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E-BOOK01

INVALSI Matematica

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E-BOOK01

INVALSI Matematica

Scuola secondaria di II grado


E-book01 INVALSI Matematica


Preparazione alle prove INVALSI

Skill On Line srl ne ha curato la raccolta ed il commento.

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INVALSI Matematica

Sommario



Numeri ____________________________________________________________ 7

Tabella dei numeri primi fino a 1000 ....................................................................................................... 8

Concetto di insieme ............................................................................................................................... 9

Notazione scientifica ............................................................................................................................ 10

Operazioni con i numeri relativi ............................................................................................................ 11

Sono pari o dispari ............................................................................................................................... 13

Numero misto ...................................................................................................................................... 14

Esempi di operazioni con i polinomi ...................................................................................................... 15

Percentuale ......................................................................................................................................... 17

Variazione percentuale ........................................................................................................................ 19

All’ufficio cambio ................................................................................................................................. 20

Sconto ................................................................................................................................................. 21

Numeri razionali e irrazionali ................................................................................................................ 22

Potenza e proprietà delle potenze ........................................................................................................ 23

Potenza ad esponente intero ................................................................................................................ 24

Potenze positive e negative del ‘10’ ...................................................................................................... 26

Tabella euro ......................................................................................................................................... 27

Unità di misura del peso ....................................................................................................................... 28

Espressioni letterali .............................................................................................................................. 29

Operazioni con le percentuali ............................................................................................................... 30

Prodotti notevoli .................................................................................................................................. 31

Calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.) ...................................................................................... 32

Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura ............................................ 33

Formule per il quadrato........................................................................................................................ 34

Come si calcola la circonferenza ........................................................................................................... 35

Equazione ............................................................................................................................................ 36

Sistema di numerazione a base 10 ........................................................................................................ 37

Risolvere una disequazione .................................................................................................................. 38

Risolvere una disequazione di primo grado ad una incognita ................................................................. 39

Disequazioni di II grado ........................................................................................................................ 40

Implicazioni logiche tra proposizioni ..................................................................................................... 42

Come risolvere i problemi matematici .................................................................................................. 43

Sistema sessagesimale ......................................................................................................................... 44

Proporzioni .......................................................................................................................................... 45

Un gioco per allenarti a confrontare le frazioni ..................................................................................... 46

Un gioco con percentuali e frazioni ....................................................................................................... 47

Un gioco per allenarti a ordinare i numeri ............................................................................................. 48

Un’applicazione per allenarti con i diagrammi di Venn .......................................................................... 49

Colpisci il bersaglio ............................................................................................................................... 50

Allenati con i criteri di divisibilità .......................................................................................................... 51

Gioca a collocare i numeri sulla retta .................................................................................................... 52

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Sommario



Spazio e Figure _____________________________________________________ 53

Formule area e perimetro..................................................................................................................... 54

Poligoni regolari ................................................................................................................................... 55

Solidi ottenuti per rotazione ................................................................................................................. 56

Teorema di Pitagora ............................................................................................................................. 57

Angoli al centro e alla circonferenza ..................................................................................................... 58

Sviluppo di un parallelepipedo rettangolo e di un cubo ......................................................................... 59

Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della quadrettatura ............................................ 61

Calcolare l’area del cubo ...................................................................................................................... 62

Teorema sui triangoli ........................................................................................................................... 63

Criteri di similitudine ............................................................................................................................ 64

Asse di simmetria ................................................................................................................................. 65

Assi di simmetria .................................................................................................................................. 67

Classificazione dei triangoli in base al numero di assi di simmetria ........................................................ 68

Quadrilateri ......................................................................................................................................... 69

Quadrato e sviluppo del cubo ............................................................................................................... 70

Formule per il quadrato........................................................................................................................ 71

Rettangolo ........................................................................................................................................... 72

Formule per il cubo .............................................................................................................................. 73

Volume del cubo .................................................................................................................................. 74

Formule per il parallelepipedo rettangolo ............................................................................................. 75

Proporzioni .......................................................................................................................................... 76

Calcolo del termine incognito di una proporzione ................................................................................. 77

Triangoli .............................................................................................................................................. 78

Triangolo isoscele................................................................................................................................. 79

Triangolo rettangolo ............................................................................................................................ 80

Triangolo equilatero ............................................................................................................................. 81

Cerchio ................................................................................................................................................ 82

Formule per il cilindro .......................................................................................................................... 83

Applet per il tronco di cono .................................................................................................................. 84

Grafico della retta ................................................................................................................................ 85

Un’applicazione per allenarti con la retta .............................................................................................. 86

Un’applicazione per disegnare una retta ............................................................................................... 87

Specchio piano ..................................................................................................................................... 88

Isometrie – Alcuni esempi .................................................................................................................... 89

Rette parallele e perpendicolari............................................................................................................ 90

Angoli alterni interni ............................................................................................................................ 91

Teorema dell'angolo esterno ................................................................................................................ 92

Disuguaglianze triangolari .................................................................................................................... 93

Strumento interattivo .......................................................................................................................... 94

Coefficiente angolare ed intercetta ....................................................................................................... 95

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INVALSI Matematica

Sommario



Dati e previsioni ____________________________________________________ 96

Istogramma ......................................................................................................................................... 97

Grafico e Istogramma ........................................................................................................................... 98

Areogramma ...................................................................................................................................... 100

Probabilità di un evento ..................................................................................................................... 102

Eventi dipendenti e probabilità composta ........................................................................................... 103

Eventi indipendenti ed eventi dipendenti ........................................................................................... 104

Un gioco per capire la probabilità ....................................................................................................... 105

Calcolare lo sconto e la percentuale .................................................................................................... 106

Tabella ............................................................................................................................................... 107

Esempio di tabella .............................................................................................................................. 108

Media aritmetica, Mediana e Moda .................................................................................................... 109

Media aritmetica e media ponderata .................................................................................................. 112

Media pesata ..................................................................................................................................... 114

Media pesata con Excel ...................................................................................................................... 115

Scarto quadratico medio .................................................................................................................... 117

Varianza ............................................................................................................................................ 118

Moto rettilineo uniforme ................................................................................................................... 119

Frequenze .......................................................................................................................................... 120

Distribuzione frequenza – (un esempio) ............................................................................................. 121

Rapporti e Proporzioni ....................................................................................................................... 122

Gioca con le coordinate cartesiane ..................................................................................................... 124

Operazioni con i numeri relativi .......................................................................................................... 125

Scrivere equazioni per risolvere problemi ........................................................................................... 127

Un’applicazione per calcolare le variazioni percentuali ........................................................................ 128

Rappresentazioni grafiche .................................................................................................................. 129

Prodotto cartesiano ........................................................................................................................... 130

Tabelle a doppia entrata .................................................................................................................... 131

Relazioni e funzioni ________________________________________________ 133

Scala di rappresentazione ................................................................................................................... 134

Equazione .......................................................................................................................................... 135

Proporzioni ........................................................................................................................................ 136

Funzioni ............................................................................................................................................. 137

Concetto di funzione .......................................................................................................................... 138

Aritmetica dei numeri pari e dispari .................................................................................................... 139

Alcuni consigli per risolvere i problemi................................................................................................ 140

Coordinate in un grafico ..................................................................................................................... 141

Grafico con Excel (costruzione del grafico con Excel) ........................................................................... 142

Come si calcolano le coordinate del punto di intersezione tra due rette? ............................................. 144

Disequazione di primo grado ad una incognita .................................................................................... 145

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INVALSI Matematica

Sommario



Tabella ............................................................................................................................................... 146

Equazione della parabola ................................................................................................................... 147

Negazione .......................................................................................................................................... 148

Retta ................................................................................................................................................. 149

Un’applicazione per verificare i parametri di una retta ........................................................................ 150

Esercizio: Dalle parole alla formula ..................................................................................................... 151

Valore assoluto .................................................................................................................................. 152

Percentuale ....................................................................................................................................... 153

Variazione percentuale ...................................................................................................................... 154

Molla ................................................................................................................................................. 155

Espressioni letterali ............................................................................................................................ 156

Proporzionalità quadratica ................................................................................................................. 157

Moto rettilineo uniforme ................................................................................................................... 159

Un’applicazione per verificare i tuoi calcoli geometrici ........................................................................ 160

Un gioco per ripassare perimetri e aree .............................................................................................. 161

Un gioco per trovare le coordinate del sommergibile .......................................................................... 162

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Numeri

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INVALSI Matematica Numeri

Numeri 8



Tabella dei numeri primi fino a 1000

1 2 3 5 7

11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67

71 73 79 83 89 97

101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167

173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277

281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401

409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523

541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641

643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769

773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

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Numeri 9



Concetto di insieme

Un insieme è una collezione di oggetti, che è a sua volta un oggetto. Si tratta di un concetto

fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.

Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere,

persone, figure, etc., anche non necessariamente

omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli

oggetti della collezione vanno invece ben definiti e

determinati.

Gli oggetti che compongono un insieme si dicono

elementi di questo insieme; nel linguaggio

matematico, detto a un elemento dell'insieme A, si

dice che a appartiene ad A o in simboli: a € A

Un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B quando tutti gli elementi di A appartengono anche

a B.

Operazioni tra insiemi

Le principali operazioni tra insiemi sono:

L'unione di due insiemi A e B si indica con:

A ∪ B ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di A e B presi una

sola volta.

L'intersezione di due insiemi A e B si indica con:

A ∩ B ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che

appartengono sia all'insieme A che all'insieme B

contemporaneamente.

Insieme di alunni di una classe

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Numeri 10



Notazione scientifica

La notazione scientifica viene usata per esprimere i numeri reali utilizzando le potenze intere di

dieci, ed è usata per numeri molto grandi o molto piccoli. La notazione permette di esprimere

quantità fisiche senza includere lunghe file di zeri:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

106 = 1 000 000

109 = 1 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

Oltre alle potenze positive, si possono usare le potenze negative: 10-n è uguale a 1/10n e in decimali

si può esprimere con uno 0 seguito dalla virgola, da n-1 zeri e da un 1:

10-1 = 1/10 = 0,1

10-3 = 1/1000 = 0,001

10-9 = 1/1 000 000 000 = 0,000000001

In questo modo, un numero molto grande come 123 000 000 000 000 000 000 può essere espresso

come 1,23 · 1020, (si mette la virgola dopo il primo numero e poi si contano tutte le altre cifre per

determinare l’esponente).

Un numero piccolo come 0,0000123 può essere scritto come 1,23 · 10-5 (si mette la virgola dopo la

prima cifra diversa da zero, poi si contano tutti gli zeri per determinare l’esponente).

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Numeri 11



Operazioni con i numeri relativi

L’addizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo:

se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il segno che c’è;

es.) (+ 3) + (+ 5) = + 8

es.) (- 7) + (- 3) = - 10

se i due numeri sono discordi si sottraggono i numeri senza segno e si mette il segno del più grande.

es.) (+ 3) + (- 5) = - 2

es.) (+ 7) + (- 3) = + 4

La sottrazione di due numeri interi relativi non è altro che l’addizione tra il primo e l’opposto del

secondo cioè a – b = a + ( - b).

es.) (+ 3) - (+ 5) = + 3 + (- 5) = - 2

es.) (- 7) - (- 3) = - 7 + (+ 3) = - 4

Prodotto tra numeri relativi

es.) (-4)∙(-4)= +16

es.) (+4)∙(-4)= -16

Ricorda che:

- ∙ - = + (meno per meno = più)

+ ∙ + = + (più per più = più)

- ∙ + = - (meno per più = meno)

+ ∙ - = - (più per meno = meno)

Quoziente tra numeri relativi

opposti

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Numeri 12



es.) (-6) : (+3) = (-6)/(+3) = - 2

es.) (+6) : (+3) = (+6)/(+3) = +2

Ricorda che:

- ∶ - = + (meno diviso meno = più)

+ ∶ + = + (più diviso più = più)

- ∶ + = - (meno diviso più = meno)

+ ∶ - = - (più diviso meno = meno)

Potenze con esponente intero

a) quanto vale la potenza (-4)2?

Per eseguire il calcolo della potenza ( −42) occorre fare il prodotto:

(−4) ∙ (−4) = +16

b) quanto vale la potenza 3−2?

Ricorda che la potenza ad esponente negativo è uguale ad una frazione che ha per numeratore

l'unità e per denominatore la potenza della stessa base con esponente positivo, cioè:

3−2 = 1

(3)2

c) quanto vale la potenza −3−2?

−3−2 = 1

(−3)2

In generale: a−n = 1

(a)n

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Numeri 13



Sono pari o dispari

In matematica un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a

seconda che la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari,

altrimenti è pari.

• L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:

Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

• L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:

Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione

dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno -

davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z,

perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.]

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Numeri 14



Numero misto

Il numero misto è la somma fra un intero e una frazione propria.

6 + 3

4 é un numero misto.

Per calcolare la somma fra l'intero e la frazione si opera come di seguito:

6 + 3

4= 24 + 3

4= 27

4

Si opera allo stesso modo per i seguenti casi:

• per la somma fra un intero e una frazione impropria (non è un numero misto perché la

frazione è impropria) ma si calcola come di seguito:

6 + 5

3= 18 + 5

3= 23

3

• per la differenza fra un intero e una frazione

6 − 5

3= 18 − 5

3= 13

3

• per la differenza tra una frazione e un intero

7

3− 2 =

7 − 6

3= 1

3

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Numeri 15



Esempi di operazioni con i polinomi

• Somma di polinomi con riduzione dei termini simili

sciogliamo le parentesi in cui sono contenuti i due

polinomi e in questo caso cambiamo anche i segni dei

monomi contenuti nella seconda parentesi

raggruppiamo i coefficienti dei monomi simili

effettuiamo la somma algebrica dei coefficienti

raggruppati

• Prodotto di un polinomio per un monomio:

applichiamo la proprietà distributiva del

prodotto rispetto alla somma:

svolgiamo le singole moltiplicazioni tra

monomi:

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Numeri 16



• Prodotto di due polinomi

applichiamo la proprietà distributiva del

prodotto rispetto alla somma:

svolgiamo ora le due moltiplicazioni tra

un monomio per un polinomio come

abbiamo visto in precedenza:

poiché e sono monomi

simili, possiamo effettuare una

riduzione del polinomio:

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Numeri 17



Percentuale

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene

moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.

