ecole polytechnique fed´ erale de´ lausanne · 2019. 9. 18. · enseign´e parle professeur...

ECOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DELAUSANNE

SECTION DE MATHÉMATIQUES

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

NOTES DE COURS

Prof. Jacques Rappaz

Ass. Dr Michel Flück

Edition 2010

0

AVERTISSEMENTS

Ce polycopié contient les notes de cours sur le calcul différentiel et intégral

enseigné par le professeur Jacques Rappaz aux ingénieurs mathématiciens

et physiciens de l’EPFL sous le label “ANALYSE I et II”. Inspiré des

livres de Jacques Douchet et Bruno Zwahlen 1 et du cours de ce dernier

enseigné pendant de nombreuses années, ce polycopié a été conçu de

sorte à ce que chaque page présente un verso non imprimé qui permettra

à l’étudiant de compléter le texte par des figures, remarques et exercices

qui sont volontairement absents de ces notes et qui seront donnés au

cours. L’étudiant peut aussi utiliser les pages blanches ajoutées à la fin

de ce manuscrit dans le but de le compléter.

Ces notes de cours n’auraient pu exister sans l’excellent travail de typo-

graphie que Mme Jacqueline Mosetti a bien voulu entreprendre ; qu’elle

en soit ici chaleureusement remerciée. Les auteurs de ces notes tiennent

à remercier aussi Chantal Landry, Gilles Steiner et Guillaume Jouvet

qui se sont donnés la peine de les lire, corriger et apporter quelques

améliorations.

1. Calcul différentiel et intégral, PPUR, Vol. 1 (ISBN 2-88074-196-3) et Vol. 2 (ISBN 2-88074-257-9)

Table des matières

1 Suites de nombres réels 2

1.1 Nombres réels (rappels sans démonstration) 2

1.2 Suites de nombres réels 5

1.3 Sous-suites de nombres réels 12

1.4 Suites de Cauchy 14

1.5 Suites de nombres et virgule flottante 16

2 Séries numériques 20

2.1 Définitions 20

2.2 La série harmonique 21

2.3 Critères de convergence 22

2.4 Séries alternées 25

2.5 Séries à termes de signe constant 26

2.6 Séries absolument convergentes 26

3 Fonctions réelles d’une variable réelle 28

3.1 Généralités 28

3.2 Critère de Cauchy 35

3.3 Limite de fonctions composées 36

3.4 Limite de fonctions au voisinage de l’infini 37

3.5 Limite infinie d’une fonction 37

3.6 Limite à droite, limite à gauche 38

3.7 Fonctions continues 41

3.8 Fonctions lipschitziennes 47

3.9 Théorèmes de points fixes 47

3.10 Suites de fonctions 49

3.11 L’espace C0([a, b]) 54

4 Calcul différentiel 57


4.2 Interprétation géométrique de la dérivée 58

4.3 Propriétés de la dérivabilité 58

4.4 Quelques exemples 59

4.5 Les espaces Cm(D) 60

i

4.6 Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis 63

4.7 Règle de Bernoulli-L’Hospital 66

4.8 Développements limités et formules de Taylor 69

4.9 Formule de Taylor 71

4.10 Relation “formule de Taylor” et “développement limité” 72

4.11 Fonctions convexes 76

5 Séries entières 78


5.2 Séries de Taylor 83

6 Fonctions exponentielle et logarithme 86

6.1 Exponentielle et sa réciproque 86

6.2 Fonction puissance 88

6.3 Fonctions hyperboliques pour x ∈ R 887 Intégration 89

7.1 Intégrale d’une fonction continue 89

7.2 Propriétés de∫ baf(x)dx 90

7.3 Changement de variables 96

7.4 Intégration par parties 96

7.5 Formule de Taylor avec reste intégral 97

7.6 Décomposition en éléments simples 98

7.7 Intégration d’une fonction rationnelle 99

7.8 Quelques changements de variables 100

8 Intégrales généralisées 101

8.1 Intégrants singuliers sur des intervalles bornés 101

8.2 Intégrales sur des intervalles non bornés 104

9 Equations différentielles 107

9.1 Introduction 107

9.2 Problème à valeur initiale 108

9.3 Problème de Cauchy 108

9.4 Equations différentielles à variables séparées 112

9.5 Equations différentielles linéaires du premier ordre 114

ii

9.6 Equations différentielles linéaires du premier ordre à

coefficients constants 117

9.7 Equations différentielles linéaires du second ordre 120

9.8 Equations différentielles linéaires à coefficients constants 124

10 L’espace Rn 129


10.2 Suites dans Rn 131

11 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles 134

11.1 Définitions et résultats 134

11.2 Intégrales qui dépendent de paramètres 139

11.3 Prolongement d’une fonction uniformément continue 141

12 Dérivées partielles 143

12.1 Introduction 143

12.2 Dérivée d’une intégrale dépendant d’un paramètre 144

12.3 Dérivées partielles d’une composition de fonctions 145

12.4 Dérivée d’une intégrale avec intégrant et bornes qui

dépendent d’un paramètre 148

12.5 Gradient et théorème des accroissements finis 149

12.6 Dérivées partielles d’ordre supérieur à un 150

12.7 Extrema de fonctions à plusieurs variables 153

12.8 Théorème des fonctions implicites 156

12.9 Une généralisation du théorème des fonctions implicites 158

12.10 Extrema liés. Méthode des multiplicateurs de Lagrange159

13 Intégrales multiples 164

13.1 Intégrales doubles sur un rectangle fermé 164

13.2 Intégrales doubles sur des domaines ouverts bornés de

R2 166

13.3 Changement de variables dans une intégrale double 168

13.4 Intégrale double sur un domaine infini 172

13.5 Intégrales multiples 173

14 Nombres complexes 177

14.1 Rappel sur les nombres complexes 177

iii

14.2 Séries entières 179

14.3 La fonction exponentielle 180

14.4 La fonction logarithme 180

14.5 La fonction ”puissance” 182

14.6 Les fonctions trigonométriques 182

14.7 La fonction gamma 183

15 Intégrales curvilignes. Différentielle totale 186

15.1 Arcs dans Rn 186

15.2 Formule de Green-Riemann 190

15.3 Différentielle totale 192

Index 195

iv

0. Les quantificateurs ∀ et ∃

Les quantificateurs utilisés dans ce polycopié sont essentiellement ∀, ∃ et∃! qui signifient :

• ∀ : ”pour tout”Si S est un ensemble de nombres réels, ∀x ∈ S signifie ”pour toutx appartenant à S” ;

• ∃ : ”il existe”∃x ∈ S signifie ”il existe un x appartenant à S” ;

• ∃! : ”il existe un unique”∃!x ∈ S signifie ”il existe un et un seul x appartenant à S”.

Exemple : Si S et T sont des ensembles de nombres réels,

pour tout x appartenant à S et pour tout nombre réel ǫ positif, il existe

y ∈ T tel que |x− y| ≤ ǫ sera écrit :∀x ∈ S, ∀ǫ > 0, ∃y ∈ T tel que |x− y| ≤ ǫ.

Remarque : La négation de cette affirmation s’écrit :

∃x ∈ S et ∃ǫ > 0 tels que ∀y ∈ T on a |x− y| > ǫ.

1

1. Suites de nombres réels

1.1. Nombres réels (rappels sans démonstration).

On admettra les notions et notations suivantes :

• N = {0, 1, 2, . . .} = ensemble des entiers naturels,• Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} = anneau des entiers relatifs,• Q = {p

q: p, q ∈ Z, q 6= 0} = corps des nombres rationnels,

• R corps commutatif, ordonné, archimédien des nombres réels.

Ainsi, on a une relation d’ordre total sur R :

• x ≤ y et y ≤ z ⇒ x ≤ z,• x ≤ y et y ≤ x est équivalent à x = y,• ∀x, y ∈ R on a x ≤ y ou bien y ≤ x,• x ≤ y et z ∈ R impliquent x+ z ≤ y + z,• x ≥ 0 et y ≥ 0 impliquent xy ≥ 0.

Pour x ∈ R on définit la valeur absolue de x, notée |x|, par :• si x ≥ 0, |x| = x,• si x < 0, |x| = −x,

avec les propriétés :

• −|x| ≤ x ≤ |x|, ∀x ∈ R,• |x+ y| ≤ |x|+ |y|, ∀x, y ∈ R,• |x− y| ≥ | |x| − |y| | , ∀x, y ∈ R.

Archimédien (Archimède : -287 - -212 av. J.-C.) signifie : ∀x > 0, ∀y > 0,il existe n ∈ N tq nx > y.

Notion de coupure. Richard Dedekind (1831-1916) définit de façon axio-

matique la notion de coupure des nombres réels.

2

Soit E et F deux sous-ensembles non-vides de R qui vérifient

1) E ∪ F = R ;2) E ∩ F = ∅ ;3) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F , on a x ≤ y.

Alors il existe z ∈ R tel que x ≤ z, ∀x ∈ E et z ≤ y, ∀y ∈ F . On dit queles sous-ensembles E et F forment une coupure de R.

On va identifier l’ensemble des nombres réels à la droite géométrique que

nous appellerons : droite numérique.

Si a < b on note :

• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} = intervalle [a, b] fermé,• [a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b} = intervalle fermé à gauche, ouvert àdroite,

• ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} = intervalle fermé à droite, ouvert àgauche,

• ]a, b[ ou (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} = intervalle ouvert.

On suppose connues les propriétés suivantes de R :

Propriété 1.1. Q est dense dans R, i.e. ∀x ∈ R, ∀ε > 0, on a]x− ε, x+ ε[∩Q 6= ∅.

Notation 1.1. On définit les ensembles :

N∗ = {1, 2, 3, . . .},R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}, R∗+ = {x ∈ R+ : x 6= 0},R− = {x ∈ R : x ≤ 0}, R∗− = {x ∈ R− : x 6= 0},R = R ∪ {−∞,+∞}.

3

Définition 1.1. Soit S ⊂ R un sous-ensemble de R. On dit que S estouvert si pour tout x ∈ S, il existe δ > 0 tel que ]x − δ, x + δ[⊂ S. Si Sest vide, il est aussi ouvert.

S est dit fermé si R− S = {x ∈ R : x /∈ S} est ouvert.S = R ou S = ∅ sont à la fois ouverts et fermés.

Définition 1.2. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R. On dit queM ∈ R est un majorant de S si ∀x ∈ S on a x ≤ M . On dit que m ∈ Rest un minorant de S si ∀x ∈ S on a m ≤ x. Si S admet un majorant, ondit que S est majoré ; s’il admet un minorant, on dit que S est minoré ;

s’il est majoré et minoré, on dit que S est borné.

Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R que l’on suppose majoré.Ainsi il existe M ∈ R tel que x ≤ M , ∀x ∈ S. Evidemment, l’intervallesemi-infini [M,+∞[ est un sous-ensemble de l’ensemble F des majorantsde S. On définit ainsi

F = {majorants de S}E = R \ F = {x ∈ R : x /∈ F}.

Bien évidemment, E et F sont non vides et E ∪ F = R, E ∩ F = ∅.Vérifions encore que si x ∈ E et y ∈ F , alors x ≤ y. Par l’absurde, six > y, alors x est un majorant de S puisque y l’est, et ainsi x ∈ F , cequi est contradictoire. Ainsi on a bien x ≤ y. Les sous-ensembles E et Fforment une coupure de R et il existe b ∈ R tel que

x ≤ b, ∀x ∈ E,b ≤ y, ∀y ∈ F.

Si a ∈ S, alors a ≤ b. En effet, par l’absurde, si on avait a > b, ilexisterait y ∈ R tel que a > y > b et ainsi y deviendrait un majorant deS, ce qui est contradictoire avec a ∈ S, a > y. Ainsi b est un majorant

4

de S. Remarquons encore que si x < b, alors x ∈ E et donc x ne peutpas être un majorant de S. On conclut que

b est le plus petit majorant de S que l’on appelle borne supérieure de S.

Définition 1.3. Soit S ⊂ R un sous-ensemble non vide de R que l’onsuppose majoré. On dit que b est la borne supérieure de S si b est le plus

petit majorant de S. On note b = sup S (on dit que b est le supremum

de S) et on a les propriétés :

1) x ≤ b, ∀x ∈ S,2) ∀ε > 0, ]b− ε, b] ∩ S 6= ∅.

De même si S est minoré, on dit que a est la borne inférieure de S si a

est le plus grand minorant de S. On note a = inf S (on dit que a est

l’infimum de S) et on a les propriétés :

3) x ≥ a, ∀x ∈ S,4) ∀ε > 0, [a, a+ ε[ ∩ S 6= ∅.

