Massimiliano Laddomada e MarinaMondin

Elaborazione Numerica deiSegnali

Indice

1 Introduzione 51.1 I segnali a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Un esempio di segnale analogico: il segnale vocale . . . . 81.1.2 Classificazione dei segnali a tempo continuo . . . . . . . 91.1.3 Il valor medio di un segnale a tempo continuo . . . . . . . 101.1.4 Energia e potenza media di un segnale a tempo continuo . 101.1.5 Le operazioni elementari sui segnali a tempo continuo . . 121.1.6 Segnali armonici e sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7 I segnali analogici elementari . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.8 Lo sviluppo in serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.9 La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 I segnali a tempo discreto: le sequenze numeriche . . . . . . . . . 201.2.1 Classificazione dei segnali a tempo discreto . . . . . . . . 211.2.2 Le sequenze elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.3 Segnali armonici e sinusoidi a tempo discreto . . . . . . . 251.2.4 Le operazioni elementari tra segnali a tempo discreto . . . 271.2.5 Energia e potenza media di segnali a tempo discreto . . . 321.2.6 Energia e potenza media di segnali analogici campionati . 33

1.3 Le funzioni di correlazione di segnali a tempo discreto . . . . . . 341.3.1 Unapplicazione della funzione di correlazione . . . . . . 36

2 Campionamento e Quantizzazione 392.1 Il campionamento ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1 Il fenomeno dellaliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Il campionamento reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Campionamento con Sample and Hold . . . . . . . . . . . . . . . 462.4 Campionamento di segnali analogici a banda illimitata . . . . . . 482.5 La ricostruzione del segnale campionato: linterpolazione . . . . . 482.6 La quantizzazione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6.1 Lerrore di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6.2 Digitalizzazione di segnali musicali . . . . . . . . . . . . 56

2.7 Quantizzazione e sovracampionamento . . . . . . . . . . . . . . 56

2 Capitolo 0

3 Analisi in Frequenza di Segnali a Tempo Discreto 593.1 La Trasformata di Fourier a tempo discreto-DTFT . . . . . . . . . 60

3.1.1 Condizioni di esistenza della DTFT . . . . . . . . . . . . 633.1.2 Propriet della DTFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.3 Propriet della DTFT di sequenze reali e complesse . . . . 663.1.4 Le relazioni di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.5 DTFT notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2 La Serie di Fourier a tempo discreto-DTFS . . . . . . . . . . . . 733.3 La Trasformata di Fourier discreta-DFT . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.1 La relazione tra la DTFT e la DFT . . . . . . . . . . . . . 783.3.2 Valutazione della DTFT su frequenze discrete tramite la

DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.3 Propriet della DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.4 Applicazione della DFT al rilevamento di segnali . . . . . 88

3.4 Algoritmi di Trasformata di Fourier Veloce (FFT) . . . . . . . . . 893.4.1 Algoritmi di riduzione della complessit della DFT . . . . 913.4.2 Algoritmo FFT: decimazione nel tempo . . . . . . . . . . 943.4.3 Algoritmo FFT: decimazione in frequenza . . . . . . . . . 983.4.4 Cenni sulla trasformata discreta del coseno . . . . . . . . 1003.4.5 Cenni ad altri algoritmi efficienti per il calcolo della DFT

di sequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Analisi in Frequenza di Segnali a Tempo Continuo Campionati 1034.1 Alcune considerazioni introduttive . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1.1 La relazione di Parseval per segnali analogici campionati . 1044.2 La DTFT di un segnale analogico aperiodico campionato . . . . . 1054.3 La DFT di segnali analogici aperiodici campionati . . . . . . . . . 1064.4 La DFT di segnali analogici periodici . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 I sistemi Lineari Tempo Invarianti a Tempo Discreto 1255.1 Classificazione dei sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . 1255.2 Analisi tempo-frequenza dei sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.1 Analisi dei sistemi LTI nel dominio del tempo: la rispostaallimpulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.2 Risposta di un sistema LTI a sequenze generiche . . . . . 1345.2.3 Risposta di un sistema LTI a esponenziali complessi . . . 1385.2.4 Risposta di un sistema LTI a sequenze sinusoidali . . . . . 1385.2.5 Risposta di un sistema LTI a sequenze periodiche . . . . . 1405.2.6 Risposta in frequenza di sistemi LTI descritti da equazioni

alle differenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.2.7 Il concetto di filtraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3 Stabilit di sistemi LTI a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . 1455.4 Condizioni di fisica realizzabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.5 Il concetto di distorsione di un sistema LTI . . . . . . . . . . . . . 1475.6 Interconnessioni di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.6.1 Interconnessione serie di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . 151

INDICE 3

5.6.2 Interconnessione parallelo di sistemi LTI . . . . . . . . . 1525.6.3 Interconnessione in reazione di sistemi LTI . . . . . . . . 153

5.7 Analisi di sistemi LTI mediante la DFT . . . . . . . . . . . . . . 1545.7.1 Tecnica della sovrapposizione e somma . . . . . . . . . . 1565.7.2 Tecnica della sovrapposizione e estrazione . . . . . . . . 158

6 La Trasformata z 1616.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.2 La relazione tra la DTFT e la trasformata z . . . . . . . . . . . . 1636.3 La relazione tra la trasformata z e gli operatori di DFT e DFS . . . 1656.4 Analisi della regione di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.4.1 La regione di convergenza di sequenze x(n) finite . . . . . 1676.4.2 La regione di convergenza di sequenze x(n) causali e il-

limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.4.3 La regione di convergenza di sequenze x(n) anticausali e

illimitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.4.4 La regione di convergenza di sequenze x(n) bilatere e

illimitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.5 Propriet della trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.6 Trasformate z razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.7 Inversione della trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.7.1 Metodo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.7.2 Metodo per divisioni successive . . . . . . . . . . . . . . 1826.7.3 Inversione per espansione in fratti semplici . . . . . . . . 184

6.8 La trasformata z unilatera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.8.1 Le propriet della trasformata z unilatera . . . . . . . . . 1926.8.2 Il teorema del valore iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.8.3 Il teorema del valore finale . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.9 Analisi dei sistemi LTI mediante la trasformata z . . . . . . . . . 1956.9.1 Impiego della trasformata Z nella moltiplicazione tra po-

linomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.9.2 Analisi della stabilit di sistemi LTI . . . . . . . . . . . . 2026.9.3 Realizzabilit fisica di un sistema LTI . . . . . . . . . . . 2056.9.4 Progetto di filtri a tempo discreto mediante la tecnica del

posizionamento dei poli e degli zeri . . . . . . . . . . . . 2066.9.5 Sistemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.9.6 Sistemi LTI a fase minima . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.9.7 Sistemi LTI passa-tutto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.9.8 Funzione di trasferimento di Sistemi LTI interconnessi . . 213

6.10 Alcune applicazioni della trasformata z allelaborazione dei se-gnali audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.10.1 Gli equalizzatori audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.10.2 Effetti audio digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.10.3 La tastiera a toni del telefono numerico . . . . . . . . . . 219

4 Capitolo 0

7 Progetto di Filtri FIR 2237.1 Le sequenze simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.1.1 Classificazione delle sequenze a fase lineare . . . . . . . . 2267.2 La relazione tra frequenze analogiche e numeriche . . . . . . . . 2327.3 Progetto di filtri FIR mediante le tecniche a finestra . . . . . . . . 233

7.3.1 Considerazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.3.2 La scelta della finestra di troncamento . . . . . . . . . . . 2397.3.3 La finestra di Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.3.4 Il progetto di filtri FIR con la tecnica a finestre . . . . . . 245

7.4 Tecnica del campionamento della risposta in frequenza . . . . . . 2487.5 Progetto di filtri FIR ottimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.6 Filtri FIR a mezza-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.7 Trasformatore di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.8 Filtri FIR derivatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.9 Confronto tra filtri FIR e IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.10 Cenni sulle tecniche di filtraggio adattativo . . . . . . . . . . . . 264

7.10.1 Filtraggio adattativo: lalgoritmo dei minimi quadrati . . . 2657.10.2 Modellizzazione di un sistema LTI non noto . . . . . . . . 2687.10.3 Eliminazione dellinterferenza a banda stretta in un se-

gnale a banda larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

8 Relazioni Matematiche Utili 271

1Introduzione

I segnali sono presenti in molteplici forme in natura. Alcuni esempi di segnalisono landamento della voce umana al variare del tempo, landamento della tem-peratura nellarco di un giorno, il segnale musicale, le vibrazioni del suolo in unparticolare ambiente, ma, anche, una sequenza di immagini che scorrono nel tem-po secondo una cadenza prestabilita. Landamento di un segnale pu essere rap-presentato in termini di una o pi variabili indipendenti, come il tempo, lo spazio,oppure la frequenza. Si pensi al segnale vocale registrato attraverso un microfo-no: le onde acustiche di pressione incidono sul materiale piezoelettrico contenutonel microfono, il quale produce un livello di tensione proporzionale allintensitdelle onde acustiche che compongono il segnale vocale. Il microfono costituiscequindi un trasduttore da vibrazione sonora a segnale elettrico (in questo caso, unatensione). E la tensione equivalente prelevata attraverso il microfono che vieneelaborata nei modi pi disparati sia perch la voce possa essere trasmessa verso undestinatario secondo delle specifiche prestabilite, sia perch si desideri elaborarlao memorizzarla secondo un qualche formato adatto ad unapplicazione specifica.In questo contesto, lelaborazione dei segnali costituisce la base per modificare,immagazzinare, oppure enfatizzare certe caratteristiche del segnale.

Molto spesso lelaborazione dei segnali permette di estrarre un segnale uti-le a partire da una sua copia corrotta da disturbi di una qualsiasi natura (fruscii,suoni estranei che si accavallano al suono musicale, ad esempio). In altre situa-zioni, invece, lelaborazione dei segnali permette di creare un segnale particolarecombinando in modo opportuno una serie di segnali provenienti da fonti diver-se. Lesempio pi vicino alla realt forse quello dei segnali musicali registratidurante un concerto: i suoni prodotti dai diversi strumenti musicali, la voce delcantante, ma anche i cori degli spettatori, sono prelevati attraverso microfoni se-parati, e poi combinati in modo opportuno in sala di registrazione per creare ilsegnale musicale finale.

E chiaro, dunque, che i segnali convogliano dellinformazione legata ad unaqualche grandezza fisica. Nel modello di segnale utilizzato in questo libro, si sup-porr che la grandezza fisica originaria sia stata trasformata in una grandezza ditipo elettrico (corrente o tensione) tramite un opportuno trasduttore, ovvero in unagrandezza normalizzata che rappresenta lintensit del fenomeno rilevato, piut-tosto che lesatta grandezza fisica. I segnali considerati sono inoltre espressi, in

6 Capitolo 1

x(t)

0t

x(n)

0

n

1

(c)

x(t)

t0

(b)

x(n)

n0 1-1

(d)

(a)

Figura 1.1 Classificazione dei segnali. Segnale analogico (a). Segnale a tempocontinuo e ampiezze discrete (b). Segnale a tempo discreto o sequenza (c).Segnale numerico o digitale (d).

genere, in funzione della variabile tempo, oppure in funzione di una o pi varia-bili rispetto alle quali sono rilevati in natura. Le ampiezze assunte dal segnale,ma anche la variabile indipendente rispetto a cui rappresentato, possono esserecontinue oppure discrete.