Esempio: 5 allievi su 25 risultano assenti. La percentuale degli allievi assenti allora sarà:

𝟓

𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%

Quindi la percentuale è un rapporto che indica quante parti sul totale (rispetto a 100) soddisfano

una certa condizione.

Nota bene

Se si conosce la percentuale degli assenti e il loro numero come si opera?

Riprendendo l’esempio di sopra sappiamo che 5 studenti sono assenti e rappresentano il 20 % di

tutti gli studenti della classe. Ci domandiamo quanti sono in tutto gli studenti? Basta utilizzare la

stessa formula e ricavare il numero degli studenti:

𝟓

𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐− 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎 % 𝒅𝒂 𝒄𝒖𝒊:

𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐− 𝒔𝒕𝒖𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊 =𝟓 × 𝟏𝟎𝟎

𝟐𝟎= 𝟐𝟓

Lo sconto

Supponiamo di trovare un'offerta che ci dice che su un videogioco che costa 70 euro si applica uno

sconto pari al 20 per cento, quanto pagheremo alla cassa?

L'operazione da fare sarà: 70 (prezzo del videogioco), moltiplicato per 20 (percentuale di sconto), il

tutto diviso 100 per calcolare lo sconto:

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Numeri 18



Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro

Ora sottraiamo i 14 euro di sconto ai 70 euro del videogioco per ottenere il prezzo scontato:

prezzo scontato = 70 – 14 = 56 euro

il risultato è 56 euro, il prezzo del videogioco scontato.

Trucchetto

Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché?

Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80!

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Numeri 19



Variazione percentuale

1. Supponiamo di voler calcolare la variazione percentuale per un oggetto che l’anno scorso

costava 80 € e quest’anno invece costa 120 €.

Dobbiamo operare nel modo seguente:

𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎)

𝟖𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 =

𝟒𝟎

𝟖𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎%

cioè il prezzo dell’oggetto è aumentato del 50%

2. Possiamo anche calcolare la variazione percentuale del prezzo attuale (120 €) dell’oggetto

rispetto a quanto costava l’anno precedente (80 €).


𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎

𝟏𝟐𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎)% = (

𝟒𝟎

𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎)% ≅ 𝟑𝟑%

cioè il prezzo dell’oggetto l’anno scorso era il 33% in meno rispetto a quello attuale.

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Numeri 20



All’ufficio cambio

Quando ci rechiamo all’estero o per vacanza o per studio abbiamo l’esigenza di effettuare il cambio

della valuta; bisogna fare dei calcoli talvolta neanche semplici per molti. Però si può ricorrere ad una

regola pratica come riportato di seguito:

fissato un indice di cambio se voglio sapere quanti dollari riceverò basterà moltiplicare il numero

degli euro da cambiare per l’indice di cambio

viceversa

se voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per ricevere un numero determinato di dollari basterà

dividere il numero dei dollari per l’indice di cambio.

Esempio

1) Ho da cambiare 1000 euro e l’indice di cambio è 1,33

Riceverò 1330 dollari cioè: 1000 x 1,33

2) Voglio sapere quanti euro dovrò cambiare per avere 1000 dollari

1000/1,33 = 752 cioè devo cambiare 752 euro per avere 1000 dollari

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Numeri 21



Sconto





Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro




Trucchetto

Avresti potuto ottenere il prezzo scontato direttamente facendo 70 x 0,8 = 56 euro. Perché?

Suggerimento: su 100 parti se ne pagano solo 80!

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Numeri 22



Numeri razionali e irrazionali

Un numero razionale è un numero che si ottiene come rapporto tra due numeri interi, il secondo

dei quali diverso da 0. Si esprime mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il

denominatore. Esempi di numeri razionali:

𝟑

𝟒; 𝟏𝟑

𝟓; −

𝟏

𝟑; −𝟑

I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo Q che sta per quoziente.

Si dicono numeri irrazionali i numeri che non possono essere descritti come rapporto di due numeri

interi. Ad esempio: π; √2

Infatti come si può verificare nessuno di questi due numeri può essere descritto come rapporto di

due numeri interi. (𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟕…… ; √𝟐 = 1,4142136…… )

Da non dimenticare

Per stabilire tra due o più numeri chi è minore o maggiore ricorda la seguente rappresentazione:

i numeri sono ordinati da − ∞ a + ∞ dal più piccolo al più grande.

Esempio

-3 < -2 ; +3 > +2 ;

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Numeri 23



Potenza e proprietà delle potenze

In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti

rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

𝒂𝒏 : = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙∙∙ 𝒂⏟ 𝒏 𝐯𝐨𝐥𝐭𝐞

Le potenze scritte nella forma an si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n.

L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un

numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente

3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel

valore).

Esempi

32 = 3 x 3 = 9

23= 2 x 2 x 2 = 8

(𝟏

𝟐)𝟑

=𝟏

𝟐 ×

𝟏

𝟐 ×

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟖

Proprietà delle potenze

Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente

uguale alla somma degli esponenti. 32 x 33 = 35

Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente

uguale alla differenza degli esponenti. 35 : 32 = 33

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto

degli esponenti. (32)3 = 36

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Numeri 24



Potenza ad esponente intero

In matematica la potenza è un'operazione che associa ad una coppia di numeri a e n - detti

rispettivamente base ed esponente - il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

𝒂𝒏 : = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙∙∙ 𝒂⏟ 𝒏 𝐯𝐨𝐥𝐭𝐞

Le potenze scritte nella forma an si leggono come elevato alla n o più semplicemente alla n.

L’esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L’esponente due è spesso indicato come al quadrato (un

numero alla seconda rappresenta l’area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l’esponente

3 come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel

valore).

Esempi

32 = 3 x 3 = 9

23= 2 x 2 x 2 = 8

(𝟏

𝟐)𝟑

=𝟏

𝟐 ×

𝟏

𝟐 ×

𝟏

𝟐 =

𝟏

𝟖

Detto questo ci chiediamo:


Per eseguire il calcolo della potenza (-4)2 occorre fare il prodotto:

(−𝟒) ∙ (−𝟒) = +𝟏𝟔

Ricorda che:





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Numeri 25



b) quanto vale la potenza 3-2?



𝟑−𝟐 = 𝟏

(𝟑)𝟐

c) quanto vale la potenza -3-2?

−𝟑−𝟐 = 𝟏

(−𝟑)𝟐

In generale: 𝐚−𝐧 = 𝟏

(𝐚)𝐧

Proprietà delle potenze

Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente

uguale alla somma degli esponenti.

𝟐𝟑 × 𝟐𝟐 = 𝟐𝟑+𝟐 = 𝟐𝟓

Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza della stessa base con esponente

uguale alla differenza degli esponenti.

𝟐𝟑 ∶ 𝟐𝟐 = 𝟐𝟑−𝟐 = 𝟐𝟏

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto

degli esponenti.

(𝟐𝟑)𝟒 = 𝟐𝟏𝟐

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Numeri 26



Potenze positive e negative del ‘10’

Di seguito vengono riportate alcune potenze positive con base ‘10’ ed esponente maggiore di zero:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

106 = 1 000 000

109 = 1 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

Oltre alle potenze positive, si possono usare le potenze negative: 10-n è uguale a 1/10n e in decimali

si può esprimere con uno 0 seguito dalla virgola, da n-1 zeri e da un 1:

10-1 = 1/10 = 0,1

10-2 = 1/100 = 0,01

10-3 = 1/1000 = 0,001

10-4 = 1/10000 = 0,0001

10-5 = 1/100000 = 0,00001

10-6 = 1/1000000 = 0,000001

10-7 = 1/10000000 = 0,0000001

10-8 = 1/100000000 = 0,00000001

10-9 = 1/1000000000 = 0,000000001

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Numeri 27



Tabella euro

Nella figura a lato è riportato un esempio di tabella; in essa

viene riportato il peso per ogni moneta.

Ad esempio si può leggere alla ‘7’ riga che la moneta da 1

euro ha il peso di 7,5 g.

Una tabella è formata da una griglia di righe e colonne che intersecandosi individuano tante celle.

cella

riga

La tabella in figura è composta da 4 righe e 5 colonne; quindi se si vuole individuare la posizione

dove c’è la scritta in rosso ‘cella’ bisogna indicare la prima riga e la 5 colonna.

Moneta Peso

1 centesimo 2,3 g

2 centesimi 3,06 g

5 centesimi 3,92 g

10 centesimi 4,19 g

20 centesimi 5,74 g

50 centesimi 7,8 g

1 euro 7,5 g

2 euro 8,5 g

colonna

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Numeri 28



Unità di misura del peso

Il chilogrammo o kilogrammo (simbolo: kg) è l'unità di misura di base della massa nel Sistema

internazionale di unità di misura (SI). Esso è definito come la massa del prototipo internazionale del

kilogrammo.

Un Kg corrisponde a:

• 0,001 T - tonnellate

• 0,01 Q - quintali

• 0,1 Mg - miriagrammi

• 10 hg - ettogrammi

• 100 dag - decagrammi

• 1000 g - grammi

• 10000 dg - decigrammi

• 100000 cg - centigrammi

• 1000000 mg - milligrammi

Relazioni con il grammo

• T – tonnellata = 1.000.000 g

• Q – quintale = 100.000 g

• Mg – miriagrammo = 10.000 g

• kg – chilogrammo = 1.000 g

• hg – ettogrammo = 100 g

• dag – decagrammo = 10 g

• g – grammo

• dg – decigrammo = 0,1 g

• cg – centigrammo = 0.01 g

• mg – milligrammo = 0,001 g

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Numeri 29



Espressioni letterali

Un’espressione letterale è un’espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio

a + b + c + d ; 3a - 5b2 + 7c ; 4𝑥+3𝑦

3

assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche.

Esempio 1

5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4 , c = 2 si ha:

5 ∙ 3 ∙ (−4) + 2 ∙ 2 = −60 + 4 = −56

Esempio 2

((𝒂 + 𝒃) ∙ 𝒄

𝒃) +

𝒂 ∙ 𝒃

𝒄

per a = 1 ; b= 2 ; c= 4

((𝟏 + 𝟐) ∙ 𝟒

𝟐) +

𝟏 ∙ 𝟐

𝟒= (

𝟏𝟐

𝟐) +

𝟐

𝟒= 𝟔 +

𝟏

𝟐= 𝟏𝟑

𝟐

Esempio 3

𝟑𝒙

𝟐+ 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 per x = 4 ; y = 4

𝟑 ∙ 𝟒

𝟐+ 𝟐 ∙ 𝟒 − 𝟏𝟐 =

𝟖

𝟐+ 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟎

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Numeri 30



Operazioni con le percentuali

Esempio 1

Quanti euro hai se vinci il 25% di un premio di 100 euro?

x = 100 ∙ 25

100 = 25 euro

Esempio 2

25 euro che percentuale rappresenta del premio di 100 euro?

100 ∙ x = 25

x =25

100= 25%

Esempio 3

25 euro rappresenta il 25% del premio. A quanto ammonta il premio?

x ∙ 25

100 = 25

x = 25 ∙ 100

25= 100 euro

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Numeri 31



Prodotti notevoli

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo

termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo,

più il quadrato del secondo termine.

(Nel caso del segno meno il doppio prodotto è negativo)

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine,

più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo,

più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo,

più il cubo del secondo termine.

(Nel caso del segno meno vanno alternati i segni)

Differenza di due quadrati

Differenza di due cubi

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2ab + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 - 2ab + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2b + 3𝑎𝑏2+ 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 - 3𝑎2b + 3𝑎𝑏2- 𝑏3

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 - 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + ab + 𝑏2) = 𝑎3 - 𝑏3

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Numeri 32



Calcolare il minimo comune multiplo (m.c.m.)

Consideriamo due numeri, per esempio 6 e 8. Scriviamo per entrambi i multipli, avremo:

per i multipli di 6

6, 12 , 18, 24, 30 ,36 , 42, 48 ………….

per i multipli di 8

8, 16, 24, 32, 40, 48,………………..

possiamo osservare che le due serie hanno i seguenti numeri in comune:

24, 48 sono multipli per entrambi i numeri

il più piccolo di essi prende il nome di minimo comune multiplo (m.c.m), cioè 24

quindi 24 è il m.c.m. tra 6 e 8 ; si scrive: m.c.m. (6,8) = 24

Vediamo un altro esempio

Trovare il m.c.m tra: 5 e 20

multipli di 5: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,60,75,90………..

multipli di 20: 20,40,60,80,100,120…………………..

20, 40, 60 sono multipli di entrambi

per trovare il minimo comune multiplo bisogna prendere il più piccolo tra essi, cioè 20;

si può scrivere m.c.m. (5,20) = 20

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Numeri 33



Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della

quadrettatura

Per determinare l’area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella

figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura;

questo metodo ci permette di conoscere l’area con una buona approssimazione e che migliora

quanto più piccoli sono i quadretti.

Supponiamo di voler calcolare l’area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel

seguente modo:

1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti

quadretti contiene (in pratica l’area del poligono esterno alla curva)

2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene

(in pratica l’area del poligono interno alla curva)

L’area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore

approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè:

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒓𝒂𝒄𝒄𝒉𝒊𝒖𝒔𝒂 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐 + 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐

𝟐

È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla curva tanto più il risultato risulterà meglio approssimato.

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Numeri 34



Formule per il quadrato

Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati uguali e quattro angoli

uguali (tutti retti).

Le diagonali di un quadrato sono uguali e perpendicolari;

si intersecano nel loro punto di mezzo e misurano

𝐝 = 𝐥 ∙ √𝟐

Formule

Legenda: 2p = perimetro; L = lato; A = area; d = diagonale

Perimetro del quadrato > 2p = 4L

Lato > L = 2p

A

Area del quadrato > A = L2

Lato > L = √A

Area del quadrato > A = d2

2

Diagonale > d = √2A

Lato > L = d

√2

Diagonale > d = L√2

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Numeri 35



Come si calcola la circonferenza

Esempio

Si vuole delimitare un’area a forma di cerchio con una corda. Il raggio del cerchio deve essere pari

a 10 m. Quanto deve essere lunga la corda per costruire il cerchio?

