James Stewart 지음

수학교재편찬위원회 옮김

ESSENTIAL CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS

Metric Version2nd edition

제2판

다변수 함수와 벡터 해석

ⅠⅡⅡ미분적분학

2권 앞대(1~4)indd 1 2014-01-02 오후 23137

2권 앞대(1~4)indd 2 2014-01-02 오후 23137

SECOND EDITIONINTERNATIONAL METRIC VERSION

2권 앞대(1~4)indd 3 2014-01-02 오후 23137

copy 2014 Cengage Learning Korea Ltd

Original edition copy 2013 Brooks Cole a part of Cengage Learning Essential Calculus Early Transcendentals International Metric Edition 2nd Edition by James Stewart ISBN 9781133492573

This edition is translated by license from Brooks Cole a part of Cengage Learning for sale in Korea only

ALL RIGHTS RESERVED No part of this work covered by the copyright herein may be reproduced transmitted stored or used in any form or by any means graphic electronic or mechanical including but not limited to photocopying recording scanning digitalizing taping Web distribution information networks or information storage and retrieval systems without the prior written permission of the publisher

ISBN-13 979-11-251-0002-7

Cengage Learning Korea LtdSuite 1801 Seokyo Tower Building133 Yanghwa-Ro Mapo-GuSeoul 121-837 KoreaTel (82) 2 322 4926Fax (82) 2 322 4927

Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe including Singapore the United Kingdom Australia Mexico Brazil and Japan Locate your local office at wwwcengagecomglobal

Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education Ltd

For product information visit wwwcengageasiacom

For permission to use material from this text or product email to asiainfokoreacengagecom

Essential Calculus Early Transcendentals

2nd Edition

James Stewart

Printed in Korea1 2 3 4 17 16 15 14

2권 앞대(1~4)indd 4 2014-01-02 오후 23137

- v -

지은이 머리말

이 lt미터법 국제판gt은 ≪Essential Calculus Early Transcendentals 제2판≫의 정규본과 몇 가지

점에서 차이가 난다

거의 모든 보기와 익힘 문제에서 아메리카 합중국 관례 단위(US Customary units)를 미터법 단위

로 바꿨다 아주 적은 예외는 있다 몇 가지 공학 응용에서 (주로 76절에서) 일부 공학도에게는 아메

리카 관례 단위에 익숙해지는 것이 유용할 수 있을 것이다 그리고 (야구와 관련된 보기와 같이) 미터

법 단위가 부적절한 몇 개의 익힘 문제에서는 아메리카 관례 단위를 유지했다

실세계 자료와 관련된 보기와 익힘 문제들은 더욱 국제적인 자료를 사용해서 자연스럽게 바꿨다

이에 따라 그런 대다수의 문제에서 자료는 아메리카가 아닌 다른 나라에서 나왔다 예를 들면 다른

많은 나라의 예가 있지만 홍콩 우편 요금 캐나다 국채 오스트레일리아의 실업률 터키 앙카라의 일

조 시간 아르헨티나 지방의 인구 비율 말레이시아ㆍ인도네시아ㆍ멕시코ㆍ인도 등 네 나라의 인구

온타리오의 전력 소비 등이 있다

미터법 단위를 사용하고 더욱 국제적인 자료를 사용해서 문제를 바꾸었을 뿐만 아니라 많은 문제도

바꿨다 이에 따라 약 10의 익힘 문제가 정규본과 다르다 (제1판과는 약 40의 익힘 문제가 다르다)

이 책의 집필 철학

이 책은 미분 적분학 교과서가 지나치게 크다고 생각하는 교수들의 요구에 부응하기 위해 썼다 이

책을 쓰면서 스스로에게 물었다 어떤 내용이 자연 과학도와 공학도를 위한 세 학기 미분 적분학 과

정에서 필수적인가

이 책의 분량은 본인이 쓴 다른 미분 적분학 책(Calculus 제7판 미터법 국제판 Calculus Early

Transcendentals 제7판 미터법 국제판)의 분량의 약 3분의 2이다 그렇지만 이 책에는 똑같은 주제가 거

의 모두 포함되어 있다 상대적으로 간결하게 된 이유는 주로 설명을 간략하게 하고 그림 중 일부를 웹사

이트 ltwwwstewartcalculuscomgt으로 옮겼기 때문이다 책의 분량을 줄인 방법을 좀 더 자세하게 설

명하면 다음과 같다

주제들을 효율적인 방법으로 조직했고 일부 절은 더욱 간략하게 설명했다

공간을 절약하도록 디자인했다 특히 각 장에서 시작 부분의 여백과 사진을 제거했다

보기의 개수를 조금 줄였다 추가적인 보기는 온라인으로 제공한다

- vi -

익힘 문제의 개수를 약간 줄였지만 대부분의 교수는 이 정도로도 충분하다고 생각할 것이다

게다가 교수는 학력 평가 문제를 웹사이트를 통해 접근할 수 있다

프로젝트 과제가 학생들에게 매우 바람직한 경험일 수 있다고 생각하지만 이런 과제는 이 책에

서 빼서 웹사이트로 옮겼다

문제 해결 원리에 대한 논의와 각 장에 있던 도전 문제들도 웹사이트로 옮겼다

책의 분량은 줄었지만 현대적인 맛은 여전히 느낄 수 있다 본인의 다른 책들만큼 두드러지지는

않지만 개념적인 이해와 공학 기술적인 면은 소홀히 하지 않았다

다른 미분 적분학 책 소개

본인은 다른 미분 적분학 교과서를 여러 가지 썼는데 교수에 따라 선호하는 것이 다를 수 있다 대

부분은 일변수 함수와 다변수 함수를 모두 다룬다

Essential Calculus(제2판 미터법 국제판)는 이 책과 비슷한데 다른 점은 로그 함수를 적분으로

정의하고 이에 따라 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 이 책보다 나중에 다룬다

Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)는 이 책보다 미분 적분학을 약간 더 많

은 보기와 익힘 문제를 사용해서 좀 더 완전하게 다룬다

Calculus(제7판 미터법 국제판)는 Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)와

비슷한데 다른 점은 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 둘째 학기에 다룬다

Calculus Concepts and Contexts(제4판 미터법 국제판)는 개념의 이해를 강조한다 주제의 범위

는 백과사전과 같지 않다 초월 함수와 매개 방정식에 관한 내용은 별도의 장에서 다루지 않고 책 전

체의 여기저기에 엮여있다

Calculus Early Vectors는 첫째 학기에 벡터와 벡터 함수를 도입하고 책 전체에서 통합하고 있다

이 책은 공학과 물리학 과목을 미분 적분학과 함께 수강하는 학생들에게 적절하다

Brief Applied Calculus(국제판)는 경영학 사회 과학 생명 과학을 전공하는 학생들을 위한 것이다

제 2 판의 새로운 점

이번 판의 변화는 토론토 대학교의 동료와 학생들과의 논의와 함께 이 책의 독자와 검토자들의 제안

을 반영한 결과이다 이번 판에 포함시킨 많은 개선 사항 중 일부는 다음과 같다

이 책의 시작 부분에는 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평

가가 있다 답이 제시되어 있고 좋은 점수를 받지 못한 학생에게는 도움을 얻을 수 있는 위치(부

록 제1장의 복습 문제 웹사이트)를 언급하고 있다

75절(회전면의 넓이)은 새로 추가했다 검토자들에게 제1판에서 빠진 필수적인 주제가 있는지를 물

었는데 두 명 이상이 언급한 주제는 이것이 유일했다

일부 내용은 훨씬 더 명확하고 더 좋은 동기 부여를 위해 다시 썼다 예를 들어 215~216쪽의

최댓값과 최솟값의 도입과 473쪽의 급수의 도입을 보라

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

2권 앞대(1~4)indd 2 2014-01-02 오후 23137

SECOND EDITIONINTERNATIONAL METRIC VERSION

2권 앞대(1~4)indd 3 2014-01-02 오후 23137

copy 2014 Cengage Learning Korea Ltd

Original edition copy 2013 Brooks Cole a part of Cengage Learning Essential Calculus Early Transcendentals International Metric Edition 2nd Edition by James Stewart ISBN 9781133492573

This edition is translated by license from Brooks Cole a part of Cengage Learning for sale in Korea only

ALL RIGHTS RESERVED No part of this work covered by the copyright herein may be reproduced transmitted stored or used in any form or by any means graphic electronic or mechanical including but not limited to photocopying recording scanning digitalizing taping Web distribution information networks or information storage and retrieval systems without the prior written permission of the publisher

ISBN-13 979-11-251-0002-7

Cengage Learning Korea LtdSuite 1801 Seokyo Tower Building133 Yanghwa-Ro Mapo-GuSeoul 121-837 KoreaTel (82) 2 322 4926Fax (82) 2 322 4927

Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe including Singapore the United Kingdom Australia Mexico Brazil and Japan Locate your local office at wwwcengagecomglobal

Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education Ltd

For product information visit wwwcengageasiacom

For permission to use material from this text or product email to asiainfokoreacengagecom

Essential Calculus Early Transcendentals

2nd Edition

James Stewart

Printed in Korea1 2 3 4 17 16 15 14

2권 앞대(1~4)indd 4 2014-01-02 오후 23137

- v -

지은이 머리말

이 lt미터법 국제판gt은 ≪Essential Calculus Early Transcendentals 제2판≫의 정규본과 몇 가지

점에서 차이가 난다

거의 모든 보기와 익힘 문제에서 아메리카 합중국 관례 단위(US Customary units)를 미터법 단위

로 바꿨다 아주 적은 예외는 있다 몇 가지 공학 응용에서 (주로 76절에서) 일부 공학도에게는 아메

리카 관례 단위에 익숙해지는 것이 유용할 수 있을 것이다 그리고 (야구와 관련된 보기와 같이) 미터

법 단위가 부적절한 몇 개의 익힘 문제에서는 아메리카 관례 단위를 유지했다

실세계 자료와 관련된 보기와 익힘 문제들은 더욱 국제적인 자료를 사용해서 자연스럽게 바꿨다

이에 따라 그런 대다수의 문제에서 자료는 아메리카가 아닌 다른 나라에서 나왔다 예를 들면 다른

많은 나라의 예가 있지만 홍콩 우편 요금 캐나다 국채 오스트레일리아의 실업률 터키 앙카라의 일

조 시간 아르헨티나 지방의 인구 비율 말레이시아ㆍ인도네시아ㆍ멕시코ㆍ인도 등 네 나라의 인구

온타리오의 전력 소비 등이 있다

미터법 단위를 사용하고 더욱 국제적인 자료를 사용해서 문제를 바꾸었을 뿐만 아니라 많은 문제도

바꿨다 이에 따라 약 10의 익힘 문제가 정규본과 다르다 (제1판과는 약 40의 익힘 문제가 다르다)

이 책의 집필 철학

이 책은 미분 적분학 교과서가 지나치게 크다고 생각하는 교수들의 요구에 부응하기 위해 썼다 이

책을 쓰면서 스스로에게 물었다 어떤 내용이 자연 과학도와 공학도를 위한 세 학기 미분 적분학 과

정에서 필수적인가

이 책의 분량은 본인이 쓴 다른 미분 적분학 책(Calculus 제7판 미터법 국제판 Calculus Early

Transcendentals 제7판 미터법 국제판)의 분량의 약 3분의 2이다 그렇지만 이 책에는 똑같은 주제가 거

의 모두 포함되어 있다 상대적으로 간결하게 된 이유는 주로 설명을 간략하게 하고 그림 중 일부를 웹사

이트 ltwwwstewartcalculuscomgt으로 옮겼기 때문이다 책의 분량을 줄인 방법을 좀 더 자세하게 설

명하면 다음과 같다

주제들을 효율적인 방법으로 조직했고 일부 절은 더욱 간략하게 설명했다

공간을 절약하도록 디자인했다 특히 각 장에서 시작 부분의 여백과 사진을 제거했다

보기의 개수를 조금 줄였다 추가적인 보기는 온라인으로 제공한다

- vi -

익힘 문제의 개수를 약간 줄였지만 대부분의 교수는 이 정도로도 충분하다고 생각할 것이다

게다가 교수는 학력 평가 문제를 웹사이트를 통해 접근할 수 있다

프로젝트 과제가 학생들에게 매우 바람직한 경험일 수 있다고 생각하지만 이런 과제는 이 책에

서 빼서 웹사이트로 옮겼다

문제 해결 원리에 대한 논의와 각 장에 있던 도전 문제들도 웹사이트로 옮겼다

책의 분량은 줄었지만 현대적인 맛은 여전히 느낄 수 있다 본인의 다른 책들만큼 두드러지지는

않지만 개념적인 이해와 공학 기술적인 면은 소홀히 하지 않았다

다른 미분 적분학 책 소개

본인은 다른 미분 적분학 교과서를 여러 가지 썼는데 교수에 따라 선호하는 것이 다를 수 있다 대

부분은 일변수 함수와 다변수 함수를 모두 다룬다

Essential Calculus(제2판 미터법 국제판)는 이 책과 비슷한데 다른 점은 로그 함수를 적분으로

정의하고 이에 따라 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 이 책보다 나중에 다룬다

Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)는 이 책보다 미분 적분학을 약간 더 많

은 보기와 익힘 문제를 사용해서 좀 더 완전하게 다룬다

Calculus(제7판 미터법 국제판)는 Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)와

비슷한데 다른 점은 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 둘째 학기에 다룬다

Calculus Concepts and Contexts(제4판 미터법 국제판)는 개념의 이해를 강조한다 주제의 범위

는 백과사전과 같지 않다 초월 함수와 매개 방정식에 관한 내용은 별도의 장에서 다루지 않고 책 전

체의 여기저기에 엮여있다

Calculus Early Vectors는 첫째 학기에 벡터와 벡터 함수를 도입하고 책 전체에서 통합하고 있다

이 책은 공학과 물리학 과목을 미분 적분학과 함께 수강하는 학생들에게 적절하다

Brief Applied Calculus(국제판)는 경영학 사회 과학 생명 과학을 전공하는 학생들을 위한 것이다

제 2 판의 새로운 점

이번 판의 변화는 토론토 대학교의 동료와 학생들과의 논의와 함께 이 책의 독자와 검토자들의 제안

을 반영한 결과이다 이번 판에 포함시킨 많은 개선 사항 중 일부는 다음과 같다

이 책의 시작 부분에는 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평

가가 있다 답이 제시되어 있고 좋은 점수를 받지 못한 학생에게는 도움을 얻을 수 있는 위치(부

록 제1장의 복습 문제 웹사이트)를 언급하고 있다

75절(회전면의 넓이)은 새로 추가했다 검토자들에게 제1판에서 빠진 필수적인 주제가 있는지를 물

었는데 두 명 이상이 언급한 주제는 이것이 유일했다

일부 내용은 훨씬 더 명확하고 더 좋은 동기 부여를 위해 다시 썼다 예를 들어 215~216쪽의

최댓값과 최솟값의 도입과 473쪽의 급수의 도입을 보라

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

SECOND EDITIONINTERNATIONAL METRIC VERSION

2권 앞대(1~4)indd 3 2014-01-02 오후 23137

copy 2014 Cengage Learning Korea Ltd

Original edition copy 2013 Brooks Cole a part of Cengage Learning Essential Calculus Early Transcendentals International Metric Edition 2nd Edition by James Stewart ISBN 9781133492573

This edition is translated by license from Brooks Cole a part of Cengage Learning for sale in Korea only

ALL RIGHTS RESERVED No part of this work covered by the copyright herein may be reproduced transmitted stored or used in any form or by any means graphic electronic or mechanical including but not limited to photocopying recording scanning digitalizing taping Web distribution information networks or information storage and retrieval systems without the prior written permission of the publisher

ISBN-13 979-11-251-0002-7

Cengage Learning Korea LtdSuite 1801 Seokyo Tower Building133 Yanghwa-Ro Mapo-GuSeoul 121-837 KoreaTel (82) 2 322 4926Fax (82) 2 322 4927

Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe including Singapore the United Kingdom Australia Mexico Brazil and Japan Locate your local office at wwwcengagecomglobal

Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education Ltd

For product information visit wwwcengageasiacom

For permission to use material from this text or product email to asiainfokoreacengagecom

Essential Calculus Early Transcendentals

2nd Edition

James Stewart

Printed in Korea1 2 3 4 17 16 15 14

2권 앞대(1~4)indd 4 2014-01-02 오후 23137

- v -

지은이 머리말

이 lt미터법 국제판gt은 ≪Essential Calculus Early Transcendentals 제2판≫의 정규본과 몇 가지

점에서 차이가 난다

거의 모든 보기와 익힘 문제에서 아메리카 합중국 관례 단위(US Customary units)를 미터법 단위

로 바꿨다 아주 적은 예외는 있다 몇 가지 공학 응용에서 (주로 76절에서) 일부 공학도에게는 아메

리카 관례 단위에 익숙해지는 것이 유용할 수 있을 것이다 그리고 (야구와 관련된 보기와 같이) 미터

법 단위가 부적절한 몇 개의 익힘 문제에서는 아메리카 관례 단위를 유지했다

실세계 자료와 관련된 보기와 익힘 문제들은 더욱 국제적인 자료를 사용해서 자연스럽게 바꿨다

이에 따라 그런 대다수의 문제에서 자료는 아메리카가 아닌 다른 나라에서 나왔다 예를 들면 다른

많은 나라의 예가 있지만 홍콩 우편 요금 캐나다 국채 오스트레일리아의 실업률 터키 앙카라의 일

조 시간 아르헨티나 지방의 인구 비율 말레이시아ㆍ인도네시아ㆍ멕시코ㆍ인도 등 네 나라의 인구

온타리오의 전력 소비 등이 있다

미터법 단위를 사용하고 더욱 국제적인 자료를 사용해서 문제를 바꾸었을 뿐만 아니라 많은 문제도

바꿨다 이에 따라 약 10의 익힘 문제가 정규본과 다르다 (제1판과는 약 40의 익힘 문제가 다르다)

