전자기학 과제 해답 -...

1

전자기학 과제 해답

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15주(보강): 8장 평면파의 반사와 투과

15.1 Medium 1: air, Mediumk 2: earth, εr = 4. Find the intrinsic impedance of the air η1 and of the earth η2.

(Answer)

0 1 01 1 11

1 0 1 0 1 1

1 1

1

22

2

1 4

1

120

Medium 1: Air, 1,

11201

120

Medium 1: Earth, 1,

1

120

120 60 4

r r r

r r r

r r

r

r

r r

u

15.2 Find the reflection cofficient Γ and transmission coefficient τ of a planewave normally incident from the

air to the earth.

(Answer)

2 1

2 1

60 12060 120

11 1

13

233

15.3 Find the reflectivity R and transmivity T.

(Answer) 2 2

22

1

1 2

2

| | ( 1/ 3)

| | (cos ) /(cos ) /

Normal incidence: / 2, / 2

2 / 3, 120 , 60

(2 / 3) / 60 421/

1/ 9

0 98

12 9

t

i

i t

R

T

T

15.4 Find the Brewster angle θB.

(Answer)

2

1 12

163.44tan tan

1r

Br

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14주: 7장 평면파의 전파

14.1 Find the wave number k, the wavelength λ, and the phase velopcity up at 1GHz of a planewave in a

medium with μr = 2.0 and εr = 2.0. (30 points)

(Answer)

0 0 0 0

8

0 0

8

9 8 40 / 3 r

2 ( )( ) 2

2 ( / ) 2 2.0 2.0(10 ) /(3 10 )

2 2

1 1 1 3

ad/m

3 m20

1.5102.0 2.0

10 m/s

r r r r

r r

pr r r r

k f f

f c

kk

cuk

14.2 In Problem 14.1, the electric field is given by E = 100ax exp(–jkz)(V/m). Find the magnetic field.

(Answer)

0

0

ˆ 2.0ˆ, , 120 1202.0

ˆ ˆ100120

5 ˆ A/m6

r

r

jk kz j zee

k EH k z

z yH x

14.3 The electric field phasor of a plane is given by E = 5ax exp(–jkz+jπ) + Bay exp(–jkz+jφ). Determine B

and φ for the left-hand circular polarization.

(Answer)

For LHCP,

| | | |

0, / 2 , / 2

5

3 / 2x y

x y x y

E E B

E E E E

14.4 In Problem 14.1, the material's magnetic loss tangent and the electric loss tangent are 0.2 and 0.3

respectively. Find the attenuation constant α and the phase constant β.

(Answer)

3

2 2 20 0

0 09

8

(2 ) (1 tan ) (1 tan )

(2 ) (1 tan )(1 tan )

2 102 (1 tan )(1 tan ) 2.0 2.0(1 0.2)(1 0.3)3 10

2 22(1 0.25)0.3 0.3 0.1

Np/m0

5

.32

0.1

r m r e

r r m e

r r m e

f j j

j f j j

fj j j j j jc

j j j j

rad/m5

14.5 Find the skin depth in Problem 14.4

(Answer)

0.31 ms

14.6 Form problem 14.3, find the time-average power density Sav.

(Answer)

***

* * 2 2

0

02 2

* *

1 1 ˆRe( ) Re2 2

| | | |1 1ˆ ˆRe2 2

2.0120 120 , * 1202.0

1 5 5 25 ˆ 120

ˆ2 120

jk zjk zyjkz jkzx

av x y

jk z jk z jk z jk zx x y y x y

r

r

av

E eE eE e E e

E E e e E E e e E E

S E H z

z

S z z

z

2 W/m

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13주: 6장 시변 전자기장에서의 맥스웰방정식

13.1 Magnetic field in air is given by H = 2cos(3t + π) az (A/m). A 10-turn conducting loop of radius 1 m is

placed on the xy plane. Find the voltage Vm induced in the loop.

(Answer)

(Faraday's law)mdV Ndt

2 20 0( ) [2cos(3 )]( )z

Sd H a t a B s

206 ( )sin(3 )

d a tdt

206 ( )sin(3 )mV N a t

4

7010, 4 10 H/m, 1N a

2 624 10 sin(3 ) Vm tV

13.2 An ideal transformer's primary and secondary windings are N1 = 10, N2 = 100. The primary side is

energized with V1 = 1 Vac, I1 = 1 Aac. Find the secondary side voltage V2 and current I2.

