eco in certain 03 01

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Economie de l’incertain et de l’information - L3

Université Paris 2 Panthéon-Assas

January 3, 2012

Université Paris 2 Panthéon-Assas Economie de l’incertain



Bibliographie:

Jean-Louis Cayatte, Introduction à l’économie de l’incertitude ,de boeck

Octave Jokung, Microéconomie de l’incertain, Dunod

Site Web:

http://sites.google.com/site/victorhiller/teaching




I- Rappels et notations en univers certain

A. Théorie de base du consommateur

Cadre: On part d’un ensemble d’alternatives possibles noté X .Exemple:

X ≡ {aller en cours , ne pas y aller}X ≡ {différentes quantités d’un bien}

X ≡ {différents paniers de bien}On cherche à représenter les préférences d’un individu concernantces différentes alternatives.





B. Relation de préférence

Nous noterons une relation de préférence. Celle-ci permet decomparer toutes paires d’alternatives x , y

∈X :

x y ⇐⇒ "x est au moins aussi bien que y "

A partir de cette relation nous pouvons définir:

Une relation de préférence stricte:

x ≻ y ⇐⇒ "x est meilleure que y "

Une relation d’indifférence:

x ∼ y ⇐⇒ "x est aussi bien que y "





Définition La relation de préférence est dite rationelle si ellepossède les propriétés suivantes:

(i) Complétude: ∀x , y ∈ X , on a x y ou y x (ii) Transitivité: ∀x , y , z ∈ X , si x y et y z alors x z

Par la suite, nous décrirons une relation de préférence à l’aide d’unefonction d’utilité.





C. Fonction d’utilité

Fonction u (x ) assignant une valeur numérique à chaque élément dex ∈ X .Définition: u : X

→R est une fonction d’utilité représentant la

relation de préférence si ∀x , y ∈ X :

x y ⇔ u (x ) ≥ u ( y )

La fonction d’utilité assigne une valeur numérique supérieure à

l’alternative préférée.On en déduit:

x ∼ y ⇔ u (x ) = u ( y )

x

≻ y

⇔u (x ) > u ( y )





Proposition: Si la relation de préférence peut être représentéepar une fonction d’utilité, alors elle est rationelle.

Jusqu’à présent on a considéré un ensemble d’alternatives certaines⇒ Question: Que se passe-t-il lorsque la décision implique unrisque? Lorsque les alternatives ne sont plus certaines?




II- Introduction de l’incertitude

A. Cadres d’analyse

On a à faire un choix entre plusieurs alternatives risquées. Chaquealternative risquée consiste en la réalisation d’un résultat (ou

conséquence) parmis l’ensemble des résultats possibles. MAIS cerésultat est incertain au moment du choix.

On notera C l’ensemble des conséquences possibles.

Exemple:

C ≡ {beau temps, pluie}C ≡ {1 euro , 2 euros , 3 euros}

Hypothèse: Au moment du choix l’individu connaît l’ensemble desconséquences possibles.





On distingue traditionnellement le risque de l’incertitude:

Risque: situation dans laquelle le décideur peut associer, pour

chaque action qu’il prend, une probabilité à chacune desconséquences possibles.

Incertitude: situation dans laquelle le décideur n’est pas enmesure d’attribuer une distribution de probabilité à l’ensembledes conséquences possibles.





Nous supposerons que:

Toutes les conséquences peuvent êtres ramenées à des sommes

monétaires.La probabilité d’occurence de chacune des conséquences estconnue ⇒ Nous sommes en univers risqué.

Dans en cadre, une alternative risquée sera nommée une loterie ⇒Une loterie est donc une variable aléatoire réelles.





Variable aléatoire discrète (ensemble de conséquencesdénombrable):

Une loterie X est une liste de conséquences C = (x 1, . . . , x N ) à

laquelle on associe une distribution de probabilité P = (p 1, . . . , p N )avec p n ≥ 0 ∀n ∈ {1, . . . , N } et

n p n = 1, où p n représente la

probabilité d’occurence de la conséquence x n. Nous pouvons notercette loterie:

X = [(p 1, . . . , p N

), (x 1, . . . , x N

)]

Dans ce cas, une loterie X est une v. a. discrète. Nous pouvonsécrire sa loi de probabilité f (x ) = Prob (X = x ) ainsi que safonction de répartition F (x ) = Prob (X ≤ x ).





Variable aléatoire continue (ensemble de conséquences nondénombrable):

Une loterie X est une v. a. continue caractérisée par une fonction

de densité de probabilité que nous noterons f (x ) , avec: b a

f (x )dx = 1

ou, de façon équivalente, par une fonction de répartition:

F (t ) = Prob (X ≤ t ) =

t a

f (x )dx





Remarques:Dans le cas dénombrable, une loterie est souvent représentéesous forme "d’arbre".

Les loteries associant une probabilité à chaque élément de

l’ensemble de conséquences sont appelées loteries simple.Nous pouvons définir une loterie composée qui est une loteriedont l’ensemble des conséquences sont des loteries simples.

On notera X = αX 1 + (1− α)X 2 la loterie composée donnantla loterie X 1 avec une probabilité α et X 2 avec une probabilité1− α.

Une loterie composée peut toujours être ramenée à une loteriesimple.





Considérons la loterie X caractérisée par P = (p 1, . . . , p N ) etC = (x 1, . . . , x N ), nous pouvons définir:

son Espérance mathématique:

E (X ) = p 1x 1 + . . . + p N x N =N n=1

p nx n

sa Variance:

V (X ) = σ2

X =N n=1

p n(x n − E (X ))2 = E (X 2)− (E (X ))2





Considérons la loterie X décrite par la fonction de densité f (x ),nous pouvons définir:

son Espérance mathématique:

E (X ) =

b

a

xf (x )dx

sa Variance:

V (X ) = σ2X =

b a

(x − E (X ))2f (x )dx = E (X 2)− (E (X ))2





Propriétés de l’espérance et de la varianceSoit X et Y deux varaibles aléatoires et a et b deux réels:

E (aX + b ) = aE (X ) + b

V (aX + b ) = a2

V (X )

Cov (X , Y ) = E (XY )− E (X )E (Y )

V (X + Y ) = V (X ) + V (Y )− Cov (X , Y )

Cov (X , X ) = V (X )Si les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes:

Cov (X , Y ) = 0





Question: Comment comparer deux loteries entre elles ⇒ Dans lecas où l’ensemble des conséquences est consitué de gains

monétaires, il existe une réponse intuitive: comparons les gainsmoyens des différentes loteries.

Pb: Quand on compare deux loteries on ne s’interresse passeulement à leurs gains espérés mais aussi à leur risque.





B. Paradoxe de Saint-Petersbourg:

Règle du Jeu: On tire à pile ou face et le jeu se poursuit jusqu’à ce que pile apparaisse. Au 1er lancé, le joueur gagne 2euros, la somme gagnée est doublée à chaque lancé.

La valeur de cette loterie en terme d’espérance de gain estinfinie.

Paradoxe: Personne n’est prêt à payer une somme d’argentimportante pour jouer à ce jeu.





C. Les fonctions de Markowitz:

Nous avons vu que l’espérance de gain n’était pas un critèresuffisant pour évaluer une loterie.

Il faut également prendre en compte le risque associé à cetteloterie.

Si on considére le risque comme une caractéristique objective,une mesure naturelle du risque associé à une variable aléatoireest sa dispersion ⇒ Variance de la loterie.





Ainsi, Harry M. Markowiz propose de mesurer l’utilité d’uneloterie comme une fonction de l’espérance de gain et de lavariance de cette loterie.

Considérons un individu dont la richesse totale (W ) estcomposé d’une partie certaine ω et d’une partie aléatoire X :

W = ω + X

Nous pouvons decrire l’utilité que l’agent retire de se richessede la façon suivante:

U (W ) = f (E (W ), V (W ))

avec

E (W ) = ω + E (X ) et V (W ) = V (X )





Hypothèse:∂ U (W )

∂ E (W ) > 0

⇒ A risque donné, l’individu préférera toujours la richesse qui al’espérance de gain la plus élevée.





Par contre, plusieurs attitudes vis-à-vis du risque sont possibles:

L’individu n’aime pas le risque, ou est dit risquophobe si:

∂ U (W )

∂ V (W )< 0

L’individu est indifférent au risque, ou neutre au risque si:

∂ U (W )

∂ V (W )= 0

L’individu aime le risque, ou est dit risquophile si:

∂ U (W )

∂ V (W )> 0





Spécification linéaire:

U (W ) = E (W )− kV (W )

ici, k est une mesure directe de l’aversion pour le risque del’individu:

k > 0: individu risquophobe.

k = 0: individu neutre au risque.

k < 0: individu risquophile.




III- Théorie de l’Espérance d’Utilité

A. Préférences sur les loteries

Nous noterons L l’ensemble des loteries. Nous définissons une

relation de préférence sur L permettant de comparer 2 à 2 lesloteries de L.Nous poserons que cette relation de préférences dispose d’un certainnombre de propriétés. Elle posséde en particulier les propriétés de:

Complétude

Transitivité

⇒ Elle est donc rationelle





Definition La relation de préférence définie sur L est continue

si: ∀X , X ′, X ′′ ∈ L et tel que X X ′ X ′′, ∃α ∈ [0, 1] tel que:

αX + (1−

α)X ′′

∼X ′

Definition La relation de préférence définie sur L estindépendante si: ∀X , X ′, X ′′ ∈ L et α ∈ (0, 1):

X X ′

ssi αX + (1− α)X ′′

αX ′

+ (1− α)X ′′





B. Fonction d’utilité espérée ou von Neuman-Morgenstern(VNM)

Définition:

Une fonction Eu : L → R est dite de la forme VNM si pourchacune des N conséquences de C = (x 1, . . . , x N ) il existe unevaleur numérique correspondante (u (x 1), . . . , u (x N )) tel que pourtoute loterie X = [(p 1, . . . , p N ), (x 1, . . . , x N )], on a:

Eu (X ) = p 1u (x 1) + . . . + p N u (x N )

La fonction Eu (X ) sera alternativement noté E [u (X )] ou U (X ).