Exemple 1.1. Si a < b, alors b = sup[a, b] = sup[a, b[ et a = inf[a, b] =

inf]a, b].

Exemple 1.2. Si S = {q ∈ Q : e < q < π} alors inf S = e, sup S = π.

1.2. Suites de nombres réels.

Définition 1.4. Une suite de nombres réels est une application f de N

dans R qui à tout entier n fait correspondre f(n) ∈ R.

Notation 1.2. Le nième nombre f(n) sera noté xn (ou yn ou kn,. . .).

La suite x0, x1, x2, . . . , xn, . . . sera notée (xn)∞n=0 .

5

Définition 1.5. Soit une suite de nombres réels (xn)∞n=0 ⊂ R. On dit

que cette suite converge vers x (ou que x est la limite de la suite (xn)∞n=0)

et on note x = limn→∞

xn lorsque n tend vers l’infini si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| < ε lorsque n > N.

Exercice : Montrer que la définition (1.5) est équivalente à :

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| ≤ ε lorsque n ≥ N,

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| < ε lorsque n ≥ N,

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que |x− xn| ≤ ε lorsque n > N.

Exemple 1.3. xn =1

n+1, n = 0, 1, 2, . . .. On a lim

n→∞xn = 0. En effet, soit

ε > 0 donné. Il existe N > 0 tel que 1N< ε.

Ainsi, si n > N , on a 0 < 1n+1

< 1N+1

< ε.

Remarque 1.1. On dit qu’une suite (xn)∞n=0 est convergente s’il existe

x ∈ R tel que limn→∞

xn = x. On dit que (xn)∞n=0 ne converge pas (ou est

divergente) s’il n’existe pas un tel x. Ainsi, (xn)∞n=0 ne converge pas si

∀x ∈ R, il existe ε > 0 tel que ∀N ∈ N on a l’existence de n > N tel que|x− xn| ≥ ε.

Remarque 1.2. De façon générale, si (xn)∞n=0 est convergente, alors la

limite est unique. En effet, supposons limn→∞

xn = x et limn→∞

xn = y. Ainsi,

∀ε > 0, il existe N ∈ N tq |x − xn| < ε2 et |y − xn| < ε2 , ∀n > N . On a|x − y| ≤ |x− xn| + |xn − y| < ε si n > N . Comme x, y sont fixés, on amontré que ∀ε > 0, on a |x− y| < ε ce qui prouve que x = y.

6

Exemple 1.4. x0 = 1, x1 = −1, x2 = 1, x3 = −1, . . ., xn = (−1)n.La suite (xn)

∞n=0 ne converge pas. En effet, si ε =

13, alors l’intervalle

]x − 13, x + 1

3[ a une longueur inférieure à 1 et ne peut pas contenir −1

et +1 à la fois et ceci ∀x ∈ R. Ainsi, il n’est pas possible de trouver Nsatisfaisant |x− xn| < 13 si n > N .

Définition 1.6. Une suite (xn)∞n=0 est majorée ou minorée ou bornée si

l’ensemble S = {x0, x1, x2, . . .} ⊂ R est majoré ou minoré ou borné. Onparle de majorant ou de minorant de la suite (xn)

∞n=0 ⊂ R.

Exemple 1.5. xn =1

n+1, n = 0, 1, 2, . . .. La suite (xn)

∞n=0 est minorée

par a ≤ 0 et majorée par b ≥ 1.

Exemple 1.6. xn = (−1)n, n = 0, 1, 2, . . .. Alors a ≤ −1 est un minorantde (xn)

∞n=0 et b ≥ 1 est un majorant.

Définition 1.7. Une suite (xn)∞n=0 est dite croissante si xn+1 ≥ xn,

∀n = 0, 1, 2, . . .. (décroissante si xn+1 ≤ xn, ∀n = 0, 1, 2, . . .). Une suitecroissante ou décroissante est dite monotone.

Théorème 1.1. Soit (xn)∞n=0 une suite monotone et bornée. Alors elle

converge.

Démonstration. Supposons que la suite (xn)∞n=0 soit croissante et bornée.

Puisqu’elle est bornée, elle admet un majorant. On sait que l’ensemble

S = {x0, x1, x2, . . .} admet une borne supérieure b. Ainsi, ∀ε > 0, on a

7

]b−ε, b]∩S 6= ∅. Soit donc ε > 0 et soit N ∈ N∗ tel que xN ∈]b−ε, b]∩S.Puisque la suite est croissante, on a xn ≥ xN , ∀n > N . Comme b est unmajorant de (xn)

∞n=0 , on a xn ≤ b, ∀n ∈ N. Ainsi, xN ≤ xn ≤ b, ∀n > N .

Et puisque |b − xN | < ε, on obtient bien |b − xn| < ε, ∀n > N , ce quimontre que lim

n→∞xn = b.

Si (xn)∞n=0 est décroissante, on tient un raisonnement analogue. �

Il est facile de voir que toute suite (xn)∞n=0 convergente est une suite

bornée. En effet, limn→∞

xn = x implique que ∀ε > 0, ∃N ∈ N tq |x−xn| < ε,∀n > N . Ainsi, on a |xn| ≤ |xn − x| + |x| ≤ ε + |x| si n > N . Pourm = 0, 1, 2, . . ., on aura |xm| ≤ max

0≤j≤N|xj |+ ε+ |x|. A l’inverse, une suite

bornée n’est pas nécessairement convergente comme le montre la suite

définie par xn = (−1)n.

Propriétés des suites convergentes. Soient (xn)∞n=0 , (yn)

∞n=0 convergeant

vers x et y respectivement, i.e. limn→∞

xn = x, limn→∞

yn = y. Alors :

(1) limn→∞

(xn+yn) = x+y. En effet, soit ε > 0 et soit N tq ∀n > N , on ait|x−xn| < ε2 et |y−yn| < ε2 . On a |x+y−(xn+yn)| ≤ |x−xn|+|y−yn| < εsi n > N .

(2) limn→∞

xnyn = xy. En effet, les suites (xn)∞n=0 et (yn)

∞n=0 sont bornées

et on a l’existence de C > 0 telle que |xn| ≤ C, |yn| ≤ C, ∀n ∈ N. Soitε > 0 et soit N tel que ∀n > N : |x − xn| < ε2C , |y − yn| < ε2C . Ona alors |xy − xnyn| ≤ |x(y − yn)| + |yn(x − xn)| ≤ |x| |y − yn| + |yn||x− xn| < C ε2C + C ε2C = ε si n > N .

(3) Si xn 6= 0 ∀n et si x 6= 0, alors limn→∞

1

xn=

1

x. En effet, il existe N1 tq

∀n > N1, on a |x− xn| < |x|2 . Ainsi |x| ≤ |x− xn|+ |xn| <|x|2+ |xn| et

donc |xn| > |x|2 si n > N1. Soit ε > 0 et soit maintenant N2 ≥ N1

8

tel que ∀n > N2 on ait |x − xn| < ε|x|2

2. Pour n > N2 on aura

| 1x− 1

xn| = |xn−x

xxn| = |x−xn||x| |xn| ≤

|x−xn||x|2

2

< ε ce qui prouve que limn→∞

1

xn=

1

x.

Corollaire de (2) et (3). limn→∞

ynxn

=y

xsi xn 6= 0 ∀n et x 6= 0.

(4) Si α, β ∈ R on a limn→∞

(αxn + βyn) = αx + βy (linéarité de la limite

d’une suite).

(5) limn→∞

|xn| = |x|. En effet | |x| − |xn| | ≤ |x− xn|.

Quelques exemples.

(1) Soit la suite donnée par récurrence : xn+1 = 2 +1xn, n = 0, 1, . . .

et x0 = 2. Cette suite est convergente. En effet, en supposant tout

d’abord qu’elle converge vers x, on trouve x = 2 + 1x, i.e. x = 1 +

√2.

Montrons donc que x = 1 +√2 est la limite de (xn)

∞n=0.

|xn − x| = |2 + 1xn−1 − (2 +1x)| = | 1

xn−1− 1

x| = |xn−1−x||x| |xn−1| ≤

|xn−1−x|4

car xn ≥ 2 ∀n et x > 2. En utilisant cette inégalité récursivement, onobtient

|xn − x| ≤|x0 − x|

4n=

−2 + 1 +√2

4n≤ 1

4n→ 0 si n→ ∞.

(Pour ε > 0, il suffit de prendre N tq 14N

< ε).

(2) Soit p et q ∈ N∗ et soit xn = a0 + a1n + . . . + apnp avec ap 6= 0 etyn = b0 + b1n+ . . .+ bqn

q avec bq 6= 0. On suppose que yn 6= 0 ∀n.

Exercices : montrer

– si p < q alors limn→∞

xnyn

= 0

9

– si p = q alors limn→∞

xnyn

=apbq

– si p > q alors limn→∞

xnyn

n’existe pas, la suite (xnyn)∞n=0 diverge !

(3) Si a > 0 et si xn = n√a, si n ≥ 1 avec x0 quelconque, on a lim

n→∞xn = 1

(Exercice).

(4) xn =2n

n!, n = 0, 1, 2, . . . (ici 20 = 1, 0! = 1). On a xn =

n fois︷︸︸︷2 · 2 · · · 2

1 · 2 · 3 · · · n≤ 9 2n

3nsi n ≥ 3 et ainsi 0 ≤ xn ≤ 9(23)n. Si ε > 0, il existe N tq

n > N implique 9(23)n < ε et donc |xn| < ε ∀n > N , ce qui montre que

limn→∞

xn = 0.

Remarque 1.3. Si (yn)∞n=0 , (zn)

∞n=0 sont telles que lim

n→∞yn = lim

n→∞zn

= x et si yn ≤ xn ≤ zn pour n ≥ N , alors limn→∞

xn = x (règle des deux

gendarmes).

Règle de d’Alembert (Jean Le Rond dit d’Alembert (1717-1783), philo-

sophe et mathématicien).

Soit (xn)∞n=0 , xn 6= 0 ∀n telle que lim

n→∞|xn+1xn

| = ρ. Si ρ < 1 alors la suite(xn)

∞n=0 converge vers zéro et si ρ > 1, elle diverge.

Démonstration. Supposons ρ < 1. Alors 0 < 12+ ρ

2< 1 et lim

n→∞(1+ρ

2)n = 0.

Puisque ρ = limn→∞

|xn+1xn

|, il existe N1 tel que n ≥ N1 implique |xn+1xn | ≤ρ2+ 1

2

et donc |xn+1| ≤ 1+ρ2 |xn|. Ainsi, si n ≥ N1 on a de façon récursive :

|xn| ≤(1 + ρ

2

)|xn−1| ≤

(1 + ρ2

)2|xn−2| ≤ . . . ≤

(1 + ρ2

)(n−N1)|xN1 |

et donc limn→∞

|xn| = 0. Puisque −|xn| ≤ xn ≤ |xn|, on obtient par la règledes deux gendarmes lim

n→∞xn = 0.

Supposons maintenant ρ > 1. Il existe δ > 0 tel que ρ ≥ 1 + δ etpuisque lim

n→∞

∣∣∣∣xn+1xn

∣∣∣∣ = ρ, on a l’existence de N2 tel que si n ≥ N2 alors

|xn+1| ≥ (ρ− δ2)|xn|. Ainsi |xn| ≥ (ρ− δ2)|xn−1| ≥ . . . ≥ (ρ− δ2)n−N2 |xN2 |,

10

si n ≥ N2. Mais ρ− δ2 ≥ 1 + δ2 et donc

|xn| ≥ (1 +δ

2)n−N2 |xN2 |,

ce qui prouve que (xn)∞n=0 n’est pas bornée, donc non convergente. �

Exemple : xn =2n

n!, n = 0, 1, 2, . . .. On a lim

n→∞

xn+1xn

= limn→∞

2n+1

(n+ 1)!

n!

2n=

limn→∞

2

n+ 1= 0, ce qui montre par la règle de d’Alembert que lim

n→∞xn = 0.

Remarque 1.4. Si ρ = 1 on ne peut pas conclure. En effet (xn)∞n=0

définie par xn =1

1+ntend vers zéro alors que xn+1

xn= 1+n

2+n→ 1 si n→ ∞.

Par contre xn = (n + 1), n = 0, 1, . . . diverge alors que limn→∞

xn+1xn

= 1.

Limite supérieure et limite inférieure.

