econometria financeira -...

Econometria Financeira

João Nicolau

ISEG/UTL e CEMAPRE

Abril 2011(Versão preliminar e incompleta)

Notas Prévias

Comentários são bem vindos ([email protected]). Neste documento abordam-se métodos

econométricos relevantes para finanças. Veremos algumas aplicações financeiras, mas a ên-

fase deste documento está na componente econométrica. A leitura deste documento supõe

conhecimentos sobre inferência estatística e o modelo de regressão linear múltiplo, no que

diz respeito à estimação e à inferência estatísticas sob as hipóteses clássicas.

Notação e Convenções

Escreve-se f (x) para designar a função densidade de probabilidade (fdp) de uma variável

aleatória X . Quando estão em causa duas variáveis aleatórias X e Y, escreve-se, geralmente,

fx e fy para designar, respectivamente, as fdp de X e Y (f (x) e f (y) é, em princípio,

incorrecto). O uso simultâneo das notações f (x) (fdp de X) e f (x, y) (fdp conjunta de

(X, Y )) é conflituoso, pois f ou é uma aplicação de R em R+ ou é uma aplicação de R2

em R+ (e, portanto, f não poderá designar simultaneamente ambas as aplicações). A rigor

deverá escrever-se fx e fx,y. No entanto, se não existir perigo de confusão, opta-se pela

notação mais simples e habitual f (x) e f (x, y). Escreve-se também f (y|x) ou fy|x para

designar a fdp condicionada de Y dado X = x. Em suma, nesta versão do documento,

adoptam-se as notações que se entendem necessárias e convenientes de forma a não causar

confusão. Por exemplo, num certo contexto, pode escrever-se f (x, y) e, noutro diferente,

pode escrever-se fy,x.

O processo estocástico yt, t = 1, 2, ... escreve-se indiferentemente como yt ou y.

a := b significa, a é igual a b por definição. Por exemplo, se quisermos identificar a letra

µ como a média de X, escrevemos µ := E (X). Para este tipo de relações, certos autores

usam µ ≡ E (X) .

Em séries temporais usamos os termos “amostra grande” (ou “amostra pequena”) para

identificar séries temporais longas (ou curtas).

3

Acrónimos e Siglas Frequentemente Usados

Ana∼ N - An tem distribuição aproximadamente normal (usamos

d−→ para a convergên-

cia em distribuição).

EE - Estritamente estacionário.

EDF - Equação às diferenças Finitas.

EQM - Erro Quadrático Médio.

ESO - Estacionário de segunda ordem ou Estacionaridade de Segunda Ordem.

FAC - Função de Autocorrelação.

FACP - Função de Autocorrelação Parcial.

fdp - Função Densidade de Probabilidade.

HC- Heterocedasticidade Condicional.

IC - Intervalo de Confiânça (ou de previsão, consoante o contexto).

i.i.d. - Independente e Identicamente Distribuído.

RB - Ruído Branco.

v.a. - Variável Aleatória.

4

Conteúdo

I Introdução 13

1 Objecto e Método da Econometria Financeira 15

2 Preços e Retornos 17

2.1 Retornos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Retorno Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Retorno Multi-Períodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Retornos de Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4 Retornos Ajustados aos Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.5 Retornos Ajustados à Inflação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.6 Retornos Anualizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Retornos Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Retorno Multi-Períodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Retornos de Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 Retornos Ajustados aos Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Retornos Ajustados à Inflação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.5 Retornos Anualizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Retornos Contínuos vs. Retornos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.A Outra Interpretação de rt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.B Notas Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.B.1 Retorno Multi-Períodos como Função dos Retornos Simples . . . . 32

2.B.2 r e R: Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Factos Empíricos Estilizados de Séries Temporais Financeiras 33

3.1 Regularidade Empíricas relacionadas com a Distribuição Marginal . . . . . 33

3.1.1 Prémio de Risco Positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5

3.1.2 Desvios Padrão Diferentes Consoante os Activos . . . . . . . . . . 35

3.1.3 Retornos de Acções e de Índices tendem a Apresentar Assimetria

Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.4 Retornos Apresentam Distribuições Leptocúrticas . . . . . . . . . . 37

3.1.5 Aumento da Frequência das Observações Acentua a Não Normali-

dade das Distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.6 Efeitos de Calendário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.7 Distribuições Teóricas para os Retornos . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.8 Estimação Não Paramétrica da Função Densidade de Probabilidade 54

3.2 Regularidade Empíricas relacionadas com a Distribuição Condicional . . . 55

3.2.1 Autocorrelações Lineares Baixas entre os Retornos . . . . . . . . . 55

3.2.2 Volatility Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3 Forte Dependência Temporal da Volatilidade . . . . . . . . . . . . 60

3.2.4 Efeito Assimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.5 Aumento da Frequência das Observações Acentua a Não Linearidade 64

3.2.6 Co-Movimentos de Rendibilidade e Volatilidade . . . . . . . . . . 64

4 Processos Estocásticos: Revisões 67

4.1 Processo Estocástico e Filtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Valores Esperados Condicionais: Principais Resultados . . . . . . . . . . . 68

4.3 Distribuição Condicional versus Distribuição Marginal . . . . . . . . . . . 72

4.4 Processos Estocásticos Elementares, Estacionaridade e Fraca Dependência . 77

4.4.1 Processos Estocásticos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.2 Estacionaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.3 Fraca Dependência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5 Processos Ergódicos e Estritamente Estacionários . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5.2 Modelos Não Lineares do tipo yt = g (yt−1, yt−2, ..., yt−p) + ut . . . 96

4.5.3 Estabilidade em EDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.4 Modelos Não Lineares do tipo yt = Atyt−1+Bt . . . . . . . . . . 100

4.5.5 Modelos Não Lineares do tipo yt = g (yt−1,ut) . . . . . . . . . . . 104

4.A Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6

II Modelos 109

5 O Problema da Especificação 111

5.1 O Axioma da Correcta Especificação do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 Modelação da Média Condicional e Modelos Dinamicamente Completos . . 113

5.2.1 Modelos Dinamicamente Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2.2 Média Condicional Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3 Modelação da Variância Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4 Distribuição de Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 Modelação da Média: Abordagem Linear 119

6.1 Definições Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.1 Autocorrelação de Ordem s (FAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.2 Autocorrelação Parcial de Ordem s (FACP) . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.3 Operador de Diferença e de Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Processos Lineares Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.1 Processos Média Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.2 Processos Autoregressivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2.3 Processos ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.3 Processos Lineares Não Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.1 Não Estacionaridade na Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.2 Não Estacionaridade na Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.4 Modelação ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.5 Variáveis Impulse-Dummy em Modelos de Regressão: Cuidados a Observar 154

6.5.1 Inconsistência do Estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.5.2 Inconsistência do Teste-t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5.3 Uma Solução para ensaiar H0 : γ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5.4 Impulse-dummies e a matriz de White . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.5.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.6 Previsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.6.2 Previsão Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.6.3 Intervalos de Previsão I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7

6.6.4 Intervalos de Previsão II - Variância do Erro de Previsão no modelo

ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.6.5 Previsão de (muito) Longo Prazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.6.6 Qualidade da Previsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.6.7 Outros Métodos de Previsão Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.A Método para Obter a FACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.B Transformação de um Processo MA(1) Não Invertível num Invertível . . . 191

6.C Invertibilidade de Processos MA (exemplos) . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.D Estacionaridade de 2a Ordem do Processo AR(1) . . . . . . . . . . . . . . 195

6.E Estacionaridade de 2a Ordem do Processo AR(p) . . . . . . . . . . . . . . 198

6.F Processos ARMA Sazonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.G Demonstração da Proposição 6.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.H Uma Nota sobre Intervalos de Confiança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.I UE + UV + UC = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7 Modelação da Média: Abordagem Não Linear 207

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.2 Estabilidade em Equações às Diferenças Finitas Determinísticas . . . . . . 210

7.2.1 Pontos Fixos e Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . 211

7.2.2 Estabilidade de Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.2.3 Pontos Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.3 Modelo Limiar Autoregressivo (Threshold AR - TAR) . . . . . . . . . . . 234

7.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.3.2 Soluções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236


7.3.4 Exemplo (Bounded Random Walk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.3.5 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.3.6 Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.4 Modelo Markov-Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.4.2 Cadeias de Markov em tempo discreto com espaço de estados dis-

cretos finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.4.3 Modelos Markov-Switching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

8

7.4.4 Função densidade de probabilidade de y . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.4.5 Probabilidades Associadas aos Regimes . . . . . . . . . . . . . . . 256


7.4.7 Estimação e Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.4.8 Previsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.4.9 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8 Modelação da Heterocedasticidade Condicionada - Caso Univariado 269

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8.1.1 Por que razão a volatilidade não é constante? . . . . . . . . . . . . 269

8.1.2 Processos Multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.1.3 Distribuições de Caudas Pesada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.1.4 O papel da Média Condicional e o Modelo de Heterocedasticidade

Condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.1.5 Vantagens dos modelos de Heterocedasticidade Condicionada . . . 274

8.2 Modelo ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.2.1 Dois Primeiros Momentos de ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8.2.2 Representação AR de um ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8.2.3 Estacionaridade de Segunda Ordem do ARCH(q) . . . . . . . . . . 278

8.2.4 FAC e FACP de um u2t e Identificação do Processo ARCH(q) . . . . 279

8.2.5 Características da Distribuição Marginal de ut . . . . . . . . . . . . 280

8.2.6 Momentos e Distribuição de y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.2.7 Volatilidade: Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

8.3 Modelo GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.3.1 GARCH(p,q) representa um ARCH(∞) . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.3.2 Representação ARMA de um GARCH . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.4 Modelo IGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.4.1 Persistência na Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8.4.2 Alterações de Estrutura e o IGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.4.3 EWMA (Exponential Weighted Moving Averages) . . . . . . . . . 294

8.5 Modelo CGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

8.6 Modelo GJR-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8.7 Modelo GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9

8.8 Modelo de Heterocedasticidade Condicionada com Variáveis Explicativas . 301

8.9 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

8.9.1 Estimador de Máxima Verosimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8.9.2 Estimador de Pseudo Máxima Verosimilhança . . . . . . . . . . . . 309

8.9.3 Método da Máxima Verosimilhança com Distribuições Não Normais 310

8.10 Ensaios Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.10.1 Ensaios Pré-Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.10.2 Ensaios Pós-Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

8.11 Previsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

8.11.1 Previsão da Variância Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

8.11.2 A Previsão da Variável Dependente y . . . . . . . . . . . . . . . . 324

8.11.3 Intervalos de Confiança para y e para a Volatilidade baseados em

Boostrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8.12 Problema dos Erros de Especificação na Média Condicional . . . . . . . . 329

8.13 Modelos Não Lineares na Média combinados com o GARCH . . . . . . . . 331

8.13.1 Modelo Limiar Autoregressivo com Heterocedasticidade Condicionada331

8.13.2 Modelo Markov-Switching com Heterocedasticidade Condicionada 333

8.A Estabilidade de EDF e a Estacionaridade (Caso modelo ARCH) . . . . . . 335

9 Modelação da Heterocedasticidade Condicionada - Caso Multivariado 339

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9.2 Densidade e Verosimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9.3 Modelo VECH (ou VEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

9.4 Modelo Diagonal VECH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

9.5 Modelo BEKK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

9.6 Modelo de Correlações Condicionais Constantes . . . . . . . . . . . . . . 349

9.7 Modelo DCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9.8 Modelo “Triangular” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

9.8.1 Introdução e Formalização do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 352

9.8.2 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

9.8.3 Testes e Rácios de Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

9.8.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

9.9 GARCH Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

10

9.10 Testes de Diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

10 Regressão Não Paramétrica 371

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

10.2 Estimação Não Paramétrica da Função Densidade de Probabilidade . . . . 371

10.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

10.2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

10.2.3 Escolha de h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

10.2.4 Estimação localmente linear da Média Condicional . . . . . . . . . 376

10.2.5 Estimação localmente linear da Variância Condicional . . . . . . . 382

10.A Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

III Aplicações 389

11 Eficiência do Mercado de Capitais 391

11.1 Introdução e Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

11.2 Teste à Eficiência Fraca de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

11.2.1 Testes de Autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

11.2.2 Regras de Compra e Venda e a Análise Técnica . . . . . . . . . . . 395

11.3 Teste à Eficiência Semi-Forte de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

11.3.1 Reacção do Mercado à Chegada de Informação . . . . . . . . . . . 401

12 Selecção de Portfolios 405

12.1 Portfolio Baseado em Momentos Marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

12.1.1 Todos os Activos Envolvem Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

12.1.2 Modelo com Activo Sem Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

12.2 Portfolio Baseado em Momentos Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . 413

13 Risco de Mercado e o Valor em Risco 417

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

13.2 Abordagem Não Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

13.3 Abordagem Paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

13.3.1 Modelo Gaussiano Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

13.3.2 Modelo RiskMetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

11

13.3.3 Modelo ARMA-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

13.4 Generalização: Portfolio com m Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

13.5 Abordagem pela Teoria dos valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . 432

13.5.1 Introdução à Teoria e Estimação. VaR Marginal . . . . . . . . . . . 433

13.5.2 VaR Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

13.6 Avaliação do VaR (Backtesting) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

12

Parte I

Introdução

13

Página em branco

14

Capítulo 1

Objecto e Método da Econometria

Financeira

(Última actualização: 11/2009)

Entende-se que “Financial econometrics is simply the application of econometric tools to

financial data” (Engle, 2001). A econometria financeira é, portanto, uma disciplina econométrica

(baseada em métodos estatísticos e matemáticos) vocacionada para analisar dados finan-

ceiros. Esta análise serve de suporte a variadíssimos estudos como por exemplo,

• avaliação do risco (por exemplo, através do Value at Risk);

• avaliação de obrigações, opções, etc.;

• previsão da volatilidade;

• gestão de portfolios;

• análise da previsibilidade e eficiência dos mercados, etc.

Sendo a econometria financeira a aplicação de métodos econométricos adequados a da-

dos financeiros, todos os métodos estatísticos que de uma forma ou outra se apliquem a dados

financeiros, interessam à econometria financeira. De todo o modo, a área proeminente em

econometria financeira é a das séries temporais. Estuda-se, por exemplo, a evolução tempo-

ral das cotações, taxas de câmbio, taxas de juro, etc. Por esta razão, este documento analisa

essencialmente métodos econométricos para séries temporais, sobretudo os métodos que de

alguma forma se adequam às característica próprias das séries financeiras (como sejam, a

não linearidade e a não normalidade).

15

É conveniente distinguir séries temporais de natureza macroeconómica das de natureza

financeira. As principais diferenças são as seguintes:

• dados de natureza macroeconómica (consumo, produto, taxa de desemprego) podem

ser observados mensalmente, trimestralmente ou anualmente; dados financeiros, como

por exemplo, retornos de acções ou taxas de câmbio podem ser observados com uma

frequência muito superior; nalguns casos, com intervalos de minutos ou segundos entre

duas observações consecutivas;

• como consequência do ponto anterior, o número de observações disponíveis de dados

financeiros situa-se na ordem das centenas de milhares. Normalmente, prefere-se tra-

balhar com dados diários (evitando-se os problemas das microestruturas de mercado);

nestes casos trabalham-se com algumas unidades de milhares de observações. Com

as séries macroeconómicas raramente se passam das poucas centenas de observações

(quando, na melhor das hipóteses, se têm observações mensais);

• os dados macroeconómicos são menos fiáveis, i.e., estão mais sujeitos a erros de

medição. Com efeito, os valores apurados não resultam de valores efectivamente ob-

servados no mercado, como sucede com a generalidade das séries financeiras, mas

antes de valores apurados de acordo com certa metodologia e decorrentes de inquéri-

tos preliminares;

• todavia, a principal diferença qualitativa decorre das propriedades estatísticas dos dois

tipos de séries. Ao contrário das séries macroeconómicas, as séries financeiras exibem

habitualmente fortes efeitos não lineares e distribuições não normais. As propriedades

estatísticas das séries financeiras serão estudadas no capítulo 3.

16

Capítulo 2

Preços e Retornos


O ponto de partida para a análise estatística é normalmente uma série de preços (por

exemplo, a série das cotações de fecho do Banco XYZ num certo intervalo de tempo). De

uma forma geral, o preço pode ser, por exemplo, o valor a que um intermediário financeiro

informa estar disposto a pagar pela compra de um determinado activo, opção ou futuro (bid

price), o valor a que um intermediário financeiro informa estar disposto a receber pela venda

de um determinado activo, opção ou futuro (ask price), o valor final da transacção, o valor

definido num mercado de futuros, entre outros.

O intervalo de tempo entre dois preços consecutivos é uma variável aleatória com valores

em R+. Isto significa que se poderia considerar uma sucessão de preços Pt1 , Pt2 , ..., Ptn

com δi = ti − ti−1 não constante. Não obstante, prefere-se normalmente trabalhar com

uma periodicidade fixa. Por exemplo, se análise empírica de certo fenómeno aconselha o

tratamento diário dos preços, a sucessão pertinente passará a ser P1, P2, ..., Pn onde Pt

representa habitualmente o valor de fecho no dia t. O tratamento estatístico do caso em que

δi = ti− ti−1 é encarado como uma variável aleatória, é um pouco mais delicada, e insere-se

na área dos modelos de muita alta-frequência.

Depois de coligidos os preços, calculam-se os retornos associados (veremos nos pon-

tos seguintes duas fórmulas alternativas de cálculo). Na figura 2-1 apresentam-se preços e

retornos da Microsoft no período Janeiro de 1988 a Fevereiro de 2006.

Prefere-se geralmente a sucessão dos retornos ou das rendibilidades à sucessão dos preços.

Por um lado, a sucessão dos retornos fornece tanta informação sobre a oportunidades de in-

vestimento quanto a sucessão dos preços. Deste ponto de vista é indiferente trabalhar-se

17

Preços Microsoft

0

10

20

30

40

50

60

Jan

88

Jan

90

Jan

92

Jan

94

Jan

96

Jan

98

Jan

00

Jan

02

Jan

04

Jan

06

Retornos Microsoft

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Ja

n88

Jan

90

Jan

92

Jan

94

Jan

96

Jan

98

Jan

00

Jan

02

Jan

04

Jan

06

Figura 2-1: Preços e Retornos diários da Microsoft no período Jan 88 a Fev 06

com qualquer das sequências. Há, todavia, uma razão de peso para se preferir a sucessão

dos retornos: esta é mais fácil de modelar. Veremos adiante, com mais pormenor, que a

sucessão dos preços é quase sempre não estacionária, ao passo que a sucessão dos retornos

é tendencialmente estacionária (facilitando, por isso, a aplicação de resultados essenciais,

como sejam, a lei dos grande números e o teorema do limite central)1.

Há duas formas de obtermos o retorno associado ao preço que descreveremos a seguir.

2.1 Retornos Discretos

Seja Pt a cotação de um certo activo no momento t. Suponhamos que P é observado nos

momentos t = 1, 2, ..., n (podemos supor que temos n observações diárias).

1Taxas de câmbio real e taxas de juro podem ser analisadas nos níveis e não nas primeiras diferenças, se

existir evidência de estacionaridade.

18

2.1.1 Retorno Simples

O retorno simples em tempo discreto de um certo investimento no momento t (retorno do

dia t− 1 para o dia t) é definido como

Rt =Pt − Pt−1

Pt−1

=PtPt−1

− 1 (2.1)

(na literatura anglo-saxónica Rt é designado por simple net return e 1 +Rt = Pt/Pt−1 como

simple gross return). Naturalmente, também se tem

Pt = Pt−1 (1 +Rt) .

Esta última expressão mostra queRt representa, efectivamente, a taxa de rendibilidade de um

certo investimento, adquirido por Pt−1 e vendido por Pt. Se Pt−1 representa o preço unitário

de um activo financeiro e K o número de acções adquiridas em t− 1, a taxa de rendibilidade

do investimento de valor KPt−1 é também, naturalmente, Rt, pois Pt = Pt−1 (1 +Rt) ⇔

PtK = Pt−1K (1 +Rt).

2.1.2 Retorno Multi-Períodos

Suponha-se que P1, P2, ..., Pn é a sucessão de preços diários. Podemos estar interessados,

por exemplo, no retorno semanal e, para o efeito, basta considerar

Rt (5) =Pt − Pt−5

Pt−5

(admitindo que se observam cinco preços por semana). De uma forma geral,

Rt (m) =Pt − Pt−mPt−m

=PtPt−m

− 1. (2.2)

Para calcular Rt (m) basta atender à expressão (2.2). Suponhamos, no entanto, que Pt e

Pt−m não são conhecidos. A questão é, como calcular Rt (m) a partir dos retornos simples

em t = 1, 2, ...? Pode-se provar (ver apêndice 2.B.1)


=

t∏j=t−m+1

(1 +Rj)− 1.

19

2.1.3 Retornos de Portfolios

Admita-se que o capital em t − 1 é igual K (unidades monetárias) e existem dois activos

A e B, cujas taxas de rendibilidade são, respectivamente, RA,t e RB,t. Um certa fracção do

capital, ωA, é investido em A e, a parte restante, ωB = 1 − ωA, é investido em B. Desta

forma, o valor do investimento no período seguinte, t, é igual a

K (ωA (1 +RA,t) + ωB (1 +RB,t))

e o retorno do portfolio é

Rp,t =K (ωA (1 +RA,t) + ωB (1 +RB,t))−K

K

= ωA (1 +RA,t) + ωB (1 +RB,t)− 1

= ωARA,t + ωBRB,t.

Com m activos, tem-se ω1 + ...+ ωm = 1 e

Rp,t = ω1R1,t + ω2R2,t + ...+ ωmRm,t

=m∑i=1

ωiRi,t. (2.3)

Conclui-se portanto que o retorno de um portfolio é igual a uma média ponderada dos vários

retornos do portfolio.

A variância do retorno de um portfolio tende a ser inferior à variância dos retornos do

portfolio. Para analisar esta questão, considere-se

Var (Rp,t) = Var

(m∑i=1

ωiRi,t

)=

m∑i=1

Var (ωiRi,t) + 2m−1∑j=1

m∑i=j+1

Cov (ωiRi,t, ωi−jRi−j,t)

= ω2i

m∑i=1

Var (Ri,t) + 2

m−1∑j=1

m∑i=j+1

ωiωi−j Cov (Ri,t, Ri−j,t) .

Simplifique-se esta expressão. Admita-se que os retornos têm variância igual, Var (Ri,t) =

σ2 e que os pesos são iguais, ωi = 1/m (estas hipóteses significam que se tomam títulos com

idêntica variabilidade e com o mesmo peso na carteira). Seja

γ =

∑m−1j=1

∑mi=j+1 Cov (Ri,t, Ri−j,t)

m(m−1)2

20

a “covariância média”, isto é, a média aritmética dos valores de todas as covariâncias distintas

(que são em número de m (m− 1) /2). Sob estas hipóteses, vem

Var (Rp,t) =σ2

m+ 2

1

m2

γN (m− 1)

2=σ2

m+γ (m− 1)

m.

Nestas circunstâncias, é fácil verificar que Var (Rp,t) < Var (Ri,t) é equivalente a σ2 > γ.

Assim, se a variabilidade dos activos (tomados isoladamente) for superior à média aritmética

dos valores de todas as covariâncias distintas, o retorno do portfolio apresenta menor variân-

cia do que a dos activos que a constituem. A desigualdade σ2 > γ verifica-se trivialmente

se os retornos forem independentes (γ = 0) ou se as covariâncias forem negativas (γ < 0).

A desigualdade σ2 > γ tende a verificar-se quando as covariâncias são baixas e/ou existem

várias covariâncias negativas. Deve notar-se que a hipótese de independência é inverosímil,

pois os activos partilham aspectos comuns relacionados com o comportamento geral do mer-

cado (risco de mercado).

Uma forma mais convincente de sugerir Var (Rp,t) < Var (Ri,t) é a seguinte. Assuma-

se: (i) os retornos têm variância igual, Var (Ri,t) = σ2, (ii) os pesos são iguais, ωi = 1/m e

(iii) as covariâncias são iguais. Resulta por construção que a Var (Rp,t) < Var (Ri,t) . Com

efeito, comece-se por observar que Cov (Ri,t, Ri−j,t) = ρσ2 (ρ é o coeficiente de correlação).

Nestas condições vem∑m−1

j=1

∑mi=j+1 ρσ

2 = ρσ2m (m− 1) /2 e, portanto,

Var (Rp,t) =σ2

m+ 2

1

m2

ρσ2m (m− 1)

2.

Verifica-se agora que Var (Rp,t) < Var (Ri,t) é equivalente a ρ < 1. Como, por definição ρ é

menor do que 1, a desigualdade Var (Rp,t) < Var (Ri,t) verifica-se sempre, sob as hipóteses

assumidas. Claro que, na prática, nenhuma das hipóteses (i), (ii) e (iii) se verifica de forma

exacta, mas é seguro dizer-se que, em condições gerais, a diversificação (i.e. m > 1) baixa a

variabilidade do portfolio.

21

2.1.4 Retornos Ajustados aos Dividendos

Se no período t (ou se algures entre t−1 e t) há lugar ao pagamento de dividendos, o retorno

deve reflectir esse acréscimo de rendimento. O retorno total vem

Rt =Pt +Dt − Pt−1

Pt−1

=Pt − Pt−1

Pt−1

+Dt

Pt−1

onde (Pt − Pt−1) /Pt−1 é, por vezes, referido como capital gain e Dt/Pt−1 como dividend

yield.

2.1.5 Retornos Ajustados à Inflação

Até agora considerámos retornos nominais. Em certos estudos, sobretudo de carácter macro-

económico, tem interesse analisar o retorno real. Para obtermos este retorno, é necessário

expurgar do ganho de capital o “efeito do crescimento geral de preços”. Suponhamos que

a inflação foi de 4% e o retorno (anualizado) foi de 3%. Houve ganho real no investimento

realizado? Se atendermos ao efeito “crescimento geral de preços” a resposta é negativa. É

tentador dizer que a perda real é de 1%. Efectivamente é quase 1%, mas não chega, como

se mostra a seguir. Para obtermos o retorno real, Rrealt (ajustado, portanto, da inflação),

considera-se

Rrealt =

P realt − P real

t−1

P realt−1

, P realt =

PtIPCt

sendo IPCt o índice de preços ao consumidor (índice construído pelo INE, Instituto Na-

cional de Estatística). Observe-se que P realt é o preço deflacionado ou simplesmente o preço

real do activo. Simples álgebra, permite concluir que

Rrealt =

P realt − P real

t−1

P realt−1

=PtPt−1

IPCt−1

IPCt− 1 =

Rt − πtπt + 1

onde πt = (IPCt − IPCt−1) /IPCt−1. Retomemos o exemplo acima, com Rt = 0.03 e

πt = 0.04; logo,

Rrealt =

0.03− 0.04

0.04 + 1= −0.0096

isto é, os retornos reais caiem aproximadamente 1%, para sermos mais exactos, caiem 0.96%.

Quando a inflação é relativamente baixa (por exemplo, se Rrealt são retornos reais mensais) é

22

válida a aproximação,

Rrealt ' Rt − πt.

Como o IPC está, no máximo, disponível mensalmente, não é possível calcular-se retornos

reais diários.

2.1.6 Retornos Anualizados

Para compararmos, por exemplo, o retorno diário do investimento A com o retorno mensal

do investimento B, é necessário converter as diferentes taxas de rendibilidades a um mesmo

período. Toma-se normalmente como período de referência o ano pelo que, as taxas de

rendibilidade depois de convertidas em rendibilidades anuais dizem-se anualizadas. Supon-

hamos que um certo investimento de valor P0 foi realizado no momento 0. Ao fim de T anos

(T pode ser por exemplo 0.5, isto é, 6 meses) o mesmo investimento vale Pn. A questão que

deveremos colocar é a seguinte: qual é a taxa de rendibilidade anual, RA, tal que, aplicada

a um investimento P0 permite ao fim de T anos obter o investimento Pn? Ou seja, qual é o

valor RA que resolve a equação

P0 (1 +RA)T = Pn ?

Tomando RA como incógnita, facilmente se obtém

RA =

(PnP0

) 1T

− 1. (2.4)

Se os preços P0, P1, ...Pn são diários e se admitirmos que num ano se observam 250 preços,

então T = n/250 (por exemplo, com n = 500 observações diárias, o período de investimento

corresponde a dois anos, T = 500/250 = 2). Nestas condições, a fórmula (2.4) pode-se

reescrever na forma

RA =

(PnP0

) 250n

− 1.

Em termos gerais, se num ano se observam N preços (por exemplo, N = 12 se as obser-

vações são mensais) e dispomos de n observações sobre os preços, então T = n/N e

RA =

(PnP0

)Nn

− 1. (2.5)

23

Exemplo 2.1.1 Queremos comparar os seguintes investimentos:

• O investimento 1 foi adquirido ao preço 1.5. Ao fim de 800 dias (isto é, 800/250 = 3.2

anos) valia 1.9.

• O investimento 2 foi adquirido ao preço 105. Ao fim de 50 meses (isto é, 50/12 = 4.17

anos) valia 121.

Questão: qual dos investimento foi preferível? Para os investimento 1 e 2, as taxa de

rendibilidade anualizadas foram respectivamente de

RA,1 =

(1.9

1.5

) 250800

− 1 = 0.0766

e,

RA,2 =

(121

105

) 1250

− 1 = 0.034,

ou seja de 7.66% para o investimento 1 e 3.4% para o investimento 2. O investimento 1 foi,

portanto, preferível.

Quando o período de observação dos preços é relativamente curto as taxas de rendibili-

dade anualizadas podem fornecer valores aberrantes. Por exemplo, se numa semana, devido

à variabilidade dos preços, se observar P0 = 1 e P5 = 1.1, a taxa anualizada é de 1046.7%.

2.2 Retornos Contínuos

Sejam P0 e P1, respectivamente o capital inicial e o capital ao fim de um período. Se o

capital se valorizou continuamente nesse período, qual é a taxa de rendibilidade instantânea

associada? Para discutirmos esta questão, admita-se, para simplificar, que o período é o ano.

Se a capitalização fosse anual, a taxa de rendibilidade Ra resultaria da resolução da equação

P1 = P0 (1 +Ra) em ordem aRa. Se a capitalização fosse semestral, a taxa de rendibilidade

(semestral) Rs resultaria da resolução da equação

P1 = P0

(1 +

Rs

2

)(1 +

Rs

2

)= P0

(1 +

Rs

2

)2

em ordem aRs. De igual forma, numa capitalização trimestral, ter-se-ia P1 = P0 (1 +Rtr/4)4 .

Se a capitalização é contínua (capitalização minuto a minuto, segundo a segundo, etc.) então

24

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Jan

00

Jul0

0

Jan

01

Jul0

1

Jan

02

Jul0

2

Jan

03

Jul0

3

Jan

04

Jul0

4

Jan

05

Jul0

5

R

r

Figura 2-2: Retornos mensais da IBM

o capital P1 pode interpretar-se como o limite de

P1 = limn→∞

P0

(1 +

r

n

)n.

Como limn→∞(1 + r

n

)n= er, a taxa de rendibilidade instantânea r resulta da resolução da

equação P1 = P0er em ordem a r (pode-se obter P1 = P0e

r resolvendo a equação diferencial

P ′t = rPt - veja-se o apêndice 2.A). Logaritmizando a equação e resolvendo em ordem a r,

obtém-se

r = logP1 − logP0.

Considere-se agora uma sucessão de preços P1, P2, ..., Pn . Define-se a taxa de rendibili-

dade instantânea ou simplesmente o retorno contínuo de um certo investimento no momento

t como

rt = logPt − logPt−1.

Naturalmente esta expressão é equivalente a

rt = logPt − logPt−1 = logPtPt−1

= log

(1 +

PtPt−1

− 1

)= log (1 +Rt) .

Para dados diários, semanais ou mensais pode assumir-se rt ' Rt (ver apêndice 2.B.2). Na

figura 2-2 as diferenças entre Rt e rt são relativamente pequenas. Se os dados fossem diários

as diferenças seriam ainda mais pequenas.

25

2.2.1 Retorno Multi-Períodos

Suponha-se que P1, P2, ..., Pn é a sucessão de preços diários. Podemos estar interessados,

por exemplo, no retorno semanal e, para o efeito, basta considerar

rt (5) = log

(PtPt−5

)

(admitindo que se observam cinco preços por semana). De uma forma geral,

rt (m) = log

(PtPt−m

)= log (Pt)− log (Pt−m) .

Seguindo o mesmo raciocínio que vimos atrás, suponhamos, no entanto, que Pt e Pt−m

não são conhecidos. A questão é, como calcular rt (m) a partir dos retornos contínuos em

t = 1, 2, ...? Para exemplificar, suponha-se que se têm retornos diários e procura-se o retorno

semanal, i.e., admita-se o seguinte:

retorno 2a feira r1 = logP1 − logP0





retorno da semana logP5 − logP0 = r1 + r2 + ...+ r5

A tabela anterior sugere que o retorno da semana é igual à soma dos retornos da semana.

Com efeito,

logP5 − logP0 = logP5 − logP4︸︷︷︸r5

+ logP4 − logP3︸︷︷︸r4


+logP2 − logP1︸︷︷︸r2


(observe-se que no lado direito da expressão anterior, apenas os termos logP5 e P0 não

cancelam). Em termos gerais,

rt (m) = rt + rt−1 + ...+ rt−m+1.

26

2.2.2 Retornos de Portfolio

Pode imaginar-se o retorno contínuo do portfolio como sendo o valor rp,t tal que, aplicado

ao capital inicial K (i.e., Kerp,t) permite obter o valor do portfolio calculado através dos m

retornos (i.e., K∑m

i=1 ωieri,t). Assim, rp,t é tal que K

∑mi=1 ωie

ri,t = Kerp,t . Resolvendo

esta equação em função de rp,t obtém-se rp,t = log (∑m

i=1 ωieri,t) . Tendo em conta que

ri,t = log (1 +Ri,t) e∑m

i=1 ωi = 1, podemos ainda escrever

rp,t = log

(m∑i=1

ωieri,t

)= log

(m∑i=1

ωi (1 +Ri,t)

)= log

(1 +

m∑i=1

ωiRi,t

)= log (1 +Rp,t) .

Ao contrário dos retornos discretos, o retorno contínuo do portfolio não é igual à soma

ponderada dos retornos contínuos dos vários activos, i.e., rp,t 6=∑n

i=1 ωiri,t. Este facto

constitui uma desvantagem da versão contínua dos retornos. No entanto, quando Rp,t não é

muito alto, rp,t ≈ Rp,t.

2.2.3 Retornos Ajustados aos Dividendos

O retorno contínuo ajustado aos dividendos é definido como

rt = log

(Pt +Dt

Pt−1

)= log (Pt +Dt)− log (Pt−1) .

Note-se também:

rt = log (1 +Rt) , Rt =Pt +Dt − Pt−1

Pt−1

.

2.2.4 Retornos Ajustados à Inflação

O retorno contínuo ajustado à inflação é definido como

rrealt = log

(Pt/IPCt

Pt−1/IPCt−1

)= log

(PtPt−1

)− log

(IPCtIPCt−1

)= rt − πt

onde agora a taxa de inflação πt é definida como πt = log (IPCt/IPCt−1). Note-se também:

rrealt = log

(1 +Rreal

t

).