Il est important de distinguer:

la fonction d’utilité espérée Eu (.) définie sur l’ensemble desloteries (et donc sur des richesses aléatoires); et

la fonction d’utilité u (.) (dite élémentaire) définie sur desmontants monétaires certains.





Proposition: Une fonction d’utilité Eu : L → R a la forme d’unefonction d’utilité de VNM ssi elle est linéaire , i.e. ssi elle satisfaitla propriété suivante:

Eu

K k =1

αk X k

=

K k =1

αk Eu (X k ) (1)

pour toute loterie X k

∈ L, k = 1, . . . , K et probabilités αk

≥0

avec

k αk = 1.





Théorème de l’utilité espérée:

Si la relation de préférence sur l’espace des loteries L satisfait lespropriétés de complétude , de transitivité , de continuité et

d’indépendance ; alors admet une représentation sous forme defonction d’utilité espérée. Dans ce cas, pour chaque paire de loterieX et X ′ on a:

X X ′ ssi Eu (X )≥

Eu (X ′)





Espérance d’utilité dans le cas continu

Le théorème de l’utilité espérée s’applique dans le cas continu.Prenons un individu dont les préférences sont représentées par la

fonction d’utilité u (x ). Considérons une loterie X représentée par lafonction de densité f sur l’ensemble des conséquences [a, b ]. Laloterie X peut être évaluée par une fonction d’utilité espérée Eu dela forme:

Eu (X ) = b a u (x )f (x )dx





Retour sur le paradoxe de Saint-Petersbourg:

Considérons un individu caractérisé par la fonction d’utilitéélémentaire u (x ) =

√x . Quelle somme s est-il prêt à payer

pour participer au jeu?

Soit X la loterie associée au jeu, on cherche s tel que:

u (s ) = Eu (X )

Suite géometrique de raison q

Soit la suite dont le nème terme est: u n = q n.

La somme de ses N premiers termes s’écrit:N n=1

u n = u 0q 1− q N

1− q




IV- Aversion vis-à-vis du risque

A. Notion d’aversion au risque

Définition: Considérons la richesse aléatoire (ou loterie) W , unindividu sera dit:

Risquophobe si il préfére l’espérance de gain de la loterie aveccertitude à la loterie elle même: u (E (W )) > Eu (W ).

Risquophile si il préfére la loterie elle même à l’espérance degain de la loterie: u (E (W )) < Eu (W ).

Neutre au risque si il est indifférent entre l’espérance de gainde la loterie et la loterie elle même: u (E (W )) = Eu (W ).





Inégalité de Jensen

L’espérance mathématique d’une fonction est plus petite que l’image de l’espérance mathématique par la même fonction si et seulement si cette fonction est concave:

g concave (g ′′ ≤ 0) ⇔N n=1

p ng (x n) ≤ g

N n=1

p nx n

ou

g concave (g ′′ ≤ 0) ⇔ +∞−∞

g (x )f (x )dx ≤ g

xf (x )dx


d




On en déduit que:

Un individu est risquophobe si et seulement si sa fonctiond’utilité u (.) est concave.

Un individu est risquophile si et seulement si sa fonctiond’utilité u (.) est convexe.

Un individu est neutre au risque si et seulement si safonction d’utilité u (.) est linéaire.


IV A i i i d i




Individu risquophobe

x1 x2 px1 + (1− p)x2

u(x1)

u(x2)

u(E (X)) = u( px1 + (1 − p)x2)

Eu(X) = pu(x1) + (1− p)u(x2)

u

x

X = [(p , 1− p ), (x 1, x 2)]


IV A i i à i d i




Individu risquophile

x1 x2 px1 + (1− p)x2

u(x1)

u(x2)

u(E (X) = u( px1 + (1 − p)x2)

Eu(X) = pu(x1) + (1−

p)u(x2)

x

u

X = [(p , 1− p ), (x 1, x 2)]


IV A i i à i d i




Individu neutre au risque

x1 x2 px1 + (1− p)x2

u(x1)

u(x2)

u(E (X)) = u( px1 + (1 − p)x2)

Eu(X) = pu(x1) + (1 − p)u(x2)=

x

u

X = [(p , 1− p ), (x 1, x 2)]


IV A i i à i d i




B. Equivalent certain

Définition: L’équivalent certain EC W de la richesse aléatoire W est la richesse certaine pour laquelle un individu est indifférent entre

la loterie décrite par W et le montant certain EC W :

u (EC W ) = Eu (W )

On en déduit que:

Un individu est risquophobe ssi: EC W < E (W ).

Un individu est risquophile ssi: EC W > E (W ).

Un individu est neutre au risque ssi: EC W = E (W ).


IV A i i à i d i




Equivalent Certain pour un individu risquophobe

x1 x2E (X )

u(x1)

u(x2)

u(E (X ))

Eu(X

)

x

u


IV Aversion vis à vis du risque




Equivalent Certain pour un individu risquophobe

x1 x2E (X )

u(x1)

u(x2)

u(E (X ))

Eu(X

)

EC X

x

u






C. Prix de vente d’une loterie

Par définition, un individu est indifférent entre une loterie etl’équivalent certain associé à cette dernière. Ainsi si on lui assure

une somme supérieur ou égale à l’équivalent certain, l’individu estprêt à abandonner la loterie. On appelera donc prix de vente (p v )d’une loterie la somme tel que:

u (ω + p v ) = Eu (W ) ⇔ p v = EC W − ω

Rq: Si la loterie X représente un actif financier coté en bourse, leprix de vente est le cours au-dessus duquel l’agent est prêt à vendrel’actif.






D. Prix d’achat d’une loterie

Considérons maintenant le cas où l’individu posséde initialement larichesse certaine ω et qu’il envisage d’acquérir la loterie X . Le prix

d’achat p a de cette loterie est le prix maximal qu’il acceptera deverser pour l’acquérir:

u (ω) = Eu (ω − p a + X )

Rq: A priori, le prix de vente et le prix d’achat d’une même loteriesont différents. Cela provient du fait que la richesse initiale n’estpas la même dans les deux cas.






E. Prime de risque

Définition: On appelle prime de risque Π, la différence entrel’espérance de gain de la loterie et l’équivalent certain:

Π = E (W )

−EC W

⇔Π = E (X )

−p v

Il s’agit de la différence entre l’évaluation de la loterie par unindividu quelconque (dont la fonction d’utilité est u ) et un individuneutre au risque ⇒ Elle indique la quantité de risque perçue dans laloterie.

En utilisant la définition de l’équivalent certain, on obtient larelation suivante:

u (E (W )− Π) = Eu (W )






On en déduit que:

Un individu est risquophobe ssi: Π > 0.Un individu est risquophile ssi: Π < 0.

Un individu est neutre au risque ssi: Π = 0.






Prime de risque pour un individu risquophobe

x1 x2E (X )

u(x1)

u(x2)

u(E (X ))

Eu

(X

)

EC X

x

u






Prime de risque pour un individu risquophobe

x1 x2E (X )

u(x1)

u(x2)

u(E (X ))

Eu

(X

)

EC X

x

u

Π






F. Récapitulons:

Aversion au risque: Neutralité au risque: Goût du risque:

EC W < E (W ) EC W = E (W ) EC W > E (W )

Π > 0 Π = 0 Π < 0

u strictement concave u affine u strictement convexe

u ′′ < 0 u ′′ = 0 u ′′ > 0


V- Aversion pour le risque et richesse



V Aversion pour le risque et richesse

A. Les différentes notions de risque:

Risque additif: Cas où la partie aléatoire (risquée) vients’ajouter à la partie certaine de la richesse:

W = ω + X

Risque multiplicatif: Cas où la partie aléatoire est uneproportion de la richesse certaine:

W = (1 + X )ω

Risque partiel: Cas où la partie aléatoire est une proportiond’une partie seulement de la richesse certaine:

W = ω1 + (1 + X )ω2 avec ω = ω1 + ω2





p q

B. Equivalent certain et prime de risque dans le cas d’unrisque multiplicatif:

On a vu la définition de l’équivalent certain et de la prime de

risque dans le cas d’un risque additif.

De manière similaire, dans le cas d’un risque multiplicatif, onpeut définir le taux de rendement équivalent certain(EC X ):

u (ω(1 + EC X )) = Eu (ω(1 + X ))c’est le taux de rendement certain tel que l’individu est indifférententre un actif lui donnant ce taux de rendement et l’actif risqué.





p q

La prime de risque relatif Πr est la différence entrel’espérance de rendement et le taux de rendement équivalentcertain:

Πr = E (X )− EC X

Par définition de EC X on obtient la relation suivante:

u (ω(1 + E (X )− Πr )) = Eu (ω(1 + X ))

De plus, nous pouvons montrer que:

Π = ωΠr





p q

C. Equivalent certain et prime de risque dans le cas d’unrisque partiel:

Dans le cas d’un risque partiel, on peut définir le taux derendement équivalent certain (EC X ):

u (ω1 + ω2(1 + EC X )) = Eu (ω1 + ω2(1 + X ))





p q

La prime de risque partiel Πp est la différence entrel’espérance de rendement et le taux de rendement équivalentcertain:

Πp = E (X )− EC X

Par définition de EC X on obtient la relation suivante:

u (ω1 + ω2(1 + E (X )− Πp )) = Eu (ω1 + ω2(1 + X ))

De plus, nous pouvons montrer que:

Π = ω2Πp





D. Calcul de la prime de risque: Approximation de Pratt

Théorème de Taylor-Lagrange

Soit f une fonction n+1 fois dérivable et x 0 un réel; alors pour tout réel h, f possède un développement limité à l’ordre n (D .L.n) au voisinage de x 0:

f (x 0 + h) ≃ f (x 0) + hf ′

(x 0) +h2

2! f ′′

(x 0) + . . . +hn

n! f (n)(x 0)





En appliquant le théorème de Taylor, à la relation suivante:

u (ω + E (X )− Π) = Eu (ω + X )

On obtient une approximation de la prime de risque Π.

