která je pravdiváza nějakých konkrétních podmínek, je za těchto podmínek správná, v prostředí, kdeuž správná není. Tedy původně správná znalost vyvolala při nevhodném použitíchybu a následný nezdar žáka při řešení úlohy, stala se tedy v novém prostředípřekážkou.

Chyby, které jsou projevem překážky, jsou obvykle stálé, opakují se. Může jeopakovat jedinec sám nebo je opakuje mnoho jedinců (tj. „děti obvykle dělají tuto

39

chybuÿ), případně se opakují v historii daného pojmu či pojetí. (Brousseau, 1997;Krátká, 2009) Je to způsobeno tím, že překážkou je znalost, pro kterou existuje ob-last, v níž je tato znalost užitečná, pravdivá, lze ji úspěšně použít; existuje však takéoblast, v níž je tato znalost chybná a vyvolává chybné odpovědi. Když se jedinecdostane do obdobné situace, znalost-překážka se opět projeví stejným způsobem.

Mezi překážkou a obtíží je zásadní rozdíl: Obtíž není způsobena jinou znalostí,ale „neznalostíÿ, případně chybějící dovedností. Pokud se jedinci podaří obtíž pře-konat, již se neopakuje. Překážka však je výsledek přítomnosti nějaké znalosti, častosprávné v jedné oblasti, která se v jiných podmínkách stává nesprávnou. Jestližeten, kdo chce tuto znalost použít, nezkontroluje, zda je ještě v oblasti platnostinebo už mimo ni, projeví se to výskytem chyby. Díky tomu, že je v některé oblastipřekážka platná, je obtížné ji odstranit. I potom, kdy byla vysvětlena a odstraněnachyba, kterou překážka způsobila, může se znovu nečekaně objevit, např. v úloze,která je trochu obtížnější, nebo při zmenšené pozornosti. (Brousseau, 1997, 2003;Brousseau & Antibi, 2002).

Překážky v didaktickém systému mohou mít různé příčiny. Ve shodě s TDSMrozlišíme překážky ontogenetického, didaktického a epistemologického původu.

Překážky ontogenetického původu jsou překážky, jejichž příčinou jsou omezení(mezi jinými neurofyziologická) jedince v daném okamžiku jeho vývoje: Jedinec roz-víjí znalosti s ohledem k svým prostředkům a cílům odpovídajícím věku. Na odstra-nění těchto překážek nemá učitel vliv, je třeba počkat, až žák dospěje do potřebnéhovývojového stupně.

Překážky didaktického původu jsou překážky, které se vztahují k vyučování a zá-visí na výběru učebního stylu, výukových strategií, řazení učiva apod. Vhodnýmnástrojem k jejich omezení je důkladná analýza a priori (Brousseau, 1997; Nová-ková, 2013), kterou učitel provede.

Zastavíme se u překážek epistemologických. Myšlenka epistemologických překá-žek pochází od francouzského filozofa G. Bachelarda (1938), který považuje pře-kážku za znalost vytvořenou jinou cestou a pro jiný účel, přizpůsobenou jinýmpodmínkám, než je ten, při němž se překážka projevuje. Proto jsou epistemologicképřekážky zdrojem opakujících se chyb, které nejsou náhodné a kterých se jedinecdopouští při řešení odpovídajících problémů.

Epistemologické překážky se vztahují k procesu nabývání znalostí. Nemůžeme(a ani nesmíme) se jich v procesu vyučování vyvarovat, protože jsou zásadní procílovou znalost. Můžeme je najít v historii samotných pojmů. Epistemologická pře-kážka souvisí pouze se znalostí jako takovou (Radford, Boero & Vasco, 2000).

Příklady epistemologických překážek už se v článku vyskytly (viz např. příklads porovnáváním zlomků ilustrující typy chyb).

40

Práce učitele s chybou

Analýza chyby je jednou z nejdůležitějších fází procesu učení. Kromě toho, že ob-jevení chyby, její interpretace a korekce je důležité pro žáka, je i významným diag-nostickým nástrojem učitele. Není to pouze informace o chybném výkonu, ale takéukazatel způsobu žákova myšlení a kvality jeho představ.

Chyba však nemusí být jen výsledkem nesprávných postupů nebo představ žáků.Chyba může být úmyslně učitelem vyvolána. V (Heemsoth & Heinze, 2013) jsouodlišovány dva typy výukového prostředí využívajícího práci s chybou:

Prostředí, označované jako error management training, je charakterizováno tím,že žáci pracují s úlohami, které přesahují jejich dosavadní znalosti; je tedy velmipravděpodobné, že se v průběhu řešení vyskytnou chyby – látka je obtížnější, nežco mohou žáci se svými dosavadními znalostmi zvládnout. Žáci jsou zde aktivněvedeni k tomu, aby přijímali chyby jako pozitivní a přirozenou součást vzděláva-cího procesu. V literatuře (např. Keith & Frese, 2005) je dokumentováno, že žácizískávají více v případě, kdy jsou jim kromě příkladů s chybami předkládány taképříklady správných řešení.

V prostředí označovaném jako guided error training, jsou žákům vybrané chybypřímo předkládány; učitel schválně udělá chybu, ale tak, aby nebylo na první pohledvidět, kde chyba je, zřejmé je pouze to, že došlo k nezdaru; žáci pak při hledáníchyby aktivují řadu znalostí, které už mají, případně tyto znalosti kombinují.

Závěrečná poznámka

Příklady práce v takových prostředích je možno najít např. v (Novotná, 2014).V (Lorenzet, Salas & Tannenbaum, 2005) je doloženo, že žáci, kteří se učili

v prostředí, v němž nejsou chyby využívány (error-free training), dosahují horšíchvýsledků v porozumění látce a mají nižší sebedůvěru než ti, kteří jsou vedeni k učeníse z chyb (vlastních i cizích). O důvodech, proč učení se z chyb podporuje rozvojznalostí a dovedností žáků, panuje v literatuře shoda (Joung, Hesketh & Neal,2006): Chyby dodávají žákům odvahu, aby testovali své vlastní kognitivní modely.Přitom je nejen upravují a rozvíjejí, ale také odhalují to, co je v nich nesprávně. Tovede žáky k hlubšímu porozumění látce a následně k tomu, že jsou nejen schopnivyhnout se chybným postupům a faktům, ale i např. použití neefektivních strategií.

Literatura

[1] BACELARD, G. (1938). La formation de l´esprit scientifique. Paris: Vin.

[2] BROUSSEAU, G. (1997). Theory of Didactical situations in mathematics1970–1990. [Edited and translated M. Cooper, N. Balacheff, R. Sutherland

41

and V. Warfield.] Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. (Francouzská verze(1998). Théorie des situations didactiques. [Textes rassemblés et préparés parN. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, V. Warfield]. Grenoble: La penséesauvage.)

[3] BROUSSEAU, G. (2003). Erreurs, difficultés, obstacles. Enseignement, péda-gogie, psychologie cognitive, sémiotique et didactique, Scoop.it. Dostupné z:http://www.scoop.it/t/enseignement-pedagogie-psychologie-cognitive-semiotique-et-didactique?q=Brousseau [cit. 2013-12-22].

[4] BROUSSEAU, G. (2012). Úvod do Teorie didaktických situací v matematice.Praha: Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta.

[5] BROUSSEAU, G. & ANTIBI, A. (2002). Vers l´ingénierie de la dé-transposition.Revue des Sciences de l’éducation du LEMME Toulouse.

[6] HEEMSOTH, T. & HEINZE A. (2013). Learning fractions from errors. InA. M. Lindmeier & A. Heinze (Eds.), Proceedings of the 37th Conference ofthe International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3,pp. 25–32). Kiel, Germany: PME.

[7] JOUNG, W., HESKETH, B. & NEAL, A. (2006). Using ”War Stories” to trainfor adaptive performance: Is it better to learn from error or success? AppliedPsychology, 55(2), 282–302.

[8] KEITH, N. & FRESE, M. (2005). Self-Regulation in error management trai-ning: Emotion control and metacognition as mediators of performance effects.Journal of Applied Psychology, 90(4), 677–691.

[9] KRÁTKÁ, M. (2009). Srovnání ontogenetického a fylogenetického vývoje poro-zumění jevu nekonečno v geometrickém kontextu. Doktorská disertační práce.Praha: Univerzita karlova v Praze, Pedagogická fakulta.

[10] LORENZET S. J., SALAS E. & TANNENBAUM S. J. (2005). Benefitingfrom mistakes: the impact of guided errors on learning, performance, and self-efficacy. Human Resource Development Quarterly, 16(3), 301–322.

[11] NOVOTNÁ, J. (2014). Chyby, překážky a výuka matematiky. Příručka k pro-jektu OPPA Podpora vzdělávání studentů středních škol v přírodovědnýchpředmětech a matematice. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogickáfakulta.

42

[12] NOVÁKOVÁ, H. (2013). Analýza a priori jako součást přípravy učitele na vý-uku. Doktorská disertační práce. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Pedago-gická fakulta.

[13] RADFORD, L., BOERO, P. & VASCO, C. (2000). Historical formation andstudent understanding of mathematics: Epistemological assumptions framinginterpretations of students understanding of mathematics. In J. Fauvel &J. Van Maanen (Eds.), History in Mathematics Education. Dordrecht, Bos-ton, London: Kluwer Academic Publisher.

Využití analogií ve výuce matematiky

Eva Patáková1

Slovník cizích slov (Petráčková, Kraus et al., 1998, obě citace jsou ze str. 49) uvádíněkolik významů slova analogie. Jako základní vymezení předkládá: „Existujícínebo zjištěná shodnost některých vlastností mezi netotožnými předměty (objekty),jevy apod., obdobaÿ. Pro účely tohoto článku je zajímavé i vymezení z hlediskalogiky, kde analogií je „obdoba objektů na základě společných charakteristikÿ.J. Kopka (Kopka, 2007: str. 35) definuje analogii v matematice takto: „Analo-gie je určitý druh podobnosti. Např. analogické objekty se shodují jeden s druhýmv určitých relacích definovaných na jejich částech.ÿ.

Pro účely našeho článku zavedeme v souladu s vymezením J. Kopky pojem„analogická prostředíÿ v matematice. Budeme jím mínit dvojice tematických celků,ve kteréch platí „obdobnéÿ vztahy – shodují se v určitých relacích definovanýchna jejich částech. (Např. planimetrie – stereometrie; desítková soustava – číselnésoustavy s jiným základem;. . . )

Podívejme se nyní na příklady využití analogií ve výuce:

• Analogie jako strategie řešení úlohy: Existuje několik metod řešení úlohna hledání analogií založených nebo s nimi alespoň souvisejících. Řešení úlohmetodou analogií znamená, že si řešitel sám hledá analogické úlohy, kterévyřešit umí (nebo jsou mu zadány osobou, která mu s řešením pomáhá –třeba učitelem). Pak se snaží přenést postupy, kterými analogickou úlohuřešil, do řešení úlohy původní.

1Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,eva.patakova@email.cz

43

• Hledání analogií jako úkol pro žáky: Hledat analogie mohou také žácisami. Pomocí hledání analogií a pozměňování dané situace (např. metodou„Co když ne?ÿ autorů Browna a Walterové (1990)) mohou prozkoumávatsami nějaké matematické prostředí. Úkol může být zadán jako krátká prácev hodině nebo komplexní prozkoumání situace, např. v rámci seminárnípráce.

• Analogie jako pomůcka při výkladu: Při výkladu využíváme analogietak, že žákům připodobníme novou látku k něčemu, co již znají (ať již z hodinmatematiky, z jiných vyučovacích předmětů, z běžného života,. . . ). Na obr. 1je znázorněno využití analogie „reálná čísla s racionální a iracionální složkou– komplexní čísla s reálnou a imaginární složkouÿ.

Obr. 1: Využití analogie při výkladu.

• Tvorba analogických úloh2: Analogickou úlohu můžeme z již existujícíúlohy získat tak, že pojmy v ní obsažené nahradíme odpovídajícími pojmyz analogického prostředí. Následující ukázka je založena na analogii „plani-metrie – stereometrieÿ.

Původní úloha: Dokažte, že obdélník ABCD je úhlopříčkou BD rozdělenna dva shodné rovinné útvary.

Analogická úloha: Dokažte, že kvádr ABCDEFGH je rovinou BDFrozdělen na dva shodné prostorové útvary.

Situace znázorňuje obr. 2. Všimněte si, že v řešení úloh se objevují stejnéprvky – zde situace vypadá tak, že řešení původní (rovinné) situace musímevyužít k řešení analogické (prostorové) úlohy.

2Část o tvorbě analogických úloh je zpracována podle Patáková (2013).

44

Obr. 2: Ilustrace k úloze

Vytvoříme-li úlohu výše popsaným způsobem, mohou nastat tři situace:

1. Analogická úloha je řešitelná stejným způsobem, jakým byla řešitelná úlohapůvodní, pouze s přihlédnutím ke specifikům analogického prostředí; výsle-dek úlohy je stejný.

Úloha: Jakou hodnotu musíme přidat ke každému z čísel napsaných v ná-sledujícím příkladu, aby výpočet byl správný?3

13 + 12 + 10 = 39

Analogická úloha: Jakou hodnotu musíme přidat ke každému z čísel v je-denáctkové soustavě napsaných v následujícím příkladu, aby výpočet bylsprávný?

(13)11 + (12)11 + (10)11 = (39)11

V obou případech je řešením hodnota 2 (popř. (2)11). Mimochodem, vy-vstávají hezké otázky pro nadané žáky: Platí to tak u příkladů stejného typuvždy? Nebo je to pouze díky vhodné volbě čísel a číselné soustavy? Za jakýchpodmínek bude úloha vycházet stejně?

2. Úloha je řešitelná podobným, analogickým způsobem; výsledek vychází jinak.

Úloha: Jakou částí obsahu čtverce ABCD je obsah menšího z útvarů,na které rozdělí čtverec ABCD přímka PQ? Bod P leží ve třetině úsečkyAB blíže bodu A a bod Q leží ve třetině úsečky AD blíže bodu A.

3Upraveno podle L. Hozová: MO, 62. roč., Z5 — I — 2.

45

Analogická úloha: Jakou částí objemu krychle ABCDEFGH je objemmenšího z útvarů, na které rozdělí krychli ABCDEFGH rovina PQR? BodP leží ve třetině úsečky AB blíže bodu A, bod Q ve třetině úsečky AD blížebodu A a bod R ve třetině úsečky AE blíže bodu A.

Řešením původní úlohy je 118 , řešením analogické úlohy 1

162 .

3. Úloha v analogickém prostředí ztrácí smysl.

Úloha: Najděte v N všechny dělitele čísla 75.

Analogická úloha: Najděte v Q všechny dělitele čísla 75.

Taková situace nás však může inspirovat ke tvorbě jiné úlohy, která řešitelnáje. Např: „Najděte v Q všechny dělitele čísla 75 takové, aby výsledkem děleníbylo přirozené číslo.ÿ

Závěrem lze shrnout, že využití analogií ve výuce matematiky je užitečná tech-nika, kterou může učitel ve své práci využít různými způsoby. Příslušné analogiemůže hledat jak učitel sám, tak jeho žáci. Analogie můžou učiteli zjednodušit práci –např. při výkladu nových témat nebo při tvoření úloh.

Literatura

[1] BROWN, S. I., Walter, M. I. (1990). The Art of Problem Posing. Second Edi-tion. Hillsdale: Lawrence Erlbaum Associates Ltd., Publisher.

[2] KOPKA, J. (2007). Metody řešení matematických úloh [online]. [cit. 2013-08-21]. Dostupné z: kma.ujep.cz/souby/opory/Metody reseni matematickychuloh.doc.

[3] PATÁKOVÁ, E. (2013). Metody tvorby úloh pro nadané žáky. Praha: PedF UK.

[4] PETRÁČKOVÁ, V. KRAUS, J., et al. (1998). Akademický slovník cizích slov.Praha: Academia.

46

Tabulka 100 – gradované úlohy

Jana Slezáková1

V didaktice matematiky je často zvažováno, jak zapojit více žáků do řešení úloh,neboť právě řešitelským procesem se učí. Je například diskutováno, že matematikamusí bavit, tedy hledají se taková témata, která jsou přitažlivá pro žáky. Další mo-žností je nabídka gradovaných úloh, neboť je žádoucí, aby úlohy řešili žáci na všechúrovních matematického myšlení. Jedná se o to, aby žák měl možnost si vybratpřiměřeně náročnou úlohu, tedy takovou, která je pro něj výzvou. Je-li zadána pří-liš jednoduchá úloha, tak se žák jejím řešením neobohatí, je-li příliš náročná, takji pravděpodobně žák odmítne, nebo se o její řešení pokusí, ale neúspěšně a příštětakový pokus vzdá předem. Takové úlohy žákovi nepřinesou radost z intelektuálníčinnosti. Požadavek, aby žák řešil úlohy přiměřeně náročné (jak v běžné výuce, taki při testech) a aby byly pro něj přitažlivé, se domnívám, není jednoduché splnit.K promýšlení této myšlenky posloužila pro inspiraci Tabulka 100 jako téma vy-učovací hodiny pro žáky 6. ročníku (Hejný et al., 2014: s. 27). Úlohy nabídnutév materiálu gradují. Cílem pracovní dílny bylo hledat parametry obtížnosti úloha diskutovat tvorbu testů s gradovanými úlohami.

Tabulka 100

Tabulka T-100

V materiálu je téma uvedeno následujícímtextem: Po tabulce T-100 chodíme vpravo(→), vlevo (←), nahoru (↑) a dolů (↓). Cesta52→53↑43↑33 má začátek v čísle 52 a konecv čísle 33. Její stručný zápis je 52→↑↑33 a jejísoučet je S(52→↑↑)= 52+53+43+33 = 181.Navíc je formulována domluva, že z tabulkynelze vyjít ven. Cestu 19→→ nelze provésta součet S(19→→) tak nemá smysl.

Účastníkům dílny byly zadány a následněs nimi diskutovány úlohy:

1. úloha: Najděte S(x→) pro x rovno a) 21; b) 32; c) 43; d) 54; e) 65; f) 76.

Řešení: a) S(21 →) = 43; b) S(32 →) = 65; c) S(43 →) = 87; d) S(54 →) = 109;d) S(65→) = 131; f) S(76→) = 153.

1Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, jana.slezakova@pedf.cuni.cz

47

1. úlohou si učitel zjišťuje, zda žák rozumí symbolu S(x→). Žák rozumí celé úloze,jestliže ví, že podle uvedeného čísla najde druhé číslo a sečte je. Navíc všechnazadání a) – f) v našem případě mají řešení. Náročnější úlohou by bylo: NadějteS(x →) pro x rovno 70. Takové S(x →) neexistuje, protože z tabulky nelze vyjít,viz domluva. Ještě náročnější úlohou by bylo: Najděte takové x, pro které S(x→)neexistuje. Řešením této úlohy jsou všechna čísla pravého sloupce tabulky.

2. úloha: Najděte číslo y, pro které a) S(y ↓) = 12; b) S(y ←) = 99; c) S(y ↑) = 100.Řešení: a) y = 1; b) y = 50; c) y = 55.2. úlohu žák řeší strategií pokus-omyl. V zadání a) žák hledá cestu s malým souč-tem (12), tedy hledá malá čísla tabulky, zjistí, že se nacházejí v levé horní částitabulky. V zadání b) žák opět hledá cestu, ale už ví, že se nejedná o cestu s malýmsoučtem jako v předchozím případě, zjišťuje, že se nejedná ani o cestu s velkýmsoučtem. Z hlediska strategie se jedná o orientovaný pokus-omyl. V zadání c) již žákobjevuje vztah (případně více vztahů), například že když vezmeme jakékoliv S(y ↑),tak se jedná o číslo sudé. V tomto případě je to součet 100, jedná se o číslo dělitelné10. Když sečteme dvě čísla, která mají na místě jednotek 5, tak dostaneme číslodělitelné 10. Žák využívá orientovanou strategii pokus-omyl s postupnými objevyvztahů.

3. úloha: Najděte S(z →)− z pro z rovné: a) 6; b) 17; c) 28; d) 39; e) 40.Řešení: z + 1 pro všechna čísla tabulky T–100 kromě čísel pravého sloupce, tedye) pro z = 40 úloha nemá řešení.3. úlohou učitel zjišťuje, zda žák rozumí zadání S(z →) − z. Žák pravděpodobněudělá první dvě úlohy a už má řešení. V případě e) úloha nemá řešení, proto jevhodná pro společnou práci ve třídě.

4. úloha: Najděte n tak, aby číslo S(n→)− S(n ↑) bylo co největší.Řešení: Vždy 11. Nemá řešení pro všechna čísla pravého sloupce a prvního řádku.4. úlohou učitel zjišťuje, zda žák rozumí zadání S(n→)− S(n ↑). Žák hledá řešenív množině čísel a přechází od aritmetiky k algebře.

5. úloha: Najděte n tak, aby číslo S(n ↓)− S(n→) bylo co nejmenší.Řešení: Vždy 9. Nemá řešení pro všechna čísla pravého sloupce a posledního řádku.5. úloha je možností pro žáky, kteří ve 4. úloze neobjevili řešení, ale rozuměli spo-lužákům, aby v této úloze objev učinili.

6. úloha: Najděte součty všech cest délky 2 začínajících v čísle 23. Poznámka:Byla udělána domluva, že počet šipek v cestě nazýváme délka cesty. Cesta nesmíobsahovat některé číslo opakovaně.Řešení: Součty cest jsou: 39 = S(23 ↑↑), 48, 50, 57, 61, 66, 72, 77, 81, 88, 90, 101.

48

Struktura ve výsledcích 6. úlohy je netriviální. Další výzvou pro žáky může být,aby našli, jak to funguje pro stejné cesty, ale začínající v čísle 44. Řešení s číslem23 uspořádáme (viz uvedené řešení). Najdeme s číslem 44 cestu s nejmenším souč-tem (102). Každé další řešení vznikne přičtením stejného rozdílu jako je rozdíl102− 39.

Účastníci dílny byly vyzvány vytvořit gradovaný test ze tří úloh na téma tabulkyT–100 po probrání výše uvedených úloh. V závěru dílny byl vytvořen test:

Úloha A (podobně jako v 1. úloze): Najděte S(x ↓) pro x rovné: a) 5; b) 23; c) 64.

Úloha B (podobně jako ve 3. úloze): Najděte S(z ↓)− z pro z rovné: a) 7; b) 36;

c) 79.

Úloha C (podobně jako v 5. úloze): Najděte n tak, aby číslo S(n ↓)− S(n←) bylo

co největší.

Literatura

[1] HEJNÝ, M., et al. (2014) Matematika. DílAr1 pro 2. stupeň ZŠ. Výukovémateriály určené pro pilotáž. Vydáno pro vnitřní potřebu H-mat, o. p. s.

Aditivní mnohoúhelníky

Anna Sukniak1

V roce 2012 byl tým M. Hejného požádán o vytvoření sbírek úloh pro 6.–9. ročník.Dostala jsem možnost podílet se na tvorbě jedné kapitoly věnované novému pro-středí, které bylo nazváno Aditivní mnohoúhelníky a Mnohostěny. Toto prostředíjsem rozpracovala ve své diplomové práci (Sukniak, 2013). Jedná se o didaktickématematické prostředí, ve kterém lze snadno aplikovat výuku orientovanou na bu-dování schémat (VOBS), viz (Hejný, 2007), (Jirotková, 2007), (Slezáková, 2007).Zde didaktika matematiky čerpá z poznatků psychologie. Pojem schéma se v psy-chologii prvně objevuje v roce 1932 u Barletta a to v souvislosti s pamětí (Atkinson,2003: s. 298–299). V kognitivní psychologii jej rozpracoval Gerrig, ve formě použi-telné i pro didaktiku matematiky (1991: s. 244–245):

1Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, anna.sukniak@gmail.com

49

Teoretici vytvořili termín schéma, aby poukázali na paměťovou struk-turu, která obsahuje shluky informací důležitých k porozumění. . . Zá-kladní myšlenkou teorie schémat je, že v paměti nemáme prostě jenizolovaná fakta. Informace jsou shromážděny do smysluplných funk-čních jednotek.2

Ideu didaktického matematického prostředí (substantial learning environment)do literatury zavedl E. Wittmann (2001). Rozumí tím soubor vzájemně prová-zaných pojmů, vztahů, procesů a situací, propojených na životní a matematickézkušenosti žáků, umožňující tvořit úlohy, pomocí nichž se žáci dopracují k hlubo-kým myšlenkám matematiky. Ideu hluboké matematické myšlenky, která souvisís mírou porozumění matematickým objektům, podrobně rozpracoval Z. Semadeni(2002). Ne každé prostředí, které rozvíjí matematické myšlení, nutně vede k hlubo-kým matematickým myšlenkám. Například šachy nebo Sudoku určitě cvičí mysl,ale k hlubokým matematickým myšlenkám mohou vést pouze ty, kteří se těmtoprostředím věnují profesionálně. K Wittmanovým požadavkům – propojení na zku-šenosti žáka a možnosti vést k objevům – přidal Hejný ještě další dva požadavky– dlouhodobost (například v prostředí pavučin lze tvořit úlohy pro žáka 2. ročníkui pro maturanta) a nastavitelnost obtížnosti. M. Hejný popsal i proces tvorby úlohpožadované náročnosti v daném prostředí. Proces je tvořen posloupností čtyř kroků:

1. Je zvolena jistá výchozí situace, ve které není žádné neznámé číslo.

2. Když některá ze známých čísel utajíme, vznikne úloha tato čísla najít.

3. Rozbor výchozí situace z hlediska možností utajení jistých skupin čísel. Cílemrozboru je úplný přehled úloh, které lze z výchozí situace vytvořit.

4. Vytvoření gradované série úloh, které nabízí rozbor z bodu 3.

Zavedení prostředí

Aditivní mnohoúhelník je z matematického hlediska číselně ohodnocený graf, kdekaždý vrchol je ohodnocen jedním číslem, každá hrana je ohodnocena jedním čís-lem a celý graf je ohodnocen jedním číslem, které nazýváme číslem centrálním.V aditivním mnohoúhelníku platí dvě základní vazby: 1. číslo hrany je součet číselv koncových vrcholech hrany; 2. centrální číslo je součet všech čísel ve vrcholech.

Na obrázku 1 vidíme vyplněný aditivní čtyřúhelník (bod 1. – výchozí situace).Když v něm zaslepíme 5 čísel (bod 2. – úloha) a necháme pouze 4 čísla (viz obr. 2),vznikne úloha.2„Theorists have coined the term schemes to refer to the memory structure that incorporate clusters of information

relevant to comprehension. . . a A primary insight to scheme theories is that we do not simply have isolated factsin memory. Information is gathered together in meaningful functional units.ÿ

50

Obr. 1 Obr. 2 Obr. 3

Vytvořenou úlohu lehce vyřešíme. Abychom si snadněji porozuměli, uvádímoznačení jednotlivých prvků aditivního čtyřúhelníku (viz obr. 3).3 Pomocí obrázku 3můžeme úlohu danou obrázkem 2 popsat souborem čtyř možností: A = 3, C = 5,b = 9, S = 12 . . . Číslo B dostaneme jako b− C, tedy 9− 5, tedy B = 4. Podobnězjistíme, že D = S−A−B−C = 12−3−4−5 = 0. Ostatní čísla lehce dopočítáme(viz základní vazby).

Aditivní čtyřúhelník z obrázku 3 vede k otázce: Kolik nejméně z daných de-víti čísel musíme znát, aby byla úloha jednoznačně řešitelná? Takovéto otázky jsempředkládala i osmi účastníkům dílny. Nejdříve jsme se bavili o aditivních trojúhelní-cích, pak čtyřúhelnících atd. Účastníci měli možnost řešit různé úlohy, tím nabývatzkušenosti a postupně odhalovat další vztahy. Když jsme u aditivního trojúhel-níku zjistili, že potřebujeme znát alespoň tři čísla, mnozí už tušili, že u aditivníhočtyřúhelníku to budou asi čísla čtyři. Pokusy účastníků najít tři čísla, která byjednoznačně popsala všechna čísla aditivního čtyřúhelníku, byly neúspěšné. Tatozkušenost vedla k přesvědčení, že k určení všech čísel čtyřúhelníku je potřeba znátalespoň čtyři jeho čísla. To bylo důvodem, proč jsme tyto úlohy začali nazývat4dimenzními. Přesný důkaz zmíněného tvrzení vyžaduje probrat všechny případytrojic, a to by řešitele po několika případech přestalo bavit, protože na 4dimenznosttohoto prostoru nahlíželi jako na samozřejmost. Nejsnazším případem čtveřice čísel,které dají jednoznačné řešení, je když se tato čísla nachází ve vrcholech. Ptáme se:Která další čtveřice čísel dá jednoznačné řešení?

Obr. 4

Díky předchozímu řešení několika úloh, které sloužily ze-jména k nalezení dimenze aditivního čtyřúhelníku, a které siúčastníci tvořili sami metodou pokus-omyl, bylo už jasné, že senejedná o jakákoliv čtyři čísla. Pro ilustraci zde uvádím úlohuna obrázku 4. I u této úlohy jsou známá právě 4 čísla tak, jaktomu bylo i u úlohy na obrázku 2.

3Značení odpovídá konvencím geometrie s tím, že se zde objevuje i centrální číslo, které značíme S. Písmeno Sje odvozeno od slova středové, protože žákům centrální číslo prezentujeme jako číslo středové. Tyto rozdíly mezimatematickým a didaktickým popisem, které se mohou jevit matoucí či zbytečné, vznikly pouze z nedostatku písmenv abecedě. V didaktické části totiž písmenem C, kterým bychom jinak označili číslo centrální, označujeme jedenz vrcholů. V matematické části zase písmenem S, kterým bychom mohli označit číslo středové, označujeme jednoze zavedených zobrazení. (blíže viz Sukniak, 2013)

51

Nicméně, tato úloha má více řešení, tj. scházející čísla lze doplnit různýmizpůsoby.

Příčina tohoto jevu spočívá v tom, že tři z daných čísel jsou závislá. Konkrétně sejedná o čísla 3, 12 a 9. Z těchto tří čísel tedy můžeme kterékoliv vymazat a na zadáníse tím v podstatě nic nezmění.

V duchu vyučování orientovaného na budování schémat, nabízí prostředí aditiv-ních mnohoúhelníků názornou a zajímavými úlohami obdařenou oblast, vhodnoupro základy schématu Lineárního prostoru. Jev závislosti respektive nezávislostičísel, se kterým jsme se na obrázku 4 setkali, poukazuje na vztah tohoto prostředík lineárním prostorům. Tato skutečnost dává prostředí aditivních mnohoúhelníkůorientaci k hlubokým matematickým myšlenkám. Domnívám se, že když se studentpotká s pojmem lineárního prostoru v této sémanticky lépe uchopitelné vazbě, budesnadněji pronikat do teorie lineárních prostorů. Dodávám, že pro účastníky dílny,mezi nimiž byli i matematicky erudovaní lidé, byl poukaz na vazbu mezi lineárnímiprostory a aditivními mnohoúhelníky překvapením. To je příkladem toho, jak jsouv našich myslích drženy některé matematické fakty izolovaně, a nikoliv ve forměschémat.

Počet vrcholů mnohoúhelníku určuje dimenzi lineárního prostoru, který je s mno-hoúhelníkem provázán. Soubor čísel ve vrcholech interpretujeme i jako bázi lineár-ního prostoru. Všechna ostatní čísla jsou z čísel vrcholů jednoznačně zjistitelná.Když se vrátíme k otázce tvorby úloh v tomto prostředí, vzniká úkol najít všechnybáze k danému mnohoúhelníku, a ke každé bázi popsat algoritmus, jak doplnitvšechna scházející čísla. Žákům samozřejmě toto zadání formulujeme pro ně v při-jatelném jazyce. Řešením úloh získávají zkušenosti se závislostí a nezávislostí prvků,hledají báze. Objeví-li například, že nějaký mnohoúhelník má n-prvkovou bázi, pakkaždá jeho další báze má právě n prvků. Zjistí, že skupinu závislých prvků nikdynelze doplnit na bázi. K těmto zjištěním/objevům dojde po nalezení několika bází.Fakt, že počet prvků báze je neměnný, může být pouhou hypotézou podloženousérii izolovaných modelů. Poté je namístě otázka týkající se důkazu této hypotézy.Žákům ji lze formulovat jako prosbu o vysvětlení jejich předpokladu. Právě díkyvytvořeným izolovaným modelům se žáci můžou vrátit do situací, kde našli či nena-šli bázi a použít je jako důkaz své hypotézy. Sofistikovanějším vysvětlením by bylonahlížet na aditivní mnohoúhelník, jako na soubor n vrcholových čísel, pomocí kte-rých dopočítáme další čísla. Pokud tedy chceme dopočítat všechna čísla, musímejich znát alespoň n, respektive právě n nezávislých.