Un segnale la cui variabile indipendente appartiene ad un sottoinsieme con-tinuo detto a tempo continuo. Ad un siffatto segnale viene in genere associatoun modello matematico descritto da una funzione complessa x(t) con variabileindipendente t reale (figura 1.1-a).

Un segnale la cui variabile indipendente appartiene ad un sottoinsieme discre-to detto a tempo discreto, o sequenza (figura 1.1-c). I segnali a tempo discretopossono rappresentare dei fenomeni che si manifestano non in modo continuo,ma secondo una cadenza temporale discreta, in genere regolare. Si pensi, a titolodi esempio, allandamento delle nascite misurato ogni giorno in un dato luogo,oppure allandamento della quotazione di un titolo azionario, il cui valore de-terminato solo alla chiusura di ogni giornata di contrattazioni. Tuttavia, esistonodelle applicazioni nelle quali i segnali a tempo discreto provengono dalla discre-tizzazione della variabile indipendente di un segnale a tempo continuo. Bastipensare al segnale musicale registrato in forma continua in sala di registrazione epoi discretizzato per poter essere immagazzinato sul CD audio.

Un segnale a tempo continuo che assume ampiezze discrete detto segna-le analogico quantizzato (figura 1.1-b), mentre un segnale a tempo discreto cheassume ampiezze discrete detto digitale o numerico (figura 1.1-d).

Lelaborazione di un segnale viene condotta attraverso sistemi e apparati elet-tronici in grado di modificare landamento del segnale al variare del tempo. I si-stemi pi semplici da analizzare dal punto di vista matematico sono quelli lineari etempo invarianti. Si tratta di un modello matematico di un sistema reale che operiin regime di linearit, vale a dire secondo il principio della sovrapposizione deglieffetti, ed in condizioni stazionarie, ovvero quando tutti i fenomeni transitori chene condizionano il comportamento, rendendolo dipendente dal tempo, possano

Introduzione 7

essere ritenuti estinti. Tra gli esempi pi importanti di sistema lineare e stazio-nario possiamo citare i filtri, gli equalizzatori audio, oppure i sistemi in grado dicreare effetti musicali, quali il riverbero e leco.

In questo capitolo, dopo una breve introduzione sui segnali a tempo continuoe a tempo discreto e ai relativi concetti di energia o potenza media, saranno pre-sentate alcune operazioni elementari utili per comprendere i concetti sviluppatinei capitoli successivi.

Ai fini della comprensione degli argomenti esposti, si presuppone che lo stu-dente conosca i concetti basilari della teoria dei segnali analogici, quali spettro ebanda di un segnale. Per approfondimenti sullargomento, consigliamo i testi [1]e [2].

1.1 I segnali a tempo continuo

Un fenomeno fisico che evolve in modo continuo al variare del tempo rappresen-tato attraverso una funzione matematica x(t) in generale complessa e continua diuna variabile indipendente reale e continua, denominata in genere come t (tempo).Lampiezza del segnale x(t) al variare del tempo rappresenta lintensit del feno-meno fisico stesso. Nel seguito, indicheremo come segnale analogico un segnalea tempo continuo la cui ampiezza appartiene ad un insieme continuo.

I segnali che si manifestano nella realt fisica hanno in genere unistante di-nizio, to, e uno di fine, t1, entrambi finiti. Questa considerazione ci porterebbe adefinire un dominio finito [to, t1] sul quale il segnale x(t) assume i propri valori.Tuttavia, questa soluzione viene adottata raramente nella pratica per due ragio-ni. Innanzitutto, dovremmo specificare un dominio ogniqualvolta definiamo unsegnale; in secondo luogo, le operazioni matematiche che talvolta vengono effet-tuate sui segnali risultano semplificate se i segnali possiedono un supporto pariallintero asse reale del tempo. Il problema viene facilmente risolto estendendo ildominio [to, t1] di un segnale a tutto lasse reale (,+), tenendo presente,comunque, che le ampiezze di x(t) sono nulle allesterno dellintervallo [to, t1].Nellambito delle telecomunicazioni, il dominio di un segnale detto supporto.

Da un punto di vista strettamente matematico, ha talvolta senso consideraresegnali analogici rappresentati da distribuzioni matematiche, quali la delta di Di-rac, (t), oppure la funzione generalizzata gradino, u(t to). Si tratta in realtdi modelli di segnali che sincontrano nella realt che ci circonda. Il primo rap-presenta un fenomeno che nasce e si estingue in un tempo piccolissimo, al limitenullo, ma che si manifesta con unintensit elevata; il secondo, invece, rappresen-ta il supporto di un fenomeno fisico assente sino ad un certo istante di tempo to,dopo il quale si manifesta e resta tale per un tempo infinito, o comunque moltopi elevato dellintervallo temporale in cui il fenomeno viene analizzato.

Molto spesso, le distribuzioni rappresentano un modello abbastanza attendi-bile della realt fisica, in grado di semplificare lanalisi matematica del segnale.

8 Capitolo 1

1.1.1 Un esempio di segnale analogico: il segnale vocaleIl segnale vocale formato da unonda acustica di pressione generata dai movi-menti della parte del corpo umano riservata alla produzione del suono.

Il sistema di fonazione composto dal diaframma, dai polmoni, dalla trachea,dalla laringe, che rappresenta lorgano che produce la voce, dalla cavit faringea(gola), dalla cavit orale e dalla cavit nasale.

La laringe produce uneccitazione periodica che genera i suoni detti vocaliz-zati attraverso la vibrazione delle corde o pieghe vocali. Lo spazio esistente tra lecorde vocali detto glottide.

Le corde vocali sono a contatto luna con laltra e la glottide chiusa quandonon si emette alcun suono. Quando i polmoni espellono laria, la pressione sottola glottide fa allontanare progressivamente le pieghe vocali a partire dal basso,finch la glottide non si apre facendo fluire laria. Questo effetto, combinato conle propriet elastiche dei tessuti, tende a creare una vibrazione continua delle cordevocali, le quali producono una sequenza quasi periodica di impulsi di pressioneche eccita il tratto vocale. Una vibrazione completa delle corde vocali costituisceun ciclo, mentre il numero di cicli di vibrazione che attraversa una data posizioneal secondo rappresenta la frequenza dellonda acustica, ed misurato in Hz.

E possibile distinguere tra due classi principali di suoni a seconda del modoin cui sono prodotti. I suoni vocalizzati, ottenuti mettendo in vibrazione le cordevocali, sono le vocali come la /o/ in Roma, e possiedono una durata tipica didecine di millisecondi.

I suoni non vocalizzati, come, ad esempio, la /r/ in Roma, sono generati senzafar vibrare le corde vocali, ma creando una stretta costrizione in un punto del trattovocale a monte della quale si raccoglie laria proveniente dai polmoni. Liberandola costrizione, si genera una turbolenza che produce un suono simile a quelloprodotto quando si sussurra. Il suono non vocalizzato cos creato assimilabilead un rumore a spettro largo. I suoni non vocalizzati sono generalmente emessiper pronunciare le consonanti.

Esiste poi una serie di suoni prodotti impiegando una combinazione di ec-citazioni quasi periodiche prodotte dalle corde vocali, e di suoni di tipo nonvocalizzato: si tratta dei cosiddetti suoni fricativi.

La frequenza con cui vibrano le corde vocali detta frequenza fondamentale,fo, e varia tra 50 e 250 Hz per gli uomini, e tra 120 e 500 Hz per le donne, convalori medi che si attestano a circa 120 Hz per gli uomini e 220 Hz per le donne.La frequenza fondamentale fo dipende dalla conformazione delle corde vocali delparlatore, e pu variare anche di unottava a seconda dellintonazione delle paroledurante lemissione di una frase.

Il principio di emissione dei suoni simile anche nel caso degli strumentimusicali, i quali, supportati da unopportuna cassa di risonanza, emettono deisuoni armonici facendo vibrare delle corde di spessore e lunghezza opportune chedeterminano la frequenza e il tono del suono emesso.

Lorecchio umano in grado di percepire suoni con frequenze nellintervallo[20, 20 103] Hz. Per questa ragione gli impianti HI-FI riproducono suoni in talebanda di frequenze.

Introduzione 9

Le bande di frequenza dei segnali presenti in natura si estendono da valoridi circa 105 Hz nel caso della pressione barometrica, sino a 1022 Hz nel casodei segnali emessi dai raggi cosmici. La tabella 1.1 mostra le bande di frequenzatipiche di segnali presenti in natura.

Tabella 1.1 Bande di frequenza di alcuni segnali di interesse.

Tipologia di segnale Bande di frequenza [Hz]Segnali sismici [0.01, 10]

Elettrocardiogramma [0, 100]Tensione di rete [50, 60]Segnale vocale [100, 4000]

Segnale musicale [20, 20000]Segnale radio FM [88 106, 106 106]

Cellulari 920 106Segnale TV [300 106, 970 106]

Segnale satellitare > 109

1.1.2 Classificazione dei segnali a tempo continuo

Un segnale a tempo continuo x(t) pu essere rappresentato da una funzione o unafunzione generalizzata reale o complessa della variabile indipendente, in questocontesto indicata con t1. I segnali che sincontrano nella realt fisica sono reali.I segnali complessi, invece, rivestono un ruolo fondamentale in alcuni campi del-lIngegneria, e si ottengono, normalmente, sommando due segnali reali, xR(t) exI(t), in modo tale da ottenere un segnale complesso x(t) = xR(t) + jxI(t).

Un segnale x(t) pu essere di durata finita o infinita, a seconda che sia identi-camente nullo allesterno di un intervallo finito di tempo [t0, t1], con t0, t1 0sono detti anticausali.

Un segnale x(t) si dice periodico se si ripete identico a se stesso con cadenzaregolare, T , ovvero se rispetta la relazione x(t) = x(t nT ) per ogni valoreintero di n. Il periodo il pi piccolo valore di T per cui valida la relazione dicui sopra.

1Dato che nellambito delle telecomunicazioni nella maggior parte dei casi vengono consideratisegnali che variano col tempo, nella trattazione che segue si far sempre riferimento alla variabile t.

10 Capitolo 1

1.1.3 Il valor medio di un segnale a tempo continuoIl valor medio di un segnale x(t) con supporto infinito del tipo (,+) definito come:

xv = limT

1T

+T/2T/2

x(t)dt (1.1)

In elettrotecnica, il valor medio di un segnale detto componente continua delsegnale.

Il valor medio di un segnale x(t) con supporto pari allintervallo finito [T0, T1],con T1 > T0, definito come:

xv =1

T1 T0

T1T0

x(t)dt (1.2)

Si tratta, chiaramente, dellarea sottesa dal segnale x(t) divisa per la sua durata.E semplice verificare che, per segnali costanti x(t) = k < , il valor mediocoincide con lampiezza k del segnale stesso.

1.1.4 Energia e potenza media di un segnale a tempo continuoPer quantificare il contenuto energetico di un generico segnale x(t), si introduconoi concetti di energia o potenza media.