En l’appliquant à la relation suivante:

u (ω(1 + E (X )− Πr )) = Eu (ω(1 + X ))

on obtient une approximation de la prime de risque relatif Πr .

En l’appliquant à la relation suivante:

u (ω1 + ω2(1 + E (X )− Πp )) = Eu (ω1 + ω2(1 + X ))

on obtient une approximation de la prime de risque partiel Πp .





Approximation dans le cas d’un risque absolu:

D .L.1 du membre de gauche:

u (E (W )− Π) ≃ u (E (W ))− Πu ′(E (W ))

D .L.2 du membre de droite:

Eu (W ) ≃ u (E (W )) +u ′′(E (W ))

2σ2

avec σ2

W la variance de la v.a. W .

On en déduit l’expression suivante:

Π ≃ −u ′′(E (W ))

u ′(E (W ))

σ2

W

2= −u ′′(ω + E (X ))

u ′(ω + E (X ))

σ2

W

2





Ainsi, la prime de risque se décompose en deux éléments:

1 la variance de la loterie, qui est une mesure objective du risqueassocié à cette loterie;

2 une caractéristique de la fonction d’utilité au point ω + E (X )

⇒caractéristique subjective qui explique la différence de prime

de risque pour un niveau donné de richesse ⇒ mesure del’aversion absolue pour le risque.

On a donc défini un indice d’aversion absolue pour le risque(IAAR) pour un niveau de richesse quelquonque ω:

Aa(ω) = −u ′′(ω)

u ′(ω)





Ainsi, pour un niveau de richesse donné, plus la fonction d’utilitéd’un individu est concave plus ce dernier est averse au risque:

u1(.)

u2(.)

ωω − ǫ ω + ǫ

EC 1

W EC 2

W

W = [(1/2, 1/2), (ω − ǫ, ω + ǫ)]





Approximation dans le cas d’un risque partiel:

D .L.1 du membre de gauche:

u (E (W )− ω2Πp ) ≃ u (E (W ))− ω2Πp u ′(E (W ))

D .L.2 du membre de droite:

Eu (W ) ≃ u (E (W )) + ω2

2

u ′′(E (W ))

2σ2


Πp ≃ −ω2

u ′′(E (W ))

u ′(E (W ))

σ2

W

2





Ainsi, la prime de risque partiel dépend de la variance associée à laloterie et de l’aversion partielle pour le risque de l’individu:

Ap (ω1, ω2) = −ω2

u ′′(E (W ))

u ′(E (W ))= ω2Aa(ω)





Approximation dans le cas d’un risque relatif:On reprend les calculs précédents avec ω1 = 0 et ω2 = ω.


Πr ≃ −ω

u ′′(E (W ))

u ′(E (W ))

σ2

W

2

Nous pouvons définir un indice d’aversion relative pour lerisque (IARR):

Ar (ω) = −ω u ′′

(ω)u ′(ω)

= ωAa(ω)





E. Richesse et aversion absolue pour le risque:

La façon dont l’IAAR évolue avec la richesse dépend de laforme de la fonction d’utilité.

Il parait légitime de supposer que:

dAa(ω)

d ω< 0

C’est le cas pour beaucoup de fonctions d’utilité mais pas pour

toutes.

Question: Si cette hypothèse est respectée, l’aversion relativeet partielle sont elles également décroissantes avec la richesse?





F. Richesse et aversion relative pour le risque:

A partir de la relation:

Ar (ω) = ωAa(ω)

Nous obtenons:

dAr (ω)

d ω= A

a(ω) + ω

dAa(ω)

d ω





Pour un individu neutre au risque: Aa(ω) = 0 on a doncégalement Ar (ω) = 0 ⇒ L’aversion absolue et relative parrapport au risque sont constantes.

Pour un individu risquophile: Aa(ω) < 0. Donc, si l’aversion

absolue pour le risque decroît avec la richesse, l’aversionrelative pour le risque decroît également avec la richesse.

Pour un individu risquophobe: Aa(ω) > 0. Dans ce cas,même si l’on suppose que l’aversion absolue pour le risque

decroît avec la richesse, nous ne pouvons rien dire surl’évolution de l’aversion relative.





Revenons sur ce dernier résultat. Dans le cas d’un individurisquophobe, une augmentation de ω a deux effets opposés surAr (ω):

1 Baisse de l’aversion pour le risque pour un risque additif donné

⇒"effet de la richesse sur l’aversion pour le risque".

2 Augmentation de la variance de la richesse et donc du risqueassocié à cette richesse ⇒ "effet de la richesse sur le risque".

On admet généralement que le second effet (effet risque) l’emportesur le premier (effet aversion). On pose donc en général l’hypothèse

suivante: dAr (ω)

d ω≥ 0





G. Récapitulons:

Hypothèses raisonnables en ce qui concerne la forme d’une

fonction d’utilité:

u ′(ω) > 0 , u ′′(ω) ≤ 0 , A′a(ω) < 0 et A′r (ω) ≥ 0

Question: Les fonctions d’utilités habituellement utiliséesvérifient-elles ces propriétés?


VI- Propriétés des fonctions d’utilités usuelles



A. Fonctions d’utilité affines:

Forme: u (ω) = aω + b

Pour a > 0, cette fonction est croissante.

u ′′(ω) = 0 ⇒ Préférences d’un agent neutre au risque:

Aa(ω) = Ar (ω) = Ap (ω) = 0





B. Fonctions d’utilité logarithmiques:

Forme: u (ω) = ln(ω) ⇔ Eu (W ) = E [ln(W )]

u ′(ω) > 0: fonction croissante.

u ′′(ω) < 0: individu averse au risque.

Aa(ω) = 1/ω et Ar (ω) = 1

L’aversion absolue pour le risque decroît avec le niveau derichesse alors que l’aversion relative est constante.

⇒ Bonnes propriétés.





C. Fonctions d’utilité quadratiques:

Forme: u (ω) = ω − βω2 ⇔ Eu (W ) = E [W − βW 2]

u ′(ω) > 0 seulement si ω < 1/2β⇒

restrictif si β > 0.

u ′′(ω) < 0: individu averse au risque qi β > 0.

Aa(ω) =2β

1− 2βωet Ar (ω) =

2βω

1− 2βω

L’aversion absolue pour le risque croît avec le niveau derichesse (problèmatique) ainsi que l’aversion relative.





Lien avec les fonctions de Markowitz:

Eu (W ) = E (W )

−βE (W 2) = E (W )

−β[E (W )]2

−βV (W )

⇒ Fonction de Markowitz non linéaire:

croissante en E (W ) seulement pour E (W ) ≤ 1/β;

decroissante en V (W ) si β > 0 ⇒ préférences d’un individu

averse au risque.





D. Fonctions d’utilité puissances:

Forme: u (ω) = ωβ ⇔ Eu (W ) = E [W β]

u ′(ω) > 0 seulement si β > 0.

u ′′(ω) < 0 seulement si β < 1.

Aa(ω) =1− β

ωet Ar (ω) = 1− β

Si β < 1 l’aversion absolue pour le risque decroît avec le

niveau de richesse alors que l’aversion relative est constante.Ce type de fonction d’utilité sera également appelé fonctionCRRA.

⇒ Bonnes propriétés pour β ∈ (0, 1).





E. Fonctions d’utilité exponentielles négatives:

Forme: u (ω) = −e −αω ⇔ Eu (W ) = E [−e −αW ]

u ′(ω) > 0 seulement si α > 0.

u ′′(ω) < 0: individu averse au risque.

Aa(ω) = α et Ar (ω) = ωα

L’aversion absolue pour le risque est constante alors quel’aversion relative croît avec le niveau de richesse.

Ce type de fonction d’utilité sera également appelé fonctionCARA.

⇒ Trés utiles pour comparer l’attitude vis-à-vis du risque dedifférents individus.



k



Lien avec les fonctions de Markowitz:

Considérons que X ∼ N (E (X ), V (X )) et W = ω + X .On a donc X ∼ N (ω + E (X ), V (X )).

Dans ca cas, nous pouvons montrer que:

Eu (W ) = E [

−e −αW ] =

−e −αE (W )+0.5α2V (W )

On a donc:

maxW

Eu (W ) ⇔ maxW

[E (W )− 0.5αV (W )]

Lorsque la richesse suit une loi normale, les préférencesreprésentées par une fonction d’utilité exponentielle négativede coefficient α sont également représentées par une fonctionde Markowitz linéaire de coefficiant k = α/2.


VII- Choix de portefeuille



A. Cadre d’analyse:

Nous nous intéressons aux choix de portefeuille d’un individudont les préférences sont représentées par la fonction d’utilitéu (.) et ayant une richesse initiale ω.

Il a le choix entre un actif risqué rapportant un rendementaléatoire Y et un actif sûr rapportant un rendement certain i .