V aditivním n-úhelníku je 2n+1 čísel. Každá n-tice z těchto čísel, která umožníjednoznačné doplnění čísel dalších, se nazývá bází daného n-úhelníku. Vznikají zdedvě třídy n-úhelníku v závislosti na tom, zda je číslo n sudé nebo liché. Když je nčíslo liché, tak n-tice čísel stran tvoří bázi. Když je n číslo sudé, tak n-tice čísel stranje závislá. Očíslujeme-li strany tak, jak za sebou obíhají kolem mnohoúhelníku,

52

pak se součet čísel lichých stran rovná součtu čísel sudých stran (tento součet jestředovým číslem). Tato vazba říká, že soubor stran v příslušném lineárním prostorutvoří nadrovinu. Báze takového mnohoúhelníku nemůže tedy obsahovat všechnastranová čísla, ale jedno z nich musí být nahrazeno vrcholem.

Úlohy z prostředí aditivních mnohoúhelníků mají silný didaktický potenciál.Rozhodující pro aplikaci daného didaktického prostředí je tvorba vhodných úloh,případně úlohových kaskád.

Na obecné úrovni umožňují vést žáky k odhalování nových pojmů, k analýzegeometricko-aritmetických struktur, k rozvoji argumentace i k přesnému vyjadřo-vání. Na konkrétní úrovni úlohy umožňují rozvoj tematických celků jako dělitelnost,soustavy rovnic, parametrické rovnice, výroková logika, rozšiřování číselných oborůa kombinatorika. Lze v něm vytvořit i úlohy týkající se například procent, posloup-nosti a řad apod. Navíc prostředí rozvíjí jazyk algebry a umožňuje propedeutikulineární algebry tím, že dává řešiteli zkušenosti s pojmy závislost, nezávislost a báze.O didaktické účinnosti tohoto prostředí svědčí i skutečnost, že i účastníci dílny do-bře ovládající lineární algebru, měli radost z odhalování jednotlivých vazeb lineárnízávislosti.

Prostředí aditivních mnohoúhelníků lze rozšířit na prostředí aditivních mnoho-stěnů. Jestliže u aditivních mnohoúhelníků máme 3 druhy čísel, pak u mnohostěnůk nim přibudou čísla stěnová a situace se značně zkomplikuje. Přibudou otázkyo přechodu mezi bázemi, které lze popsat maticemi. Tím se celé prostředí stanemotivujícím pro náročnější partie lineární algebry.

Literatura

[1] ATKINSON, R. L. aj. (2003) Psychologie. Vyd. 2. (298–299). Praha: Portál.

[2] GERRIG, R. J. (1991) Text comprehension. In Sternberg, R. J.; Smith, E. E.(Eds.), The psychology of human thought (244–245). Cambridge: CambridgeUniversity Press.

[3] HEJNÝ, M. (2007) Budování matematických schémat In Hošpesová, A.; Stehlí-ková, N.; Tichá, M. (Eds.), Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice(81–122). České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích.

[4] JIROTKOVÁ, D. (2007) Budování schématu síť krychle, In Hošpesová, A.;Stehlíková, N.; Tichá, M. (Eds.), Cesty zdokonalování kultury vyučování mate-matice (143–176). České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějo-vicích.

[5] SEMADENI, Z. (2002) Trojaka natura matematyki: idee g lebokie, formy po-wierzchniowe, modele formalne. Dydaktyka matematyki, 24, (41–92).

53

[6] SLEZÁKOVÁ, J. (2007) Prostředí Krokování, In Hošpesová, A.; Stehlíková,N.; Tichá, M. (Eds.), Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice (123–142). České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích.

[7] SUKNIAK, A. (2013) Didaktické prostředí aditivních mnohoúhelníků a mno-hostěnů. Diplomová práce. Praha : Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta.

[8] WITTMANN, E. (2001) Developing mathematics education in a systematicprocess. Educational Studies in Mathematics Education, 48, (1–20).

Matematické rarity a jejich role ve výucena 2. stupni ZŠ a na SŠ

Lukáš Vízek, Petr Řehák1

Obsahem tohoto příspěvku je ukázka některých „kuriozníchÿ matematických úlohz oblasti logiky, geometrie, aritmetiky nebo topologie a představení přímých zkuše-ností se zařazením prezentovaných příkladů do výuky na 2. stupni základní školya na střední škole. Závěrem je diskutována užitečnost matematických rarit jako ná-stroje pro inspiraci, motivaci a rozvoje myšlení žáků a studentů.

Příspěvek byl inspirován knihou Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta(Stewart, 2013) britského matematika, popularizátora této vědy, profesora Wa-wrické univerzity Iana Stewarta.2 V jejím úvodu nastínil autor pojem matematickákuriozita, resp. rarita takto:

Když mi bylo čtrnáct let, začal jsem si vést jeden zvláštní sešit. Bylto matematický deník . . . zapisoval jsem si do něj cokoliv zajímavéhoo matematice, na co jsem narazil a co se ve škole neučilo . . . Sešit sečasem rozrostl na šestisešit, který stále vlastním a který se poslézerozpadl na prvočinitele rozsypané po šuplatech. Je to rozmanitá směsúchvatných matematických her, hádanek, příběhů a kuriozit. (Stewart,2013: str. 11)

1Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze; Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové,vizek@karlin.mff.cuni.cz; Základní škola a mateřská škola Jana Pavla II., Hradec Králové, petr.rehak@czshk.cz2 Vedle jmenovaného titulu byly do češtiny přeloženy ještě jeho knihy Hraje Bůh kostky?, Jak rozkrájet dort, Odsud

až do nekonečna a Truhlice matematických pokladů profesora Stewarta.

54

K pracovní dílně letošní konference „2 dnyÿ jsme vybrali několik úloh zmíněnéhotypu, předvedli jejich řešení (resp. nechali je účastníky dílny vyřešit) a prezentovalizkušenosti s nimi na 2. stupni základní školy a na střední škole. Při výběru pří-kladů jsme dbali na jejich přiměřenou časovou náročnost a vzájemnou rozmanitost.Přiznejme, že volba úloh byla subjektivně ovlivněna a vycházela z našeho „sběruÿv průběhu času podobně jako u profesora Stewarta.

Nejprve předvedeme jednotlivé úlohy. Jejich řešení a doplňující informace (ze-jména o původu úloh) uvedeme v poznámkách pod čarou.

Logické úlohy

Poctivci a padouši3

Na ostrově žijí obyvatelé, které lze přesně rozdělit na dva kmeny. Jeden tvoří po-ctivci, již mluví jenom pravdu, a druhý padouši, co vždy lžou.

a) Vypravíte se na ostrov a zeptáte se nějakého obyvatele, ke kterému kmeni patří.Jak vám odpoví?4

b) Rozhodnete se, že si obyvatele z předchozí otázky najmete za svého průvodce,a vypravíte se s ním na cestu po ostrově. Cestou potkáte dalšího člověka. Vyšletesvého společníka, aby se jej zeptal, ke kterému kmeni patří. Učiní tak a sdělívám, že domorodec tvrdil, že mluví vždy pravdu. Byl váš průvodce poctivecnebo lhář?5

c) Na druhé straně ostrova objevíte park, kde spolu klábosí tři zahradníci. Zeptátese prvního: „Jste padouch nebo poctivec?ÿ Odpoví vám, ale tak nezřetelně, žemu nerozumíte. Zeptáte se tedy druhého: „Co říkal?ÿ Sdělí vám: „Pravil, že jepadouch.ÿ V tom okamžiku se ozve poslední: „Nevěřte mu, lže!ÿ Ke kterémukmeni patří každý ze zahradníků?6

d) Z ostrova se už chystáte odcestovat. Na letišti vás však ještě zastaví tři uřečněnídomorodci: Bohumil, Kazimír a Cyprián. Bohumil hned žaluje, že Kazimír jepadouch. Na to se vnucuje Kazimír: „Bohumil a Cyprián nepatří ke stejnému

3 Máme zkušenost, že úlohy o poctivcích a padouších jsou vesměs známé napříč obcí učitelů matematiky. O jejichpůvodu však nemáme informace.4 Poctivec vám potvrdí, že je poctivec. Padouch však o sobě neřekne, že lže, neboť nemluví pravdu. Mohl by, např.

prohlásit: „Nepatřím k žádnému kmeni.ÿ Takové tvrzení by odpovídalo jeho povaze, bořilo by však určitou elegancicelého problému. Doporučujeme jej (a jemu podobná prohlášení) neuvažovat. Tedy jednoduše, každý obyvatel ostrovao sobě říká, že je poctivec.5 Domorodec jistě prohlásil: „Mluvím pravdu.ÿ Náš průvodce tuto skutečnost potvrdil, musí být tedy poctivec.6O prvním zahradníkovi nelze rozhodnout, druhý je padouch a třetí poctivec. První na položenou otázku musí

odpovědět, že je pravdomluvný. Druhý jeho prohlášení neguje, tedy lže, což schvaluje třetí, tudíž poctivý obyvatelostrova.

55

kmeni,ÿ k čemuž Cyprián dodá: „Bohumil je poctivec.ÿ Nechtějí vás pustit,dokud nerozsoudíte, ke kterému kmeni každý patří. . .7

Vlk, koza a zelí8

Sedlák chtěl zajet na trh a s sebou vzít vlka, kozu a zelí. Přijel k řece, přes niž se bylomožné přeplavit jen na malé loďce. Spolu s ním se do loďky vešla jen jedna z věcí,jež vezl. Ze zřejmých důvodů nebylo možné, aby na kterémkoliv břehu zanechalbez dozoru vlka s kozou nebo kozu se zelím (vlk naštěstí zelí nežere). Jak se másedlák dostat přes řeku s celým svým nákladem?9

Manželská nedůvěra10

Tři žárliví muži se svými manželkami potřebují překonat řeku a najdou loď bez pře-vozníka. Uveze však jen dvě osoby. Existuje možnost, jak se všichni dostanou na dru-hou stranu, aby žádná žena nebyla nikdy ponechána ve společnosti jiného mužebez dozoru svého manžela? Veslovat mohou muži i ženy. Žárlivost mužů je veliká,nemohou nechat bez dozoru své ženy ve společnosti jiného muže ani tehdy, je-lizároveň přítomna jeho manželka.11

7 Bohumil a Cyprián jsou poctivci a Kazimír je padouch. Pokud Bohumil tvrdí, že Kazimír lže, musí být poctiveca Kazimír skutečně padouch nebo přesně naopak. Každý patří k různému kmeni. Z (poslední) výpovědi Cypriánaanalogicky plyne, že on a Bohumil patří ke stejnému kmeni. To je však v rozporu s Kazimírovým prohlášením. Onproto musí lhát a Bohumil s Cypriánem mluvit pravdu.8 Úloha byla pravděpodobně sestavena anglickým filozofem, opatem a rádcem Karla Velikého (742–814) Alcuinem

z Northumbrie (835–804). Více viz (Mačák, 2001: str. 11.)9 Nejprve sedlák převeze kozu a přepluje zpět. Následně pojede s vlkem (nebo zelím) a při návratu odveze kozu.

Na třetí cestě naloží zelí (nebo vlka) a nakonec se otočí pro kozu.10 Úloha byla převzata z (Stewart, 2013: str. 94–95).11 Řešení naznačíme pomocí tabulky, v níž A, B, C představuje muže a a, b, c jejich manželky.

pořadí start cesta cíl

AaBbCc

1. BbCc Aa→2. BbCc ← A a

3. ABC bc→ a

4. ABC ← a bc

5. Aa BC → bc

6. Aa ← Bb Cc

7. ab AB → Cc

8. ab ← c ABC

9. b ac→ ABC

10. b ← B AaCc

11. Bb→ AaCc

AaBbCc

56

Geometrické úlohy12

Sfinga

Sfingou budeme v této úloze rozumět rovinný geometrický útvar složený ze šestirovnostranných trojúhelníků (viz obr. 1). Úkol zní takto: Složte ze čtyř těchto sfingjednu dvojnásobně zvětšenou. Jednotlivé díly lze posunovat, otáčet i zrcadlově pře-vracet.

Obr. 1: Sfinga a Řecký kříž.

Řecký kříž

Řeckým křížem budeme v této úloze rozumět rovinný geometrický útvar složenýz pěti shodných čtverců (viz obr. 1). Úkol zní takto: „Rozstříhejteÿ řecký křížna čtyři stejné části, jež by bylo možné složit do čtverce.13

Aritmetické úlohy

Magická hvězda14

Vepište do políček hvězdy (viz obr. 2) čísla od 1 do 17 tak, aby v každém ze čtyřvyznačených směrů dávaly jednotlivé pětice součet 45.

Obr. 2: Magická hvězda.

12 Původ úloh o sfinze a řeckém kříži neznáme. Uvádí je (Stewart, 2013: str. 46 a 80–81), lze je také jednodušedohledat v různých internetových zdrojích.13 Poznámka k řešení kříže: naznačené rozstřihnutí „vycházíÿ z polovin příslušných stran útvaru.

14 Úloha byla převzata ze staré učebnice (Hořčička, Nešpor, 1905: str. 10).

57

Slepené zlomky15

Prostudujte následující řešení součinu zlomků:

1

4· 85=

18

45=

2 · 95 · 9

=2

5.

Výsledek je evidentně správně, 14 ·

85 =

25 , ale první krok je poněkud „podivnýÿ.

Nalezněte další příklady součinu dvou zlomků, jejichž čitatele i jmenovatele tvoříjednociferná (nenulová) přirozená čísla, a jež lze správně vypočítat tak, že zlomkypouze „slepímeÿ.16

Topologická úloha

Myčka, lednice a vařič17

Propojte myčku, lednici a vařič s příslušnými zásuvkami (viz obr. 3.) tak, aby sejednotlivé kabely nekřížily.18

Obr. 3: Myčka, lednice a vařič.

15 Úlohu uvádí (Stewart, 2013: str. 190).16 Obecně řešíme rovnici

a

b· cd

=10a+ c

10b+ d, resp. ac(10b + d) = bd(10a + c), kde a, b, c a d jsou přirozená čísla

od 1 do 9 včetně. Existuje 81 jednoduchých řešení pro případy, kde a = b a c = d. Netriviálních řešeních je7: (a, b, c, d) = (1, 2, 5, 4), (1, 4, 8, 5), (1, 6, 4, 3), (1, 6, 6, 4), (1, 9, 9, 5), (2, 6, 6, 5) a (4, 9, 9, 8), resp. 14, pokud uvážímepřevrácené hodnoty (b, a, d, c).17 S touto úlohou, resp. jejími variantami danými různými předměty k zapojování se podle naší zkušenosti setkalo

mnoho učitelů matematiky. Původ příkladu však neznáme.18 Řešení (spolu s úlohou magická hvězda):

58

Fyzikální úloha na závěr

Bazén v Praze 4 – Podolí19

Plujete na kánoi v plaveckém bazénu v Praze – Podolí (po zavírací době). S sebouvezete balvan, špalek a barel s vodou. Zvedne se, zůstane stejná nebo se zvýšíhladina vody v bazénu, pokud do ní z lodi hodíte balvan, špalek nebo vylejetebarel?20

Reflexe

K představení zkušeností s uvedenými netradičními úlohami nyní znovu projdemetyto příklady a u každého uvedeme několik postřehů.

Domníváme se, že úlohy z ostrova poctivců a padouchů tematicky nejvíce souvi-sejí s výrokovou logikou. Proto byly často řazeny při výuce tohoto celku (zpravidlav prvním ročníku SŠ),21 sloužily zejména k motivaci v úvodu. Jejich řešení vycházíze dvou prostých podmínek: poctivci mluví pravdu, padouši lžou. V dobrém slovasmyslu řečeno, k rozluštění hádanky je třeba jen „čistě uvažovatÿ. Ohlasy studentůbyly zpravidla velmi pozitivní. Na úlohy představené výše je navíc možné navázatsložitějšími situacemi z ostrova,22 k jejichž řešení lze efektivně využít přepis do vý-rokové logiky, upotřebit logické spojky, složené výroky a jejich negace. Dojde tímk propojení „standardního učivaÿ a kuriózních problémů ostrova, čímž je možnopřispět k zlepšení znalostí a dovedností studentů v této látce.

Vlk, koza a zelí je svým způsobem legendární úloha. Je obsažena v řadě (ne-jen) popularizačních knih o matematice. Do hodin matematiky byla řazena volně,nezávisle na probíraném učivu, sloužila jako rozcvička, způsob odreagování nebosmysluplného zaplnění zbývajícího času. Výhoda úlohy spočívá v její časové nená-ročnosti a přiměřené obtížnosti i pro žáky základní školy. Ke správnému výsledkudošla většina, mnozí si všimli i dvou řešení. Manželská nedůvěra je podobné zadání,avšak zabere více času a je náročnější.23

19 Úlohu vymyslel nezávisle na literatuře L. Vízek se svým bratrem MgA. Adamem Vízkem před několika lety.Části veřejnosti bude však úloha známá, shodou okolností byl v principu podobný problém uveřejněn dne 20. března2014 pod názvem Záhada vysypané lodi na serveru Alík (viz http://alik.idnes.cz/zabavna-fyzika-archimeduv-zakon-daa-/alik-alikoviny.asp?c=A140214 114336 alik-alikoviny jit [cit. 2014–03–20]).20 Hodíte-li z lodi do vody balvan, hladina bazénu klesne. Pokud vrhnete špalek nebo vylejete barel, hladina zůstane

stejná. Jak to jen učinit, aby voda v bazénu stoupla?21 V letech 2010 až 2013 působil L. Vízek na Gymnáziu Nový Bydžov22 Například úlohami typu Dva obyvatelé ostrova, Eva a Adam podali tyto výpovědi. Eva: „Jestli není Adampoctivec, pak jsem poctivec já.ÿ Adam: „Padouch je Eva, nebo je na ostrově zlato.ÿ Rozhodněte o Adamovi, Evěa zlatu na ostrově.23 Obě úlohy bývají v angličtině označovány jako river crossing puzzle, dalším známým příkladem je problém

přechodu mostu v noci se svící. Řešení rozebírá, např. článek Rote G., Crossing the bridge at night, dostupný on-linena http://page.mi.fu-berlin.de/rote/Papers/pdf/Crossing+the+bridge+at+night.pdf [cit. 2014–03–21].

59

Sfinga a řecký kříž mají vizuální povahu. Jejich význam spatřujeme v možnémzvýšení zájmu žáků a studentů o geometrii. Sfinga je poměrně jednoduchou hádan-kou, úspěšných řešitelů bývá mnoho. Řecký kříž dovedla rozstříhat na stejné částirovněž většina, ovšem, aby z nich bylo možné složit čtverec, bylo již problematické.Ke správnému přístupu lze vhodně nasměrovat, aniž bychom výsledek prozradili.Můžeme zdůraznit, že vzhledem ke středové souměrnosti kříže podle jeho středu,musí střihy procházet tímto bodem. V podstatě řez vedeme osovým křížem, jenž jetřeba jen vhodně natočit. K problému je možné přistoupit i algebraicky. Na základěplošného obsahu řeckého kříže vypočítáme velikost strany „budoucíhoÿ čtverce, cožnás navede na správné natočení střihů.

Dvojice aritmetických úloh magická hvězda a slepené zlomky představují opětnejprve lehčí a následně obtížnější úlohu. Výše ukázané řešení hvězdy samozřejměnení jediné možné. Pořadí umístění čísel je však svým způsobem elegantní a vy-stihuje motivační úlohu cvičení. Zlomky jsou omnoho náročnější. Často se žákůmpodaří nalézt triviální řešení nebo převrácené zlomky k ukázkovému příkladu. Ob-jevit netriviální varianty je obtížné, může být otázkou domácí práce. Největší přínosproblému spatřujeme v jistém zaujetím zlomky, látky, v niž nebývají někteří žákypříliš bezchybní.

Předposlední topologická úloha byla vždy velmi úspěšná a rychlá. Rozluštila jivětšina řešitelů. Lze ji zadat pro osvěžení hodin nebo k odreagování takřka při jaké-koliv probírané látce. Její povaha je opět vizuální, můžeme ji zařadit jako motivačníúlohu, pokud bychom rádi studentům přiblížili svět topologie nebo teorie grafů.

Závěrečná úloha s bazénem byla zadávána pro pobavení zejména ostatním kole-gům vyučujícím. Představuje jednoduché cvičení na Archimédův zákon, k našemupřekvapení nebyla úspěšnost řešitelů nikterak vysoká. Další zkušenosti s příklademjiž ponecháme na čtenáři.

Závěr

Tento příspěvek budiž vnímán jako určitá sonda do života nestandardních matema-tických úloh, k jejichž objevování, řešení a užívání v učitelské praxi jsme chtěli inspi-rovat. Naše zkušenosti se zařazením těchto úloh v hodinách matematiky byly vesměsvelmi dobré. Docílili jsme nimi zvýšení pozornosti, uvolnění atmosféry i zlepšení kli-matu ve třídách. Závěrem vyzdvihněme ještě jeden poznatek. V řešení problémůbyli mnohdy rychlejší žáci, resp. studenti, jenž jsou prospěchově spíše průměrní,ba i podprůměrní. Radost těchto řešitelů ze správných výsledků je pro nás velicecenná. Máme naději, že nejen jim mohou matematické rarity otevírat dveře k dal-šímu objevování, tvoření a učení se v matematice.

60

Literatura

[1] HORČIČKA, J., NEŠPOR, J. (1905). Početnice pro měšťanské školy chlapeckéi dívčí. Díl I. 2. vyd. Praha: J. Otto.

[2] MAČÁK, K. (2001). Tři středověké sbírky matematických úloh. Edice Dějinymatematiky, svazek č. 15. Praha: Prometheus.

[3] STEWART, I. (2013). Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta.Edice Atelier, svazek č. 53. Praha: Argo, Dokořán.

61

JEDNÁNÍ V SEKCÍCH

Tvorba video-databázy pomocou pera SmartPen

Katarína Furcoňová, Veronika Hubeňáková1

Chyba je pri učení prirodzeným javom. Dobrý učiteľ matematiky sa na ňu nepozeráako na prekážku poznania, ale ako na bohatý zdroj informácií o žiakovi, o úrovnijeho myslenia. Chyby môže vo svoj prospech využiť aj žiak sám, učiť sa na chybáchvlastných či cudzích, a tak ich zúžitkovať na rozvoj svojich schopností. V príspevkupredstavíme žiacke riešenie slovnej úlohy spracované formou videa, ktoré je krokpo kroku doplnené otázkami na diskusiu medzi žiakmi a učiteľom.

Slovné úlohy z matematiky a žiacka chyba

Riešenie slovných úloh je neustálym problémom matematického vzdelávania. Vy-chádza z intuície, skúseností a znalostí riešiteľa a z jeho schopnosti pamätať si,kombinovať, uvažovať. Ako tvrdí Kuřina (2011) „neúspech žiaka pri riešení úlohynemusí byť spôsobený neznalosťou logiky napr. metódami dokazovania, ale nízkouúrovňou predstavivosti, neschopnosťou vidieť súvislosti a nahliadnuť na situáciuz nového pohľadu.ÿ V počiatkoch učenia by mal učiteľ chápať chybu ako zákonitýjav, ktorý je potrebné využiť v prospech žiaka v ďalších etapách učenia. Piagetpreukázal, že ak sa dieťa dopustí chyby, nie je to obvykle spôsobené jeho neschop-nosťou, dieťa jednoducho reaguje na základe svojej dosiahnutej úrovne myslenia.„Túto úroveň je možné zvýšiť, ak poskytneme deťom príslušnú znalostnú základňua ak venujeme pozornosť procesom, ktorých prostredníctvom môžu túto základňuvhodne štrukturovať a využívať.ÿ (Fontana, 2010)

Z týchto dôvodov považujeme za dôležité, aby sa budúci učitelia matematiky na-učili využiť žiacke chyby v prospech rozvoja žiackej schopnosti riešiť matematickéúlohy. Inými slovami, rozvinúť svoje diagnostické kompetencie (základné zložkyprofesijných kompetencií pedagóga), ktoré Bajtoš (2007) definuje ako schopnosť„vycítiť a poznať, ako žiak myslí, cíti a správa sa, aké to má príčiny, kde má prob-lémy, ako mu je možné pomôcť, čiže tieto kompetencie umožňujú individualizovať

1PF UPJŠ, Ústav matematických vied v Košiciach, katarina.furconova@gmail.com,veronika.hubenakova@student.upjs.sk

62

pôsobenie učiteľa smerom k žiakom.ÿ Súčasťou diagnostických a intervenčných kom-petencií je hodnotenie žiakov, ktoré je kľúčovým faktorom efektívnosti výučbovéhoprocesu. Na matematike sa často zužuje len na klasifikáciu písomných prác žiakov.To poukazuje na nedostatky v príprave budúcich učiteľov matematiky v oblastiformatívneho hodnotenia.

Hľadanie a analýza chýb, ktoré sa vyskytujú pri riešení úloh, môžu samotnýmžiakom pomôcť rozvíjať ich kompetencie na úrovni reflexie. Kompetencie na tejtoúrovni možno opísať charakteristikami ako sú napríklad rozvinuté uvažovanie, argu-mentácia, abstrakcia, zovšeobecnenie a modelovanie použité v nových, neznámychkontextoch (zadaniach slovných úloh), originálny matematický prístup, spojenieviacerých zložitejších metód, získavanie vhľadu do problémov.

Prečo SmartPen

Spôsobov, ako analyzovať chybu v riešení, resp. riešenie ako také, je viacero. Pri di-daktických experimentoch majú žiaci najčastejšie riešiť jednu alebo viacero ma-tematických úloh použitím iba pera a papiera. Výhodou je prirodzenosť riešenia,pretože žiaci sú zvyknutí na taký spôsob riešenia úloh. Avšak na druhej stranetieto vedecké texty sú často záznamom výsledku myslenia, nie záznamom procesumyslenia žiakov, ako ukazuje DeBock (1998) alebo Uesaka (2007). Čoraz rozšíre-nejšia metóda získavania vedeckých výsledkov Eye tracking (Duchowski, 2007) jetechnologicky presná, zaznamenáva proces, no myslíme si, že na experimenty sožiakmi je nevhodná. Ide o fixovanie hlavy, kalibráciu očí a to spôsobuje nepohodupri riešení aj jednoduchých matematických úloh. Inou technologickou pomôckoupre zachytenie riešenia žiaka je grafický tablet. Jeho nevýhodou je však to, že žiakpíše na dotykovú plochu a pritom musí pozerať na monitor počítača, aby videl,čo skutočne napísal. Tento faktor opäť negatívne ovplyvňuje sústredenosť žiakana samotné riešenie zadanej úlohy.

SmartPen je na pohľad obyčajné pero, no v jeho vnútri sa skrýva malý počítač,ktorý audiovizuálne nahráva písaný text v reálnom čase (viac o tejto technológiina www.smartpen.sk). Pomocou SmartPen dokážeme zabezpečiť prirodzenosť rie-šenia, zaznamenanie detailov procesu – ako sa riešenie vyvíjalo, nápady, pokusy,a taktiež umožňuje vhodné video spracovanie, ktoré bude využiteľné vo forme da-tabázy pre budúcich učiteľov na seminároch a cvičeniach, ale aj na vyučovacíchhodinách na základných a stredných školách. Pomocou interaktívneho videa spra-covaného pomocou SmartPen chceme prispieť k aktivizácii všetkých žiakov v danejtriede, k rozvoju schopnosti logickej argumentácie, kritického myslenia a zabrániťzlyhávaniu žiakov v rôznych fázach riešenia slovnej úlohy.

63

Ukážka riešenia slovnej úlohy a metodické komentáre

V tejto časti uvádzame metodický popis práce s videom, ktoré obsahuje riešenieAnity, žiačky 5. ročníka ZŠ. Anita v ňom rieši slovnú úlohu o Pinocchiovi: KeďPinocchio zaklame, nos sa mu predĺži o 6 cm. Keď povie pravdu, nos sa mu o 2 cmskráti. Keď sa ráno zobudil, jeho nos meral 9 cm. Pri raňajkách povedal tri neprav-divé vety a dve pravdivé vety. Koľko meral Pinocchiov nos po raňajkách?

Učiteľ pri práci s videom ho po každej očíslovanej inštrukcii/otázke pozastavía podľa potreby opäť spustí:

1. Vyrieš slovnú úlohu do svojho zošita. – učiteľ podľa vlastného uváženia po-skytne žiakom čas na samostatné vyriešenie zadanej slovnej úlohy. Aby žiakovvideo pri riešení nerušilo, učiteľ ho pozastaví počas 6 sekundového čiernehopozadia.

2. Riešme slovnú úlohu spolu s Anitou. – po tejto inštrukcii nasleduje samotnýzáznam Anitinho riešenia. Pozn. autora: Po prečítaní úlohy sa Anita vyjad-rila, že tomu vôbec nerozumie. Bolo by zaujímavé zistiť, do akej miery mátakéto vyjadrenie žiaka hneď po prvom prečítaní úlohy vplyv na celkovúúspešnosť riešenia.

3. Čo podľa teba teraz Anita robila? – učiteľ očakáva od žiakov odpoveď, žeAnita čítala zadanie, snažila sa správne porozumieť textu. Ak to neurobiažiaci sami, učiteľ im pripomenie, že na prvú fázu riešenia slovných úloh (po-riadne si prečítať zadanie) nesmú zabúdať.

4. Sleduj Anitine riešenie slovnej úlohy a porovnaj ho so svojim riešením zo zo-šita. – každý žiak si priebežne porovnáva vlastné riešenie s riešením Anity,robí si do vlastného riešenia poznámky.

5. Prečo asi Anita napísala číslo 9? – učiteľ kladie otázku smerom k žiakom,sám na ňu neodpovedá, čaká, kým sa žiaci v názoroch zjednotia a prípadnes nimi potom prediskutuje správnosť ich záverov.

6. Urobila Anita správne výpočty? Čo nimi vyjadrila? – riešenie Anity pokračujevýpočtami 6 · 3 = 18; 9 + 18 = 27. Opäť postupujeme ako v bode 5.

7. Čo si myslíš, ako bude teraz Anita pokračovať v riešení úlohy? – po tejtootázke očakávame rozdelenie žiakov na skupiny (postupujú vo vlastnom rie-šení rovnako ako Anita, nepostupujú rovnako, ich riešenie sa iba čiastočnepodobá Anitinmu, atď.). Ak má učiteľ priestor a čas, môžu vzniknúť tietoskupiny aj fyzicky, čím vyučovacia hodina získa na dynamike. Učiteľ očakáva,že žiaci, ktorí sú v rôznych skupinách, budú odpovedať rôzne podľa ich vlast-ného zápisu v zošite a podľa presvedčenia, že práve ich riešenie je to správne.Zaujímavé sú najmä názory, ktoré hovoria, akú matematickú operáciu Anita

64

použije. Sú povolené do istej miery aj rozhovory medzi žiakmi, učiteľ sa všakneprikloní ani k jednej z možností, hoci je správna. Ak niektorý zo žiakovzmení v procese riešenia úlohy názor na svoje vlastné riešenie, prejde do inejskupiny.

8. Je Anitina odpoveď správna? – nasleduje diskusia o tom, či Anita odpovedalasprávne alebo nie, resp. čo mohla urobiť inak. Vítané sú názory všetkýchžiakov, aby učiteľ získal prehľad, kto ako o úlohe premýšľa. Až v tejto chvílimá byť žiakom jasné, že Anitine riešenie je správne a ukáže sa, ktorej skupinežiakov sa má učiteľ ešte venovať a ktorú môže za správne riešenie pochváliť.

9. Ako by vyzeralo riešenie tejto úlohy pomocou obrázka? – Pre tých žiakov,ktorým úloha robila problémy, je vhodné jej zadanie a riešenie názorne vi-zualizovať a tým pomôcť k zlepšeniu porozumenia úlohy. Na záver sa eštevo videu objaví zadanie slovnej úlohy, takže učiteľ môže ešte raz zhrnúť, na čosi majú žiaci dávať pozor.

