光通信工学２0６－1

光通信工学

1. 復習（関連部分のみ）

2. 光の干渉

3. 光検出器の応答速度

4. コヒーレント光とインコヒーレント光

鏡

鏡

光源

光検出器

マイケルソン干渉計

マイケルソン-モーレ

イの実験、エーテルの存在可否、光速度不変の原理（特殊相対性理論）などは興味があれば自習してください。

それはさておき、マイケルソン干渉計は今現在でも非常によく利用されています。

学会（光計測関係）でもよく拝見します。

光通信工学２0６－2

干渉といえば：ヤング Young の干渉実験

スリット

干渉 Interference：波動性の証

干渉縞（明暗）

光路差に依存

光強度？

鏡

shortl

longl

光路差調整 マッハ-ツェンダ干渉計 Mach-Zehnder Interferometer 但し、平面波近似したい。 ビーム径＞＞波長 厳密に言うと「調整路」必要 簡単のため「調整路」省略

余談：私は、マッハ-ツェンダ干渉

計を利用した温度センサに関する研究で卒論・修論を書いた。博士論文ではマイケルソン干渉計が活躍した。

半透明鏡 半透明鏡

long shortl l

調整路（以後、省略）

鏡

longl

long shortl l

マッハ-ツェンダ干渉計

shortl

光通信工学２0６－3

平面波 Plane wave：波数ベクトル表示

複素振幅

複素数表示

実数表示 平面波：振幅・波数ベクトルの位置依存性無。

k

r2 等位相面（波面）上の任意の二点で構成されるベクトルは波数ベクトルと常に直角。つまり、等位相面は波数ベクトルに垂直な平面。

, cost tA r k r

, exp

, 0j j

t j

A AeA

tA

eA

r k r

-30 -20 -10 0 10 20 30

-30

-20

-10

0

10

20

30

k

重要：平面波では波数ベクトルの位置依存性無

振幅一定：赤：正実数、青：複素数

定数

厳密に言うと、平面波＆進行波

進行波

進行波

λ

平面波近似：ビーム径が波長に比べて非常に大きければ近似可。

波長：mmオーダー 無限の拡がり

平面波近似の目安 太線の長さ＞＞波長 太線：実際に波が存在

r1

平面波：等位相面が平面

光通信工学２0６－4

光波とは：式で書いた方が分かりやすいかも！ 偏光：電場Eの振動方向 偏波面：電場Eベクトルと波数ベクトルからなる平面

進行方向：+z軸

x方向の直線偏光

x軸

y軸

k

E H k

H

H：磁場の強さ +y軸

,0,0

0, ,0

x

y

E

H

E

H

平面波＆進行波：簡単・便利

電場Eベクトル

電場E（振動）ベクトル

磁場H（振動）ベクトル

磁場H ベクトル

+x軸

偏波面：x-z平面 右ねじ：電場E（＋） →磁場H（＋）

波数ベクトル 0,0, 0k k

0

0

0 0

, cos

, cos

, 0

x

y

E z t t kz

H z t t k

E

H

E

z

H

振幅一定 赤：正実数

振動ベクトルを記述するときのお約束（平面波の場合） • 電場Eベクトルと磁場Hベクトルの向きは「右ねじ」で設定 • 現実には、電場Eと磁場Hは振動しているから向きも変化する • 詳細は省略するが、上記関係式は電場Ｅと電束密度Dの向きが