Définition 1.8. Soit (xn)∞n=0 une suite bornée et pour tout n ≥ 0 posons

yn = sup{xk : k ≥ n} (= borne supérieure de {xn, xn+1, xn+2, . . .}). Ainsi(yn)

∞n=0 est une suite décroissante bornée et d’après le théorème 1.1 elle

converge. On pose y = limn→∞

yn qui est la limite supérieure de (xn)∞n=0 et

on note y = lim supn→∞

xn.

De même z = lim infn→∞

xn si z = limn→∞

zn avec zn = inf{xk : k ≥ n}.

Théorème 1.2. Soit (xn)∞n=0 une suite bornée. Alors (xn)

∞n=0 est conver-

gente si et seulement si lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn.

Démonstration.

1o Supposons que lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn et posons yn = sup{xk : k ≥ n}et zn = inf{xk : k ≥ n}. Pour tout n ∈ N on a zn ≤ xn ≤ yn et commelimn→∞

zn = limn→∞

yn, on a limn→∞

xn = limn→∞

zn = limn→∞

yn par le critère des

deux gendarmes. Ainsi limn→∞

xn = lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn.

11

2o Supposons limn→∞

xn = x et posons yn = sup{xk : k ≥ n}, zn = inf{xk :k ≥ n}, y = lim

n→∞yn, z = lim

n→∞zn. On veut montrer que x = y = z.

Puisque limn→∞

xn = x et y = limn→∞

yn, ∀ε > 0, il existe N tel que ∀n ≥ Non a

|x− xn| <ε

2et |y − yn| <

ε

4.

La suite (yn)∞n=0 est décroissante et converge vers y. En outre, de la

définition de yN , il existe k ≥ N tel que |xk− yN | < ε4 . D’où |xk− y| ≤|xk − yN |+ |yN − y| < ε2 et par suite |x− y| ≤ |x− xk|+ |xk − y| < ε.On a montré que ∀ε > 0 on a |x− y| < ε ce qui prouve que x = y. Onfait de même pour montrer que x = z.

�

1.3. Sous-suites de nombres réels.

Définition 1.9. Soit (xn)∞n=0 une suite donnée. On appelle sous-suite de

(xn)∞n=0 toute suite obtenue en supprimant dans la suite (xn)

∞n=0 certains

de ses termes (en nombre fini ou infini). Ainsi, soit {nk}∞k=0 une suitestrictement croissante d’entiers non-négatifs, la suite (xnk)

∞k=0 est une

sous-suite (ou suite partielle) de la suite (xn)∞n=0 .

Il est facile de montrer que toute sous-suite d’une suite convergente est

elle-même convergente. La question est maintenant la suivante : est-ce

qu’une suite divergente peut contenir des sous-suites convergentes comme

par exemple la suite xn = (−1)n ? La réponse est donnée par le

12

Théorème de Bolzano 2-Weierstrass 3 (1874). Toute suite (xn)∞n=0 bornée

contient au moins une sous-suite (xnk)∞k=0 convergente.

Démonstration. Soit (xn)∞n=0 une suite bornée et S = {x ∈ R : xn > x

pour un nombre infini d’entiers n}. On pose λ = sup S et soit ε > 0quelconque. Par définition de λ on a λ+ε 6∈ S et donc il existe seulementun nombre fini de xn pour lesquels xn > λ + ε. Par contre, il existe

x ∈ S tel x > λ− ε et ainsi il existe un nombre infini de xn qui satisfontxn > λ − ε. Conclusion : il existe une infinité de xn dans l’intervalle]λ − ε, λ + ε[. On choisit xn1 ∈]λ − 1, λ + 1[, xn2 ∈]λ − 12 , λ + 12 [ avecn2 > n1, xn3 ∈]λ− 13 , λ+ 13 [ avec n3 > n2, . . . etc, . . . xnk ∈]λ− 1k , λ+ 1k [avec nk > nk−1 > nk−2 > . . . > n1. On obtient ainsi lim

k→∞xnk = λ.

�

Définition 1.10. On dira que λ est un point d’accumulation de la suite

(xn)∞n=0 s’il existe une sous-suite (xnk)

∞k=0 de (xn)

∞n=0 qui converge vers λ.

Remarque 1.5. La démonstration ci-dessus exhibe le plus grand point

d’accumulation de la suite. En fait on obtient λ = lim supn→∞

xn.

Corollaire du théorème de Bolzano-Weierstrass.

Soit une suite bornée (xn)∞n=0 telle que toutes les sous-suites (xnk)

∞k=0

convergentes que l’on peut en extraire aient même limite c. Alors on a

limn→∞

xn = c.

Démonstration. Si la suite converge, alors on a limn→∞

xn = c.

Supposons maintenant par l’absurde que (xn)∞n=0 diverge. Alors il existe

ε > 0 et une sous-suite (xnk)∞k=0 telle que |xnk − c| > ε, ∀k. Cette sous-

suite étant bornée, par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une

2. Bernard Bolzano (1781-1848)3. Karl Weierstrass (1815-1897)

13

sous-suite (xnkℓ )∞ℓ=0 de la suite (xnk)

∞k=0 qui converge. Cette sous-suite

(xnkℓ )∞ℓ=0 est une sous-suite de (xn)

∞n=0 qui ne converge pas vers c, ce qui

est contradictoire avec nos hypothèses. �

1.4. Suites de Cauchy.

(Augustin-Louis Cauchy (1789-1857))

Définition 1.11. La suite (xn)∞n=0 est une suite de Cauchy si pour tout

ε > 0 il existe N ∈ N tel que |xn − xm| < ε, ∀n,m > N .

Théorème 1.3. (Théorème de Cauchy) La suite (xn)∞n=0 est convergente

si et seulement si c’est une suite de Cauchy.

Remarque 1.6. Le théorème 1.3 permet de donner un critère de conver-

gence sans donner ni connâıtre la limite.

Démonstration.

1) Démontrons que si (xn)∞n=0 converge alors (xn)

∞n=0 est une suite de

Cauchy. Si (xn)∞n=0 converge vers x et si ε > 0 est donné, alors il existe

N tel que |x − xn| < ε2 , ∀n > N . On a si m,n > N : |xn − xm| ≤|xn − x|+ |x− xm| < ε.

2) Démontrons que si (xn)∞n=0 est une suite de Cauchy alors (xn)

∞n=0

converge. Commençons par montrer qu’une suite de Cauchy est bornée.

En effet, en posant ε = 1 il existe r ∈ N tel que |xn − xm| < 1 sin,m > r. Lorsque n > r on a |xn − xr+1| < 1 et donc |xn| ≤ 1 + |xr+1|si n > r. On conclut que pour tout n ∈ N on a |xn| ≤ max(1 +|xr+1|, |x0|, |x1|, . . . , |xr|) et ainsi (xn)∞n=0 est bornée. Par le théorèmede Bolzano-Weierstrass il existe une sous-suite (xnk)

∞k=0 qui converge

14

vers c ; i.e. limk→∞

xnk = c. Soit ε > 0 et soit N tel que pour tout p, q > N

on ait |xp−xq| < ε2 . Soit maintenant k suffisamment grand fixé tel quenk > N et |c− xnk | < ε2 . On aura alors pour n > N

|c− xn| ≤ |c− xnk |+ |xnk − xn| < ε

ce qui prouve que limn→∞

xn = c.

�

Exemple 1.7. On définit x0 = 0 et xn+1 =12(1 + sin(xn)) pour n =

0, 1, 2, . . .. On obtient ainsi

xn+1 − xn =1

2(sin(xn)− sin(xn−1)) = sin

(xn − xn−1

2

)cos

(xn + xn−1

2

).

Puisque | sin(x)| ≤ |x| et | cos(x)| ≤ 1, on obtient

|xn+1 − xn| ≤|xn − xn−1|

2pour n = 1, 2, 3, . . . .

Ainsi |x2 − x1| ≤ |x1−x0|2 , |x3 − x2| ≤ 12 |x2 − x1| ≤ 122 |x1 − x0|, . . . et|xn+1 − xn| ≤ 12n |x1 − x0| = 12n+1 , pour n = 0, 1, 2, . . . . On conclut que∀m > n ≥ 1 on a

|xm − xn| ≤ |xm − xm−1|+ |xm−1 − xm−2|+ . . .+ |xn+1 − xn|

≤(

1

2m+

1

2m−1+ . . .+

1

2n+1

)

=1

2n+1

1 +

1

2+

1

22+ . . .+

1

2m−n−1︸︷︷︸≤2

≤

1

2n→ 0 si n→ ∞.

Soit maintenant ε > 0 et soit N tel que ∀n > N on ait 12n< ε. Alors si

n,m > N on obtient |xm−xn| < ε ce qui prouve que (xn)∞n=0 est une suitede Cauchy. Ainsi elle converge. Si c = lim

n→∞xn on aura c =

12(1 + sin(c)).

15

1.5. Suites de nombres et virgule flottante.

Le calcul en nombres décimaux sur un ordinateur est nécessairement

exécuté avec un nombre fini de chiffres. Par exemple, le nombre rationnel

c = 13en décimal devient c̃ = 0, 3333333.

Définition 1.12. Nous dirons qu’un nombre c̃ est donné avec M chiffres

significatifs (en représentation décimale) s’il est donné avec M chiffres

comptés à partir du premier chiffre non nul.

Exemple 1.8. Les nombres suivants sont donnés avec 4 chiffres signifi-

catifs :

0, 3333 −→ 0, 3333 · 100

2, 434 −→ 0, 2434 · 10

0, 003256 −→ 0, 3256 · 10−2

Définition 1.13. Soit c ∈ R et soit c̃ sa valeur approchée par un cal-culateur travaillant en virgules flottantes avec M chiffres significatifs en

représentation décimale. Alors la quantité |c− c̃| est appelée erreur d’ar-rondis sur c.

Les erreurs d’arrondis jouent un rôle capital lorsqu’on calcule au moyen

d’une machine. Par exemple si on veut additionner les deux nombres

réels c1 =13et c2 =

1126

avec un calculateur qui travaille avec 4 chiffres

significatifs, le calcul devient :

c1 =1

3−→ c̃1 = 0, 3333

c2 =1

126−→ c̃2 = 0, 007936 = 0, 7936 · 10−2

16

et c̃1+c̃2 = 0, 3333+0, 0079 = 0, 3412. Le calcul avec 8 chiffres significatifs

donne 0, 34126984. Si c3 =83126

, on aura, avec un calculateur à 4 chiffres

significatifs, c̃3 = 0, 6587 et (c̃1+c̃2)+c̃3 = 0, 9999 alors que c1+c2+c3 = 1.

Remarque 1.7.

1) Si, avec 4 chiffres significatifs, c4 = 0, 1000 · 10−4 on a c̃4 = c4 etc̃1+ c̃4 = 0, 3333 = c̃1. On dira que la précision relative d’un calculateur

est η = 10−M où M est le nombre de chiffres significatifs que peut

prendre le calculateur. Ainsi si deux nombres a, b ∈ R sont tels queab≃ 10−M , le calcul a+ b n’aura pas de sens avec ce calculateur. Si, au

contraire, ab≃ 10−p avec p < M , en exécutant a+ b avec ce calculateur

on va perdre environ M − p décimales sur le résultat de l’addition.

2) Si a, b, c ∈ R, on sait que l’addition est associative, i.e. (a + b) + c =a+ (b+ c). Il n’en est pas de même en principe sur un calculateur. On

peut avoir (ã+ b̃) + c̃ 6= ã+ (̃b+ c̃).

Exemple avec M = 2 : ã = 0, 33, b̃ = 0, 0026, c̃ = 0, 0086.

• ã+ b̃ = 0, 33, (ã+ b̃) + c̃ = 0, 33 ;• b̃+ c̃ = 0, 011, ã+ (̃b+ c̃) = 0, 34.

Qu’en est-il alors avec les suites ? Prenons la suite suivante :

xn =

(1 +

1

n

)nsi n = 1, 2, . . . , et x0 = 0,

et posons-nous la question de sa convergence.

Propriété 1.2. La suite (xn)∞n=0 est croissante et bornée, donc conver-

gente.

Démonstration. Rappelons la formule du binôme de Newton

(a + b)n =n∑

k=0

c(n, k)an−kbk

17

où c(n, k) = n!k!(n−k)! est le coefficient binomial qui est en fait le nombre

de combinaisons de n éléments pris par k. En appliquant cette formule

avec a = 1, b = 1n, on vérifie facilement que

(1 +

1

n

)n= 1 +

1

1!+

1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .

+1

n!

(1− 1

n

). . .

(1− n− 1

n

)

et par suite (1 + 1n)n ≤

∑nk=0

1k!