Pre budúcich učiteľov pozorovanie riešení jednotlivých žiakov znamená najmäodhaľovanie, v ktorej etape riešenia slovnej úlohy nastáva u žiaka problém a odpo-vedanie na otázky typu: Porozumela Anita zadaniu slovnej úlohy? Zostavila správnematematický model? Vyriešila správne matematický model? Interpretovala správneriešenie matematického modelu? Je to dobrý spôsob, ako študentom priniesť infor-máciu o etapách riešenia slovnej úlohy, neostávame však len pri strohých odpove-diach. Chceme vedieť, ktorá časť videoukážky, ktorá veta/zápis ich o tom presvedčil.

Zaujíma nás ďalej reakcia budúceho učiteľa na žiacke riešenie a formulácia po-mocných a diagnostických úloh: Čo poviete Anite bezprostredne po riešení tejtoúlohy? Za čo ju pochválite? Na čo ju je potrebné upozorniť? Ako to všetko poviete?V tejto časti je dôležitý nácvik správneho formulovania spätnej väzby pre žiaka.Preto by študenti mali formulovať svoje odpovede tak, ako by ich skutočne pove-dali žiačke Anite. Je rozdiel povedať: „Ja by som to vypočítal tak, že. . . ÿ a skutočnevyriešiť nejakú úlohu. Len vtedy totiž zistíme, kde robíme chyby a na čom potrebu-jeme popracovať. Študenti sa tu učia jednak tým, že sami formulujú vety adresovanéžiakom a jednak tým, že sa navzájom počúvajú a hľadajú spôsob, ako výpovedeostatných kolegov zlepšiť.

Úlohy na formulovanie otázok/inštrukcií, ktoré pomôžu žiakovi nájsť a poučiťsa z vlastných chýb vyžadujú od študentov matematické porozumenie úlohe, ajporozumenie chybe žiaka. Učiteľ matematiky by mal byť schopný namodelovaťsituáciu tak, aby sa v nej ukázala chyba, ktorú žiak urobil a zároveň pripraviťpodobnú situáciu, na ktorej sa ukáže, či došlo k náprave v myslení žiaka. Okremschopnosti formatívne hodnotiť tak rozvíjame aj schopnosť tvoriť úlohy.

Poznámka: V prípade záujmu o video s riešením slovnej úlohy o Pinocchiovi, kon-taktujte nás na email: katarina.furconova@gmail.com.

65

Poďakovanie

Tento príspevok vznikol s podporou grantu VVGS-2013-119.

Literatura

[1] BAJTOŠ, J. (2007). Kapitoly zo všeobecnej didaktiky. Košice: Equilibria.

[2] DE BOCK, D., VERSCHAFFEL, L. & JANSSENS, D. (1998). The predo-minance of the linear model in secondary school students’ solutions of wordproblems involving length and area of similar plane figures. In EducationalStudies in Mathematics (65–83), vol. 35. ISSN 0013-1954.

[3] DUCHOWSKI, A. (2007). Eye Tracking Methodology: Theory and practice.London: Springer.

[4] FONTANA, D. (2010). Psychologie ve školní praxi. Praha: Portál.

[5] KUŘINA, F. (2011). Matematika a řešení úloh. České Budějovice: Jihočeskáuniverzita v Českých Budějovicích.

[6] UESAKA, Y., MANALO, E. & ICHIKAWA, S. (2007). What kinds of per-ceptions and daily learning behaviors promote students’ use diagrams in mat-hematics problem solving? In Learning and Instruction (322–335), vol. 17.ISSN 0959-4752.

Využitie GeoGebry pri riešení lineárnychoptimalizačných úloh

Štefan Gubo1

Optimalizačné úlohy sú také výpočtové úlohy, ktorých cieľom je nájdenie optimál-neho riešenia na množine prístupných riešení. V prípade lineárnych optimalizač-ných úloh účelová funkcia je lineárna a všetky ohraničujúce podmienky sa dajúvyjadriť lineárnymi rovnicami alebo nerovnicami. V príspevku uvádzame grafickériešenie takýchto úloh pomocou dynamického geometrického softvéru GeoGebra.

1Ekonomická fakulta, Univerzita J. Selyeho v Komárne, guboi@ujs.sk

66

Lineárna optimalizačná úloha a jej grafické riešenie

Definícia (Berežný & Kravecová, 2012): Lineárna optimalizačná úloha je optima-lizačná úloha s n premennými a m ohraničujúcimi podmienkami, ktorú všeobecnemožno zapísať matematickým modelom v tvare:

f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn −→ opt (max, min) (1.1)

a11x1 + a12x2 + . . . . . . + a1nxn >=< b1

a21x1 + a22x2 + . . . . . . + a2nxn >=< b2 (1.2)

... ...

... ...

am1x1 + am2x2 + . . . . . . + amnxn >=< bm

kde bi, cj a aij sú reálne konštanty a xj (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n) sú neznámereálne čísla. Rovnica (1.1) vyjadruje účelovú funkciu a sústava nerovníc príp. rovníc(1.2) popisuje ohraničujúce podmienky lineárnej optimalizačnej úlohy.

Úlohy lineárnej optimalizácie môžeme rozdeliť do niekoľko skupín, napr. výrobnáúloha, dopravná úloha, zmiešavacia úloha, rezný plán, priraďovacia úloha atď., pozri(Kolman & Beck, 1995). V ďalšej časti príspevku uvedieme riešenie nasledovnejvýrobnej úlohy:

Firma vyrába dva druhy produktov X a Y. Oba druhy sa vyrábajú zo surovínA, B, C a D. Na vyrobenie jednotkového množstva produktu X firma spotrebuje2 jednotky zo suroviny A, 2 jednotky zo suroviny B a 4 jednotky zo suroviny C.Na vyrobenie jednotkového množstva produktu Y firma spotrebuje 4 jednotky zo su-roviny A, 1 jednotku zo suroviny B a 4 jednotky zo suroviny D.

Zisk z predaja jednotkového množstva produktu X je 4 EUR a produktu Y6 EUR.

Na sklade je k dispozícii 16 jednotiek zo suroviny A, 10 jednotiek zo suroviny B,16 jednotiek zo suroviny C a 12 jednotiek zo suroviny D.

Otázka: Aké množstvá jednotlivých produktov má firma vyrobiť zo surovín, abydosiahla maximálny zisk?

Všetky potrebné údaje si zapíšeme do tabuľky (tabuľka 1).Na výrobu x kusov produktu X a y kusov produktu Y firma spotrebuje 2x+4y

jednotiek zo suroviny A. Avšak k dispozícii má len 16 jednotiek. Matematickousymbolikou toto obmedzenie vyjadríme ako nerovnosť 2x + 4y ≤ 16. Podobnepre surovinu B platí nerovnosť 2x + y ≤ 10 , pre surovinu C nerovnosť 4x ≤ 16a pre surovinu D platí nerovnosť 4y ≤ 12.

67

Tab. 1: Počiatočné údaje výrobnej úlohy

Je zrejmé, že firma nemôže vyrobiť záporný počet kusov akéhokoľvek produktua preto k podmienkam pridáme aj podmienky nezápornosti: x ≥ 0 a y ≥ 0.

Ak firma vyrobí x kusov produktu X a y kusov produktu Y, zisk z predajaoboch produktov vypočítame podľa vzťahu f (x, y) = 4x + 6y . Našou úlohou jemaximalizovať túto účelovú funkciu.

Matematický model lineárnej optimalizačnej úlohy teda môžeme zapísať v tvare:

f(x, y) = 4x+ 6y −→max

za podmienok: 2x+ 4y ≤ 16

2x+ y ≤ 10

4x ≤ 16

4y ≤ 12

x ≥ 0 , y ≥ 0 .

Riešením tejto sústavy nerovníc je každá usporiadaná dvojica kladných celýchčísel, po dosadení ktorých za x a y dostaneme z každej nerovnice sústavy prav-divý výrok. Všetky riešenia tejto sústavy tvoria množinu prípustných riešeníoptimalizačnej úlohy. Naším cieľom je nájsť také prípustné riešenie, pre ktoré máúčelová funkcia maximálnu hodnotu.

Grafická metóda znázorňuje riešenia jednotlivých nerovníc sústavy v kartezián-skej súradnicovej sústave. Z podmienok nezápornosti vyplýva, že všetky riešeniebudú v prvom kvadrante, v prieniku štyroch polrovín. Obrazom množiny prípust-ných riešení je mnohouholník najtmavšej farby, ktorého strany ležia na hraničnýchpriamkach príslušných polrovín (obr. 1).

V tomto mnohouholníku budeme hľadať optimálne celočíselné riešenie. Triviál-nym prípustným riešením je dvojica x = 0, y = 0, ktorá vyjadruje, že firma nebudevyrábať produkty, ale to jej neprinesie žiadny zisk. Do súradnicovej sústavy zakres-líme priamku účelovej funkcie pre ľubovoľne zvolenú hodnotu parametra c, a bu-

68

Obr. 1: Obraz množiny prípustných riešení výrobnej úlohy

deme hľadať taký bod mnohouholníka, cez ktorý prechádza „najvyššieÿ umiestnenárovnobežka. Využijeme dynamiku softvérového riešenia a použijeme nástroj posuv-ník softvéru GeoGebra. Ľahko zistíme, že bod [4,2] je obrazom optimálneho riešeniatejto výrobnej úlohy (obr. 2). Firma by teda mala vyrobiť 4 kusy z produktu Xa 2 kusy z produktu Y.

Všimnime si, že bod [4,2] leží na prieniku troch hraničných priamok polrovín.V kontexte výrobnej úlohy to znamená, že zásoby surovín A, B a C sa použijúbezo zvyšku.

Obr. 2: Obraz optimálneho riešenia výrobnej úlohy

69

Záver

Na základe uvedených môžeme voľne šíriteľný dynamický geometrický softvér Geo-Gebra považovať za vhodný nástroj pre grafické riešenie lineárnych optimalizačnýchúloh s dvomi premennými bez používania poznatkov z vyššej matematiky.

Literatura

[1] BEREŽNÝ, Š. & KRAVECOVÁ, D. (2012). Lineárne programovanie. Košice:Technická univerzita v Košiciach. ISBN 978-80-553-0910-1.

[2] KOLMAN, B. & BECK, R. E. (1995). Elementary Linear Programming withApplications. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-417910-3.

Formulator Tarsia – jednoduchý programpro tvorbu matematických skládaček

Veronika Havelková1

Příspěvek se zabývá programem Formulator Tarsia, který umožňuje tvorbu domin,triomin a jiných her vhodných k oživení procvičovaného učiva nejen v matematice.

Program Formulator Tarsia není v České republice příliš známý a to i přes to, že semůže stát velmi šikovným pomocníkem učitele při přípravě didaktických materiálů,který je navíc zdarma a podporuje matematický text. Jako nevýhoda se může proněkoho jevit to, že program nabízí prostředí v angličtině a nikoliv v češtině. Vzhle-dem k jednoduchému rozhraní programu to však nemusí být překážkou ani pro ty,kteří angličtinu neovládají. Cílem tohoto příspěvku je čtenáře seznámit s možnos-tmi tohoto programu a návodem na jeho použití tak, aby byl čtenář schopen sinásledně materiály v programu sám vytvářet.

Stažení, instalace a první spuštění

Program si lze zdarma stáhnout na:http://www.mmlsoft.com/index.php/products/tarsia

1Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,veronika.havelkova@pedf.cuni.cz

70

Poté program klasickým způsobem nainstalujeme. Sympatické je, že autoři pro-gramu nevyžadují žádnou registraci apod. Při spuštění programu program nabízíTip of day (typ dne), který není nijak důležitý. Pokud nechceme, aby se nám příštězobrazoval, stačí odškrtnout políčko Show Tips on StartUp a okno zavřít tlačítkemClose. Následně se zobrazí nové okno, které umožňuje výběr z různých typů skláda-ček. Pod názvem Standard Jigsaw a Extended Jigsaw se nacházejí zdánlivě totožnéskládačky. Jediný rozdíl mezi nimi je však ten, že u Extended Jigsaw máme možnostzadávat i okraje skládaček a tím žákům skládání trochu zkomplikovat. Pro účelylepšího popisu nyní zvolíme Extended Triangular Jigsaw (princip je však v základustejný u všech) a klikneme na OK.

Práce v programu

Po zvolení typu skládačky se již zobrazí základní rozhraní programu (obr. 1). V dol-ním panelu se nachází možnosti zobrazení, mezi kterými je možno přepínat. PoložkaInput umožňuje zadávat jednotlivé dvojice. V případě, že zvolíme variantu Exten-ded, nám program umožňuje zadávat i jednotlivé kraje skládačky. Mezi dvojicemimůžeme přepínat pomocí pravého panelu, kde tlačítka 1 až 18 symbolizují jednot-livé dvojice a d1 až d12 symbolizují kraj skládačky. Posledním políčkem Back Sideof the Card můžeme nastavit zadní popisek skládačky. V položce Table si můžemezobrazit již hotové dvojice, což je vhodné zejména pro zpětnou kontrolu. PoložkaOutput slouží k tisku skládačky. V jejím pravém rohu můžeme měnit velikosti vý-sledné skládačky. Položka Solution umožňuje vytisknout řešení skládačky (obr. 2)a položka Back Side může zobrazit a vytisknout zadní stranu skládačky. Pokudchceme skládačku vytisknout, musíme mít vždy zvolen ten pohled, který chcemevytisknout. Samotný tisk pak provedeme prostřednictvím ikony tiskárny v hornímpanelu programu. Na stejném místě můžeme soubor uložit prostřednictvím ikonydiskety.

Nejvíce zajímavou, z hlediska tvorby skládačky, je položka Input, kterou jednot-livé dvojice zadáváme. Text zadáme postupně vždy do šedivého obdélníčku. Velkouvýhodou tohoto programu je, že nám umožní vkládat nejen běžný text, ale i ob-rázky a matematický text. Obrázky je možno vkládat pomocí ikony obrázku, kteráse nachází v horním panelu pod položkou Standard. Pokud chceme vložit mate-matický text, využijeme položek Presentation a Content. V těchto položkách senacházejí různé matematické symboly, které můžeme rozkliknout a vybrat si tenznak či rovnici, kterou potřebujeme. Jednotlivé vzorce je možno do sebe vnořovat,podobně jako je tomu u editoru rovnic programu Microsoft Word.

71

Obr. 1: Základní prostředí programu

Obr. 2: Vytisknuté řešení z verze Solution

72

Pokud se nám písmo na výsledné skládačce zdá příliš malé, můžeme velikostpísma změnit prostřednictvím ikony lupy se čtverečkovým pozadím (ve všech ok-nech kromě Input). Pokud jsme však do skládačky vnořili obrázky, je velmi prav-děpodobné, že tyto obrázky budou při zvětšení písma přesahovat okraje.

Pokud bychom se rozhodli zpětně změnit tvar skládačky, můžeme tak učinitprostřednictvím horní nabídky programů položkou File – Properties – Change do-cument type, kde si můžeme zvolit jiný tvar skládačky. Program nás vždy varuje,že při změně skládačky s větším počtem dílků na skládačku s menším počtem dílkůmůžeme přijít o již vytvořené dvojice.

Typy na použití v praxi

Při vytváření skládačky je vždy vhodné předem promyslet, kolik času chceme sklá-dání s žáky věnovat. Pokud chceme zařadit skládání jako krátkou aktivitu, mělibychom se vyvarovat skládačkám s mnoha díly. Naopak pokud program chcemepoužít na téma výrazů či rovnic, je vhodné se vyvarovat použití různých písmenjako neznámých, protože samo písmeno může napomoci řešení.

V mé osobní praxi jsem před tiskem verze Output upřednostňovala verzi Solu-tion, která umožňovala tisknout menší dílky, jež mi pro žáky druhého stupně přišlyjako dostačující (tato varianta má však tu nevýhodu, že neumožňuje vytisknoutpoložku Back Side). Rovněž se mi osvědčilo, když jsem žákům vytiskla i prázdnouverzi Solution, na které si pak dílky skládali.

Řadu již hotových skládaček naleznete na:http://www.mrbartonmaths.com/jigsaw.htm

Závěr

Přestože není program Formulator Tarsia příliš známý, jeho možnosti uplatněníjsou velmi široké. Lze ho využít ve výuce na prvním stupni, druhém stupni i na střed-ních školách. Program je rovněž velmi dobře možné využít nejen ve výuce matema-tiky, ale také v celé řadě dalších předmětů. . .

Literatura

[1] HERMITECH LABORATORY. Information on Formulator Tarsia [online].[cit. 2014-01-09]. Dostupné z: http://www.mmlsoft.com/index.php/products/tarsia

[2] MR BARTON MATHS. Tarisia jigsaw files [online]. [cit. 2014-01-09]. Do-stupné z: http://www.mrbartonmaths.com/jigsaw.htm

73

Možnosti GeoGebry pri medzipredmetovýchvzťahoch matematiky a fyziky

Ladislav Jaruska1

Článok sa zaoberá s možnosťami dynamického programu GeoGebra vo vyučovaní.Program je využívaný nielen v matematike, ale aj pri riešení fyzikálnych úloh. Člá-nok obsahuje niekoľko jednoduchých príkladov na modelovanie fyzikálnych javova tým na podporovanie medzipredmetových vzťahov matematiky a fyziky.

V súčasnosti moderné technológie sú integrované vo väčšine oblastí vyučovania.IKT ponúkajú nové možnosti pedagógom aj študentom na zvyšovanie efektivityvýchovnovzdelávacieho procesu. Jednou takou možnosťou aplikovania modernýchtechnológií do vyučovania je používanie dynamického programu GeoGebra. Geo-Gebra je voľne šíriteľný matematický softvér, ktorý bol vytvorený hlavne na pod-poru vyučovania matematiky. Spája v sebe geometriu, algebru a matematickú ana-lýzu a môžeme využívať v edukačnom procese od základných škôl až po univerzity.

Možnosti aplikovania GeoGebry

V pedagogickej praxi sa často stretávame s prípadmi, ktoré nepatria len do tema-tických celkov matematiky, ale zaoberajú sa s fyzikálnymi javmi. Riešenie takýchúloh a problémov potvrdzuje študentom využiteľnosť a aplikovateľnosť matematic-kých poznatkov v praxi. Naopak, na hodinách fyziky, pri riešení úloh a problémovsa žiaci presvedčia a potrebe matematického aparátu. Prezentovanie javov prírodya riešenie praktických úloh podporuje posilnenie medzipredmetových vzťahov ma-tematiky a fyziky.

Na podporu a rozvíjanie medzipredmetových vzťahov nám môže pomôcť Geo-Gebra, ako pomoc pri predstavovaní si zmyslu učiva aj problému s jeho aplikácioua praktickým využitím v bežnom živote. Počas riešenia úloh s fyzikálnou tematikoudobré grafické znázornenie uľahčí žiakom cestu k pochopeniu a rozšíreniu si mate-matickej predstavivosti. Problém pri riešení horeuvedených úloh môže znamenať, žek riešeniu potrebujeme poznatky z fyziky. Tieto úlohy pochádzajú z rôznych oblastífyziky a vyjadrujú vzájomné pôsobenie medzi matematikou, fyzikou a realitou.

Hlavnými cieľmi praktických úloh sú:

– rozvíjanie logického, algoritmického a kritického myslenia žiakov,

1Univerzita J. Selyeho v Komárne, jaruskal@selyeuni.sk

74

– schopnosť čítať s porozumením súvislé texty obsahujúce čísla, závislosti a vzťahya nesúvislé texty obsahujúce tabuľky, grafy a diagramy,

– používanie rôznych spôsobov reprezentácie matematického obsahu (text, ta-buľky, grafy, diagramy),

– naučiť žiaka matematicky vyjadriť problémy pozorované alebo zámerne de-monštrované v reálnych situáciách,(symboliky a znázorňovania),

– motivovať žiaka k ovládnutiu matematického aparátu tým, že sa preukážejeho potrebnosť a účelnosť v praxi,

– ukázať aplikovateľnosť preberaného matematického učiva,

– naučiť žiaka vyhľadávať a zisťovať potrebné údaje pre riešenie daného prob-lému,

– naučiť žiaka vyhľadávať a sledovať jednoduché funkčné vzťahy a kvantita-tívne súvislosti vo svojom okolí.

GeoGebra nám ponúka možnosť grafického riešenia niektorých úloh, alebo gra-fickým znázornením priebehu javov, závislostí veličín podporuje predstavenie sikonkrétnych situácií a problémov. Najjednoduchšie sú napr. úlohy týkajúce sa po-hybov (priamočiary rovnomerný pohyb – grafické riešenie sústavy dvoch lineárnychrovníc s dvoma neznámymi, alebo rovnomerný zrýchlený pohyb, voľný pád – kvad-ratická rovnica, funkcia).

GeoGebra pri riešení úloh s fyzikálnou tematikou podporuje pochopenie niekto-rých fyzikálnych javov pomocou virtuálnych experimentov (voľný pád, vodorovnýa šikmý vrh, pohyby, kyvadlo,. . . ). Umožňuje ľahšie osvojenie si fyzikálnych záko-nov (zákon zachovania energie, premena energie, Ohmov zákon. Podporuje lepšiepredstavenie si súvislosti medzi fyzikálnymi veličinami a pozorovanie a pochopeniezávislosti niektorých fyzikálnych veličín od času (rýchlosť). Z hľadiska medzipred-metových vzťahov umožňuje používanie funkcií a rovníc. Podporuje osvojovanie sipojmov z rôznych oblastiach fyziky, ako napr. pohyby, energia, trenie, kmity, vlny,optika, elektrina, teplo. GeoGebra sa môže použiť pre objavné vyučovanie, lebopodporuje experimenty a matematické objavy. lepšie pochopenie úloh s fyzikálnoutematikou.

Príklad 1

Z mesta naraz odštartovali dve autá. Jedno auto vykonáva rovnomerný priamočiarypohyb, pohybuje sa stálou rýchlosťou 25 m/s. Druhé auto vykonáva rovnomernezrýchlený priamočiary pohyb, počiatočnou rýchlosťou 0 m/s a zrýchlením 1 m/s2.Kedy a v akej vzdialenosti od miesta štartu sa stretnú?

75

GeoGebra nám ponúka grafické riešenie úlohy, kde zobrazíme grafy (s, t) lineár-nych funkcií (obr. 1).

Obr. 1: Grafické riešenie 1. príkladu

v1 = 25m/s – rýchlosť rovnomerného priamočiareho pohybus1 = v1 · t – dráha rovnomerného priamočiareho pohybus2 = v0 · t+ 1

2a · t2 – dráha rovnomerne zrýchleného priamočiareho pohybu

v0 = 0m/s – počiatočná rýchlosť – v0 · t = 0

Pri grafickom riešení rovnomerný priamočiary pohyb opíšeme pomocou lineárnejrovnice, ktorú chápeme a znázorníme ako lineárnu funkciu. Rovnomerne zrýchlenýpohyb opíšeme pomocou kvadratickej rovnice, ktorú chápeme ako kvadratickúfunkciu.

Priesečník grafov je vlastne riešením úlohy, kde prvá súradnica znamená čas,a druhá súradnica dráhu, t.j. A = (50, 1 250).

Počas riešenia použitím posuvníkov máme možnosť zmeniť hodnoty v zadaní,ktoré sú rýchlosť nákladného auta, osobného auta a oneskorenie osobného auta.

Ďalšia možnosť spojenia matematických poznatkov a fyzikálnych javov je zob-razenie a popis pohybu matematického kyvadla.

76

Príklad 2

Zobrazenie pohybu matematického kyvadla

Na hodinách matematiky sa žiaci stretávajú s trigonometrickými funkciami.Zobrazením pohybu matematického kyvadla ukážeme žiakom možnosť využitia ma-tematických poznatkov v ďalšej oblasti fyziky.

Matematické kyvadlo je vlastne hmotný bod zavesený na vlákne stálej dĺžky– l zanedbateľne malej hmotnosti – m. (napr. oceľová guľôčka zavesená na tenkomnepružnom vlákne).

Pohyb zaveseného telesa na vlákne znázorníme v súradnicovej sústave, kde mô-žeme pozorovať vychýlenie v závislosti času, a dĺžky vlákna. (obr. 2)

Doba kmitu matematického kyvadla je priamo úmerná druhej odmocnine dĺžkykyvadla a nepriamo úmerná druhej odmocnine tiažového zrýchlenia.

T =2π

ω= 2π

√1

g

Okamžitá výchylka matematického kyvadla

y = ym · sinωt .

Obr. 2: Zobrazenie pohybu kyvadla

77

Doba kmitu je čas, za ktorý kyvadlo prejde napr. z jednej krajnej polohy do dru-hej a späť. Doba kyvu je polovica doby kmitu.

GeoGebra nám poskytuje pomoc aj pri popise a zobrazení pohybu kyvadla.Pomocou posuvníkov máme možnosť zmeniť parametre kyvadla.

Nasledujúcom príklade je znázornená ďalšia oblasť matematiky – parabola.Možnosť aplikovania matematických poznatkov žiakom ukážeme pomocou šikméhovrhu.

Príklad 3

Šikmý vrh z nenulovej výšky h

Je známe, že ak hodíme kamene rovnakou začiatočnou rýchlosťou, ale pod rov-nakým elevačným uhlom, tak najďalej dohodíme kameňom, ktorý sme odhodilipod elevačným uhlom α = 45◦. Samozrejme v tomto prípade kameň v istom pri-blížení považujeme za hmotný bod, ktorý sa pohybuje sa približne po parabolickejdráhe (považujeme ho za dostatočne malý a tak neuvažujeme jeho rotáciu okolo osiprechádzajúcej jeho ťažiskom). Vo vákuu v zemskom tiažovom poli by sa pohybovalpo skutočnej parabole. (obr. 3)

Ďalej gravitačné pole považujeme za homogénne.

Obr. 3: Rozloženie vektora začiatočnej rýchlosti ~v0 vrhnutého hmotného bodu

Vzťahy pre vrh dostaneme z výsledných vzťahov špeciálnou voľbou smeru za-čiatočnej rýchlosti a výšky nad rovinou, v ktorej sa vrh začína.

78

Vo vodorovnom smere v rovine zvolíme súradnicu x a jednotkový vektor i,vo zvislom smere zvolíme súradnicu y a jednotkový vektor j. Pohybu častice (ka-meňa) vo vodorovnom smere nebráni odpor prostredia, ani iná sila, preto si zacho-váva príslušnú zložku rýchlosti vx = vxo, ktorou bola hodená. Pohyb v smere osi x jeteda pohybom s nemeniacou sa rýchlosťou – pohyb rovnomerný. Vo zvislom smerepodlieha častica tiažovému zrýchleniu, takže v smere osi y ide o pohyb s konštant-ným zrýchlením, čiže o pohyb rovnomerne zrýchlený. Pohyb po parabolickej dráhev tomto prípade opíšeme pomocou dvoch priamočiarych pohybov.

Vektor začiatočnej rýchlosti ~v0 vrhnutého hmotného bodu si rozložíme na dvanavzájom kolmé vektory ~vx a ~vy, ktoré sú rovnobežné s osami karteziánskeho sys-tému, do ktorého celý vrh zakreslíme. Pre veľkosti týchto vektorov môžeme napísať:

vx = v0 cosα

vy = v0 sinα− gt

Pre súradnice ľubovoľného bodu, ktorý leží na trajektórii vrhu platí:

x = v0t cosα

y = h+ v0t sinα−1

2gt2

Čas dopadu:

td =v0 sinα +

√v20 sin

2 α + 2gh

g

Dĺžka vrhu – vzdialenosť dopadu:

d = v0 cosαv0 sinα +

√v20 sin

2 α + 2gh

g

Maximálna výška vrhu:

hm = h+v20 sin

2 α

2g

Tým sme získali závislosť obi dvoch súradníc x a y od času. Na vizualizáciupohybu hmotného bodu potrebujeme v GeoGebre spojiť horeuvedené dve rovnice.(obr. 4)

Pri znázornení pohybu bodu GeoGebra nám ponúka možnosť zmeniť parametre,ktoré ovplyvňujú pohyb bodu A. Posuvníkom sme priradili nasledovné veličiny:začiatočná výška bodu A, elevačný uhol α, začiatočná rýchlosť v0.

Tento príklad je náročnejší, lebo k vizualizácii potrebujeme spojiť do jednejrovnice dve meniace sa veličiny, t.j. súradnice x a y.

79

Obr. 4: Model šikmého vrhu z nenulovej výšky h

Záver

Použitím vizualizácie a modelovania počas vyučovania podporujeme motiváciua predstavivosť žiakov a zvyšujeme efektivitu vyučovacích metód. Vytváranie virtu-álnych dynamických modelov pomocou GeoGebry prináša nové možnosti aj v obja-vovaní matematických súvislostí. Vhodná vizualizácia podporí porozumenie súvis-lostí, pomáha pri vyšetrení vlastností pojmov aj vzťahov medzi veličinami. V článkusme chceli poukázať na možnosti vizualizácie matematických poznatkov vo vyučo-vaní fyziky a tým na dôležitosť medzipredmetových vzťahov. Vytvorené appletymôžu prispieť k lepšiemu pochopeniu všeobecných vzťahov a pomáhať aj v riešeníúloh.

80

OTEVŘENÁ HODINAKLUB PŘÁTEL MATEMATIKY – DĚTI Z RŮZNÝCH TŘÍD

prvního stupně ZŠ Vojtěšská, Praha 1

Tvorba problémů jako motivační faktor i jakonástroj intelektového rozvoje dítěte

Michaela Kaslová1

V praktické ukázce se členy Klubu přátel matematiky (KPM), který existuje již25. rokem, jsme měli možnost sledovat, co nadprůměrné žáky 1. stupně ZŠ strhnea jak na to reagují, kam až můžeme v nárocích na ně zajít.

Základem aktivizace nadprůměrného žáka je především přenesení zodpovědnostina něho samotného. Jsou zde tři úskalí:

1) Radost z novosti, avšak u většiny z nich je jen, pokud cítí smysluplnost.Touto smysluplností chápeme nejen pouhou aplikaci do praxe, ale i odbornézdůvodnění, které leckdy učitel není schopen pohotově dodat (například:je to cvičení, kdy musí spolupracovat obě mozkové hemisféry; uvidíme, jakpracuje tvoje dynamická představivost v makroprostoru; probíráme minulost,abychom pochopili, o co jsme nebo nejsme dál než před x lety;. . . ).

2) Potěšení z poznávání funguje u všech, ale u nadpoloviční většiny je současnězapojení podmíněno tím, zda cítí naději na úspěch. Jejich dosavadní třídnízkušenost a vyspělá autoevaluace, často podpořená školní zkušeností, že setechnologie driluje, že řešení trvá dlouho, než se k něčemu dospěje, nebo zvykvše relativně snadné ve třídě řešit naráz, převážně vhledem, vedou k tomu,že rychle vyhodnotí míru námahy. Pak hraje roli nikoli primární motivace– radost ze samotného řešení a vyřešení, ale přebírá hlavní roli kontextovámotivace – o čem to je, jaký je námět, zda jsou k tomu zajímavé pomůckyči oblíbené nástroje včetně PC nebo interaktivní tabule.

3) Neoblíbené jsou úlohy, kde se musí hodně psát, nebo je nutné zapama-tovat si více fakt jednotlivě, případně ve struktuře. K tomu je žák vedenvlastní vytvořenou tradicí (od mateřské školy udivuje okolí řešením zpaměti,rovněž od mateřské školy v důsledku toho je u něho nižší grafomotorická zku-šenost, nyní si je vědom tohoto handicapu a obtíže s psaním či jeho úpravoujsou demotivujícím faktorem často i tehdy, bylo-li by to pro něho funkční).

1Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,michaela.kaslova@pedf.cuni.cz

81

Pojetí klubu (KPM) a možnosti aplikace do výuky

Zmínění žáci se učí od 3. ročníku intenzivně cizí jazyk, v matematice pracují nebopracovali podle učebnic M. Hejného, avšak ani tyto materiály neobsahují dostatekpřiměřeně náročných úloh respektujících specifika skupiny vysoce nadprůměrných.V letošním roce má KPM 20 členů.

