大塚 厚二

広島国際学院大学 情報学部

連続体力学入門

数理モデルから可視化まで

プログラミング

可視化

実世界 数理モデル 離散化

数値解析

実験と比較

理論解析

数理モデルと連続体力学

FreeFem++

vffem

実世界 連続体力学 有限要素法

数値解析

実験と比較

変分法

連続体力学とは�

変形する連続する物体(固体，流体および気体)を扱う

エネルギー，ニュートン力学，そして熱力学を使用

数学的には，連続体力学≒微分幾何学

リーマン多様体上の連続体力学も有るが，ここではデカルト座

標系の連続体力学

J.Marsden, T.Highes: Math. Foundation of Elasticity

ここでは，固体，流体，熱などの方程式を導出する。

物質表示と空間表示�

空間表示(Euler)：質点の移動後を位置と時間を独立 ,x t

物質表示(Lagrange)：移動後を , , ,1 2 3X X X tx x

物質表示と空間表示(2)�

空間表示 ,tx の物質表示は 1-1 写像 , , ,1 2 3x X X X tx

速度ベクトル , ,t X tt

v x x

空間導関数(spatial derivative)

, , , grad , ,xx t x t x t x tt

物質導関数(material derivative) , ,dx t x t

dt

, , ,

, ,

j k

j k

X xx t x t x t

t t X x

x t x tt

v

体積積分の物質微分

(1.1) , , , div B t B t

Dt t t

Dt x x x v

【証明】

, lim ,

, ,

B t B t Bt ot 0

B t B B t

B t B

D 1t X t X

Dt t

X t X X t X

X X

x x

x x

, divB t B

t 0

Dt x v

Dt

x x

Gaussの定理�

1 1V Vf x dx f n dS

, ,

, , , ,

kk

a b

1 1 2 3 1 2 3BB

1 2 3 2 3 1 2 3 2 3S S

f x x x x dx dx dx

f a a a dx dx f b b b dx dx

cos ,a

2 3S

1

1

dx dx

x dS

n dS

n

1x

2x

kBaS

bS

1dx

3dx2dx

n dS

Greenの公式�

二つの関数 ,f x g x が与えられたとき，

1 1 1fg f g f g

である。左辺に Gauss の定理を使うと

1 1V Vfg fgn dS

を得る。よって，次の公式を得る。

(1.2) 1 1 1V V Vf gdx fgn dS f g dx

質量保存則と連続の方程式�

質量が保存されるには

(1.3) ,V t

Dt 0

Dt x

(1.1)から連続の方程式を得る。

(1.4)

div

div

V V0

t

0t

0

v n

v

v 　

典型的な荷重-伸び曲線(弾性域拡大)

テンソル�

2 つの固定した直交座標系 , ,1 2 3x x x ， , ,1 2 3x x x は変換法

則 i ij jx x で関連付けられているとする。

, , Einsteini ij j i ij j

j 12 3

x x x x

の総和

座 標 系 , ,1 2 3x x x で , , , ,ijT i j 1 2 3 ， 座 標 系 , ,1 2 3x x x で

, , , ,ijT i j 1 2 3 が定義され，

,ij mn im jn ij mn mi njT T T T

を満たすとき，直交座標系に関する２階のテンソルが定義された

という。

歪(Strain)テンソル�ij�

ベクトル ,t t u x p pを変位ベクトル。歪テンソルは

, ,

ij i j j i i j12 3

2 t u t u t u t u t

, ,

, ,

2 210 ij i j2

2 2o kk 12 3

2 2kk 12 3

ds ds dX dX

ds dX

ds dx

dx u t dX

微小歪理論では、 ij t は

i j j iu t u t 2

応力(Stress)テンソル� ij �

表面力(surface�force)�

場の方程式の誘導

いままで、物体の変形を記述するとき，変形していない基準形状

からの視点(物質視点, Material description, Lagrange 表示)と

変形後からの視点(空間表示, Spatial description, Euler 表示)