(0! = 1).

Puisque 1k!≤ 1

2k−1, k ≥ 1 et que ∑∞m=0 12m ≤ 2, on obtient

(1 +

1

n

)n≤ 3,

ce qui prouve que la suite (xn)∞n=0 est bornée.

Montrons que (xn)∞n=0 est croissante. En reprenant l’expression de xn =

(1 + 1n)n développée par le binôme de Newton, on vérifie que

xn ≤ 1 +1

1!+

1

2!

(1− 1

n + 1

)+

1

3!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

)

+ . . .1

n!

(1− 1

n+ 1

). . .

(1− n− 1

n+ 1

)+

1

(n+ 1)!

(1− 1

n+ 1

)

. . .

(1− n

n + 1

)

et ainsi xn ≤ xn+1. On conclut que (xn)∞n=0 est croissante et bornée ; parle théorème 1.1 elle est convergente. �

La limite de (1 + 1n)n est un nombre important en analyse. On pose

e = limn→∞

(1 +

1

n

)n.

On a e = 2, 71828 . . ..

18

On peut prendre un calculateur et exécuter, pour un nombre n ∈ N∗

donné, le calcul de (1 + 1n)n. En prenant n = 10 on obtient 2, 5937 . . ..

En prenant n = 50 on obtient 2, 6915 . . . et, avec n = 1000 on obtient

2, 7169 . . ., avec n = 106 on obtient 2, 71828 . . . . On constate que cette

suite converge très lentement vers e.

Remarque 1.8. Si n = 108 et si le calculateur a une précision relative de

10−8(M = 8) alors xn = (1+1n)n donnera pour résultat x̃n = 1, 0000000 !

Définition 1.14. Soit (xn)∞n=0 une suite convergente et soit x = lim

n→∞xn.

On dira que la suite (xn)∞n=0 converge vers x à l’ordre O(

1n)α lorsque n

tend vers ∞ où α ∈ R+, s’il existe une constante C et un entier N telque |x− xn| ≤ C( 1n)α, ∀n > N . On dit encore que |x− xn| est un grandO de ( 1

n)α si n tend vers l’infini.

Exemple 1.9. Les deux suites xn =1

n+1, n = 0, 1, 2, . . . et yn =

1n2+1

,

n = 0, 1, . . . tendent toutes les deux vers zéro. On a

|0− xn| =1

n+ 1≤ 1n

et |0− yn| =1

n2 + 1≤ 1n2.

Ainsi, la deuxième suite (yn)∞n=0 converge plus vite vers zéro (O(

1n)2) que

la première qui est d’ordre O( 1n) lorsque n tend vers ∞.

19

2. Séries numériques

2.1. Définitions.

Soit (xn)∞n=0 une suite de nombres réels et soit Sn =

∑nk=0 xk la somme de

ses (n+ 1) premiers termes. On dira que Sn est la nième somme partielle

de la série∑∞

k=0 xk.

• Si (Sn)∞n=0 converge vers c lorsque n tend vers l’infini, on dit que lasérie converge, que c est la somme de la série et on note c =

∑∞k=0 xk.

• Si (Sn)∞n=0 est divergente, on dit que la série diverge.

• Si la suite (Sn)∞n=0 tend vers +∞ lorsque n tend vers l’infini (i.e. ∀C >0, il existe N tel que Sn > C, ∀n > N), alors la série diverge mais onnote quand même

∑∞k=0 xk = +∞.

• Si la suite (Sn)∞n=0 tend vers −∞ lorsque n tend vers l’infini (i.e. ∀C <0, il existe N tel que Sn < C, ∀n > N), alors la série diverge mais onnote quand même

∑∞k=0 xk = −∞.

Définition 2.1. On dit que la série∑∞

k=0 xk est absolument convergente

si la série∑∞

k=0 |xk| est convergente.

Théorème 2.1. Une série absolument convergente est convergente.

Remarque 2.1. On dit qu’une condition suffisante pour que la série

converge est qu’elle soit absolument convergente.

Démonstration. Supposons que∑∞

k=0 |xk| converge, c’est-à-dire la suiteCn =

∑nk=0 |xk|, n = 0, 1, 2, . . . est convergente. Si Sn =

∑nk=0 xk, on a

20

|Sm − Sn| = |∑m

k=n+1 xk| ≤∑m

k=n+1 |xk| lorsque m > n.Puisque (Cn)

∞n=0 converge, alors (Cn)

∞n=0 est une suite de Cauchy et donc

(Sn)∞n=0 l’est aussi. Ainsi, (Sn)

∞n=0 est convergente. �

Théorème 2.2. Une série convergente a nécessairement son terme général

xn qui tend vers zéro lorsque n tend vers ∞, i.e. limn→∞ xn = 0.

Remarque 2.2. On dit qu’une condition nécessaire pour que la série

converge est que son terme général tende vers zéro si n tend vers ∞.

Démonstration. Supposons∑∞

k=0 xk convergente, i.e. Sn =∑n

k=0 xk, n =

0, 1, . . . est une suite convergente. Alors (Sn)∞n=0 est une suite de Cauchy

et ∀ε > 0, ∃N tel que |Sn − Sm| < ε, ∀n,m > N . Ainsi |Sn+1 − Sn| =|xn+1| < ε si n > N ce qui prouve que lim

n→∞xn = 0. �

2.2. La série harmonique.

Posons x0 = 0 et xn =1npour n = 1, 2, . . .. On a

∑∞k=0 xk =

∑∞k=1

1kqui

est dite série harmonique.

Théorème 2.3. La série harmonique est divergente ; on a∑∞

k=11k=

+∞.

Démonstration. Montrons que Sn =∑n

k=11k, n = 1, 2, . . . n’est pas une

suite de Cauchy. On calcule S2n−Sn = 1n+1+ 1n+2+. . .+ 12n ≥ n· 12n = 12 cequi est en contradiction avec la définition d’une suite de Cauchy. Comme

(Sn)∞n=0 est une suite croissante et qu’elle diverge, on a

∑∞k=1

1k= +∞.

�

21

Remarque 2.3. Soit n un entier positif et calculons avec un ordinateur

la quantité (. . . ((((1+ 12)+ 1

3)+ 1

4)+ . . .)+ 1

n) que nous définissons comme

S̃n. La série∑∞

k=11kétant divergente avec

∑∞k=1

1k= +∞, alors pour M

entier positif, il existe N tel que∑N

k=11k≥ 10M . On voit alors d’emblée

que si le calculateur exécute les calculs avec M chiffres significatifs nous

aurons S̃n = S̃N pour tout n > N . Cet exemple montre que si on veut

vraiment calculer S̃n, il vaut mieux procéder ainsi (. . . ((((1n+ 1

n−1) +1

n−2) +1

n−3) + . . .) + 1) pour éviter les erreurs d’arrondis trop grandes.

2.3. Critères de convergence.

Le théorème de Cauchy du chapitre 1 implique immédiatement :

Théorème 2.4. La série∑∞

k=0 xk converge si et seulement si pour tout

ε > 0 il existe N tel que ∀n > N , ∀p ≥ 0 on a |xn+xn+1+. . .+xn+p| < ε.

En utilisant le théorème 2.4, on montre immédiatement :

Théorème 2.5. (Critère de comparaison) Considérons les deux séries∑∞

k=0 xk et∑∞

k=0 yk dont les termes généraux sont xk et yk. Alors

• si 0 ≤ xk ≤ yk, ∀k = 0, 1, . . . et si∑∞

k=0 yk converge, alors∑∞

k=0 xk

converge aussi ;

• si 0 ≤ xk ≤ yk, ∀k = 0, 1, . . . et si∑∞

k=0 xk diverge, alors∑∞

k=0 yk

diverge aussi.

Exemple 2.1. Considérons la série∑∞

k=11kp

où p est un entier ≥ 2. Pourp = 2, on observe que

1

k2≤ 1k − 1 −

1

k, si k ≥ 2.

22

Ainsi pour N ≥ 2 on a

1 +N∑

k=2

1

k2≤ 1 +

N∑

k=2

(1

k − 1 −1

k

)

= 1 + 1− 1N

−→N→∞

2.

Donc la série∑∞

k=11k2

est convergente et ainsi pour p > 2 on obtient,

puisque 1kp

≤ 1k2, la convergence de la série

∑∞k=1

1kp.

Théorème 2.6. (Critère de d’Alembert).

Soit (xn)∞n=0 une suite d’éléments de R

∗ pour laquelle ρ = limn→∞

|xn+1||xn|

existe. Alors

• si ρ < 1 la série∑∞

k=0 xk converge absolument ;

• si ρ > 1 la série∑∞

k=0 xk diverge.

Démonstration. Supposons ρ < 1. Alors il existe N > 0 tel que |xn+1||xn| ≤ρ2+ 1

2, ∀n ≥ N . Ainsi |xn+1| ≤ (ρ+12 )|xn| si n ≥ N et par suite |xn+m| ≤

(ρ+12)m|xn|, ∀n ≥ N et m ≥ 0. On obtient en posant r = ρ+12

n+m∑

j=n

|xj | = |xn|+ |xn+1|+ . . .+ |xn+m| ≤ (1 + r + r2 + . . .+ rm)|xn|.

Puisque r ∈]0, 1[, on a 1 + r + r2 + . . .+ rm = 1−rm+11−r ≤ 11−r .

Ainsi pour n ≥ N et m ≥ 0 on a∑n+mj=n |xj | ≤ 11−r |xn|. Comme ρ < 1, ona, par la règle de d’Alembert du chapitre 1, lim

n→∞xn = 0 et ainsi ∀ε > 0,

il existe Ñ ≥ N tel que |xn| < (1 − r)ε , si n > Ñ . On obtient ainsipour n ≥ Ñ et m ≥ 0 :

∑n+mj=n |xj | < ε ce qui prouve que

∑∞k=0 |xk| est

convergente en utilisant le théorème 2.4.

Si maintenant ρ > 1, la règle de d’Alembert nous dit que (xn)∞n=0 est

une suite divergente et donc, par le théorème 2.2, la série∑∞

k=0 xk est

divergente. �

23

Remarque 2.4. La série∑∞

k=0(−1)k est divergente et on a ρ = limn→∞|xn+1||xn| =

1. Par contre, la série∑∞

k=01

1+k2est convergente et on a aussi ρ =

limn→∞

|xn+1||xn| = limn→∞

1 + n2

1 + (n + 1)2= 1. Ainsi, si ρ = 1 on ne peut rien dire !

Théorème 2.7. (Critère de la limite supérieure).

Soit (xn)∞n=0 une suite de R et L = lim sup

n→∞n√

|xn|. Alors, si L < 1,∑∞

k=0 xk converge absolument ; si L > 1 la série diverge.

Démonstration. Supposons que L < 1 ; alors il existe N > 0 tel que

∀n > N

n√

|xn| ≤1 + L

2< 1.

En posant r = 1+L2< 1 on obtient |xn| ≤ rn et ainsi si n > N,m ≥ 0 :

n+m∑

j=n

|xj | ≤ rn + rn+1 + . . .+ rm+n = rn(1 + r + r2 + . . . rm) ≤ rn1− rm+11− r

et donc pour n > N,m ≥ 0 :∑n+m

j=n |xj | ≤ rn

1−r . Le critère de Cauchy

nous permet de conclure.

Si L > 1, alors on n’a pas limn→∞ xn = 0 et donc la série diverge. �

Remarque 2.5. Comme dans le cas du critère de d’Alembert lorsque

L = 1 on ne peut rien dire.

Somme de deux séries convergentes.

Soit∑∞

n=0 xn et∑∞

n=0 yn deux séries convergentes vers x et y respective-

ment, i.e.∑∞

n=0 xn = x,∑∞

n=0 yn = y.

Alors on vérifie que∑∞

n=0(xn + yn) = x+ y.

24

2.4. Séries alternées.

Théorème 2.8. Soit (xn)∞n=0 une suite telle que lim

n→∞xn = 0. On suppose

qu’il existe un entier p > 0 tel que l’on ait lorsque n ≥ p :

|xn+1| ≤ |xn|

et

xn+1 xn ≤ 0 (xn a le signe opposé de xn+1).

Alors∑∞

k=0 xk est convergente.