La lunghezza della corda è pari alla circonferenza, quindi basta utilizzare la formula per il suo

calcolo:

𝐂 = 𝟐 ∙ 𝛑 ∙ 𝐫 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟖 𝐦

Ricorda

Il cerchio è una figura geometrica costituita da tutti i punti equidistanti (stessa distanza) da un

punto ‘o’ detto centro. Il luogo geometrico

costituito da tutti questi punti viene detto

‘Circonferenza’. La distanza dal centro ‘o’ ad

uno di questi punti viene detto ‘raggio’. Il

doppio del raggio viene detto ‘diametro’.

Formule

La circonferenza si calcola: C = 2 ∙ π ∙ r = π ∙ d (r=raggio; d=diametro)

L’area si calcola: A = π ∙ r2

cerchio

circonferenza

centro

raggio

O

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Numeri 36



Equazione

Ogni equazione del tipo:

ax + b = 0 (con a diverso da zero)

si dice equazione di primo grado in una incognita.

Risolvere un’equazione significa trovare quel valore di ‘x’ che soddisfi l’equazione data.

Un’equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione.

Esempi

a) 3x + 3 = 0

3x = -3

𝑥 = −3

3= −1

b) 2x -4x + 3 + 1 = 0

-2x = - 3 – 1

-2x = -4

𝑥 = −4

−2= +2

Verifica dell’equazione

Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad ‘x’ la soluzione trovata e verificare

che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l’equazione dell’esempio b):

-2(+2) = -4 -4 = -4

Esercizio

Prova a risolvere la seguente equazione:

6x – 6 = 2x +4

[Ris. 𝑥 =5

2 ]

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Numeri 37



Sistema di numerazione a base 10

Il nostro sistema di numerazione si dice posizionale in quanto il valore di un simbolo dipende dalla

posizione che esso occupa nella scrittura del numero. I simboli usati (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) vengono

detti cifre.

Esempio. Nel numero 2 6 9 5 le cifre sono 2, 6, 9, 5

Nella scrittura di un numero decimale si distinguono due parti: la parte intera, che è quella prima

della virgola e la parte decimale che è quella dopo la virgola. Per quanto detto precedentemente

ogni cifra ha un valore che dipende dalla posizione che essa occupa nel numero stesso. Questo

valore si chiama valore posizionale della cifra.

Spostandosi da destra verso sinistra, il valore posizionale delle cifre aumenta di 10 volte per ogni

posto.

Esempi

1 decina = 10 unità

1 centinaia = 10 decine = 100 unità

1 migliaia = 100 decine = 1000 unità

Esercizio Scomponi il numero 34,567

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Numeri 38



Risolvere una disequazione

Una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle

incognite.

Esempio

3(𝑥 − 1) − 2 < 5𝑥 + 1

3𝑥 − 3 – 2 < 5𝑥 + 1

3𝑥 − 5𝑥 < 3 + 2 + 1

−2𝑥 < 6

Moltiplichiamo per (-1) per cambiare i segni ricordando che bisogna anche cambiare verso alla

disuguaglianza

2𝑥 > − 6

𝑥 > − 6

2

𝑥 > − 3

Significa che la disuguaglianza è verificata per tutti i valori della x maggiori di -3 (x > -3) come

riportato anche nel grafico

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Numeri 39



Risolvere una disequazione di primo grado ad una incognita

x - 12 ≥ 6x – 2 (portiamo tutte le ‘x’ da una parte ed i numeri dall’altra, avremo)

x - 6x ≥ 12 – 2 (eseguiamo le operazioni)

-5x ≥ 10 (dividiamo entrambi per -2 e cambiamo verso alla disequazione)

x ≤ -5

quindi la soluzione è l’insieme delle x minori di -5, cioè (-∞,−5]

oppure graficamente:

(con il cerchietto si indica che è compreso anche il valore -5)

Quindi ricorda che:

• Una disequazione si dice di primo grado se l’esponente dell’incognita ‘x’ è pari ad 1.

Esempio

x - 12 ≥ 6x - 2 è una disequazione di primo grado ad una incognita

Per risolverla si applicano le stesse regole utilizzate per risolvere un’equazione di primo grado ad

una incognita con una sola ed importante differenza: se si moltiplica o si divide per un numero

negativo si deve cambiare verso alla diseguaglianza, cioè ≥ diventa ≤ e viceversa.

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Numeri 40



Disequazioni di II grado

Di seguito puoi consultare delle comode tabelle di riepilogo per l’individuazione delle soluzioni delle

disequazioni di secondo grado(puoi ritagliarle o fotocopiarle per inserirle nei tuoi appunti):

• ax2 + bx + c > 0

• ax2+ bx + c ≥ 0

• ax2 + bx + c < 0

• ax2 + bx + c ≤ 0

in funzione del valore del delta (Δ = b2 - 4ac) e del coefficiente del termine di secondo grado (a).

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Numeri 41



Nota bene

Se hai bisogno di una veloce rinfrescata sulle disequazioni di II grado consulta questo materiale al

link:

http://www.raiscuola.rai.it/lezione/le-disequazioni-di-secondo-grado/1713/default.aspx

http://www.raiscuola.rai.it/lezione/le-disequazioni-di-secondo-grado/1713/default.aspx

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Numeri 42



Implicazioni logiche tra proposizioni

La congiunzione logica (simbolo che si legge e) è un connettivo logico attraverso il quale, a partire

da due proposizioni A e B, si forma una nuova proposizione chiamata:

congiunzione di A e B che si indica con la

quale è vera soltanto nel caso in cui A e B siano

entrambe vere, mentre è falsa in tutti gli altri casi

possibili.

V = VERA ; F = FALSA

La disgiunzione inclusiva o disgiunzione logica

(simbolo V, che si legge ‘o’), è un connettivo logico

attraverso il quale, a partire da due proposizioni A e B,

si forma una nuova proposizione A V B chiamata A o B

la quale è vera solo nel caso in cui almeno una delle

due proposizioni da cui è formata A e B è vera mentre è falsa quando tutte e due sono false.

V = VERA ; F = FALSA

La negazione

Data una proposizione ‘p’ la sua negazione ‘¬p’ (si legge non p) è la proposizione ‘p’ che è vera

quando ‘p’ è falsa e viceversa:

Esempio

P “ tutti i gatti sono neri“

‘¬p “c’è almeno un gatto non nero” (è corretta)

Nessun gatto è nero (non corretta)

p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q p ^ q

V V V

V F V

F V V

F F F

p ¬p

V F

F V

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Numeri 43



Come risolvere i problemi matematici

Per risolvere un problema matematico bisogna procedere in un ordine ben preciso:

1. Prima di tutto devi Leggere Attentamente Il Testo per capire di cosa si sta parlando.

2. Dopo la lettura del testo devi Riconoscere La/E Domanda/E e cosa ti viene richiesto.

3. Devi Cercare Informazioni Utili E Dati Indispensabili per arrivare alla soluzione del

problema.

4. Devi riflettere per Scegliere Le Operazioni adeguate E Fare I Calcoli Correttamente.

5. Devi rileggere la domanda e Formulare La Risposta Completa E Adatta Alla Situazione.

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Numeri 44



Sistema sessagesimale

Il sistema con cui si esprime la misura del tempo (e quella degli angoli) è quello sessagesimale (a

base 60), cioè:

1 h = 60 min; 1 min = 60 sec

Conversione da sistema sessagesimale a sistema decimale

Consideriamo il seguente esempio:

3 : 15 : 45 (3 h 15 min 45 sec)

• Le ore rimangono uguali.

• I minuti (15) li dividiamo per 60 ottenendo 0,25 (15 minuti sono 25/100 di ora, di 60 minuti)

• I secondi (45) li dividiamo per 3600 e otteniamo 0,0125 [45 sec sono 125/10.000 di ora, di

3600 sec]

Sommiamo le tre quantità e otteniamo il valore decimale:

3 + 0,25 + 0,0125 =3,2625 h.

Conversione da sistema decimale a sessagesimale

Consideriamo il valore ottenuto precedentemente nel nostro esempio: 3,2625 h

• Il valore intero, 3, è quello in ore.

• La parte decimale 0,2625, la moltiplichiamo per 60 ottenendo 15,75; Il valore intero 15,

rappresenta i minuti.

• La parte decimale 0,75, la moltiplichiamo per 60 ottenendo 45 secondi

quindi in definitiva si avrà:

3 h 15 min 45 sec

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Numeri 45



Proporzioni

Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al

rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti

formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:

a

b=

c

d

che si può anche scrivere come: a : b = c : d (si legge: a sta a b come c sta a d) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono

medi.

Esempio 1

36 : 4 = 𝑦 : 8

La 𝑦 = 36 × 8

4 (un medio è uguale al prodotto tra gli estremi diviso l’altro medio)

Esempio 2

36 : 4 = 72 ∶ 𝑦

La y = 4 × 72

36 (un estremo è uguale al prodotto tra i medi diviso l’altro estremo)

Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali

Due grandezze variabili si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima

anche l’altra raddoppia, triplica.

Due grandezze variabili si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando la prima

l’altra si dimezza, si riduce a un terzo.

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Numeri 46



Un gioco per allenarti a confrontare le frazioni

A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare il gioco che vedi in figura. Fai ‘click’

sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a confrontare le frazioni.

Buon divertimento.

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2010/12/11/confronta-le-frazioni-giocando/

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2010/12/11/confronta-le-frazioni-giocando/

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Numeri 47



Un gioco con percentuali e frazioni

A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare il “gioco” che vedi in figura.

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e abbina le percentuali, le frazioni e le immagini se vuoi battere l’hacker. Il malvagio hacker * occorre attivare il plug-in Flash ** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione di Flash: Puffin.

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2012/11/23/abbina-le-frazioni-e-le-percentuali-per-fermare-il-malvagio-hacker/

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2012/11/23/abbina-le-frazioni-e-le-percentuali-per-fermare-il-malvagio-hacker/

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Numeri 48



Un gioco per allenarti a ordinare i numeri


sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a inserire i numeri al loro posto.

Buon divertimento.

http://lnx.sinapsi.org/geometria/flash/retta_numerica.swf

http://lnx.sinapsi.org/geometria/flash/retta_numerica.swf

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Numeri 49



Un’applicazione per allenarti con i diagrammi di Venn

A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applicazione che vedi in figura.

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a riconoscere le

rappresentazioni degli insiemi proposti con i diagrammi di Venn.

Buon divertimento.

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/tag/eulero/

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/tag/eulero/

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Numeri 50



Colpisci il bersaglio


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e allenati a colpire il bersaglio:

Colpisci il bersaglio e impara le coordinate cartesiane

* occorre attivare il plug-in Flash

** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione

di Flash: Puffin.

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2016/10/17/colpisci-il-bersaglio-e-impara-le-coordinate-cartesiane/

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2016/10/17/colpisci-il-bersaglio-e-impara-le-coordinate-cartesiane/

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Numeri 51



Allenati con i criteri di divisibilità


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e allenati con i criteri di divisibilità.

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/12/03/allenati-con-i-criteri-di-divisibilita/

* occorre attivare il plug-in Flash ** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione di Flash: Puffin.



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Numeri 52



Gioca a collocare i numeri sulla retta


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e colloca i numeri sulla retta.

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2015/04/23/colloca-il-numero-sulla-linea/

* occorre attivare il plug-in Flash ** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la visualizzazione di Flash: Puffin.



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INVALSI Matematica

53



Spazio e Figure

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INVALSI Matematica Spazio e Figure

Spazio e Figure 54



Formule area e perimetro

Figura Quadrato Rettangolo Triangolo Trapezio

Area

A = l x l

oppure

A = l 2

A = b x h

A =

𝒃 × 𝒉

𝟐

A =

(𝑩+ 𝒃) × 𝒉

𝟐

Perimetr

o P = l x 4

P = 2b + 2h

oppure

P = 2 x (b + h)

P = b + c + d P = B + b + c + d

l

l

b

h

b

a c h

h

b

c

B

a

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Spazio e Figure 55



Poligoni regolari

Un poligono regolare è un poligono cha ha i lati e gli angoli uguali. Per esempio sono poligoni

regolari:

• il triangolo equilatero

• il quadrato

• il pentagono regolare

• l’ esagono regolare

• l’ ettagono regolare

• l’ ottagono regolare

• etc.

I centri dei cerchi delle circonferenze inscritte e circoscritte di ogni poligono regolare coincidono.

L’apotema di un poligono regolare è il raggio del cerchio inscritto.

In un poligono regolare, se dividiamo l’ apotema per un lato otteniamo un numero, detto numero

fisso. L’area invece si calcola moltiplicando il perimetro per l’apotema e dividendo per due, oppure

moltiplicando il quadrato del lato per un fattore che dipende dal numero di lati.

Il dodecagono

In geometria, un dodecagono è un poligono con 12 lati e 12 angoli. In

un dodecagono regolare tutti i lati hanno lunghezza uguale e tutti gli

angoli sono di 150°.

Numero fisso = 1,866

Area = (p x a)/2

oppure

Area = l2 x 11.196

AP

OTE

MA

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Spazio e Figure 56



Solidi ottenuti per rotazione

I solidi ottenuti per rotazione si ottengono dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta

(asse di rotazione).

Esempi

Cilindro

Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo

intorno ad un suo lato.

Cono

Il cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad

un suo cateto.

Sfera

La sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un

semicerchio attorno al proprio diametro.

Il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.

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Spazio e Figure 57



Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo.

Enunciato

In un triangolo rettangolo, l'area del

quadrato costruito sull'ipotenusa è

equivalente alla somma delle aree dei

quadrati costruiti sui due cateti.

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi

cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

a2 + b2 = c2 o, in alternativa, risolvendolo per c:

√𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄 Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

√𝒄𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒂 e

√𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝒃

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Spazio e Figure 58



Angoli al centro e alla circonferenza

Per comprendere quale relazione ci sia tra gli angoli al centro e alla circonferenza occorre ricordare

il seguente Teorema:

In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo

stesso arco.

Ipotesi

A��B = angolo al centro

A��B = angolo alla circonferenza (insiste sullo stesso arco 𝐴𝐵)

Tesi

A��B = 2 A��B

Dimostrazione

Tracciamo il diametro COD e poi cominciamo col dimostrare che DOB =

2DCB osservando che:

• il triangolo OBC è isoscele poiché OB ed OC sono uguali in quanto

raggi della circonferenza e quindi i due angoli OCB ed OBC sono

uguali

• l’angolo DOB è un angolo esterno rispetto al triangolo OCB ed è

pari a 2 OCB, infatti:

DOB = 180 - COB = 180 – (180 - 2 OCB) = 2 OCB

quindi:

DOB = 2 OCB = 2DCB come volevasi dimostrare.

ora per dimostrare che DOA= 2DCA si agisce come prima (puoi provarlo

a fare tu).