一致する「等方性質媒質」に限定される。（例：ガラス） • 参考文献：末田「光エレクトロニクス」p.136（昭晃堂）

波動インピーダンス：205

注意：電場Eも磁場Hも同じ位相速度の波。振動方向と振幅が異なる

光通信工学２0６－5

定義：ポインティング・ベクトル（実は、平面波に限定されない）

,0,0

0, ,0

x

y

E

H

Ε

H

2

0 22

0cos 1 cos 2 2 22

zS t kz t kzE E

S

光の強度（明暗情報）について考える：簡単な例

向き：エネルギー流

大きさ：単位断面積・単位時間当たりのエネルギーの流量

10-9

10-6

10-3

1

1015

1012

109

106 100

周波数 波長 Hz m

電磁波の種類 光は電磁波

1018

0,0, zS S E H

γ線

X線

紫外線

可視光線

赤外線

マイクロ波

短波

152 2 10 Hzf

注意：ポインティング・ベクトルは光強度ではありません

ポインティング・ベクトル（Poynting vector）：平面波の場合

高速振動項：検出不可

0

0

cos

cos

x

y

E t kz

H

E

t zE k

平面波：振幅・波数ベクトルに位置依存性無

電場Eベクトル：x成分のみ

磁場Hベクトル：y成分のみ

赤：正実数

進行方向ｋ：電場E→磁場H（右ねじ）

光通信工学２0６－6

2

2

0

200

1 cos 2 2 22

2 2

z

z

E

S tE

k

E

z

S

S

電場E振幅の自乗に比例：直感的

0,0, zS S E H２．単位時間当たりのエネルギー流量

ポインティング・ベクトルとは １．単位断面積を通過する

３．ポインテイング・ベクトルの向き ４．高速に振動する項を周期時間平均して除去 ５．単位断面積当たり光強度が求められる

周期時間平均：零

z軸 進行 方向

単位断面積当たりの光強度は電場E振幅の自乗に比例

k

平面波：振幅一定 赤：正実数 青：複素数

0

22

0E E

平面波と光強度の関係：暗い赤から明るい赤に 注意：色は変化しない。色は角周波数で異なる。（201）

ポインティング・ベクトルの大きさから高速に振動する項を除くと 単位断面積当たりの光強度：単位：W/ｍ２

光強度（単位：Ｗ）：平面波近似

但し、今日は、入射・反射・透過光のビーム径が同一になるので 「光強度は電場Eの自乗の周期時間平均に比例する」 という関係を利用します。磁場Hは登場しません。

0

22 cosz ES t kz S

光通信工学２0６－7

, expt j t E r A k r

スカラー表示について：平面波（一例）

exp

x

y

z

x

y

z

A

A

A

E

E j t

E

k r

スカラー（Scalar）表示：向きに関する情報は「頭」に入れとく

ベクトル（Bold表記）表示：電場E

, exp jAE t t r k r

振幅

平面波：振幅一定 赤：正実数 青：複素数

, ,, , , ,

x y z x y

j j

x zz ye A eA A

, cost t E Ar k r cos

x

y

z

x

y

z

E

E

A

E

A

A

t

k r

位相関係：右上参照

, cosE t tA r k r

0j jAA A Ae e

振幅成分

* *

2 2 2

*

x y

x x y y

z

z zA A A A A A A

A A A A

A

A

注意：位相関係は偏光状態に依存 参考文献 本宮「波動光学の風景」28, 5, p.524, O plus E (2006)

