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课程内容

第1章：基础：逻辑和证明

第2章：基本结构：集合、函数、数列与求和

第3章：计数

第4章：高级计数技术

第5章：关系

第6章：图

第7章：树（7.1-7.2）中国科学技术大学刘斌 1《数理逻辑与图论》

第二章基本结构：集合、函数、数列和求和

2.1 集合

2.2 集合运算

2.3 函数

2.4 序列和求和

中国科学技术大学刘斌 2中国科学技术大学刘斌 2《数理逻辑与图论》

2.1 集合

集合（set）：一组无序的对象。

元素（element）：集合中的对象也称为该集合的元素，或成员（member）。集合的表示方法：花括号之间列出所有元素

英语字母中所有元音字母的集合： V={a,e,i,o,u}小于10的正奇数集合： O={1,3,5,7,9}

集合中的元素表面上可以看起来毫不相干： {a,2,Fred,New Jerseg}

通常用大写字母表示集合：自然数集合N，整数集合Z，正整数集合Z+，有理数集合Q，实数集合R

集合的表示方法：花括号中列出集合的部分元素，其余用省略号表示： {1,2,3…,99}

中国科学技术大学刘斌 3

定义

定义

例

中国科学技术大学刘斌 3《数理逻辑与图论》

集合的基本定义和性质

两个集合相等（equal）当且仅当它们有相同的元素。元素的顺序不起作用：集合{1,3,5}和集合{3,5,1}相等；

同一个元素被列出来不止一次也没关系： {1,3,3,3,5,5,5,5}和{1,3,5}是同一个集合。

集合的描述方式：使用集合构造符号（谓词公式）O={x|x是小于10的奇数}，O={x|P(x)}R={x|x是实数}

集合的描述方式：文式图（Venn diagram）全集（universal set）：我们所考虑的所有对象的集合U，在

文式图中用长方形代替

用圆或其他几何图形表示集合，用点表示特定元素


定义

例


集合的文式图表示


例


集合成员的关系

a是集合A的一个元素：aA。 a不是集合A的一个元素：aA 。空集（empty set, null set）：不含任何元素的特殊

集合，用表示 {x|x>x2, xZ+}是一个空集

和{}不一样，是两个集合

单元集（singleton set）：只含有一个元素的集合

集合A是集合B的子集（subset）当且仅当A的每个元素也是B的元素，用AB表示A是B的子集。 AB当且仅当量化语句x(xA→xB)为真。


定义



对于任意集合S，(i) S和(ii) SS。

真子集（proper subset）：A是B的子集，但A≠B。


定理



对于任意集合S，(i) S和(ii) SS。

真子集（proper subset）：A是B的子集，但A≠B。证明两个集合相等的一个有效的方法就是证明它们互为另一个

的子集，即如果AB且BA，则A=B；集合可以以其他集合作为它的成员；

{,{a},{b},{a,b}} {x|x是集合{a,b}的子集}

有限集合（finite set）：集合S中恰有n个不同的元素，其中n是一个非负整数，称为S的基数（cardinality），用|S|表示。

无限集合（infinite set）：不是有限的集合，如正整数集合。


定理

定义

定义


幂集合

已知集合S，S的幂集合（Power Set）是集合S所有子集的集合，用P(S)表示。如果一个集合有n个元素，那么它的幂集合有2n个元素；

P({0,1,2})={,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}

P()={}

P({})={,{}}


定义

例


笛卡儿积

有序n元组（ordered n-tuple）(a1,a2,…,an)是以a1为第1个元素，a2为第2个元素，…，an为第n个元素的有序组。只有当两个有序n元组每一对对应的元素都相等时，他们才相

等；

有序2元组特称为有序偶；

令A和B为集合。A和B的笛卡尔积（Cartesian product）用A×B表示，是所有有序偶(a,b)的集合，其中aA而bB。

A×B={(a,b)| aA ∧ bB} 笛卡儿积A×B的子集R称为从集合A到集合B的关系。


定义

定义


笛卡儿积

A={1,2}B={a,b,c}

A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}B×A={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2)}