Nous noterons m la partie de ω investie en actif sûr et a lapartie investie en actif risqué.

Richesse aléatoire de l’individu:

W = m(1 + i ) + a(1 + Y )





Contrainte budgétaire:

m + a = ω

Ainsi en choisissant a, on choisit également m ⇒ La richesse

aléatoire de l’individu peut-être réecrite comme une fonctionde a:W (a) = ω(1 + i ) + a(Y − i )

Nous supposerons que notre individu ne peut ni emprunter, nivendre à découvert de l’actif risqué

⇒a∈

[0, ω].

Objectif: Quelle est la valeur oprimale de a ⇒ niveau a∗ quimaximise Eu (W (a)).





B. Optimum pour un agent neutre au risque:

Pour un agent neutre au risque il est équivalent de maximiser

l’espérance d’utilité et l’espérance de gain.Programme de l’agent:

maxa ω(1 + i ) + a(E (Y )− i )

s.c. a ∈ [0, ω]





Solution:

1 Si E (Y ) < i alors a∗ = 0.

2 Si E (Y ) < i alors a∗ = ω.

3 Si E (Y ) = i alors a∗ peut prendre n’importe quelle valeur dansl’interval [0, ω].

⇒ L’investisseur neutre au risque a un comportement "extrême" ⇒Aucune diversification de son portefeuille d’actifs.





C. Optimum pour un agent risquophile:

Programme de l’agent:

maxa Eu (W (a)) = Eu (ω(1 + i ) + a(Y

−i ))

s.c. a ∈ [0, ω]

Si une solution intérieure (0 < a∗ < ω) existe, elle est donnée

par la condition du premier ordre suivante:

∂ Eu (W (a))

∂ a= 0





Règle de Leibniz

La dérivée d’une intégrale par rapport à une variable a (qui n’est ni la variable d’integration, ni une des bornes) est l’intégrale de ladérivée par rapport à a:

∂ ∂ a

b 2b 1

g (a, x )dx

= b 2b 1

∂ g (a, x )∂ a

dx

et donc, si g (a, x ) = u (a, x )f (x ) avec f la fonction de densité d’une variable aléatoire X, on obtient:

∂ Eu (X )

∂ a= E

∂ u (X )

∂ a





En utilisant la règle de Leibniz, on obtient:

∂ Eu (W (a))

∂ a= E [u ′(W )W ′(a)]

La condition du premier ordre devient:

E

u ′(ω(1 + i ) + a(Y − i ))(Y − i )

= 0

Intéressons nous maintenant à la condition du second ordre:

E

u ′′(ω(1 + i ) + a(Y − i ))(Y − i )2

> 0





Il ne peut donc pas y avoir de solution intérieure ⇒ a∗ = 0 oua∗ = ω.

Pour savoir lequel de ces deux montants est choisi parl’individu il faut comparer Eu (W (0)) et Eu (W (ω)):

1 Si Eu (W (0)) > Eu (W (ω)) alors a∗ = 0.2 Si Eu (W (0)) < Eu (W (ω)) alors a∗ = ω.3 Si Eu (W (0)) = Eu (W (ω)) alors a∗ = 0 ou a∗ = ω.

⇒ Aucune diversification et comportement "encore plus

extrême" que pour un individu neutre au risque.





D. Optimum pour un agent risquophobe:

Le programme et la condition du premier ordre sont les mêmesque pour un agent risquophile ⇒ Ré-examinons la conditiondu second ordre:

E

u ′′(ω(1 + i ) + a(Y − i ))(Y − i )2

< 0

La condition

E

u ′(ω(1 + i ) + a(Y − i ))(Y − i )

= 0

corresponds donc bien à un maximum.





Remarquons que cela ne signifie pas que a∗ correspondtoujours à une solution intérieure.

En particulier, si au point a = 0, l’espérance d’utilité de l’agentdecroît avec a, alors a∗ = 0.

∂ Eu (W (a))

∂ a

a=0

= E

u ′(ω(1 + i ))(Y − i )

= u ′(ω(1+i ))(E (Y )−i )

Ainsi:1 Si E (Y ) ≤ i alors a∗ = 0.

2 Si E (Y ) > i alors a∗ > 0 ⇒ diversification possible.





On peut être un peu plus précis en ce qui concerne la valeur de

a∗, pour cela passons par l’expression de la prime de risque:

u (E (W )− Π) = Eu (W )

Il est donc équivalent de maximiser l’espérance d’utilité de

l’individu et u (E (W )− Π) ⇒ u (.) étant croissante, l’individucherche simplement à maximiser la différence entre l’espérancede gain de la richesse et la prime de risque.

Programme:

maxa E (W )− Π

s.c. a ∈ [0, ω]





Condition du premier ordre:

E m = Πm avec E m =∂ E (W )

∂ aet Πm =

∂ Π

∂ a

A l’optimum on a donc égalité entre espérance de gainmarginale (E m) et prime de risque marginale (Πm).

L’expression de l’espérance de gain marginale est la suivante:

∂ E (W )

∂ a = E (Y )− i





L’expression de la prime de risque est la suivante:

Π

≃Aa(E (W ))

V (W )

2

avec V (W ) = a2V (Y )

Si a = 0 alors la prime de risque et la prime de risquemarginale sont nulles.

Ce qui nous intéresse maintenant c’est le signe de Πm.



Augmentation de a ⇒ 2 effets opposés sur Π:



g pp

1 Augmentation de la variance de la richesse: V (W ) = a2V (Y )

⇒ Augmentation de Π.

2 Augmentation de E (W ) (si E (Y ) > i ) ⇒ Si la conditionA′a(ω) < 0 est respectée cela entraine une baisse de Π.

Il est possible de montrer que le premier effet l’emporte toujours

⇒plus a est grand, plus l’agent considére que sa richesse est risquée⇒ plus il est prêt à payer pour se débarasser du risque:

Πm =∂ Π

∂ a> 0

Nous pouvons aussi montrer que:

∂ Πm

∂ a=

∂ 2Π

∂ a2> 0



Représentation de a∗ lorsque E (Y ) > i



Représentation de a lorsque E (Y ) > i

E (W )

Π

ω(1 + i)

a



Représentation de a∗ lorsque E (Y ) > i



Représentation de a lorsque E (Y ) > i

a∗

E (W )

Π

ω(1 + i)

a



l’ d ( )



A l’optimum on a donc: Πm = E (Y )

−i

E (Y )− i

Πm

aa∗





Nous allons maintenant étudié comment la composition duportefeuille d’un individu risquophobe varie lorsque sa richesse(ω) où le taux de rendement de l’actif sans risque i varient.

Pour cela nous nous servirons du résultat suivant:

Si A′

a(ω) > 0: à la fois Π et Πm augmentent avec ω.

Si A′

a(ω) < 0: à la fois Π et Πm diminuent avec ω.





E. Effet d’une augmentation de la richesse ω:

1 Si Aa(ω) est une fonction decroissante de la richesse alors

l’actif risqué est un bien supérieur (a∗

augmente avec ω).2 Si Aa(ω) est une fonction croissante de la richesse alors l’actif

risqué est un bien inférieur (a∗ diminue avec ω).

3 Si Aa(ω) est une fonction constante de la richesse alors a∗ est

indépendant de ω.

Université Paris 2 Panthéon Assas Economie de l’incertain




Les résultats précédents ne portent que sur le niveau absolu del’investissement en actif risqué ⇒ il est intéressant de savoircomment se comporte la part de l’investissement en actif risqué dans le budget lorsque la richesse augmente.

Pour cela il faut déterminer si l’élasticité de a∗ par rapport à ω(ǫωa∗) est supérieure à 1 ou non. Avec:

ǫωa∗ =ω

a∗da∗

d ω





On peut montrer que:

1 Si Ar (ω) est une fonction decroissante de la richesse alorsl’actif risqué est un bien de luxe (ǫωa∗ > 1).

2 Si Ar (ω) est une fonction croissante de la richesse alors

ǫωa∗ < 1 ⇒ Dans ce cas la part de la richesse investie en actif risqué diminue avec ω.

3 Si Ar (ω) est une fonction constante de la richesse alorsǫωa∗ = 1 ⇒ Dans ce cas la part de la richesse investie en actif

risqué est constante.



F Effet d’une augmentation du taux de rendement de l’actif



F. Effet d une augmentation du taux de rendement de l actif

certain i :

Une augmentation de i a deux effets sur a∗:

1 Effet substitution: il fait diminuer l’espérance de gain

marginale E (Y )− i ⇒ L’actif sûr étant mieu rémunéré,l’individu a intérêt à substituer de l’actif sûr à l’actif risqué ⇒baisse de a∗.

2 Effet revenu: il augmente le revenu de l’individu ⇒ nousavons vu que si Aa(ω) était decroissante en ω, cela entrainait

une augmentation de a∗.

⇒ Ces deux effets peuvent donc être opposés ⇒ Pour connaîtrel’effet final de i sur a∗ il faut déterminer quel est l’effet quil’emporte sur l’autre.



Situation initiale:



Situation initiale:

E (Y )− i

Πm(i)

aa∗

1



Effet substitution:



Effet substitution:

E (Y )− i

Πm(i)

aa∗

1

E (Y )− i′

a∗2



Effet revenu:



Effet revenu:

E (Y )− i

Πm(i)

aa∗

1

E (Y )− i′

a∗2

Πm(i′)

a∗3





Nous pouvons montrer que l’effet substitution domine toujoursl’effet revenu si l’aversion partielle pour le risque de l’individu

est inférieure à 1.Ainsi, Ap (ω, a) < 1 pour toutes valeurs de ω et de a ∈ [0, ω]⇒ a∗ decroît avec i .