Si consideri una resistenza di valore R ai cui capi presente la tensione V ,costante, prodotta da una batteria. E noto che, in queste condizioni, la resistenzadissipa per effetto Joule una potenza pari a P = V 2/R, o, in termini equivalenti,P = R I2, dove I = V/R la corrente costante che attraversa la resistenza. Siconsideri una potenza normalizzata, ovvero si ponga R = 1 e simmagini, inol-tre, che la tensione ai capi della resistenza vari nel tempo secondo una genericaespressione x(t). Per quantificare lenergia dissipata per effetto Joule da questaresistenza di valore unitario, si definisce una potenza istantanea P (t) = |x(t)|2come la potenza dissipata allistante generico t sulla resistenza ai cui capi pre-sente una tensione x(t). A partire da queste considerazioni, si definisce lenergiaEx del segnale x(t) come larea della potenza istantanea P (t) = |x(t)|2:

Ex = +

P (t) dt = +

|x(t)|2 dt (1.3)

dove il valore assoluto permette il calcolo dellenergia anche per segnali comples-si. Si noti che, per segnali x(t) reali, sussiste la relazione |x(t)|2 = x2(t).

I segnali per cui Ex

Introduzione 11

x(t)

T0

A

t

E=A T/2

x(t)

T0

A

t

E=A T2

x(t)

T0

A

t

E=A T/2

impulsorettangolare

impulsotriangolare

mezzo periododi sinusoide

3 2

Figura 1.2 Energia di alcuni segnali. Si noti che lenergia di un segnale nondipende da eventuali traslazioni temporali.

x(t) viene valutata secondo la formula 1.3 indipendentemente dalla grandezzaelettrica che il segnale rappresenta nella realt.

Il valore dellenergia di alcuni segnali comunemente incontrati nella realtfisica, riportata in figura 1.2. Si noti che lenergia Ex non dipende dal ritardocon cui si trasla il segnale x(t) sullasse temporale, ma solo dallarea del segnale|x(t)|2. In altre parole, lenergia di x(t) coincide con quella di x(t T ) perqualsiasi T reale.

Se si osserva lequazione 1.3, ci si accorge che in relazione allespressioneanalitica assunta dal segnale x(t), lenergia potrebbe non essere finita, si pu cioavere Ex , vale a dire x(t) non un segnale a energia finita. In questicasi, si definisce una potenza media come il rapporto tra lenergia di x(t) valutatasu un intervallo di tempo finito T , diviso lintervallo T stesso, e poi si fa tenderelampiezza dellintervallo allinfinito. In formule:

Px = limT+

12T

+T/2T/2

|x(t)|2dt (1.4)

I segnali per cui Px

12 Capitolo 1

T++

x(t)

T0

1

se >0se 1,k reale

0

t

se 0

t

T

se >0se 0 (ritardo),oppure di T secondi verso sinistra nel caso in cui T < 0 (anticipo).

Ribaltamento del tempo: dato un segnale x(t) generico, reale o complesso, ilsegnale x(t) si ottiene ribaltando x(t) rispetto allasse delle ordinate.

Scalamento del tempo: dato un segnale x(t) generico, reale o complesso, ilsegnale x(k t) si ottiene comprimendo il segnale x(t) di un fattore k sullassedei tempi (k una costante reale maggiore o uguale a 1). Il segnale x ( tk)coincide col segnale x(t) dilatato di un fattore k.

Introduzione 13

x(t)

30

1

t

x(t / 2)

60

1

t

2+x(t)

30

3

t

2

x(t-1)

40

1

t1

x(2t-4)

3.50

1

t2

x(t / 2-1/2)

70

1

t1

Figura 1.4 Descrizione grafica delle operazioni di scalamento e ritardo di ungenerico segnale x(t).

La figura 1.3 mostra degli esempi grafici riferiti alle operazioni prima men-zionate.

Dato il segnale x(t), il segnale definito come y(t) = x(k t T ) pu esse-re ottenuto inserendo un ritardo T seguito da una compressione di un fattore k,oppure eseguendo una compressione di un fattore k seguita da un ritardo pari aT/k.

x(t) x(t T ) x(k t T ) (1.6)x(t) x(k t) x(k t T )

Un esempio di applicazione di questi concetti mostrato in figura 1.4. In riferi-mento alloperazione x(t) = x(2t4) in figura 1.4, si noti che vale la seguenterelazione x (2 (t 2)). Loperazione composta dalla compressione di un fattore2 e dal successivo ritardo di 2, si ottiene prima comprimendo di un fattore 2 ilsegnale x(t), e poi ritardando di 2 (e non di 4!) il segnale risultante.

E noto che un qualsiasi segnale x(t) reale pu essere espresso come la som-ma di un segnale pari ed uno dispari, cio x(t) = xp(t) + xd(t), dove xp(t) unsegnale pari e xd(t) un segnale dispari della variabile indipendente tempo. Datoil segnale x(t), le parti pari e dispari si ricavano come segue:

xp(t) = 12x(t) +12x(t) (1.7)

xd(t) = 12x(t) 12x(t)Si noti che se x(t) pari, allora xd(t) = 0; in modo analogo, se x(t) dispari,

allora xp(t) = 0.

1.1.6 Segnali armonici e sinusoidaliI segnali armonici e le sinusoidi sono le forme donda pi impiegate nellambitodellelaborazione dei segnali e delle telecomunicazioni. Limportanza di questaclasse di segnali deriva da un risultato fondamentale della teoria delle funzioni, lo

14 Capitolo 1

sviluppo in serie di Fourier, secondo cui un qualsiasi segnale con supporto finito,convenzionalmente indicato con [T2 ,+T2 ], che soddisfi dei requisiti particolari,ma neanche troppo stringenti da un punto di vista strettamente pratico, pu essererappresentato come una opportuna combinazione lineare di segnali esponenzialicomplessi con frequenze multiple di 1/T , ognuno con un modulo ed una fase chedipendono dal particolare segnale in esame.

Lespressione analitica generale di una sinusoide a frequenza f0 :

xc(t) = A cos(2pif0t+ ) (1.8)

Lespressione analitica generale di un esponenziale complesso (o segnale armoni-co) a frequenza f0 = 1T0 :

x(t) = Aej(2pif0t+) (1.9)

Inoltre, i due segnali sono legati dalla relazione di Eulero:

xc(t) = A cos(2pif0t+) = 0 (1.11)

Introduzione 15

Funzione generalizzata rampa:

r(t) = t u(t) ={

0, t < 0t, t > 0 (1.12)

Funzione generalizzata segno:

sgn(t) ={ 1, t < 0

+1, t > 0 (1.13)

Funzione generalizzata porta:

pT (t) ={

1, |t| < T20, |t| > T2

(1.14)

Funzione triangolo:

t2T (t) ={

1 |t|T , |t| < T0, |t| T (1.15)

Funzione Sinc:sinc(Bt) = sin(piBt)

piBt(1.16)

dove B un parametro finito. Si noti che sinc(Bt)|t=0 = 1, e che la funzionesinc(Bt) si annulla negli istanti di tempo t = kB , k intero e non nullo. Funzione generalizzata delta di Dirac, (t):

(t) ={

0, t 6= 0, t = 0 (1.17)

Tra tutti i segnali visti sopra (vedi figura 1.5), la funzione generalizzata (t)riveste un ruolo fondamentale nella teoria dei segnali. Analizziamone, perci, lepropriet. La definizione di (t) fornita nellequazione 1.17 si basa sui presuppostiche larea sottesa dalla (t) valga 1, vale a dire: +

()d = 1 (1.18)

Il segnale (t T ) descrive una delta di Dirac centrata nellistante di tempoT . Larea sottesa dalla funzione generalizzata (t T ) pu essere ottenuta perintegrazione su un intervallo di tempo che include T , cio: T2

T1

( T )d ={

1, T1 < T < T20, altrimenti (1.19)

La funzione generalizzata (t) legata alla funzione generalizzata gradinotramite la relazione (t) = du(t)dt , da cui segue che u(t) =

t ()d .

Vediamo alcune propriet della funzione generalizzata (t).

16 Capitolo 1

u(t)

0

1

t

gradino

r(t)=t u(t)

0t

rampa

sgn(t)

0

1

t

segno-1

p (t)

0

1

t

porta

T

T/2-T/2

t (t)

0

1

t

triangolo

2T

T-T0

1

t

(t-T)

Delta diDirac

T

Figura 1.5 Descrizione grafica dei segnali elementari.

Scalamento: ((t )) = 1 (t ) Prodotto: x(t) (t T ) = x(T ) (t T ) Area del prodotto: + x()( T )d = x(T ) Convoluzione: applicando la propriet dellarea del prodotto, si ottiene

x(t) ? (t T ) = +

x(t )( T )d = x(t T )

dove loperatore di convoluzione ? tra due generiche funzioni x(t), h(t) definito come segue:

x(t) ? h(t) = +

x()h(t )d = +

h()x(t )d

1.1.8 Lo sviluppo in serie di FourierUno degli argomenti pi importanti trattati in questo libro riguarda lanalisi deisistemi lineari e tempo-invarianti (LTI). E gi stato anticipato che un sistemaLTI rappresenta il modello di un qualsiasi circuito elettronico a tempo continuo odiscreto, che operi in regime di linearit ed in condizioni stazionarie, cio in unasituazione in cui tutti i fenomeni transitori possono essere ritenuti estinti. Si trattadi un modello matematico di un sistema reale, ma che conduce ad una trattazionematematica relativamente semplice.

Le funzioni armoniche x(t) = ej(2pif0t) sono le autofunzioni dei sistemi LTI,cio quelle funzioni che, se poste in ingresso ad un sistema LTI, vengono resti-tuite alluscita identiche a se stesse, ma moltiplicate per una costante complessa

Introduzione 17

(autovalore), ovvero vengono restituite alluscita con la medesima frequenza macon un modulo ed uno sfasamento imposte dal sistema. In altre parole, un risulta-to fondamentale della teoria dei segnali assicura che se in ingresso ad un sistemaLTI poniamo un segnale x(t) = ej(2pif0t), in uscita troviamo un segnale del tipoy(t) = Ho ej(2pif0t+), ovvero un segnale armonico con la medesima frequenzaf0, ma con unampiezzaHo ed una rotazione di fase imposte dal sistema. Poichi sistemi lineari operano secondo il principio della sovrapposizione degli effetti,si pu pensare di analizzare la risposta di un sistema LTI ad un qualsiasi segna-le dingresso x(t), costituito da una combinazione lineare di segnali elementari,semplicemente combinando in modo opportuno le risposte del sistema ad ognisegnale elementare in ingresso. A questo riguardo risulterebbe utile un risulta-to matematico che ci permetta di scrivere un qualsiasi segnale a tempo continuox(t) di supporto finito come una combinazione lineare di una serie di segnali ele-mentari, ognuno moltiplicato per un peso opportuno. Il risultato cercato fornitodalla teoria dello sviluppo in serie di Fourier, che utilizza quali funzioni elemen-tari gli esponenziali complessi a supporto limitato del tipo x(t) = ej(2pikf0t), cont [T2 ; +T2 ]. Analizziamone i presupposti matematici. Per introdurre la seriedi Fourier, si definisce prima uno spazio opportuno dei segnali che ammettonoenergia finita su un intervallo di tempo generico [T2 ; +T2 ]. Si stabilisce una ba-se opportuna dei segnali ad energia finita sul medesimo intervallo [T2 ; +T2 ], esi definisce una metrica di prodotto scalare necessaria per valutare le proiezionidi un qualsiasi segnale su una generica funzione della base dei segnali2. In basealle considerazioni introdotte a proposito dei sistemi LTI, nella teoria dei segna-li ha senso considerare una base di funzioni costituita dalle funzioni armoniche{ 1

Tej2pi

nTt, n (,+)}, ad energia finita ed ortogonali sullintervallo

[T2 ; +T2 ]. Si noti che possibile definire molte altre basi di funzioni ortogonaliad energia finita sullintervallo [T2 ; +T2 ], tuttavia, quella degli esponenziali com-plessi a supporto limitato, permette di mettere in evidenza il contenuto spettraledi un segnale, oltre ad essere completa per qualunque segnale. Definita la base difunzioni, necessaria una metrica di prodotto scalare. Nella teoria dei segnali sidefinisce il prodotto scalare tra due funzioni x(t) e y(t) ad energia finita come:

< x(t), y(t) >= +T

2

T2

x(t)y(t)dt (1.20)

E possibile, a questo punto, introdurre lo sviluppo in serie di Fourier: unaqualsiasi funzione x(t), ad energia finita sullintervallo [T2 ; +T2 ] [1, 2], ammette

2Si noti che i concetti introdotti sono analoghi ai concetti di base vettoriale e prodotto scalareintrodotti in geometria, in base ai quali possibile rappresentare qualunque vettore appartenenteallo spazio definito dalla base come combinazione lineare dei versori della base, ognuno pesato perun fattore calcolato come la proiezione del vettore lungo quel particolare versore della base.

