dynamika proudících plynůhome.zcu.cz/~ratkovsk/dok/termomechanika/cv_tm_08_01.pdf ·...
TRANSCRIPT
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
1
Dynamika proudících plynů
Při výpočtech se budeme zabývat prouděním ideálních plynů. Jejich vlastnosti již byly popsány
na předchozích přednáškách/cvičeních. Při proudění ideálního plynu si zavedeme ještě následující vlastnosti:
Proudění je bez ztrát energie proudu (bez vnitřního tření a turbulencí)
Nedochází k výměně tepla s okolím dq=0
Proudění je ve vodorovné rovině dy=0
Práce ze soustavy není odváděna ani přiváděna dat=0
Nejprve si ale odvoďme, z čeho budeme vycházet:
Klidná vzdušina je nositelem vnitřní tepelné energie, mechanické energie, kinetické a potenciální energie.
Poslední dvě zmíněné jsou ale u klidné vzdušiny zanedbávané, protože mají minimální vliv na
termodynamický výpočet. V technické praxi se vyskytují případy, kdy termodynamické změny stavu není
možno zanedbávat. Z hlediska energií pro element proudu můžeme napsat, že:
𝑑𝑚 = 𝑑(𝑢 +𝑤2
2+ 𝑔. 𝑦 + 𝑝. 𝑣)
Čti: Element proudu (dm) jako uzavřený systém je funkcí součtu elementárních změn vnitřní energie (u),
kinetické energie (𝑤2
2); potenciální energie (g.h) a energie proudu (p.v).
Změna těchto energií proudící látky je dána vlivem vnějších účinků (přívod tepla (dq) a tedy odvod technické
práce (dat)), případně generováním tepla následkem tření (dqtř) a tedy i třecí práce (datř). Dejme tyto vlivy na
levou stranu rovnice a veličiny, na které působí, na pravou stranu a zároveň je převedeme do diferenciálního
tvaru:
𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 + 𝑑𝑞𝑡ř − 𝑑𝑎𝑡ř = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑(𝑝. 𝑣)
𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 + 𝑑𝑞𝑡ř − 𝑑𝑎𝑡ř = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝
𝜌)
V případě tření jde jen o přeměnu jedné formy energie na druhou, tedy když vynecháme tyto členy,
energetická bilance rovnice se nezmění:
𝑑𝑞𝑡ř = 𝑑𝑎𝑡ř
Tedy rovnice nabyde tvaru:
𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝
𝜌)
Tato rovnice reprezentuje 1. zákon termodynamiky, při kterém se zohledňují všechny formy energie
z makroskopického hlediska.
Zopakujme si všechny tvary této rovnice, které máme nyní pro kontrolní objem:
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
2
𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝
𝜌)
(1)
𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑(𝑝. 𝑣)
(2)
Využitím skutečnosti, která plyne z úvah o entalpii (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_03_01.pdf)
můžeme vytvořit ještě jeden tvar první věty termodynamické:
Využitá skutečnost:
𝑑ℎ = 𝑑𝑢 + 𝑑(𝑝. 𝑣)
Poslední tvar první věty termodynamické pro kontrolní objem bude tedy:
𝑑𝑞 − 𝑑𝑎𝑡 = 𝑑ℎ + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦
(3)
Ukažme si tedy, jak by to vypadalo pro kontrolní objem:
Obr. 1 Tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu a za předpokladu všech forem energií
První zákon termodynamiky pro kontrolní objem můžeme napsat tak, aby korespondoval s obrázkem. Pro
demonstraci využijeme rovnici (1) aby bylo vidět, že tam všechny členy doopravdy jsou.
Nejprve převedeme všechny členy na jednu stranu:
0 = 𝑑𝑢 + 𝑤𝑑𝑤 + 𝑔. 𝑑𝑦 + 𝑑 (𝑝
𝜌) − 𝑑𝑞 + 𝑑𝑎𝑡
Pro místo, kde se nacházejí veličiny s indexem 1:
0 = 𝑢1 +𝑤1
2
2+ 𝑔. 𝑦1 +
𝑝1
𝜌− 𝑑𝑞 + 𝑑𝑎𝑡
Pro místo, kde se nacházejí veličiny s indexem 2:
0 = 𝑢2 +𝑤2
2
2+ 𝑔. 𝑦2 +
𝑝2
𝜌
Poznámka: Jelikož již došlo k vykonání práce a výměně tepla s okolím, v bodě dva tyto veličiny nefigurují.
