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Cómo demostrar que el número e es irracional

Escrito por ^DiAmOnD^ el 10/10/2006Categoría(s): Demostraciones, Otras constantes

El número e es bien conocido en el mundo de las Matemáticas. Es la base de los logaritmos neperianos, y su valor

redondeando a 5 decimales es e = 2′71828. Se sabe que es un número irracional1 y trascendente2. El post va a estardedicado a demostrar que e es irracional. Demostraremos este hecho mediante reducción al absurdo (en este postvimos en qué consistía este método de demostración). Vamos con ella:

Comenzamos mostrando una propiedad bien conocida del número e:

(1)

Supongamos ahora que podemos obtener e como cociente de dos enteros positivos (por la expresión anteriorclaramente e debe ser positivo), es decir:

(2)

siendo p y q enteros positivos. Multiplicamos la expresión (1) por q! a ambos lados, obteniendo:

(3)

Por (2) tenemos que q!e es un número entero, y claramente la parte de la suma que aparece explícitamenteen (3) también es un número entero. Por tanto la diferencia entre ellos, digamos R, también será un númeroentero (y positivo). Veamos qué forma tiene R:

Simplificamos los factoriales:

Como q + 2 > q + 1, q + 3 > q + 1, etc, se cumple la siguiente desigualdad:

Sacando factor común y usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

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Pero q era un entero positivo, por tanto q > 1. En consecuencia su inverso será menor que 1. Tenemosentonces que R es un número entero positivo que cumple la siguiente cadena de desigualdades:

Pero como no existe ningún número entero entre 0 y 1 tenemos que la esta situación no puede darse. Es decir,hemos llegado a una contradicción que partió del hecho de suponer que e era racional. Por tanto, utilizandoreducción al absurdo, obtenemos que el número e es un número irracional.

Fuente: Math Forum

1: Un número real se dice irracional si no puede expresarse mediante como cociente de números enteros. Secaracterizan por tener una expresión decimal con infinitos decimales que no siguen ningún período.

2: Un número real se dice trascendente si no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Eslo contrario de número algebraico

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