直線偏光の場合 x y z

電場E

磁場H

進行方向 k

,

, ,x y zA A

t

A

E r

1

m H k E

複素表示

実数表示

光通信工学２0６－8

マッハ-ツェンダ干渉計：Mach-Zehnder Interferometer

鏡

shortl

longl

光路差調整

半透明鏡 半透明鏡

光路差：零

ヤングの干渉実験から期待する光強度変化（干渉縞） 基本構成

光路差増大

明：最大

暗：最小

光強度？

半透明鏡（Beam Splitter）の役割とは？

原点

a t

?d t

b t

?c t

同一偏光状態で合波 bk

dk

ckak

0

0

cos

cos

cos

cos

a a

a

b b

b

A

A

B

B

t

a t t

t

b t t

r

r

k r

k r

入射電場E スカラー表示 左側

入射電場E スカラー表示 上側

赤：正実数

簡単のため：電場Eベクトルの向きはどこでも紙面に垂直

光通信工学２0６－9

半透明鏡（Beam Splitter）：光の分岐・合成

実際：半透明鏡には金属薄膜や誘電体多層膜などが利用される。 参考文献 中村・藤江「基礎からわかる光学部品」p.199、オプトロニクス社（省略）

平面波近似：スカラー表示

0

0

cos

cos

cos

cos

a a

a

b b

b

A

A

B

t

a t t

t

b Bt t

r

r

k r

k r

原点

a t

?d t

b t

?c t

1 11

1 12

c a

d b

結果： Beam Splitterの入出力関係式

同一偏光状態で合波 bk

dk

ckak

角周波数が同じ ＝ 波数ベクトルの大きさが同じ

注意：色は角周波数で決まる

a b c d

c

c

k

k k k k

角周波数は入射・出射間で不変：色は変わらない

振幅：赤：正実数

入射電場（左側）

入射電場（上側）

次頁：導出と物理的な意味

光通信工学２0６－10

入射波

反射波

入射波

反射波

位相シフトがπの場合、入射波と反射波は反射点で位相シフト。山なら谷、谷なら山

反射光の位相変化（s偏光） 屈折率の高い媒質から低い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相は不変 屈折率の低い媒質から高い媒質へ入射するときの反射光は、境界面において位相がπシフト