이 책의 집필 철학

이 책은 미분 적분학 교과서가 지나치게 크다고 생각하는 교수들의 요구에 부응하기 위해 썼다 이

책을 쓰면서 스스로에게 물었다 어떤 내용이 자연 과학도와 공학도를 위한 세 학기 미분 적분학 과

정에서 필수적인가

이 책의 분량은 본인이 쓴 다른 미분 적분학 책(Calculus 제7판 미터법 국제판 Calculus Early

Transcendentals 제7판 미터법 국제판)의 분량의 약 3분의 2이다 그렇지만 이 책에는 똑같은 주제가 거

의 모두 포함되어 있다 상대적으로 간결하게 된 이유는 주로 설명을 간략하게 하고 그림 중 일부를 웹사

이트 ltwwwstewartcalculuscomgt으로 옮겼기 때문이다 책의 분량을 줄인 방법을 좀 더 자세하게 설

명하면 다음과 같다

주제들을 효율적인 방법으로 조직했고 일부 절은 더욱 간략하게 설명했다

공간을 절약하도록 디자인했다 특히 각 장에서 시작 부분의 여백과 사진을 제거했다

보기의 개수를 조금 줄였다 추가적인 보기는 온라인으로 제공한다

- vi -

익힘 문제의 개수를 약간 줄였지만 대부분의 교수는 이 정도로도 충분하다고 생각할 것이다

게다가 교수는 학력 평가 문제를 웹사이트를 통해 접근할 수 있다

프로젝트 과제가 학생들에게 매우 바람직한 경험일 수 있다고 생각하지만 이런 과제는 이 책에

서 빼서 웹사이트로 옮겼다

문제 해결 원리에 대한 논의와 각 장에 있던 도전 문제들도 웹사이트로 옮겼다

책의 분량은 줄었지만 현대적인 맛은 여전히 느낄 수 있다 본인의 다른 책들만큼 두드러지지는

않지만 개념적인 이해와 공학 기술적인 면은 소홀히 하지 않았다

다른 미분 적분학 책 소개

본인은 다른 미분 적분학 교과서를 여러 가지 썼는데 교수에 따라 선호하는 것이 다를 수 있다 대

부분은 일변수 함수와 다변수 함수를 모두 다룬다

Essential Calculus(제2판 미터법 국제판)는 이 책과 비슷한데 다른 점은 로그 함수를 적분으로

정의하고 이에 따라 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 이 책보다 나중에 다룬다

Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)는 이 책보다 미분 적분학을 약간 더 많

은 보기와 익힘 문제를 사용해서 좀 더 완전하게 다룬다

Calculus(제7판 미터법 국제판)는 Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)와

비슷한데 다른 점은 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 둘째 학기에 다룬다

Calculus Concepts and Contexts(제4판 미터법 국제판)는 개념의 이해를 강조한다 주제의 범위

는 백과사전과 같지 않다 초월 함수와 매개 방정식에 관한 내용은 별도의 장에서 다루지 않고 책 전

체의 여기저기에 엮여있다

Calculus Early Vectors는 첫째 학기에 벡터와 벡터 함수를 도입하고 책 전체에서 통합하고 있다

이 책은 공학과 물리학 과목을 미분 적분학과 함께 수강하는 학생들에게 적절하다

Brief Applied Calculus(국제판)는 경영학 사회 과학 생명 과학을 전공하는 학생들을 위한 것이다

제 2 판의 새로운 점

이번 판의 변화는 토론토 대학교의 동료와 학생들과의 논의와 함께 이 책의 독자와 검토자들의 제안

을 반영한 결과이다 이번 판에 포함시킨 많은 개선 사항 중 일부는 다음과 같다

이 책의 시작 부분에는 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평

가가 있다 답이 제시되어 있고 좋은 점수를 받지 못한 학생에게는 도움을 얻을 수 있는 위치(부

록 제1장의 복습 문제 웹사이트)를 언급하고 있다

75절(회전면의 넓이)은 새로 추가했다 검토자들에게 제1판에서 빠진 필수적인 주제가 있는지를 물

었는데 두 명 이상이 언급한 주제는 이것이 유일했다

일부 내용은 훨씬 더 명확하고 더 좋은 동기 부여를 위해 다시 썼다 예를 들어 215~216쪽의

최댓값과 최솟값의 도입과 473쪽의 급수의 도입을 보라

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

copy 2014 Cengage Learning Korea Ltd

Original edition copy 2013 Brooks Cole a part of Cengage Learning Essential Calculus Early Transcendentals International Metric Edition 2nd Edition by James Stewart ISBN 9781133492573

This edition is translated by license from Brooks Cole a part of Cengage Learning for sale in Korea only

ALL RIGHTS RESERVED No part of this work covered by the copyright herein may be reproduced transmitted stored or used in any form or by any means graphic electronic or mechanical including but not limited to photocopying recording scanning digitalizing taping Web distribution information networks or information storage and retrieval systems without the prior written permission of the publisher

ISBN-13 979-11-251-0002-7

Cengage Learning Korea LtdSuite 1801 Seokyo Tower Building133 Yanghwa-Ro Mapo-GuSeoul 121-837 KoreaTel (82) 2 322 4926Fax (82) 2 322 4927

Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe including Singapore the United Kingdom Australia Mexico Brazil and Japan Locate your local office at wwwcengagecomglobal

Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education Ltd

For product information visit wwwcengageasiacom

For permission to use material from this text or product email to asiainfokoreacengagecom

Essential Calculus Early Transcendentals

2nd Edition

James Stewart

Printed in Korea1 2 3 4 17 16 15 14

2권 앞대(1~4)indd 4 2014-01-02 오후 23137

- v -

지은이 머리말

이 lt미터법 국제판gt은 ≪Essential Calculus Early Transcendentals 제2판≫의 정규본과 몇 가지

점에서 차이가 난다

거의 모든 보기와 익힘 문제에서 아메리카 합중국 관례 단위(US Customary units)를 미터법 단위

로 바꿨다 아주 적은 예외는 있다 몇 가지 공학 응용에서 (주로 76절에서) 일부 공학도에게는 아메

리카 관례 단위에 익숙해지는 것이 유용할 수 있을 것이다 그리고 (야구와 관련된 보기와 같이) 미터

법 단위가 부적절한 몇 개의 익힘 문제에서는 아메리카 관례 단위를 유지했다

실세계 자료와 관련된 보기와 익힘 문제들은 더욱 국제적인 자료를 사용해서 자연스럽게 바꿨다

이에 따라 그런 대다수의 문제에서 자료는 아메리카가 아닌 다른 나라에서 나왔다 예를 들면 다른

많은 나라의 예가 있지만 홍콩 우편 요금 캐나다 국채 오스트레일리아의 실업률 터키 앙카라의 일

조 시간 아르헨티나 지방의 인구 비율 말레이시아ㆍ인도네시아ㆍ멕시코ㆍ인도 등 네 나라의 인구

온타리오의 전력 소비 등이 있다

미터법 단위를 사용하고 더욱 국제적인 자료를 사용해서 문제를 바꾸었을 뿐만 아니라 많은 문제도

바꿨다 이에 따라 약 10의 익힘 문제가 정규본과 다르다 (제1판과는 약 40의 익힘 문제가 다르다)

