SGCライブラリ–87

量子多体系の物理量子現象の基礎を理解するために

藤本 聡・川上 則雄 共著

サイエンス社

まえがき

「もののことわり」を探究する物理学は，いつの時代にも多くの人々の心を魅了してきた．物理学

は常に進化しており，最近では，より広範な学問をカバーする学問としても新たな進展が見られて

いる．このような物理学において，新しい概念を絶え間なく生み出しているものに「多体問題」が

ある．中でも量子多体問題は，物理学に現れる多くの量子現象の基礎を与えるものである．“More

is different” (P.W. Anderson) という言葉に代表されるように，多くの粒子たちが集まると，ミ

クロな理論からはすぐには想像できないような新しい現象が現れる．最近よく耳にする「創発性」

(emergence)がまさにこの本質をつく言葉である．創発性は「基本法則のみでは容易に演繹できな

いような現象の発現や新しい概念の創生」を意味する．南部陽一郎先生のノーベル賞受賞の対象と

なった「対称性の自発的破れ」とそれに伴う相転移が「創発性」の典型例である．

このような「創発性」の源となっているとも言える量子多体問題では，粒子間相互作用に起因す

る多体効果が，多様な現象の本質を担っているといっても過言ではない．したがって，量子多体現

象を理解するということは，粒子間相互作用に起因する多体問題をどのように定式化し現象の本質

を記述するかという点に集約される．

本書は，量子多体問題の系統的な研究方法として，量子多体系の基礎，くりこみ群，共形場の理

論，動的平均場理論を入門的に解説することを目的としている．本書で扱う題材は大部分，固体中

の電子や冷却原子気体等の物性物理学に関するものである．

まず第 1章で，量子多体論の基礎として，量子統計，場の理論，経路積分，グリーン関数法など

を解説する．この章の主な目的は第 2章～第 4章を読み進める上で必要となる基礎を提供すること

である．これらの事項についてはすでに多くの教科書が世に出ているが，量子力学を習い終わった

大学 4年生程度を念頭において，本書だけで理解できるようにつとめたつもりである．また，基礎

事項だけでは物足りない読者のために，少し進んだ最近のトピックとして非アーベル量子統計につ

いても概説した．

第 2章では量子多体系を扱う強力な方法であるくりこみ群を紹介する．くりこみ群についての解

説書も既に多く出版されている．しかし，既存の多くの教科書は，古典的な臨界現象への応用に重

点を置いたものとなっている．くりこみ群は臨界現象のみならず，多体問題全般の理解に重要な役

割をする理論手法である．ここでは特に量子多体問題への応用例として，電子系の磁性，超伝導，

および量子スピン系から取った題材を中心に，基礎から詳しく解説した．合わせて量子臨界現象等

の概念についても説明している．専門的な論文を読み進めるのにも十分役に立つと思う．

第 3章では共形場理論について解説する，共形場の理論は主に素粒子物理学で発展してきた理論

であるが，統計物理，物性物理に現れる臨界現象を記述する基本的な枠組みであり，強力な解析方

法を提供する．ここでは主に 1次元量子系を対象として，共形場理論の物性物理への応用を説明す

る．共形場の理論はそれだけで強力な方法であるが，これに従来からのボゾン化法や第 2章で述べ

たくりこみ群などを組み合わせることにより，系統的でかつ強力な研究手段を提供する．

第 4章では，動的平均場理論を解説する．モット転移に代表される強相関現象を理論的に取り扱

うには，通常の平均場理論や摂動論を超えた枠組みが必要となる．動的平均場理論は電子相関効果

の弱い領域から強い領域までを一つの枠組みで系統的に扱うことができるので，量子多体系に広く

応用されている．この理論では局所的な量子揺らぎが正確に取り入れられる．さらに空間的に広がっ

た量子揺らぎを取り入れる拡張もクラスター型の動的平均場理論で行われている．ここでは動的平

均場理論のエッセンスを紹介し，応用例としてモット転移を取り扱う．

紙数の都合上，本書で十分に扱うことができなかった重要事項も多くある．固体中電子の典型的

な相転移である磁性，超伝導，超流動の基礎事項については他書で理解を深めて欲しい．量子多体

系に関する邦語の教科書はたくさん出版されているので，そのような教科書と本書を併用する形で

利用すれば，理解がさらに深まると期待している．

本書の内容は，これまでの多くの研究者との議論がもとになっている．特に共同研究者でもある

(故)梁成吉，福井隆弘，佐藤昌利，藤井達也，塚本康正，古賀昌久，今井剛樹，川口晃，宮下哲，阪

野塁，大橋琢磨，稲葉謙介，吉岡匠也，田中洋一，藤原祐介，山本篤史，北倫子，Robert Peters，

多田靖啓，山田康弘，作道直幸，野田数人，吉田恒也，小山洋太，古川雄大の各氏には多くのこと

をご教授いただいた．ここに記して感謝したい．

本書を出版するにあたり，原稿の段階から出版までご苦労をおかけした平勢耕介氏をはじめとす

るサイエンス社「数理科学」編集部の皆様に深く感謝する．

2011年 9月

藤本聡 川上則雄

ii まえがき

目 次

第 1章 量子多体論の基礎 1

1.1 量子力学から量子多体論へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 量子統計—ボゾンとフェルミオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 量子場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 第 2量子化による多体問題の記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 量子統計その 2—分数統計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 量子統計その 3—非アーベル統計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 経路積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 ボゾン系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 フェルミオン系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 スピン系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 グリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 温度グリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 線形応答理論と遅延グリーン関数，先進グリーン関数 . . . . . . . . . . . . 33

