econometria apuntes

RSG El modelo lineal uniecuacional multiple 1 / 68

El modelo Lineal General

Roman Salmeron Gomez

Universidad de Granada

Contenidos

Contenidos

Especificacion delmodelo

Estimacion del modelo

Validacion del modelo

Explotacion del modelo

Ejemplos


Especificacion del modelo




Ejemplos

Especificacion del modelo

Contenidos

Especificacion delmodeloModelo linealuniecuacional multiple

Hipotesis del modelo




Ejemplos


Modelo lineal uniecuacional multiple

Contenidos






Ejemplos


El modelo lineal uniecuacional multiple analiza la relacion lineal entre una variabledependiente, Y , y mas de una variable independiente, Xi, i = 1, . . . , k, k > 1,mas un termino aleatorio, u.

As, a partir de n observaciones para cada variable, el modelo puede serexpresado como:

Yt = 1 + 2Xt2 + 3Xt3 + + kXtk + ut, t = 1, . . . , n, (1)

donde se ha considerado que hay termino constante, es decir, X1t = 1, t.El objetivo sera estimar (es decir, obtener una aproximacion numerica) aque-

llas cantidades constantes presentes en el modelo (1), as como la bondad de laestimacion realizada. En primer lugar, se escribe dicho modelo para todas y cadauna de las observaciones:

Y1 = 1 + 2X12 + 3X13 + + kX1k + u1Y2 = 1 + 2X22 + 3X23 + + kX2k + u2

.

.

.

.

.

.

Yn = 1 + 2Xn2 + 3Xn3 + + kXnk + un

Modelo lineal uniecuacional multiple

Contenidos






Ejemplos


Que nos conduce a la siguiente forma matricial:

yn1 = Xnk k1 + un1, (2)

donde:

yn1 =

Y1Y2.

.

.

Yn

, k1 =

12.

.

.

k

, un1 =

u1u2.

.

.

un

,

Xnk =

1 X12 . . . X1k1 X22 . . . X2k.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1 Xn2 . . . Xnk

.


Contenidos






Ejemplos


Consideraremos las siguientes hipotesis basicas en el modelo lineal uniecuacionalmultiple:

El vector y se puede expresar como combinacion lineal de las variablesexplicativas mas un vector de perturbacion.

La perturbacion aleatoria esta centrada (E[ut] = 0, t = 1, . . . , n), eshomocedastica

(V ar(ut) = E[u

2t ] =

2, t = 1, . . . , n)

e incorrelada(Cov(ut, us) = E[ut us] = 0, t 6= s, t, s = 1, . . . , n). En tal casose dice que las perturbaciones son esfericas y se verifica que E[u] =0n1 y V ar(u) = E[u ut] = 2 Inn.

La matriz X es no estocastica y de rango completo por columnas, es decir,rg(X) = k (como consecuencia n > k y las columnas de X , es decir,Xi, i = 1, . . . , n, son linealmente independientes).

No hay relacion entre variables independientes y la perturbacion aleatoria:

Cov(un1, Xi) = E[(uE[u]) (Xi E[Xi])t

]= E

[u (Xi Xi)t

]= E[un1 01n] = 0nn.


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Estimacion del modeloEstimacion mnimocuadratica de loscoeficientes delmodeloTeorema deGauss-MarkovEstimacion de lavarianza de laperturbacion aleatoria



Ejemplos


Estimacion mnimo cuadratica de los coeficientes del modelo

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Ejemplos


Definiendo los errores o residuos, e, del modelo lineal uniecuacional multiple comola diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su esti-macion, esto es

e = y y,donde y = X, y siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadradosde los residuos

ete = (y X)t (y X) = yty 2tXty + tXtX,

se obtiene la estimacion del parametro como

=(XtX

)1 Xty.

Dicho metodo recibe el nombre de mnimos cuadrados ordinarios, MCO, porlo que los estimadores obtenidos a partir de dicho metodo reciben el nombre deestimadores de mnimos cuadrados ordinarios, EMCO.

Como consecuencias de dicha estimacion se verifica que Xt e = 0k1,it e = 011, it y = it y y yt e = 011 donde it = (1 1 . . . 1)1n.

Estimacion mnimo cuadratica de los coeficientes del modelo

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Ejemplos


Adviertase que:

XtX =

nnt=1

Xt2 nt=1

Xtknt=1

Xt2nt=1

X2t2 nt=1

Xt2Xtk

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

nt=1

Xtknt=1

XtkXt2 nt=1

X2tk

,

y

Xty =

nt=1

Ytnt=1

Xt2Yt

.

.

.

nt=1

XtkYt

.

Teorema de Gauss-Markov

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Ejemplos


Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de mnimos cuadra-dos ordinarios son lineales, insesgados y optimos (ELIO), es decir, tienen varianzamnima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados.

En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal.As, llamando:

Ckn =(XtX

)1

kkXtkn =

c11 c12 . . . c1nc21 c22 . . . c2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ck1 ck2 . . . ckn

,

se tiene que se expresa como combinacion lineal del vector y:

k1 = Ckn yn1 =

c11Y1 + c12Y2 + . . .+ c1nYnc21Y1 + c22Y2 + . . .+ c2nYn

.

.

.

ck1Y1 + ck2Y2 + . . .+ cknYn

.


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Ejemplos


Para que el estimador de sea insesgado se ha de cumplir que E[] = . Enefecto, sustituyendo y = X + u en :

=(XtX

)1 Xty = (XtX)1 Xt(X + u)

= +(XtX

)1 Xtu = + (XtX)1 Xtu.

Entonces, teniendo en cuenta que E[u] = 0:

E[] = E[ +

(XtX

)1 Xtu

]= +

(XtX

)1 Xt E[u] = .