18 Capitolo 1

t

x (t)

to

x (t )o

-to T/2-T/2

t

x(t)

to-to T/2-T/2

x (-t )o

rsegnale

regolarizzato

rr

Figura 1.6 Descrizione grafica del segnale regolarizzato.

una rappresentazione del tipo:

x(t) =+

n=cnn(t), t

[T2;+

T

2

](1.21)

dove le funzioni n(t) sono definite come segue {n(t) = 1T e+j2pi n

Tt}+n=, e

i coefficienti cn sono definiti come:

cn =< x(t), n(t) >=1T

+T2

T2

x(t)ej2pinTtdt (1.22)

Ponendo n = cnT , possibile scrivere che:

x(t) =+

n=ne

+j2pi nTt, t

[T2;+

T

2

](1.23)

dove i coefficienti n sono definiti come segue:

n =1T

+T2

T2

x(t)ej2pinTtdt (1.24)

Se la funzione x(t) possiede delle discontinuit di prima specie nei punti diascissa t = ti, la serie di Fourier converge al segnale x(t) regolarizzato, vale a

Introduzione 19

dire al segnale xr(t) ottenuto da x(t) assumendo pari a

xr(ti) =x(ti ) + x(t

+i )

2

il valore della funzione xr(t) in ogni punto ti di discontinuit. Un esempio graficodella funzione regolarizzata xr(t) mostrato in figura 1.6.

La relazione 1.23 rappresenta unequazione di sintesi: noti i pesi n, n, possibile generare qualsiasi forma donda x(t) semplicemente combinando inmodo lineare le funzioni armoniche n(t). Lefficacia dello sviluppo in serie diFourier deriva dal fatto che relativamente semplice generare una sinusoide aduna specifica frequenza f0. In questo modo, un qualsiasi segnale x(t), complicatoquanto si voglia, pu essere sintetizzato in modo agevole attraverso la combina-zione 1.23, a partire dalla conoscenza delle sue proiezioni lungo la base dei segnalin(t).

Considerazioni di questo genere si applicano ai generatori di funzioni, stru-menti di misura molto impiegati nellambito delle misure elettroniche, con i quali possibile generare una qualsiasi forma donda a partire dalla conoscenza dei pesin. Nellapplicazione descritta, i pesi sono valutati preventivamente e poi sonoimmagazzinati in opportune memorie presenti nellapparato di misure.

Se si trascura la limitazione temporale t [T2 ; +T2 ], i segnali e+j2pinTt, n,

sono periodici di periodo T , ed , quindi, possibile estendere la rappresentazione1.23 ad una qualsiasi funzione xp(t) periodica di periodo T generico, semplice-mente considerando la formula 1.23 valida su tutto lasse reale t (,+).

1.1.9 La trasformata di FourierUn modo alternativo per rappresentare un segnale x(t) a tempo continuo, ape-riodico, ad energia finita, e definito su tutto lasse reale, rappresentato dallatrasformata di Fourier, definita come:

X(fa) = +

x(t)ej2pifatdt (1.25)

a cui corrisponde la formula di inversione, detta antitrasformata di Fourier:

x(t) = +

X(fa)e+j2pifatdfa (1.26)

E possibile condurre alcune osservazioni.

La trasformata di Fourier un operatore matematico che permette di trasforma-re una funzione del tempo in una della variabile frequenza fa. Questa unadifferenza sostanziale rispetto allo sviluppo in serie di Fourier, nel quale la fun-zione analizzata continua ad essere rappresentata nel dominio del tempo. Sitratta di un modo alternativo per analizzare un generico segnale a supporto illi-mitato, che pu rendere pi evidenti alcune caratteristiche importanti dal punto

20 Capitolo 1

x(t)Tc

0t

x(n)

0n

1-1

x(nT )c

Tcn

x(0)x(1)

x(2)x(3)

x(4)

x(-1)

x(-2)x(5)

Figura 1.7 Descrizione grafica delloperazione di discretizzazione temporale diun segnale analogico.

di vista delle telecomunicazioni, come ad esempio il contenuto armonico, chenon analizzando il segnale direttamente nel dominio del tempo.

Il segnale x(t) viene rappresentato come la somma, espressa dallintegrale nel-lequazione 1.26, di infinite componenti armoniche e+j2pifat di ampiezza infi-nitesima X(fa)dfa.

La trasformata di Fourier in 1.25 esiste per le funzioni x(t) per cui lintegraleconverge in modo uniforme alla funzione X(fa). Esistono diverse condizionisufficienti di esistenza della trasformata di Fourier. Per i nostri scopi, basti direche la classe dei segnali x(t) ad energia finita sullasse reale del tempo ammetteuna trasformata di Fourier X(fa) definita dallequazione 1.25.

1.2 I segnali a tempo discreto: le sequenze numeri-che

I segnali a tempo discreto, altres detti sequenze, sono definiti rispetto ad unavariabile indipendente che assume solo valori interi, generalmente indicati con lalettera n. Tali segnali, dunque, sono rappresentati come una sequenza di numeriindicizzata dalla variabile temporale discreta n.

Un segnale x(n) a tempo discreto detto digitale, o numerico, se assumesoltanto ampiezze discrete.

I segnali digitali sono quelli comunemente elaborati dai processori digitalipresenti nei sistemi numerici, e possono essere ottenuti attraverso le operazioni

Introduzione 21

di campionamento e di quantizzazione applicate ad un segnale analogico x(t). Atitolo di esempio, si immagini di discretizzare lasse del tempo di un segnale ana-logico x(t), del tipo mostrato in figura 1.7, con una cadenza regolare di periodo Tc,estraendo una sequenza di numeri x(nTc), n (; +). Il passo di tempoTc detto intervallo di discretizzazione temporale, o periodo di campionamento.Nei segnali a tempo discreto ricavati dal campionamento di un segnale analogico prassi comune sottintendere il passo di campionamento Tc, ottenendo cos unasequenza di numeri reali x(n) definita solo per valori interi della variabile n.

1.2.1 Classificazione dei segnali a tempo discretoIn modo del tutto analogo a quanto visto per i segnali a tempo continuo, anche isegnali a tempo discreto possono essere classificati in base al relativo comporta-mento temporale.

Durata di una sequenza: un sequenza x(n) pu essere di durata, o lunghezza,finita o infinita, a seconda che sia identicamente nulla allesterno di un intervallofinito di tempo [n0, n1], con n0, n1 < , oppure che perduri per un intervallodi tempo infinito del tipo [n0,+), (, n1], oppure (,+), dove n0 e n1sono due istanti di tempo finiti. Il supporto temporale di una sequenza di durata fi-nita pari a N = n1n0+1, e in tale intervallo la sequenza assume N campioni.

Causalit: una sequenza x(n) detta causale se vale la relazione x(n) = 0, n N (1.29)

dove N un numero intero finito e positivo. Delta numerica di Kronecker, (n):

(n) ={

0, n 6= 01, n = 0 (1.30)

Sequenza Sinc:sinc

( nN

)=

sin(pi nN)

pi nN(1.31)

dove N una costante intera. Si noti che sinc(0) = 1, e che la sequenzasinc(n/N) si annulla per ogni n = kN, con k intero. Infine, si noti che neltempo discreto si verifica sinc(n) = (n).

Esponenziale causale:x(n) = anu(n) (1.32)

dove a detta ragione dellesponenziale. Se a un numero reale, allora lespo-nenziale causale una sequenza a valori reali.

Si noti che i segnali elementari a tempo discreto descritti sopra sono definitisenza criticit, diversamente da quanto accade per le distribuzioni delta di Dirac,funzione generalizzata gradino, e via discorrendo, della variabile continua t. Per-tanto, importante non confondere la delta numerica e il gradino a tempo discretocon le rispettive distribuzioni delta di Dirac e gradino analogici.

Landamento nel dominio del tempo discreto delle sequenze elementari mostrato in figura 1.9.

Nellanalisi dei segnali a tempo discreto verranno ampiamente impiegate al-cune relazioni elementari che derivano dalle definizioni delle funzioni a tempodiscreto viste sopra. A titolo di esempio, la funzione gradino a tempo discretopu essere definita come una combinazione lineare di delta numeriche, ognunacentrata in un istante di tempo discreto positivo:

u(n) =+i=0

(n i) = (n) + (n 1) + (n 2) + . . . . (1.33)

In generale, dalla definizione di delta numerica seguono facilmente le due seguentipropriet:

x(n) (n) = x(0)(n)x(n) (n nt) = x(nt)(n nt)

Introduzione 25

0 10 20 30 401

0.5

0

0.5

1

n

f1=0.1

0 10 20 30 401

0.5

0

0.5

1

n

f1=0.3

0 10 20 30 401

0.5

0

0.5

1

n

f1=0.5

0 10 20 30 401

0.5

0

0.5

1

n

f1=0.8

Figura 1.10 Andamento di alcune sequenze sinusoidali del tipo cos (2pif1n) peralcuni valori di frequenza numerica f1 riportata nella rispettiva legenda.

dove nt un istante di tempo discreto attorno a cui centrata la delta numerica.Una conseguenza di questa propriet, che risulta valida la seguente relazione:

x(n) =+i=

x(i)(n i). (1.34)

Infine, facile verificare che la delta numerica centrata nellorigine del tempodiscreto, pu essere espressa come segue:

(n) = u(n) u(n 1). (1.35)

1.2.3 Segnali armonici e sinusoidi a tempo discretoIn modo analogo a quanto visto per i segnali analogici, possibile definire le-spressione analitica di una sinusoide a tempo discreto e a frequenza f0 comesegue:

xc(n) = A cos(2pif0n+ ) = A cos(0n+ ), n (1.36)dove A e sono due costanti reali, mentre 0, la pulsazione numerica, dipendedalla frequenza numerica f0 attraverso la relazione 0 = 2pif0. Lespressioneanalitica di una segnale armonico o sequenza esponenziale complessa a frequenzaf0 :

x(n) = Aej(2pif0n+), n (1.37)

26 Capitolo 1

Inoltre, i due segnali sono legati dalla relazione di Eulero:

xc(n) = A cos(2pif0n+ ) =

Introduzione 27

imporre:

x(n+N) = cos (2pif0(n+N) + ) = cos (2pif0n+ 2pif0N + )= x(n) = cos (2pif0n+ )

(1.40)la quale risulta valida nel caso in cui Nf0 corrisponde ad un numero intero. Diconseguenza, le sinusoidi a tempo discreto non sono necessariamente periodichedi periodo 1f0 in n, e, in relazione al valore assunto da f0, possono addiritturaessere aperiodiche. Questo discorso, valido anche per gli esponenziali complessi,conduce a delle differenze sostanziali tra sinusoidi a tempo continuo e a tempodiscreto. Questa caratteristica legata al fatto che la variabile tempo discreto npu solo assumere valori interi.