27

2.2.5 Retornos Anualizados

Tal como no caso dos retornos discretos, também no caso dos retornos contínuos é possível

obter uma taxa de rendibilidade (agora instantânea) anualizada ou simplesmente retorno an-

ualizado, rA. Pode começar-se por perguntar: qual é a taxa de rendibilidade anual, rA, tal

que, aplicada a um investimento P0 permite ao fim de T anos (de valorização contínua) obter

o investimento Pn? Ou seja, qual é o valor rA que resolve a equação

P0erAT = Pn ?

Tomando rA como incógnita, facilmente se obtém

rA =1

Tlog

(PnP0

). (2.6)

Também se chega a esta expressão a partir da definição habitual rA = log (1 +RA) .

Com efeito,

rA = log (1 +RA) = log

(1 +

(PnP0

) 1T

− 1

)= log

((PnP0

) 1T

)=

1

Tlog

(PnP0

)

(T representa o número de anos do investimento).

Se os preços P0, P1, ...Pn são diários e se admitirmos que num ano se observam 250

preços, então deduz-se a relação T = n/250. Nestas condições, a fórmula (2.6) pode-se

reescrever na forma

rA =250

nlog

(PnP0

).

Em termos gerais, se num ano se observam N preços (por exemplo, N = 12 se as obser-

vações são mensais) e dispomos de n observações sobre os preços, então T = n/N e

rA =N

nlog

(PnP0

).

Em muitas aplicações estuda-se uma sucessão de retornos r1, r2, ..., rn e obtém-se de

seguida um conjuntos de estatísticas, como por exemplo a média empírica dos retornos,

r =1

n

n∑i=1

ri.

28

Uma questão interessante consiste em obter rA como função de r. Tendo em conta que

log (Pn/P0) =∑n

i=1 ri tem-se

rA =N

nlog

(PnP0

)=N

n

n∑i=1

ri = Nr.

Uma forma alternativa de obtermos rA = Nr e que tem a vantagem de fornecer também

uma medida para o valor da volatilidade anualizada é a seguinte. Suponha-se, tal como

anteriormente, que num ano é possível observar N preços. Então, a variável aleatória que

representa o retorno anual é dado por

X = logPN − logP0 =

N∑t=1

rt.

Supondo E (r1) = E (r2) = ... = E (rN) , tem-se que o retorno médio anual é dado por

E (X) = N E (rt) .

Logo, uma estimativa de E (X) é, precisamente, rA = Nr . Por outro lado, suponha-se que

a sucessão rt é não autocorrelacionada e que Var (rt) = σ2. Nestas condições, a variância

anual (i.e., a variância associada a rt (N)) é dada por

Var (X) = Var

(N∑t=1

rt

)= Nσ2. (2.7)

Resulta da equação (2.7) a famosa square root of time rule segundo a qual, a volatilidade

anual de um activo, obtém-se a partir da regra√Nσ onde σ é o desvio padrão associado

a um medida intra anual (assume-se o desvio padrão como medida da volatilidade). Por

exemplo, se os dados são diários, a regra estabelece√

250σd (σd é o desvio padrão associado

aos dados diários); se os dados são mensais, vem√

12σm (σm é o desvio padrão associado

aos dados mensais). A informação anualizada pode ser dada em percentagem:

Nr × 100%,√Nσ × 100%.

Com efeito o retorno anual em percentagem é X × 100 pelo que E (X × 100) = N E (rt)×

100 e Var (X × 100) = Nσ21002 ⇒√

Var (X × 100) =√Nσ100.

Note-se, finalmente, que o retorno anualizado na versão discreta é uma função do retorno

29

anualizado na versão contínua, dada pela expressão RA = erA − 1 (veja a equação (2.5)).

2.3 Retornos Contínuos vs. Retornos Discretos

Neste documento dá-se preferência à análise dos retornos contínuos. Por várias razões:

• A esmagadora maioria dos investigadores usa rt. Se queremos que os nossos resultados

sejam comparáveis devemos usar rt.

• Como vimos, os retornos contínuos multi-períodos são aditivos (por exemplo, o re-

torno contínuo entre o período 5 e 0 é igual à soma dos retornos contínuos entre o

período 5 e 0). Já os retornos discretos multi-períodos não são. Em certas aplicações é

necessário modelar retornos multi-períodos a partir do conhecimento das distribuições

de r ou R. Neste caso, prefere-se interpretar o retorno na sua versão contínua, pois a

modelação de uma soma

logPt − logP0 =t∑i=1

ri

é bem mais fácil do que a modelação de um produto

Pt − P0

P0

=t∏

j=1

(1 +Rj)− 1.

Além disso, a soma∑t

i=1 ri preserva propriedades que podem ser interessantes. Por

exemplo, se ri é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição N (µ, σ2), segue-se

imediatamente que logPt−logP0 =∑t

i=1 ri tem ainda distribuição normalN (tµ, tσ2) .

Já no caso discreto, se Ri é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição normal, a

v.a. (Pt − P0) /P0 =t∏

j=1

(1 +Rj)− 1 não tem distribuição normal.

O facto dos retornos discretos não ser aditivos pode conduzir a conclusões erradas.

Considere-se o seguinte exemplo (veja-se a tabela 2.1). No momento t = 0 um certo

activo vale 100, depois em t = 1 vale 110 e, finalmente, em t = 2 volta a valer 100.

Obviamente que o retorno de t = 0 para t = 2 é zero, quer se considere a fórmula

(P2 − P0)/P0 ou logP2 − logP0. No entanto, a média empírica dos retornos discretos

é positiva, podendo sugerir, incorrectamente, que o activo se valorizou entre o período

t = 0 e t = 2. Já a média empírica dos retornos contínuos traduz correctamente a

valorização do activo.

30

t Pt Rt = Pt−Pt−1Pt−1

rt = logPt − logPt−1

0 100

1 110 0.10 (10%) 0.0953

2 100 -0.0909 (-9.09%) -0.0953

media > 0 = 0

Tabela 2.1: Retornos discretos não são aditivos - mais um exemplo

• O retorno discreto aplicado a um investimento inicial pode sugerir que o investimento

possa vir negativo. Isto é uma impossibilidade. Suponha-se P0 = 100. O pior cenário

no período 1 é P1 = 0 (perde-se todo o investimento). Mas, aplicando o retorno

discreto pode-se obter P1 < 0 se R1 < −1. Por exemplo, se R1 = −1.05 tem-se

P1 = (1− 1.05)P0 = −0.05× 100 = −5.

É um impossibilidade obter-se P1 < 0 e, este facto, traduz uma fraqueza teórica do

modelo de retorno discreto. No caso do retorno contínuo, não há possibilidade de P1

ser negativo, pois, r1 = log (P1)− log (P0) implica P1 = P0er > 0, por definição.

O retorno discreto conserva, no entanto, uma vantagem apreciável: o retorno discreto

do portfolio é igual à soma ponderada dos retornos discretos dos vários activos e, esta pro-

priedade, não é partilhada, como vimos, pelo retorno contínuo do portfolio.

2.A Outra Interpretação de rt

Seja Pt o valor de um certo capital no momento t (podemos convencionar: t = 1 representa

um ano). Se o capital se valoriza em tempo discreto, a variação do capital Pt num certo

intervalo de tempo ∆ > 0 pode ser traduzida pela igualdade (Pt+∆ − Pt) /Pt = r∆ (r é a

taxa de retorno) ou seja

Pt+∆ − Pt∆

= rPt

Se o capital se valoriza continuamente, i.e., se assumirmos ∆ → 0, o lado esquerdo da

equação anterior é a derivada de P em ordem a t, i.e., P ′. Desta forma tem-se a equação

diferencial linear de primeira ordem (determinística)

P ′t = rPt (2.8)

31

que estabelece a forma como Pt evolui em tempo contínuo. Pode-se provar que a solução

geral de (2.8) é

Pt = cert, c ∈ R

(c depende do capital inicial). Com o capital inicial P0, a solução particular é Pt = P0ert.

Ao fim de um período t = 1 o capital vale P1 = P0er. Resolvendo esta equação em ordem a

r vem r = log (P1/P0) = logP1 − logP0.

2.B Notas Técnicas

2.B.1 Retorno Multi-Períodos como Função dos Retornos Simples

Como calcular Rt (m) a partir dos retornos simples em t = 1, 2, ...? Basta considerar


=PtPt−1

Pt−1

Pt−2

...Pt−m+1

Pt−m− 1

=

(1 +

PtPt−1

− 1

)(1 +

Pt−1

Pt−2

− 1

)...

(1 +

Pt−m+1

Pt−m− 1

)− 1

= (1 +Rt) (1 +Rt−1) ... (1 +Rt−m+1)− 1

=t∏

j=t−m+1

(1 +Rj)− 1.

2.B.2 r e R: Série de Taylor

A série de Taylor da função log (1 +Rt) em torno de Rt = 0 é, como se sabe,

rt = log (1 +Rt) = Rt −1

2R2t +

1

3R3t − ... (−1)n−1 R

nt

n+ ...

Este desenvolvimento em série de potência de Rt é válido para todo o Rt tal que |Rt| <

1. Quando Rt é relativamente pequeno, os termos R2t , R

3t , etc., são ainda mais pequenos

(por exemplo, Rt = 0.005 implica R2t = 2.5 × 10−5, R3

t = 1.25 × 10−7, etc.) pelo que,

nestas circunstâncias, R2t ' 0, R3

t ' 0, etc., e, assim, rt ' Rt. Se os dados são diários,

semanais ou mensais as rendibilidadesR são geralmente pequenas (quando comparadas com

as rendibilidades anuais). Assim, para este tipo de rendibilidades, pode assumir-se rt ' Rt.

32

Capítulo 3

Factos Empíricos Estilizados de Séries

Temporais Financeiras


Vários estudos empíricos têm documentado que há um conjunto de regularidades em-

píricas que são partilhadas por um leque grande de séries temporais financeiras observadas

com frequência elevada (diária ou semanal). Essas regularidades têm a ver com caracterís-

ticas das distribuições marginais e condicionais que são comuns a muitas séries temporais

financeiras.

3.1 Regularidade Empíricas relacionadas com a Distribuição

Marginal

Comece-se por considerar a fdp marginal1 f de um certo retorno rt. Estamos interessados

em saber algo sobre f (que é geralmente desconhecida). Obtém-se alguma informação sobre

f calculando vários momentos da amostra. É este o procedimento que começaremos por

seguir. Pelo método dos momentos, os parâmetros populacionais desconhecidos,

µ = E (r) , σ =√

Var (r), sk =E((r − µ)3)σ3

, k =E((r − µ)4)σ4

1Para simplificar, admite-se que f é homogénea com respeito ao tempo, i.e., não depende de t. Desta forma,

f (rt) = f (rt−1) = ... = f (r1). Como consequência é indiferente escrever f (rt) ou simplesmente f (r) (e,

por um raciocínio similar, é indiferente escrever E (rt) ou simplesmente E (r)).

33

podem ser estimados de forma consistente (sob certas condições de regularidade), respecti-

vamente, pelos estimadores

r =

∑nt=1 rtn

, σ =

√∑nt=1 (rt − r)2

n,

sk =n−1

∑nt=1 (rt − r)3

σ3 , k =n−1

∑nt=1 (rt − r)4

σ4 .

Os factos empíricos estilizados que descreveremos a seguir envolvem explicitamente estes

momentos. Concretamente, mostraremos a seguir que

• r tende a ser maior do que o retorno do investimento sem risco;

• σ depende da natureza do activo financeiro;

• sk tende a ser negativo;

• k tende a ser superior a 3.

3.1.1 Prémio de Risco Positivo

De acordo com a teoria financeira o valor esperado do retorno de um investimento no mer-

cado de capitais deve exceder, no longo prazo, o retorno do investimento sem risco. A essa

diferença designa-se prémio de risco (Equity Risk Premia). Este prémio deve ser positivo

pois, caso contrário, não haveria motivação para aceitar um investimento com retornos in-

certos, quando a alternativa é um retorno garantido.

A estimação do prémio de risco deve envolver um período relativamente longo (o retorno

de um investimento no mercado de capitais é estável no médio/longo prazo, mas instável

no curto prazo - pode até ser fortemente negativo em curtos períodos de tempo). Dim-

son, Marsh e Staunton (2002) fizeram o seguinte exercício, com base em dados financeiros

norte-americanos: se tivesse sido investido 1 dólar em acções norte americanas (digamos,

num índice representativo do mercado de acções norte-americano) e 1 dólar em bilhetes do

tesouro (investimento sem risco), ambos no início do ano 1900, quais seriam os retornos

desses investimentos ao fim de 101 anos (i.e. se fossem levantados no final do ano 2000).

Os resultados apurados mostram que o investimento de 1 dólar em acções seria vendido

por 16797 dólares em 2000 (apesar das inúmeras crises económicas e financeiras durante

o século, como por exemplo, as duas guerras mundiais, a grande depressão, os choques

34

rA% σA% sk k P (|rt−r|>3σ)P (|Z|>3)

Cotações de Acções

Microsoft (01-88 a 7-05) 23.9% 36.3% -.097 6.8 3.85

Coca-Cola (11-86 a 12-05) 7.2% 33.2% -0.97 18.1 4.53

PT (6-95 a 12-05) 12.3% 33.2% -0.06 6.39 5.02

Índices Bolsistas

Dax (11-90 a 11-05) 8.4% 22.1% -0.196 6.66 5.79

CAC40 (03-90 a 11-05) 5.7% 20.5% -0.101 5.77 5.61

Nikkei225 (01-84 a 11-05) 1.6% 20.5% -0.116 10.77 3.71

FTSE100 (04-84 a 11-05) 7.3% 15.8% -0.545 11.12 2.44

PSI20 (01-93 a 03-06) 8.6% 15.8% -0.61 10.9 5.99

Taxas de Câmbio

USD/EUR(12-98 a 11-05) 0.1% 7.9% -0.05 4.86 4.55

YEN/USD (1-71 a 7-05) -3.4% 9.4% -0.78 14.2 1.67

Na última coluna assume-se que Z ∼ N (0, 1) ; σA% =√

250σ100%

Tabela 3.1: Estatísticas Descritas de Algumas Acções, índices e Taxas de Câmbio

petrolíferos, etc.), enquanto os bilhetes de tesouro seriam vendidos por 119 dólares. Os

retornos anualizados (usando a fórmula RA) seriam de 10.1% para as acções, i.e.

RA100% =(

(16797)1101 − 1

)100% = 10.1%

e de 4.8% para os bilhetes do tesouro (valores nominais, i.e. não descontando a inflação).

Ver Taylor (2005) para mais detalhes sobre o prémio de risco.

3.1.2 Desvios Padrão Diferentes Consoante os Activos

A tabela 3.1 mostra que os activos com maior variabilidade (e, portanto com maior risco

associado) são os títulos de empresas, seguidos dos índices bolsistas e taxas de câmbio (bil-

hetes do tesouro - resultados não apresentados - apresentam a menor variabilidade). No

âmbito dos títulos de acções, vários estudos indicam (ver por exemplo, Taylor, 2005) que a

variabilidade dos retornos tende a diminuir à medida que a dimensão das empresas aumenta

(títulos de empresas pequenas apresentam maior variabilidade).

3.1.3 Retornos de Acções e de Índices tendem a Apresentar Assimetria

Negativa

A assimetria de uma distribuição é normalmente aferida através do coeficiente de assimetria

sk anteriormente definido. Diz-se que a distribuição de r é assimétrica negativa (positiva) se

35

sk < 0 (> 0). Se sk = 0 a distribuição é simétrica (em relação à média populacional).

Podemos ter uma estimativa sk negativa se as variações negativas fortes forem mais

acentuadas do que as variações positivas fortes. Quando assim sucede, os desvios negativos

(rt − r)3 < 0 tendem a dominar os desvios positivos (rt − r)3 > 0 na soma∑

(rt − r)3e,

por isso, a estimativa sk é negativa. Observe-se ainda que os desvios cúbicos são divididos

por σ3; desta forma, elimina-se a possibilidade do coeficiente depender das unidades em que

a variável é observada (por exemplo, se multiplicarmos r por 100, para termos uma medida

em percentagem, sk não sofre alteração).

A tabela 3.1 mostra que as distribuições empíricas das rendibilidades de acções e índice

bolsistas em análise são assimétricas negativas. Existe, portanto, evidência empírica de que

as fortes variações dos preços são maioritariamente de sinal negativo. Estas variações são

obviamente crashes bolsistas. Sublinhe-se, no entanto, que alguns retornos de títulos, por

registarem episódios de fortes variações positivas, apresentam distribuições assimétricas pos-

itiva. A assimetria negativa não é, portanto, uma característica universal das distribuições de

retornos, embora, geralmente, tendam a apresentar assimetria negativa.

Sob certas hipóteses, incluindo rt é uma sucessão de v.a. homocedásticas com dis-

tribuição normal, a estatística de teste

Z1 =√nsk√

6

tem distribuição assimptótica N (0, 1) . A hipótese nula H0: sk = 0 pode ser testada a par-

tir deste resultado2. Mas as hipóteses de partida, normalidade e homocedasticidade, são

relativamente severas. Na prática, isto significa que a rejeição de H0 pode dever-se à ausên-

cia de normalidade e/ou homocedasticidade e não necessariamente à falha de simetria da

distribuição. Desta forma, é necessário ter algum cuidado na interpretação dos resultados

quando H0 é rejeitada.

O estimador sk é por vezes criticado por não ser robusto face à presença de valores

extremos. Na verdade, em certos casos, a ocorrência de apenas uma única variação negativa

excepcionalmente forte pode resultar num valor negativo para sk (os títulos que incluem na

sua amostra o crash do dia 19 de Outubro de 1987 tendem a apresentar um valor estimado

para sk negativo). Por esta razão, é aconselhável usar-se medidas de assimetria robustas

2A única hipótese nula possível é H0 : sk = 0. Por exemplo, não faria sentido testar H0 : sk = 1 porque

a estatística de teste é obtida sob a hipótese de normalidade e sk = 1 é claramente incompatível com essa

hipótese.

36

contra a presença de outliers. Uma medida nestas condições é proposta por Groeneveld and

Meeden (1984)

skGM =E (r)− q0.5

E (|r − q0.5|)

onde q0.5 é o quantil de ordem 0.5, o que significa que q0.5 é a mediana. O parâmetro

E (|r − q0.5|) fornece uma medida de dispersão dos dados. Esta medida tem a vantagem

de variar entre -1 e 1, i.e. −1 < skGM < 1. Sob certas condições, skGM pode ser estimado

de forma consistente através da estatística

skGM =r −m

n−1∑n

t=1 |rt −m|

sendo m a mediana empírica. Outra medida robusta é o coeficiente de assimetria de Pearson,

skP =E (r)− q0.5

σ.

Note-se, finalmente, que para as taxas de câmbio não há razão especial para esperar

sk > 0 ou sk < 0. Com efeito, suponha-se que St é a taxa de câmbio do Dólar/Euro e

rt = log (St/St−1) . Se a distribuição de rt é assimétrica negativa então a distribuição dos

retornos associados à taxa de câmbio do Euro/Dólar, 1/St (seja rt esse retorno) é assimétrica

positiva, pois

rt = log

(1/St

1/St−1

)= − log

(StSt−1

)= −rt

(note-se: se x tem distribuição com assimetria negativa, −x tem distribuição com assimetria

positiva). Assim a assimetria positiva ou negativa nas taxas de câmbio depende da forma

como a taxa de câmbio está definida (não podendo, portanto, inferir-se qualquer regularidade

empírica).

3.1.4 Retornos Apresentam Distribuições Leptocúrticas

O achatamento de uma distribuição é normalmente aferida através do coeficiente de achata-

mento k (também designado por kurtosis ou curtose). Diz-se que a distribuição f é mesocúr-

tica se k = 3, platicúrtica se k < 3 e leptocúrtica se k > 3. O valor de referência 3 é o

que resulta da distribuição normal (assim, a distribuição normal ou Gaussiana é mesocúr-

tica). Valores altos de k (acima de 3) indicam que certos valores da amostra se encontram

muitos afastados da média, comparativamente aos demais valores da amostra. Observe-se

37

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y1 Y2

Figura 3-1: Qual das duas séries tem kurtosis estimada mais alta?

que os desvios (rt − r)4são muito sensíveis aos valores extremos da amostra. Por exemplo,

a existência de outliers faz aumentar a estatística k. Para ilustrar o impacto dos outliers no

valor da estatística k, considere-se a figura 3-1. Pode-se observar que variância da série y1

é menor do que a da série y2. No entanto, o valor k da série y2 é de apenas 1.5, ao passo

que o da série y1 é de 5.5. Os valores da série y2 não se encontram, em termos relativos,

muitos afastados da sua média. Já na série y1 há um valor que se destaca dos demais e que

é responsável pelo valor alto de k. Para compararmos graficamente duas séries é necessário

estandardizá-las (isto é transformá-las em séries de média zero e variância 1). Continuando

o exemplo, considere-se agora as mesmas variáveis estandardizadas:

z1 =y1 − y1

σy1, z2 =

y2 − y2

σy2.

Na figura 3-2 ambas as séries possuem a mesma variância, mas agora é claro o valor extremo

da série y1

Observa-se para a generalidade das séries financeiras que os retornos muitos altos e muito

baixos ocorrem com maior frequência do que seria de esperar se os retornos seguissem uma

distribuição normal. Uma forma de confirmar esta ideia consiste em comparar a estimativa

do coeficiente de kurtosis (curtose) dos retornos com o valor 3, que é o valor de kurtosis da

distribuição normal.

Na generalidade dos casos o coeficiente k estimado vem quase sempre (bastante) acima

de 3, o que sugere que a distribuição dos retornos (de cotações, índice, taxas de câmbio e

mesmo taxas de juro) é leptocúrtica. Nas figuras 3-3 e 3-4 (esta última é uma ampliação

da figura 3-3) mostra-se a diferença entre uma distribuição mesocúrtica (k = 3) e uma

38

2

1

0

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Z1 Z2

Figura 3-2: Séries y1 e y2 estandardizadas (ver figura 3-1)

distribuição leptocúrtica (k > 3). A figura 3-4 mostra claramente por que razão a distribuição

leptocúrtica é também designada de “distribuição de caudas pesadas”. O ensaio H0: k =

3 [y ∼ Normal & y é i.i.d] pode ser conduzido pela estatística de teste

Z1 =√n

(k − 3

)√

24

d−→ N (0, 1) .

Por exemplo, para a Microsoft (tabela 3.1) e sabendo que no período considerado se obser-

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

7 4.5 2 0.5 3 5.5

Normal

Leptoc.

Figura 3-3: Comparação de duas densidades (normal vs. leptocúrtica)

varam 4415 dados diários (n = 4415) tem-se

z1 =√

4415(6.8− 3)√

24= 51.54.

O valor-p é P (|Z1| > 51.54) ≈ 0. Existe forte evidência contra H0.

39

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

7 4.5 2 0.5 3 5.5

Normal

Leptoc.

Figura 3-4: Ampliação da figura 3-3

Podemos também confirmar a existência de caudas pesadas calculando o rácio

P (|rt − r| > 3σ)

P (|Z| > 3). (3.1)

Se Z ∼ N (0, 1) então P (|Z| > 3) = 0.0027. Esta é, aproximadamente, a probabilidade

associada a eventos extremos quando Z tem distribuição N (0, 1). Se a distribuição de rt

possuísse caudas normais deveríamos esperar que

P (|rt − E (rt)| /σ > 3) ' P (|Z| > 3)

(observe-se que (rt − r) /σ são os retornos estandardizados) e, portanto, o rácio (3.1) deveria

ser aproximadamente igual a um. No entanto, a tabela 3.1 mostra que esse rácio tende a ser

significativamente superior a um. Isto sugere que os retornos muitos altos e muito baixos

tendem a ocorrer com maior frequência do que seria de esperar se a variável seguisse uma

distribuição normal.

Observação 3.1.1 Como estimar a probabilidade P (|rt − E (rt)| /σ > 3)? Primeiro sub-

stituímos E (rt) e σ =√

Var (rt) pelas respectivas estimativas consistentes, r e σ. Depois,

calculamos a proporção de vezes (na amostra) em que ocorre |rt − r| /σ > 3. Obtém-se

assim uma estimativa para P (|rt − E (rt)| /σ > 3) . Em termos analíticos:

P (|rt − r| /σ > 3) =1

n

n∑t=1

I|rt−r|/σ>3

onde I|rt−r|/σ>3 = 1 se ocorre |rt − r| /σ > 3 e zero no caso contrário.

40

.3

.2

.1

.0

.1

.2

30 40 50 60 70 80 90 00 10

R

30

20

10

0

10

20

30 40 50 60 70 80 90 00 10

Z

Bandas (3,3)

Figura 3-5: Painel Esquerdo: retornos diários do Dow Jones no período 02/10/1928 a

3/02/2011 (20678 observações). Painel direito retornos estandardizados, zt = (rt − r) /σ

Apresenta-se a seguir mais um exemplo envolvendo o rácio (3.1). No painel esquerdo

da figura 3-5 apresentam-se os retornos diários do Dow Jones no período 02/10/1928 a

3/02/2011 (20678 observações). No painel direito da mesma figura apresentam-se os re-

tornos estandardizados juntamente com as rectas -3 e 3. Se os retornos seguissem uma

distribuição normal seria de esperar que zt = (rt − r) /σ excedesse os limiares 3 e −3 em

cerca de 0.27% das vezes, tendo em conta, como já vimos, que P (|Z| > 3) = 0.0027,

supondo Z ∼ N (0, 1). Ora, na verdade zt excede os limiares 3 e -3 em cerca de 1.73% das

observações (zt excede os limiares 359 vezes, em 20678 observações).

Tem-se assim

P (|rt − r| > 3σ)

P (|Z| > 3)=

0.017

0.0027= 6.29

Finalmente, podemos ainda testar a hipótese conjunta H0: k = 3 & sk = 0 [assumindo

r ∼ Normal & r é i.i.d] através da estatística de Bera-Jarque

Z21 + Z2

2 = n

(k − 3

)2

24+sk

2

6

d−→ χ2(2)

Gráfico QQ-Plot

Outra forma de compararmos a distribuição normal com a distribuição dos retornos consiste

em analisar o gráfico QQ-plot. O gráfico QQ-plot é o gráfico dos pares ordenados

(qα, qα) , α ∈ (0, 1)

41

12

8

4

0

4

8

12 8 4 0 4 8

Quantis retornos PSI20

Qua

ntis

Nor

mal

Figura 3-6: QQ Plot (retornos do PSI20 normalizados)

onde qα é o quantil de ordem α da distribuição Z ∼ N (0, 1) (eventualmente outra) e qα é o

quantil da distribuição empírica associada à variável estandardizada

xt =rt − rσ

,

isto é

qα : P (Z < qα) = α, Z ∼ N (0, 1)

qα : P (xt < qα) = α, xt.

Assim, se xt tem a mesma distribuição de Z, então qα ≈ qα e o gráfico (qα, qα) , α ∈ (0, 1)

é uma recta de 45o. Se, pelo contrário, as distribuições de xt e Z são diferentes o grá-

fico afasta-se da recta de 45o (poderíamos também comparar a distribuição de xt com outra

qualquer). A figura 3-6 permite concluir que a distribuição dos retornos é leptocúrtica e as-

simétrica. O gráfico sugere, por exemplo, que P (Z < −3.9) ' P (xt < −8). A distribuição

é leptocúrtica pois o gráfico tem a forma de um “S” sobre a recta de 45o. A distribuição é

assimétrica porque o “S” não é simétrico sobre a recta de 45o.

42

r σ sk kRetornos Diários

Frankfurt 0.00035 0.0123 -0.946 15.0

Hong Kong 0.00057 0.0169 -5.0 119.24

Londres 0.00041 0.0092 -1.59 27.4

Nova York 0.00049 0.0099 -4.30 99.68

Paris 0.00026 0.0120 -0.53 10.56

Tóquio 0.00005 0.0136 -0.213 14.798

Retornos Semanais

Frankfurt 0.00169 0.0264 -1.06 8.09

Hong Kong 0.00283 0.0370 -2.19 18.25

Londres 0.00207 0.0215 -1.478 15.54

Nova York 0.00246 0.0206 -1.37 11.25

Paris 0.0028 0.0284 -0.995 9.16

Tóquio 0.00025 0.0288 -0.398 4.897

Tabela 3.2: Índices Bolsistas (6-Jan-86 a 31-Dez-97)

3.1.5 Aumento da Frequência das Observações Acentua a Não Normal-

idade das Distribuições

Diz-se que a frequência das observações aumenta quando, se passa, por exemplo, de obser-

vações mensais para observações semanais ou destas para diárias. A tabela 3.2 mostra que o

coeficiente de kurtosis aumenta quando se passa de observações semanais para observações

diárias. Assim, a distribuição marginal dos retornos diários apresenta um maior afastamento

face à distribuição normal. É possível fazer um raciocínio inverso: a diminuição da frequên-

cia das observações (por exemplo, quando se passa de observações diárias para observações

semanais ou mensais) atenua o afastamento da distribuição dos retornos relativamente à dis-

tribuição normal. Uma possível explicação teórica para este facto é descrita a seguir.

Sejam P0, P1, P2, ... os preços diários. Se a frequência de observações baixa, passamos

a observar P0, Ph, P2h, ... sendo h um inteiro maior do que 1. Por exemplo, se passarmos

para dados semanais (h = 5) passamos a observar P0, P5, P10, ... (imagine-se que t = 0 é

uma segunda-feira; passados 5 dias observa-se a segunda-feira seguinte que corresponde a

t = 5). Neste caso, os retornos semanais são:

logPh − logP0︸︷︷︸retorno 1a semana

, logP2h − logPh︸︷︷︸retorno 2a semana

, ... com h = 5

Para h geral, o primeiro retorno observado é r1 = logPh− logP0. Como os retornos contín-

43

uos são time-additive, resulta

r1 (h) = logPh − logP0 = r1 + r2 + ...+ rh =h∑i=1

ri

(ri são os retornos diários). Mesmo que ri não tenha distribuição normal, o retorno associa-

dos a uma frequência de observação mais baixa, r (h) , tenderá a ter distribuição normal pelo

teorema do limite central. Com efeito, sob certas condições (relacionadas com a variância

de ri e a memória temporal de r) tem-se

∑hi=1 ri − E

(∑hi=1 ri

)√

Var(∑h

i=1 ri

) d−→ N (0, 1)

quando h→∞3. Para h suficientemente alto resulta4

h∑i=1

ria∼ N

(E

(h∑i=1

ri

),Var

(h∑i=1

ri

)).

Assim, espera-se que a diminuição da frequência amostral atenue a não normalidade obser-

vada nas séries de retornos de alta frequência.

3.1.6 Efeitos de Calendário

Designamos “efeitos de calendário” quando a rendibilidade e/ou a volatilidade varia com

o calendário. Por exemplo, se certo título regista maior rendibilidade e/ou volatilidade às

segundas-feiras, temos um efeito de calendário (efeito dia da semana). Tem-se estudado a

forma como a rendibilidade e a volatilidade varia com o dia da semana, dia do mês, com o

mês do ano e com a proximidade dos feriados. Certos autores qualificam estes efeitos de

calendário como “anomalias”. Com efeito, se o mercado é “eficiente” todas as “anomalias”

depois de detectadas são rapidamente incorporadas nas decisões dos investidores e, tendem,

por isso, a desaparecer. Para ilustrar a ideia, suponha-se, por exemplo, que a rendibilidade

do título ABC tende a aumentar às 14h de todas as terças-feiras. Todos os investidores que

3Se for possível garantir que E(∑h

i=1 ri

)= nE (ri) e Var

(∑hi=1 ri

)= hσ2 então este resultado pode

escrever-se na forma habitual√h (r − E (ri)) /σ

d−→ N (0, 1) (quando h→∞).4Observe-se: zn

d−→ N (0, 1) se no limite, quando n → ∞, z∞ tem distribuição N (0, 1) . Assim, para n

razoavelmente alto, zn tem distribuição aproximadamente normal, i.e. zna∼ N (0, 1) .

44

detectem essa anomalia vendem o título da empresa ABC às terças-feiras às 14h. Como

resultado o preço da empresa ABC tenderia a cair por volta dessa hora e a anomalia desa-

parecia. De uma forma geral, se os investidores são racionais e dispõem de toda a informação

passada sobre o mercado, as anomalias relacionadas com as rendibilidades dependentes do

calendário, tendem a desaparecer, logo que sejam detectadas. Na prática, subsistem certas

anomalias que não desaparecem mas que, em geral, não permitem obter rendibilidades anor-

mais, depois de deduzidos os custos de informação e transacção. Podem assim permanecer

no mercado “anomalias” ou “ineficiências” para as quais o benefício de explorar essas inefi-

ciências não compensa os custos adicionais associados.

Dia da Semana

À partida espera-se que os retornos à segunda-feira sejam um pouco mais altos face aos

demais dias da semana, pois a posse de títulos à segunda-feira representa um investimento

de 72 horas face à última sexta-feira, tendo em conta que o mercado fecha aos fins-de-

semana. Analiticamente observe-se que se o retorno diário rt tem média µ então, para um

investimento de 3 dias (de sexta a segunda-feira) o retorno associado, rt + rt+1 + rt+2,

deverá ter média 3µ. Assim, o retorno à segunda feira deveria ser, em média, três vezes

superior ao retorno dos demais dias da semana. Taylor (2005) reporta vários estudos com

conclusões contraditórias (para certos títulos e para determinados períodos é possível que o

retorno à segunda-feira seja mais elevado, mas não se pode concluir em geral que o retorno

às segundas seja necessariamente superior ao dos demais dias da semana).

Por outro lado, um investimento a 3 dias deve ser mais volátil do que um investimento

a um dia. Se rt tem variância σ2 e rt é uma sucessão de v.a. não autocorrelacionadas,

rt + rt+1 + rt+2, tem variância igual a 3σ2. Portanto, espera-se que às segundas feiras o

retorno apresente maior variabilidade. No entanto, argumenta-se que a (verdadeira) variância

associada aos retornos de segunda-feira não pode ser tão alta como o valor 3σ2 sugere, pois

durante o fim-de-semana as notícias que movimentam o mercado (e produzem volatilidade)

são, em geral, escassas e pouco relevantes. De todo o modo, regista-se, para um número

considerável de activos, um aumento de volatilidade à segunda-feira.

A melhor forma de testar estes efeitos passa pela modelação ARCH (cap. 8). Uma forma

menos eficiente de testar estes efeitos consiste em calcular a média e a variância dos retornos

nos vários dias da semana. Por exemplo, para analisar se as médias dos retornos são iguais

45

nos vários dias da semana, faz-se a regressão,

rt = β + δ1tert + δ2quat + δ3quit + δ4sext + ut (3.2)

onde ter, qua, etc. são variáveis dummy que assumem o valor um se t corresponde, respec-

tivamente, a uma terça-feira, quarta-feira, etc. (note-se que o “grupo base” é a segunda-

feira). Sendo o “grupo base” a segunda-feira, β é a média do retorno à segunda feira

(E (rt| segt = 1) = β). Por outro lado, δi, para i = 1, ..., 4 representam as diferenças da

média do retorno dos outros dias face à segunda-feira (por exemplo, se δ3 = −0.01 então o

retorno médio à quinta-feira é igual a β − 0.01 e δ3 representa a diferença face à segunda-

feira).