例


笛卡儿积

A={1,2}B={a,b,c}

A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}B×A={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2)}

A×B ≠ B×A


例


笛卡儿积

集合A1,A2,…,An的笛卡儿积用A1×A2×…×An表示，这是有序n元组(a1,a2,…,an)的集合，其中对于i=1,2,…,n，aiAi。

A1×A2×…×An ={(a1,a2,…,an) | aiAi, i=1,2,…,n}

什么是笛卡尔积A×B×C，其中A={0,1}，B={1,2}，C={0,1,2}？


定义

例


使用带量词的集合符号

用集合来表示量词的论域全称量化：xSP(x) 存在量化：xSP(x)


例


真值集合

给定谓词P和论域D，定义P的真值集合为：D中元素x使P(x)为真的元素组成的集合，即{xD|P(x)}。全称量化xU P(x)为真当且仅当P(x)的真值集合是集合U；

存在量化xU P(x)为真当且仅当P(x)的真值集合非空；

谓词P(x)、Q(x)、R(x)的真值集合都是什么？其中论域是整数集合，P(x)：|x|=1，Q(x)：x2=2，R(x)：|x|=x。


例


2.2 集合运算 – 并集

令A和B为集合。A和B的并集（union）用A∪B表示，这是在A或B中或同时在A和B中的元素组成的集合。

A∪B={x|xA ∨ xB}

{1,3,5}∪{1,2,3}= {1,2,3,5}


定义

例


交集

令A和B为集合。A和B的交集（intersection）用A∩B表示，这是既在A中又在B中的元素组成的集合。

A∩B={x|xA ∧ xB}

{1,3,5}∩{1,2,3}= {1,3}


定义

例


交集

令A和B为集合。A和B的交集（intersection）用A∩B表示，这是既在A中又在B中的元素组成的集合。

A∩B={x|xA ∧ xB} 如果两个集合的交集为空集，就说它们不相交（disjoint）

{1,5}∩{2,3}=


定义

例


容斥原理

容斥原理（principle of inclusion-exclusion）：计算集合并集的基数

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|


差集

令A和B为集合。A和B的差集（difference）用A-B表示，这是只属于A而不属于B的所有元素组成的集合。A和B的差集也称为B对于A的补集。

A-B={x|xA ∧ xB}

A= {1,3,5},B={1,2,3}A∩B= {1,3} A-B = {5}B-A = {2}


定义

例


补集

令U为全集。集合A的补集（complement）用A表示，这是A对于U的补集，即U-A。

A={x|xA}

A={a,e,i,o,u}（全集

为英语字母表）。那么


定义

例

{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }A b c d f g h j k l m n p q r s t v w x y z


集合恒等式


证明集合恒等式的方法

证明两个集合相等：证明两个集合互为对方的子集。

证明两个集合相等：使用集合构造符和推理。

要证明涉及两个以上集合的集合恒等，可以证明恒等式的每一边是另一边的子集。

使用成员表来证明集合恒等式：用１表示元素属于一个集合，０表示元素不属于一个集合。

使用已经证明的集合恒等式来证明其它集合恒等式。


证明集合恒等式的方法


例


扩展的并集和交集

一组集合的并集是包含那些至少是这组集合中一个集合成员的元素的集合。

一组集合的交集是包含那些属于这组集合中所有集合成员的元素的集合。


定义

定义


扩展的并集和交集（文式图）



令A={0,2,4,6,8}，B={0,1,2,3,4}，C={0,3,6,9}。A∪B∪C和A∩B∩C 是什么集合？

A∪B∪C包括那些至少属于A，B，C之一的元素，则：

A∪B∪C={0,1,2,3,4,6,8,9} A∩B∩C包含那些属于全部三个集合的元素，则：

A∩B∩C={0}


例




例


计算机表示集合的方法

假定全集U的元素个数n是有限的，且大小合适；

为U的元素任意规定一个顺序，如a1,a2,…,an；

用长度为n的位串表示U的子集A：如果ai属于A，则位串中第i位是1，否则为0；

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}令ai=i;A={1,3,5,7,9} 1010101010B={2,4,6,8,10} 0101010101C={1,2,3,4,5} 1111100000