Por otro lado, la matriz de varianzas-covarianzas de :

V ar()

= E

[( E[]

)( E[]

)t]= E

[(

)(

)t]= E

[(X

tX)1

Xtu utX

(X

tX)1]

=(X

tX)1

Xt E[u ut] X

(X

tX)1

= 2 (X

tX)1

XtX(X

tX)1

= 2 (X

tX)1

,


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Ejemplos


donde se ha tenido en cuenta que es insesgado, = (XtX)1 Xtu yV ar(u) = E[u ut] = 2 Inn.

Para demostrar que es de mnima varianza consideraremos otro estimador,, de lineal e insesgado de forma que V ar

()< V ar ().

En efecto, = Dkn yn1 tal que D X = Ikk es lineal e insesgado.Ademas, V ar () = 2 DDt.

En tal caso, puesto que podemos escribir D = (XtX)1 Xt + W conW 6= 0kn, se tiene que DDt = (XtX)1 +WW t, y en tal caso:

V ar () = 2 DDt = 2 (XtX)1+2 WW t = V ar ()+2 WW t,esto es, V ar () V ar

()

= 2 WW t.Y como WW t es definida positiva: V ar () V ar

()> 0, y en tal

caso:

V ar () > V ar().

Estimacion de la varianza de la perturbacion aleatoria

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Ejemplos


Ademas de los coeficientes de las variables independientes, hay en el modelootra cantidad constante que habra que estimar: la varianza de la perturbacionaleatoria, 2.

Un estimador insesgado de 2 es:

2 =ete

n k ,

ya que E[ete] = (n k) 2.Para calcular dicho estimador se dispone de la expresion:

2 =yty tXty

n k .

En consecuencia, la estimacion de la matriz de varianzas-covarianzas de es:

V ar

()

= 2 (XtX)1 .


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Validacion del modeloBondad de ajuste:Coeficiente dedeterminacionCriterios de seleccionde modelosDistribucion en elmuestreo de losestimadores MCOContraste de unconjunto de hipotesislineales: casosparticularesMnimos CuadradosRestringidos

Analisis de la varianza

Intervalos de confianza


Ejemplos


Bondad de ajuste: Coeficiente de determinacion

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Ejemplos


Una vez estimado el modelo lineal uniecuacional multiple, es decir, una vez ob-tenidas las estimaciones de y 2, el siguiente paso sera estudiar la calidad dedichas estimaciones.

As, a continuacion, obtendremos el coeficiente de determinacion, que no esmas que una medida para estudiar la bondad del ajuste lineal determinado por losestimadores por mnimos cuadrados ordinarios.

Dicho coeficiente de determinacion, que se denota por R2, se define comoel porcentaje de variabilidad explicada por el modelo. Por tanto, este se obtendracomo el cociente entre la varianza explicada por la estimacion y la total:

R2 =

1Tni=1

(Yi Y

)21Tni=1

(Yi Y

)2 =ni=1

(Yi Y

)2ni=1

(Yi Y

)2 .Como se observa, el coeficiente de determinacion queda expresado en funcionde la suma de cuadrados explicados (SCE) y los totales (SCT).

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinacion

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Ejemplos


Luego, teniendo en cuenta la descomposicion

SCT = SCE + SCR,

se tiene que

R2 =SCE

SCT= 1 SCR

SCT.

Entonces, para calcular dicho coeficiente se dispone de la expresion:

R2 =tXty n Y 2

yty n Y 2= 1 y

ty tXtyyty n Y 2

.

Adviertase que, siempre que el modelo lineal tenga termino independiente,el coeficiente de determinacion vara entre 0 y 1. El valor 0 lo toma cuando laSCE es nula y, por tanto, el modelo no es adecuado; mientras que toma el valor 1cuando la SCR es nula y, por tanto, el modelo es adecuado.

Coeficiente de determinacion corregido

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Ejemplos


Puesto que a medida que vamos incluyendo variables en el modelo el coeficientede determinacion aumenta aunque las variables que incluyamos no sean signifi-cativas, esto supone un problema.

El coeficiente de determinacion corregido, R2, viene a resolver este problemadel coeficiente de determinacion. Dicho coeficiente mide el porcentaje de va-riacion de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinacion)pero teniendo en cuenta el numero de variables incluidas en el modelo. Se definecomo:

R2

= 1 (1R2) n 1n k .

En cualquier caso, estas medidas de bondad del ajuste no deben de sersobrevaloradas. Obtener un R2 o R2 cercano a 1 no indica que los resultadossean fiables, ya que, por ejemplo, puede ser que no se cumpla alguna de lashipotesis basicas y los resultados no ser validos. Por tanto, estos indicadoreshan de ser considerados como una herramienta mas a tener en cuenta dentro delanalisis.

Criterios de seleccion de modelos

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Ejemplos


Por otro lado, se podra pensar en usar el coeficiente de determinacion para com-parar distintos modelos. En tal caso, estos deben de tener la misma variabledependiente ya que as tendran la misma suma de cuadrados totales. Y aun as,habra que tener cuidado con el problema ya comentado: aumenta su valor alanadir una nueva variable explicativa, sea cual sea su aportacion al modelo.

Para evitar tales problemas, a la hora de comparar modelos para elegir unode ellos se usan los criterios de seleccion de modelos. Mas concretamente, es-tudiaremos los criterios de informacion de Akaike (AIC), el bayesiano de Schwarz(BIC) y el de Hannan-Quinn (HQC).

Estos criterios se obtienen a partir de la suma de cuadrados de los resi-duos y de un factor que penaliza la inclusion de parametros. As, un modelo mascomplejo (con mas variables explicativas) reducira la suma de cuadrados de losresiduos pero aumentara el factor de penalizacion.

Utilizando estos criterios se escogera aquel modelo con un menor valor deAIC, BIC o HQC.

Criterios de seleccion de modelos: AIC, BIC y HQC

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Ejemplos


Teniendo en cuenta que:

L = n2 (1 + ln(2 pi) ln(n)) n

2 ln(SCR),

el criterio de informacion de Akaike responde a la expresion:

AIC = 2 L + 2 k,

el de Schwarz a:BIC = 2 L + k ln(n),

y el de Hannan-Qinn:

HQC = 2 L + 2 k ln (ln(n)) .