(Answer)

2 2 22 1

1 1 1

2 1 12 1

1 2 2

100 110

10 Vac

0.1 A10 110

c0

a

V N NV VV N N

I N NI II N N

13.3 A rectangular loop of 1 m2 area is rotating with angular frequency of 20 rad/s in a magnetic field of 1 T.

Find the amplitude of the voltage Vm generated in the rectangular loop.

(Answer)

0

0

0

0

cos( )

: magnetic flux density

: angular velocity

sin( )

Amplitude of = 20 1 1 1 20 V=

m

m

B A t

B

dV N NB A tdt

V NB A

13.4 The magnetic field H1 is given by (2ax + 3ay + 4az) (A/m) in the region z > 0 filled with air. The region z

< 0 is filled with a magnetic material of relative permeability of 2. Find the magnetic field H2 in the

region z < 0.

(Answer)

1 1 1 1 1

1 2

1 2 0 1 0 2

2 2 2 1 1

, 2 3 A/m

2 3 2

, 4 A/m

1 with A/ 2m

t n t x y n z

t t

n n n

x y z

r n

t n t n rr

H H H H a a H a

H H

B B H H

H H H H aH a a

13.5 For a medium with σ of 105 S/m and relative dielectric constant of 2, find the charge relaxation time

constant τ.

(Answer) 12

105

78.854 10 17.708 10 0

s21

rr

5

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12주: 정자기장 (2)

12.1 In a magetic material with relative permeability of 100, the magnetic flux density B is 1 T. Find the magnetic field

strength H (A/m).

(Answer)

H = B/μ = B/(μ0μr) = 1/(4π×10−7×100) = 105/(4π) A/m

12.2 The plane z = 0 is the boundary between the air and a magnetic material with relative perameability of 100. In the

air, H = (Hx, Hy, Hz) = (1, 1, 1) (A/m). Find the B (T) in the magnetic material.

(Anwer)

H1t = (1, 1, 0) = H2t = B2t /(100μ0)

B1n = (0, 0, μ0) = B2n

B2 = B2t at+ B2n an = (100μ0, 100μ0, μ0) T

12.3 N = 500, find the reluctance R and the magnetic flux Φ in the core. The core material is the electrical steel with

relative permeability of 4000. The core's cross section is a square.(가로 w, 세로 w인 정사각형)

(Answer) RΦ = Vm = NI = 500×0.1 = 50 At

R = L / (μS) = 4(h − w) / (μ0 μr w2) = 4(0.1−0.01)/(4π×10−7×4000×0.012) = 4×0.09/(16π×10−8) = 9×106/(4π) (At/Wb)

Φ = Vm / R = 50 / [9×106/(4π)] = (2π/9)×10−4 Wb

12.4 N = 100, r1 = 2cm, r2 = 3cm, h = 1cm, μr = 500, find the inductance L (H).

(Answer)

L = [(μ0μrN2h)/(2π)]ln(r2/r1) = [(4π×10−7×500×1002×0.01)/(2π)] ln(0.03/0.02) = 0.01ln(1.5) H

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11 주: 정자기장 (1) (pptx, pptx-no-voice, mp4)

(과제) 참고 ay: unit vector in +y direction.

6

11.1 A 1C charge is moving with a velocity of u = 2ay m2/ in a magnetic flux density B = 3az T, find the

force on the charge.

(해답)

1(2 ) ( N3 ) 6 ( )y xzq aF u B a a

11.2 Given an infinitesimal current element IdL = 2 az (A·m) at (x, y, z) = (0, 0, 0), find the magnetic

field H at (x, y, z) = (1, 1, 1) m.

(해답)

2 3

2 2 2 3/ 2

ˆ

4 4(1,1,1) (0,0,0)

2 ( )

4 (1 (A/m

1 ) 271)

x y z

z x y z y x

Id IdR R

L R L RH

R a a a

a a a aH

a a

11.3 A current of 3 A flows along the z axis in –az direction in vacuum. Find the magnetic field H at (x, y, z)

= (1, 1, 1) m.

(해답)

+z 방향 무한선류에 의한 자기장

2 2

ˆ2 2ˆ ˆˆ at ( , , ) (1,1,1)

2

2

ˆ ˆ( ) (A/m)4

I Ir r

x y z

r x yI

H a φ

x yφ

H x y

따라서 −z 방향으로 3A의 전류가 흐를 경우 3 ˆ ˆ( ) (A/m)

43 ˆ

2 r

x yH φ

11.4 The magnetic vector potential function is given by A = (2x2 + 3y2 + 4z2) az. Find the magnetic flux

density B.

