先週の復習集合の中の⼆項関係・反射律、対称律、推移律、反対称律・同値関係・順序関係

反射律（reflexive law）

関係行列では 関係グラフでは

111111

教科書p.142■中の関係の性質

反射律: 任意の に対して、反射的関係： 反射律を満たす関係

・ の中の関係「 」、「 」は反射的関係・ の中の関係「 」は反射的でない

対称律（symmetric law）

関係行列では 関係グラフでは

教科書p.142■中の関係の性質

対称律: 任意の ， に対して、 ならば対称的関係： 対称律を満たす関係

・ の中の関係「 」は対称的関係・ ⼈の集合の中の「友⼈関係」 が対称的なら円満なのだが．．．

1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 01 1 0 1 1 10 0 0 1 0 00 1 0 1 0 0

推移律（transitive law）教科書p.142■中の関係の性質

推移律: 任意の , ,  に対して、 かつ ならば推移的関係： 推移律を満たす関係

関係グラフでは

間接的な関係があれば直接の関係も存在する

・ の中の関係「 」、「 」は推移的関係・⼈の集合の中の「祖先⼦孫関係」は推移的関係

2回でいけるなら1回でもいける

反対称律（asymmetric law）

関係行列では 関係グラフでは

教科書p.143■中の関係の性質

反対称律: 任意の ， に対して、 かつ ならば反対称的関係： 反対称律を満たす関係

・ の中の関係「 」、「 」は反対称的関係・⼈の集合の中の「親⼦関係」、「祖先⼦孫関係」は

反対称的関係

1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 1 11 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0

反対称律任意の , ∊ に対して

かつ ⇒

任意の , ∊ に対して ⇒ または

対偶

教科書p.143■中の関係の性質

次の関係グラフで表された関係は、反射律、対称律、推移律、反対称律の性質を満⾜するかどうか、答えよ

教科書p.148■演習問題4

(1) (2) (3)

(4) (5)

同値関係

同値関係は「等号」で表すのが適当であり、 と区別できる≅, , ≡

などが⽤いられる

教科書p.143■同値関係

の中の関係 が反射律、対称律、推移律を満たすとき、は における同値関係（equivalence relation）であるという

同じとみなせるものどうしに分類

同値関係ではない関係∼ , ∣ , ∈ , 1

反射律は満たす∵任意の ∈ に対して 0

対称律も満たす∵任意の , ∈ に対して | |

推移律は満たさない反例 「0 ∼ 0.7」 かつ 「0.7 ∼ 1.5」 であるけれども

「0 ∼ 1.5」ではない

教科書p.143■同値関係

nearly equal

順序関係

順序関係は「等号つき不等号」で表すのが適当であり, ⊆, ≼

などあるいは、その逆向きの記号が⽤いられる

教科書p.186■順序関係

の中の関係 が反射律、反対称律、推移律を満たすとき、は における順序関係（order relation）であるという

全順序関係 半順序関係

あるいは ）の中の⼤⼩関係「 」は、順序関係

復習はここまで

を法として合同（これも復習か）教科書p.105■合同

⾃然数 で整数 と を割った剰余が同じであるとき≡ mod

あるいは≡

と書き、 と は を法として合同（congruent modulo  ）であるという

≡ は （整数の集合）における同値関係反射律： 任意の ∈ に対して ≡

対称律： 任意の , ∈ に対して ≡ ならば ≡

推移律： 任意の , , ∈ に対して≡ かつ ≡ ならば ≡

同値類と商集合教科書p.144■同値類

を における同値関係として、∣ ∈

を における による の同値類（equivalence class）というと表記すると、 がその同値類の代表元（representative）

同値関係 による のすべての同値類の集合/ ∣ ∈

を の に関する商集合 （quotient set）という

/ は の直和分割

同値関係の関係グラフ教科書p.144■同値類

と同値類同値関係の関係グラフ代表元は何でも良い

教科書p.144■同値類

と同値類、商集合

/

同値関係の関係グラフ教科書p.144■同値類

の に関する商集合教科書p.108■剰余類と剰余系

における ≡ による 同値類≡ ∈ … , , , , 2 …

を法 による剰余類（residue class）といい、 とも書く

法 によるすべての剰余類の集合（ の≡ に関する商集合）/≡ 0 , 1 ,… 1

を法 による剰余系（residue system)といい、 とも書く

0 , 1 , 2 0,1,20 3 ∈ … , 6, 3,0,3,6, …1 3 1 ∈ … , 5, 2,1,4,7, …2 3 2 ∈ … , 4, 1,2,5,8, …