Filosofie KPM je od počátku (1990/91) založena na dobrovolnosti a na kultivo-vanosti myšlení a jeho projevů, obsahově se zaměřujeme na objevování matematikyv širokém kontextu (prostor je svět, vesmír, čas od velkého třesku po dnešek), me-todou objevování (od náhody k systému) dospíváme k zobecňování a k porovnávánídílčích výsledků z různých oblastí si ukazujeme cestu k abstrakci, k propojenostiokruhů, zjišťujeme, jakými různými způsoby komunikovat jednu a tutéž myšlenku(různé komunikační kódy) a tím objevujeme pojítka mezi aritmetikou, první algeb-rou a geometrií. Zaměstnání nadprůměrného dítěte má být nejen tvořivé, ale i „déletrvajícíÿ (než úkoly pro průměrné žáky) a mělo by směřovat k obecnějším rovinámnebo k přechodu z jedné úrovně obecnosti do druhé. K tomu slouží i ukázky aktivits uvedením následných možností.

Ukázková hodina a zasazení aktivit do didaktických řetězců

Aktivity v hodině byly do jisté míry průřezem posledního období. Šlo o aktivityz několika didaktických řetězců v různé fázi rozvinutí. Jde o práci s věkově i intelek-tově heterogenním kolektivem nadprůměrných žáků, v rámci tématu je zaměřenana diferencovaný přístup.

Ukázka 1:Hry s fotografiemi (viz Workshop SEMT 11) – promítání fotografií známých i no-vých prostředí. Žáci mají uvést souvislosti zobrazeného s matematikou. Nejde jeno objevení souvislostí, ale ukazuje se rozdíl mezi světem reality a světemabstrakce (Marko: „To byla koule, kdyby nebyla kamenná.ÿ). Tím, že se žácitentokrát nemohou obrazovky dotknout, jsou nuceni zpřes-nit vyjadřování. Ukazuje se funkčnost zvládnutí mate-matické terminologie – přesnost a rychlost v komunikaci při-náší radost (ukázka: Ctižádostivý Dan: „To je. . . no to, to. No,jak se tomu říká?ÿ Ostatní mu v dobré snaze napovídají, což semu nelíbí a zvyšuje úsilí). Hra na Co by kdyby směřuje k pod-poře pojmotvorného procesu a ukazuje nezávislost nejenpojmů nejen na materiálu, velikosti, barvě, umístění, ale i vzdá-lenosti, natočení; zabýváme se nedokonalostí modelů ve světěreality poukazováním na to, co jim je společné a čím se reál-né objekty liší. Matematika je zde jako nástroj popisu reality

82

s přesahem do dalších oborů (určení rondokubismu, (ne)souměrnosti fasád v souvis-losti s tím umístění vchodu a zařazení do časového období vzniku). Ukázka fungujejako přípravný stimulátor tvorby, ve které mohou užít analogie.

Návaznost na hru v příštích hodinách: Na tuto ukázku naváže další projekt,kdy žáci sami přinesou své fotografie, které budou zadávat jako hádanky ostatním.

Ukázka 2:

Krájení prostoru (Hra autorská, autor M. KASLOVÁ viz např. Semináře na UKPEDF 1995–2014; semináře Erasmus pro učitele a studenty z Univerzit Parma,Bordeaux; konference CIEAEM 2013, text pro NIDV Stimulace logického myšlenív mateřské a základní škole a další publikace). Jeden žák jde za dveře, ostatníse domluví na jednom objektu, na který se během hry nedívají, ale pouze sledujíhadače. Otázka hadače je „formulovánaÿ gesticky: pohybem z upažení do vzpaženía zpět (Je daný objekt prostoru přede mnou?), nebo z upažení do předpažení a zpět(Je objekt pod touto úrovní?); rozhodující roli hraje natočení dlaní – jsou otočenyvhledem k té části prostoru, na kterou se ptáme. Pozorovatelé jen kývají ANO/NEpodle toho, zda jimi zvolený objekt (minimálně velikosti aktovky) je ve vymezenéčásti prostoru. Hra sleduje čtyři cíle:

1) Rozvíjí prostorovou orientaci včetně dynamické prostorové paměti– zde je nutné v každém kroku hry rozkrojit daný prostor na dva, které seod sebe liší přijatelností – je tam hledaný prostor ANO/NE.

2) Tato hra je žákům známá, je velmi oblíbená, to prodlužuje dobu hraní a tímv krátkém období zvyšuje pestrost hráčské zkušenosti. Její průběh od po-čátku po dnešek prošel velmi rychle od náhodného „hádáníÿ po užití sys-tematické a ekonomické strategie. I v ukázce se projevil vliv emocína schopnost zapamatovat si, na co se již žák ptal. Odkryly se strategie,jak paměť podpořit.

3) ANO/NE hrají roli vyhodnocení pravdivosti výroku: Je pravda, že hle-daný objekt je v části prostoru, na který se ptám? Hra úzce souvisí s logikou.

4) Současně při hře dochází k transformaci komunikačního kódu od gestke slovům a zpět. Tato transformace dělá začátečníkům potíže, které sei u nadprůměrných mohou projevit různě – šeptají si; zhorší se paměť pro jižvyznačené; v tichosti si neuvědomují tak rychle, že pokud předmět nenív prostoru před nimi, že musí být v opačné části a na tu se ptají zbyte-čně zvlášť.

Návaznost v jedné hodině na opakování hry během šesti dnů: Hrapo svém opakování (6 dnů vždy v týdenním odstupu) před 3 měsíci dosáhla již užití

83

rozvinutých strategií. Tato fáze umožnila žákům zadat tvořivý úkol: Jak na jedenpapír zakreslit optimální strategii? Takovou práci ještě nedělali. Dotazy byly různéa odpovědi podléhaly všeobecné diskusi. Marko: „Je jedno, kde to (hledaný objekt)bude?ÿ Dan: „To může být jak uprostřed, tak v rohu?ÿ Vojta: „To by byly různéstrategie.ÿ Šimon: „Ale to jde! Prostě bez ohledu na to.ÿ Michal: „To si neumímpředstavit.ÿ Terezka: „Tak to udělej, jak myslíš. Já taky, pak se podíváme.ÿ Aneta:„Já vím. Nemusí to být zrovna půlka třídy, ale půlka zbytku. Když nevíme, čehopůlka, tak jako půlka třídy.ÿ Šimon: „Tak jsem to myslel.ÿ Artur: „Já nevím.ÿ Ma-lik: „Tomu nerozumím.ÿ Terezka: „Dělej to jako já . . . !ÿ Učitelka: „Každý to udělápodle svého a pak to porovnáme. Důležité bude, jestli to zakreslené budete umětpřečíst.ÿ Po dokončení práce se „obrázkyÿ rozložily a hodnotilo se, zda všechnyzaznamenaly tutéž strategii, pokud ano, tak který záznam je nejsrozumitelnější.

Záznamy odpovídaly optimální strategii; bylo možné je rozdělit do dvou skupinpodle míry obecnosti: a) dítě si zvolilo a vyznačilo polohu objektu, je zazname-nána optimální strategie; zde jde o konkrétní situaci, kterou lze obměnit; b) objektnebyl vyznačen, pak dělení na dvě poloviny nebylo na konkrétní dvě poloviny, alena dvě části toho prostoru, který po předchozím dotazu a hodnocení dotazu přicházív úvahu. Pro kontrast uvádím i záznam mimo Klub (obr. 1).

Ukázka 3:

Úlohy typu Zebra (tentokrát na 3 trojice/čtveřice). Tyto úlohy žáci řešili poprvéna poslední schůzce. Nyní dostali novou a obtížnější úlohu k řešení pomocí trojú-helníkové metody, kdy se seznámili, jak vyslovené informace graficky zaznamenatdo „trojúhelníkuÿ. Nový úkol: Přečíst zaznamenané informace. K řešení pak žácipoužili usuzování, avšak v průběhu řešení zjistili, že jim k jednoznačnému řešenínějaké informace chybí. Po jejich doplnění žáci řešení dokončili. Na ukázce se ne-dokázali dost koncentrovat, proto jsme se k práci vrátili bez hostů.

Návaznost v této hodině: vytvoř úlohu typu Zebra (tři trojice). Zde žácivyžadovali kontext, ukázalo se, že je tvorba takového typu úlohy sama o sobě mo-tivující, avšak vyhledávat kontext je pro tyto žáky „zbytečněÿ zatěžující (na rozdílod běžné třídy) i tím, že jsou si vědomi kulisovosti kontextu a nepřeberného množ-ství volby kontextu. Tím se výrazně liší od ostatních žáků, pro něž je radostí volit

84

si kontexty, ale obtíží je sestavení úlohy. Na Zebry jsme se zaměřili až po 14 dnech,předpokládala jsem, že vymizí pocit relativního neúspěchu při ukázce a že na situacebudou nahlížet nově.

Ukázka 4:

Hra SHIKAKU je založena na orientaci v rovině – ve čtvercové síti. Cílem hry jerozdělit daný obdélník/čtverec na menší, nepřekrývající se pole, ke kterým známeplochy, ale nikoli jejich tvar. V některých jejích čtvercích sítě jsou zapsána čísla,která udávají, jak velké pole máme ohraničit, a naším úkolem je najít hranicezvažováním možností a usuzováním. Správné zadání má mít jen jedno řešení.

Ukázka navazovala na dvě dvacetiminutové aktivity v předchozích setkáních,kde si žáci vyzkoušeli jak řešení, tak hodnocení zadání – má/nemá jediné řešení.Pokud nebylo jediné možné, hledali jsme dodatkové pravidlo tak, aby řešení bylojediné (například je-li více možností, musíme zvolit čtyřúhelník). V závěru zkoušelisami takové zadání vytvořit.

Pracovali jsme s poli: 6x6, 5x7, 9x7.Návaznost v dalších třech hodinách: hra

MINY ve čtvercové síti (rozpracoval student VáclavChalupa) nikoli na počítači, ale na pracovních listech.První dvě úlohy se řešily také na tabuli – každý na-vržený krok musel být doprovázen argumentací, abyřešitel ostatním dokazoval, že jde o jistotu. Například:a) „. . . tady musí být mina, protože. . . ÿ, b) „. . . tadymina být nemůže, protože. . . ÿ. Pokud nastal případb), žákům bylo sděleno číslo, které je na tomto místě.Číslo ve čtverci udává, kolik min se v okolí čtvercenachází, což představuje u vnitřního čtverce 8 možností, u krajového 5 možnostía u rohového 3 možnosti. Pokud pole představovalo nejistotu, někteří jako Markovykřikovali i míru rizika: „. . . je to jedna ku jedné; . . . to je tak třetinová šance, žetam nic nebude; to je nebezpečný – nevidím to ani na padesát procent.ÿ

V této hodině navrhl žák Ondra Pecka řešit miny v trojúhelníkové síti.Měl si to připravit na další hodinu, ale protože chyběl, zkoušeli jsme společně, jakápravidla by v takovém případě „trojúhelníkovéÿ miny musely mít. Navrhli jsmepro případ a) 3 možnosti, případ b) 12 možností.

Varianta a) žákům připadala moc jednoduchá a také problematická na jednoznač-nost obsazenosti polí, tak jsme řešili jednu úlohu v trojúhelníkové síti ve variantěb) viz obrázky. Pro některé byl problém v orientaci, pro závislost polí na počtusousedů: vnitřní pole má 12 sousedů, krajové pole 7 sousedů a rohové 3 sousedy,respektive obtíž byla v soustředění a plošné paměti, která pole již byla vyhodnocenaa která ne.

85

Navrhla jsem miny v šestiúhelníkové síti, ale v porovnání s trojúhelníkovousítí se žákům zdál návrh příliš jednoduchý (6 sousedů). Proto jsem jim takovousituaci předložila k řešení až následující hodinu. Tam jim najednou vadily i situacenejednoznačné, o kterých dříve rádi diskutovali; tato síť pro miny nebyla přijata,ale vyzkoušeli jsme ji. Domnívám se, že šlo již o nasycení kontextem.

Shrnutí

Samotné izolované úlohy žáky sice zaujmou, ale efekt může přinést pouze gradovanézřetězení takových úloh (v tom smyslu, jak to propagoval Koman na přednáškáchUK PedF). Na druhou stranu je nutné podotknout, že nadprůměrné žáky přílišnezaujme „problémový řetězecÿ, u kterého se pracuje se stejným kontextem. Cestado hloubky u nich vede často přes obměny a vlastní tvorbu nebo takové změny,že následné situace alespoň na počátku považují za zcela nové, odlišné a odkrytípodobnosti je pro ně novou odměnou, jako tomu bylo například mezi Shikaku a Mi-nami. Z uvedených důvodů je záznam „ukázkových aktivitÿ zařazen do řetězce tak,aby bylo vidět, nejen na co žáci navazovali, ale i co dále následuje. Následnostzde není hypotetická. Časový odstup článku od ukázky umožňuje popsat, jak žácireagovali v následujících hodinách.

86

Aplikačné úlohy zo stochastiky pre 8. ročník ZŠ

Zuzana Kellnerová, Jaroslava Brincková1

Použitie medzipredmetových aplikačných úloh vo vyučovaní je pre žiakov motivá-ciou pre získavanie matematických poznatkov a tiež upevňovanie poznatkov z inýchvyučovacích predmetov. Trojdimenzionálny model kocky, ktorý spája obsah vyučova-nia matematiky, matematické kompetencie a úrovne náročnosti slúži ako pomôckapri vytváraní a analýze úloh. V príspevku uvádzame pohľad a požiadavky učiteľovmatematiky k tvorbe aplikačných úloh a tiež ukážky úloh s využitím medzipredme-tových vzťahov.

Počet pravdepodobnosti je prezentovaný v matematickej literatúre ako hotová de-duktívna teória, ktorá má svoje pevné miesto v matematike ako vede. V oblastivyučovania matematiky používame pojem stochastika ako spojenie elementov po-čtu pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, ktorý zahŕňa tiež kombinatorickéelementy a elementy popisnej štatistiky. (P locki, 1997) Vo vyučovaní stochastikyide o osvojovanie si stochastických pojmov a vzťahov medzi nimi, čo slúži žiakomna ich aplikáciu v praktických úlohách a situáciách.

Predmet matematika je podľa Štátneho vzdelávacieho programu zameraný narozvoj matematickej kompetencie. Medzinárodná štúdia PISA definuje 8 matema-tických kompetencií, pričom každú charakterizuje na troch úrovniach náročnostiosvojenia si učiva, a to úroveň reprodukcie, prepojenia a úroveň reflexie.

Matematické kompetencie, obsah predmetu matematika a jednotlivé úrovneosvojenia si učiva žiakom tvoria tri dimenzie vyučovania matematiky, na ktoré jepotrebné brať ohľad pri príprave úloh, samotného vyučovacieho procesu ako aj po-čas jeho realizácie a hodnotenia. Na zobrazenie tejto skutočnosti nám môže slúžiťnasledujúci model kocky (obr. 1).

Na modeli môžeme vidieť jednotlivé prieniky daných troch dimenzií, pričomkaždej zo 120 oblastí priradíme konkrétny obsah, matematickú kompetenciu akoaj úroveň, na ktorej si žiak dané učivo má osvojiť. Uvedomenie si týchto kategóriíje tiež výbornou pomôckou pri tvorbe úloh, ako aj ich triedení či použití pri kon-krétnej časti vyučovacej hodiny v závislosti na jej cieli. Takáto kategorizácia úlohv matematike uľahčuje ich efektívne využitie vo vyučovaní matematiky.

Základom vzdelávania je podľa Štátneho vzdelávacieho programu interdiscipli-nárny prístup pri osvojovaní znalostí a spôsobilostí žiakova rozvoj ich analytickýcha kritických schopností. Medzipredmetové vzťahy sú podmienené existenciou jed-notlivých vyučovacích predmetov v školskom systéme a odrážajú objektívne exis-tujúce medzivedné vzťahy.

1UMB Banská Bystrica, zuzanakellnerova@gmail.com, jbrinckova@gmail.com

87

Obr. 1

Vhodným prostriedkom na zvyšovanie úrovne pravdepodobnostného mysleniau žiakov a zaradenie medzipredmetových vzťahov do vyučovania matematiky súaplikačné úlohy. Aplikačná úloha je definovaná ako akt alebo situácia hľadaniapravdy, informácie, poznatku o niečom, vyžaduje od žiakov skúmanie faktov aleboprincípov, výskum a bádanie. Aplikačné úlohy vedú žiakov k aktívnemu učeniua zapamätaniu si učiva. Žiaci pri ich riešení majú zodpovednosť za svoje vlastnéučenie, a tiež spájajú osvojené vedomosti a zručnosti s reálnym svetom. (Brincková,2010)

Aplikačné úlohy sme vytvárali na základe požiadaviek učiteľov matematiky,ktoré vyplynuli z výsledkov dotazníkového prieskumu na základných školách. On-line prieskumu sa zúčastnilo 52 učiteľov matematiky na ZŠ.

V prvej otázke sme zisťovali, či učitelia považujú súčasné učebnice matematikyza dostatočné pre vyučovanie pravdepodobnosti a štatistiky. Väčšina učiteľov, až88 % opýtaných učebnice za dostatočné nepovažuje (viď graf 1).

88

Graf 1

V druhej otázke sa učitelia vyjadrovali k tomu, či majú k dispozícii dosta-tok úloh, ktoré využívajú medzipredmetové vzťahy. Podobne ako v prvej otázke,aj v tomto prípade väčšina učiteľov (85 %) nemá dostatočné množstvo takýchtomateriálov (viď graf 2).

Graf 2

Treťou otázkou sme zisťovali požiadavky učiteľov na typy úloh, ktoré by v zbierkeúloh zo stochastiky privítali. Učitelia mali v tejto otázke možnosť označiť viac odpo-vedí súčasne. Najviac z respondentov označilo možnosť aplikačné úlohy (viď graf 3).

Graf 3

89

Ukážky aplikačných úloh na výpočet pravdepodobnosti:

1. okruh : Rozdeľte dané udalosti na isté, pravdepodobné a nemožné:

1. Napoleon Bonaparte porazil v „Bitke troch cisárovÿ ruského panovníka.

2. Knieža Metternich sa zúčastnil bitky pri Slavkove.

3. Panovníci Ruska a Anglicka sa stretli 9. júna 1915.

4. V bitke pri Solferine bolo prvýkrát počas boja použité motorové lietadlo.

5. Otto von Bismarck bol nepriateľom Habsburskej monarchie.

2. okruh : Máme pred sebou všetky minerály, ktoré sa nachádzajú na stupnicitvrdosti. Z každého typu máme práve jeden kus:

1. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraný minerál bude tvrdší ako dia-mant?

2. Aká je pravdepodobnosť, že minerál bude tvrdší ako apatit?

3. S akou pravdepodobnosťou vyberiem minerál tvrdší ako kremeň?

4. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybratý minerál bude tvrdší ako topásalebo mäkší ako fluorit?

V tabuľke č. 1 je uvedená analýza úloh na základe ich zaradenia a náročnosti:

Číslo Zaradenie Zaradenie úlohy Úroveňokruhu úlohy1 Matematika – Vymedzenie problémov a ich riešenie Úroveň

Dejepis Argumentácia reprodukcie

2 Matematika – Rozmýšľanie a usudzovanie Úroveň

Biológia Modelovanie prepojenia

Použitie symbolického, formálneho

a technického vyjadrovania a operácií

Tab. 1

Vybrané úlohy sme použili počas vyučovania matematiky v dvoch paralelnýchtriedach 8. ročníka základnej školy v Banskej Bystrici, kde žiaci individuálne alebov skupinkách riešili vybrané úlohy a následne sme spolu diskutovali o ich riešení.

Pri riešení prvého okruhu úloh sledovali žiaci jednotlivé zadania cez DATA--projektor, pričom každý z nich mal k dispozícii tri kartičky s nápismi „istá uda-losťÿ, „možná udalosťÿ a „nemožná udalosťÿ. Ku každej udalosti mal zodvihnúť

90

jednu kartičku podľa toho, čo si myslí, teda o akú udalosť ide. Žiaci 8. A triedymali najväčší problém s určením udalostí 1 a 5 a väčšina žiakov 8. B triedy určilanesprávne udalosti v častiach 3) a 4). Dôvodom pre sčasti odlišné vedomosti z danejdejepisnej témy v týchto triedach môže byť skutočnosť, že majú rôznych učiteľovdejepisu. Celkovo však môžeme povedať, že väčšiu časť udalostí žiaci určili správne.

Pri riešení druhej úlohy pracovali žiaci v skupinách, pričom mali k dispozíciiučebnicu biológie, kde našli aj stupnicu tvrdosti minerálov. Po riešení v skupináchsme so žiakmi diskutovali o správnych riešeniach. V otázkach 1–3 mala viac akopolovica žiakov správne riešenie. Problém však bol s riešením štvrtej úlohy, ktorúsprávne vyriešilo iba 25 % žiakov.

Na konci vyučovacej hodiny nasledoval rozhovor so žiakmi, v ktorom sme zisťo-vali, či sú zvolené úlohy pre nich zaujímavé a motivačné. Väčšina žiakov uviedla, žes podobnými úlohami z pravdepodobnosti sa ešte nestretli, považovali ich za zaují-mavé a tiež ocenili, že sa počas riešenia takýchto úloh dozvedeli niečo nové aj z ostat-ných vyučovacích predmetov.

Literatura

[1] BRINCKOVÁ, J. (2010). Vyučovanie matematiky z pohľadu súčasnej školskejreformy (Tvorivá práca učiteľa matematiky). Vyd. 1. Banská Bystrica: Uni-verzita Mateja Bela, 200 s. ISBN 978-80-8083-936-9.

[2] P LOCKI, A. (2004). Pravdepodobnosť okolo nás. Ružomberok: PFKU.ISBN 80-89039-51-0. Dostupné z http://www.ineko.sk/ostatne/matematicka-gramotnost

Využitie e-testov pri rozvíjaní schopnosti odhaduv školskej matematike

Lilla Koreňová1

Aktivity v školskej matematike, ktoré vedú k odhadom sú veľmi dôležitou súčasťoumatematického vzdelávania. Jednou z úloh školskej matematiky je prepojenie medziškolskou matematikou a reálnym svetom, matematizáciou reálnych situácií a vytvá-raním matematických modelov. V reálnom živote často nepotrebujeme presný výpo-čet, stačí nám odhad. Prepojenie reálneho sveta so školskou matematikou je jeden

1FMFI Univerzita Komenského v Bratislave, korenova@fmph.uniba.sk

91

z dôvodov zaradenia aktivít na odhad do vyučovania matematiky. Digitálne prostre-die, hlavne možnosti e-testov môžu výraznou mierou pomôcť pri rozvíjaní kompe-tencie odhadu u žiakov. V príspevku poukážeme na možnosti rozvíjania schopnostiodhadu pomocou digitálnych technológií.

V Štátnom vzdelávacom programe pre vzdelávaciu oblasť Matematika a práca s in-formáciami (ISCED2 a ISCED3) sa nachádza zmienka o odhade na mnohých mies-tach. Vo vzdelávacom štandarde daného dokumentu sa uvádza, že žiaci by malivedieť odhadnúť vzdialenosť (na metre), povrch a objem telies, odhadnúť veľkosťuhla, znázorniť časť celku na základe odhadu (aj v kruhovom diagrame), odhadnúťvýsledok počtových operácií, odhadnúť riešenia na základe grafického znázornenia(tabuľky, diagramy).

„Kritickým myslením, konštruktivistickým prístupom a zároveň získanými skú-senosťami si má žiak postupne budovať odhad danej matematickej situácie.ÿ (Žil-ková, 2009)

Prieskumom sme zistili, že učitelia majú na dosiahnutie týchto cieľov málo mate-riálov, úloh a aktivít a často pre nedostatok času zaraďujú úlohy na odhad v menšejmiere do vyučovania. V súčasnosti žiaci žijú v digitálnom svete a digitálne tech-nológie sa aj v školách využívajú stále častejšie. Preto môžu byť e-testy zameranéna rozvoj kompetencie odhadovať efektívnym nástrojom.

V širšom ponímaní je e-test elektronický interaktívny materiál, založený nasystéme otázok a hľadaní odpovedí vytvorený nielen na meranie vedomostí, aleaj na dosahovanie vyučovacích cieľov (teda môže slúžiť ako nástroj pre inovatívnevyučovacie metódy). E-testy sa dajú využiť nielen v učebniach vybavených počíta-čmi alebo notebookmi, ale do popredia sa dostáva aj ich využitie pomocou tabletov.Jeden z najznámejších softvérov pre tvorbu e-testov, ktoré sú učiteľom voľne do-stupné je HotPotatoes.

Typy úloh na odhad

Úlohy v rámci vyučovania matematiky zamerané na rozvoj žiackej kompetencieodhadovať môžeme triediť podľa niekoľkých hľadísk.

Z hľadiska účelu môžeme deliť úlohy na získanie určitej skúsenosti (odhad miery,počtu) a na úlohy, pri ktorých žiak logickým myslením dospeje k správnemu odhadu.

Úlohy na odhad podľa Samkovej môžeme deliť na:

– odhady kvantitatívne (numerosity estimates), ktoré ešte delíme na1-dimenzionálne (odhad počtu korálkov na šnúre)2-dimenzionálne (odhad počtu ľudí na námestí, počtu áut na parkovisku)3-dimenzionální (odhad počtu bonbónov v pohári, počtu tehál na palete)

92

– výpočtové odhady (computational estimates)

– odhady miery (measurement estimates), ktoré ešte delíme na1-dimenzionálne (odhad dĺžky, vzdialenosti, výšky, obvodu, času)2-dimenzionálne (odhad obsahu, povrchu, veľkosti uhla)3-dimenzionálne (odhad objemu, hmotnosti) (Samková, 2013)

Z hľadiska začlenenia úloh do tematických okruhov rozlišujeme úlohy na odhadv nasledovných okruhoch:

– Čísla, premenná a počtové výkony s číslami.

– Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy.

– Geometria a meranie.

– Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika.

V nasledujúcej časti uvádzame niekoľko ukážok e-testov:

• Vizuálny odhad:Žiaci majú za úlohu odhadnúť v určitom čase počet objektov.

Obr. 1 (http://www.mathsisfun.com/numbers/estimation-game.php)

93

• Odhad miery:Žiaci majú za úlohu odhadnúť relatívnu dĺžku úsečky a uhol v stupňoch.

Obr. 2 (http://www.mathsisfun.com/numbers/estimation-game.php)

Obr. 3 (http://www.mathplayground.com/alienangles.html)

94

Záver

Nástupom výpočtovej techniky sa čoraz menej kladie dôraz na rýchle a presnémechanické výpočty, dôležité je, aby žiaci pochopili každý krok výpočtu, krok algo-ritmu riešenia. Preto sa dostávajú do popredia úlohy, kde žiaci sú nútení premýšľaťa počítať v hlave, odhadovať. Úlohy na rozvoj kompetencie odhadu sú preto dôleži-tou súčasťou školskej matematiky. Na rozvoj tejto schopnosti sú vhodné aj e-testy.Žiaci môžu riešiť úlohy individuálne, každý svojim tempom a majú okamžitú spätnúväzbu. Je vhodné, ak pri úlohách, kde žiaci si môžu vytvoriť určitú stratégiu od-hadu, dostali spätnú väzbu vo forme návodu na vhodnú stratégiu. Takéto e-testy sanachádzajú na internete väčšinou v anglickom jazyku. Vhodným softvérom na vy-tvorenie takýchto e-testov je softvér HotPotatoes.

Príspevok vznikol vďaka podpore projektu KEGA 094UK-4/2013 E-matik+, Kon-tinuálne vzdelávanie učiteľov matematiky.

Literatura

[1] FULIER, J. (2005). Informačné a komunikačné technológie vo vyučovaní ma-tematiky. Nitra: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre.

[2] HEJNÝ, M., NOVOTNÁ, J. & STEHLÍKOVÁ, N. (2004). Dvacet pět kapi-tol z didaktiky matematiky. Praha: Univerzita Karlova v Praze – Pedagogickáfakulta.

[3] KRAJČIOVÁ, J. (2005). Odhady a nekonečno. Zborník príspevkov Pytagoras2005. Bratislava: P-MAT.

[4] LEVINE, D. R. (1982). Strategy use and estimation ability of college students.Journal for Research in Mathematics Education, Zv. 13. č. 5.

[5] PARTOVÁ, E. (2011). Vyučovanie matematiky pomocou moderných technoló-gií. Bratislava: Univerzita Komenského v Bratislave.

[6] SAMKOVÁ, L. (2013). Využití programu GeoGebra při nácviku odhadů. Sbor-ník 6. konference Užití počítačů ve výuce matematiky. České Budějovice: JČU.

[7] ŠEDIVÝ, O., et al. (2013). Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky. Nitra:Univerzita Konštantína Filozova v Nitre.

[8] ŽILKOVÁ, K. (2009). Školská matematika v prostredí IKT. Bratislava: Univer-zita Komenského Bratislava.

95

Proces řešení slovních úloh žáky prvního stupně

Michaela Králová1

Příspěvek se zabývá teoretickými východisky procesu řešení slovních úloh žáky prv-ního stupně. Jsou zde popsány přístupy vybraných autorů ve snaze vystihnout jejichzásadní myšlenky a poukázat na styčné plochy.

Slovní úlohy jsou obecně vnímány učiteli i žáky jako obtížná partie školské matema-tiky. Jejich řešení může být do značné míry nezávislé na znalostech a dovednostechzískaných ve vyučování. V RVP pro ZV je přímo zakotvena důležitost slovních úloha řešení nestandardních problémů, kdy je nutné uplatnit logické myšlení. Žáci se učířešit problémové situace a úlohy z běžného života, pochopit a analyzovat problém,utřídit údaje a podmínky, provádět situační náčrty, řešit optimalizační úlohy. Ře-šení logických úloh, jejichž obtížnost je závislá na míře rozumové vyspělosti žáků,posiluje vědomí žáka ve vlastní schopnosti logického uvažování.

Pro porozumění matematickému problému (slovní úloze) a jeho řešeníje zapotřebí matematického uvažování, což je jedna ze složek matema-tických schopností, které vytváří specifickou složku inteligence. Ma-tematické uvažování můžeme tedy chápat jako jistý způsob myšlení,který se projevuje porozuměním podstatě úlohy a jejím vyřešením(Geary, 1996).

Řešení slovních úloh znamená aplikaci matematických znalostí a po-tvrzení úrovně jejich zobecnění. Způsob, jakým žák úlohu řeší, signali-zuje úroveň jeho matematického uvažování. Schopnost pochopit pod-statu slovní úlohy znamená jistou nezávislost na číselném zápisu pří-kladu, tedy na jednoznačné formulaci toho, co má být řešeno. Jedná seo určitou generalizaci. Dosažení této úrovně lze chápat jako jednu z fázívývoje matematických dovedností a uvažování (Vágnerová, 2001).

Jedním z důležitých cílů vyučování matematiky je podle F. Kuřiny (1989) naučitžáky matematiku aplikovat, což je ve školské matematice naplňováno právě řešenímúloh. Na úrovni ZŠ jsou důležité slovní úlohy, v nichž je obvykle popsána nějakáreálná situace a úkolem řešitele je určit odpovědi na položené otázky. Je velmivhodné úlohy modelovat. Za nejdůležitější modely lze patrně považovat modelyčinnostní, ikonické (obrázek, schéma) a symbolické (rovnice apod.). Činnostnímmodelem mohou být, např. kamínky, počitadlo. Na prvním stupni jsou tyto mo-dely nezastupitelné, jelikož umožňují aritmetické operace činnostmi a tím pomáhají

1ZŠ a MŠ Praha Vinoř, KMDM PedF UK, michala.kralova@post.cz

96

žákům hlouběji si osvojit, např. vlastnosti početních úkonů. Ikonický model před-stavuje přepis textu úlohy s minimálním použitím slov a s názorným vyjádřenímvztahů, o něž v reálné situaci jde. Symbolický model je popis určité reálné situacev jednoduchém konvenčním jazyce, pomocí symbolů. Důležité je, aby model vyja-dřoval pro žáka přesvědčivě reálnou situaci, aby v něm viděl přehlednější informacio úloze než v původním slovním vyjádření. Pokud žáci řeší úlohu přímo (na základěúvahy, vhledem), nenutíme je modely vytvářet.

Georg Polya (1971), ze kterého vychází řada autorů, tvrdil, že řešení problémů(úloh) je praktická dovednost a jakoukoli praktickou dovednost lze získat imitacía nácvikem. Řešitel tedy může svou dovednost řešit problém rozvíjet jednak pozo-rováním jiných řešitelů a spoluprací s nimi, jednak opakováním a procvičováním.Proto je pro žáky velmi důležitá vzájemná prezentace řešení a společná diskuse.