位相シフトがなければ、入射波と反射波は反射点で位相ずれ無し。山なら山、谷なら谷

実はp偏光でも状況は同じであるが、やや座標系が複雑になるためちょっと解釈が難しい。 参考文献：河合「光学設計のための基礎知識」p.145、オプトロニクス社

屈折率低い

屈折率高い

屈折率高い

屈折率低い

透過波：どちらの場合でも境界面において位相は不変（連続） 結論のみ。興味があれば：202-18

透過波

光通信工学２0６－11

半透明鏡（Beam Splitter）の入出力関係式

1 1

2 2

1 1

2 2

c a b

d a b

電場E スカラー表示

半透明鏡を拡大

裏面：無反射コート

誘電体

屈折率：高

空気

屈折率：低

負符号：屈折率低→高への反射、位相πシフト（－１）

原点

a t

d t

b t

c t

同一偏光状態で合波 bk

dk

ckak

表面：反射

半透明鏡：簡単な例

光強度：電場E振幅自乗に比例

a t

d t

c t

b t

cos , 0

cos2

cos2

a

a

a

A

A

A

a t t b t

c t t

d t t

光遮断

注意：電場E振幅自乗に比例するのは、単位断面積当たりの光強度であるが、今回は、ビーム径は入射・反射・透過光で同一とすることで、「単位断面積当たり」を外す。

透過光

反射光

光通信工学２0６－12

光の干渉：電場Eのみ考慮

原点

21 11

01 12 2

2

2

1 11

1 12

LL L

L L L

L shortR

R L long

L longL longR

R L short L short

R

R

a tc t a t

d t b t a t

c t l cb t

a t d t l c

a t l cd t l ca t

b t c t l c a t l c

c t

d t

R

R

a t

b t

鏡

shortl

longl

aL

bL

cL

dL aR

dR

cR

bR

2R L long L shortd t a t l c a t l c

cos

0

L

L

a t tA

b t

注意：

負符号：過去（時間遅れ）

ｃ：位相速度（光速）

入射光：

電場Ｅ（スカラー表示）

光強度？ 電場E自乗の周期時間平均に比例

振幅：赤：正実数

Ｌ：左側（入射側）

Ｒ：右側（出射側）

光通信工学２0６－13

0

, cos

cos

i

i L

E t tA

AE t a t t

i

r

r k r

合成電場E

' long

long short

t t l c

l l l

l c

出力側 Long pathを通る電場とShort pathスを通る電場Ｅの合成電場 注意：long pathを通る電場は時間τだけ遅れて到着（遅延波）

出力側：物理的な意味：入射電場に関して

• 時間的に古い「電場」と新しい「電場」の合成電場

• ある時刻と別な時刻の入射電場の合成

光路差

入力側：スカラー表示・実数表示

マッハ-ツェンダ干渉計 Mach-Zehnder Interferometer

2

' ' 2

R L long L short

R L L

d t a t l c a t l c

d t a t a t

遅延時間

' ' 2

' ' 2

R L L

i i

d t a t a t

d t E t E t

原点 鏡

shortl

longl

aL

bL

cL

dL aR

dR

cR

bR 光強度？ 電場E自乗の周期時間平均に比例

光強度？：電場E自乗の周期時間平均に比例

0

0

2

0

1

t T

tI t d t dt

T

次頁：光強度を測定する機器（光検出器）について検討しましょう！

光通信工学２0６－14

0 0

0 0

0 0

/2/22 2

0 0 0/2

1 1,

t nT t nTt t nT

t t nTM t t nT d dt M t d dt

nT nT

光検出器の測定値：応答速度と測定時間

光強度 光検出器の測定値

時間

応答速度：遅い

周期：

速い：過去を引きずらない

理想的：このような検出器はない。

3.3 @1T fs mm

測定が一周期時間で終了する場合：応答速度が速い。光の強度変化に追従できる。残念ながら、このような高速な光検出器はない。

もう一度書きます！：光強度測定

0

0

2

0 0

1,

t T

tI t t T d t dt

T

時間軸移動

簡単のため：等号

測定終了時刻

測定開始時刻 周期

10 1ps n 測定値：M 周期 ＜＜ 測定時間

測定開始時刻と終了時刻の中間時刻

測定に時間がかかる場合：光検出器は測定開始から終了までの間の平均値を出力（表示）する。 注意：光強度の平均値（Mean value）という意味で測定値をMで記述する。

測定開始時刻

測定終了時刻

0 0

0 0

/2 /22 2

0/2 /2

/22

/2

1 1lim lim

1lim

t nT t WW nT

t nT t Wn W

W

WW

M t d t dt d t dtnT W

M d t dtW

簡単化のため：測定時間を無限大に近似して測定値Mを考える！

光通信工学２0６－15

光検出器の測定値：応答速度が遅い場合

時間

0 0

0 0

/2 /22 2

0/2 /2

/22

/2

1 1lim lim

1lim

t nT t WW nT

t nT t Wn W

W

WW

M t d t dt d t dtnT W

M d t dtW

平均 ＝ 平滑、細かい凸凹が消える。

簡単化のため：測定時間を無限大に近似して測定値Mを考える！

測定開始時刻 T：周期

0

0

/22

0/2

1 t nT

t nTM t d dt

nT

測定終了時刻 中間時刻

光強度

周期： 3.3 @1T fs mm

応答速度が遅い。急峻な変化には追従できない。ゆっくりとした光強度変化しか再現できない。

周期 ＜＜ 測定時間 1n n

応答速度の遅い光検出器 測定時間中の平均値（Mean value）のみ表示

近似：中間時刻が消え、測定時間も無限大。違和感を感じるかもしれない。 但し、実際の測定時間は有限。あくまでも、光の周期時間と比較すれば長いというだけ。

● ● ●

● ●

●

光通信工学２0６－16

/2 /2 22

/2 /2

/22 2

/2

1 1 1lim lim ' '

