(ebook - pdf)[ingenieria][fisica] libro upc- campos electromagnÉticos - muy bueno

Campos electromagnticosDios Otn, Federico Artigas Garca, David Recolons Martos, Jaume Comern Tejero, Adolfo Canal Bienzobal, Ferran

Presentacin

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PresentacinEste libro fue concebido inicialmente como una transcripcin, ligeramente reelaborada, de los apuntes de clase que, en los ltimos aos, se han venido impartiendo en la asignatura de Campos electromagnticos, en la Escuela Tcnica Superior de Ingeniera de Telecomunicacin de Barcelona. Nuestra intencin primera fue la de proporcionar a los estudiantes un texto de referencia, en el que se contuviera el armazn terico de la asignatura, junto con numerosos ejemplos y problemas resueltos. Posteriormente esa idea inicial fue modificndose y, al fin, el texto se presenta como un cuerpo terico completo, si bien se sigue ciendo principalmente a aquellos contenidos que son relevantes dentro de la asignatura. Probablemente es pretencioso, e incluso ingenuo, decir que el libro viene a llenar un hueco dentro de la literatura cientfica dedicada a la teora electromagntica, que es amplsima. S se puede afirmar, sin embargo, que muchos de los textos clsicos han quedado como libros de consulta, y , a menudo, para el profesor o el especialista, ms que para el estudiante que trata de introducirse por vez primera, y con cierto rigor, en estos temas. Esto es as porque suelen enfocarse las cuestiones desde presupuestos conceptuales y de mtodo, por encima de las posibilidades reales de un alumno de pregrado. En el texto hemos tratado de buscar un equilibrio adecuado entre la explicacin de los fenmenos fsicos y su descripcin formal. Aun as somos conscientes de que el estudiante, en ocasiones, puede llegar a pensar que la dificultad real de algunos temas es ms matemtica que fsica. Esta percepcin est justificada, pero slo parcialmente: debe admitirse que la propia materia que es objeto de estudio -los campos y las ondas electromagnticas- son realidades complejas, en s mismas y en sus interrelaciones con los cuerpos materiales, y que precisan de una herramienta poderosa para ser abarcadas en un modelo compacto. Tal herramienta es el anlisis vectorial. Todava nos atreveramos a aadir que sin un enfoque formal no es posible alcanzar una comprensin, ni siquiera mediana, de los fenmenos fsicos que aqu se tratan. Es por eso que el estudiante debe tratar de hacer una doble ascensin, a medida que avanza en la materia, para comprender, por un lado, la esencia del problema fsico, y, por otro, cmo la descripcin formal con que se presenta es apropiada y abarca perfectamente todos los aspectos de la cuestin. En algn momento esta tarea puede resultar ms difcil, y el estudiante no sabe cul de los apoyos -el fsico-conceptual o el matemtico-formal- le est presentando dificultades. A lo largo del texto hemos tratado de

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la Unin Europea.

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Campos electromagnticos

dar las suficiente pistas como para que esos problemas puedan ser superados con una relectura atenta de algunos de los prrafos previos a aqul en el que se present la dificultad. El texto est dividido en seis captulos. El captulo primero es un repaso de Electrosttica y Magnetosttica. Sirve como introduccin a los contenidos y herramientas utilizados en el resto del libro, y el alumno est ya suficientemente familiarizado con muchos de sus contenidos, que se han visto en cursos anteriores de Fsica. La asignatura de Campos electromagnticos, tal como se ve en muchas escuelas tcnicas, y particularmente en la ETSET de Barcelona, comienza con el captulo segundo. En l se tratan las ecuaciones de Maxwell, de su significado fsico y de los principios de ndole ms general que se derivan de ellas, que se aplican profusamente de all en adelante. El captulo tercero est dedicado a las ondas planas uniformes, y constituye el meollo de la asignatura, porque a pesar de no ser un tema de especial dificultad, es la base inmediata para el estudio de muchos otros fenmenos de inters prctico en el rea de la Telecomunicacin. El captulo cuarto trata de la incidencia de ondas planas sobre medios materiales. Como es habitual se reduce a los casos sencillos de incidencia sobre superficies planas. De nuevo se trata de un tema muy asequible, pero que plantea situaciones de elevado inters conceptual y prctico. Los dos ltimos captulos estn dedicados a cuestiones ms aplicadas, como son la propagacin guiada (captulo quinto) y la radiacin de antenas elementales y de tipo dipolo (captulo sexto). Estos dos ltimos temas constituyen una introduccin inmediata a algunas asignaturas de cursos posteriores. Para finalizar, cabe tan slo pedir comprensin al lector por los posibles errores o deficiencias que pueda hallar en el texto, que, en cualquier caso, ha sido cuidadosamente revisado. Las diferencias de estilo que pueden detectarse a lo largo del libro obedecen a que la redaccin de cada captulo ha sido realizada por un autor diferente, si bien con un acuerdo general previo acerca de los contenidos. En las revisiones conjuntas posteriores no hemos tratado de limar esas diferencias, que son legtimas y dan, incluso, mayor riqueza a la obra. Lo mismo puede decirse respecto a posibles repeticiones de algunos conceptos en diferentes captulos. Pensamos que conviene dejarlas para hacer ms asequible la introduccin de los nuevos temas que van apareciendo. No podemos dejar de agradecer el nimo constante que hemos recibido de algunas de las personas de Ediciones UPC, que publica esta obra. Tambin queremos reconocer la tarea y las aportaciones de otros profesores del Departamento, como son Llus Torner, Juan P. Torres y Jordi Hernndez, que en aos anteriores han impartido la asignatura de Campos, y que no han tenido tiempo material para embarcarse personalmente en la confeccin del libro.

Los autores Barcelona, julio de 1998.

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.

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ndiceCaptulo 1 Campos elctricos y magnticos en condiciones estticas1.1 El campo elctrico en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ley de Coulomb. Definicin de campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Cargas puntuales y distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Potencial elctrico. Carcter conservativo del campo electrosttico . . . . . . . . . 1.1.5 Representacin espacial del campo y del potencial: lneas de campo y superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Relacin entre el potencial elctrico y la densidad de carga . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7 El campo elctrico y el potencial en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.8 El campo elctrico en la superficie de un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.9 Problemas de potencial. Ecuaciones de Laplace y Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.10 Condiciones que determinan el campo en una regin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.11 Energa electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 Energa electrosttica asociada al campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.13 Aproximacin del potencial a grandes distancias. Desarrollo multipolar del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.14 Dipolo real y dipolo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 El dipolo ideal en presencia de campos elctricos externos . . . . . . . . . . . . . . 1.2 El campo electrosttico en presencia de medios dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Vector polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Relacin entre el vector polarizacin y el campo elctrico. Tipos de dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Ley de Gauss en medios dielctricos. Vector desplazamiento elctrico . . . . . . 1.2.4 Ecuacin de Poisson generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Energa electrosttica en presencia de medios dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Sistemas de conductores. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 21 23 26 27 30 35 37 43 48 50 52 57 58 58 59 61 63 68 70 71


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1.3 El campo magnetosttico en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Densidad e intensidad de corriente. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Ecuacin de continuidad. Corrientes estacionarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Carcter solenoidal del campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Ley de Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Clculo de B mediante la ley de Ampre en forma integral . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Aproximacin de B a grandes distancias. Momento dipolar magntico . . . . . . 1.4 Campos magnticos en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Fuerzas sobre un dipolo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Vector magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Densidades de corriente de magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Ley de Ampre en medios magnticos. Intensidad de campo magntico . . . . . 1.4.5 Relacin entre el campo magntico y el vector magnetizacin . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Tipos de medios magnticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Flujo magntico, inductancia y energa magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Captulo 2 Ecuaciones de Maxwell2.1 Ecuaciones de Maxwell en forma integral en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Ley de Gauss para el campo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Ley de Gauss para el campo magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Ley de Ampre-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Principio de conservacin de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Significado del rotacional y de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ecuaciones de Maxwell en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Campos en presencia de medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Materiales dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Materiales magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo en medios materiales . . . . . 2.4 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Continuidad de los campos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Continuidad de los campos magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 122 123 124 128 132 134 134 135 142 148 148 151 156 161 162 163 167


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2.5 Energa de los campos electromagnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Potencia aplicada sobre portadores de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Principio de conservacin de la energa. Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . 2.6 Aproximacin esttica de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Electrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Ecuaciones de Maxwell en rgimen senoidal permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Fasores y campos instantneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Ecuaciones de Maxwell en R.S.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Fasores y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Captulo 3 Ondas planas uniformes 3.1 Ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Ondas planas uniformes con dependencia espacio-temporal arbitraria . . . . . . . 3.2 Ondas planas uniformes en rgimen senoidal permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ecuacin de onda en rgimen senoidal permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Solucin correspondiente a la onda plana uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Caractersticas de la onda plana uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Densidad de flujo de potencia asociada a la onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Polarizacin de ondas planas uniformes en R.S.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Descripcin matemtica de la polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Caractersticas de la elipse de polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Casos especiales: polarizacin lineal y polarizacin circular . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Propagacin de ondas planas uniformes en medios con prdidas . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Permitividad y permeabilidad complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Ondas planas uniformes en un medio con prdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Casos lmite: buen dielctrico y buen conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 205 213 218 219 223 238 242 242 247 253 260 260 264 269 277