VIII- Demande d’assurance




L’individu cherche ici à se débarasser d’une partie du risque

(de pertes financières) lié à un dommage ou sinsitre éventuel⇒ Transfert de risque à un autre agent: la compagnied’assurance.

Ici si l’individu ne fait rien (ne contracte pas d’assurance) ilcourt le risque de perdre une partie de son revenu.



Considérons un individu risquophobe dont les préférences sontd é l f i d’ ili é ( )



données par la fonction d’utilité concave u (.) et ayant une

richesse initiale ω.

Il possède en plus un actif d’une valeur v (voiture, maison...)susceptible de subir un sinistre (accident, incendie...)

Notons X le taux de sinistralité associé à cet actif ⇒variable aléatoire prenant ses valeurs dans [0, 1] etreprésentant le pourcentage de perte affectant v ⇒ On notef (x ) la fonction de densité de X :

1

0

f (x )dx = 1

Richesse aléatoire en l’absence d’assurance:

W = ω + v (1− X )





B. Police d’assurance:

La police d’assurance est un contrat spécfiant:1 Le montant de l’indémnité en cas de sinistre.

2 Le montant de la prime d’assurance que doit payer l’individupour bénéficier de l’assurance.





L’indémnité I est généralement une fonction du dommagesubi:

I = g (vX )

Avant la signature du contrat l’indémnité est donc une variablealéatoire / aprés la réalisation du sinistre elle prend une valeur

i correspondant à une réalisation de la v.a. I .

Caractéristiques:

1 I ≤ vX ⇒ l’indemnité ne peut pas être supérieure au montantdu dommage;

2 g ′(x ) ≥ 0 ⇒ l’indemnité croît ou reste constante lorsque ledommage augmente.



La prime d’assurance est en fait le prix de l’assurance ⇒ Elle



p p

sera notée p .Pour que la compagnie d’assurance ne fasse pas de profitsnégatifs (en moyenne), p doit être au moins égale àl’espérance d’indémnité ⇒ p ≥ E (I ).

Nous supposerons que la prime a la forme suivante:p = (1 + λ)E (I ) avec λ ∈ [0, 1] ⇒ λ est appelé le taux decharge.

Espérance de profit (par assuré) de la compagnie d’assurance:

E (π) = p − E (I ) = λE (I ) > 0

⇒ Dans ce chapitre nous ne modéliserons pas explicitement lecomportement de la compagnie d’assurance.





C. Les différents contrats d’assurance:

La richesse aléatoire de l’assuré en fonction de l’indémnitéI = g (vX ) s’écrit:

W = ω + v (1− X ) + g (vX )− (1 + λ)E (g (vX ))

La forme de la fonction g (.) détermine le type du contrat ⇒Nous allons étudier deux formes alternatives pour le contratd’assurance:

1 le contrat de co-assurance;2 le contrat d’assurance avec franchise.



1 Contrat de co-assurance ⇒ l’indémnité est un pourcentage



fixe a du dommage:

I = avX avec a ∈ [0, 1]

a est appelé taux de couverture ⇒ choix de l’agent qui

détermine son degré de couverture contre le risque.2 Contrat d’assurance avec franchise ⇒ on appelle franchise le

montant f tel que:

I =0 si vX

≤f

vX − f si vX > f

ici le choix de l’agent porte sur f .





D. Le contrat de co-assurance:

Montant de la prime d’assurance:

p = (1 + λ)E (I ) = (1 + λ)avE (X )

Richesse aléatoire en fonction du taux de couverture a:

W (a) = ω + v (1

−X ) + avX

−(1 + λ)avE (X )



Programme de l’agent:



maxa Eu (W (a)) = Eu (ω + v (1− X ) + avX − (1 + λ)avE (X ))

s.c. a ∈ [0, 1]

Condition du premier ordre:

∂ Eu (W (a))

∂ a= E [u ′(W (a))(vX − (1 + λ)vE (X ))] = 0

Condition du second ordre:

∂ 2Eu (W (a))∂ a2

= E [u ′′(W (a))(vX − (1 + λ)vE (X ))2] < 0

⇒ La condition du premier ordre correspond bien à un maximum.





Comme dans le problème du choix de portefeuille, la CPO peutse ré-écrire:

E m = Πm

Avec:

E m =∂ E (W )

∂ a= −λvE (X ) < 0

⇒ L’espérance de richesse decroît avec le taux de couverture a.





L’expression de la prime de risque est la suivante:

Π ≃ Aa(E (W ))V (W )

2avec V (W ) = v 2(1− a)2V (X )

Si a = 1 alors la prime de risque et la prime de risquemarginale sont nulles.

Ce qui nous intéresse maintenant c’est le signe de Πm.



Augmentation de a ⇒ 2 effets opposés sur Π:

1 Baisse de la variance de la richesse: V (W ) = v 2(1 a2)V (X )



( ) (

−) ( )

⇒ Baisse de Π.2 Baisse de E (W ) ⇒ Si la condition A′a(ω) < 0 est respectée

cela entraine une augmentation de Π.

Il est possible de montrer que le premier effet l’emporte toujours

⇒plus a est grand, moins l’agent considére que sa richesse est risquée⇒ moins il est prêt à payer pour se débarasser du risque:

Πm =∂ Π

∂ a< 0

Nous pouvons aussi montrer que:

∂ Πm

∂ a=

∂ 2Π

∂ a2> 0



Représentation de a∗



E (W )

Π

ω + v − E (X )

a10



Représentation de a∗



E (W )

Π

ω + v − E (X )

a10a∗



A l’optimum on a donc: Πm = −λvE (X )



E m

Πm

a0

1a∗





Nous allons maintenant étudié comment le taux de couvertured’un individu risquophobe varie lorsque sa richesse (ω) où letaux de charge λ varient.

Pour cela nous nous servirons du résultat suivant:Si A′

a(ω) > 0: Π augmente alors que Πm diminue avec ω.

Si A′

a(ω) < 0: Π diminue alors que Πm augmente avec ω.





Effet d’une augmentation de la richesse ω:

1 Si Aa(ω) est une fonction decroissante de la richesse alors letaux de couverture est un bien inférieur (a∗ diminue avec ω).

2 Si Aa(ω) est une fonction croissante de la richesse alors le tauxde couverture est un bien supérieur (a∗ augmente avec ω).

3 Si Aa(ω) est une fonction constante de la richesse alors a∗ estindépendant de ω.



Effet d’une augmentation du taux de charge λ:



1 Effet substitution: il fait diminuer l’espérance de gainmarginale E m = −λvE (X ) ⇒ L’assurance étant plus chère,l’individu va diminuer son taux de couverture ⇒ baisse de a∗.

2 Effet revenu: baisse de la richesse de l’individu puisque

chaque unité d’assurance est plus coûteuse ⇒ nous avons vuque si Aa(ω) était decroissante en ω, cela entrainait uneaugmentation de a∗ (en effet l’individu étant plus pauvre il aune aversion au risque plus forte).

⇒ Ces deux effets peuvent donc être opposés ⇒ Pour connaîtrel’effet final de λ sur a∗ il faut déterminer quel est l’effet quil’emporte sur l’autre.



Situation initiale:



E m = −λvE (X )

a0

1a∗

1

Πm(λ)



Effet substitution:



E m = −λvE (X )

a0

1a∗

1

Πm(λ)E m = −λ′

vE (X )

a∗2



Effet revenu:



E m = −λvE (X )

a0

1a∗1

Πm(λ)E m = −λ′

vE (X )

a∗2 a

∗

3

Πm(λ′)


IX- Contrats et assymetrie de l’information



Jusqu’à présent nous avons étudié le comportement d’individusisolés ⇒ Information disponible: Loterie = distribution deprobabilité sur un ensemble de conséquences.

Dans de nombreuses situations plusieurs individus peuventinter-agir entre eux

⇒Cas de la signature d’un contrat entre

un principal (qui offre le contrat) et un agent (qui y souscrit,ou non).

Exemple: Un employeur et un employé signent un contrat detravail / une compagnie d’assurance et un automobiliste

signent un contrat d’assurance.





Lors de la signature du contrat, ou durant son exécution, lesdeux parties ne disposent pas toujours de la même information.

On dit qu’il existe une assymetrie de l’information entre les

deux parties lorsque l’agent est mieux informé que le principalsur ses propres caractéristiques ou sur l’action qu’il entreprend.

Question: Quel contrat doit proposer le principal à l’agentdans une telle situation?





Deux grandes catégories d’assymetrie de l’information:

Aléa moral: Le Principal n’observe pas parfaitement l’actionde l’Agent ⇒ Ex: l’employé peut faire plus ou moins d’effort /l’automobiliste peut faire plus ou moins attention à sa

conduite.

Antisélection: Le Principal n’observe pas parfaitement lescaractéristiques de l’agent ⇒ Ex: l’employé peut être plus oumoins efficace / l’automobiliste plus ou moins bon conducteur.


X- Aléa moral




Le propriétaire d’une entreprise (Principal) souhaite embaucher untravailleur (Agent) pour réaliser un projet de production. Les profitsassociés à ce projet dépendent de l’effort de l’agent.

Si l’effort est observable: le Principal offre un contrat stipulantl’effort à réaliser et une rémunération.

Si l’effort est inobservable: le Principal doit mettre au point unsystème d’incitations (contrat) qui pousse l’agent àentreprendre le bon niveau d’effort.

On appelle situation d’aléa moral le cas où l’effort est inobservable⇒ On cherche à déterminer le système d’incitation optimal dans cecas.


