dynamiques lentes associées aux bifurcations turbulentes
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Dynamiques lentes associées aux bifurcations turbulentes
Ont contribué à ces travaux:
Sébastien Aumaître,Mathilde Colmet-Daâge,Pierre-Philippe Cortet,Bérengère Dubrulle, Adrien Escoffier,Cécile Gasquet,Louis Marié,
Romain Monchaux,Vincent Padilla,Mattéo Smerlak
et l’équipe VKS
Arnaud Chiffaudel,Florent Ravelet,
& François Daviaud
Groupe Instabilités et TurbulenceService de Physique de l’Etat Condensé
Direction des Sciences de la MatièreCEA Saclay - CNRS URA 2464
« Dynamiques lentes » :un certain point de vue ?
un système complexe,
un ou plusieurs états moyens,
des fluctuations importantes (constituant ou conséquence de la complexité ?),
des transitions/bifurcations vers ou entre des états moyens sur des échelles de temps très supérieures à celles des fluctuations.
- 0 –
Into the wild
Des dynamiques lentes dans les systèmes naturels... aux expériences modèles
« (a) The tornado with a nearlyconical funnel. (b) The tornado a short time later with the bulge on the visible core. The tornado laterreassumed the form shown in (a), followed once more by the appearance of the bulge midway up the core. »
Burggraf & Foster, J. Fluid Mech. 80, 685 (1977).
Modeled by Shtern & Hussain, Phys. Fluids A 5, 2183 (1993).
Tornade :dynamique entre deux états
Circulation atmosphérique
Zonale Bloquée
Weeks et al. Science 278, 1598 (1997)
Etats persistants océaniques : “le Kuroshio”
Persistent states, abrupt transitions. Scales: ~500 km, 2-5 years.
Known since 1960s (Taft 1972). Numerous articles (observations, numerical, theoretical).
M. Kawabe, JPO, 25, 3103 (1995)
(http://www.rs.noda.sut.ac.jp/~kaiyou/eddy.htm)
De la circulation océanique globale au climat planétaire
a -The 800,000-year records of atmospheric carbon dioxide (red; parts per million, p.p.m.) and methane (green; parts per billion, p.p.b.) from the EPICA Dome C ice core, together with a temperature reconstruction (relative to the average of the past millennium) based on the deuterium–hydrogen ratio of the ice, reinforce the tight coupling between greenhouse-gas concentrations and climate observed in previous, shorter records. The 100,000-year 'sawtooth' variability undergoes a change about 450,000 years ago, with the amplitude of variation, especially in the carbon dioxide and temperature records, greater since that point than it was before. Concentrations of greenhouse gases in the modern atmosphere are highly anomalous with respect to natural greenhouse-gas variations (present-day concentrations are around 380 p.p.m. for carbon dioxide and 1,800 p.p.b. for methane). b - The carbon dioxide and methane trends from the past 2,000 years.
800.000 ans de paléoclimat (EPICA-Dome C ice core)
Lüthi, Le Floch, Bereiter, Blunier, Barnola, Siegenthaler, Raynaud, Jouzel, Fischer, Kawamura & Stocker, Nature 453, 291-292 (15 May 2008)
Y ’a t-il un troisième état... plus chaud ? Ou pas ?
Champ magnétique de la Terre : inversions erratiques
Un écoulement fermé Reynolds élevé Turbulent / Fluctuant
Peut-on quantifier la stabilité « en moyenne » d’un système fluctuant ou d’un écoulement ?
Peut-on étudier les échanges de stabilité ? Rôle du bruit ?
Peut-on comparer à des systèmes dynamiques non-linéaires de basse dimensionnalité ?
Proposition :
Peut-on réaliser des expériences modèles « simples »
pour comprendre la dynamique et la « stabilité »de tels systèmes naturels ?