(해답)

7

2 2 2

2 2 2 2 2 2

6

(2 +3 +4 )

(2 3 4 ) (2 +3 + )

)

4

4 (T

x y z z

y x

x y

x y zx y z

x y

y

z x y zx y

x

a a

B A a a a a

a a

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10주: 정전기장 (2)

10.1 Given V(x, y, z) = xyz, find E (V/m).

(해답)

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )

| | ( ) ( ) ( ) V/m

V V VV yz

xy yz zx

zx xyx y z

E

E x y z x y z

E

10.2 Given σ = 10 S/m and E = 2 V/m, find J (A/m2).

(해답)

J = σE = 10 × 2 = 20 A/m2

10.3 Given σ = 10 S/m, A = 0.1 m2, L = 1 m, find R (ohm).

(해답)

R = L / (σA) = 1 / (10 × 0.1) = 1 ohm

10.4 Given ε = 4ε0, A = 0.1 m2, d = 1 m, find C (F).

(해답)

C = ε A / d = 4 × 8.854×10-12 × 0.1 / 1 = 3.542×10-12 F = 3.542 pF

10.5 V = 1 V with the capcitor in Problem 10.4, find We (J).

(해답)

We = CV2 /2 = 3.542×10-12 × 12 / 2 = 1.771×10-12 J = 1.771 pJ

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9주: 정전기장 (1)

9.1 Given E = 1 V/m, εr = 2, find the electric flux density D.

(해답) D = εr ε0 E = 2 × 8.854×10-12 × 1 = 1.77×10-11 C/m2

9.2 점 (1, 1, 1)에 1 C 점전하가 있을 경우 (0, 0, 0)에서 전기력선 밀도 벡터 D를 구하라. (해답)

2 3ˆ

4 4Q QR R

D R R

8

2 2 2

(0,0,0) (1,1,1) (1,1,1)

1 1 1 3R

R r r

21 ˆ ˆ ˆ( ) C/m12 3

y zD x

9.3 z = 1 평면에 1 C/m2의 밀도로 전하가 분포되로 z = -1 평면에 -1 C/m2의 밀도로 전하가 분포되어 있다. 점 (0, 0, 0)에서의 전기력선 밀도 벡터 D를 구하라.

(해답)

z = 1 평면 전하에 의한 전기장 E1:

11 1

1ˆ ˆ( )2 2s E n z

z = -1 평면 전하에 의한 전기장 E2: 2

2 21ˆ ˆ( )

2 2s E n z

총 전기장 E: 1 2 ˆ V/m zE E E

9.4 점 (x, y) = (1, 1)에 1 C/m의 무한 z 방향 선전하가 있다. 점 (x, y) = (0, 0)에서의 전기력선 밀도 벡터 D를 구하라.

(해답)

2ˆ

2 2L L

D ρ ρ

(0,0) (1,1) (1,1) ρ r r

21 ˆ ˆ( ) C/m4 2

yD x

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8주: 중간시험, 과제 없음.

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7주: 공휴(4.30 석가탄신일)

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6주: 벡터해석 2

강의: Gradient, divergence, curl and Laplacian

(과제)

9

2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

| |

Laplacian(| | ) | |

(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )

(2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) 4( )

z x x y y z

z x x y y zx y z

z x y x x y z y x z y zx y z

z y x z x y x y z

A

A A

벡터함수 A(x, y, z) = (zx, xy, yz) 가 주어진 경우 다음을 구하라. 6.1 div(A).

(해답)

ˆ ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , )

div( ) ( ) ( ) ( )

x y z x y z

yx z

x y z zx xy yz A A A A A A

AA AA zx xy yz z x yx y z x y x

A x y z

A

6.2 curl(A).

(해답)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcurl( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ

zx xy yzx y z

xy yz zx yz zx xyx x y y z z

y z x

A A x y z x y z

z y z x y x

z x y

6.3 grad[div(A)].

(해답)

div( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆgrad[div( )] ( )

z x y

z x yx y z

A

A x y z x y z

6.4 the Laplacian of | A |2.

