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  • ECONOMETRIA CLASSICA E BAYESIANA

    Ralph S. Silva

    Departamento de Metodos EstatsticosInstituto de Matematica

    Universidade Federal do Rio de Janeiro

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Sumario

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Estimacao Consistente: O Metodo dos Momentos

    I Momentos populacionais e amostrais.I Os momentos populacionais dependem dos parametros que estamos

    interessados em estimar.I A amostra contem informacoes em forma de estatsticas como

    momentos.I Se o modelo tiver p parametros, igualamos os p momentos

    populacionais aos p momentos amostrais correspondentes.I Entao, escrevemos os parametros como funcoes dos momentos

    amostrais (das estatsticas).I Os momentos serao consistentes pela lei dos grandes numeros.I Os momentos serao assintoticamente normais pelo Teorema de

    Lindeberg-Levy.I Aplicacao do teorema de Slutsky garante a propriedade dos

    estimadores dos parametros.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Seja mk (.) uma funcao contnua e diferenciavel que nao depende dotamanho de amostra n e seja

    mk =1n

    ni=1

    mk (yi), k = 1, . . . , p.

    Segue-se queplim mk = E(mk (yi)) = (1, . . . , p).

    As p equacoes dos momentos sao

    mn,1() , m1 1(1, . . . , p) = 0mn,2() , m2 2(1, . . . , p) = 0

    ......

    ......

    mn,p() , mp p(1, . . . , p) = 0.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    I Na maioria dos casos os estimadores pelo metodo dos momentos naosao eficientes.

    I A excecao e na amostragem aleatoria das distribuicoes na famliaexponencial.

    Definicao: Famlia Exponencial

    Uma distribuicao pertence a famlia exponencial se tem sua logverossimilhanca dada por

    ln L(|dados) = a(dados) + b() +p

    k=1ck (dados)sk (),

    sendo a(.), b(.), ck (.) e sk (.) funcoes.

    Lembremos que ck (dados) e uma estatstica suficiente.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Em geral, consideramos os momentos como

    mk =1n

    ni=1

    mk (y i), k = 1, . . . , p.

    Um estimador apropriado da matriz de covariancia assintotica dem = (m1, . . . ,mp) e

    1n

    Fjk =1n

    {1n

    ni=1

    [mj(y i)mj ][mk (y i)mk ]

    }, j , k = 1, 2, . . . , p.

    Agora, seja G() a matriz p p cuja k -esima linha e o vetor de derivadasparciais

    Gk =

    mk ()

    .

    Da expansao de Taylor em torno do valor vardadeiro 0, temos

    0 ' m(0) + G(0)( 0).

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Portanto, n( 0) ' [G

    (0)]

    1n[m(0)].

    Usando esta aproximacao, pode-se provar que

    N (0,),

    sendo =12{[(0)]1}{[(0)]1}.

    Podemos estimar a variancia assintotica por

    Var() =1n

    [G()]F1G()

    ]1.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    GMM sob a Condicao de Ortogonalidade

    Considere o estimador OLS no modelo de regressao classico. Por hipotese,

    E(x ii) = E(x i(yi x i)) = 0.

    Na amostra, temos

    1n

    ni=1

    x i i =1n

    ni=1

    x i(yi x i ) = 0.

    Podemos ver que o estimador OLS e um estimador do metodo dosmomentos.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Para o estimador de variaveis instrumentais,

    plim

    (1n

    ni=1

    z ii

    )= plim

    (1n

    ni=1

    z i(yi x i)

    ).

    Na amostra, temos(1n

    X Z)(

    1n

    Z Z)1(1

    nX

    )=

    1n

    X =

    1n

    ni=1

    x i i = 0.

    Podemos ver que este estimador e um estimador do metodo dos momentos.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Estimadores de maxima verossimilhanca sao obtidos ao igualar a derivadada log-verossimilhanca a zero.

    A funcao de verossimilhanca escalada e

    1n

    ln L(|y ,X ) = 1n

    ni=1

    ln f (yi |x i ,).

    Sabemos que

    E( ln f (yi |x i ,)

    )= 0.

    Na amostra, temos

    1n

    ln L(|y ,X )

    =1n

    ni=1

    ln f (yi |x i , )

    = 0.

    Podemos tambem ver que este estimador e um estimador do metodo dosmomentos.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Generalizando o Metodo dos Momentos

    I Existem casos em que temos mais equacoes de momentos do queparametros. Logo, o sistema e sobre identificado.

    I Para utilizar toda informacao na amostra e necessario criar um criteriopara evitar os confitos que podem existir em um sistema sobreidentificado.