Captulo 4 Incidencia de ondas planas sobre medios materiales4.1 Introduccin. Condiciones de contorno de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . 4.2 Incidencia normal sobre conductores perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Reflexin en la superficie de un conductor perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Incidencia normal sobre medios dielctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Reflexin y transmisin en la superficie de un medio dielctrico . . . . . . . . . . . 4.3.2 Ondas parcialmente estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 284 284 294 299 299 304


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4.4 Incidencia oblicua sobre conductores perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Ondas estacionarias mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Incidencia oblicua sobre dielctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Leyes de Snell para la reflexin y la refraccin de ondas planas . . . . . . . . . . . 4.5.2 Ecuaciones de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 ngulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 ngulo crtico. Reflexin total en un dielctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Incidencia sobre un buen conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Incidencia normal en multicapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Impedancia de onda generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Coeficiente de reflexin generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Captulo 5 Guas de onda5.1 Guas de onda y lneas de transmisin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Guas conductoras de seccin rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Modos de tipo transversal elctrico (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Modos de tipo transversal magntico (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Modos guiados y modos en corte. Curvas de dispersin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Modo dominante TE10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Potencia transmitida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.6 Atenuacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Guas conductoras de seccin circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Modos TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Modos TE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 El cable coaxial. Modos TEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Cavidades resonantes de paredes conductoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Modos TE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Modos TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Factor Q de la cavidad y energa almacenada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Guas de onda dielctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Guas dielctricas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Modos TE y modos TM. Curvas de dispersin. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Modos guiados y modos radiados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Fibras pticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 370 373 375 377 380 381 382 384 385 387 388 390 391 393 393 395 396 397 404 405 408


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Captulo 6 Radiacin de antenas elementales6.1 Fundamentos de la radiacin electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Fuentes de radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Potenciales dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Ecuaciones de los potenciales en rgimen senoidal permanente . . . . . . . . . . . . 6.2 Dipolo elctrico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Densidad de carga y corriente en el dipolo elctrico oscilante . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Potencial vector generado por el dipolo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Clculo de los campos E y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Campos radiados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Caractersticas de radiacin del dipolo elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 Campos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Radiacin simultnea de dos dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Campo radiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Resistencia de radiacin y ganancia directiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Radiacin de una antena larga de tipo dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Emisin en campo lejano: generalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 415 416 419 420 420 421 424 425 426 429 430 431 432 436 438 440

Anexo A: Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Anexo B: Frmulas de anlisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Anexo C: Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

Anexo D: La distribucin delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 Soluciones a los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 ndice alfabtico de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471


1 Campos elctricos y magnticos en condiciones estticas

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1 Campos elctricos y magnticos en condiciones estticasEn este primer captulo se revisarn los conceptos fundamentales de la teora electromagntica en condiciones estticas, esto es, sin considerar variaciones temporales en las fuentes ni en los campos producidos por ellas. A pesar de la evidente limitacin de este anlisis, lo cierto es que resulta muy instructivo, porque revela la naturaleza y las caractersticas esenciales de los campos y de las dems magnitudes fsicas relacionadas. En la realidad muchos fenmenos electromagnticos no se desarrollan en condiciones estticas, pero sus variaciones temporales son lentas en comparacin con los tiempos propios de los fenmenos bsicos y de los medios materiales que intervienen, por lo que en esas ocasiones bastara con asignar a los campos las mismas variaciones temporales de las fuentes, una vez calculados aqullos mediante los mtodos propios del anlisis esttico. Se ha pretendido que este captulo sirva en buena medida de repaso a cuestiones que ya se han visto en cursos anteriores de Fsica y, a la vez, se busca introducir al lector en la metodologa, la notacin y el tipo de herramientas matemticas que se utilizan a lo largo de todo el libro.

1.1 El campo elctrico en el vaco1.1.1 Ley de Coulomb. Definicin de campo elctrico La ley de Coulomb cuantifica la fuerza que ejercen entre s dos cuerpos cargados elctricamente, la cual aparece como un dato de experiencia. Consideremos dos cuerpos cargados, con cargas q1 y q2 respectivamente, de dimensiones reducidas respecto a la distancia que los separa, d. Se comprueba que la fuerza que cada uno de ellos ejerce sobre el otro es: F12 = F21 = 1 q1 q 2 4 0 d 2 (1.1)

donde el subndice 12 quiere decir sobre 1 debido a 2. La direccin en que se ejercen tales fuerzas es la de la lnea que une ambas cargas. 0 es la permitividad dielctrica del vaco, de

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la Unin Europea.

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valor 8,85418 Faradios / metro (F/m). La fuerza ejercida sobre un cuerpo no parece tener una existencia real si la separamos del objeto sobre el que acta. Sin embargo, en teora electromagntica se trabaja con el concepto de campo, como fuerza ejercida por unidad de carga, independientemente de si est causando o no algn efecto sobre otros cuerpos prximos: se define el campo elctrico E ( r ) en un punto r del espacio, creado por un cuerpo cargado, como la fuerza que ejercera sobre la unidad de carga positiva si estuviera situada en dicho punto. Habitualmente se expresa en forma de lmite, queriendo indicar que dicha carga de prueba no altera la distribucin original de cargas cuyo campo medimos. E (r ) = lim q p0 F qp ( N C ) = (V m) (1.2)

1.1.2 Cargas puntuales y distribuciones de carga Cuando se consideran los efectos elctricos de un cuerpo cargado a distancias mucho mayores que sus propias dimensiones podemos hacer la suposicin de que se trata de un objeto de dimensiones despreciables, y que ocupa un nico punto del espacio. Esta idealizacin recibe el nombre de carga puntual. La carga puntual se caracteriza por el valor de su carga elctrica y la posicin que ocupa respecto a un determinado sistema de coordenadas. El campo elctrico creado por una carga puntual, de acuerdo con la definicin de campo del apartado anterior y la ley de Coulomb, debe ser: E (r ) = 1 4 0 q r r0 r r0 r r0 (1.3)

2

donde r es el punto en que medimos el campo y r0 es la posicin de la carga puntual de valor q. El vector r r0 dividido por su mdulo es el vector unitario que indica la direccin del campo. Las fuerzas que diferentes causas fsicas ejercen en un punto de un determinado objeto se suman vectorialmente para dar lugar a una fuerza resultante nica. El principio de superposicin es aplicable a los campos creados por diferentes distribuciones de carga. El campo elctrico creado por una distribucin de cargas puntuales qi situadas en puntos ri ser: qi r ri 1 E (r ) = (1.4) 4 0 i r r 2 r ri i



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con la nica salvedad de que si medimos en un punto r = ri , donde est situada una de las cargas, debera eliminarse la contribucin de esa carga qi, puesto que una carga puntual no ejerce fuerza alguna sobre s misma.El estudio de los sistemas de cargas puntuales suele ser un primer paso para abordar otras situaciones ms generales. Usualmente la carga se distribuye en la materia semejando un continuo de carga. Para expresarlo matemticamente se definen las densidades de carga. La densidad volmica de carga es: dq (r ) = dv

(C m3 )

(1.5)

definida en el volumen del cuerpo cargado y nula fuera de l. En muchas ocasiones la carga tiende a concentrarse especficamente en la superficie del medio, por lo que debe utilizarse la densidad superficial de carga: dq (r ) = ds

(C m2 )

(1.6)

El campo elctrico creado por un diferencial de carga situado en un punto r es: dE (r ) = dq 3 (r r ') 4 0 r r ' 1 (1.7)

y atendiendo a la totalidad de la carga que pueda estar presente en un medio continuo, utilizando (1.5) y (1.6): E (r ) = (r ) (r r ' ) (r ) (r r ' ) dv ' + ds' 3 3 s' 4 0 v ' r r' r r' 1

(1.8)

En la ecuacin (1.8) se utiliza la notacin habitual a lo largo de todo el libro cuando aparezcan procedimientos integrales: r representa el punto de campo: all donde se evala la magnitud fsica; r ' es el punto de fuente, y depende de las variables de integracin. Esta ecuacin es el primer resultado con aplicacin inmediata para el clculo del campo. Cuando se conoce la distribucin de carga y se obtiene el campo elctrico mediante la ecuacin (1.8) se dice que se est aplicando un mtodo de integracin directa.