Démonstration. Soit p ∈ N∗ tel que xn+1 xn ≤ 0 et |xn+1| ≤ |xn|, ∀n ≥ p.Si m ≥ 1 et si n ≥ p on a, si xn ≥ 0 :

≥0︷︸︸︷ ≥0︷︸︸︷ ≥0︷︸︸︷• xn + xn+1 + xn+2 + . . . + xn+m−1 + xn+m ≤ xn,

︸︷︷︸≤0

︸︷︷︸≤0

si m est pair ;

≥0︷︸︸︷ ≥0︷︸︸︷• xn + xn+1 + xn+2 + . . . + xn+m−1 + xn+m ≤ xn,

︸︷︷︸≤0

︸︷︷︸≤0

︸︷︷︸≤0

si m est impair.

Donc si xn ≥ 0 on a 0 ≤ xn + xn+1 + . . .+ xn+m ≤ xn.De la même manière, on montre que si xn ≤ 0, on a xn ≤ xn + xn+1 +. . .+ xn+m ≤ 0. Puisque lim

n→∞xn = 0, on a nécessairement pour n ≥ p et

m ≥ 1 : |∑n+m

j=n xj | ≤ |xn| et à nouveau, en utilisant le critère de Cauchy,on obtient la convergence de la série

∑∞k=0 xk . �

Exemple 2.2.∑∞

k=1(−1)k 1k = −1+ 12 − 13 + 14 − . . . . On a bien une sériealternée qui répond aux hypothèses du théorème 2.8. On en déduit que

la série harmonique alternée est convergente.

25

2.5. Séries à termes de signe constant.

Théorème 2.9. Soit (xn)∞n=0 une suite dont le signe reste constant, i.e.

xn ≥ 0, ∀n ∈ N ou xn ≤ 0, ∀n ∈ N. On suppose que la série∑∞

n=0 xn

est convergente. Alors si σ : N → N est une bijection, on a ∑∞n=0 xn =∑∞n=0 xσ(n), ce qui signifie que l’on peut permuter les termes de la série

sans changer la limite.

Démonstration. Supposons que xn ≥ 0, ∀n ∈ N et que la série∑∞

n=0 xn

converge vers x. Si Sn =∑n

k=0 xk, la suite Sn est croissante et bornée

(puisqu’elle converge). Posons x = limn→∞ Sn =∑∞

k=0 xk. On a x =

sup{S0, S1, S2, . . . , Sn, . . .}.Si σ : N → N est une bijection et si Tn =

∑nk=0 xσ(k), on vérifie facilement

que la suite (Tn)∞n=0 est croissante, bornée et donc convergente. Soit donc

y = limn→∞ Tn =∑∞

k=0 xσ(k) = sup{T0, T1, T2, . . . , }. Il reste à montrerque x = y.

Si on pose rn = max{σ(0), σ(1), σ(2), . . . , σ(n)}, on a bien évidemment{0, 1, 2, . . . , rn} ⊃ {σ(0), σ(1), . . . , σ(n)}. Ainsi Tn ≤ Srn ≤ x, ce quiprouve que y ≤ x. De même, il existe mn ∈ N tel que {0, 1, 2 . . . , n} ⊂{σ(0), σ(1), . . . , σ(mn)}, ce qui montre que Sn ≤ Tmn ≤ y, ce qui prouveque x ≤ y. Il en résulte que x = y.Si xn ≤ 0, ∀n ∈ N, il suffit de poser yn = −xn et d’utiliser ce qui précèdepour obtenir la conclusion du théorème 2.9. �

2.6. Séries absolument convergentes.

Théorème 2.10. Soit∑∞

n=0 xn une série numérique absolument conver-

gente. Alors si σ : N → N est une bijection, on a∑∞

n=0 xn =∑∞

n=0 xσ(n),

ce qui signifie que l’on peut permuter les termes de la série sans changer

la limite.

Démonstration. Si a ∈ R, on pose a+ = a si a ≥ 0 et a+ = 0 si a ≤ 0.De même, on pose a− = −a si a ≤ 0 et a− = 0 si a ≥ 0. Ainsi, on peutécrire a = a+ − a− et |a| = a+ + a− , a+, a− ≥ 0.

26

Soit (xn)∞n=0 une suite telle que la série

∑∞n=0 xn converge absolument.

On a ainsi la convergence de∑∞

n=0 |xn|.En remarquant que x+n ≤ |xn| et que S+n =

∑nk=0 x

+k est une suite crois-

sante, bornée, donc convergente, on a l’existence de x+ ∈ R+ tel que∞∑

n=0

x+n = x+.

De même, puisque x−n ≤ |xn|, S−n =∑n

k=0 x−k est aussi croissante, bornée,

donc convergente et on a l’existence de x− tel que∑∞

n=0 x−n = x

−.

En utilisant la propriété de sommation de séries convergentes, on obtient :

∞∑

n=0

xn =

∞∑

n=0

x+n −∞∑

n=0

x−n = x+ − x−.

En utilisant la propriété des séries à signe constant, on obtient bien

∞∑

n=0

xn =

∞∑

n=0

x+n −∞∑

n=0

x−n =

∞∑

n=0

x+σ(n) −∞∑

n=0

x−σ(n) =

∞∑

n=0

xσ(n).

�

Remarque 2.6. Lorsque la série n’est pas absolument convergente, on ne

peut pas procéder à n’importe quelle permutation de ses termes sans en

changer sa limite. Par exemple, la série harmonique alternée∑∞

n=1(−1)n 1nest convergente mais non absolument convergente. On peut permuter des

termes pour la rendre divergente. Il suffit de créer des “séquences” dans

lesquelles on somme un grand nombre de termes positifs, par exemple

avant d’introduire un terme négatif.

Exemple 2.3.

−1 + 12+

1

4︸︷︷︸≥ 1

4

−13+

1

6+

1

8+

1

10+

1

12︸︷︷︸≥ 1

4

−15+

1

14+

1

16+ . . .+

1

28︸︷︷︸≥ 1

4

−17+ . . . .

(On a∑2n

k=n

1

2k≥ n+ 1

4n≥ 1

4et dans la série ci-dessus on regroupe

suffisamment de termes positifs ( n + 1 termes ) avant d’introduire un

terme négatif).

27

3. Fonctions réelles d’une variable réelle

3.1. Généralités.

Soit D ⊂ R un ensemble non vide de nombres réels. A un nombre x ∈ Don fait correspondre un nombre y ∈ R (et un seul) et on dit que cettecorrespondance est une application définie sur D à valeurs dans R ou une

fonction définie sur D et à valeurs réelles. Dans la suite, on notera cette

application par f et sa valeur y en x par f(x) :

f : Dx⊂ R →

Rf(x)=y

.

Exemple 3.1. D = R, f(x) = x2.

Exemple 3.2. D = R, f(x) = 1 si x ∈ Q, f(x) = 0 si x ∈ R−Q.

Exemple 3.3. D = R− {0}, f(x) = 1x.

On a les définitions suivantes (qui devraient être des rappels !) :

• Image de f notée R(f) =déf

{y ∈ R : ∃x ∈ D tel que y = f(x)} ;

• D = domaine de définition de f ;

• x est une variable indépendante, f est une variable dépendante ;

• la représentation graphique de f est reportée dans le plan euclidiencomme suit :

le graphe de f est défini par {(x, f(x)) : x ∈ D} =déf

G(f).

28

• f : D → R(f) est surjective.Si (x1, x2 ∈ D tel que f(x1) = f(x2)) implique (x1 = x2), on dit que fest injective.

• Si A ⊂ D, on note f(A) = {y ∈ R : ∃x ∈ A tel que y = f(x)} = imagede A par f . Si B ⊂ R(f), on note f−1(B) = {x ∈ D : f(x) ∈ B} =image réciproque de B par f .

• Si f : D ⊂ R → R et g : D ⊂ R → R sont deux fonctions, on ditque f = g si f(x) = g(x), ∀x ∈ D ; f ≥ g si f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D. Siα, β ∈ R, on dit que h = αf + βg si h(x) = αf(x) + βg(x), ∀x ∈ D ;ℓ = f · g si ℓ(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ D. Si g(x) 6= 0, ∀x ∈ D, on définitk = f/g : D ⊂ R → R par k(x) = f(x)

g(x), ∀x ∈ D.

• Si f : D ⊂ R → R et si g : E ⊂ R → R sont deux fonctions telles queR(f) ⊂ E on définit la composée de g par f notée g ◦ f par

g ◦ f : D ⊂ R → R tel que (g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ D.

• Si f : D ⊂ R → R est une fonction, la valeur absolue |f | de f estdéfinie par |f | : D ⊂ R → R+, |f |(x) = |f(x)|, ∀x ∈ D.

Définition 3.1. Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit A ⊂ D, A 6= ∅.On dit que f est majorée sur A ou bornée supérieurement si l’ensemble

f(A) est majoré. Elle est minorée sur A ou bornée inférieurement si

l’ensemble f(A) est minoré. On vérifie donc que f est majorée sur A

(resp. minorée sur A) si et seulement s’il existe une constante M (resp.

une constante m) telle que f(x) ≤M , ∀x ∈ A (resp. f(x) ≥ m, ∀x ∈ A).Si f est majorée sur A et minorée sur A, on dit que f est bornée sur A.

Dans ce cas, on définit

• supx∈A

f(x) =déf

sup {f(x) : x ∈ A} appelé supremum ou borne supérieurede f sur A ;

29

• infx∈A

f(x) = inf {f(x) : x ∈ A} appelé infimum ou borne inférieure def sur A.

Remarque 3.1. Si f n’est pas majorée sur A, on notera souvent supx∈A

f(x) =

+∞. Si f n’est pas minorée sur A, on notera infx∈A

f(x) = −∞.

Exemple 3.4. D = R − {0}, A =]0,∞[, f(x) = 1xsi x ∈ D. On aura

supx∈A

f(x) = +∞, infx∈A

f(x) = 0.

Définition 3.2. Soit f : D ⊂ R → R une fonction, A ⊂ D, A 6= ∅et supposons que f soit majorée sur A (resp. minorée sur A). S’il existe

x̄ ∈ A tel que f(x̄) = supx∈A

f(x) (resp. f(x̄) = infx∈A

f(x)), on dit que f

restreinte à A prend son maximum sur A en x = x̄ (resp. prend son

minimum sur A). On note f(x̄) = maxx∈A

f(x) (resp. f(x̄) = minx∈A

f(x)). Si

A = D, on dit tout simplement que f prend son maximum sur D (resp.

son minimum sur D). On dit aussi que f atteint son maximum en x = x̄

(resp. son minimum en x = x̄).

Définition 3.3. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ D. On dit quef admet un maximum local au point x0 (resp. minimum local) s’il existe

δ > 0 tel que f restreinte à A =]x0 − δ, x0 + δ[∩D prend son maximumsur A (resp. minimum) en x = x0. Un extremum local en x = x0 est soit

un maximum local soit un minimum local.

30

Définition 3.4. Soit f : D ⊂ R → R une fonction, A ⊂ D, A 6= ∅.

• f est dite croissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f(x1) ≥f(x2).

• f est dite strictement croissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2 ona f(x1) > f(x2).

• f est dite décroissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2 on a f(x1) ≤f(x2).

• f est dite strictement décroissante sur A si ∀x1, x2 ∈ A avec x1 > x2on a f(x1) < f(x2).

• f est dite monotone sur A (resp. strictement monotone sur A) si elleest croissante sur A ou décroissante sur A (resp. strictement croissante

sur A ou strictement décroissante sur A).

• Si D est tel que ∀x ∈ D on a −x ∈ D, on dit que :f est paire si f(x) = f(−x), ∀x ∈ D,f est impaire si f(x) = −f(−x), ∀x ∈ D.

Remarque 3.2. Si D est tel que ∀x ∈ D, on a −x ∈ D et sif : D ⊂ R → R est une fonction, alors en posant

g(x) =f(x) + f(−x)

2, h(x) =

f(x)− f(−x)2

, x ∈ D,

on constate que f = g+h et g est paire alors que h est impaire. Ainsi,

par exemple, toute fonction définie sur R est la somme d’une fonction

paire et d’une fonction impaire.

• Si D = R, on dit que f est périodique s’il existe P 6= 0 tel que f(x) =f(x + P ), ∀x ∈ R. Dans ce cas, P est appelé une période. On vérifieque nP (n ∈ Z, n 6= 0) est aussi une période.

31

• f+(x) = max {f(x), 0}, x ∈ D est appelée partie positive de f , f−(x) =−min {f(x), 0}, x ∈ D est appelée partie négative de f . On vérifie quef+ et f− sont ≥ 0 (ici 0 est la fonction identiquement nulle) et quef(x) = f+(x)− f−(x), |f(x)| = f+(x) + f−(x), x ∈ D.