Une expérience « géophysique » de laboratoireWeeks et al. Science 278, 1598 (1997)
un cylindre tournant avec pompage radial une une « chaîne de montagne
m = 2 »
Zonalem=2
Bloquéem=4
Couette-plan et Taylor-Couette ― Γ >> 1
UUdd
LLxx
LLzz
Ωo Ωi
d
ri
L
Andereck, Liu, Swinney, JFM (1986)
Prigent et al., PRL 2002
Bandes turbulentes Spirales turbulentes
d << ri
Dynamiques lentes spatio-temporelles
Ecoulement de
von Kármán
−1 0 1−0.9
0
0.9
r/R
z/R
−0.8
0
0.8
L'écoulement de von Kármán turbulent
et ses trois échelles
Temps de moyennage : 60 s500 f -1
Temps de moyennage : 1/20 s1/2 f -1
Temps de moyennage : 1/500 s1/50 f -1
- 1 –
Bifurcation turbulente sous-critique et multistabilité
Changement de topologie et brisure de la symétrie SO(2)
101
102
103
104
105
106
10−1
100
Re
Kp
(+) s
(−) s
(−) b
Multiplicité des solutions
Rec= 330 Ret = 3300
−1.4
−0.7
0
0.2
0 1−0.9
0
0.9
r/R
z/R
0 300 600 900 12000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t.f
Kp1
Turbulent Bifurcation of the von Kármán flow : two different mean
flows exchange stability. A symmetry is broken
0 1−0.9
0
0.9
r/R
z/R
−1
0
1
Bifurcated flow (b) : no more shear layerbroken symmetry
two cells
one state
one cell
two states
Paramètres de contrôle avec moteurs indépendants
Bifurcation turbulente, multistabilité, « effet mémoire »
−1 −0.5 0 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
Kp
θ
(s)
(b1) (b
2)
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
∆ K
p
θ
(s)
(b1)
(b2)
0 1200 2400 3600 480010
−3
10−2
10−1
100
θ = 0.0267
θ = 0.0204
θ = 0.0163
t.f
0 600 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
(s)
(b2)
t.f
Kp
1
tbif
. f
0 600 12000
0.2
0.4
0.6
0.8
(s)
(b2)
t.fK
p2
Statistique des temps de persistance dans l’état central (s)
0 100 200 300 400 500 6000
20
40
60
80
100
120
140
tbif
(s)
Distribution of transition times is exponential
0.007 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.03510
1
102
103
104
105
|θ|
τ . f
Stabilité de la branche centrale (s)
« zone interdite » en régime stationnaire
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
γ
θθ = (F1-F2)/(F1+F2)
γγ γγ=
(Kp 1
-Kp 2
)/(K
p 1+K
p 2)
Stabilitédes
étatsbifurqués
(b1) & (b2)−1 −0.5 0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
f 0/f
θ
−0.3 −0.2 −0.1 00
0.05
0.1
0.15
(f0/f
)2
Le temps caractéristique
diverge en (θ-θc)
-p
La fréquence de précession tend
vers zéro
−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.15
−0.10
−0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
γ
θ
(b2)
(b1)
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
γγ γγ=
(Kp 1
-Kp 2
)/(K
p 1+K
p 2)
(s)
0 200 400 600 800 1000 12000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
time (s)
Kp1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Kp1
Kp
2
0 200 400 600 800 1000 12000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
time (s)
Kp1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Kp1
Kp
2
(b2) (b2)
(b2) (b1)
A t = 0, l’état (b2) est amené à
θ = -0.116
En traversant la « zone interdite »,
on voit apparaître état intermédiaire, transitoire...
...proche de l’état (s).
La transition « bifurqué – bifurqué »
Que se passe-t-il lorsqu’on impose un déséquilibre de couple dans cette « zone interdite ? »
- 2 –
La bifurcation turbulente contrôlée en couple
Dynamiques lentes de bifurcations turbulentes entre états de topologies différentes
—O2 / SO2
Régulation en couple : Exploration de la « zone interdite »
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2γ
θ
Etats intermittents (i)
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
γγ γγ=
(Kp 1
-Kp 2
)/(K
p 1+K
p 2)
Etats intermittents (i)
(s)
(b2)
(b1)
0 300 600 9000
300
600
900
f1 (rpm)
f 2 r
pm
(b2)
(s)
excursions intermittentes
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.210
0
101
102
103
104
105
θ
0.028
−0.084
−0.205
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
γ
θ
1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012
x 104
0
300
600
900
temps (s)
Près de (s)
0 300 600 9000
300
600
900
f1 (rpm)
f 2 (
rpm
)
(s)
(b2)
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.110
0
101
102
103
104
105
θ
−0.212
0.030
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
γ
θ
1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012
x 104
0
300
600
900
temps (s)
Près de (b)
0 300 600 9000
300
600
900
f1 (rpm)
f 2 (
rpm
)
(s)
(b2)
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.110
0
101
102
103
104
105
θ
0.028
−0.062 −0.272
−0.202
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
γ
θ
1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012
x 104
0
300
600
900
temps (s)
Entre (s) et (b)
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2γ
θθ = (F1-F2)/(F1+F2)
γγ γγ=
(Kp 1
-Kp 2
)/(K
p 1+K
p 2)
θ, f
Comportements à long terme dans la zone interdite : transitions stochastiques entre états à 1 et 2 cellules
Kp1 proche de Kp2,le système “oscille”entre deux états
Kp1 ≠ Kp2 ⇒ 1 cellule
Kp1 ≈ Kp2 ⇒ 2 cellules
- 3 –
Bifurcations turbulentes quasi-continues...
