Indice1 La nascita della Meccanica Quantistica. 31.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Aree di crisi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Radiazione di corpo nero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 La legge di Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Il fotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Effetto fotoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Livelli energetici discreti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Conteggi e spazio delle fasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Emissione e assorbimento: coefcienti di Einstein. . . . . . . . . . . . . . 171.6 Statistica e dualit onda-particella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Impulso del fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Impulso e sue uttuazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8.1 Lmpulso nei processi di emissione e assorbimento. . . . . . . . . . 311.9 Il problema dei calori specici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.10 Alcune nozioni elementari sugli spettri atomici. . . . . . . . . . . . . . . . 411.11 Modello di Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.11.1 Motivazioni delle ipotesi di Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.11.2 Formulazione alternativa della quantizzazione delle orbite. . . . . . 501.11.3 Quantizzazione del momento angolare. . . . . . . . . . . . . . . . 511.11.4 Osservazioni e prime generalizzazioni. . . . . . . . . . . . . . . . 521.11.5 Lesperimento di Franck ed Hertz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.12 Regole di quantizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.12.1 Invarianti adiabatici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.13 Moti periodici unidimensionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.13.1 Esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.14 Moti quasi periodici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.14.1 Invarianza adiabatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.15 Sistemi integrabili: oscillatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.16 Sistemi integrabili: atomo di idrogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.17 Esperimento di Stern e Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.18 Conferme e smentite del modello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.19 Interazione luce materia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.19.1 Diffusione della luce e legge di dispersione. . . . . . . . . . . . . . 891.19.2 Relazione di Thomas e Kuhn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.19.3 Principio di corrispondenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.20 La transizione alla meccanica quantistica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412 INDICEAppendici e Complementi 991.A Termodinamica del corpo nero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991.A.1 Legge di Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.A.2 Entropia e spettro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.B Fluttuazioni classiche del campo di radiazione. . . . . . . . . . . . . . . . 1081.C Assorbimento di un oscillatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.D Entropia di Sackur-Tetrode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.E Regole di quantizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141.E.1 Sistemi periodici unidimensionali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151.E.2 Esempi espliciti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.F Calcolo di alcuni integrali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191.G Calcolo perturbativo del dipolo elettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Capitolo 1La nascita della MeccanicaQuantistica.1.1 IntroduzioneLa nascita della meccanica quantistica nella sua forma odierna ha una fase di gestazione chesi pu convenzionalmente ssare fra la data della prima comunicazione di Planck[Pla00a]in cui viene presentata la formula per la distribuzione spettrale della radiazione di corponero, 9Ottobre1900, elastesuradellarticolodiHeisenberg[Heis25], Luglio1925, incui si delineano le linee guida della meccanica quantistica. Questo processo, innescatoda una profonda crisi della sica classica a fronte del nuovo mondo microscopico che letecniche sperimentali cominciavano a disvelare, ha costituito uno dei pi profondi sconvol-gimenti culturali nella storia della scienza, coinvolgendo il concetto stesso di realt sicaed imponendo un cambiamento radicale nel paradigma interpretativo della natura.In questo breve capitolo non vogliamo fare una storia di questi eventi, cosa per la qualenon ci sentiamo competenti, quanto presentare nella maniera pi semplice possibile alcunili conduttori che permettano di seguire la logica di questa evoluzione.Uno dei motivi di questa presentazione la convinzione degli autori che una compren-sione, almeno parziale, del retroterra teorico - sperimentale della meccanica quantisticapossa far capire meglio alcuni concetti della teoria. Una seconda motivazione la constata-zione che levoluzione della meccanica quantistica non pu certo dirsi conclusa, quindi laconoscenza dei fondamenti su cui poggia pu aiutare a capire alcuni degli sviluppi futuri.Qualche precisazione per il lettore.1) La lettura di questo capitolo non tecnicamente necessaria per la comprensione deltesto principale, una buona idea sarebbe una rilettura di questa parte dopo aver lettoil resto del libro, alcune cose appariranno sotto unaltra luce.2) Inquestocapitolo, necessariamente, daremoperscontatemoltissimecosedisi-caclassica. Unminimodiconoscenzadellameccanicastatisticapuessereuti-le. Daremo delle dimostrazioni per alcuni punti che potrebbero non far parte delleconoscenze di base del lettore. Le dimostrazioni non strettamente necessarie allacomprensione del testo saranno messe in appendice.1.1.1 Aree di crisi.Si soliti indicare in tre questioni principali i punti di crisi della sica classica. In parolesemplici:a) Il problema della radiazione del corpo nero: la teoria elettromagnetica classica non capace di spiegare il colore della luce emesso da un corpo caldo.34 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.b) Il problema dei calori specici:secondo la meccanica statistica classica ogni gradodi libert contribuisce in ugual misura al calore specico di un corpo, questo inpalese contraddizione con levidenza sperimentale, come commenteremo fra breve,ed piuttosto imbarazzante da un punto di vista logico, pregurando un limitealla possibile struttura interna dei corpi (allaumentare della struttura aumentano disicuro i gradi di libert).c) Ilproblemadeglispettriatomici: losservazionesperimentalemostrachelaluceemessa, e assorbita, dai vari elementi chimici ristretta a ben denite frequenze,caratteristiche di ogni elemento. Lo spettro, cio linsieme delle frequenze, e le sueregolarit sono incomprensibili classicamente.Bench questi problemi siano gravi, connare in questo modo la problematica unaottimistica sottovalutazione. Quello che i dati sperimentali sempre pi precisi della se-conda met dellottocento andavano svelando era la struttura microscopica, atomica, dellamateria. La sica classica assolutamente incompatibile con lesistenza stessa di strutturemicroscopiche stabili legate da forze di tipo elettrico (le uniche conosciute allepoca), nonessendo capace nemmeno di stabilire lordine di grandezza delle dimensioni atomiche. Iproblemi precedenti sono una conseguenza di questa situazione. Il problema fondamentale cinematico, come emerger a poco a poco nel primo quarto del novecento: non sono pre-senti forze sconosciute, sono i concetti stessi di posizione, impulso, energia a dover essererivisti. Accanto a questi aspetti cinematici appariranno anche delle nuove forze, rivelatedalla scoperta della radioattivit, ma queste questioni avranno uninuenza marginale nellaprima fase di sviluppo della teoria.Non basta. La sica classica poggia su una dicotomia fra particelle, denite da pochigradi di libert, ad esempio la posizione e limpulso, e campi che necessariamente hannoinniti gradi di libert: se vogliamo ad esempio conoscere levoluzione temporale di uncampo elettromagnetico dobbiamo assegnarne il valore su unintera supercie. Matemati-camente questa differenza si riette nel fatto che le equazioni per il campo elettromagneticosono equazioni alle derivate parziali, mentre le equazioni di Newton, per i supposti costi-tuenti elementari, sono equazioni ordinarie. Questo punto connesso al precedente nelsenso che qualunque tentativo classico di immaginare una struttura interna agli elettroni(le uniche particelle abbastanza conosciute allepoca) era fallito, quindi questi costituentiandavano trattati come puntiformi. La coesistenza quasi pacica di queste due rappresen-tazioni del reale comincia ad entrare in conitto con lanalisi teorica ed i dati sperimen-tali, risolvendosi inne nellabbandono delle due visioni, che diventano un caso limite dirappresentazione dello stesso oggetto quantistico.Uno dei campi in cui tutte queste problematiche vengono per prime alla luce lo stu-dio della radiazione di corpo nero,ed da questo fenomeno che partiamo per la nostrapresentazione.1.2 Radiazione di corpo nero.Un importante risultato della sica classica, dovuto a Kirkhhoff, afferma che in condizionidi equilibrio termico il rapporto fra il potere emissivo di un corpo ed il potere assorbente universale ed porporzionale alla densit spettrale di energia in una cavit. Per la di-mostrazione rimandiamo allappendice 1.A ed al libro di Planck sullargomento[Pla-H.R.].Consideriamo una cavit a pareti perfettamente riettenti, di volumeV , (per semplicitsupporremo un cubo) e tenuta a temperaturaT. Le pareti di questa cavit sono in equi-librio termico con la radiazione elettromagnetica emessa ed assorbita dalle pareti. SiaUlenergia elettromagnetica totale, u =U/Vla densit di energia e u(, T) la sua densitspettrale, cio u(, T)d la quantit di energia elettromagnetica per unit di volume e di1.2. RADIAZIONE DI CORPO NERO. 5frequenza1. Naturalmenteu =