• Si f : D ⊂ R → R est une fonction et si g : E ⊂ R → R est uneautre fonction qui vérifie E ⊃ D et f(x) = g(x), ∀x ∈ D, on dit que gest un prolongement de f à E. Dans ce cas, on dit aussi que f est la

restriction de g à D.

Définition 3.5. Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit x0 ∈ R.On dit que f est définie au voisinage de x0 s’il existe δ > 0 tel que

]x0 − δ, x0 + δ[⊂ D ∪ {x0}.

Exemple 3.5. D = R − {0}, f(x) = sin(x)x

, x ∈ D, ou, autre exemple,f(x) = 1

x, x ∈ D. Posons x0 = 0 et soit δ > 0 quelconque. On a bien

] − δ,+δ[⊂ R. Ainsi f est définie au voisinage de x0 = 0 dans les 2 cas !D’autre part ces deux fonctions sont définies au voisinage de n’importe

quel point x0 6= 0. Ainsi, ces deux fonctions sont définies au voisinage den’importe quel point de R.

Exemple 3.6. D = Q, f(x) = x, x ∈ D. Ici f n’est définie au voisinaged’aucun point !

Définition 3.6. Soit D ⊂ R, D 6= ∅. On dit que x0 ∈ R est un pointadhérent de D s’il existe une suite (an)

∞n=0 ⊂ D telle que limn→∞ an = x0.

32

Remarque 3.3. Si f est définie au voisinage de x0, alors x0 n’est pas

nécessairement dans D, mais x0 est nécessairement un point adhérent de

D, i.e. ∃(an)∞n=0 ⊂ D une suite telle que limn→∞

an = x0. En effet, prenons

la suite an = x0 +1

M+n, n ∈ N avec M tel que 1

M< δ. La suite (an)

∞n=0

⊂ ]x0−δ, x0+δ[ et an 6= x0 pour tout n = 0, 1, . . . . Puisque ]x0−δ, x0+δ[⊂D ∪ {x0}, on a nécessairement (an)∞n=0 ⊂ D. De plus, lim

n→∞an = x0.

Définition 3.7. Soit f : D → R une fonction définie au voisinage de x0.On dira que f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0 si : ∀ε > 0, ilexiste δ > 0 tel que pour x ∈ D, 0 < |x−x0| ≤ δ on a |f(x)− ℓ| ≤ ε. Onécrit alors lim

x→6=x0f(x) = ℓ.

Théorème 3.1. Soit f : D → R définie au voisinage de x0. Alors fadmet pour limite ℓ si et seulement si pour toute suite (an)

∞n=0 ⊂ D telle

que an 6= x0, ∀n et limn→∞

an = x0, on a limn→∞

f(an) = ℓ.

Démonstration. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ R. On supposeque f est définie au voisinage de x0.

1) Montrons que si f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0 et si

(an)∞n=0 est une suite dans D telle que an 6= x0 et lim

n→∞an = x0 alors on

a bien ℓ = limn→∞

f(an).

Soit pour ceci (an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0, ∀n et lim

n→∞an = x0. Soit encore

ε > 0. Comme f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0, alors

∃δ > 0 tel que ∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0 on a |f(x) − ℓ| ≤ ε.Puisque lim

n→∞an = x0 et an 6= x0, il existe N tel que an ∈]x0−δ, x0+δ[,

an 6= x0, ∀n > N . Ainsi |f(an) − ℓ| ≤ ε, ∀n > N , ce qui prouve queℓ = lim

n→∞f(an).

33

2) Montrons maintenant l’implication inverse. Pour ceci, supposons que

∀(an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0 et limn→∞

an = x0 on a limn→∞

f(an) = ℓ. En

raisonnant par l’absurde, on suppose que f n’admet pas pour limite ℓ

lorsque x tend vers x0, ce qui signifie qu’il existe ε > 0 tel que pour

tout δ > 0 on a l’existence (puisque f est définie au voisinage de x0) de

x ∈ ]x0−δ, x0+δ[ ∩ D, x 6= x0 tel que |f(x)−ℓ| > ε. Construisons alorsune suite (an)

∞n=1 ainsi : pour chaque n ∈ N∗, en prenant δ = 1n dans

ce qui précède, on a l’existence de an ∈]x0 − 1n , x0 + 1n [∩D, an 6= x0 telque |f(an)− ℓ| > ε. Clairement on aura lim

n→∞an = x0 et |f(an)− ℓ| > ε,

∀n, ce qui est contradictoire.�

Remarque 3.4. Si f : D ⊂ R → R est définie au voisinage de x0 etadmet pour limite ℓ lorsque x tend vers x0, alors cette limite est unique

(ceci découle de l’unicité de la limite d’une suite et du théorème 3.1).

Remarque 3.5. Si f est définie au voisinage de x0 et si pour toute

suite (an)∞n=0 ⊂ D, an 6= x0, lim

n→∞an = x0 on a l’existence de lim

n→∞f(an),

alors f admet pour limite un nombre ℓ lorsque x tend vers x0. En effet,

prenons deux suites (an)∞n=0 , an 6= x0, lim

n→∞an = x0 et (bn)

∞n=0 , bn 6= x0,

limn→∞

bn = x0 qui satisfont limn→∞

f(an) = ℓ1 et limn→∞

f(bn) = ℓ2.

En posant cn = an si n est pair, cn = bn si n est impair, on vérifie que

limn→∞

cn = x0. De plus, si ℓ1 6= ℓ2 alors la suite (f(cn))∞n=0 est divergente,ce qui est une contradiction avec l’existence de lim

n→∞f(cn). Ainsi ℓ1 = ℓ2

et par le théorème 3.1, f admet la limite ℓ1 = ℓ2 lorsque x tend vers x0.

34

3.2. Critère de Cauchy.

Théorème 3.2. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinagede x0. Alors f admet une limite lorsque x tend vers x0 si et seulement si

∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x1, x2 satisfaisant x1, x2 ∈ D, 0 < |x1 − x0| ≤ δ,0 < |x2 − x0| ≤ δ on ait |f(x1)− f(x2)| ≤ ε.

Démonstration.

1) Supposons que limx→

6=x0f(x) = ℓ et soit ε > 0. Alors il existe δ > 0

tel que ∀x ∈ D, 0 < |x − x0| ≤ δ on a |f(x) − ℓ| ≤ ε/2. Ainsi six1, x2 ∈ D, 0 < |x1 − x0| ≤ δ, 0 < |x2 − x0| ≤ δ on a |f(x1)− f(x2)| ≤|f(x1)− ℓ|+ |f(x2)− ℓ| ≤ ε.

2) Inversément, on suppose que ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀x1, x2 ∈ D,0 < |x1 − x0| ≤ δ, 0 < |x2 − x0| ≤ δ on ait |f(x1) − f(x2)| ≤ ε.Soit (an)

∞n=0 ⊂ D, an 6= x0 une suite telle que lim

n→∞an = x0. Alors il

existe N > 0 tel que n ≥ N implique |an − x0| ≤ δ. On obtient ainsi|f(an)− f(am)| ≤ ǫ pour tout n,m ≥ N , ce qui prouve que (f(an))∞n=0est une suite de Cauchy et donc elle est convergente. Ainsi, grâce à la

remarque 3.5 et le théorème 3.1 lui-même, on peut conclure que f a

une limite lorsque x tend vers x0.

�

Remarque 3.6. Les notions de limite de fonction lorsque x tend vers un

point x0 au voisinage duquel f est définie se laissent étudier au moyen

des connaissances que nous avons sur les suites. Ainsi, on obtient les

propriétés suivantes :

Si f, g : D ⊂ R → R sont deux fonctions définies au voisinage de x0 etsi lim

x→6=x0f(x) = ℓ1, lim

x→6=x0g(x) = ℓ2, on a si α, β ∈ R :

35

1) limx→

6=x0(αf + βg)(x) = αℓ1 + βℓ2,

limx→

6=x0(fg)(x) = ℓ1ℓ2,

limx→

6=x0(fg)(x) = ℓ1

ℓ2si ℓ2 6= 0 et g(x) 6= 0, ∀x ∈ D − {x0} ;

2) ℓ1 ≥ ℓ2 si f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D (ce résultat reste vrai même sif(x) ≥ g(x), ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < ε avec ε > 0 “petit”) ;

3) limx→

6=x0|f |(x) = |ℓ1| ;

4) ℓ1 = ℓ2 si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ D et h est telle quelimx→

6=x0h(x) = ℓ1 (résultat valable encore si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),

∀x ∈ D, 0 < |x − x0| < ε avec ε > 0 “petit” et si on ne supposepas a priori que g a une limite si x tend vers x0).

3.3. Limite de fonctions composées.

Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit g : E ⊂ R → R une autrefonction avec R(f) ⊂ E. On considère h : D → R définie par h = g ◦ f .On suppose que f a une limite lorsque x tend vers x0 au voisinage duquel

elle est définie et on pose y0 = limx→

6=x0f(x). On suppose encore que g a une

limite lorsque y tend vers y0 au voisinage duquel g est définie. On suppose

enfin qu’il existe ε > 0 tel que ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < ε, on a f(x) 6= y0.Alors h a une limite lorsque x tend vers x0 et on a lim

x→6=x0h(x) = lim

y→6=y0g(y).

Démonstration. Soit une suite (an)∞n=0 , an 6= x0 et lim

n→∞an = x0. Alors

on a limn→∞

f(an) = y0. Par hypothèse, on a f(an) ∈ R(f) et f(an) 6= y0pour n ≥ N (où N est suffisamment grand). Comme g a une limitelorsque y → y0, on obtient lim

n→∞g(f(an)) = ℓ où ℓ = lim

y→6=y0g(y). Ainsi

limn→∞

h(an) = ℓ, ce qui prouve par le théorème 3.1 que h a pour limite ℓ

lorsque x tend vers x0. �

36

L’hypothèse qu’il existe ε > 0 tel que ∀x ∈ D, 0 < |x− x0| < ε im-plique f(x) 6= y0 est importante et elle est utilisée dans la démonstrationci-dessus lorsqu’on dit que f(an) 6= y0, ∀n ≥ N . En effet, si on prendD = R, E = R, f(x) = 1, ∀x ∈ R, g(x) = 0 si x 6= 1 et g(1) = 1,on a h(x) = g(f(x)) = g(1) = 1, ∀x ∈ R. Ainsi lim

x→6=0f(x) = 1

(x0 = 0), y0 = 1, limy→6=1g(y) = 0 et lim

x→6=0h(x) = 1. On remarque ici que

limy→6=y0g(y) 6= lim

x→6=x0h(x) et que l’hypothèse f(x) 6= y0 n’est pas satisfaite

dans un voisinage de x0.

3.4. Limite de fonctions au voisinage de l’infini.

Soit f : D ⊂ R → R une fonction. On suppose qu’il existe a ∈ R tel que]a,∞[⊂ D (on dit que f est définie au voisinage de +∞). On dira alorsque f admet pour limite ℓ lorsque x tend vers +∞ si ∀ε > 0, ∃b > a telque |f(x)− ℓ| ≤ ε, ∀x ≥ b. On écrit

limx→+∞

f(x) = ℓ.

(Définition analogue pour limx→−∞

f(x)).

3.5. Limite infinie d’une fonction.

Si f : D ⊂ R → R est définie au voisinage de x0, on définit

• limx→

6=x0f(x) = +∞ si ∀M > 0 il existe δ > 0 tel que f(x) ≥M pour tout

x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0.

• limx→

6=x0f(x) = −∞ si ∀M < 0 il existe δ > 0 tel que f(x) ≤M pour tout

x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, x 6= x0.

• Si ]a,∞[⊂ D, on définit limx→+∞

f(x) = +∞ si ∀M > 0 il existe b > a telque f(x) ≥M , ∀x ≥ b. On définit de même manière lim

x→+∞f(x) = −∞,

limx→−∞

f(x) = +∞, . . . .

37

Théorème 3.3. Soit a ∈ R et soit f :]a,+∞[→ R une fonction crois-sante. Alors si f est majorée sur ]a,+∞[, on a :

limx→+∞

f(x) = supx∈]a,∞[

f(x).