Distribucion en el muestreo de los estimadores MCO

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Ejemplos


Introduciendo la hipotesis de que la perturbacion aleatoria sigue una distribucionnormal, esto es:

un1 N(0n1, 2 Inn).En consecuencia, k1 N(, 2 (XtX)1), ya que:

sigue una distribucion normal ya que se puede expresar en funcion deuna normal: = + (XtX)1 Xtu.

se tienen calculados el vector de medias, E[]

= , y matriz de

varianzas-covarianzas, V ar()

= 2 (XtX)1.

Por otro lado, ya que ete = utMu siendo Mnn = I X (XtX)1 Xtsimetrica, idempotente y con rg(M) = n k < k se tiene que utMu

2 2nk,

lo que se traduce en que

(n k) 22

2nk.

Contraste de un conjunto de hipotesis lineales

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Ejemplos


A continuacion abordaremos la especificacion de contrastes sobre un conjunto dehipotesis lineales sobre los coeficientes del modelo. Concretamente, suponiendoq restricciones lineales independientes entre s:

a111 + a122 + + a1kk = b1a211 + a222 + + a2kk = b2

.

.

.

.

.

. =.

.

.

aq11 + aq22 + + aqkk = bqPlantearemos contrastar la hipotesis nula H0 : R = r donde

Rqk =

a11 a12 . . . a1ka21 a22 . . . a2k

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

aq1 aq2 . . . aqk

, rq1 =

b1b2.

.

.

bq

.

Contraste de un conjunto de hipotesis lineales

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Ejemplos


Usando la distribucion

(R R

)t

[R (XtX)

1Rt]1

q 2 (R R

) Fq,nk,

rechazaremos la hipotesis nula al nivel de significacion si

(R r

)t

[R (XtX)

1Rt]1

q 2 (R r

)> Fq,nk(1 ),

donde Fq,nk(1 ) es el punto de una F de Senedecor de q y n k gradosde libertad que deja por debajo suyo una probabilidad 1 .

Casos particulares

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Ejemplos


Un caso particular de suma importancia sera aquel en el que se desee contrastarla hipotesis nula H0 : i = bi, i = 1, . . . , k.

En tal caso, q = 1, R = (0 0 . . . 1i) . . . 0) y r = bi, por lo que ladistribucion anterior queda simplificada como(

i bi)2

2 wi F1,nk,

donde wi es el elemento (i,i) de la matriz (XtX)1, o lo que es lo mismo, 2 wies el elemento (i,i) de 2 (XtX)1 = V ar

()

, esto es, la varianza estimada

de i.Teniendo en cuenta que la raz cuadrada de una F-Snedecor con 1 y n grados

de libertad es una t-Student con n grados de libertad se tiene que

i bi wi tnk,

Casos particulares

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Ejemplos


y en tal caso rechazaremos H0 : i = bi al nivel de significacion si i bi wi > tnk (1 2 ) ,

donde tnk(1 2

)es el punto de una distribucion t de student con n k

grados de libertad que deja por debajo suya una probabilidad 1 2 .Este caso particular es de vital importancia cuando bi = 0, ya que entonces

estaremos contrastando si el coeficiente de la variable independiente Xi es ono nulo. De forma que al rechazar dicha hipotesis tenemos garantizado que lavariable Xi ha de estar en el modelo, por lo que sus variaciones influyen en lavariable dependiente. En tal caso se dice que dicha variable es significativa y queel contraste es un contraste de significacion individual.

Mnimos Cuadrados Restringidos

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Ejemplos


En el caso en el que no se rechace la hipotesis nulaH0 : R = r, sera deseableincorporar dicha informacion al modelo. En tal caso, se obtiene un nuevo estima-dor:

R = +(XtX

)1

Rt[R(XtX

)1

Rt]1

(r R

),

que recibe el nombre de mnimos cuadrados restringidos ya que se ha obtenidocon la restriccion de que ha de verificar que RR = r.

Dicho estimador es lineal, insesgado siempre que la hipotesis nula H0 :R = r sea cierta y optimo. Es decir, el estimador por mnimos cuadradosrestringidos tiene menor varianza que el estimador mnimo cuadratico ordinariosiempre y cuando la restriccion (hipotesis nula) sea cierta.

Luego, cuando una restriccion lineal sobre los coeficientes de las variablesindependientes es cierta, el estimador por mnimos cuadrados ordinarios deja deser optimo y habra que usar el estimador por mnimos cuadrados restringidos.

Ademas se verifica que:

SCRR SCR, R2R R2.


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Ejemplos


El analisis de la varianza aborda el contraste que tiene por hipotesis nula quetodos los coeficientes de las variables independientes son nulos simultaneamente,esto es, H0 : 2 = 3 = = k = 0.

Salta a la vista que estamos ante un caso particular de un contraste sobrek 1 restricciones lineales de los coeficientes de las variables independientes.En este caso, rechazaremos la hipotesis nula al nivel de significacion si

Fexp =SCEk1SCRnk

> Fk1,nk(1 ).

Para calcular dicho estadstico se suele resumir la informacion anterior en unatabla, conocida como tabla de analisis de la varianza (tabla ANOVA) ya que enella se recogen las fuentes de variacion de la varianza:

Fuente de variacion Suma de Cuadrados Grados de Libertad MediasExplicada SCE = tXty nY 2 k 1 SCE

k1

Residuos SCR = yty tXty n k SCRnk

Total SCT = yty nY 2 n 1


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Ejemplos


Adviertase que rechazar H0 implica que hay al menos un coeficiente no nulo, porlo que la relacion existente entre las variables independientes y la dependiente nose debe al azar, lo cual valida el modelo en su conjunto.