X- Aléa moral

O l bl l d l b fi (h



On note B la variable aléatoire decrivant les bénéfices (horscoûts salariaux) associés au projet ⇒ Nous supposons que cesbénéfices peuvent être hauts ou bas: B ∈ {b H , b L}.

On note e l’effort réalisé par l’agent ⇒ cet effort est soit hautsoit bas: e

∈ {e H , e L

}avec e H > e L.

Cet effort joue sur la probabilité que les bénéfices soient hauts⇒ La probabilité que les bénéfices soit égaux à b H sera notép (e ) avec p ′(e ) > 0 ⇒ p H = p (e H ) est supérieur à p L = p (e L).

Le principal et l’agent cherchent à maximiser leurs utilitées

espérées.


X- Aléa moral

Utilité du travailleur: Elle dépend du salaire w que leprincipal lui offre et de l’effort e qu’il fournit:



u a(w , e ) = v (w )− e

avec v ′(w ) > 0 et v ′′(w ) ≤ 0 ⇒ agent averse ou neutre aurisque. Si il refuse le contrat il obtient l’utilité de réservation

u .Utilité du propriétaire: Elle dépend des bénéfices qu’il reçoitnet du salaire qu’il verse:

u p (b , w ) = b

−w

le principal est donc neutre au risque. Si l’agent refuse lecontrat, le projet n’est pas réalisé, l’utilité du principal est alorsnulle.


X- Aléa moral



Timing:

1 Le principal propose un contrat à l’agent stipulant un profil derémunération w (b ) et, si l’effort est observable, un niveau

d’effort.2 L’agent accepte ou refuse le contrat.

3 Si il l’accepte, le projet est mené à bien, le principal découvreses bénéfices et verse un salaire à l’agent.


X- Aléa moral

B C t t ti l ff t b bl



B. Contrat optimal avec effort observable:

Un contrat stipule un profil de rémunération w (b )(w H = w (b H ) et w L = w (b L)) et un niveau d’effort

e ∈ {e H , e L}.Pour que le travailleur accepte le contrat il faut qu’il luiapporte une utilité espérée au moins égale à u .

Le principal propose le contrat maximisant son utilité espéréesous la contrainte que l’agent ne refuse pas le contrat

⇒Contrainte de participation (CP).


X- Aléa moral

Problème du principal:



maxe ,w H ,w L

p (e )(b H − w H ) + (1− p (e ))(b L − w L)

s.c. p (e )v (w H ) + (1

−p (e ))v (w L)

−e

≥u

Résolution:

1 Choix de w L et w H à e donné.

2 Choix de e .


X- Aléa moral

1.a) Choix du système de compensation si l’agent estrisquophobe:

L i ié blè d i i l



Lagrangien associé au problème du principal:

L = p (e )(b H − w H ) + (1− p (e ))(b L − w L)− e

+γ [p (e )v (w H ) + (1− p (e ))v (w L)− e − u ]

Conditions du premier ordre ⇒ γ > 0 et w H = w L.

Saturation de la contrainte de participation:

w H = w L = v −1

(u + e )

Le principal propose un contrat qui assure complétementl’agent contre le risque.


X- Aléa moral

1.b) Choix du système de compensation si l’agent est neutreau risque (v (w ) = w ):

Conditions du premier ordre ⇒ γ > 0 ⇒ Contrainte de



Conditions du premier ordre ⇒ γ > 0 ⇒ Contrainte departicipation saturée:

w H =u + e

p (e )− 1− p (e )

p (e )w L

Dans ce cas l’espérance de profit du Principal est indépendantedes valeurs précises de w L et w H :

E [Profits] = p (e )b H + (1− p (e ))b L − u − e

Le principal peut choisir n’importe quel profil de salaires(w H ,w L) tel que la contrainte de participation de l’agent soitsaturé ⇒ l’agent n’est pas nécessairement assuré contre lerisque.


X- Aléa moral

2. Choix de l’effort optimal e ∈ {e L, e H }:

Que l’agent soit averse ou neutre au risque l’espérance de



Que l agent soit averse ou neutre au risque l espérance deprofit pour l’entreprise peut se réecrire:

E [Profits] = p (e )b H + (1− p (e ))b L − v −1(u + e )

Le principal va donc choisir de stipuler dans le contrat leniveau d’effort e H si:

(p H − p L)(b H − b L) ≥ v −1(u + e H )− v −1(u + e L)

dans le cas contraire il choisira e L.

Le choix de e résulte donc d’un arbitrage entre augmentationdes bénéfices espérées et augmentation des coûts salariaux.


X- Aléa moral

Résumé: Dans le cas où l’effort est observable:



Face à un agent neutre au risque: le principal proposen’importe quel profil de salaire (w H , w L) juste suffisantpour que l’agent accepte le contrat.

Face à un agent averse au risque: le principal propose unsalaire fixe (w H = w L) juste suffisant pour que l’agentaccepte le contrat.

Le principal impose le niveau d’effort maximisant sonespérance de profit, en ayant tenu compte de l’effet de cet

effort sur w H et w L.


X- Aléa moral

C Contrat optimal avec effort inobservable:



C. Contrat optimal avec effort inobservable:

Le principal ne peut plus directement imposer un niveaud’effort ⇒ Contrat = profil de rémunération w (b )(w H = w (b H ) et w L = w (b L)).

Le principal peut choisir un shéma de rémunération permettantd’inciter l’agent à choisir lui même le bon niveau d’effort.

Il n’est donc plus possible d’assurer complétement un agentaverse au risque.

Nous étudierons successivement le cas où le travailleur est neutreau risque et le cas où le travailleur est averse au risque.


X- Aléa moral

D. Effort inobservable et travailleur neutre au risque

(v(w)=w):



(v(w)=w):

Résultat: Lorsque le travailleur est neutre au risque et l’effortinobservable, le contrat incitatif optimal induit le même niveaud’effort et les mêmes utilités espérées que si l’effort était observable.

Lorsque l’agent est neutre au risque, l’inobservabilité de l’effortne change rien ⇒ En effet, on peut inciter l’agent à choisir lebon niveau d’effort (en faisant dépendre son salaire desrésultats de l’entreprise) sans coûts suplémentaires.

Nous allons montrer qu’il existe un contrat permettant deretrouver les résultats obtenus dans le cas d’un effortobservable.


X- Aléa moral

Considérons le shéma de rémunération w (b ) = b − α:

wL = bL − α et wH = bH − α



w = b α et w = b αavec α une constante positive représentant la part desbénéfices que le principal garde pour lui.

L’agent choisit son niveau d’effort de façon à maximiser on

utilité espérée: p (e )b h + (1− p (e ))b L − α− e .L’agent choisit e h si:

(p H − p L)(b H − b L) ≥ v −1(u + e H )− v −1(u + e L)

et e L dans le cas contraire.On obtient le même niveau d’effort (e ∗) que celui quimaximisait l’espérance d’utilité du principal dans le cas d’effortobservable.


X- Aléa moral

Le travailleur accepte ce type de contrat seulement si celui ci

lui procure une utilité au moins égale à u ⇒ Contrainte de



lui procure une utilité au moins égale à u ⇒ Contrainte departicipation:

p (e ∗)b h + (1− p (e ∗))b L − α− e ∗ ≥ u

Le principal a intérêt à chosir le niveau α tel que cettecontrainte de participation soit saturée:

α∗ = p (e ∗)b h + (1− p (e ∗))b L − e ∗ − u

Puisque α∗

représente l’utilité du principal, on retrouve bienles mêmes résultats que dans le cas d’un effort observable.


X- Aléa moral

D. Effort inobservable et travailleur averse au risque:



Si le travailleur est averse au risque nous ne retrouvons pas lerésutat précédent.

En effet, si le salaire de l’agent dépend des résultats de

l’entreprise cela fait porter une partie du risque sur l’agent ⇒Il faut donc le payer plus pour qu’il accepte le contrat.

Le principal va maintenant chercher à maximiser son espéranced’utilité sous deux contraintes:

1 Contrainte de participation (CP): permet de s’assurer que

l’agent accepte le contrat.2 Contrainte d’incitation (CI): permet de s’assurer que l’agent

choisit le bon niveau d’effort.


X- Aléa moral

1. Système de compensation permettant d’inciter à l’effortbas eL:



bas e L:

Le programe du principal, si il sohaite inciter l’agent à choisir e L est:

maxw H ,w L p L(b H − w H ) + (1− p L)(b L − w L)

s.c. (CP ) p Lv (w H ) + (1− p L)v (w L)− e L ≥ u

(CI ) p Lv (w H ) + (1− p L)v (w L)− e L ≥p H v (w H ) + (1

−p H )v (w L)

−e H


X- Aléa moral

Il est optimal pour le principal de proposer le salaire fixe:

1



w L = w H = v −1(u + e L)

En effet:

Pour ce salaire fixe, l’agent choisira toujours e L⇒

Lacontrainte de participation est respectée.

Pour ce salaire fixe, l’agent acceptera le contrat ⇒ Lacontrainte de participation est saturée.

Ce contrat correspond à celui mis en place en cas d’effort

observable ⇒ C’est le contrat optimal pour le principal.


X- Aléa moral

2. Système de compensation permettant d’inciter à l’effort

haut e H :



Le programe du principal, si il sohaite inciter l’agent à choisir e H est:

maxw H ,w L

p H (b H − w H ) + (1− p H )(b L − w L)

s.c. (CP ) p H v (w H ) + (1− p H )v (w L)− e H ≥ u

(CI ) p H v (w H ) + (1− p H )v (w L)− e H ≥p Lv (w H ) + (1− p L)v (w L)− e L


X- Aléa moral

Lagrangien associé au problème du principal:

L = pH(bH − wH) + (1− pH)(bL − wL)



L = p H (b H − w H ) + (1− p H )(b L − w L)

+γ [p H v (w H ) + (1− p H )v (w L)− e H − u ]

+µ[(p H − p L)(v (w H )− v (w L))− e H + e L]

Conditions du premier ordre par rapport à w H et w L:

1

v ′(w H )= γ +µ

1− p L

p H

et

1

v ′(w L)= γ +µ

1− 1− p L

1− p H

Nous en déduisons que γ > 0 et µ > 0 ⇒ A l’optimum, lescontraintes de participation et d’incitation sont saturées.