0u(, T)d (1.1)Uncorponerodenitocomeuncorpocheassorbecompletamentelalucedituttelefrequenze, cio con potere assorbente 1. In forza del risultato citato sopra il potere emissivodi questo corpo direttamente proporzionale alla funzioneu. Il teorema di Kirkhhoffafferma appunto che la funzione u(, T) universale, il potere emissivo di un corpo neronon dipende cio dal tipo di corpo, dalla sua composizione chimica etc, e la densit diradiazione non dipende dal tipo di cavit.Una affermazione cos generale f capire che la determinazione della funzione u(, T)coinvolge solo costanti universali e riette qualche importante propriet sica. Dal puntodi vista visivo la determinazione della funzione permette di capire il colore della luceemessa: la dipendenza dalla temperatura provocher una diversa distribuzione in frequenzadella luce, e quindi un colore (cio una frequenza) diversi.La situazione teorica dellargomento alla ne dell800 pu essere riassunta nei seguentifatti:Legge di Stefan Boltzmann. La densit di energia proporzionale alla quarta potenzadella temperatura:u(T) = aT44cT4J(T) = T4(1.2) detta costante di Stefan-Boltzmann, c la velocit della luce,eJ lenergiaradiante emessa al secondo dallunit di supercie di un corpo nero a temperaturaT. Si pu pensare di misurare J considerando un forno a temperatura Tcon un pic-colo foro da cui esce la radiazione. La (1.2) una conseguenza diretta del secondoprincipio della termodinamica e della relazione p = u/3 che lega la densit di ener-gia elettromagnetica e la pressione di radiazione. Come sottoprodotto si ha anchelespressione dellentropia della radiazione2S =43uT V 43UV(1.3)Legge di Wien. La funzione u(, T) ha la formau(, T) = 3f(T ) (1.4)Dalla (1.4) segue la legge di Stefan-Boltzmannu =

0u(, T)d =

03f(/T)d = T4

0x3f(x)dx = aT4La (1.4) racchiude la legge dello spostamento di Wien: il massimo della funzionespettrale soddisfa alla relazionemax/T= cost. ovvero maxT= cost. (1.5)Basta infatti scrivere lequazionedu/d=0: si ottiene unequazione nella solaincognita /T.La situazione fenomenologico-sperimentale era la seguente:1Nella speranza di ridurre la possibile confusione dovuta al proliferare delle quantit, cercheremo di usare inmodo consistente la seguente convenzione tipograca, Qindica una quantit globale, q la sua densit, cio Q/V ,e q la densit spettrale.2Ricordiamo che la dimostrazione di tutte queste affermazioni pu essere trovata nel paragrafo 1.A6 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.Sulla base di analogie con la distribuzione di Maxwell, Wien aveva proposto la formaseguente per la funzione u(, T):u(, T) = a3eb/T(1.6)Non ci sono giusticazioni teoriche ragionevoli per questa legge, pu essere pensatacome una descrizione fenomenologica dei dati.I dati sperimentali, limitati a piccole lunghezze donda, si accordano bene alla eq.(1.6).La situazione cambia rapidamente alla ne dell800 con lafnarsi delle misure e lesten-sione delle stesse verso linfrarosso, cio a grandi lunghezze donda: i dati sperimentalimostrano una deviazione signicativa dalla legge proposta da Wien, e la teoria non ha al-cuna predizione n per la proposta fenomenologica di Wien, n tantomeno per le deviazionimisurate. a questo punto che Planck scopre la corretta forma di u(, T) e per giusticarequesta forma, che si adatta perfettamente ai dati sperimentali, costretto a introdurre ilconcetto di quanto, cio la possibilit di una discontinuit nei processi sici.1.2.1 La legge di Planck. chiaro che la determinazione della funzione u(, T) un problema di equilibrio stati-stico, ma bisogna tener conto del fatto che la meccanica statistica era una parte della sicarelativamente nuova e non universalmente accettata, in particolare Planck non ne era certoun sostenitore. Lapproccio usato da Planck perci, almeno inizialmente, termodinamico:una metodologia ben suffragata dal fatto che gli unici risultati noti allepoca, la legge diWien e la legge di Stefan-Boltzmann, erano stati ottenuti appunto in questo modo.Il risultato nale la formula di Planck per la radiazione di corpo nerou(, T) =8h3c31ehkT 1(1.7)h la costante di Planck ek la costante di Boltzman. Per quanto detto sulluniversalitdella radiazione di corpo nero, h e k sono due costanti universali. Dimensionalmente:[h] = energia tempo = azione interessante notare che la costante di Boltzmann fa la sua prima comparsa proprio nellavoro di Planck [Pla00a], ritorneremo pi avanti su questo punto. In questo capitolo deri-veremo la (1.7) in diversi modi, ma interessante seguire la logica originale della deduzionedi Planck3.Lequilibrio termico della radiazione mantenuto da uno scambio continuo di energiacon le pareti della cavit, la prima idea di Planck di trasformare la ricerca diu(, T)nello studio dellequilibrio termico del materiale della cavit. Per il teorema di Kirkhhoffla scelta del materiale arbitraria, quindi Planck sceglie il modello pi semplice: oscillatoriarmonici che mantengono lequilibrio assorbendo e riemettendo radiazione. Un oscillatorecon frequenza propria 0 assorbe ed emette luce a frequenza 0. Come noto la potenzaemessa da una carica accelerata I =23e2c3a2dovealaccelerazione. Lapotenzaassorbitafornitadallavorodelcampoelettricodella radiazioneeEv. Lampiezza di oscillazione proporzionale al campo elettrico,quindi il lavoro proporzionale a E2, cio alla densit di energia. Allequilibrio lenergiaemessa uguale allenergia assorbita ed un semplice calcolo, riportato per comodit nel3Lo studio della radiazione di corpo nero costituiva da anni linteresse scientico di Planck, nel lavoro del1900 vengono utilizzate molte idee sviluppate in lavori precedenti.1.2. RADIAZIONE DI CORPO NERO. 7paragrafo 1.C d la relazione fra lenergia media delloscillatore di frequenza ,E, e ladensit spettrale:u(, T) =82c3E(1.8)Notiamo che, in accordo col teorema di Kirkhhoff, nella (1.8) non compaiono i parametridelloscillatore, e, m. Se si riesce a calcolare lenergia media termica delloscillatore, E,si ha la soluzione del problema4. La (1.8), assieme alla legge di Wien, assicura che a sso, E una funzione solo di T:E = E(T) (1.9) ben noto, ed era noto da oltre 30 anni nel 1900, che un oscillatore armonico in equi-librio termico ha classicamente unenergia media E= kT: il teorema di equipartizionedellenergia, ad ogni grado di libert che compare in forma quadratica nellHamiltoniana associata unenergia12kTe loscillatore ha un grado di libert traslazionale, p2/2m, eduno vibrazionale,12m20q2. Probabilmente Planck non crede alla validit del teorema diequipartizione e non lo applica, per fortuna, alla (1.8): se lo avesse fatto non avrebbe sco-perto la legge (1.7). Planck parte dal secondo principio della termodinamica applicato aglioscillatori. Lentropia una quantit estensiva, se consideriamo sso il volume della cavitpossiamo considerare lentropia per oscillatore come funzione dellenergia E e scrivere ilsecondo principio nella formadSdE=1T(1.10)Siccome nel discorso che segue sso tralasceremo di indicarlo. Sindica lentropiaperoscillatoreedElenergiamediaperoscillatore. Nella(1.10)latemperaturaTvapensata come funzione di E, ottenuta invertendo la (1.9). Viceversa se si conosce dS/dEin funzione di E si pu trovare la (1.9).Consideriamo ad esempio la legge fenomenologica di Wien. Dalla (1.8) segueE = e/T T= log(E) (1.11a)d2SdE2=ddE