이 책의 집필 철학

이 책은 미분 적분학 교과서가 지나치게 크다고 생각하는 교수들의 요구에 부응하기 위해 썼다 이

책을 쓰면서 스스로에게 물었다 어떤 내용이 자연 과학도와 공학도를 위한 세 학기 미분 적분학 과

정에서 필수적인가

이 책의 분량은 본인이 쓴 다른 미분 적분학 책(Calculus 제7판 미터법 국제판 Calculus Early

Transcendentals 제7판 미터법 국제판)의 분량의 약 3분의 2이다 그렇지만 이 책에는 똑같은 주제가 거

의 모두 포함되어 있다 상대적으로 간결하게 된 이유는 주로 설명을 간략하게 하고 그림 중 일부를 웹사

이트 ltwwwstewartcalculuscomgt으로 옮겼기 때문이다 책의 분량을 줄인 방법을 좀 더 자세하게 설

명하면 다음과 같다

주제들을 효율적인 방법으로 조직했고 일부 절은 더욱 간략하게 설명했다

공간을 절약하도록 디자인했다 특히 각 장에서 시작 부분의 여백과 사진을 제거했다

보기의 개수를 조금 줄였다 추가적인 보기는 온라인으로 제공한다

- vi -

익힘 문제의 개수를 약간 줄였지만 대부분의 교수는 이 정도로도 충분하다고 생각할 것이다

게다가 교수는 학력 평가 문제를 웹사이트를 통해 접근할 수 있다

프로젝트 과제가 학생들에게 매우 바람직한 경험일 수 있다고 생각하지만 이런 과제는 이 책에

서 빼서 웹사이트로 옮겼다

문제 해결 원리에 대한 논의와 각 장에 있던 도전 문제들도 웹사이트로 옮겼다

책의 분량은 줄었지만 현대적인 맛은 여전히 느낄 수 있다 본인의 다른 책들만큼 두드러지지는

않지만 개념적인 이해와 공학 기술적인 면은 소홀히 하지 않았다

다른 미분 적분학 책 소개

본인은 다른 미분 적분학 교과서를 여러 가지 썼는데 교수에 따라 선호하는 것이 다를 수 있다 대

부분은 일변수 함수와 다변수 함수를 모두 다룬다

Essential Calculus(제2판 미터법 국제판)는 이 책과 비슷한데 다른 점은 로그 함수를 적분으로

정의하고 이에 따라 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 이 책보다 나중에 다룬다

Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)는 이 책보다 미분 적분학을 약간 더 많

은 보기와 익힘 문제를 사용해서 좀 더 완전하게 다룬다

Calculus(제7판 미터법 국제판)는 Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)와

비슷한데 다른 점은 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 둘째 학기에 다룬다

Calculus Concepts and Contexts(제4판 미터법 국제판)는 개념의 이해를 강조한다 주제의 범위

는 백과사전과 같지 않다 초월 함수와 매개 방정식에 관한 내용은 별도의 장에서 다루지 않고 책 전

체의 여기저기에 엮여있다

Calculus Early Vectors는 첫째 학기에 벡터와 벡터 함수를 도입하고 책 전체에서 통합하고 있다

이 책은 공학과 물리학 과목을 미분 적분학과 함께 수강하는 학생들에게 적절하다

Brief Applied Calculus(국제판)는 경영학 사회 과학 생명 과학을 전공하는 학생들을 위한 것이다

제 2 판의 새로운 점

이번 판의 변화는 토론토 대학교의 동료와 학생들과의 논의와 함께 이 책의 독자와 검토자들의 제안

을 반영한 결과이다 이번 판에 포함시킨 많은 개선 사항 중 일부는 다음과 같다

이 책의 시작 부분에는 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평

가가 있다 답이 제시되어 있고 좋은 점수를 받지 못한 학생에게는 도움을 얻을 수 있는 위치(부

록 제1장의 복습 문제 웹사이트)를 언급하고 있다

75절(회전면의 넓이)은 새로 추가했다 검토자들에게 제1판에서 빠진 필수적인 주제가 있는지를 물

었는데 두 명 이상이 언급한 주제는 이것이 유일했다

일부 내용은 훨씬 더 명확하고 더 좋은 동기 부여를 위해 다시 썼다 예를 들어 215~216쪽의

최댓값과 최솟값의 도입과 473쪽의 급수의 도입을 보라

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- v -

지은이 머리말

이 lt미터법 국제판gt은 ≪Essential Calculus Early Transcendentals 제2판≫의 정규본과 몇 가지

점에서 차이가 난다

거의 모든 보기와 익힘 문제에서 아메리카 합중국 관례 단위(US Customary units)를 미터법 단위

로 바꿨다 아주 적은 예외는 있다 몇 가지 공학 응용에서 (주로 76절에서) 일부 공학도에게는 아메

리카 관례 단위에 익숙해지는 것이 유용할 수 있을 것이다 그리고 (야구와 관련된 보기와 같이) 미터

법 단위가 부적절한 몇 개의 익힘 문제에서는 아메리카 관례 단위를 유지했다

실세계 자료와 관련된 보기와 익힘 문제들은 더욱 국제적인 자료를 사용해서 자연스럽게 바꿨다

이에 따라 그런 대다수의 문제에서 자료는 아메리카가 아닌 다른 나라에서 나왔다 예를 들면 다른

많은 나라의 예가 있지만 홍콩 우편 요금 캐나다 국채 오스트레일리아의 실업률 터키 앙카라의 일

조 시간 아르헨티나 지방의 인구 비율 말레이시아ㆍ인도네시아ㆍ멕시코ㆍ인도 등 네 나라의 인구

온타리오의 전력 소비 등이 있다

미터법 단위를 사용하고 더욱 국제적인 자료를 사용해서 문제를 바꾸었을 뿐만 아니라 많은 문제도

바꿨다 이에 따라 약 10의 익힘 문제가 정규본과 다르다 (제1판과는 약 40의 익힘 문제가 다르다)