1.3.3 グリーン関数の摂動計算とWickの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.4 1粒子グリーン関数と自己エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.3.5 金属中電子の電気伝導率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 2章 くりこみ群の方法 47

2.1 くりこみ群の考え方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 フェルミオン系—フェルミ液体，超伝導— . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.1 フェルミ粒子系におけるくりこみ群の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.2 超伝導不安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.3 フェルミ液体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 ボゾン系 — スピン揺らぎ，密度揺らぎ，超伝導揺らぎ，量子臨界現象 — . . . . . 60

2.3.1 くりこみ群方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.2 くりこみ群方程式の解—古典臨界性から量子臨界性へ . . . . . . . . . . . . 65

2.3.3 量子臨界点近傍における電子系の性質— スピン揺らぎの場合 . . . . . . . . 69

2.3.4 超伝導揺らぎと短距離相関の揺らぎによる擬ギャップ . . . . . . . . . . . . 74

2.4 量子反強磁性体のくりこみ群による解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.4.1 反強磁性体の低エネルギー有効理論—非線形シグマ模型 . . . . . . . . . . . 77

2.4.2 量子非線形シグマ模型のくりこみ群方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.4.3 量子反強磁性体の低エネルギーの性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.5 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5.1 2次元 XYスピン系の相転移と臨界現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5.2 2次元 XYスピン系の低温相ースピン波相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.5.3 渦糸励起と BKT転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

第 3章 共形場の理論と 1次元量子系 100

3.1 1次元系における量子臨界現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.1.1 1次元量子液体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.2 1次元電子系と朝永–Luttinger液体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.2 共形場の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.1 基礎的なことがら . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.2 有限サイズスケーリング . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.2.3 c = 1ガウシアン理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.2.4 電子系の厳密解と朝永–Luttinger液体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.2.5 閑話：素粒子の弦理論と 1次元電子系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.3 境界のある共形場の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.1 境界共形場理論の基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.3.2 不純物系のスペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.3.3 カノニカル臨界指数と局所フェルミ液体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.3.4 赤外発散に関連した異常指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.3.5 マルチチャネル近藤効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.4 ボゾン化法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.4.1 朝永–Luttinger模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.4.2 位相ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.4.3 ハイゼンベルク模型のボゾン化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.4.4 非線形シグマ模型と Haldaneギャップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.5 実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