1T

= 11E(1.11b)Ripetiamo: i fattori sono costanti, sono stati messi in evidenza per sottolineare che i duecoefcienti , sono costanti universali, indipendenti da .Viceversa assumendo lequazione (1.11b) si ricava la legge di Wien. Notiamo che inquesto modo la costante una costante di integrazione. Una relazione del tipo d2S/dE21/E era stata ipotizzata da Planck in base ad un modello piuttosto complicato, ma i datisperimentali indicavano una violazione della legge di Wien e quindi la non validit di que-sta equazione. Dalla (1.11a) vediamo che per T 0, oppure , E 0. In questoregime la (1.11a) in accordo con i dati, quindi la correzione deve consistere in qualcosache si annulla pi rapidamente di E quando E 0. Lipotesi pi semplice d2SdE2= 1a11E(a2 +E)(1.12)Integrando la (1.12) si ha:1T=dSdE= 1a1a2

dE

1E 1a2 +E

= 1a1a2logEa2 +E+c

(1.13)Un punto da sottolineare ora il seguente: perT , lenergia media delloscillatoredevedivergere, quindiillimiteE della(1.13)deveesserenullo, questossala4Per evitare malintesi le energie che compaiono nella (1.8) sono energie termiche, lo zero dellenergia cio ssato a T= 0. Eventuali altre forme che non dipendono dalla temperatura sono escluse.8 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.costante additiva c=0. Si hanno quindi ancora 2 costanti, come nel caso della legge diWien. Notiamo che il vincolo E per T incompatibile invece con la (1.11a).Imponendo ora che per E 0, cio T 0 si recuperi la (1.11a) si ottienea1a2 = a2 = (1.14)Invertendo la (1.13) e usando la (1.8)E = e/T1 e/T= 1e/T1 u(, T) =83c31e/T1(1.15)Cambiando nome alle costanti = h =hksi ha la legge di Planck nella notazione usuale. Lidenticazione della costante di Boltz-mann segue dal limite di alta temperatura:E T=T (1.16)Notiamo due cose molto importanti:Il teorema di equipartizione classico non un optional della sica classica, se violato, come nella (1.15), qualche principio fondamentale deve venire a mancare.Dai dati sperimentali, piuttosto precisi, Planck ricava il valore delle due costanti h, k.Dal valore di k si possono ricavare il numero di Avogadro, usando la costante dei gas,e, dal valore del Faraday, la carica dellelettrone:NA = R/k F= NAe (1.17)ivaloriricavatisonoimiglioriperlepocainesame, solodiversiannidopo, adesempio, lamisuradi estatamigliorata. LostessosipudireperilvalorediNA.Dal valore di u possibile ricavare la costante di Stefan-Boltzmann =25k415h3c2a =4c=85k415h3c3(1.18)Usando lintegraleI=

0x3ex1dx =415si hau =

0ud=8hc3

03eh/kT1d=8k4h3c3 T4 Ida cui segue la (1.18).La conclusione che si pu trarre dalle previsioni (1.17) che la formula di Planck qualcosadi pi di un semplice accordo fenomenologico, mentre lindicazione teorica che qualcosadi rilevante deve essere sbagliato nella sica classica.Quanto rilevante sia lo scostamento dalla sica classica lo si capisce nella proposta dispiegazione che Planck avanza nel lavoro[Pla00b]. Riscrivendo la (1.13) con il valore dellecostanti (1.14) e integrando si haS =

1 +E

log

1 +E

1

E

log

E

1

+S01.2. RADIAZIONE DI CORPO NERO. 9Per T 0, E 0. Imponendo5S(0) = 0 si ha S0 = 1 e, sostituendo il valore noto dellecostantiS = k