代表元は本当は何でも良いけど普通 0,… , 1を⽤いる

剰余系における加法

3 1 3 1 43 4 3 4 7 7 5 2

3 1 3 1 43 4 3 4 7 7 5 2

多くの場合「 」ではなく「 」と書く

における加法「 」を以下のように定義する

における加法演算⼦

教科書p.109■剰余系における加法

における加法演算⼦

剰余系における加法0 0

0 0 より 0 は の零元

特に 0 のときe.g. 1 1 5 1 4

零元（加法の単位元）

符号替え（加法の逆元）

減法

教科書p.109■剰余系における加法

における減法「 」を以下のように定義する

「引く」＝逆元を加える

3 4 3 4 3 1 4結局 3 4 3 4 1 4

剰余系における乗法

7 8 7 8 56 1

7 8 2 3 2 3 6 1

教科書p.110■剰余系における乗法

における乗法「 」を以下のように定義する

における乗法演算⼦ における乗法演算⼦

剰余系における乗法

1 1 ∵ 1 1 12 3 ∵ 2 3 6 1

3 24 4 ∵ 4 4 16 1

（乗法の）逆元

1 11 1 より 1 は の単位元

単位元

教科書p.110■剰余系における乗法

が素数のとき、0 を除く のすべての要素に逆元が存在する

剰余系における乗法

における除法「 」を以下のように定義する

「割る」＝逆元をかける

教科書p.110■剰余系における乗法

例題(1)(2)(3)(4)

(ただし )