(해답)

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5주: 벡터해석 1

강의 1: 벡터연산

(과제)

두 벡터 A = (-1, 1, 2), B = (1, 1, -1) 가 주어졌다. 5.1 C = A · B를 구하라. (해답) ( 1,1,2) (1,1, 1) ( 1)(1) (1)(1) (2)( 1) 1 1 2 2C A B

10

5.2 D = A × B를 구하라. (해답)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2 ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) (2 2 ) 3 2

D A B x y z x y z

x x y z y x y z z x y z

z y z x y x x y z

강의 2: 직교좌표계

(과제)

점 P 의 좌표가 (x, y, z) = (2, 2, 0) 주어졌다. 5.3 점 P에서 원통좌표계의 phi 방향 단위벡터를 도시하라. (해답)

5.4 점 P에서 구좌표계의 theta 방향 단위벡터를 도시하라. (해답)

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4주:

강의 1: 2장7절 전송선 입력 임피던스

(과제)

4.1 특성임피던스 50 Ω, 길이 0.1파장인 전송선 종단에 50+j50 Ω인 부하 임피던스가 연결되었을

경우

a) 부하에서의 반사계수

b) 입력단에서의 반사계수

c) b를 이용하여 입력단에서의 입력 임피던스를 구하라.

(해답)

a) 부하에서의 반사계수:

11

63.400

50 50 50 0.44750 50 50

jLL

L

Z Z j eZ Z j

b) 입력단에서의 반사계수:

2 63.4 2(2 / )(0.1 ) 63.4 72 8.60.447 0.447 0.447 0.442 0.0668j d j j j j jLe e e e e e j

c) 입력단에서의 입력 임피던스:

inin 0in

1 1 0.442 0.0668 1.442 0.066850 50 50(2.534 0.4230) 127 21 ( )1 1 0.442 0.0688 0.558 0.0668

j jZ Z j jj j

강의 2: 2장8절 단락/개방 전송선

(과제)

4.2 특성임피던스 50, 길이 0.1파장인 전송선 종단이 단락된 경우

a) 입력 임피던스

b) 주파수가 1 GHz일 경우 등가 인덕턴스를 구하라.

(해답)

a) 입력 임피던스:

0 tan 50 tan[(2 / )0.1 ] 36.3 ( )Z jZ j j

b) 등가 인덕턴스:

900 9tan( ) 36.3tan( ) 5.78 10 (H)

(2 )10eq eqZZ jZ j L L

강의 3: 2장9절 전송선 전력흐름

4.3 입사전압 20exp(j20°), 전송선 특성 임피던스 50 Ω, 부하 임피던스 50+j50 Ω인 경우

a) 평균 입사전력

b) 평균 반사전력

c) 부하에서 소모되는 평균전력을 구하라.

(해답)

a) 평균 입사전력: 2 2

0

0

| | 20 4 (W)2 2(50)VP

Z

b) 평균 반사전력: 63.4 2 200

50 50 50 0.447 , | | 0.447 (4) 0.799 (W)50 50 50

jL

L

Z Z j e P PZ Z j

12

c) 부하에서 소모되는 평균전력:

, 4 0.799 3.201 (W)L LP P P P P P

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3주: 2장 전송선로

강의: 제 2 장 전송선로 (1)

(과제)

3.1 전송선의 분산이란 무엇인가? 펄스파형이 분산이 있는 전송선을 통과한 후 파형을

도시하라.

(해답)

분산: 특성이 주파수에 따라 변하는 분산적 전송선을 신호가 통과할 때 왜곡되는 현상

펄스파형 분산후 파형:

3.2 전송선의 TEM 모드란? 동축선 단면에서의 전기력선과 자기력선을 도시하라.

(해답)

TEM 모드: 전송선 단면이 xy 평면일 경우 Ez = Hz = 0인 모드

동축선 단면에서의 전기력선과 자기력선 도시:

3.3 전송선의 집중정수소자 모델 (등가회로를) 도시하라. 전송선 전압에 관한 방정식과 해를

제시하라.

(해답)

전송선의 집중정수소자 모델:

13

전송선 전압에 관한 방정식:

전압 해:

3.4 전송선에서 손실이 있는 경우의 복소전파상수, 특성임피던스 식을 제시하라. 무손실의 경우

식을 제시하라.

(해답)

손실이 있는 전송선:

복소전파상수:

특성임피던스:

무손실 전송선:

복소전파상수: j ,

특성임피던스:

3.5 정합 (matched) 부하, 단락회로 (short-circuited) 부하, 개방회로 (open-circuited) 부하의

반사계수를 제시하라.

(해답)

정합부하의 반사계수:

0 00

, 0L LL

Z Z Z ZZ Z

단락회로의 반사계수:

00

, 0 1L LL

Z Z ZZ Z

14

개방회로의 반사계수:

00

, 1L LL

Z Z ZZ Z

3.6 특성임피던스가 50 Ω인 전송선 종단에 부하 임피던스 100 + j100 Ω의 부하가 연결되었다.

부하에서의 반사계수 크기, 반사계수 위상, 전압정재파비를 구하라.