1 +Eh

log

1 +Eh

Eh log

Eh

(1.19)Naturalmente dallespressione (1.19), derivando si ottiene la formula di Planck, come vi-sto precedentemente. Si tratta quindi di dimostrare la (1.19). Ricordiamo che in terministatistici lentropia di un sistema data daS = k log W (1.20)dove W, nel linguaggio usuale, il numero di microstati corrispondente al macrostato diequilibrio. Confrontando la (1.20) con la (1.19) naturale provare a calcolare S valutandoWallequilibrio. Il ragionamento di Planck il seguente. ConsideriamoNoscillatori.SiaENlenergia di equilibrio eSNla corrispondente entropia. Allequilibrio lenergiaEN in qualche modo distribuita fra gli Noscillatori e lenergia media per oscillatore E=EN/N. Supponiamo di considerare lenergia come composta da tante piccole parti,,si avrEN=P, P il numero di pezzetti di energia. Planck afferma cheW ilnumero di modi in cui questa energia pu essere distribuita, il nome tecnico usato per unmicrostato, allepoca, era complessione. QuindiW il numero di modi in cuiPpallineidentiche possono essere distribuite in Ncassetti. facile calcolare questo numero:se sitracciano N 1 righe verticali, si delimitano N cassetti, comprendendo lo spazio a sinistradella prima riga e a destra dellultima. Si distribuiscono ora P palline nei cassetti, il numerodelle distribuzioni possibili si ottiene permutando fra di loro linsieme delle palline e deglioggetti, (N+ P 1)!. Le (N 1)! permutazioni che scambiano fra loro le righe sonoininuenti, e lo stesso dicasi delle P! permutazioni delle palline, quindiW=(N +P 1)!(N 1)!P!(1.21)Essendo N1, P1, possiamo trascurare il termine 1 nella espressione precedenteed applicare la formula di Strirling log(n!) n(log n 1), ottenendoSN= k [(N +P)(log(N +P) 1) N(log N 1) P(log P 1)] == kN

1 +PN

log

1 +PN

PNlogPN

Ricordando che P= EN/ = NE/ si ha, per lentropia per oscillatoreS =SN= k

1 +E

log

1 +E

Elog

E

(1.22)Che identica alla (1.19) se si identica il pezzetto minimo di energia con h.Il problema che non si pu fare il limite 0, questo corrisponde al limite 0nella (1.19), cioE ed in questo caso si ricade nel caso classico in cuiE=kT.Quindi la formula di Planck si ottiene assumendo una discretizzazione dellenergia inquanti di grandezza h. ovvio che questo in contrasto con tutta la meccanica classica, non solo, rischia dientrare in conitto con le stesse equazioni di Maxwell nella cavit, cio nel vuoto. Co-munque a questo livello la situazione perlomeno ambigua. Si pu ad esempio pensare aqualche, oscuro in verit, meccanismo dinamico che provochi a livello effettivo una discre-tizzazione del tipo (1.22). Il vero problema la violazione del principio di equipartizionedellenergia. Un altro problema allapparenza tecnico che il conteggio usato per dedurrela (1.22) non il conteggio di Boltzmann, o almeno non sembra il conteggio di Boltzmann.Le differenze sono due5Lannullarsi dellentropia per T= 0 il contenuto del Teorema di Nerst.10 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.Nel normale conteggio combinatorio per il calcolo del numero di microstati, si con-siderano gli stati di oggetti distinguibili, le particelle di un gas, mentre le quantit usate da Planck sono oggetti indistinguibili.Nel conteggio di Boltzmann occorre scrivere la realizzazione di un macrostato gene-rico e trovare S allequilibrio massimizzando questa espressione, questo identica lostato di equilibrio come lo stato pi probabile. Nel risultato (1.22) non si effettuatanessuna operazione di massimizzazione, quindi non molto chiaro in che senso ilconteggio fatto descriva lo stato di equilibrio, non avendo specicato quali sono glialtri stati possibili. Queso conteggio fu ampiamente discusso, e criticato, nei primianni del 900, vedremo pi avanti qual la spiegazione corretta.Il problema del principio di equipartizione dellenergia viene sollevato in varie formeda Raleigh, Einstein, Jeans. Ponendo E = kTla formula (1.8) diventau(, T) 82c3kT (1.23)eprendeilnomediformuladiRaleigh-Jeans. Unpuntointeressantechepuesserededotta senza far ricorso agli oscillatori materiali. Se consideriamo una cavit a paretiriettenti, possiamo decomporre il campo elettrico, e quello magnetico, in onde stazionarie,diciamo che si annullano ai bordi. Per annullarsi ai bordi, x = L, una funzione del tiposin(2x)deve avere =2Ln , cio per ogni lato occorre sistemare un numero intero di semilunghezzedonda. Queste lunghezze donda corrispondono a frequenze =c=nc2Ln = 1, 2 . . .Questovaleperognunadelle3direzionispaziali. Ilnumerodifrequenzepossibili, omodidivibrazione, allorailvolumeindividuatodalletriplettediinteripositivi n=(nx, ny, nz), tuttiinunottantedellospaziotridimensionale. Lelementodivolumeinquesto spazio 184n2dn = 42c3 L3d = [n[c2LTenendo conto che per ogni modo di vibrazione del campo elettrico ci sono due modi dipolarizzazione, il numero di modi in frequenza, per unit di volume, Zd = 82c3 d (1.24)Ogni modo di vibrazione un modo armonico, quindi a tutti gli effetti un oscillatore. Ladensit di energia di radiazione allorau(, T) = ZE(1.25)dove E lenergia media di un oscillatore di campo ( nel 1900, per Raleigh, un oscillatoredelletere): la (1.25) coincide con la (1.8). Questo modo di procedere ha il vantaggio difocalizzare lattenzione sulla radiazione. a questo punto che compare un rivoluzionario lavoro di Einstein[Ein05], che da unaparte ribadisce la validit in meccanica classica del principio di equipartizione, dallaltrasegna la nascita del concetto di fotone.1.3. IL FOTONE. 111.3 Il fotone.Vogliamo capire quali sono le implicazioni della formula di Planck per la radiazione elettro-magnetica, cio cosa dice sulla luce. Seguiremo essenzialmente la logica usata da Einsteinin una serie di lavori scritti a partire dal 1905: in questi lavori vengono delineati molti deiconcetti che costituiranno lossatura della meccanica quantistica.Nellaregioneinfrarossadellaradiazionedicorponero, perhW,il che spiega la soglia in frequenza, anzi mette in relazione la soglia con il potenziale diestrazione. Lenergia, massima, dellelettrone estratto Emax = h W (1.33)Lintensit dellonda proporzionale al numero di fotoni, quindi al variare dellintensitlunica cosa che varia il numero di elettroni emessi, non la loro energia. Tutti questieffetti ed in particolare la relazione (1.33) sono stati vericati sperimentalmente negli annifra il 1905 ed il 1920[Mil14], facendo a poco a poco accettare lidea dellesistenza deifotoni.Leffetto Volta linverso delleffetto fotoelettrico: se un facio di elettroni incide suun metallo e viene assorbito, si ha unemissione di radiazione. La (1.33) in questo casopredice che la frequenza della luce emessa h = E +W. Anche questo effetto ha avutoconferma sperimentale in quegli anni[Dua15]. Per le altre prime applicazioni del concettodi fotone il lettore pu consultare gli articoli[Ein05, Ein06].Ci occuperemo pi avanti delle altre caratteristiche del fotone.1.4 Livelli energetici discreti.Facciamo il punto della situazione: la formula di Planck descrive in modo perfetto la ra-diazione di corpo nero, la sua spiegazione teorica richiede in qualche modo una discretiz-zazione degli scambi di energia fra radiazione ed atomo, daltra parte linterpretazione diEinstein della radiazione presuppone una discretizzazione della radiazione stessa. Entram-be queste cose, ovviamente, sono inconsistenti con la meccanica classica. merito ancoradi Einstein[Ein06], nel 1906, avere messo in luce i problemi e proposto in modo chiaro lanecessit di unulteriore rottura con la meccanica classica: la quantizzazione dellenergiaper i corpi materiali, oltre che per la radiazione.Cominciamo col notare che nellambito dellelettromagnetismo classico non natural-mente possibile che un oscillatore assorba energia a salti, quindi se si assume corretta ladeduzione di Planck ci signica che linterazione oscillatore-atomo non descritta dalle-lettromagnetismo classico. Ma lelettromagnetismo classico stato usato nella derivazionedella (1.8)! La conclusione che in realt la (1.8) unipotesi. Il secondo punto chein meccanica classica, qualunque sia linterazione delloscillatore col campo elettroma-gnetico, lenergiatermicamediadiunoscillatorekT, siricadecionellaformuladiRaleigh-Jeans.Questa conclusione estremamente generale. La distribuzione statistica, in energia, diun sistema data dalla legge di BoltzmanndP= CeE/kT(E)dE (1.34)14 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.(E)ladensitdeglistati, Cunacostantedinormalizzazione. Questaformula, peroscillatori indipendenti, implica E = kT, lo sappiamo gi. Il lettore, se vuole, pu trovarela dimostrazione dettagliata a partire dalla (1.34) nel paragrafo 1.4.1. Il punto importante che questa conclusione dipende solo dalla densit degli stati delloscillatore, in ultimaanalisi dalla forma quadratica dellHamiltoniana, non dallinterazione elettromagnetica.Lunico modo per non ottenere la formula di Raleigh-Jeans che la densit degli stati nonsia quella classica. Per un oscillatore classico(E) =1, cio tutte le energie, a parteil fattore di Boltzmann, sono pesate uguali. La chiave per capire come cambia(E) lipotesi dei fotoni di Einstein.La descrizione di Einstein della radiazione di corpo nero descrive la luce come un in-sieme di particelle di energiah: questa conclusione non fa uso della (1.8), quindi nonpresuppone nessun meccanismo particolare7. Se lenergia di radiazione discretizzata puessere assorbita solo in forma di quanti di grandezza h, ma allora lenergia delloscil-latore pu variare solo dih. Questo compatibile con la descrizione di Planck ma larichiesta della possibilit di una descrizione statistica impone qualcosa di pi: queste ener-gie sono le sole possibili per loscillatore, a meno di una costante additiva. In altre parolele uniche energie possibili, per il singolo oscillatore, sono:En = E0 +nh n 1 (1.35)Trascuriamo lenergia E0, che come vedremo in seguito non va in effetti considerata perquesto problema. Dimostriamo[Ein06] che dalla (1.35) si riottiene la legge di Planck. Sipossono dare diverse versioni di questo fatto, la pi semplice la seguente. Per oscillatoriindipendenti la (1.34) pu essere applicata al singolo oscillatore. Se sono possibili solo ilivelli energetici (1.35) la densit degli stati , in notazione moderna, a meno di una costantemoltiplicativa inessenziale per le medie,(E) =n(E En) (1.36)PerillettorechenonconosceladistribuzionediDirac: sesonopresentisololivellidiscreti invece degli integrali sullenergia bisogna fare delle somme. Per lenergia media siha alloraE =

