原原原子子子核核核库库库仑仑仑能能能

专业名称：理论物理

申 请人 ：余 雪 鑫

指导教师：王宁 教授

导 师：刘敏副教授

论论论文文文答答答辩辩辩委委委员员员会会会

.主席：

委员：

原子核库仑能

研研研究究究生生生: 余雪鑫 指导教师: 王宁 博士、教授

专业：理论物理 方向: 原子核物理 年级: 2007级

摘 要

基于Skyrme能量密度泛函结合拓展的Thomas-Fermi近似，通过约束的密度变分

方法搜索原子核体系的能量最小值，我们得到原子核的基态核密度分布。基于得到

的质子密度分布，求解泊松方程得到体系的库仑势，再对库仑势进行积分得到原子

核库的仑能。对任意形式的质子密度分布情况，该方法只需对库仑势进行数值积分

得到库仑能，比传统的由库仑能定义出发作六重积分计算库仑能的方法省时，方便。

以锐边界均匀分布球形核和质子密度为高斯分布的球形核为例，用已知的库仑能解

析表达式为参考，首先对该数值积分方法的可靠性作了检验。结果表明，两种方法

算得的库仑能非常接近，相对偏差为10−4∼10−5左右。

利用相同的数值积分方法，我们研究了质子密度为球形Woods-Saxon分布下，

质量数A = 16 ∼ 300一系列原子核在弥散参数a = 0.2 ∼ 1.2fm范围内的库仑能。通过

多项式拟合，得到一个考虑弥散修正的球形核库仑能的解析表达式。经过相对偏差

分析，对于大部分核，该解析表达式计算的库仑能与数值积分方法计算的库仑能的

相对偏差小于0.05%。

在球形核计算结果的基础上，以相同的方法，我们还研究了质子密度为轴对

称变形Woods-Saxon分布下，质量数A = 16 ∼ 300一系列原子核在弥散a = 0.2 ∼0.6fm、形变参量β2 = −0.5 ∼ 0.5范围内的库仑能。再次通过多项式拟合，得到同时

考虑表面弥散和原子核形变修正的库仑能解析表达式。经过相对偏差分析，对于大

部分核，该解析表达式与数值积分方法算得的库仑能的相对偏差小于0.1%，而对于

中等质量核以及重核（a/R < 0.12），相对偏差都小于0.05%。

关键词： 库仑能；Woods-Saxon；泊松方程；表面弥散；原子核形变

Coulomb energy of nucleus

Postgraduate:Xue-xin Yu Adviser: Prof. Ning Wang

Theoretical physics , major in Nuclear Physics, Grade 2007

Abstract

Based on the Skyrme energy density functional and the extended Thomas-Fermi

approach(ETF), we calculate the nucleus ground state density distribution by using

the restricted density variational method. Then by solving the Poisson equation to

obtain the Coulomb potential, we calculate the corresponding Coulomb energy with a

numerical integration over the Coulomb potential. For any form of proton density dis-

tribution, one can calculate the Coulomb energy through integrals over the Coulomb

potential, which is much time-saving than the 6-dimensional integrals from the def-

inition. For a spherical nucleus with uniform charge distribution and a system with

gaussian charge distribution, the corresponding Coulomb energy can be accurately ob-

tained by analytical formulas. We first check the results of the numerical integration

for these two cases. It shows that the results of these two methods are very close to

each other. The relative deviations are about 10−4 ∼ 10−5.

With the same numerical approach, we calculate the Coulomb energies of a num-

ber of spherical nuclei from A = 16 to 300 with Woods-Saxon charge distribution.

The nuclear surface diffuseness a varies from 0.2 to 1.2fm. By fitting the calculated

Coulomb energies of these nuclei, we obtain an analytical formula for the Coulomb en-

ergy of spherical nucleus with surface diffuseness. The Coulomb energy of a spherical

nucleus can be reliably obtained with the formula. For almost all calculated nuclei,

the relative deviation is smaller than 0.05%.

Based on the results of spherical nucleus, using the same method, we also calcu-

late the Coulomb energies of a number of axially deformed nuclei from A = 16 to 300

with Woods-Saxon charge distribution. The nuclear surface diffuseness a varies from

0.2 to 0.6fm and the deformation parameter β2 varies from -0.5 to 0.5. By fitting the

calculated Coulomb energies of these nuclei, we obtain an analytical formula for the

Coulomb energy of axially deformed nucleus in which the nuclear surface diffuseness

and deformation parameter is taken into account. For almost all calculated nuclei, the

relative deviation is smaller than 0.1%. For intermediate and heavy nuclei( aR< 0.12),

the relative deviation is smaller than 0.05%.

Keywords： Coulomb Energy; Woods-Saxon; Poisson Equation;

Surface Diffuseness; Nucleus Deformation

目目目 录录录

目录 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · iv

第一章 引言 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

第二章 原子核的电荷密度分布以及电荷半径 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4

2.1 Skyrme能量密度及拓展的Thomas-Fermi近似 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4

2.2 约束的密度变分方法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6

2.3 原子核基态电荷密度的分布以及电荷半径 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7

第三章 原子核库仑能 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11

3.1 锐边界球形核库仑能 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12

3.2 弥散的球形核库仑能 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13

3.2.1 由原子核库仑势的数值积分计算库仑能 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13

3.2.2 球形核库仑能的解析表达式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16

3.3 弥散的轴对称变形核库仑能 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 19

第四章 结论和展望 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23

4.1 结论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 23

4.2 展望 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 24

参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 25

附录 A 库仑能直接项的计算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 28

附录 B 弥散对库仑能的主要贡献项推导 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 31

附录 C 振动的经典液滴模型库仑能直接项的计算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 36

发表文章目录 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 39

致谢 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 40

表表表 格格格

2-1 Bi与常用Skyrme有效核力参数之间的关系 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5

2-2 SkM∗参数 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5

3-1 质子密度为高斯分布下球形核的库仑能 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15

3-2 由轻到重不同核素的a/R值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22

插插插 图图图

2-1 原子核基态电荷密度分布。（a）208Pb基态电荷密度分布的实验值与计

算值的比较。（b）16O、40Ca、120Sn、208Pb基态电荷密度分布计算值。 8

2-2 （彩图）原子核电荷半径。加号表示实验值，实心圆圈表示计算值。 · · 9

3-1 208Pb基态高斯形式的电荷密度分布。ρ、r、σ表示电荷密度、离原子

核中心距离、高斯宽度。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14

3-2 208Pb基态库仑势变化曲线。VC表示库仑势，r表示离原子核中心的距

离。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15

3-3 40Ca、58Ni、120Sn、208Pb的库仑能与弥散a的关系。箭头表示由公

式(3.9)计算的锐边界球形核库仑能E(0)C 。空心圆圈表示对库仑势数值

积分((3.11)式)计算得到的库仑能。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16

3-4 （彩图）质量数A = 16 ∼ 300球形核的库仑能比值ECoul/E(0)C 。短竖线

表示对库仑势数值积分的计算结果。虚线和实线分别表示（3.20）式

和（3.21）式的计算结果。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17

3-5 （彩图）球形核库仑能解析表达式计算结果ECoul与数值积分计算结

果EC的相对偏差。浅灰色部分表示相对偏差都小于0.05%的区域。 · · · · 18

3-6 （彩图）数值积分计算得到的变形核150Sm的库仑能。（a）考虑原子核

的四极形变加上八极形变；（b）考虑原子核的四极形变加上十六极形

变。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 20

3-7 （彩图）数值积分计算得到的轴对称变形核150Sm的库仑能随弥散a、

形变β2的变化关系。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 21

3-8 （彩图）轴对称变形核的库仑能解析表达式计算结果ECoul与数值积分

计算结果EC的相对偏差。浅灰色部分表示相对偏差都小于0.05%的区

域。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 22

第第第一一一章章章 引引引言言言

原子核的库仑能是由质子间的静电相互作用引起的。由于质子间库仑力是

排斥的，库仑能使原子核的结合能减小。质子间库仑力对于原子核的结合能、密

度分布、核稳定性、中子皮厚度等结构性质具有至关重要的作用。早在1936年，

Bethe和Bacher就已经讨论了库仑能在原子核结构方面的贡献，他们给出了锐边界球

形核库仑能的解析表达式表达式 [1]。在原子核的液滴模型中，将原子核近似为均匀

带电的液滴。基于液滴模型，Weizsacker 提出的能够较好地描述原子核基态能量的

半经验质量公式也包含了相同的库仑能项 [2]:

EC =3

5

Z(Z − 1)e2

R, (1.1)

对于较重Z ≫ 1的核，Z(Z − 1) ≈ Z2，所以：

EC =3

5

Z2e2

R. (1.2)

上式的详细推导过程也可以参见3.1节，或者附录A。

我们知道上面的库仑能的表达式是把原子核看成是一个均匀带电的球体得到的。

然而，人们利用高能电子对原子核的散射实验表明，原子核的表面并不是锐边界而

是弥散形式的，这种分布可近似用二参数费米分布函数（2PF）来描述 [3]：

ρ(r) =ρ0

1 + e(r−R)/a. (1.3)