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Ejemplo 1.1: Calcule el campo elctrico creado por un plano muy extenso en el que existe una densidad superficial de carga homognea. Consideremos un plano de carga de extensin ilimitada como el mostrado en la figura. Trataremos de calcular la magnitud del campo elctrico que crea en un determinado punto situado a una distancia d del plano. Por comodidad situaremos el origen de coordenadas bajo el punto donde buscamos el campo, pues es equivalente a cualquier otra eleccin. Los radiovectores r ' que sealan a los diferentes diferenciales de carga podemos tomarlos por parejas, opuestos respecto al origen, para poner de manifiesto la simetra del problema: se comprueba que el campo total debe ir dirigido en la direccin perpendicular al plano, pues cualquier otra componente se cancelar al integrar.

Za dE r-r' r s0 r' d

Y

X

ds '

Fig. 1.1 Plano infinito con densidad de carga superficial constante dE ( r ) =

La expresin diferencial es r donde cos = . r r'

0 ds' 3 (r r ' ) 4 0 r r '1

y dE z = dE cos

De all llegamos a E z (r ) =

1 4 0

S

0 r ds' 3 . r r'

Despus de obtener la integral que debe resolverse el siguiente paso consiste en escribir correctamente las variables y los diferenciales:



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r =dz

r ' = x' x + y' y

ds' = dx ' dy '1 r r ' = ( x' 2 + y' 2 +d 2 ) 2

r r ' = x' x y' y + d z

0 y finalmente se obtiene E z ( r ) = 4 0

d

( x'

2

+ y' 2 +d 2

)

3

dx ' dy ' .2

Esa integral se resuelve fcilmente utilizando coordenadas polares sobre el plano. El resultado es: 0 E (r ) = z 2 0V m

El campo final es constante e independiente de la posicin en que lo midamos (salvo el signo cambiado a un lado y otro del plano). Esto tiene sentido, ya que al ser un plano de extensin infinita no existe trmino de comparacin para saber si se est cerca o lejos de l.

Ejemplo 1.2: Clculo del campo elctrico creado por una esfera de radio R cargada con una densidad volmica constante.

ZdE

r-r' r R 0

' r'

dv '

Y

XFig. 1.2 Simetras en el clculo del campo creado por una esfera con densidad de carga homognea


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Al igual que en el ejemplo precedente ocurre que las contribuciones diferenciales de los diferentes puntos del volumen se cancelan parcialmente. La componente final de campo deber ser radial. Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera. Nos limitaremos a calcular el campo sobre un punto del eje Z, que al fin es igual a cualquier otro punto: el campo final slo puede depender de la distancia a la esfera y todas las direcciones radiales son equivalentes.

dE z (r ) = dE (r ) cos

y cos =

r r ' cos ' . r r'

0 La integral que debe calcularse es E z (r ) = 4 0 1 donde r r ' =( x '2 + y '2 + ( d z ')2 ) 2 .

r r ' cos ' 3 dv ' r r' v

Por la geometra del problema es ms adecuado utilizar coordenadas esfricas:

x ' = r ' sen ' cos ' y ' = r ' sen ' sen ' z ' = r ' cos ' 0 La integral resultante es: E z (r ) = 4 02

0 0 0

R

( d r ' cos ' ) r ' 2 sen ' dr ' d ' d ' ( r ' 2 2dr ' cos '+ d 2 )3 2

que, a pesar de su aparente dificultad, puede resolverse con un cambio de variable: r ' 2 2dr ' cos '+ d 2 = t 2 El resultado final es: 2 dr ' sen ' d ' = 2tdt

0 R 3 3 r 2 r 0 E (r ) = 0 r r 3 0

si r > R si r < R



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1.1.3 Ley de Gauss Se comprueba que, en cualquier situacin e independientemente de la forma de la distribucin de carga que produce el campo, el flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada es proporcional a la carga neta contenida en el volumen interior:

S

1 QT S = E ( r ) ds = 0 0

v

( r ) dv

(1.9)

Esta relacin recibe el nombre de ley de Gauss. Puede demostrarse fcilmente a partir de la expresin integral de E si se recuerda el concepto de ngulo slido:

S

E ( r ) ds = =

1 4 0 1

S

(r ') ( r r ) 3 dv ' ds = v' r r ' ( r r ) ds ' 3 dv ' S r r'

4 0 v '

(r ' )

porque el trmino que ahora aparece en la integral de superficie es la definicin del ngulo slido subtendido por un ds, situado en una posicin r , respecto al vrtice situado en r . Entonces:

( r r ) ds 4 3 = 0 S r r'

para puntos r interiores a S para puntos r exteriores a S

(1.10)

por lo que la ecuacin (1.9) se satisface. La ley de Gauss en su forma integral tiene gran inters para deducir otras propiedades del campo elctrico en contextos particulares, y la utilizaremos con frecuencia en lo sucesivo. Tambin tiene enorme utilidad para el clculo directo del campo elctrico, aunque slo en aquellos problemas donde las distribuciones de carga son suficientemente simtricas.

Ejemplo 1.3: Obtngase el campo elctrico producido por una superficie esfrica de radio R cargada con una densidad superficial de carga homognea 0 . Debido a la simetra de la distribucin de carga el campo elctrico ha de ser de la forma: E (r ) = E r (r )r .


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La existencia de otras componentes ( E y E ) o la dependencia con los ngulos esfricos no parecen posibles en est situacin (Fig. 1.3). Entonces la ley de Gauss permite obtener el campo:

0 R r

S

E ds =

S

QT E r (r ) r ds =

S

0

r

Se elige una superficie cerrada donde realizar el clculo (superficie gaussiana), en la que el campo elctrico tenga un valor constante en mdulo. Para este problema es una superficie esfrica de radio r arbitrario.

Fig. 1.3

2

E r ( r ) r 2 d sen d =0 0

QT

S

0

QT

S

4 R 2 0 = 0

r>R rR r R 0 E (r ) = 0 r r r R

(r ) = 0 r 2 + C1 6 0

R3 (r ) = 0 + C2 3 0 r

Para calcular las constantes C1 y C2 disponemos de dos condiciones: el potencial debe cancelarse en el infinito; ha de ser continuo en r = R. El resultado final es: rR

(r ) = 0 ( 3R 2 r 2 ) 6 0

R3 (r ) = 0 3 0 r

1.1.5 Representacin espacial del campo y del potencial: lneas de campo y superficies equipotenciales La representacin grfica de los fenmenos elctricos se realiza mediante lneas de campo y superficies equipotenciales. Las lneas de campo son trayectorias continuas tangentes en cada punto del espacio al vector campo elctrico. En problemas estticos, tales como los que estamos considerando, tienen su origen siempre en cargas positivas (o en el infinito) y su final en cargas negativas (o en el infinito). Esto es obligado, puesto que lo que describen es la trayectoria que seguira una carga positiva abandonada a la accin del campo. En coordenadas cartesianas un campo tiene la forma: E (r ) = E x (r ) x + E y (r ) y + E z (r ) z y el diferencial de longitud genrico es: dl = dx x + dy y + dz z

Las ecuaciones diferenciales que deben resolverse para obtener las trayectorias de las lneas de campo son las que resultan al imponer la condicin de paralelismo:



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dx Ex

=

dy Ey

=

dz Ez

(1.16)

La densidad de lneas debe tomarse proporcionalmente a la intensidad del campo en cada zona del espacio. Por otro lado, las superficies equipotenciales son el conjunto de los lugares geomtricos del espacio en los que el potencial toma el mismo valor: (r ) = donde se eligen los valores para 0 i

i = 0, 1, 2,... ,2

(1.17)

,

1

, segn el criterio de representacin que se

quiera adoptar. Las superficies equipotenciales y las lneas de campo son perpendiculares all donde se cruzan: es una consecuencia necesaria de la relacin entre campo elctrico y potencial.

1.1.6 Relacin entre el potencial elctrico y la densidad de carga El potencial puede obtenerse directamente a partir de las densidades de carga del problema. Sustituyamos la ecuacin (1.8) en (1.13):

1 (r ) = 4 0

( r ' )(r r ') 1 3 dv ' r dr = 4 v' r r' 0

v'

(r ')

(r r ') r dr dv ' 3 r r'

El problema, por tanto, consiste en resolver la ecuacin en r de esa expresin. Resulta algo largo y no lo haremos aqu, pero se propone al lector como ejercicio. El resultado es: (r r ') r 1 3 dr = r r' r r'

Sustituyendo arriba obtenemos: (r ) = 1 4 0

v'

(r ) dv ' r r'

(1.18)

que es la expresin integral del potencial.