O ensaio H0: δ1 = δ2 = ... = δ4 = 0 corresponde a testar a não existência de diferenças

nas médias dos retornos dos vários dias da semana. A estatística habitual para o caso em

análise (em que H0 estabelece a nulidade de todos os parâmetros com excepção do termo

constante) é

F =R2/ (k − 1)

(1−R2) /(n− k)

onde k é o número de regressores (incluindo o termo constante) e R2 é o coeficiente de de-

terminação. Sob H0 (homocedasticidade e ausência de autocorrelação) a estatística F tem

distribuição F (k − 1, n− k). Na presença de heterocedasticidade, os teste t e F habitu-

ais são inválidos. Uma solução para este problema consiste na estimação da equação (3.2)

através dos modelos da família ARCH (veremos este aspecto no capítulo 8). Outra solução

passa pela utilização de erros padrão robustos (ou da estatística F robusta) contra a presença

de heterocedasticidade5.

Em Taylor (2005) descrevem-se outras “anomalias” associadas ao calendário.

5Erros padrão (de White) robustos contra heterocedasticidade obtêm-se a partir da matrix Var(β)

=

(X′X)−1X′WX (X′X)

−1onde W é uma matriz diagonal com elementos

u21, ..., u

2n

. A estatística ro-

busta, na versão do teste de Wald, para ensaiar H0 : Rβ = r, é(Rβ − r

)′ (RVar

(β)R′)−1 (

Rβ − r), e

tem distribuição assimptótica χ2(q) onde q é o numero de restrições. Nota sobre o programa EVIEWS (versão 6

e 7): a opção “White” em “Heteroskedasticity consistent coefficient covariance” que aparece depois de se se-

leccionar Quick/Estimate/Options fornece no output erros padrão robustos, mas não, infelizmente, a estatística

F robusta. É possível obter esta estatística robusta fazendo o seguinte: escolhe-se a opção “White” em “Het-

eroskedasticity consistent coefficient covariance” e estima-se o modelo. Em seguida realiza-se o teste Wald

seleccionando View/Coefficient Tests/Wald, introduzindo-se depois as restrições a ensaiar.

46

3.1.7 Distribuições Teóricas para os Retornos

Distribuição t-Student

É bem conhecida a distribuição t-Student com v graus de liberdade, t (v) . A fdp é

f (x) =Γ(v+1

2

)√vπΓ

(v2

) (1 +x2

v

)− v+12

.

Como se sabe, se X ∼ t (v) , então E (X) = 0, Var (X) = v/ (v − 2), sk = 0 e k =

3 + 6/ (v − 4) . Como k > 3 conclui-se que a distribuição t (v) tem caudas pesadas. Por

vezes tem interesse trabalhar com uma variável aleatória ε com distribuição t-Student de

média zero mas variância igual a um. Se X ∼ t (v) a solução passa pela transformação

ε = X√

(v − 2) /v.

É fácil constatar que Var (ε) = 1, kε = kx = 3 + 6v−4

. Note-se que a fdp de ε é

g (x) =1√

π (v − 2)

Γ(v+1

2

)Γ(v2

) (1 +x2

v − 2

)− v+12

.

Quando mais baixo for o número de graus de liberdade mais pesadas são as caudas. No

caso v = 4 o momento de ordem 4 não existe e, portanto, também não existe o coeficiente

de kurtosis (quer dizer, neste caso, o integral impróprio∫R x

4g (x) dx não é finito porque a

expressão x4g (x) não tende para zero com suficiente rapidez).

Mistura de Normais

Considere-se uma distribuição mistura de normais: α100% de N (µ1, σ21) e (1− α) % de

N (µ2, σ22) . Por exemplo, imagine-se que se faz uma extracção de números aleatórios da

seguinte forma: atira-se uma moeda ao ar. Se cair caras simula-se uma variável X1 com

distribuição N (µ1, σ21) ; se cair coroas, simula-se X2 com distribuição N (µ2, σ

22) . De uma

forma geral, a variável X, que representa a mistura de normais, pode escrever-se da seguinte

forma:

X = UX1 + (1− U)X2,

onde U tem distribuição de Bernoulli. Sejam f, fu e fx|u respectivamente a fdp de X, a

função de probabilidade de U e a fdp condicional de X dado U = u. Para obter a fdp

47

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.010

x

f(x)

Figura 3-7: Abas da t-Student (– v = 4.1, - - v = 5, · · · v = 30)

de X usa-se a expressão bem conhecida da estatística: f (x) =∑1

u=0 fx|u (x|u) fu (u). A

distribuição de X dado U = u é imediata, tendo em conta que uma soma de normais é ainda

uma normal:

X|U = u ∼ N (E (X|U = u) ,Var (X|U = u)) ,

onde

E (X|U = u) = uµ1 + (1− u)µ2

Var (X|U = u) = u2σ21 + (1− u)2 σ2

1 + 2u (1− u) Cov (X1, X2)

Assim, fx|u (x|u) é a função de densidade da normal de média E (X|U = u) e variância

Var (X|U = u). Desta forma,

f (x) = αfx|u (x|0) + (1− α) fx|u (x|1) , 0 ≤ α ≤ 1

sendo fx|u (x|0) a fdp da distribuiçãoN (µ1, σ21) e fx|u (x|1) a fdp da distribuiçãoN (µ2, σ

22).

No exemplo da “moeda ao ar”, α é 0.5. É interessante observar que uma mistura de normais

conduz a uma distribuição não normal. Em particular a mistura pode ser assimétrica e lep-

tocúrtica. Com efeito, pode-se mostrar que,

• E (X) = αµ1 + (1− α)µ2;

• Var (X) = ασ21 + (1− α)σ2

2 + α (1− α) (µ1 − µ2)2 ;

48

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

f(x)

Figura 3-8: Mistura de Normais

• E((X − E (X))3) = α (1− α) (µ1 − µ2)

((1− 2α) (µ1 − µ2)2 + 3 (σ2

1 + σ22))

;

• k = 3 +3α(1−α)(σ21−σ22)

2

(ασ21+(1−α)σ22)2 > 3 supondo, para simplificar, que µ1 = µ2 = 0.

Na figura 3-8 representa-se f (x) para α = 0.5, µ1 = −1, µ2 = 1, σ1 = 1/5, σ2 = 5. A

fdp traçada é assimétrica e leptocúrtica.

Distribuição com Caudas de Pareto

A fdp de Pareto é

g (y) = αcαy−(α+1), y > c.

À primeira vista pode parecer que esta distribuição não serve pois o nosso objectivo é mod-

elar os retornos e o espaço de estados desta variável é claramente R (os retornos podem as-

sumir qualquer valor em R). Ora, sucede que g apenas está definida para y > c (e, portanto,

não atribui probabilidades quando y < c). No entanto, o que procuramos neste momento

é caracterizar probabilisticamente os eventos extremos, i.e. os eventos que se encontram

bem afastados da média. Estamos, portanto, concentrados nas abas da distribuição e, para o

efeito, o que é relevante é o que se passa para y > c.

Diz-se que uma fdp f (y) tem distribuição com caudas de Pareto (mesmo que não seja

uma distribuição de Pareto) se

f (y) ∼ Cy−(α+1), α > 0

49

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

y

fdp

Figura 3-9: Cauda de Pareto vs. Cauda Gaussiana

(C é uma constante). O sinal “∼” significa aqui que

limy→∞

f (y) /Cy−(α+1) = 1.

Esta última equação diz-nos que para valores grandes de y, f (y) é “praticamente igual” a

Cy−(α+1) (no limite é igual). Para valores “pequenos” de y, f (y) pode ser completamente

diferente de Cy−(α+1). A similaridade está nas caudas, quando y → ∞ (existem definições

mais gerais, baseadas em funções slowly varying at∞). Pode-se concluir que f (y) tem um

decaimento polinomial para zero (decaimento lento para zero) e, portanto, caudas pesadas. Já

a distribuição normal tem um decaimento exponencial (recorde-se que no caso Gaussiano,

f (y) = C exp −y2/2) e a fdp tende para zero muito rapidamente quando y tende para

±∞. A figura 3-9 compara uma cauda Gaussiana com uma cauda de Pareto.

Uma vez que a fdp com caudas pesadas do tipo f (y) ∼ Cy−(α+1) não tende rapidamente

para zero, certos valores esperados podem não existir. De facto, se α < k então os momentos

de ordem igual ou superior a k não existem. Com efeito, seja D o espaço de estados de yt

50

(valores que y pode assumir). Para um certo c ∈ D e c > 0, vem:

E(|yt|k

)=

∫D

|y|k f (y) dy

≥∫ ∞c

|y|k f (y) dy

=

∫ ∞c

|y|k Cy−(α+1)dy

= C

∫ ∞c

|y|−α−1+k dy =∞

se −α− 1 + k > −1, ou seja, se α < k. Por exemplo, Var (yt) não existe se α < 2.

Estimador de Hill Suponha-se f (y) ∼ Cy−(α+1). Como estimar α? Antes de propormos

um estimador para α, admita-se um cenário mais simples: f (y) tem distribuição (exacta) de

Pareto, y ∼ Pareto (c, α) , ou seja

f (y) =αcα

yα+1, y > c.

Assuma-se que yt; t = 1, 2, ..., n é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição de Pareto (α, c) .

A função de log-verosimilhança corresponde à expressão

logL (α, c) =n∑t=1

log f (yt) = n log (α) + n log (c)− (α + 1)n∑t=1

log (yt) .

Diferenciando logL com respeito a α e igualando a zero obtém-se

α =n∑n

t=1 log (yt/c). (3.3)

αn é maximizante, pois ∂2 logL/∂2α = −n/α2 < 0. Tem-se ainda√n (αn − α)

d−→

N(0, I (α)−1)

onde

I (α0) = −E

(∂2 log f (yt)

∂α2

)=

1

α2.

O estimador de máxima verosimilhança de c é c = mint=1,...,n yt6

Retome-se agora a hipótese f (y) ∼ Cy−(α+1). Se uma distribuição tem caudas de Pareto,

mas não é uma distribuição de Pareto, então o estimador para α acima apresentado não pode

6Embora a derivada da função logL (c, α) com respeito a c não se anule (verifique), pode-se concluir que no

intervalo de valores admissíveis de c, isto é, c ≤ mint=1,...,n yt , a função logL (fixado α) atinge o máximo

em c = mint=1,...,n yt .

51

ser utilizado. Nestas circunstâncias, se estamos apenas interessados em estimar o índice

de cauda α (supondo que y tem distribuição com caudas de Pareto, mas não segue essa dis-

tribuição), devemos aparar a amostra yt; t = 1, 2, ..., n , por exemplo, considerando apenas

os dados yt tais que yt > q (onde q pode ser interpretado como um quantil de y, geralmente

um quantil de ordem superior a 0.95). Analisa-se, portanto, o comportamento de y apenas

para os valores muitos altos (ou muito baixos) de y.

O estimador de α, designado por estimador de Hill, para a aba direita da distribuição é

α (q) =n (q)∑n

t=1 log (yt/q) Iyt>q, n (q) =

n∑t=1

Iyt>q (3.4)

onde Iyt>q = 1 se yt > q e Iyt>q = 0 no caso contrário. Pode-se pensar neste estimador

como se fosse o estimador (3.3), mas aplicado apenas aos valores da amostra que verificam

yt > q.

O estimador de α para a aba esquerda da distribuição é o que resulta da equação (3.4) de-

pois de se substituir Iyt>q por Iyt<q, sendo q agora um quantil de ordem 0.05 ou inferior.

Pode-se mostrar √n (q) (α (q)− α (q))

d−→ N(0, α2

),

quando n → ∞, n (q) → ∞ e n (q) /n → 0. Observe-se Var (α (q)) = α2/n (q) . Como α

é desconhecido podemos tomar como estimador de Var (α (q)) a expressão α2/n (q) . Estes

resultados assimptóticos são obtidos num contexto i.i.d. Kearns e Pagan (1997) mostram

todavia que a variância assimptótica de α aumenta consideravelmente na presença de de-

pendência.

Exemplo 3.1.1 Resulta do quadro seguinte que α (0.01) = 3/5.193 = 0.577

yt Iyt>0.01 log (yt/0.01) Iyt>0.01

-0.110 0 0

0.090 1 2.197

0.100 1 2.303

-0.100 0 0

0.020 1 0.693

0.005 0 0∑3 5.193

Qual é o valor do threshold q que devemos escolher? Temos um dilema de enviesamento

52

versus variância:

• se q é alto a estimação de α (q) é baseada em poucas observações, i.e., n (q) é baixo,

pelo que a variância de α (q) é alta (observe-se Var (α (q)) = α2/n (q));

• se q é baixo, perde-se a hipótese f (y) ∼ Cy−(α+1) e, como consequência, o estimador

α (q) é enviesado e mesmo inconsistente (recorde-se que α (q) é baseado na hipótese

f (y) ∼ Cy−(α+1)).

Exemplo 3.1.2 Na tabela seguinte apresentam-se estimativas do índice da cauda de re-

tornos bolsistas sectoriais do mercado norte-americano no período 03/1/1994 a 21/01/2011

(4292 observações).

Aba Esquerda Aba Direita

α (q0.0.025) α (q0.975) Retorno Volat. Skew. Kurt.

no obs. efect. usadas: 108 108 Anualiz. Anualiz.

Petróleo e Gás 2.29 3.16 9.45% 25.79% -0.25 13.98

Matérias-Primas 2.81 3.15 6.77% 25.90% -0.29 10.32

Indústria 2.91 3.00 7.42% 21.90% -0.25 8.441

Consumo (bens) 3.37 2.93 2.34% 19.82% -0.15 9.025

Saúde 2.90 3.52 7.12% 17.29% -0.08 11.44

Comunicações 3.10 3.26 1.37% 22.31% 0.09 9.962

Utilities 3.06 2.78 1.86% 19.10% 0.04 14.19

Financeiras 2.68 2.37 5.02% 29.02% -0.10 15.58

Tecnologia 3.77 3.07 9.42% 30.44% 0.16 7.065

Fonte: Datastream

Algumas conclusões podem ser retiradas:

• Em todos os casos é razoável admitir que a variância existe. Os momentos de ordem

4 podem não existir.

• Os índices de cauda estimados são relativamente baixos o que sugere que existe uma

massa de probabilidade considerável associada a valores extremos na amostra.

53

Figura 3-10: Estimativa da fdp dos retornos do DowJones no período Out/1988-Jan/2010 e

fdp normal de média e variância estimadas a partir dos retornos

3.1.8 Estimação Não Paramétrica da Função Densidade de Probabili-

dade

A forma mais simples de estimar f (x) consiste em obter o histograma das frequências relati-

vas. Existem, no entanto, estimadores preferíveis. Uma estimativa não paramétrica de f (x)

pode ser dada por

f (x) =1

nh

n∑i=1

K

(x− xih

)onde K (u) é uma fdp (ver detalhes no ponto 10.2). Sob certas condições, incluindo h →

0, n → ∞, nh → ∞ pode-se provar f (x)p−→ f (x) . Na figura 3-10 apresenta-se uma es-

timativa não paramétrica da fdp marginal dos retornos do Dow Jones no período Out/1988-

Jan/2010 (na verdade, estão representadas várias estimativas: f (x1) , f (x2) , ..., f (xk) ,

sendo xk uma sucessão de valores igualmente espaçado no intervalo (−0.07; 0.06) - veja-

se o eixo das abcissas da figura 3-10). Na figura representa-se também a fdp da N(r, σ2

)onde r e σ2 são as estimativas dos dois primeiros momentos dos retornos do Dow Jones no

período considerado.

Comparando f com a densidade normal, conclui-se que f atribui maior massa de prob-

abilidade na vizinhança da média empírica e nos intervalos associados aos valores extremos

da amostra, e atribui reduzida massa de probabilidade no intervalo dos valores moderados da

54

amostra, digamos no intervalo (−0.03,−0.01) e (0.01, 0.03).

3.2 Regularidade Empíricas relacionadas com a Distribuição

Condicional

Neste ponto discutimos regularidades que envolvem especificações dinâmicas relacionadas

com a distribuição condicional dos retornos ou de uma função dos retornos (por exemplo,

veremos como o retorno depende dos seus valores passados, ou como o quadrado dos re-

tornos depende do quadrado dos retornos passados, entre outras especificações).

3.2.1 Autocorrelações Lineares Baixas entre os Retornos

A correlação entre as variáveis X e Y é dada por

ρ =Cov (X, Y )√

Var (X) Var (Y ), −1 ≤ ρ ≤ 1.

O coeficiente ρmede o grau de associação linear entre Y eX . Quanto mais alto for |ρ|maior

é a relação entre X e Y. Podemos também medir a associação linear entre yt e yt−1 ou entre

yt e yt−2 etc.

ρs =Cov (yt, yt−s)√

Var (yt) Var (yt−s)

Como ρs pode ser visto como uma função de s, ρs é designado por função de autocorrelação

(FAC) (ou ACF em inglês). Se assumirmos Var (yt) = Var (yt−s) vem

ρs =Cov (yt, yt−s)√

Var (yt) Var (yt−s)=

Cov (yt, yt−s)√(Var (yt))

2=

Cov (yt, yt−s)

Var (yt).

Pelo método dos momentos, a estimação de ρs pode fazer-se através do estimador

ρs =1

n−s∑n

t=s+1 (yt − y) (yt−s − y)1n

∑nt=1 (yt − y)2 .

O coeficiente ρs pode ser também obtido no contexto do modelo de (auto)regressão

yt = c+ ρsyt−s + ut

55

Figura 3-11: Funções de autocorrelação dos retornos diários (Microsoft 1986-2006)

onde se admite que ut é uma sucessão de v.a. independentes e E (ut| yt−s) = 0. O rácio-t

associado à estimativa de ρs permite ensaiar H0: ρs = 0. Em alternativa temos os seguintes

testes standard válidos sob a hipótese i.i.d.

Teste Kendal e Stuart H0: ρk = 0

√n (ρk + 1/n)

d−→ N (0, 1) , ρk ≈ N

(− 1

n,

1√n

)

Rejeita-se H0 ao n.s. de (aprox.) 5% se |ρk| > 2/√n (supondo 1/n ≈ 0).

Teste Ljung-Box H0: ρ1 = ... = ρm = 0

Qm = n (n+ 2)

m∑k=1

1

n− k ρ2k

d−→ χ2(m)

Em geral os coeficientes de autocorrelação dos retornos são baixos. Na figura 3-11 as

estimativas da FAC dos retornos diários da Microsoft 1986 a 2006 são relativamente baixas.

Imagine-se uma situação hipotética em que se tem um coeficiente de correlação nega-

tivo e alto (em módulo), por exemplo, ρ1 = −0.9, para dados diários. Suponha-se ainda,

para simplificar a análise, que E (rt) = 0. Se o retorno hoje é positivo, amanhã o retorno

tenderá a ser negativo e vice-versa. Nestas circunstâncias, se o retorno hoje é alto vende-se

56

hoje e compra-se amanhã. Existe, portanto, uma forte possibilidade de ganho (arbitragem)

com base na observação passada dos preços. Se outros participantes do mercado compram

e vendem com base neste padrão de autocorrelação, o processo de arbitragem reduzirá rapi-

damente a correlação (se o retorno hoje é alto e positivo muitos participantes vendem hoje e

compram amanhã; como consequência o preço tenderá a diminuir hoje e aumentar amanhã

e a correlação tenderá a esbater-se). Portanto, não é credível, supor-se ρ1 = −0.9.

Retome-se a figura 3-11. A coluna Q-Stat fornece os valores de Qm para m = 1, ..., 20.

Fixe-se por exemplo, m = 20. Tem-se Q20 = 36.613. O valor-p associado é zero, isto é,

P (Q20 > 36.613) = 0.013. Logo existe evidência contra a hipótese nula H0: ρ1 = ... =

ρ20 = 0. Esta conclusão parece contraditória com a ideia de baixas autocorrelações dos

retornos. No entanto, é preciso observar o seguinte:

• em amostras muito grandes, como é aquela que analisamos, qualquer pequeno desvio

face à hipótese nula implica a sua rejeição;

• os coeficientes estimados embora (pareçam) estatisticamente significativos estão, ainda

assim, muito perto de zero e não oferecem informação suficiente para realizar mais-

valias anormais (depois de deduzidos os custos de transacção e informação);

• os testes foram utilizados sob a hipótese irrealista de os retornos serem i.i.d. Esta su-

posição não é válida sobretudo devido à presença de heterocedasticidade condicionada.

Uma forma de mitigar a presença de heterocedasticidade consiste em estandardizar os

retornos,

r∗t =rt − rσt

onde σt é uma estimativa da volatilidade no momento t (r∗t pode ser encarado como os “re-

tornos” expurgados de heterocedasticidade). Como obter σt? Discutiremos esta questão com

alguma profundidade no capítulo 8. É suficiente agora usar uma especificação relativamente

simples (mas “subóptima”):

σ2t = (1− λ) r2

t−1 + λσ2t−1, λ = 0.96

Na figura 3-12 apresentam-se os coeficientes de autocorrelação de r∗t . Observa-se que os co-

eficientes de autocorrelação continuam muitos baixos mas agora não existe evidência contra

a a hipótese ρ1 = ... = ρ20 = 0.

57

Figura 3-12: Funções de autocorrelação dos retornos diários estandardizados (Microsoft

1986-2006)

Séries macroeconómicas geralmente exibem moderada ou forte autocorrelação. Veja-se,

por exemplo, a figura 3-13 onde se representa a FAC de yt = log (GNPt/GNPt−1) sendo

GNP (Gross National Product) o PIB dos EUA (dados trimestrais de 1947 a 2003).

3.2.2 Volatility Clustering

Já vimos que valores muitos altos e muito baixos ocorrem frequentemente (com maior fre-

quência do que seria de esperar se as variáveis seguissem uma distribuição normal). Este

valores extremos não ocorrem isoladamente: tendem a ocorrer de forma seguida (volatility

clustering). Na figura 3-14 representam-se os retornos diários associados ao índice Dow

Jones (1926-2006). Na figura 3-15 apresentam-se os mesmos retornos mas agora dispostos

por ordem aleatória no tempo. Algumas estatísticas destas duas sucessões são obviamente

iguais (média, desvio padrão, coeficientes de assimetria e de achatamento). No entanto ex-

istem diferenças significativas. Só no verdadeiro cronograma (figura 3-14) aparece uma

das propriedades mais importantes dos retornos: fortes (baixas) variações são normalmente

seguidas de fortes (baixas) variações em ambos os sentidos (volatility clustering)

Se fortes (baixas) variações são normalmente seguidas de fortes (baixas) variações em

58

Figura 3-13: Funções de autocorrelação de yt = log (GNPt/GNPt−1) onde GNP é o PIB

dos EUA (dados trimestrais de 1947 a 2003).

0.30.250.2

0.150.1

0.050

0.050.1

0.150.2

Oct

28

May

32

Dec

35

Jul3

9

Feb

43

Sep

46

Apr

50

Nov

53

Jun

57

Jan

61

Aug

64

Mar

68

Oct

71

May

75

Dec

78

Jul8

2

Feb

86

Sep

89

Apr

93

Nov

96

Jun

00

Jan

04

Figura 3-14: Retornos diários do Dow Jones (1928-2006)

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Figura 3-15: Retornos diários do Dow Jones dispostos por ordem aleatória

59

Figura 3-16: Funções de autocorrelação dos quadrados dos retornos (Dow JOnes)

ambos os sentidos, então r2t deve estar correlacionado7 com r2

t−i (i = 1, 2, ...).

A figura 3-16, onde se apresentam as funções de autocorrelação de r2t , onde r é o retorno

associado ao índice Dow Jones, confirma esta ideia.

Nesta secção identifica-se o quadrado do retorno com a volatilidade. Não é inteiramente

correcta esta analogia, embora seja admissível associar-se momentos de grande (baixa) volatil-

idade a valores altos (baixos) de r2t . De qualquer forma, a principal conclusão mantém-se:

fortes (baixas) variações são normalmente seguidas de fortes (baixas) variações em ambos

os sentidos e identificamos este fenómeno como volatility clustering.

3.2.3 Forte Dependência Temporal da Volatilidade

Nos pontos precedentes observámos o seguinte: (1) valores muitos altos e muito baixos

ocorrem frequentemente e (2) estes valores extremos aparecem de forma seguida (volatility

clustering). Neste ponto reforça-se a ideia de volatility clustering: não só os valores extremos

tendem a aparecer de forma seguida como também há alguma persistência neste fenómeno.

7Esta correlação poderia, em princípio, dever-se à presença de uma média condicional não constante. Por

exemplo, se rt seguisse um MA(1), rt = φrt−1 + ut, onde ut é um ruído branco, então, por construção,

ter-se-ia Corr(r2t , r

2t−1)> 0. Se fosse este o caso, a melhor forma de continuarmos com o nosso argumento

seria centrar rt, usando a média condicional, i.e. tomaríamos rt = rt − µt. Viria agora Corr(r2t , r

2t−1)

= 0 se

rt fosse genuinamente um MA(1); no caso contrário, se Corr(r2t , r

2t−1)> 0, teríamos evidência em favor do

nosso argumento. Todavia, a centragem rt = rt − µt é desnecessária, pois em séries financeiras de acções ou

de índices de acções a média condicional é, geralmente, aproximadamente igual a uma constante.

60

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Oct

28

Apr

31O

ct3

3Ap

r36

Oct

38

Apr

41O

ct4

3Ap

r46

Oct

48

Apr

51O

ct5

3Ap

r56

Oct

58

Apr

61O

ct6

3Ap

r66

Oct

68

Apr

71O

ct7

3Ap

r76

Oct

78

Apr

81O

ct8

3Ap

r86

Oct

88

Apr

91O

ct9

3Ap

r96

Oct

98

Apr

01O

ct0

3

Figura 3-17: Retornos diários do Dow Jones (Jan-1928 a Fev-2006)

Isto é, se a volatilidade é alta (baixa), então é razoável esperar que a volatilidade se mantenha

alta (baixa) durante bastante tempo. Na figura 3-17 apresentam-se os retornos diários do Dow

Jones no período Janeiro de 1928 a Fevereiro de 2006. Estão identificados alguns períodos

de grande volatilidade. Estes períodos prolongam-se por vários anos!

Para confirmarmos a ideia de forte dependência temporal da volatilidade deveríamos

calcular a FAC da volatilidade. Como a estimação da volatilidade cabe num capítulo poste-

rior, tomamos agora como proxy da volatilidade o valor absoluto dos retornos |rt| (também

poderíamos considerar r2t , como fizemos no ponto precedente). Calcule-se, assim, a FAC

associado aos valores absolutos dos retornos do Dow Jones no período acima considerado.

A figura 3-18 mostra que a FAC de |rt| apresenta um decaimento lento para zero, sugerindo

forte dependência temporal da volatilidade. É interessante observar que a autocorrelação en-

tre, por exemplo, |rt| e |rt−500| se situe ainda próximo de 0.1 (observe-se que o desfasamento

corresponde aproximadamente a dois anos).

Para processos ARMA e processos de Markov em geral, o decaimento da FAC é do tipo

|ρk| ≤ Cak, 0 < C <∞, 0 < a < 1.

Tem-se, portanto, um decaimento exponencial8. A figura 3-18 não sugere um decaimento

exponencial; sugere antes um decaimento hiperbólico da FAC que é uma característica de

8Pode parecer estranho dizer-se que a funçãoCak apresenta um decaimento exponencial para 0 < C <∞ e

0 < a < 1. Mas observe-se, para C = 1 (simplificando), que ak = elog ak

= ek log a e tem-se assim um

decaimento exponencial, em função de k, dado que log a < 0.

61

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

1 76 151 226 301 376 451 526 601 676 751 826 901 976

Figura 3-18: FAC de |rt| onde rt é o retorno diário do Dow Jones (Jan. 1928 a Fev. 2006)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

k

Rho

Figura 3-19: Decaimento Exponencial (0.9k) vs. Hiperbólico (k−0.5)

processos de memória longa. Concretamente, um decaimento hiperbólico da FAC é do tipo

|ρk| ≈ C |k|−β , β > 0

Por exemplo, com ρk = 1/k (β = 1) tem-se um decaimento hiperbólico (veja-se a figura

3-19).

3.2.4 Efeito Assimétrico

Tem-se observado existir alguma correlação entre a volatilidade e a ocorrência de perdas

significativas nos mercados de capitais. Designa-se esta relação por efeito assimétrico (ou

leverage effect).

Concretamente, quando rt−1 < 0 espera-se, em média, um aumento de volatilidade para

o período seguinte. Se tomarmos como proxy da volatilidade a variável |rt| ou r2t devemos

62

Índices Bolsistas Corr (rt−1, r2t )

Amesterdão -0.049

Frankfurt -0.095

Hong Kong -0.081

Nova York -0.199

Taxas de Câmbio

Libra Britânica 0.074

Dólar Canadiano 0.041

Yen -0.008

Franco Suíço 0.014

Tabela 3.3: Efeito Assimétrico

esperar que Corr (rt−1, |rt|) < 0 ou Corr (rt−1, r2t ) < 0. A tabela 3.3 parece confirmar a

existência de um efeito assimétrico apenas para índices bolsistas (e, por extensão, também

para cotações de acções) mas não para taxas de câmbio (a justificação pode ver-se no ponto

3.1.3).

Veremos no capítulo 8 uma forma bastante mais eficiente de estimar o efeito assimétrico

e de testar se os coeficientes são ou não estatisticamente significativos. Não obstante, uma

forma expedita de verificar se os coeficientes são estatisticamente significativos consiste em

fazer a regressão de r2t sobre rt−1,

r2t = β0 + β1rt−1 + ut (3.5)

e depois ensaiar H0: β1 = 0 contra H1:β1 < 0. Com efeito, na equação anterior, β1

representa β1 = Cov (rt−1, r2t ) /Var (rt−1) . Desta forma, β1 < 0 implica Corr (rt−1, r

2t ) <

0.

Como a heterocedasticidade está invariavelmente presente nas séries temporais finan-

ceiras, convém empregar erros padrão robustos contra heterocedasticidade (uma possibili-

dade neste sentido é a utilização da matriz de White). Recorda-se que, sob condições gerais,

a heterocedasticidade não afecta a consistência do estimador OLS (afecta sim, como vimos,

os erros padrão).

O efeito assimétrico é, por vezes identificado como leverage effect depois de Black em

1976 ter notado que a volatilidade aumenta quando o mercado cai e o rácio de endividamento

(leverage ratio) aumenta. No entanto, vários autores têm salientado que o leverage é muito

reduzido quando comparado com o efeito assimétrico. Várias explicações têm sido propostas

para o efeito assimétrico.

63

• Uma explicação designada por volatility feedback effect baseia-se na seguinte ideia.

Quando a volatilidade de uma activo aumenta, o risco agrava-se, e a rendibilidade

exigida para esse activo aumenta. Isto significa que o activo é menos atractivo e,

portanto, a sua procura diminui, fazendo cair o respectivo preço. Esta explicação pres-

supõe que o aumento da volatilidade precede a queda do preço (isto é, esquematica-

mente, ↑ σ2t−1 ⇒↓ Pt, podendo t aqui ter uma interpretação intra-diária). Contudo, o

facto estilizado envolve a implicação contrária, ↓ Pt−1 ⇒↑ σ2t (a diminuição do preço

é que precede o aumento da volatilidade).

• Outra explicação sustenta que o efeito assimétrico deve-se à existência de investidores

naives (uninformed traders) que vendem os seus títulos quando o mercado está cair.

Este comportamento conduz não só a uma queda mais acentuada do preço como tam-

bém a um aumento de volatilidade.

• Outra possibilidade é a seguinte. A diminuição do preço aumenta o risco de mercado

(dado que o centro de gravidade da distribuição condicional dos retornos de desloca

para a esquerda). O aumento do risco obriga a ajustamentos imediatos no portfolio

(através de compras e vendas de activos que façam a cobertura do risco perdido). Este

acréscimo da actividade nos mercados financeiros aumenta a volatilidade. Já variações

positivas nos preços não têm o mesmo impacto sobre o risco e, como tal, ajustamentos

no portfolio não são prementes.

3.2.5 Aumento da Frequência das Observações Acentua a Não Lineari-

dade

Vários estudos indicam que os coeficientes de autocorrelações de r2t e de |rt| tendem a au-

mentar com o aumento da frequência das observações.

3.2.6 Co-Movimentos de Rendibilidade e Volatilidade

Ao se analisarem duas ou mais séries financeiras de retornos ao longo do tempo, geralmente

observam-se co-movimentos de rendibilidade e volatilidade, isto é, quando a rendibilidade

e a volatilidade de uma série aumenta (diminui), a rendibilidade e a volatilidade das outras

tende, em geral, a aumentar (diminuir). Estas características são relativamente evidentes nas

figuras 3-20 e 3-21. A figura 3-20 mostra que os índices sobem e descem em sintonia (co-

64

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

CAC

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

DAX

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

DJ EURO STOXX 50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

FTSE 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

PSI20

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

S&P 500

Figura 3-20: Índices Bolsistas

CAC DAX DJ EURO 50 FTSE 100 PSI 20 S&P 500

CAC 1

DAX 0.78 1

DJ EURO 50 0.92 0.89 1

FTSE 100 0.79 0.70 0.81 1

PSI 20 0.52 0.50 0.57 0.47 1

S&P 500 0.43 0.47 0.46 0.41 0.25 1

Tabela 3.4: Matriz de correlações dos retornos diários (Jan 90-Nov 06)

movimento de rendibilidade). A tabela 3.4, onde se apresentam os coeficientes de correlação

(marginal) dos retornos diários, corrobora o co-movimento de rendibilidade. A figura 3-21

mostra que os períodos de alta e baixa volatilidade são aproximadamente coincidentes (co-

movimento de volatilidade). A tabela 3.5, onde se apresentam os coeficientes de correlação

(marginal) dos retornos ao quadrado, corrobora o co-movimento de volatilidade.

65

.08

.04

.00

.04

.08

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

CAC

.12

.08

.04

.00

.04

.08

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

DAX

.08

.04

.00

.04

.08

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

DJ EURO STOXX 50

.06

.04

.02

.00

.02

.04

.06

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

FTSE 100

.12

.08

.04

.00

.04

.08

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

PSI20

.08

.06

.04

.02

.00

.02

.04

.06

1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

S&P 500

Figura 3-21: Retornos de Índices

CAC DAX DJ EURO 50 FTSE 100 PSI 20 S&P 500

CAC 1

DAX 0.74 1

DJ EURO 50 0.91 0.85 1

FTSE 100 0.77 0.66 0.78 1

PSI 20 0.39 0.39 0.43 0.30 1

S&P 500 0.38 0.44 0.41 0.35 0.21 1

Tabela 3.5: Matriz de correlações dos retornos diários ao quadrado (Jan 90-Nov 06)

66

Capítulo 4

Processos Estocásticos: Revisões


4.1 Processo Estocástico e Filtração

Um processo estocástico é um modelo matemático para descrever, em cada momento, de-

pois de um instante inicial, um fenómeno aleatório. Este fenómeno é definido num es-

paço de probabilidade (Ω,F , P ), onde, Ω é o conjunto de todos os estados da natureza

(ou cenários de mercado), F é uma σ-álgebra de subconjuntos de Ω e P é uma proba-

bilidade sobre F . Um processo estocástico é então uma colecção de variáveis aleatórias

y = yt (ω) , t ∈ Z, ω ∈ Ω , definidas sobre um espaço de probabilidade (Ω,F , P ) . Para

cada t, yt (·) é uma variável aleatória. Para cada ω ∈ Ω (cenário) fixo, y• (ω) é uma tra-

jectória ou realização do processo. Para simplificar escreve-se yt em lugar de yt (ω). A

observação de um fenómeno ao longo do tempo conduz normalmente à observação de uma

particular trajectória do processo. Uma sucessão cronológica é apenas uma trajectória entre

as infinitas possíveis.