密度从90%下降到10%所对应的厚度，称为表面厚度。对于轻核，其表面的厚度大约

为2fm，这足以与其半径相比拟。因此，原子核表面弥散对库仑能的影响不容忽略。

同样，形变也影响着原子核的库仑能。所以，在Weizsacker 提出质量半经验公式以

后的几十年中，Myers-Swiateski等人尝试对其进行一些修正 [4–8]。譬如考虑某种形

式的核密度分布，质子与中子间密度差别，形变影响以及液滴并非完全不可压缩等

效应对结合能的修正。但是，这些半经验公式往往比较复杂，包含的参数也比较多，

由核基态结合能数据最优化拟合参数的运算量较大。如果重新回到用定义式来求库

仑能直接贡献项：

EC =e2

2

∫ ∫ρ(r)ρ(r′)

|r− r′|drdr′. (1.4)

这是一个六重积分，计算起来非常耗时。特别是计算带弥散的变形核时，情况会变

得更加复杂。解决这种困难的一个办法就是寻找计算库仑能的解析表达式。这方

面的工作，在文献 [9–13]做了相关讨论和介绍。例如Carlson、Lindner和Janecke等

人在数值解分求库仑能的过程中，通过对Woods-Saxon形式的质子密度分布进

行leptodermous展开，分别得到不同形式的原子核库仑能解析表达式：

ECoul =3

5(4

3πρ0e)

2R50(1 +

6

5η2 + 0.5815η3 (1.5)

−1

6η4 + 0.0922η5 + · · ·),

ECoul =3

5

Z2e2

R0

(1− 7

6η2 + 0.5805η3 + · · ·), (1.6)

ECoul =3

5

Z2e2

Q[1 + 18.0295(

a

Q)3 − 7

8π4(

a

Q)4 + · · ·]. (1.7)

其中，

R0 = R[1− 1

3(πa

R)2 + · · ·], (1.8)

η =πa

R0

, (1.9)

Q = R[1 +5

6(πapR

)2 − 7

24(πapR

)4 + · · ·], (1.10)

ρ0、R、R0、a分别表示质子中心密度、锐边界球形核质子半径、球形核质子半密度

半径和表面弥散。然而这些库仑能的表达式只适用于球形核的情况。

对于变形原子核的半径：

R(θ) = λ−1R0[1 +N∑

n=1

αnPn(cos(θ))], (1.11)

λ3 = 1 +N∑

n=1

3

2n+ 1α2n +

1

2

N∑l,m,n=1

(lmn)αlαmαn, (1.12)

λ、R0、α、P分别表示体积因子、半密度半径、形变因子和Legendre多项式。

Mayers给出了原子核相应的库仑能 [13]：

ECoul = E(0)Coul(1−

1

5α22 −

4

105α32 +

51

245α42 −

6

35α22α4 −

5

27α24 · · · (1.13)

−10

49α23 −

92

735α2α

23 +

2133718

3112725α22α

23 −

60

539α23α4

− 5960

17787α2α3α5 −

20

121α25 · ··).

2

显然，上式只考虑了原子核的形变而不含弥散。然而在实际的计算中，计算原子核

库仑能的时候，通常都要同时考虑表面弥散和形变参量对其的影响，而且希望能既

快速又高精度地计算。因为目前由于原子核库仑能的计算量非常庞大，而导致其一

直是原子核结构和熔合反应等研究工作的瓶颈。所以，找到一个较为简单的既考虑

弥散又包含了形变因子的通用的库仑能解析表达式，非常有意义，这也是本论文工

作的目的所在。

1964年Kohn 与Hohenberg 共同发表了并且后来成为密度泛函理论(DFT)奠基石

的Hohenberg-Kohn(HK) 定理 [14]：在外场V (r)下的束缚费米子系统，粒子密度能

够唯一地确定系统哈密顿算符以及系统所有的性质。密度泛函理论的运算耗时与

系统大小无关，有效的改善了运算时间和计算精度冲突的困难。近十几年来，核物

理工作者开始用相对论的和非相对论的密度泛函理论来处理核多体问题，例如Yu

和Bulgac 利用定域的能量密度泛函（EDF）研究了超流核问题 [15]，Bhattacharyya

和Furnstahl 利用有效场方法研究了能量密度泛函（DFT）的动能密度项 [16]。能量

密度泛函在核研究中的应用已经日益引起人们的注意。

在本论文工作中，我们基于Skyrme 能量密度泛函结合拓展的Thomas-Fermi 近

似，采用约束的密度变分方法求能量最小值来确定原子核的基态核密度分布。通过

解该密度分布下库仑势满足的泊松方程得到库仑势，进而对库仑势进行积分，只需

做二重积分运算即可得到原子核的库仑能，大大减少计算量，且有助于批量计算原

子核的库仑能做系统分析。在同时满足质子数守恒和质子中心密度不变的条件下，

改变质子密度分布的表面弥散参数和形变参量，用对库仑势数值积分的方法，我们

考查了原子核库仑能与弥散参数及形变参量的关系。对数值积分得到的库仑能作多

项式拟合，分别得到弥散的球形核和轴对称变形核库仑能的解析表达式。经过相对

偏差分析，结果表明两种方法算得的库仑能值非常接近。本文的结构如下：首先是

在第二部分中介绍了基态密度分布的计算方法，包括Skyrme 能量密度泛函及拓展

的Thomas-Fermi 近似和约束的密度变分法等，还讨论研究了锐边界球形核的电荷半

径；第三部分别研究了考虑弥散后球形核和变形核的库仑能，并且得到了相应的解

析表达式，为库仑能的计算提供了新的有效的方法；最后一部分是结论和展望。

3

第第第二二二章章章 原原原子子子核核核的的的电电电荷荷荷密密密度度度分分分布布布以以以及及及电电电荷荷荷半半半径径径

原子核库仑能通常采用锐边界球形核近似，也就是认为核内的质子均匀分布的

方法来计算。然而，利用高能电子散射实验测得到一些核的电荷分布并不是均匀分

布的，而是在核的表面会有一些弥散。所以，为了能够更准确地计算库仑能，就必

须考虑到弥散对其的影响，这就要求对核内的质子密度分布作更合理的描述。我们

将用约束的密度变分法，通过求原子核能量最小值得到质子和中子的基态密度分

布。

2.1 Skyrme能能能量量量密密密度度度及及及拓拓拓展展展的的的Thomas-Fermi近近近似似似

用零力程的Skyrme有效力来描述核子-核子相互作用，可以得到原子核的Skyrme能

量密度泛函可 [17, 18]。原子核的能量是能量密度的体积分：

E =

∫H(r) dr, (2.1)

下标p、n分别代表原子核内的质子和中子。能量密度H(r)包含Skyrme能量密

度HSky和质子-质子库仑能密度HCoul两部分：

H(r) = HSky(r) +HCoul(r). (2.2)

Skyrme能量密度是核子定域密度ρq(r)，动能密度τq(r)，自旋-轨道耦合密度Jq(r)的

泛函 [19]：

HSky(r) =~2

2mτ +B1ρ

2 +B2(ρ2n + ρ2p) +B3ρτ +B4(ρnτn + ρpτp) (2.3)

−B5(∇ρ)2 −B6[(∇ρn)2 + (∇ρp)

2]

+ρα[B7ρ2 +B8(ρ

2n + ρ2p)]−B9[J · ∇ρ+ Jn · ∇ρn + Jp · ∇ρp],

B1 → B9（见表2-1）是Skyrme相互作用力参数t0, t1, t2, t3, x0, x1, x2, x3,W0的函数

[20]。我们选取SkM∗参数进行计算，具体的参数值见表2-2。 式中最后一项是自

旋-轨道耦合对能量的贡献，W0表征自旋-轨道耦合强度。空间一点上核子密度为质

子、中子密度在该处的叠加ρ(r) = ρp(r) + ρn(r)。动能密度τ(r) = τp(r) + τn(r)，自

旋-轨道耦合密度J(r) = Jp(r) + Jn(r).库仑能密度是质子定域密度的泛函，考虑交换

项后库仑能密度的表达式为：

HCoul(r) =e2

2ρp(r)

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ − 3e2

4(3

π)1/3(ρp(r))

4/3. (2.4)

表 2-1: Bi与常用Skyrme有效核力参数之间的关系

B112t0(1 +

x0

2)

B2 − t02(12+ x0)

B314[t1(1 +

x1

2) + t2(1 +

x2

2)]

B4 −14[t1(x1 +

12)− t2(x2 +

12)]

B5 − 116[3t1(1 +

x1

2)− t2(1 +

x2

2)]

B6116[3t1(x1 +

12) + t2(x2 +

12)]

B7112t3(1 +

x3

2)

B8 − 112t3(

12+ x3)

B9 −12W0

表 2-2: SkM∗参数

t0(MeV fm3) -2645

t1(MeV fm5) 410

t2(MeV fm5) -135

t3(MeV fm3+3α) 15595

x0 0.09

x1 0

x2 0

x3 0

α 1/6

W0 130

对于动能密度τq以及自旋-轨道耦合密度Jq(q = n, p)，根据Extended-Thomas-

Fermi近似，对它们按~做半经典展开，可以写成核子密度ρq以及其梯度的泛函。在

我们的计算中，τq的展开只取到二阶项 [18, 21]：

τq[ρq(r)] = τ (0)q [ρq(r)] + τ (2)q [ρq(r),∇ρq(r)] (2.5)