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Ejemplo 1.6: A la vista de la ecuacin (1.18) deduzca la forma del potencial elctrico creado por una carga puntual situada en un punto r0 . La relacin entre el campo y el potencial es de integracin-derivacin, y, consecuentemente, lineal. El principio de superposicin es vlido para el potencial. De la expresin (1.18) se deduce que la contribucin al potencial total de cada diferencial de carga es: dq 1 d (r ) = con dq = (r ') dv ' 4 0 r r ' Si tenemos una carga puntual el potencial creado en cualquier punto del espacio debe ser: (r ) = q 4 0 r r0 1 (1.19)

Ejemplo 1.7: Obtenga el campo y el potencial creados por dos cargas puntuales de valores +q y -q situadas sobre el eje Z en las posiciones + S 2 y S 2 . Realice una aproximacin para el caso en que nos situemos en puntos muy alejados de las cargas. La expresin del potencial es: (r ) =

1 1 . S 4 0 r S z r+2z 2 q

Para hacer la aproximacin a grandes distancias trabajaremos con esa funcin.

r S z = x 2 + y 2 + (z 2

(

S 2 2

)

) = (r1 2

2

sz +

S2

4)

1

2

= r 1 s

(

Z r2

+

S2 4r 2

)

1

2

si r >> s podemos hacer la siguiente aproximacin: 1 1 r S z 1 s rZ2 2 r y de all llegamos a:

(

)

12

(1 r1

1 2

s rZ2 =

)

1

r

s

z 2 r31



29

z 1 1 S S s 3 r r2z r+2zLa expresin aproximada para el potencial es: (r ) 1 qsz3

4 0 r

=

1

qs

4 0 r 2

cos

(1.20)

El campo elctrico puede obtenerse ahora a partir del potencial. 1 1 + E (r ) = (r ) = r+ r r sen r 1 r = 4 0 = 1 4 0 E (r ) 2qs r3 qs r2

cos

sen

=0

y de all:

1

qs

4 0 r 3

(2 cos r + sen )

(1.21)

Ejemplo 1.7 (continuacin): Represente grficamente las lneas de campo y las superficies equipotenciales correspondientes al problema anterior. Lneas de campo: Las componentes (esfricas) del campo elctrico son: Er = K 2qs r3

cos

E = K

qs r3

sen

E = 0

y en coordenadas esfricas el diferencial de longitud genrico: dl = dr r + r d + r sen d Por lo que la ecuacin que rige las trayectorias es:


30


dr Er

=

r d E

dr r

=2

cos d sen

=2

d (sen ) sen

y la solucin general: r = C sen 2 , donde la constante C toma valores diversos para las diferentes trayectorias. Superficies equipotenciales: La ecuacin que se obtiene es r 2 = C ' cos . En la figura se muestra la forma de las superficies (lnea delgada) y las lneas de campo (lnea gruesa) en un plano.

Fig. 1.6 Lneas de campo y superficies equipotenciales para un dipolo elctrico orientado verticalmente

1.1.7 El campo elctrico y el potencial en conductores Los conductores se caracterizan por contener en su estructura una muy alta densidad de portadores de carga libres. El modelo microscpico ms sencillo nos muestra al conductor como una red inica de carga positiva rodeada de una nube de electrones. En presencia de campos elctricos esta nube de electrones se desplaza dentro de los lmites del conductor en busca de la posicin de mnima energa (equilibrio estable), en la que las inter- acciones elctricas quedan compensadas.



31

En el equilibrio cesa cualquier fuerza sobre cualesquiera de los portadores mviles en el conductor, y por lo tanto, la primera condicin que debe satisfacerse es: E (r ) 0 r (1.22)

Esa suposicin la aplicaremos siempre en electrosttica y, como veremos en posteriores captulos, tambin es habitual en dinmica (con ondas electromagnticas), aunque con algunas restricciones. La consecuencia inmediata de la ecuacin (1.22) es que la diferencia de potencial entre dos puntos del conductor es siempre nula, y los medios conductores son entonces volmenes equipotenciales. Si elegimos una superficie cerrada cualquiera que englobe un volumen dentro del conductor (Fig. 1.7) y calculamos el flujo del campo elctrico obtendremos:

QT E (r ) ds = 0 S 0

y como ese resultado no depende de la superficie elegida debemos concluir que: (r ) 0conductor

r V

(1.23)

S

Fig. 1.7 Ley de Gauss en el interior de un conductor

El resultado anterior no implica que no haya cargas elctricas en el interior del conductor, puesto que permanece la red inica y los electrones libres; sin embargo, ambas distribuciones de carga se cancelan punto a punto, de manera que no hay carga neta ni efectos elctricos macroscpicos. Podra escribirse: + ( r ) = iones ( r ) + electr . ( r ) 0 Si aplicamos la ley de Gauss a una superficie cerrada que no est ntegramente contenida dentro del medio conductor la situacin es diferente (Fig. 1.8).


32


( r )conductor

E(r)

S

Fig. 1.8 Ley de Gauss aplicada en una superficie S que engloba una parte de la superficie de un conductor

En este caso no debe esperarse que el campo elctrico sea necesariamente cero dentro del volumen definido por la superficie gaussiana; entonces puede existir un flujo de campo a travs de ella, y eso nos indica que en general hay algn tipo de distribucin de carga englobada por la superficie. Existe usualmente en los conductores una densidad superficial de carga elctrica. Aparece cuando el conductor posee una carga global neta distinta de cero (ha sido cargado de algn modo), o por efecto del desplazamiento de la nube electrnica, que se ha redistribuido para neutralizar campos externos que pretendan instalarse dentro del conductor.

Ejemplo 1.8: Una esfera conductora de radio R est cargada con una carga neta Q. Cmo se distribuye esta carga en la esfera? Debe distribuirse exclusivamente por la superficie, puesto que en el conductor en equilibrio no puede haber carga volmica. Adems la densidad superficial de carga ser homognea, como cabe esperar de la simetra del conductor, y porque ya vimos que una densidad esfrica de carga constante no produce campo elctrico neto en los puntos del interior de la esfera (Ej. 1.3), lo que es necesario en este caso al tratarse de un conductor (Ec. 1.22). La densidad superficial de carga dejar de ser homognea si situamos la esfera conductora en el seno de un campo elctrico externo. Ms adelante (ejemplo 1.10) se tratar con detalle este problema.



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( r ) E = 0 E ext E = 0 0 E = E ext + E =0

Fig. 1.9 Densidad superficial de carga en una esfera conductora

Ejemplo 1.9: Considrese una barra conductora cilndrica, de longitud L , radio a, y con carga neta Q. Cmo se distribuye la carga por la superficie de la barra en ausencia de campos externos? Este problema, a pesar de su aparente sencillez, no puede ser resuelto si no es mediante mtodos numricos. Las condiciones que deben satisfacerse son: i) ii )

(r ) ds = Q S (r ) = cte

E (r ) = 0

r barra

Dividimos el conductor en pequeas secciones transversales, de longitud l , de manera que podamos asignar a la superficie lateral de cada seccin i un valor constante de densidad superficial de carga s i (Fig. 1.10). Hacemos la aproximacin adems de que las superficies circulares de ambos extremos de la barra tienen una densidad de carga constante se. Las ecuaciones anteriores se escriben ahora de la forma: 2 a2 e + E ext . izq . +j

i) ii )

2 a l i = Q =1i

N

i =1

j 1

E i = E ext . dcho. +j j

E i = j +1

N

j i


34


ii

N

e

1 2

l

L

Fig. 1.10 Particin de una barra conductora para el clculo de la distribucin de carga por un mtodo numrico La ecuacin ii) es otra forma de escribir que el campo debe ser cero en todos los puntos de la barra: las secciones situadas a la izquierda de una seccin j cualquiera han de producir un campo igual en mdulo (de sentido contrario) al que las secciones de la derecha producen en esa misma seccin. Las expresiones de los campos se pueden tomar en primera aproximacin como:j E ext . izq .

=

1

Eij =

4 0 ( j 1 ) l 2 1 i l 2 a

[

e a2

]

2

j E ext . dcho.

=

1

4 0 ( N j + 1 ) l 2

[

e a2

]

2

4 0 ( j i ) l

[

]

2

donde el clculo del campo se ha realizado en el centro de cada seccin de barra. De esta manera obtenemos un sistema de N/2+1 ecuaciones (si N par), y el mismo nmero de incgnitas. La precisin del clculo es funcin de N, pero tambin mejorar si utilizamos expresiones para el campo menos aproximadas que la escritas arriba. Por ejemplo, esto puede ser especialmente importante cuando se considera la contribucin al campo total sobre una seccin de las secciones ms prximas a ella (i y j cercanos). En ese caso, una mejor expresin es:

1 Eij = a 2 0 2 1 2 2 a + ( j i 2 ) li

[

] [1 2

1 1 a 2 + ( j i + 2 ) 2 l 2 2 1

]



35

La expresin primera es, de hecho, el lmite de esta ltima si se cumple que (j-i) Dl >> a. Por otra parte se sobreentiende que la validez del procedimiento est supeditada a tomar un nmero suficiente de secciones, de modo que a >> Dl . Por ltimo debe sealarse que la consideracin de carga homognea en las bases puede ser insuficiente si la barra es gruesa. En general debera permitirse una variacin radial, descomponiendo cada base en anillos con densidades diferentes.

1.1.8 El campo elctrico en la superficie de un conductor La carga elctrica superficial de un conductor provoca la aparicin de campos elctricos en sus inmediaciones. El campo elctrico es siempre perpendicular a la superficie del conductor, que es una superficie equipotencial. Si no fuese as las cargas superficiales estaran en movimiento continuo, debido a la componente tangencial no nula del campo. En la figura 1.11 se muestra cualitativamente la forma de los campos en las proximidades de un conductor en dos situaciones tpicas.