Concludendo allora si ha che:

A��B = 2 D��B + 2D��A = 2(D��B + D��A) = 2 A��B

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Spazio e Figure 59



Sviluppo di un parallelepipedo rettangolo e di un cubo

Osserva lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo.

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Spazio e Figure 60



Sviluppo del cubo

Osserva lo sviluppo di un cubo.

4

3

1

2

5

6

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Spazio e Figure 61



Calcolo dell’area di una figura geometrica col metodo della

quadrettatura

Per determinare l’area di una figura geometrica col contorno irregolare come quella riportata nella

figura non possiamo utilizzare le formule abituali. Si può utilizzare il metodo della quadrettatura;

questo metodo ci permette di conoscere l’area con una buona approssimazione e che migliora

quanto più piccoli sono i quadretti.

Supponiamo di voler calcolare l’area della superficie racchiusa dalla curva. Possiamo agire nel

seguente modo:

1) Disegniamo un poligono quadrettato che sia sempre esterno alla curva e contiamo quanti

quadretti contiene (in pratica l’area del poligono esterno alla curva)

2) Disegniamo poi un poligono quadrettato interno alla curva e contiamo quanti quadretti contiene

(in pratica l’area del poligono interno alla curva)

L’area racchiusa dalla curva è intermedia alle aree dei due poligoni pertanto il suo valore

approssimato si può calcolare facendo la media aritmetica delle due aree, cioè:

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒓𝒂𝒄𝒄𝒉𝒊𝒖𝒔𝒂 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐 + 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒐

𝟐

È evidente che quanto più saremo precisi nel tracciare i due poligoni in maniera adiacente alla curva

tanto più il risultato risulterà meglio approssimato.

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Spazio e Figure 62



Calcolare l’area del cubo

In geometria il cubo è un solido che presenta 6 facce quadrate, 8 vertici

e 12 spigoli; in ogni vertice si incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali

due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce le quali sono a

due a due ortogonali.

A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che vedi in figura. Si

tratta di una calcolatrice di aree di poligoni. Nella figura abbiamo congelato la situazione che

propone il calcolo dell’area di un cubo con spigolo pari a: 5 m

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e prova a verificare tu stesso con lo strumento

interattivo quanto viene mostrato in figura.

http://www.calcoloarea.it/calcolo-area-cubo.htm



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Spazio e Figure 63



Teorema sui triangoli

Teorema - In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.

Ipotesi: supponiamo sia assegnato il triangolo ABC (quello in rosso)

Tesi: dimostriamo che il lato AB è minore della somma degli altri due lati AC e CB.

Dimostrazione: prolunghiamo il lato AC con un segmento CD uguale a CB; poi congiungiamo il punto

B con il punto D; si ottiene il triangolo isoscele CDB (CB=CD); gli angoli alla base in un triangolo

isoscele sono uguali quindi α = γ.

Inoltre α è minore di β perché è una parte dell’angolo β quindi anche γ che è uguale ad α è minore

di β.

Osservato questo si può dedurre quindi che nel triangolo ABD il lato AB opposto all’angolo minore

γ è minore dell’angolo AD, cioè AB<AD; ma AD = AC + CD e poiché CB=CD possiamo scrivere che: AD

= AC + CB quindi AB < AC + CB.

D

B

A C

β α

γ

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Spazio e Figure 64



Criteri di similitudine

Primo criterio di similitudine

Due triangoli sono simili quando gli angoli corrispondenti sono congruenti

Secondo criterio di similitudine

Due triangoli sono simili quando hanno due lati in proporzione e, l’angolo fra essi compreso, è

congruente.

Terzo criterio di similitudine

Due triangoli sono simili quando tutti e tre i lati sono in proporzione.

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Spazio e Figure 65



Asse di simmetria

Simmetria rispetto all’asse x

Consideriamo l’asse x (y = 0) come asse di simmetria. Il simmetrico di A(x,y) rispetto all’asse delle x

è il punto B(x’, y’)

osserviamo dunque che: l’ascissa di B è uguale a quella di A,

l’ordinata di B è uguale all’ordinata di A cambiata di segno.

Le equazioni della simmetria rispetto all’asse x sono quindi:

x’ = x y ’ = - y

Es. A(3, 2) simmetrico B(3, -2)

Simmetria rispetto all’asse y

Consideriamo l’asse y (x = 0) come asse di simmetria. Il simmetrico di A(x, y) rispetto all’asse delle

x è il punto B(x’, y’)

osserviamo dunque che: l’ascissa di B è uguale a

quella di A cambiata di segno, l’ordinata di B è uguale

all’ordinata di A.

Le equazioni della simmetria rispetto all’asse y sono

quindi:

x’ = - x y’ = y

Es. A(3,2) simmetrico B(-3, 2)

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Spazio e Figure 66



Simmetria rispetto ad un punto qualsiasi

Si calcolano le coordinate del punto medio come di seguito:

{𝒙𝒄 =

𝒙 + 𝒙′

𝟐

𝒚𝒄 = 𝒚 + 𝒚′

𝟐

−→ {𝟐𝒙𝒄 = 𝒙 + 𝒙′

𝟐𝒚𝒄 = 𝒚 + 𝒚′

Dal sistema si ricavano le equazioni di simmetria rispetto ad un punto qualsiasi:

{𝒙′ = 𝟐𝒙𝒄 − 𝒙𝒚′ = 𝟐𝒚𝒄 − 𝒚

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Spazio e Figure 67



Assi di simmetria

Di seguito alcuni esempi di assi di simmetria nei poligoni regolari.

• Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria

• Il quadrato ha quattro assi di simmetria

• Il pentagono ha cinque assi di simmetria

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Spazio e Figure 68



Classificazione dei triangoli in base al numero di assi di simmetria

Considera il triangolo isoscele ABC riportato in figura e osserva che possiede un solo asse di

simmetria (puoi capirlo se ritagli il triangolo e poi lo pieghi lungo l’asse CK; le due parti sono

uguali).

Nota la misura del segmento AB, spostiamo ‘C’ fintanto che il

triangolo ABC risulti equilatero.

Puoi ora osservare che ci sono tre assi di simmetria.

Concludendo, si possono classificare i triangoli in base al numero di assi di simmetria che

possiedono:

• zero assi di simmetria per il triangolo scaleno

• un asse di simmetria per il triangolo isoscele

• tre assi di simmetria per il triangolo equilatero.

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Spazio e Figure 69



Quadrilateri

Il quadrilatero è un poligono con quattro lati.

Tutti i quadrilateri hanno quattro vertici e quattro angoli interni; la somma delle ampiezze degli

angoli interni di ogni quadrilatero è uguale a 360°.

I vari tipi di quadrilateri sono:

Quadrato: esso è una figura con tutti i lati e gli angoli congruenti, cioè uguali. Perimetro= lato x 4

Rettangolo: è una figura con tutti gli angoli uguali, cioè retti (90°) e con i lati opposti paralleli e

uguali. Ogni angolo è composto da due rette perpendicolari.

Perimetro= (primo-lato x 2) + (secondo-lato x 2)

Trapezio: figura con due lati opposti paralleli e le diagonali dividono in due parti congruenti ogni

singolo angolo. Esso può essere di 3 tipi diversi:

• Trapezio Rettangolo: possiede due angoli retti.

Perimetro = primo-lato+ secondo-lato + terzo-lato + quarto-lato

• Trapezio Isoscele: ha due lati uguali.

Perimetro=(lati-uguali x 2)+ terzo-lato + quarto-lato

• Trapezio Scaleno: ha tutti gli angoli e i lati diversi.

Perimetro = primo-lato+ secondo-lato + terzo-lato + quarto-lato

Rombo: ha tutti i lati uguali e gli angoli due a due uguali, in più ha una diagonale maggiore e una

minore.

Perimetro= lato x 4

Parallelogramma: ha i lati opposti e uguali a due a due, gli angoli adiacenti sommati formano un

angolo di 180°.

Perimetro= (primo-lato x 2) + (secondo-lato x 2)

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Spazio e Figure 70



Quadrato e sviluppo del cubo

Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati

uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).



𝒅 = 𝒍 ∙ √𝟐

Sviluppo del cubo

4

3

1

2

5

6

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Spazio e Figure 71



Formule per il quadrato

Il quadrato è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati

uguali e quattro angoli uguali (tutti retti).



𝒅 = 𝒍 ∙ √𝟐 Formule

Legenda: 2p = perimetro; L = lato; A = area; d = diagonale

Perimetro del quadrato > 2p = 4L

Lato > L = 2p

A

Area del quadrato > A = L2

Lato > L = √A

Area del quadrato > A = d2

2

Diagonale > d = √2A

Lato > L = d

√2

Diagonale > d = L√2

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Spazio e Figure 72



Rettangolo

Il rettangolo è un particolare quadrilatero.

I quadrilateri hanno quattro vertici e quattro angoli interni la cui somma

è pari a 360°. Tra i quadrilateri abbiamo i parallelogrammi che hanno la

caratteristica di avere i due lati paralleli uguali e gli angoli opposti uguali.

Il rettangolo è un particolare parallelogrammo con i due lati opposti

paralleli e congruenti (uguali) e con tutti gli angoli interni congruenti

(uguali) e retti, cioè di 90° gradi.

Detta ‘b’ la base ed ‘h’ l’altezza, l’area ‘A’ si calcola con:

𝐀 = 𝐛 × 𝐡

Indicando con ‘P’ la misura del perimetro, possiamo scrivere:

𝐏 = 𝟐𝐛 + 𝟐𝐡

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Spazio e Figure 73



Formule per il cubo

Il cubo o esaedro regolare presenta 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli; in ogni vertice si

incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce

le quali sono a due a due ortogonali.

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo regolare.

Legenda:

SL = Superficie laterale, ST = Superficie totale, l = Spigolo, d = Diagonale, V = Volume

𝑺𝑳 = 𝟒𝒍𝟐;

𝑺𝑻 = 𝟔𝒍𝟐;

𝑽 = 𝒍𝟑;

𝒅 = 𝒍 ∙ √𝟑;

𝒍 = √𝑺𝑻

𝟔 v √𝑽

𝟑 v

√𝑺𝑳𝟒

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Spazio e Figure 74



Volume del cubo

Il volume del cubo si calcola elevando al "cubo" (alla terza) la lunghezza del lato di uno qualsiasi dei

quadrati che formano le facciate.

Cioè: "lato x lato x lato"

La formula: V = l³

Formule

Legenda: SL = Superficie laterale, ST = Superficie totale

l = Spigolo, d = Diagonale, V = Volume

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Spazio e Figure 75



Formule per il parallelepipedo rettangolo

Fonte: http://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-solida/477-parallelepipedo-rettangolo.html

http://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-solida/477-parallelepipedo-rettangolo.html

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Spazio e Figure 76



Proporzioni




a

b=

c

d


medi.

Esempio 1

36 : 4 = 𝑦 : 8

La 𝑦 = 36 × 8


Esempio 2

36 : 4 = 72 ∶ 𝑦

La y = 4 × 72







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Spazio e Figure 77



Calcolo del termine incognito di una proporzione

Esempio 1

36 : 4 = 𝑦 : 8

La 𝑦 = 36 × 8


Esempio 2

36 : 4 = 72 ∶ 𝑦

La y = 4 × 72


Ricorda Abbiamo una proporzione quando tra quattro numeri il rapporto tra i primi due numeri è uguale al rapporto tra gli ultimi due numeri. Una proporzione è pertanto un’uguaglianza tra due rapporti formati con quattro numeri che prendono il nome di termini della proporzione:

a

b=

c

d

che si può anche scrivere come: a : b = c : d ( si legge: a sta a b come c sta a d ) Il primo ed il quarto termine (a e d) si dicono estremi, mentre il secondo ed il terzo termine si dicono medi.

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Spazio e Figure 78



Triangoli

Il triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.

Un triangolo si dice ‘equilatero’ se ha tutti e tre i lati uguali

Un triangolo si dice ‘isoscele’ se ha due lati uguali

Un triangolo si dice ‘scaleno’ se ha i tre lati disuguali

Un triangolo si dice ‘ottusangolo’ se ha un angolo ottuso

Un triangolo si dice ‘acutangolo’ se ha tre angoli acuti

Un triangolo si dice ‘rettangolo’ se ha un angolo retto; i due lati

adiacenti all’angolo retto si chiamano ‘cateti’; il lato opposto

all’angolo retto si chiama ‘ipotenusa’.

Da ricordare: Per costruire un triangolo è necessario che ogni lato sia minore della somma degli

altri due.

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Spazio e Figure 79



Triangolo isoscele

Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o un triangolo che

possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente Teorema: Un triangolo ha due lati uguali

solo se ha due angoli uguali.

Gli angoli alla base del triangolo crescono al crescere dell’altezza.

Come in tutti i triangoli la somma delle ampiezze degli angoli vale

180 gradi.

Formule

𝑷 = 𝟐𝒂 + 𝒃

A = b∙ h

2

𝒉 = √𝒂𝟐 − (𝒃

𝟐)𝟐

(verificala con il teorema di Pitagora e ricorda che la base è divisa in due

dall’altezza)

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Spazio e Figure 80



Triangolo rettangolo

Un triangolo si dice ‘rettangolo’ se ha un angolo retto.

I due lati adiacenti all’angolo retto si chiamano ‘cateti’; ‘b’

e ‘c’ sono i due cateti come puoi vedere in figura.

Il lato opposto all’angolo retto si chiama ‘ipotenusa’ ed è il

lato più lungo. Nella figura il lato ‘a’ rappresenta

l’ipotenusa.