이 책의 집필 철학

이 책은 미분 적분학 교과서가 지나치게 크다고 생각하는 교수들의 요구에 부응하기 위해 썼다 이

책을 쓰면서 스스로에게 물었다 어떤 내용이 자연 과학도와 공학도를 위한 세 학기 미분 적분학 과

정에서 필수적인가

이 책의 분량은 본인이 쓴 다른 미분 적분학 책(Calculus 제7판 미터법 국제판 Calculus Early

Transcendentals 제7판 미터법 국제판)의 분량의 약 3분의 2이다 그렇지만 이 책에는 똑같은 주제가 거

의 모두 포함되어 있다 상대적으로 간결하게 된 이유는 주로 설명을 간략하게 하고 그림 중 일부를 웹사

이트 ltwwwstewartcalculuscomgt으로 옮겼기 때문이다 책의 분량을 줄인 방법을 좀 더 자세하게 설

명하면 다음과 같다

주제들을 효율적인 방법으로 조직했고 일부 절은 더욱 간략하게 설명했다

공간을 절약하도록 디자인했다 특히 각 장에서 시작 부분의 여백과 사진을 제거했다

보기의 개수를 조금 줄였다 추가적인 보기는 온라인으로 제공한다

- vi -

익힘 문제의 개수를 약간 줄였지만 대부분의 교수는 이 정도로도 충분하다고 생각할 것이다

게다가 교수는 학력 평가 문제를 웹사이트를 통해 접근할 수 있다

프로젝트 과제가 학생들에게 매우 바람직한 경험일 수 있다고 생각하지만 이런 과제는 이 책에

서 빼서 웹사이트로 옮겼다

문제 해결 원리에 대한 논의와 각 장에 있던 도전 문제들도 웹사이트로 옮겼다

책의 분량은 줄었지만 현대적인 맛은 여전히 느낄 수 있다 본인의 다른 책들만큼 두드러지지는

않지만 개념적인 이해와 공학 기술적인 면은 소홀히 하지 않았다

다른 미분 적분학 책 소개

본인은 다른 미분 적분학 교과서를 여러 가지 썼는데 교수에 따라 선호하는 것이 다를 수 있다 대

부분은 일변수 함수와 다변수 함수를 모두 다룬다

Essential Calculus(제2판 미터법 국제판)는 이 책과 비슷한데 다른 점은 로그 함수를 적분으로

정의하고 이에 따라 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 이 책보다 나중에 다룬다

Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)는 이 책보다 미분 적분학을 약간 더 많

은 보기와 익힘 문제를 사용해서 좀 더 완전하게 다룬다

Calculus(제7판 미터법 국제판)는 Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)와

비슷한데 다른 점은 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 둘째 학기에 다룬다

Calculus Concepts and Contexts(제4판 미터법 국제판)는 개념의 이해를 강조한다 주제의 범위

는 백과사전과 같지 않다 초월 함수와 매개 방정식에 관한 내용은 별도의 장에서 다루지 않고 책 전

체의 여기저기에 엮여있다

Calculus Early Vectors는 첫째 학기에 벡터와 벡터 함수를 도입하고 책 전체에서 통합하고 있다

이 책은 공학과 물리학 과목을 미분 적분학과 함께 수강하는 학생들에게 적절하다

Brief Applied Calculus(국제판)는 경영학 사회 과학 생명 과학을 전공하는 학생들을 위한 것이다

제 2 판의 새로운 점

이번 판의 변화는 토론토 대학교의 동료와 학생들과의 논의와 함께 이 책의 독자와 검토자들의 제안

을 반영한 결과이다 이번 판에 포함시킨 많은 개선 사항 중 일부는 다음과 같다

이 책의 시작 부분에는 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평

가가 있다 답이 제시되어 있고 좋은 점수를 받지 못한 학생에게는 도움을 얻을 수 있는 위치(부

록 제1장의 복습 문제 웹사이트)를 언급하고 있다

75절(회전면의 넓이)은 새로 추가했다 검토자들에게 제1판에서 빠진 필수적인 주제가 있는지를 물

었는데 두 명 이상이 언급한 주제는 이것이 유일했다

일부 내용은 훨씬 더 명확하고 더 좋은 동기 부여를 위해 다시 썼다 예를 들어 215~216쪽의

최댓값과 최솟값의 도입과 473쪽의 급수의 도입을 보라

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- vi -

익힘 문제의 개수를 약간 줄였지만 대부분의 교수는 이 정도로도 충분하다고 생각할 것이다

게다가 교수는 학력 평가 문제를 웹사이트를 통해 접근할 수 있다

프로젝트 과제가 학생들에게 매우 바람직한 경험일 수 있다고 생각하지만 이런 과제는 이 책에

서 빼서 웹사이트로 옮겼다

문제 해결 원리에 대한 논의와 각 장에 있던 도전 문제들도 웹사이트로 옮겼다

책의 분량은 줄었지만 현대적인 맛은 여전히 느낄 수 있다 본인의 다른 책들만큼 두드러지지는

않지만 개념적인 이해와 공학 기술적인 면은 소홀히 하지 않았다

다른 미분 적분학 책 소개

본인은 다른 미분 적분학 교과서를 여러 가지 썼는데 교수에 따라 선호하는 것이 다를 수 있다 대

부분은 일변수 함수와 다변수 함수를 모두 다룬다

Essential Calculus(제2판 미터법 국제판)는 이 책과 비슷한데 다른 점은 로그 함수를 적분으로

정의하고 이에 따라 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 이 책보다 나중에 다룬다

Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)는 이 책보다 미분 적분학을 약간 더 많

은 보기와 익힘 문제를 사용해서 좀 더 완전하게 다룬다

Calculus(제7판 미터법 국제판)는 Calculus Early Transcendentals(제7판 미터법 국제판)와

비슷한데 다른 점은 지수ㆍ로그ㆍ역삼각 함수를 둘째 학기에 다룬다

Calculus Concepts and Contexts(제4판 미터법 국제판)는 개념의 이해를 강조한다 주제의 범위

는 백과사전과 같지 않다 초월 함수와 매개 방정식에 관한 내용은 별도의 장에서 다루지 않고 책 전

체의 여기저기에 엮여있다

Calculus Early Vectors는 첫째 학기에 벡터와 벡터 함수를 도입하고 책 전체에서 통합하고 있다

이 책은 공학과 물리학 과목을 미분 적분학과 함께 수강하는 학생들에게 적절하다

Brief Applied Calculus(국제판)는 경영학 사회 과학 생명 과학을 전공하는 학생들을 위한 것이다

제 2 판의 새로운 점

이번 판의 변화는 토론토 대학교의 동료와 학생들과의 논의와 함께 이 책의 독자와 검토자들의 제안

을 반영한 결과이다 이번 판에 포함시킨 많은 개선 사항 중 일부는 다음과 같다

이 책의 시작 부분에는 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평

가가 있다 답이 제시되어 있고 좋은 점수를 받지 못한 학생에게는 도움을 얻을 수 있는 위치(부

록 제1장의 복습 문제 웹사이트)를 언급하고 있다

75절(회전면의 넓이)은 새로 추가했다 검토자들에게 제1판에서 빠진 필수적인 주제가 있는지를 물

었는데 두 명 이상이 언급한 주제는 이것이 유일했다

일부 내용은 훨씬 더 명확하고 더 좋은 동기 부여를 위해 다시 썼다 예를 들어 215~216쪽의

최댓값과 최솟값의 도입과 473쪽의 급수의 도입을 보라

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- vii -

새로운 보기를 추가했다 (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라) 그리고 기존의 보기 중에서 일부

에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다 딱 들어맞는 사례로 보기 149를 더 자세히 서술했다 제

1 판으로 14절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때

더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다

보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다

여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다

익힘 문제 중에서 약 40는 새로운 것이다 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다

1643 2213~14 2559 2639~40 3270 4366 5344~45 7624 8229~30

8767 ~68 10138 10443~44

Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데 Enhanced WebAssign

과 CourseMate에서 이용할 수 있다

내 용

진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학 해석 기하학 함수 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로

시작한다

제1장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에 극한과 연속의 개념을 도입한

다 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다

제2장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익

숙해질 수 있는 시간을 주었다 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분

공식에 관한 절에서 유도한다 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다

제3장 역함수 지수로그역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고 수 를 극한으로 정의한다 다

음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다

역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데 초월 함수의

극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다

제4장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다

곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다 최적화 문

제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다

제5장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고 필요에 따라 합의 기호를

도입한다 (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주

일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고 정규 분할을 이용한다 다양한 상황에서 적분의 뜻에

대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다

제6장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며 컴퓨터 대수 체계 수치적 방법 특이 적분도

함께 알아본다

제7장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고

리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다 이 장은 미분 방정식의 도입

으로 끝을 맺는데 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- viii -

제8장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고 이와 함께 형식적으로 증명한다 테일러 급

수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일

러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다

제9장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고 이에 미분 적분학의

방법을 적용한다 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데 이는 제10장에서 케플러의 법칙을

설명하는 방법을 제공한다

제10장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터 내적과 외적 직선 평면 곡면에 관한 내용과 함께

벡터 값 함수 공간 곡선의 길이와 곡률 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며 케플러의 법칙

으로 끝을 맺는다

제11장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에 그

래프 등고선 지도 방향 도함수 물매 벡터 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림

들을 특별히 강조해서 넣었다

제12장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다

제13장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리 그린의 정리 스토크스의 정리 발산 정리 사이의 유사성

을 강조한다

웹사이트

웹사이트 ltwwwstewartcalculuscomgt에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다

대수학 삼각법 해석 기하학 원뿔 곡선 복습

Algebra Trigonometry Analytic Geometry Conic Sections

과제 귀띔 Homework Hints

추가적인 보기 Additional Examples

프로젝트 과제 Projects

학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이

Achieved Problems

도전 문제 Challenge Problems

계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me

추가적인 주제(익힘 문제 포함) 문제 해결 원리 적분 전략 급수 판정 전략 푸리에 급수 선형

미분 방정식 이계 선형 미분 방정식 비동차 선형 방정식 이계 미분 방정식의 활용 급수를 이

용한 미분 방정식의 풀이 복소수 축의 회전 Additional Topics

특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속

수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics

제2 장과 5장을 TEC 동영상

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- ix -

감사의 말씀

이 책을 세심하게 읽어주고 의견을 준 다음 분들에게 감사드린다

제2 판 검토자

Allison Arnold University of Georgia

Rachel Belinsky Georgia State University

Geoffrey D Birky Georgetown University

Przemyslaw Bogacki Old Dominion University

Mark Brittenham University of Nebraska at Lincoln

Katrina K A Cunningham Southern University and AampM College

Morley Davidson Kent State University

M Hilary Davies University of Alaska Anchorage

Shelby J Kilmer Missouri State University

Ilya Kofman College of Staten Island CUNY

Ramendra Krishna Bose University of Texas-Pan American

Melvin Lax California State University Long Beach

Derek Martinez Central New Mexico Community College

Alex M McAllister Centre College

Michael McAsey Bradley University

Humberto Munoz Southern University and AampM College

Charlotte Newsom Tidewater Community College

Michael Price University of Oregon

Joe Rody Arizona State University

David Shannon Transylvania University

제1 판 검토자

Ulrich Albrecht Auburn University

Christopher Butler Case Western Reserve University

Joe Fisher University of Cincinnati

John Goulet Worchester Polytechnic Institute

Irvin Hentzel Iowa State University

Joel Irish University of Southern Maine

Mary Nelson University of Colorado Boulder

Ed Slaminka Auburn University

Li (Jason) Zhongshan Georgia State University

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- x -

제1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게

도 감사드린다

더불어 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 BrooksCole 직원들에게 감사

드린다 Cheryll Linthicum(editorial content project manager) Vernon Boes(art director) Gorden

Lee와 Ryan Ahern(marketing team) Maureen Ross(media editor) Carolyn Lewis(developmental editor)

Elizabeth Neustaetter(assistant editor) Stephanie Kreuz(editorial assistant) Roberta Broyer(rights

acquisitions specialist) Becky Cross(manufacturing planner) Denise Davidson(cover designer) 이

모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다

이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학

교과서를 원한다는 말을 들었다 이런 발상을 제2판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에

게 감사드린다

제임스 스튜어트(James Stewart)

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- xi -

옮긴이 머리말

이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals 2nd

edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다

1 가능한 한 우리나라 중ㆍ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다 이를테면 lsquoextreme

value theoremrsquo을 lsquo최대ㆍ최소 정리rsquo로 번역했고 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다 또