( r ) (a) E(r) E = E ext + E

= cte

( r )

(b)

= cteE = E

Fig. 1.11 a) Campo elctrico en presencia de un conductor; b) campo elctrico producido por un conductor cargado En la primera de ellas un campo externo provoca la aparicin de una densidad superficial de carga, ( r ) , cuyo campo se suma al campo externo para dar el campo final.


36


En el segundo caso no hay campo exterior pero el conductor est cargado, por lo que produce su propio campo Es , mediante la densidad superficial de carga. La relacin entre la densidad superficial de carga y el valor del campo elctrico en cada punto de la superficie se obtiene como una consecuencia de la ley de Gauss aplicada a este caso particular. Sea una superficie cerrada en forma de cajita, situada de forma que intersecta con la superficie del conductor (Fig. 1.12). Denominamos h a la altura de la cajita y Sb a la superficie de su base.

h E=0 s

Sb

Econductor

Fig. 1.12

El flujo del campo a travs de la superficie gaussiana es:

S

QT E ds =

S

0

=

1

0

Sb

(r ) ds

Si llevamos la expresin al lmite, cuando h tiende a cero y cuando Sb tiende a un valor diferencial dSb, estamos examinando el campo en un punto de la superficie. El campo es nulo en la parte interna del conductor y, por tanto, podemos escribir: 1 E (r ) ds = (r ) dS b 0 y de all:



37

(r ) E (r ) = n 0

(1.24)

donde n es el vector unitario normal a la superficie dirigido hacia fuera del conductor en el punto considerado.1.1.9 Problemas de potencial. Ecuaciones de Laplace y Poisson Las expresiones integrales del campo y del potencial elctricos, como funciones de las densidades de carga [Ecs. (1.8) y (1.18)], son tiles cuando se conocen de antemano tales distribuciones. Sin embargo sta no es con mucho la situacin habitual. Por lo general la presencia de conductores y, como se ver ms adelante, de dielctricos, provoca la aparicin de distribuciones de carga difciles de hallar. Es por eso que el planteamiento tpico de los problemas electromagnticos puede ser integral, pero ms frecuentemente es diferencial. Usualmente nos enfrentaremos a ecuaciones diferenciales que deben resolverse para alguna zona del espacio, y donde tenemos fijadas ciertas condiciones de contorno que debern satisfacerse. En este apartado nos centraremos en las ecuaciones usuales para el campo y el potencial. La ley de Gauss en forma diferencial es: (r ) E = 0 (1.25)

que se obtiene de la expresin integral por aplicacin del teorema de la divergencia. Es la ecuacin diferencial primera para el campo elctrico. A diferencia de la expresin integral ahora tenemos una relacin entre el campo y la densidad de carga que debe cumplirse punto a punto en la zona del espacio que se considere. Es fcil de ver entonces que la condicin que debe satisfacer el campo en aquellos puntos del espacio donde no haya carga elctrica (aunque exista carga en las proximidades) es la de tener divergencia nula. Del carcter conservativo del campo elctrico se deduce la segunda ecuacin, que es: (1.26) E = 0 Esta ecuacin est estrechamente relacionada con la ecuacin (1.14), en la que se expresaba el campo como el menos gradiente del potencial elctrico. En realidad todo gradiente de una funcin escalar es irrotacional (su rotacional es nulo), y viceversa: si un campo vectorial es irrotacional es seguro que podr hallarse una funcin escalar tal que su gradiente coincida con el campo vectorial. Sustituyendo el campo en la ecuacin (1.25) en funcin del potencial tendremos:


38


E = 2

(

)

=2

(r )

0

(1.27)

que se denomina ecuacin de Poisson. La divergencia de un gradiente es la laplaciana, 2 , del campo escalar. En coordenadas cartesianas se expresa sencillamente como: =2

2 x2

+

2 y2

+

2 z2

y fsicamente viene a representar la variacin promedio del potencial en los alrededores inmediatos de cada punto del espacio. En los problemas habituales de potencial esta ecuacin debe resolverse para obtener una solucin genrica, y quedarn dos constantes por determinar mediante condiciones de contorno. Singular importancia tiene la ecuacin diferencial del potencial en aquellos puntos del espacio en los que no hay carga elctrica, denominada ecuacin de Laplace: 2 = 0 (1.28)

La solucin general de esta ecuacin es tambin parte de la solucin de la ecuacin de Poisson, a la que habr que aadir la solucin particular en funcin de la carga elctrica. La expresin en cartesianas de la laplaciana se ha escrito arriba. Para los otros dos sistemas habituales de coordenadas puede consultarse el anexo B.

Ejemplo 1.10: Una esfera conductora sin carga neta, de radio a, se sita en el seno de un campo elctrico constante, de mdulo E0. Obtenga la distribucin final del campo elctrico, el potencial de la esfera y la densidad de carga resultante. Por accin del campo elctrico la nube de electrones de la esfera conductora se redistribuye, acercndose a la superficie en la direccin contraria a la de E . Aparece una densidad de carga superficial no homognea en el conductor. Como tal distribucin no es fcilmente calculable no podemos tratar de obtener E (r ) directamente por procedimientos integrales. La alternativa es obtener la solucin de la ecuacin de Laplace en el espacio que circunda a la esfera: 2 = 0 para r>a. Tomaremos el campo elctrico externo en la direccin Z por comodidad: E ext ( r ) = E 0 z



39

El problema tiene entonces simetra azimutal, y todas las magnitudes implicadas (densidad superficial de carga, campo y potencial finales) , han de ser invariantes con el ngulo . La ecuacin de Laplace es ahora: 2 =

1 r2 + 2 sin = 0 r r r r sin 2

1

(1.29)

y la solucin a esta ecuacin es bien conocida:

(r , ) = ( Ai r ii =0

+ Bi r ( i +1) Pi (cos )

)

(1.30)

donde Pi (cos ) representa el polinomio de Legendre de orden i. Los polinomios de Legendre son aquellos que satisfacen la ecuacin diferencial del mismo nombre, y, en la prctica se obtienen mediante la frmula de Rodrigues: Pi ( x ) = 1i

dii

2 i ! dx

(x

2

1

)

i

P0 ( x ) = 1

P1 ( x ) = x

1 P2 ( x ) = 2 ( 3x 2 1)

...

El que puedan ser necesarios ms o menos trminos del sumatorio en la ecuacin (1.30) depende de las condiciones de contorno que deban satisfacerse. En nuestro problema particular estas condiciones son:

i ) (r = a ) = cte. y ii ) E (r )

r

= E0 zi . Por otro

La primera condicin fuerza la relacin: Ai = Bi a ( 2i +1) lado el campo elctrico debe ser:

(i + 2 ) i 1 ) Pi (cos ) E r (r , ) = r = (iAi r (i + 1) Bi r dPi (cos ) 1 = ( Ai r i 1 + Bi r ( i + 2 ) ) E (r , ) = r d E (r , ) = 0


40


y su valor limite cuando nos alejamos de la esfera : E (r ) = E 0 z = E 0 r cos sen

(

)

que es el campo externo sin perturbar por la presencia de la esfera. Esta segunda condicin fuerza la cancelacin de todos los trminos de la ecuacin (1.30) salvo los dos primeros: Ai , Bi = 0 i > 1 y adems: A1 = E 0 y B1 = A1 a 3 = E 0 a 3 . La solucin es finalmente: 1 E (r , ) = E 0 z + 3 E 0 a 3 2 cos r + sen r

(

)

La densidad de carga resultante en la esfera es: (r ) = 0 E n S = 0 E r r = a = 3 0 E 0 cos Por ltimo debe aadirse que el potencial en la esfera est indeterminado. No tenemos ninguna referencia respecto a la que medirlo porque el campo exterior est infinitamente extendido en el espacio, desde z = hasta z = + , y esta suposicin implica que hay cargas en el infinito, que son las que estn produciendo el campo. Consecuentemente no podemos fijar un potencial de referencia en el infinito.

Fig. 1.13 Esfera conductora en el seno de un campo elctrico uniforme



41

Ejemplo 1.11 : Un cable coaxial est formado por dos conductores cilndricos, de radios a y b. El conductor exterior se pone a potencial V y el interior se conecta a tierra. Obtenga el campo elctrico entre los conductores.