例


计算机表示集合的方法

用位串表示集合便于计算集合的补集、并集、交集和差集；补集：把位串的每个1改为0，0改为1；并集和交集：对表示两个集合的位串按位做对应的布尔运算

（并集为按位或（bitwise OR），交集为按位与（bitwise AND））；

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}令ai=i;A={1,3,5,7,9} 1010101010B={2,4,6,8,10} 0101010101C={1,2,3,4,5} 1111100000


例


2.3 函数

令A和B为集合。从A到B的函数（function）f是对元素的一种指派，对A的每个元素恰好指派B的一个元素。如果f指派给A中元素a的唯一的B元素是b，就写成f(a)=b；如果f是A到B的函数，就写成f:AB；函数f:AB有时定义为从A到B的关系；

如果f是从A到B的函数，就说A是f的定义域（domain），而B是f的伴域（codomain）。如果f(a)=b，就说b是a的像（image）而a是b的原像（preimage）。A中元素的所有像元素的集合称为f的值域（range）。有时也说f把A映射（mapping）到B。


定义

定义


函数的例子

令f为从Z到Z的函数，它指派给每个整数的是该整数的平方。于是f(x)=x2，而f的定义域是所有整数的集合，f的伴域可以从所有整数集合中选择，f的值域是所有非负整数中那些完全平方的集合，即{0,1,4,9……}


例


函数相加和相乘

令f1和f2是从A到R的函数，那么f1+f2和f1 f2也是从A到R的函数，其定义为

(f1+f2)(x)= f1(x)+ f2(x)(f1f2)(x)= f1(x)f2(x)

令f1和f2是从R到R的函数，且f1(x)=x2而f2(x)=x-x2。函数f1+f2和f1f2是什么？

从函数的和与积的定义知：


定义

例

2 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f f x f x f x x x x x

2 2 3 41 2 ( ) ( )f f x x x x x x


集合的像

令f为从集合A到集合B的函数，S为A的一个子集。S的像是由S中元素的像组成的B的子集，用f(S)表示。

f(S)={f(s)|sS}

令A={a,b,c,d,e}而B={1,2,3,4}，且f(a)=2，f(b)=1，f(c)=4，f(d)=1， f(e)=1。子集S={b,c,d}的像是集合f(S)={1,4}。


定义

例


一对一函数

令函数f称为一对一（one-to-one）的或单射的，当且仅当对于f的定义域中的所有x和y，f(x)=f(y)蕴含着x=y。一对一函数称为单射（injection）。

xy(f(x)=f(y)x=y)xy(x≠yf(x)≠f(y))

判断从{a,b,c,d}到{1,2,3,4,5}的函数是否一对一的，f的定义是

f(a)=4，f(b)=5，f(c)=1而f(d)=3。


定义

例


一对一函数的例子

判断从整数集合到整数集合的函数f(x)=x2是否为一对一的?函数f(x)=x2不是一对一的，因为，例如f(1)=f(-1)=1，但1 ≠-1。若定义域限制为 Z+，函数f就是一对一的。

判断函数f(x)=x+1是否为一对一的。

函数f(x)=x+1是一对一的。因在x≠y时x+1≠y+1。


例

解

例

解


函数为一对一的条件

定义域和伴域都是实数集合子集的函数f称为严格递增的（strictly increasing），如果对f定义域中的x和y，只要x<y就有f(x)<f(y)。类似的，f称为严格递减的（strictly decreasing），如果对f定义域中的x和y，只要x<y就有f(x)>f(y)。严格递增：xy(x<yf(x)<f(y)) 严格递减：xy(x<yf(x)>f(y)) 论域为f的定义域