Por otro lado, sin mas que dividir la region de rechazo por SCT tanto en elnumerador como en el denominador se obtiene la expresion equivalente:

R2

k1

1R2

nk

> Fk1,nk(1 ).

La importancia de esta nueva expresion para la region de rechazo es que permitecalcular una cota, sin mas que despejar R2, a partir de la cual el coeficiente dedeterminacion es significativo. Esto es, el coefciente de determinacion es signifi-cativo al nivel de significacion si

R2 >k1nk

Fk1,nk(1 )1 + k1

nk Fk1,nk(1 )

.


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Ejemplos


A partir de las distribuciones en el muestreo para los estimadores estudiados esinmediato obtener los siguientes intervalos de confianza al nivel 1 :

Intervalo de confianza para i

i tnk(1

2

) wi, i = 1, . . . , k.

Intervalo de confianza para 2[(n k) 22nk

(1 2

) , (n k) 22nk

(2

) ] ,donde 2nk

(1 2

)y 2nk

(2

)son los puntos de una distribucion chi-

cuadrado con nk grados de libertad que dejan a su izquierda, respectivamente,una probabilidad 1 2 y 2 .

Una forma alternativa de contrastar hipotesis es usando los intervalos deconfianza. De manera que para contrastar H0 : R = r se calculara la regionde confianza paraR y si r pertenece a dicha region, no se rechazara la hipotesisnula.


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Explotacion del modeloPrediccion PuntualOptimaPrediccion porintervaloContraste dePermanenciaEstructural

Ejemplos


Prediccion Puntual Optima

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Ejemplos


Una vez validado el modelo, la siguiente fase de un modelo econometrico es laexplotacion, siendo entonces la prediccion o la permanencia estructural algunosde sus objetivos.

La prediccion se realiza desde dos puntos de vista: a) por un lado realizare-mos una prediccion puntual dando un unico valor de prediccion para un instanteen concreto; b) por otra parte, puesto que Y es una variable aleatoria, podemoscalcular su esperanza dado un valor en concreto de las variables independientes.

Siguiendo las directrices anteriores se llega a la misma expresion algebraicaen ambos casos:

p0 = xt0 ,

donde xt0 = (1 X02 X03 . . . X0k) contiene los valores de las variables inde-pendientes para los que se quiere obtener la prediccion.

Este predictor, p0, mnimo cuadratico (ya que se obtiene a partir del estima-dor por mnimos cuadrados ordinarios de ) es lineal, insesgado y optimo (en elsentido de mnima varianza).

Prediccion por intervalo

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Ejemplos


En este apartado calcularemos el intervalo de confianza para el valor esperadode Y dado x0, es decir, para E[Y0/x0] = xt0 .

Como xt0 se distribuye segun una normal (ya que esta en funcion de ) y E[xt0 ] = xt0, ya que es insesgado.

V ar(xt0

)= E

[(xt0 xt0

)(xt0 xt0

)]= xt0

E

[(

)(

)t] x0 = xt0 V ar

() x0 = 2

xt0 (XtX)

1x0.

se tiene quext0 N

(xt0 , 2 xt0

(XtX

)1

x0

).

Ahora bien, esta distribucion no es apta para hacer inferencia puesto quedepende de la cantidad desconocida 2. Para resolver este problema, tipificare-mos la anterior distribucion normal y la dividiremos entre la raz cuadrada de lasiguiente distribucion chi-cuadrado

Prediccion por intervalo

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Ejemplos


(n k) 22

2nk,dividida a su vez entre sus grados de libertad, obteniendo la siguiente distribuciont-Student:

xt0 xt0 xt0 (X

tX)1 x0

tnk.

A partir de esta distribucion, el intervalo de confianza al nivel 1 paraE[Y0/x0] = x

t0 es:

xt0 tnk(1

2

)

xt0 (X

tX)1 x0,

donde tnk(1 2

)es el punto de una distribucion t de Student con n k

grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1 2 .

Contraste de Permanencia Estructural

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Ejemplos


Al explotar el modelo mediante la prediccion se esta presuponiendo que la relacionestimada se mantiene para la informacion no presente en la muestra observada.Para confirmar este aspecto, calcularemos el intervalo de confianza para Y dadox0, de forma que si la nueva informacion pertenece a dicho intervalo, la estructuradel modelo estimado permanecera.

Partiendo de que

Y0 Y0 = u0 xt0(

) N

(0, 2

(1 + xt0

(XtX

)1

x0

)),

se llega de forma analoga a la anterior a la distribucion

Y0 Y0

1 + xt0 (XtX)

1x0

tnk,

donde Y0 = xt0 . Por tanto, el intervalo de confianza al nivel 1 para Y0 es:

xt0 tnk(1

2

)

1 + xt0 (X

tX)1

x0.

Ejemplos

Contenidos





EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3


Ejemplo 1

Contenidos







A continuacion vamos a realizar un analisis exhaustivo del modelo

Yt = 1 + 2 Xt2 + 3 Xt3 + ut,

a partir de las siguiente informacion muestral:

Observacion Yt Xt2 Xt31 16 1 12 26 3 23 30 5 -14 44 7 35 56 8 -26 64 10 07 68 10 18 72 12 4

En primer lugar calcularemos la estimacion por mnimos cuadrados ordinarios delos coeficientes de las variables a partir de la expresion

=(XtX

)1

Xty. (3)

Ejemplo 1

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A partir de la informacion muestral anterior es claro que:

y =

1626304456646872

, X =

1 1 11 3 21 5 11 7 31 8 21 10 01 10 11 12 4

,

de forma que:

XtX =

8 56 856 492 658 65 36

, Xty = 3763184

414

,y entonces a partir de la formula (3):

Ejemplo 1

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=

8 56 856 492 658 65 36

1 3763184

414

=

062 00688 0013600688 00103 0003300136 00033 00368

3763184

414

=

851895558704296

.Es decir, 1 = 85189, 2 = 55587 y 3 = 04296. Lo cual se traduce en lasiguiente estimacion del modelo considerado:

Yt = 85189 + 55587Xt2 04296Xt3.