원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데 여기

서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 로 바꿨다 다만 선분은 원서와 같이

로 나타냈는데 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다

2 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영

했다 이를테면 lsquoastroidrsquo를 통상적인 표현 lsquo성망형rsquo lsquo성형선rsquo lsquo아스트로이드rsquo 등이 아니라 여기서

는 쉽게 알 수 있도록 lsquo별모양선rsquo으로 번역했다 또 lsquobe boundedrsquo는 lsquo유계이다rsquo라는 표현보다는

lsquo갇혀있다rsquo고 했다

3 긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서

lsquo좌표 평면rsquo lsquo부정 적분rsquo lsquo직교 좌표rsquo 등과 같이 나타냈다 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해

lsquo정 적분rsquo lsquo선 적분rsquo lsquo극 좌표rsquo 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다

4 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시

사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다 기호 는 Derive Maple Mathematica TI-8992 등

과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다

기호 도 접하게 되는데 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다

옮긴이

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- xiii -

차 례

Ⅰ권

1 함수와 극한

11 함수와 그 표현 12 필수적인 함수 목록 13 함수의 극한 14 극한 셈

15 연속 16 무한대와 관련된 극한

2 도함수

21 미분 계수와 변화율 22 도함수 23 기본적인 미분법 24 곱과 몫의 미분

법 25 연쇄 법칙 26 음함수의 미분법 27 서로 관련된 변화율 28 선형

근사와 미분

3 역함수 지수로그역삼각 함수

31 지수 함수 32 역함수와 로그 33 로그 함수와 지수 함수의 도함수 34

지수적 증가와 감소 35 역삼각 함수 36 쌍곡선 함수 37 부정형과 로피탈의

법칙

4 미분의 활용

41 최댓값과 최솟값 42 평균값 정리 43 도함수와 그래프의 모양 44 곡선

그리기 45 최적화 문제 46 뉴턴의 방법 47 역도함수

5 적분

51 넓이와 거리 52 정 적분 53 정 적분의 값 찾기 54 미적분학의 기본 정

리 55 치환 적분법

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- xiv -

6 적분의 기법

61 부분 적분법 62 삼각 적분과 삼각 치환 63 부분 분수 64 적분표와 컴퓨

터 대수 체계 65 근사 적분 66 특이 적분

7 적분의 활용

71 곡선 사이의 넓이 72 부피 73 기둥 껍질에 의한 부피 74 호의 길이

75 회전면의 넓이 76 물리학과 공학에의 활용 77 미분 방정식

8 급수

81 수열 82 급수 83 적분 판정법과 비교 판정법 84 다른 수렴 판정법

85 거듭제곱 급수 86 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 87 테일러 급수와 매

클로린 급수 88 테일러 다항 함수의 활용

9 매개 방정식과 극 좌표

91 매개 곡선 92 매개 곡선의 미분과 적분 93 극 좌표 94 극 좌표에서의

넓이와 길이 95 극 좌표에서의 원뿔 곡선

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- xv -

Ⅱ권

10 벡터와 공간 기하학 ∙∙∙ 585

101 삼차원 좌표 체계 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 585102 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 591103 내적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 600104 외적 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 607105 직선과 평면의 방정식 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 616106 기둥과 이차 곡면 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 625107 벡터 함수와 공간 곡선 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 631108 호의 길이와 곡률 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 644109 공간 운동 속도와 가속도 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 652 10 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 662

11 편도함수 ∙∙∙ 667

111 다변수 함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 667112 극한과 연속 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 678113 편도함수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 686114 접평면과 선형 근사 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 695115 연쇄 법칙 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 704116 방향 도함수와 물매 벡터 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 714117 최댓값과 최솟값 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 726118 라그랑주 곱수 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 735 11 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 743

12 다중 적분 ∙∙∙ 747

121 직사각형 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 747122 일반적인 영역 위에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 760123 극 좌표에서의 이중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 769124 이중 적분의 활용 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 775125 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 782

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

- xvi -

126 원기둥 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 793127 구면 좌표에서의 삼중 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 798128 다중 적분에서의 변수 변환 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 804 12 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 813

13 벡터 해석 ∙∙∙ 818

131 벡터 마당 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 818132 선 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 825133 선 적분의 기본 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 838134 그린의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 848135 회전과 발산 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 856136 매개 곡면과 그 넓이 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 864137 면 적분 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 876138 스토크스의 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 888139 발산 정리 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 894 13 복습 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 902

부록 부록 ∙∙∙ A1D 증명 middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot A38

찾아보기 A41

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

10 벡터와 공간 기하학

이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다 이는 제 11 장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데 이런 함수의

그래프는 공간의 곡면이기 때문이다 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다

또 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다CHAPTER

101 삼차원 좌표 체계

그림 1 좌표축

평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다 평면에 있

는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데 여기서 는 좌표

이고 는 좌표이다 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다 공간에 있는

점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다 공간의 임의의 점은 실

수의 순서 삼조 로 표현한다

공간에 있는 점을 표현하기 위해서 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고

를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다 이것들을 좌표축이라 하

고 축 축 축이라 부른다 통상 축과 축은 수평선 축은 연직선으

로 생각하며 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다 축의 방향은 그림 2

에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다 곧 오른손의 손가락들을

축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반 방향으로 deg만큼 휘감았

을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다

이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 로 세 개의 좌표 평면을 결정한다

평면은 축과 축을 포함하는 평면이고 평면은 축과 축을 포함하

는 평면이며 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다 이런 세 좌표 평면

은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데 각각을 팔분 공간이라 한다 가장

눈에 잘 띄는 위치에 있는 제1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다

(a) 좌표 평면 (b)

그림 3

평면

평면

평면

그림 2 오른손 법칙

용어

순서 삼조 ordered triple

좌표축 coordinate axe

오른손 법칙 right-hand rule

좌표 평면 coordinate plane

팔분 공간 octant

585

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

586 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원 도형을 그림으로 나타내는 데 많은 사람이 어려움을 겪기 때문에

다음과 같은 과정을 따르는 것이 도움이 된다 [그림 3(b)를 보라] 방에서 바

닥의 한 구석을 보고 그 구석을 원점이라 부르자 그러면 왼쪽에 있는 벽면은

평면에 있고 오른쪽에 있는 벽면은 평면에 있으며 바닥은 평면에

있다 축은 바닥과 왼쪽 벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 바닥과 오른쪽

벽면의 교선을 따라 놓인다 축은 두 벽면의 교선을 따라 바닥부터 천정을

향해 놓인다 제1 팔분 공간에 있는 방에 앉아서 나머지 일곱 팔분 공간에 있

는 일곱 개의 방을 상상할 수 있는데 (세 개는 같은 층에 있고 네 개는 아래

층에 있으며) 모두 구석에 있는 공통 점 를 통해 연결되어 있다

이제 를 공간에 있는 임의의 점이라 하자 그러면 평면으로부터 까

지의 (유향) 거리를 평면으로부터 까지의 거리를 평면으로부터

까지의 거리를 라고 하자 이때 점 를 실수의 순서 삼조 로 표

현하고 를 의 좌표라 한다 여기서 는 좌표 는 좌표 는

좌표이다 그러므로 점 의 위치는 그림 4에 나타낸 로 에서 출

발해서 축으로 따라 단위만큼 간 다음에 축과 평행하게 단위만큼 간 뒤

에 축과 평행하게 단위만큼 가서 찾을 수 있다

점 는 그림 5에 나타낸 직육면체를 결정한다 로부터 평면

에 수선을 내리면 좌표가 인 점 를 얻는데 이를 의 평면으로

의 사영이라 한다 마찬가지로 와 는 각각 의 평면

과 평면으로의 사영이다

구체적인 예로 그림 6에 두 점 와 을 나타냈다

그림 5 그림 6

데카르트 곱 ℝtimesℝtimesℝ isinℝ은 실수의 순서 삼조

전체의 집합인데 ℝ으로 나타낸다 공간의 점 와 ℝ의 순서 삼조

사이에 일 일 응이 성립한다 이를 삼차원 직교 좌표 체계 또는 좌표계라 한

다 좌표를 이용하면 제1 팔분 공간을 좌표가 모두 양수인 점의 집합으로 나타낼

수 있다

그림 4

용어

사영 projection

데카르트 곱 Cartesian product

삼차원 직교 좌표 체계 좌표계

three-dimensional rectangular

coordinate system

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

101 삼차원 좌표 체계 587

wwwstewartcalculuscomAdditional Example A를 보라

이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다

삼차원 해석 기하학에서 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다

보기 1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가

(a) (b)

풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데 이것은 좌표가

3인 ℝ의 점 전체의 집합이다 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평

면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다

(a) ℝ의 평면 (b) ℝ의 평면 (c) ℝ의 직선

그림 7

(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다 이

집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서

5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다

참고 방정식이 주어졌을 때 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의

곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다 보기 1에서 는

ℝ의 평면을 표현하지만 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는

ℝ의 직선을 표현한다 그림 7의 (b)와 (c)를 보라

일반적으로 상수 에 해 는 평면에 평행인 평면을 표현하

고 는 평면에 평행인 평면을 표현하며 는 평면과 평

행인 평면을 표현한다 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면

(평면) (평면) (평면) 및 세 평면

로 이루어진다

보기 2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라

풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합 곧

isinℝ isinℝ을 표현한다 이것은 연직 평면으로 평면

과 직선 에서 교차한다 제1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부

분을 그림 8에 나타냈다 평면에서 두 점 사이의 거리에 한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공

식으로 쉽게 확장된다

그림 8 평면

용어

곡면 surface

수평 평면 수평면 horizontal plane

연직 평면 연직면 vertical plane

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

588 제10장 벡터와 공간 기하학

삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의

거리 는 다음과 같다

이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서 그림 9와 같이 직육면체를 만들

자 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면

체의 면들은 좌표 평면과 평행이다 과 이 이 그

림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다

두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에

의해 다음이 성립한다

이 두 식을 결합하면 다음을 얻는다

따라서 다음이 성립한다

보기 3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다

보기4 반지름이 이고 중심이 인 구면의 방정식을 찾아라

풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이

다 (그림 10을 보라) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은

이다 양변을 제곱하면 곧 다음을 얻는다

그림 10

그림 9

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

101 삼차원 좌표 체계 589

보기 4의 결과는 기억할 만하다

구면의 방정식 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식은 다음과 같다

특히 중심이 원점 인 구면의 방정식은 다음과 같다

보기 5 이 구면의 방정식임을 보이고 이

구면의 중심과 반지름을 찾아라

풀이 다음과 같이 완전 제곱식으로 나타내면 주어진 방정식을 구면의 방정식

꼴로 고쳐 쓸 수 있다

이 방정식을 표준형과 비교하면 주어진 방정식은 중심이

이고 반지름이 인 구면의 방정식임을 알 수 있다

보기6 다음 연립 부등식으로 표현되는 ℝ의 영역은 무엇인가

le le le

풀이 부등식 le le 를 다음과 같이 쓸 수 있다

le le

이것은 원점으로부터의 거리가 최소 1이고 최 2인 점 를 표현

한다 그런데 부등식 le 도 만족시켜야 하므로 점은 평면에 있거나

그 아래에 있어야 한다 그러므로 주어진 연립 부등식은 두 구면

과 및 그 사이와 평면 및 그 아래에

있는 영역을 표현한다 그림 11에 이 영역을 나타냈다

101 익힘 문제

1 원점에서 출발해서 축을 따라 양의 방향으로 단위

간 다음에 아래 방향으로 단위 간 위치의 좌표는 무

엇인가

2 네 점

를 같은 좌표 공간에 표시하라

3 세 점

중에서 평면과 가장 가까운 것은 무엇인가 평

면에 놓여 있는 점은 무엇인가

4 점 의 평면 평면 평면으로의 사

영은 무엇인가 원점과 점 가 내부를 통해

마주보는 꼭짓점이고 면들은 좌표 평면과 평행인 직

육면체를 그려라 이 직육면체의 모든 꼭짓점을 표시

하라 이 직육면체의 각선의 길이를 찾아라

5 방정식 으로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명

하고 이를 그림으로 나타내라

그림 11

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

590 제10장 벡터와 공간 기하학

6 (a) 방정식 는 ℝ에서 무엇을 표현하는가

ℝ에서는 무엇을 표현하는가 이것들을 그림

을 그려 나타내라

(b) ℝ에서 방정식 은 무엇을 표현하는가

는 무엇을 표현하는가 연립 방정식

는 무엇을 표현하는가 바꿔 말하면

이고 인 점 의 집합을 설명

하라 또 그림으로 나타내라

7 다음과 같은 삼각형 의 변들의 길이를 찾아라

직각 삼각형인가 이등변 삼각형인가

(a)

(b)

8 점 부터 다음까지의 거리를 찾아라

(a) 평면 (b) 평면

(b) 평면 (d) 축

(e) 축 (f) 축

9 다음 점들이 한 직선에 놓여있는지 확인하라

(a)

(b)

10 중심이 이고 반지름이 인 구면의 방정식

을 찾아라 이 구면과 각 좌표 평면의 교선을 말하라

11 점 을 지나고 중심이 인 구면의

방정식을 찾아라

12 원점을 지나고 중심이 인 구면의 방정식을

찾아라

13-16 다음 방정식이 구면을 표현함을 보이고 그 중심

과 반지름을 찾아라

13

14

15

16

17 (a) 과 를 잇는 선분의

중점이 다음과 같음을 증명하라

(b) 세 꼭짓점이

인 삼각형의 중선들의 길이를 찾아라

18 한 지름의 양 끝점이 와 인 구면

의 방정식을 찾아라

19 중심이 이고 (a) 평면 (b) 평면

(c) 평면에 접하는 구면의 방정식을 찾아라

20 중심이 이고 제1 팔분 공간에 포함되는 가

장 큰 구면의 방정식을 찾아라

21-30 다음 방정식 또는 부등식이 표현하는 ℝ의 영역

을 말로 설명하라

21 22

23 24 ge

25 le le 26

27 le 28

29 le 30

31-34 다음 영역을 표현하는 연립 부등식을 써라

31 평면과 연직 평면 사이의 영역

32 세 평면 으로 갇힌 제1 팔분 공

간에 있는 직육면체와 그 내부

33 원점이 중심이고 반지름이 과 인 두 구면 사이에

있는 점 전체로 이루어진 영역 여기서 이고

두 구면에 있는 점은 제외한다

34 반지름이 이고 중심이 원점인 위쪽 반구면과 그 내부

35 두 점 과 로부터의 거리

가 같은 점 전체의 집합을 나타내는 방정식을 찾아

라 이 집합을 설명하라

36 다음 두 구면 모두의 내부에 놓여있는 입체의 부피를

찾아라

37 두 구면 와

사이의 거리를 찾아라

38 다음 성질들을 만족시키는 입체를 설명하고 그려라

축에 평행인 빛을 비추면 그 그림자는 원판이다

빛이 축에 평행이면 그 그림자는 정사각형이다 빛

이 축에 평행이면 그 그림자는 이등변 삼각형이다

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

102 벡터 591

102 벡터

용어 벡터를 과학자들은 (변위 또는 속도 또는 힘과 같이) 크기와 방향이 있

는 양을 나타내는 데 사용한다 벡터는 흔히 화살표 또는 유향 선분으로 표현

한다 화살표의 길이가 벡터의 크기를 표현하고 화살표는 벡터의 방향을 가

리킨다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 위에 화살표를 붙인 문자 로 나

타낸다

예를 들어 입자가 점 부터 점 까지의 선분을 따라 움직인다고 하자 그

림 1에 나타낸 이에 응하는 변위 벡터 는 시점(꼬리)이 이고 종점(머리)

이 인데 이를 로 나타낸다 벡터 는 와 위치가 다르지만

길이가 같고 방향도 같다 와 는 서로 동치라고(또는 같다고) 하며

로 나타낸다 길이가 인 벡터를 으로 나타내고 영 벡터라 한다 영 벡터는

방향이 없는 유일한 벡터이다

벡터의 결합

입자가 부터 까지 움직인다고 하자 그러므로 이의 변위 벡터는 이

다 다음에 이 입자는 그림 2와 같이 방향을 바꾸어 부터 까지 움직여서

그 변위 벡터가 라고 하자 이런 변위들을 결합한 효과는 입자가 부터

까지 움직이는 것이다 이 결과로 얻은 변위 벡터 를 와 의 합

이라 하고 다음과 같이 나타낸다

일반적으로 두 벡터 와 에 해 먼저 를 움직여서 이의 꼬리가 의 머

리와 일치시키고 와 의 합을 다음과 같이 정의한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 와 가 의 시점이 의 종점에 있도록 위치

하고 있으면 합 는 의 시점부터 의 종점까지의 벡터이다

벡터 덧셈의 정의를 그림 3에 나타냈다 이 정의를 종종 삼각형 법칙이라

부르는 이유를 알 수 있다

그림 3 삼각형 법칙 그림 4 평행 사변형 법칙

그림 4에서는 그림 3에서와 같은 두 벡터 와 에 해 시점이 와 같고

그림 1 동치인 벡터

용어

벡터 vector

변위 벡터 displacement vector

시점 initial point

종점 terminal point

동치 equivalent

같다 equal

영 벡터 zero vector

합 sum

벡터 덧셈 vector addition

삼각형 법칙 triangle law

그림 2

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

592 제10장 벡터와 공간 기하학

와 동치인 의 사본을 그린다 평행 사변형을 완성하면 임을

알 수 있다 이것은 합을 작도하는 또 다른 방법을 제공한다 곧 와 를 같

은 점에서 출발하도록 위치시키면 는 와 가 변인 평행 사변형의 대

각선을 따라 놓인다 (이를 평행 사변형 법칙이라 부른다)