τ (0)q [ρq(r)] =3

5(3π2)2/3ρ5/3q , (2.6)

5

τ (2)q [ρq(r),∇ρq(r)] =1

36

(∇ρq)2

ρq+

1

3ρq +

1

6

∇ρq∇fq + ρqfqfq

(2.7)

− 1

12ρq(

∇fqfq

)2 +1

2ρq[

2m

~2

W0

2

∇(ρ+ ρq)

fq]2,

式中最后一项是自旋-轨道耦合对动能的贡献，有效质量因子fq源于动量相关

的Skyrme势的ρτ 项：

fq(r) = 1 +2m

~2[B3ρ(r) +B4ρq(r)], (2.8)

在我们的工作中，自旋-轨道耦合密度~2只取到二阶项 [21]：

Jq = J(2)q = −1

2W0(

2m

~2)1

fqρq∇ρq, (2.9)

把(2.2)式到(2.9)式带回到(2.1)式可以得到原子核总能量关于核子密度ρq，密度

的梯度∇ρq以及∆ρq的泛函表达式。

2.2 约约约束束束的的的密密密度度度变变变分分分方方方法法法

借鉴Skyrme HF方法的思想，对原子核总能量密度泛函作密度变分可得到欧拉

方程，然后求解欧拉方程，可得到原子核基态能量以及核子电荷密度分布 [22]。但

是如果推广到轴对称的变形核，求解欧拉方程将会变得很复杂。为了暂时避开求解

欧拉方程的困难，并且能够将计算比较直接、方便地推广到变形核的应用，我们对

核子密度采用Woods-Saxon分布：

ρq =ρq0

1 + e(r−Rq)/aq, (2.10)

待定参数Rq为第q类核子的半密度半径，aq为表面弥散参数，中心密度ρq0通过核子

数守恒条件由Rq、aq确定：

ρq0 = Nq/

∫dr

1 + e(r−Rq)/aq. (2.11)

这样能量对密度的变分求最小就转变成在核子数守恒条件约束下，求解能量的最优

化问题：

∂E

∂Rq

= 0∂E

∂aq= 0 (2.12)

寻遍待定参数Rq和aq，找到使得能量达到最小值的Rminq 和amin

q , 即可得到核子的基态

中心密度，也可以得到核子的基态密度分布，从而通过能量的密度泛函求出原子核

的基态能量。这种方法称为约束的密度变分法（RDA） [18, 20,23,24]。

6

对于球对称核，最优化的自变量为：Rp, ap, Rn, an。对于轴对称的变形核，只需

要将密度分布中的Rq取成变形的形式：

Rq = Rq0(1 + βq2Y20 + βq4Y40 + · · ·), (2.13)

Rq0为同体积球形核半密度半径，βq为形变参数，Ylm球谐函数。在我们的计算中只

取到四极形变βq2。这样，我们就可以直接从球对称核的情况推广到轴对称核的情

况，最优化的自变量为：Rp, ap, βp2, Rn, an, βn2。

2.3 原原原子子子核核核基基基态态态电电电荷荷荷密密密度度度的的的分分分布布布以以以及及及电电电荷荷荷半半半径径径

我们采用Skyrme能量密度泛函结合拓展的Thomas-Fermi近似，通过分别对质子

和中子的半径R和弥散a约束变分搜索能量最小得到的原子核的基态能量以及密度

分布。图2-1画出了原子核基态密度分布，横坐标r表示离原子核中心的距离，纵坐

标ρ表示电荷密度。子图（a）是球形核208Pb的电荷分布，实心圆点表示实验测量值

（取自文献 [25]），线表示我们的计算结果。在我们的计算中，因为Skyrme能量泛函

的动能部分只取到二阶项，所以得到的原子核电荷中心密度值比实验值稍小。但是

从图上可以看出我们所取的电荷密度分布Woods-Saxon形式还是能较好地反映电荷

密度的真实分布情况：

ρ(r) =1

1 + e(r−R0)/a, (2.14)

式中R0表示电荷半密度半径，a表示表面弥散。基于电荷密度分布Woods-Saxon形

式，我们还计算了16O、40Ca、120Sn、208Pb核内的质子密度分布，见子图（b）。可

以发现，在原子核中央部分电荷密度是一个常量，表面区域存在弥散，密度逐渐降

至0 fm−3。密度从90%下降到10%所对应的厚度，称为表面厚度，用t来表示。实验

表明，对各种核都具有相同的t值 [26]：

t = (2.4± 0.3)fm, (2.15)

它与弥散a的关系如下：

t = 4a ln 3, (2.16)

由（2.15）式、（2.16）式可得弥散a ≈ 0.55fm。

偶偶核的电荷的均方根半径可以通过把原子核看成是等体积的电荷均匀分布的

球形核来计算。密度为：

ρ =Z

V(2.17)

7

0 2 4 6 8 100.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 2 4 6 8 100.00

0.02

0.04

0.06

0.08

208Pb

(fm

-3)

r(fm)

(a)

208Pb120Sn40Ca

16O

(fm

-3)

r(fm)

(b)

图 2-1: 原子核基态电荷密度分布。（a）208Pb基态电荷密度分布的实验值与计算值的

比较。（b）16O、40Ca、120Sn、208Pb基态电荷密度分布计算值。

体积：

V =4π

3R3 =

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d cos θ

∫ R(βλ;θ,φ)

0

r2dr, (2.18)

R表示等体积球形核的电荷半径，R(βλ)表示形变核的电荷半径，它依赖于原子核的

形变形状βλ [27]。

形变核的电荷均方根半径为：

< r2 >= ρ

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d cos θ

∫ R(βλ;θ,φ)

0

r4dr (2.19)

对于轴对称原子核，其电荷密度分布半径为：

R(βλ, θ) = R0(βλ)[1 +6∑

λ=1

βλPλ(cos θ)], (2.20)

其中，

R0(βλ) = R12

∫ 1

−1

[1 +6∑

λ=1

βλPλ(cos θ)]d cos θ−1/3 (2.21)

Pλ表示Legendre多项式。上式中的第二项是由等体积下形变而引起的。对于四极小

形变，（2.19）可写成：

< r2 > =Q00

eZ1 + 8√

5πβ2 + · · · (2.22)

=Q00

eZ1 + 8

5√5π

(Q20

Q00

)2 + · · ·,

8

0 100 200

2

4

6

8

Rfit=1.203A1/3+1.260A-1/3-0.856(N-Z)/A

R (f

m)

A

EXP R

fit

图 2-2: （彩图）原子核电荷半径。加号表示实验值，实心圆圈表示计算值。

其中Q00 =35eZR2表示球形核的电极矩，Q20表示变形核的电四极矩。当原子核为球

形时，上式简化为：

< r2 >=3

5R2, (2.23)

所以：

R =< r2 >1/2

√5

3. (2.24)

实验上已对相当多的核测量了均方根电荷半径 [28]，所以利用上式由这些实验测得

的不同核的电荷均方根半径来计算相应的球形核电荷半径。我们知道电荷密度分布

的均方根半径< r2 > 是随不同的核而变化的，所以由实验值计算得到的球形核电荷

半径R 也应该是关于原子核质量数A、质子数Z、中子数（A-Z）或它们的组合的函

数，而我们可以通过多项式拟合来得到这个函数的形式。Nerlo-Pomorska等人在这

方面作了讨论和研究 [29–31]。取形式：

R = r0A1/3(1 +

κ

A− γ

N − Z

A), (2.25)

9

参数r0、κ、γ由对电荷均方根半径进行拟合得到。他们对大量实验测得的电荷均方

根半径进行了拟合，对于所有Z ≥ 8的原子核，得到：

R = 1.24A1/3(1 +1.646

A− 0.191

N − Z

A)fm (2.26)

对于Z ≥ 38的原子核，得到：

R = 1.256A1/3(1− 0.202N − Z

A)fm. (2.27)

但是他们的研究只是针对偶偶核的情况，所以利用相似的方法，考虑奇偶核等

其他情况，由电荷密度分布的均方根半径实验值计算相应球形核电荷密度分布半径，

我们重新进行了拟合，得到了新的电荷密度分布半径计算公式：

R = 1.203A1/3 + 1.260A−1/3 − 0.856(N − Z)/A. (2.28)