Ejemplo 1

Contenidos







A partir de estas estimaciones es sencillo obtener las estimaciones de Y :

y = X =

1 1 11 3 21 5 11 7 31 8 21 10 01 10 11 12 4

851895558704296

=

136480243358367420461410538477641059636763735049

,

y los residuos del modelo:

e = y y =

1626304456646872

136480243358367420461410538477641059636763735049

=

2352016642674202141021523010594323715049

.

Ejemplo 1

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Desde un punto de vista teorico, dichos residuos han de sumar cero, si bien eneste caso la suma del vector anterior es igual a00016. De igual forma, a partirde dichos residuos se puede obtener facilmente la estimacion de la varianza de laperturbacion aleatoria, ya que por definicion:

2 =ete

n k , (4)

donde ete es la suma de los cuadrados de los residuos, n el numero de obser-vaciones del modelo y k el numero de variables presentes en el mismo. En estecaso:

2 =838472

8 3 = 1676944.

Otra forma equivalente de obtener la estimacion anterior es:

2 =yty tXty

n k . (5)

Ejemplo 1

Contenidos







Puesto que

yty = 20808, tXty = (85189 55587 04296)

3763184414

= 207241528,es claro que

2 =20808 207241528

8 3 =838472

5= 1676944.

Y a partir de esta estimacion se puede obtener la estimacion de la matriz devarianzas-covarianzas de mediante:

V ar

()

= 2 (X

tX)1

= 167694

062 00688 0013600688 00103 0003300136 00033 00368

=

103976 11533 0228211533 01727 0055502282 00555 06168

, (6)

Ejemplo 1

Contenidos







que sera usada para calcular la region de rechazo de los contrastes de signifi-cacion individual as como para los intervalos de confianza de cada coeficiente dela regresion.Para medir la bondad del ajuste realizado mediante la estimacion anterior calcu-laremos el coeficiente de determinacion:

R2 =tXty nYyty nY = 1

yty tXtyyty nY . (7)

Para la primera expresion de (7), teniendo en cuenta que:

tXtynY = 207241528 8 472 = 207241528 17672 = 30521528,

yty nY = 20808 17672 = 3136,se tiene que

R2 =30521528

3136= 097326301.

Ademas, en tal caso: R2

= 1 (1 097326301) 75 = 09625682.

Ejemplo 1

Contenidos







Mientras que para la segunda expresion:

R2 = 1 838472

3136= 1 002673699 = 097326301.

A partir de este coeficiente podemos afirmar que el ajuste realizado permite expli-car un 97326301% de la variabilidad de la variable dependiente, que si bien seencuentra muy proximo al 100%, mas adelante comprobaremos si es significativoy, por tanto, si es suficiente para validar el modelo.Una vez estimadas las cantidades constantes del modelo, a continuacion se estu-diara la validez del mismo a partir de:

contrastes de significacion individual.

contraste de significacion conjunta. significacion del coeficiente de determinacion.

Para abordar los contrastes de significacion individual tendremos en cuenta quese rechaza H0 : i = 0 si

Ejemplo 1

Contenidos







texp =

i wi > tnk (1 2 ) , i,

donde wi es el elemento (i, i) de la matriz (XtX)1

o, lo que es lo mismo, wi es la raz cuadrada del elemento (i, i) de la matriz 2 (XtX)1 =

V ar

()

.

Observando (6) es claro que w2 =

01727 = 04156 y w3 =06168 = 07854. Teniendo en cuenta que tnk

(1 2

)= t5(0

975) =257, se obtiene que:

rechazo H0 : 2 = 0 si texp = 55587

04156 = 13376 > 257.

rechazo H0 : 3 = 0 si texp =0429607854 = 0547 > 257.

Como es evidente, rechazamos H0 : 2 = 0 y no rechazamos H0 : 3 = 0,es decir, la variable Xt2 influye en Yt, mientras que la Xt3 no lo hace. En talsituacion se dice que la segunda variable es significativa y que la tercera no essignificativa.

Ejemplo 1

Contenidos







Para el contraste de significacion conjunta, H0 : 2 = 3 = 0, se rechaza lahipotesis nula si

Fexp =SCE/k 1SCR/n k > Fk1,nk(1 ),

donde Fk1,nk(1 ) es el punto de una F de Snedecor con k 1 y n kgrados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1 , SCE denotaa la suma de cuadrados explicada y SCR a la suma de los cuadrados de losresiduos (cantidades que ya han sido calculadas con anterioridad al obtener elcoeficiente de determinacion).En este caso, para calcular la region de rechazo recurriremos a la tabla ANOVA:

Fuentes de variacion Sumas de cuadrados Grados de libertad MediasExplicada SCE = 30521528 k 1 = 2 15260764Residual SCR = 838472 n k = 8 3 = 5 1676944

Total SCT = 3136

Luego Fexp = 15260764

1676944 = 9100342.

Ejemplo 1

Contenidos







Y como Fk1,nk(1 ) = F2,5(095) = 578, es evidente que se rechaza lahipotesis nula. Esto es, existe al menos un coeficiente que es no nulo de maneraque entonces se puede afirmar que hay algun tipo de asociacion (que no se debeal azar) entre las variables independientes y la dependiente.Para terminar con la validacion del modelo, estuadiaremos si el coeficiente dedeterminacion obtenido con anterioridad es significativo o no. Teniendo en cuentaque:

SCE/k 1SCR/n k =

R2/k 1(1R2)/n k ,

la region de rechazo anterior se puede expresar como:

R2/k 1(1R2)/n k > Fk1,nk(1 ),

y sin mas que despejar el coeficiente de determinacion, se obtiene que el modeloes significativo si

R2>

k1nk

Fk1,nk(1 )1 + k1

nk Fk1,nk(1 )

= R2sig.