F tem estrutura de σ-álgebra no seguinte sentido: (i) se A ∈ F ⇒ Ac ∈ F ; (ii) se

Ai ∈ F ⇒⋃i

A ∈ F ; (iii) Ω, ∅ ∈ F . O estudo dos processos estocásticos faz-se, usual-

mente, incluindo o conceito de σ-álgebra. Por um lado, as probabilidades são definidas so-

bre σ-álgebras e as variáveis aleatórias, assume-se, são mensuráveis com respeito a essas

σ-álgebras.

Existe, no entanto, uma razão não técnica para incluir o estudo das σ-álgebras no estudo

dos processos estocásticos: os processos estocásticos, ao descreverem a evolução estocástica

de um fenómeno ao longo do tempo, sugerem que, em cada momento t = 0, é possível

67

falar de um ”passado”, ”presente” e ”futuro”. Um observador do fenómeno, pode falar da

”história” do processo, daquilo que observa no presente e daquilo que poderá observar no

futuro. Com vista, a caracterizar o quanto se sabe sobre o processo, é usual, equipar o

espaço (Ω,F , P ) com uma filtração, i.e., uma família Ft; t = 0 de sub σ-álgebras de F :

Fs ⊆ Ft ⊆ F para 0 5 s < t <∞.

Ft = σ (ys; s ≤ t) pode ser identificado como a “história” do processo y até ao momento

t. Certos autores, para simplificar, escrevem

Ft = yt, yt−1, ..., y1 ou Ft = yt, yt−1, ... .

4.2 Valores Esperados Condicionais: Principais Resulta-

dos

Começamos com um resultado trivial: E (yt| Ft) = yt. Com efeito, yt pertence ao conjunto

Ft1 (também se diz, yt é mensurável com respeito a Ft), logo yt pode ser tratado como uma

constante dado Ft.

Proposição 4.2.1 Suponha-se que Y é uma v.a. tal que E (|Y |) < ∞, Z é uma v.a. mensu-

rável com respeito a G e E (|ZY |) <∞ então com probabilidade um tem-se

E (ZY | G) = Z E (Y | G) .

Exemplo 4.2.1 Considere-se yt = xtyt−1+ut, onde ut é uma sucessão v.a. i.i.d. de média

nula. Suponha-se Ft = σ (xs, ys; s ≤ t) . Então

E (yt| Ft−1) = E (xtyt−1| Ft−1) = yt−1 E (xt| Ft−1) .

Note-se que yt−1 é mensurável com respeito a Ft−1 mas xt não (Ft−1 “desconhece” os

acontecimentos ocorridos em t).

Exemplo 4.2.2 No âmbito da estatística clássica também se sabe que

E (XY |X = x) = xE (Y |X = x) .

1Em termos técnicos, o evento (ou cenário de mercado) ω ∈ Ω que determinou yt é que pertence a Ft.Para simplificar, assume-se Ft = yt, yt−1, ..., y1 ou Ft = yt, yt−1, ... e, neste caso, já pode-se dizer “ytpertence a Ft”.

68

Com efeito,

E (XY |X = x) =

∫xyfy|x (y|x) dy = x

∫yfy|x (y|x) dy = xE (Y |X = x) .

Proposição 4.2.2 Seja g : R → R uma função convexa num intervalo B ⊂ R e Y uma v.a.

tal que P (Y ∈ B) = 1. Se E (|Y |) <∞ e E (|g (Y )|) <∞ então

E (g (y)| G) ≥ g (E (y| G)) .

Se g é côncava então

E (g (Y )| G) ≤ g (E (Y | G)) . (4.1)

Dem. (esboço) Prove-se E (g (y)) ≥ g (E (y)) e suponha-se (para simplificar) que g′ é

continua em B. Como g é convexa e g′ é continua, tem-se

g (x) ≥ g (a) + g′ (a) (x− a) , ∀x, a ∈ B.

Escolha-se para a a constante E (Y ) , onde Y uma v.a. tal que P (Y ∈ B) = 1. Resulta,

g (x) ≥ g (E (Y )) + g′ (E (Y )) (x− E (Y ))

ou

g (Y ) ≥ g (E (Y )) + g′ (E (Y )) (Y − E (Y )) .

Como o lado direito da desigualdade é uma função linear em Y (g (E (Y )), g′ (E (Y )) e

E (Y ) são constantes), tem-se, aplicando o operador de valor esperado a ambos os termos da

desigualdade,

E (g (Y )) ≥ E (g (E (Y )) + g′ (E (Y )) (Y − E (Y ))) = g (E (Y )) .

Observação 4.2.1 Nas condições da proposição 4.2.2 tem-se:

g é convexa⇒ E (g (Y )) ≥ g (E (Y )) ;

g é côncava⇒ E (g (Y )) ≤ g (E (Y )) .

Exemplo 4.2.3 Atendendo à observação anterior conclui-se:

69

g (x) Conc./Conv. Desigualdade

x2 convexa E (Y 2) ≥ (E (Y ))2

1x

, x > 0 convexa E(

1Y

)≥ 1

E(Y )

log x, x > 0 côncava E (log (Y )) ≤ log (E (Y ))

Também se conclui E (Y 2) ≥ (E (Y ))2a partir da igualdade Var (Y ) = E (Y 2) −

(E (Y ))2pois, por definição, Var (Y ) ≥ 0.

Proposição 4.2.3 (Lei do Valor Esperado Iterado I) Suponha-se E (|Y |) <∞. Então

E (Y ) = E (E (Y | G)) .

Também se tem

E (Y ) = E (E (Y |X)) .

Com efeito, identificando fx, fy, fy|x e fy,x como as funções de densidade de probabilidade,

respectivamente de X, Y , Y |X e (Y,X) , tem-se,

E (E (Y |X)) =

∫ (∫yfy|x (y|x) dy

)fx (x) dx

=

∫y

(∫fy|x (y|x) fx (x) dx

)dy

=

∫y

(∫fy,x (y, x) dx

)dy

=

∫yfy (y) dy

= E (Y ) .

Exemplo 4.2.4 Suponha-se que Y dadoX tem distribuição condicional de Poisson de parâmetro

λ = θX. Suponha-se ainda que X tem distribuição do Qui-Quadrado com um grau de liber-

dade. Logo, pela proposição 4.2.3, vem

E (Y ) = E (E (Y |X)) = E (θX) = θ.

Exemplo 4.2.5 Considere-se o modelo yt = βxt + ut. Seja FXt = xt, xt−1, ... . Suponha-

70

se E(ut| FXt

)= 0. Como se sabe E

(yt| FXt

)= βxt. Logo

E (yt) = E(E(βxt + ut| FXt

))= E

(E(βxt| FXt

))+ E

(E(ut| FXt

))= β E (xt) .

Neste exemplo, também se obtém esta expressão considerando E (yt) = E (βxt + ut) =

β E (xt) .

Exemplo 4.2.6 Considere-se yt = a + xtyt−1 + ut . Suponha-se que E (ut| Ft−1) = 0,

E (xt| Ft−1) = µx e E (yt) = E (yt−1) . Obtenha-se E (yt). Tem-se, pela lei do valor esper-

ado iterado,

E (yt) = E (E (yt| Ft−1))

= E (E (a+ xtyt−1 + ut| Ft−1))

= E (a+ E (xtyt−1| Ft−1) + E (ut| Ft−1))

= E (a+ yt−1 E (xt| Ft−1) + 0)

= E (a+ yt−1µx)

= a+ µx E (yt−1) = a+ µx E (yt)

Logo E (yt) = a+ µx E (yt)⇒ E (yt) = a/ (1− µx) .

Um resultado mais geral é dado pela proposição seguinte.

Proposição 4.2.4 (Lei do Valor Esperado Iterado II) Suponha-se E (|Y |) < ∞ e G ⊂ H.

Então

E (Y | G) = E (E (Y |H)| G) .

Exemplo 4.2.7 Considere-se yt = a + φyt−1 + ut, |φ| < 1 onde ut é uma sucessão v.a.

71

i.i.d. de média nula. Obtenha-se E (yt| Ft−2) . Como Ft−2 ⊂ Ft−1 , tem-se

E (yt| Ft−2) = E (E (yt| Ft−1)| Ft−2)

= E (a+ φyt−1| Ft−2)

= a+ φE (yt−1| Ft−2) (note-se agora yt−1 = a+ φyt−2 + ut−1)

= a+ φE (a+ φyt−2 + ut−1| Ft−2)

= a+ φ (a+ φE (yt−2| Ft−2))

= a+ φ (a+ φyt−2)

= a+ φa+ φ2yt−2 .

Facilmente se conclui serem válidas relações do tipo

E (yt| Ft−3) = E (E (yt| Ft−2)| Ft−3)

= E (E (E (yt| Ft−1)| Ft−2)| Ft−3)

E (yt| F−∞) = E (E (E (E (yt| Ft−1)| Ft−2)| Ft−3) ...) .

4.3 Distribuição Condicional versus Distribuição Marginal

Seja f (yt| Ft−1) a fdp condicionada2 de yt dada toda informação até ao momento t − 1.

Comparativamente à fdp marginal (ou não condicional), f (yt), a fdp f (yt| Ft−1) é bastante

mais “informativa”, pois esta última usa toda a informação disponível Ft−1, ao passo que a

distribuição marginal, por definição, ignora a informação Ft−1. A fdp f (yt| Ft−1) pode ser

entendida como uma reavaliação de f (yt) perante a evidência Ft−1.

Considere-se a amostra y1, ..., yn . Um elemento da amostra escolhido ao acaso tem

fdp f (y) . Mas observando Ft−1, a v.a. yt tem fdp f (yt| Ft−1) .

Na figura 4-1 traçam-se duas hipotéticas fdp condicionadas. Para se discutir a figura,

suponha-se que y é governado genericamente por dois atributos: (1) yt−1 e yt, para todo o

t, tendem a estar “próximos”; por exemplo, se yt−1 é “alto”, yt tenderá também a ser “alto”

(trata-se de uma forma de dependência temporal) e (2) yt “reverte” para zero, E (yt) = 0.

Suponha-se ainda que y é estacionário. A fdp marginal é constante ao longo do tempo.

No entanto, as densidades condicionais variam. Considere-se a fdp f (y2| F1) traçada na

2Certos autores identificam f (yt| Ft−1) como f (yt| yt−1, yt−2, ..., y1).

72

64202468

1 2 3 4 5 6

( )12 Fyf( )56 Fyf

Figura 4-1: A fdp f (yt| Ft−1) varia ao longo do tempo

figura 4-1. Esta função atribui probabilidades associadas à variável y2 dado F1. Perante a

observação y1 (e ainda sem se conhecer a realização y2), a fdp f (y2| F1) tem moda aprox-

imadamente igual a y1: é natural esperar que o valor de y2 venha “próximo” de y1 - dada

a hipótese (1); a fdp f (y6| F5) usa a informação disponível no momento t = 5. Como,

y5 > 0, a densidade desloca-se um pouco na direcção de y5, pois y6 tenderá a estar “próx-

imo” de y5. Todavia, como y reverte para zero, é mais provável o evento y6 < y5| y5 do

que y6 > y5| y5 , i.e., y6 deverá em princípio aproximar-se do valor para o qual y reverte,

E (yt) = 0. Nestas condições, a fdp f (y6| F5) embora se desloque na direcção de y5, con-

tinua a atribuir massa de probabilidade significativa a intervalos próximos de zero.

Dois parâmetros fundamentais de f (yt| Ft−1) são

µt = E (yt| Ft−1) =

∫ytf (yt| Ft−1) dyt

σ2t = Var (yt| Ft−1) =

∫(yt − µt)

2 f (yt| Ft−1) dyt.

Valem as seguintes propriedades.

Proposição 4.3.1 A melhor previsão de yn+1 dado Fn, de acordo com Erro Quadrático

Médio, é E (yn+1| Fn) , i.e.

E((yn − E (yn+1| Fn))2) ≤ E

((yn − g (Fn))2)

onde g (Fn) é um qualquer outro previsor Fn mensurável (i.e. que usa também toda a

informação disponível até ao momento n).

73

Dem. Tem-se

E((yn − g (Fn))2) = E

[(yn − E (yn+1| Fn) + E (yn+1| Fn)− g (Fn))2]

= E((yn − E (yn+1| Fn))2)+ E

((E (yn+1| Fn)− g (Fn))2)

+ E [(yn − E (yn+1| Fn)) (E (yn+1| Fn)− g (Fn))]

Como o terceiro termo é zero (deixa-se como exercício essa demonstração) vem

E((yn − g (Fn))2) = E

((yn − E (yn+1| Fn))2)+ E

((E (yn+1| Fn)− g (Fn))2)

≥ E((yn − E (yn+1| Fn))2) .

O valor E (yn+1) é também um previsor não enviesado de yn+1 mas, como não usa a infor-

mação disponível Ft−1, pode demonstrar-se que é bastante menos preciso do que o previsor

E (yn+1| Fn).

Pode-se também provar

E((yn+h − E (yn+h| G))2) ≤ E

((yn+h − E (yn+h|H))2) , H ⊆ G.

Esta desigualdade resulta do facto de em G existir mais informação. É natural esperar que

um previsor que use mais informação face a um outro, tenha um EQM inferior. Têm-se ainda

os seguintes casos limites quando o previsor é um valor esperado condicionado.

G = F = F∞ ⇒ E((yn+h − E (yn+h| G))2) = E

((yn+h − yn+h)

2) = 0

e

H =∅⇒ E((yn+h − E (yn+h|H))2) = E

((yn+h − E (yn+h))

2) .Exemplo 4.3.1 Considere: A) Tem-se uma sucessão de retornos do PSI20 e retira-se aleato-

riamente um elemento da sucessão. Suponha-se que a média e a variância desse retorno são

conhecidas. B) Suponha que os retornos do PSI20 registaram “hoje” uma forte quebra e

uma forte volatilidade. Q1: Qual é a informação mais relevante se o objectivo é prever os

retornos do PSI20 e a volatilidade para o dia de amanhã? A ou B? Q2: Neste caso, qual é

a fdp que interessa estudar? f (yt| Ft−1) ou f (yt)? Q3: Qual é a informação relevante se o

objectivo é conhecer as características gerais da série dos retornos (ou prever os retornos e

74

a volatilidade para um horizonte de vários anos)? Q4: Neste caso, qual é a fdp que interessa

estudar? f (yt| Ft−1) ou f (yt)?

Considere o modelo de séries temporais,

yt = c+ φyt−1 + ut, |φ| < 1

onde ut é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição N (0, σ2) . Determine-se a dis-

tribuição de yt| Ft−1. Dado Ft−1, yt−1 pode ser tratado como uma constante. Logo yt| Ft−1

tem distribuição normal,

yt| Ft−1 ∼ N (E (yt| Ft−1) ,Var (yt| Ft−1))

onde

E (yt| Ft−1) = c+ φyt−1

Var (yt| Ft−1) = E(

(yt − E (yt| Ft−1))2∣∣Ft−1

)= E

(u2t

∣∣Ft−1

)= σ2.

Assim,

yt| Ft−1 ∼ N(c+ φyt−1, σ

2). (4.2)

Determine-se a distribuição marginal. No modelo em análise verifica-se E (yt) = E (yt−1) .

Logo

E (yt) = c+ φE (yt)⇒ E (yt) =c

1− φ

e, seguindo um raciocínio similar,

Var (yt) =σ2

1− φ2 .

Atendendo à representação MA(∞) do processo AR(1)3,

yt =c

1− φ + ut + φut−1 + φ2ut−2 + ...

imediatamente se conclui que y tem distribuição marginal normal (uma soma de v.a. nor-

mais tem distribuição normal). Também se conclui, a partir da representação MA(∞), que

3A forma mais intuitiva de obter este resultado, consiste em aplicar o método recursivo (iterando yt ad

infinitum). Por exemplo, yt = c+ φyt−1 + ut = c+ φ (c+ φyt−2 + ut−1) + ut, e assim sucessivamente.

75

E (yt) = c/ (1− φ) e Var (yt) = σ2/(1− φ2

). Assim, a distribuição marginal de y é

yt ∼ N

(c

1− φ,σ2

1− φ2

). (4.3)

Exemplo 4.3.2 Considere-se yt = 0.9yt−1 + ut, onde ut ∼ N (0, 1) . Sabendo que no

período t− 1 se observou yt−1 = −2 e tendo em conta (4.2) e (4.3) tem-se

yt ∼ N (0, 5.26)

yt| Ft−1 ∼ N (−1.8, 1) .

Procura-se avaliar a probabilidade de yt assumir um valor positivo. Assim,

P (yt > 0) = 0.5

P (yt > 0| Ft−1) = P (yt > 0| yt−1 = −2) = 0.0359.

As probabilidade são bem diferentes. Com efeito, no período t − 1 registou-se yt−1 = −2.

Como a autocorrelação é forte (φ é alto) é natural esperar que no período t o valor de yt

ainda se encontre abaixo de zero. Por esta razão, a probabilidade condicional confere pouca

evidência ao evento yt > 0 . Pelo contrário, a probabilidade marginal, ignora o aconteci-

mento yt−1 = −2 e, por isso, atribui uma probabilidade razoável ao evento yt > 0 .

Exemplo 4.3.3 Retome-se o exemplo 4.3.2 e suponha-se que se têm n observações e se pre-

tende obter uma previsão para o período n+ 1. Podemos usar uma infinidade de previsores,

mas analisem-se apenas os seguintes:

E (yn+1| Fn) = 0.9yn

E (yn+1) = 0.

De acordo com a discussão anterior, o previsor E (yn+1| Fn) é mais “preciso” do que

E (yn+1) . A precisão é aqui aferida através do erro quadrático médio (EQM) e, com efeito,

observa-se que

E((yn+1 − E (yn+1| Fn))2) = σ2 = 1 < E

((yn+1 − E (yn+1))2) =

σ2

1− φ2 = 5.263

76

B

5

3

1

1

3

5

1 26 51 76 101 126 151 176

A

5040302010

010203040

1 26 51 76 101 126 151 176

D

15

10

5

0

5

10

15

1 26 51 76 101 126 151 176

C

5

0

5

10

15

20

25

30

1 26 51 76 101 126 151 176

Figura 4-2: Qual é a trajectória do processo ruído branco?

4.4 Processos Estocásticos Elementares, Estacionaridade e

Fraca Dependência

4.4.1 Processos Estocásticos Elementares

Definição 4.4.1 u é um processo4 ruído branco (RB) se

E (ut) = 0

Var (ut) = E(u2t

)= σ2

E (utus) = 0, ∀s 6= t

Procure identificar o processo ruído branco na figura 4-2.

4Recorde-se a notação u = ut = ut; t = 1, 2, ... .

77

Definição 4.4.2 u é um processo ruído branco independente se

E (ut) = 0,

E(u2t

)= σ2,

ut e us são independentes ∀s 6= t

Se adicionalmente ut ∼ N (0, σ2) então ut um ruído branco Gaussiano.

O processo ut pode ser não autocorrelacionado, i.e., Corr (ut, us) = 0, ∀s 6= t e,

mesmo assim, ut e us não serem independentes. Por exemplo, pode suceder Corr (u2t , u

2s) 6=

0 e, neste caso, existe uma óbvia ligação entre os valores u2t e u2

s. Contudo, existe um caso

notável onde E (utus) = 0, ∀s 6= t implica independência. É o caso de ruídos brancos com

distribuição Gaussiana.

Definição 4.4.3 u é um processo diferença de martingala se

E (|ut|) < ∞,

E (ut| Ft−1) = 0.

Proposição 4.4.1 Se u é uma diferença de martingala, então E (ut) = 0 e E (utus) = 0,

∀s 6= t.

Dem. Deixa-se como exercício concluir que E (ut) = 0. Suponha-se, sem perda de

generalidade que s < t. Tem-se

E (utus) = E (E (utus| Fs)) (pela proposição 4.2.3)

= E (us E (ut| Fs))

= E (us E (E (ut| Ft−1)| Fs)) (pela proposição 4.2.4)

= E (us E (0| Fs)) = 0.

Definição 4.4.4 u é um processo passeio aleatório (random walk ou RW) se

yt = yt−1 + ut

e ut é um RB. yt diz-se um processo passeio aleatório com deriva (random walk with drift)

78

40

20

0

20

40

60

80

100

120

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

0

200

400

600

800

1000

1200

RW

Var

Figura 4-3: Processo RW e Var (yt) =∑t

i=1 (yi − yt)2 /t

se

yt = yt−1 + δ + ut, δ 6= 0.

Pode-se provar (veja o apêndice 6.D) que um random walk verifica:

E (yt| Ft−1) = yt−1,

E (yt) = E (y0) , E(y2t

)= E

(y2

0

)+ σ2t, E (ytyt−k) = σ2 (t− k) .

Na figura 4-3 apresenta-se um processo RW e Var (yt) =∑t

i=1 (yi − yt)2 /t.

4.4.2 Estacionaridade

Definição 4.4.5 y é um processo estacionário de segunda ordem (ESO) se

E (yt) = µ, (não depende de t)

Var (yt) = σ2, (não depende de t)

Cov (yt, yt±h) = γ (h) (não depende de t).

Na definição de processo ESO está implícito não só que os momentos não dependem de

t como também são finitos. Por exemplo, se Var (yt) = ∞, então yt não é ESO. Um RB,

RB independente ou um RB Gaussiano são processos estacionários de segunda ordem. Uma

diferença de martingala pode ser ou não um processo ESO. É um processo ESO se o segundo

momento for finito e não depender de t. Identifique na figura 4-2 as trajectórias de processos

79

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.1

0.2

0.3

x

f(x)

Figura 4-4: Função densidade de probabilidade de Cauchy

aparentemente não estacionários.

Naturalmente o processo passeio aleatório não é ESO.

Geralmente entende-se que um processo não é ESO quando a média, a variância ou as

covariâncias dependem de t. Mas a estacionaridade de segunda ordem (ESO) pode também

falhar se não existir a média e/ou a variância. Por exemplo, considere o processo yt = 10+ut,

onde ut é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição de Chauchy. A função densidade

de probabilidade (fdp) de Cauchy é

f (x) =1

π (1 + x2).

y não é um processo ESO porque E (|ut|) não existe. Com efeito,

E (|ut|) =

∫R|x| f (x) dx =

∫R|x| 1

π (1 + x2)dx

não converge e, portanto, E (|ut|) não está definido (i.e. não existe). Na figura 4-4 traça-se

a função f (x) . Como a fdp tem abas muitos pesadas atribui uma massa de probabilidade

considerável para valores muito afastados da média. Isto significa que embora o centro de

gravidade da fdp seja zero, valores muito afastados de zero podem ocorrer com probabilidade

não nula (veja-se a figura 4-5).

Definição 4.4.6 y é um processo estritamente estacionário (EE) se a distribuição conjunta

de (y1, y2, ..., ys) é igual à distribuição conjunta de (yk+1, yk+2, ..., yk+s) , para qualquer

s ∈ N e k ∈ Z.

80

140012001000800600400200

0200400600800

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901 1001 1101 1201 1301 1401

Figura 4-5: Uma trajectória simulada do processo yt = 10 + ut, onde ut é uma sucessão

de v.a. i.i.d. com distribuição de Chauchy

Na secção 4.5 discute-se com maior profundidade este conceito.

Observação 4.4.1 Um processo estritamente estacionário deve verificar, em particular, a

seguinte condição:

fy1 (x) = fy2 (x) = ... = fyn (x) = f (x) (4.4)

(as densidade marginais de y1, y2,..., yn são iguais para todo o t). Esta condição decorre da

aplicação da definição anterior para s = 1. Resulta de (4.4) que se E (|g (yt)|) <∞, então

E (|g (yt)|) é constante e não depende de t, pois

E (|g (yt)|) =

∫|g (x)| fyt (x) dx =

∫|g (x)| f (x) dx, ∀t.

Ambas as definições de estacionaridade basicamente exigem que a estrutura probabilís-

tica se mantenha constante ao longo do tempo. No entanto, enquanto a estacionaridade estrita

exige que toda a estrutura probabilística se mantenha constante ao longo do tempo, a ESO

apenas faz essa exigência para os dois primeiros momentos e para a autocovariância.

Exemplo 4.4.1 Considere-se o processo,

yt = 0.2yt−1 + ut, |φ| < 1 (4.5)

onde

ut =

ξt se t ≤ 2000√k−2kζt se t > 2000

(4.6)

81

sendo ξt e ζs independentes para todo o t e s e ξtiid∼ N (0, 1) e ζs

iid∼ t(k). Para t ≤ 2000

tem-se

E (ut) = E (ξt) = 0,

Var (ut) = Var (ξt) = 1

e para t > 2000,

E (ut) = E

(√k − 2

kζt

)= 0,

Var (ut) = Var

(√k − 2

kζt

)=k − 2

k

k

k − 2= 1.

Como a autocovariância de ut não depende de t (na verdade é zero, para qualquer t) e E (ut)

e Var (ut) são constantes, para todo o t, conclui-se que ut é um processo ESO. No entanto,

não é EE, pois a distribuição marginal de ut para t ≤ 2000 não coincide com a distribuição

marginal de ut para t > 2000 (no primeiro caso é normal; no segundo é t-Student). Não se

cumpre assim a condição (4.4). A mesma conclusão se aplica a y: é ESO mas não EE. Na

figura 4-6 representa-se uma trajectória simulada a partir das equações (4.5) e (4.6), com

k = 3 (graus de liberdade). Observe-se que a partir de t = 2000 começam a aparecem

valores muito altos e muitos baixos (“outliers”) já que os erros passam a ter distribuição

t-Student com 3 graus de liberdade (embora a variância dos erros se mantenha sempre igual

a 1). Observa-se, portanto, uma alteração da estrutura probabilística do processo a partir

de t > 2000 que implica a não estacionaridade estrita do processo.

Alguns factos:

• Se E (y2t ) <∞ e y é estritamente estacionário (EE), então y é ESO.

Com efeito, tem-se fyt (y) = f (y) , ∀t (por hipótese) e, portanto,

E (yt) =

∫xfyt (x) dx =

∫xf (x) dx = E (y) ,

Var (yt) =

∫(x− E (yt))

2 fyt (x) dx =

∫(x− E (y))2 f (x) dx = Var (y) .

Por outro lado, fyt,yt+h (x, y) = fys,ys+h (x, y) , ∀t, s (por hipótese) e, portanto, a ex-

82

Figura 4-6: Uma trajectória simulada a partir de um processo estacionário de segunda

ordem mas não estritamente estacionário - confiram-se as equações (4.5) e (4.6)

pressão

E (ytyt+h) =

∫ ∫xyfyt,yt+h (x, y) dxdy

=

∫ ∫xyfys,ys+h (x, y) dxdy = E (ysys+h) .

não depende de t (nem de s).

• Se y é ESO e tem distribuição normal, então y é EE.

• A estacionaridade estrita é geralmente uma condição mais forte do que a ESO, mas

não implica necessariamente ESO. Por exemplo, se yt = 10 + ut onde ut é uma

sucessão de v.a. com distribuição de Cauchy, y não é, como vimos, ESO; no entanto,

pode-se provar que y é EE: a estrutura probabilística mantém-se imutável ao longo do

tempo.

4.4.3 Fraca Dependência

A propriedade “fraca dependência” é crucial para se invocar resultados limites como sejam

a lei dos grandes números e o teorema do limite central. Considere-se, por exemplo, a média

empírica yn = n−1∑n

t=1 yt. Sob certas condições, a lei fraca dos grandes números estabelece

ynp−→ E (y) . Este resultado pode ser provado da seguinte forma: se limn E (yn) = E (y) e

83

limn Var (yn) = 0 então ynp−→ E (y) . Exigir que a variância de yn convirja para zero (no

limite yn reduz-se a uma constante) envolve a suposição de que a sucessão yt é fracamente

dependente num sentido que precisaremos a seguir. Com efeito,

Var (yn) =1

n2Var

(n∑t=1

yt

)

=1

n2

(n∑t=1

Var (yt) + 2

n−1∑j=1

n∑i=j+1

Cov (yi, yi−j)

).

Sem hipóteses adicionais não é garantido que estas duas somas convirjam. Comece-se por

assumir que yt é ESO. Nestas condições a covariância Cov (yi, yi−j) só depende de j =

i−(i− j) e não de i (veja a definição 4.4.5). Assim, pode-se escrever, Cov (yi, yi−j) = γ (j).

Vem,

Var (yn) =1

n2

(nσ2 + 2

n−1∑j=1

n∑i=j+1

γ (j)

)

=σ2

n+

2

n2

n−1∑j=1

γ (j)n∑

i=j+1

1 (γ (j) não depende de i)

=σ2

n+

2

n2

n−1∑j=1

γ (j) (n− j)

=σ2

n+

2

n

n−1∑j=1

γ (j)

(1− j

n

).

O primeiro termo σ2/n converge para zero, mas o segundo termo pode convergir ou não. É

necessário não só que γ (j) convirja para zero, mas também que essa convergência seja rela-

tivamente rápida. Note-se de passagem que a estacionaridade não garante fraca dependência.

As condições de aplicação do teorema do limite central são ainda mais exigentes. Sob

certas condições tem-se, como se sabe,√n (yn − E (y))

d−→ N (0, η2) , onde η2 uma con-

stante finita, definida como η2 = limn Var (√n (yn − E (y))) = limn Var (

√nyn) . Se yt

é estacionário, tem-se

Var(√

nyn)

= σ2 + 2n−1∑j=1

γ (j)

(1− j

n

)

e, agora, comparativamente ao caso anterior, γ (j) tem de convergir ainda mais rapidamente

para zero para que a soma Sn =∑n−1

j=1 γ (j)(1− j

n

)convirja. Por exemplo, uma função de

84

autocorrelação do tipo γ (j) = 1/j resulta numa soma Sn divergente. A soma converge se a

função de autocorrelação for, por exemplo, do tipo γ (j) = aj, com |a| < 1.

Existem várias definições de processos fracamente dependentes envolvendo os chama-

dos mixing coefficients (α-mixing, β-mixing, ρ-mixing entre outros) que permitem avaliar

e medir o grau de dependência recorrendo a diferentes interpretações do conceito de in-

dependência. Vamos adoptar uma definição alternativa para caracterizarmos um processo

fracamente dependente baseada na definição de Wooldridge (1994):

Definição 4.4.7 y é um processo fracamente dependente se limn Var (√nyn) = c > 0.

Infelizmente esta definição tem a seguinte desvantagem: se y é fracamente dependente

no sentido da definição 4.4.7, e g é uma função com “boas propriedades”, não é possível

concluir, em termos gerais, que zt = g (yt) é ainda um processo fracamente dependente. Já

se yt é β-mixing é possível inferir, sob certas condições gerais, que zt = g (yt) é ainda

β-mixing (digamos, a transformação g preserva a propriedade de fraca dependência do

processo quando baseada no conceito dos mixing coefficients).

Comentários Finais

Por que razão é importante o estudo da estacionaridade e da fraca dependência (em séries

temporais)? Apontam-se algumas razões:

• A aplicação do teorema central e a lei dos grandes números são dois pilares da infer-

ência estatística. Considere-se, por exemplo,

yn =1

n

n∑t=1

yt.

Sob certas condições, a aplicação da lei dos grandes números e do teorema do limite

central, permite obter, respectivamente

ynp−→ E (y) ,

yn − E (y)√Var (yn)

d−→ N (0, 1) .

No entanto, se y não é estacionário e fracamente dependente não é possível invocar

estes resultados clássicos (e a inferência assimptótica habitual não pode ser utilizada).

• De uma forma geral, se a estrutura probabilística se altera ao longo do tempo (i.e., se y

não é estacionário), todas as conclusões que se retirem para um certo período não são

“extrapoláveis” para o futuro.

85

• A estacionaridade também é relevante no âmbito da previsão: processos estacionários

são limitados em probabilidade e a amplitude dos intervalos de previsão não diverge

quando o horizonte de previsão tende para mais infinito. Pelo contrário, processos não

estacionários, por exemplo, I (1) , são extremamente difíceis de prever no longo prazo,

dado que a amplitude dos intervalos de previsão aumenta com o horizonte de previsão.

• Em termos de política económica é também relevante saber se um processo é esta-

cionário ou não. Medidas de política económica que tenham como objectivo alterar

a trajectória de processos estacionários, estão em geral condenadas ao fracasso, pelo

menos no médio/longo prazo, pois choques induzidos em processos dessa natureza

tendem a se autocorrigir ao longo do tempo (e a “reverterem” para a uma medida de

tendência central).

Convém sublinhar o seguinte. Embora muitas séries temporais sejam não estacionárias,

é possível, na maior parte dos casos, estacionarizá-las, mediante transformações apropriadas

do processo.

* * *

Para terminar esta secção, tecem-se algumas considerações críticas aos modelos de séries

temporais baseados em pressupostos estacionários.

Serão as séries temporais financeiras e económicas verdadeiramente estacionárias? Como

já argumentámos, a estacionaridade envolve uma determinada hipótese de estabilidade da

estrutura probabilística do processo. Esta estrutura depende de uma miríade de factores,

como por exemplo, dos agentes económicos (privados e públicos) e das suas relações, da

tecnologia, da informação, do puro acaso (entre outros factores). Apenas o puro acaso

pode ser considerado imutável ao longo do tempo; tudo o resto evolui ao longo do tempo,

pelo que é um mito supor-se que a estrutura probabilística de uma série temporal finan-

ceira ou económica permanece constante ou aproximadamente constante ao longo do(s)

tempo(s). Suponha-se que se estuda a taxa de variação relativa anual do PIB português

(yt = log (PIBt)− log (PIBt−1)). Aparentemente, y é estacionário se o período de referên-

cia forem alguns dezenas de anos (isto é, praticamente todos os testes estatísticos disponíveis,

apontariam nessa direcção). Mas, se alargarmos a amostra para várias centenas de anos

(supondo que tal era possível), é extremamente implausível y ser estacionário (a história

86

diz-nos que as condições e os factores de produção evoluem ou sofrem rupturas ao longo

do tempo). Sob esta perspectiva, não existem processos de natureza económica e financeira

estacionários. Poderemos então concluir que a análise da estacionaridade acaba por ser in-

útil? Embora, em termos rigorosos, o conceito de estacionaridade envolva o passado e o

futuro distante (o “−∞” e o “+∞”), normalmente limitamos o período de análise. Para esse

período, assume-se que a série apresenta características estacionárias e a previsão relevante

que estabelecemos aplica-se, supostamente, a um futuro próximo, governado, no essencial,

pelas mesmas leis que determinaram o processo no período amostral. Com esta ressalva, a

estacionaridade é importante, porque assegura uma forma de estabilidade probabilística que

é essencial na inferência estatística.

4.5 Processos Ergódicos e Estritamente Estacionários

Nesta secção, retomam-se alguns conceitos já abordados, relacionados com a estacionar-

idade, e exploram-se novas definições que serão úteis no estudo dos processos não lin-

eares. Concretamente, é objectivo deste ponto estabelecer condições suficientes para que

um processo de Markov não linear seja ergódico e EE.