图2-2是原子核电荷半径的实验计算值与数值计算值的比较。加号表示均方根半径实

验值根据（2.24）式计算的结果，实心圆圈表示公式（2.28）算得的结果。两者重合

得很好，相对偏差为0.059 fm。上式对核半径等相关研究工作是非常有用。

10

第第第三三三章章章 原原原子子子核核核库库库仑仑仑能能能

在物理和量子化学研究中，快速准确地计算出原子或原子核的库仑能仍然是一

个很大的挑战 [32–38]。对于一个复杂的原子核系统，计算其库仑能还存在着一些很

难解决的困难 [33]。在液滴模型中，库仑能就是通过锐边界球形核近似的方法来计

算的，即把原子核看成是质子和中子均匀分布的带电液滴。但是，利用高能电子散

射实验测得的一些原子核的电荷并不是均匀分布的，原子核没有明确的锐边界，而

是在核的表面存在弥散。特别是对于轻核，其表面厚度大约为2fm，这足以与其半径

相比拟。故而应该考虑原子核表面弥散对库仑能的影响。另一方面，很多情况下，

特别是在重离子反应和超重核合成等过程中，原子核处于形变的状态，显然基于球

形核近似得到的计算库仑能的方法将不再适用。更为普遍适用的方法是基于一定合

理的质子密度分布，由库仑能的定义，直接对质子密度分布作积分得到原子核的库

仑能。

我们知道，对于任意形式的电荷密度分布，原子核库仑能的直接项可以通过下

式得到：

EC =e2

2

∫ ∫ρp(r)ρp(r

′)

|r− r′|drdr′. (3.1)

ρp(r)为原子核的质子密度分布。然而，这是一个六重积分，计算量大，耗时相对较

长。若需计算元素周期表上大量原子核的库仑能或者计算反应动力学过程中任一

组态下体系的库仑能，这种反复多次的六重积分将大大增加计算量和计算时间，不

利于系统分析和推广应用。Divies 和Nix 通过把对体积积分转化成对面积分可以得

到Yukawa分布下原子核的库仑能，但是该方法处理的过程中运用了傅里叶展开，也

避免不了繁琐的数值积分 [39]。而实际的应用中，我们需要的是既快速又准确的方

法来计算库仑能。因此，一个既考虑了弥散的影响，适用于球形核的同时又适用于

变形核的通用的库仑能解析表达式无疑是非常有用的。在本工作中，在得到库仑能

解析表达式之前，我们采用了另外一种数值积分方法来计算库仑能：通过求解泊松

方程得到库仑势后，再对库仑势进一步积分得到库仑能。通过该方法，我们只需进

行二重积分运算即可得到核的库仑能，很大程度上减少运算量，有利于进一步对库

仑能做系统分析计算。然后对积分得到的库仑能作多项式拟合，得到最佳的库仑能

解析表达式。整个工作由锐边界球形核，到考虑了弥散影响的球形核，再到轴对称

变形核的库仑能，一步一步由简单到复杂地进行了研究和分析。

3.1 锐锐锐边边边界界界球球球形形形核核核库库库仑仑仑能能能

有限核库仑能直接项表示为：

EC =e2

2

∫dr1

∫dr2

ρ(r1)ρ(r2)

|r1 − r2|. (3.2)

ρ(r)表示质子在r处的密度。球对称的情况，利用球坐标计算比较方便，将坐标系Z轴

转到r1方向上，则库仑能可简化为：

EC = 4π2e2∫ ∞

0

dr1

∫ ∞

0

dr2

∫ π

0

dθρ(r1)ρ(r2)sinθ√

r21 + r22 − 2r1r2cosθ. (3.3)

因为： ∫ π

0

sinθ√r21 + r22 − 2r1r2cosθ

dθ =

∫ π

0

(r21 + r22 − 2r1r2cosθ)− 1

2d(−cosθ), (3.4)

作等量代换r21 + r22 = a，2r1r2 = b，−cosθ = x，则上式变成：∫ 1

−1

(a+ bx)−12dx =

2

b(a+ bx)

12 |1−1 (3.5)

=1

r1r2(r1 + r2 − |r1 − r2|),

所以：

EC = 4π2e2∫ ∞

0

∫ ∞

0

ρ(r1)ρ(r2)r21r

22

r1 + r2 − |r1 − r2|r1r2

dr1dr2 (3.6)

= 8π2e2∫ ∞

0

∫ r1

0

ρ(r1)ρ(r2)r1r22dr1dr2

+8π2e2∫ ∞

0

∫ ∞

r1

ρ(r1)ρ(r2)r21r2dr1dr2.

对于锐边界球形核，ρ是一个常量，那么：

EC = 8π2e2ρ2∫ R

0

∫ r1

0

r1r22dr2dr1 + 8π2e2ρ2

∫ R

0

∫ R

r1

r21r2dr2dr1 (3.7)

= 8π2e2ρ2R5(1

15+

1

6− 1

10)

=16

15π2e2ρ2R5

=3e2

5R(4

3πR3ρ)2,

又因为质子数守恒条件：

Z =4

3πR3ρ, (3.8)

所以锐边界球形核库仑能直接项为(下文将用E(0)C 表示)：

EC = E(0)C =

3

5

Z2e2

R(3.9)

12

3.2 弥弥弥散散散的的的球球球形形形核核核库库库仑仑仑能能能

考虑带弥散的球形核，式(3.6)中的质子密度分布不再是常数，需要对密度进行

积分计算其库仑能。为了能够简便的将计算推广到变形核，又避免增加过多的运算

量，我们采用对库仑势积分的方法来数值计算原子核库仑能。

3.2.1 由由由原原原子子子核核核库库库仑仑仑势势势的的的数数数值值值积积积分分分计计计算算算库库库仑仑仑能能能

根据电磁学知识知道，原子核库仑势满足泊松方程：

∇2VC(r) = −4πeρp(r). (3.10)

ρp(r)表示原子核在位置r处的电荷密度。在柱坐标系下，我们通过程序hwscyl

（FISHPACK中的一个Fortran子程序 [40]）来解泊松方程。其中hwscyl是一个在有

限中心不同格点中，利用五点差分近似快速自洽地解亥姆赫兹方程的程序。我们知

道，当r ≫ R时，具有对称性行为的原子核库仑势VC = Ze/r，这也正是解泊松方程

的边界条件。在柱坐标系下，取x = 0 ∼ 40fm，z = −40 ∼ 40fm 的区域内，格点步

长取为0.1fm ，我们可以计算不同球形核的库仑势。得到库仑势之后，其相应的库仑

能可以通过对库仑势作如下二重积分来计算：

EC =e

2

∫ρp(r)VC(r)dr. (3.11)

对于任意轴对称的变形核，只需求解变形密度分布下库仑势的泊松方程，即可按上

式的数值积分计算变形核库仑能，而避免增加过多的运算量。

为了检验上述对库仑势积分方法计算库仑能的可靠性，我们分别以质子密度为

高斯分布球形核和锐边界球形核为例做了验证。文献 [41]给出了原子核质子密度的

高斯分布形式：

ρp(r) = ρ0[1 + β(r

ag)2]e−(r/ag)2 , (3.12)

将上式带入(3.6)式积分，并利用质子数守恒条件：

Z = π3/2ρ0a3g(1 +

3

2β), (3.13)

得到高斯分布下库仑能直接项：

EGC =

√π5

2ρ20e

2a5g(1 +5

2β +

27

16β2), (3.14)

ρ0 = Z(2πσ2)3/2

表示原子核质子中心密度，β表示原子核形变因子，ag =√2σ（σ表示

高斯宽度）。

13

-15 -10 -5 0 5 10 15

0.00

0.02

0.04

0.06

(fm-3)

r(fm)

208Pb

图 3-1: 208Pb基态高斯形式的电荷密度分布。ρ、r、σ表示电荷密度、离原子核中心

距离、高斯宽度。

对于球形核，形变因子β = 0，则其库仑能直接项(3.14)式可简化为：

EGC =

(2πσ2)5/2√2

ρ20e2 =

Z2e2

2√πσ

. (3.15)

该结果依赖于高斯宽度σ的选取。图3-1是208Pb基态高斯形式的质子密度分布情况。

另一方面，我们将(3.12)式代入(3.10)式，解高斯分布下泊松方程得到该分布下相应

的库仑势，进而由(3.11)式计算该分布下的库仑能。在表3-1中，列出了质子密度为

高斯分布下，不同的球形核，任意选取不同的高斯宽度σ时，由上述两种方法分别计

算库仑能的结果。EGC 表示由(3.15)式得到的精确库仑能，EC表示(3.11)式数值积分

的结果。结果表明，本工作中解泊松方程得到库仑势，进一步对库仑势积分得到的

库仑能EC 与精确值EGC非常接近，相对偏差|EC − EG

C |/EGC在10−4 ∼ 10−5左右。这也

说明了对库仑势数值积分方法计算库仑能的可靠性。

利用相同的数值积分方法，我们计算了质子密度为Woods-Saxon 分布下球形核

的库仑能。质子密度形式：

ρp(r) =ρ0

1 + er−R0

a

(3.16)

其中ρ0 ，R0，a分别表示质子中心密度，半密度半径和表面弥散。首先基于第二章

介绍的Skyrme 能量密度泛函和拓展的Thomas-Fermi 近似 [42]，用约束的密度变分

14

表 3-1: 质子密度为高斯分布下球形核的库仑能

Z 8 20 40 50 82

σ(fm) 1.5 2.5 3.0 5.5 7.1

EGC (MeV ) 17.3319 64.9946 216.6488 184.6439 384.7042

EC(MeV ) 17.3345 64.9979 216.6573 184.6457 384.7066

|EC−EGC |

EGC

(×10−4) 1.50 0.51 0.39 0.10 0.06

0 2 4 6 8 10

12

15

18

21

24

27

208Pb

VC

(MeV

)

r(fm)