Ejemplo 1

Contenidos







Esto es, se tiene una cota, R2sig , a partir de la cual el coeficiente de determinaciones significativo.Puesto que en este caso:

k1nk

= 25

= 04

Fk1,nk(1 ) = F2,5(095) = 578

}

k 1

n k Fk1,nk(1 ) = 0

4 5

78 = 2

312

R2sig =2312

3312= 06981.

Recordemos que R2 = 097326301, que claramente es significativo al ser su-perior a la cota inferior de significacion R2sig = 06981. Esto es, el coeficiente dedeterminacion obtenido implica que el modelo es explicativo.Por todo lo anterior, parece claro que el modelo es valido y, por tanto, apto para laprediccion.Supongamos ahora que se tiene nueva informacion para las variables indepen-dientes (X02 = 2 y X03 = 3) y que se desea obtener una prediccion puntual ypor intervalo a partir de ella para la variable dependiente.

Ejemplo 1

Contenidos







A partir de dicha informacion, la prediccion puntual optima sera

xt0 = (1 2 3) 851895558704296

= 183475.Mientras que para la prediccion por intervalo sera necesario calcular:

xt0

(X

tX)1

x0 = (1 2 3)

062 00688 0013600688 00103 0003300136 00033 00368

123

= 0596,de forma que el intervalo de confianza para el valor esperado de Y sera:

xt0 tnk(1

2

)

xt0 (X

tX)1 x0

= 183475 257 4095051

0596 = (10221, 264742).

y el intervalo de confianza para Y sera:

Ejemplo 1

Contenidos







xt0 tnk(1

2

)

1 + xt0 (X

tX)1 x0

= 183475 257 4095051

1596 = (504887, 3164613).

Ademas, a partir de este ultimo intervalo (conocido como permanencia estructu-ral), si se sabe que acompanando a x0 se tiene Y0 = 6, puesto que este valorpertenece al intervalo calculado, se puede afirmar (al nivel de confianza conside-rado) que la relacion estimada para las variables se sigue verificando (permanecela estructura) para la nueva informacion.Por ultimo, con el objetivo de aplicar la estimacion con informacion a priori almodelo considerado vamos contrastar la hipotesis nula H0 : 2 + 3 = 5. As,en el caso de no rechazarla obtendremos el estimador por mnimos cuadradosrestringidos.Como es sabido, se rechazara la hipotesis nula si

Fexp =(R r

)t

[R (XtX)

1Rt]1

q 2 (R r

)> Fq,nk(1 ),

Ejemplo 1

Contenidos







donde Fq,nk(1 ) es el punto de una F de Snedecor con q y n k gradosde libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1 .A partir de 2 + 3 = 5 se obtiene que q = 1, r = 5 y R = (0 1 1), de formaque

R r = (0 1 1) 851895558704296

5 = 55587 04296 5 = 01291,R(X

tX)1

Rt = (0 1 1)

062 00688 0013600688 00103 0003300136 00033 00368

01

1

= 00405.Y en tal caso:

Fexp =012912

00405 1676944 = 002454025,

donde recordemos que 2 = 1676944.

Ejemplo 1

Contenidos







Por otro lado, puesto que Fq,nk(1) = F1,5(095) = 661, es evidente queno se rechaza la hipotesis nula, es decir, no rechazo que los coeficientes de lasvariables verifiquen la relacion 2 + 3 = 5.En tal caso, habra que incorporar dicha informacion al modelo con el fin de obtenerun mejor estimador (cuando se dispone de informacion a priori el estimador pormnimos cuadrados ordinarios ya no es optimo). En esta situacion el estimadorinsesgado con mnima varianza es el de mnimos cuadrados restringidos, el cualresponde a la siguiente expresion:

R = +(XtX

)1

Rt[R(XtX

)1

Rt]1 (

r R). (8)

De la expresion anterior se conoce:

=

851895558704296

, [R (XtX)1 Rt]1 = 100405

, rR = 01291,

faltando calcular

Ejemplo 1

Contenidos







(XtX

)1

Rt =

062 00688 0013600688 00103 0003300136 00033 00368

01

1

=

=

00824000700335

.Entonces, a partir de (8) se obtiene que:

R =

851895558704296

0129100405

008240007

00335

= 8781563553638605363864

.A partir de esta estimacion es facil comprobar que se obtiene:

etReR = 8435455, R2R = 0

9731012, 2R = 1405909,

verificandose, como es sabido, que etReR > ete y R2R < R

2.

Ejemplo 2

Contenidos







Dado el modelo

Yt = 1 + 2Xt2 + 3Xt3 + 4Xt4 + ut, (9)

donde:

Y es el consumo familiar mensual (medido en miles de euros). X2 es la renta familiar mensual (medida en miles de euros). X3 es una variable ficticia que toma el valor 1 si la familia correspondiente

tiene una deuda en forma de un prestamo para la compra de una viviendao coche, y el valor 0 en caso contrario.

X4 es el numero de hijos de una familia.Se pide analizar el modelo sabiendo que para 22 familias se ha obtenido que:

yty = 13113, Xty =

485

20445379693

,

Ejemplo 2

Contenidos







(XtX

)1

=

03342 00506 01626 0004100506 00173 00051 0011401626 00051 0249 0031700041 00114 00317 00514

.En primer lugar obtendremos la estimacion de las cantidades constantes del mo-delo, es decir, de y 2:

=

03342 00506 01626 0004100506 00173 00051 0011401626 00051 0249 0031700041 00114 00317 00514

48520445379693

=

00149048620396902287

, (10)2 =

yty tXtyn k =

13113 129564322 4 =

15657

18= 0087, (11)

Ejemplo 2

Contenidos







donde se ha usado que

tXty = (00149 04862 03969 02287)

485

20445379693

= 1295643,y se deduce que = 02949 y

Yt = 00149 + 04862 X2t + 03969 X3t + 02287 X4t.