Dáme tyto rovnice do rovnosti:
𝑢1 +𝑤1
2
2+ 𝑔. 𝑦1 +
𝑝1
𝜌− 𝑞 + 𝑎𝑡 = 𝑢2 +
𝑤22
2+ 𝑔. 𝑦2 +
𝑝2
𝜌
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
3
Převedeme si teď rovnici do tvaru, jakou má rovnice (3).
Platí tedy:
𝑢1 +𝑝1
𝜌= ℎ1 ; 𝑢2 +
𝑝2
𝜌= ℎ2
A rovnice nabyde následujícího tvaru:
ℎ1 +𝑤1
2
2+ 𝑔. 𝑦1 − 𝑞 + 𝑎𝑡 = ℎ2 +
𝑤22
2+ 𝑔. 𝑦2
Separujme ještě tyto proměnné do tvaru, který je více podobný první větě termodynamické:
𝑞 = 𝑔. (𝑦2 − 𝑦1) +
𝑤22 − 𝑤1
2
2+ (ℎ2 − ℎ1) + 𝑎𝑡
(4)
Na začátku jsme si zavedli tyto předpoklady:
Ideální plyn bez vnitřního tření
dq = 0 – bez přívodu tepla
dy = 0 – proudění je ve vodorovné rovině
dat = 0 – není odváděná/přiváděná práce
Můžeme tedy původní obrázek překreslit do následujícího tvaru:
Obr. 2 Obecný tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu
Po dosazení předpokladů do rovnice (4):
0 = 0 +𝑤2
2 − 𝑤12
2+ (ℎ2 − ℎ1) + 0
A následnou úpravou…
ℎ1 − ℎ2 =
𝑤22 − 𝑤1
2
2
(5)
Poznámka: Z rovnice (5) se často při výpočtech vychází. Je dobré si ji pamatovat.
Jelikož se v této kapitole zabýváme dynamikou plynů, budeme se zaměřovat na všechny veličiny, které
s dynamikou souvisí. Nejprve to bude rychlost. Z předchozí rovnice (5) se dopracujeme k rovnici pro rychlost
na výstupu z kontrolního objemu:
𝑤2 = √2. (ℎ1 − ℎ2) + 𝑤1
2 (6)
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
4
Toto je případ, kdy máme kontrolní objem, do kterého plyn vtéká i z něho vytéká.
Využitím skutečnosti, která plyne z úvah o entalpii (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_03_01.pdf) a
z Mayerovi rovnice (http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_02_01.pdf):
𝑑ℎ = 𝑐𝑝. 𝑑𝑇; Δℎ = 𝑐𝑝(𝑇1 − 𝑇2) =𝜅.𝑟
𝜅−1. (𝑇1 − 𝑇2)
Bude rychlost na výstupu z kontrolního objemu rovna:
𝑤2 = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. (𝑇1 − 𝑇2) + 𝑤1
2
(7)
Vytknutím T1 před závorku dostáváme rovnici ve tvaru:
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −
𝑇2
𝑇1) + 𝑤1
2
(8)
Z předpokladů, které jsme zavedli na začátku (dq=0) se tedy jedná o adiabatický děj. Z úvah o adiabatickém
ději platí (viz: http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_04_01.pdf):
𝑇2
𝑇1= (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
= (𝑣1
𝑣2)
𝜅−1
Můžeme rovnici napsat ve tvarech:
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) + 𝑤12
(9)
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (
𝑣1
𝑣2)
𝜅−1
) + 𝑤12
(10)
Úvaha: Všimněme si zásadní skutečnosti, která plyne z rovnic (8) a (9). K tomu aby byla rychlost na výstupu
(veličiny s indexem 2) různá od rychlosti na vstupu (veličiny s indexem 1) je nutné, aby se teploty a tlaky na
vstupu a výstupu lišily, jinak rychlost na výstupu z kontrolního objemu bude stejná jako na vstupu, tedy
proudění je ustálené!!!!