图 3-2: 208Pb基态库仑势变化曲线。VC表示库仑势，r表示离原子核中心的距离。

法得到使能量达到最小值的Rmin和amin，也就得到了质子的基态密度分布。再根据

质子数守恒条件得到质子的中心密度：

ρ0 = Z/

∫dr

1 + e(r−Rmin)/amin . (3.17)

将得到的质子密度分布代入(3.10)式和(3.11)式，即可计算Woods-Saxon 分布下弥散

球形核的库仑势以及库仑能。图3-2给出了208Pb的基态库仑势与离原子核中心距

离r的关系。

为了考查库仑能与表面弥散的关系，在同时满足质子中心密度不变和质子数

守恒的条件下，在0.1 ∼ 1.2fm 范围内改变质子密度分布的表面弥散参数a，我们计

算了一系列球形核的库仑势和库仑能。图3-3分别给出了40Ca、58Ni、120Sn、208Pb

15

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.255

60

65

70

75

80

85

90

95

E

C(M

eV)

a(fm)

40CaE(0)C

=86.64MeV

(a)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

100

110

120

130

140

150

160

EC(M

eV)

a(fm)

58NiE(0)C

=150.29MeV

(b)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2280

300

320

340

360

380

400

EC(M

eV)

a(fm)

120SnE(0)C

=379.29MeV

(c)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2680

720

760

800

840

880

EC(M

eV)

a(fm)

208PbE(0)C

=841.92MeV

(d)

图 3-3: 40Ca、58Ni、120Sn、208Pb的库仑能与弥散a的关系。箭头表示由公式(3.9)计

算的锐边界球形核库仑能E(0)C 。空心圆圈表示对库仑势数值积分((3.11)式)计算得到

的库仑能。

的库仑能与表面弥散参数a的关系。箭头表示由公式(3.9)算得的锐边界球形核库仑

能E(0)C 。空心圆圈表示用数值积分方法((3.11)式)得到的库仑能。从图可以看出，随

着弥散参数a趋向于0 fm，原子核趋向于锐边界球形核，其库仑能趋向于精确值E(0)C 。

这再一次说明我们通过解泊松方程得到库仑势，进而对库仑势进行数值积分得到库

仑能的方法是可行的，也为我们下一步计算的可靠性提供了保证。

3.2.2 球球球形形形核核核库库库仑仑仑能能能的的的解解解析析析表表表达达达式式式

我们知道，任意质子密度分布的原子核库仑能都可以通过（3.1）式来计算。然

而，（3.1）式是一个六重积分，计算起来很耗时间。即使上面提到的解泊松方程得

到库仑势之后，再对库仑势进一步积分也可以得到库仑能，但是也避免不了需要二

重数值积分。而在实际应用中，我们希望找到一个既可靠又快速的有效方法来计算

库仑能。所以，解决这个问题的一个办法就是找到一个简单的库仑能解析表达式。

表3-1和图3-3分别表明，用对库仑势数值积分的方法能够很好地再现质子密度为

16

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

EC / E(0)C

Eq.(3.20) Eq.(3.21)

EC

oul /

E(0

)C

a/R

图 3-4: （彩图）质量数A = 16 ∼ 300球形核的库仑能比值ECoul/E(0)C 。短竖线表示

对库仑势数值积分的计算结果。虚线和实线分别表示（3.20）式和（3.21）式的计算

结果。

高斯分布和锐边界均匀分布下球形核的库仑能。由图3-3还可以发现原子核的库仑能

随着表面弥散参数a 的减小而逐渐增大，在a 趋于0 fm时，趋于锐边界球形核库仑

能E(0)C 。因此我们尝试提出一个包含了表面弥散的球形核库仑能的解析表达式，并

且应该满足如下关系：

ECoul = E(0)C F (ω). (3.18)

其中ω = π√3aR，E

(0)C 表示锐边界球形核库仑能，可以通过（3.9）算得。为了得到

关于表面弥散ω 的函数F (ω)，我们系统研究了弥散参数a 在0.2 ∼ 1.2fm 内，质量

数A = 16 ∼ 300 的一系列原子核的库仑能。图3-4用短竖线给出对库仑势数值积分得

到的库仑能随a/R 的变化关系，其中R 表示相应锐边界球形核质子半径。

通过leptodermous展开，可以得到考虑表面弥散后球形核库仑能解析表达式的

主要部分 [41]：

ECoul = E(0)C (1− 5

2ω2 + · · ·), (3.19)

其中ω = b/R（见文献 [37, 41]），b = π√3a 表示Sussamann’s宽度 [41, 43]，R =

[Z/(4π3ρ0)]

1/3 表示相应的锐边界球形核质子半径。对于质子密度为Woods-Saxon 分

17

50 100 150 200 250 300

0.4

0.8

1.2

A

a(fm

)0

5.0E-4

1.0E-3

1.5E-3

2.0E-3

图 3-5: （彩图）球形核库仑能解析表达式计算结果ECoul与数值积分计算结果EC的

相对偏差。浅灰色部分表示相对偏差都小于0.05%的区域。

布的球形核，F (ω)的表达式在文献 [37, 41]中也有讨论（参见附录B）：

F (ω) = 1− 5

2ω2 + 3.0216ω3 + ω4..., (3.20)

其中，ω = π√3aR。对Woods-Saxon 函数进行leptodermous展开的时候，e−R0/a可以忽

略时就可以直接得到上面的表达式。图3-4用虚线给出了（3.20）式的计算结果。可

以看出，当a/R < 0.15fm时，（3.20）式计算的结果和数值积分方法得到的结果基本

相符，这说明，（3.20）式适用于计算重核的基态库仑能。随着a/R的增大，（3.20）

式计算的结果与数值积分的结果偏差越来越大。对于轻核（相应的a/R大约为0.2），

需要考虑a/R更高阶项的影响，F的表达式需要被重新修正。我们试图通过拟合

数值积分结果来获得F (ω)的表达式。在（3.20）式的基础上，保持第二项和第四

项不变，加上高阶项ω5和ω6，对数值积分得到的库仑能值进行多项式拟合，得到

了ECoul/E(0)C 更为精确的表达式：

ECoul

E(0)C

= 1− 5

2ω2 + c3ω

3 + ω4 + c5ω5 + c6ω

6 + · · ·, (3.21)

其中c3 = 3.005，c5 = −4.822，c6 = 2.934，ω = π√3aR。图3-4用实线给出了（3.21）式

的计算结果。可以看出，对于具有较大a/R的球形核，考虑高阶项ω5和ω6贡献之后，

18

解析计算的结果与数值积分的结果符合得更好。图3-5给出了由解析表达式（3.21）

式计算的库仑能ECoul与数值积分（（3.11）式）结果EC的相对偏差|ECoul − EC|/EC。

从图上可以看出，ECoul和EC非常接近。当表面弥散a < 1.2fm时，大多数核的相对

误差都小于0.05%（浅灰色部分）。所以，用解析表达式（（3.21）式）代替数值积分

的方法来计算考虑弥散后球形核库仑能，不但快捷，而且精度也足够高。

3.3 弥弥弥散散散的的的轴轴轴对对对称称称变变变形形形核核核库库库仑仑仑能能能

利用同样的数值积分方法，计算轴对称变形核的库仑能，我们采用变形

的Woods-Saxon分布来描述质子的密度分布：

ρ(r) =ρ0

1 + er−R(β)

a

(3.22)

式中半密度半径：

R(β) = C0R0(1 + β2Y20 + β3Y30 + β4Y40 + · · ·), (3.23)

系数C0由核物质不可压缩条件（中心密度保持不变）确定，R0表示同体积球形核

质子的半密度半径，β2、β4· · ·为形变参数，Y20、Y40· · ·为球谐函数。子图3-6(a)展

示了同时发生四极形变和八极形变的150Sm核基态库仑能随β2、β3的变化关系。子

图3-6(b)展示了同时发生四极形变和十六极形变的150Sm 核基态库仑能随β2、β3的变

化关系。从图上可以看出，原子核的库仑能随着形变增加而减小。当形变因子β = 0

（即球形核）时，原子核的库仑能最大。

在本次寻找变形核库仑能解析表达式的工作中，我们只考虑到四极形变β2的影

响，即：

R(β) = R0(1 + β2Y20) = R0[1 +

√5

16πβ2(3 cos

2 θ − 1)], (3.24)

原子核质子中心密度仍然由Skyrme 能量密度泛函结合拓展的Thomas-Fermi近似

（ETF），对核子密度进行约束变分求能量最小值来得到。在保证质子中心密度

不变和质子数守恒的条件下，在−0.5 ∼ 0.5 范围内改变形变参量β2，0.2 ∼ 0.6fm

范围内改变表面弥散参数a，利用相同的对库仑势数值积分的方法，我们研究

了A = 16 ∼ 300 的一系列原子核的库仑能随a 和β2 变化的关系。图3-6展示了数值积

分得到的150Sm的库仑能。可以看出弥散a一定时，库仑能随着形变强度的加强而变

小。换句话说，形变对原子核库仑能起削弱作用。这是因为形变程度越大，质子间

距越大，质子间的库仑相互作用就越弱，库仑能也就越小。为了提高运算效率，我

们仍然希望找到一个解析表达式来计算弥散的轴对称变形核的库仑能。

19

-0.4-0.2

0.00.2

0.4

510

513

516

519

522

525

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

-0.4-0.2

0.00.2

0.4

508

512

516

520

524

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

ECou

l(MeV

)