Formule

𝐏 = 𝐚 + 𝐛 + 𝐜

𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝐛 ∙ 𝐜

𝐚

𝐚 = √𝐛𝟐 + 𝐜𝟐

𝐛 = √𝐚𝟐 − 𝐜𝟐

𝐜 = √𝐚𝟐 − 𝐛𝟐

Da ricordare

Per costruire un triangolo è necessario che ogni lato sia minore della somma degli altri due.

a b

c

𝜶 = 𝟗𝟎°

𝜶

Triangolo rettangolo

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Spazio e Figure 81



Triangolo equilatero

Il triangolo equilatero è un poligono con tre lati e tre angoli. Un triangolo si dice ‘equilatero’ se ha

tutti e tre i lati uguali. I tre angoli sono tutti di 60°.

Formule del Triangolo Equilatero

A= area, b= base, l= lato, h= altezza, p= perimetro

Area = b x h / 2

Base = 2A / h

Altezza = 2A / b

Perimetro = b + l + l

Perimetro = 3l

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Spazio e Figure 82



Cerchio

Il cerchio è una figura geometrica costituita

da tutti i punti equidistanti (stessa

distanza) da un punto ‘o’ detto centro. Il

luogo geometrico costituito da tutti questi

punti viene detto ‘Circonferenza’.

La distanza dal centro ‘o’ ad uno di questi

punti viene detto ‘raggio’. Il doppio del

raggio viene detto ‘diametro’.

Formule

La circonferenza si calcola:

𝑪 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 = 𝝅 𝒅 (r = raggio; d = diametro)

L’area del cerchio si calcola:

𝑨 = 𝝅 ∙ 𝒓𝟐

Esercizio

Si vuole delimitare un’area a forma di cerchio con una corda. Il raggio del cerchio deve essere pari

a 10 m. Quanto deve essere lunga la corda per costruire il cerchio?

Sol. [La lunghezza della corda è pari alla circonferenza, quindi basta utilizzare la formula per il suo calcolo:

𝑪 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟖 𝒎]

cerchio

circonferenza

centro

raggio

O

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Spazio e Figure 83



Formule per il cilindro

Area Volume Formule inverse

Ab = π ∙ r2

Al = π ∙ 2r ∙ h

𝑨𝒕= 𝑨𝒍 + 𝟐𝑨𝒃

V = π ∙ r2∙ ∙ h

h = V

πr2

r = √V

πh

Ab : area di base

Al : area laterale

Ricorda che

Il cilindro è un solido generato dalla rotazione di un rettangolo intorno

ad un suo lato. Più precisamente si definisce cilindro il solido generato

dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato (asse

del cilindro).

AB – altezza del cilindro intorno a cui ruota il rettangolo

CD - generatrice , una qualunque delle posizioni assunte dal lato CD

nella rotazione

ABCD – superficie laterale del cilindro; superficie descritta dalla

generatrice CD.

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Spazio e Figure 84



Applet per il tronco di cono

A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare l’applet che vedi in figura.

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e osserva la costruzione del tronco di cono

per rotazione del trapezio rettangolo.

http://www.gobnf.com/formule/default.aspx?code=0010332LKBP1



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Spazio e Figure 85



Grafico della retta

Da ricordare

L'equazione generale di una retta può essere scritta così: y = m x + q

• m rappresenta il coefficiente angolare della retta.

Ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa x, l'ordinata y varia di m unità.

• q rappresenta il valore dell'ordinata per un valore di x che vale 0.

Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate.

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Spazio e Figure 86



Un’applicazione per allenarti con la retta


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e osserva come variano i parametri

della retta.

Buon divertimento.

https://www.geogebra.org/m/KCvRQkZK

Ricorda





Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate.

https://www.geogebra.org/m/KCvRQkZK

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Spazio e Figure 87



Un’applicazione per disegnare una retta


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e osserva come disegnare una retta

indicando la sua equazione o le coordinate dei suoi punti.

Buon divertimento.

http://www.gpmeneghin.com/schede/analitica/retta.htm


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Spazio e Figure 88



Specchio piano

Quando ci si guarda ad uno specchio si può facilmente osservare che la nostra immagine presenta

tre caratteristiche:

a. si presenta dritta

b. presenta con le nostre stesse dimensioni

c. si presenta dietro allo specchio con la stessa

distanza che noi abbiamo posti davanti allo

specchio

Come si può vedere dalla figura nell’immagine la destra e

la sinistra sono scambiate fra loro; ciò accade allo stesso modo per le scritte come per l’esempio

della scritta riportata nel quesito che guardata nello specchio retrovisore

diventa

Per comprendere il fenomeno osserviamo la figura accanto. Il raggio luminoso proveniente

dall’oggetto viene riflesso dallo specchio e colpisce il nostro occhio. Al nostro occhio appare come

se provenisse da dietro lo specchio in un punto apparente situato sul prolungamento dei raggi.

L’immagine formata dietro lo specchio prende il nome di immagine virtuale.

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Spazio e Figure 89



Isometrie – Alcuni esempi

Simmetria centrale centro ‘O’ il segmento PP’ ha ‘O’ come punto medio P(x, y) -> P’(-x,-y) Simmetria assiale Asse a P’ si trova dalla parte opposta di P rispetto ad ‘a’ sulla retta passante per ‘P’ e perpendicolare ad ‘a’ P(x, y) -> P’(-x, y) Rotazione Centro ‘O’ Angolo α orientato OP’ = OP

POP′ = α

POP′ è orientato come α

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Spazio e Figure 90



Rette parallele e perpendicolari

Rette parallele

Le due rette (r) ed (s) sono parallele in quanto non si intersecano in alcun punto. Esse formano, con

l'asse delle ascisse, due angoli uguali e pertanto devono avere lo stesso coefficiente angolare.

Nel grafico sono rappresentate le rette parallele

• r -> y = m1 x + q1

• s -> y = m2 x + q2

I loro coefficienti angolari quindi devono essere uguali m1=

m2

Ricorda allora che: due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Rette perpendicolari

Nel grafico sono rappresentate le due rette (r) ed (s)

perpendicolari tra loro in quanto intersecandosi formano

quattro angoli retti (90°)

• r -> y = m1 x

• s -> y = m2 x

I loro coefficienti angolari devono essere l’uno il reciproco dell’opposto dell’altro, cioè:

m1 = − 1

m2

Ricorda allora che: due rette sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari sono uno il

reciproco e opposto dell'altro.

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Spazio e Figure 91



Angoli alterni interni

Due rette (r, s) tagliate da una trasversale danno origine ad 8 angoli.

Gli angoli a, d, g, f vengono detti ‘interni’

Gli angoli b, c, h, e vengono detti ‘esterni’

Gli angoli (a-f) e (d-g) vengono detti ‘coniugati interni’

Gli angoli (b-e) e (c-h) vengono detti ‘coniugati esterni’

Gli angoli (a-g) e (d-f) vengono detti ‘alterni interni’

Gli angoli (b-h) e (c-e) vengono detti ‘alterni esterni’

Gli angoli (b-f) , (c-g), (d-h), (a-e) vengono detti ‘corrispondenti’

Se le due rette (r, s) sono parallele si ha che gli angoli corrispondenti, gli angoli alterni interni e gli

angoli alterni esterni sono uguali, cioè:

• b=f; c=g; d=h; a=e

• a=g; d=f;

• b=h; c=e,

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Spazio e Figure 92



Teorema dell'angolo esterno

Il Secondo teorema dell'angolo esterno, anche detto Teorema dell'angolo esterno (somma), spiega

con una semplice dimostrazione che in un triangolo qualsiasi l'angolo esterno corrispondente ad

uno degli angoli interni è congruente alla somma degli altri due angoli interni.

In formula, α=β+γ

Fai clic sul link seguente per vedere un’animazione che enuncia e dimostra il secondo teorema

dell’angolo esterno di un triangolo:

http://www.gigiboscaino.it/triangoli-ii-teorema-dellangolo-esterno/

https://it.wikipedia.org/wiki/Angolo

http://www.gigiboscaino.it/triangoli-ii-teorema-dellangolo-esterno/

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Spazio e Figure 93



Disuguaglianze triangolari

A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che vedi in figura.

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e nota le diseguaglianze triangolari.

Disuguaglianze tra i lati

https://www.geogebra.org/m/yyzKjuav

https://www.geogebra.org/m/yyzKjuav

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Spazio e Figure 94



Strumento interattivo

A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che vedi in figura. Si

tratta di uno strumento interattivo che consente di modificare i punti notevoli dei triangoli. Nella

figura abbiamo congelato la situazione proposta nel quesito. Fai ‘click’ sul link e poi segui le

istruzioni nella pagina e prova a verificare tu stesso con lo strumento interattivo quanto viene

mostrato in figura.

Strumento interattivo sui punti notevoli dei triangoli


** per utilizzare il gioco su tablet android basta utilizzare un ottimo browser (navigatore) che supporta la

visualizzazione di Flash: Puffin.

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2015/04/22/interattivo-sui-punti-notevoli-dei-triangoli/

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Spazio e Figure 95



Coefficiente angolare ed intercetta





Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate

A casa o a scuola utilizza un computer* o un tablet** per visualizzare l’attività che ved i in figura. Si

tratta di uno strumento interattivo che consente di modificare il valore del coefficiente angolare m

e della intercetta q.

Nella figura abbiamo congelato la situazione proposta nel quesito: m=-0,7 e q=2,3.

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e prova a verificare tu stesso con lo

strumento interattivo quanto viene mostrato in figura.

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/12/17/equazione-della-retta-nel-piano/



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INVALSI Matematica

96



Dati e previsioni

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INVALSI Matematica Dati e previsioni

Dati e previsioni 97



Istogramma

Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un

rettangolo. I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie

alle diverse altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in verticale

o in orizzontale.

Inoltre, possono essere disegnati uno di seguito all’altro senza spazi intermedi, in modo da formare

un’unica superficie (istogramma) oppure separatamente a strisce verticali (ortogramma). Nel lessico

quotidiano però si parla di istogramma in ambedue i casi.

Vengono anche detti: grafici a colonna, grafici a rettangolo

Esempio

Disegniamo l’istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A.

0

10

20

30

40

50

60

P

u

n

t

i

Classifica Serie A

Serie 1

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Grafico e Istogramma

La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo

disegnare devi tracciare l’asse delle X (le ascisse) e l’asse delle

y (le ordinate).

L’asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni

parte è uguale all’unità di misura U.

Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il

punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e

l’ordinata ‘3’.

Riepilogando quindi, ogni punto del piano si può individuare con una coppia di numeri reali chiamati

rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y);

L’Istogramma

Un istogramma è un particolare grafico dove ogni dato è rappresentato dalla superficie di un

rettangolo.

I rettangoli hanno tutti ugual base e il confronto fra le loro superfici è possibile grazie alle diverse

altezze. Come per i diagrammi a linee, i rettangoli possono essere posizionati in verticale o in

orizzontale.

Vengono anche detti: grafici a colonna, grafici a rettangolo.

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Esempio

Disegniamo l’istogramma relativo alla classifica di alcune squadre di calcio di serie A.

Puoi verificare che la Juventus ha 50 punti, l’Inter tra 40 e 50 punti, il Napoli 40 punti, etc.

0

10

20

30

40

50

60

P

u

n

t

i

Classifica Serie A

Serie 1

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Areogramma

L'areogramma è un tipo di rappresentazione grafica in cui le diverse percentuali dei risultati di

un'indagine sono visualizzate da aree proporzionali di una figura geometrica piana o

tridimensionale.

L'unità di misura utilizzata è, spesso, la percentuale.

Tra gli areogrammi troviamo il diagramma circolare (comunemente indicato con grafico a torta).

Esempio 1 – Costruiamo un areogramma con Excel

Da un’indagine effettuata su 25 alunni è emerso che:

• 15 vanno a scuola a piedi (rappresenta il 60%)

• 8 vanno a scuola in autobus (rappresenta il 32%)

• 2 vanno a scuola in bicicletta (rappresenta il 8%)

Riporta i dati in Excel come mostrato in figura, selezionali tutti e poi fai clic sulla voce di menu ‘Inserisci’ ,

ancora clic sull’icona ‘Grafico a torta’ e seleziona il primo diagramma, otterrai il grafico in figura.

Esempio 2 – Costruiamo l’ areogramma presentato nel quesito con Excel

Dai dati possiamo scrivere che:

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• pane e pasta rappresenta il 45% della spesa (quindi 270)

• carne e pesce rappresenta il 25% della spesa (quindi 150)

• frutta e verdura rappresenta il 30% della spesa (quindi 180)

Riporta i dati in Excel come mostrato in figura, selezionali tutti e poi fai clic sulla voce di menu ‘Inserisci’ ,

ancora clic sull’icona ‘Grafico a torta’ e seleziona il primo diagramma, otterrai il grafico in figura.

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Probabilità di un evento

Si definisce probabilità di un evento il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei

casi possibili supposti tutti ugualmente possibili

p = P(E) = 𝒎

𝒏

Essendo m il numero dei casi favorevoli ed n il numero dei casi possibili.

Ad esempio: Nel lancio di una moneta posso ottenere o testa o croce.

I casi favorevoli sono 1;

I casi possibili sono 2 (le due facce della moneta),

quindi:

p = 𝟏

𝟐 = 0,5 (cioè il 50%)

Se si fanno due lanci si possono ottenere le seguenti combinazioni (TT, CC, TC,CT);

in questo caso per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione (TT)

dovremo considerare che:

I casi favorevoli sono 1

I casi possibili sono 4

p = 𝟏

𝟒 = 0,25 (cioè il 25%)

Per calcolare la probabilità che facendo due lanci si ottenga la combinazione TC o CT dovremo

considerare che:

I casi favorevoli sono 2

I casi possibili sono 4

p = 𝟐

𝟒 = 0,5 (cioè il 50%)

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Eventi dipendenti e probabilità composta

Consideriamo un evento composto da due semplici eventi dipendenti fra loro. In un sacchetto con

3 palline bianche ed 8 nere estraiamo successivamente due palline, senza rimettere nel sacchetto

la prima. Vogliamo calcolare la probabilità che le palline estratte siano entrambe bianche.

Si tratta di un evento composto da due eventi semplici dipendenti, infatti al verificarsi del primo

(estrazione pallina bianca) si modifica il secondo evento in quanto si modifica il numero dei casi

possibili e dei casi favorevoli.