보기 1 그림 5에 나타낸 두 벡터 와 의 합을 그림으로 나타내라

풀이 먼저 를 평행 이동시켜 그 꼬리를 의 머리에 위치시키고 와 길이와

방향이 같은 의 사본을 그린다 그리고 [그림 6(a)와 같이] 의 시점에서

출발하고 의 사본의 종점에서 끝나는 벡터 를 그린다

다른 방법으로 의 시점을 의 시점에 위치시키고 그림 6(b)에서와

같이 평행 사변형 법칙으로 를 그릴 수 있다

(a) (b)

그림 6

벡터에 실수 를 곱할 수 있다 (이런 상황에서는 벡터와 구별하기 위해서

실수 를 스칼라라고 부른다) 예를 들면 는 와 같은 벡터로 와 방

향은 같지만 길이가 두 배인 벡터로 정의하고 싶다 일반적으로 벡터에 스칼

라를 다음과 같이 곱한다

스칼라 곱셈의 정의 는 스칼라이고 는 벡터라 하자 스칼라 배 를

길이는 과 의 길이의 곱이고 방향은 일 때 와 같고 일

때는 와 반대인 벡터로 정의한다 또는 일 때 이다

이 정의를 그림 7에 예시했다 여기서 실수는 신축 인자와 같은 역할을 한

다 이것이 바로 스칼라라 부르는 이유이다 영이 아닌 두 벡터가 서로 다른

것의 스칼라 배일 때 서로 평행이다 특히 벡터 는 와 길이가

같지만 방향은 반대이다 이를 음의 라 한다

두 벡터의 차 는 다음을 뜻한다

그러므로 를 그림 8(a)에서와 같이 먼저 음의 인 를 그리고 평행

사변형 법칙을 이용해서 이를 와 더해서 작도할 수 있다 다른 방법으로

이므로 벡터 는 에 더하면 가 된다 그러므로 그림

8(b)에서와 같이 삼각형 법칙을 이용해서 를 작도할 수 있다

그림 7 의 스칼라 배

그림 5

용어

평행 사변형 법칙 parallelogram law

사본 copy

스칼라 scalar

스칼라 곱셈 scalar multiplication

스칼라 배 scalar multiple

신축 인자 scaling factor

음의 negative of 차 difference

TEC Visual 102는 여러 가지 벡터

와 에 대해 삼각형 법칙과 평행 사

변형 법칙을 적용하는 방법을 보여준다

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

102 벡터 593

(a) (b)

그림 8 그리기

보기 2 두 벡터 와 가 그림 9와 같을 때 벡터 를 작도하라

풀이 먼저 방향이 와 반 이고 길이는 의 두 배인 벡터 를 그린다 그림

10과 같이 의 꼬리를 의 머리에 위치시키고 삼각형 법칙을 이용해

서 를 그린다

그림 9 그림 10

성분

어떤 상황에서는 좌표 체계를 도입해서 벡터를 수적으로 다루는 것이 최

선인 경우가 있다 벡터 의 시점을 직교 좌표 체계의 원점에 위치시키면 좌

표 체계가 이차원인지 삼차원인지에 따라서 의 종점의 좌표는 또는

꼴이 된다 (그림 11을 보라) 이런 좌표를 의 성분이라 하고 다

음과 같이 나타낸다

lang rang 또는 lang rang평면의 점과 관련된 순서쌍 와 혼동하지 않기 위해서 벡터와 관련된

순서쌍은 기호 lang rang를 사용하겠다

예를 들면 그림 12에 나타낸 벡터들은 모두 종점이 인 벡터

lang rang와 동치이다 이 벡터들의 공통점은 시점으로부터 3단위 오른

쪽으로 간 다음에 2단위 위로 가면 종점에 도달한다는 사실이다 이런 모든

기하적인 벡터를 수적인 벡터 lang rang의 표현으로 생각할 수 있다 원

점부터 점 까지의 특별한 표현 를 점 의 위치 벡터라고 한다

lang rang

lang rang그림 11

용어

성분 component

표현 representation

위치 벡터 positional vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

594 제10장 벡터와 공간 기하학

그림 12 벡터 lang rang의 표현 그림 13 lang rang의 표현

삼차원에서 벡터 lang rang은 점 의 위치 벡터

이다 (그림 13을 보라) 시점이 이고 종점이 인

의 또 다른 표현 를 생각하자 그러면

가 성립해야 하므로

이다 이에 따라 다음 결과를 얻는다

983729 주어진 두 점 과 에 해 가 표현인

벡터 는 다음과 같다

lang rang

보기 3 시점이 이고 종점이 인 유향 선분으로 표현

되는 벡터를 찾아라

풀이 983729에 의해 에 응하는 벡터는 다음과 같다

lang ranglang rang

벡터 의 크기 또는 길이는 이것의 임의의 표현의 길이이고 기호 또는

로 나타낸다 거리 공식을 이용해서 선분 의 길이를 셈하면 다음과

같은 공식을 얻는다

이차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

삼차원 벡터 lang rang의 길이는 다음과 같다

벡터는 수학적으로 어떻게 더할까 그림 14는 (성분이 양수인 경우에)

lang rang이고 lang rang일 때 합이 lang rang임을 보

여준다 바꿔 말하면 수적 벡터를 더하려면 그것들의 성분을 더한다 마그림 14

용어

크기 magnitude

길이 length

의 위치 벡터

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

102 벡터 595

벡터의 성질 가 의 벡터이고 와 는 스칼라일 때 다음이 성

립한다

1 2

3 4

5 6

7 8

찬가지로 벡터끼리 빼려면 성분끼리 뺀다 그림 15에 나타낸 닮은 삼각형에

서 의 성분이 과 임을 알 수 있다 그러므로 벡터에 스칼라를 곱하려

면 각 성분에 그 스칼라를 곱한다

lang rang이고 lang rang일 때 다음이 성립한다

lang rang lang rang

lang rang

마찬가지로 삼차원 벡터에 해 다음이 성립한다

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang ranglang rang

보기4 lang rang이고 lang rang일 때 와 네 벡터

를 각각 찾아라

풀이 lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang rang lang ranglang rang

lang ranglang ranglang rang

lang rang lang rang lang ranglang ranglang rang

이차원 벡터 전체의 집합을 삼차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타

낸다 좀 더 일반적으로 차원 벡터 전체의 집합을 으로 나타낸다 차

원 벡터는 다음과 같은 순서 조이다

lang hellip rang여기서 hellip 은 실수인데 의 성분이라 한다 덧셈과 스칼라 곱셈

은 와 인 경우와 마찬가지로 성분을 이용해서 정의한다

그림 15

차원 벡터는 다양한 양을 어떤 조직

적인 방법으로 나열할 때 흔히 사용

된다 예를 들면 육차원 벡터

lang rang의 성분은 어

떤 제품을 만드는 데 필요한 여섯 가

지 재료의 가격을 표현할 수 있다 사

차원 벡터 lang rang는 상 성 이

론에 이용되는데 여기서 처음 세 성

분은 공간의 위치를 지시하고 넷째

성분은 시간을 표현한다

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector

596 제10장 벡터와 공간 기하학

벡터의 이런 여덟 가지 성질은 기하학적이나 수학적으로 쉽게 밝힐 수 있

다 예를 들면 성질 1은 그림 4에서 확인할 수 있다 (이는 평행 사변형 법칙

과 동치이다) 또는 인 경우에 다음과 같이 확인할 수 있다

lang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

성질 2(결합 법칙)가 참인 이유는 그림 16과 같이 삼각형 법칙을 몇 번 적

용해서 확인할 수 있다 곧 벡터 는 먼저 를 작도한 다음에 를 더

하거나 를 에 더해서 얻을 수 있다

다음과 같은 의 세 벡터는 특별한 역할을 한다

lang rang lang rang lang rang이런 벡터 를 표준 기저 벡터라고 한다 이것들은 길이가 모두 1이고

각각 양의 축 양의 축 양의 축 방향을 가리킨다 마찬가지로 이차원에

서 lang rang과 lang rang을 정의한다 (그림 17을 보라)

(a) (b)

그림 17 와 에서의 표준 기저 벡터

lang rang일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다

lang ranglang ranglang ranglang rang lang ranglang ranglang rang

983730

그러므로 에 속한 임의의 벡터는 의 식으로 표현할 수 있다 이를

테면 다음과 같다

lang rang 마찬가지로 이차원에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다

983731 lang rang 그림 18에 나타낸 두 식 983731과 983730의 기하학적 표현을 보고 그림 17과 비교하라

그림 16

그림 18

용어

표준 기저 벡터 standard basis vector