3

2

150Sm

(a)

150Sm

ECou

l(MeV

)

4

2

(b)

图 3-6: （彩图）数值积分计算得到的变形核150Sm的库仑能。（a）考虑原子核的四

极形变加上八极形变；（b）考虑原子核的四极形变加上十六极形变。

Greiner 和Maruhn 从振动的经典液滴模型出发，对变形核的库仑能解析表达式

做了一些讨论分析。对于纯四极形变核，其半径为：

R(θ, ϕ) = R0(1 +∑µ

α∗2µY2µ(θ, ϕ)), (3.25)

相应的库仑能为：

ECoul = E(0)C (1− 5

4π

∑λµ

λ− 1

2λ+ 1|αλµ|2 + · · ·). (3.26)

其中E(0)C 表示相应锐边界球形核的库仑能，α表示形变因子，Y表示球谐函数。上式

的详细推导过程可以参见文献 [44]，或者附录C。在我们的工作中，与上式相对应

的α = β, λ = 2, µ = 0，所以：

ECoul = E(0)C (1− 1

4πβ22 + · · ·). (3.27)

为了考虑形变高阶项以及弥散的影响，在上一节球形核计算结果的基础上，加入

（3.27）式，我们假设：变形核的库仑能由锐边界球形核库仑能E(0)C 、弥散主要贡献

项F (ω) 以及弥散-形变耦合贡献项G(ω, β2) 三部分组成。具体描述如下：

E = E(0)C F (ω)G(ω, β2), (3.28)

20

0.20.3

0.40.5

0.6

500

510

520

530

540

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

ECou

l(MeV

)

2

a(fm)

150Sm

图 3-7: （彩图）数值积分计算得到的轴对称变形核150Sm的库仑能随弥散a、形

变β2的变化关系。

E(0)C 的形式见（3.9）式、F (ω) 的形式由（3.21）式可以得到。为了得到弥散-形

变耦合贡献项G(ω, β2)的形式，我们首先根据质子数守恒条件，通过改变形变参

量β2 = −0.5 ∼ 0.4, 同时也改变表面弥散参数a = 0.2 ∼ 0.6fm，并保持质子中心密度

不变，利用上一节的数值积分方法计算了质量数A = 16 ∼ 300一系列轴对称形变核

的库仑能。以数值积分的结果为参考，我们进行了大量的拟合尝试，观察标准偏差，

找到比较理想的形式：

G(ω, β2) = 1 + (− 1

4π+ b2ω)β

22 + b3β

32 + b4β

42 . (3.29)

其中ω = π√3aR，b2 = 0.1333，b3 = −0.007，b4 = 0.0036。

把弥散-形变耦合贡献项G(ω, β2)代回（3.28）式后，我们重新计算了在弥散a =

0.2 ∼ 0.6fm、形变β2 = −0.5 ∼ 0.5范围内质量数A = 16 ∼ 300一系列原子核的库

仑能，研究其随a 及β2的变化关系。图3-8展示了由解析表达式（（3.28）式）计算

的库仑能ECcoul与数值积分方法（（3.11）式）计算的库仑能EC的相对偏差|ECcoul −EC|/EC。另外，利用实验测得电荷密度均方根半径，我们计算了一些原子核相应

21

表 3-2: 由轻到重不同核素的a/R值

16O 40Ca 72Ge 120Sn 208Pb 232Th

a/R 0.16 0.12 0.10 0.09 0.08 0.07

0.04 0.08 0.12 0.16 0.20

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

a/R

2

0

5.0E-4

1.0E-3

1.5E-3

2.0E-3

图 3-8: （彩图）轴对称变形核的库仑能解析表达式计算结果ECoul与数值积分计算结

果EC的相对偏差。浅灰色部分表示相对偏差都小于0.05%的区域。

的锐边界球形时的电荷半径R，并计算了相应的a/R值(a取为0.55fm)。表3-2由轻核

到重核分别列出了16O、40Ca、72、120Sn、208Pb、232Th相应的a/R值。结合表3-2和

图3-8分析发现，用解析表达式算得的库仑能ECcoul与用数值积分方法算得的库仑

能EC符合较好，大部分原子核相对偏差都小于0.1%，而对于中等质量核以及重核

（a/R < 0.12），相对偏差都小于0.05%（浅色部分）。在计算原子核库仑能的时候，

这样的相对偏差是可以接受的。

我们给出的四级轴对称变形密度分布情况下，解析计算库仑能的表达式，

在β2 = 0时，可直接退化到球形核的情况，说明其具备一定的合理性。该解析表达

式同时考虑了表面弥散和原子核变形对库仑能的修正，更具普遍性，有利于对原子

核库仑能作批量计算和系统分析，同时，对于计算原子核结合能比较有用。

22

第第第四四四章章章 结结结论论论和和和展展展望望望

4.1 结结结论论论

基于Skyrme能量密度泛函结合拓展的Thomas-Fermi近似，对原子核密度进行约

束变分，可以得到基态原子核的密度分布。基于得到的密度分布，解泊松方程得到

库仑势，进而对库仑势积分可以得到原子核的库仑能。我们首先以质子密度为高斯

分布球形核和锐边界均匀分布球形核已知的库仑能解析表达式对该数值积分方法进

行了检验。结果表明，该数值积分方法得到的原子核库仑能与两种特例解析表达式

的计算结果基本一致，为下一步计算的可靠性提供了保证。

利用相同的数值积分方法，在保证质子数守恒和质子中心密度不变的条件下，

在0.2 ∼ 1.2 fm 范围内改变表面弥散参数a，我们考查了A = 16 ∼ 300 原子核库仑能

随a的变化关系。通过多项式拟合，得到了考虑弥散后球形核库仑能的解析表达式：

ECoul =3Z2e2

5R(1− 5

2ω2 + c3ω

3 + ω4 + c5ω5 + c6ω

6 + · · ·),

R表示相应锐边界球形核质子半径，ω = π√3aR，相应参数为c3 = 3.005，c5 = −4.822，

c6 = 2.934。经过相对偏差分析，用该解析表达式计算的库仑能与用数值积分方法

计算的结果基本相符。当表面弥散a ≤ 1.2 fm时，大部分原子核的相对偏差都小

于0.05%。

以相同的方法，在球形核计算结果的基础上，我们在弥散a = 0.2 ∼ 0.6fm、形

变参量β2 = −0.5 ∼ 0.5 的范围内研究了A = 13 ∼ 300原子核的库仑能随a，β2变化关

系，并得到了由锐边界球形核库仑能E(0)C 、弥散主要贡献项F (ω)以及弥散-形变耦合

贡献项G(ω, β2)三部分组成的变形核库仑能解析表达式：

E = E(0)C F (ω)G(ω, β2),

G(ω, β2) = 1− 1

4πβ22 + b2ωβ

22 + b3β

32 + b4β

42 ,

ω = π√3aR，b2 = 0.1333，b3 = −0.007，b4 = 0.0036。经过相对偏差分析，用该解析表

达式计算的库仑能与用数值积分方法得到的结果也很接近，大部分原子核相对偏差

都小于0.1%，而对于中等质量核以及重核（ aR< 0.12），相对偏差都小于0.05%。

我们得到的库仑能解析表达式，在β2 = 0时，可直接退化到球形核的情况，说

明其具备一定的合理性。该解析表达式同时考虑了表面弥散和原子核变形对库仑能

的修正，更具普遍性，有利于对原子核库仑能作批量计算和系统分析，也有助于推

广到原子核反应动力学过程中，各反应阶段变形系统库仑能的计算。

4.2 展展展望望望

在目前的工作中，得到的原子核库仑能解析表达式和其它相关的结论，我们只

是计算了轴对称核的情况，而且只取到四极形变。对于八极、十六极形变或者其它

非轴对称形变的情况尚未讨论研究。另外，在计算轴对称形变情况的时候，我们只

取到弥散a = 0.2 ∼ 0.6fm、形变参量β2 = −0.5 ∼ 0.5。显然，这样的形变范围还不

够，特别是对重离子熔合反应以及重核裂变过程中大形变，本工作中得到的库仑能

解析表达式是不适用的。以上提到的这些不足都将在下一步的工作中继续改进。

24

参参参考考考文文文献献献

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27

附附附录录录 A 库库库仑仑仑能能能直直直接接接项项项的的的计计计算算算

有限核库仑能直接项表示为：

EdirC =

e2

2

∫dr1

∫dr2

ρp(r1)ρp(r2)

|r1 − r2|. (A.1)

球对称的情况，利用球坐标计算比较方便，将坐标系Z轴转到r1方向上，则库仑能可

简化成二重积分：

EdirC = 4π2e2

∫ ∞

0

dr1

∫ ∞

0

dr2

∫ π

0

dθρp(r1)ρp(r2)r

21r

22sinθ√

r21 + r22 − 2r1r2cosθ. (A.2)

因为： ∫ π

0

sinθ√r21 + r22 − 2r1r2cosθ

dθ =

∫ π

0

(r21 + r22 − 2r1r2cosθ)− 1

2d(−cosθ), (A.3)

令r21 + r22 = a，2r1r2 = b，−cosθ = x，则上式变成：∫ 1

−1

(a+ bx)−12dx =

2

b(a+ bx)

12 |1−1 (A.4)

=1

r1r2[r1 + r2 − |r1 − r2|],

所以：

EdirC = 4π2e2

∫ ∞

0

∫ ∞

0

ρp(r1)ρp(r2)r21r

22

r1 + r2 − |r1 − r2|r1r2

dr1dr2 (A.5)

= 8π2e2∫ ∞

0

∫ r1

0

ρp(r1)ρp(r2)r1r22dr1dr2

+8π2e2∫ ∞

0

∫ ∞

r1

ρp(r1)ρp(r2)r21r2dr1dr2.