EdP

dP=n=1nhenh/kT n=1enh/kT1Usando1xn=x1 x1nxn= xddx1xn=x(1 x)2(1.37)si haE = heh/kT1 eh/kT= h1eh/kT1(1.38)Usando la (1.8):E = h1eh/kT1u = 8h31eh/kT1(1.39)cio la formula di Planck. Nel paragrafo seguente brevemente analizzata la relazione fradiscretizzazione dellenergia e conteggio degli stati.Se fossero presenti altri livelli cambierebbe la densit(E), cio la (1.36), e non siotterrebbe la formula di Planck.7Nella deduzione si fatto uso della legge di Wien, non dimostrata se non si usa la legge di Planck, ma aquesto livello lesistenza dei fotoni lipotesi di partenza, non va vista come una conseguenza di unaltra legge.1.4. LIVELLI ENERGETICI DISCRETI. 15Una dimostrazione formale pu essere questa. In una distribuzione di Boltzmann, effettuando lederivate rispetto aTdiE, si possono ricavare i valori medi diE2, E3etc. cio i momenti delladistribuzione. Una distribuzione di probabilit regolare individuata univocamente dai suoi momenti,quindi la soluzione trovata unica.La conclusione che si pu trarre a questo punto che la dinamica microscopica deveesseretaledaimporreunadiscretizzazionedellenergia, quindilameccanicaclassicaesclusa.Lunico punto (relativamente) insoddisfacente, per ora, il fatto che si sia dovuta as-sumere, nella deduzione, la validit della (1.8), cio della relazione fra energia della ra-diazione ed energia delloscillatore, cosa opinabile, vista la dimostrata non validit delladescrizione classica. Un altro fondamentale lavoro, sempre di Einstein, del 1917[Ein17]rimedia a questo punto, introducendo il concetto di emissione spontanea ed emissione in-dotta, e dando, in ultima analisi, la prima derivazione consistente della legge di Planckbasata sullo scambio di energia radiazione-materia.1.4.1 Conteggi e spazio delle fasi.Presentiamo due modi diversi, ma equivalenti, di ricavare i risultati (1.21), (1.22), entrambibasati sulla discretizzazione dellenergia.Probabilit massima. Per calcolare lenergia media di un oscillatore a frequenza con-sideriamo Noscillatori.Se lenergia discretizzata ognuno di essi pu assumere un mul-tiplo del quanto elementare . Sia Nk il numero di oscillatori con energia k. Il numero dimodi in cui possono essere suddivisi N oscillatori indipendenti e distinguibili W=N!N1!N2! . . .Nk = # oscillatori con energia k (1.40)i vincoli macroscopici che individuano lo stato sono: il numero di oscillatori (N) e lenergiatotale del sistema, (U):N=NiU=Nk k (1.41)In meccanica statistica si mostra come nel limite termodinamico, N , nellipote-si di equiprobabilit di tutte le congurazioni, lo stato di equilibrio macroscopico si puottenere come lo stato di probabilit massima, che corrisponde allo stato con il maggiornumero di realizzazioni possibili. Si tratta perci si massimizzare lespressione (1.40), opi semplicemente log(W), soggetta ai vincoli (1.41), cosa che si pu fare introducendodei moltiplicatori di Lagrange:Ns

log W +1(NsN) +2(Ns s U)