第 4章 動的平均場理論 140

4.1 強相関系へのアプローチ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2 動的平均場理論の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.2.1 ミクロな導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2.2 自己無撞着方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.3 モット転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.4 クラスタ型の動的平均場理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.5 フラストレート電子系でのモット転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.5.1 カゴメ格子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.5.2 1次のモット転移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

iv 目 次

4.5.3 フラストレーションの緩和とくりこみ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

参考文献 163

索 引 167

v

第 1 章

量子多体論の基礎

この章では量子多粒子系を理論的に扱う上で基礎となる事項について説明す

る．量子統計，場の理論の基礎，量子場の経路積分，多体論におけるグリーン

関数法等について入門的に解説する．

1.1 量子力学から量子多体論へ

1.1.1 量子統計—ボゾンとフェルミオン

量子力学に従うN 個の同一粒子からなる系を考えよう．各粒子は実空間での

座標 ri，(i = 1, 2, ..., N)にあるものとする．話をより具体的にするため，ハ

ミルトニアンHは，

H =∑i

[−�

2∇2i

2m+ V (ri)

]+∑i,j

U(ri − rj) (1.1)

であるとする．第 1 項は運動エネルギー項と 1 体のポテンシャル項 V (r) か

らなり，第 2項は異なる粒子間の相互作用項である．時刻 tにおける波動関数

Ψ(r1, r2, ..., rN , t)は，Schrodinger方程式

i�∂Ψ

∂t= HΨ (1.2)

を満たす．量子力学に従う粒子は波としての側面も持ち，空間座標と運動量を

同時に特定することはできない．したがって，時刻 tにおける個々の粒子の運

動の軌跡 ri(t)というものは（量子力学的平均を取らない限り）意味を持たな

い．つまり，ある時刻 tにおいて ri にある粒子は，時刻 t′ > tにおいて，0で

ない確率で位置 r′iにも r′j (j �= i)にも存在することが可能である．同じく時刻

tにおいて rj にある粒子も，時刻 t′ > tにおいて 0でない確率で位置 r′i と r′j(j �= i)に存在することができる．このことは，同一種類の多粒子系において，