X- Aléa moral

Le profil de rémunération choisit par le principal est tel que:w H > w L.

On a donc un shéma incitatif ⇒ Afin de forcer l’agent à chosir



gle niveau d’effort e H on rend son salaire dépendant desbénéfices de l’entreprise (il gagnera plus si les bénéfices sontélevés).

Le fait de rendre le salaire de l’agent variable implique que lescoûts salariaux pour l’entreprise sont plus élevés que dans lecas d’un effort observable:

p H w H + (1− p H )w L > v −1(u + e H )

En effet, la variabilité de son salaire entraîne une perte d’utilitépour le travailleur averse au risque ⇒ Il faut le payer plus pourqu’il accepte le contrat.


X- Aléa moral

3. Choix de l’effort que l’on veut forcer l’agent à

entreprendre:



Le principal choisira d’inciter l’agent à choisir l’effort haut e H si:

l’augmentation des bénéfices espérées liée au choix de e H :

(p H − p L)(b H − b L)

dépasse le suplément de salaire qu’il doit payer pour inciterl’agent à faire l’effort haut:

p H w H + (1− p H )w L − v −1

(u + e L)


X- Aléa moral

Résumé: Dans le cas où l’effort est inobservable et l’agent averse

au risque:



Le principal fait face à un arbitrage entre inciter l’agent àchoisir l’effort haut et le pousser à accepter le contrat.

Incitations ⇒ augmentation de la variabilité du salaire ⇒perte d’utilité pour l’agent averse au risque ⇒ augmentationdu salaire moyen qu’il reclame pour accepter le contrat.

La situation d’effort inobservable induit une perte d’utilitépour le principal / elle ne pénalise finalement pas l’agent quidans tous les cas obtient une espérance d’utilité égale à sonutilité de réservation u .


XI- Antisélection

A. Introduction



On s’intéresse à nouveau à un problème d’asymétrie del’information ⇒ le principal est moins informé que l’agent.

Cependant, l’asymétrie ne porte plus sur l’action de l’agent

mais sur son type, ses caractéristiques ou ses préférences.Exemple:

L’assureur (principal) ne sait pas si l’assuré (agent) est un bonou un mauvais conducteur / aime ou n’aime pas la vitesse.Une banque (principal) fait face à un emprunteur (agent) dont

elle ne connaît pas les risques de faillite.Un vendeur (principal) ne sait pas si l’acheteur (agent) valorisela qualité ou non.


XI- Antisélection

Problème du principal: Faire plusieurs propositions afin quechaque agent choisisse celle qui lui corresponds le mieux.

Exemple introductif: Soit un vendeur (principal) pouvant choisirla q alité q et le pri p de son prod it Il fait face à n achete r



la qualité q et le prix p de son produit. Il fait face à un acheteur(agent) pouvant soit valoriser la qualité soit valoriser un prix faible⇒ Le principal a intérêt à segmenter le marché en proposant:

un bien de qualité q au prix p

un bien de qualité q au prix p

tel que q > q et p > p ⇒ Ainsi chaque type d’acheteur choisira lemenu qui lui convient et le vendeur pourra capter le maximum dusurplus possible.

Question: Comment choisir q , p , q et p tel que chaque agentchoisisse bien le menu qui lui est destiné et que le profit duprincipal soit maximal?


XI- Antisélection

B. Cadre d’analyse

Un producteur (principal) vend un bien dont la qualité est notée q



et le prix p à un consommateur (agent). L’agent peut déciderd’acheter une unité du bien ou de ne rien acheter.

Le consommateur:

Son utilité est la suivante:

u i (q , p ) = θi q − p

θi

mesure donc le goût pour la qualité de l’agent i . Nous supposonsqu’il existe deux types d’agents qui différent dans leurs goûts pourla qualité: θi ∈ {θ1, θ2} avec θ1 < θ2. La proportion d’agent detype θ2 dans l’économie est noté λ.


XI- Antisélection

Le vendeur: L’utilité du principal est exactement égale à sonprofit:



profit:π(q , p ) = p − C (q )

avec C (q ) le coût de production d’un bien de qualité q . La qualité

du bien est une variable continue: q ∈R+

et C (q ) est une fonctioncroissante et convexe avec C (0) = 0 et C ′(0) = 0.

Nous étudierons successivement le cas d’information complète (leprincipal connaît le type de l’agent) et le cas d’informationincomplète.


XI- Antisélection

C. Information complète




maxq i ,p i

p i − C (q i )

s.c. q i θi − p i ≥ 0

La qualité optimale q ∗i est donnée par la condition suivante:

C ′(q ∗i ) = θi

et le prix optimal sature la contrainte de participation:

p ∗i = θi q ∗i

⇒ Le principal capte tout le surplus de l’agent, quelque soit le typede ce dernier.


XI- Antisélection

Représentation graphique dans le plan (q , p )

p



p = θ1q

p = θ2q

qq∗1 q∗2


XI- Antisélection

D. Information incomplète

Considérons le cas où le principal ne peut pas observer le type del’ Si d i l d l



l’agent ⇒ Si ce dernier propose les mêmes contrats que dans le casprécédent: (q ∗

1, p ∗

1) et (q ∗

2, p ∗

2), les deux types de consommateurs

choisiront (q ∗1

, p ∗1

). En effet:

θ2q ∗1 − p ∗1 = (θ2 − θ1)q ∗1 > 0 = θ2q ∗2 − p ∗2

etθ1q ∗2 − p ∗2 = (θ1 − θ2)q ∗2 < 0 = θ1q ∗1 − p ∗1

⇒ Le contrat n’est donc pas séparateur et le consommateur θ2reçoit une utilité positive.

Question: Existe-t-il des contrats préférables pour le principal?


XI- Antisélection

Le vendeur voudrait pouvoir, comme de le cas d’informationcompléte capter un maximum du surplus pour chaque type



compléte, capter un maximum du surplus pour chaque typed’agent.

Pour cela il ne peut pas offrir le même contrat aux deux types

d’agents ⇒ Il offre un menu de contrats ⇒ Un contratdifférent par type d’agent.

Les types étant inobservables il doit s’assurer que chaqueagent choisisse bien le contrat qui lui est destiné ⇒contrainte d’incitation.


XI- Antisélection

Le principal offre donc deux contrats (q1, p1) et (q2, p2) de façon:



Le principal offre donc deux contrats (q 1, p 1) et (q 2, p 2) de façon:

1 à maximiser son espérance d’utilité,

2 tout en s’assurant que les deux types d’agents participent,

3 et que chacun choisisse le contrat qui lui est destiné ⇒ Leconsommateur de type 1 doit être incité à choisir (q 1, p 1) et leconsommateur de type 2 doit être incité à choisir (q 2, p 2).


XI- Antisélection




maxq 1,p 1,q 2,p 2

{λ(p 2 − C (q 2)) + (1− λ)(p 1 − C (q 1))}

s.c. (CP 1

) θ1

q 1 − p

1 ≥ 0(CP 2) θ2q 2 − p 2 ≥ 0

(CI 1) θ1q 1 − p 1 ≥ θ1q 2 − p 2

(CI 2) θ2q 2 − p 2 ≥ θ2q 1 − p 1


XI- Antisélection

On peut montrer qu’à l’optimum:

(CP ) l θ



1 (CP 1) est saturée tel que: p 1 = θ1q 12 (CI 2) est saturée tel que: p 2 − p 1 = θ2(q 2 − q 1)

3 q 2≥

q 14 On peut négliger (CI 1) et (CP 2)

5 Les consommateur de type 2 achètent la même quantité quedans le cas observable: q 2 = q ∗

2.


XI- Antisélection

Représentation graphique

p



p = θ1q

p = θ2q −K

qq1 q2


XI- Antisélection

On a vu que:

q 2 = q ∗2

p 1 = θ1q 1

p2 = θ1q1 + θ2(q∗ q1)



p 2 = θ1q 1 + θ2(q 2− q 1)

On obtient la valeur optimale de q 1 (et donc de p 1 et p 2) ensubstituant dans le profit du principal et en résolvant:

maxq 1{(1− λ)(θ1q 1 − C (q 1))− λ(θ2 − θ1)q 1}

On en déduit:

C ′(q 1) = θ1 −λ

1− λ (θ2 − θ1) < θ1

A l’optimum on a donc: q 1 < q ∗1

.


XI- Antisélection

Conclusion:

Les consommateurs θ2 (qui ont le plus de goût pour la qualité)



reçoivent l’allocation efficace.

Ils sont indifférents entre les deux contrats.

Ils obtiennent une utilité positive: c’est leurrente

informationnelle .

Les consommateurs θ1 (qui valorisent le moins la qualité)reçoivent une allocation sous-efficace.

Ils ont une utilité nulle.


XII- Théorie du Signal

A. Introduction



Dans l’exemple précédent, l’asymétrie de l’information permetà certains individus d’obtenir une rente.

Cependant, il existe des configurations où le fait de ne paspouvoir révéler son type est source d’inefficacité.

Dans cette partie nous allons montrer que:

L’asymétrie de l’information peut-être à l’origine de défaillancede marché.