4

1 1lim 2

4

0 2

W W

i iW WW W

W

i i i iWW

M d t dt E t E t dtW W

E t E t E t E t dtW

M C C

/ 2 / 2

2 2

/ 2 / 2

1 10 lim lim

W W

i iW WW W

C E t dt E t dtW W

自己相関関数： 自分自身のある時刻と別の時刻における波の姿の類似性を評価

光検出器の測定値？：類似性の評価

τ＝０の場合：類似性最大

注意：定数

/ 2

/ 2

1lim

W

i iWW

C E t E t dtW

測定時間が非常に長く、応答速度の遅い光検出器の場合 測定値は入射電場Eの自己相関関数（類似性評価関数）を含む。

0 2M C C

光検出器

測定値

shortl

longl

0C C

long shortl l l

l c

光路差

遅延時間

' longt t l c

応答速度の遅い光検出器は、測定時間中の平均値のみ表示 206-13：入射電場に関するある時刻と別な時刻との合成電場

光通信工学２0６－17 光通信工学２0６－17

光検出器測定値の例：コヒーレント光（単色：単一角周波数）の場合

0, cosE t A t r

2

2

2

1lim

cos 0 cos2

W

WW

C E t E t

E t E t dtW

AC

20

02 2

C C AM C

遅延時間：τ

0, cosE t A t r

自己相関関数

遅延時間：τ

0 maxM

min 0M

M

コヒーレント光の測定値：類似性強

0C

0測定値：明暗を繰り返す干渉信号

遅延時間、即ち、光路差に依存して測定値は最大・最小を繰り返す。明暗を繰り返すことは類似性の「強さ」証しになります。（干渉信号）

いつまでも同じ波：類似性強

ある位置で、もし、振動電場Ｅを観測できれば

光通信工学２0６－18 光通信工学２0６－18

インコヒーレント光

0, cos

0, cos

E t A t

E t A t

r

r

なんとなく言えること 1. τが小さい時間領域「類似性：強」 2. τが大きい時間領域「類似性：弱」

コヒーレント光なら

遅延量小

遅延量大

コヒーレント光なら インコヒーレント光の場合

0, cos

0, cos

E x t A t

E x t A t

?

遅延時間：τ

0 maxM

min 0M

M

コヒーレント光の干渉信号

0C

0

コヒーレント光でないと：いつまでも同じ波とは言えなくなる

コヒーレント光と同じ干渉信号？

簡単：インコヒーレント光は「単色」でない光

光通信工学２0６－19 光通信工学２0６－19

2

2

exp cos

exp cos exp cos

exp cos exp 2 cos cos

exp sin sexp in cos

0 exp co

2

s

E t A t t

C E t E t A t t A t t

A t t t

A t t

C

t

C

インコヒーレント光（一例）：振幅減衰

青い部分：振動ωと比較してゆっくり変化（定数近似）

遅延量大

遅延量小

0

2

C CM

干渉信号

遅延時間：τ minM

M

振幅減衰光の干渉信号

0

maxM

0

0

2

C 0Cなんとなく言えること 1. τが小さい時間領域「類似性：強」 2. τが大きい時間領域「類似性：弱」

分かったこと：明暗（Contrast） 1. τが小さい時間領域「明暗：はっきり」 2. τが大きい時間領域「明暗：無し」

計算については説明略

やや難しいかな：上記の例では振幅は減衰している。でも、角周波数はω（定数）のように見える。でも、これは正しくない。 参考文献：根本「レーザ工学」p.14（培風館）

光通信工学２0６－20

ヤング Young の干渉実験

スリット スリット

干渉縞なし

干渉：コヒーレント光 干渉：インコヒーレント光

単色でない光

遅延：大

遅延：大

干渉縞

段々、明暗が不明瞭になり最後には一定の明るさになる。

思いっきり色が混ざっていれば「すぐに」明るさ一定。

干渉縞

明暗は不明瞭にならない

もちろん、光が届かない領域は除く。事情は複雑ですが。

遅延：小

遅延：小

遅延：零

結論：干渉信号（縞）の明瞭度は、光の品質（コヒーレント性）と関連がある。

コヒーレント光：いつまでも同じ波（振動電場E、振動磁場H） レーザとは：コヒーレント光（単色：単一角周波数）発生装置

光源？

レーザ

光源？