任意の 2つの粒子を入れ替えた状態は，粒子を入れ替える前の状態と区別でき

第 2 章

くりこみ群の方法

くりこみ群は相転移近傍の臨界的振る舞いを記述する強力な手法であるが，

それだけでなく，量子多体系の低エネルギーの性質を調べる上でも威力を発揮

する．本章では電子系，量子磁性体等から題材を選んで，くりこみ群の基本的

な考え方を導入するとともに，この方法をいかにして量子多体系の問題に適用

するかについて解説する．

2.1 くりこみ群の考え方

くりこみ群はマクロな数の要素からなる多粒子系，多自由度系を扱う一つの

理論手法である [18], [23]．マクロな数の電子や原子，分子が集まり，相互作用し

合うことによって生ずる多体現象，協力現象，相転移（磁気転移，超伝導転移，

構造相転移等），および相転移点近傍における臨界現象などを理解する上で，く

りこみ群は最も重要な理論手法の一つと言える．最も顕著な応用例は，相転移

に伴う臨界現象の解析であるが，くりこみ群の適用範囲は，それよりもっと幅

広い．例えば，相転移は起こらないが非自明な多体問題である近藤効果のよう

な 1不純物問題も，くりこみ群を応用して大きな成功を収めた典型例である．

くりこみ群は臨界現象のみならず，量子多体問題全般において，有力な解析手

法を提供する．

一般にマクロな数の要素からなる多体問題を正確に扱うことは，ごく少数の

例外を除いて極めて難しい．そこで，多体系を理論的に理解するために通常，

何らかの近似が用いられる．最も初等的な近似手法は，系全体を一様に平均化

して，多体の相互作用を何らかの平均場と 1粒子（1要素）との相互作用に帰

着させる平均場近似である．磁気転移や超伝導転移など熱力学的な相転移を記

述する最も簡単な近似手法として，平均場近似は有力である．しかし，この近

似では，相転移点近傍で発達する熱的あるいは量子的な揺らぎ（一様性からの

ズレ）の効果は扱えない．揺らぎの発達によって系がどのように相転移点へと

第 3 章

共形場の理論と1次元量子系

低次元量子系では大きな量子揺らぎの効果で，高次元とは異なった面白い現

象が現れる．中でも 1次元量子系の話題はたいへん豊富であり，量子ホール系

のエッジ状態，量子細線，有機物質などの固体電子論におけるものからさらに

は可積分模型のような数理的なものまで多岐にわたっている．一方で，素粒子

論において弦理論の基礎として発展してきた 2次元共形場の理論 (conformal

field theory)は，弦理論のみならず 2次相転移の臨界現象の基礎を与えるもの

として物性物理の分野においても広く活用されている．特に 1次元量子系にお

いては，絶対零度付近で生じる「時空 1 + 1次元」の量子臨界現象が共形場の

理論で記述される．

本章では，1次元量子系を具体的なテーマとして設定し，共形場の理論の物

性物理への応用に関する基礎的な事柄を説明する．まず，1次元量子系の臨界

現象について簡単にまとめたあと，共形場の理論を導入する．また，1次元量

子系を扱うスタンダードな方法であるボゾン化法についても紹介する．カーボ

ンナノチューブなどの実験への応用についても簡単にふれる．

3.1 1次元系における量子臨界現象

近年，物性物理学のいろいろな分野で 1次元量子系が注目を集め，精力的な

研究が展開されている．高温超伝導物質に関連して系統的に合成された 1次元

スピン系や梯子型スピン系，これにホールをドープした相関電子系などが典型

例である．また，半導体の分野では量子細線やカーボンナノチューブなども理

想的な 1次元量子系の研究舞台を与えている．

1次元量子系の低エネルギー物理には，系の詳細にはよらないユニバーサル

な振る舞いが現れる．これを記述する枠組みは「朝永–Luttinger液体」と呼

ばれ，3次元の「フェルミ液体」に相当する 1次元量子系の基礎概念となって

いる．このようなユニバーサルな振る舞いは，1次元量子系の美しい対称性と

第 4 章

動的平均場理論

モット転移などの強相関現象を理論的に取り扱うには，通常の平均場理論や

摂動論を超えた枠組みが必要となる．1990年代になって電子相関効果の弱い領

域から強い領域までを一つの枠組みで系統的に扱うことのできる動的平均場近

似が提案され，量子多体系に広く応用されている．この理論では局所的な電子

相関（量子揺らぎ）が正確に取り入れられる．さらに空間的に広がった量子揺

らぎを取り入れる拡張もクラスター型の動的平均場理論で行われており，フラ

ストレーションを持つ強相関電子系などで成功を収めている．本章では，動的

平均場理論のエッセンスを紹介し，応用例としてモット転移をとり扱う．

4.1 強相関系へのアプローチ

相互作用する電子系を記述する簡単化された模型としてハバード模型があり，

古くから盛んに研究されてきた．このような多電子系で生じる超伝導や磁性な

どの多彩な物性を記述する出発点として平均場理論がしばしば用いられる．し

かしながら，強い電子相関の下では，通常の平均場理論においては取り入れら

れない動的な揺らぎの効果が重要となる．このような強相関電子系を系統的に

取り扱う理論を確立することは，物性理論の重要課題となっている [57]～[59]．

一般に強相関効果を正確に扱うことは 1次元系を除いてたいへん難しい．この

ため，2次元や 3次元系の相関効果を扱う近似法が数多く開発されてきた [57]～[59]．