Vb a

Fig. 1.14 Cable coaxial

Debido a la simetra cilndrica del problema podemos asegurar que las densidades superficiales de carga en los conductores sern homogneas, aunque de momento desconozcamos su valor. Esa consideracin nos permitira aplicar la ley de Gauss en forma integral para obtener el campo que, posteriormente, pondramos en relacin con la diferencia de potencial V entre los conductores. Esa va se propone como ejercicio. La alternativa es obtener la funcin potencial mediante la resolucin de la ecuacin de Laplace. Podemos afirmar que nuestro potencial slo ser funcin del radio: ( r ) = ( ) , y por tanto: 2 = 1 = 0

La solucin a esa ecuacin es: ( ) = A ln + B , y por aplicacin de las condiciones de contorno: ( = a ) = 0 , ( = b) = V , se llega a:

ln( a ) () = V ln( b a )

y

1 V E (r ) = ln( b ) a


42


Ejemplo 1.12: Una esfera conductora hueca, sin carga neta, de radio interior a y exterior b, contiene en su interior una carga puntual de valor q, en alguna posicin arbitraria r0 Cul ser el campo en el exterior de la esfera?

ext

q b

ro

a intFig. 1.15

Utilizamos de nuevo la ecuacin de Laplace para calcular el potencial en el exterior. Debe observarse que si situamos la esfera conductora centrada en el origen de coordenadas podremos asegurar que el potencial externo es de la forma

(r ) = (r )

r > b

y esto sin conocer cmo sean las distribuciones de carga del problema. La razn es que quien manda a la hora de determinar las condiciones de contorno para el potencial es nicamente la superficie equipotencial que constituye el conductor. En estas circunstancias, de la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas, podemos deducir que la forma del potencial ser: A (r ) = + B r r > b

donde, adems, B=0 por la condicin de potencial nulo en el infinito. No sabemos cul es el potencial de la esfera, y nos queda la constante A sin determinar. Para finalizar el problema debemos aplicar la ley integral de Gauss, lo que resulta til porque ahora sabemos que el campo exterior slo tiene componente radial, consecuentemente con la forma del potencial. El resultado final es: E (r ) = q r r > b

4 0 r 2



43

Por tanto, el conductor realiza un apantallamiento parcial de la carga elctrica situada en su interior: no en lo que se refiere a su valor neto, que da la magnitud del campo, pero s en cuanto a que no importa cul sea su posicin en el interior de la esfera. Compruebe que si la esfera conductora estuviese conectada a un potencial fijo V el valor del campo en el exterior sera independiente tambin del valor de la carga puntual.

1.1.10 Condiciones que determinan el campo en una regin La segunda identidad de Green es un teorema matemtico que establece:

[ v

2

2 dv =

]

S

ds n n

(1.31)

para cualesquiera funciones escalares y definidas en el volumen v, y con S la superficie cerrada que limita a v. Si identificamos la funcin con nuestra funcin potencial y elegimos: 1 ( r ) = r r' (funcin de Green) (1.32)

se obtiene una expresin de inters para el potencial: (r ) = 1 4 0

v'

( r ' ) dv ' 1 4 r r'

S

ds' n' n'

(1.33)

donde (r ) es la densidad volmica de carga y n es la normal a la superficie en cada punto. La ecuacin precedente no tiene para nosotros tanto una importancia prctica como terica. Su significado es que el potencial en un cierto volumen depende exclusivamente de la carga interior al volumen y de las condiciones de contorno en la superficie cerrada que lo rodea. Tal superficie puede ser una superficie fsica de separacin con algn otro medio, o una superficie imaginaria, definida de modo matemtico, grfico, o de alguna otra manera. El teorema de unicidad del potencial est basado en la ecuacin (1.33) y se enuncia as: fijadas la densidad volmica de carga en un determinado volumen y las condiciones de contorno, para el potencial y para su derivada respecto a la normal, en la superficie que lo limita, el valor del potencial en todo el volumen est unvocamente determinado.


44


En la prctica suelen encontrarse dos tipos de superficies: superficies conductoras y la superficie del infinito. Podra tratarse tambin de una superficie dielctrica, en un cambio de medio, pero de momento no trataremos esa posibilidad. Cuando tenemos una superficie conductora ocurre que la derivada del potencial respecto a la normal en cada punto coincide con el campo elctrico en la superficie. Entonces el campo no es realmente independiente del valor de la carga interna al volumen y del valor del potencial en el conductor, por lo que, de hecho, no constituye una condicin separada. Si se conoce ( r ) en el volumen y el potencial en la superficie, el problema est, pues, unvocamente determinado. A esta clase de problemas se les denomina problemas de Dirichlet. La alternativa es que conozcamos la densidad volmica de carga y el valor de la derivada del potencial respecto a la normal (el campo) en la superficie. En ese caso quedar una constante por determinar al calcular el potencial. Se habla entonces de problema de Neumann. La superficie del infinito puede tratarse como una superficie conductora a potencial cero (si no hay carga en el infinito). Desde este punto de vista el problema de potencial donde se conoce la densidad de carga presente en el espacio ilimitado es un problema de Dirichlet, y su solucin general es la dada por la ecuacin (1.18).

Ejemplo 1.13: Una esfera conductora hueca de radio interior a y exterior b se conecta a un potencial V. A una distancia d del centro de la esfera (d>b) se encuentra una carga puntual de valor q. Cul es el potencial en el interior de la esfera?

V q d bFig. 1.16

a

En el interior debe cumplirse 2 = 0 y adems la condicin de contorno ( r = a ) = V . Como se trata de un problema de Dirichlet tendr solucin nica, y como que la simple funcin ( r ) = V satisface ambas condiciones, sa debe ser la solucin buscada. Obsrvese que se trata de un volumen cerrado, tal como se estableci al hablar de la unicidad del potencial. De nuevo un conductor conectado a una tensin externa apantalla el efecto de una carga elctrica.



45

La utilidad prctica del teorema de unicidad consiste en que nos permite ignorar las densidades superficiales de carga existentes en la superficie lmite del volumen donde calculamos el potencial, as como otras posibles cargas exteriores al volumen. Esa informacin, que sera imprescindible si planteramos el problema por medio del clculo integral directo, la sustituimos por el conocimiento de la condicin de contorno.

Mtodo de las imgenes El mtodo de clculo que se sigue usualmente en la prctica es un mtodo inverso, denominado mtodo de las imgenes. Cuando en nuestro problema intervienen densidades superficiales inducidas por la presencia de otras distribuciones de carga, de manera que su clculo es complicado, lo que se hace es crear una situacin equivalente a la actual pero de ms fcil resolucin. La equivalencia se consigue reproduciendo artificialmente las condiciones de contorno por la inclusin de cargas externas al volumen de inters.

Ejemplo 1.14: Calcule el campo elctrico producido en todo el espacio por una carga puntual situada frente a un plano conductor conectado a tierra.

ZA pesar de su aparente sencillez, el problema no puede resolverse de forma directa, porque la presencia de la carga puntual provoca la aparicin de una densidad superficial de carga: los portadores libres del conductor tendern a concentrarse en alguna medida en el punto del plano ms cercano a la carga puntual, atrados por sta. Pero esa densidad de carga inducida no puede calcularse de forma sencilla.

q dY

Fig. 1.17 La alternativa es plantear un problema equivalente, donde las caractersticas esenciales del problema queden inalteradas. Lo esencial a un problema de potencial, de Neumann o de Dirichlet, es la carga existente en el interior del volumen considerado y las condiciones de contorno alrededor del mismo. La primera objecin para considerar este caso como un problema bien definido de potencial es que no es un volumen cerrado, y, sin embargo, podemos tomar la superficie del infinito para completarlo. En la figura 1.18 se muestra el esquema de este planteamiento.


46


plano y=0 ( S = 0 ) q ( r ) S inf ( S = 0 )

Fig. 1.18 La misma situacin de la figura anterior aparece como un problema de Dirichlet al considerar la superficie del infinito

La cuestin es ahora obtener una situacin equivalente resoluble. Esto se consigue eliminando el plano conductor y situando una carga imagen al otro lado del plano, como aparece en la figura 1.19.

Z d -q d Y +q

Fig. 1.19 Problema equivalente al representado en la figura 1.17

Si la nueva carga es de igual valor y distinto signo a la original y est situada a la misma distancia del plano, es claro que el potencial en el plano y=0 ser nulo. Por otro lado, el potencial en el infinito permanece igual a cero. Entonces el problema original y el de la figura 1.19, en cuanto que problemas de potencial, son el mismo en el semiespacio derecho, y la solucin de ambos es idntica.



47

Tendremos: (r ) =

q q + 4 0 r dy r ( dy ) q r dy r + dy 3 3 4 0 r dy r + dy

1

y0

y E (r ) =

y>0

En cuanto al semiespacio izquierdo (en el problema original) no puede haber ninguna duda: (r ) = 0 , E (r ) = 0 y 0, y < 0) 2 0 Al igual que ocurra en el caso del plano infinito de carga tenemos un campo constante en todo el espacio, independiente de la distancia del plano al punto donde se mida.

1.3.5 Carcter solenoidal del campo magntico Las lneas de campo magntico siguen siempre trayectorias cerradas o, como en el ejemplo anterior, que se cierran en el infinito. Un campo vectorial con esa propiedad se denomina campo solenoidal. Si se compara ese comportamiento con el del campo electrosttico se llega a la conclusin de que el campo magntico carece de un tipo de fuente generadora comparable a las cargas elctricas, en las que comienza o termina siempre el campo electrosttico. Esto equivale a afirmar que no existen monopolos magnticos, o, lo que es lo mismo, cargas magnticas individualizables. Debido al origen netamente experimental de toda la teora clsica del electromagnetismo debe concluirse que tal afirmacin no es un resultado terico, sino una constatacin experimental. Pudiera ocurrir que en situaciones particulares llegasen a encontrarse cargas magnticas aisladas, y entonces la teora desarrollada aqu debera ser modificada para tratar con esos casos.