A titolo di esempio si consideri la sinusoide cos(2n): non esiste alcun valoreintero N per cui questa sinusoide risulti periodica. Nel dominio del tempo conti-nuo, invece, la sinusoide cos(2t) periodica di periodo pi (si noti che possibiledefinire un periodo perch la variabile indipendente tempo pu assumere qualsiasivalore reale, mentre nel tempo discreto il tempo pu solo assumere valori interi).

1.2.4 Le operazioni elementari tra segnali a tempo discretoLe operazioni elementari tra sequenze numeriche vengono eseguite utilizzandole regole elementari dellalgebra. La somma, la differenza, e il prodotto tra duesegnali x1(n) e x2(n) risultano pari, rispettivamente, ai segnali x1(n) + x2(n),x1(n) x2(n), e x1(n) x2(n), dove le operazioni si applicano tra coppie dicampioni osservati nei medesimi istanti di tempo. Alcuni esempi elementari sonomostrati in figura 1.11.

Le operazioni di ribaltamento e scalamento del tempo, viste nel caso di se-gnali analogici nel paragrafo 1.1.5, valgono anche per i segnali a tempo discreto,laddove si sostituisca la variabile continua t con quella discreta n.

Si considerino due numeri interi positivi D e I . Loperazione matematica chepermette di ottenere la sequenza y(n) = x(D n) a partire da una sequenza datax(n), detta decimazione, e corrisponde a costruire la sequenza y(n) prendendoun campione ogni D della sequenza x(n).

In modo del tutto analogo, loperazione matematica definita come:

y(n) ={

x(nI

), n = 0,I,2I, . . .

0, altrimenti

detta interpolazione.A titolo di esempio, le operazioni di ribaltamento dellasse dei tempi, di ri-

tardo, di anticipo e di scalamento del tempo sono mostrate in figura 1.12 nel casodi sequenza di tipo rampa.

Si noti che, da un punto di vista strettamente fisico, se x(n) rappresenta unasequenza di campioni estratta da un brano musicale, allora x(n) rappresenta lamedesima sequenza di campioni suonata al contrario. In modo del tutto analogo,la sequenza x(3n) rappresenta il medesimo brano suona ad una velocit tripla,

28 Capitolo 1

x (n)

n1 2 3-1

1

2

1 x (n)

n

1

2

2

x (n)

n1 2 3-1

1

2

2x (n)+13

n1 2 3-1

1

2

2x (n) x (n)1

x (n-n )

n1 2 3 -2

1

2

1 0

n 0=1

x (n-n )

n1 2 3-1

1

2

1 0

n 0=-1

1 2 3-1 00

00

00

Figura 1.11 Descrizione grafica di alcune operazioni elementari tra segnali atempo discreto.

mentre x(n/3) rappresenta il brano x(n) suonato ad una velocit tre volte inferio-re. La sequenza x(n no) rappresenta il medesimo brano suonato con no istantidi tempo discreto di ritardo.

Le operazioni di ritardo, scalamento e ribaltamento dellasse del tempo di-pendono dallordine con cui vengono condotte sulla sequenza in considerazione.Si immagini di effettuare in successione le due operazioni di ribaltamento e ritardodi N campioni su una sequenza x(n). La sequenza y1(n) ottenuta, risulta

x(n) x(n) x((nN)) = x(n+N) = y1(n) (1.41)

Eseguendo le due operazioni in ordine inverso, si otterrebbe la sequenza y2(n)definita come segue:

x(n) x(nN) x(nN) = y2(n) (1.42)

E chiaro che risulta y1(n) 6= y2(n).

Introduzione 29

20 0 200

5

10

15

20

n

r(n)

20 0 200

5

10

15

20

n

r(n)

0 20 400

5

10

15

20

25

30

n

r(n10)

20 0 200

10

20

30

40

50

60

n

r(3n)

20 0 200

5

10

15

20

25

30

n

r(n+10)

20 0 200

5

10

15

20

25

30

n

r(n+10)

Figura 1.12 Descrizione grafica di alcune operazioni elementari sul segnale atempo discreto r(n) di tipo rampa.

Una delle operazioni fondamentale nel tempo discreto la convoluzione li-neare tra due sequenze x(n) e y(n), definita come:

q(n) = x(n) ? y(n) =+

k=x(k)y(n k) (1.43)

Un esempio grafico di calcolo delloperatore di convoluzione mostrato in figura1.14 nel caso delle due sequenze x(n) e y(n) definite come:

x(n) = u(n) u(n 5)y(n) = u(n) u(n 5)

Analizziamo il calcolo della funzione q(n) risultante dalla convoluzione linearetra x(n) e y(n). Innanzitutto si noti che, ai fini del calcolo della convoluzionein 1.43, le due sequenze x(n) e y(n) sono rappresentate rispetto alla variabileindipendente k, indice della sommatoria, mentre n ha il significato di parametrotemporale. Il calcolo della convoluzione va fatto per ogni valore assunto da n.

Landamento delle due sequenze x(k) e y(n k) nellequazione 1.43 mo-strato in figura 1.13. Al variare dei valori del parametro n, la sequenza y(n k)viene a collocarsi in un supporto temporale variabile rispetto a quello della se-quenza x(k). In particolare, rispetto al parametro n, possibile distinguere quat-tro configurazioni diverse della sequenza y(n k) rispetto alla sequenza x(k).

30 Capitolo 1

x(k)

k1

1 2 3 4 5 60-1

y(n-k)

k1

1 2 30-1nn-4

q(n)

n1

1 2 30-1 6 7 854 9 10 11

2

3

4

5

Figura 1.13 Andamento nel tempo discreto delle sequenze x(k), y(nk) e q(n) =x(n) ? y(n).

n (,1], la sequenza y(n k) mostrata in figura 1.14-a. E facileverificare che per ogni n < 0, la sequenza x(k)y(n k) identicamente nullaper ogni k. Ne consegue che q(n) = 0, n < 0.

n [0, 4], la sequenza y(n k) mostrata in figura 1.14-b. Lequazione 1.43diventa:

q(n) =n

k=0

1 = n+ 1.

n [5, 8], la sequenza y(n k) mostrata in figura 1.14-c. Lequazione 1.43diventa:

q(n) =4

k=n41 = 4 (n 4) + 1 = 9 n.

Infine, n [9,+), la sequenza y(n k) mostrata in figura 1.14-d. Poi-ch il prodotto x(k)y(n k) 0 in quanto le due sequenze sono disgiunte,lequazione 1.43 diventa:

q(n) = 0.

Landamento della sequenza q(n), risultato della convoluzione lineare x(n)?y(n), mostrato in figura 1.13. Si noti che, la sequenza q(n), risultato della convolu-zione, ha un supporto pari alla somma dei supporti, Nx = 5 e Ny = 5 campioni,delle due sequenze x(n) e y(n), meno uno. Questo risultato generale, e sarusato ampiamente nei capitoli successivi riguardanti lanalisi dei sistemi LTI atempo discreto.

La convoluzione lineare un operatore che soddisfa le propriet associati-va, commutativa e distributiva. Date tre sequenze x(n), y(n) e z(n) possibile

Introduzione 31

x(k)

k1

1 2 3 4 5 60-1

y(n-k)

k1

1 2 30-1nn-4

(a)

y(n-k)

knn-4

(b)

y(n-k)

knn-4

(c)

y(n-k)

knn-4

(d)

Figura 1.14 Esempio grafico delloperazione di convoluzione tra due sequenzex(n) e y(n).

dimostrare le relazioni seguenti:

x(n) ? y(n) =+

k= x(k)y(n k) = y(n) ? x(n) ==+

k= y(k)x(n k), propriet commutativax(n) ? [y(n) + z(n)] = x(n) ? y(n) + x(n) ? z(n), propriet distributivax(n) ? [y(n) ? z(n)] = [x(n) ? y(n)] ? z(n), propriet associativa

32 Capitolo 1

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

1

x(n)_

....

Figura 1.15 Sequenza x(n) periodica di periodo N = 5 considerata nellesempio1.2.

1.2.5 Energia e potenza media di segnali a tempo discretoIn modo del tutto analogo a quanto visto per i segnali analogici, lenergia di unsegnale a tempo discreto definita come:

Ex =+

n=|x(n)|2. (1.44)

Nel caso in cui Ex

Introduzione 33

n0 1 2 3 4 ...

1

x(n)

.... +N-N

Figura 1.16 Andamento della sequenza x(n) = 1, n considerata nellesempio1.3.

Esempio 1.2 Calcolare la potenza media della sequenza periodica mostrata infigura 1.15.Soluzione: applicando la definizione di potenza media di una sequenza perio-dica di periodo N = 5 in 1.45, si ottiene:

Px =1N

N1n=0

|x(n)|2 = 15

2n=0

1 =35

Per i segnali a tempo discreto la potenza media viene valutata come:

Px = limN

12N + 1

+Nn=N

|x(n)|2 (1.46)

Le sequenze ad energia finita hanno potenza media nulla, mentre le sequenze apotenza media finita non nulla hanno energia infinita.

Esempio 1.3 Calcolare la potenza media della sequenza x(n) = 1, n.Soluzione: il calcolo della potenza media definita nellequazione 1.46 si effet-tua come segue. Innanzitutto si valuta lenergia della sequenza x(n) sullinter-vallo di tempo finito [N,+N ] e poi si normalizza tale energia per lintervallodi tempo 2N + 1 in modo da ottenere una quantit che, dimensionalmente, ri-sulti pari a una potenza media. Infine, si effettua il limite per N al finedi includere nel calcolo della potenza media tutti i contributi di potenza dellasequenza x(n):

Px = limN 12N+1+N

n=N |x(n)|2 = limN 12N+1+N

n=N 1= limN 12N+1 (2N + 1) = 1

1.2.6 Energia e potenza media di segnali analogici campionatiNellambito dellelaborazione numerica dei segnali talvolta capita di gestire se-gnali a tempo discreto ottenuti attraverso la discretizzazione dellasse dei tempi

34 Capitolo 1

di segnali analogici. In questo caso, le relazioni 1.44-1.46 devono essere modi-ficate in modo da tenere in considerazione lintervallo di discretizzazione Tc. Sesi immagina di valutare attraverso un calcolatore lintegrale dellenergia Ex diun segnale analogico ad energia finita, necessario partizionare lasse reale deltempo t (,+) in intervallini di ampiezza Tc. Sotto queste condizioni,lintegrale

Ex = +

|x(t)|2dt

pu essere approssimato attraverso la sommatoria:

Ex = Tc+

n=|x(nTc)|2. (1.47)

dove Tc il passo di discretizzazione temporale e rappresenta il differenziale dtnellintegrale. La quantit espressa dallequazione 1.47 rappresenta lenergia delsegnale a tempo discreto x(n) = x(t)|t=nTc , ottenuta campionando il segnaleanalogico x(t) con cadenza uniforme Tc.