Pro úspěšné řešení slovní úlohy je podle M. Hejného a N. Vondrové (1999) zá-sadní její uchopení. Autoři rozlišují čtyři etapy procesu uchopování slovní úlohy.Řešitel si nejprve vytvoří představu, čeho se úloha týká, a vzpomíná, zda už po-dobnou úlohu řešil. Poté eviduje vztahy mezi objekty úlohy a zapíše, označí nebonakreslí, co je dáno a co má zjistit (např. pomocí šipek). Nakonec si řešitel vytvořípředstavu o úloze jako celku a na základě toho vyvodí strategii, jak bude úlohuřešit. Všechny výše zmíněné etapy se prolínají, řešitel se k jednotlivým fázím vrací.Pokud žák úloze neporozumí, dochází k rezignaci, podvádění, náhodné kalkulacinebo náhradnímu uchopování. Mnoho žáků se snaží úlohy řešit na základě signál-ního slova ze zadání, na základě vzpomínky – tzv. protetický uchopovací proces.Žák zvolí strategii řešení na základě protetického poukazu, tedy informace (signálu),která mu asociuje kalkulativní proces, jakým má danou úlohu řešit (Hejný, 1999).Signály používáme běžně v našem každodenním životě, urychlují komunikaci mezilidmi. Mohou být ovšem také nositeli nedorozumění a omylů a v matematice véstke zvolení špatné řešitelské strategie. Na základě tohoto je velmi žádoucí a vhodnépředkládat žákům úlohy s tzv. antisignálem, tedy signálem, kde danému slovu ne-odpovídá jeho běžná operace, ale právě operace opačná (Hejný & Kuřina, 2001).

Etapu uchopování zmiňuje jako jednu z fází řešitelského procesu také J. No-votná (2000). Tato etapa zahrnuje uchopování všech objektů, vztahů, identifikacitěch, které se týkají řešené situace, eliminaci těch, které jsou „navícÿ, a získánícelkového vhledu do struktury problému. Následující etapa transformace zajišťujepřenos odhalených vztahů do jazyka matematiky a vyřešení odpovídajícího mate-matického problému. Poslední etapa znamená návrat. Takto popsaný řešitelský pro-ces se v praxi nemusí často objevovat, můžeme v něm pozorovat odchylky, řešitel semůže k jednotlivým etapám vracet či případně nějakou vynechat. Vhledem rozumíucelené pochopení vztahů mezi prvky vystupujícími v zadání slovní úlohy a uvědo-mění si souvislostí. Prvotní odraz zadání slovní úlohy v hlavě řešitele bez ohleduna jeho zveřejnění chápe jako reprezentaci. Mohou nastat situace, kdy si řešitel

97

nevystačí s reprezentací vytvořenou pouze v hlavě, projeví se potřeba ji sdělit. Tomůže mít příčinu ve složitosti struktury řešené úlohy, kdy řešitel zatím nezískaldostatečný vhled. Při převádění slovně zadaného problému do vhodného systémuznaků (referenčního jazyka) dochází ke kódování, které řešiteli přinese úspornějšízáznam dat, podmínek a řešeného problému. Záznam lze pojmenovat jako legendu(zápis slovní úlohy). Řešitel má k dispozici různé referenční jazyky, tím pádempro jednu úlohu vznikají různé legendy (stručné zápisy, obrázky, diagramy apod.).Žák, který má obtíže při čtení s porozuměním, se získáním vhledu do strukturyvztahů v zadání nebo mu chybí dostatečné matematické zázemí pro vyřešení prob-lému, může úlohu řešit strategií pokus-omyl. Při tomto způsobu řešení mohou nastattyto případy: A) Řešitel prohlásí za výsledek své řešení z prvního pokusu, neprovedekontrolu, zda toto jeho řešení vyhovuje podmínkám zadání, nehledá další možnářešení. B) Řešitel kontroluje svůj výsledek, zda vyhovuje podmínkám zadání. Ře-šení označí za správné. Následují dvě možné cesty – řešitel dále nehledá jiná možnářešení, nebo se snaží nalézt ještě další řešení. Tato další řešení může opětovně hle-dat cestou pokus-omyl, ovšem většinou má již do úlohy vhled a nepracuje dálenáhodně. C) Řešitel při kontrole správnosti svého výsledku zjišťuje, že tento vý-sledek nevyhovuje. Může opět postupovat dvěma způsoby – ukončit řešení nebohledání dalšího řešení a to buď opět pokusem-omylem, nebo zvolit jinou strategiipři hledání řešení na základě předchozí zkušenosti.

Řešením slovních úloh se dlouhodobě zabývá také M. Tichá (1998). Na základěsvého výzkumu potvrzuje skutečnost, že vizuální reprezentace (obrázková, ikonická)může žákům pomáhat při uchopování slovních úloh, ale zároveň poukazuje na skute-čnost, že nemusí být vhodná pro všechny žáky. Někteří žáci používají obrázky jakoilustraci svého řešení – úlohu nejprve vyřeší (např. úsudkem) a poté, ve snaze totořešení potvrdit, jej doplní ilustrací. Ovšem nakreslení obrázku ještě neznamená, žežák úloze a jejím podmínkách porozuměl a uchopil úlohu takovým způsobem, kterýho dovede ke správnému řešení. U velkého množství žáků se objevuje metoda řešeníexperimentální cestou (pokus-omyl). Jsou i takoví žáci, kteří se nesnaží úlohu ucho-pit, ale za každou cenu „něco vypočítatÿ a svou energii věnují provádění výpočtů.Výzkum potvrdil skutečnost, že čím starší žák je, tím více preferuje symbolický zá-pis proti vizuálním reprezentacím, řešením experimentálním apod. Přitom znakovýsystém do jisté míry brzdí žákovu tvořivost a schopnost vytvářet modely. Starší žácinejsou úspěšnější při řešení slovních úloh, jsou pouze zběhlejší v početní technice.

Literatura

[1] GEARY, D. C. (1996). Children’s mathematical development: research and prac-tical applications. 1st ed. Washington, DC: American PsychologicalAssociation, XV, 327 p. ISBN 15-579-8258-9.

98

[2] HEJNÝ, M. & KUŘINA, Fr. (2001). Dítě, škola a matematika: konstruktivis-tické přístupy k vyučování. Vyd. 1. Praha: Portál, 187 s. Pedagogická praxe.ISBN 80-717-8581-4.

[3] HEJNÝ, M & VONDROVÁ, N. (1999). Číselné představy dětí. Praha: Univer-zita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta, 123 s. ISBN 80-860-3998-6.

[4] NOVOTNÁ, J. (2000). Analýza řešení slovních úloh. Praha: Univerzita Kar-lova, Pedagogická fakulta, 123 s. ISBN 80-729-0011-0.

[5] PÓLYA, G. (1971). How to solve it: a new aspect of mathematical method.Expanded Princeton Science Library ed. Princeton [N.J.]: Princeton UniversityPress, XXVII, 253 p. ISBN 06-911-1966-X.

[6] TICHÁ, M. (1998). Jak žáci chápou slovní úlohy se zlomky. In: 6. setkání uči-telů matematiky všech typů a stupňů škol [online]. [cit. 2014-02-26]. Dostupnéz: http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Download/Volne/SUMA 55.pdf

[7] VÁGNEROVÁ, M. (2001). Kognitivní a sociální psychologie žáka základníškoly. Vyd. 1. Praha: Univerzita Karlova v Praze, 304 s. ISBN 80-246-0181-8.

Výuka elementární matematiky pro posluchačes rozdílnými vstupními znalostmi na oboru

Arts management na VŠE

Ondřej Machek, Hana Scholleová1

Obor Arts management vyučovaný na Vysoké škole ekonomické v Praze má za cílprofesní přípravu odborníků se zaměřením na management kulturních organizací.Typickým absolventem zmíněného oboru není ekonomický analytik, ale napříkladfilmový producent, ředitel divadla nebo kastelán hradu. Většina studentů danéhooboru nemá k matematice kladný vztah, přičemž mezi studenty se nutně najdouextrémy, např. absolvent konzervatoře bez výuky středoškolské matematiky nebočerstvý maturant z matematiky na gymnáziu. Na VŠE standardně probíhají při-jímací zkoušky z matematiky, avšak v případě oboru Arts management přijímací

1Fakulta podnikohospodářská, Vysoká škola ekonomická v Praze, ondrej.machek@vse.cz, hana.scholleova@vse.cz

99

zkouška obsahuje pouze několik logických úloh. Studenti však matematiku potře-bují v oborově povinných předmětech, zejména v ekonomii, účetnictví, financíchnebo v základech statistiky. Z těchto důvodů byl akreditován předmět pokrýva-jící nutné minimum matematiky vhodné pro navazující předměty, který se nazýváKvantitativní nástroje pro Arts management.

Obsah výuky a hodnocení studentů

Struktura studentů a jejich znalostí byla předem neznámá. Pomocí interaktivníúvodní hry na tvorbu a řešení příkladu (Vennův diagram a řešení soustavy rovnic)jsme zjistili, že přibližně 30 % posluchačů maturovalo z matematiky a cca 80 % jichmělo na střední škole matematiku. To však znamená, že přibližně 20 % studentůabsolvovalo střední umělecké školy. Výchozí znalosti studentů tak byly poměrněheterogenní. Výuku dále komplikoval fakt, že se jednalo o hromadnou přednáškupro více než 50 osob a dotace byla pouze 90 minut týdně. Obsah výuky bylo protonutné adaptovat průběžně s ohledem na znalosti studentů a jejich schopnost pra-covat s nabytými informacemi. Postupně došlo k zařazení následujících témat:

• Binární operace, asociativita, komutativita, distributivita.

• Poměry, procenta, převody jednotek.

• Využití přímé a nepřímé úměrnosti v ekonomických úlohách.

• Rovnice a nerovnice a jejich soustavy.

• Vlastnosti funkcí, transformace grafu funkce.

• Posloupnosti a řady, nekonečná geometrická řada.

• Finanční matematika.

• Základy optimalizace a řešení základních úloh lineárního programování.

• Limity a derivace funkcí, vyšetřování průběhu funkce.

Z důvodu rozdílných znalostí a malého časového prostoru byl při výuce kladendůraz na průběžnou práci v podobě čtyř online domácích úkolů a čtyř průběžnýchtestů. Domácí úkoly byly náhodně generovány z databáze, do které jsme v průběhupřípravy výuky přidali více než 200 příkladů. Docházka byla nepovinná, přičemžabsentující studenti měli možnost sledovat postup výuky a využívat průběžně při-pravované „pracovní listyÿ s příklady na procvičení. Studenti také mohli při testechpoužívat ručně psané „tahákyÿ ve formátu A5. Naproti tomu testy nebyly jedno-duché a byly zaměřené na schopnost využití logických postupů a metod v praxi.V průběhu semestru bylo možné získat 50 % bodů, závěrečný test pak tvořil zbý-vajících 50 %. K úspěšnému absolvování bylo nutno získat minimálně 60 % bodů.

100

Výsledky

Příprava výuky a práce se studenty v natolik heterogenní a rozsáhlé skupině stu-dentů se ukázala jako velmi náročná. Přesto naprostá většina studentů prospěla. Ko-nečné výsledky jsou uvedeny na obrázku 1. Klasifikace byla následující: 0–59 bodůnedostatečně (známka 4), 60–74 bodů dobře (známka 3), 75–89 bodů velmi dobře(známka 2), 90–100 výborně (známka 1). Fakt, že známek „výborněÿ bylo velmimálo, je zřejmě způsoben určitou fragmentací bodování za průběžnou práci, neboťztratit deset bodů ve čtyřech domácích úkolech a čtyřech průběžných testech jepoměrně snadné. Obr. 1 také znázorňuje rozdělení četnosti dosažených bodů.

Obr. 1: Konečné známky studentů a rozdělení četnosti dosažených bodů do skupin

Největší zpětnou vazbu poskytovala anonymní evaluace předmětu studenty (před-mětová anketa). Evaluace ukázala, že navzdory tomu, že matematika byla u cílovéskupiny studentů poměrně neoblíbená, nebyl předmět vnímán negativně a studentisi odnesli nové poznatky. Pouze 17 % studentů označilo obsah předmětu jako ne-zajímavý a 19 % studentů uvedlo, že se v kurzu mnoho nenaučili. 60 % studentůhodnotilo obtížnost kurzu jako přiměřenou a 89 % studentů uvedlo, že jsou s kva-litou kurzu spokojeni.

Studenti dále ocenili skutečnost, že měli možnost získat v semestru body za prů-běžnou práci a používat při kontrolních testech vzorce. Aktivní studenti také oce-nili formát cvičení/přednáška s možností při výkladu procvičovat probíranou látku.Kladně byla také hodnocena možnost zopakovat si „praktickou matematikuÿ na-místo vyšší matematiky, kterou někteří studenti nepovažují za využitelnou. Někte-rým studentům se naproti tomu nelíbila vyšší náročnost testů, rychlé tempo a širokýzáběr předmětu a nebodovaná docházka.

101

Celkový dojem pedagogů

Mezi největší problémy patřila bezesporu nevyrovnanost studentů ve smyslu vstup-ních znalostí matematiky. Výuka dále ukázala, že nelze spoléhat ani na základníznalosti (např. vyjádření neznámé v rovnici, nemožnost dělení nulou, pořadí ope-rací), a to ani u gymnazistů. Zůstává tedy otázkou, jakým způsobem je možnév oblasti základní a středoškolské výuky matematiky zlepšit tyto základní znalosti,které studenti potřebují i v běžném životě. Dalším poznatkem je zjištění, že stu-denti se často snažili vyhnout se grafickým řešením úloh a namísto toho se snažiliproblém řešit numericky, což v řadě případů vedlo k neúspěšnému řešení příkladu.Studenti měli také problém spojit více známých nástrojů v jednom příkladu a ma-tematizovat slovně zadanou úlohu. Překvapivým pozitivním zjištěním je ale fakt,že nově probíraná témata (lineární programování, pokročilá finanční matematika)nakonec vykazovala slušnou úspěšnost.

Závěr

Pro práci s početnou skupinou studentů s rozdílnými vstupními znalostmi by jistěbylo vhodné studenty oddělit podle vstupní úrovně, což však v tomto případěbohužel nebylo z organizačních důvodů možné. Při výuce byl brán velký ohledna studenty bez absolutoria středoškolské matematiky, kterých však byla menšina.Doporučovali bychom proto v podobných situacích zvýšit důraz na samostudiuma následnou kontrolu základních témat, což však vytváří požadavek na studijnímateriály, např. ve formě skript. Bylo by také vhodné více se věnovat pokročilýmtématům a neztrácet příliš mnoho času na základech, což sníží rychlost u probíránípokročilejších témat, na kterou si někteří studenti stěžovali. Dále je možné konsta-tovat, že studenti preferují zábavné úlohy s příběhem a také jim vyhovuje přístup„kuchařkyÿ (naučit se aplikovat postup na konkrétní úlohu). Při tom je však nutnézachovat samostatné myšlení a zdůraznit návaznost na praktické aplikace. Zajíma-vou otázkou také zůstává, čím je způsobeno, že někteří absolventi středních školmají potíže s porozuměním a aplikací grafického znázornění matematických úloh(vnímání označení os, identifikace závisle a nezávisle proměnné), když se denněv médiích s nejrůznějšími typy grafů všichni setkáváme.

Literatura

[1] COAD, M., et al. (2011). Mathematics for the International Student. Mathe-matical Studies. Auckland: Haese & Harris Publications.

[2] ODVÁRKO, O. (2005). Úlohy z finanční matematiky pro střední školy. Praha:Prometheus.

102

Výuka matematiky metodou CLIL – jak sladitjazykové a matematické cíle výuky

Hana Moraová1

Předložený příspěvek popisuje a analyzuje výukovou jednotku Prvočísla, která bylavedena v anglickém jazyce v 6. třídě základní školy s rozšířenou výukou jazyků.Žáci, kteří se výuky účastnili, jsou na jazykové úrovni A1/A2. Autorka ukazuje, ževybraná matematická témata jsou vhodná pro výuku v anglickém jazyce i u žáků,jejichž jazykové kompetence nejsou ještě na vysoké úrovni.

CLIL

Schopnost používat cizí jazyk znamená mnohem více než znát jeho slovní zásobua mluvnici a mluvit v dokonale utvořených větách. Výuka jazyků je obklopenamýty, mnoho z nich zkresluje představy o tom, co nejvíce pomáhá pro dosaženíúspěchu. Stále existují učitelé, kteří jsou přesvědčeni, že jazyk je třeba používatco nejpřesněji, předcházet chybám a s produktivními činnostmi vyčkávat, až budeu žáků žák na dostatečně vysoké úrovni. Tím ale popírají základní principy osvo-jování si jazyka. Stejně tak jako malé dítě může mít rozvinutou schopnost dorozu-mět se pomocí pouhých několika slov, může každý žák použít s velkým úspěchemrůzné jazyky, i když je jeho gramatika nedokonalá, znalost slovní zásoby omezenáa výslovnost nepřesná. (Marsh & Langé, 2000) Pokud se rozhodneme, že chcemedát žákům více prostoru pro přirozené osvojování si cizího jazyka, výuka metodouCLIL je jedním z vhodných prostředků. Výuka metodou CLIL (obsahově a jazy-kově integrované vyučování) umožňuje, aby se jazyk stal prostředkem, nikoli cílemkomunikační situace. Jak upozorňují Novotná a Hofmannová (2000), obsah a jazykjsou rozvíjeny ve vzájemném vztahu a výuka je založena na dvou základních cílech– obsahovém a jazykovém.

CLIL přispívá k dobrému pocitu, protože umožňuje zažít úspěch, i když třeba jenskromný. Otevírá cestu k dalšímu zdokonalování. Tajemství je ukryto v tom, že sezúročují pozitivní postoje mladých lidí k cizím jazykům a motivace vede k dosaženíco nejlepších výsledků jak v jazyce, tak v odborném předmětu. (Marsh & Langé,2000) Zkušenosti ukazují, že výuka touto metodou může být motivující pro žáky,kteří nemají příliš kladný vztah k cizímu jazyku, ale mají pozitivní vztah k před-mětu vyučovaném v tomto jazyce, což v důsledku může vylepšit vztah žáků k cizímujazyku. Díky metodě CLIL mohou při komunikaci v cizím jazyce prožívat úspěcha mohou předčít spolužáky, kteří jsou obvykle v hodinách cizího jazyka lepší.

1Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, moraova@seznam.cz

103

Výuka metodou CLIL v posledních letech vzbuzuje velký zájem. V současnédobě roste počet základních škol, které výuku metodou CLIL zavádějí na 2. a někdyi na 1. stupni. Zatímco pro výuku některých předmětů v cizím jazyce je podle vý-nosu č. 9/2013 MŠMT (MŠMT, 2013) třeba povolení MŠMT a výuku je třebazajistit učitelem, jehož úroveň v cizím jazyce je na úrovni C1 podle Společného ev-ropského referenčního rámce pro jazyky, pro výuku metodou CLIL stačí její uvedeníve Školním vzdělávacím programu. Přitom metoda CLIL stanovuje, že při výucemusí být cizí jazyk použit alespoň v 30 % vyučovacího času, zatímco v prvnímpřípadě je třeba, aby byla veškerá výuka vedena v cizím jazyce.

Postupné rozšiřování používání metody CLIL s sebou nese některé otázky. Jacíučitelé mohou metodou CLIL učit, které předměty jsou pro výuku metodou CLILnejvýhodnější? Na 1. stupni se zdá být nejvhodnější metodu CLIL využívat v před-mětech jako výtvarná výchova nebo Svět práce, na 2. stupni se jako velmi vhodnýpředmět jeví matematika, neboť jde o předmět velmi názorný. Při vhodné volbětémat a obsahů si žáci vystačí s poměrně základní slovní zásobou a znalostí pří-tomného času a rozkazovacího způsobu. Pokud v dějepisu či výchově k občanstvízjednodušíme jazyk, bude to často znamenat výrazné omezení odborného obsahu.V matematice lze ale využívat velmi jednoduché jazykové struktury a výrazy, kteréjsou žáci schopni zvládnout již na úrovni A1/A2.

Plánování a průběh výuky

Následující text popisuje dvě vyučovací hodiny matematiky, vedené metodou CLIL.Obsah, který byl pro tuto výuku zvolen, byla prvočísla, jazykové cíle byly sta-noveny jako procvičení rozkazovacího způsobu a rozšíření slovní zásoby v oblastičísel a jejich vlastností. Žáci se dosud ve výuce matematiky s definicí pojmu prvo-číslo nesetkali, šlo o novou látku. Při plánování vyučovacích hodin autorka dbalana pečlivou analýzu jazyka, který bude v každé části hodiny potřeba. Ve třídě bylopřítomno 22 žáků. Autorka je na začátku hodiny upozornila, že je v jejich zájmuminimalizovat komunikaci v českém jazyce.

Na úvod žáci dostali za úkol pracovat ve dvojicích se čtverečkovaným papírema rozdělit tři zadaná čísla do všech možných čtverců a obdélníků. Jedno z trojicezadaných čísel bylo vždy prvočíslo, žáci měli objevit, že jedno ze zadaných čísel lzezakreslit pouze jako obdélník „číslo krát jednaÿ, zatímco ostatní dvě umožňují vícemožností zakreslení. Jazyk potřebný pro tuto úlohu byl identifikován jako divide,square, oblong. Autorka na tabuli ukázala ilustrativní příklad, aby všichni žácivěděli jak postupovat. Ukázala, že číslo 12 lze rozdělit jako 1x12, 2x6, 3x4, 4x3, 6x2a 12x1. Poté žáci zahájili samostatnou práci ve dvojicích. Autorka práci ve dvojicíchpečlivě monitorovala, vysvětlovala nejasnosti a opravovala chybné postupy (v jednédvojici například rozdělil 7 na 3,5x2). Po ukončení této aktivity autorka vybralaněkolik žáků, aby ostatním ukázali své výsledky. Poté přešla k definici prvočísla.

104

Nová slovní zásoba byla prime number, factor, composite number. Ukázalo se, žežáci nemají jasno v rozdílu mezi lichými čísly a prvočísly, proto autorka na tabulipřipsala slova odd a even. K prime numbers vypsala ta čísla, která žáci objeviliv rámci aktivity, k odd lichá čísla do 10 a k even sudá čísla do 10.

V následující aktivitě každý žák dostal tabulku s čísly od 1 do 100 a úkol Findall prime numbers. Následovaly jasné a jednoduché instrukce a postup podle Era-tosthénova síta. Jazyk potřebný pro tuto aktivitu byl Prepare red, blue, yellowand green pencils. Ignore number 1, cross it out. Is number two a prime number?Take a red pencil. Put number 2 in a box. Colour every second number red. Au-torka na tabuli ukázala, co znamená dát číslo do rámečku a co znamená políčkovybarvit. Názornost je při výuce metodou CLIL velmi důležitá, neboť pomáhá ja-zykově slabším žákům. Práce žáků byla soustavně monitorována a případné omylyindividuálně vysvětlovány. Pak následovalo stejné zadání pro číslo 3, 5 a 7 a ostat-ními barvami. Správnost řešení žáci společně ověřili pomocí interaktivního cvičenína http://www.softschools.com/math/prime numbers/prime numbers up to 100.

V druhé vyučovací hodině žáci pracovali s Prime number maze. Celou řadu růz-ných bludišť lze vygenerovat na http://www.worksheetworks.com/math/numbers/prime-number-maze.html. Zadání je, např. Help the frog get to the pond by follo-wing the path of prime numbers. Jediné problematické spojení může být followingthe path. Pokud žáci měli se zadáním problémy, byly řešeny individuálně ukázánímprvních několika čísel na cestě. U této aktivity se ukázalo, že někteří žáci ještě dobřenerozlišují rozdíl mezi prvočíslem a lichým číslem. Situaci autorka řešila individuál-ně. Pokud byli žáci při řešení této úlohy výrazně rychlejší než ostatní spolužáci,dostali úkol navíc: tabulku čísel od 1 od 100, s níž ve dvojici hráli hru Prime Num-ber Hunt. Zadání bylo opět jazykově nenáročné. Play a game. If you cross a primenumber, you get three point, if you put a circle to a composite number, you getone point. The winner is the person who gets more points. Zadání bylo na interak-tivní tabuli, a pokud bylo třeba, autorka ho jednotlivým párům znovu vysvětlovala.V rámci hry připomněli, která čísla od 1 do 100 jsou prvočísla. K ruce měli své Era-tosthénovo síto. Efektivnější by aktivita byla, kdyby dvojice pracovaly na počítači.Pak by pracovali bez Eratosthénova síta a byla by vyšší pravděpodobnost, že udělajíchybu. Vítěz by pak nebyl ten, kdo začínal, ale ten, kdo nechyboval.

Ve chvíli, kdy všichni žáci skončili práci na bludišti, byla hra Prime Number Huntukončena a žákům byla předložena nová aktivita. Twin primes are prime numberswhose difference is two. How many twin primes are there between 1 and 50? V tutochvíli bylo třeba žákům vysvětlit, co znamená termín difference. K tomu autorkavyužila tabuli a několik příkladů s odčítáním. S pomocí Eratosthénova síta pak žácivypsali všechny vhodné dvojice. Opět bylo několik žáků, kteří vypisovali všechnalichá čísla, jejichž rozdíl je 2. Byli to hlavně suverénní žáci, jejichž angličtina jena vysoké úrovni a kteří nevěnovali zadání úlohy dostatečnou pozornost.

105

Posledním cvičením bylo vyhledání všech emirpů od 1 do 100. Žákům autorkavysvětlila, že emirp is prime spelled backwards, ukázala na tabuli přímo na písme-nech EMIRP a uvedla jeden příklad – 13 a 31. Žáci pak ve svých sítech hledalivšechny emirpy mezi 1 a 100. Tím byla hodina ukončena.

Komentáře a závěry

Provedený výukový experiment ukázal, že výuku metodou CLIL v matematice lzepoužít již se žáky 6. tříd, přestože jejich znalost anglického jazyka je ještě na úrovnielementary (A1/A2). Ukázalo se také, že hodina vedená v anglickém jazyce je velmimotivující pro žáky, kteří v hodinách anglického jazyka nevynikají, ale kteří jsounadprůměrní v matematice. Přes počáteční nedůvěru a nejistotu se právě tito žácirychle do jednotlivých aktivit začali zapojovat a to se značným entusiasmem. Na-opak excelentní angličtináři (např. chlapec z bilingvní rodiny, který není zvyklýv hodinách anglického jazyka dávat pozor, protože látku bezpečně zvládá) zažívalisituaci, kdy jim jejich nadprůměrné znalosti anglického jazyka nestačily k tomu, abyjednotlivá cvičení řešili úspěšně. Díky pracovnímu charakteru obou hodin se dařiložáky udržet pozorné a participující. Vzhledem k názornosti jednotlivých aktivit byližáci schopni pochopit zadání v anglickém jazyce, nebo jim autorka uměla se zadá-ním pomoci. Lze tedy říci, že není třeba se výuky matematiky vedené metodouCLIL obávat. Neklade nesplnitelné nároky ani na žáky, ani na samotné vyuču-jící. Pokud Pateman a Lim (2013) varují, že matematiku nelze učit bez rozvinutéschopnosti formulovat v cizím jazyce, tento experiment ukazuje, že i nové pojmylze efektivně vysvětlit při pouze základních znalostech cizího jazyka.

Literatura

[1] MARSH, D. & LANGÉ, G. (Eds.) (2000). Using languages to learn andlearning to use languages. Jyväskylä: UniCOM.

[2] NOVOTNÁ, J. & HOFMANNOVÁ, M. (2011). The onset of CLIL in the CzechRepublic. Saarbrücken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing.

[3] PATEMAN, N. A. & LIM, C. L. (2013). The Politics of Equity and Accessin Teaching and Learning Mathematics. In M. A. Clements, A. J. Bishop,C. Keitel, J. Kilpatrick & F. K. S. Leung (Eds.), The Third InternationalHandbook of Mathematics Education (243–263). Vol. 27. Springer.

[4] Výnos MŠMT č. 9/2013 ze dne 18. prosince 2013, Praha, MŠMT

106

Lineární rovnice (Analýza učebnic ZŠ)1

Anežka Nováková2

Cíl a otázky

Cílem je představit zajímavé a překvapivé informace analýzy tématu lineární rov-nice v učebnicích pro ZŠ, které vyplynulo z výzkumu provedeného v diplomovépráci v rámci projektu GAČR P407/11/1740.

Základními otázkami, které budou probírány, jsou:

• Jaká je forma, srozumitelnost a složitost tématu rovnic v učebnicích?

• Jaké kategorie jsou při analýze učebnic důležité a jaké jsou zajímavé?

Forma, srozumitelnost a složitost

Forma předávání tématu v učebnicích je, dá se říci, přiměřená věku žáků. Co tímmyslím? Definice, věty a důkazy jsou žákům podávány formou jednoduchých větk pochopení (obr. 1). Otázkou je, zda taková forma se dá ještě nazývat definicí.V podstatě všechny učebnice potřebné pojmy vysvětlují dostatečně srozumitelněa při podrobném a pečlivém studiu se zdá, že téma rovnic by nemělo být takobtížné. Formu, srozumitelnost a složitost nelze hodnotit odděleně. Prolínají sei do analyzovaných kategorií. Díky tomu na tato kritéria ještě narazíme.

Kategorie analýzy

Motivace

V učebnicích je možné vysledovat snahu o využití, resp. použití žákových dosa-vadních znalostí a dovedností. Čím a jak je žák v učebnici motivován? Našla jsemněkolik způsobů motivace, např. motivace v úvodu tématu, kdy autor žáky vy-bízí „zkuste vyřešit úlohu vlastním způsobem,ÿ „odhalte kouzloÿ apod. Motivačníúlohy bývají nejčastěji prezentovány formou obrázku (bez/s komentářem), problé-mové úlohy na hledání neznámého čísla, zajímavé úvodní úlohy, překvapivé úlohyv průběhu kapitoly, problémové úlohy, úlohy s kouzlem, úlohy s mezipředmětovýmivazbami a různé diskuze nejen nad pojmy.

1Příspěvek z konference Dva dny s didaktikou matematiky 15. 2. 2013.2Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,

anezka.novakova@seznam.cz

107

Obr. 1: Definice obrázkem se snadnou formulací (Coufalová et al., 2007)

Prostředí s modely

Pro systematizaci prostředí a modelů jsem použila terminologii Hejného.V učebnicích pro druhý stupeň jsem nalezla úlohy v následujícím zastoupení

prostředí:

• Sémantická aritmetická prostředí

– Rovnoramenné váhy

– Autobus

– Úlohy na věk

• Strukturální aritmetická prostředí

– „Myslím si čísloÿ (úloha s kouzlem)

– Magické čtverce

– Součtové pyramidy a trojúhelníky

– Diagramy

– Tabulky

108

• Geometrická prostředí

– Neznámé rozměry pravoúhelníků

Nejčastějším a efektivně využitelným sémantickým prostředím jsou rovnora-menné váhy, které mohou být použity nejen jako papírový model, ale i jako reálnýmodel. Efektivnost vidím v přiblížení manipulativního procesu s čísly a neznámýmiz rovnice na reálných předmětech, kdy neznámá představuje konkrétní předmětya čísla, např. konkrétní hmotnost nebo počet (obr. 2). Žák má možnost experi-mentem odhalit zákonitosti, které fungují na vahách i v rovnicích, a tak ve vý-uce odpadá možnost mechanického naučení se jistých pravidel. Úlohy na věk jsouobecně v učebnicích považovány za obtížné. Objevují se velmi zřídka a většinoujen v závěrečné opakovací části celku lineárních rovnic. Obtížnost zřejmě spočíváv nesnadnosti matematizace reálné situace.

Obr. 2: Model rovnoramenné váhy (Binterová et al., 2009)

Předpokládala jsem, že se v učebnicích budou ve větší míře vyskytovat úlohyna strukturální aritmetická prostředí, protože zde jde především o abstrakci pojmučíslo a zpravidla chybí kontext reálného příběhu, ale v učebnicích tomu je přesněnaopak, tj. objevují se v malé míře. Světlou výjimkou jsou úlohy na „Myslím sičísloÿ (resp. úloha s kouzlem), které se vyskytly ve dvou řadách učebnic. Velkouvýhodou při řešení tohoto typu úloh s žáky je, že matematika (resp. rovnice) při ře-šení úlohy ustupuje do pozadí a žák řeší hádanku nebo přichází na kouzlo, častos velkým zaujetím a nasazením. Každé z pěti uvedených strukturálních prostředíjsem nalezla sice v různých učebnicích, až na jednu již zmíněnou výjimku pouzev jedné variantě ke každému modelu. Zřejmě i v praxi je četnost používání tako-výchto úloh velmi nízká, což je vzhledem k jednoduché variabilitě zadání úloh velmipřekvapivé.