= 0usando lapprossimazione di Stirlinglog(n!) = n(log n 1) (1.42)si ricavaNs = e1e2s I moltiplicatori di Lagange sono ssati dalle condizioni ausiliarie (1.41). Usando le (1.37):e1= N(1 e2) Ne21 e2= U NE e2=E/1 +E/16 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.Lentropia denita da S = k log(Wmax) quindiSk= N(log(N) 1) sNs(log(Ns) 1) == N log(N) sNs1sNs1s = N log(N) N12NEda cuiSk= N log(1+E )N ElogE/1 +E/= N(1 +E ) log(1 +E ) Elog E

(1.43)Insieme microcanonico. I valori medi in meccancia statistica sono calcolati su ensem-bles, cio su misure di probabilit che forniscono una termodinamica. Il pi semplice lensemble microcanonico, che denito assegnando uguale probabilit a tutti gli elementidello spazio delle fasi del sistema compresi fra energia Ue U + U, dove U lenergiatotale. Lentropia denita, a meno di una costante che qui non interessa:S = k log

U+UUk(dpkdqk) (1.44)il prodotto sulle variabili canoniche del sistema. Per un oscillatore armonico di energiaE:p22m + 12kq2= E (1.45)La curva (1.45) unellisse di area proporzionale adE, per cui passando a coordinateradialidpdq dE (1.46)e quindiS = k log

U+UUkdEk +S0(1.47)Se lenergia discretizzata al posto dellintegrale occorre fare una somma e ponendo U= si ha che lintegrale (1.47) si riduce aS = k log

