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Aplicação de Wavelets em Problemas de Otimização Dinâmica com Adaptação de
Malhas
Dyego dos Santos Silva(EQ/UFRJ)
Orientadores: Prof. Evaristo C. Biscaia Jr. - PEQ/COPPE/UFRJ
Prof. Argimiro R. Secchi - PEQ/COPPE/UFRJ Eng. Lizandro de Sousa Santos - PEQ/COPPE/UFRJ
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Introdução
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A otimização dinâmica (também conhecido como problema de controle ótimo), segundo FEEHERY (1998), requer a determinação do perfil temporal de um conjunto de variáveis de controle de um sistema dinâmico e que maximize (ou minimize) uma dada medida de performance (função objetivo):Exemplo Ilustrativo: Controle Ótimo Singular -Chachuat, B., Optimal Control, Class Notes, 2006.
0
2
1
1 2
2
1 2
1( ) :
2
( )
( )
( ) ( ) 0
10 ( ) 10
ft
t
f f
J u x t dt
x x u t
x u t
x t x t
u t
Função Objetivo
Modelo
Restrições
Variável de Controle
O que é Otimização Dinâmica
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Otimização Dinâmica
Métodos Indiretos: baseados no Princípio de Máximo de PONTRYAGIN (PMP), 1963.
Métodos Diretos
Princípio numérico de resolução
Programação dinâmica Iterativa
Sequencial
Simultâneo
(SHLEGEL, 2004, SOUZA, 2007)
Métodos de Resolução
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SOUZA (2007): Apenas a variável de controle é discretizada (Reduzida necessidade de manipulação no sistema de equações),
Abordagem Direta Sequencial
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Abordagem Direta Sequencial
Exemplos de parametrização:
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Características:
Reduzida necessidade de manipulação do sistema de equações;
Parâmetros da expressão funcional estimados a cada iteração.
Estudos Relevantes:
POLLARD e SARGENT (1970), HICKS e RAN (1971): Influência da parametrização da variável de controle;
BINDER e SHLEGEL (2004): Utilização de malhas adaptativas para parametrização da variável de controle.
Abordagem Direta Sequencial
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Proposta de Estudo
I) Aplicação de wavelets utilizando a abordagem direta sequencial de resolução;
II) Comparação entre as técnicas utilizadas com a abordagem sequencial com discretização uniforme da malha.
Estudo de Caso:
Reator Isotérmico Operando em Batelada Alimentada (Sirinavasan et al., 2003).
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Wavelets
Ferramenta matemática para decompor funções hierarquicamente (MALLAT, 1986). A análise wavelet permite transformar a informação de um sinal em coeficientes que podem ser manipulados ou usados para reconstruir o sinal.
Características:Ortogonalidade;As wavelets têm suporte compacto, ou seja, são localizadas espacialmente, tendo valores diferentes de zero em um intervalo finito.
BINDER et al., (2000) foram os primeiros a utilizarem wavelets para avaliação dos pontos em potencial da malha.SHLEGEL (2004) tese de doutorado centrada no uso de wavelets.
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Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
1) Obtenção do sinal de dados:
0t 1t 2t Nt
0u 1u 2u nu
2) Decomposição da malha pela transformada wavelets:
, ,J K J Kd f t dt /2, 0,02 2j jJ K t k
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Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
3) Filtragem de dados (Threshold):
Limiarização Universal (Donoho e Johnstone,1994):
)ln(2
,,2,1
,,2,1,
,,2,1,
nw
Tiwd
TiWtWfWy
Titfy
iii
iii
iii
Variante Heurística
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Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
4) Reconstrução do sinal
ttftuJ K
KJKJ
,,)(
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Wavelets
Etapas da adaptação da malha:
0t 1t 2t Nt
0u 1u 2u nu
Descarta pontos que nãocontribuem para a solução
Inclui pontos prospectivos
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Estudo de Caso: Reator Isotérmico Operando em Batelada Alimentada (Sirinavasan et al. , 2003)
abaa c
V
Fcck
dt
dc 1
binbbbab cc
V
Fckcck
dt
dc ,
221 2
Fdt
dV
aac c
VV
cc 00,
00,,0,,21
VcccVcccV
c binbabinbad
inbC ,
F
d
c
b
a
C
C
C
C
2A B C B D
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Objetivo: maximizar a função:
ffcf tVtct
Manipulando )(tF (variável de controle: u(t)),
( )
max
tal que
fF t
t
maxmin FtFF
max,
max,
dffd
bffb
ctc
ctc
Número de mols do produto C no tempo final
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Resultados
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Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo
Ω DU WAV DU WAV DU WAV
Parcial Total Parcial Total
1 8 8 20,070 88,769 0,4302418 0,4311922
2 16 12 37,774 57,844 182,737 271,506 0,4305041 0,4316734
3 32 14 159,014 216,858 213,333 484,839 0,4312256 0,4317125
4 64 18 566,139 782,997 526,978 1011,817 0,4310295 0,4317169
5 128 22 1831,340 2614,337 626,362 1638,179 0,4315476 0,4317133
6 256 26 10531,05 13145,39 988,297 2626,476 0,4316136 0,4317156
7 30 1409,109 4035,585 0,4317201
8 34 1611,750 5647,335 0,4317187
DU – Discretização Uniforme
WAV – Wavelets (Variante Heurística)
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0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-3
t
u(t
)
ns=34
Discretização Uniforme X WAVELET (Variante Heurística)
0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-3
t
u(t)
ns=256
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Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo
Ω DU WAV DU WAV DU WAV
Parcial Total Parcial Total
1 8 8 20,070 91,202 0,4302418 0,4311922
2 16 12 37,774 57,844 187,810 279,012 0,4305041 0,4316734
3 32 14 159,014 216,858 263,668 542,680 0,4312256 0,4317125
4 64 18 566,139 782,997 516,595 1059,275 0,4310295 0,4317169
5 128 20 1831,340 2614,337 529,493 1588,768 0,4315476 0,4317131
6 256 22 10531,05 13145,39 581,867 2170,635 0,4316136 0,4317132
7 26 1303,350 3473,985 0,4317167
8 30 1506,022 4980,007 0,4317207
DU – Discretização Uniforme
WAV – Wavelets (Limiarização Universal)
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0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-3
t
u(t)
ns=256
0 50 100 150 200 2500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x 10
-3
t
u(t)
ns=30
Discretização Uniforme X WAVELET (Limiarização Universal)
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Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo
Ω VH LU VH LU VH LU
Parcial Total Parcial Total
1 8 8 88,769 91,202 0,4311922 0,4311922
2 12 12 182,737 271,506 187,810 279,012 0,4316734 0,4316734
3 14 14 213,333 484,839 263,668 542,680 0,4317125 0,4317125
4 18 18 526,978 1011,817 516,595 1059,275 0,4317169 0,4317169
5 22 20 626,362 1638,179 529,493 1588,768 0,4317133 0,4317131
6 26 22 988,297 2626,476 581,867 2170,635 0,4317156 0,4317132
7 30 26 1409,109 4035,585 1303,350 3473,985 0,4317201 0,4317167
8 34 30 1611,750 5647,335 1506,022 4980,007 0,4317187 0,4317207
VH – Wavelets (Variante Heurística)LU – Wavelets (Limiarização Universal)
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Conclusão A estratégia Wavelets para ambas as políticas de threshold apresentou melhores resultados do que a estratégia de discretização uniforme
A política de limiarização universal apresentou resultados mais eficientes que a variante heurística.