4.5.1 Definições

O ponto de partida baseia-se na definição de processo de Markov: se y é um processo de

Markov então, para estabelecer, no momento s, probabilidades sobre a evolução futura do

processo, toda a informação anterior a s é desnecessária se o estado do processo no momento

s for conhecido5. Formalmente,

Definição 4.5.1 y é um processo de Markov se

P (yt < ξ| Ft−1) = P (yt < ξ| yt−1)

onde Ft−1 = y1, ..., yt−1 .

5Considere-se, por exemplo, uma partícula suspensa num meio homogéneo. Se no momento s, a posição

e a velocidade da partícula forem conhecidas, torna-se desnecessário considerar toda a trajectória anterior da

partícula com vista a estabelecer a sua evolução provável a partir do momento s. Observe-se que não basta

conhecer só a posição ou só a velocidade. Por vezes sucede que determinado processo não é de Markov, mas

esse processo juntamente com outro pode definir um processo de Markov. O exemplo que se apresenta a seguir

(AR(2)) também mostra que é possível obter a propriedade Markoviana através da “expansão” do espaço de

estados.

87

(O caso multivariado y adapta-se facilmente). O processo AR(2), yt = φ1yt−1 +φ2yt−2 +

ut, não é de Markov pois

P (yt < ξ| y1, ..., yt−1) = P (yt < ξ| yt−2, yt−1) 6= P (yt < ξ| yt−1) .

No entanto, é possível representá-lo na forma Markoviana. Considerem-se as mudanças de

variável

y1,t = yt, y2,t = yt−1.

Assim,

y1,t = φ1y1,t−1 + φ2y2,t−1 + ut

y2,t = y1,t−1

ou ainda y1,t

y2,t

︸︷︷︸

yt

=

φ1 φ2

1 0

︸︷︷︸

φ

y1,t−1

y2,t−1

︸︷︷︸

yt−1

+

ut

0

︸︷︷︸

ut

,

yt = φyt−1 + ut.

O processo vectorial yt é agora de Markov. Este procedimento generaliza-se facil-

mente para o caso AR(p).

Também o processo não linear do tipo

yt = g (yt−1, yt−2, ..., yt−p) + ut

onde ut é uma sucessão de v.a. i.i.d. e independentes de yt−k, k ≥ 1, admite uma repre-

sentação Markoviana. Com efeito, defina-se

yt = (yt, yt−1, ..., yt−p+1)′ , ut = (ut, 0, ..., 0)′

e

x = (x1, x2, ..., xp)′ , g (x) = (g (x) , x1, ..., xp−1)′ .

88

Segue-se que y é um processo de Markov definido por

yt = g (yt−1) + ut.

Por exemplo, seja

yt = α cos (yt−1) + β sen (yt−2) + ut.

Tem-se

yt =

yt

yt−1

:=

y1,t

y2,t

e y1,t

y2,t

︸︷︷︸

yt

=

α cos (y1,t−1) + β sen (y2,t−1)

y1,t−1

︸︷︷︸

g(yt−1)

+

ut

0

︸︷︷︸

ut

.

Para simplificar, na discussão que se segue trabalha-se com processos estocásticos uni-

variados Markovianos; contudo, está subjacente que se o processo y não de Markov será

sempre possível representá-lo na forma multivariada como um processo de Markov.

A função de distribuição condicional a n passos de um processo de Markov é

P (yn+k < y| yk)

(observe-se que é desnecessário escrever P (yn+k < y| Fk) , pois y é um processo de Markov).

Por seu lado, a função densidade condicional (também designada por densidade de tran-

sição), caso exista, é dada por

fn (y|x) =∂P (yn+k < y| yk)

∂y.

Definição 4.5.2 y é um processo homogéneo se

P (yn+k < ξ| yk = x) = P (yn+s < ξ| ys = x) , (n ∈ N)

para todo o k e s ∈ Z.

Se y é um processo homogéneo, para avaliar probabilidades condicionadas do processo,

não interessa o momento em que essas probabilidades são calculadas. Por exemplo, no caso

P (yn+k < ξ| yk = x) as probabilidades são calculadas no momento no k (ou com base na

89

informação do momento k) e dizem respeito ao intervalo de valores que y pode assumir no

momento n+ k. Se y é homogéneo, o momento ou instante k é irrelevante; apenas interessa

conhecer o hiato de tempo n + k − k = n (para processos estacionários de segunda ordem,

exige-se a mesma propriedade para a covariância: Cov (yn+k, yk) = γ (n) apenas deverá

depender de n = n+ k − k). Nestas circunstâncias, tem-se por exemplo,

P (y10 < ξ| y0 = x) = P (y100 < ξ| y90 = x) = P (y1250 < ξ| y1240 = x) .

Se o processo y é homogéneo, toma-se para a função de distribuição condicional a n passos

a expressão6

Fn (y|x) := P (yn+k < y| yk = x) .

O exemplo 4.5.2 ilustra o conceito de homogeneidade. Convém, no entanto, começar

com o

Exemplo 4.5.1 Considere-se

yt = φyt−1 + ut, |φ| < 1

onde ut é um ruído branco N (0, σ2) . Vamos obter ft (y|x) (função de densidade condi-

cional a t passos) e Ft (y|x) (função de distribuição condicional a t passos). Comece-se

por obter f1 (y|x) (esta função é habitualmente escrita simplesmente na forma f (y|x)) e

F1 (y|x). Tem-se,

E (yt| yt−1) = E (φyt−1 + ut| yt−1) = φyt−1

Var (yt| yt−1) = E(

(yt − φyt−1)2∣∣ yt−1

)= E

(u2t

∣∣ yt−1

)= σ2

Como yt| yt−1 ∼ N (φyt−1, σ2) resulta

f1 (y| yt−1) =1√

2πσ2exp

− 1

2σ2(y − φyt−1)2

,

F1 (y| yt−1) =

∫ y

−∞f1 (u| yt−1) du.

6A notação usada para Fn (y|x) , sublinha que se tem uma função de transição a n passo (daí o índice n),

que a condição inicial apenas depende de x, e que o processo é homogéneo (caso contrário Fn (y|x) deveria

depender também do momento em que é calculada).

90

Para obter E (yt| y0) , Var (yt| y0) e ft (y| y0) é necessário representar yt como função de

y0. Tem-se

yt = φyt−1 + ut

= φ (φyt−2 + ut−1) + ut = φ2yt−2 + φut−1 + ut

= ...

= φty0 + φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut.

Tendo em conta as propriedades de u, conclui-se que yt, dada a condição y0, tem distribuição

condicional normal de parâmetros

E (yt| y0) = φty0

e

Var (yt| y0) = E((yt − φty0

)2∣∣∣ y0

)= E

((φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut

)2∣∣∣ y0

)= σ2

(1 + φ2 + ...+ φ2(t−1)

)(soma geométrica)

= σ2

(1− φ2t

1− φ2

).

Isto é,

yt| y0 ∼ N

(φty0, σ

2

(1− φ2t

1− φ2

)),

ft (y| y0) =1√

2πVar (yt| y0)exp

− 1

2 Var (yt| y0)(y − E (yt| y0))2

,

Ft (y| y0) =

∫ y

−∞ft (u| y0) du.

Para processos não lineares, conhece-se geralmente f1 (y| y0) (uma vez especificada a

distribuição dos erros), mas não ft (y| y0), para t > 1.

91

Exemplo 4.5.2 Retome-se o exemplo 4.5.1. Facilmente se constata que

yn+k| yk = x ∼ N

(φnx, σ2

(1− φ2n

1− φ2

))yn+s| ys = x ∼ N

(φnx, σ2

(1− φ2n

1− φ2

))

e, assim, o processo y é homogéneo.

Um processo em que pelo menos um dos momentos condicionais depende do momento

em que é calculado (por exemplo, E (yt| yt−1) = yt−1/t) não pode ser certamente um

processo homogéneo. A homogeneidade é uma condição necessária, mas não suficiente

para garantir estacionaridade (estrita ou de segunda ordem). O exemplo seguinte esclarece

este ponto.

Exemplo 4.5.3 Seja yt = yt−1 + ut, onde ut é um ruído branco N (0, σ2) . Tem-se,

yn+k = yk +n+k∑i=k+1

ui

∣∣∣∣∣ yk = x ∼ N(x, σ2n

)yt+s = ys +

n+s∑i=s+1

ui

∣∣∣∣∣ ys = x ∼ N(x, σ2n

).

Logo o processo passeio aleatório é homogéneo. No entanto, sabe-se que não é estacionário.

Para processos de Markov homogéneos, a equação de Chapman-Kolmogorov (numa das

suas várias versões) é

Fn (y|x) =

∫F1 (y|u)Fn−1 (du|x) .

Caso exista a fdp condicionada, a equação de Chapman-Kolmogorov pode também ser es-

crita na forma

fn (y|x) =

∫f1 (y|u) fn−1 (u|x) du. (4.7)

A definição de ergodicidade (à “Harris”)7 que se apresenta a seguir envolve um conceito de

proximidade entre duas funções de distribuição, H e G, baseada na norma de variação total

‖.‖ que, caso existam as funções densidades associadas a H e G, é dada por

‖H −G‖ =

∫|h (x)− g (x)| dx.

7A definição de ergodicidade varia bastante na literatura. Usaremos a definição que se designa por “ergodi-

cidade à Harris”. Veja-se, por exemplo, Fan e Yao (2005).

92

Exemplo 4.5.4 Seja g a fdp associada à distribuição N (0, 1) e hn a fdp associada à dis-

tribuição t (n) (t-Student, com n graus de liberdade). Para n fixo, a variação total ‖Hn −G‖

é positiva, mas ‖Hn −G‖ → 0 quando n→∞. A demonstração é a seguinte. Em primeiro

lugar, faça-se

ξn (x) = |hn (x)− g (x)| .

Como hn (x) converge uniformemente em R para g (x), i.e., limn→∞ supx∈R ξn (x) = 0 (este

resultado é bem conhecido da estatística e, normalmente, é apresentado numa forma mais

fraca, limn→∞ hn (x) = g (x) , para cada x ∈ R), então ξn (x) converge uniformemente

em R para zero, pelo que, o operador de limite pode trocar com o operador de integração.

Assim,

limn→∞

‖H −Gn‖ = limn→∞

∫|hn (x)− g (x)| dx

≤ limn→∞

∫supx|hn (x)− g (x)| dx

=

∫limn→∞

supx|hn (x)− g (x)| dx

= 0.

Considere-se o processo estocástico y com função de distribuição condicional a n passos

dada por Fn (y|x).

Definição 4.5.3 Se existir uma função de distribuição F e uma constante ρ ∈ (0, 1) tal que

ρ−n ‖Fn (y|x)− F (y)‖ → 0 (4.8)

para todo o y e o x, então y é ergódico se ρ = 1 e geometricamente ergódico se ρ < 1. F é

a função de distribuição estacionária.

Se a densidade fn (y|x) existe, a definição acima pode ser apresentada da seguinte forma:

se existir uma função de densidade f e uma constante ρ ∈ (0, 1) tal que

ρ−n∫|fn (y|x)− f (y)| dy → 0 (4.9)

para todo o x, então y é ergódico se ρ = 1 e geometricamente ergódico se ρ < 1. f é a

função de densidade estacionária.

93

A definição adoptada de ergodicidade à Harris, permite efectivamente relacionar a ergod-

icidade com estacionaridade estrita (Chan 1990, 1993), tal como consta da

Proposição 4.5.1 Suponha-se que y é ergódico. Então existe uma distribuição estacionária

F tal que o processo y, inicializado com a distribuição F, é EE.

Dem. Apêndice 4.A.

Para processos nas condições da proposição anterior, a lei forte dos grandes números

verifica-se sempre:

Proposição 4.5.2 Suponha-se E (|h (y)|) <∞. Nas condições da proposição 4.5.1 verifica-

se

1

n

n∑t=1

h (yt)qc−→ E (h (y)) ,

(qc: convergência quase certa ou com probabilidade 1) qualquer que seja o valor inicial do

processo y.

Por exemplo, se y é ergódico e EE e se E (eyt) <∞, então

1

n

n∑t=1

eytqc−→ E (ey)

(naturalmente também se tem convergência em probabilidade). Note-se que o processo pode

não ser fracamente dependente no sentido da definição 4.4.7 - i.e., verificando-se a lei dos

grandes números de acordo com a proposição anterior, pode não se garantir, ainda assim, a

aplicação do teorema do limite central.

Outra propriedade interessante para processos estritamente estacionários é a seguinte:

Proposição 4.5.3 Seja g uma função com domínio no espaço de estados de y. Se yt é EE

então zt , definido por zt = g (yt, yt−1, ...) , é também EE.

A proposição anterior permite concluir, por exemplo, que se yt é EE, então os proces-

sos y2t , yt + eyt−1 , etc., são também estritamente estacionários. A proposição ante-

rior não se aplica naturalmente a processos estacionários de segunda ordem. Para ilustrar,

suponha-se que y é um processo ESO sem 4o momento. Resulta que zt , onde z é definido

por zt = y2t , não é um processo ESO, pois Var (zt) não existe.

Em geral, é difícil verificar directamente as equações (4.8) e (4.9), a não ser para casos

relativamente simples, como o do exemplo que se apresenta a seguir. Iremos ver, no entanto,

94

que é possível, em certas circunstâncias, provar-se (4.8) ou (4.9) de forma indirecta, através

de resultados auxiliares. Antes de entramos nesta questão no ponto seguinte, veja-se um caso

em que a aplicação directa de (4.9) é relativamente simples.

Exemplo 4.5.5 Retome-se o exemplo 4.5.1, mas use-se agora a densidade condicional a n

passos (poderia ser também a t passos). Concluímos que

yn| y0 = x ∼ N

(φnx, σ2

(1− φ2n

1− φ2

))fn (y|x) =

1√2πVar (yn|x)

exp

−(yn − E (yn|x))2

2 Var (yn|x)

.

Note-se que

limn→∞

E (yn|x) = limn→∞

φnx = 0,

limn→∞

Var (yn|x) = limn→∞

σ2

(1− φ2n

1− φ2

)=

σ2

1− φ2 ,

limn→∞

fn (y|x) =1√

2π(

σ2

1−φ2

) exp

− y2

2(

σ2

1−φ2

) = f (y) .

É razoável admitir que f (y) verifica o limite ρ−n∫|fn (y|x)− f (y)| dy → 0. Efectiva-

mente, pode mostrar-se esse resultado e, nessas condições, y é um processo EE, com dis-

tribuição estacionária dada por f (y) e momentos estacionários E (y) = 0 e Var (y) =

σ2/(1− φ2

).

Para exemplificar, considere-se x = 2, σ2 = 0.7 e φ = 0.8. A distribuição estacionária é

dada por

y ∼ N

(0,

0.7

1− 0.82

)= N (0, 1.944) .

Se o processo for inicializado no valor x = 2, ao fim de alguns períodos (digamos n = 10),

yt comporta-se como um processo y ∼ N (0, 1.944) . Por outras palavras, um elemento re-

tirado ao acaso da sucessão y10, y11, ... , por exemplo y100, tem distribuição estacionária

N (0, 1.944) . Naturalmente, se o valor anterior y99 for observado e usarmos essa infor-

mação para prever y100, a distribuição pertinente passa a ser a distribuição condicional

habitual (a um passo). Na figura 4-7 mostra-se a convergência da sucessão de funções

fn (y|x = 2) , n = 1, 2, 3, 8 para a distribuição estacionária f (y) . A distribuição esta-

cionária, que coincide com a distribuição marginal do processo, é relevante porque mostra

95

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Dist. Est n = 1 n = 2 n = 3 n = 8

Figura 4-7: Sucessão de funções fn (y|x = 2) , n = 1, 2, 3, 8 e distribuição estacionária

f (y)

o comportamento “geral” do processo. Dá ainda uma medida do tempo de permanência do

processo em cada um dos subintervalos do espaço de estados. Para os valores fixados para

σ e φ, ficamos a saber a partir da inspecção da distribuição estacionária que, por exemplo,

y dificilmente sairá do intervalo (−5, 5) e que, durante a maior parte do tempo, estará no

intervalo (digamos) (−2, 2) .

Termina-se esta secção notando que a densidade estacionária (caso exista) coincide com

a densidade marginal (quando o processo é inicializado em condições estacionárias).

4.5.2 Modelos Não Lineares do tipo yt = g (yt−1, yt−2, ..., yt−p) + ut

Proposição 4.5.4 Considere-se o processo y definido por

yt = g (yt−1, ..., yt−p) + ut

onde g : Rp → R, ut é uma sucessão de v.a. i.i.d. e independentes de yt−k, k ≥ 1, com

função de densidade positiva e E (ut) = 0. O processo y é geometricamente ergódico se

qualquer uma das seguintes condições se verificar:

(a) g é uma função limitada em conjuntos limitados,

lim‖x‖→∞

|g (x)− (b1x1 + ...+ bpxp)|‖x‖ = 0

e as raízes do polinómio 1− b1z − ...− bpzp estão fora do circulo unitário.

96

(b) Existe uma constante λ ∈ (0, 1) e c tal que

|g (x)| ≤ λmax |x1| , ..., |xp|+ c.

(c) Existe uma constante ρ ∈ (0, 1) , c e ai ≥ 0 e a1 + ...+ ap = 1 tal que

|g (x)| ≤ ρ (a1 |x1|+ ...+ ap |xp|) + c.

Exemplo 4.5.6 Considere-se o processo AR(2),

yt = φ1yt−1 + φ2yt−2 + ut

onde u é um ruído branco Gaussiano. A função g é naturalmente

g (x1, x2) = φ1x1 + φ2x2.

A condição (a) da proposição 4.5.4 verifica-se se, com b1 = φ1 e b2 = φ2, as raízes de

1−b1z−b2z2 estiverem fora do circulo unitário. Esta é, como se sabe, a condição necessária

e suficiente para que o processo AR(2) seja ESO. A proposição anterior vai mais longe: sob

as condições estabelecidas, y é EE.

Exemplo 4.5.7 Considere-se o processo

yt = φy2t−1

1 + y2t−1

+ ut

onde u é um ruído branco Gaussiano. Tem-se

g (x) =φx2

1 + x2

Como g (x) é uma função limitada em R, mais concretamente, |g (x)| ≤ φ < φ < ∞,

conclui-se

|g (x)| ≤ ρ |x|+ φ

para ρ ∈ (0, 1) . Verificam-se as condições (b) e (c) e, assim, y é um processo ergódico.

97


yt =

−0.5yt−1 + ut se yt−1 < 0

0.5yt−1 + ut se yt−1 ≥ 0.

onde u é um ruído branco Gaussiano. Este modelo pode ser reescrito na forma:

yt = φtyt−1 + εt,

onde φt =(−0.5Iyt−1<0 + 0.5Iyt−1≥0

). Tem-se g (x) =

(−0.5Ix<0 + 0.5Ix≥0

)x.

Vem

|g (x)| ≤∣∣−0.5Ix<0 + 0.5Ix≥0

∣∣ |x|≤ ρ |x|

com ρ = 0.5 ∈ (0, 1) . Assim, y é um processo ergódico. Neste caso muito particular, y

pode também escreve-se na forma yt = 0.5 |yt−1| + εt e a aplicação da proposição 4.5.4 é

imediata.


yt =

1 + 0.5yt−1 + ut yt−1 < 0

−1− 0.5yt−1 + ut yt−1 ≥ 0.

onde u é um ruído branco Gaussiano. A função g é

g (x) = Ix<0 + 0.5xIx<0 − Ix≥0 − 0.5xIx≥0

= Ix<0 − Ix≥0 +(0.5Ix<0 − 0.5Ix≥0

)x.

Assim,

|g (x)| ≤ 1 +∣∣0.5Ix<0 − 0.5Ix≥0

∣∣ |x|≤ 1 + 0.5 |x|

e a proposição 4.5.4 aplica-se imediatamente com c = 1 e ρ = 0.5 (ou λ = 0.5), pelo que y

é um processo ergódico.

98

4.5.3 Estabilidade em EDF

Chamamos equação às diferenças finitas (não estocásticas) EDF (de primeira ordem, para

simplificar) à equação

yt = g (yt−1) , y0 = ξ (condição inicial). (4.10)

A solução desta equação não tem componente aleatória e a sua dinâmica é completamente

determinada pela condição inicial e pela função g. Tong (1990) chama a g o esqueleto do

processo estocástico. O estudo qualitativo da EDF envolve, por exemplo, a análise do com-

portamento assimptótico de yt.

Seja

g(t) (x) = g(...g(g︸︷︷︸t vezes

(x)))

(por exemplo, g(2) (x) = g (g (x))). O estudo da função g(t) (x) é essencial na análise quali-

tativa das soluções. Concretamente, yt = g(t) (y0) fornece o valor de y no momento t como

função do valor inicial y0. Sabendo g(t) podemos, por exemplo, estudar a sensibilidade da

solução face aos valores iniciais; permite também estudar o comportamento assimptótico

da solução quando t → ∞. Em certos casos, a estacionaridade e ergodicidade podem ser

deduzidas a partir da análise qualitativa das equações às diferenças finitas determinísticas

(EDFs). Por exemplo, considere-se a proposição 4.5.4 condição (c), no caso univariado

(g : R→ R), posta na forma |g (x)| < ρ |x| (com c = 0). Resulta,

|g (y0)| ≤ ρ |y0|∣∣g(2) (y0)∣∣ = |g (g (y0))| ≤ ρ |g (y0)| ≤ ρ2 |y0|

...∣∣g(t) (y0)∣∣ ≤ ρt |y0|

e, portanto, yt = g(t) (y0) → 0 quando t → ∞, independentemente do valor inicial. Diz-

se nestes casos que o valor 0 é um ponto assimptoticamente estável8. Observe-se que a

mesma condição que assegura a estacionaridade estrita no âmbito dos processos estocásticos,

assegura também a estabilidade assimptótica do ponto zero no âmbito das EDF (veja-se o

8Na verdade, a definição é menos exigente: o valor zero é um ponto fixo assimptoticamente estável se existir

um δ0 > 0 tal que a desigualdade |y0| ≤ δ0 implica∣∣g(t) (y0)

∣∣→ 0 quando t→ +∞.

99

ponto 7.2).

4.5.4 Modelos Não Lineares do tipo yt = Atyt−1+Bt

Suponha-se que se analisa o modelo AR com coeficiente aleatório,

yt = φ (ξt) yt−1 + ut (4.11)

onde ξt é uma variável aleatória. Os principais resultados apresentados na secção anterior

não se aplicam, pois a equação (4.11) não pode ser representada na forma yt = g (yt−1, yt−2, ..., yt−p)+

ut. A teoria assimptótica está especialmente desenvolvida para a seguinte classe de modelos

AR com coeficientes aleatórios:

Definição 4.5.4 Uma equação vectorial autoregressiva de dimensão d com coeficientes aleatórios

i.i.d. não negativos é uma equação da forma

yt = Atyt−1 + Bt (4.12)

onde (At,Bt) , t ∈ Z é uma sucessão i.i.d. com valores em M+d×d × (R+)

d.

Observe-se que M+d×d é o espaço das matrizes quadradas de ordem d de elementos todos

positivos.

Inúmeros processos não lineares podem ser representados na forma (4.12), como mostra

o

Exemplo 4.5.10 Considere-se o processo ut com heterocedasticidade condicionada de or-

dem (2, 1) , (GARCH(2,1))

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + α2u

2t−2 + β1σ

2t−1 + β2σ

2t−2, ω, αi, βi > 0.

Procure-se representar este processo na forma (4.12). Para o efeito, observe-se que

σ2t = ω + α1σ

2t−1ε

2t−1 + α2σ

2t−2ε

2t−2 + β1σ

2t−1 + β2σ

2t−2

= ω +(α1ε

2t−1 + β1

)σ2t−1 + α2u

2t−2 + β2σ

2t−2.

100

Tem-se σ2t

σ2t−1

u2t−1

︸︷︷︸

yt

=

α1ε

2t−1 + β1 β2 α2

1 0 0

ε2t−1 0 0

︸︷︷︸

At

σ2t−1

σ2t−2

u2t−2

︸︷︷︸

yt−1

+

ω

0

0

︸︷︷︸

Bt

.

A matriz aleatória At e o vector Bt estão nas condições da definição 4.5.4.

A estacionaridade do processo (4.12) está discutida, por exemplo, em Basrak et al.

(2002). O resultado principal é dado pela

Proposição 4.5.5 Assuma-se, no âmbito da definição 4.5.4, E (log ‖A1‖) < 0 e E(log+ ‖B1‖

)<

∞ (log+ x = max (log x, 0)). Então o processo definido por (4.12) converge (com probabil-

idade um) e a sua solução é estritamente estacionária.

Na proposição anterior, as condições de estacionaridade apenas envolvem A1 e B1, e

não toda a sucessão At e Bt , porque se admite que At e Bt são sequências i.i.d.

e, portanto, a avaliação de um elemento qualquer da sucessão é suficiente para estabelecer o

resultado desejado.

Uma versão (ligeiramente) mais geral da proposição anterior é apresentada Basrak et al.

(2002). Como habitualmente, ‖A‖ é a norma da matriz ou vector A.

Corolário 4.5.1 No caso escalar, d = 1,

yt = Atyt−1 +Bt,

assuma-se −∞ ≤ E (log |A1|) < 0 e E(log+ |B1|

)<∞. Então y converge (com probabili-

dade um) e a sua solução é estritamente estacionária.

Exemplo 4.5.11 Discuta-se a estacionaridade do processo

yt = |φ| yt−1 + |ut| ,

onde u é ruído branco Gaussiano. No contexto do corolário 4.5.1 tem-se

At = |φ| , Bt = |ut| .

101

A condição E(log+ |B1|

)< ∞ verifica-se imediatamente, tendo em conta a distribuição

assumida para u.9 Relativamente à outra condição, vem

E (log |A1|) = E (log |φ|) = log |φ| .

Se log |φ| < 0, i.e., |φ| < 1 o processo é EE.

Exemplo 4.5.12 Discuta-se a estacionaridade do processo

yt = eµ+etyt−1 + |ut| (4.13)

onde µ é uma constante e et e ut são ruídos brancos Gaussianos com variância igual a 1, e

independentes entre si. No contexto do corolário 4.5.1 tem-se

At = eµ+et , Bt = |ut| .

Como At é uma sucessão positiva de v.a. i.i.d., a equação (4.13) respeita a definição

4.5.4 (e, assim, o corolário 4.5.1 é aplicável). A condição E(log+ |B1|

)< ∞ verifica-

se imediatamente, tendo em conta a distribuição assumida para u. Relativamente à outra

condição, vem

E (log |A1|) = E(log eµ+e1

)= E (µ+ σe1) = µ.

Se µ < 0 então o processo y é EE.

Exemplo 4.5.13 Considere-se o processo ut com heterocedasticidade condicionada de or-

dem (1, 1) , (GARCH(1,1))

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 ω, α1, β1 > 0.

onde ε é um ruído branco EE e independente de ut−k, k ∈ N. O processo σ2t pode escrever-se

na forma

σ2t = ω + α1σ

2t−1ε

2t−1 + β1σ

2t−1 = ω +

(α1ε

2t−1 + β1

)σ2t−1.

9Se u ∼ N (0, 1) , então E (log |u|) = −0.635. Pode mostrar-se que log |u| função densidade de probabil-

idade 2e−e2y

2 +y/√

2π.

102

Tem-se assim

At =(α1ε

2t−1 + β1

), Bt ≡ B = ω.

Verifica-se que (At, B) é uma sucessão de v.a. positivas i.i.d. Para que σ2t admita uma

solução estritamente estacionária é suficiente (pode mostrar-se que é também necessário)

que se verifiquem as condições do corolário 4.5.1,−∞ ≤ E (log |A1|) < 0 e E(log+ |B1|

)<

∞. A segunda condição verifica-se imediatamente; a primeira estabelece

E (log |A1|) = E(log(α1ε

20 + β1

))< 0. (4.14)

Nelson (1990) obteve esta condição10, mas sem recorrer à proposição 4.5.5. Tem-se assim

que σ2t é um processo EE. E quanto a ut? Felizmente, não é necessário estudar directamente

ut, pois sabe-se que se o processo (ξ1t, ξ2t) é EE, uma qualquer função (mensurável) de

ξ1t e ξ2t é ainda estritamente estacionária. Assim, se (σ2t , εt) é EE, então o processo u

definido por ut = σtεt é também EE.

Exemplo 4.5.14 Retome-se o exemplo 4.5.10. Suponha-se que ε é um ruído branco com

distribuição N (0, 1) . Considerando a norma

‖A‖ = max1≤i≤n

(n∑j=1

|aij|),

tem-se

log ‖A1‖ = log

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

α1ε

20 + β1 β2 α2

1 0 0

ε20 0 0

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∞

= log max

∣∣α1ε20 + β1

∣∣+ |α2|+ |β2| , 1, |ε0|2

= max

log(∣∣α1ε

20 + β1

∣∣+ |α2|+ |β2|), 0, log

(|ε0|2

).

10O valor esperado E(log(α1ε

20 + β1

))tem expressão conhecida, por exemplo, quando ε0 ∼ N (0, 1) . O

programa Mathematica permite obter

E(log(α1ε

20 + β1

))= π erfi

(√β

2α

)+ log

(α2

)− EulerGamma

−βHypergeometricPFQ

(1, 1 ,

32 , 2, β2α

)α

.

A explicação destas funções pode ver-se no programa Mathematica.

103

Como E(log(|ε0|2

))= −1.27036 < 0 e todos os parâmetros são positivos, a condição

E (log ‖A1‖) < 0 resume-se a

E(log(α1ε

20 + α2 + β1 + β2

))< 0.

No caso α2 = β2 = 0, obtém-se a condição já estabelecida (4.14).

4.5.5 Modelos Não Lineares do tipo yt = g (yt−1,ut)

Os modelos mais gerais são do tipo yt = g (yt−1,ut) . No ponto anterior, a função g

decompõe-se na forma Atyt−1 (fixando At, g é linear no seu argumento) e no caso yt =

g (yt−1)+ut, anteriormente tratado, g, dado yt−1, não depende de uma componente aleatória.

O próximo resultado envolve os conceitos de aperiodicidade e irredutibilidade. Suponha-

se que o espaço de estados de y é 1, 2, 3. Imagine-se que o processo tem início no estado

1. Se y retorna ao estado 1 sempre em dois passos (por exemplo, visita 2 e volta a 1, ou visita

3 e volta a 1) o processo não é aperiódico. Irredutibilidade significa, grosso modo, que um

processo pode visitar qualquer estado qualquer que seja o estado em que se encontre.

Para processos com espaço de estados contínuo, a seguinte proposição assegura a irre-

dutibilidade (Mokkadem, 1985):

Proposição 4.5.6 Suponha-se que para qualquer conjuntoA ⊂ RN com medida de Lebesgue

não nulo e qualquer conjunto compacto B, existe um inteiro t > 0 tal que

infx∈B

P (yt ∈ A|y0 = x) > 0. (4.15)

Então o processo y é irredutível.

Defina-se ‖yt‖q := E (‖yt‖q)1q .

Proposição 4.5.7 Considere-se o processo multivariado y definido por

yt = g (yt−1,ut)

onde ut é uma sucessão de vectores i.i.d.. Suponha-se que y é um processo aperiódico e

irredutível. Suponha que existem escalares K > 0, δ ∈ (0, 1) e q > 0 tal que g está bem

104

definida e é contínua com respeito ao primeiro argumento e

‖g (x,u1)‖q < δ ‖x‖ , ‖x‖ > K.

Então yt é geometricamente ergódico e EE.

Exemplo 4.5.15 Retome-se o exemplo 4.5.13,

σ2t = ω +

(α1ε

2t−1 + β1

)σ2t−1

supondo ε é um ruído branco Gaussiano com variância igual a 1. A proposição 4.5.5 é

a mais adequada para tratar este caso. No entanto, também 4.5.7 pode ser invocada. O

processo é obviamente aperiódico, tendo em conta a distribuição de ε. Não é fácil verificar-

se (4.15), pois as probabilidades de transição a n passos não são conhecidas. É no entanto

pacífico assumir-se que σ2t , para algum t > 0, pode atingir qualquer conjunto A, qualquer

que seja a condição inicial. Assuma-se, assim, que σ2t é irredutível. Tem-se,

g (x, u1) = ω +(α1ε

21 + β1

)x

e escolha-se, no contexto da proposição 4.5.7, q = 1. Assim,

‖g (x,ε1)‖1 = E(∣∣ω +

(α1ε

21 + β1

)x∣∣) .

Em que circunstâncias se verifica

E(∣∣ω +

(α1ε

21 + β1

)x∣∣) < δ |x| , |x| > K ?

Para |x| suficientemente grande, tal que |x| > K, o valor de ω é irrelevante11. Assuma-se

assim ω = 0. Vem

E(∣∣(α1ε

21 + β1

)x∣∣) = E

(∣∣α1ε21 + β1

∣∣)x < δ |x| , |x| > K

se e só se E (|α1ε21 + β1|) < δ ∈ (0, 1) . A condição de estacionaridade estrita está encon-

11Considere-se, por exemplo, |ω + 0.98x| < 0.99 |x| . Esta desigualdade não se verifica para todo o x ∈ R.

No entanto, para qualquer valor de ω, existe certamente um K tal que |x| > K ⇒ |ω + 0.98x| < 0.99 |x| .

105

trada:

E(∣∣α1ε

21 + β1

∣∣) < 1.

Atendendo a α1ε21 + β1 > 0 e E (ε2

1) = 1, a condição pode reescrever-se na forma

E(∣∣α1ε

21 + β1

∣∣) = α1 + β1 < 1. (4.16)

Esta condição não é equivalente à obtida no exemplo 4.5.13, E (log (α1ε20 + β1)) < 0 (as

proposições 4.5.5 e 4.5.7, em geral, conduzem a condições suficientes, mas não necessárias).

Estas duas condições são discutidas no ponto 8.4.

4.A Demonstrações

Demonstração da proposição 4.5.1

Para simplificar, suponha-se que existe a densidade fn (y|x) = ∂∂yFn (y|x) . Considere-

se n→∞ em ambos os lados da equação (4.7). Como fn (y|x)− f (y) converge para zero

na norma ‖‖, a equação (4.7) com n→∞ é

f (y) =

∫f1 (y|u) f (u) du. (4.17)

Por hipótese, y0 (valor inicial) tem densidade estacionária fy0 = f. Resulta de (4.17) que y1

também tem densidade estacionária f, pois

fy1 (y) =

∫f1 (y|u) fy0 (u) du =

∫f1 (y|u) f (u) du = f (y) .

Por indução, conclui-se que fyt (y) = f (y) qualquer que seja t. Por outro lado, devido à

homogeneidade e à propriedade de Markov, a densidade conjunta de (yn, yn−1, ..., y1, y0)

fyn,yn−1,...,y1,y0 (xn, xn−1, ..., x1, x0) = f1 (xt|xt−1) f1 (xt−1|xt−2) ...fy0 (x0)

é igual à densidade conjunta de (yn+k, yn+k−1, ..., yk+1, yk)

fyn+k,yn+k−1,...,yk+1,yk (xn, xn−1, ..., x1, x0) = f1 (xt|xt−1) f1 (xt−1|xt−2) ...fyk (x0) ,

pois f1 (y|x) não depende do momento em que é calculada (apenas depende dos argumentos

106

y e x) e fy0 (x0) = fyk (x0) = f (x0).