Démonstration. Si f est majorée, alors il existe un ℓ ∈ R tel que ℓ =sup

x∈]a,∞[f(x). Soit ε > 0 fixé. Par définition du supremum, il existe un

α ∈]a,∞[ tel que ℓ − ε ≤ f(α) ≤ ℓ. Comme f est supposée croissante,alors f(y) ≥ f(α), ∀y ∈ [α,∞[. Mais puisque ℓ = sup

x∈]a,∞[f(x), on a

ℓ − ε ≤ f(y) ≤ ℓ, ∀y ∈ [α,+∞[. Ainsi |f(y) − ℓ| ≤ ε, ∀y ≥ α, ce quiprouve que lim

x→+∞f(x) = ℓ. �

Remarque 3.7. Clairement si f n’est pas majorée dans le théorème 3.3,

on aura limx→+∞

f(x) = +∞. On peut établir le même type de résultatavec f décroissante minorée ( lim

x→+∞f(x) = inf

x∈]a,∞[f(x)) ou en prenant

−∞ au lieu de +∞ (par exemple f croissante, minorée sur ]−∞, a[ alorslim

x→−∞f(x) = inf

x∈]−∞,a[f(x)).

3.6. Limite à droite, limite à gauche.

Soit f : D ⊂ R → R une fonction et soit x0 ∈ R. On dit que f est définieà droite de x0 s’il existe α > 0 tel que ]x0, x0 + α[⊂ D. Dans ce cas, ondit que f admet une limite à droite de x0 s’il existe ℓ tel que ∀ε > 0,∃δ > 0 (δ < α) qui satisfait l’implication

x ∈ ]x0, x0 + δ[ ⇒ |f(x)− ℓ| ≤ ε.

Dans ce cas, on pose limx→

>x0f(x) = ℓ ou lim

x→x+0f(x) = ℓ.

38

Remarque 3.8. limx→

>x0f(x) = ℓ⇔∀(an)∞n=0 ⊂ D, an > x0 avec limn→∞ an =

x0, on a limn→∞ f(an) = ℓ.

On dit aussi que f tend à droite de x0 vers +∞ (resp. −∞) si pourtout M > 0 il existe δ > 0 tel que f(x) ≥ M , ∀x ∈ ]x0, x0 + δ] (resp.f(x) ≤ −M , ∀x ∈ ]x0, x0 + δ]).On a des définitions analogues pour f définie à gauche de x0 et les limites

à gauche.

Remarque 3.9. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinagede x0 ∈ R. Alors

limx→

6=x0f(x) = ℓ⇔ lim

x→>x0f(x) = lim

x→<x0f(x) = ℓ.

(ℓ peut être un nombre réel ou ±∞ !)

Théorème 3.4. Soit une fonction f : D ⊂ R → R croissante et définieau voisinage de x0. Alors f admet une limite à droite de x0 et une limite

à gauche de x0 et on a limx→

>x0f(x) ≥ lim

x→<x0f(x).

Démonstration. Puisque f est définie au voisinage de x0, elle est définie

à gauche de x0. Il existe donc δ > 0 tel que [x0 − δ, x0[⊂ D.Montrons maintenant que f est bornée sur [x0 − δ, x0[. En effet, puisquef est croissante, f est minorée par f(x0 − δ) sur l’intervalle [x0 − δ, x0[.De plus, si x1 ∈ D, x1 > x0 on a f(x) ≤ f(x1), ∀x ∈ [x0 − δ, x0[ ce quimontre que f est majorée sur [x0 − δ, x0[ et donc finalement bornée surcet intervalle.

Puisque f est bornée sur [x0−δ, x0[ et f est croissante, alors limx→

<x0f(x) =

sup {f(x) : x ∈ [x0 − δ, x0[}. En effet, puisque f est majorée, alors

39

ℓ = sup {f(x) : x ∈ [x0 − δ, x0[} existe, ce qui veut dire que ∀ε > 0, ilexiste α ∈ [x0 − δ, x0[ tel que ℓ − ε ≤ f(α) ≤ ℓ. Comme la fonction estcroissante et bornée par ℓ sur [x0 − δ, x0[, on obtient ℓ − ε ≤ f(x) ≤ ℓ,∀x ∈ [α, x0[. Ainsi, on a montré que ℓ = lim

x→<x0f(x) et on a bien le résultat

limx→

<x0f(x) = sup {f(x) : x ∈ [x0 − δ, x0[}. De même on montre que

limx→

>x0f(x) = inf {f(x) : x ∈ ]x0, x0 + δ]} et on aura bien lim

x→<x0f(x) ≤

limx→

>x0f(x) puisque f est croissante. �

Remarque 3.10. Si f est décroissante, définie au voisinage de x0, on

aura limx→

>x0f(x) ≤ lim

x→<x0f(x).

40

3.7. Fonctions continues.

Définition 3.8. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie au voisinagede x0 ∈ D. Cette fonction sera dite continue au point x0 si lim

x→6=x0f(x) =

f(x0). Ainsi :

• f est continue au point x0 si et seulement si ∀ε > 0 il existe δ > 0 telque |f(x)− f(x0)| ≤ ε pour tout x ∈ D satisfaisant |x− x0| ≤ δ.

• f est continue au point x0 si et seulement si ∀(an)∞n=0 ⊂ D telle quelimn→∞

an = x0, alors limn→∞

f(an) = f(x0).

• f est continue au point x0 si et seulement si ∀ε > 0, il existe δ > 0satisfaisant |f(x1)− f(x2)| ≤ ε, ∀x1, x2 ∈]x0 − δ, x0 + δ[∩D.

Définition 3.9. f est discontinue en x0 si elle n’est pas continue en x0.

Ainsi :

• f est discontinue en x0 si et seulement s’il existe ε > 0 tel que pourtout δ > 0 il existe x ∈]x0−δ, x0+δ[∩D satisfaisant |f(x)−f(x0)| > ε.

• f est discontinue en x0 si et seulement s’il existe une suite (an)∞n=0 ⊂ Dtelle que lim

n→∞an = x0 et lim

n→∞f(an) 6= f(x0) ou lim

n→∞f(an) n’existe pas.

Remarque 3.11. On vérifie que la composée de deux fonctions continues

(g ◦ f) (f continue en x0, g continue en f(x0)) est continue. Par contre,la composée de deux fonctions discontinues n’est pas nécessairement dis-

continue.

Par exemple :

f(x) =

0 si x ≤ 0

1 si x > 0et g(x) =

1 si x ≤ 0

x si x > 0

41

sont deux fonctions définies sur R et discontinues en x = 0. On vérifie

que h(x) = (g ◦ f)(x) = 1, ∀x ∈ R, qui est continue.

Définition 3.10. Soit f : D ⊂ R → R une fonction définie à droite dex0 ∈ D. On dit alors que f est continue à droite de x0 si lim

x→>x0f(x) =

f(x0).

De même on définit la continuité à gauche et on vérifie facilement que f

est continue en x0 ∈ D (f définie au voisinage de x0) si et seulement sielle est continue à droite et à gauche de x0.

Définition 3.11. Soit a < b et f :]a, b[→ R. On dit que f est continuesur ]a, b[ si elle est continue en tout point x0 ∈]a, b[. On note dans ce casf ∈ C0(]a, b[).

Si f est définie sur ]a, b] alors on dit que f est continue sur ]a, b] (on note

f ∈ C0(]a, b])) si f est continue sur ]a, b[ et si limx→

<bf(x) = f(b). (Idem

pour C0([a, b[) ou C0([a, b]) ).

Remarque 3.12. On montre que f ∈ C0(]a, b]) si et seulement si ∀x ∈]a, b] et ∀(xn)∞n=0 ⊂]a, b] telle que limn→∞ xn = x alors limn→∞ f(xn) =f(x).

Définition 3.12. (Continuité uniforme). Soit f : I ⊂ R → R une fonc-tion définie sur l’intervalle I. On dit que f est uniformément continue

sur I si ∀ε > 0, il existe δ > 0 tel que ∀x, y ∈ I satisfaisant |x− y| ≤ δ,on a |f(x)− f(y)| ≤ ε.

42

Exemple 3.7. Soit 0 < α < 1 et I = [α, 1]. Soit f : I → R la fonctiondéfinie par f(x) =

1

x. Pour x, y ∈ I, on a

∣∣∣∣1

x− 1y

∣∣∣∣ =|x− y|xy

≤ |x− y|α2

.

Ainsi, pour ǫ > 0, il suffit de prendre δ < ǫα2 pour avoir |f(x)−f(y)| ≤ ǫdès que x, y ∈ I avec |x − y| < δ. La fonction f est donc uniformémentcontinue sur [α, 1].

Exemple 3.8. Soit α > 0 et I = [−α, α]. Soit f : I → R la fonctiondéfinie par f(x) = x2 . Pour x, y ∈ I, on a f(x) − f(y) = x2 − y2 =(x − y)(x + y) et donc |f(x) − f(y)| ≤ (|x| + |y|)|x − y| ≤ 2α|x − y|.Ainsi, pour ǫ > 0, il suffit de prendre δ <

ǫ

2αpour avoir |f(x)−f(y)| ≤ ǫ

dès que x, y ∈ I avec |x − y| < δ. La fonction f est donc uniformémentcontinue sur [−α, α].

Remarque 3.13. f : I ⊂ R → R n’est pas uniformément continue surI s’il existe ε > 0 tel que pour tout δ > 0 il existe x, y ∈ I satisfaisant|x− y| ≤ δ et |f(x)− f(y)| ≥ ε.Ou encore (en prenant δ = 1, 1

2, . . .) f n’est pas uniformément conti-

nue sur I s’il existe ε > 0 et deux suites (xn)∞n=1, (yn)

∞n=1 ⊂ I tels que

limn→∞

(xn − yn) = 0 avec |f(xn)− f(yn)| ≥ ε, ∀n ∈ N∗.

Exemple 3.9. On pose I =]0, 1[ et f donné par f(x) = 1x, ∀x ∈ I.

Posons xn =1net yn =

1n+1

, pour n = 2, 3, . . .. On a xn − yn = 1n(n+1)et donc lim

n→∞(xn − yn) = 0 ainsi que |f(xn) − f(yn)| = 1, ∀n = 2, 3, . . ..

Ce qui prouve que f , bien que continue sur I, n’est pas uniformément

continue sur I.

Exemple 3.10. On pose I = R et f donné par f(x) = x2, ∀x ∈ I.Posons xn = n et yn = n +

1n, pour n ∈ N∗. On a bien évidemment

limn→∞

(xn − yn) = 0 et |f(xn)− f(yn)| = 2 + 1n2 ≥ 2, pour n ∈ N∗. Ce quiprouve que f , bien que continue sur I, n’est pas uniformément continue

sur I.

43

Théorème 3.5. Une fonction définie sur un intervalle fermé borné (i.e.

compact) qui est continue est nécessairement uniformément continue.

Démonstration. Ab absurdo supposons que f ne soit pas uniformément

continue. Alors ∃ε > 0 tel que ∀n = 1, 2, . . . il existe xn, yn ∈ [a, b],|xn− yn| ≤ 1n et |f(xn)− f(yn)| > ε. Puisque la suite (xn)∞n=0 est bornée,il existe une sous-suite (xni)

∞i=1 qui converge vers x. Comme [a, b] est

fermé, on obtient x ∈ [a, b]. On a |yni − x| ≤ |yni − xni | + |xni − x| ≤1ni

+ |x − xni | → 0 si i → ∞. Ainsi limi→∞

yni = x. Puisque f est continue

sur [a, b], alors f est continue en x et on a limi→∞

|f(xni) − f(yni)| = 0, cequi contredit |f(xn)− f(yn)| > ε pour tout n. �

Théorème 3.6. Une fonction continue sur un intervalle fermé, borné

prend son maximum et son minimum (on dit aussi atteint son maximum

et son minimum).

Démonstration. Supposons f : [a, b] → R continue et montrons toutd’abord que f est bornée. En effet, ab absurdo, si f n’était pas bornée,

alors ∀n > 0 il existerait xn ∈ [a, b] tel que |f(xn)| ≥ n. Puisqu’on peutextraire une sous-suite (xni)

∞i=1 de (xn)

∞n=0 qui converge vers x ∈ [a, b]

(théorème de Bolzano-Weierstrass et I compact), on obtient :

|f(x)| ≥ | f(xni)︸︷︷︸≥ni

| − | f(x)− f(xni)︸︷︷︸→0

i→∞(continuité)

|,

ce qui est une contradiction.

Soit maintenant M = supx∈[a,b]

f(x). Il existe une suite (zn)∞n=0 ⊂ [a, b] telle

que limn→∞

f(zn) =M . A nouveau, on peut supposer que limn→∞

zn = z ∈ [a, b]et par continuité f(z) =M , ce qui prouve que M = sup

x∈[a,b]f(x) = f(z) =

maxx∈[a,b]

f(x). Idem pour le minimum. �

44

Théorème 3.7. (Théorème de la valeur intermédiaire) .