Třetí a zároveň v učebnicích nejméně zastoupené prostředí je geometrické pros-tředí. Je zastoupeno pouze jedním typem úlohy hledající neznámé rozměry pra-voúhelníků (obr. 3). Výhodou těchto úloh je propojení geometrických konceptů sesvětem čísel (aritmetiky). Tento typ úloh též není těžký na přípravu a myslím si,že žákům velmi dobře poslouží. Úlohy řeší se zaujetím a předhánějí se, kdo vymyslílepší, rychlejší nebo snazší způsob řešení.

109

Obr. 3: Neznámé rozměry pravoúhelníků (Binterová et al., 2009)

Metody řešení rovnic3

Před podrobnějším představením jednotlivých metod řešení rovnic je třeba uvést třirámcové kroky vysledované ve všech učebnicích pro téma lineární rovnice. Na prv-ním místě jsou připomínky úprav algebraických výrazů a pojem proměnná. Druhýmkrokem je připomenutí a vysvětlení pojmů a úkonů spojených s rovností a rovnicí(rovnost, rovnice, neznámá – proměnná, řešení: proces a kořen). Poslední, třetí krokpředstavuje řešení rovnic s pozdějším vysvětlením ekvivalentních úprav s různýmizpůsoby provedení, resp. metod řešení.

Metoda Pokus-omyl

Z didaktického hlediska se jedná o velmi důležitou metodu. „Metoda spočíváve zkoušení předpokládaných řešení. Do zadání řešitel postupně dosazuje číslaa ověřuje, zda získá rovnost, nebo ne. Pokud řešitel postupuje podle systematickéhoklíče, vyvozuje ze získaných výsledků jisté vztahy, které mu pomáhají při pochopenía budování pro něho nových metod řešení.ÿ (Nováková, 2012: s. 40)

V literatuře je znám jeden přístup, metoda přepážka (Pirie & Lyndon, 1997), vy-cházející z metody pokus-omyl. Do čtverečků označujících neznámou žáci pokusemomylem doplňují čísla tak, aby rovnici vyřešili. Neustálým doplňováním takovýchrovnic během týdne najdou základní možnosti výpočtu s rovnicemi a do 14 dnů prýřeší rovnice typu ax+ b = cx+ d.

Například v učebnici MÚAV (Koman et al., 2002) autoři pro žáky připravilimnoho ne zcela běžných slovních úloh a navíc žáky nabádají, aby úlohy řešili s po-mocí různých metod (př. pokusem, tabulkou, úsudkem).

Tabulková metoda

Podstatou této metody je vymyšlení systematického pravidla pro systematizacivýsledků sesbíraných při řešení úlohy s pomocí metody pokus-omyl. Vhodné pou-žití tabulkové metody vede k usnadnění výpočtu řešení. Žák své výpočty systema-tizuje do přehledné formy/tabulky a z vymyšlených výsledků systematicky oddělí

3Řazení jednotlivých metod je použito v souladu s (Hejný, 1989), s výjimkou názvu čtvrté metody.

110

nesprávná, resp. správná řešení. Je zjevné, že se jedná o kvalitativně vyšší formumetody řešení rovnic, než byla metoda pokus-omyl.

Obr. 4: Tabulková metoda (Koman et al., 2002)

Metoda váhy

Jedná se o záměrnou manipulaci, která využívá model rovnoramenných vaha rovnováhu jednotlivých stran rovnosti. Žák si při správné manipulaci sám uvědomíjisté vztahy, které je schopen vyjádřit a dále používat i bez opakovaného použitímodelu (viz obr. 5).

Tato metoda klade na žáka větší logické nároky, ale rozhodně se nedá říci, žeby se jednalo o abstraktní myšlení. Tato metoda je použita ve všech analyzovanýchučebnicích.

Obr. 5: Metoda rovnoramenné váhy (Odvárko & Kadleček, 1999)

111

Metoda Měnič

Tuto metodu používá 5 z 9 studovaných učebnic. Metoda Měnič je nazvánapodle schematického znázornění z učebnice (Odvárko & Kadleček, 1999, obr. 6).

Obr. 6: Metoda měnič (Odvárko & Kadleček, 1999)

Podle mého názoru stojí tato metoda řešení lineárních rovnic na vrcholu všechuvedených metod a liší se mírou abstraktního myšlení/poznání konkrétního žáka.Souhlasím s tvrzením Hejného (1989), který říká, že používání této metody můžebýt zneužito k čistě instruktivnímu řešení rovnic. Pokud žák při výuce rovnic nepou-žije některou z předchozích metod, tak tu je reálné a vážné nebezpečí, že způsobyřešení rovnic budou pro žáka jen dalšími poučkami a při jejich používání nebudeschopen říci, proč provádí uvedené kroky. Tato hypotéza se při následném expe-rimentu potvrdila. Jsem přesvědčená o tom, že žák je schopen do této fáze abs-traktního myšlení dospět díky vhodné kombinaci předchozích metod a neustálémuřešení množství úloh na lineární rovnice.

Chyby a práce s chybou

Očekávala jsem, že chyba a práce s chybou je v učebnicích zastoupena ve vysokémíře, ale opak je pravdou. Úlohy na chyby a práci s chybou jsem nalezla jen ve dvouučebnicích (Koman et al., 2002; Odvárko & Kadleček, 1999). Žák je v uvedenýchučebnicích směřován k tomu, aby našel a opravil chyby, vysvětlil v diskuzi proča jak chyba mohla vzniknout.

112

V takto připravených úlohách vidím velmi pozitivní přínos, protože žák je ve-den k tomu, aby sám něco rozhodl. Ve škole žáci čekají, že učitel rozhodne, jestlivypočítaný výsledek je správně, ale už nejsou schopni rozhodnout, nebo jen v malémíře, zda výsledek, ke kterému dospěli, má nebo nemá smysl.

Při diskuzi k příspěvku byla otevřena otázka, proč není pro autory lehké zařaditdo učebnice úlohy na práci s chybou. Argumentem byla nemožnost odhadnoutschopnosti žáků ve třídě. Účastníci se shodli, že velmi záleží na práci učitele, kterýsvé žáky zná a úlohy na práci s chybou by měl do výuky zařadit sám podle svéhouvážení v závislosti na schopnosti svých žáků.

Závěr

Tento příspěvek představil zajímavé závěry analýzy devíti řad učebnic ZŠ na témalineární rovnice. Analýza byla provedena v rámci diplomové práce. Příspěvek sevěnoval kromě obecnějších kritérií i důležitým kategoriím, které byly při analýzeučebnic sledovány. Byly představeny kategorie motivace, prostředí s modely, me-tody řešení rovnic a chyby a práce s chybou.

Podrobnější informace a další závěry, především analýzu rozhovorů s učitelio jejich osobních praktikách ve výuce lineárních rovnic, zájemci naleznou ve zmíněnédiplomové práci.

Článek byl podpořen projektem SVV 267-402 Kvalita ve vzdělávání a ve výchově.

Literatura

[1] NOVÁKOVÁ, A. (2012). Kritická místa matematiky na základní škole (Analýzadidaktických praktik učitelů – lineární rovnice). Diplomová práce. Pedagogickáfakulta, KMDM. Vedoucí: doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D.; s. 95 (130 s pří-lohami)Strana 92–95 obsahuje veškerou použitou i další literaturu nejen k tomutočlánku.

113

Využití aplikačních úloh při zavádění soustavlineárních rovnic

Tomáš Novotný1

Článek je příspěvkem k problematice vhodného využívání mezipředmětových vztahůve školní výuce. Je zaměřen na to, jakým způsobem je možné při zavádění soustavlineárních rovnic v matematice využít znalosti žáků z jiných předmětů. Vychází z vý-zkumu, který realizuji v diplomové práci (Novotný, 2014), kde jsem zjišťoval, do jakémíry jsou žáci schopni používat matematické poznatky v jiných předmětech a na-opak používat znalosti z jiných předmětů při řešení matematických úloh. Z úloh,které využívají matematických poznatků v jiných předmětech, jsem vybral takové,jejichž řešení žákům dělá nejmenší problémy, a vytvořil návrh jejich použití při za-vádění soustav lineárních rovnic. Cílem mého dalšího výzkumu je zjistit, zda žácitímto způsobem lépe pochopí metody řešení soustav lineárních rovnic vyučovanýchna školách a zda jim tento přístup poskytne nástroj pro propojení souvislostí ma-tematiky s jinými obory. Článek je rozdělen na tyto části: Zavedení soustav, Sub-stituční metoda, Komparační metoda, Sčítací metoda, Soustavy více rovnic o víceproměnných.

Zavedení soustav

Slovní úlohy o rozdělení celku na nestejné části mohou sloužit jako prostředekpro zavedení soustav lineárních rovnic, neboť žáci jsou schopni některé typy úlohřešit úvahou s použitím jednoduchých rovnic. Jako ukázku jsem vybral úlohu, kteráje zaměřena na aplikace Kirchhoffových zákonů do dopravy.

V oblasti jsou vybudovány tři para-lelní silnice, mezi nimiž jsou dvě spojo-vací cesty. Pro zjednodušení uvažujeme,že pouze prostřední silnicí lze přijet a od-jet z celé soustavy a všechny ulice jsoupouze jednosměrné. Víme, že do soustavyna křižovatku A přijede 120 aut za ho-dinu. Úsekem A-B projede dvakrát víceaut nežli úseky A-E-F-B a A-C-D-B.Úsekem A-E-F-B projede za hodinu tře-tina aut, která za hodinu projede úsekemA-C-D-B. Kolik aut za hodinu projede jednotlivými úseky? (Novotný, 2012)

1Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze,zdurbanane@email.cz

114

Tato aplikace je sice v praxi používaná, avšak řešené situace bývají mnohemsložitější (Louthan, 2010). Pro žáky však takto zjednodušená situace je dostačující,aby si dokázali představit, jakým způsobem je možné použít Kirchhoffovy zákonyv dopravě. Úvahou lze tuto úlohu řešit takto: 120 aut se nám rozdělí na 3 stejnéskupiny, z nich 2 pojedou úsekem A-B. Zbytek aut se rozdělí na 4 skupiny, z nich3 pojedou úsekem A-C-D-B (viz tab. 1).

/:3 /:4

120 aut

A-B80 aut

A-B

A-E-F-B 10 aut

A-E-F-B A-C-D-B

30 auta A-C-D-B A-C-D-B

A-C-D-B

Tab. 1

Nyní tuto úlohu budeme řešit za pomoci soustav lineárních rovnic. Označme x, y,resp. z počet aut, která projedou úsekem A-B, A-E-F-B, resp. A-C-D-B. Soustava,kterou vytvoříme na základě podmínek uvedených v zadání, bude tedy vypadattakto:

x+ y + z = 120 , (1)2 (y + z) = x , (2)

1

3z = y . (3)

Při řešení této soustavy lze ukázat analogii s řešením úvahou. Jedná se sice o jinýzápis, avšak kroky v obou postupech jsou na sebe vzájemně převoditelné. Tím jemožné žákům ukázat, že se jedná pouze o matematický zápis skutečnosti, kteroujiž řešit umí.

Substituční metoda

Se substituční metodou se žáci setkávají ve fyzice téměř od začátku její výuky. Jednáse o jakékoli dosazení jednoho vzorce do vzorce druhého, když neznáme hodnotuněkteré veličiny, která se ve vzorci vyskytuje.

Jaká gravitační síla působí na jeden litr rtuti, když víme, že hustota rtuti je13 579 kg/m3 a gravitační zrychlení je 10 m/s2?

115

Velikost gravitační síly vypočítáme dle vzorce F = m · g, kde m je hmotnosttělesa a g je gravitační zrychlení. Zatím neznáme hmotnost. Ta se vypočítá po-mocí vzorce m = V · ρ, kde V je objem tělesa a ρ je jeho hustota. Nyní ještěpotřebujeme vyjádřit objem, který je v litrech, v metrech krychlových, abychompočítali se stejnými jednotkami, čímž dostaneme objem rtuti 0,001 m3. Máme tedydva vzorce: F = m · g, m = V · ρ. Dosazením hodnot jednotlivých veličin ze za-dání, dostaneme následující soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kde v druhémáme přímo vyjádřenou neznámou m, tudíž ji dosadíme do rovnice první a tu ná-sledně vyřešíme. Při výpočtu nebudeme pro zjednodušení zápisu uvádět jednotky.Abychom tak mohli učinit, je zapotřebí zkontrolovat, zda máme všechny veličinyvyjádřené pomocí základních jednotek soustavy SI, čehož jsme docílili vyjádřenímobjemu rtuti v metrech krychlových.

F = m · 10 (1)m = 0,001 · 13 579 (2)↓

F = 0,001 · 13 579 · 10 (1)F = 135,79

Odpověď tedy je: Na jeden litr rtuti působí gravitační síla 135,79 N.

Komparační metoda

Komparační metoda se používá, např. ve fyzice. Jedno z názorných použití je u dějů,kde se zachovává jistá vlastnost. Takovéto použití je, např. u zákonu o zachovánímechanické energie.

Zde se během děje přeměňuje energie potenciální na kinetickou a naopak, při-čemž jejich součet zůstává konstantní.

Kámen o hmotnosti 2 kg padá volným pádem z věže o výšce 80 m. Jakou mákinetickou energii při dopadu? (Bednařík, 2009: str. 113)

Potenciální energie je rovna součinu hmotnosti, gravitačního zrychlení a výšky.Kinetická energie je rovna polovině součinu hmotnosti a druhé mocniny rychlosti.Kinetickou energii nyní nemůžeme vypočítat. Víme však, že při dopadu je poten-ciální energie nulová a na začátku děje je nulová energie kinetická. Označme si tedyEkz kinetickou energii na začátku děje, Epz potenciální energii na začátku děje a Ez

mechanickou energii na začátku děje. Analogicky označíme Ekd, Epd, Ed jako energiikinetickou, potenciální a mechanickou při dopadu.

Ez = Epz + Ekz (1)Ed = Epd + Ekd (2)

116

Jelikož víme, že mechanická energie se během děje nemění, můžeme za Ez a Ed

dosadit E. Následně použitím komparační metody sloučíme obě rovnice do jednéa dostaneme jednu rovnici s jednou neznámou, kterou vyřešíme:

E = Epz + Ekz , (1)E = Epd + Ekd , (2)↓

Epz + Ekz = Epd + Ekd , (1)m · g · h = Ekd .

Dosazením hodnot ze zadání dostaneme výsledek. Odpověď zní: Kámen mápři dopadu kinetickou energii 1 600 J.

Komparační metoda se vyskytuje také při použití kalorimetrické rovnice. Ta říká,že při předávání tepla Q mezi dvěma látkami nedochází ke ztrátám, tudíž teplo při-jaté jednou látkou se musí rovnat teplu předanému látkou druhou.

Závaží o hmotnosti 500 g z neznámého prvku o teplotě tp = 100 ◦C vhodímedo 2 kg vody o teplotě tv = 20 ◦C. Teplota vody a závaží se ustálila na t = 24 ◦C. Určiměrnou tepelnou kapacitu neznámého prvku, když víš, že měrná tepelná kapacitavody je rovna 4 180 J/(kg·K). (ucebnice.krynicky.cz, 2010)

Teplo vypočítáme jako součin hmotnosti, měrné tepelné kapacity a změny tep-loty. Označíme veličiny popisující stav vody dolním indexem v a veličiny popisujícístav neznámého prvku dolním indexem p.

Qv = mv · cv · (t− tv) (1)Qp = mp · cp · (tp − t) (2)

Na základě platnosti kalorimetrické rovnice víme, že tepla Qv a Qp se rovnají,proto je můžeme označit obě písmenem Q. Převedeme hmotnost neznámého prvkuna kilogramy, následně použijeme komparační metody, a dostaneme rovnici s jednouneznámou veličinou, do které dosadíme a dopočítáme ji.

Q = mv · cv · (t− tv) (1)Q = mp · cp · (tp − t) (2)↓

mv · cv · (t− tv) = mp · cp · (tp − t) (1)

Dosazením hodnot ze zadání dostaneme výsledek. Odpověď zní: Měrná tepelnákapacita neznámého prvku je 880 J/(kg·K).

117

Sčítací metoda

Postup, který se používá při sčítací metodě, se používá v chemii při vyčíslováníchemických rovnic se změnou oxidačního čísla, také zvaných oxidačně redukčníchrovnic nebo zkráceně RedOx rovnic. Následující příklad ilustruje, jak se tato metodapoužívá.

Dopočítejte stechiometrické koeficienty u následující chemické rovnice.

CuIIO−II +N−IIIHI3 −→ Cu0 +N0

2 +HI2O−II

Vypíšeme z rovnice prvky, které mění své oxidační číslo, a počet elektronů, kterése při reakci přeskupují.

N−III − 3 e− −→ N0 (1)CuII + 2 e− −→ Cu0 (2)

Jelikož elektrony během reakce nevznikají ani nezanikají, musí se počet ode-braných elektronů rovnat počtu elektronů předaných. Obě rovnice tedy vynáso-bíme tak, aby počet předávaných elektronů v každé rovnici byl stejný. V chemiise převážně používá takzvané křížové pravidlo, za pomoci kterého danou rovnicivynásobíme počtem elektronů v rovnici druhé. Tím však nemusíme dostat řešenís nejmenšími koeficienty. Musíme tedy na konci provést ještě kontrolu, zda neexis-tuje řešení menší. Při použití metody násobení rovnic tak, aby výsledný počet pře-dávaných elektronů se rovnal nejmenšímu společnému násobku počtů předávanýchelektronů v obou původních rovnicích, toto riziko odpadá.

N−III − 3 e− −→ N0 / · 2 (1)

CuII + 2 e− −→ Cu0 / · 3 (2)

2N−III − 6 e− −→ 2N0 (1)

3CuII + 6 e− −→ 3Cu0 (2)

Nyní dosadíme vypočítané koeficienty do původní rovnice a dopočítáme chy-bějící koeficienty.

3CuIIO−II + 2N−IIIHI3 −→ 3Cu0 +N0

2 + 3HI2O−II

118

Soustavy n rovnic o m proměnných, kde n ≥ 2 a m > 2

Podíváme se opět do chemie, tentokrát na vyčíslování rovnic beze změny oxidačníhočísla. V chemii se tyto rovnice vyčíslují převážně pomocí jistého algoritmickéhoodhadu, který je naznačen v následující úloze. Žáci jsou tímto algoritmem schopnichemické rovnice řešit, i když se ještě se soustavami rovnic nesetkali. Žáci je všakmohou řešit i pomocí soustav lineárních rovnic. Pro ilustraci následuje jednoduchýpříklad.

Dopočítejte stechiometrické koeficienty u následující chemické rovnice.

Al + O2 −→ Al2O3

Algoritmické řešení: Kyslík je nalevo dvakrát a napravo třikrát. Musíme docí-lit toho, aby jich na každé straně bylo stejně, tudíž vezmeme 3 molekuly kyslíkua 2 molekuly oxidu hlinitého, aby bylo na každé straně 6 atomů kyslíku.

Al + 3O2 −→ 2Al2O3

Nyní ještě zbývá dopočítat koeficienty u hliníku. Ten je na pravé straně čtyřikráta na levé jednou. Stačí tedy koeficient u hliníku na levé straně čtyřikrát zvětšita dostaneme výslednou rovnici.

4Al + 3O2 −→ 2Al2O3

Soustavou rovnic: Vycházíme opět z toho, že počet atomů každého prvku na levéstraně musí být roven počtu atomů daného prvku na straně pravé. Jednotlivé ko-eficienty označíme a, b, c ∈ N.

aAl + bO2 −→ cAl2O3

a = 2 c (1)

2 b = 3 c (2)

Z druhé rovnice vidíme, že b = 32c , ale má přitom patřit do množiny přiroze-

ných čísel. Proto volíme nejmenší c = 2, pro které je podmínka c ∈ N splněna,a dostáváme zbylé koeficienty b = 3 a a = 4.

Literatura

[1] BEDNAŘÍK, M. & ŠIROKÁ, M. (2009). Fyzika pro gymnázia – mechanika.Vyd. 4. Praha: Prometheus. ISBN 978-80-7196-382-0.

119

[2] BENEŠ, P., PUMPR, V. & BANÝR, J. (2005). Základy chemie I. Vyd. 4.Praha: Fortuna. ISBN 80-7168-720-0.

[3] LOUTHAN, M. (2010). Vztah digitálního modelu reliéfu a síťových analýzpři řešení dopravních úloh. Diplomová práce. Olomouc: Univerzita Palackéhov Olomouci.

[4] NOVOTNÝ, T. (2012). Aplikace algebry v přírodovědných oborech a ekonomii.Bakalářská práce. Praha: Univerzita Karlova v Praze.

[5] NOVOTNÝ, T. (2014). Využití aplikací algebry v přírodovědných oborech na 2.a 3. stupni školy. Diplomová práce. Praha: Univerzita Karlova v Praze.

[6] UCEBNICE.KRYNICKY.CZ (2010). Učebnice fyziky pro gymnázia:2.2.3 Kalorimetrická rovnice[online]. [cit. 2014-03-28]. Dostupné z:http://www.ucebnice.krynicky.cz/Fyzika/2 Molekulova fyzika a termika/2 Vnitrni energie prace teplo/2203 Kalorimetricka rovnice.pdf

Uchopení matematických výukových prostředídětmi předškolního věku (5–7 let)

Jana Slezáková, Eva Šubrtová1

Inspirovaly jsme se didaktickými prostředími z učebnic matematiky pro 1. st. ZŠ(Hejný et al., 2007–2011) a zvolily některá z nich pro vytvoření experimentálníchúloh. Tyto úlohy byly zadávány ve skupině cca 15 dětí v jedné pražské mateřskéškole. Cílem bylo v první řadě vytvořit úlohy přiměřené schopnostem předškolákůa potom sledovat, jak předškoláci budou takové úlohy řešit, a zda takové úlohy mohoubýt nástrojem pedagogické diagnostiky.

Pro svůj hrový potenciál byla zvolena prostředí Krokování, Autobus a Zvířátka dědyLesoně. V průběhu pěti měsíců školního roku 2012/13 proběhla série experimentův počtu 4x Krokování, 6x Autobus a 3x Zvířátka dědy Lesoně. Poté ještě pro-běhly dva experimenty pedagogické diagnostiky podle metodiky Edyty Gruszczyk--Kolczynské pro porovnání zjištěných výsledků. Jednotlivé experimenty byly pláno-vány průběžně, v návaznosti na předchozí pozorování a zjištění. Děti se experimentůúčastnily spontánně, podle svého aktuálního zájmu; podrobně zpracováno v práci(Šubrtová, 2014).1Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, e-mail: jana.slezakova@pedf.cuni.cz;

Křesťanská základní škola a mateřská škola Elijáš, Praha 4, eva.subrtova@gmail.com

120

Experimenty v didaktickém prostředí Krokování

Byly navrženy úlohy ověřující schopnost dítěte synchronizovat vnímaný rytmuss pohybem, úlohy převádějící číslo z jednoho modelu do jiného (počet ok na kostcevyjádřeno číslem a následně počtem kroků realizovaných na krokovacím pásu),úlohy na sčítání (jeden figurant krokuje na dva povely a druhý figurant má obapovely vyjádřit jedním) a úlohy s odhadem vývoje (dva figuranti krokují podlehodů kostkou a snaží se odhadnut, jestli je možné, např. dosáhnout cíle dříve nežsoupeř apod.).

Nejzajímavější se ukázaly úlohy na synchron vnímaného rytmu a vykonanéhopohybu. Zdánlivě snadná úloha, kdy na píseň „Měla babka čtyři jabkaÿ mají dětitleskat do rytmu a vybraní figuranti rytmus písně vyjadřují krokováním na pásu,se totiž při podrobném rozboru ukázala jako mnohem obtížnější. Bylo zjištěno,že jde vlastně o čtyři složky, které chceme synchronizovat: zpěv písně (akustickásložka), tleskání do rytmu (kinesteticko-akustická složka), slyšení vytleskávanéhorytmu (akustická složka) a pohyb při krokování (kinestetická složka). Vždy jdeo synchron dvojice těchto jevů (zpěv a tleskání, poslech a krokování). Analýzouvideozáznamů jsme zjistily, že děti se roztřídily do pěti skupin podle schopnostisynchronizovat tyto jevy:

• Děti v 1. skupině dokáží synchronizovat jak slyšený rytmus s pohybem, takdoprovodit svůj zpěv rytmickým tleskáním.

• Děti ve 2. skupině vnímají slyšený rytmus, synchronizují zpěv a tleskání, alenedokáží synchronizovat akustické složky s pohybem při krokování.

• Děti ve 3. skupině jsou rušeny zpěvem a soustředí se na tlesknutí – signálk vykonání kroku, krok tedy přichází s malým zpožděním.

• Děti ve 4. skupině vnímají rytmus písně a dokáží jej vyjádřit pohybem těla(tančí na krokovacím pásu), ale vytleskávání do rytmu samy nezvládají.

• Děti z 5. skupiny nesynchronizují žádnou dvojici uvedených složek.

Experimenty v didaktickém prostředí Autobus

Byly zadávány úlohy se čtyřmi, později třemi zastávkami, kdy do autobusu cestujícínastupují a také z něj vystupují. Manipulovalo se přitom s plastovými lahvičkami(cestující) a pomalovanou krabicí s otvorem nahoře (autobus). Děti měly určit, ko-lik cestujících vystoupí na konečné zastávce, ale byly jim také kladeny kontrolnízjišťovací otázky v průběhu samotné jízdy. Úlohy zadané v tomto prostředí se uká-zaly jako výrazně diagnostické. Velmi rychle roztřídily děti na ty, pro které byl

121

experiment hrou a chtěly manipulovat s autobusem i cestujícími a na ty, pro něžbyl experiment úlohou. Tyto děti daleko více zajímala role pozorovatele, který sle-duje celou jízdu a pokouší se dospět ke správnému výsledku. Objevily se různéstrategie vedoucí k řešení úlohy: počítání zpaměti, odhadování, evidence počtu ces-tujících na prstech, polohlasné opakování sledovaného počtu, pokus zapamatovatsi celý řetězec a pak jej zrekonstruovat, a dokonce i písemný zápis, který vzniklzcela spontánně. Poté, co se takový zápis objevil poprvé, přidávaly se k tomutopostupu další děti a vznikly různé typy zápisů, z nichž některé dospěly do zcelafunkční podoby. Uvádíme zde na ukázku některé typově odlišné zápisy. Obrázky1–5 představují ukázky zápisů nefunkčních, ze zápisů 6–10 byly děti schopny vyčístsprávný výsledek:

Obr. 1 Obr. 2 Obr. 3

Obr. 4 Obr. 5

122

Obr. 6 Obr. 7 Obr. 8

Obr. 9 Obr. 10

Experimenty v didaktickém prostředí Zvířátka dědy Lesoně

V navržených úlohách byly děti označeny jmenovkou – ikonkou jednoho ze tří zví-řátek (myš, kočka, husa) a měly se seskupovat na dvou koncích přetahovacího lanatak, aby jejich síly byly vyrovnané, odhadovat, které družstvo bude silnější a navrh-nout, jakým způsobem síly vyrovnat. Odhadování se s větším či menším úspěchemdařilo, děti však příliš lákala skutečná přetahovaná s poměřováním fyzických sila bylo takřka nemožné přimět je, aby přijaly roli zvířete (např. nejslabší myši).Zřejmě jsme zde narazily na vývojové hranice jejich myšlení, neboť pro tyto úlohyje potřeba určitého stupně abstrakce.

Výsledky

Na závěr celé série byly uskutečněny dva diagnostické experimenty, z nichž jedenměl odhalit, v jaké vývojové fázi myšlení se dítě aktuálně nachází a druhý, zda

123

je dítě vybaveno mimořádným „matematickýmÿ nadáním. Po srovnání výsledkůvšech experimentů a dlouhodobého pozorování u vybraných tří dětí se ukázalo, žese tyto výsledky shodují.

Z experimentů v prostředí Krokování bylo zřejmé, že synchron akustických a po-hybových jevů je do značné míry věcí nácviku, neboť děti se v každém dalšímexperimentu v tomto synchronu zlepšovaly. Navržené úlohy obohacují představyo čísle v různých reprezentacích a umožňují elementární zkušenosti s aditivní triá-dou. Experimenty v prostředí Autobus poukázaly na mentální zralost dětí, ukázalyse v tomto smyslu jako výrazně diagnostické, kdy děti vývojově mladší chápou za-dání jako hru, zatímco děti vývojově starší jako úlohu. Tyto úlohy trénují nejenkrátkodobou paměť, ale posilují představu o čísle jako operátoru změny. Z obouprostředí se podařilo vytěžit metodická doporučení pro jejich použití ve skupiněpředškolních dětí. Ukázalo se také, že spontánní přístup dětí k úlohám přináší dlou-hodobě mnohem lepší výsledky, než kdyby děti byly k aktivitě nuceny.

Závěr

V dalším výzkumu chceme rozvíjet škálu úloh pro děti předškolního věku ve zmí-něných i dalších vybraných didaktických prostředích. Domníváme se, že takovéúlohy vhodně využívají přirozenou periodu prudkého kognitivního rozvoje směremk operačnímu myšlení, ke kterému dochází v období kolem nástupu školní docházky,a podporují vznik žádoucích myšlenkových struktur.

Literatura

[1] HEJNÝ, M., et al. (2007–2011). Matematika pro 1.–5. ročník ZŠ. Učebnicea Příručka učitele. Plzeň: Fraus.

[2] GRUSZCZYK-KOLCZYNSKÁ, E. (duben 2014). Diagnostika dětí předškol-ního věku v oblasti matematiky. Kurz. Praha: Pomáháme školám k úspěchu,o. p. s. a Univerzita Karlova.

[3] ŠUBRTOVÁ, E. (2014). Uchopení matematických výukových prostředí dětmipředškolního věku (5–7 let). Diplomová práce. Praha: Univerzita Karlova –Pedagogická fakulta.

124

Kombinované studium matematiky I– sonda do názoru studentů

Dana Smetanová, Jana Vysoká1

Příspěvek popisuje výsledky výzkumu, ve kterém byly pomocí dotazníku zjišťoványhodnotící názory studentů na výuku předmětu Matematika I v kombinované forměstudia na Vysoké škole technické a ekonomické v Českých Budějovicích. Průzkumbyl zaměřen zejména na zjištění těchto faktů: které z probíraných témat bylo pro stu-denty snadné nebo naopak obtížné, jaká je jejich připravenost ze SŠ pro pochopeníprobírané látky, způsob prezentace učiva, jejich názor na hodnotící systém zkoušky.

V zimním semestru akademického roku došlo v hodnocení předmětu Matematika Ik několika zásadním změnám. Speciálně u studentů kombinované formy bylo novězavedeno elektronické testování pro získání prémiových bodů ke zkoušce (připočí-távají se k bodům získaným ze zkouškového testu). Studenti denní formy studiazískávají tyto body jiným způsobem a to z aktivit na semináři.

Pro studenty všech forem studia byla zavedena nová hodnotící škála hodno-cení zkoušky. Na zkoušce je možné získat maximální počet bodů 100, z toho až30 bodů mohou studenti získat jako prémiové body za aktivitu v průběhu semes-tru (při kombinované formě studia z elektronického testování). Zkouškový test jehodnocen maximálně 70 body. K úspěšnému zvládnutí zkoušky je potřeba získatnejméně 70 bodů z celkového počtu 100 bodů.

Z důvodů těchto změn má pro nás velký význam zpětná vazba a to především ja-kým způsobem vnímají studenti změny a zda lze něco udělat nejen pro optimalizacisystému hodnocení, ale i pro zefektivnění výuky.

Cíl výzkumu

Cílem výzkumu bylo zjistit názory studentů kombinované formy studia na výukupředmětu Matematika I. Zajímali jsme se zejména o tato fakta: které z probíranýchtémat bylo pro studenty snadné nebo naopak obtížné, jaká je jejich připravenostze SŠ pro pochopení probírané látky, způsob prezentace učiva, jejich názor na hod-notící systém zkoušky.