が使うことで、連続の方程式を導いてきた。伝統的には，固体の

変形は物質表示，流体は空間表示が使われてきた。

さらに，変位ベクトル，歪，応力の概念を導入し、Newton の運動

法則を導入することで、連続体に対する Euler の運動方程式が導

ける。

運動の法則 (1)�

B(t)：時刻 t での物体の占める空間

r： 原点に対する位置ベクトル

V： 質量 rdv の粒子の速度ベクトル

, B t

B t dv VI （運動量）

Newton の運動の法則により、運動量の変化率は物体に作用

する全体の力に等しい。領域 V B t で

(1.5) s t

DV V

Ds I F

表面 V に作用する表面力 tg と単位面積当りの物体力 tf によ

るV での力は

V V

V t t

g fF

Cauchy の応力 i ij jg t t n を代入し、Gauss の定理を使うと

i j ijVV t t fF

Newton の運動法則は

t i j i j j ijV Vv v v t t f

さらに、連続の方程式から

divt i j i j i i iv v v v v v v

となり、次の Euler の運動方程式を得る。

(1.6) i i ijv t t t f

構成方程式と問題の簡単化

材料の特性を表す構成方程式の多くは，応力－歪関係によって

記述される。ここで述べる，完全流体，Newton 流体および完全

弾性体の構成方程式は実在と異なる理想化されたものである。

しかし，実在の多くの材料の力学的特性は，これらで良く記述さ

れている。また，材料が等方性をもつと著しく簡単化される。

また、場が平衡状態にあるとき、時間tに依存しないため Euler

の運動方程式は

(1.7) in j ij if

となる。

等質・等方材料�

実験結果は，引張試験片をインゴットからの切出し方向に無関

係

横方向の縮みは，引張り方向に垂直な あらゆる方向に同じ。

等方性テンソルの性質�

原点を通る軸 , ,1 2 3 を中心とする角度の回転は

i ij k kij jx e x

で表すことができる。ここで， ijke は置換テンソル。2 階のテンソル

ijC が等方性を持つとは，次が成り立つことである。

lim 1mn im s sim jn s sjn ij

0C e e C 0

同様に，すべてのテンソルについて等方性が定義できる。

2 階テンソルが対称で等方 ⇒ ; ij ijp C p

4 階テンソルが〃 ⇒ , ; ijkl ij kl ik jl il jkC

完全流体（perfect�fluid)�

応力テンソルが等方な流体。

:ij ijp p 圧力

Newton流体�

応力が変形速度に比例する粘性流体

:

:

ij ij ijkl kl

1kl l k k l2

ijkl

p V

V v v

D

D

変形速度テンソル

流体の粘性係数

さらに，等方向性をもてば

div

ijkl ij kl ik jl il jk

ij ij ij ijp 2 V

v

D

が成り立つ。

Navier-Stokes�方程式�

Newton 流体に質量保存則(1.3)と Euler の運動方程式(1.6)を使

うと

div grad grad grad

div

T2 p

0

v v v f

v

を得る。ここでは，密度は定数と考えている。

物質導関数と div gard を使うと

(1.8) grad grad

div , ,

pt

p0 p

vv v u f

v

線形弾性体(Hooke’s�law)�

応力テンソルと歪テンソルが線形関係

(1.9) ij ijkl kl ijkl klij jilkC C C C

線形弾性体が等方性をもつなら

(1.10) ij ij ij2

弾性係数 Young 率 E，ポアソン比 を使うと

, ,E E E

11 1 2 2 1 2

鋼では，E=21100kgf/mm2, =8100kgf/mm2, =0.25。

アセチル塩化ビニールでは，E=320kgf/mm2。

固体の支配方程式�

3点曲げ試験�

D

g

, , , ,3 1 1 1 2 2 2 1 2u 0 u u x x u u x x in ; on ;

, on j ij D

22 21 N

0 0

g 0

u

古典的熱力学

熱力学で研究される物質の特別な集合を系(system)とよぶ。古

典熱力学は，均質系の内部あるいは均質な部分から成る不均質

系の内部の平行条件を扱う。記号qで，単位面積当りの熱流を表

す熱流束ベクトル(heat flux vector)とする。

Uを内部エネルギーの密度関数とするとき，第 1 基本法則は

k k k k kl k l lV V Vv v U f v v q n dS

となる。運動量の定理(1.5)から次を得る。

divkl l kU v q

ここで，熱流ベクトルと温度の勾配 T の間が線形だとすると

k kl lq T

の形になる。系が等方のとき，Fourier の法則 k kq T

内部エネルギー関数 , ,ij klU T の物質微分は

ij klj i kl TU U v U T U

ここで， kl は系の内部で化学反応のように物質の変形や温度変

化以外の要素を表す内部パラメータである。

純粋加熱仮定では， j i klv 0 となるので，比熱c U T

を導入すると熱伝導の微分方程式 (1.11) tc T T

を得る。このとき，物体は剛体である。

熱弾性(Thermo-Elasticity)�

微小変形のとき，Hooke の法則の Duhamel-Neumann 形式

ij ijkl kl ij 0C T T

が成り立つ。ここで， ijklC は基準温度 0T における Hooke のテンソ

ルである。もし，物質が等質等方ならば

(1.12) divij ij ij 0 ij2 T T u

ここで，線膨張係数をとするとき， E 1 2 。また，温度に

ついては熱伝導に関する Duhamel の微分方程式

(1.13) divt 0 tc T 3 2 T T u

が成り立つ(H. Ziegler 連続体の熱・力学入門, p.122)。