développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de...
TRANSCRIPT
![Page 1: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/1.jpg)
Développements méthodologiques et logicielspour l’analyse de données neurophysiologiques
(bonus)
Christophe Pouzat
Mathématiques Appliquées à Paris 5 (MAP5)
Université Paris-Descartes et CNRS UMR 8145
Vendredi 14 mars 2014
![Page 2: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/2.jpg)
Où en est-on ?
Tri des potentiels d’action dans les cas compliqués
![Page 3: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/3.jpg)
Contexte
Ce travail a été effectué avec :
Ï Matthieu Delescluse, étudiant en thèse au laboratoire dephysiologie cérébrale ;
Ï Jean Diebolt, DR CNRS, laboratoire d’analyse et demathématiques appliquées, Université de Marne La Vallée ;
Ï Pascal Viot, DR CNRS (à présent Professeur), laboratoire dephysique théorique de la matière condensée, Université Pierreet Marie Curie.
![Page 4: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/4.jpg)
L’amplitude des PAs émis par un neurone varie
Un exemple d’enregistrement dans le cortex cérébelleux du rat. Àgauche une cellule de Purkinje remplie avec de la biocytin (rat de 38jours). Au milieu une sonde neuronexus linéaire. À droite lesenregistrements sur les différents sites (Matthieu Delescluse). Lestrois PAs marqués par les « * * * » viennent du même neurone.
![Page 5: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/5.jpg)
Une description de la dynamique de forme par unerelaxation exponentielle
L’événement, a, d’un neurone donné, faisant suite au PA précédentdu même neurone avec un intervalle, isi, devrait être décrit, enl’absence de bruit, par :
a (isi) = p · (1−δ ·exp(−λ · isi))
,
où λ est l’inverse d’un temps de relaxation, p est l’événementobservé si isi À λ−1 et p · (1−δ) est l’événement observé si isi ¿ λ−1.
![Page 6: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/6.jpg)
Empiriquement on voit :
En noir, les données ; en rouge, le modèle de relaxationexponentielle ajusté. Figure 3 de Delescluse et Pouzat (2006).
![Page 7: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/7.jpg)
La statistique de décharge n’est pas Poisson
Enregistrement d’une seule cellule de Purkinje en configuration« cellule attachée » — du DHPG (40 µM) a été rajouté à la solutionpour accentuer le comportement « en bouffées » des décharges —(Delescluse et Pouzat, 2006). Nous allons modéliser la statistique dedécharge par une chaîne de Markov à trois états, chaque état génèredes intervalles de loi log-normale.
![Page 8: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/8.jpg)
Modèle de génération de données
Ï la statistique de décharge de chaque neurone est décrite parun processus (ponctuel) de renouvellement de loi log-normale— afin d’alléger les notations, nous exposons ici le cassimplifié à « un état » — ;
Ï l’amplitude des PAs générés par chaque neurone dépend del’intervalle de temps écoulé depuis le dernier PA du neurone.Cette dépendance est décrite par une relaxation exponentielle ;
Ï le bruit d’enregistrement est gaussien IID et eststatistiquement indépendant des PAs.
![Page 9: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/9.jpg)
Calcul de la vraisemblance pour des données d’un seulneurone (1)
Nous avons :
L(D | p,δ,λ,s, f
)= N∏j=1
πisi(ij | s, f
) ·πamp(aj | ij,p,δ,λ
),
avec :
πamp(aj | ij,p,δ,λ
)= 1
(2π)ns2
·e−12‖aj−p·(1−δ·exp(−λ·ij))‖2
.
![Page 10: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/10.jpg)
Calcul de la vraisemblance pour des données d’un seulneurone (2)
La log-vraisemblance peut alors être écrite comme la somme dedeux termes :
L(D | p,δ,λ,s, f
)=Lisi(D | s, f
)+Lamp(D | p,δ,λ
),
où :
Lisi(D | s, f
)=−N · ln f −N∑
j=1
ln ij + 1
2
ln(
ij
s
)f
2+Cste
et :
Lamp(D | p,δ,λ
)=−1
2
N∑j=1
∥∥aj −p · (1−δ ·exp(−λ · ij
))∥∥2 +Cste.
![Page 11: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/11.jpg)
Problèmes avec des données générées par plusieursneurones (1)
Nous allons désigner par Θ l’ensemble de paramètres de notremodèle. C’est-à-dire pour un modèle à K neurones :
Θ= (P1,∆1,Λ1,S1,F1, . . . ,PK ,∆K ,ΛK ,SK ,FK ) .