Popis výzkumného vzorku a výzkumné metody

Jako zkoumaný vzorek byli náhodně vybráni studenti ze tří skupin kombinova-ného studia Matematiky I. Každou skupinu učí jiný pedagog. Jedná se o studenty1Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, smetanova@mail.vstecb.cz, vysoka@mail.vstecb.cz

125

různých oborů (Ekonomika podniku, Konstrukce staveb, Stavební management,Technologie dopravy a přepravy, Strojírenství). Anketního průzkumu se zúčastnilocelkem 92 respondentů, z toho 50 mužů a 42 žen. Názory mužů a žen nevykazovalyžádné zásadní odchylky, proto je nevyhodnocujeme zvlášť. Tato skupina zahrnovalazhruba polovinu „aktivníchÿ studentů kombinované formy předmětu Matematika I.Aktivními studenty zde míníme takové studenty, kteří absolvovali zkoušku nebo seve zkouškovém období přihlásili ke zkušebnímu termínu. Všichni respondenti sezúčastnili alespoň jednoho zkušebního termínu. Anketní průzkum proběhl v roz-mezí 18. 1. – 1. 2. 2014. Pro zajištění vypovídající hodnoty byl výzkum prováděnanonymně. Na základě studia odborné literatury (Gavora, 2010; Chráska, 2007; Ma-ňák & Švec, 2004) byl zvolen jako výzkumná metoda anonymní dotazník vlastníkonstrukce s devíti otázkami. Prvních sedm bylo určeno ke zjištění potřebných dato názorech studentů na jednotlivé problémy. Osmá otázka se vztahovala na to, zdadotazník vypisuje muž nebo žena. Poslední devátá položka byla určena pro pří-padné komentáře či poznámky studentů. Kompletní znění dotazníku je k dispoziciu autorek článku. Odpovědi studentů jsou vyhodnoceny v následujícím odstavci.

Názory studentů

Postupně uvedeme v grafech jednotlivé souhrnné odpovědi studentů na položkydotazníků. U otázek 1 a 2 měli studenti v dotaznících zakroužkovat 0–2 odpo-vědi, u otázek 3–8 jednu odpověď a devátou otázku vyplňovali pouze v případě, ženám chtěli sdělit i něco dalšího. Ne všichni studenti dodrželi požadovaný počet za-kroužkovaných odpovědí, výjimečně někteří z nich pro jistotu zakroužkovali i víceodpovědí nebo neodpověděli vůbec. Otázku číslo 9 vyplnila pouze malá skupinarespondentů. První dvě otázky byly zaměřené na probíraná témata, zjišťovali jsme,která z nich se zdají studentům snadná nebo naopak obtížná (viz grafy na obrázcích1 a 2).

Zcela jednoznačně bylo vyhodnoceno jako snadné téma matice, vektory a deter-minanty (68 osob). Na druhém místě se jako snadné objevily soustavy lineárníchrovnic (24 osob) a překvapivě na třetím místě derivace funkce (21 osob). Napříkladintegraci hodnotili jako snadné téma pouze 3 osoby.

Nejvíce osob (50) hodnotilo jako obtížné téma integraci, následovaly derivacefunkce (34 osob), limita funkce (29 osob) a průběh funkce (26 osob).

Specifikum kombinované formy studia spočívá v tom, že studenti jsou lidéz praxe, většinou nepokračují ve studiu přímo po ukončení SŠ. Protože po ukončeníškoly nepoužívají aktivně matematické dovednosti, pak je pro ně značně kompliko-vané navázat na znalosti ze střední školy. Bohužel se také často stává, že i získanéstředoškolské základy jsou na špatné úrovni, která může být způsobena nekvalitnívýukou na SŠ. Z celkového množství si 54 studentů muselo středoškolskou látku

126

Obr. 1: Které z probíraných témat bylo pro vás snadné?

Obr. 2: Které z probíraných témat pro vás bylo obtížné?

znova zopakovat a 28 dokonce přiznalo, že se jim středoškolskou látku nepodařilovůbec doučit.

Srovnatelné množství studentů by na hodinách upřednostnilo výklad jako kom-binaci teorie a počítání příkladů (50) a pouze počítání příkladů (46). Čtyřem oso-bám je to jedno a jedinému člověku by vyhovovala pouze teorie.

Otázka č. 5 byla zařazena hlavně z toho důvodu, že bylo poprvé použito elektro-nické testování pro zisk prémiových bodů připočítávaných k výsledku závěrečného(zkouškového) testu.

Jak lze z dotazníku vyčíst, elektronické testování nevyšlo jako jednoznačný ví-těz. Téměř rovnocenně upřednostňují tyto tři varianty: domácí úkoly (30 osob),elektronické testování (29 osob), kombinaci různých aktivit (23 osob). Zbývajících10 osob by upřednostnilo písemný test.

127

Obr. 3: Byly vaše znalosti ze střední školy pro pochopení látky dostačující?

Obr. 4: Přednáška mi vyhovuje v podobě . . .

Obr. 5: Měl/a bych zájem o získání prémiových bodů za aktivitu připočtenýchk výsledku závěrečmého testu.

128

Obr. 6: Jste spokojen/a se současným systémem bodového hodnocení zkoušky?

Mírně převažuje spokojenost se systémem hodnocení (52 osob) nad nespokoje-ností (36 osob). Přestože mírně převažuje spokojenost s hodnotícím systémem zkou-šky, z odpovědí na otázku č. 7 plyne, že 48 studentů (52 %) jej považuje za přísný,za standardní jej považuje 26 studentů (28 %). Dva lidé jej hodnotí jako mírnýa zbývající to nedokážou posoudit.

Obr. 7: Podle vašeho názoru je hodnotící systém zkoušky . . .

Závěr

Obtížnost probírané látky: Podle našich zkušeností z výuky a z písemných pracístudenti nejlépe zvládají témata lineární algebry (matice, vektory, determinanty,soustavy lineárních rovnic). Nejhůře dopadají témata z matematické analýzy (in-tegrace, limita funkce, průběh funkce, derivace funkce). Studenti volili obtížnostprobírané látky téměř podle našeho předpokladu. Přesto se vyskytla jedna překva-pivá výjimka – 26 % studentů zařadilo derivace mezi snadná témata.

129

Znalosti ze střední školy: Znalosti z matematiky ze střední školy jsou nevyho-vující, studenti se museli látku doučit a některým se to vůbec nezdařilo. Můžemese pouze dohadovat, zda toto bylo způsobeno spíše tím, že byla nevhodná výukamatematiky již na SŠ nebo tím, že se jedná o studenty kombinované formy, kteříčást látky v průběhu let zapomněli.

Hodnocení výuky a systému zkoušky: Jako dvě rovnocenné varianty byly vy-hodnoceny výuka jako kombinace teorie a vypočtených příkladů a pouze počítánípříkladů. Orientace studentů na počítání příkladů je zřejmě způsobena tím, žezkouškový test je zaměřený pouze na výpočet příkladů. Ovšem je potřeba vysvět-lit alespoň částečně i teorii, abychom zjistili jakým vhodným způsobem řešit danýpříklad. Z odpovědí na otázky 5, 6 a 7 se dá usoudit, že studenti jsou s hodnocenímzkoušky spokojeni pouze částečně (vyhovující bodový systém versus přísná zkou-ška). Zkouška má specifické hodnocení, k úspěšnému absolvování je potřeba získat70 bodů ze 100, z toho připadá u kombinované formy 30 bodů z elektronického tes-tování a 70 bodů z písemného testu. Tedy i v případě, že student získá maximálnípočet prémiových bodů 30, musí napsat test na úspěšnost 57 % (odpovídá to zhrubatřem správně vypočteným příkladům z pěti). V případě, že má 0 prémiových bodů,musí napsat test bezchybně.

Připomínky studentů: Studenti komentovali i některé předchozí otázky (např.o studiu SŠ, které proběhlo před více než 30 lety). V bodě 8 měli možnost cokoliv,co chtějí dodat, rozvést, komentovat, glosovat. Připomínky studentů lze rozdělitdo několika částí: připomínky, na které lze reagovat nápravou – více vypočtenýchpříkladů ve studijních oporách, ukazovat teorii na příkladech (toto většina pedagogůdělá), větší důraz na počítání. Pak jsou tu připomínky, které nejsme schopni o-vlivnit například větší počet hodin, v málo hodinách se probírá mnoho látky, přísnéhodnocení zkoušky (hodnocení zkoušky na VŠTE stanovuje pedagogické oddělení,ne jednotliví vyučující).

Literatura

[1] GAVORA, P. (2010). Úvod do pedagogického výzkumu. 2. rozš. české vyd. Brno:Paido, 261 s.

[2] CHRÁSKA, M. (2007). Metody pedagogického výzkumu: základy kvantitativ-ního výzkumu. Vyd. 1. Praha: Grada, 265 s. Pedagogika.

[3] MAŇÁK, J. & ŠVEC, V. (2004). Cesty pedagogického výzkumu. Brno: Paido,78 s. Pedagogický výzkum v teorii a praxi; sv. 1.

130

Tabuľkový kalkulátor vo vyučovaní algebry na ZŠ

Noémi Székelyová1

Po školskej reforme v roku 2008/2009 sa na Slovensku stále viac zdôrazňuje po-stavenie digitálnych technológií vo vyučovaní. Snahou je pripraviť žiakov na to,aby boli schopní úspešne sa vyrovnať s nárokmi, ktoré na nich kladie informa-tická spoločnosť 21. storočia a aby vedeli maximálne využívať príležitosti, ktoré imtáto spoločnosť ponúka. Tabuľkový kalkulátor MS Excel patrí k najrozšírenejšímštandardným aplikačným programom, a aj preto má svoje miesto už vo vyučovanímatematiky na základnej škole.

Tabuľkový kalkulátor

Tabuľkové kalkulátory (tabuľkové procesory, spreadsheet) vo všeobecnosti slúžiana spracúvanie väčšieho množstva údajov, ktoré sú usporiadané do riadkov a stĺp-cov (do tabuľky), pričom s týmito údajmi vieme vykonávať rôzne výpočty, analy-zovať ich, spracovávať, triediť podľa rôznych kritérií, prípadne graficky znázorňo-vať. Tiež umožňujú importovať údaje z databázových súborov, prepojenia s inýmiaplikáciami a pod. Poskytuje tak mnoho príležitostí, ako našu prácu zjednodušiťa urýchliť. Jeho základné možnosti využitia vo vyučovaní matematiky sú:

– riešenie výpočtových úloh,

– grafická interpretácia údajov,

– matematické modelovanie.

Algebra na základnej škole

Vzdelávací obsah predmetu matematika je podľa ISCED 2 na slovenských základ-ných školách rozdelený do piatich tematických okruhov. Algebra sa týka predovšet-kým prvých dvoch tematických okruhov, a to: Čísla, premenná a počtové výkonys číslami a Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy. Súčasťou toho prvého je dlhodobápropedeutika premennej, rovníc a nerovníc. A v tom druhom žiaci objavujú kvan-titatívne a priestorové vzťahy, zoznámia sa s pojmom premennej veličiny a jej pr-votnou reprezentáciou vo forme, tabuliek, grafov a diagramov. Skúmanie týchtosúvislostí smeruje k zavedeniu pojmu funkcie.

V súvislosti s využívaním digitálnych technológií vo vyučovaní algebry sa ho-vorí predovšetkým o programoch počítačovej algebry. V poslednej dobe sa však

1Ústav matematických vied, PF UPJŠ v Košiciach, noemi.szekelyova@student.upjs.sk

131

aktuálnou stáva aj problematika tvorby interaktívnych pracovných zošitov v rámciriešenia matematických úloh s reálnym kontextom. Našou snahou bolo vytvoriť ta-kýto zošit pre žiakov nižších ročníkov základnej školy, ktorý bol v súlade s horeuvedenými požiadavkami na danú oblasť školskej matematiky. Testovania PISApoukazujú, že veľké nedostatky majú naši žiaci v oblasti analýzy údajov a inter-pretácie vzťahov medzi nimi. Aj z tohto dôvodu sme venovali zvýšenú pozornosťvyužívaniu rôznych spôsobov reprezentácie matematického obsahu. Okrem tohosme pre tvorbu stimulujúceho vzdelávacieho prostredia využili možnosť implemen-tovať kontrolu a spätnú väzbu s použitím logickej funkcie IF, či aktívnych tlačidiela tiež materiál (obrázky), ktorý slúži na upútanie pozornosti žiakov.

Úlohy o sporení v prostredí MS Excel

Úlohy sme riešili so žiakmi siedmeho ročníka, ktorí sa ešte neučili o výrazoch s pre-mennými, ani o rovniciach a ktorí pracovali v Exceli prvýkrát. Žiaci na dvochvyučovacích hodinách riešili úlohy o nižšie uvedenom sporení štyroch kamarátov.V prvých úlohách sme sa zamerali na to, aby žiaci pochopili jednotlivé modely, kto-rými sú sporenia vyjadrené. Ich odpovede boli automaticky vyhodnocované. Pritomsme ich postupne oboznámili s niektorými funkciami programu MS Excel – tvorbatabuľky, vyplnenie vybranej oblasti ťahaním pomocou úchytu, vloženie grafu a nie-ktoré možnosti formátovania. Potom riešili úlohy, kde mali určiť nasporenú sumuv konkrétnom týždni. Pri nich si mohli vybrať, či ich budú riešiť na papieri, alebov excelovskom zošite, kde im boli zadané. Niekoľko žiakov, ktorí rýchlo pocho-pili Dášinu reprezentáciu plánu, stále pracovali na papieri s využitím kalkulačky.Ostatní si vytvárali tabuľky a nasporenú sumu hľadali s využitím úchytu, pričomsi do buniek zapísali nasporenú sumu v niekoľkých týždňoch, a potom automatickyvyplnili ďalšie bunky. Potom riešili nasledujúcu úlohu.

Kamaráti Adam, Beáta, Cyril a Dáša sa začiatkom roka 2013 rozhodli celý roksporiť. Deti svoj plán sporenia vyjadrili takto:

Adam: „V tabuľke 1 je vyjadrené, koľko eur som mal nasporených na konci kaž-dého z prvých šiestich týždňov sporenia. Tabuľka pokračuje ďalej rovnakým spôso-bom.ÿ

Týždeň 0 1 2 3 4 5 6 . . .

Nasporená suma 11 e 13 e 15 e 17 e 19 e 21 e 23 e . . .

Tab. 1

Beáta: „Ja som si na začiatku roka odložila 22 e a potom som si každý týždeňodložila ďalších 1,5 eur (1 euro a 50 centov).ÿ

132

Cyril: „Moje sporenie je vyjadrené nasledujúcim grafom, kde som vyznačil, koľkopeňazí som mal nasporených na konci každého z prvých 13 týždňov sporenia. Grafpokračuje ďalej rovnakým spôsobom.ÿ

Graf 1

Dáša: „Moje sporenie možno vyjadriť vzťahom 2 + 3 t, kde t je písmenko, ktoréoznačuje počet týždňov sporenia.ÿ

Úloha: Ktorá dvojica detí Adam a Dáša alebo Beáta a Cyril skôr nasporilaspoločne sumu 100 eur?

Možnosť využiť funkcie programu MS pri riešení úloh ponúkla niektorým žia-kom novú stratégiu riešenia problému. Pri riešení úlohy postupom bez počítačovéhomodelovania sa žiaci nezaobídu bez zručnosti v tvorbe a riešení rovníc, čoho zatiaľneboli schopní. Navyše táto rovnica nemala v prirodzených číslach riešenie. Taktoby úlohu mohli riešiť až v 8. alebo 9. ročníku. Žiaci, ktorí situáciu modelovali pomo-cou tabuľky, nemali s touto úlohou problém. Žiaci, ktorí zo začiatku s konceptuál-nym modelom – algebricko-numerickou reprezentáciou však boli najprv neúspešní.Po zmene stratégie a práci s tabuľkou potom objavili vzťah pre spoločné sporeniedvoch detí a tým aj algoritmus sčítavania lineárnych algebrických výrazov. V nasle-dujúcej tabuľke 2 a obrázku 1 sú ukážky z pracovného listu žiaka, ktorý postupovalopísaným spôsobom, pričom v tabuľke je skrytých niekoľko stĺpcov.

133

Počet týždňov 0 1 2 3 15 16 17 18

A + D 13 e 18 e 23 e 28 e 88 e 93 e 98 e 103 e

C + B 57 e 59,50 e 62 e 64,50 e 94,50 e 97 e 99,50 e 102 e

Tab. 2: Numerické riešenie pomocou tabuľky

Obr. 1: Algebrické riešenie pomocou tabuľky

Záver

V prostredí tabuľkového kalkulátora má riešenie úloh dynamický charakter. Žiacimohli paralelne pracovať s viacerými reprezentáciami a v závislosti od toho riešiťjednu úlohu aj viacerými spôsobmi. Riešenie úloh v tomto prostredí hodnotíme po-zitívne aj na základe spätnej väzby od žiakov, ktorým sa páčilo ako ľahko (a rýchlo)vedeli s pomocou MS Excelu riešiť aj úlohy, ktoré sa im na prvé prečítanie zdalibyť ťažšie. Konštrukcia zahrnutých poznatkov matematiky z algoritmického po-hľadu rozvíja nielen algoritmické myslenie žiakov, ale aj zručnosti modelovanialineárnych javov.

Poďakovanie

Tento článok vznikol podporou grantu VVGS-PF-2013-118.

134

Literatura

[1] http://web.archive.org/web/20100522224337/http://kekule.science.upjs.sk/matematika/uc matiky/index.html

[2] ŠTÁTNY PEDAGOGICKY ÚSTAV. (2009). Štátny vzdelávací program, Ma-tematika. Príloha ISCED 2. [online]. Bratislava: ŠPU. Dostupné z:http://www.statpedu.sk/files/documents/svp/2stzs/isced2/vzdelavacieoblasti/matematika isced2.pdf

[3] TABACH, M., FRIEDLANDER, A. (2009). The money context. MathematicsTeaching in the Middle School 14 (474–479).

[4] TABACH, M., HERSHKOWITZ, R. & ARCAVI, A. (2008). Learning begin-ning algebra with spreadsheets in a computer intensive environment. The Jour-nal of Mathematical Behavior 27 (48–63).

Koncepce kombinatoriky s důrazemna problem-solving

Pavel Šalom1

Příspěvek se zabývá koncepcí kombinatoriky pro střední školy, jejíž snahou je vy-hnout se formálním přístupům k řešení úloh. Inspirovali jsme se koncepcí učebnicHejného z 1. stupně ZŠ. Navrhli jsme čtyři prostředí, v rámci nichž chceme kom-binatoriku budovat. Jde o tato prostředí: Dopravní linky, Turnaje, Překlady, Hry.Součástí příspěvku jsou ukázky úloh z jednotlivých prostředí.

Kombinatorika je v několika ohledech odlišná od ostatních témat, kterým se středo-školská matematika věnuje. Oproti ostatním tematickým celkům je méně závislána předchozích matematických zkušenostech a znalostech. Zároveň se v ní snadnonajde mnoho myšlenek, které vyžadují důkladné rozmyšlení. Shledali jsme protokombinatoriku jako ideální tematický celek pro rozvinutí naší koncepce zaměřenéna problem-solving.

1Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova v Praze,pavel.salom@mff.cuni.cz

135

Východiskem koncepce se staly konstruktivistické principy. Inspirovali jsme sepracemi a učebnicemi Hejného a jeho kolektivu. Podobně jako on věříme, že sku-tečné matematické poznání je nepřenosné. Setrvání učitele v roli nositele moudravnímáme jako jednu z příčin neúspěšných pokusů o předání matematického po-znání. Dále se domníváme, že při tradičním způsobu vyučování dochází poměrněčasto k formálnímu poznání. Za formální poznání považujeme v podstatě jakékolivpoznání, se kterým nejsou spjaty odpovědi na otázky proč, nebo takové poznání,které způsobuje potíže při aplikaci na jiné než standardní problémy.

Zmíněné formální poznání se nebudeme snažit vymezit přesněji, ale ilustrujemejej na dvou příkladech. Častým projevem je znalost vzorce bez hlubšího porozumění.Tím může být například: (

n

k

)=

n!

k!(n− k)!Pokud se znalostí takového vzorce není spjato porozumění, jak tento vzorec

vznikl, považujeme ji za formální.Jiným příkladem formální znalosti může být velmi běžné tvrzení: Pro přirozená

čísla a, b platí a · b = b · a. Domluvme se nejdříve, že zápisem a · b myslíme součetb + b + . . . + b, v němž je přesně a sčítanců. Jde tedy o to nalézt důvod, pročb + b + . . . + b = a + a + . . . + a (na levé straně je a sčítanců, na pravé straněje b sčítanců). Může být překvapivé, že mnoho lidí není schopno na tuto otázkuodpovědět. Správná odpověď se většinou opírá o počítání dvěma způsoby. Napříkladlze dvěma způsoby spočítat počet čtverečků čokolády – jednou po řádcích a jednoupo sloupcích.

Z výše zmíněných důvodů jsme se rozhodli vybrat si kombinatoriku a rozpra-covat koncepci zaměřenou na problem-solving. Podobně jako profesor Hejný jsmenavrhli čtyři didaktická prostředí, která postupně představíme.

Turnaje

Prvním prostředím jsou Turnaje. Toto prostředí má silný edukativní charakter. Jsouv něm budovány pojmy jako variace, permutace a kombinace. Úlohy navrhujemetak, aby žáci mohli velkou část kombinatoriky objevit sami. Například následujícíúloha je jednou z prvních úloh, ve kterých se počítají uspořádané dvojice, tedyvariace.

Úloha Turnaje se účastní Brazílie, Česko, Čína, Německo a Švédsko,hraje se systémem každý s každým. Na závěr první dva týmy sehrajífinálový zápas.

Kolik je možných finálových dvojic (vítěz, poražený finalista), ve kte-rých je

136

a) vítězem Česko?

b) vítězem Německo?

c) vítězem libovolný tým a poraženým finalistou libovolný jiný tým?

d) Čína poraženým finalistou?

Naší snahou je úlohy formulovat tak, aby jejich řešení mohlo být pro žáky vý-zvou. Chceme, aby nebyl předem určen prostředek, kterým se má úloha řešit. Žácitedy neví, zda se mají použít variace nebo kombinace podle toho, v jaké kapitoleje úloha zařazena. Příkladem takové úlohy je následující:

Úloha Na obrázku je rozehraný pavouk tenisového turnaje.

Kolik různých dvojic mohlo hrát ve finále?

Prostředí Turnajů navíc nabízí možnost věnovat se orientovaným grafům, pří-padně částečně uspořádaným množinám.

Dopravní linky

Druhým prostředím jsou Dopravní linky, které bezprostředně útočí na nejzáklad-nější principy kombinatoriky, za které považujeme pravidlo součinu a součtu. Ná-sledující úloha je toho ilustrací:

Úloha

a) V obou plánech určete počet různých cest ze západního městado východního.

b) Zrušte v pravém plánu jednu linku tak, aby počty cest ze západuna východ byly stejné.

c) Přidejte do levého plánu jednu linku tak, aby počty cest ze západuna východ byly stejné. Kolika způsoby to lze udělat?

137

Kromě nejzákladnějších principů je prostředí vhodné například k představeníPascalova trojúhelníku a objevení vztahů mezi kombinačními čísly.

Úloha

a) Pro každé město určete, kolika způsoby se do něj lze dopravitze severního města.

b) Zformulujte domněnku o tom, jaká čísla vycházejí pro jižní město,a pokuste se ji doložit obecným argumentem.

Co se týče případných rozšíření, prostředí Dopravních linek přirozeně vyúsťujedo teorie grafů. Je možné v něm prezentovat poutavá témata jako například slavnýproblém čtyř barev.

Překlady

Prostředím, které možná nejvíce vybočuje z tradičního přístupu ke kombinatorice,jsou Překlady. Na rozdíl od všech ostatních úloh, v Překladech nejde o to dobrat sekonkrétního výsledku, tj. například spočítat počet způsobů, kterým lze něco udělat.V rámci každé úlohy je zadáno několik podúloh a cílem je říct, které z nich vedouke stejnému výsledku. Cílem tedy je dílčí úlohu přeložit do jiného jazyka. Schopnostpřekládat úlohy považujeme za naprosto klíčovou, a proto jsme toto prostředí vy-mysleli. Pochopitelně nemůžeme zabránit tomu, aby žáci dílčí úlohy spočetli a tak

138

došli ke správnému závěru, ale je to pouze jedna z možných řešitelských strategií(a mnohdy ta méně vhodná).

Úloha

a) Určete počet různých cest ze západního města do východního.

b) Na základní škole je v rámci 1. stupně pět ročníků. V každémz nich jsou čtyři třídy označeny písmeny A,B,C,D. Kolik tříd jena 1. stupni?

c) Na večírku se sešlo 5 lidí. Každý z nich si celkem čtyřikrát s někýmpřiťukl. Kolik ťuknutí proběhlo?

d) Kolika způsoby lze ze 4 děvčat a 5 chlapců vybrat taneční pár?

e) Ve skupině florbalového turnaje se potkalo 5 týmů. Každý sehráls každým jedno utkání. Kolik zápasů se celkově hrálo?

Překlady se tedy soustřeďují na bijekce, pomocí kterých ukážeme napříkladkombinatorický důkaz binomické věty nebo další propojení na matematický jazyk.Je možné implementovat i náročnější bijekce, které povedou například k objevenívztahu:

12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = 2

(n+ 1

3

)+

(n+ 1

2

)

Hry

Posledním prostředím jsou Hry. Jejich účel je především motivační. Výhodu Her vi-díme v tom, že žáci je nepovažují za součást klasické matematiky a jsou tak schopnipřemýšlet, aniž by byli zatíženi formálními znalostmi. Na závěr si představme něko-lik her, které je možno v hodinách použít.

Úloha Hraje se na plánu uvedeném na obrázku. Hráči střídavě vy-barvují po jednom políčku. V prvním tahu se vybarví jedno z nejvícevnějších políček. V každém dalším tahu se musí vybarvit políčko, kterésousedí s posledně vybarveným a není dále od středu. Každé políčkolze vybarvit pouze jednou. Kdo nemůže táhnout, prohrál.

139

Úloha Na stole je hromádka deseti sirek. Hráč, který je na řadě,musí odebrat jednu nebo dvě sirky. Kdo nemůže táhnout (na stole užnení žádná sirka), prohrál.

Úloha V pravém horním rohu šachovnice 8× 8 stojí věž, která se vkaždém tahu může pohybovat jen dolů nebo doleva (o libovolný početpolí). Hráč, který nemůže táhnout, prohrál.

Poděkování

Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projektč. 1250213).

140

K jednomu způsobu řešení slovních úloho společné práci

František Šíma1

Slovní úlohy je možné řešit mnoha způsoby. Nejčastěji jsou k řešení používányrovnice nebo jejich soustavy. Často je také používán aritmetický postup, který sepodobá předchozímu postupu pomocí rovnic. Zajímavým způsobem řešení slovníchúloh je úsudek. Jen výjimečně se při řešení slovních úloh objevuje grafické řešení.Všechny uvedené postupy jsou v různém množství používány žáky a studenty našichškol (Šíma, 2013: s. 173). Chtěl bych připomenout postup, který byl používán jižve starověkých kulturách v Číně a v Egyptě, postup, který jak se zdá již z našichučebnic vymizel. Jedná se o obecné řešení, které vyústí v obecný vztah nebolivzorec. Ukažme si užití těchto vztahů při řešení slovních úloh o společné práci.Odvození vztahů pro nedostatek místa neuvedu. Lze je nalézt ve (Šíma, 2013).

Úlohy o společné práci jsou takové, ve kterých se řeší, za jakou dobu provedeurčitý úkol nebo jeho část některý ze subjektů či subjekty všechny. Úlohy členímev první řadě podle toho, kolik subjektů se zapojí do společné práce. Subjekty mohoupracovat po celou dobu práce nebo jen během určité části. Je také možné, že některýze subjektů se společné práci brání (pracuje proti). Může se také stát, že docházíke specifickému druhu společné práce. Vzhledem k uvedené charakteristice jsouúlohy rozčleněny do sedmi skupin.

Nejdříve budu jednotlivé skupiny charakterizovat. Potom vyberu nejčastěji uvá-děné příklady, uvedu jejich modelová řešení a z nich plynoucí vztahy, které budouvzorci pro řešení dané úlohy.

Skupina 1: Plná práce dvou subjektů

Jedná se o slovní úlohy o společné práci dvou subjektů, které pracují po celou dobuspolečné práce. Hledáme dobu společné práce nebo dobu, po kterou pracují jednotlivésubjekty.

Příklad 1.1:

První pracovník by sám vykonal určitou práci za 3 dny, druhý sám za 6 dní. Za jakdlouho by uvedenou práci vykonali oba společně?

1VŠTE v Českých Budějovicích, simafr2@seznam.cz

141

Řešení:

Je-li: a . . . doba práce, za kterou udělá celou práci první pracovník,

b . . . doba práce, za kterou udělá celou práci druhý pracovník,

s . . . doba práce, za kterou udělají celou práci oba pracovníci,

potom dostáváme modelový vztah

as+ bs = ab , (1)

ze kterého odvodíme vztah pro s (eventuálně pro a, b):

s =ab

a+ b, (1a)

(a =

bs

b− s; b =

as

a− s

). (1b, c)

V našem případě konkrétně platí: a = 3, b = 6, potom

s =ab

a+ b=

3 · 63 + 6

= 2 [dny].

Oba dělníci by vykonali uvedenou práci společně za 2 dny.

Příklad 1.2:

První závod splní dodávku o 7 dní dříve než druhý. Při společné práci by oba závodysplnily dodávku za 12 dní. Za jakou dobu by splnil dodávku každý závod sám?

Řešení:

Je-li: a . . . doba práce, za kterou udělá celou práci první závod,

b . . . doba práce, za kterou udělá celou práci druhý závod,

r . . . doba práce, o kterou splní dodávku dříve první závod,

s . . . doba práce, za kterou udělají celou práci oba závody,

potom dostáváme modelový vztah

a2 + ar = 2as+ rs , (2)

ze kterého odvodíme vztah pro a:

a1,2 =2s− r ±

√r2 + 4s2

2. (2a)

142

V našem případě konkrétně platí: r = 7, s = 12:

a1,2 =2s− r ±

√r2 + 4s2

2=

2 · 12− 7±√72 + 4 · 122

2=

17± 25

2=

{a1 = 21

a2 = −4.

První závod splní dodávku sám za 21 dní, druhý sám za 28 dní.

Skupina 2: Neúplná práce dvou subjektů

Jedná se o slovní úlohy o společné práci dvou subjektů, kdy alespoň jeden ze subjektůnepracuje po celou dobu společné práce. Hledáme dobu společné práce nebo dobu,po kterou pracují jednotlivé subjekty. Můžeme též hledat dobu, za kterou by společnoupráci dokončil jeden ze subjektů.

Příklad 2.1:

První dělník by sám vykonal určitou práci za 32 dní, druhý dělník by tutéž prácivykonal sám za 24 dní. Nejprve pracuje první dělník sám 4 dny. Aby dokončil prácidříve, je mu na pomoc přidán druhý dělník. Společně pracují 4 dny, potom prvnídělník onemocní. Za kolik dní dokončí práci druhý dělník?

Řešení:

Je-li: a . . . doba práce, za kterou udělá celou práci první dělník,

b . . . doba práce, za kterou udělá celou práci druhý dělník,

s . . . doba práce, po kterou pracují oba dělníci společně,

p . . . doba práce, po kterou pracuje první dělník sám,

q . . . doba práce, po kterou pracuje druhý dělník sám,

t . . . celková doba práce,

potom dostáváme modelový vztah

as+ bs = ab− bp− aq , (3)

ze kterého odvodíme vztah pro q (eventuálně pro ostatní):

q = b− s− b · (p+ s)

a, (3a)

(s =

ab− bp− aqa+ b

, . . . , t =ab+ ap+ bq

a+ b

). (3b) . . . (3f)

143

V našem případě konkrétně platí: a = 32, b = 24, p = 4, s = 4, potom

q = b− s− b · (p+ s)

a= 24− 4− 24 · (4 + 4)

32= 14 [dní].

Druhý dělník ukončí práci za 14 dní.