Dei discorsi analoghi valgono nel caso si desideri valutare la potenza mediadi un segnale a tempo discreto a potenza media finita. In particolare, dato unsegnale periodico a tempo discreto, ottenuto campionando un segnale analogicoperiodico, la potenza media pu essere valutata come:

Px =1

NTc

N1n=0

|x(nTc)|2Tc (1.48)

dove N il periodo della sequenza numerica, espresso in numero di campioni.Per i segnali a tempo discreto non periodici e con energia infinita, possibile

calcolare la potenza media mediante la formula:

Px = limN

1(2N + 1)Tc

+Nn=N

|x(nTc)|2Tc (1.49)

1.3 Le funzioni di correlazione di segnali a tempodiscreto

La funzione di correlazione tra due sequenze, x(n) e y(n), entrambe ad energiafinita, misura il grado relativo di similarit. Le misure di correlazione sono impie-gate in molte applicazioni pratiche, quali radar, comunicazioni digitali, ma anchein diversi settori della geologia.

Generalmente, si definiscono due funzioni di correlazione: lauto-correlazionee la mutua-correlazione. La prima funzione misura il grado di similarit di una

Introduzione 35

sequenza con una versione traslata di se stessa, ed definita come:

Rx(n) =+

k=x(k)x(k n) =

+k=

x(k + n)x(k). (1.50)

E facile verificare che la funzione di auto-correlazione di una sequenza x(n), sevalutata nellorigine n = 0, fornisce lenergia della sequenza associata:

Rx(n)|n=0 =+

k=|x(k)|2 = Ex.

Nel caso in cui la sequenza x(n) possieda un supporto limitato, [0, N 1], allorala funzione di auto-correlazione assume la seguente espressione:

Rx(n) =N|p|1

k=i

x(k)x(k n), (1.51)

dove: {i = n, p = 0, n 0i = 0, p = n, n < 0 (1.52)

La mutua-correlazione tra due sequenze, x(n) e y(n), definita come:

Rx,y(n) =+

k=x(k)y(k n) =

+k=

x(k + n)y(k), n. (1.53)

Invertendo lordine delle due sequenze x(n) e y(n), si ottiene una definizioneequivalente di mutua-correlazione:

Ry,x(n) =+

k=y(k)x(k n) =

+k=

y(k + n)x(k), n. (1.54)

Confrontando le due relazioni 1.53 e 1.54 nel caso di sequenze reali, si ottiene:

Rx,y(n) = Ry,x(n).Questa relazione ci assicura che entrambe le funzioni di mutua-correlazione disequenze reali differiscono solo per un ribaltamento del tempo, e, come tale,forniscono le medesime informazioni circa la similarit tra le due sequenze.

Le sequenze a potenza media finita ammettono una definizione differente diauto e mutua-correlazione, dovuta al fatto che, per esse, le relazioni 1.50 e 1.53risultano indefinite. Per aggirare il problema, si valuta lauto-correlazione norma-lizzata su un supporto temporale finito, e poi si fa crescere in modo indefinito la

36 Capitolo 1

durata di tale supporto. In formule, la funzione di auto-correlazione di sequenze apotenza media finita definita tramite la relazione:

Rx(n) = limN

12N + 1

+Nk=N

x(k)x(k n) (1.55)

mentre la mutua-correlazione tra due sequenze x(n) e y(n), entrambe a potenzamedia finita, definita tramite la relazione:

Rx,y(n) = limN

12N + 1

+Nk=N

x(k)y(k n). (1.56)

Le due relazioni 1.55 e 1.56 si semplificano nel caso di sequenze periodichedi periodo N . In particolare, la funzione di auto-correlazione di una sequenza conperiodo N assume la forma:

Rx(n) =1N

N1k=0

x(k)x(k n) (1.57)

mentre la funzione di mutua-correlazione di due sequenze x(n) e y(n) con perio-do N assume la forma:

Rx,y(n) =1N

N1k=0

x(k)y(k n). (1.58)

1.3.1 Unapplicazione della funzione di correlazioneLa funzione di mutua-correlazione misura il grado di similarit tra due sequenzex(n) e y(n). Una delle applicazioni pi importanti riguarda il rilevamento disegnali corrotti da disturbi aleatori dovuti al mezzo di trasmissione. Si pensi, atitolo di esempio, al rilevamento di oggetti in movimento mediante limpiego delradar.

Il funzionamento del radar il seguente. Un segnale x(n) di durata pari aN istanti di tempo discreto viene irradiato periodicamente dallantenna del radar.Quando un oggetto in movimento riflette il segnale, allantenna del radar vienerilevato un segnale del tipo:

r(n) = x(nD) + g(n),in cui il segnale x(n D) rappresenta leco del segnale x(n) trasmesso, chearriva al ricevitore radar attenuato di un fattore dopo D istanti di tempo discreti,il tempo necessario affinch il segnale si propaghi dallantenna verso loggetto darilevare, e viceversa. Lattenuazione , detta riflettanza, dipende dalle caratteri-stiche riflettenti delloggetto metallico investito dal segnale trasmesso, e, nei casi

Introduzione 37

pratici di interesse, assume un valore nellintervallo 0 < 1. Si noti chese 0, allora non si riceve alcuna eco. Gli aerei militari sono progettati condei materiali scelti in modo tale da garantire una riflettanza molto bassa, cioin modo tale da assorbire in modo consistente londa elettromagnetica incidente,senza rifletterla.

Il secondo termine g(n) rappresenta un disturbo additivo dovuto al mezzo ditrasmissione che convoglia il segnale x(n). Al ricevitore necessario risalire allapresenza di un oggetto a partire dallanalisi del segnale r(n). Se un oggetto rilevato, allora la sua distanza dalla stazione radar risulta pari a D2 c, dove c lavelocit della luce, ovvero la velocit con cui si propaga londa elettromagnetica.

Il rilevamento delleco viene condotto effettuando la mutua-correlazione ri-portata nellequazione (1.53) tra il segnale x(n), noto al ricevitore, e il segnaler(n) ricevuto dallantenna del radar. Si noti che se non fosse presente alcun di-sturbo, cio g(n) 0, allora la mutua-correlazione fornirebbe il massimo quandoi due segnali x(n) e x(n D) sono perfettamente sovrapposti, e, listante ditempo corrispondente al massimo, risulta pari al ritardo D tra il segnale trasmessoe il segnale eco ricevuto.

Un esempio di applicazione di questi concetti riportato in figura 1.17. Ilsegnale x(n) di tipo porta e dura 50 istanti di tempo discreto. Il segnale ricevutor(n) risulta composto dalla combinazione lineare di una replica di x(n) ritardatadi 50 istanti di tempo discreto e attenuata di un fattore 0.1. Si noti come sia prati-camente impossibile distinguere ad occhio nudo il segnale x(n 50) dal segnaler(n), in quanto leco del segnale completamente corrotto dal disturbo additivog(n). Il risultato della mutua-correlazione riportato nella figura pi in basso.Da un punto di vista strettamente pratico, la presenza delleco viene rilevato sela funzione di mutua-correlazione supera una soglia opportunamente predefinita.Se il massimo della funzione Rx,r(n) supera la soglia, listante di tempo corri-spondente rappresenta il ritardo complessivo D. Nella figura, il massimo dellamutua-correlazione assunto in n = 50. La distanza delloggetto viene quindicalcolata mediante la relazione 502 c.

38 Capitolo 1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.5

1

1.5

2

n

x(n)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000.4

0.2

0

0.2

0.4

n

r(n)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10002

0

2

4

6x 103

n

R x,r(n)

Figura 1.17 Esempio di applicazione della funzione di mutua-correlazione tra duesegnali x(n) e r(n). La figura in alto riporta la sequenza x(n) = u(n) u(n 50)trasmessa dal radar, mentre la figura centrale mostra un esempio di sequenzar(n) = x(nD) + g(n), dove D = 50, = 0.1, e g(n) un processo di rumorebianco con media nulla e deviazione standard = 0.1. La figura in basso mostralandamento della funzione di mutua-correlazione Rx,r(n).

2Campionamento e Quantizzazione

I segnali a tempo discreto possono rappresentare landamento di vari fenomenifisici che si evolvono non in modo continuo, ma secondo una cadenza di tem-po finita. Molto spesso, invece, sono la rappresentazione di segnali analogicicampionati.

I sistemi di trasmissione numerica elaborano dei segnali discretizzati sia sul-lasse dei tempi, sia sullasse delle ampiezze. Loperazione che permette di di-scretizzare lasse dei tempi chiamata campionamento, mentre la discretizza-zione dellasse delle ampiezze di un segnale detta quantizzazione. Sotto certecondizioni, formalizzate in quello che chiamato teorema del campionamento,loperazione di campionamento risulta reversibile. Al contrario, loperazione diquantizzazione sempre irreversibile, e introduce una degradazione pi o menomarcata sulla qualit del segnale digitalizzato.

Il capitolo verte sulla descrizione delle operazioni di campionamento e quan-tizzazione. Il campionamento ideale di un segnale analogico x(t) si formalizzamediante luso delle distribuzioni delta di Dirac. Nella realt fisica, tali distribu-zioni non esistono, ma possono essere emulate mediante limpiego di funzioni ditipo porta con durata molto pi breve rispetto al periodo di campionamento. Que-ste considerazioni conducono alla definizione di unoperazione di campionamentoreale, cio eseguibile nella pratica.

I circuiti reali, che elaborano i segnali a tempo discreto, in pratica richiedo-no che i campioni estratti dal segnale analogico siano mantenuti costanti per unintervallo di tempo legato alla costante di tempo del circuito. Tutto ci comportache, dopo il campionamento, il segnale a tempo discreto debba essere elabora-to mediante un circuito di mantenimento, il quale mantiene costante il campioneestratto allistante nTc per un tempo Tc.

I segnali a tempo discreto possono essere riconvertiti in forma analogica me-diante unopportuna operazione matematica, detta interpolazione. Linterpolazio-ne loperazione che permette di ricostruire un segnale analogico, a partire da unasequenza di campioni.

Dopo il campionamento, i segnali a tempo discreto possono essere convertitiin un formato digitale, nel quale tutti i campioni reali sono espressi su un numerofinito di bit, attraverso loperazione di quantizzazione.

40 Capitolo 2

x(t)

0t

x(t)

x (t)

tTc

d

d(t)

X(f )

0 f

*X(f )

D(f )Bx-Bx 0

fBx-Bxx-Bx +Bx-Bx fc-fc fcfc+B-fc-fc

X (f )dconvoluzione

prodotto

X(f ) X(f -f )cX(f +f )cTc

1

Tc

1

Tc

1

n=-1 n=0 n=+1

a

a

a

a

a a a

a a

x (t)d

Tc Tc2 30

Figura 2.1 Descrizione grafica delloperazione di campionamento di un segnaleanalogico. Il segnale analogico x(t) possiede una trasformata di Fourier consupporto pari a [Bx; +Bx], dove Bx

Campionamento e Quantizzazione 41

x(nTc)(tnTc). Il risultato , nel senso delle funzioni generalizzate, una delta diDirac centrata nellistante nTc con coefficiente moltiplicativo pari al valore dellafunzione x(t) nellistante di tempo nTc, ovvero con area pari a x(nTc).