Když je teplota na vstupu stejná jako výstupu:
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −
𝑇2
𝑇1) + 𝑤1
2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − 1) + 𝑤1
2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (0) + 𝑤1
2 = 𝑤1
Když je tlak na vstupu stejný jako na výstupu:
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
5
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) + 𝑤12 = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) + 𝑤1
2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(0) + 𝑤1
2 = 𝑤1
Z rovnice (10) plyne taky jedna důležitá skutečnost. K tomu, aby byla rychlost na výstupu (veličiny
s indexem 2) různá od rychlosti na vstupu (veličiny s indexem 1), je potřebné, aby se objemy na vstupu a
výstupu lišily, jinak rychlost na výstupu z kontrolního objemu bude stejná jako na vstupu. Objem plynu
taky nesmí být stejný na vstupu a na výstupu.
Když je měrný objem na vstupu stejný jako výstupu:
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (
𝑣1
𝑣2)
𝜅−1
) + 𝑤12 = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − 1 ) + 𝑤1
2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (0) + 𝑤1
2 = 𝑤1
Jelikož předpokládáme, že dq=0 a dat=0, tak je zapotřebí změnit i geometrii kontrolního objemu. Můžeme
například takto:
Obr. 3 Tvar kontrolního objemu s nenulovou rychlostí na vstupu
Druhý případe nastává, když je kontrolní objem z jedné strany uzavřen a plyn jenom vytéká (w1=0) – Výtok
z uzavřené nádoby (viz obr. 4):
Obr. 4 Tvar kontrolního objemu s nulovou rychlostí na vstupu
Rovnice (6) pro uzavřenou nádobu rovnice nabyde tvaru:
𝑤2 = √2. (ℎ1 − ℎ2)
Tedy rovnice (8), (9) a (10) se také změní:
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
6
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −
𝑇2
𝑇1)
(11)
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
)
(12)
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (
𝑣1
𝑣2)
𝜅−1
)
(13)
Úvaha: Všimněme si zásadní skutečnosti, která plyne z rovnic (11) a (12). Když budou hodnoty tlaku a
teploty na vstupu i na výstupu stejné, tak se rovnice bude rovnat nule, tudíž k žádnému proudění na
výstupu z kontrolnímu objemu nedojde:
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 −
𝑇2
𝑇1) = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − 1) = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (0) = 0
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(0) = 0
Stejné to bude i v případě rovnice (13), když se budou měrné objemy na vstupu a výstupu rovnat, tak
k žádnému proudění nedojde.
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (1 − (
𝑣1
𝑣2)
𝜅−1
) = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1.(1 − 1 ) = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1.(0 ) = 0
Z hlediska fyziky, rychlost na výstupu má svoje omezení a není možné ji zvyšovat donekonečna. Je to dána
tvarem dýzy a tlakovým spádem v ní. Důležitým pojmem z hlediska rychlostí je tzv. kritická rychlost.
Kritická rychlost Kritická rychlost wk je taková rychlost w2, která je rovna rychlosti zvuku v daném průřezu.
Rychlost zvuku je dána rovnicí:
𝑎 = √𝜅. 𝑟. 𝑇 (14)
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
7
Kritická rychlost se nejprve odvodí pro výtok z uzavřené nádoby, tedy w1=0.
Pro vyjádření kritické rychlosti na výstupu z kontrolního objemu použijeme rovnici (11) a roznásobíme
závorky.
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇2
Předpokládáme, že v veličiny s indexem 2 reprezentují stav proudícího média v nejužším průřezu dýzy, kde
zároveň rychlost dosahuje i rychlost zvuku. Když využijeme také rovnici (14) můžeme napsat:
𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝑎22
𝜅 − 1
Nebo:
𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝑤𝑘2
𝜅 − 1
Když umocníme celou rovnici…
𝑤𝑘2 = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝑤𝑘2
𝜅 − 1
…a odseparujeme proměnné…
𝑤𝑘2 + 2.
𝑤𝑘2
𝜅 − 1= 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1
… 𝑤𝑘2 vytkneme před závorku…
𝑤𝑘2 (1 +
2
𝜅 − 1) = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1
…vnitřek závorky převedeme na společného jmenovatele…
𝑤𝑘2 (
𝜅 − 1 + 2
𝜅 − 1) = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1
…sečteme zlomek uvnitř závorky…
𝑤𝑘2 (
𝜅 + 1
𝜅 − 1) = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1
…pak upravíme rovnici tak, aby 𝑤𝑘2 zůstalo separované….