Příklad 2.2:

Na montáži pracují dvě skupiny dělníků. Obě skupiny pracovaly společně 6 dní.Kdyby první skupina po šesti dnech odešla, dokončila by druhá skupina práci za dal-ší 3 dny. Kdyby druhá skupina po šesti dnech odešla, dokončila by první skupinapráci za další 2 dny. Určete, za jakou dobu by provedla montáž každá skupinadělníků zvlášť?

Řešení:

Je-li: a . . . doba práce, za kterou udělá celou práci první skupina dělníků,

b . . . doba práce, za kterou udělá celou práci druhá skupina dělníků,

s . . . doba práce, po kterou pracují obě skupiny dělníků společně,

p . . . doba práce, za kterou by zbytek práce dokončila první skupina dělníků,

q . . . doba práce, za kterou by zbytek práce dokončila druhá skupina dělníků,

potom dostáváme modelový vztah

(a+ b) · s+ bp = ab ,

(a+ b) · s+ aq = ab , (4)

ze kterého odvodíme vztah pro a, b:

a =pq + ps+ qs

q, b =

pq + ps+ qs

p. (4a, b)

V našem případě konkrétně platí: s = 6, p = 2, q = 3, potom

a =pq + ps+ qs

q=

2 · 3 + 2 · 6 + 3 · 63

= 12 [dní],

b =pq + ps+ qs

p=

2 · 3 + 2 · 6 + 3 · 62

= 18 [dní].

První skupina by sama provedla montáž za 12 dní, druhá sama za 18 dní.

144

Skupina 3: Plná práce tří subjektů

Jedná se o slovní úlohy o společné práci tří subjektů, které pracují po celou dobuspolečné práce. Hledáme dobu společné práce nebo dobu, po kterou pracují jednotlivésubjekty.

Příklad 3.1:

První dělník by sám vykonal určitou práci za 4 hodiny, druhý sám za 6 hodin, třetísám za 12 hodin. Za jak dlouho by uvedenou práci vykonali všichni tři společně?

Řešení:

Je-li: a . . . doba práce, za kterou udělá celou práci první dělník,

b . . . doba práce, za kterou udělá celou práci druhý dělník,

c . . . doba práce, za kterou udělá celou práci třetí dělník,

s . . . doba práce, za kterou udělají celou práci všichni tři dělníci,

potom dostáváme modelový vztah

abs+ acs+ bcs = abc , (5)

ze kterého odvodíme vztah pro s (eventuálně pro a, b, c):

s =abc

ab+ ac+ bc, (5a)

(a =

bcs

bc− bs− cs; b =

acs

ac− as− cs; c =

abs

ab− as− bs

). (5b–d)

V našem případě konkrétně platí: a = 4, b = 6, c = 12, potom

s =abc

ab+ ac+ bc=

4 · 6 · 124 · 6 + 4 · 12 + 6 · 12

= 2 [hodiny].

Všichni tři by společně vykonali práci za 2 hodiny.

Příklad 3.2:

Tři dělníci mají vykonat určitou práci. Pracuje-li A s B, vykonají práci za 24 dní,B s C za 30 dní, C s A za 40 dní. Kolik času potřebuje každý sám k vykonánípráce a za jak dlouho by ji vykonali všichni tři společně?

145

Řešení:

Je-li: a . . . doba práce, za kterou udělá celou práci dělník A,

b . . . doba práce, za kterou udělá celou práci dělník B,

c . . . doba práce, za kterou udělá celou práci dělník C,

u . . . doba práce, za kterou udělají celou práci dělníci A, B,

v . . . doba práce, za kterou udělají celou práci dělníci A, C,

w . . . doba práce, za kterou udělají celou práci dělníci B, C,

s . . . doba práce, za kterou udělají celou práci všichni tři dělníci,

potom dostáváme modelový vztah

1

u+

1

v+

1

w= 2 ·

(1

a+

1

b+

1

c

)=

2

s, (6)

ze kterého odvodíme vztahy pro s, a, b, c:

s =2uvw

uv + uw + vw, a =

2uvw

uw + vw − uv, (6a, b)

b =2uvw

uv + vw − uw, c =

2uvw

uv + uw − vw. (6c, d)

V našem případě konkrétně platí: u = 24, v = 40, w = 30, potom

s =2uvw

uv + uw + vw=

2 · 24 · 40 · 3024 · 40 + 24 · 30 + 40 · 30

= 20 [dní],

a =2uvw

uw + vw − uv=

2 · 24 · 40 · 3024 · 30 + 40 · 30− 24 · 40

= 60 [dní],

b =2uvw

uv + vw − uw=

2 · 24 · 40 · 3024 · 40 + 40 · 30− 24 · 30

= 40 [dní],

c =2uvw

uv + uw − vw=

2 · 24 · 40 · 3024 · 40 + 24 · 30− 40 · 30

= 120 [dní].

Dělník A by sám vykonal práci za 60 dní, dělník B sám za 40 dní, dělník C sámza 120 dní, všichni tři by práci vykonali společně za 20 dní.

146

Příklad 3.3:

Nádržku lze naplnit třemi kohoutky. Druhým kohoutkem by se naplnila za dobuo polovici delší než prvním, třetím za dobu o čtyři pětiny delší než prvním. Všemisoučasně se nádržka naplní za 9 hodin. Za jakou dobu by se nádržka naplnilakaždým kohoutkem zvlášť?

Řešení:

Je-li: a = x . . . doba, za kterou se naplní nádržka prvním kohoutkem,

b = kx . . . doba, za kterou se naplní nádržka druhým kohoutkem,

c = rx . . . doba, za kterou se naplní nádržka třetím kohoutkem,

s . . . doba, za kterou se naplní nádržka všemi třemi kohoutky současně,

potom dostáváme modelový vztah

x =kr + k + r

kr· s , (7)

ze kterého postupně vyjádříme a, b, c:

a =kr + k + r

kr· s , b = kr + k + r

r· s , c = kr + k + r

k· s . (7a–c)

V našem případě konkrétně platí: s = 9, k = 1,5, r = 1,8, potom

a =kr + k + r

kr· s = 1,5 · 1,8 + 1,5 + 1,8

1,5 · 1,8· 9 = 20 [hodin],

b =kr + k + r

r· s = 1,5 · 1,8 + 1,5 + 1,8

1,8· 9 = 30 [hodin],

c =kr + k + r

k· s = 1,5 · 1,8 + 1,5 + 1,8

1,5· 9 = 36 [hodin].

Samozřejmě, že b, c můžeme vypočítat pomocí a:

b = 20 · 1,5 = 30 , c = 20 · 1,8 = 36 .

Nádržka by se naplnila jen prvním kohoutkem za 20 hodin, jen druhým za 30 hodin,jen třetím za 36 hodin.

147

Poznámka:

Pokud by doba, po kterou je otevřen třetí kohoutek, byla určena pomocí rozdílu(c = x+ r), potom bychom x počítali z kvadratické rovnice a dostáváme

x1,2 =2ks+ s− kr ±

√(2ks+ s)2 + k2r2 + 2krs

2k.

Pokud by i doba, po kterou je otevřen druhý kohoutek, byla určena pomocí rozdílu(b = x+ k), potom se x počítá pomocí kubické rovnice.

Skupina 4: Neúplná práce tří subjektů

Jedná se o slovní úlohy o společné práci tří subjektů, kdy alespoň jeden ze subjektůnepracuje po celou dobu společné práce. Hledáme dobu společné práce nebo dobu,po kterou pracují jednotlivé subjekty. Můžeme též hledat dobu, za kterou by společnoupráci dokončil jeden ze subjektů.

Příklad 4.1:

Dělník A by sám vykonal určitou práci za 15 hodin, dělník B sám za 20 hodina dělník C sám za 12 hodin. Nejprve pracují všichni tři společně 4 hodiny, potomjsou dělníci B a C odvoláni na jinou práci. Za jak dlouho dokončí dělník A zbyloupráci?

Řešení:

Je-li: a . . . doba, za kterou udělá celou práci sám první dělník,

b . . . doba, za kterou udělá celou práci sám druhý dělník,

c . . . doba, za kterou udělá celou práci sám třetí dělník,

p . . . doba, kdy část práce udělá jen první dělník,

q . . . doba, kdy část práce udělá jen druhý dělník,

r . . . doba, kdy část práce udělá jen třetí dělník,

u . . . doba, kdy budou společně pracovat jen první a druhý dělník,

v . . . doba, kdy budou společně pracovat jen první a třetí dělník,

w . . . doba, kdy budou společně pracovat jen druhý a třetí dělník,

s . . . doba, kdy pracují všichni tři dělníci současně,

t . . . celková doba, za kterou je celá práce hotova,

148

potom dostáváme modelový vztah

(ab+ ac+ bc)·s+(ac+ bc)·u+(ab+ bc)·v+(ab+ ac)·w+bcp+acq+abr = abc, (8)

ze kterého můžeme vyjádřit jednotlivé veličiny, např.:

s =abc− bcp− acq − abr − (ac+ bc) · u− (ab+ bc) · v − (ab+ ac) · w

ab+ ac+ bc; (8a)

d =abc+ (ab+ ac) · p+ (ab+ bc) · q + (ac+ bc) · r + abu+ acv + bcw

ab+ ac+ bc; (8b)

p = a− s− u− v − a

c· (s+ r + v + w)− a

b· (s+ q + u+ w) ; atd. (8c)

A) Protože q = r = u = v = w = 0, a = 15, b = 20, c = 12, s = 4 dostávámeze vztahu (8c)

p = a− s−(ac+a

b

)· s = 15− 4−

(15

12+

15

20

)· 4 = 3 [hodiny].

B) Protože q = r = u = v = w = 0, dostáváme ze vztahu (8a)

s =abc− bcpab+ ac+ bc

.

Protože a = 15, b = 20, c = 12, s = 4 dostáváme

4 =15 · 20 · 12− 20 · 12 · p15 · 20 + 15 · 12 + 20 · 12

→ 4 =45− 3p

9→ p = 3 [hodiny].

Dělník A dokončí práci za 3 hodiny.

Příklad 4.2:

V tepelné elektrárně je vytvořena určitá zásoba uhlí. Bude-li v činnosti pouze1. elektrárenský blok, vystačí zásoba uhlí na 10 dní. Bude-li v činnosti jen 2. blok,vystačí zásoba na 16 dní, bude-li v činnosti jen 3. blok, vystačí zásoba na 262

3 dne.Určete, na kolik dní vystačí zásoba uhlí, budou-li v činnosti současně všechny třielektrárenské bloky, víme-li, že 1. blok je v činnosti pouze polovinu dne, 2. blokpouze pětinu dne a 3. blok celý den.

149

Řešení:

Vyjdeme ze vztahu (5a):

s =abc

ab+ ac+ bc,

kde a je doba práce jen 1. bloku, b je doba práce jen 2. bloku a c doba prácejen 3. bloku. Protože 1. blok nepracuje celý den, ale jen poměrnou část dne, ozna-číme si tento poměr j, poměrnou denní část práce 2. bloku označíme k a poměrnoučást práce 3. bloku označíme l. Celkovou dobu práce označíme místo s písmenem t(všechny tři bloky nebudou pracovat po celou dobu společně) a dostáváme mode-lovou situaci

t =

a

j· bk· cl

a

j· bk+a

j· cl+b

k· cl

. (9)

Upravíme-li zlomek, dostáváme pro celkovou dobu práce t vztah

t =abc

abl + ack + bcj. (9a)

Je-li a = 10, b = 16, c = 2623 =

803 , j =

12 , k = 1

5 , l = 1, potom

t =abc

abl + ack + bcj=

10 · 16 · 80310 · 16 · 1 + 10 · 803 ·

15 + 16 · 803 ·

12

= 10 dní.

Za předpokládaného chodu elektrárenských bloků vystačí zásoba uhlí na 10 dní.

Skupina 5: Práce čtyř a více subjektů

Jedná se o slovní úlohy o společné práci čtyř a více subjektů, které pracují po celoudobu společné práce nebo mohou pracovat jen část doby společné práce. Hledámedobu společné práce nebo dobu, po kterou pracují jednotlivé subjekty nebo část tétodoby.

Vzhledem k tomu, že úlohy, které je možné zařadit do skupiny 5, se vyskytují velmimálo, budu se zabývat pouze případem, kdy všechny čtyři subjekty budou pracovatpo celou dobu společné práce.

150

Příklad 5.1:

Do nádržky přitéká voda čtyřmi trubkami. Jen první trubkou se nádržka naplníza 2 hodiny, jen druhou za 4 hodiny, jen třetí za 6 hodin a jen čtvrtou za 8 hodin.Za jak dlouho se naplní nádržka, budou-li otevřeny všechny roury současně?{obdobnou úlohu uměl řešit již řecký měřič Heron v II. stol. př. n. l.}

Řešení:

Je-li: a . . . doba, za kterou se naplní nádržka jen první rourou,

b . . . doba, za kterou se naplní nádržka jen druhou rourou,

c . . . doba, za kterou se naplní nádržka jen třetí rourou,

d . . . doba, za kterou se naplní nádržka jen čtvrtou rourou,

s . . . doba, za kterou se naplní nádržka všemi čtyřmi rourami současně,

potom dostáváme modelový vztah

1

a+

1

b+

1

c+

1

d=

1

s, (10)

ze kterého vyjádříme hledané s :

s =abcd

abc+ abd+ acd+ bcd. (10a)

V našem případě konkrétně platí: a = 2, b = 4, c = 6, d = 8, potom

s =abcd

abc+ abd+ acd+ bcd=

2 · 4 · 6 · 82 · 4 · 6 + 2 · 4 · 8 + 2 · 6 · 8 + 4 · 6 · 8

= 0,96 [hodiny].

Nádržka se naplní všemi čtyřmi přítoky za 0,96 hodiny, tj. za 57 minut 36 sekund.

Skupina 6: Různé druhy práce

Jedná se opět o úlohy se zadáním o společné práci subjektů. Tentokrát alespoňjeden ze subjektů „pracuje opačněÿ, tj. pracuje tak, že společné práce nepřibývá,ale ubývá. Hledáme dobu společné práce nebo dobu práce některého ze subjektů.Do této skupiny patří také Newtonova úloha.

Příklad 6.1:

Do vodojemu vedou tři roury A,B,C. Rourami A,B voda přitéká, rourou C vodavytéká. Jen rourou A by se vodojem naplnil za 10 hodin, jen rourou B by se naplnil

151

za 15 hodin. Bude-li otevřena roura C, vodojem se vyprázdní za 18 hodin. Za kolikhodin se vodojem naplní, budou-li otevřeny všechny tři roury současně?

Řešení:

Je-li: a . . . doba, za kterou se naplní vodojem jen první rourou,

b . . . doba, za kterou se naplní vodojem jen druhou rourou,

c . . . doba, za kterou se vyprázdní vodojem třetí rourou,

s . . . doba, za kterou se naplní vodojem, budou-li otevřeny všechny tři roury

současně,potom dostáváme modelový vztah

1

a+

1

b− 1

c=

1

s, (11)

ze kterého vyjádříme hledané s :

s =abc

ac+ bc− ab. (11a)

V našem případě konkrétně platí: a = 10, b = 15, c = 18, potom

s =abc

ac+ bc− ab=

10 · 15 · 1810 · 18 + 15 · 18− 10 · 15

= 9 [hodin].

Budou-li otevřeny všechny tři roury současně, naplní se vodojem za 9 hodin.

Poznámka:

Pro výpočet s můžeme použít též vztah (5a), hodnotu c musíme dosadit jakozápornou:

s =abc

ab+ ac+ bc=

10 · 15 · (−18)10 · 15 + 10 · (−18) + 15 · (−18)

=−2700−300

= 9 [hodin].

Příklad 6.2:

Do vodojemu vedou tři roury A,B,C. Rourami A,B voda přitéká, rourou C vodavytéká. Jsou-li otevřeny roury A a B naplní se vodojem za 12 hodin, jsou-li otevřenyroury A a C, naplní se vodojem za 15 hodin. Budou-li otevřeny roury B a C,naplní se vodojem za 20 hodin. Za kolik hodin se vodojem naplní, budou-li otevřenyvšechny tři roury současně?

152

Řešení:

Je-li: a . . . doba, za kterou se naplní vodojem jen rourou A,

b . . . doba, za kterou se naplní vodojem jen rourou B,

c . . . doba, za kterou se vyprázdní vodojem rourou C,

u . . . doba, za kterou se naplní vodojem, jsou-li otevřeny roury A,B,

v . . . doba, za kterou se naplní vodojem, jsou-li otevřeny roury A,C,

w . . . doba, za kterou se naplní vodojem, jsou-li otevřeny roury B,C,

s . . . doba, za kterou se naplní vodojem, jsou-li otevřeny současně všechny

tři roury,

potom dostáváme modelové vztahy

1

a+

1

b=

1

u

1

a− 1

c=

1

v,

1

u+

1

v+

1

w=

2

s(12)

1

b− 1

c=

1

w

ze kterého odvodíme vztahy pro s, a, b, c:

s =2uvw

uv + uw + vw, a =

2uvw

uw + vw − uv, (12a, b)

b =2uvw

uv + vw − uw, c =

2uvw

vw − uv − uw. (12c, d)

V našem případě pro (12a) konkrétně u = 12, v = 15, w = 20, potom

s =2uvw

uv + uw + vw=

2 · 12 · 15 · 2012 · 15 + 12 · 20 + 15 · 20

= 10 [hodin].

Budou-li otevřeny všechny tři roury současně, naplní se vodojem za 10 hodin.

Příklad 6.3: Newtonova úloha

Tři krávy spasou za 4 dny trávu na louce mající 150 m2, a to nejen trávu, kterátam již je, ale i tu, která za tyto 4 dny nově vyrostla; podobně spase 5 krav za 6 dní300 m2 louky. Za kolik dní spase 7 krav trávu na stejné louce výměry 500 m2?

153

Řešení:

Vyjdeme ze vztahu:

mi · (1 + ti · y)ti · xi

=mk · (1 + tk · y)

tk · xk, kde (13)

mi,mk je spásaná plocha v jednotlivých případech,

ti, tk je doba spásání v jednotlivých případech,

xi, xk je počet krav v jednotlivých případech,

y je množství trávy, která naroste za jednotku času na jednotce plochy.

Z obecného vzorce (13) nejdříve vytvoříme vzorec:

m1 (1 + t1 · y)t1 · x1

=m2 (1 + t2 · y)

t2 · x2,

do kterého dosadíme m1 = 150,m2 = 300, t1 = 4, t2 = 6, x1 = 3, x2 = 5 a dostáváme

150 · (1 + 4y)

4 · 3=

300 · (1 + 6y)

6 · 5, odkud y =

1

4.

Znovu použijeme obecný vzorec (13) a vytvoříme vzorec:

m3 (1 + t3 · y)t3 · x3

=m2 (1 + t2 · y)

t2 · x2,

do kterého dosadíme m2 = 300,m3 = 500, t2 = 6, x2 = 5, x3 = 7, y = 14 a dostáváme

500 ·(1 + x · 14

)t3 · 7

=300 ·

(1 + 6 · 14

)6 · 5

, odkud t3 = 10 [dní].

Třetí louku o ploše 500 m2 spase 7 krav za 10 dní.

Skupina 7: Specifické druhy práce

Jedná se opět o úlohy se zadáním o společné práci subjektů. V úlohách se mo-hou vyskytovat větší skupiny subjektů. Většinou se jedná o specifické druhy práce,které nelze zařadit do předchozích skupin. Nejčastěji hledáme počet subjektů, kterémusíme přidat, či ubrat a vliv této úpravy na celkovou dobu společné práce.

154

Příklad 7.1:

Nechť 21 robotů udělá předepsanou práci za 37 hodin. Za 15 hodin však bylo přidánoněkolik dalších robotů, takže práce byla udělána o 8 hodin dříve. Kolik robotů bylopřidáno?

Řešení:

Je-li: a . . . počet robotů na počátku práce,

r . . . počet robotů, které jsou v průběhu práce přidány,

t . . . celková doba, za kterou je celá práce hotova,

t0 . . . doba práce původního počtu robotů,

t1 . . . doba, o kterou se zkrátí celková práce přidáním r robotů,

potom dostáváme modelový vztah

a · t = (a+ r) · (t− t0 − t1) + a · t0 , (15)

ze kterého vyjádříme hledanou veličinu r :

r =at1

t− t0 − t1. (15a)

V našem případě konkrétně a = 21, t = 37, t0 = 15, t1 = 8, potom

r =at1

t− t0 − t1=

21 · 837− 15− 8

= 12 [robotů].

Bylo přidáno 12 robotů.

Příklad 7.2:

Podnikatel je vázán smlouvou dokončit práci do 60 dnů; vypočítá si, že k tomupotřebuje 48 dělníků. Po 32 pracovních dnech vypukne stávka, jež trvá 20 dní. Kolikdělníků přibral podnikatel po stávce, jestliže práci dokončil do smluvené lhůty?

Řešení:

Použijeme opět vzorec (15a), kde a = 48, t = 60, t0 = 32, t1 = 20. Potom

r =at1

t− t0 − t1=

48 · 2060− 32− 20

= 120 [dělníků].

Aby podnikatel dokončil práci ve stanovené lhůtě, musí přibrat 120 dělníků.

155

Závěr

Postup řešení slovních úloh pomocí odvozených vztahů (tj. vzorců) je jeden z mož-ných postupů, které je možné aplikovat na základních či středních školách. Je možnése na tento postup dívat jako na základní či jako doplňující při řešení slovních úloho společné práci. Může také sloužit vyučujícím k tvorbě dalších variant těchto úloh.Řešíme-li slovní úlohy více způsoby, může další způsob sloužit jako zkouška.

Literatura

[1] CZUDEK, P., et al. (1998). Slovní úlohy řešené rovnicemi pro žáky a učiteleZŠ, studenty a profesory SŠ. Praha: Sdružení podnikatelů HAV.

[2] KRAEMER, E., HRADECKÝ, F. & JOZÍFEK, V. (1956). Sbírka řešenýchslovních úloh z matematiky (6. až 8. postupový ročník). Vyd. 1. Praha: SPN.

[3] ŠÍMA, F. (2013). Matematizace reálných situací a slovní úlohy. Disertačnípráce. UP Olomouc.

Sebehodnocení žáků (nejen) v hodináchmatematiky

Vladimír Škuta1

Příspěvek je věnován praktické aplikaci sebehodnocení žáků ve vyučovacích hodi-nách matematiky i jiných předmětů na druhém stupni základní školy. Autor prezen-tuje systémový nástroj, který byl vytvořen a následně se osvědčil na Základní školeJ. Matiegky v Mělníku. Zde jej už pátým rokem využívá nejen autor, ale i většina vy-učujících teoretických předmětů druhého stupně a někteří vyučující vyšších ročníkůprvního stupně.

Proč sebehodnocení žáků? (legislativa)

• Školský zákon §30:. . . školní řád obsahuje také pravidla pro hodnocení výsledků vzdělávání žáků. . .

1Základní škola Jindřicha Matiegky Mělník, p. o., skuta@zsjm-me.cz

156

• Vyhláška o ZŠ §14:. . . pravidla pro hodnocení žáků jsou součástí školního řádu a obsahují zej-ména: . . . zásady a způsob hodnocení a sebehodnocení výsledků vzdělávánížáků. . .

• RVP ZŠ, klíčové kompetence, kompetence k učení:. . . kriticky zhodnotí výsledky svého učení. . .

• RVP ZŠ: požadavek na sebehodnocení se objevuje jako cíl i v některých kon-krétních vzdělávacích oblastech (např. Člověk a společnost)

Proč sebehodnocení žáků? (zkvalitňování výuky)

• Poskytuje zpětnou vazbu žákovi i rodičům, čímž posiluje formativnost sys-tému hodnocení ve škole (vede žáka k zlepšování)

• Posiluje zájem žáka o výuku

• Rozvíjí sebeúctu žáka

• Posiluje zdravý partnerský vztah mezi žákem a učitelem

• Vede ke sjednocení optiky hodnocení učitelem, žákem, rodiči (předcházímepřekvapení žáků a rodičů)

Cíl výcviku žáků v sebehodnocení

Naučit žáky samostatně vyhodnocovat svou práci a vyvozovat ze zpětného pohleduzávěry pro budoucnost (Košťálová, 2008).

Jak dělat sebehodnocení?

• Jednorázově při výuce, na konci hodiny, když zbude čas. . .

• Systémově (má to nějaká pravidla)

Pravidla systémového sebehodnocení žáků:

. pravidelnost

. žák si předem nastaví sám „laťkuÿ (plánuje svůj výkon)

. vychází se z kritérií (viz ŠŘ)

. pozitivní motivace k předmětu

. je to subsystém systému hodnocení

157

Jak to děláme u nás

Obr. 1

Zásady využívání „našehoÿ systému

• Vyhodnocujeme pravidelně 1x za měsíc (na konci či začátkem nového měsíce),výjimečně lze dva měsíce spojit

• V předmětech s nižší hodinovou dotací lze vyplňovat čtvrtletně

• Každý žák vyplňuje dva shodné archy:

– jeden nalepený na zadních deskách sešitu

– druhý má učitel u sebe (poskytne žákovi, když svůj ztratí)

Proč?√

Žák musí mít stále list u sebe (při výuce je občas vybízím, aby se podí-vali na svůj plán, info pro rodiče)

√Já, učitel, musím mít možnost kdykoli žákovi poskytnou jeho záznamya hlavně do nich kdykoli nahlížet a přemýšlet o žácích

158

Obr. 2

Obr. 3

159

Obr. 4

Obr. 5

160

Závěr

Vhodným systémem sebehodnocení žáky učíme, že není třeba skrývat, co jim nešlo.Stejně tak je však učme, ocenit a posilovat na vlastní práci vše, co za to stojí!

Literatura

[1] KOŠŤÁLOVÁ, H., MIKOVÁ Š. & STANG J. (2008). Školní hodnocení žákůa studentů: se zaměřením na slovní hodnocení. Vyd. 1. Praha: Portál, 151 s.ISBN 978-807-3673-147.

[2] www.zsjm-me.cz

Studentské reflexe výuky elementárnímatematiky metodou budování schémat

Renáta Zemanová1

Prezentujeme analýzu studentských reflexí průběžné profesní praxe v matematice1. st. ZŠ vyučované metodou budování schémat. Reflexe vyhodnocujeme v parame-trech: klima hodiny, komunikace v hodině, architektura hodiny a důležité epizody.Porovnáváme praxi náslechovou, kdy studenti sledovali zkušeného učitele, a výstupo-vou, kdy studenti sledovali své spolužáky. Odpovědi studentů zaznamenáváme kva-litativně i kvantitativně.

Formulace problému

Od roku 2012 se rozvíjí spolupráce Katedry matematiky s didaktikou Pedagogickéfakulty Ostravské univerzity s Katedrou matematiky a didaktiky matematiky Pe-dagogické fakulty Univerzity Karlovy. V roce 2012/13 jsme připravili významnéobsahové změny předmětů didaktiky matematiky oboru Učitelství pro 1. st. ZŠ,která tak namísto dosavadního tradičního vyučování matematice rozvíjí konstruk-tivistickou metodu budování schémat. K zásadní změně došlo i v koncepci průběžnéprofesní praxe. Studenti tuto praxi nově realizují výhradně v hodinách matematikyvyučovaných výše uvedenou metodou, tedy podle učebnic matematiky Hejného.Detailní analýzu změn matematických disciplín v přípravě budoucích učitelů – ele-mentaristů na PdF OU prezentoval R. Krpec (Krpec, 2013).

1Katedra matematiky s didaktikou, Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita, renata.zemanova@osu.cz

161

Teoretická východiska

Problematikou reflexí výukové hodiny se zabývá řada autorů. Vycházíme z prin-cipů účinného vyučování v matematice formulovaných Naďou Stehlíkovou v publi-kaci Cesty ke zdokonalování kultury vyučování matematice (Hošpesová, Stehlíková& Tichá, 2007). Ze stejné publikace využíváme pojednání o kvalifikované peda-gogické reflexi autorek Aleny Hošpesové a Marie Tiché, přičemž studenty vedemei k reflexi předem zadaných aspektů hodiny.

Zařazení studentské praxe v oboru Učitelství pro 1. st. ZŠna PdF OU

Studenti oboru Učitelství pro 1. st. ZŠ absolvují v průběhu studia několik profesníchpraxí v matematice 1. st. ZŠ, a to praxi hospitační (sledování výuky, seznámenís provozem školy, její dokumentací, práci třídního učitele, výchovnou prací školya práci s rodiči), praxi průběžnou (sledování, příprava, realizace a reflexe výuky),praxi souvislou (komplexní).

Reflexe výuky matematiky na 1. st. ZŠ

Zpracovali jsme studentské reflexe průběžné praxe v zimním semestru akademic-kého roku 2013/14, tedy z období září – prosinec 2013. Náslechy absolvovali studenti3. ročníku u Pavlíny Placzkové na ZŠ Kontešinec v Českém Těšíně (2. ročník ZŠ),výstupy absolvovali studenti 4. ročníku u Zemanové a Krpce na ZŠ Matiční v Os-travě (3. ročník ZŠ). Náslechové praxe se zúčastnilo celkem 35 studentů, výstupovépraxe celkem 22 studentů.

Studenti byli předem vyzváni, aby sledovali a vyjádřili se i těmto aspektům:1) klima hodiny, 2) komunikace v hodině, 3) architektura hodiny a 4) důležitéepizody. Studenti psali text volně, tedy neměli předepsanou strukturu jevů, kteréaspektu náleží.

V tabulkách 1–8 u každého studenty pojmenovaného jevu uvádíme četnost od-povědí.

162

Tab. 1:Sledované jevy třídního klimatu

Tab. 2:Sledované jevy třídního klimatu

Tab. 3:Sledované jevy komunikace

Tab. 4:Sledované jevy komunikace

163

Tab. 5:Sledované jevy architektury hodiny

Tab. 6:Sledované jevy architektury hodiny

Tab. 7:Sledované důležité epizody

Tab. 8:Sledované důležité epizody

164

Literatura

[1] HEJNÝ, M., et al. (2007–2011). Matematika pro 1.–5. ročník ZŠ, učebnice,pracovní sešity a příručky učitele, Plzeň: Fraus.

[2] HEJNÝ, M. (2007). Budování matematických schémat. In A. Hošpesová,N. Stehlíková, M. Tichá (Eds.), Cesty zdokonalování kultury vyučování mate-matice (81–122). České Budějovice: JU.

[3] JIROTKOVÁ, D. & KRPEC, R. (2013). Vyučování orientované na budováníschémat v přípravě učitelů. In: Matematika v primárnej škole (101–106). Pre-šov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta.

[4] STEHLÍKOVÁ, N. (2007). Charakteristika kultury vyučování matematice. InA. Hošpesová, N. Stehlíková, M. Tichá (Eds.), Cesty zdokonalování kulturyvyučování matematice (16–47). České Budějovice: JU.

165

Časopis Učitel matematiky, vydávaný Jednotou českých matematiků a fyziků, vkro-čil již do 23. ročníku. Snahou redakce je přiblížit náplň časopisu skutečným po-třebám učitelů matematiky všech typů a stupňů škol. Nechceme vydávat „akade-mickéÿ periodikum o teoretických otázkách vyučování, ale živý časopis, reagujícína problémy učitelů matematiky.

Časopis uveřejňuje nejen „matematickéÿ články, ale rovněž články o vztahu ma-tematiky a umění, o historii matematiky, o alternativním školství, staré i novéúlohy a zajímavé příklady, aktuální informace o dění ve školství, o matematickéolympiádě, o seminářích, letních školách a dalších akcích pro učitele, informaceo nových učebnicích, recenze atd.

Časopis vychází čtyřikrát ročně v rozsahu 64 stran. Podrobnější informace o časo-pisu jsou dostupné na wwww.suma.jcmf.cz/ucitel.

Administrace časopisu:Miluše HrubáGymnázium, A. K. Vítáka 452, 569 43 Jevíčkoe-mail: hruba@gymjev.cz

Vedoucí redaktor: Dag Hrubý Výkonný redaktor: Eduard Fuchs

Dva dny s didaktikou matematiky 2014. Sborník příspěvků.

Editor: Naďa VondrováSazba: Zuzana Kocourková a Jan Kozubek, systémem LATEXPočet stran: 169Vydala: Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, v roce 2014Místo vydání: Praha

Příspěvky nebyly recenzovány. Za obsah příspěvků odpovídají autoři.Text sborníku neprošel jazykovou úpravou.

ISBN 978-80-7290-801-1