Ademas, a partir de la estimacion de 2 se obtiene una estimacion para la matrizde varianzas-covarianzas de :

V ar

()

= 2(X

tX)1

=

00291 00044 00141 0000400044 00015 00004 000100141 00004 00217 0002800004 0001 00028 00045

.

Ejemplo 2

Contenidos







Esta matriz tiene importancia de cara a los contrastes de significacion individualya que entonces se usaran sus elementos de la diagonal principal.Pasamos a continuacion a calcular la bondad del ajuste realizado, es decir, elcoeficiente de determinacion:

R2 = 1 SCRSCT

.

Como SCR = 15657 ya ha sido calculada en la estimacion de la varianza de laperturbacion aleatoria, tan solo hay que calcular:

SCT = ytynY 2 = 1311322 220452 = 13113106916 = 24214,

donde se ha usado que a partir del primer elemento de Xty, esto es,22i=1

Yt =

485, se obtiene que Y = 485

22 = 22045. En tal caso:

R2 = 1 15657

24214= 1 00647 = 09353,

Ejemplo 2

Contenidos







esto es, la estimacion realizada explica un 9353% de la variabilidad de Y .Ahora bien, como es sabido, cuanto mas cercano al 100% mejor sera el coefi-ciente de determinacion y, por tanto, la estimacion realizada. Esta en este casosuficientemente cerca del 100% como para que la estimacion realizada sea signi-ficativa?Como respuesta afirmativa a esta pregunta, el coeficiente de determinacion ha deser superior a la siguiente cota:

k1nk

Fk1,nk(1 )1 + k1

nk Fk1,nk(1 )

=318 315991

1 + 318 315991=

05267

15267= 0345,

donde se ha usado que F3,18(095) = 315991. Puesto que el R2 obtenido essuperior a dicha cota inferior podemos afirmar que el coeficiente de determinaciones significativo, es decir, valida al modelo.Esta validacion del modelo se puede establecer tambien a partir del contraste designificacion conjunta. Bajo el supuesto de normalidad en el modelo rechazare-mos H0 : 2 = 3 = 4 = 0 si

Ejemplo 2

Contenidos







SCEk1SCRnk

> Fk1,nk(1 ).

Para calcular la region de rechazo y tomar una decision en este contraste plan-teamos la tabla ANOVA:

Fuentes de variacion Sumas de cuadrados Grados de libertad MediasExplicada SCE = 226483 k 1 = 3 SCE

k1= 75494

No explicada SCR = 15657 n k = 18 SCRnk

= 0087

Total SCT = 24214

El unico elemento no calculado hasta el momento de la tabla anterior es SCE =SCT SCR = 24214 15657 = 226483. En tal caso, se tiene para laregion de rechazo que:

867747 > 315991,

de forma que es evidente que se rechaza la hipotesis nula de que todos los coefi-cientes pueden ser nulos de forma simultanea. Por tanto, se tiene que la relacionexistente entre las variables independientes y la dependiente no se debe al azar,validando el modelo.

Ejemplo 2

Contenidos







Para finalizar estudiaremos los contrastes de significacion individual. Como essabido se rechazara la hipotesis H0 : i = 0 si iwii

> tnk (1 2 ) ,donde

wii es la raz cuadrada del elemento (i, i) de la matriz

V ar

()

y

tnk(1 2

)= t18(0

975) = 210092.

H0 : 2 = 0

2 = 04862

w22 =

00015 = 00387

}= 2

w22

= 125633 > 210092.

H0 : 3 = 0

3 = 03969

w33 =

00217 = 01473

}= 3

w33

= 26945 > 210092.

Ejemplo 2

Contenidos







H0 : 4 = 0

4 = 02287

w44 =

00045 = 00671

}= 4

w44

= 34083 > 210092.

En todos los casos se rechaza la hipotesis nula, lo que se interpreta como que lasvariables X2, X3 y X4 son significativas.Como es sabido, para llegar a estas conclusiones tambien se podran haber obte-nido los intervalos de confianza de cada coeficiente:

i tnk(1

2

) wii, i = 1, 2, 3, 4.

As por ejemplo, para el ultimo coeficiente se tiene que el intervalo de confianzaal 95% es:

02287 210092 00671 = (008772827, 03696717).

Como el cero no pertenece a dicho intervalo se concluira que el coeficiente co-rrespondiente sera distinto de cero.

Ejemplo 2

Contenidos







El intervalo de confianza al 95% para el segundo coeficiente es:

04862 210092 00387 = (04048944, 05675056).

Al igual que antes se concluira que el coeficiente correspondiente sera distinto decero.

Para finalizar con el calculo de intervalos de confianza, obtendremos a conti-nuacion el intervalo para la varianza de la perturbacion aleatoria:[

(n k) 22nk

(1 2

) , (n k) 22nk

(2

) ] = [ SCR2nk

(1 2

) , SCR2nk

(2

)] .Puesto que SCR = 156574, 2nk

(1 2

)= 218(0

975) = 31526 y2nk

(2

)= 218(0

025) = 8231 es claro que el intervalo para 2 es:(156574

31526,

156574

8231

)= (004966504, 01902248) .

Ejemplo 2

Contenidos







Por todo lo expuesto hasta ahora se tiene que el modelo estimado es valido y quelas variables de renta familiar, deuda y numero de hijos influyen positivamente enel consumo de las familias. Es decir, a mayor renta, deuda y numero de hijosmayor consumo familiar. Ademas, al ser la variable correspondiente a la deudauna variable ficticia, habremos estimado la diferencia esperada en el consumofamiliar entre familias con deuda y sin deuda con el mismo nivel de renta y numerode hijos. En este caso se obtiene que dicha estimacion es positiva, por lo queaquellas familias que tienen algun tipo de deuda consumen mas que aquellas queno la tienen.