对于锐边界球形核，ρp是一个常量，那么：

EdirC = 8π2e2ρ2p

∫ R

0

∫ r1

0

r1r22dr2dr1 + 8π2e2ρ2p

∫ R

0

∫ R

r1

r21r2dr2dr1 (A.6)

= 8π2e2ρ2pR5(

1

15+

1

6− 1

10)

=16

15pi2e2ρ2pR

5

=3e2

5R(4

3πR3ρp)

2,

又因为质子数守恒条件：

Z =4

3πR3ρp, (A.7)

所以锐边界球行核库仑能直接项为：

EdirC =

3Z2e2

5R(A.8)

轴对称情况，用柱坐标进行计算可以把六重积分简化成四重积分。由于关系式：

∇2r2|r1 − r2| =

2

|r1 − r2|, (A.9)

消除掉库仑能积分的奇点，A.1式化成：

EdirC =

e2

4

∫dr1dr2ρp(r1)ρp(r2)∇2

r2|r1 − r2|. (A.10)

利用柱坐标关系式：

x = Lcosθ

y = Lsinθ (A.11)

z = z

有：

|r1 − r2| =√

L21 + L2

2 − 2L1L2 cos(θ1 − θ2) + (z1 − z2)2, (A.12)

所以（A.10）式可以写成：

EdirC =

e2

4

∫L1dL1

∫L2dL2

∫dz1

∫dz2ρp(L1, z1)∇2ρp(L2, z2) (A.13)

·∫ 2π

0

dθ1

∫ 2π

0

dθ2

√L2

1 + L22 − 2L1L2 cos(θ1 − θ2) + (z1 − z2)2.

做变量代换：

Φ = θ1 − θ2

Ψ = (θ1 + θ2)/2, (A.14)

得到：

EdirC = 2π

e2

4

∫L1dL1

∫L2dL2

∫dz1

∫dz2ρp(L1, z1)∇2ρp(L2, z2)

·∫ 2π

0

dΦ√L2

1 + L22 − 2L1L2 cosΦ + (z1 − z2)2. (A.15)

29

在做变量代换Φ = ϕ+ π，并且令

I =

∫ 2π

0

dΦ√L2

1 + L22 − 2L1L2 cosΦ + (z1 − z2)2, (A.16)

则得：

I =

∫ π

−π

dϕ√L2

1 + L22 − 2L1L2 cosϕ+ (z1 − z2)2

=√

(L1 + L2)2 + (z1 − z2)2∫ π

−π

dϕ

√1− 4L1L2√

(L1 + L2)2 + (z1 − z2)2sin2 ϕ

2.(A.17)

令：

κ2 =4L1L2√

(L1 + L2)2 + (z1 − z2)2(A.18)

u = ϕ/2, (A.19)

则上式化成：

I = 2√

(L1 + L2)2 + (z1 − z2)2∫ π

2

−π2

du√1− κ2 sin2 u

= 4√

(L1 + L2)2 + (z1 − z2)2∫ π

2

0

du√1− κ2 sin2 u (A.20)

因为第二类椭圆积分：

E(κ2) =

∫ π2

0

du√1− κ2 sin2 u

=π

2(1− 1

22κ2 − 1

223

42κ4 − · · ·((2n− 1)!!

2nn!)2

κ2n

2n− 1· ··). (A.21)

最后得到轴对称库仑能的直接项为：

EdirC = 2π

e2

4

∫L1dL1

∫L2dL2

∫dz1

∫dz2

·ρp(L1, z1)∇2ρp(L2, z2)√(L1 + L2)2 + (z1 − z2)2E(κ2). (A.22)

30

附附附录录录 B 弥弥弥散散散对对对库库库仑仑仑能能能的的的主主主要要要贡贡贡献献献项项项推推推导导导

球形核质子密度采用Wood-Saxon 分布：

ρ(r) =ρ0

1 + er−R0

a

= ρ0f(r), (B.1)

根据边界条件f(0) = 1，f(∞) = 0定义权函数：

g(r) = −df(r)

dr, (B.2)

函数满足归一化条件： ∫ ∞

0

g(r)dr = 1. (B.3)

半密度半径：

R0 =

∫ ∞

0

g(r)dr, (B.4)

表面宽度：

b2 =

∫ ∞

0

g(r)(r −R0)2dr. (B.5)

电荷转动惯量Fn为：

Fn =

∫ ∞

0

f(r)rndr = F ⟨rn−2⟩. (B.6)

其中⟨⟩表示任何连续波函数Ψ(r)的平均电场⟨Ψ(r)⟩。（B.4)式变成：

R0 =

∫ ∞

0

g(r)dr =

∫ ∞

0

−df(r)

drrdr = −

∫ ∞

0

rdf(r)

= −[rf(r)|∞0 −∫ ∞

0

f(r)dr]

=

∫ ∞

0

f(r)dr

= F0 = F ⟨r−2⟩. (B.7)

由质子数守恒条件：

Z =

∫ρ(r)dV = 4πρ0

∫ ∞

0

f(r)r2dr = 4πρ0F2, (B.8)

而对于质子均匀分布的锐边界球形核：

Z =4

3πρ0R

3, (B.9)

所以，

R3 = 3F2. (B.10)

类似于（B.7）式，可以定义关于函数Ψ(r)的表面平均场：

Ψ(r) =

∫ ∞

0

Ψ(r)g(r)dr =

∫ ∞

0

−Ψ(r)df(r)

drdr

= −∫ ∞

0

Ψ(r)df(r)

= −[Ψ(r)f(r)|∞0 −∫ ∞

0

f(r)Ψ′(r)dr]

=

∫ ∞

0

f(r)Ψ′(r)dr = F ⟨r−2Ψ′(r)⟩. (B.11)

表面源：

Gm =

∫ ∞

0

g(r)rmdr =

∫ ∞

0

−df(r)

drrmdr

= −∫ ∞

0

rmdf(r)

= −[rmf(r)|∞0 −∫ ∞

0

f(r)drm]

=

∫ ∞

0

f(r)mrm−1dr

= m

∫ ∞

0

f(r)rm−1dr

= rm = mFm−1. (B.12)

那么，

G = G0 =

∫ ∞

0

g(r)dr = 1, (B.13)

G1 = F0 = R0, (B.14)

G3 = 3F2 = R3. (B.15)

根据权函数g(r)与半密度半径R0的关系可以定义：

Γn = (r −R0)n =

n∑m=0

(−1)n−m(nm)Rn−m0 Gm, (B.16)

32

其中，

Gm =m∑

n=0

Rm−n0 Γn. (B.17)

并且Γn具有以下性质：

Γ0 = G0 = 1, (B.18)

Γ1 = 0, (B.19)

而根据公式（B.5）的定义，表面宽度b:

b2 =

∫ ∞

0

g(r)(r −R0)2dr

=

∫ ∞

0

g(r)(r2 − 2R0r +R20)dr

= G2 − 2R0G1 +R0G0

= G2 −G21

= Γ2 (B.20)

同理，利用（B.17）式可以得到：

R3 =3∑

n=0

(3n)R3−n0 Γn

= R30Γ0 + 3R2

0Γ1 + 3R0Γ2 + Γ3

= R30 + 0 + 3R0Γ2 + Γ3 (B.21)

半密度半径R0与核的表面性质无关，而b则是表面的一个量度。更大地影响原子

核表面形状的表面形状因子定义为：

γn = b−nΓn. (B.22)

用γ来代替（B.21）式中的Γ，考虑到形变参量β = b/R ≪ 1，并且有公式（B.22），

所以

R3 = R30 + 3R0b

2 + γ3b3

= R30 + 3(βR)2R0 + γ3(βR)3 (B.23)

对β高阶展开得到关系式：

R0 = R[1− β2 − 1

3γ3β

3 − 1

3γ3β

5 + o(β6)] (B.24)

33

因为：

Γ3 =3∑

m=0

(−1)3−m(3m)R3−m0 Gm

= −R30G0 + 3R2

0G1 − 3R0G2 +G3

= −R30 + 3R3

0 − 2R0(b2 +R2

0) +R3

= R3 −R30 − 3R0b

2 (B.25)

另外，根据质子数守恒条件 [25]：∫ ∞

0

ρ(r)dV = ρ04π

3R3

0[1 + (πa

R0

)2] = Z (B.26)

