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階層原理を再現しうる多産業立地均衡モデル
第60回土木計画学研究発表会・秋大会
2019年11月30日@富山大学
小林明生，赤松隆東北大学 工学部建築・社会環境工学科
E-mail: [email protected]
都市の階層原理と本研究の目的
都市の階層原理(Christaller, 1933)：
現実の都市で観察される時空間規則性の1つ
どのような構造のモデルが階層原理を再現するのかは未解明
本研究の目的：以下の条件を満たすモデルが階層原理を再現しうることを示す．
① 産業内，企業間の空間競争の存在
② 産業ごとに異なる商圏の設定
③ 産業間の集積力の存在
2
大都市の産業は小都市の産業を部分集合として含む
産業構造の階層化
産業0の企業分布
産業1の企業分布
産業2の企業分布
① 産業内，企業間の空間競争の存在企業の利潤関数＝集積力＋距離依存の分散力＋距離非依存の分散力
距離依存の分散力が存在しないならば，企業分布は単峰化(Akamatsu, et al., 2017)
企業間の空間競争＝距離依存の分散力⇒企業分布の多峰化
② 産業ごとに異なる商圏の設定
異なる商圏の広さ＝異なる大きさの分散力⇒異なる集積間隔
③ 産業間の集積力の存在
①，②の条件のみでは階層原理は実現しない
他産業立地点への集積＝産業間の集積力⇒各産業の同期
3つの条件が階層原理を再現すると考えられる理由
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空間設定：離散的な 箇所の立地点
立地主体： 種類の産業に分類される企業
産業 の企業分布：
立地点 ，産業 の企業の利潤関数：
産業内，企業間の空間競争：
• 消費者が交通費用により財購入地点を選択（Logit型）
産業ごとに異なる商圏：
産業間の集積力：企業数大⇒利潤大
※解析のために詳細な関数形を定義した
条件を満たす多産業モデルの1例4
産業を区別しない企業数企業間の空間競争
財の生産量
集積力
：地点 間の距離：輸送技術：商圏の広さ：各立地点の消費者数
確率安定性解析：ポテンシャル・アプローチ
多産業モデル：複数均衡解の存在
⇒確率安定性解析：大域的・唯一な均衡解の選択が可能
定理1：
KKT条件は均衡条件に一致( )
定理2 (Sandholm, 2010)：
⇒均衡解の列挙により確率安定解を特定可能
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ポテンシャル・ゲームでは，確率安定状態はポテンシャル関数を大域的に最大化する状態と一致する．
多産業モデルの均衡問題は，ポテンシャル関数 をもつポテンシャル・ゲームである：
確率安定解の特定アルゴリズムの概要
以下では円周都市を仮定（右図）均衡解の列挙が容易
空間的境界条件による影響の除去
確率安定解の特定アルゴリズム：
Step.1 均衡解の列挙
Step.2 各均衡解のポテンシャル関数値の計算
Step.3 ポテンシャルを最大化する均衡解を確率安定解として保存
Step.1で列挙する均衡解はモデル依存（次スライドに詳細）
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Step.1 均衡解の列挙本モデルでは自明解はほとんど存在しない
• 自明解：パラメータに依存しない均衡解
非自明解は多数存在
⇒対称性の高い非自明解に限定して列挙
非自明解の算出方法：対称集積パターンを初期値とした進化ダイナミクスの停留点
対称性が見いだされ，企業数が等しい集積パターン
進化ダイナミクス
• 均衡状態への動的調整過程
• 常微分方程式⇒数値解法を適用
スミス・ダイナミック(Smith, 1983)を採用⇒停留点は均衡解かつ局所安定(Sandholm, 2010)
Step.2 各均衡解のポテンシャル関数値の計算
Step.3 ポテンシャルを最大化する均衡解を確率安定解として保存
確率安定解の特定アルゴリズムの詳細8
：産業0：産業1
対応する非自明解の例
対称集積パターンの例
2極・1極 4極・1極 8極・2極 8極・4極
消費者数によらず階層原理が再現多峰型企業分布
産業ごとに異なる集積間隔
各産業の同期
交通費用の減少⇒高次産業が先に集積
⇒階層化
の場合：
確率安定解の分類：
消費者数，交通費用による分類
2産業8都市の場合の確率安定解交通費用 ，消費者数 により分類
設定：産業1の商圏＞産業0の商圏
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：低次産業（産業0）：高次産業（産業1）
低次産業の集積高次企業の集積
小 交通費用 大
高次産業 低次産業
確率安定解の分類：
多都市の場合
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～
～
高次産業 低次産業
2産業64都市各産業の都心（企業数が最大の都市）の企業数をプロット
設定：産業1の商圏＞産業0の商圏
都市数が大きい場合にも階層原理が再現
交通費用の減少
⇒高次産業が先に集積⇒産業構造の階層化
：低次産業（産業0）：高次産業（産業1）
おわりに
以下の条件を満たすモデルが階層原理を再現しうることを示した① 産業内，産業間の空間競争の存在
② 産業ごとに異なる商圏の設定
③ 産業間の集積力の存在
産業構造の階層化メカニズムを示した各産業の企業分布が変化する交通費用が異なるために階層化
今後の研究課題 Rank Size ruleへの発展
• 階層原理の再現により，各都市で異なる企業数が実現
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企業数
参考文献
1. Mori, T., Nishikimi, K. and Smith, T.E.: The Number-average Size Rule: A New Empirical Relationship Between Industrial Location and City Size, Journal of Regional Science, Vol.48, pp.165-211, 2008.