107

Página em branco

108

Parte II

Modelos

109

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110

Capítulo 5

O Problema da Especificação


5.1 O Axioma da Correcta Especificação do Modelo

Seja yt o valor de uma variável económica no momento t. Em termos abstractos temos

a sucessão (ou colecção) de variáveis aleatórias yt, t ∈ Z ou yt, t ∈ N0 . Uma série

económica é apenas uma subsucessão de yt, t ∈ N0 . A série económica depende de in-

úmeros factores: leis económicas, choques externos, puro acaso, etc.

O verdadeiro comportamento de yt é desconhecido. Pode ser caracterizado por aquilo

a que se chama data generation process (DGP) e é definido como a lei de probabilidade

conjunta de yt, yt−1, ...:

F 0t (yt, yt−1, ...) ou f 0

t (yt, yt−1, ...) .

A distribuição conjunta ou a densidade conjunta (que se admite existir) descrevem comple-

tamente a sucessão em termos probabilísticos (incorpora tudo o que influencia yt). Note-se

que as funções F 0t ou f 0

t são desconhecidas. Além disso, dependem de t, porque se admite

a possibilidade de y ser não estacionário. O DGP pode ser equivalentemente descrito pelas

densidades condicionais (supondo que existem)

f 0t (yt| Ft−1)

, t = ...,−1, 0, 1, ...

111

Com efeito (usando a propriedade P (A ∩B) = P (A|B)P (B)),

f 0t (yt, yt−1, ...) = f 0

t (yt| yt−1, ...) f0t−1 (yt−1, yt−2...) (5.1)

= f 0t (yt| yt−1, ...) f

0t−1 (yt−1| yt−2, ...) f

0t−2 (yt−2, yt−3...)

= ...

= f 0t (yt| yt−1, ...) f

0t−1 (yt−1| yt−2, ...) ...f

01 (y1| y0, ...) ...

Logo a sucessão f 0t (yt| Ft−1) fornece a mesma informação que f 0 (yt, yt−1, ...). Por ex-

emplo, suponha-se que se simula o seguinte modelo:

y1 ∼ N (0, 1)

yt = 0.5yt−1 + εt, εt é um ruído branco N (0, 1) , t = 2, 3

Logo, o DGP da simulação é

f 0 (y3, y2, y1) = f 0 (y3| y2, y1) f 0 (y2, y1)

= f 0 (y3| y2, y1) f 0 (y2| y1) f 0 (y1)

= f 0 (y3| F2) f 0 (y2| F1) f 0 (y1) ,

e, portanto, pode ser completamente caracterizado pela distribuição condicional yt| Ft−1 ∼

N (0.5yt−1, 1) e pela distribuição do valor inicial (se o processo fosse iniciado em t = −∞

o DGP seria caracterizado apenas pela distribuição condicional).

Um modelo econométrico é definido pelo investigador e procura aproximar o melhor

possível o DGP através de um modelo

M (yt, yt−1, ...; dt;θ)

onde θ é um vector de parâmetros e dt inclui variáveis não aleatórias que procuram modelar

alterações no DGP ao longo do tempo (como por exemplo, variáveis artificiais determinísti-

cas, tendências, etc.).

Este modelo encerra uma hipótese quanto à fdp condicional, ft (yt|dt,Ft−1,θ) e, por-

tanto, quanto aos momentos condicionais, como por exemplo E (yt|dt,Ft−1,θ) e Var (yt|dt,Ft−1,θ) .

O axioma da correcta especificação do modelo M traduz-se da seguinte forma: existe um θ0

112

tal que

ft (yt|dt,Ft−1,θ0) = f 0t (yt| Ft−1) .

De forma análoga, os dois primeiros momentos condicionais estão correctamente especifi-

cados se existir um θ0 tal que

E (yt|dt,Ft−1,θ) =

∫yf 0

t (y| Ft−1) dy

Var (yt|dt,Ft−1,θ) =

∫y2f 0

t (y| Ft−1) dy −(∫

yf 0t (y| Ft−1) dy

)2

.

Na prática, a hipótese da correcta especificação é implausível, embora seja geralmente

conveniente invocá-la como forma de estruturar e interpretar os resultados estatísticos. De

todo o modo, o objectivo é claro: devemos procurar uma fdp ft (yt|dt,Ft−1,θ0) que esteja

o mais próximo possível da verdadeira mas desconhecida densidade f 0 (yt| Ft−1).

5.2 Modelação da Média Condicional e Modelos Dinami-

camente Completos

5.2.1 Modelos Dinamicamente Completos

Generalize-se a análise e admita-se que a yt depende dos valores correntes e passados de

xt. Seja It = Ft−1 ∪ FXt onde FXt é o conjunto de informação contendo todas as variáveis

explicativas até ao período t. Assim, It = yt−1, yt−2, ...;xt, xt−1, .... O primeiro passo na

construção do modeloM é o da definição da média condicional, o que significa que devemos

identificar todas as variáveis explicativas de yt. Por exemplo, suponha-se que as variáveis

relevantes para explicar um certo fenómeno yt são xt e yt−1. Normalmente expressamos esta

nossa convicção sobre o poder explicativo xt e yt−1 escrevendo yt = β1 +β2xt+φyt−1 +ut,

sendo ut é o termo de erro. É importante sublinhar que nada de relevante é dito sobre

o modelo se não adiantarmos uma hipótese sobre o comportamento de ut. Se dissermos

que E (ut) = 0 apenas podemos concluir que E (yt) = β1 + β1 E (xt) + φE (yt−1) . Se

adicionalmente dissermos que Cov (ut, xt) = Cov (ut, yt−1) = 0 então (pode-se provar que)

β1 + β2xt + φyt−1 é o melhor previsor linear de yt. Se a nossa hipótese é E (ut| It) = 0

acrescentamos bastante mais informação: de facto, reclamamos que a média condicional é

E (yt| It) = β1 + β2xt + φyt−1. Todavia, nenhuma suposição é feita quanto a distribuição

113

condicional de yt.

Seja xt o vector das variáveis explicativas. No exemplo anterior tem-se xt = (xt, yt−1) ,

e pode-se verificar que E (yt|xt) = E (yt| It) . De uma forma geral, quando é válida a

igualdade E (yt|xt) = E (yt| It) diz-se que o modelo é dinamicamente completo. Veja um

caso onde o modelo não é dinamicamente completo. Considere-se,

yt = β1 + β2xt + β3yt−1 + ut, ut = φ2ut−2 + εt (5.2)

sendo εt um RB. Este modelo não é dinamicamente completo, pois

E (yt| It) = β1 + β2xt + β3yt−1 + φut−2

não coincide com

E (yt|xt) = E (yt|xt, yt−1) = β1 + β2xt + β3yt−1.

No entanto, é fácil obter um modelo dinamicamente completo a partir de (5.2). Como

ut = yt − (β1 + β2xt + β3yt−1)⇒

ut−2 = yt−2 − (β1 + β2xt−2 + β3yt−3)

tem-se, a partir da representação (5.2),

yt = β1 + β2xt + β3yt−1 + ut

= β1 + β2xt + β3yt−1 + φ2ut−2 + εt

= β1 + β2xt + β3yt−1 + φ2 (yt−2 − (β1 + β2xt−2 + β3yt−3)) + εt

= β1 − β1φ2 + β2xt + β3yt−1 + φ2yt−2 − β2φ2xt−2 − β3φ2yt−3 + εt.

A equação anterior pode ainda escrever-se na forma

yt = γ1 + γ2xt + γ3yt−1 + γ4yt−2 + γ5xt−2 + γ6yt−3 + εt. (5.3)

O vector xt passa agora a ser xt = (xt, yt−1, yt−2, xt−2, yt−3) e o modelo (5.3) é dinamica-

114

mente completo pois

E (yt| It) = E (yt|xt) = γ1 + γ2xt + γ3yt−1 + γ4yt−2 + γ5xt−2 + γ6yt−3.

Num modelo dinamicamente completo, o conjunto das variáveis explicativas xt capta toda

a dinâmica do processo, de tal forma que os erros não são autocorrelacionados (vale a pena

acrescentar que um modelo dinamicamente completo não pode ter erros autocorrelaciona-

dos).

Que diferenças existem entre os modelos (5.2) e (5.3)? O estimador OLS aplicado a

(5.3) é consistente; mas aplicado a (5.2) é inconsistente, pois o regressor yt−1 está correla-

cionado com os erros ut (E (ut|xt) 6= 0). Claro que no modelo (5.2) deve usar-se um

método de estimação consistente, como por exemplo, o método FGLS ou o método da máx-

ima verosimilhança. Quando são usados métodos de estimação apropriados, do ponto de

vista estatístico - por exemplo, previsão ou ajustamento - os modelos acima discutidos são

(quase) equivalentes (e, portanto, é indiferente usar-se um ou o outro). Do ponto de vista da

interpretação económica o modelo (5.3) pode ser preferível, pois identifica claramente todos

os regressores “influentes” na explicação das variações de y. Mas, também pode suceder

o contrário! Suponha-se que a teoria económica postula para certo fenómeno a relação

yt = β1 + β2xt + ut. É esta a relação que queremos estimar, mesmo que ut possa exibir

autocorrelação.

5.2.2 Média Condicional Não Linear

Suponha-se que a média condicional é dada por

E (yt| Ft−1) = g (yt−1, yt−2, .., yt−p;ut−1, ut−2, ...ut−q)

(não estando presente a variável explicativa xt, a σ-algebra relevante é Ft e não It, como no

exemplo anterior). Diz-se que o modelo yt = g (yt−1, yt−2, .., yt−p;ut−1, ut−2, ...ut−q) + ut

é não linear na média se g é uma função não linear dos seus argumentos. Vejamos alguns

exemplos. No caso

yt = φyt−1 + log(1 + y2

t−1

)+ ut, E (ut| Ft−1) = 0,

115

tem-se um modelo não linear na média, pois, E (yt| Ft−1) = φyt−1 + log(1 + y2

t−1

)é uma

função não linear de yt−1. Também

yt = ξut−1ut−2 + ut, E (ut| Ft−1) = 0

é um modelo não linear, pois E (yt| Ft−1) = ξut−1ut−2 é não linear nos valores passados de

ut. Outro exemplo é Modelo Threshold

yt =

φ1yt−1 + ut se yt−1 > k

φ2yt−1 + ut se yt−1 ≤ k.

com E (ut| Ft−1) = 0. Desenvolveremos modelos não lineares com algum detalhe no ponto

7.

5.3 Modelação da Variância Condicional

Definida a média condicional, pode haver interesse em explicar a variabilidade de yt ao longo

do tempo. No modelo clássico de séries temporais assume-se que a variância condicional é

constante ao longo do tempo. Essa hipótese não é credível em séries temporais financeiras.

No ponto 8 discutiremos esta questão em detalhe. Uma forma de introduzir um modelo

de variância condicional não constante consiste em definir o termo de erro da equação yt =

E (yt| Ft−1)+ut da seguinte forma ut = σtεt, onde εt é um ruído branco de variância igual a

1 ou, mais geralmente, uma diferença de martingala (com variância finita igual a 1). Resulta

Var (yt| Ft−1) = Var (ut| Ft−1) = Var (σtεt| Ft−1) = σ2t .

A tarefa do investigador é a de definir uma função adequada para σ2t . No ponto 8 aborda-se

de forma detalhada esta questão.

5.4 Distribuição de Condicional

Definida a média condicional e a variância condicional e, eventualmente, outros momentos

condicionais de ordem superior, pode haver interesse em modelar toda a estrutura probabilís-

tica do processo. Para o efeito é necessário no contexto da equação yt = E (yt| Ft−1) + ut

116

com ut = σtεt, especificar uma distribuição para εt. Por exemplo, se a proposta do investi-

gador é εt ∼ N (0, 1) , resulta que distribuição condicional de yt é

yt| Ft−1 ∼ N (E (yt| Ft−1) ,Var (yt| Ft−1)) ,

e toda a estrutura probabilística fica definida. No contexto do ponto 5.1, a densidade definida

para yt| Ft−1 representa a função ft (yt|dt,Ft−1,θ).

117

Página em branco

118

Capítulo 6

Modelação da Média: Abordagem Linear


Neste capítulo vamos focar modelos lineares na média. Considere-se o modelo

yt = µt + ut (6.1)

onde ut são os erros e µt = g (yt−1, yt−2, .., yt−p;ut−1, ut−2, ...ut−q) é a média condicional.

De acordo com a regra adoptada adiante, entende-se que o modelo (6.1) é linear na média se

a função g é linear nos seus argumentos. Por exemplo, a especificação µt = φyt−1 + θut−1

é linear (a função g é g (x1, x2) = φx1 + θx2) ao passo que µt = φy2t−1(g (x) = φx2) é não

linear.

Toma-se como variável dependente y (pode ser um retorno de um título, a variação

da taxa de câmbio, uma taxa de juro, etc.). Começaremos por admitir que a única infor-

mação que dispomos sobre y é a própria série. Como explicar yt a partir da informação

Ft−1 = yt−1, yt−2, ...? Se yt não está correlacionado de alguma forma com os seus valores

passados yt−1, yt−2, ... a abordagem de séries temporais é inútil. Pelo contrário, se existe ev-

idência de autocorrelação, então os valores passados da série podem explicar parcialmente o

movimento de y e um modelo linear na média pode ser apropriado. Na prática, teremos de es-

colher um modelo concreto. Por exemplo, yt = c+φyt−1+ut ou yt = c+φ1yt−1+φ2yt−2+ut

ou yt = c+ θ1ut−1 + ut entre muitos outros. Como seleccionar o modelo apropriado? A au-

tocorrelação (total) e autocorrelação parcial são dois conceitos chave na fase da identificação

do modelo. Iremos analisá-los de seguida.

119

6.1 Definições Preliminares

6.1.1 Autocorrelação de Ordem s (FAC)

Suponha-se que y é um processo ESO. Para medir a associação linear entre yt e yt−s já vimos

que se toma o coeficiente de autocorrelação de ordem s,

ρs =Cov(yt, yt−s)√

Var (yt) Var (yt−s)

onde

Cov(yt, yt−s) = E ((yt − E (yt)) (yt−s − E (yt−s)))

= E (ytyt−s)− E (yt) E (yt−s) .

Convencione-se chamar γs a Cov (yt, yt−s) e γ0 a Var (yt)1. Como Var (yt) = Var (yt−s)

vem

ρs =Cov(yt, yt−s)√

Var (yt) Var (yt−s)=

γs√γ2

0

=γsγ0

.

Naturalmente, devido à desigualdade de Chaucy-Schwarz2, tem-se

|ρs| ≤ 1.

6.1.2 Autocorrelação Parcial de Ordem s (FACP)

Quando se calcula a correlação entre, por exemplo, yt e yt−2, por vezes sucede que a cor-

relação detectada se deve ao facto de yt estar correlacionado com yt−1, e yt−1, por sua vez,

estar correlacionado com yt−2. Com a autocorrelação parcial procura-se medir a correlação

entre yt e yt−s eliminando o efeito das variáveis intermédias, yt−1, ..., yt−s+1. A análise desta

forma de autocorrelação é importante na medida em que permite, juntamente com a FAC,

identificar o processo linear subjacente.

No âmbito do modelo de regressão linear, sabe-se que uma forma de medir a associação

parcial ceteris paribus entre, por exemplo, y e x1 consiste em considerar a regressão y =

β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+u.Com este procedimento β1 representa o efeito ceteris paribus

1Na verdade, adoptando a convenção γs = E ((yt − E (yt)) (yt−s − E (yt−s))) resulta, por definição, γ0 =

E ((yt − E (yt)) (yt − E (yt))) = Var (yt) .

2Suponha-se que E(|X|2

)<∞ e E

(|Y |2

)<∞. Então E (|XY |) ≤ E

(|X|2

)1/2E(|Y |2

)1/2.

120

de uma variação unitária de x1 sobre y. Mede-se, portanto, o impacto de x1 sobre y depois

do efeito das variáveis x2, ..., xk ter sido removido ou fixo. Para obtermos as autocorrelações

parciais seguimos um procedimento similar.

Considere-se:

yt = c+ φ11yt−1 + ξt

yt = c+ φ21yt−1 + φ22yt−2 + ξt

yt = c+ φ31yt−1 + φ32yt−2 + φ33yt−3 + ξt

...

yt = c+ φs1yt−1 + φs2yt−2 + ...+ φssyt−s + ξt

A autocorrelação parcial de ordem i é dada pelo coeficiente φii. Por exemplo, a autocorre-

lação parcial de ordem 2 é dada pelo coeficiente φ22 na regressão

yt = c+ φ21yt−1 + φ22yt−2 + ξt. (6.2)

Podemos usar o OLS para obter φ22. Este coeficiente mede a relação entre yt e yt−2 depois

do efeito de yt−1 ter sido removido. φkk também pode ser estimado através da expressão

φkk =

∑t rt,kyt∑t r

2t,k

onde rt,k é o resíduo da regressão linear de yt−k sobre um termo constante e (yt−1, ..., yt−k+1) .

Os resíduos rt,k podem ser interpretados como a variável yt−k depois dos efeitos das variáveis

(yt−1, ..., yt−k+1) terem sido removidos. Donde φkk mede o efeito entre yt e yt−k depois do

efeito das variáveis intermédias ter sido removido.

Uma outra forma alternativa de obter φii (como função dos ρ′s) está descrita no apêndice

6.A. Sob H0: φkk = 0

Z =√nφkk

d−→ N (0, 1) .

121

6.1.3 Operador de Diferença e de Atraso

O operador diferença ∆ é bem conhecido:

∆yt = yt − yt−1,

∆2yt = ∆ (∆yt) = ∆ (yt − yt−1) = ∆yt −∆yt−1

= yt − yt−1 − (yt−1 − yt−2) = yt − 2yt−1 + yt−2.

O operador de atraso ou de desfasamento L (lag) define-se como

Lyt = yt−1.

Resulta da definição,

L2yt = L (Lyt) = Lyt−1 = yt−2,

Lpyt = yt−p,

Lput = ut−p.

Naturalmente, podemos combinar os operadores. Por exemplo,

L∆yt = L (yt − yt−1) = yt−1 − yt−2.

Com o operador L podemos escrever, por exemplo,

yt − φ1yt−1 − φ2yt−2 = µ+ θ1ut−1 + ut

na forma,

yt − φ1Lyt − φ2L2yt = µ+ θ1Lut + ut(

1− φ1L− φ2L2)yt = µ+ (1 + θ1L)ut

φ2 (L) yt = µ+ θ1 (L)ut.

Obs.: φ2 (L) = 1− φ1L− φ2L2 e θ1 (L) = 1 + θ1L são polinómios em L. Certos autores,

sobretudo da área das sucessões cronológicas, preferem a letra B (backshift) para designar o

mesmo operador de atraso.

122

6.2 Processos Lineares Estacionários

A decomposição de Wold fornece uma motivação para os modelos de médias móveis (ver a

seguir). Wold mostrou que um processo y ESO pode escrever-se na forma

yt = Vt + ut + ψ1ut−1 + ψ2ut−2 + ... (6.3)

onde ut é um RB, Vt é um processo determinístico e∑∞

i=1 ψ2i <∞.

A decomposição destaca que qualquer processo ESO (linear ou não linear) tem uma

representação linear nos erros de regressão (podemos também dizer, nos erros de previsão)

ocorridos no passado. No entanto, o modelo (6.3) não pode ser implementado porque exis-

tem infinitos parâmetros para estimar.

Vamos procurar representações lineares parcimoniosas, inspiradas em (6.3).

Exemplos:

yt = ut + θ1ut−1 (ψ1 = θ1, ψ2 = ψ3 = ... = 0)

yt = ut + θ1ut−1 + θ2ut−2 (ψ1 = θ1, ψ2 = θ2, ψ3 = ψ4 = ... = 0)

Veremos que os processos do tipo

yt = c+ φyt−1 + ut

podem também escrever-se na forma (6.3) (com restrições sobre os ψi). Veremos tam-

bém que a melhor aproximação linear parcimoniosa que podemos efectuar à estrutura (6.3),

supondo Vt = 0, baseia-se no chamado modelo ARMA.

6.2.1 Processos Média Móvel

Processo MA (1)

O processo MA(1) é dado por

yt = µ+ θut−1 + ut = µ+ (1 + θL)ut

onde ut é um ruído branco. Este modelo representa yt como uma combinação linear de

choques aleatórios (ut−1 e ut). Outra forma de interpretarmos o modelo consiste em imaginar

123

que yt resulta de um mecanismo de correcção: podemos utilizar o erro cometido no período

anterior, ut−1, como regressor (i.e., como variável explicativa) do modelo (por exemplo,

veremos que a previsão de y baseia-se, em parte, no erro de previsão cometido no período

anterior). Este modelo é indicado para modelar fenómenos de memória muito curta pois a

autocorrelação de y extingue-se muito rapidamente, como veremos a seguir.

Momentos Marginais

Os primeiros momentos marginais (ou não condicionais) são

E (yt) = E (µ+ θut−1 + ut) = µ

Var (yt) = Var (µ+ θut−1 + ut) = θ2σ2 + σ2.

Covariâncias e Autocorrelações

γ1 = Cov (yt, yt−1) = E ((yt − µ) (yt−1 − µ))

= E ((θut−1 + ut) (θut−2 + ut−1))

= E(θ2ut−1ut−2 + θu2

t−1 + θutut−2 + utut−1

)= 0 + θσ2 + 0 + 0

Pode-se provar

γs = 0 para s > 1.

O processo yt é ESO pois E (yt) e Var (yt) são constantes e γs não depende de t. Conclui-

se agora que as autocorrelações são dadas por

ρ1 =γ1

γ0

=θσ2

θ2σ2 + σ2=

θ

θ2 + 1.

ρs = 0 para s > 1.

Relativamente às autocorrelações parciais tem-se

φ11 = ρ1 =θ

θ2 + 1,

e (pode-se provar)

φss =θs(1− θ2

)1− θ2(s+1)

.

Momentos Condicionais

124

Os momentos condicionais são imediatos:

E (yt| Ft−1) = E (µ+ θut−1 + ut| Ft−1) = µ+ θut−1.


(yt − E (yt| Ft−1))2∣∣Ft−1

)= E

(u2t

∣∣Ft−1

)= σ2.

Se ut é um ruído branco Gaussiano então

yt| Ft−1 ∼ N(µ+ θut−1, σ

2).

Invertibilidade

Considere-se um processo MA(1) (sem perda de generalidade) de média nula, yt =

θut−1 + ut, onde ut é um ruído branco. Naturalmente, y pode escrever-se na forma

yt = (1 + θL)ut ou yt (1 + θL)−1 = ut

Atendendo ao desenvolvimento em série de potência de (1 + θL)−1,

1

1 + θL= 1− θL+ θ2L2 − ..., |θ| < 1

tem-se, para |θ| < 1,

yt (1 + θL)−1 = ut

yt(1− θL+ θ2L2 − ...

)= ut

yt = θyt−1 − θ2yt−2 + ...+ ut. (6.4)

Diz-se neste caso, com |θ| < 1 que yt é invertível, isto é, tem representação autoregressiva3.

O facto do processo MA(1) (e, mais geralmente, o processo MA(q)) ter representação do

tipo (6.4) explica por que razão a função de autocorrelação parcial φii é não nula para todo o

i (porquê?).

A invertibilidade é uma propriedade exigível na previsão: garante que a informação re-

mota sobre o processo é irrelevante. Imagine-se o caso contrário, i.e. o processo não in-

vertível. Isto significa que |θ| > 1 e, pela equação (6.4), a informação mais atrasada tem

mais peso na previsão y (a rigor a representação (6.4) não está bem definida no caso |θ| > 1;

3No caso yt = µ+θut−1+ut, |θ| < 1, a representação autoregressiva é yt = µ1+θ+θyt−1−θ2yt−2+...+ut.

125

no entanto, a ideia essencial mantém-se).

Um processo não invertível pode transformar-se num processo invertível com funções de

autocorrelação e autocorrelações parciais iguais (ver apêndice 6.B).

Processo MA (q)

O processo MA(q) é dado por

yt = µ+ θ1ut−1 + θ2ut−2 + ...+ θqut−q + ut,

= µ+ (1 + θ1L+ ...+ θqLq)ut

= µ+ θq (L)ut.

O processo yt continua a representar-se como uma combinação linear de choques aleatórios,

desta vez, em função de ut−q, ... ut. Pode-se provar:

E (yt) = µ

Var (yt) = σ2(1 + θ2

1 + ...+ θ2q

)ρk =

6= 0 se k = 1, 2, ..., q

0 se k = q + 1, q + 2, ...

Pode-se provar ainda:

φkk 6= 0, mas φkk → 0, quando k →∞.

Proposição 6.2.1 yt é invertível se as raízes de θq (L) (i.e. as soluções de θq (L) = 0) são em

módulo superiores a um (ou fora do circulo unitário no plano complexo). Equivalentemente,

yt é invertível se as raízes inversas de θq (L) (i.e. 1/L onde L são as soluções de θq (L) = 0)

são em módulo inferiores a um (ou dentro do circulo unitário no plano complexo).

No caso MA(1) a proposição 6.2.1 é equivalente a exigir |θ1| < 1 (ou |1/θ1| > 1).

Observe-se que −1/θ1 é solução de 1 + θ1L = 0. No caso MA(2)

yt = µ+ θ1ut−1 + θ2ut−2 + ut = µ+(1 + θ1L+ θ2L

2)ut

126

a proposição 6.2.1 traduz-se da seguinte forma: yt é invertível se

θ1 + θ2 > −1, θ1 − θ2 < 1, −1 < θ2 < 1.

No caso MA(q), q > 2 é necessário calcular as raízes de θq (L) .

O apêndice 6.C fornece alguns exemplos e refere-se ao programa EVIEWS.

6.2.2 Processos Autoregressivos

Processo AR(1)

O processo AR(1) é dado por

yt = c+ φyt−1 + ut (6.5)

onde ut é ruído branco independente de yt−1. Este modelo é muito importante porque repro-

duz razoavelmente a dinâmica de muitas séries económicas e financeiras.

Momentos Marginais

Comece-se por calcular a média marginal

E (yt) = E (c+ φyt−1 + ut) = c+ φE (yt−1) .

(temos uma equação recorrente em E (yt): este valor esperado depende de E (yt−1) que, por

sua vez, depende de E (yt−2) e assim sucessivamente). Se assumirmos à partida a condição

de ESO (implicando E (yt) = E (yt−1) = E (y)) vem

E (y) = c+ φE (y)⇒ E (y) =c

1− φ

Seguindo um raciocínio idêntico vem:

Var (yt) = Var (c+ φyt−1 + ut) = φ2 Var (yt−1) + Var (ut)

= φ2 Var (yt−1) + σ2

Sob a hipótese de ESO, tem-se Var (yt) = Var (yt−1) = Var (y) e, portanto,

Var (yt) = φ2 Var (y) + σ2 ⇒ Var (y) =σ2

1− φ2 .

127

Covariâncias e Autocorrelações

Calcule-se agora as covariâncias. Como estas não dependem da média de yt, simplifique-

se fazendo c = 0. Suponha-se |φ| < 1. A covariância γ1 é dada por

γ1 = Cov (yt, yt−1) = E (ytyt−1)

= E (E (ytyt−1 |Ft−1 )) = E (yt−1 E (yt |Ft−1 ))

= E (yt−1 E (φyt−1 + ut |Ft−1 )) = E(φy2

t−1

)= φ

σ2

1− φ2 .

A covariância de ordem k é

γk = E (ytyt−k) = E (E (ytyt−k |Ft−k )) = E (yt−k E (yt |Ft−k ))

Para desenvolvermos a expressão precisamos de calcular primeiro E (yt |Ft−k ) . Ora

yt = φyt−1 + ut

= φ (φyt−2 + ut−1) + ut

= φ2yt−2 + φut−1 + ut

= ... = yt−kφk + ut−k+1φ

k−1 + ut−k+2φk−2 + ...+ ut−1φ+ ut

pelo que

E (yt| Ft−1) = yt−kφk

(todos os outros termos são nulos). Tem-se assim,

γk = E(yt−kyt−kφ

k)

= φk E(y2t−k)

= φkσ2

1− φ2 = φkγ0.

Uma forma alternativa de obter este valor é a seguinte. Multiplique-se ambos os termos da

equação (6.5) por yt−k (sem perda de generalidade, considere-se c = 0). Resulta

ytyt−k = φyt−1yt−k + utyt−k.

128

Tomando o valor esperado e tendo em conta que E (utyt−k) = 0, obtém-se

γk = φγk−1.

Logo,

γ1 = φγ0,

γ2 = φγ1 = φ2γ0

...

γk = φkγ0.

Finalmente,

ρk =γkγ0

=φkγ0

γ0

= φk.

Tendo em conta a definição de autocorrelação parcial, tem-se:

yt = c+ φ11yt−1 + ξt ⇒ φ11 = ρ1

yt = c+ φ21yt−1 + φ22yt−2 + ξt ⇒ φ22 = 0

Assim,

φkk =

ρ1 se k = 1

0 se k > 1

Os dois primeiros momentos condicionais são

E (yt| Ft−1) = E (yt| yt−1) = E (φyt−1 + ut| yt−1) = φyt−1,


(yt − φyt−1)2∣∣ yt−1

)= E

(u2t

∣∣ yt−1

)= σ2.


yt| Ft−1 ∼ N(φyt−1, σ

2)

.

Pode-se provar que a condição de estacionaridade do processo AR(1) é (ver apêndice

6.D)

|φ| < 1.

129

Invertibilidade

O processo AR é sempre invertível (por definição já tem representação autoregressiva).

Reversão para a Média

Processos estacionários com média finita são, por vezes, designados por processos com

reversão para a média. Exemplifique-se com o processo AR(1)

yt = c+ φyt−1 + ut, |φ| < 1.

Como µ = c1−φ ⇒ c = µ (1− φ) (note-se que µ é a média de y, E (yt)) podemos reescrever

o AR(1) na seguinte forma:

yt = µ (1− φ) + φyt−1 + ut

∆yt = µ (1− φ) + (φ− 1) yt−1 + ut

= (φ− 1) (yt−1 − µ) + ut

Esta última equação permite estabelecer as seguintes relações:

(yt−1 − µ) > 0⇒ E (∆yt| Ft−1) < 0

(yt−1 − µ) < 0⇒ E (∆yt| Ft−1) > 0.

Por exemplo, se num certo período (digamos t − 1) o valor de y está acima da sua média

de longo prazo µ (i.e. y está relativamente alto) no período seguinte y tenderá a diminuir de

valor pois E (∆yt| Ft−1) < 0. Quando φ é positivo (esta é a situação habitual em aplicações),

é possível concluir que quanto mais alto for φ (sem, contudo ultrapassar o valor 1) mais

lenta é a velocidade de ajustamento de y em direcção à sua média de longo prazo. Suponha

que o processo y sofre um choque aleatório considerável (ou que é inicializado num valor

afastado da sua média de longo prazo). Como é que y evolui nos períodos seguintes? Tende a

aproximar-se rapidamente ou lentamente de µ? (pode mesmo suceder que não haja qualquer

efeito de reversão para uma medida de tendência central se, no limite, φ = 1). Na figura 6-1

estão representados quatro processos AR(1) simulados de acordo com o modelo

yt = 100 (1− φ) + φyt−1 + ut, ut ruído branco Gaussiano σ2 = 1

Em todos os casos, o valor de inicialização é y0 = 0 e usam-se os mesmos erros u. Quanto

130

20

0

20

40

60

80

100

120

1 26 51 76 101 126 151 176

t

y

fhi=0.1fhi=0.8fhi=0.98fhi=1

Figura 6-1: Simulação de quatro processos AR(1) (choques aleatórios ut iguais e valor de

inicialização y0 = 0)

mais alto é o valor φ mais lento é o ajustamento de y face à média de longo prazo y. No caso

φ = 1 não existe reversão para µ, embora o processo possa cruzar µ = 100 (assim como

qualquer outro valor do espaço de estado de y) algures no tempo.

Representação MA(∞)

Um processo AR(1) (ou mais geralmente um AR(p)) estacionário pode representar-se

como um MA(∞). Já vimos

yt = φyt−1 + ut

= φty0 + φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut

Podemos continuar o procedimento recursivo:

yt = φt (φy−1 + u0) + φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut

= φt+1y−1 + φtu0 + φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut

= ...φ2ut−2 + φut−1 + ut.

Para obtermos este resultado podemos tomar um caminho alternativo. Considere-se

yt = φyt−1 + ut ⇔ yt (1− φL) = ut ⇔ yt =1

1− φLut.

131

Supondo |φ| < 1 tem-se

1

1− φL = 1 + φL+ φ2L2 + ...

Logo

yt =1

1− φLut =(1 + φL+ φ2L2 + ...

)ut

= ut + φut−1 + φ2ut−2 + ...

Processo AR(p)

Um processo AR(p) é uma simples generalização do AR(1):

yt = c+ φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + ut.

Este modelo pode ainda representar-se nas seguintes formas alternativas:

(1− φ1L− ...− φpLp

)yt = c+ ut, ou

φp (L) yt = c+ ut.

Momentos Marginais (ou não condicionais)

Assumindo a condição de ESO, vem

E (yt) = E(c+ φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + ut

)= c+ φ1 E (yt−1) + ...+ φp E (yt−p)

E (y) = c+ φ1 E (y) + ...+ φp E (y)⇒ E (y) =c

1− φ1 − ...− φp.

Para obtermos a variância é útil considerar (sem perda de generalidade faça-se c = 0 ⇒

E (y) = 0):

yt = φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + ut

y2t = φ1yt−1yt + ...+ φpyt−pyt + utyt

E(y2t

)= φ1 E (yt−1yt) + ...+ φp E (yt−pyt) + E (utyt)

E(y2t

)= φ1γ1 + ...+ φpγp + σ2

γ0 = φ1γ1 + ...+ φpγp + σ2.

132

As covariâncias são obtidas de forma similar (sem perda de generalidade faça-se c = 0 ⇒

E (y) = 0):

yt = φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + ut

ytyt−k = φ1yt−1yt−k + ...+ φpyt−pyt−k + utyt−k

E (ytyt−k) = φ1 E (yt−1yt−k) + ...+ φp E (yt−pyt−k) + E (utyt−k)

γk = φ1γk−1 + ...+ φpγk−pγkγ0

= φ1

γk−1

γ0

+ ...+ φpγk−pγ0

ρk = φ1ρk−1 + ...+ φpρk−p k ≥ 1.

Pode-se provar que a solução geral da equação às diferenças finitas (determinística)4 é da

forma

ρk = c1rk1 + ...+ cpr

kp ,

onde ci constante arbitrárias e ri = 1/zi e zi são raízes do polinómio φp (L). Pode-se provar

que sob a condição de ESO os coeficientes de autocorrelação ρk não se anulam mas tendem

para zero quando k → 0.

Estacionaridade

Proposição 6.2.2 O processo AR(p) é estacionário sse as raízes da equação φp (L) = 0 são

em módulo superiores a um (ou fora do circulo unitário no plano complexo) (apêndice 6.E).

No caso AR(1) a raiz de φ (L) = 0 é fácil de obter:

(1− φL) = 0⇒ L =1

φ

Devemos exigir ∣∣∣∣1φ∣∣∣∣ > 1⇒ |φ| < 1.