只要函数是严格递增的或严格递减的，它必定是一对一的。


定义


映上函数

从A到B的函数f称为映上的（onto）或满射的（surjective），当且仅当对每个bB，有元素aA使得f(a)=b。如果函数f是映上的，则称它为映上函数或满射函数（surjection）。映上函数：yx(f(x)=y)，其中x的论域是函数的定义域，y的论

域是函数的伴域；

函数的值域和伴域相等；

判断从{a,b,c,d}到{1,2,3}的函数是否映上的，f的定义是

f(a)=3，f(b)=2，f(c)=1而f(d)=3。


定义

例


映上函数的例子

从整数集到整数集的函数是映上的吗？

f不是映上的，比如说没有x使。

从整数集到整数集的函数f(x)=x+1是映上的吗？

这个函数是映上的，因为对每个整数y，都有一个整数x使f(x)=y。 f(x)=y的充要条件是x+1=y,而这只要令x=y-1就成立。


例2( )f x x

2 1x

例

解

解


一一对应函数

若函数f既是一对一的，又是映上的，就说它是一一对应（one-to-one correspondence）或双射的（bijection）。


定义

例


一一对应函数

若函数f既是一对一的，又是映上的，就说它是一一对应（one-to-one correspondence）或双射的（bijection）。假定f是从集合A到它自身的函数。如果A是有限的，那么f是一对

一的当且仅当它是映上的。

当A为无限集时，这一结论不一定成立。


定义


反函数

令函数f是从集合A到集合B的一一对应，f的反函数是这样一个函数，它指派给B中元素b的是A中使得f(a)=b的一个元素a。f的反函数用f-1表示。若f不是一一对应的，则无法定义反函数。

一一对应关系称为可逆的（invertible）


定义


反函数的例子

令f为从{a,b,c}到{1,2,3}的函数，使f(a)=2，f(b)=3及f(c)=1。f可逆吗？如果可逆，其反函数是什么？

f是可逆的，因为它是一个一对一的对应关系。其反函数颠倒f给出的对应关系，所以，而

。


例

1f 1(1)f c 1(2)f a 1(3)f b

解


反函数的例子

令f为从整数集到整数集的函数，使得f(x)=x+1。f可逆吗？如果可逆，其反函数是什么？

f是可逆的，因为前面已证明它是一一对应关系。

要颠倒对应关系，设y是x的像，即y=x+1。从而x=y-1。即y-1是Z的唯一元素，在f之下与y对应，于是。


例

1( ) 1f y y

解


反函数的例子

令f是从Z到Z的函数，使。f可逆吗？

由于f(-1)=f(1)=1，f不是一对一的，要想定义反函数，就得为1指派两个元素。

因此f是不可逆的。


例2( )f x x

解


函数组合

令g为从集合A到集合B的函数，f是从集合B到集合C的函数，函数f和g的组合用f◦g表示，定义为

(f◦g)(a)=f(g(a)) g的值域必须是f的定义域的子集


定义


函数组合的例子

令g为从{a,b,c}到它自己的函数，使得g(a)=b，g(b)=c而g(c)=a。令f是从{a,b,c}到{1,2,3}的函数，使f(a)=3，f(b)=2而f(c)=1。f和g的组合是什么？g和f的组合是什么？

的定义是，

，而。

是没有定义的，因为f的值域不是g的定义域的一部分。


例

f g ( )( ) ( ( )) ( ) 2f g a f g a f b

( )( ) ( ( )) ( ) 1f g b f g b f c ( )( ) ( ( )) ( ) 3f g c f g c f a

g f

解


函数组合的例子

令f和g为从整数集到整数集的函数，其定义为f(x)=2x+3和g(x)=3x+2。f和g组合是什么？g和f的组合是什么？

和均有定义，即


例

f g g f

( ( )) (3 2) 2(3 2) 3 6 7f g f g x f x x x

( ( )) (2 3) 3(2 3) 2 6 11g f g f x g x x x

解


函数的图像

令f为从集合A到集合B的函数，函数f的图像（graph）是有序偶集合{(a,b)|aA且f(a)=b}。从A到B的函数的图像是A×B的子集，这个子集中包含的有序偶