Ej=U1 = k log WdoveW il numero di punti sulla superieU= j Ej, cio il numero di modi diottenere un intero U= P a partire da N (il numero di oscillatori) interi ni, dove Ei = ni,cio il numero di modi di scrivereNi=1ni = Pma questo esattamente il valore gi calcolato (1.21): corrisponde a porreniunit inogni cassetto costituito dalloscillatore i-esimo:W=(N +P 1)!(N 1)!P!(1.48)si riottiene perci il risultato di Planck.1.5. EMISSIONE E ASSORBIMENTO: COEFFICIENTI DI EINSTEIN. 17NOTA. Entrambe le derivazioni presentate in questo paragrafo sembrano una derivazio-ne consistente con il conteggio di Boltzmann, o equivalentemente con lensemle classicomicrocanonico di Gibbs (che Boltzmann naturalmente conosceva e chiamava ergodo). Inrealt in entrambi gli approcci la distribuzione di equilibrio denita a partire dallasse-gnazione a priori di stati equiprobabili. Banalizzando:alla domanda qual la probabilitche gettando due dadi si possa ottenere un dato numero, 10 diciamo, possibile rispon-dere solo assegnando per via empirica o teorica una distribuzione di probabilit per tuttigli eventi che costituiscono lensemble, qui i possibili risultati. In molti casi, in particolarenei dadi ed in meccanica statistica per sistemi non interagenti, questo si fa decidendo qualisono gli eventi elementari ed assegnando una probabilit uguale ai diversi elementi. Nelcaso dei dadi si suppone che dadi non siano truccati, si assegna la probabilit 1/6 al risul-tato di ogni faccia e si costruiscono le probabilit dellevento risultato del lancio di duedadi, come il rapporto fra i casi favorevoli e quelli possibili. Notiamo che in ogni casodobbiamo avere un procedimento per contare i possibili riultati del lancio, cio dobbiamodenire cosa intendiamo per evento. Nel caso della meccanica statistica classica gli statiequiprobabili, corrispondenti alle facce dei dadi, sono le coppie posizione-impulso di ogniparticella, cio i punti nello spazio delle fasi del sistema. assegnate queste come equipro-babili, nellinsieme microcanico, dobbiamo contare in quanti modi possibile costruireuno stato macroscopico dato, che qui levento, cio il lancio dei dadi. Assumere che glistati equiprobabili siano gli intervalli di energia non la stessa cosa che assumere comeequiprobabili i punti nello spazio delle fasi. Torneremo sullargomento nel paragrafo 1.9.1.5 Emissione e assorbimento: coefcienti di Einstein.Comevedremoneiprossimiparagrailquadrodelineatonelparagrafoprecedenteperloscillatore armonico si generalizza agli altri sistemi: lenergia di un sistema legato, comeuna molecola, un atomo etc., ha valori discreti: E1, E2. . ..La differenza rispetto al caso semplice delloscillatore armonico di due tipi:a) I livelli non sono necessariamente equispaziati.b) Ad ogni livello possono corrispondere pi stati interni delloggetto, gn. Il coef-ciente gn detto degenerazione del livello. Genericamente gn dovuto al fatto chediverse congurazioni del sistema possono corrispondere alla stessa energia, quelloche succede ad esempio ruotando nello spazio una molecola. Come vedremo lin-troduzione della teoria dei quanti permette il calcolo di gn, ma per le considerazioniseguenti il valore di gn inessenziale.Questo quadro presenta una grave lacuna: come si tratta il campo elettromagnetico?Sap-piamo dal paragrafo precedente che possibile trattare la luce in termini di fotoni, ma nonabbiamo ancora nessun modello preciso che sostituisca le equazioni di Maxwell e, a mag-gior ragione, nessun indizio su come debba essere trattata linterazione elettromagnetica.In questo paragrafo, seguendo la prima parte del lavoro[Ein17], dimostreremo che daalcune ragionevolissime e molto generali ipotesi sullinterazione elettromagnetica e dalloschema precedente sulla struttura dei livelli energetici discendono due cose:a) Una precisa relazione fra assorbimento ed emissione di luce.b) La formula di Planck per la radiazione di corpo nero.Per concretezza possiamo considerare un gas, rarefatto, di molecole8allequilibrio ter-mico. La probabilit di avere una molecola nel livello energetico n-esimo proporzionaleal corrispondente fattore di BoltzmanngneEn/kT Pn = CgneEn/kT(1.49)8Qui molecole un nome generico dato ai sistemi microscopici.18 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.Cunacostantedi normalizzazione, ssatada nPn=1. La(1.49)datadallageneralizzazione della (1.36): tenendo conto della molteplicit dei livelli si pu scrivere(E) =ngn(E En) (1.50)da cui segue la (1.49). Consideriamo ora una particolare coppia di livelli, u, d (up,down),conEu> Ed(1.51)A causa dellinterazione elettromagnetica la molecola pu effettuare delle transizioni fra idue livelli, e, in questo processo, pu cedere o assorbire energia dalla radiazione, ad unafrequenza caratteristica che per ora lasciamo arbitraria.Le molecole quindi assorbono ed emettono radiazione in continuazione. Supponiamoche il sistema sia completamente isotropo, la radiazione sia isotropa, e lorientazione stessadelle moleocole sia isotropa, nel senso che quandanche ci fossero, nei singoli processi,direzioni privilegiate per questa o quella molecola, prenderemo una media sugli angoli;questa la situazione normale allequilibrio termico: non ci sono direzioni privilegiate.Le ipotesi fatte sullinterazione luce-materia sono le seguenti:a) La molecola nello stato di energia pi alta pu decadere allo stato di energia pibassa emettendo radiazione. Questo processo lanalogo della radiazione classica diuna carica accelerata. Ogni molecola avr una certa probabilit per unit di tempo dieffettuare questa transizione. Indichiamo questa probabilit conAud Prob. al secondo per u d (1.52)b) Il sistema nello statou pu decadere nello statod sotto linusso della radiazioneesterna, si avr una probabilit di transizione per unit di tempoBudu(1.53)c) Il sistemanellostatodpuassorbireunfotoneepassareallostatou, conunaprobabilit al secondo:Bduu(1.54)Il coefcienteBud chiamato coefciente di emissione indotta, e quelloBducoef-ciente di assorbimento. Il coefcienteA ha il nome, per ovvi motivi, di coefciente diemissione spontanea.La (1.52), nella sua semplicit, ha un elemento molto peculiare. In meccanica clas-sica lenergia viene emessa in modo continuo, la dinamica deterministica ssa un tempoiniziale ed un tempo nale per il processo. Il fotone trattato come una particella, quindilemissione sicuramente discontinua nel tempo. Qui non stiamo facendo nessuna ipotesisullesistenza o meno di un tempo denito di emissione, lunica cosa che stiamo richie-dendo che ci sia una probabilit che levento si verichi. Questa procedura identicaa quanto si fa fenomenologicamente per descrivere la probabilit di un decadimento ra-dioattivo. Formalmente la (1.52) il primo punto in cui incontriamo una rinuncia ad unadescrizione strettamente deterministica dei processi sici.Ci chiediamo ora sotto che condizioni si possa vericare una situazione di equilibriotermico. In condizioni di equilibrio termico il usso di transizioni al secondo fra i duelivelli si deve equilibrare, altrimenti non si avrebbe equilibrio, quindi(prob. di essere in u) (prob./sec u d) = (prob. di essere in d) (prob./sec d u)ciogueEu/kT (Aud +Budu) = gdeEd/kTBduu(1.55)1.5. EMISSIONE E ASSORBIMENTO: COEFFICIENTI DI EINSTEIN. 19Innanzitutto ad alta temperatura la densit di radiazione deve divergere, quindi facendo illimite T si haguBud = gdBdu(1.56)Quindi il coefciente di emissione e di assorbimento sono legati, in particolare sono ugualiper livelli non degeneri. Dividendo membro a membro la (1.55) per guBud si haeh(EuEd)/kT(AudBud+ u) = uDa cuiu =Aud/Budeh(EuEd)/kT1(1.57)La legge di Wien (1.4) impone due coseEuEd = c1 (1.58a)AudBud= c23(1.58b)Luniversalit della legge di Wien impone che le due costanti c1, c2 siano universali. Iden-tichiamo ovviamente c1 con la costante di Planck h. La costante c2 pu essere espressain funzione di altre costanti note se si effettua il limite T , in cui si deve recuperare lalegge di Raleigh-Jeansu c23kTh= 82c3 kT c2 =8hc3quindiu = 8h3c31eh/kT1(1.59)che proprio la legge di Planck. In conclusione:1) Lunico modo per avere equilibrio termico che la luce che interagisce con la coppiadi stati deve avere frequenza determinata dalla (1.58a), cio si ha la conservazionedellenergia in termini di fotoni, come visto nel precedente paragrafo.2) I coefcienti di emissione e assorbimento sono legati dalla (1.56).3) Il coeciente di emissione spontanea legato a quello di assorbimento dalla (1.58b).4) La densit spettrale della radiazione quella di Planck.Quindi la teoria dellinterazione elettromagnetica luce materia, bench ancora non formu-lata, ha le caratteristiche su esposte, in particolare vale la legge di Planck.Notiamo che u proporzionale al rapporto Aud/Bud che non si riferisce ad unostatodiequilibriodellamolecolamaadunaprobabilitditransizionefrastatidiversi,questoilmotivopercuinelladeduzionedelparagrafoprecedentesieratrascuratoilfattore E0 nellenergia delloscillatore.Emissione indotta e legge di Wien. interessante capire quale delle ipotesi fatte re-sponsabile della sostituzione della legge fenomenologica di Wien con quella di Planck:lipotesi b), cio lipotesi che esista una emissione indotta, eq.