Alla prima estrazione i casi possibili sono 11 e i casi favorevoli sono 3 pertanto:

𝒑(𝑬𝟏) = 𝟑

𝟏𝟏

Alla seconda estrazione se nella prima estrazione è sortita una pallina bianca i casi possibili sono 10

e i casi favorevoli sono 2 pertanto:

p(E2) = 2

10=1

5

Per il principio della probabilità composta si ha:

p(E) = p(E1) ∙ p(E2) = 3

11 ∙ 1

5=

3

55

Quindi la probabilità di un evento composto da due eventi semplici dipendenti è data dal prodotto

di p(E1) ∙ p(E2) condizionata dal verificarsi dell’evento E1.

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Eventi indipendenti ed eventi dipendenti

Esistono degli eventi che possono presentarsi come combinazione di due o più eventi come ad

esempio il lancio di due dadi, l’estrazione di due o più numeri. Per questi casi si parla di eventi

composti e la relativa probabilità viene definita come probabilità composta.

Occorre pertanto distinguere gli eventi in:

Eventi indipendenti: se il verificarsi del primo evento non altera la probabilità di verificarsi del

secondo.

Come esempio potremmo considerare il lancio di due monete e l’evento; ‘esce in entrambe la testa

E(T,T)’;si tratta di un evento composto in quanto è il risultato di due eventi semplici indipendenti

fra loro E1(T) ed E2(T) che non dipendono assolutamente l’uno dall’altro; infatti il lancio della prima

moneta non influenza in alcun modo il lancio della seconda moneta.

Eventi dipendenti: se il verificarsi del primo evento altera la probabilità di verificarsi del secondo.

Come esempio consideriamo un sacchetto con 3 palline bianche ed 8 nere ed estraiamo

successivamente due palline, senza rimettere nel sacchetto la prima. Consideriamo l’evento che le

palline estratte siano entrambe bianche. Si tratta di un evento composto da due eventi semplici

dipendenti, infatti al verificarsi del primo (estrazione pallina bianca) si modifica il secondo evento in

quanto si modifica il numero dei casi possibili e dei casi favorevoli.

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Un gioco per capire la probabilità


sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e allenati a cercare di indovinare che probabilità

hai di ottenere una pallina blu piuttosto che una rossa.

Buon divertimento.

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2011/03/03/capire-le-probabilita-con-un-gioco/

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2011/03/03/capire-le-probabilita-con-un-gioco/

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Calcolare lo sconto e la percentuale





Sconto = (70 x 20)/100 = 14 euro




Calcolo della percentuale

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi. Si ottiene

moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.


𝟓

𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%



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Tabella


cella

riga



Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è ‘Vittorio’ e il dato si trova nella cella

individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm.

Nome Età Altezza

Angelo 15 165

Mario 14 172

Luca 16 170

Vittorio 14 173

Dario 16 169

colonna

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Esempio di tabella

• Tabella pari e dispari

Addizione e sottrazione

Moltiplicazione

Divisione *

pari ± pari = pari pari × pari = pari pari / dispari = pari

pari ± dispari = dispari pari × dispari = pari dispari / dispari = dispari

dispari ± dispari = pari dispari × dispari = dispari pari / pari può dare un risultato

o pari o dispari.

dispari ± pari = dispari. dispari / pari non da mai un

risultato intero

Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero

In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due (es. 8=2x2x2x2),

è un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante

volte 2).

Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che

la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è

pari.

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Media aritmetica, Mediana e Moda

Per effettuare indagini statistiche è necessario saper calcolare la media, la mediana e la moda. Di

seguito vengono riportati alcuni esempi di calcolo.

Media aritmetica

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine

"media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo

numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una

popolazione).

Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero

complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è:

media = 𝑽𝟏+𝑽𝟐+𝑽𝟑+𝑽𝒏

𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒊

Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali

economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

Esempio

Consideriamo una classe composta da 10 alunni e di voler calcolare l’altezza media; nella tabella

sono indicate le varie altezze in cm.

Alunno Altezza in cm.

Mario 166

Giovanni 143

Alberto 159

Danilo 153

Francesco 145 Giulio 151

Carlo 152

Bruno 147

Sandro 163 Mauro 165

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l’altezza media sarà pari a:

166+143+159+153+145+151+152+147+163+165

10 = 154,4 cm

Mediana

Si dice Mediana di una distribuzione ordinata la modalità che divide gli elementi della distribuzione

in due gruppi di uguale numerosità

Se la distribuzione ha numerosità dispari la mediana avrà valore pari al valore assunto

dall’osservazione centrale; se la distribuzione ha numerosità pari la mediana avrà valore pari al

valore medio calcolato prendendo le due osservazioni centrali.

Esempio

Si supponga di aver raccolto le votazioni riportate da uno studente alle prove scritte svolte durante

l’anno scolastico;

Votazione 4 5 6 7

Frequenza 1 4 9 6

e calcoliamo la mediana della distribuzione. Per calcolare la mediana scriviamo i voti dal più piccolo al più grande con riferimento alla frequenza registrata per ogni votazione:

4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7 10 votazioni 10 votazioni

Mediana = 6 Il numero dei voti è pari (20) per cui la mediana è pari al valore medio calcolato sommando il valore del decimo e dell’undicesimo valore e dividendo il tutto per due, cioè: Mediana = (6 + 6)/2 = 6

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Moda

La moda è definita come la modalità della distribuzione che ha frequenza massima.

Per cui con riferimento all’esempio precedente la moda sarà pari alla votazione cui corrisponde la

massima frequenza, cioè: 6

Osservazione: Verifica che per l’esempio precedente il valore ‘6’ rappresenta sia il valore della

media aritmetica, della mediana e della moda.

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Media aritmetica e media ponderata

Media aritmetica

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine

"media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo

numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una

popolazione).

Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi per il loro numero

complessivo. La formula della media aritmetica semplice per n elementi è:

media = 𝑽𝟏+𝑽𝟐+𝑽𝟑+𝑽𝒏

𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒊

Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali

economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

Media ponderata

Quando si deve tenere conto non solo dei singoli valori ma anche di quante volte gli stessi valori

compaiono nei dati raccolti, cioè della loro frequenza, bisogna ricorrere alla media ponderata o

pesata. Per calcolare la media ponderata:

• si moltiplica ciascun valore per la relativa frequenza(peso);

• si sommano i prodotti ottenuti;

• si divide per la somma delle frequenze(pesi).

Esempio

Una spedizione di 10 casse di accessori costa € 200 per cassa. A causa del notevole consumo di

questi accessori, una seconda spedizione di 40 casse ora costa € 300 per cassa. Calcoliamo la media

ponderata che costituisce una rappresentazione più accurata del costo medio di una cassa di

accessori in queste due spedizioni.

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valori: 200 - 300

frequenze(pesi): 10 – 40 ---- somma frequenze(pesi) = 50

Costo medio cassa = 10 × 200 + 40 × 300

50=

= 2000 + 12000

50= 14000

50= 280 €

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Media pesata

Quando si deve tenere conto non solo dei singoli valori ma anche di quante volte gli stessi valori

compaiono nei dati raccolti, cioè della loro frequenza, bisogna ricorrere alla media ponderata o

pesata.

Per calcolare la media ponderata:

• si moltiplica ciascun valore per la relativa frequenza(peso)

• si sommano i prodotti ottenuti

• si divide per la somma delle frequenze(pesi)

Prendiamo come esempio quello relativo ai punteggi ottenuti in una verifica da alcuni alunni di una

classe, cioè:

• 7 alunni hanno ottenuto un punteggio medio di: 5,5

• 10 hanno ottenuto un punteggio medio di: 6

• 5 hanno ottenuto un punteggio medio di: 7,5

• 2 hanno ottenuto un punteggio medio di: 8

e calcoliamo il punteggio medio ottenuto dalla classe:

valori: 5,5 - 6 - 7,5 - 8

frequenze(pesi): 7 – 10 – 5 – 2 ---- somma frequenze(pesi) = 24

Punteggio- medio-classe = 5.5 × 7 + 6 × 10 + 7,5 × 5 + 8 × 2

24=

= 38.5 + 60 + 37.5 + 16

24= 152

24= 6,33

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Media pesata con Excel

D: Quali funzioni possono aiutarmi per calcolare una media pesata con Excel?

R: Un buon esempio di media pesata è il calcolo di un prezzo medio.

Immaginiamo di avere le seguenti transazioni:

01/01/05: 100 unità a 10€

01/06/05: 1000 unità a 9,5€

01/07/05: 500 unità a 12€

In generale, la formula è:

MEDIA PESATA = [(peso 1 x valore 1) + (peso 2 x valore 2) + (peso n x valore n)] / (somma dei pesi)

quindi:

MEDIA PESATA = [(100 x 10) + (1000 x 9,5) + (500 x 12)] / (100+1000+500) = 16.500 / 1.600 =

10,3125

In Excel si può usare la funzione MATR.SOMMA.PRODOTTO() che somma coppie di valori

moltiplicandoli tra essi, abbinata alla somma semplice dei pesi che va al denominatore.

Immaginiamo che le unità siano state inserite da A1 a A3 e i prezzi da B1 a B3. La formula sarà:

=MATR.SOMMA.PRODOTTO(A1:A3; B1:B3) / SOMMA(A1:A3)

fonte: http://www.excelling.it/home/77-faq/191-calcolare-la-media-pesata-con-excel

http://www.excelling.it/home/77-faq/191-calcolare-la-media-pesata-con-excel

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Esempio

Una spedizione di 10 casse di accessori costa € 200 per cassa. A causa del notevole consumo di

questi accessori, una seconda spedizione di 40 casse ora costa € 300 per cassa. Calcoliamo la media

ponderata che costituisce una rappresentazione più accurata del costo medio di una cassa di

accessori in queste due spedizioni.

• valori: 200 - 300

• frequenze(pesi): 10 – 40 ---- somma frequenze(pesi) = 50

• Costo medio cassa = 𝟏𝟎 · 𝟐𝟎𝟎 + 𝟒𝟎 · 𝟑𝟎𝟎

𝟓𝟎=

= 𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎= 𝟏𝟒𝟎𝟎𝟎

𝟓𝟎= 𝟐𝟖𝟎 €

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Scarto quadratico medio

Lo scarto quadratico medio o anche deviazione standard misura la dispersione dei dati intorno al

valore atteso.

In pratica la deviazione standard ci fornisce l'informazione su quanto i vari valori (dai quali si è

ricavata la media) siano "lontani" dalla media.

In effetti data una serie di valori bisogna calcolarne prima la media aritmetica, poi si calcolano per

ogni valore le differenze al quadrato tra il valore stesso e il valore medio, si sommano tutte le

differenze trovate e le si divide per il numero di valori, infine si fa la radice quadrata del risultato di

questo rapporto. Facciamo un esempio:

Supponiamo che gli studenti della classe 1A abbiano ottenuto i seguenti voti: 7,7,6,6,6.5

Quelli della 1B i seguenti: 8,7,5,4,8.5

Calcoliamo il valore medio per entrambe le classi:

1A) 𝟕+𝟕+𝟔+𝟔+𝟔.𝟓

𝟓= 𝟔. 𝟓 1B)

𝟖+𝟕+𝟓+𝟒+𝟖.𝟓

𝟓= 𝟔. 𝟓

Calcoliamo ora la deviazione standard con i passi suddetti per entrambe le classi:

1A) (𝟕 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟕 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟔 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟔 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟔. 𝟓 − 𝟔. 𝟓)𝟐 = 𝟎. 𝟓𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟐 + (−𝟎. 𝟓)𝟐 + (−𝟎. 𝟓)𝟐 + (𝟎)𝟐 = 𝟏

Dev. stand. = √𝟏

𝟓≅ 𝟎. 𝟒𝟓

1B) (𝟖 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟕 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟓 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟒 − 𝟔. 𝟓)𝟐 + (𝟖. 𝟓 − 𝟔. 𝟓)𝟐 =

𝟏. 𝟓𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟐 + (−𝟏. 𝟓)𝟐 + (−𝟐. 𝟓)𝟐 + (𝟐)𝟐 = 𝟏𝟓

Dev. stand. = √𝟏𝟓

𝟓≅ 𝟏. 𝟕𝟑

Come si può notare pur avendo la stessa media, per la classe 1B la deviazione standard ha un valore

maggiore perché i voti sono più' distanti dalla media 6.5.

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Varianza

La varianza è la media aritmetica dei quadrati delle differenze tra ogni valore x i della distribuzione e

un valore medio preso come riferimento. Vediamo un esempio di calcolo della varianza.

Consideriamo la seguente distribuzione statistica:

X = 7, 5 ,8, 4, 6

Calcoliamo la media aritmetica della distribuzione:

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 7 + 5 + 8 + 4 + 6

5= 6

Per calcolare la varianza dobbiamo sommare i quadrati delle differenze tra i valori x i della

distribuzione X e il valore medio (6).

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (7 − 6)2 + (5 − 6)2 + (8 − 6)2 + (4 − 6)2 + (6 − 6)2

5

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = (1)2 + (−1)2 + (2)2 + (−2)2 + (0)2

5

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1 + 1 + 4 + 4 + +0

5= 2

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Moto rettilineo uniforme

Un corpo si muove con moto uniforme quando percorre spazi uguali in tempi uguali. Ciò equivale a

dire che la velocità è costante.

Se la traiettoria è rettilinea (cioè non curva) si parla di moto rettilineo uniforme.

Nella tabella viene riportato la legge che lega (s) spazio e (t) tempo.

La stessa viene rappresentata nel grafico:

s = vt (detta anche legge oraria)

Per la velocità v= s/t, come puoi osservare nel grafico prendendo le varie coppie (s,t), si trova sempre

il valore ‘2’, a sostegno di quanto detto sopra in merito alla costanza della velocità nel moto

rettilineo uniforme. [ (s=2, t=1: v= 2) ; (s=4, t=2: v= 2) ; (s=6, t=3: v= 2) etc. ]

La velocità nel sistema S.I. si misura in metri al secondo.

Formule

𝒗 = 𝒔

𝒕 ; 𝒕 =

𝒔

𝒗 ; 𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕

t s 0 0

1 2 2 4

3 6

4 8

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Frequenze

In statistica si definiscono 2 tipi di frequenze:

FREQUENZA ASSOLUTA: è il numero di volte che si verifica un evento a prescindere dal numero

totale delle prove.

FREQUENZA RELATIVA: è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di prove eseguite; viene

misurata con un numero decimale compreso tra 0 e 1, o in percentuale.

f =numero di esiti favorevoli

numero di prove eseguite ∙ 100

Esempio

La tabella seguente indica la fascia di peso rilevato tra 400 studenti presso una scuola superiore e

la loro frequenza, cioè il numero di volte in cui ogni dato (peso) si è verificato.