No caso AR(2) pode-se provar que a condição de ESO é:

φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, −1 < φ2 < 1

4Quase diríamos que esta equação é um processo AR(p) não fosse o facto de não possuir termo aleatório.

De forma rigorosa, podemos dizer que é uma equação (linear) às diferenças finitas, de ordem p (de coeficientes

constantes). Esta terminologia é usada na área dos sistemas dinâmicos em tempo discreto.

133

FAC

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FACP

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FAC

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FACP

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FAC

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FACP

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FAC

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

FACP

1

0.5

0

0.5

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Figura 6-2: FAC e FACP teóricas associadas aos seguintes cenários (de cima para baixo): (a)

φ1 > 0, φ2 > 0; (b) φ1 < 0, φ2 > 0; (c) φ1 > 0, φ2 < 0; (d) φ1 < 0, φ2 < 0.

(estas condições baseiam-se evidentemente na proposição anterior).

No caso AR(p) com p > 2 não temos outra alternativa senão calcular (por exemplo,

através do programa Mathematica) as raízes de φp (L) = 0.

Suponha-se que y é ESO. Nestas condições, pode-se provar:

ρk = φ1ρk−1 + φ2ρk−2 + ...+ φpρk−p, k ≥ 1

ρk não se anulam mas ρk → 0 quando k →∞.

φkk =

6= 0 se k = 1, 2, ..., p

0 se k = p+ 1, p+ 2, ...

É óbvio que φkk = 0 se k > p. Por exemplo φp+1,p+1 = 0 porque

yt = φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + 0yt−p−1 + ut

134

6.2.3 Processos ARMA

Por que não combinar os dois processos AR e MA? É isso que se propõe com o modelo

ARMA. No caso geral ARMA(p,q) (i.e. AR(p) + MA(q)) o modelo representa-se em qual-

quer uma das seguintes formas alternativas:

yt = φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + θ1ut−1 + ...+ θqut−q + ut

yt − φ1yt−1 − ...− φpyt−p = ut + θ1ut−1 + ...+ θqut−q(1− φ1L− ...− φpLp

)yt = (1 + θ1L+ ...+ θqL

q)ut

φp (L) yt = θq (L)ut

yt =θq (L)

φp (L)ut.

Ainda outra alternativa baseia-se no desenvolvimento em série de potências de L da função

racional θq (L) /φp (L). Obtém-se

yt = ut + ψ1ut−1 + ψ2ut−2 + ...

Esta expressão não corresponde à decomposição de Wold (porque estes ψ′s estão sujeitos

a restrições), mas constitui a melhor aproximação linear à decomposição, baseada numa

estrutura linear (a qualidade da aproximação aumenta quando p e q aumentam).

A estacionaridade depende da estrutura AR. Concretamente, o processo ARMA(p,q) é

estacionário sse as raízes da equação φp (L) = 0 estão todas fora do círculo unitário no plano

complexo. A invertibilidade depende da estrutura MA. Concretamente, o processo ARMA é

invertível sse as raízes de θq (L) estão todas fora do circulo unitário no plano complexo. Na

tabela 6.1 apresenta-se um quadro resumo das principais propriedades do modelos AR, MA

e ARMA.

Nas figuras 6-3 e 6-4 encontram-se as FAC e FACP de vários processos lineares simula-

dos (n = 50000). Procure identificá-los5.

A tabela 6.2 identifica os processos simulados nas figuras 6-3 e 6-4.

5Observe que as FAC e FACP são obtidas a partir dos processos simulados e, portanto, não correspondem

às funções teóricas; por esta razão, embora alguns coeficientes populacionais sejam zero, os respectivos coe-

ficientes estimados podem não ser iguais a zero (de facto, é uma impossibilidade virem exactamente iguais a

zero). Assuma que os coeficientes estimados muito baixos não são estatisticamente significativos.

135

AR(p) MA(q) ARMA(p,q)

Modelo φp (L) yt = ut θ−1p (L) yt = ut θ−1

p (L)φp (L) yt = utem yt Série finita em yt Série infinita em yt Série infinita em ytModelo yt = φ−1

p (L)ut yt = θp (L)ut yt = φ−1p (L) θp (L)ut

em ut Série infinita em ut Série finita em ut Série infinita em utEstac. Raízes φp (L) = 0 Sempre Raízes φp (L) = 0

fora do círc. unitár. estacionários fora do círc. unitár.

Invertib. Sempre Raízes θp (L) = 0 Raízes θp (L) = 0invertíveis fora do círc. unitár. fora do círc. unitár.

FAC Decaimento expo- Decaimento brusco Decaimento expo-

nencial e/ou sinu- para zero a partir de nencial e/ou sinu-

soidal para zero k = q + 1 soidal para zero

FACP Decaimento brusco Decaimento expo- Decaimento expo-

para zero a partir de nencial e/ou sinu- nencial e/ou sinu-

k = p+ 1 soidal para zero soidal para zero

Fonte: Murteira et al. (1993), pág. 69

Tabela 6.1: Resumo das principais propriedades dos modelos AR, MA e ARMA

MA AR

θ1 θ2 θ3 θ4 φ1 φ2 φ3 φ4 Modelo

Figura 6-3

1 −.4 −.4 −.1 0 0 0 0 0 MA(3)

2 0 0 0 0 .4 .2 0 0 AR(2)

3 −.4 0 −.4 0 0 0 0 0 MA(3)

4 0 0 0 0 .4 .2 −.2 0 AR(3)

5 0 0 0 0 1 0 0 0 AR(1)

6 1 0 0 0 0 0 0 0 MA(1)

7 0 0 .5 0 0 0 0 0 MA(3)

Figura 6-4

1 0 0 0 0 0 0 0 .9 AR(4)

2 .8 0 0 0 .8 0 0 0 ARMA(1,1)

3 0 0 0 .8 0 0 0 .8 ARMA(4,4)

4 0 0 0 0 .4 .2 .1 .1 AR(4)

5 0 0 0 0 0 0 0 0 RBranco

6 −.5 0 0 0 .5 0 0 0 RBranco

Tabela 6.2: Soluções das questões colocadas nas duas figuras anteriores

136

FAC

0.3

0.2

0.1

0

0.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

00.10.20.30.40.50.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.10

0.10.20.30.40.50.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.99880.999

0.99920.99940.99960.9998

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.20

0.20.40.60.8

11.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.10

0.10.20.30.40.50.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.30.20.1

00.10.20.30.40.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 6-3: FAC e FACP de 7 processos simulados a partir de n = 50000 observações. Qual

é a ordem p e q dos processos? (A resposta a esta questão encontra-se na tabela 6.2)

137

FAC

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

1

0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

1

0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

00.10.20.30.40.50.60.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.4

0.2

0

0.2

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.4

0.2

0

0.2

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FAC

0.4

0.2

0

0.2

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FACP

0.4

0.2

0

0.2

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 6-4: Continuação da figura anterior

138

6.3 Processos Lineares Não Estacionários

No âmbito dos processos lineares é usual identificar dois tipos de não estacionaridade:

• não estacionaridade na média: E (yt) não é constante ou E (yt) =∞;

• não estacionaridade na variância: Var (yt) não é constante ou Var (yt) =∞.

6.3.1 Não Estacionaridade na Média

Seja yt um processo não estacionário linear. A ‘estacionarização da média’ faz-se usualmente

a partir do operador diferença

∆dyt = ∆∆...∆︸︷︷︸d vezes

yt

onde d é um inteiro positivo.

Este procedimento sugere que:

• se o logaritmo do PIB não é estacionário (na média) então a taxa de variação do PIB

(d = 1) poderá ser estacionária;

• se a taxa de desemprego não é estacionária então a variação da taxa de desemprego

(d = 1) poderá ser estacionária;

• se o logaritmo do IPC (dados anuais, para simplificar) não é estacionário e se a inflação

não é estacionária (d = 1) então a variação da inflação (d = 2) poderá ser estacionária.

Normalmente uma diferenciação (d = 1) é suficiente e raramente se considera d = 2 (a

não ser para certos índices de preços).

Definição 6.3.1 Um processo yt diz-se um ARIMA(p,d,q) se

φp (L) ∆dyt = c+ θq (L)ut

onde p, d e q são inteiros positivos.

Assim, se yt ∼ ARIMA(p,d,q), então yt é um processo não estacionário que depois de

diferenciado d vezes é um processo ARMA(p,q), isto é,

∆dyt ∼ ARMA (p, q) .

139

A letra I em “ARIMA” designa integrated. Diz-se que um processo y é integrado de ordem

d se o polinómio autoregressivo de y possui d raízes (múltiplas) iguais a um. Por exemplo, o

polinómio autoregressivo associado ao processo passeio aleatório, yt = yt−1 + ut, φ (L) =

1− L, possui uma raiz unitária, pois a solução de 1− L = 0 é obviamente L = 1.


yt = (1 + φ) yt−1 − φyt−2 + ut

φ1 = 1 + φ, φ2 = − φ, 0 < φ < 1

Não se tem um processo ESO pois uma das condições seguintes não é satisfeita

φ1 + φ2 < 1, φ2 − φ1 < 1, −1 < φ2 < 1

Considere-se ∆yt = yt − yt−1. Tem-se

yt = (1 + φ) yt−1 − φyt−2 + ut

yt − yt−1 = φyt−1 − φyt−2 + ut

∆yt = φ∆yt−1 + ut.

Logo ∆yt é um processo estacionário (AR(1) com |φ| < 1). De forma equivalente, yt é um

ARIMA(1,1,0).

Este exemplo indica o caminho a seguir quando y é não estacionário. Em lugar de se anal-

isar y, analisa-se ∆yt. Esta transformação envolve a perda de uma observação na amostra,

mas vários resultados para y (como por exemplo a previsão) podem ser facilmente recuper-

ados a partir da especificação e estimação do modelo para ∆yt.

Exemplo 6.3.2 No caso,

yt = 2yt−1 − yt−2 + ut, ut RB

y não é estacionário. Porquê? Uma diferenciação produz:

∆yt = ∆yt−1 + ut.

140

Logo ∆yt é um processo AR(1) com φ = 1. Assim d = 1 não é suficiente para estacionarizar

o processo. Uma nova diferenciação produz:

∆yt −∆yt−1 = ut

∆2yt = ut.

Assim ∆2yt é um processo estacionário (neste caso é um RB). (Recorde-se: ∆2yt = yt −

2yt−1 + yt−2 ). De forma equivalente, yt é um ARIMA(0,2,0).

Exemplo 6.3.3 O processo ARIMA(1,1,1) escreve-se nas seguintes formas equivalentes:

(1− φL) (1− L)︸︷︷︸∆

yt = c+ (1 + θL)ut

(1− φL) (yt − yt−1) = c+ ut + θut−1

yt − yt−1 − φyt−1 + φyt−2 = c+ ut + θut−1

yt = yt−1 + φyt−1 − φyt−2 + c+ ut + θut−1.

Processos com tendência determinística

Considere-se, por exemplo,

yt = α + βt+ ut, ut ruído branco.

Este processo não é estacionário pois E (yt) = α + βt depende de t. A não estacionari-

dade nestes casos não é tão ‘grave’ como no caso anterior (por exemplo, a variância de y é

constante). A literatura por vezes designa estes processos como estacionários em tendência,

pois removendo a tendência o processo resulta estacionário. O operador diferença também

estacionariza o processo. Com efeito,

∆yt = α + βt+ ut − (α + β (t− 1) + ut−1) = β + ut − ut−1.

Esta transformação envolve um custo: cria-se artificialmente um erro MA(1) não invertível.

A solução preferível foi já sugerida no parágrafo anterior: basta remover a tendência e, para

o efeito, estima-se o modelo pelo método dos mínimos quadrados. Claro que a estimação

não é feita no quadro clássico (porque falha a hipótese de estacionaridade) mas, neste caso

141

40

30

20

10

0

10

20

500 1000 1500 2000

Figura 6-5: Passeio Aleatório

muito concreto, pode-se provar que o estimador dos mínimos quadrados é consistente6.

Na prática, como detectamos a existência de um processo não estacionário na média?7

• O gráfico da série pode sugerir a presença de um processo não estacionário. Na

figura 6-5 traça-se uma trajectória de um processo passeio aleatório. Observe-se que o

processo parece “vaguear” sem rumo no intervalo (−40, 20) . Não é nítido a existência

de um efeito de reversão para qualquer medida de tendência central. Além disso, a

ocorrência de choques mais fortes parece fazer deslocar o processo para outro nível

(“os choques são persistentes”).

• Como se sabe a FAC do processo yt = yt−1 + ut é

ρt,k = 1− k

t' 1.

Assim, se FAC (estimada) de um certo processo, apresentar, nos primeiros lags, val-

6Na verdade é mais do que isso: o estimador é superconsistente (converge para o verdadeiro parâmetro a

uma taxa mais alta do que o habitual). Por exemplo, o estimador OLS para β verifica

n(β − β

)p−→ 0, n3/2

(β − β

)d−→ Normal.

Enquanto a variância do estimador OLS habitual é proporcional a 1/n a do estimador superconsistente acima

referido, é proporcional a 1/n3.7Por que não estimar logo o modelo e verificar depois se as raízes do polinómio φ (L) = 0 satisfazem a

proposição 6.2.2? Este procedimento não é aconselhável. Como as raízes são estimativas, devemos ensaiar a

hipótese subjacente à proposição 6.2.2 (as raízes devem ser em modulo maiores do que um para o processo

ser estacionário). Todavia, sob H0 o processo é não estacionário e as distribuições assimptóticas habituais não

são válidas. Felizmente, existem testes adequados como, por exemplo, o teste Dickey-Fuller. Para concluir:

é preferível, na fase da estimação, termos um processo já estacionário (ou, por outras palavras, a análise da

estacionaridade precede a estimação do modelo).

142

Figura 6-6: FAC (e FACP) estimada do processo passeio aleatório representado na figura

6-5.

ores muito altos (próximos de um), poderemos suspeitar que o processo não é esta-

cionário. A figura 6-20 ilustra a ideia: apresenta-se a FAC estimada associada ao

passeio aleatório representado na figura 6-5

• Faz-se um teste de raiz unitária (por exemplo o teste ADF).

Teste ADF (Augmented Dickey-Fuller)

Faz-se um breve resumo dos principais procedimentos.

(1) Teste DF for random walk without drift

Considere-se yt = yt−1 + ut onde ut é um RB. Já se sabe que este processo (passeio

aleatório) não é estacionário. Assim faria sentido testar H0: φ = 1 vs. H1: |φ| < 1 na

especificação yt = φyt−1 + ut (se existisse evidência a favor de H0 concluiríamos, ao nível

de significância fixado, que o processo não é estacionário). Como yt = φyt−1 + ut se pode

escrever na forma

∆yt = γyt−1 + ut

com γ = φ − 1, ensaiar H0: φ = 1 é equivalente a ensaiar H0: γ = 0. Observe-se ainda

que, sob H0, o processo y possui uma raiz unitária. Isso é óbvio, tendo em conta que a raiz

do polinómio AR, φ (L) = 1− L, é igual a 1.

143

Parece óbvio a construção do teste estatístico: calcula-se o rácio-t γ/σγ e depois consulta-

se a tabela da t-Student. Este procedimento é incorrecto. Com efeito, sob H0, y não é

estacionário pelo que o rácio-t γ/σγ não tem distribuição t-Student nem mesmo distribuição

assimptoticamente normal. A hipótese de estacionaridade é aqui crucial. Se o processo não

é estacionário as distribuições assimptóticas habituais não são válidas8.

Como devemos proceder? Temos de consultar os valores críticos nas tabelas apropriadas

(são construídas a partir da distribuição da estatística de teste sob H0 que, por ser descon-

hecida para n finito, tem de ser obtida através de simulações de Monte Carlo9). A maioria das

tabelas está preparada para fornecer o valor crítico da distribuição de γ/σγ (daí trabalhar-se

sobretudo com a especificação ∆yt = γyt−1 + ut e não com yt = φyt−1 + ut). A maioria

dos programas de estatística calcula o valor-p aproximado associado à hipótese nula (y não

é estacionário). Assim, se o valor-p for superior ao nível de significância previamente estab-

elecido (normalmente 0.05) não se rejeita H0 e conclui-se que o processo é não estacionário.

Existem outras variantes:

(2) Teste DF for random walk with drift H0: γ = 0

∆yt = α + γyt−1 + ut.

(3) Teste DF for random walk with drift and trend H0: γ = 0

∆yt = α + βt+ γyt−1 + ut.

Na prática, só muito raramente ut é um RB. Quando ut exibe autocorrelação os testes DF

não são válidos. Nestes casos deve-se ‘branquear’ ut, adicionando à regressão, a componente

α1∆yt−1 + ...+αp∆yt−p, com valor p adequado de forma que ut se apresente como um ruído

branco. Assim,

(1) Teste ADF for random walk without drift H0: γ = 0

∆yt = γyt−1 + α1∆yt−1 + ...+ αp∆yt−p + ut.

8De facto, pode-se provar que, sob H0, nγ tem distribuição assimptótica igual à distribuição da variável

(1/2)(W (1)

2 − 1)

∫ 10W (u)

2du

,

onde W é um processo de Wiener padrão ou movimento Browniano.9Para n infinito, a distribuição é conhecida. Ver o pé-de-página anterior.

144

(2) Teste ADF for random walk with drift H0: γ = 0

∆yt = α + γyt−1 + α1∆yt−1 + ...+ αp∆yt−p + ut.

(3) Teste ADF for random walk with drift and trend H0: γ = 0

∆yt = α + βt+ γyt−1 + α1∆yt−1 + ...+ αp∆yt−p + ut.

Sobre a escolha do parâmetro p veja o exemplo 6.3.5.

Exemplo 6.3.4 Seja

∆yt = 0.1− 0.01(0.004)

yt−1, n = 50

H0: γ = 0 vs. H1 : γ < 0. Uma tabela apropriada deverá fornecer como valor crítico ao

n.s. de 5% aproximadamente o valor -2.92. Como γ/σγ = −0.01/0.004 = −2.5 > vc =

−2.92 não se rejeita H0 ao n.s. de 5%.

Exemplo 6.3.5 Seja lnp = logP onde P é o índice PSI20. Neste exemplo recorre-se ao

programa EVIEWS (versão 5) para analisar a estacionaridade de lnp. Os resultados estão

apresentados na figura 6-7. Tendo em conta a regressão efectuada

∆ log pt = α + γ log pt−1 + α1∆ log pt−1 + ut, (p = 1)

pode-se concluir que se escolheu a opção “(2) Teste ADF for random walk with drift H0:

γ = 0”

∆yt = α + γyt−1 + α1∆yt−1 + ut, (p = 1)

(note-se que a regressão envolve a constante C, equivalente ao nosso α). Deixámos o pro-

grama escolher a ordem p. Esta ordem é escolhida automaticamente e baseia-se no valor

do critério de informação SIC seguindo o princípio ‘general-to-specific’. O programa es-

colheu p = 1. Interessa o valor-p associado à hipótese nula que é 0.3078. Sendo este valor

superior a 0.05, não se pode rejeitar a hipótese γ = 0, ao nível de significância de 5%.

Existe, portanto, forte evidência empírica a favor da hipótese nula (não estacionaridade). É

aconselhável diferenciar-se o processo. A diferenciação conduz ao processo rt , onde

rt = logPt − logPt−1.

145

Null Hypothesis: LNP has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=27)

tStatistic Prob.*

Augmented DickeyFuller test statistic 1.953504 0.3078Test critical values: 1% level 3.432388

5% level 2.86232610% level 2.567233

*MacKinnon (1996) onesided pvalues.

Augmented DickeyFuller Test EquationDependent Variable: D(LNP)Method: Least Squares

Sample (adjusted): 3 2936Included observations: 2934 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error tStatistic Prob.

LNP(1) 0.000919 0.000470 1.953504 0.0509D(LNP(1)) 0.156283 0.018227 8.574451 0.0000

C 0.008356 0.004143 2.016704 0.0438

Rsquared 0.025826 Mean dependent var 0.000320Adjusted Rsquared 0.025161 S.D. dependent var 0.010694S.E. of regression 0.010559 Akaike info criterion 6.262717Sum squared resid 0.326764 Schwarz criterion 6.256598Log likelihood 9190.406 Fstatistic 38.85062DurbinWatson stat 1.991441 Prob(Fstatistic) 0.000000

Figura 6-7: Análise da estacionaridade do logaritmo do PSI20

6.3.2 Não Estacionaridade na Variância

Se yt é um processo passeio aleatório então Var (yt) é proporcional a t (veja-se o apêndice

6.D). A diferenciação de yt produz um processo estacionário com variância constante, e o

problema da não estacionaridade fica resolvido com a referida transformação. A diferenci-

ação normalmente resolve o problema da não estacionaridade na média e, em certos casos,

também da não estacionaridade da variância. Supomos agora que a diferenciação apenas

resolve a não estacionaridade da média; supomos, assim, que a variância, mesmo depois da

diferenciação, continua a ser uma função de t. Admita-se:

• yt é não estacionário na média, i.e., ηt = E (yt) varia ao longo do tempo;

• Var (yt) = h (ηt) (a variância é uma função da média).

146

h (x) T (x)

Var (yt) ∝ ηt x∫

1√xdx = 2

√x

Var (yt) ∝ η2t x2

∫1xdx = log x

Var (yt) ∝ η4t x4

∫1x2dx = − 1

x

Tabela 6.3: Algumas transformações habituais

O objectivo consiste em encontrar uma transformação sobre yt, T (yt) tal que Var (T (yt))

seja constante. Pode-se provar que a transformação apropriada10 é

T (x) =

∫1√h (x)

dx.

Alguns exemplos são fornecidos na tabela 6.3

Para concretizar, suponha-se que Var (yt) é proporcional ao quadrado da média (e escreve-

se neste caso, Var (yt) ∝ η2t ). A transformação que permite tornar (aproximadamente) con-

stante a variância é T (x) = log x e, assim, os dados devem ser logaritmizados. Como a

transformação só está definida, em geral, para certos valores de x (por exemplo, no caso

log x tem de se assumir x > 0) é preciso primeiro aplicar T (x) e só depois se verifica

se é necessário diferenciar (já que uma prévia diferenciação impossibilitaria a aplicação da

transformação (veja-se o exemplo a seguir).

Na figura 6-8 representa-se a série de preços do Dow Jones de 1969 a 2004. A variância

(assim como a média) não é constante.

Se se começasse por diferenciar P, a variância continuaria a ser uma função de t. Veja-

se, com efeito, o gráfico de ∆Pt (∆Pt = Pt − Pt−1) representado na figura 6-9. A figura

mostra claramente que a variância aumenta com t. Assim, antes de se diferenciar o processo,

10Pela fórmula de Taylor, tem-se T (yt) ≈ T (ηt) + T ′ (ηt) (yt − ηt). Assim,

T (yt)− T (ηt) ≈ T ′ (ηt) (yt − ηt)(T (yt)− T (ηt))

2 ≈ (T ′ (ηt))2

(yt − ηt)2

Var (T (yt)) ≈ (T ′ (ηt))2

Var (yt) = (T ′ (ηt))2h (ηt)

Imponha-se Var (T (yt)) = c, i.e, (T ′ (ηt))2h (ηt) = c ou

T ′ (ηt) =c√h (ηt)

.

Esta equação diferencial tem solução imediata:

T (x) =

∫1√h (x)

dx (c = 1).

147

P (preços)

5

2005

4005

6005

8005

10005

12005

14005

Sep69 Sep74 Sep79 Sep84 Sep89 Sep94 Sep99 Sep04

Figura 6-8: Série de Preços do Dow Jones (1969-2004)

Preços Diferenciados

800

600

400

200

0

200

400

600

Jan69 May73 Sep77 Jan82 May86 Sep90 Jan95 May99 Sep03

Figura 6-9: Série de preços diferenciados, ∆Pt , onde ∆Pt = Pt − Pt−1, do Dow Jones

(1969-2004)

148

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Sep69 Aug77 Jul85 Jun93 May010.00E+00

2.00E+06

4.00E+06

6.00E+06

8.00E+06

1.00E+07

1.20E+07

1.40E+07

media(t)

var(t)

Figura 6-10: Média e Variância estimada ao longo do tempo da séries diária do Dow Jones

(1969 a 2004)

log(P)

5

5.56

6.5

77.5

8

8.5

99.5

10


Figura 6-11: Série de log-Preços do Dow Jones (1969-2004)

estacionarize-se primeiro a variância. Na figura 6-10 apresenta-se

E (yt) =1

t

t∑i=1

Pi, Var (yt) =1

t

t∑i=1

(Pi − E (yt)

)2

ao longo do tempo, onde E (yt) e Var (yt) são estimativas para a média e a variância de y no

momento t. A figura sugere que a variância de yt é proporcional ao quadrado da média, i.e.,

Var (yt) ∝ η2t . De acordo com a tabela 6.3 deve-se usar a transformação logarítmica para

estacionarizar a variância.

A figura 6-11 sugere que a variância é constante ao longo do tempo, mas não a média.

Faça-se então a diferenciação da variável logPt:

rt = log (Pt)− log (Pt−1)

cuja representação gráfica é dada na figura 6-12. É interessante verificar que a série dos

retornos deve ser estudada não só devido às razões invocadas no ponto 2.3 mas também

149

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15


Figura 6-12: Série dos retornos do Dow Jones

Escolha de ummodelo

Estimação dosparâmetros

Adequação domodelo escolhido

Modelosatisfatório

NÃO

Utilização domodelo

Etapa 1: Identificação

Etapa 2: Estimação

Etapa 3: Avaliação dodiagnóstico

SIM

Figura 6-13: Metodologia de Box-Jenkins

porque as transformações estacionarizantes discutidas neste ponto conduzem precisamente à

variável rt = log (Pt)− log (Pt−1) .

6.4 Modelação ARMA

O objectivo fundamental da modelação ARMA é o de definir um modelo parcimonioso (em

termos de parâmetros) que exiba boas propriedades estatísticas e descreva bem a série em

estudo. Para alcançarmos esse objectivo podemos seguir a metodologia de Box-Jenkins.

Propõe três etapas: identificação, estimação e avaliação do diagnóstico (veja-se a figura 6-

13).

150

Etapa 1: Identificação

• Estacionarização da série;

• Identificação da ordem p e q através da FAC e FACP.

Etapa 2: Estimação

Uma vez seleccionado, na primeira etapa, o modelo ARMA(p,q), é necessário estimar os

parâmetros desconhecidos (pelo método da máxima verosimilhança11).

Etapa 3: Avaliação do Diagnóstico

É necessário analisar os seguintes aspectos:

• significância estatística dos parâmetros;

• invertibilidade e estacionaridade (dispensa-se este último aspecto se y for um processo

estacionário);

• análise da matriz de correlação dos estimadores;

• redundância entre as estimativas;

• branqueamento dos resíduos;

• se existir mais do que um modelo que cumpra as condições anteriores é necessário

seleccionar o melhor (à luz de determinado critério).

Remete-se a questão da análise da matriz de correlação dos estimadores para Murteira et

al. (1993). A significância estatística dos parâmetros é óbvia e a questão da invertibilidade

foi já tratada.

O problema da redundância ocorre quando φ (L) e θ (L) partilham raízes comuns. Por

exemplo, no caso

(1− 0.8L) yt = (1− 0.8L)ut (6.6)

ambos os polinómio possuem a mesma raiz (1/0.8). Observe-se que os polinómios cancelam

um com o outro:

(1− 0.8L) yt = (1− 0.8L)ut ⇔ yt = ut

11Veja-se, no ponto 8.9, a aplicação do método a um modelo mais geral.

151

e, portanto, o processo y definido por (6.6) é, de facto, um ruído branco e não um ARMA(1,1),

como se poderia pensar. Na presença de redundância pode provar-se que a matriz de infor-

mação de Fisher é singular. Em aplicações, é uma impossibilidade as raízes dos polinómios

AR e MA estimados (respectivamente, φ (L) e θ (L)) virem exactamente iguais. De qualquer

forma, se existirem raízes do polinómio AR aproximadamente iguais às do polinómio MA,

surge um problema de quase redundância, e a matriz de Fisher embora invertível, apresenta

um determinante próximo de zero. Como consequência, os erros padrão das estimativas

vêm muitos baixos, as estatísticas-t muito altas e o determinante da matriz de variâncias-

covariâncias (estimada) aproximadamente de zero. É fácil cair-se em problemas de (quase)

redundância que, naturalmente, devem ser evitados.

Veja-se agora a questão do “branqueamento dos resíduos”. Considere-se o ARMA(1,1)

yt = φyt−1 + θ1ut−1 + ut.

Suponha-se que se estima (por engano) o AR(1)

yt = φyt−1 + ηt

onde ηt representa o erro da equação anterior. Como detectar o erro de especificação? Como

ηt = θ1ut−1 + ut é natural esperar que os resíduos ηt venham autocorrelacionados.

É muito importante que os resíduos venham branqueados, i.e. não exibam autocorre-

lações; caso contrário, parte da média condicional não foi modelada.

Apresentam-se de seguida, sem comentários, os ensaios habituais os testes de significân-

cia dos coeficientes de autocorrelação dos resíduos:

Teste Kendal e Stuart H0: ρk (u) = 0

√n (ρk (u) + 1/n)

d−→ N (0, 1) , ρk (u) ≈ N

(− 1

n,

1√n

).

Rejeita-se H0 ao n.s. de (aprox.) 5% se |ρk (u)| > 2/√n (supondo 1/n ≈ 0)

Teste Ljung-Box H0: ρ1 (u) = ... = ρm (u) = 0

Q = n (n+ 2)m∑k=1

1

n− k ρ2k (u)

d−→ χ2(m−p−q).

152

Teste Jenkis e Daniels H0: φkk (u) = 0

√nφkk (u)

d−→ N (0, 1) , φkk (u) ≈ N

(0,

1√n

).

Rejeita-se H0 ao n.s. de (aprox.) 5% se

∣∣∣φkk (u)∣∣∣ > 2/

√n

Finalmente, discuta-se a última questão. Pode suceder que dois ou mais modelos cumpram

as condições anteriores. Como seleccionar o ‘melhor’? Se o objectivo da modelação é

a previsão, pode-se avaliar a qualidade preditiva dos vários modelos concorrentes e de-

pois selecciona-se o que apresentar melhores resultados (discutiremos esta questão no ponto

6.6.6). Outra abordagem consiste em escolher o modelo mais preciso (melhor ajustamento)

com o menor no de parâmetros (parcimónia). Há certamente um trade-off a resolver: maior

precisão implica menor parcimónia.

O coeficiente de determinação ajustado é, provavelmente, o indicador mais utilizado. É

um bom indicador no âmbito do modelo de regressão linear clássico, com distribuição nor-

mal. Mais gerais são os critérios de informação de Akaike e de Schwarz porque se baseiam

no valor da função de verosimilhança.

Seja

logLn =n∑t

log f (yt| Ft−1)

o valor (máximo) da função log-verosimilhança e k o número de parâmetros estimados. O

critério de informação de Akaike (AIC) é dado pela expressão

AIC = −2logLnn

+2k

n.

O critério de Schwarz é dado pela expressão

SC = −2logLnn

+k

nlog n.

Tendo em conta que o modelo é tanto mais preciso quanto mais alto for logLn, e tanto

mais parcimonioso quanto menor for o número de parâmetros, k, conclui-se que deve dar-se

preferência ao modelo que minimiza as estatísticas AIC e SC (note que os modelos só são

comparáveis se as variáveis se encontrarem na mesma unidade - por exemplo, não devemos

comparar um modelo em y e outro em log y).

Em certos casos, um modelo pode minimizar apenas um dos critérios (por exemplo, um

153

modelo A minimiza o AIC e o modelo B minimiza o SC). Como proceder nestes casos?

Vários estudos têm revelado o seguinte:

• o critério SC, em grandes amostras tende a escolher o modelo correcto; em peque-

nas/médias amostras pode seleccionar um modelo muito afastado do modelo correcto;

• o critério AIC, mesmo em grandes amostras tende a seleccionar o modelo errado,

embora não seleccione modelos muito afastados do correcto.

Como consequência, para grandes amostras o SC pode ser preferível.

Naturalmente, estes critérios podem clarificar a identificação da ordem p e q do modelo

ARMA. Por exemplo, suponha-se que os modelos ARMA(1,1) e AR(3) são bons à luz de

vários critérios. Os critérios de informação, podem contudo sugerir o ARMA(1,1) e, desta

forma, p = 1, q = 1.

6.5 Variáveis Impulse-Dummy em Modelos de Regressão:

Cuidados a Observar

As variáveis dummy ou variáveis artificiais são, como temos visto, bastante úteis pois per-

mitem estimar o impacto de certas variáveis qualitativas ou de eventos sobre a variável de-

pendente. No entanto, há cuidados a ter no uso destas variáveis.

Num modelo de previsão o uso de variáveis artificiais (VA) estocásticas associados a

eventos que podem ocorrer no futuro deve ser evitado se as probabilidades condicionais da

VA forem desconhecidas. Com efeito, que sentido faz especificar yt = α + γdt + ut (d é

uma VA) se depois, no período de previsão, o comportamento probabilístico da variável d é

completamente desconhecido?

Um caso especialmente delicado ocorre com as chamadas impulse-dummies no âmbito

da inferência estatística12.

12Algumas das conclusões que seguem foram-me transmitidas pelo Prof. João Santos Silva em comunicação

privada. Veja-se também Hendry e Santos (2005).

154

6.5.1 Inconsistência do Estimador

Impulse-dummies são VAs que assumem o valor 1 apenas uma vez na amostra. Para ilustrar

a situação considere-se o modelo

yt = α + γdt + ut, t = 1, 2, ..., n

onde uti.i.d.∼ N (0, σ2) e dt é uma impulse-dummy

dt =

1 t = t∗

0 t 6= t∗.

Seja

X =

1 0

1 0...

...

1 0

1 1

1 0...

...

1 0

1 0

, X′X =

n 1

1 1

, X′y =

∑nt=1 yt

yt∗

É fácil observar que o estimador OLS é

β =

α

γ

=

n 1

1 1

−1 ∑nt=1 yt

yt∗

=

1n−1

−1n−1

−1n−1

nn−1

∑nt=1 yt

yt∗

=

∑nt=1 ytn−1

− yt∗n−1

−1n−1

∑nt=1 yt + n

n−1yt∗

=

∑nt=1,t 6=t∗ ytn−1

− nn−1

(y − yt∗)

. (6.7)

Tem-se

E[β]

= E[(X′X)

−1X′y

]= E

[(X′X)

−1X′ (Xβ + u)

]= β E

[(X′X)

−1X′u

]= β

Var[β]

= σ2 (X′X)−1

= σ2

1n−1

−1n−1

−1n−1

nn−1

.

155

Não se verifica γp−→ γ porque

limn→∞

Var [γ] = limn→∞

σ2 n

n− 1= σ2

ou seja, γ é centrado mas não é consistente (a precisão de γ não melhora quando n aumenta

e depende da variância do ruído). Este resultado deve-se ao facto de ser usada apenas uma

observação para estimar γ. A propriedades do estimador para α não são afectadas.

6.5.2 Inconsistência do Teste-t

O rácio-t associado a γ (supondo σ conhecido) é

τ γ =γ√

Var [γ]=− nn−1

(y − yt∗)σ√

nn−1

=

√n

n− 1

yt∗ − yσ

' yt∗ − yσ

.