由于（B.9）式，所以：

R30[1 + (

πa

R0

)2] = R3, (B.27)

又因为：

b =π√3a, (B.28)

所以，

Γ3 = R30 +R3

0(πa

R0

)2 −R30 − 3R0(

πa

R0

)2 = 0, (B.29)

γ3 = b−3Γ3 = 0, (B.30)

R0 = R[1− 1

3(β)2 + o(β6)]

= R[1− 1

3(πa

R)2 + o((

πa

R)6)]. (B.31)

文献 [9]给出了关于半密度半径R0函数的库仑能解析表达式：

ECoul =3

5(4

3πρ0e)

2R50[1 +

5

6(πa

R0

)2 + 0.5815(πa

R0

)3

− 1

6(πa

R0

)4 + 0.0922(πa

R0

)5 + o(e−a/R0)], (B.32)

由（B.29）式，（B.32）式忽略高阶项，且4π3ρ0R

3 = Z，得：

ECoul =3Z2e2

5R[1− (

b

R)2]51 + 5

2(b

R)2

1

[1− (b/R)2]2+ 3.02156(

b

R)3

1

[1− (b/R)2]3

− 3

2(b

R)4

1

[1− (b/R)2]4+ 1.43726(

b

R)5 + · · ·. (B.33)

34

因为锐边界球形核库仑能E0 =3Z2e2

5R，并且β = b

R，所以：

ECoul = E0[1− β2]5 +5

2β2[1− β2]3 + 3.02156β3[1− β2]2

− 3

2β4[1− β2] + 1.43726β5 + · · · (B.34)

利用公式(a+ b)n =n∑

m=0

Cmn ambn−m,其中Cm

n = n!m!(n−m)!

,得：

ECoul = E0[1−5

2β2 + 3.0216β3 + β4 − 4.606β5 − β6 + 3.0216β7 − 5

2β8 + ...],(B.35)

即，

ECoul

E0

= 1− 5

2β2 + 3.0216β3 + β4 − 4.606β5 − β6 + 3.0216β7 − 5

2β8 + · · ·. (B.36)

35

附附附录录录 C 振振振动动动的的的经经经典典典液液液滴滴滴模模模型型型库库库仑仑仑能能能直直直接接接项项项的的的计计计算算算

振动的经典液滴模型库仑能直接项表示为：

EC =e2

2ρ2p

∫V

d3r

∫V

d3r′1

|r− r′|, (C.1)

在球坐标系下：

EC =e2

2ρ2p

∫dΩ

∫dΩ′

∫ R(Ω)

0

drr2∫ R(Ω′)

0

dr′r′21

|r − r′|. (C.2)

因为： ∫ R(Ω)

0

dr

∫ R(Ω′)

0

dr′ = (

∫ R0

0

dr +

∫ R(Ω)

R0

dr)(

∫ R0

0

dr′ +

∫ R(Ω′)

R0

dr′) (C.3)

上式可化成：∫ R0

0

dr

∫ R0

0

dr′ +

∫ R0

0

dr

∫ R(Ω′)

R0

dr′ +

∫ R(Ω)

R0

dr

∫ R0

0

dr′ +

∫ R(Ω)

R0

dr

∫ R(Ω′)

R0

dr′

=

∫ R0

0

dr

∫ R0

0

dr′ + 2

∫ R(Ω)

R0

dr

∫ R0

0

dr′ +

∫ R(Ω)

R0

dr

∫ R(Ω′)

R0

dr′, (C.4)

把上式代回（C.2）式得：

EC = E(0)C + e2ρ2p

∫dΩ

∫dΩ′

∫ R(Ω)

R0

drr2∫ R0

0

dr′r′21

|r − r′|

+e2

2ρ2p

∫dΩ

∫dΩ′

∫ R(Ω)

R0

drr2∫ R(Ω′)

R0

dr′r′21

|r − r′|, (C.5)

其中，

E(0)C =

e2

2ρ2p

∫dΩ

∫dΩ′

∫ R0

0

drr2∫ R0

0

dr′r′21

|r − r′|

=3

5

Z2e2

R0

. (C.6)

因为：

1

|r − r′|= 4π

∞∑λ=0

λ∑µ=−λ

1

2λ+ 1

rλ<rλ+1>

Y ∗λµ(θ, ϕ)Yλµ(θ

′, ϕ′), (C.7)

Y ∗λµ(θ, ϕ)、Yλµ(θ

′, ϕ′)表示球谐函数，r<、r>分别表示小于r、大于r。所以（C.5）式

第二项变成：

4πe2ρ2p∑λµ

1

2λ+ 1

∫dΩ′Yλµ(Ω

′)

∫dΩY ∗

λµ(Ω)

∫ R(Ω)

R0

drr2∫ R0

0

dr′r′21

r>. (C.8)

因为： ∫dΩ′Yλµ(Ω

′) =√4π

∫dΩ′Y ∗

00Yλµ(Ω′) =

√4πδλ,0δµ,0, (C.9)

利用球谐函数的正交性有λ = 0，µ = 0，Y ∗00 =

1√4π，所以（C.8）式可简化成：

4πe2ρ2p

∫dΩ

∫ R(Ω)

R0

drr2∫ R0

0

dr′r′21

r>. (C.10)

因为： ∫ R0

0

dr′r′21

r>=

∫ r

0

dr′r′21

r+

∫ R0

r

dr′r′21

r′

=1

3r2 +

1

2R2

0 −1

2r2

=1

2(R2

0 −1

3r2), (C.11)

所以： ∫ R(Ω)

R0

drr21

2(R2

0 −1

3r2) =

1

6(R2

0R2(Ω)−R5

0 −1

5R5(Ω) +

1

5R5

0). (C.12)

把（C.12）式代回（C.10）式，并且用αλµ来表示R(Ω)，保留αλµ到第二阶项，最后

得：

4πe2ρ2p

∫dΩ

∫ R(Ω)

R0

drr2∫ R0

0

dr′r′21

r>

≈ 2

3πR5

0e2ρ2P

∫dΩ(2

∑λµ

α∗λµYλµ(Ω) +

∑λµ

∑λ′µ′

α∗λµYλµ(Ω)αλ′µ′Y ∗

λ′µ′(Ω))

=2

3πR5

0e2ρ2P (2

√4πα00 +

∑λµ

α∗λµαλµ)

= −2

3πR5

0e2ρ2P

∑λµ

|αλµ|2. (C.13)

（C.5）式的第三项类似于第二项的做法，可以得到：

1

2e2ρ2p

∫dΩ

∫dΩ′

∫ R(Ω)

R0

drr2∫ R(Ω′)

R0

dr′r′21

|r − r′|

= 2πR50e

2ρ2p∑λµ

λ

2λ+ 1|αλµ|2. (C.14)

上式的计算过程中用到了球谐函数的正交性质，和纯四极形变核的半径公式：

R(θ, ϕ) = R0(1 +∑µ

α∗2µY2µ(θ, ϕ)). (C.15)

37

由（C.5）式、（C.6）式、（C.13）式和（C.14）式，并且Z = 43πR3

0ρp，E(0)C = 3

5Z2e2

R0

最后得到库仑能：

EC = E(0)C (1− 5

4π

∑λµ

λ− 1

2λ+ 1|αλµ|). (C.16)

38

发发发表表表文文文章章章目目目录录录

[1] Xuexin Yu, Min Liu and Ning Wang. Coulomb energy of spherical nucleus. Mod.

Phys. Lett. A. 25(2010)1275-1280.

致致致 谢谢谢

值此论文完成之际，谨在此向读研期间给予我关心和帮助的老师、同学、朋友

和家人表示衷心的感谢！首先向我的导师刘敏副教授表示由衷的感谢。本论文是在

导师刘敏副教授的悉心指导下完成的，从论文的选题到写作完成，都离不开刘老师

的辛勤劳动，在此表示最诚挚的感谢。感谢平易近人，学识渊博的王宁教授在我的

学业和生活方面倾注的诸多帮助和关怀。这三年里，我对科研工作的了解从茫然到

入门到熟悉，每一步成长都凝聚了王老师的心血。他严谨的治学态度和仔细认真的

作风给了我深刻的影响，不仅很大地提高了我的理论水平和推导计算能力，还充分

体现了他一丝不苟的工作作风，使我明白了作为一名老师和一个科研工作者所应具

有工作态度。在王老师悉心指导、严格要求下，让我逐渐学会独立思考与分析，具

备一定的独立工作能力。在此，再一次向为培养我付出辛勤劳动的王老师致以深深

的敬意与谢意！也祝两位老师工作顺利，身体健康，家庭幸福！

感谢同课题小组成员姜永英、刘俊华等在日常工作和生活的有益交流、讨论和

友情帮助。同时也要向院领导、老师表示诚挚的谢意。谢谢！

最后感谢含辛茹苦的父母，是他们的养育和教导成就今天的我；感谢我的哥哥

姐姐，是他们无私的鼓励和一如既往的支持使我顺利完成研究生阶段的学习。祝愿

我的父母以及家人身体永远健康！

论文独创性声明

本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下进行

的研究工作及取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文

不含其他个人或其他机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文的

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