Soit a < b deux nombres réels et f : [a, b] → R une fonction continue.Alors R(f) = f([a, b]) = [ min

x∈[a,b]f(x), max

x∈[a,b]f(x)]. En d’autres termes, f

prend toutes les valeurs entre minx∈[a,b]

f(x) et maxx∈[a,b]

f(x) lorsque x parcourt

l’intervalle fermé [a, b].

Démonstration. Soit x1 ∈ [a, b] tel que f(x1) = minx∈[a,b]

f(x) et x2 ∈ [a, b]tel que f(x2) = max

x∈[a,b]f(x) (x1, x2 existent ; cf. théorème 3.6).

Si x1 = x2, la fonction f est constante sur [a, b] et le théorème 3.7 est

démontré. Supposons que x1 < x2 et soit z ∈ [f(x1), f(x2)]. Il suffit alorsde montrer que g : [x1, x2] → R définie par g(x) = f(x) − z possède aumoins un zéro dans [x1, x2]. On a par construction de g que g(x1) ≤ 0 etg(x2) ≥ 0.

Supposons par l’absurde que g n’a pas de zéro dans [x1, x2]. Alors g(x1)

est négatif et g(x2) est positif ce qui implique que g(x1)g(x2) < 0. Puisque

f est uniformément continue (c.f. théorème 3.6), alors g est aussi uni-

formément continue sur [x1, x2]. Ainsi, si N > 0 est un entier positif,

il existe δ > 0 tel que |g(x) − g(y)| ≤ 1N

pour tout x, y ∈ [x1, x2] avec|x − y| ≤ δ. Soit maintenant n ∈ N∗ tel que |x1−x2|

n≤ δ et posons

anj = x1 + j(x2−x1n

), j = 0, 1, 2, . . . , n. On a |anj+1 − anj | = x2−x1n ≤ δ

ce qui implique que |g(anj+1) − g(anj )| ≤ 1N , j = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Sig(anj+1) avait le même signe que g(a

nj ) pour tout j = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

alors g(x2) aurait le même signe que g(x1) ce qui serait une contradic-

tion avec g(x1)g(x2) < 0. Ainsi, il existe j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tel queg(anj ) < 0 et g(a

nj+1) > 0. On obtient finalement |g(anj )| = −g(anj ) ≤

−g(anj ) + g(anj+1) = |g(anj+1)− g(anj )| ≤ 1N et donc 1|g(anj )| ≥ N . Puisque gne s’annule pas sur [x1, x2], la fonction

1gest une fonction uniformément

continue sur [x1, x2]. Par ce qui précède, on a maxx∈[x1,x2]

1

g(x)≥ N pour tout

N > 0 et donc 1gn’est pas bornée ce qui est absurde ! Cette contradiction

montre que g doit s’annuler en un point de [x1, x2].

On traite de la même manière le cas x1 > x2. �

45

Théorème 3.8. Soit I un intervalle et soit f : I → R une fonctioninjective et continue sur I. Alors f est strictement monotone sur I.

Démonstration. Supposons que I est l’intervalle compact I = [a, b] et

supposons que f(a) < f(b) (le cas f(a) > f(b) se traite de la même

manière !). On va montrer que f est strictement croissante.

Ab absurdo, si ce n’est pas vrai, alors il existe x1, x2 ∈ I, x1 < x2 telsque f(x1) ≥ f(x2). L’injectivité de f implique que f(x1) < f(b) ouf(x1) > f(b). De plus f(x1) > f(x2).

• Si f(x1) < f(b) alors f(x2) < f(x1) < f(b) et le théorème 3.7 impliquequ’il existe y ∈ [x2, b] tel que f(y) = f(x1), ce qui est contradictoireavec l’hypothèse d’injectivité de f .

• Si f(x1) > f(b) alors on a f(a) < f(b) < f(x1) et donc il existez ∈ [a, x1] tel que f(z) = f(b), ce qui est encore une fois contradic-toire. On a ainsi démontré que f est strictement croissante.

Remarquons que si I est un intervalle quelconque, il suffit de prendre

a < b, a, b ∈ I et de faire le raisonnement ci-dessus pour montrer lastricte monotonie de f . �

Corollaire du théorème 3.8. Toute fonction f : I → R injective et continuesur I admet une fonction réciproque f−1 : R(f) → I qui est continue etstrictement monotone.

Démonstration. Supposons I = intervalle ouvert et f injective et conti-

nue. D’après le théorème 3.8, elle est strictement monotone et de plus

f−1 : R(f) → I existe. Il est facile de voir que R(f) est un intervalleouvert (cf. exercice) et que f−1 est continue (cf. exercice). �

46

L’étude des fonctions sin, cos, tg et les fonctions réciproques Arcsin, Arccos,

Arctg est supposée connue. Par exemple la fonction sin : [−π2, π2] → R est

injective et continue sur [−π2, π2]. Elle admet donc une fonction réciproque

Arcsin : [−1, 1] → [−π2, π2].

3.8. Fonctions lipschitziennes.

Soit f : D → R une fonction. Elle est dite lipschitzienne de rapport k(ou de constante k) si ∀x, y ∈ D on a

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|.

Remarque 3.14. SiD = I = intervalle et si f : D → R est lipschitziennede rapport k, alors f est uniformément continue.

• Si k < 1, on dit que f est strictement contractante sur D.

• Si x ∈ D est tel que x = f(x), on dit que x est un point fixe de f .

3.9. Théorèmes de points fixes.

Théorème 3.9. (Théorème de Brouwer (1881-1966) dans R).

Soit a < b et f : [a, b] → R une fonction continue. Si f([a, b]) ⊂ [a, b],alors f a au moins un point fixe dans [a, b].

Démonstration. Considérons la fonction g : [a, b] → R définie par g(x) =x− f(x). Bien évidemment g est continue sur [a, b].De plus g(a)g(b) = (a− f(a)︸︷︷︸

≤0

)(b− f(b)︸︷︷︸≥0

) ≤ 0. Ainsi, par le théorème 3.7

de la valeur intermédiaire, il existe c tel que g(c) = 0. D’où c est un point

fixe de f . �

47

Théorème 3.10. (Théorème du point fixe de Banach (1892-1945)).

Soit f : R → R une fonction strictement contractante. Alors f admet unet un seul point fixe dans R.

Démonstration. Soit a ∈ R et construisons la suite x0 = a, xn+1 = f(xn),∀n ∈ N. Puisque f est strictement contractante, il existe k < 1 tel que

|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|, ∀x, y ∈ R.

On obtient |xn+1−xn| = |f(xn)− f(xn−1)| ≤ k|xn−xn−1| et en répétantn fois cette inégalité : |xn+1 − xn| ≤ kn|x1 − x0| = kn|f(a)− a|.

Ainsi

|xn+m − xn| ≤ |xn+m − xn+m−1|+ |xn+m−1 − xn+m−2|+ . . .+ |xn+1 − xn|

≤ (kn+m−1 + kn+m−2 + . . .+ kn)|f(a)− a|

= kn(1 + k + k2 + . . .+ km−1)|f(a)− a|

= kn1− km1− k |f(a)− a| ≤

kn

1− k |f(a)− a|.

Il résulte de cette inégalité que (xn)∞n=0 est une suite de Cauchy. Elle

est donc convergente. Soit c = limn→∞

xn. Par continuité de f , on a c =

limn→∞

f(xn−1) = f(c) et donc c est un point fixe de f .

Maintenant si d est un autre point fixe de f , on obtient si c 6= d :

|c− d| = |f(c)− f(d)| ≤ k|c− d| < |c− d|,

ce qui est une contradiction. Donc c = d. �

Remarque 3.15. Si f : R → R est telle que |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|,∀x, y ∈ R, alors f n’a pas nécessairement un point fixe comme le montrela fonction f(x) = 1 + x.

48

3.10. Suites de fonctions.

Soit I un intervalle et soit C0(I) l’ensemble des fonctions continues sur

I, i.e. si I = [a, b[ par exemple et si f ∈ C0(I), alors f est continue sur]a, b[ et f est continue à droite en a.

Définition 3.13. Si fn ∈ C0(I), n = 0, 1, 2, . . . définit une suite de fonc-tions continues sur I, on dit que la suite (fn)

∞n=0 converge ponctuellement

vers f : I → R (ou tout simplement converge vers f), et on note f =limn→∞

fn, si ∀x ∈ I on a limn→∞

fn(x) = f(x).

Exemple 3.11. I = [0, 1]

fn(x) =

2(n + 2)x si x ≤ 12(n+2)

;

2− 2(n+ 2)x si x ∈ [ 12(n+2)

, 1n+2

];

0 si x ≥ 1n+2

.

On montre facilement que limn→∞

fn(x) = 0, ∀x ∈ I.

Exemple 3.12. I = [0, 1]

fn(x) =

0 si x ≤ 12;

(n+ 2)(x− 12) si x ∈ [1

2, 12+ 1

n+2];

1 si x ≥ 12+ 1

n+2.

On montre facilement que limn→∞

fn(x) = f(x) où f(x) = 0 si x ∈ [0, 12 ] etf(x) = 1 si x ∈ ]1

2, 1].

Remarque 3.16. L’exemple 3.11 montre que la suite (fn)∞n=0 converge

vers la fonction identiquement nulle alors qu’il existe un point xn ∈ I telque fn(xn) = 1 (i.e. xn =

12(n+2)

), ∀n = 0, 1, 2, . . . . L’exemple 3.12 montre

49

que la suite (fn)∞n=0 de fonctions continues converge vers une fonction qui

n’est pas continue sur I.

Pour éviter les défauts des exemples 3.11 et 3.12, on introduit la définition

suivante :

Définition 3.14. On dit que la suite de fonctions (fn)∞n=0 ⊂ C0(I)

converge uniformément vers f : I → R si ∀ε > 0 il existe N tel que∀n ≥ N on ait sup

x∈I|f(x)− fn(x)| ≤ ε. On note dans ce cas : lim

n→∞fn = f

uniformément.

Remarque 3.17. Si (fn)∞n=0 converge ponctuellement vers f , on a bien

évidemment : ∀ε > 0, ∀x ∈ I, il existe N tel que ∀n ≥ N on ait|f(x)− fn(x)| ≤ ε. Ici N dépend a priori de ε et x ∈ I.Si (fn)

∞n=0 converge uniformément vers f , on a bien évidemment : ∀ε > 0,

il existe N tel que ∀n ≥ N et ∀x ∈ I on ait |f(x)− fn(x)| ≤ ε. Ici N nedépend pas de x ∈ I (mais dépend de ε !).

La convergence uniforme implique la convergence ponctuelle.

Théorème 3.11. Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) une suite de fonctions continues

qui converge uniformément vers f . Alors f ∈ C0(I) (i.e. f est aussicontinue sur I).

Démonstration. Soit ε > 0 et soit un entier n tel que |fn(x)− f(x)| ≤ ε3 ,∀x ∈ I (ici n est fixé et il existe car lim

n→∞fn = f uniformément).

Soit x0 ∈ I. Montrons que f est continue en x0. Puisque fn est continuesur I, il existe δ > 0 tel que |fn(x0) − fn(x)| ≤ ε3 , ∀x ∈ I, |x − x0| ≤ δ.

50

On obtient ainsi pour |x− x0| ≤ δ, x ∈ I :

|f(x0)− f(x)| ≤ | f(x0)− fn(x0)︸︷︷︸≤ ε

3

|+ | fn(x0)− fn(x)︸︷︷︸≤ ε

3

|

+ | fn(x)− f(x)︸︷︷︸≤ ε

3

| ≤ ε,

ce qui prouve que f est continue en x0. Comme x0 ∈ I est quelconque, fest continue sur I. �

Remarque 3.18. Dans l’exemple 3.11, on n’a pas convergence uniforme

car supx∈I

|fn(x)− f(x)| = supx∈I

|fn(x)| = 1, ∀n ∈ N.Dans l’exemple 3.12, on n’a pas convergence uniforme car la limite f

n’est pas continue.

Théorème 3.12. (Permutation des limites).

Soit (fn)∞n=0 ⊂ C0(I) qui converge uniformément vers f : I → R. Soit

x0 ∈ I. On a limn→∞

( limx→x0

fn(x)) = limx→x0

( limn→∞

fn(x)).

Démonstration. Puisque (fn)∞n=0 converge uniformément vers f , on a

limx→x0

f(x) = limx→x0

limn→∞

fn(x).

De plus, comm

ecole polytechnique fed´ erale de´ lausanne · 2019. 9. 18. · enseign´e parle professeur...

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