2. Christaller, W.: Die Zentralen Orte in Süddeutschland, Fischer, Jena, 1933 (Central Places in Southern Germany, translated by C.W.Baskin, Prentice-Hall, Englewood Cliffis, N.J., 1966).
3. Lösch, A.: Die räumliche Ordnung der Wirtschaft, Gustav Fische, 1940 (The Economics of Location, translated by W. Woglom, New Haven, CT: Yale University Press, 1956).
4. Fujita, M., Krugman, P. and Mori, T.: On the Evolution of Hierarchical Urban Systems, European Economic Review, Vol.43, pp.209-251, 1999.
5. Tabuchi, T. and Thisse, J.F.: Self-Organizing Urban Hierarchy, CHRJE discussion paper, No. F-414, University of Tokyo, 2009.
6. 高山雄貴，赤松隆：一次元空間における産業構造の構造化メカニズム：コミュニケーション外部性を考慮した多産業立地モデルの分岐解析，土木計画学研究・論文集，Vol.27, No.2, pp.285-295, 2010.
7. 高山雄貴，赤松隆：空間競争を考慮したSocial Interaction モデルによる複数都心の創発，土木学会論文集D3, Vol.67, No.1, pp.1-20, 2011.
8. 山口修平・赤松隆：複数都心形成モデルの確率安定性解析ー線分都市vs. 円周都市ー，土木学会論文集D3（土木計画学），Vol.75, No.2, pp.109-127, 2019.
9. Akamatsu, T., Mori, T., Osawa, M. and Takayama, Y.: Spatial Scale of Agglomeration and Dispersion: Theoretical Foundations and Empirical Implications, RIETI Discussion Paper Series, 17-E-125, 2017.
10. 大澤実：集積経済モデルの数理解析とその周辺，土木計画学研究・論文集D3（土木計画学），Vol.74, No.5, pp.I19-I36, 2018.
11. Krugman,P.R.: Increasing returns and economic geography, Journal of Political Economy, Vol. 99, No. 3, pp. 483-499, 1991.
12. Pfüger, M.: A simple, analytically solvable, chamberlinian agglomeration model, Regional Science and Urban Economics, Vol. 34, No. 5, pp. 565-573, 2004.
13. Tabuchi, T.: Urban agglomeration and dispersion: A synthesis of alonso and krugman, Journal of Urban Economics, Vol. 44, No. 3, pp. 333-351, 1998.
14. Osawa, M. and Akamatsu, T.: Stochastically Stability Analysis of a Model of Endogenous Urban Subcenter Formation, 土木計画学研究・講演集(CD-ROM), Vol.54, 2016.
15. Sandholm, W.H.: Population Games and Evolutionary Dynamics, MIT press, 2010.
16. Wallace, C. and Young, H.P.: Stochastic Evolutionary Game Dynamics, In H.P. Young and S.Zamir(Eds.), Handbook of Game Theory with Economic Applications, Volume 4, pp.327-380, Elsevier, 2015.
17. Ikeda, K., Onda, M. and Takayama, Y.: Spatial period doubling, invariant pattern, and break point in economic agglomeration in two dimensions, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol.92, pp.129-152, 2018.
18. Smith, M.J.: The existence and calculation of traffic equilibria, Transportation Research Part B: Methodological, Vol.17, No.4, pp.291-303, 1983.