中第二项等于B中由f指派给第一项的那个元素。


定义


上取整函数和下取整函数

下取整函数（floor function）指派给实数x的是小于或等于x的大整数，用x表示。上取整函数（ceiling function）指派给实数x的是大于或等于x的小整数，用x表示。下取整函数也常称为大整数函数（greatest integer

function），这时往往用[x]表示。


定义


上取整函数和下取整函数

下取整函数（floor function）指派给实数x的是小于或等于x的大整数，用x表示。上取整函数（ceiling function）指派给实数x的是大于或等于x的小整数，用x表示。


定义


上取整函数的例子

在计算机磁盘上的数据或数据网络上的数据通常表示为字节串。每个字节由8个位组成，要表示100字位的数据需要多少字节？

要解决需要的字节数，就要找出小的整数，它至少要与100除以8的商一样大，8是每个字节的字位数。于是，需要的字节数是。


例

1 0 0 / 8 12 .5 1 3

解


下取整函数的例子

异步传输模式（ATM）（用于骨干网络上的通信协议）下，数据按53个字节分组，每组称为一个信元。以速率每秒500千字位传输数据的链接上一分钟能传输多少个ATM信元？

一分钟内这一链接能传输500000×60=30000000字位。每个ATM信元长度是53字节，也就是53×8=424字位。要计算一分钟能传输多少信元，需计算不超过30000000除以424的大整数。则每秒500千字位的连接上一分钟能传输ATM的信元数是。


例

30000000 / 424 70754

解


上取整函数和下取整函数的性质

证明或否定


122

x x x x y x y


阶乘函数

阶乘函数（factorial function）f：NZ+，表示为f(n)=n!，函数的值是n之前几个整数的积，即f(n)=1×2×…×(n-1)×n。 f(0)=0!=1;


定义

(6) 6! 1 2 3 4 5 6 720f 例


2.4 序列和求和

序列（sequence）是从整数集合的子集（通常是{0,1,2, …}或{1,2,3, …}）到集合S的函数，用记号an表示整数n的像，称为序列的一个项（term）。用记号{an}表示序列。

{an}：an=1/n


定义

例


几何序列

几何序列（geometric progression）是如下形式的序列：

a,ar,ar2, …,arn

其中初项（initial term）a和公比（common ratio）r都是实数。几何序列是指数函数f(x)=arx的离散对应物。


定义

例


等差序列

等差序列（geometric progression）是如下形式的序列：

a,a+d,a+2d, …,a+nd其中初项（initial term）a和公差（common difference）d都是实数。等差序列是线性函数f(x)=a+dx的离散对应物。

串（string）：a1a2…an

空串（empty string）：没有任何项的串，记作λ


定义

例


求和记号

求和记号（summation notation）：

=


例


几何级数和双重求和

几何级数（geometric series）：几何序列的各项之和。

若a和r都是实数且r≠0，则

双重求和：

对集合中所有元素对应的值求和：


定理


若干有用的求和公式

中国科学技术大学刘斌中国科学技术大学刘斌 69《数理逻辑与图论》

无穷级数

中国科学技术大学刘斌

例


基数

集合A和集合B有相同的基数（cardinality），当且仅当存在从A到B的一一对应。

有限集或与自然数集合基数相同的集合都称为可数的（countable），不是可数的集合称为不可数的（uncountable）。无限集合是可数的，当且仅当可以把集合的元素列成序列。

正奇数集合是可数的。


定义

定义

例


可数集合的例子

正有理数集合是可数的。


例


不可数集合的例子

实数集合是不可数集合。


例


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