86


Matemticamente el carcter solenoidal de un campo vectorial se pone de manifiesto en que su divergencia es nula en todo punto. Podemos comprobarlo a partir de la ley de Biot y Savart. 0 J (r ) (r r ) B(r ) = dv = J ( r ) 3 v v 4 r r

(r r ) 3 dv r r

aplicaremos la igualdad vectorial genrica: ( A B) = B A - A B , y dos de los trminos que aparecen son: J ( r ) = 0 , porque el operador acta sobre r y no sobre r ; r r 3 = 0 , como para el campo electrosttico, r r por lo que resulta: B(r ) = 0

(1.89)

Esta expresin es equivalente por el teorema de la divergencia a:

S

B ( r ) ds = 0

S cerrada

(1.90)

La ltima igualdad afirma que el flujo de cualquier campo magntico a travs de cualquier superficie cerrada es siempre nulo. Una afirmacin as ha de ser considerada como un resultado fundamental del magnetismo y, de hecho, de toda la teora electromagntica, porque ocurre que esta caracterstica se mantiene incluso en condiciones dinmicas, como se ver en el prximo captulo.

1.3.6 Ley de Ampre A diferencia de lo que ocurra con el campo electrosttico, que es irrotacional (conservativo), la circulacin del campo magntico a lo largo de una trayectoria cerrada no es nula en general. De acuerdo con la expresin de la fuerza magntica de Lorentz debe concluirse que la fuerza que experimenta una carga mvil debido a la presencia de un campo magntico es siempre perpendicular a su trayectoria (a su velocidad instantnea) y, por tanto, que el campo no realiza trabajo en ningn momento sobre la carga:



87

C

t2 t2 ( v B ) v dt 0 FM dl = FM v dt = q

t

1

t

1

Sin embargo la circulacin de B a lo largo de una trayectoria no se relaciona directamente con el clculo del trabajo. La ley de Ampre establece que la circulacin de B a lo largo de un camino cerrado es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa la superficie limitada por el camino:

C

B dl = 0

S

J ds

(1.91)

Por aplicacin del teorema de Stokes obtenemos la forma diferencial de esta ley: B = 0 J (1.92)

que se ha de cumplir punto a punto en el espacio donde tales magnitudes estn definidas. La ley de Ampre puede obtenerse por clculo directo a partir de la expresin integral de Biot y Savart. En esa deduccin se comprueba que la ley dada por (1.91) y (1.92) se aplica nicamente al caso de corrientes estacionarias. Es interesante observar que en aquellos puntos del espacio donde no hay corrientes s que tendremos un campo magntico irrotacional. Para determinadas situaciones se aprovecha ese hecho para definir un potencial escalar magntico, del mismo modo que en electrosttica. No obstante, la utilidad de tal potencial es limitada y no se emplear aqu.

1.3.7 Clculo de B mediante la ley de Ampre en forma integral Del mismo modo que se emple la ley de Gauss en electrosttica la ley de Ampre puede servir como un camino rpido para encontrar el campo magntico en situaciones con suficiente simetra espacial. Nuevamente es preciso que sepamos intuir a priori cul ser la direccin del campo magntico y de qu variables pueda depender, para aplicar este mtodo con garantas. Si existe una determinada trayectoria cerrada en el espacio, en la que B es constante en mdulo y paralelo a cada dl , entonces podemos escribir:

C

B dl = B

C

dl = BL = 0

S

J ds

(1.93)

y el valor del campo magntico se obtiene inmediatamente.


88


Ejemplo 1.28: Calcule el campo magntico creado por un conductor largo, de seccin cilndrica y radio a, por el que circula una densidad de corriente homognea. Por inspeccin de la expresin de Biot y Savart y de la geometra del problema se puede deducir que el campo magntico ser de la forma: B ( r ) = B ( ) Tomaremos como circuito para aplicar la ley de Ampre una circunferencia centrada alrededor del cable. En la figura 1.38 se muestra el circuito para puntos del exterior del conductor.a C

J0 zS

dl = d

Fig. 1.38

C

B dl = 2 B ( )

0 0 J 0 a 22

C

J ds = 0 a 2 J 0

De donde el resultado es: B ( ) =

=

0 I2

( > a) .

En puntos interiores al cable es vlido el mismo planteamiento. Compruebe que el resultado es ahora: 0 ( < a) B ( ) = J0 2

Puede aadirse un comentario adicional: el campo magnetosttico no se anula en el interior de un conductor, como acaba de verse en el ejemplo precedente. De hecho no se acierta a encontrar ninguna razn por la que tal cancelacin debiera suceder. En los captulos siguientes se comprueba que esta situacin cambia al considerar campos variables en el tiempo.



89

Ejemplo 1.29: Utilice la ley de Ampre para calcular el campo magntico creado por el conductor plano del ejemplo 1.27. Como primer paso debemos hacernos una idea intuitiva de cmo ser el campo magntico, en cuanto a su direccin y en cuanto a su dependencia con las variables espaciales. Para eso nos es til volver a considerar el plano de corriente como una sucesin de hilos paralelos con idnticas corrientes. Podemos imaginar cmo ser la contribucin conjunta de todos los hilos al campo magntico global

B Z X B

YFig. 1.41

y la nica posibilidad razonable es suponer que B ( r ) = B x ( y ) x . Elegimos un contorno en forma de rectngulo, situado simtricamente respecto al plano de corriente, con dos lados paralelos al campo magntico y los otros dos perpendiculares. Compruebe que de esta forma la ley de Ampre da el mismo resultado obtenido en el ejemplo 1.27.

El potencial vector, A Todo campo solenoidal puede ser expresado como el rotacional de otro campo. Podemos entonces introducir un campo vectorial auxiliar estrechamente relacionado con el campo magntico, que se denomina potencial vector magntico, A( r ) , de tal manera que: A( r ) = B ( r ) (1.94)

En algunas reas del electromagnetismo, en especial en problemas de radiacin, el potencial vector sirve para simplificar la resolucin matemtica de los problemas. Se hablar de todo ello ms adelante.


90


La definicin del potencial vector magntico queda incompleta con la ecuacin (1.94). Un campo vectorial, segn el teorema matemtico de Helmholtz, precisa del conocimiento de su rotacional y de su divergencia, para quedar completamente definido. En problemas estticos se completa la definicin forzando que el potencial vector tenga divergencia nula: A( r ) = 0 (1.95) A esta condicin se le denomina norma de Coulomb. Las ecuaciones (1.94) y (1.95), junto a la ley de Ampre, llevan a una ecuacin diferencial para el potencial vector de la forma: 2 A( r ) = 0 J ( r ) (1.96)

cuya obtencin se propone como ejercicio. La solucin general, por similitud con la ecuacin de Poisson del potencial elctrico y su expresin integral, es: 0 J (r ) A( r ) = dv 4 v r r

(1.97)

A primera vista esta expresin es ms sencilla que la ley de Biot y Savart. Por tanto una va alternativa para calcular el campo magntico a partir de las corrientes es obtener primero el potencial vector mediante (1.97), y calcular despus el campo haciendo su rotacional (Ec. 1.94).

Ejemplo 1.30: Obtenga el potencial vector creado por una espira de corriente de radio a situada en el plano XY, por la que circula una corriente I.

ZdA

r I r' X dl r-r'Fig. 1.42

Y

Tomaremos, por sencillez, un punto sobre el plano XZ para hacer el clculo. Debido a la simetra cilndrica del problema, sirve para obtener un resultado totalmente general . r = xx + zz

r = a



91

Pasamos a coordenadas cilndricas y resulta: r = a cos ' x + a sen ' y r r = ( x a cos ' ) 2 + ( a sen ' ) 2 + z 2

[

]

1

2

e integramos las contribuciones de toda la espira:

0 A( r ) = 0 = 4

2

0

I a d r r

Sin embargo, se aprecia que la contribucin de los diferenciales de corriente tomados dos a dos cancelan las componentes en x (Fig. 1.43).

a

Z ' Y

X

dAy

Fig. 1.43

Y, por tanto, slo es necesario integrar dAy : dAy = dA cos con cos = cos '

La integral que debe resolverse es, finalmente: Ay =

0 I a 24

cos ' d ' ( 2 2a cos '+ a 2 + z 2 )1 2

0

que, desafortunadamente, no tiene solucin analtica sencilla y deber resolverse numricamente. Ms adelante deduciremos una solucin aproximada a este problema (ejemplo 1.31).