𝑤𝑘2 = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (
𝜅 − 1
𝜅 + 1)
… a posledními matematickými úpravami dostaneme tvar rovnice pro kritickou rychlost pro případ proudění
v dýze při nulové počáteční rychlosti w1=0…
𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1 (15)
…pro případ, když je rychlost na vstupu do kontrolního objemu různá od nuly, se rovnice odvodí
následovně…
V tomto případě využijeme rovnici (7) a mírně ji upravíme:
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇2 + 𝑤1
2
Předpokládáme, že veličiny s indexem 2 reprezentují stav proudícího média v nejužším průřezu dýzy, kde
zároveň rychlost dosahuje i rychlost zvuku. Když využijeme také rovnici (14) můžeme napsat:
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
8
𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝑎22
𝜅 − 1+ 𝑤1
2
Nebo:
𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝑤𝑘2
𝜅 − 1+ 𝑤1
2
Když umocníme celou rovnici…
𝑤𝑘2 = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 − 2.
𝑤𝑘2
𝜅 − 1+ 𝑤1
2
…a odseparujeme proměnné…
𝑤𝑘2 + 2.
𝑤𝑘2
𝜅 − 1= 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1
2
… 𝑤𝑘2 vytkneme před závorku…
𝑤𝑘2 (1 +
2
𝜅 − 1) = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1
2
…vnitřek závorky převedeme na společného jmenovatele…
𝑤𝑘2 (
𝜅 − 1 + 2
𝜅 − 1) = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1
2
…sečteme zlomek uvnitř závorky…
𝑤𝑘2 (
𝜅 + 1
𝜅 − 1) = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 + 𝑤1
2
…pak upravíme rovnici tak, aby 𝑤𝑘2 zůstalo separované….
𝑤𝑘2 = 2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1. (
𝜅 − 1
𝜅 + 1) + 𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1)
… a posledními matematickými úpravami dostaneme tvar rovnice pro kritickou rychlost pro případ proudění
v kontrolním objemu při nenulové počáteční rychlosti w1≠0…
𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1) (16)
Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než
v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou 𝑻𝟏. Ve výsledku ale dostáváme
opět kritickou rychlost (rychlost zvuku).
Kritická rychlost je maximální dosažitelná rychlost v zužující se (konvergentním) kontrolním objemu (dýze).
K dosažení vyšších rychlostí je třeba speciálního tvaru dýzy, který má například Lavalova dýza. Jak je vidět
z rovnice, tak hodnota kritické rychlosti závisí na druhu proudícího média a na teplotě, na které je závislá i
rychlost zvuku. Proto jsme pro tento výpočet použili rovnici, která obsahovala hodnoty teplot. Samozřejmě
ke změně rychlosti proudu je potřebné, aby byly teploty na vstupu a výstupu z kontrolního objemu různé. Jak
bylo zmíněno výše, je třeba, aby tlaky i objemy na vstupu a výstupu z kontrolního objemu byly rozdílné.
Jelikož jsme se bavili o kritické rychlosti, kterou dosahujeme při určitém rozdílu teplot, tak určitě bude
existovat i rozdíl nebo poměr tlaků, při kterém se tato kritická rychlost dosáhne. Tomuto rozdílu nebo
poměru tlaků říkáme kritický tlakový spád.
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
9
Kritický tlakový spád Již v předchozím jsme si uvedli, že hodnota kritické rychlosti je rovna rychlosti zvuku na výstupu ze zúženého
kontrolního objemu:
𝑤𝑘 = 𝑤2 = 𝑎2
Jelikož máme vyjádřené rovnice pro wk i w2, můžeme je dát do rovnosti:
𝑤𝑘 = 𝑤2
Pro w2 užijeme tvaru rovnice, kde se objevuje poměr tlaků (12) a pro vyjádření kritické rovnice užijeme tvar
rovnice (15):
√2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1= √
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 − 1(1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
)
Obě strany rovnice umocníme na druhou a obě strany budeme násobit členem 1
2.𝜅.𝑟.𝑇1. Dostaneme pak tvar:
1
𝜅 + 1=
1
𝜅 − 1(1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
)
V dalším kroku pravou i levou stranu budeme násobit členem 𝜅 − 1, tedy dostaneme tvar:
𝜅 − 1
𝜅 + 1= 1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Pak od pravé i levé strany rovnice odečteme číslo 1 a následně obě strany vynásobíme číslem -1.
(𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
= 1 −𝜅 − 1
𝜅 + 1
Pravou stranu dáme na společného jmenovatele…
(𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
=𝜅 + 1 − 𝜅 + 1
𝜅 + 1
…a po sčítání členů v čitateli dostaneme:
(𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
=2
𝜅 + 1
…zbývá jen obě strany umocnit členem 𝜅
𝜅−1 a dostaneme výraz, pro poměř tlaků, při kterém se dosáhne na
výstupu z kontrolního objemu rychlost zvuku:
(
𝑝2
𝑝1)
𝑘
=𝑝𝑘
𝑝1= (
2
𝜅 + 1)
𝜅𝜅−1
= 𝛽∗ = 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑘ý 𝑡𝑙𝑎𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑝á𝑑
(17)
Z této rovnice je možné se dopočítat k tlaku, který je v daném kritickém řezu:
𝑝𝑘 = 𝑝1. 𝛽∗ = 𝑝1. (
2
𝜅 + 1)
𝜅𝜅−1
(18)
Z předchozích rovnic (8), (9), (10), (11), (12), (13) plyne, že když máme v daném průřezu kritickou rychlost a
tedy i kritický tlakový spád, musí ideální plyn dle rovnice adiabaty dosáhnout kritického měrného objemu a
tedy i hustoty. Z rovnice adiabaty si je jednoduše můžeme vyjádřit:
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
10
𝑣𝑘 = 𝑣1. (
𝑝1
𝑝𝑘)
1𝜅
(19)
𝜌𝑘 =1
𝑣𝑘
Odvození těchto veličin si pak ukážeme na konkrétních příkladech nebo viz:
http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_04_01.pdf a http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_01_01.pdf
V případě, že rychlost na vstupu do kontrolního objemu je nenulová, využijeme rovnic (9) a (16):
√2.𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1) = √
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 − 1(1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) + 𝑤12
Obě strany rovnice umocníme na druhou:
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1) =
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 − 1(1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) + 𝑤12
Odseparujeme proměnné a upravíme:
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1) − 𝑤1
2 =2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 − 1(1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
)
Odečteme od obou stran rovnice hodnotu 𝑤12 a následně obě strany rovnice násobíme
𝜅−1
2.𝜅.𝑟.𝑇1 :
[2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1) − 𝑤1
2] .𝜅 − 1
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1= 1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Odečteme od obou stran rovnice 1 a následně obě rovnice násobíme hodnotou (-1):
{1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1) − 𝑤1
2] .𝜅 − 1
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1} = (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Vnitřek hranaté závorky upravíme tak, aby všechny členy měly stejný jmenovatel:
{1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+
𝑤12. (𝜅 − 1)
𝜅 + 1−
𝑤12. (𝜅 + 1)
𝜅 + 1] .
𝜅 − 1
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1} = (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Členy s 𝑤12následně sečteme:
{1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+
𝑤12(𝜅 − 𝜅 − 1 − 1)
𝜅 + 1] .
𝜅 − 1
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1} = (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Po sečtení v závorce zůstane (-2), tedy znaménko před zlomkem se změní:
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
11
1 − [2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1−
2. 𝑤12
𝜅 + 1] .
𝜅 − 1
2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1= (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Hranatou závorku pak nádobíme členem 𝜅−1
2.𝜅.𝑟.𝑇1:
[1 − (𝜅 − 1
𝜅 + 1) −
𝑤12. (𝜅 − 1)
𝜅. 𝑟. 𝑇1(𝜅 + 1)] = (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Druhý a třetí člen závorky upravíme tak, členy měly stejný jmenovatel:
[1 −𝜅. 𝑟. 𝑇1(𝜅 − 1) − 𝑤1
2(𝜅 − 1)
𝜅. 𝑟. 𝑇1(𝜅 + 1)] = (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
Člen (𝜅 − 1) vytkneme před závorku a dostaneme tvar rovnice pro výpočet kritického tlakového spádu
v kontrolním objemu při nenulové počáteční rychlosti w1≠0…:
[1 −𝜅. 𝑟. 𝑇1 − 𝑤1
2
𝜅. 𝑟. 𝑇1.𝜅 − 1
𝜅 + 1]
𝜅𝜅−1
=𝑝2
𝑝1=
𝑝𝑘
𝑝1= 𝛽∗ → 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑘ý 𝑡𝑙𝑎𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑝á𝑑
(20)
Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než
v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou 𝑻𝟏. Ve výsledku dostáváme stejný
kritický tlakový spád jako v případě proudění s nulovou počáteční rychlostí.