弱相関の極限から出発するスタンダードな近似法として乱雑位相近似がある．

これは金属相におけるスピン揺らぎ効果を記述するのに成功を収めてきたが，

強相関効果の解析には適していない．強相関領域に特化した方法として，補助

粒子を用いたアプローチがある．この方法は，ヒルベルト空間の拘束条件を補

助粒子により表すものである．しかし多くの場合，補助粒子に平均場近似が用

いられ，定性的な議論をする際にも注意が必要となる．一方で，有限サイズの

系に対する強力な数値的手法として，厳密対角化法や量子モンテカルロ法があ

参考文献

[1] A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov and I.E. Dzyaloshinski, “Methods of Quantum Field The-

ory in Statistical Physics”, (Dover, 1975). この本は決して読み易くないが，それでも量子多

体論の古典なので 1章から 4章くらいは読むことを薦める．

[2] A. L. Fetter and J. D. Walecka, “Qauntum Theory of Many-Particle Systems”, (Dover,

2003). これも古典であるが [1]と違って丁寧すぎるほど説明が詳しい．

[3] G. D. Mahan, “Many-Particle Physics” (Second edition), (Plenum, 1990). 2011年の時点

で最も新しい版は「Third edition」であるが，輸送現象に関する説明は「Second edition」（3，

7章）の方が詳しい．大部の著であるが，輸送現象に関する記述は一読の価値がある．

[4] たとえば 長岡洋介「統計力学」（岩波書店，1994年）；宮下精二「熱・統計力学」（培風館，1993

年）；久保亮五「大学演習　熱学・統計力学」（裳華房，1998年）．

[5] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, “Quantum Mechanics and Path Integrals”, (Dover,

2010).

[6] J. Zinn-Justin, “Quantum Field Theory and Critical Phenomena”, (Oxford, 2002). これ

も場の理論のバイブルのようなもの．学ぶこと多々．

[7] 崎田文二, 吉川圭二「経路積分による多自由度の量子力学」（岩波書店，1986年）．

[8] V. N. Popov, “Functional Integrals and Collective Excitations”, (Cambridge, 1991). 経路

積分法の基礎と物性物理への応用がコンパクトにまとめられている良書．

[9] J. W. Negele and H. Orland, “Quantum Many-particle Systems”, (Westview Press, 1998).

経路積分に詳しいが，それに基づく物理の議論はやや少なめ．

[10] J. M. Ziman, “Principles of the Theory of Solids”, (Cambridge, 1972). 本文中で説明なし

に用いた固体物理の基礎知識（ブロッホ関数，ブリルアンゾーン等）については，このような

教科書で補ってほしい．

[11] P. G. de Gennes, “Superconductivity of Metals and Alloys”, (Westview Press, 1989).

[12] たとえば 吉岡大二郎「量子ホール効果」（岩波書店，1998年）; 青木秀夫，中島龍也「分数量

子ホール効果」（東京大学出版，1999年）．

[13] G. Moore and N. Read, Nucl. Phys. B 360, 362 (1991).

[14] N. Read and D. Green, Phys. Rev. B61, 10267 (2000); D. A. Ivanov, Phys. Rev. Lett.

86, 268 (2001); M. Stone and S. B. Chung, Phys. Rev. B73, 014505 (2006).

[15] C. Nayak, S. H. Simon, A. Stern. M. Freedman and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 80,

1083 (2008).

[16] M. Sato, Y. Takahashi and S. Fujimoto, Phys. Rev. Lett. 103, 020401 (2009); L. Fu and

C. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407 (2008).

[17] J. M. Radcliffe, J. Phys. A4, 313 (1971); A. M. Perelomov, “Generalised Coherent States

and Their Applications ” (Springer-Verlag, 1986).

[18] K. G. Wilson and J. Kogut, Phys. Rep. 12, 75 (1974).