Il peut-être optimal d’investir afin de pouvoir signaler son type.



B. Marché des voitures d’occasion (Akerlof, 1970)

Considérons un marché des voitures d’occasion. Ce marché estconstitué de vendeurs et d’acheteurs . D’autre part, lesi é h é ê d d b



voitures échangées peuvent-être de deux types: bonnes oumauvaises .

La proportion de bonnes voitures est notée q .

Une bonne voiture procure une utilité b aux vendeurs et uneutilité B aux acheteurs. Une mauvaise voiture procure uneutilité m aux vendeurs et une utilité M aux acheteurs.

On suppose que:

B > M , b > m , B > b et M > m

Le nombre de vendeurs est limité alors que le nombred’acheteurs est très grand.



B.1. Information parfaite:

T t l d b l lité d it d



Tout le monde observe la qualité des voitures vendues.

Pour trouver un acheteur, les vendeurs de bonnes voituresdoivent fixer un prix p

≤B

⇒Ils fixent p = B .

Pour trouver un acheteur, les vendeurs de mauvaises voituresdoivent fixer un prix p ≤ M ⇒ Ils fixent p = M .

Gains liés à la transaction:

Pour les acheteurs: 0.

Pour les vendeurs de bonnes voitures: B − b > 0.Pour les vendeurs de mauvaises voitures: M −m > 0.



B.2. Aucune information:

Ni l h t i l d ’ t d’i f ti l



Ni les acheteurs ni les vendeurs n ont d information sur lavoiture qu’ils souhaitent échanger.

Pour trouver un acheteur les vendeurs doivent fixer un prix

inférieur ou égal à l’expérance d’utilité d’une voiture pourl’acheteur ⇒ p ≤ qB + (1− q )M ⇒ Ils fixentp = qB + (1− q )M .

Espérance de gains liée à la transaction:

Pour les acheteurs: 0.Pour les vendeurs: q (B − b ) + (1− q )(M −m) > 0.



B.3. Information asymétrique:

Le vendeur connaît la qualité de la voiture alors que l’acheteur



ne la connaît pas.

Si un vendeur propose un prix p < b , l’acheteur en déduit que

c’est une mauvaise voiture ⇒ il achètera la voiture seulementsi le prix est inférieur ou égal à M .

Si un vendeur propose un prix p ≥ b , l’acheteur n’a aucunmoyen de savoir si il s’agir d’une bonne ou d’une mauvaisevoiture

⇒il achètera la voiture seulement si le prix est

inférieur ou égal à qB + (1− q )M .Hypothése: M < b



Seuls deux niveaux de prix sont envisageables:

1 p = M < b et seules les mauvaises voitures sont vendues.2 p = qB + (1− q)M ≥ b et les deux types de voiture sont



2 p = qB + (1 q )M ≥ b et les deux types de voiture sontvendues.

Cependant, si la proportion q de bonnes voitures est trop faible:

q <b −M

B −M

le seul équilibre possible est p = M

⇒Les détenteurs de bonnes

voitures ne les vendront pas.



Gains liés à la transaction:

Pour les acheteurs: 0.Pour les vendeurs de bonnes voitures: 0.P l d d i i M



Pour les vendeurs de mauvaises voitures: M −m.

Mécanismes: L’acheteur ne connaît pas la qualité de lavoiture

⇒le prix qu’il est prêt à payer est faible car il existe un

risque que la voiture soit de mauvaise qualité ⇒ A ce prix, levendeur n’a pas intérêt à offrir une voiture de bonne qualité ⇒Les bonnes voitures sortent du marché.

Conclusion: Le vendeur d’une voiture de bonne qualité aurait

intérêt à signaler son type ⇒ Comment?



C. Publicité et signal de la qualité



Reprenons le cadre précédent ⇒ les vendeurs de bonnesvoitures souhaiteraient pouvoir se signaler auprès des

acheteurs.Ils peuvent entreprendre une campagne de publicité ventant lesmérites de leurs voitures.

Problème: les vendeurs de mauvaises voitures peuventégalement faire de la publicité.



Hypothèse: Le coût "d’une unité de publicité" pour lesvendeurs de mauvaises voitures (c m) est supérieur au coût



"d’une unité de publicité" pour les vendeurs de bonnesvoitures (c b ) ⇒ c m > c b .

Notons y le nombre d’unités de publicité investies par unvendeur.

Ces investissements en publicité permettent aux acheteurs deformer des croyances sur la qualité des voitures.



Exemple de croyance: "Si le vendeur X fait autant de publicitépour sa voiture c’est qu’elle doit être de bonne qualité".

Formellement cette croyance peut s’écrire:



Je pense que la qualité de la voiture est bonne si y ≥ y ∗,

et qu’elle est mauvaise si y < y ∗.

A cette croyance correspond une disponibilité à payer de la part desacheteurs de la forme:

p ( y ) = B si y ≥ y ∗

M si y < y

∗



A partir des croyances des acheteurs, les vendeurs choisissentleurs dépenses de publicité de maniére à maximiser leur utilitéespérée.

Cependant pour que l’on soit à l’équilibre il faut que les choix



Cependant, pour que l on soit à l équilibre, il faut que les choixdes vendeurs ne soient pas en contradiction avec les croyancesdes acheteurs.

Définition: On appelle équilibre une situation dans laquelle lescroyances des acheteurs sont confirmées par les choix des vendeurs.

Dans notre exemple, on est à l’équilibre si les vendeurs de bonnesvoitures choisissent un investissement y supérieur à y ∗ et les

vendeurs de mauvaises voitures un investissement inférieur à y ∗ ⇒Un tel équilibre est appelé équilibre séparateur.



La publicité étant coûteuse:

Un vendeur ne souhaitant pas se signaler comme ayant unebonne voiture a intérêt à choisir y = 0.



Un vendeur souhaitant se signaler comme ayant une bonnevoiture a intérêt à choisir y = y ∗.

On a donc un équilibre séparateur si:1 Pour les vendeurs de mauvaises voitures l’utilité associée à

y = 0 est supérieure à l’utilité associée à y = y ∗.

2 Pour les vendeurs de bonnes voitures l’utilité associée à y = 0

est inférieure à l’utilité associée à y = y ∗

.



Ces deux conditions peuvent se ré-écrire:

1 M > B − c m y ∗

M B ∗



2 M < B − c b y ∗

Les croyances initiales sont donc confirmées si:

B −M

c m< y ∗ <

B −M

c b

Il existe donc un continuum de croyances y ∗ compatibles avec

un équilibre séparateur.



Il peut donc être profitable d’entreprendre un investissement

coûteux dans le seul but de signaler son type.

Nous avons vu que sans possibilité de signalement, il était



gpossible que les bonnes voitures ne soient pas vendues ⇒ Cen’est plus le cas quand les vendeurs de bonnes voitures ont la

possibilité de se signaler grâce à un investissement en publicité.Cependant, cet investissement ne peut servir de signal que sises coûts decroissent avec la qualité de la voiture.

Cette théorie est applicable à de nombreux autres domaines ⇒Exemple: Investissements en éducation (Spence, 1973).



D. Garantie et signal de la qualité

Supposons qu’il existe deux firmes produisant des TVs ⇒ Lafirme 1 produit des TVs de bonne qualité (qualité b ) et la



( )firme 2 produit des TVs de mauvaise qualité (qualité m).

Les TVs de bonne et de mauvaise qualités sont deffectueuses

avec une probabilité respectivement égale à ρb et ρm avecρb < ρm.

Quelque soit la qualité de la TV, les coûts unitaires deproduction sont égaux à c .

Les consommateurs n’ont, à priori, aucun moyen de faire ladistinction entre les deux firmes ⇒ Ils estiment à 1/2 laprobabilité que chaque firme offre un produit de bonne qualité.



Considérons le cas où aucune firme ne peut signaler la qualitéde son produit ⇒ Les deux firmes se font concurrence en

fixant simultanément leurs prix.Si un consommateur acquiert une TV deffectueuse son utilitéest nulle sinon son utilité est égale à V ⇒ En notant p le prix



est nulle, sinon son utilité est égale à V ⇒ En notant p le prixauquel le consommateur paye sa TV, son espérance d’utilités’ecrit:

Eu = 2− ρB − ρM

2V − p

Tous les consommateurs vont donc acheter le bien auprés de lafirme proposant les prix les plus faibles.

La concurrence entre les firmes implique donc: p 1 = p 2 = c ⇒Les deux firmes tarifient aux coûts de production et font desprofits nuls.



Considérons maintenant que les firmes peuvent offrir uncontrat de grantie à leurs consommateur ⇒ Si la TV estdeffectueuse, la firme s’engage à venir la réparée ⇒ coût d’une



g g préparation pour la firme: r .

Si la firme 1 propose ce contrat, son coût espéré de production

devient: C 1 = c + ρb r .

Si la firme 2 propose ce contrat, son coût espéré de productiondevient: C 2 = c + ρmr .

On a donc C 1 < C 2 car ρb < ρm.



Ainsi, en proposant ce type de contrat avec garantie et un prix un

peu en dessous de c + ρmr , la firme 1:1 Signal la qualité de ses produits à l’ensemble des

t (l fi 2 t f i t ll ff



consommateurs (la firme 2 ne peut pas faire une telle offresans faire de pertes).

2

Si V > r , elle chasse la firme 2 du marché.

La garantie joue le rôle que jouait la publicité dans l’exemplepécédent ⇒ Il est moins coûteux de mettre en place une garantiepour la firme offrant des produit de qualité que pour l’autre firme

⇒ La garantie sert à signaler la qualité du produit vendu.


eco in certain 03 01

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