Fascia di peso N. studenti

frequenza assoluta frequenza percentuale

40-50 150 37,5

51-54 100 25 55-57 80 20

58-61 40 10

62-65 30 7,5

400 100

Nella prima riga possiamo leggere che 150 studenti su 400 sono nella fascia di peso (40-50) e che la

loro frequenza percentuale è del 37,5%, cioè:

f = 150

400 ∙ 100 = 37,5

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Distribuzione frequenza – (un esempio)

In un sondaggio fatto all'interno di una facoltà composta da 250 studenti (la popolazione statistica),

si intende rilevare il carattere "Gradimento dei professori", secondo le cinque modalità "molto

deluso", "insoddisfatto", "parzialmente soddisfatto", "soddisfatto", "entusiasta". Risulta che 10

studenti si dicono entusiasti dell'operato dei professori, 51 si dicono soddisfatti, 63 mediamente

soddisfatti, 90 insoddisfatti, 36 molto delusi.

La distribuzione di frequenza viene rappresentata con una tabella come la seguente:

Gradimento dei professori

Frequenze assolute

Frequenze relative

Frequenze percentuali

Frequenze cumulate percentuali

molto deluso 36 36/250 = 0,144 14,4 14,4

insoddisfatto 90 90/250 = 0,360 36 14,4+36 = 50,4

parzialmente soddisfatto

63 63/250 = 0,252 25,2 50,4+25,2 = 75,6

soddisfatto 51 51/250 = 0,204 20,4 75,6+20,4 = 96

entusiasta 10 10/250 = 0,040 4 96+4 = 100

Totali 250 250/250 = 1,000 100

Nel caso ipotizzato, la colonna delle frequenze relative mostra che è molto deluso il 14,4% degli

studenti e che la percentuale degli studenti non pienamente soddisfatti (modalità da "molto deluso"

a "parzialmente soddisfatto") arriva al 75,6%.

Fonte: [Wikipedia]

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Rapporti e Proporzioni




a

b=

c

d


medi.

Esempio 1

36 : 4 = 𝑦 : 8

La 𝑦 = 36 × 8


Esempio 2

36 : 4 = 72 ∶ 𝑦

La y = 4 × 72


Esercizio Risolvi le due proporzioni seguenti:

16 : 2 = y : 1 [Ris. 𝑦 = 8 ]

y : 9 = 3 : 27 [Ris. 𝑦 = 1]

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Gioca con le coordinate cartesiane

A casa o a scuola utilizza un computer o un tablet per visualizzare il gioco che vedi in figura.

Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e verifica se conosci le coordinate cartesiane.

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2015/10/06/impara-le-coordinate-cartesiane/ Per poter utilizzare il gioco dovresti almeno sapere che la figura

seguente rappresenta un piano cartesiano; per poterlo disegnare

devi tracciare l’asse delle ‘x (le ascisse)’ e l’asse delle ‘y (le

ordinate)’.

L’asse delle ‘x’ e delle ‘y’ sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni

parte è uguale all’unità di misura ‘U’. Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il

punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e l’ordinata ‘3’


rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x, y);

http://lnx.sinapsi.org/wordpress/2015/10/06/impara-le-coordinate-cartesiane/

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Operazioni con i numeri relativi

L’addizione di numeri interi relativi si svolge nel seguente modo:

se i due numeri sono concordi si addizionano i numeri senza il segno e si mette il segno che c’è;

es.) (+ 3) + (+ 5) = + 8

es.) (- 7) + (- 3) = - 10

se i due numeri sono discordi si sottraggono i numeri senza segno e si mette il segno del più grande.

es.) (+ 3) + (- 5) = - 2

es.) (+ 7) + (- 3) = + 4

La sottrazione di due numeri interi relativi non è altro che l’addizione tra il primo e l’opposto del

secondo cioè a – b = a + ( - b).

es.) (+ 3) - (+ 5) = + 3 + (- 5) = - 2

es.) (- 7) - (- 3) = - 7 + (+ 3) = - 4

Prodotto tra numeri relativi

es.) (-4)∙(-4)= +16

es.) (+4)∙(-4)= -16

Ricorda che:





Quoziente tra numeri relativi

opposti

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es.) (-6) : (+3) = (-6)/(+3) = - 2

es.) (+6) : (+3) = (+6)/(+3) = +2

Ricorda che:

- ∶ - = + (meno diviso meno = più)

+ ∶ + = + (più diviso più = più)

- ∶ + = - (meno diviso più = meno)

+ ∶ - = - (più diviso meno = meno)

Potenze con esponente intero


Per eseguire il calcolo della potenza ( −42) occorre fare il prodotto:

(−4) ∙ (−4) = +16

b) quanto vale la potenza 3−2?



3−2 = 1

(3)2

c) quanto vale la potenza −3−2?

−3−2 = 1

(−3)2

In generale: a−n = 1

(a)n

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Scrivere equazioni per risolvere problemi

Allenati con questi esempi; prova a risolvere i problemi senza guardare le soluzioni. Poi confronta

i tuoi risultati con quelli riportati negli esempi.

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Un’applicazione per calcolare le variazioni percentuali


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e utilizzala per la verifica del calcolo

della variazione percentuale tra due valori iniziando con quella proposta nel quesito.

Buon divertimento.

http://www.rivaluta.it/calcola_variazione_percentuale.asp

http://www.rivaluta.it/calcola_variazione_percentuale.asp

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Rappresentazioni grafiche

I dati possono essere rappresentati attraverso diverse modalità grafiche. Di seguito proponiamo un

link ad un documento della Prof. Weebly dove vengono illustrate modalità di rappresentazioni di

dati come:

• Tabelle a doppia entrata

• Istogramma e ortogramma

• Aerogramma

• Ideogramma

• Diagramma cartesiano

strumenti utili anche in altre discipline di studio o altri settori della vita quotidiana.

Fai click sul link per visualizzare o stampare il documento

Rappresentazioni grafiche

http://ilsitodellaprof.weebly.com/uploads/1/4/7/6/14767182/rappresentazione_dati.pdf


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Prodotto cartesiano

Si definisce prodotto cartesiano A x B di due insiemi A e B l'insieme di tutte le coppie ordinate che

hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B.

Esempio

Dati gli insiemi

A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { a, b, c }

si costruiscono tutte le coppie considerando come primo elemento un elemento di A e come

secondo elemento un elemento di B, cioè:

A x B = { (1,a) (1,b) (1,c) (2,a) (2,b) (2,c) (3,a) (3,b) (3,c) (4,a) (4,b) 4,c) }

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Tabelle a doppia entrata

Le tabelle a doppia entrata sono tabelle nelle quali una qualunque informazione contenuta in una

“cella” (incrocio tra righe e colonne) deve essere letta entrando da due parti: da una riga e da una

colonna.

Prendiamo ad esempio l’orario scolastico che segue

LUNEDÌ MARTEDÌ MERCOLEDÌ GIOVEDÌ VENERDÌ SABATO

1 Arte Religione Geografia Matematica Geografia

2 Arte Epica Geografia Storia Matematica

3 Antologia Storia Antologia Grammatica Inglese

4 Grammatica Matematica Inglese Tecnologia Tedesco

5 Inglese Matematica Tedesco Matematica Matematica

6 Musica Motoria Tecnologia Motoria Musica

è una tabella a doppia entrata perché per leggere l’orario dobbiamo leggere prima in riga (l’ora) e

poi in colonna (giorno).

Pertanto se volessimo sapere quale lezione abbiamo alla prima ora del giovedì di questo orario

scolastico, dovremmo considerare la riga con etichetta “1” e percorrerla finché incontriamo la

colonna con intestazione giovedì. Il contenuto della casella raggiunta ci dà l’informazione. Quindi la

prima ora del giovedì abbiamo matematica.

Altri esempi di tabelle a doppia entrata possono essere il gioco degli scacchi, la dama o la battaglia

navale.

Il re bianco si trova in (E;1), la regina nera si trova in (D;8).

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Come si può notare si parla di “prima ora del giovedì”, di re bianco in (E;1) o di regina nera in (D;8)

e non di “giovedì alla prima ora” (anche se nel linguaggio comune si può dire), di re bianco in (1;E),

di regina nera in (8;D). Questo perché in una tabella a doppia entrata si considerano prima le righe

e poi le colonne per convenzione cioè si considera in senso orario. Questo tipo di dati si chiama

COPPIA ORDINATA.

Diamo allora la seguente definizione:

DEFINIZIONE: una COPPIA ORDINATA è una coppia di simboli elencati con un ordine assegnato.

Quindi nei nostri esempi i simboli sono indicati prima dalle righe (ore e lettere maiuscole) e poi dalle

colonne (giorni e numeri).

Uno degli esempi più noti e già incontrati di tabella a doppia entrata nella carriera scolastica è la

TAVOLA PITAGORICA dove in riga e colonna ci sono i numeri naturali e nelle celle ci sono i loro

prodotti.

Fonte: http://ilsitodellaprof.weebly.com/uploads/1/4/7/6/14767182/rappresentazione_dati.pdf


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INVALSI Matematica

133



Relazioni e funzioni

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INVALSI Matematica Relazioni e funzioni

134



Scala di rappresentazione

La scala di rappresentazione è il rapporto tra le dimensioni della realtà e quella di una sua

rappresentazione. La rappresentazione in scala viene utilizzata in cartografia, nel disegno, etc.

La scala essendo il rapporto tra due grandezze omogenee è uguale al rapporto delle due misure

(carta e realtà) espresse nella stessa unità di misura. Il rapporto è, quindi, un numero puro,

indipendente dall’unità di misura prescelta.

La scala numerica è una frazione avente per numeratore l’unità e per denominatore il numero che

indica quante volte bisogna moltiplicare una lunghezza misurata sulla carta per ottenere la

corrispondente misura reale.

Esempio 1:10.000

Nel leggere un rapporto di scala si usa leggere il segno di due punti come “(sta) a”.

Esempio 1:10.000 si legge 1 (sta) a 10.000

Se troviamo scala 1:1.000.000 (si legge 1 (sta) a 1 milione) significa che 1 centimetro sulla carta

corrisponde a 1.000.000 di centimetri nella realtà e cioè a 10 chilometri.

Esercizio

Completa le seguenti affermazioni:

Scala 1: 150.000 significa che 1 cm sulla carta corrisponde a …………………nella realtà e cioè a

……………Km.

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135



Equazione

Ogni equazione del tipo:

ax + b = 0 (con a diverso da zero) si dice equazione di primo grado in una incognita.

Risolvere un’equazione significa trovare quel valore di ‘x’ che soddisfi l’equazione data.

Un’equazione di primo grado ammette sempre una ed una sola soluzione.

Esempi

a) 3x + 3 = 0

3x = -3

𝑥 =−3

3= −1

b) 2x -4x + 3 + 1 = 0

-2x = - 3 – 1

-2x = -4

𝑥 =−4

−2= +2

Verifica dell’equazione

Per controllare se la soluzione trovata è esatta si può sostituire ad ‘x’ la soluzione trovata e verificare

che i due membri abbiano lo stesso valore; verifichiamo l’equazione dell’esempio b):

-2(+2) = -4

-4 = -4

Esercizio Prova a risolvere le seguenti equazioni:

6x – 6 = 2x +4 [Ris. 𝑥 =5

2]

3x – 3 = x +1 [Ris. 𝑥 = 2]

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136



Proporzioni




a

b=

c

d


medi.

Esempio 1

36 : 4 = 𝑦 : 8

La 𝑦 = 36 × 8


Esempio 2

36 : 4 = 72 ∶ 𝑦

La y = 4 × 72







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137



Funzioni

Una funzione può essere empirica o matematica.

Una funzione si dice empirica se i valori di Y (variabile dipendente) corrispondenti a quelli della X

(variabile indipendente) non si possono ottenere tramite calcoli matematici, ma piuttosto vengono

rilevati dall’osservazione diretta.

Una funzione si dice matematica se la si può esprimere con una formula che consente di calcolare il

valore della y corrispondente ad un qualsiasi elemento del dominio della x.

Esempi di funzioni empiriche

• L'altezza di un albero è funzione della sua età

• Il valore della temperatura atmosferica è funzione dell'ora della giornata

Esempi di funzioni matematiche

• L'area del quadrato è funzione del lato

• Il peso di un corpo è funzione del suo peso specifico

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138



Concetto di funzione

Una funzione è definita dai seguenti oggetti:

Un insieme X detto dominio della funzione.

Un insieme Y detto codominio della funzione.

Una relazione f : X → Y (si legge f è tale che ad x corrisponde y) che ad ogni elemento dell'insieme

X associa uno ed un solo elemento dell'insieme Y;

l'elemento assegnato a x ∈ X tramite f viene abitualmente indicato con f(x).

Si dice che x è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre y

= f(x) è un valore della variabile dipendente della funzione.

Rappresentazione di una funzione che associa i valori

del dominio X ai valori del codominio Y

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139



Aritmetica dei numeri pari e dispari

In matematica, qualsiasi numero intero è o pari o dispari. Se è un multiplo di due(es. 8=2x2x2x2), è

un numero pari, altrimenti, è un numero dispari (es. 7 non lo puoi ricavare moltiplicando tante volte

2).

Ancora un numero espresso con il sistema di numerazione decimale è pari o dispari a seconda che

la sua ultima cifra sia pari o dispari. Ovvero, se l'ultima cifra è 1, 3, 5, 7, o 9, è dispari, altrimenti è

pari.

L'insieme dei numeri pari può essere scritto come:

Pari = 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

L'insieme dei numeri dispari può essere scritto come:

Dispari = 2Z+ 1 = {..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}.

Dove Z è l’insieme dei numeri relativi. [I numeri interi (o numeri relativi) sono formati dall'unione

dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno -

davanti ai naturali positivi. L'insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z ,

perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.]