...ca dépend de l’échelle de temps d’observation
A Pampelune : un von Kármán jamais symétrique…
Alberto de la Torre & Javier Burguete,
PRL 2007
La couche de cisaillement n’est jamais au centre sauf… en moyenne !
Le cas de l’expérience VKS (von Karman Sodium)
0.7
51
.00
0.4
0.3018516
20
65
61
78
41
15
5Oil cooling circulation
Na at rest
x
z
y0.9040
R
+
Turbines
TM73
Anneau méridien
Faible courbure, diamètre 3/4
−0.8
−0.4
0
0.4
0.8p
(b)
−0.8
−0.4
0
0.4
0.8
(a)p
0 0.5-0.5 1-1
Position de la couche de cisaillement en fonction de θ
Forme de la séparatrice par SPIV
θ = 0.05, sans anneau
Posi
tion
zde
la s
épar
atri
ce θc = 0.09
θc = 0.175
sans anneau
avec anneau
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
L’anneau stabilise et retient la séparatrice
Point de stagnation
r = 0.7
Sens (+) avec anneau ― couple et fluctuations
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
σ(C i
)/C i
Coup
les
C1,
2(N
.m.)
Transition « 1 cellule - 2 cellules » à θθθθc= ±±±± 0.175
θ = (F1-F2)/(F1+F2)−1 −0.5 0 0.5 1
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
∆ K
p
θ
(s)
(b1)
(b2)
- Transition quasi-continue
- Faible hystérésis
- Faible différence de Kp
- Faible saut de Kp
- Très différent de TM60
<Kp>
<∆Kp
> = <K
p 1> -
<Kp 2
>
TM60
Que se passe-t-il à θθθθc= ±±±± 0.175 ?
∆Kp moyen est continu
0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.24
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x 10−3
θ
∆K
p
Visualisation du chemin parcouru lors de l’acquisition
aller
retour
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
Passage stochastique d’une àdeux cellules
(s) (b) (s)… … (b) …
État (b)
État (s)
acquisitions de 10 minutes :
: θ croissant
: θ décroissant
<∆Kp
>
0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.213
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x 10−3
theta
DK
p
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
<∆Kp
>Que se passe-t-il à θθθθc= ±±±± 0.175 ?
Mesures de différentes durées : 2 – 200 mn
0.155 0.16 0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x 10−3
Theta
DK
p
0.169 0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.1790
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Thetaθ = (F1-F2)/(F1+F2)Prob
abili
téde
pré
senc
e p(
s), p
(b)
D’un état à l’autre
θc = 0.174
0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.179 0.1810
−3
10−2
10−1
100
101
102
103
Theta
p(s)
/p(b
)
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
0.169 0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.1790
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Thetaθ = (F1-F2)/(F1+F2)
Prob
abili
téde
pré
senc
e p s
, pb
Echelles de temps ≥ 3000 tours de turbine
0.17 0.171 0.172 0.173 0.174 0.175 0.176 0.177 0.178 0.179 0.180
50
100
150
200
250
300
350
400
Theta
Ms
en
ble
u e
t M
b e
n r
ou
ge
θc = 0.174
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
T s, T
b(1
0 s)
Ts = Tb ~ 300s pour θ = θc
Echelles de temps courtes ~ 1s = 10 tours de turbine
3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
Temps
Co
up
le 1
(e
n N
.m)
1.6 1.65 1.7 1.75 1.8
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Temps
Co
up
le 2
(e
n N
.m)
Temps (100s)
5s
Diagramme des états VKS – avec anneau
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
Rm
[(F
1+
F2
)/2
]
|θ| =(F1−F2)/(F1+F2)
STAT1 STAT2 STAT3 OSC
BASC RENV BURSTEXT
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900−300
−200
−100
0
100
200
300
time (s)
Bθ(t
) (G
)
θ = 0.15-0.17
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
Inversions erratiques de BBerhanu et al. Europhys. Lett. (2007)
Un mécanisme simple de déclenchement des inversions de champ magnétique ?
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900−300
−200
−100
0
100
200
300
time (s)
Bθ(t
) (G
)
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
<∆Kp
>
Hypothèse : θc diminue avec l’intensité de B dynamo… confirmée ?
- Etat initial : B ≠ 0 et θ = 0.16 < θc(B)- Fluctuation : B -> B’ > B - Si θc(B’) < θ : passage (s) -> (b) en ~ 2s- disparition de la dynamo ~ 2s : B = 0- θc remonte à θc(0) = 0.175- La dynamo repousse -> B ou –B (≠ 0)
θc(0) = 0.175
−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
θ = (F1− F
2) / (F
1+ F
2)
γ =
(Γ
1−
Γ2)
/ (Γ
1+
Γ2) θc(B) ~ 0.16
θ = (F1-F2)/(F1+F2)
γ=
∆Kp
/ΣKp
C’est fini !
Merci de votre attention.