92


Clculo numrico del campo magntico: mtodo de los segmentosLa expresin de Biot y Savart suele derivar en integrales sin solucin analtica en muchos casos reales; la ley de Ampre en forma integral slo es til para extraer el valor del campo magntico en situaciones de elevada simetra; por fin, el potencial vector, aun con una expresin integral aparentemente simple, tampoco proporciona un mtodo inmediato para el clculo de B , como pudo comprobarse en el ejemplo anterior, donde ni siquiera una espira circular en el origen result un problema fcil. Es evidente que la teora desarrollada hasta ahora tiene un alto inters terico y prctico, y nos permitir seguir avanzando hacia resultados cada vez ms importantes en la comprensin de los fenmenos magnticos. Sin embargo cuando nos enfrentamos a la necesidad simple y llana de obtener el campo creado en el espacio por un bobinado con una particular geometra tendremos que recurrir a mtodos numricos de integracin. Existe un mtodo que en esas situaciones puede reportarnos cierta comodidad, llamado mtodo de los segmentos (o sticks), que supone un paso ms de desarrollo que la integracin numrica directa de la expresin de Biot y Savart. Este mtodo se describe a continuacin. Considrese un segmento de hilo conductor de longitud l recorrido por una corriente I, situado en una posicin y con una orientacin arbitrarias (Fig. 1.44).

fin

rf

r-r'I

l ini =0

r' r

rid

Fig. 1.44 Esquema bsico utilizado en el mtodo de los segmentos de corriente



93

Tal situacin no es fsicamente posible al no haber continuidad en la corriente, pero eso no le quita valor prctico: si podemos obtener una expresin sencilla para el campo magntico creado por un segmento arbitrario de corriente podemos atacar otras geometras ms complicadas descomponindolas en una sucesin de segmentos similares. Definamos los siguientes radiovectores de acuerdo con la figura anterior: - r seala al punto donde calculamos el campo; - r es un punto cualquiera del segmento de corriente; - ri y r f sealan el comienzo y el fin del segmento, desde el punto de clculo;

- l = l l es el vector en la direccin de la corriente, y de mdulo igual a la longitud del segmento de corriente.Denominamos d a la distancia (mnima) desde la recta que contiene al segmento al punto de clculo. Se pueden probar las siguiente igualdades que se utilizarn a continuacin:

d=

rf l l

ri l ini = l

fin =

rf l l

El integrando de la ley de Biot y Savart puede expresarse en la forma: r f l r r 1 dl 3 = d 3 l r r r r1 con r r = ( 2 + d 2 ) 2 . Tras operar resulta:

0 B(r ) = I 4

fin

r f l d l ( 2 + d 2 )3 2

ini

r f l r f l ri l = = I 2 r 4 r l f ri f

0

(1.98)

Esta expresin resulta eficiente como subrutina para un programa numrico de clculo del campo magntico de uso general. 1.3.8 Aproximacin de B a grandes distancias. Momento dipolar magntico Frecuentemente estaremos interesados en conocer el campo magntico que se establece a grandes distancias de una distribucin de corriente dada. Para disponer de una expresin general debemos proceder de forma anloga a como hicimos en electrosttica (vid.


94


seccin 1.1.13): se desarrolla el potencial vector magntico en serie de Taylor y se obtienen aproximaciones vlidas mediante el empleo de los momentos de la fuente. La situacin en la prctica es algo diferente al caso electrosttico por dos motivos: primero, porque no existen monopolos magnticos, y el momento de primer orden de cualquier distribucin de corriente se cancela; en segundo lugar, porque el momento de segundo orden, o momento dipolar, raramente se anula en las distribuciones reales, con lo que los momentos de orden superior pierden gran parte de su inters. Se demuestra que, como aproximacin suficiente en la mayora de ocasiones, se puede escribir: 0 m r A( r ) 4 r 3 donde m es el momento dipolar magntico de la distribucin, que se define como: 1 m= 2 (1.99)

V

r J dv

(1.100)

A partir del potencial vector obtenemos el campo magntico: 0 3( m r ) r m B(r ) = A 4 r3 (1.101)

Las expresiones (1.99) y (1.101) son vlidas siempre que se evalen a distancias mucho mayores que la dimensin fsica de la distribucin de corrientes.

Ejemplo 1.31: Calcule el momento dipolar magntico de un circuito plano de corriente que encierra un rea S y por el que circula una corriente I.

Z I S XFig. 1.45

Y

A pesar de la aparente indefinicin del problema la solucin es nica como se ver. La expresin del momento dipolar para el caso de un hilo de corriente es: 1 m= 2

C

r I dl



95

La integral que se debe resolver es:

C

r dl , y en la figura 1.46 se muestra que,

independientemente de donde situemos el origen, estamos haciendo un clculo del rea del circuito mediante tringulos rectngulos de base diferencial:

dl r S XFig. 1.46

a

d l se n a

Luego el resultado es: m = I Sn (1.102)

Y

donde n es la normal al circuito en el sentido que corresponda al sentido de giro de la corriente, segn el criterio de la mano derecha.

Ejemplo 1.31: Obtenga el campo magntico creado a grandes distancias por una espira circular de radio a por la que circula una corriente I. Tratamos la espira como un dipolo magntico centrado en el origen.

Zq

r

I X

a

Y

Fig. 1.47 De (1.102) tenemos: m = I a 2 z . El potencial vector resulta:


96


0 m r 0 I a 2 z rr 0 I a 2 sen = = A( r ) 4 r 3 4 4 r 2 r3 y el campo magntico:

0 1 3 ( m0 cos ) r m0 z B(r ) 4 r 3

[

]

o, en una forma ms habitual, utilizando z = r cos sen :

0 1 2 m0 cos r + m0 sen B(r ) 4 r 3

[

]

(1.103)

Obsrvese la similitud exacta de esta expresin con la del campo elctrico creado por un dipolo elctrico a grandes distancias.

1.4 Campos magnticos en medios materialesDesde el punto de vista de su comportamiento frente a campos magnticos los medios materiales pueden considerarse como formados por una infinidad de dipolos magnticos elementales o microscpicos. Estos dipolos existen en la realidad, y son el resultado de los movimientos de traslacin de los electrones del medio alrededor de los ncleos atmicos y de su rotacin o spin. El efecto conjunto de esos movimientos en trminos de desplazamiento de carga podra parecer despreciable, pero lo cierto es que a escala macroscpica los efectos son ms que apreciables: de forma evidente en los imanes permanentes. La traslacin alrededor de los ncleos y la rotacin electrnica son verdaderas, aunque peculiares, corrientes elctricas, cuyos efectos magnticos pueden medirse. Cuando estas corrientes se consideran en su conjunto en un cierto volumen de material, se denominan corrientes de magnetizacin. En los siguientes apartados veremos resumidamente cmo se generan y cmo se caracterizan esas corrientes, y los campos magnticos que producen.

1.4.1 Fuerzas sobre un dipolo magntico Si situamos un dipolo magntico en el seno de un campo magntico exterior el circuito que constituye el dipolo experimentar una fuerza que vendr dada por una ecuacin similar a la (1.86): F=

C

I dl Bext



97

En el caso de que el campo magntico sea uniforme, o con variaciones espaciales muy lentas en comparacin con el tamao del circuito tendremos: F=I

C

dl Bext = 0

ya que

C

dl 0 C cerrado

por lo que el dipolo permanecer en su lugar al no experimentar una fuerza neta. Si calculamos el momento de la fuerzas ejercidas sobre el circuito respecto a un cierto eje previamente definido la situacin puede cambiar: = reje dF = I reje (dl Bext ) =C C

= I (reje Bext )dl IBext reje dl = I (reje Bext )dlC C C

Entonces el momento de fuerzas se cancela cuando reje y Bext son perpendiculares en todo punto. En el caso de un circuito plano esto ocurre cuando el campo magntico es perpendicular al plano del circuito. Se puede comprobar que el momento resulta finalmente (siempre que el campo magntico sea uniforme): = m Bext (1.104)

por lo que el dipolo tiende a orientarse en la direccin del campo magntico externo (hasta cancelar el momento de las fuerzas magnticas). En los medios materiales ocurre este fenmeno: los dipolos magnticos no abandonan su posicin por la influencia del campo, pero se orientan con l. Entonces el material pasa a estar magnetizado y crea a su vez campos magnticos macroscpicos.

1.4.2 Vector magnetizacin Se define el vector magnetizacin en un medio material como la densidad de momento dipolar por unidad de volumen.


98 m dv dm dv


dv

M (r ) =

i

=

(A ) m

(1.105)

mi

El vector magnetizacin caracteriza de forma completa al material magnetizado, de modo que si llegamos a conocer el valor de ese vector en todos los puntos del material podremos calcular inmediatamente los efectos magnticos que puede producir en sus inmediaciones.

Fig. 1.48

Utilizando la anterior ecuacin junto a la (1.99) resulta inmediatamente: 0 M (r ) (r r ) dv A( r ) = 3 4 v ' r r

(1.106)

que es el potencial vector creado en todo el espacio por el material magnetizado. Si existe otro campo magntico en el espacio -el que provoc la magnetizacin del medi

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