[19] R. Shankar, Rev. Mod. Phys. 66, 129 (1994). くりこみ群のフェルミ粒子系への応用を基礎

から解説している．

[20] T. Chen, J. Frohlich and M. Seifert, in “Fluctuating Geometries in Statistical Mechanics

and Field Theory”, Les Houches, Session LXII, 1994 (Elsevier, 1996). これもフェルミ粒

子系におけるくりこみ群法の入門的解説．ただし，本論文中，自由フェルミオン場の次元の議

論（論文中 (3.6)，(3.7)式）は，フェルミ面の効果を無視しているため正しくない．本書 2.2

節 46，47ページの議論を参照．

[21] J. A. Hertz, Phys. Rev. B 14, 1165 (1976).

[22] A. J. Millis, Phys. Rev. B 48, 7183 (1993).

[23] たとえば P. M. Chaikin and T. C. Lubensky, “Principles of condensed matter physics”

(Cambridge, 1995).

[24] 守谷亨「磁性物理学」（朝倉書店，2006年）．

[25] A. Rosch, Phys. Rev. Lett. 82, 4280 (1999).

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166 参考文献

索 引

アアンダーソンモデル 125, 150

位相シフト 125

位相ハミルトニアン 132, 135

渦糸 91, 94

ウムクラップ散乱 45, 135

運動量分布 102

運動量分布関数 32

演算子積展開 98, 107

重い電子系 74

温度グリーン関数 27, 37

カカーボンナノチューブ 138

解析関数 105

回転不変性 106

ガウシアン理論 94, 114

ガウス積分 15, 21

カゴメ格子 155, 156

カレント代数 114, 116, 118, 133

擬ギャップ 74

擬長距離秩序 91, 94

キュムラント展開 52

境界演算子 129

境界次元 129

共形異常 107

共形次元 117

共形タワー構造 109, 112

共形場の理論 100

共形場理論 94

共形不変性 101, 104

共形変換 104, 116, 123

強磁性 61

局所フェルミ液体 126

虚時間 13, 17

クーパー対 54

久保公式 35

組ひも群 7

グラスマン数 18, 144

グリーン関数 143, 146

くりこみ群 47

くりこみ群方程式 51, 56, 57, 63, 64, 68, 69,

85, 97, 98

経路積分 12, 143

厳密解 119, 120, 129

弦理論 122

後方散乱 45

コーシー–リーマンの条件 104

固定点 57, 85

古典臨界 65, 68

近藤効果 47, 123, 124, 128

コンパクト化 115

サ最高ウェイト 111

三角格子 155

酸化物高温超伝導 60, 74, 75, 80

時間順序積 28

次元 51

自己エネルギー 41, 53, 143, 147, 154

自由ボゾン場 114

準粒子 43, 58, 102

準粒子ウェイト 43

準粒子ダンピング 43

準粒子の寿命 43

常磁性電流 36

上部臨界次元 65, 69

スケーリング次元 113

スケーリング則 99, 122

スケール不変性 103, 106

スケール変換 50, 51, 62, 101

ストレステンソル 105, 116

スピノン 103

スピン・コヒーレント表示 24

スピン・電荷の分離 120

スピン・パイエルス (spin-Peierls)状態 90

スピン液体 156

スピンギャップ 136

スピンと電荷の分離 103

スピン波相 92

スピン揺らぎ 60

正規積 98

生成汎関数 40

世界面 122

セカンダリー場 110

赤外発散 127

セル型動的平均場理論 153

線形応答理論 34

先進グリーン関数 34, 37

セントラルチャージ 12, 107

相関関数 113, 118, 121

相関距離 103

相関長 48, 66, 88

粗視化 48

タダイソン方程式 148

タイトバインディング模型 157

第 2量子化 2, 5

遅延グリーン関数 33, 37

超伝導 54

超伝導揺らぎ 74

ディラックフェルミオン 131

電気伝導率 44, 72

等角写像 104

動的クラスタ理論 153

動的指数 62