    I Suponha que o modelo envolva p parametros, = (1, . . . , p), e que ateoria fornece um conjunto de L > p condicoes de momentos,

    E(m`(yi , x i , z i ,)) = E(mi`()) = 0,

    sendo yi , x i e z i variaveis que aparecem no modelo.I Vamos denotar os correspondentes momentos amostrais por

    m`(y ,X ,Z ,) =1n

    ni=1

    m`(yi , x i , z i ,) =1n

    ni=1

    mi`().

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    I A menos que as equacoes sejam funcionalmente dependentes, osistema de L equacoes em p parametros desconhecidos,

    m`() =1n

    ni=1

    m`(yi , x i , z i ,) = 0, ` = 1, . . . , L,

    nao tera uma solucao unica.I Uma das possibilidades e minimizar a soma de quadrados,

    q =L

    `=1m2` = m()

    m().

    I Pode ser mostrado que plim m() = E(m()) = 0, isto e, o minimizadorde q e um estimador consistente de .

    I Podemos tambem utilizar mnimos quadrados ponderados,

    q = m()W nm(),

    sendo W n qualquer matriz positiva definida que depende dos dadosmas nao dos parametros. Vamos supor tambem que plimW n = W , umamatriz positiva definida.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    I Podemos utilizar uma matriz W n como diagonal com elementos que saoos inversos das variancias individuais dos momentos,

    w`` =1

    Var(

    nm`)=

    1``

    .

    I O estimador de mnimos quadrados ponderados deve minimizar

    q = m()1m().

    I Em geral, os L elementos de m podem ser correlacionados.I Para utilizar mnimos quadrados generalizados, podemos definir a

    matriz,W =

    [Var(

    nm)]1

    = 1.

    I Se W n e uma matriz positiva definida e se plim m() = 0, entao oestimador GMM e consistente.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    I A matriz de covariancia assintotica do estimador GMM e

    V GMM =1n[W

    ]1=

    1n

    [1

    ]1,

    sendo a matriz de derivadas com a j-esima linha igual a

    j = plimmj()

    ,

    e = Var(

    nm).I Por hipotese, temos que

    nm(0)

    d N (0,).

    Teorema: A distribuicao assintotica para o estimador GMM e

    GMMp

    GMM N (,V GMM).

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Estimacao GMM em Modelos Econometricos

    Vamos considerar o modelo de regressao com variaveis instrumentais,

    yi = x i + iE(z ii) = 0,

    para p variaveis em x i e um conjunto de L > p variaveis instrumentais z i .

    O resultado da regressao generalizada aparece se z i = x i e a regressaoclassica o adicionar que = I .

    Vamos considerar tres casos:I Regressao classica: Var(i |X ,Z ) = 2,I Heterocedasticidade: Var(i |X ,Z ) = 2i ,I Regressao generalizada: Cov(t , s|X ,Z ) = 2ts.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    A hipotese E(z ii) = 0 implica a condicao de ortogonalizade

    Cov(z i , i) = 0 ou E(z i(yi x i)) = 0.

    As equacoes de momentos da populacao sao

    E(

    1n

    ni=1

    z i(yi x i))

    = E(m()) = 0.

    As equacoes de momentos da amostra sao[1n

    ni=1

    z i(yi x i )]=

    [1n

    ni=1

    mi()]= m() = 0.

    Para os casos em que o modelo e identificavel, podemos escrever

    m() =(

    1n

    z y)(

    1n

    Z X).

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Se o modelo for exatamente identificavel (L = p), entao pode ser mostradoque

    = (Z X )1Z y .

    Se o modelo for sobre identificavel (L > p), entao o sistema m() = 0 naotem uma solucao unica.

    Podemos escolher o criterio de mnimos quadrados,

    mnq = mnm()m().

    Neste caso, as condicoes de primeira ordem sao

    q

    = 2

    (m()

    )m() = 2G()m()

    = 2(

    1n

    X Z)(

    1n

    Z y 1n

    Z X )

    = 0,

    cuja solucao e = [(X Z )(Z X )]1(X Z )(Z y).

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Hipoteses sobre estimador GMM:I Convergencia dos momentos: plim m() = 0.I Identificacao para estimacao GMM: A matriz L p

    () = E(G()) = plim G() = plimm

    = plim1n

    ni=1

    mi

    deve ter posto de linha igual a p.I Os momentos amostrais convergem para uma distribuicao normal.

    E possvel mostrar que sob certas condicoes o estimador GMM econsistente.

    A matriz de covariancia assintotica de e dada por

    Var() =1n[]1Var(

    nm())[]1.

  • Econometria Classica e Bayesiana

    Metodo Generalizado dos Momentos (GMM)

    Para o modelo de regressao em questao, temos

    m =1n(Z y Z Z),

    G() =1n

    Z X ,

    () = QZX .

    Precisamos agora determinar a forma de

    V = Var(

    nm()).

    Dado a forma de m acima, temos

    V =1n

    Var(n

    i=1z ii)=

    1n

    ni=1

    nj=12ijz iz j =