次は順序関係

トーナメント戦における強弱関係

規則1. ⾃分は⾃分より強い

2.  が に勝った⇒ は より強い

3.  が に勝った かつが に勝った⇒ はzより強い

反対称律

推移律

教科書p.186■順序関係

反射律

トーナメント戦における強弱関係教科書p.186■順序関係

結論・ が⼀番強い・2番⽬に強いのは

か か （ の２位は籤運）

反射律 推移律

順序関係教科書p.186■順序関係

の中の関係 が反射律、反対称律、推移律を満たすとき、は における順序関係（order relation）であるという

全順序関係（total order relation）

半順序関係（partial order relation）

⽐較不能

全要素対が⽐較可能

⼤⼩関係、上下関係、前後関係（反射律も必要）

順序集合 ; ：順序関係 の定義された集合

全順序関係教科書p.186■順序関係

すべての要素対が⽐較可能ならば または のいずれか⼀⽅が成⽴

線形順序（linear order）ともいう

数直線上に⼀直線に並ぶ数の集合 , , , , etc. は全順序集合

関係グラフとハッセ図

a

f

d

b

関係グラフ

・反射的関係のループを省略

・推移的に得られる有向辺を省略

なるがあれば

の有向辺を除く

・上位の要素を上に配置し辺の向きをなくす

c e

教科書p.187■順序集合のグラフと関係⾏列

関係グラフとハッセ図

a

f

d

b

ハッセ図

c e

・反射的関係のループを省略

・推移的に得られる有向辺を省略

なるがあれば

の有向辺を除く

・上位の要素を上に配置し辺の向きをなくす

教科書p.187■順序集合のグラフと関係⾏列

上の約数関係

12

6

3

1

2

8

教科書p.187■いくつかの順序関係の例

・ ∣ :  は の約数である反射律、反対称律、推移律を満たし、（教科書側注）⽐較不能な要素対をもつ 半順序関係

最⼩元

冪集合上の包含関係「 」

∅

, , ,

, ,

教科書p.187■いくつかの順序関係の例

普遍集合 の冪集合 上の包含関係反射律、反対称律、推移律を満たし、（教科書側注）⽐較不能な要素対をもつ 半順序関係

, , の場合

最⼩元

最⼤元

2項組の優越関係教科書p.187■いくつかの順序関係の例

順序集合 ; , ; に対して、 上の関係「 , 」, , , iff かつ

, に対する 上の関係

1,1

1,2 2,1

3,1

4,1

1,5

1,3

1,4

2,4 5,13,3 4,2

2,2

3,22,3

派⽣語関係

affectation

affect

affected

affectedness

affectedly

affecting

affectingly

affection affective

affectionate

affectionately

単語（⽂字列） … の中の関係… … … 0

′

教科書p.198■演習の解1

辞書式順序

a, able, all, angry, arrive, bad, beautiful, best, big, black, buy,careful, cold, collect, come, cook, cool, dance, dark, do, drink,early, easy, eat, enjoy, every, famous, fast, favorite, free, friendly,full, funny, get, give, go, good, green, happy, have, help, high,home, honest, hot, hungry, ill, live, long, look, make,many, meet, much, new, next, nice, no, noise,open, play, poor,popular, put, quiet, read, red, sad, sell, send, shy, short, sick,sing, slow, smart, small, some,stop, strong, study, swim, tall,true, try, up, use, visit, wait, walk,want, wash, warm, yesterday

派⽣語関係の拡張 (i.e. ′ に加えて)・⽂字の集合 の中の全順序関係「 」に基づいて

′ , ′ ならば… … … ′ … 1

全順序

順序集合の最⼤と最⼩

a

c

b

d

f

極⼤元

最⼩元

e

g

i

最⼤元なし

教科書p.190■上限と下限

順序集合の最⼤と最⼩

無限集合の場合： 最⼩元1、極⼤元なし, 0以上1以下の有理数の集合 :最⼩元0、最⼤元1, 0以上1未満の有理数の集合 : 最⼩元0、極⼤元なし

教科書p.190■上限と下限

順序集合 ; ≦ において・極⼤元:⾃分より⼤きい（上位の）他の元を持たない の元

有限集合の場合1個以上存在・最⼤元:唯⼀の極⼤元（もしあれば） max

有限集合かつ全順序の場合必ず存在

・極⼩元、最⼩元(min )も同様

上限と下限教科書p.190■上限と下限

順序集合 ; ≦ と、その部分集合 において

・ の上界| ∈ ,すべての ∈ に対し ≦

・ の下界| ∈ ,すべての ∈ に対し ≦

上限と下限 教科書p.190■上限と下限

上限と下限教科書p.190■上限と下限

順序集合 ; ≦ と、その部分集合 において

・ の上界| ∈ ,すべての ∈ に対し ≦

・ の上限（最⼩上界）sup min

・ の下界| ∈ ,すべての ∈ に対し ≦

・ の下限（最⼤下界）inf max

上限と下限

sup

inf

教科書p.190■上限と下限

上限と下限

sup

inf

教科書p.190■上限と下限

max

min

演習1,2,3,8,12,18,36 における約数関係を「 」として、

順序集合 ; について次の問いに答えよ1. における約数関係による順序集合をハッセ図に描け2. 極⼤元、極⼩元が存在すればそれを答えよ。また、最

⼤元、最⼩元が存在すればそれを答えよ3. の部分集合 2,18 , 3,36 , 8,18 , 2,3 , 12,18 につい

て、それぞれに上界、 下界が存在すればそれを答えよ。また上限、下限が存在すればそれを答えよ。

教科書p.196■演習問題

まとめ同値関係（反射、対称、推移）・集合の要素をなんらかの観点で「同じとみなせるもの」に分類

同値類：同じとみなせる要素の集合 ⇒ 代表元商集合：同値類の集合

・同値関係の例 を法として合同商集合 0 , 1 , … , 1

上の加減乗除

順序関係（反射、反対称、推移）・集合の要素間の⼤⼩（上下、前後）関係を規定

⽐較不能な要素対のあるのが半順序、ないのが全順序ハッセ図による表現

・約数関係、包含関係、2項組の優越関係、派⽣語関係、辞書式順序

・極⼤(⼩)元、最⼤(⼩)元、上(下)界、上(下)限