Ejemplo 3

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Supongamos que ademas del modelo del ejemplo anterior se tienen en cuentaestos otros dos modelos:

Yt = 1 + 2Xt2 + 3Xt4 + vt, (12)Yt = 1 + 2Xt2, (13)

de forma que para el modelo (12) se tiene la siguiente informacion:

XtX =

22 762 25762 3318 10225 102 53

, Xty = 48520445

693

,mientras que para el modelo (13):

XtX =

(22 762

762 3318

), Xty =

(485

20445

).

Se pide seleccionar el modelo mas adecuado.

Ejemplo 3

Contenidos







Para el modelo (9) se tiene que n = 22, k = 4 y SCR = 15657, por lo que:

L = n2 (1 + ln(2 pi) ln(n)) n

2 ln(SCR),

= 11 (2837877 3091042) 11 0448333= 21468.

Por tanto:

AIC = 2 (21468) + 8 = 122937,BIC = 2 (21468) + 4 3091042 = 166579,HQC = 2 (21468) + 8 1128508 = 133218.

Para los modelos (12) y (13) seguiran siendo validos los valores de yt y, n y k,sin embargo, habra que obtener la suma de cuadrados de los residuos de cadamodelo.

Ejemplo 3

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Para el modelo (12) se verifica que:

SCR = yty tXty

= 13113 (02456764, 04736592, 02800916) 48520445

693

= 13113 1281653 = 29647.

En tal caso:

L = 11 (2837877 3091042) 4 10868 = 91697.AIC = 2 (91697) + 6 = 243394,BIC = 2 (91697) + 3 3091042 = 276126,HQC = 2 (91697) + 6 1128508 = 251105.

Ejemplo 3

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Para el modelo (13) se verifica que:

SCR = yty tXty= 13113 (03437073, 05372499)

(485

20445

)= 13113 1265105 = 46195.

En tal caso:

L = 11 (2837877 3091042) 4 15303 = 140483.AIC = 2 (140483) + 4 = 320967,BIC = 2 (140483) + 2 3091042 = 342788,HQC = 2 (140483) + 4 1128508 = 326107.

Ejemplo 3

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Atendiendo a la informacion anterior (resumida en la siguiente tabla), podemosobservar que el modelo con menores valores para los criterios de seleccion es el(9). Por tanto, nos quedaramos con este modelo a la hora de analizar el consumofamiliar.

Criterios Seleccion SCR AIC BIC HQCModelo (9) 15657 122937 166579 133218Modelo (12) 29647 243396 276127 251107Modelo (13) 46194 320964 342785 326105

Lecturas recomendadas

Contenidos







[1] Salmeron, R. y Garca, C. (2010). Experiencia docente en la asignatura deMetodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa para su adaptacional Espacio Europeo de Educacion Superior. XXXII Congreso Nacional deEstadstica e Investigacion Operativa. A Coruna 14-17 septiembre 2010.

[2] Salmeron, R., Lopez, M. y Garca, C. (2011). Uso de las TICs en la docen-cia de la Econometra. XXV Congreso Internacional de Economa Aplicada -ASEPELT, 8-11 junio 2011.

[3] Salmeron, R. y Tamayo, J. (2012). Incidencia de la calidad en la produccion,explotacion y exploracion de las empresas. I International workshop on Dif-fusion Process and Multivariate Analysis. Granada 6 julio 2012.

[4] Salmeron, R. (2012). Entorno de programacion R y la econometra: funcionMUM (online).

[5] Novales, A. (1993). Econometra. McGraw Hill. Captulo 1 (repaso matrices).

Puedes encontrarlas en la direccion web:http://www.ugr.es/local/romansg/material/WebEco/index.html

Bibliografia

Contenidos







[1] Esteban, M.V., Moral, M.P., Orbe, S., Regulez, M., Zarraga, A. y Zubia, M.(2009). Econometra basica aplicada con Gretl. Sarriko-On, Universidad delPas Vasco. Captulos 2, 3, 4 y 7.

[2] Gujarati, D. (1997). Econometra. Ed. McGraw Hill. Captulos 2, 3, 4, 5 y 7.[3] Johnston, J. (1989). Metodos de Econometra. Ed. Vicens-Vives. Captulos

2, 4, 5 y 6.

[4] Novales, A. (1993). Econometra. McGraw Hill. Captulos 3 y 4.[5] Uriel, E., Contreras, D., Molto, M.L. y Peiro, A. (1990). Econometra. El Mo-

delo Lineal. Editorial AC. Captulos 2, 3, 4, 5, 6 y 8.

[6] Wooldridge, J.M. (2005). Introduccion a la Econometra: Un enfoque mo-derno. Thomson. Captulos 2, 3, 4 y 6, y Apendices.

ContenidosEspecificacin del modeloModelo lineal uniecuacional mltipleModelo lineal uniecuacional mltipleHiptesis del modelo

Estimacin del modeloEstimacin mnimo cuadrtica de los coeficientes del modeloEstimacin mnimo cuadrtica de los coeficientes del modeloTeorema de Gauss-MarkovTeorema de Gauss-MarkovTeorema de Gauss-MarkovEstimacin de la varianza de la perturbacin aleatoria

Validacin del modeloBondad de ajuste: Coeficiente de determinacinBondad de ajuste: Coeficiente de determinacinCoeficiente de determinacin corregidoCriterios de seleccin de modelosCriterios de seleccin de modelos: AIC, BIC y HQCDistribucin en el muestreo de los estimadores MCOContraste de un conjunto de hiptesis linealesContraste de un conjunto de hiptesis linealesCasos particularesCasos particularesMnimos Cuadrados RestringidosAnlisis de la varianzaAnlisis de la varianzaIntervalos de confianza

Explotacin del modeloPrediccin Puntual ptimaPrediccin por intervaloPrediccin por intervaloContraste de Permanencia Estructural

EjemplosEjemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Lecturas recomendadasBibliografia

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