Ricordando che la trasformata di Fourier del prodotto di una funzione per unafunzione generalizzata risulta pari alla convoluzione tra le relative trasformate diFourier, e che il prodotto di convoluzione e la sommatoria sono due operatorimatematici lineari2, si ottiene:

xd(t) = x(t) +

n= (t nTc) =+

n= x(nTc)(t nTc)Xd(fa) = X(fa) ? D(fa) = 1Tc

+n=X

(fa nTc

) (2.3)Si noti che lequazione 2.3 afferma che lo spettro del segnale campionato

costituito da una ripetizione periodica dello spettro elementare X(fa) del segnalex(t), scalato di un termine costante fc = 1/Tc, linverso del periodo di campio-namento (detta frequenza di campionamento). Queste considerazioni sono gra-ficamente esposte nella figura 2.1 dove si supposto di campionare un genericosegnale x(t) con spettro a banda limitata allintervallo di frequenze [Bx; +Bx],dove Bx

42 Capitolo 2

f

fc2

- fc2

Tc

f

H(f )

filtro ideale

a

a

y(t)x (t)d

Bx-Bxaf

X (f )d

|X(f )| |X(f -f )|c|X(f +f )|cTc

1Tc

1Tc

1

n=-1 n=0 n=+1

a

a a a

a

X(f )a =Y(f )a

y(t)=x(t)

0t

x (t)

tTc

d

Tc Tc2 30

00 Bx-Bxx-Bx +Bx-Bx fc-fc fcfc+B-fc

Figura 2.2 Descrizione grafica delloperazione di ricostruzione di un segnaleanalogico campionato nel caso in cui fc 2Bx.

dove fo = 5kHz e x(t) un generico segnale a banda limitata Bx = 2.5kHz.Soluzione: la propriet della modulazione della trasformata di Fourier com-porta che

Y (fa) =12X(fa fo) + 12X(fa + fo)

Si noti che i terminiX(fafo) si ottengono traslando rigidamente verso destra(X(fa fo)) e verso sinistra (X(fa + fo)) lo spettro X(fa) di x(t) di unintervallo di frequenze pari a fo. La pi elevata frequenza per cui Y (fa) 6= 0risulta pari a fo +Bx.Il teorema del campionamento soddisfatto scegliendo fc 2(fo +Bx).

Se il teorema del campionamento soddisfatto, allora possibile ricostruireil segnale x(t) a partire dai suoi campioni x(nTc), inserendo xd(t) in un filtropassa-basso ideale, che isoli la sola replica per n = 0 nellequazione 2.3.

In riferimento alla figura 2.2, lo spettro del segnale y(t) di uscita dal sistemalineare e tempo invariante (LTI) con risposta in frequenza H(fa) = Tc pfc(fa)4, pari a:

Y (fa) = Xd(fa)H(fa) = H(fa) 1Tc

+n=

X

(fa n

Tc

)= X(fa) = y(t) = x(t)

(2.4)

Esempio 2.2 si consideri il segnale determinato

z(t) =Ni=0

yi(t),

4La funzione generalizzata pfc(fa) la porta ideale di ampiezza unitaria e supporto [ fc2 ,+ fc2 ]in frequenza, cos come mostrato in figura 2.2.

Campionamento e Quantizzazione 43

dove yi(t) = x(t) sin(2piifot + i). Il segnale x(t) possiede banda B. Infine,N un intero strettamente positivo, fo 6= 0, e le fasi i, i = 0, . . . , N sonocostanti.Si calcoli: il minimo valore di fo tale per cui i segnali yi(t) sono spettralmente separati; con tale valore di fo, la minima frequenza di campionamento in grado di

soddisfare il teorema del campionamento sul segnale z(t).Soluzione: si consideri la definizione delle funzioni yi(t), e se ne calcoli latrasformata di Fourier:

Yi(fa) =e+ji

2jX(fa ifo) e

ji

2jX(fa + ifo), i = 0, . . . , N.

Dal momento che X(fa) ha supporto [B,+B], il minimo valore di fo richie-sto deve essere tale che gli spettri Yi(fa) non si sovrappongano tra di loro. Talevalore vale, dunque, risulta fo = 2B.Impiegando tale valore di fo e collocando le funzioni Yi(fa) una di fianco al-laltra, in frequenza, la frequenza pi elevata contenuta in Z(fa) , dunque,fm = Nfo +B = B(2N + 1).La minima frequenza di campionamento necessaria a soddisfare il teorema delcampionamento risulta essere fc = 2fm = 2B(2N + 1).

2.1.1 Il fenomeno dellaliasingIl teorema del campionamento applicabile a segnali analogici con spettro a bandastrettamente limitata. Se un segnale x(t) possiede uno spettro X(fa) non nulloal di fuori di un opportuno intervallo finito [Bx,+Bx], ovvero con supportoillimitato, allora non possibile determinare una frequenza di campionamentofinita che soddisfi il teorema del campionamento.

Si consideri, a titolo di esempio, il segnale analogico x(t) = etu(t) conspettro X(fa) = 11+j2pifa . Campionando il segnale x(t) con una frequenza dicampionamento fc = 10 Hz, si ottiene lo spettro Xd(fa), definito nellequazione(2.3), rappresentato nella figura 2.3. Lo spettro del segnale x(t) mostrato nellamedesima figura con linea tratteggiata.

Si noti che lo spettro X(fa) del segnale x(t) differisce dallo spettro Xd(fa)nellintervallo di frequenze [fc/2,+fc/2] = [5,+5] Hz, e, come tale, un filtroideale con banda [5,+5] Hz fornirebbe un segnale y(t) in uscita diverso da x(t).

Si noti che un fenomeno simile sarebbe osservabile qualora, dato un segnalex(t) a banda limitata |fa| Bx, si scegliesse una frequenza di campionamentofc < 2Bx, vale a dire inferiore al limite imposto dal teorema del campionamento.

2.2 Il campionamento realeLa teoria del campionamento ideale si basa sul presupposto di utilizzare delle deltadi Dirac per estrarre i campioni x(nTc) dal segnale analogico x(t). Nella realt,

44 Capitolo 2

15 10 5 0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fa

Tc|Xd(fa)||X(f

a)|

Aliasing Aliasing

Risposta in frequenza H(fa) del filtro ideale

Figura 2.3 Descrizione grafica del fenomeno dellaliasing su segnali a bandaillimitata.

un circuito campionatore costituito da un interruttore che si apre e si chiudecon cadenza regolare Tc, estraendo un campione da x(t) ogniqualvolta si chiude.Linterruttore possiede un tempo di apertura e chiusura non nullo e, quando sichiude, resta in questa posizione per un intervallo di tempo td che pu essereanche molto piccolo, ma pur sempre diverso da zero. In buona sostanza, nellarealt fisica ogni delta di Dirac viene approssimata tramite una porta di durata td,secondo quanto mostrato in figura 2.4.

Nonostante che il campionamento reale preveda luso di impulsi rettangolari,si pu dimostrare che comunque possibile ricostruire perfettamente il segnalex(t) attraverso i campioni estratti tramite un interruttore reale. Studiamo anali-ticamente i segnali coinvolti nelloperazione di campionamento reale nellipotesiche x(t) sia un segnale analogico con spettro a banda limitata allintervallo difrequenze [Bx; +Bx], con Bx

Campionamento e Quantizzazione 45

x(t)

p(t)

t

td

Tc

X(f )

f

*X(f )

P(f )

|X (f )|r a

P (-f )ctdTc

P ( ) P (f )c

convoluzione

prodotto

f

X(f ) X(f -f )cX(f +f )c Tc Tc

n=-1 n=0 n=+1

a a a

a

a

a

a

aBx-Bx

t d td

x(t)

0t

x (t)

tTc

r

Tc Tc2 30

0 0 Bx-Bxx-Bx +Bx-Bx fc-fc fcfc+B-fc-fc

0

Figura 2.4 Descrizione grafica delloperazione di campionamento reale.

dove Ptd(fa) la trasformata di Fourier di ptd(t td2

), e

ptd (t) ={

1, |t| td20, altrove (2.7)

e risulta pari a:

Ptd(fa) =sin(pifatd)

pifaej2pifa

td2 . (2.8)

Il campionamento reale produce un segnale xr(t) il cui spettro vale:

Xr(fa) = X(fa) ? P (fa) =1Tc

+n=

Ptd

(n

Tc

)X

(fa n

Tc

). (2.9)

Lo spettro del segnale campionato in modo reale risulta una combinazionedi repliche del tipo X

(fa nTc

), n, ciascuna moltiplicata per un coefficiente

Ptd(nTc) che varia al variare dellindice intero n. Si noti che, contrariamente al

caso del campionamento ideale, lo spettro Xr(fa) non periodico. Ciononostan-te, rispettando il teorema del campionamento, possibile ricostruire il segnalex(t) facendo passare il segnale xr(t) attraverso un filtro ideale con funzione ditrasferimento:

H(fa) =

{Tc

Ptd(0), |fa| fc2

0, altrove(2.10)

Il campionamento reale produce effetti reversibili sul segnale campionato: possibile ricostruire perfettamente il segnale di partenza attraverso un filtraggioideale analogo a quello impiegato nel caso di campionamento ideale. Il filtro

46 Capitolo 2

t

x(t)

t

x (t)d

t

x (t)SH

Campionamento ideale

x(t) x (t)d

Sistema di mantenimento

x (t)SH

d(t)

1

Tct

h(t)

Tc

Figura 2.5 Descrizione grafica delloperazione di campionamento e mantenimen-to.

H(fa) nellequazione 2.10 ha leffetto di lasciar passare solo la replica per n = 0di tutto il segnale Xr(fa) rappresentato nellequazione 2.9. La costante TcPtd (0)ha leffetto di recuperare lattenuazione subita da x(t) durante loperazione dicampionamento reale.

2.3 Campionamento con Sample and HoldI dispositivi elettronici che seguono il sistema di campionamento del segnale, esi-gono in genere che i campioni al loro ingresso vengano mantenuti costanti perun certo intervallo di tempo. Questoperazione, detta di campionamento e man-tenimento (o sample and hold), viene compiuta da un dispositivo equivalente allacascata di un campionatore ideale e di un sistema LTI con risposta allimpulsoh(t) = pth(t th/2) (th la durata della porta pth()).

Il segnale xSH(t) ottenuto per effetto di un campionamento di tipo sampleand hold mostrato in figura 2.5 per th = Tc.

Analiticamente, il segnale campionato e mantenuto pu essere espresso comesegue:

xSH(t) = xd(t) ? h(t) = h(t) ?+

n=x(nTc) (t nTc) . (2.11)

La risposta in frequenza del sistema LTI vale H(fa) = Tc sinc(faTc)ej2pifaTc2

per th = Tc, dove si adoperata la relazione sinc(faTc) = sin(pifaTc)pifaTc .Lo spettro del segnale campionato risulta:

XSH(fa) = sinc(faTc) ejpifaTc +

n=X

(fa n

Tc

). (2.12)

Lequazione 2.12 suggerisce che il segnale elaborato con il sistema di campiona-mento e mantenimento risulta distorto in frequenza dalla funzione di trasferimento

Campionamento e Quantizzazione 47

|X(f )|

Bx

|X (f )|

Bx fc f +Bc x-fc

d

|H(f )|

fc-fc

fa

|X (f )|

Bx fc f +Bc x-fc

SH

fa

fa

fa

a

a

a

a

Figura 2.6 Spettro di un segnale campionato e mantenuto.