Nous allons formaliser notre ignorance a priori de l’origine dechacun des PAs enregistré en « attachant » à chaque PA, j, un label,Lj, à valeurs dans : {1, . . . ,K }. Si lj = 3, cela veut dire que l’événementj est attribué au neurone 3.Nous allons désigner par C la configuration des donnéesc’est-à-dire la variable aléatoire suivante :
C = (L1, . . . ,LN )T .
Avec ce formalisme, le tri des PAs consiste à trouver la distributionde C.
![Page 12: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/12.jpg)
Problèmes avec des données générées par plusieursneurones (2)
Une fois la configuration introduite, le calcul de la vraisemblancede données générées par plusieurs neurones devient faisable :
L (D,c | θ) =K∏
q=1Llj=q (D,c | θ) .
![Page 13: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/13.jpg)
Densité a posteriori
Suivant le formalisme bayesien, nous allons estimer :
πposterior (θ,c |D) = L (D,c | θ) ·πprior (θ)
Z,
où la constante de normalisation, Z, est donnée par :
Z = ∑c∈C
∫θ
dθL (D,c | θ) ·πprior (θ) .
Ici C désigne l’ensemble des configurations et c’est là qu’est leproblème puisqu’il y en a K N et qu’en pratique, K ∼ O (10) etN ∼ O (1000).
![Page 14: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/14.jpg)
Analogie avec la Physique Statistique
On commence par poser :
E (θ,c |D) =− log[L (D,c | θ) ·πprior (θ)
].
On a alors :
πposterior (θ,c |D) = exp[−βE (θ,c |D)
]Z
,
avec β= 1. Si E est considérée comme une énergie, β comme« l’inverse d’une température », Z comme une fonction de partition,alors πposterior devient une distribution canonique. Une chaîne deMarkov évoluant dans l’espace Θ×C suivant une règle de typeMetropolis-Hastings peut ainsi être utilisée pour générer des états :(θ,c) distribués selon πposterior .
![Page 15: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/15.jpg)
Présentation sommaire de l’algorithme
On construit notre matrice de transition :
T(θ′,c′ | θ,c
),
comme une séquence de transitions spécifiques à chaque label et àchaque paramètre du modèle :
T = Tl1 × . . .×TlN ×TP1,1 × . . .×Tf1 × . . .×TPK ,1 × . . .×TfK .
Ï les Tlj sont des « heat-bath » (Gibbs) ;
Ï les Tsq sont des Gaussiennes tronquées ;
Ï les Tfq sont des inverse-Gammas tronquées ;
Ï pour les paramètres d’amplitude : P,Λ,∆ on a recourt à un« Metropolis-Hastings ».
![Page 16: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemple de données simulées
Données simulées avec 3 neurones et 2 sites d’enregistrements.
![Page 17: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/17.jpg)
Évolution de l’énergie : relaxation lente et étatsméta-stables
Évolution de l’énergie (opposée de la log-vraisemblance) pendant300000 pas MC.
![Page 18: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/18.jpg)
Distribution a posteriori et autocorrélations desparamètres du neurone « rouge »
![Page 19: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/19.jpg)
Évolution de l’énergie avec REM
Évolution de l’énergie pendant 32000 pas MC. Le REM est mise enœuvre après le 10000e pas.
![Page 20: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/20.jpg)
Conditions requises pour un bon fonctionnement du REM
Évolution et distributions de l’énergie pendant 32000 pas MC. LeREM est mise en œuvre après le 10000e pas.
![Page 21: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/21.jpg)
Distribution a posteriori et autocorrélations desparamètres du neurone « rouge » avec REM
![Page 22: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/22.jpg)
Détails de la dynamique du REM
![Page 23: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/23.jpg)
La classification
![Page 24: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/24.jpg)
Retour aux données réelles (1)
![Page 25: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/25.jpg)
Retour aux données réelles (2)
Figure 2 de Delescluse et Pouzat (2006).
![Page 26: Développements méthodologiques et logiciels pour l'analyse de …xtof.perso.math.cnrs.fr/pdf/HDR_Pouzat_20140314-extra.pdf · 2019. 1. 13. · Modèle de génération de données](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022070114/60895283ad9b7e24d408b62b/html5/thumbnails/26.jpg)
Performances avec référence indépendante
Figure 4 de Delescluse et Pouzat (2006).