Z této rovnice je možné se dopočítat k tlaku, který je v daném kritickém řezu:
𝑝𝑘 = 𝑝1. 𝛽∗ = 𝑝1. [1 −(𝜅 − 1). (𝜅. 𝑟. 𝑇1 − 𝑤1
2)
𝜅. 𝑟. 𝑇1. (𝜅 + 1)]
𝜅𝜅−1
(21)
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
12
Tlakový spád a rychlost
Mezi tlakovým spádem 𝑝2
𝑝1 a rychlostí 𝑤 existuje propojenost a výše zmíněný tlakový spád 𝛽∗a kritická
rychlost 𝑤𝑘 tvoří hraniční stavy. Propojenost tlakového spádu a rychlosti je reprezentován následujícím
grafem:
Obr. 5 Křivka udávající závislost mezi tlakovým spádem a rychlostí mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu
Jak je vidět na grafe (obr. 5) na x-ové ose jsou zobrazeny hodnoty pro tlakový spád 𝑝2
𝑝1 a na y-ové ose jsou
zobrazeny hodnoty pro rychlost 𝑤. Pro body vyznačené na grafe platí následující:
𝒑𝟐 = 𝒑𝟏 ; 𝒘𝟏 = 𝟎
Když je tlak na výstupu z kontrolního objemu stejný tlak jako na vstupu (𝑝2 = 𝑝1), tak je tlakový spád rovný
číslu 1 (𝑝2
𝑝1= 1). Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (12):
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(0) = 0
Tedy rychlost bude nulová (tekutina neproudí).
𝒑𝟐 = 𝒑𝟏 ; 𝒘𝟏 ≠ 𝟎
Pro rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí 𝑤1platí dle rovnice (9):
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) + 𝑤12 = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 1) + 𝑤1
2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(0) + 𝑤1
2 = 𝑤1
Tedy rychlost na výstupu bude stejná jako na vstupu do kontrolního objemu.
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
13
𝒑𝟐 = 𝒑𝒌 ; 𝒘𝟏 = 𝟎
Když se dosáhne kritického tlakového spádu mezi vstupem a výstupem z kontrolního objemu (𝑝2
𝑝1=
𝑝𝑘
𝑝1= 𝛽∗)
dosáhne se i kritické rychlosti 𝑤𝑘. Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (15):
𝑤2 = 𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1
Tedy rychlost na výstupu bude rovna rychlosti zvuku.
𝒑𝟐 = 𝒑𝒌 ; 𝒘𝟏 ≠ 𝟎
Pro kritickou rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí 𝑤1platí dle rovnice
(16):
𝑤2 = 𝑤𝑘 = √2.𝜅. 𝑟. 𝑇1
𝜅 + 1+𝑤1
2. (𝜅 − 1
𝜅 + 1)
Tedy rychlost na výstupu bude rovna rychlosti zvuku.
Tady pozor!!! Jelikož na vstupu máme proudící kapalinu, máme zároveň na vstupu nižší teplotu i tlak než
v případě výtoku z uzavřeného objemu. Násobíme tedy nižší hodnotou 𝑻𝟏. Ve výsledku ale dostáváme
opět kritickou rychlost (rychlost zvuku).
𝒑𝟐 = 𝟎 ; 𝒘𝟏 = 𝟎
Když je tlak na výstupu z kontrolního objemu rovný nule (výtok do vakua; 𝑝2 = 0), tak je tlakový spád rovný
nule (𝑝2
𝑝1= 0). Pro rychlost na výstupu z uzavřeného objemu platí dle rovnice (12):
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 0) = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1) = 𝑤𝑚𝑎𝑥
V tomto případe se dosahuje maximální možné rychlosti (může být vyšší než rychlost zvuku).
𝒑𝟐 = 𝟎 ; 𝒘𝟏 ≠ 𝟎
Pro rychlost na výstupu z objemu, do kterého vstupuje proudící látka rychlostí 𝑤1platí dle rovnice (9):
𝑤2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1 (1 − (
𝑝2
𝑝1)
𝜅−1𝜅
) + 𝑤12 = √2.
𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1 − 0) + 𝑤1
2 = √2.𝜅. 𝑟
𝜅 − 1. 𝑇1(1) + 𝑤1
2 = 𝑤𝑚𝑎𝑥
V tomto případe se dosahuje maximální možné rychlosti (může být vyšší než rychlost zvuku).
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
14
Podkritický a nadkritický tlakový spád Pojmy podkritický a nadkritický tlakový spád se pro potřeby počítání příkladů používají pro vyjádření oblastí,
ve které se má daná úloha řešit. Jak je vidět z grafu výše, když je ze zadání tlakový spád v následující relaci
s kritickým tlakovým spádem…
𝑝2
𝑝1= 𝛽 > 𝛽∗ =
𝑝𝑘
𝑝1= (
2
𝜅 + 1)
𝜅𝜅−1
…tak říkáme, že jde o podkritický tlakový spád (zelená oblast – obr. 5). Rychlost na výstupu z kontrolního
objemu (dýzy) nepřekročí rychlost zvuku (v krajních případech ji dosáhne), tedy dýza pro tuto rychlost může
být konvergentní (zužující se – obr. 6 a 7).
Obr. 6 Konvergentní tvar dýzy s nenulovou rychlostí na vstupu
Obr. 7 Konvergentní tvar dýzy s nulovou rychlostí na vstupu
Jak je vidět, v obou případech se používá indexování jenom s čísly 1 a 2. V krajním případě, když se dosáhne
kritické rychlosti na výstupu, tak se indexy 2 nahrazují indexem k (kritické parametry).
Dále je z grafu (obr. 5) vidět, že když je ze zadání tlakový spád v následující relaci s kritickým tlakovým
spádem…
𝑝2
𝑝1= 𝛽 < 𝛽∗ =
𝑝𝑘
𝑝1= (
2
𝜅 + 1)
𝜅𝜅−1
…tak říkáme, že jde o nadkritický tlakový spád (červená oblast – obr. 5). Rychlost na výstupu z kontrolního
objemu (dýzy) je vyšší než rychlost zvuku, tedy dýza pro tuto rychlost je konvergentně-divergentní (nejprve
se zužuje a pak rozšiřuje – obr. 8 a 9).
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
15
Obr. 8 Konvergentně-divergentní tvar dýzy s nenulovou rychlostí na vstupu
Obr. 9 Konvergentně-divergentní tvar dýzy s nulovou rychlostí na vstupu
Jak je vidět, v obou případech se používá indexování s čísly 1 a 2 a písmenem k, které vyjadřuje kritické
parametry a je vždy v nejužším průřezu dýzy.
Poznámky k cvičení z termomechaniky – Cvičení 8. KKE/TM
16
Rovnice kontinuity – Zákon zachování hmotnosti Při ustáleném průtoku projde za jednotku času průřezy 1 a 2 totéž množství proudícího média �̇� [kg.s-1].
Obr. 10 Kontrolní objem, skrz který proudí konstantní průtokový množství látky
Množství proudícího média může být také vyjádřené rovnicemi:
�̇� = �̇�. 𝜌 =�̇�
𝑣
Jelikož máme dva průřezy, tak můžeme napsat:
�̇� = 𝑉1̇. 𝜌1 = 𝑉2̇. 𝜌2 =𝑉1̇
𝑣1=
𝑉2̇
𝑣2
Objemový průtok [m3s-1] je možné vyjádřit jako součin plochy [m2] a rychlosti [m.s-1].
�̇� = 𝑆. 𝑤
Pro oba průřezy se tedy rovnice jen upraví:
�̇� = 𝑉1̇. 𝜌1 = 𝑉2̇. 𝜌2 =𝑉1̇
𝑣1=
𝑉2̇
𝑣2=
𝑆1. 𝑤1
𝑣1=
𝑆2. 𝑤2
𝑣2
Jelikož se množství látky, která protéká, nemění, tak můžeme napsat: 𝑆1. 𝑤1
𝑣1=
𝑆2. 𝑤2
𝑣2=
𝑆. 𝑤
𝑣= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡
Nebo:
�̇� = 𝜌1. 𝑆1. 𝑤1 = 𝜌2. 𝑆2. 𝑤2 = 𝜌. 𝑆. 𝑤 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡
(22)