(1.53). Infatti se non ci fossequesto termine si avrebbe per lequilibrio:gueEu/kT Aud = gdeEd/kTBduu u =gugdAudBdue(EuEd)/kT(1.60)20 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.La legge di Wien (1.4) impone ancora i vincoli (1.58) e si ottiene cos la distribuzione diWien (1.6), u = C3exp(h/kT). Quindi lesistenza dellemissione indotta , dal pun-to di vista dei fotoni, il fattore responsabile della non classicit della formula di Planck.Il motivo il seguente:se i fotoni fossero particelle classiche, la probabilit di emissionedelloscillatore non dovrebbe dipendere dallesistenza o meno dei fotoni esterni. Viceversalemissione indotta esattamente quanto ci si aspetta se vale un discorso classico in terminidi onde:in presenza di un campo esterno il sistema posto in oscillazione e irraggia. Laforma dellemissione cos ottenuta, proporzionale allintensit della radiazione incidente, quella suggerita dal calcolo classico. Questo , in nuce, un esempio di un concetto che ve-dremo apparire molto spesso: la forma dellinterazione quantistica suggerita dal calcoloclassico, in una forma un p pi precisa sar il cosiddetto principio di corrispondenza.1.6 Statistica e dualit onda-particella.Come si visto nei paragra precedenti lipotesi di quantizzazione dei livelli energeticiconduce alla formula di Planck. Nelle due deduzioni presentate la differenza fondamentale la seguente:a) Usando come sistema un oscillatore armonico sia nella deduzione di Planck, sia inquella di Einstein, si usa lipotesi (1.8)u(, T) =82c3Eche lega la densit di radiazione alla energia media di un oscillatore. Notiamo chequesta formula dimostrata solo in teoria classica e, in pi, loscillatore armonicoquantizzato ha una struttura dei livelli molto particolare: sono equidistanti fra loro.b) Nella deduzione di Einstein del paragrafo precedente si generalizza la questione adun sistema qualunque, non ci sono pi ipotesi particolari sui livelli energetici del si-stema, ma si fanno solo delle ipotesi molto generali sulle propriet di assorbimento edemissione. Queste propriet, bench ragionevoli, non sono dimostrate, non avendoancora sviluppato una teoria per linterazione quantistica fra radiazione e materia.Per certi aspetti questo stato di cose non molto soddisfacente: sarebbe come voler ricavarela legge di distribuzione di Maxwell per un gas perfetto partendo da unanalisi degli urticon un sistema allequilibrio termico, le pareti della cavit ad esempio. Si pu fare, ma pi semplice, e pi logico, trattare un gas perfetto come sistema a se stante, debolmenteinteragente, a cui applicare la meccanica statistica.Lanalisi di Einstein sullinterpretazione a fotoni della radiazione elettomagnetica sem-bra andare in questa direzione; fra laltro non prevedendo alcuna interazione diretta fotone-fotone si dovrebbe essere esattamente nel caso ideale in cui poter applicare tutte le notetecniche della statistica dei gas perfetti. Ci si convince subito per che la proposta presentadelle difcolt, e non sono difcolt tecniche, ma profonde. Una breve analisi di questaquestione ci permetter di evidenziare il problema che n dallinizio aleggia sulla questio-ne: come si conciliano i fotoni con le equazioni di Maxwell ed in che senso assomiglianoa particelle? La risposta sar piuttosto spiazzante: i fotoni non si comportano n comeparticelle classiche n come onde classiche, ma hanno contemporaneamente entrambe lecaratteristiche!Lidea di base molto semplice: consideriamo un piccolo volume vallinterno dellacavit. Lo stato di equilibrio, ricordiamo, uno stato di equilibrio statistico, il che signicache accanto al valor medio delle grandezze osservate, possono esserci delle uttuazionidal valor medio. Se lenergia distribuita in maniera continua, come nella descrizioneondulatoria, si avr un certo tipo di uttuazioni, se lenergia corpuscolare un altro tipo,1.6. STATISTICA E DUALIT ONDA-PARTICELLA. 21quindi misurando le uttuazioni dalla media possiamo decidere in che forma si presenta laradiazione elettromagnetica.Una misura delle uttuazioni si ha considerando lo scostamento dellenergia dal suovalor medio. Sia 'E` lenergia media nel volumetto, la media dello scarto quadratico'E2` '(E 'E`)2` = 'E2` 2'E`'E` +'E`2= 'E2` 'E`2(1.61)fornisce la misura cercata. Noi considereremo lenergia in un intervallo di frequenze ,quindiE = v u (1.62)Vediamo innanzitutto cosa ci si deve aspettare nei due casi, quello ondulatorio e quellocorpuscolare.Caso ondulatorio. In questo caso la radiazione descritta da un campo elettromagnetico,soluzione delle equazioni di Maxwell nel vuoto, cio una sovrapposizione di onde pianecorrispondenti ai modi di vibrazione della cavit. Il fatto di essere allequilibrio termico,quindi in uno stato completamente disordinato, signica che le fasi relative di tutte questeonde sono distribuite casualmente. Perch si hanno uttuazioni di energia?La densit dienergia elettromagnetica proporzionale al quadrato del campo elettrico:u E2, il cam-po elettrico che va a formare lenergia nellintervallo una sovrapposizione di onde afrequenze vicine, nellintervallo appunto: nel fare il quadrato si hanno fenomeni di bat-timento fra onde di frequenza quasi uguale. Misurare il valor medio statistico allequilibrio la stessa cosa che misurare il valor medio temporale, quindi il valor medio dellenergiamisurata dovuto al risultato di tutti questi battimenti. La posizione di questi battimentinel volume considerato uttua nel tempo, cos come il loro numero, e questo provoca unauttuazione dellenergia attorno alla media. Sperimentalmente se si fanno molte misure siotterranno una serie di risultati con media 'E` ed una certa incertezza parametrizzata da'E2`.Ora lenergia dipende dal quadrato dellampiezza, cos come i battimenti fra due onde,quindilauttuazione 'E2` 'E`2dipendedallaquartapotenzadellampiezza, cioproporzionale allenergia al quadrato'E2` 'E`2(1.63)Cperunaltrofattoredaconsiderare. Comeabbiamovistodallanalisi dellaleggediRaleigh-Jeans, laradiazioneelettromagneticanellintervallodifrequenza, attornoaduna frequenza, corrispondead unnumero dioscillazioni dellacavit vZ()d =v822/c3dche sono i gradi di libert del sistema, cio il numero di ampiezze stati-sticamente indipendenti che possono uttuare. La uttuazione sar proporzionale a questonumero, come anche lenergia media, che per nella (1.63) compare al quadrato, quindideve essere'E2` = C('E`)2vZ()(1.64)C una costante adimensionale. Il calcolo esatto, riportato nel paragrafo 1.B mostra cheC = 1, ma questo non importante per il seguito del discorso.Caso corpuscolare. Qui il meccanismo delle uttuazioni completamente diverso. Pos-siamo prendere vabbastanza piccolo in modo che la probabilit di avere pi di una par-ticella nel volume sia trascurabile, in questo modo lorigine delle uttuazioni chiara:sesi fanno molte misure alcune volte si trova una particella, altre volte non si trova niente,raramente si trovano due particelle etc. Se ogni particella ha energiahil valor mediodellenergia ssato dal numero medio di particelle che si trovano nel volume. Per un22 CAPITOLO 1. LA NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA.gas rarefatto, o per volumi abbastanza piccoli, la distribuzione statistica per n la classicadistribuzione di Poisson e si ha'n2` = 'n` (1.65)La probabilit di trovare una particella nel volu-mettovx=v/V . Chiamata=N/Vladensit numerica, si hax=v/N. Le proba-bilit di trovaren particelle invsono elencatenella tabella a anco, ad esempio la probabilitdi trovare una sola particella la probabilitit ditrovare una particella moltiplicata per la proba-bilit che le altre N 1 si trovino al di fuori div. N1

=N il numero di modi di scegliereuna particella fra le N a disposizione. Nel limiteN si ha(1 x)N= (1 vN)N eve applicando la formula di Stirling, per n