H(fa). Un esempio grafico che mostra le modifiche subite dallo spettro di un se-gnale x(t) a causa delle operazioni di campionamento e mantenimento, riportatoin figura 2.6.

Si pu osservare che dopo il blocco di sample and hold non pi possi-bile ricostruire perfettamente il segnale analogico di partenza x(t) mediante unsemplice filtraggio passa-basso ideale. Lo spettro del segnale campionato e man-tenuto subisce una distorsione che pu anche essere irreversibile. Nella pratica siusa un filtro che compensi la distorsione introdotta dal filtro h(t), invertendo lasua risposta in frequenza nellintervallo

[fc2 ; +fc2

]. Il filtro di compensazione

possiede una funzione di trasferimento pari allinverso di H(fa) nellintervallo incui cade lo spettro del segnale x(t), vale a dire:

H2(fa) =

{e+jpifaTc

sinc(faTc) , |fa| 2fo p < N2 .Questa condizione equivale ad imporre di estrarre pi di due campioni per pe-riodo To della sinusoide. Si noti che, se fc = 2fo, i due lobi sin(pi(fafo)Ts)pi(fafo) esin(pi(fa+fofc)Ts)

pi(fa+fofc) si sovrappongono tra loro nella frequenza fo.2. Se N un parametro libero della DFT, allora necessario scegliere fc in modo

da evitare laliasing tra i due lobi sinc(). Nellipotesi di scegliere fc = pffo,con pf > 2 per evitare laliasing, allora i campioni estratti nella sinusoide neltempo sono spaziati della quantit 1fc = Tc =

1pffo

, da cui si ottiene:

Tc =Topf To = pfTc.

E chiaro dunque che pf rappresenta il numero di campioni per periodo dellasinusoide. Ricordando che Ts = pTo, si ottiene una condizione che lega N aiparametri p e pf :

Ts = p To = p pfTc N = p pf .E opportuno scegliere p e pf in modo tale che il prodotto p pf sia un numerointero.

Esempio 4.4 si valuti la DFT del segnale periodico x(t) = cos(2pifot), confo = 100 Hz.Soluzione: seguendo le regole generali dedotte in precedenza, si deve scegliereun multiplo intero di periodi di x(t), a partire da t = 0, dal quale estrarre Ncampioni su cui applicare la DFT. Innanzitutto si deve scegliere una frequenzadi campionamento almeno pari a due volte fo. Ad esempio, si pu sceglierefc = 4 fo = 400 Hz. Nellipotesi di campionare x(t) su k = 4 periodi, sidevono estrarre N = kfoTc = 16 campioni da t = 0 sino a t =

kfo

.

120 Capitolo 4

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.041

0.5

0

0.5

1

t

x(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

f

|X(f)|

Figura 4.12 Campioni estratti dal segnale x(t) = cos(2pifot) e spettro valutatocon la DFT.

Si noti che i due campioni non nulli dello spettro si trovano in corrispondenzadelle frequenze numeriche fofc = 0.25 e 1

fofc= 0.75.

Infine, si noti che i due campioni estratti dalla DFT sono pari a N = 16 volte ivalori dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier, i quali valgono:

n =1To

To0

cos(2pifot)ej2pi n

Totdt =

ejpi(1n)

2sin(pi(1 n))pi(1 n) +

ejpi(1+n)

2sin(pi(1 + n))pi(1 + n)

(4.24)I coefficienti n valgono zero n 6= 1. Inoltre, 1 = 1 = 12 . Si ricordiche lindice n indica la frequenza nTo dellennesima armonica dello sviluppo inserie di Fourier. I campioni restituiti dalla DFT sono mostrati in figura 4.12.

Esempio 4.5 si valuti la DFT del segnale x(t) = 1 + 2 cos(2pifot), con fo =50 Hz.Soluzione: innanzitutto si deve scegliere una frequenza di campionamento pariad almeno due volte fo, la frequenza massima dello spettro del segnale x(t).Ad esempio, si pu scegliere fc = 4 fo = 200 Hz. Nellipotesi di campionarex(t) su k = 4 periodi, si devono estrarre N = kfoTc = 16 campioni da t = 0sino a t = kfo .Si noti che i tre campioni non nulli dello spettro si trovano in corrispondenzadelle frequenze 0, fofc = 0.25 e 1

fofc= 0.75.

Infine, si noti che i due campioni estratti dalla DFT sono pari a N volte i valoridei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier. I coefficienti n valgono zero

Analisi in Frequenza di Segnali a Tempo Continuo Campionati 121

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.081

0

1

2

3

t

x(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

f

|X(f)|

Figura 4.13 Campioni estratti dal segnale x(t) = 1+2 cos(2pifot) e spettro valutatocon la DFT.

n, tranne 0 = 1, 1 = 1 = 1. I campioni restituiti dalla DFT sonomostrati in figura 4.13.

Gli esempi precedenti si riferivano a segnali periodici ma con spettro a bandalimitata, vale a dire nullo oltre una particolare frequenza Bx

122 Capitolo 4

sua trasformata di Fourier vale:

X(fa) =12

+n=

sin(pin2

)pin2

ejpi2n

(fa n

To

)=

12

+n=

sinc(n2

)ej

pi2n

(fa n

To

)(4.26)

dove To = 1 s. Inoltre, i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier per ilsegnale in esame valgono:

n =1To

To0

x(t)ej2pinTotdt =

1To

To2

0ej2pi

nTotdt =

ejpi2n

2sinc

(n2

)(4.27)

Per lanalisi in frequenza possiamo impiegare i risultati dedotti in precedenza.Osservando le ampiezze delle componenti spettrali del segnale, si nota che lanona portante possiede unampiezza in modulo pari a 12sinc(4.5) 0.035, de-cisamente inferiore allampiezza 1/2 della componente continua del segnale.Possiamo, perci, pensare di contenere laliasing in frequenza sino alla decimaportante. Questo significa che dobbiamo scegliere fc = 8 10To = 80 Hz, e,perci, dobbiamo estrarre fcTo = 80 campioni in un periodo di durata 1 s.Inoltre, dobbiamo prestare attenzione al fatto che il segnale x(t) va regolariz-zato assegnandone il valore 1/2 nei due istanti di tempo t = 0 e t = To/2 incui presenta discontinuit di prima specie. Con questa scelta dei parametri, laDFT restituisce i valori riportati in figura 4.14, dove anche riportato landa-mento dei campioni estratti dal segnale regolarizzato. E evidente che leffettodellaliasing intorno alla frequenza f = 0.5 appare decisamente contenuto.Si noti come i campioni della DFT risultano pari a N volte i coefficienti ndello sviluppo in serie di Fourier.

Nella pratica possono esistere casi in cui non si riesca ad individuare il perio-do To di un segnale. Per evitare che si manifesti in modo accentuato leffetto deldisadattamento tra lestensione periodica del segnale dovuta alla DFT, e la perio-dicit spettrale intrinseca dovuta al campionamento, conviene estrarre un numerosufficientemente grande di campioni in modo tale da osservare il segnale su unarco temporale elevato.

Analisi in Frequenza di Segnali a Tempo Continuo Campionati 123

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x(t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

f

|X(f)|

Figura 4.14 Campioni estratti dal segnale periodico e relativo spettro valutato conla DFT.

124

5I sistemi Lineari Tempo Invarianti a Tempo

Discreto

Lelaborazione dei segnali a tempo discreto condotta attraverso i sistemi a tempodiscreto. La descrizione del comportamento di tali sistemi dipende dal modo in cuireagiscono a dei specifici segnali dingresso. In ambito pratico, la classe di sistemipi impiegata quella dei sistemi lineari e tempo invarianti (LTI), o stazionari, ilcui comportamento nel dominio del tempo espresso da una funzione specifica,la risposta allimpulso h(n).

Lanalisi dei sistemi LTI pu essere condotta attraverso tre modi alternativi.Generalmente, un sistema qualsiasi risponde ad una sequenza dingresso secon-do quanto espresso dalla cosiddetta relazione ingresso-uscita (I/O), una relazionematematica che lega il segnale a tempo discreto in ingresso al sistema, al segnalein uscita. Quando tale relazione lineare e stazionaria, allora lanalisi del si-stema pu essere condotta nel dominio del tempo discreto attraverso la rispostaallimpulso, ovvero nel dominio delle frequenze numeriche attraverso la rispostain frequenza.

Il capitolo verte sullanalisi dei sistemi LTI nei domini del tempo discreto edelle frequenze numeriche.

5.1 Classificazione dei sistemi a tempo discretoUn sistema a tempo discreto un dispositivo che trasforma una sequenza x(n) iningresso in una sequenza y(n) duscita, secondo quanto descritto da un operatoreL []1:

y(n) = L [x(n)]

In base alla espressione matematica delloperatore L [] possibile distinguere iseguenti sistemi a tempo discreto.

Sistemi Lineari: sono i sistemi la cui relazione I/O soddisfa il principio di so-vrapposizione degli effetti secondo cui la risposta ad una combinazione lineare

1Dora in poi indicato con lacronimo I/O.

126 Capitolo 5

sistemalineareL[x(n)]

x (n)

n0 1 2 3 4 ...

y (n)=L[x (n)]

n

1

2

1

1 1

2

1

0 1 2 3 4 ...

sistemalineareL[x(n)]

x (n)

n0 1 2 3 4 ...

y (n)=L[x (n)]

n

2

2

1

2 2

2

1

0 1 2 3 4 ...

sistemalineareL[x(n)]

x (n)+

n0 1 2 3 4 ...

y(n)=L[x (n)]+L[x (n)]

n

2

2

1

31

0 1 2 3 4 ...

x (n)1 2

2

1

3

Figura 5.1 Esempio del comportamento di un generico sistema lineare in pre-senza di una sequenza x(n) che pu essere scomposta in due sequenzex1(n) e x2(n), alle quali il sistema risponde con le sequenze y1(n) e y2(n),rispettivamente.

x1(n) + x2(n) di ingressi corrisponde alla combinazione delle risposte del siste-ma ad ogni singolo ingresso. Dal punto di vista matematico, questa propriet siformalizza come segue: dati due numeri reali 1 e 2 arbitrari, allora deve valerela seguente relazione:

L [1 x1(n) + 2 x2(n)] = 1 L [x1(n)] + 2 L [x2(n)] (5.1)per qualunque possibile combinazione di segnali dingresso x1(n) e x2(n).

La linearit permette di elaborare la risposta ad una sequenza dingresso pio meno complicata, ma che pu essere scomposta in una combinazione pesata disegnali a tempo discreto elementari, in modo semplice: la risposta pari alla com-binazione delle risposte ad ogni singolo segnale elementare presente allingressodel sistema come se laltro segnale fosse assente. Un esempio del comportamen-to di un sistema lineare ad un ingresso x(n) che pu essere rappresentato comex(n) = x1(n) + x2(n) riportato in figura 5.1.

Sistemi tempo invarianti o stazionari: sono i sistemi la cui relazione I/O produ-ce un segnale duscita y(n) che dipende solo dalla forma del segnale dingresso,x(n), e non dagli istanti di tempo in cui x(n) applicato al sistema. In altritermini, se lingresso al sistema viene ritardato di una quantit no, allora lusci-ta risulta ritardata della medesima quantit. Matematicamente, la condizione distazionariet si for