Addizione e sottrazione

Moltiplicazione

Divisione *

pari ± pari = pari pari × pari = pari pari / dispari = pari

pari ± dispari = dispari pari × dispari = pari dispari / dispari = dispari

dispari ± dispari = pari dispari × dispari = dispari pari / pari può dare un risultato

o pari o dispari.

dispari ± pari = dispari. dispari / pari non da mai un

risultato intero

Si applica solo per i numeri interi quando il risultato è un numero intero

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140



Alcuni consigli per risolvere i problemi

Per risolvere un problema matematico bisogna procedere in un ordine ben preciso:

1. Prima di tutto devi Leggere Attentamente Il Testo per capire di cosa si sta parlando.

2. Dopo la lettura del testo devi Riconoscere La/E Domanda/E e cosa ti viene richiesto.

3. Devi Cercare Informazioni Utili E Dati Indispensabili per arrivare alla soluzione del

problema.

4. Devi riflettere per Scegliere Le Operazioni adeguate E Fare I Calcoli Correttamente.

5. Devi rileggere la domanda e Formulare La Risposta Completa E Adatta Alla Situazione.

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141



Coordinate in un grafico

La figura rappresenta un piano cartesiano; per poterlo

disegnare devi tracciare l’asse delle X (le ascisse) e l’asse delle

y (le ordinate).

L’asse delle X e delle Y sono suddivisi in tanti parti uguali; ogni

parte è uguale all’unità di misura U.

Il punto ‘A’ è un punto del piano cartesiano. Per trovare il

punto bisogna conoscere le sue coordinate: l’ascissa ‘1’ e l’ordinata ‘3’.


rispettivamente ascissa e ordinata del punto e si scrive: P(x,y);

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142



Grafico con Excel (costruzione del grafico con Excel)

1. Attiva il software Excel

2. Scrivi nella cella B1 il valore 1000

3. Scrivi nella cella B2 la formula =B1*1,1

4. Seleziona la cella e poi posiziona il mouse nell’angolo

in basso a destra; poi con il tasto sinistro premuto

trascina fino alla riga 20 e otterrai

5. fai clic su menu ‘inserisci’ e poi su

‘Grafico a linee’; seleziona il primo tipo di grafico

(a linee) e otterrai il grafico riportato di seguito

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Prova, se ti va, ad indicare gli assi e un titolo per il grafico.

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144



Come si calcolano le coordinate del punto di intersezione tra due

rette?

Consideriamo ad esempio le due rette assegnate nel quesito:

a) y = 2x – 5

b) y = -3x +1

Dobbiamo dapprima verificare che le due rette non siano parallele (già lo sappiamo dal grafico sopra

riportato) ma comunque verifichiamolo. Le due rette non sono parallele se hanno i coefficienti

angolari diversi, pertanto la ‘a’ ha coefficiente angolare ma = 2 mentre la ‘b’ ha coefficiente angolare

mb = -3; pertanto non sono parallele. Premesso ciò si mettono a sistema le due equazioni delle rette,

cioè:

{y = 2x − 5

y = −3x + 1

e si risolve il sistema (si può utilizzare ad es. il metodo di sostituzione), quindi:

{y = 2x − 5

y = −3x + 1 ; {

y = 2x − 5 2x − 5 = −3x + 1

; {y = 2x − 5

2x + 3x = 5 + 1

{y = 2x − 5 5x = 6

; {y = 2x − 5

x = 6

5= 1,2

; {y = 2

6

5− 5

x = 6

5= 1,2

; {y = −

13

5= −2,6

x = 6

5= 1,2

Quindi il punto d’intersezione tra le due rette P(x : y) avrà coordinate P(1,2 : -2,6).

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145



Disequazione di primo grado ad una incognita

Una disequazione si dice di primo grado quando l’esponente dell’incognita ‘x’ è pari ad 1

Esempio

x - 12 ≥ 6x - 2 è una disequazione di primo grado ad una incognita

per risolverla si applicano le stesse regole utilizzate per risolvere un’equazione di primo grado ad

una incognita con una sola ed importante differenza: se si moltiplica o si divide per un numero

negativo si deve cambiare verso alla diseguaglianza, cioè ≥ diventa ≤ e viceversa.

Risolviamo la disequazione

x - 12 ≥ 6x – 2 (portiamo tutte le ‘x’ da una parte ed i numeri dall’altra, avremo)

x - 6x ≥ 12 – 2 (eseguiamo le operazioni)

-5x ≥ 10 (dividiamo entrambi per -2 e cambiamo verso alla disequazione)

x ≤ -5

quindi la soluzione è l’insieme delle x minori di -5, cioè (-∞,-5]

oppure graficamente:

(con il cerchietto si indica che è compreso anche il valore -5)

-5

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146



Tabella


cella

riga



Es. Verifica che nella tabella seguente il ragazzo più alto è ‘Vittorio’ e il dato si trova nella cella

individuata dalla riga 4 e la colonna 3, cioè 173 cm.

Nome Età Altezza

Angelo 15 165

Mario 14 172

Luca 16 170

Vittorio 14 173

Dario 16 169

colonna

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147



Equazione della parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistante da un punto fisso, detto fuoco, e

da una retta fissa, chiamata direttrice.

Equazione della parabola: 𝒀 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

𝒂𝒔𝒔𝒆: 𝒙 = −𝒃

𝟐𝒂

𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆: 𝑽(−𝒃

𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄− 𝒃𝟐

𝟒𝒂)

𝑭𝒖𝒐𝒄𝒐: 𝑭(−𝒃

𝟐𝒂, 𝟏− 𝒃𝟐+ 𝟒𝒂𝒄

𝟒𝒂)

𝑫𝒊𝒓𝒆𝒕𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆: 𝒚 = − 𝟏− 𝒃𝟐+ 𝟒𝒂𝒄

𝟒𝒂

Esempio

Parabola con equazione 𝑌 = 3 ∙ 𝑥2

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148



Negazione

Data una proposizione ‘p’ la sua negazione ‘¬p’ (si legge non p) è la proposizione ‘p’ che è vera

quando ‘p’ è falsa e viceversa:

p ¬p

V F

F V

Esempio

P “tutti i gatti sono neri”

¬p “c’è almeno un gatto non nero” (è corretta)

Nessun gatto è nero (non corretta)

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149



Retta





Il valore q dell'ordinata fornisce il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate

di seguito il grafico della retta di equazione Y = 3X + 15

Verifica che:

• q = 15

• m=3

• ad ogni aumento di 1 unità per l'ascissa X, l'ordinata Y varia di 3 unità.

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150



Un’applicazione per verificare i parametri di una retta


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e verifica i parametri di una retta

digitando la sua equazione. Inizia con quella proposta nel quesito.

Buon divertimento.



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151



Esercizio: Dalle parole alla formula

A) Trova l’anno in cui fu scoperta l’America aggiungendo a 1000, 4 volte il numero 100 e 2 volte il numero 46.

B) Trova l’anno in cui ci fu la ‘Presa della Bastiglia’ aggiungendo a 500, il suo doppio e il prodotto

di 17 per se stesso.

Sol. A [1000 + 4 x 100 + 2 x 46 = 1000 + 400 + 92 = 1492 ] Sol. B [500 + 2x 500 + 17 x 17 = 500 + 1000 + 289 = 1789]

• Trovare l’anno in cui fu scoperta l’America aggiungendo a 1000,

4 volte il numero 100 e

2 volte il numero 46.

1000 + 4 ∙ 100 + 2 ∙ 46 = 1000 + 400 + 92 = 1492

• Trova l’anno in cui ci fu la ‘Presa della Bastiglia’ aggiungendo a 500,

il suo doppio e

il prodotto di 17 per se stesso.

500 + 2 ∙ 500 + 17 ∙ 17 = 500 + 1000 + 289 = 1789

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152



Valore assoluto

Nel caso di numeri reali il valore assoluto si definisce come:

|𝒙| = {𝒙 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟎−𝒙 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎

Il grafico mostra che il valore dell’ordinata è sempre il medesimo sia che l’ascissa sia positiva che

negativa (es. per x=5 si ha y=5; per x =-5 si ha y=5)

Esempio

|𝒙 − 𝟏| = 𝟒

|𝒙 − 𝟏| = ±𝟒

Risoluzione grafica

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

-10 -5 0 5 10

Serie1

𝒙 − 𝟏 = 𝟒 𝒙 = 𝟓

𝒙 − 𝟏 = −𝟒 𝒙 = −𝟑

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153



Percentuale

La percentuale è un particolare rapporto tra due grandezze a e b espresso in centesimi.

Si ottiene moltiplicando per 100 il rapporto a/b e ponendo a fianco il simbolo %.


𝟓

𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟎%



Esercizio

Quale sarebbe la percentuale degli alunni presenti?

Ris. [80%]

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154



Variazione percentuale

Esempi di calcolo

1. Supponiamo di voler calcolare la variazione percentuale per un oggetto che l’anno scorso

costava 80 € e quest’anno invece costa 120 €.


𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎)

𝟖𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 =

𝟒𝟎

𝟖𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎%

cioè il prezzo dell’oggetto è aumentato del 50%

2. Possiamo anche calcolare la variazione percentuale del prezzo attuale (120 €) dell’oggetto

rispetto a quanto costava l’anno precedente (80 €).


𝒗𝒂𝒓% = (𝟏𝟐𝟎 − 𝟖𝟎)

𝟏𝟐𝟎∙ 𝟏𝟎𝟎 =

𝟒𝟎

𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 ≅ 𝟑𝟑%

cioè il prezzo dell’oggetto l’anno scorso era il 33% in meno rispetto a quello attuale.

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155



Molla

Una molla è un oggetto elastico, generalmente fabbricato in acciaio, usato ed ottimizzato per

accumulare energia meccanica. In meccanica, e fisica, la

legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di

comportamento dei materiali elastici.

Essa è formulata dicendo che l'allungamento subìto da

una molla è direttamente proporzionale alla forza

applicata:

F=Kδ

K: costante di proporzionalità; viene detta costante elastica e dipende dalla molla.

δ: è l’allungamento subito dalla molla

I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono

detti materiali elastico-lineari.

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156



Espressioni letterali

Un’espressione letterale è un’espressione algebrica dove compaiono numeri e lettere; ad esempio

a + b + c + d ; 3a - 5b2 + 7c ; 4𝑥+3𝑦

3

assegnando alle lettere dei valori numerici le espressioni letterali diventano numeriche.

Esempio 1

5ab + 2c per a= 3 ; b = - 4 , c = 2 si ha:

𝟓 ∙ 𝟑 ∙ (−𝟒) + 𝟐 ∙ 𝟐 = −𝟔𝟎 + 𝟒 = −𝟓𝟔

Esempio 2

((𝒂 + 𝒃) ∙ 𝒄

𝒃) +

𝒂 ∙ 𝒃

𝒄

per a = 1 ; b= 2 ; c= 4

((𝟏 + 𝟐) ∙ 𝟒

𝟐) +

𝟏 ∙ 𝟐

𝟒= (

𝟏𝟐

𝟐) +

𝟐

𝟒= 𝟔 +

𝟏

𝟐= 𝟏𝟑

𝟐

Esempio 3

𝟑𝒙

𝟐+ 𝟐𝒚 − 𝟏𝟐

per x = 4 ; y = 4

𝟑 ∙ 𝟒

𝟐+ 𝟐 ∙ 𝟒 − 𝟏𝟐 =

𝟖

𝟐+ 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟏𝟐 = 𝟎

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157



Proporzionalità quadratica

Proporzionalità quadratica diretta

Si ha una proporzionalità quadratica diretta tra due grandezze X e Y quando la grandezza variabile

Y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza X, ovvero se le due grandezze sono

collegate da una relazione come:

𝐘

𝐗𝟐 = K

Esempio

Y

X2 = 9 avremo che:

Y X

9 1

36 2

81 3

dalla tabella si può notare che:

• quando X raddoppia, Y diventa quattro volte più grande;

• quando X triplica, Y diventa nove volte più grande;

più in generale quando X viene moltiplicata per n volte, Y diventa n2 volte maggiore.

Proporzionalità quadratica inversa

Si ha una proporzionalità quadratica inversa tra due grandezze X e Y quando la grandezza variabile

Y è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza X, ovvero se le due grandezze sono

collegate da una relazione come:

y =K

x2

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158



Esempio

y =1

x2 avremo che:

Y X

1 1

1

4 2

1

9 3

dalla tabella si può notare che:

• quando X raddoppia, Y diventa quattro volte più piccola;

• quando X triplica, Y diventa nove volte più piccola;

più in generale quando X viene moltiplicata per n volte, Y diventa 𝟏

𝐧𝟐 volte minore.

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159



Moto rettilineo uniforme

Un corpo si muove con moto uniforme quando percorre spazi uguali in tempi uguali. Ciò equivale a

dire che la velocità è costante.

Se la traiettoria è rettilinea (cioè non curva) si parla di moto rettilineo uniforme.

Nella tabella viene riportato la legge che lega (s) spazio e (t) tempo.

La stessa viene rappresentata nel grafico:

s = vt (detta anche legge oraria)

Per la velocità v= s/t, come puoi osservare nel grafico prendendo le varie coppie (s,t), si trova sempre

il valore ‘2’, a sostegno di quanto detto sopra in merito alla costanza della velocità nel moto

rettilineo uniforme. [ (s=2, t=1: v= 2) ; (s=4, t=2: v= 2) ; (s=6, t=3: v= 2) etc. ]

La velocità nel sistema S.I. si misura in metri al secondo.

Formule

𝒗 = 𝒔

𝒕 ; 𝒕 =

𝒔

𝒗 ; 𝒔 = 𝒗 ∙ 𝒕

t s 0 0

1 2 2 4

3 6

4 8

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Un’applicazione per verificare i tuoi calcoli geometrici


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni riportate nella pagina e verifica i calcoli relativi a varie figure

geometriche. Inizia con quella proposta nel quesito.

Buon divertimento.

http://win.sinapsi.org/public/formule_geometria/index.html

http://win.sinapsi.org/public/formule_geometria/index.html

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161



Un gioco per ripassare perimetri e aree


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e abbina le percentuali, le frazioni e le

immagini se vuoi battere l’hacker.

Laboratorio di aree e perimetri




https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/11/04/laboratorio-di-aree-e-perimetri/

https://lnx.sinapsi.org/wordpress/2014/11/04/laboratorio-di-aree-e-perimetri/

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Un gioco per trovare le coordinate del sommergibile


Fai ‘click’ sul link e poi segui le istruzioni nella pagina e trova le coordinate del sommergibile

https://www.geogebra.org/m/Mk3qzN3D






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