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付録1
研究の背景(1)
土木計画に利用可能な集積経済モデルの開発社会基盤整備効果の分析：整備新幹線
地域産業政策の分析：地方部での産業空洞化対策
モデルの最低要件：現実空間での観測事実の再現
観測されている規則性の例：
Rank Size rule
• 都市規模の頻度分布がべき乗分布に従う
Number-Average Size rule (Mori, 2008):
• 各産業が成立する都市数とその平均人口規模の対数線形関係
• 日本の産業データで非常に頑健に成立
上記の規則性を全て再現したモデルは存在しない
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Log(集積都市数)
Log(平均人口規模
)
NAS rule
日本標準産業分類(264産業)
付録2
研究の背景(2)
全ての規則性再現の鍵：都市の階層原理
都市の階層原理 (Christaller, 1933)：
現実の都市で観察される空間規則性
階層化メカニズムのモデルへの導入
⇒都市によって異なる産業数=都市規模の変化
階層原理+NAS rule⇒Rank Size rule (Mori, 2008)
⇒どのような構造のモデルが階層原理を再現するか解明が必要
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産業構造の階層化
産業1の集積パターン
産業2の集積パターン
産業3の集積パターン
大都市の産業は小都市の産業を部分集合として含む
付録3
既往研究
新経済地理学分野での階層原理の再現の試み Fujita et al. (1999)：連続空間・多産業CPモデル
• 総人口が増加する状況下で，産業構造が階層化
△数値計算によって示すのみ
△モデルが複雑なため，各産業の集積分散メカニズムが不明瞭
Tabuchi and Thisse (2009)：離散空間・多産業CPモデル
• 輸送費用の低下に伴う均衡解の分岐により，階層化
△モデルが複雑なため，各産業の集積分散メカニズムが不明瞭
高山・赤松 (2010)：離散空間・コミュニケーション外部性を考慮した多産業立地モデル
• 群論的分岐理論により，階層化を証明
△4立地点2産業でのみ解析的に証明
△局所安定性のみ議論(局所安定な均衡解は複数存在)
⇒どのような構造のモデルが階層原理を再現するかは未解明
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付録4
集積経済モデルのクラスと複数都心集積
クラス(i), (iii)の問題ならば，企業分布が多峰化
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クラス距離依存の分散力
距離非依存の分散力
都心 モデル例
i ○ × 複数
Krugman (1991)Puga (1999)Forslid and Ottaviano (2003)Pfluger (2004)Harris and Wilson (1978)
ii × ○ 単一Helpman (1998)Allen and Arkolakis (2014)Beckmann (1976)
iii ○ ○ 複数Tabuchi (1998)Pfluger and Sudekum (2008) Takayama and Akamatsu (2011)
Akamatsu, et al. (2017)を参考に作成
付録5
確率安定性とポテンシャル・ゲーム
確率的進化ダイナミクス：有限のプレイヤーが利得に従って戦略を選択(離散化)
プレイヤーは最適応答でない戦略を低確率で選択(確率化)
⇒各プレイヤーの戦略を状態空間としたマルコフ連鎖
⇒定常分布(確率ベクトル)：
確率安定状態 ： 大域的かつ唯一な均衡解を選択可能
ポテンシャル・ゲーム：
定理(Sandholm, 2010)：
⇒均衡解を列挙することで確率安定解を容易に特定可能
ポテンシャル・ゲームでは，確率安定状態はポテンシャル関数を大域的に最大化する状態と一致する．
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：ノイズレベル， ：エージェント数
行動主体の利得関数にポテンシャル関数 が存在する集団ゲーム：
非自明解は進化ダイナミクスにより数値的に算出対称集積パターンを初期値としたスミス・ダイナミックの停留点：
各企業が利得に従って動的に立地点を選択
ダイナミックの停留点は均衡解かつ局所安定
付録6
非自明解の数値的な算出方法
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により高次産業が集積する交通費用が変化商圏の広さ の差が小さい⇒同時集積状態(e.g., 2極・2極)が創発
の場合：
の場合：
付録7 確率安定解の分類：
消費者の異質性，交通費用による分類
2産業8都市の場合高次産業の商圏の広さ により分類（低次産業は固定）
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：低次産業（産業0）：高次産業（産業1）
小
商圏の広さ
大低次産業の集積
高次企業の集積
低次産業の集積高次企業の集積