動的平均場理論 140

トポロジカル項 79, 80, 137

朝永–Luttinger液体 59, 99, 100, 103, 119

朝永–Luttinger模型 129, 131, 135

ドルーデ重み 46

ドルーデの式 45

ナネーターの定理 116

熱揺らぎ 67, 68

ハハートリー–フォック近似 143

ハーフフィリング (half-filling) 149

ハイゼンベルク模型 23, 133, 141

ハイパースケーリング則 65

バックフロー 46

ハバード模型 60, 140, 143

反強磁性 61

反磁性電流 36

反復 2次摂動 150

非アーベル統計 7

非線形シグマ模型 77, 136

非フェルミ液体 129

フェルミ液体 57, 100, 102, 103, 152

フェルミオン 2, 4

フェルミオン・コヒーレント状態 18

プライマリー場 109, 117

フラストレーション 153, 155, 160

ブロッホ波動関数 37

分数統計 6

平均場近似 47, 141

並進不変性 106

べき異常 102

ボゾン 2

ボゾン・コヒーレント状態 14

ボゾン化法 129, 133

ボルン近似 73

ホロン 103

マ巻き付き数 115

松原振動数 31, 32, 146

マヨラナ・フェルミオン 8

モット転移 140, 149, 155, 159

ヤ有限サイズスケーリング 111, 114, 118, 120,

124

ユニバーサリティクラス 124

ラリー代数 109

168 索 引

量子液体 101

量子スピン系 136

量子揺らぎ 18, 101

量子臨界 65, 68, 69, 73, 88

量子臨界系 112

量子臨界現象 100

臨界現象 100

臨界指数 65, 102, 119, 121, 123

欧字・記号1次元電子系 102, 122, 138

1次元朝永–Luttinger液体 94

1次元量子系 100

Berezinskii-Kosterlitz-Thouless転移 90

Berry位相 27, 78

BKT転移 91

conformal spin 10

engineering dimension 51

Ginzburg-Landau方程式 61

Haldaneギャップ 101, 136

Hubbard-Stratonovich変換 61

Jordan-Wigner変換 134

Kac-Moody代数 116

marginal 69

marginally irrelevant 69

Mermin-Wagner-Colemanの定理 77, 86, 90

parafermion theory 12

Poisson公式 96

sine-Gordon模型 99, 134

SU(2)リー代数 111

topological degeneracy 11

topological spin 10

valence bond crystal (VBC)状態 90

Virasoro生成子 108

Virasoro代数 105, 109

von Neumannの方程式 34

Wickの定理 28, 38, 39, 44

X線吸収端異常 127

169

著者略歴

藤ふじ本もと 聡さとし

1993 年 京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻博士課程修了 博士（理学） 京都大学助手，京都大学助教，京都大学大学院理学研究科物理学・ 宇宙物理学専攻准教授等を経て現　在 大阪大学大学院基礎工学研究科教授現在の専門　凝縮系理論，統計物理学

川かわ上かみ 則のり雄お

1982 年 大阪大学大学院工学研究科応用物理学専攻修士課程修了 工学博士 大阪大学助手，京都大学助教授，大阪大学教授を経て現　在 京都大学大学院理学研究科物理学・宇宙物理学専攻教授主要著書「共形場理論と 1次元量子系」（岩波書店，1997）（共著）「一次元電子系の数理」（岩波書店，2002）現在の専門　凝縮系理論，統計物理学

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-87

『量子多体系の物理 量子現象の基礎を理解するために』（電子版）

著　者　藤本 聡・川上 則雄2019 年 3 月 10 日　初版発行　ISBN 978─4─7819─9960─9この電子書籍は 2011 年 12 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．

数 理 科 学 編 集 部 発行人　森　平　敏　孝TEL.（03）5474─8816FAX.（03）5474─8817

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