(해답)

반사계수 크기와 위상:

63.4

29.7033.7

0

100 100 50 111.8 0.620100 100 50 180.3

jjL

jL

Z Z j e eZ Z j e

반사계수 크기: 0.620

반사계수 위상: 29.7°

전압정재파비:

1 | | 1 0.62 4.261 | | 1 0.62

S

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2주: 1장 파와 페이저

A) 동영상 강의:

인하대 차동우 교수, '파동방정식'

(과제)

2.1 파장이 PIN (m)일 경우 파수 (위상정수)를 구하라.

(해답)

32 2 1.97 10 (rad/m)3194

2.2 파동의 속도를 파장과 주기로 표현하라.

(해답)

pu f T

2.3 위 2.2식으로부터 파동의 속도를 각진동수 (각주파수)와 파수 (위상정수)로 표현하는 식을

유도하라.

(해답)

15

22 2 2 2; ; ; 2p pu T uT T

B) 강의자료 학습: F. Ulaby 교수, '전자기학', 1.4 – 1.7 절

(과제)

2.4 전자기파의 3개 형태를 제시하라.

(해답)

평면파, 원통면파, 구면파

2.5 다음 특성을 가지는 정현파 전기장 E(t)의 수학식을 제시하라.

진폭: 10

감쇠정수: 2 Np/m

주기: 1 us

파장: 0.1 m

진행방항: +y 방향

위상: 40°

(해답)

6 6

2 6

1( ) cos( ); 10, 2; 1 s 10 Hz, 2 (2 )10

2 2 20 ; 40 ; ( ) 10 cos[(2 )10 (20 ) 40 ]0.1

y

y

E t Ae t y A T f fT

E t e t y

2.6 위 전기장 파동의 페이저를 구하라.

(해답)

( ) 2 [ (20 ) 40 ]( ) Re( ) 10j t y j y y j yE t Ee E Ae e e e

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1주: 1장 파와 페이저

A) 원격 동영상 강의: 인하대 차동우 교수, '전자기현상의 기본법칙'

(과제)

1.1 쿨롱법칙은 ( )에 의해 발생된 ( )을 계산하기 위한 것이다.

1.2 전기장에 관한 가우스법칙은 ( )과 ( ) 사이의 관계식이다.

1.3 비오사바르 법칙은 ( )에 의해 발생된 ( )을 계산하기 위한 것이다.

1.4 암페어의 법칙은 ( )과 ( ) 사이의 관계식이다.

16

1.5 패러데이 법칙은 ( )과 ( ) 사이의 관계식이다.

1.6 자기장에 관한 가우스 법칙을 적용하면 우변이 ( )이 된다.

(해답)

1.1 쿨롱법칙은 (전하)에 의해 발생된 (전기장)을 계산하기 위한 것이다.

1.2 전기장에 관한 가우스법칙은 (전기장 선속)과 (전하밀도 or 폐곡면 내부의 총전하) 사이의

관계식이다.

1.3 비오사바르 법칙은 (전류 or 전류밀도)에 의해 발생된 (자기장 or 자기력선 밀도)을

계산하기 위한 것이다.

1.4 암페어의 법칙은 (자기장 써큘레이션)과 (전류) 사이의 관계식이다.

1.5 패러데이 법칙은 (전기장)과 (자기장의 시간변화) 사이의 관계식이다.

1.6 자기장에 관한 가우스 법칙을 적용하면 우변이 (영)이 된다.

B) 강의자료 학습: Ulaby 교수, '파와 페이저' (ch-1a.ppt) (21쪽)

(과제)

1.7 An electron and a proton is separated by PIN (m) in vacuum. Find the force F (N) on the electron.

(해답) PIN = 3194

19 19

351 221 2 12 2

0 12

( 1.6 10 )(1.6 10 ) 2.26 10 (N) (attractive force)4 4 (8.854 10 ) 3194

q qFR

1.8 Current of 1 A flows on an infinitely long wire. Find the magnetic flux density B (T) at distance PIN (m)

from the wire.

(해답) PIN = 3194

7

110 (4 10 ) 1 6.26 10 (T)2 2 3194

IBr

1.9 A body contains PIN electons. Find the total charge Q (C). Express Q in the form a.bcd (unit prefix) (C).

(해답) PIN = 3194

19 163194 (1.6 10 ) 5.11 10 (C)Q ne

1.10 전자기학을 잘 공부해서 충분한 지식을 갖춘다면 졸업 후 어떤 분야 회사에 취업하는

데에 직접적으로 도움이 되는가?

(해답)

전기전자, 광학, 의료기기

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전자기학 과제 해답 -...

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