Ora a distribuição deyt∗−yσ

depende da distribuição dos erros. No caso do modelo de re-

gressão habitual, mesmo que os erros não tenham distribuição normal, o rácio-t para grandes

amostras tem distribuição aproximadamente normal, pelo teorema do limite central, e a in-

ferência habitual pode fazer-se sem problemas. No entanto, o rácio-t associado a variáveis

impulse-dummies depende da distribuição dos erros. Assim, se a distribuição dos erros é

desconhecida não é possível usar-se os testes t habituais. Mesmo que se possa usar o rácio-t

(por exemplo, se houver garantias que uti.i.d.∼ N (0, σ2)) o teste-t é inconsistente no seguinte

sentido: para qualquer valor crítico com nível de significância α,

P ( |τ γ| > cα|H1 : γ 6= 0) não tende para 1

quando n→∞. A situação habitual (por exemplo, no âmbito do modelo de regressão linear

clássico) é a seguinte: quando n→∞ a probabilidade de rejeitarH0 quandoH1 é verdadeira

tende para 1 (se H1 é verdadeira, um teste consistente acaba sempre, para amostras suficien-

temente grandes, por decidir correctamente a favor de H1). Mas, com impulse-dummies isto

não sucede.

156

6.5.3 Uma Solução para ensaiar H0 : γ = 0

Uma forma de testar H0 : γ = 0 no caso em que a distribuição dos erros é desconhecida

envolve a aplicação de procedimentos bootstrap. Quando a amostra é grande o ensaio H0 :

γ = 0 vs. por exemplo H1 : γ > 0 pode ser conduzido da seguinte forma, muito simples

(equivalente ao bootstrap): estima-se o modelo de regressão

yt = x′tβ + εt

(onde x′t é um vector linha das variáveis explicativas) sem dummy e obtém-se o resíduo εt∗

associado ao momento t = t∗. Se este resíduo é elevado (em módulo) então é provável que

no momento t∗ tenha ocorrido uma “quebra de estrutura”; neste caso a variável dummy d

será, em princípio, importante na explicação de y (no momento t∗). Para grandes amostras

não só a estimativa γ associada ao modelo

yt = x′tβ + γdt + ut

é (aproximadamente) igual εt∗ como também, sob H0 : γ = 0, a distribuição do estimador

γ é (aproximadamente) igual à distribuição de εt; assim, a avaliação da significância de

γ ao nível de α100%, equivale a verificar se εt∗ está acima do quantil de ordem 1 − α da

distribuição de εt (recorde-se queH1 : γ > 0). Como a distribuição de εt é desconhecida usa-

se a distribuição empírica dos resíduos εt - este é o princípio do bootstrap. Concretamente,

rejeita-se H0 : γ = 0 em favor de H1 : γ > 0 ao nível de significância de α100% se εt∗ for

maior do que o quantil de ordem 1− α da distribuição empírica dos resíduos. A proposição

seguinte fundamenta o procedimento.

Proposição 6.5.1 Considerem-se os modelo de regressão em notação matricial

y = Xβ1 + γd + u, y = Xβ0 + ε

onde d = (dt) , dt∗ = 1, dt = 0 para t 6= t∗ e X é a matriz das variáveis explicativas

fortemente exógena. Suponha-se

X′X

n

p−→ Q (definida positiva).

Então a) γp−→ γ + ut∗ e b) γ/εt∗

p−→ 1.

157

Dem. Apêndice 6.G.

6.5.4 Impulse-dummies e a matriz de White

Um caso que conduz a conclusões incorrectas ocorre quando se usa simultaneamente impulse-

dummies com a matriz de White.

Para simplificar considere-se novamente o modelo

yt = α + γdt + ut, t = 1, 2, ..., n

onde uti.i.d.∼ N (0, σ2) e dt é uma impulse-dummy

dt =

1 t = t∗

0 t 6= t∗.

Se é razoável assumir normalidade e ausência mas não heterocedasticidade pode argumentar-

se que a significância estatística de γ pode ser avaliada usando o rácio-t baseado na matriz

de White. Esta suposição é incorrecta e traduz provavelmente o caso mais grave dos vários

que analisámos. Como se sabe a matriz de White tem a forma

Var[β]

= (X′X)−1

X′WX (X′X)−1

onde W é uma matriz diagonal com elementos u21, ..., u

2n . No caso mais simples que

analisamos a matriz de White correspondente a γ é

Var [γ] =

∑nt=1

(di − d

)u2t∑n

t=1

(di − d

)2 .

Deixa-se como exercício verificar que

Var [γ] =

∑nt=1

(di − d

)u2t∑n

t=1

(di − d

)2 =1

n (n− 1)

n∑t=1

u2t .

Assim, atendendo a (6.7) o rácio-t associado a γ é

τ γ =γ√

Var [γ]

=nn−1

(yt∗ − y)√1

n(n−1)

∑nt=1 u

2t

=nn−1

(yt∗ − y)√σ2

n

=n

n− 1

√nyt∗ − yσ

'√nyt∗ − yσ

.

158

Embora (yt∗ − y) /σ possa ter distribuição aproximadamenteN (0, 1) para amostras grandes√n (yt∗ − y) /σ não têm certamente distribuição N (0, 1) . Se (yt∗ − y) /σ tem distribuição

aproximadamente normal então√n (yt∗ − y) /σ terá distribuição N (0, n) . Este resultado

sugere que se for usada a matriz de White numa amostra razoavelmente grande, qualquer

impulse-dummy é sempre interpretada como significativa à luz da distribuição habitual do

rácio-t (observe-se√n (yt∗ − y) /σ →∞ quando n→∞).

6.5.5 Conclusão

O uso de impulse-dummies envolve vários problemas (inconsistência do estimador, incon-

sistência do teste t, e quando usado simultaneamente com a matriz de White, os rácio-t são

inflacionados). Quer isto dizer que o uso de impulse-dummies é inapropriado? A resposta

é negativa. Vimos que o estimador OLS do parâmetro da impulse-dummy é centrado. Por

outro lado, existem procedimentos válidos que poderão ser usados para testar a significân-

cia do parâmetro da impulse-dummy. Finalmente, o uso impulse-dummy em modelos de

regressão é importante quando se pretende estimar o efeito de um acontecimento isolado,

mantendo todas as demais variáveis explicativas constantes.

Exemplo 6.5.1 Suponha-se que se pretende analisar o efeito de um anúncio público no dia

t∗ sobre as cotações da empresa ABC. Suspeita-se que o efeito é positivo sobre a empresa

ABC e nulo ou irrelevante para o mercado. Pretende-se, assim, verificar se o valor esperado

do retorno da empresa ABC no dia t∗ é positivo. Suponha-se ainda que, nesse dia t∗, o

mercado em geral observou uma forte queda. Para testar esse efeito uma possibilidade

consiste em considerar a regressão

rt = β0 + γdt + ut

onde rt é o retorno da empresa ABC e dt é uma impulse-dummy

dt =

1 t = t∗

0 t 6= t∗.

Contudo, poderá suceder, atendendo à quebra do mercado, que γ venha negativo ou não

significativo. Concluir-se-ía que o anúncio teve um impacto negativo ou nulo sobre o retorno

da empresa ABC. Mas esta conclusão pode ser errónea porque o efeito do mercado não é

159

levado em conta. Assim, é necessário controlar ou fixar o efeito do mercado através da

regressão

rt = β0 + β1rt,m + γdt + ut

onde rt,m é o retorno do mercado (retorno associado a um índice abrangente de cotações do

mercado).

6.6 Previsão

6.6.1 Introdução

Temos um modelo M (yt, yt−1, ...; θ) para y baseado em n observações y1, y2, ..., yn . O

objectivo agora é:

• prever y para n+ 1, n+ 2, ...;

• estabelecer intervalos de confiança para as previsões.

Que propriedades devemos exigir a um previsor para yn+h? Seja µn+h,n um previsor para

yn+h. Devemos exigir:

• E(µn+h,n

)= E (yn+h) (propriedade do não enviesamento).

• Var(µn+h,n

)= Var (yn+h) (µn+h,n deve reproduzir a variabilidade de yn+h);

• forte correlação entre µn+h,n e yn+h.

Para não haver “batota” o previsor µn+h,n para yn+h deve ser Fn-mensurável, isto é, se

prevemos y para o instante n+h e o momento em que efectuamos a previsão é n, só podemos

utilizar informação até n.

Em certos casos podemos permitir algum enviesamento do estimador desde que outras

propriedades mais do que compensem esse enviesamento. Na figura 6-14, qual é o previsor

preferível? O previsor 1 é enviesado; o previsor 2 não é. No entanto, o previsor 1 parece

preferível pois os erros de previsão são, na maior parte das vezes, inferiores.

Seja e (h) = yn+h − µn+h,n o erro de previsão. O erro quadrático médio (EQM) de

previsão E(e (h)2)

pondera os três aspectos acima expostos: enviesamento, variabilidade e

160

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Observado

Previsor 1

Previsor 2

Figura 6-14: Qual dos dois previsores é preferível?

correlação. Com efeito, prova-se a seguinte decomposição do EQM de previsão E(e (h)2) =

E((yn+h − µn+h,n

)2)

:

E(e (h)2) =

(E (yn+h)− E

(µn+h,n

))2+ (σy − σµ)2 + 2σyσµ

(1− ρy,µ

). (6.8)

O primeiro termo do lado direito mede o enviesamento, o segundo, compara a variabili-

dade entre y e µ e o terceiro mede a correlação entre yn+h e µn+h,n (quanto mais baixa a

correlação maior é o EQM). Na figura 6-14, o previsor 1, embora apresente um enviesa-

mento elevado (i.e.,(E (yn+h)− E

(µn+h,n

))2é alto), os valores dos termos (σy − σµ)2

e

2σyσµ(1− ρy,µ

)são relativamente baixos. O previsor 2 apresenta um valor baixo na com-

ponente(E (yn+h)− E

(µn+h,n

))2(enviesamento reduzido ou nulo) mas valores altos em

(σy − σµ)2e 2σyσµ

(1− ρy,µ

). Graficamente parece que o estimador 1 é preferível, isto é,

ponderando todos os aspectos, o gráfico sugere que o EQM do previsor 1 é inferior ao EQM

do previsor 2.

Será possível definir um previsor óptimo, à luz do EQM, qualquer que seja o modelo em

análise? A resposta é afirmativa.

Proposição 6.6.1 O previsor com EQM mínimo é

E (yn+h| Fn)

i.e., verifica-se

E((yn+h − E (yn+h| Fn))2) ≤ E

((yn+h − µn+h,n

)2)

161

onde µn+h,n ∈ Fn é um outro qualquer previsor Fn-mensurável.

(A demonstração é similar à da proposição 4.3.1). Usaremos também a notação µn+h,n

para E (yn+h| Fn) . A proposição 6.6.1 permite concluir que o previsor E (yn+h| Fn) min-

imiza os três termos do lado direito da equação (6.8), no conjunto de todos os previsores

Fn-mensuráveis; em particular, o primeiro termo é zero.

Recorda-se do capítulo 4 que

E((yn+h − E (yn+h| G))2) ≤ E

((yn+h − E (yn+h|H))2) , H ⊆ G.

Como referimos, esta desigualdade resulta do facto de em G existir mais informação. É

natural esperar que um previsor que use mais informação face a um outro, tenha um EQM

inferior.

6.6.2 Previsão Pontual

Tendo em conta a proposição 6.6.1, vamos utilizar como previsor para yn+h a expressão

E (yn+h| Fn) . O procedimento geral para obter a previsão pontual de yn+h é:

1. Definir o modelo yn+h (com base no modelo especificado).

2. Calcular E (yn+h| Fn) .

Vamos ver alguns exemplos.

MA(2)

Previsão a um passo h = 1

yn+1 = µ+ θ1un + θ2un−1 + un+1

Tem-se

E (yn+1| Fn) = µ+ θ1un + θ2un−1

Previsão a dois passos h = 2

yn+2 = µ+ θ1un+1 + θ2un + un+2

162

Tem-se

E (yn+2| Fn) = µ+ θ2un.

Previsão a h passos (h > 2)

yn+h = µ+ θ1un+h−1 + θ2un+h−2 + un+h

Tem-se

E (yn+h| Fn) = µ

MA(q)

Deixa-se como exercício verificar:

E (yn+h| Fn) =

µ+∑q

i=h θiun+h−i para h = 1, ..., q

µ para h = q + 1, ...

Sugestão: comece por verificar que, para h = q + 1, q + 2, ... tem-se E (yn+h| Fn) = µ.

AR(1)

Na previsão dos processos AR, é útil considerar-se a previsão já realizada nos passos

intermédios. Considere-se novamente a notação µn+h,n (igual por definição a E (yn+h| Fn)).


yn+1 = c+ φ1yn + un+1

µn+1,n = E (yn+1| Fn) = E (c+ φ1yn + un+1| Fn) = c+ φ1yn.


yn+2 = c+ φ1yn+1 + un+2

µn+2,n = E (yn+2| Fn) = E (c+ φ1yn+1 + un+2| Fn) = c+ φ1 E (yn+1| Fn)

= c+ φ1µn+1,n

Previsão a h passos

yn+h = c+ φ1yn+h−1 + un+h

163

µn+h,n = E (yn+h| Fn)

= E (c+ φ1yn+h−1 + un+2| Fn) = c+ φ1µn+h−1,n

Conclui-se que o modelo de previsão no modelo AR(1) (h > 1) é

µn+h,n = c+ φ1µn+h−1,n (6.9)

Observação 6.6.1 Podemos reescrever a equação (6.9) como função do valor observado em

n. Por exemplo, a previsão a dois passos (h = 2) é

µn+2,n = c+ φ1µn+1,n. (6.10)

Como, por sua vez, a previsão a um passo é µn+1,n = c + φ1µn,n = c + φ1yn podemos

substituir µn+1,n = c + φ1yn na equação (6.10). Assim a previsão a dois passos pode ser

escrita na forma

µn+2,n = c+ φ1µn+1,n

= c+ φ1 (c+ φ1yn)

= c+ cφ1 + φ21yn.

De igual forma, a previsão a três passos é

µn+3,n = c+ φ1µn+2,n

= c+ φ1

(c+ cφ1 + φ2

1yn)

= c+ cφ1 + cφ21 + φ2

1yn.

Seguindo este raciocínio conclui-se que

µn+h,n = c+ cφ1 + cφ21 + ...+ cφh−1

1 + φh1yn. (6.11)

Do ponto de vista prático é irrelevante prever o modelo com base no modelo (6.9) ou com

base em (6.11), pois as expressões são equivalentes. No âmbito dos modelos dinâmicos,

a equação (6.9) designa-se por equação às diferenças finitas linear de primeira ordem (a

equação de juros compostos é também uma equação do tipo) cuja solução, dada a condição

164

inicial µn,n = yn, é precisamente a equação (6.11). Atendendo a que

1 + φ1 + φ21 + ...+ φh−1

1 =1− φh

1− φ (soma de uma progressão geométrica)

podemos dar um novo aspecto às equação (6.11):

µn+h,n = c(1 + φ1 + φ2

1 + ...+ φh−11

)+ φh1yn

= c1− φh

1− φ + φh1yn. (6.12)

Em suma, para obter µn+h,n é indiferente considerar (6.9), (6.11) ou (6.12).

AR(2)


yn+1 = c+ φ1yn + φ2yn−1 + un+1

µn+1,n = E (yn+1| Fn)

= E (c+ φ1yn + φ2yn−1 + un+1| Fn) = c+ φ1yn + φ2yn−1


yn+2 = c+ φ1yn+1 + φ2yn + un+2

µn+2,n = E (yn+2| Fn)

= E (c+ φ1yn+1 + φ2yn + un+2| Fn) = c+ φ1 E (yn+1| Fn) + φ2yn

= c+ φ1µn+1,n + φ2yn


yn+h = c+ φ1yn+h−1 + φ2yn+h−2 + un+h

165

Dependent Variable: YSample: 3 1000Included observations: 998

Variable Coefficient Std. Error tStatistic Prob.C 10.81186 1.196611 9.035402 0.0000

Y(1) 0.469309 0.030095 15.59406 0.0000Y(2) 0.314900 0.030098 10.46238 0.0000


Figura 6-15: Estimação de um AR(2)


= E (c+ φ1yn+h−1 + φ2yn+h−2 + un+2| Fn)

= c+ φ1µn+h−1,n + φ2µn+h−2,n

Conclui-se que o modelo de previsão no modelo AR(2) (para h > 2) é

µn+h,n = c+ φ1µn+h−1,n + φ2yn+h−2,n.

Exemplo 6.6.1 Estimou-se um processo AR(2), cujos resultados estão apresentados na figura

6-15.

Tem-se n = 1000 e sabe-se que yn−1 =50.4360, yn =50.0207. Pretende-se obter uma

previsão para y para os período 1001, 1002 e 1003 (previsão a um passo, a dois passos e a

três passos).

Previsão a um passo:

µn+1,n = c+ φ1yn + φ2yn−1

µn+1,n = 10.81186 + 0.469309× 50.0207 + 0.3149× 50.436 = 50.169.

Previsão a dois passos:

µn+2,n = c+ φ1µn+1,n + φ2yn

µn+2,n = 10.81186 + 0.469309× 50.169 + 0.3149× 50.0207 = 50.108.

166

Previsão a três passos:

µn+3,n = c+ φ1µn+2,n + φ2µn+1,n

µn+2,n = 10.81186 + 0.469309× 50.108 + 0.3149× 50.169 = 50.126.

AR(p)


yn+1 = c+ φ1yn + ...+ φpyn+1−p + un+1

E (yn+1| Fn) = E(c+ φ1yn + ...+ φpyn+1−p + un+1

∣∣Fn)= c+ φ1yn + ...+ φpyn+1−p


yn+2 = c+ φ1yn+1 + ...+ φpyn+2−p + un+2

E (yn+1| Fn) = E(c+ φ1yn+1 + ...+ φpyn+1−p + un+2

∣∣Fn)= c+ φ1 E (yn+1| Fn) + ...+ φpyn+1−p

= c+ φ1µn+1,n...+ φpyn+1−p

Previsão a h passos (h > p)

yn+h = c+ φ1yn+h−1 + ...+ φpyn+h−p + un+h


= E(c+ φ1yn+h−1 + ...+ φpyn+h−p + un+h

∣∣Fn)= c+ φ1µn+h−1,n + φ2yn+h−2,n + ...+ φpµn+h−p,n

ARMA(1, 1)

167


yn+1 = c+ φ1yn + un+1 + θ1un

µn+1,n = E (yn+1| Fn)

= E (c+ φ1yn + un+1 + θ1un| Fn)

= c+ φ1yn + θ1un


yn+2 = c+ φ1yn+1 + un+2 + θ1un+1

µn+2,n = E (yn+2| Fn)

= E (c+ φ1yn+1 + un+2 + θ1un+1| Fn)

= c+ φ1µn+1,n


yn+h = c+ φ1yn+h−1 + un+h + θ1un+h−1


= E (c+ φ1yn+h−1 + un+h + θ1un+h−1| Fn)

= c+ φ1µn+h−1,n

6.6.3 Intervalos de Previsão I

Vimos até agora a chamada previsão pontual. Vamos agora estabelecer um intervalo de

confiança, IC, (ou de previsão) para yn+h.Um IC para yn+h a 95% baseia-se na probabilidade

P ( l1 < yn+h < l2| Fn) = 0.95.

168

O intervalo de confiança é portanto (l1, l2) , ou seja, yn+h estará no intervalo (l1, l2) com 0.95

de probabilidade dado Fn. Como determinar l1 e l2? Assuma-se que

yn+n| Fn ∼ N (E (yn+h| Fn) ,Var (yn+h| Fn))

ou seja,

Z =yn+h − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)

∣∣∣∣∣Fn ∼ N (0, 1) .

Tem-se assim,

P ( l1 < yn+h < l2| Fn) = 0.95

⇔ P

(l1 − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)<yn+h − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)<l2 − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)

∣∣∣∣∣Fn)

= 0.95

e, portanto,

l1 − E (yn+h| Fn)√Var (yn+h| Fn)

= −1.96⇒ l1 = E (yn+h| Fn)− 1.96√

Var (yn+h| Fn)


= 1.96⇒ l2 = E (yn+h| Fn) + 1.96√

Var (yn+h| Fn)

Assim, um IC a 95% para yn+h é

E (yn+h| Fn)± 1.96√

Var (yn+h| Fn).

Em termos gerais, um IC a (1− α) 100% é

E (yn+h| Fn)± z1−α/2√

Var (yn+h| Fn)

onde z1−α/2 é tal que P(Z ≤ z1−α/2

)= 1 − α/2 e Z ∼ N (0, 1) . É também habit-

ual apresentar-se o IC a partir da variável erro de previsão a h passos, en (h) = yn+h −

E (yn+h| Fn). Como Var (en (h)) = Var (yn+h| Fn) e usando a notação µn+h,n = E (yn+h| Fn) ,

o IC a 95% para yn+h pode apresentar-se também na forma

µn+h,n ± 1.96√

Var (e (h)). (6.13)

169

Na prática µn+h,n é desconhecido, pois envolve parâmetros desconhecidos. Em lugar de

µn+h,n devemos usar µn+h,n (por exemplo, na previsão a um passo do modelo AR(1), em

lugar de µn+1,n = c + φ1yn deve-se considerar µn+1,n = c + φ1yn). A substituição de

µn+h,n por µn+h,n aumenta a variância do erro de previsão numa quantidade proporcional

a 1/n (no apêndice 6.H discute-se esta questão). Para amostra grandes pode-se assumir

1/n ' 0 e, assim, podemos continuar a usar a expressão (6.13), substituindo os parâmetros

desconhecidos pela respectivas estimativas consistentes. Vamos ver alguns exemplos.

MA(2)


yn+1 = µ+ θ1un + θ2un−1 + un+1

Tem-se

E (yn+1| Fn) = µ+ θ1un + θ2un−1

en (1) = yn+1 − E (yn+1| Fn) = un+1 ∼ N(0, σ2

).

Logo Var (en (1)) = σ2 e, assim, um IC a 95% é

µ+ θ1un + θ2un−1 ± 1.96√

Var (en (1)) i.e.,

µ+ θ1un + θ2un−1 ± 1.96σ


yn+2 = µ+ θ1un+1 + θ2un + un+2

Tem-se

E (yn+2| Fn) = µ+ θ2un

yn+2 − E (yn+2| Fn) = θ1un+1 + un+2 ∼ N(0,(θ2

1 + 1)σ2)

Logo Var (en (2)) =(θ2

1 + 1)σ2 e, assim, um IC a 95% é

µ+ θ2un ± 1.96√(

θ21 + 1

)σ2

170

Dependent Variable: YMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1950:04 2005:05Included observations: 662 after adjusting endpoints


MA(1) 0.373267 0.037900 9.848702 0.0000MA(2) 0.231256 0.037917 6.099047 0.0000

Rsquared 0.162759 Mean dependent var 10.01838Adjusted Rsquared 0.160218 S.D. dependent var 1.042205S.E. of regression 0.955072 Akaike info criterion 2.750462Sum squared resid 601.1155 Schwarz criterion 2.770833Log likelihood 907.4029 Fstatistic 64.05464DurbinWatson stat 2.002569 Prob(Fstatistic) 0.000000Inverted MA Roots .33 .70

Figura 6-16: Estimação de um MA(2)

Exemplo 6.6.2 Estimou-se um MA(2) (dados mensais), cujos resultados estão apresentados

na figura 6-16. A última observação, yn, reporta-se ao período 2005:05 (Maio de 2005, na

notação do EVIEWS). Tem-se ainda a seguinte informação: un−1 = −0.655 e un = 0.055.

As estimativas dos parâmetros são13:

θ1 = 0.37326, θ2 = −0.231256.

Pretende-se um intervalo de previsão para 2005:6 (yn+1) e 2005:7 (yn+2) a 95%, supondo

inovações (erros) normais. Previsão a um passo:

µn+1,n = µ+ θ1un + θ2un−1

µn+1,n = µ+ θ1un + θ2un−1

= 10.01857 + 0.37326× 0.055− 0.231256× (−0.655)

= 10.191

13O output do EVIEWS apresenta as raízes invertidas do polinómio MA. Desta forma, o modelo é invertível

sse as raízes invertidas são em módulo inferiores a um. Como as raízes são em módulo inferiores a um conclui-

se que o processo é invertível. Outra forma de chegarmos a esta conclusão consiste em verificar se as seguintes

condições são válidas:

θ1 + θ2 > −1, θ1 − θ2 < 1, −1 < θ2 < 1.

Também por aqui se conclui que o modelo é invertível verificando as desigualdades:

θ1 + θ2 = 0.37326− 0.231256 > −1,

θ1 − θ2 = 0.37326 + 0.231256 < 1,

−1 < −0.231256 < 1.

171

7

8

9

10

11

12

13

2005:06 2005:07

YF ± 2 S.E.

Figura 6-17: Previsão do modelo MA(2) fornecida pelo EVIEWS

IC para yn+1 a 95%:

µ+ θ1un + θ2un−1 ± 1.96σ

10.191± 1.96× 0.955072 ou (8.32, 12.06) .

Previsão a dois passos:

µn+2,n = µ+ θ2un

µn+2,n = µ+ θ2un

= 10.01857− 0.231256× 0.055

= 10.005

IC para yn+2 a 95%:

µ+ θ2un ± 1.96√(

θ21 + 1

)σ2

10.005± 1.96√

(0.373262 + 1)× 0.9550722 ou (8.01, 12.00) .

No EVIEWS o gráfico da previsão a dois passos é dada pela figura 6-17 (há uma ligeira

diferença entre os IC acima calculados e os IC fornecidos pelo EVIEWS. Porquê?)

MA(q)

172

Deixa-se como exercício verificar:

E (yn+h| Fn) =

µ+∑q

i=h θiun+h−i para h = 1, ..., q

µ para h = q + 1, ...

en (h) = yn+h − E (yn+h| Fn) =

h−1∑i=0

θiun+h−i , (θ0 = 1)

Tem-se

E(e2n (h)

)= σ2

h−1∑i=0

θ2i (6.14)

e, assumindo normalidade, o IC a 95% é

µ+

q∑i=h

θiun+h−i ± 1.96

√√√√σ2

h−1∑i=0

θ2i

AR(1)

A determinação dos intervalos de previsão não é imediata nos processos AR e ARMA

em geral.


yn+1 = c+ φ1yn + un+1

µn+1,n = E (yn+1| Fn)

= E (c+ φ1yn + un+1| Fn) = c+ φ1yn

en (1) = un+1


yn+2 = c+ φ1yn+1 + un+2

µn+2,n = E (yn+2| Fn)

= E (c+ φ1yn+1 + un+2| Fn) = c+ φ1 E (yn+1| Fn)

= c+ φ1µn+1,n

173

en (2) =?

Para determinar en (h) e consequentemente os IC a ideia consiste em representar yn+h

na forma MA. Precisamos, portanto, de uma fórmula geral que forneça en (h) e Var (en (h))

(veremos isso a seguir).

6.6.4 Intervalos de Previsão II - Variância do Erro de Previsão no mod-

elo ARMA

Para determinarmos en (h) considere-se o ARMA(p, q)

φp (L) yn+h = θq (L)un+h

yn+h = φ−1p (L) θq (L)un+h (6.15)

=∞∑j=0

ψjun+h−j (ψ0 = 1).

A expressão E (yn+h| Fn) pode ser obtida recursivamente como vimos no caso AR(p) com

h = 2 . Agora interessa-nos representar E (yn+h| Fn) numa outra forma equivalente para

que possamos obter en (h) .

Como

yn+h =∞∑j=0

ψjun+h−j

tem-se

E (yn+h| Fn)

= E

( ∞∑j=0

ψjun+h−j

∣∣∣∣∣Fn)

= E(ψ0un+h + ψ1un+h−1 + ...+ ψh−1un+1 + ψhun + ψh+1un−1 + ...

∣∣Fn)= ψhun + ψh+1un−1 + .. .

174

Logo

en (h) = yn+h − E (yn+h| Fn)

= ψ0un+h + ψ1un+h−1 + ...+ ψh−1un+1 + ψhun + ψh+1un−1 + ...

−ψhun − ψh+1un−1 − ...

= ψ0un+h + ψ1un+h−1 + ...+ ψh−1un+1

=

h−1∑j=0

ψjun+h−j.

Portanto,

E (en (h)) = 0

Var (en (h)) = E(e2n (h)

)= σ2

h−1∑j=0

ψ2j , ψ0 = 1 (6.16)

No processo MA(q) tem-se θi = ψi e, com esta igualdade, confirma-se a equação (6.14).

Exemplo 6.6.3 Retome-se o exemplo 6.6.1:

Dependent Variable: YSample: 3 1000Included observations: 998


Y(1) 0.469309 0.030095 15.59406 0.0000Y(2) 0.314900 0.030098 10.46238 0.0000


Vimos:

µn+1,n = 50.169, µn+2,n = 50.108, µn+3,n = 50.126.

Sabendo que

1

1− 0.469309L− 0.31490L2= 1 + 0.469L+ 0.535L2 + 0.399L3 + ...

determine um IC a 95% para as previsões em n + 1, n + 2 e n + 3. Vimos que a expressão

175

geral do IC a 95% (com erros Gaussianos) é dada pela expressão

E (yn+h| Fn)± 1.96√

Var (en (h))

ou

µn+h,n ± 1.96√

Var (en (h))

ou

µn+h,n ± 1.96

√Var (en (h))

No caso dos modelos MA a expressão Var (en (h)) determina-se facilmente, como vimos

atrás. No caso dos modelos AR (ou ARMA) temos de usar a expressão (6.16)

Var (en (h)) = σ2

h−1∑j=0

ψ2j ou Var (en (h)) = σ2

h−1∑j=0

ψ2

j

Um IC a 95% para a previsão yn+1 (h = 1) é

µn+1,n ± 1.96

√Var (en (1))

Ora µn+1,n = 50.169 e

Var (en (1)) = σ21−1∑j=0

ψ2

j = σ20∑j=0

ψ2

j = σ2ψ2

0 = σ2.

Assim

µn+1,n ± 1.96√σ2

50.169± 1.96× 0.499762.


µn+2,n ± 1.96

√Var (en (2)).

176

Ora µn+2,n = 50.108 e

Var (en (2)) = σ22−1∑j=0

ψ2

j = σ2(

1 + ψ2

1

)= 0.4997622 ×

(1 + 0.4692

)= 0.30470.

Assim

µn+2,n ± 1.96

√Var (en (2))

50.108± 1.96√

0.30470.


µn+3,n ± 1.96

√Var (en (3)).

Ora µn+2,n = 50.126 e

Var (en (2)) = σ23−1∑j=0

ψ2

j = σ2(

1 + ψ2

1 + ψ2

2

)= 0.4997622 ×

(1 + 0.4692 + 0.5352

)= 0.37619.

Assim

µn+3,n ± 1.96

√Var (en (3))

50.126± 1.96√

0.37619.

6.6.5 Previsão de (muito) Longo Prazo

Previsão de longo prazo significa tomar h muito alto. Qual é a previsão de yn+h quando

h→∞? Isto é, qual o valor de

limh→∞

E (yn+h| Fn)?

Quando n + h é muito alto, quando comparado com n, a informação Fn é praticamente

irrelevante (é qualquer coisa como prever o retorno do PSI20 para daqui a 20 anos, tendo

177

disponível apenas a informação do retorno de hoje). Assim, nestas condições, E (yn+h| Fn)

é praticamente igual a E (yn+h) (quer dizer, podemos dispensar Fn). Tudo isto é verdade se,

obviamente, o processo for estacionário.

Assim, se o processo for estacionário tem-se

limh→∞

E (yn+h| Fn) = E (yn+h) = E (y) .

Outra questão tem a ver com os intervalos de previsão. Vimos que os intervalos de previsão

dependem da variância do erro de previsão

Var (en (h)) = σ2

h−1∑j=0

ψ2j

onde ψi são os coeficientes que se obtêm da relação φ−1p (L) θq (L) , Recorde-se,

yt = φ−1p (L) θq (L)ut =

∞∑j=0

ψjut−j.

Qual é o valor da expressão Var (en (h)) = σ2∑h−1

j=0 ψ2j quando h tende para∞? Temos de

avaliar

limh→∞

σ2

h−1∑j=0

ψ2j .

Se o processo y é ESO pode-se provar que∑∞

j=0 ψ2j é finito14 e, portanto, Var (en (∞)) é

14Vimos em que condições se estabelece a estacionaridade. Outra forma alternativa consiste em considerar

a representação MA(∞) do ARMA. Vimos

yt = φ−1p (L) θq (L)ut =

∞∑j=0

ψjut−j .

Tem-se

E (yt) = 0

Var (yt) = Var

∞∑j=0

ψjut−j

= σ2∞∑j=0

ψ2j

Assim se y é E2O devemos ter Var (yt) = σ2∑∞j=0 ψ

2j <∞. Logo devemos exigir

∑∞j=0 ψ

2j <∞ e, portanto,∑∞

j=0 ψ2j <∞ é condição necessária para que y seja estacionário. Nestas condições

Var (en (h)) = E(e2n (h)

)= σ2

h−1∑j=0

ψ2j → Var (yt) .

178

finito. Para que valor tende? Pode-se provar (veja-se o último pé-de-página) que

Var (en (∞)) = Var (y) .

Assim, se y é estacionário e Gaussiano, um intervalo de confiança a 95% para yn+h com h

muito alto (ou h→∞) é

E (y)± 1.96√

Var (y)

O que acontece se y não é estacionário?

Exemplo 6.6.4 Considere-se o ARIMA(0, 1, 1)

yt = yt−1 + ut + θ1ut−1.

A previsão a um passo é

µn+1,n = E (yn+1| Fn) = yn + θ1un.

A dois passos é

µn+2,n = E (yn+2| Fn) = E (yn+1 + un+2 + θ1un+1| Fn)

= E (yn+1| Fn) = yn + θ1un

A h passos é

µn+h,n = yn + θ1un.

Calcule-se agora a variância do erro de previsão Var (en (h)) = σ2∑h−1

j=0 ψ2j . Temos de

calcular os ψi e, para o efeito, começamos por reescrever o processo na forma

(1− L) yt = (1 + θ1L)ut ou

yt =(1 + θ1L)

1− L ut

179

Para determinar ψi:

(1 + θ1L)

1− L = 1 + ψ1L+ ψ2L2 + ...

1 + θ1L =(1 + ψ1L+ ψ2L

2 + ...)

(1− L)

= 1− L+ ψ1L− ψ1L2 + ψ2L

2 − ψ2L3 + ...

= 1 + (ψ1 − 1)L+ (ψ2 − ψ1)L2 + ...

Resulta:

θ1 = ψ1 − 1

0 = ψ2 − ψ1

0 = ψ3 − ψ2

...

⇔

ψ1 = 1 + θ1

ψ2 = 1 + θ1

ψ3 = 1 + θ1

...

(alternativa: série de Taylor ou melhor fórmula de Taylor...).

Logo

(1 + θ1L)

1− L = 1 + (1 + θ1)︸︷︷︸ψ1

L+ (1 + θ1)︸︷︷︸ψ2

L2 + ...

e, portanto,

Var (en (h)) = σ2

h−1∑j=0

ψ2j

= σ2(1 + (1 + θ1)2 + ...+ (1 + θ1)2)

= σ2(1 + (h− 1) (1 + θ1)2)

Quando h→∞⇒ Var (en (h))→∞ (a amplitude dos IC aumenta com h).

6.6.6 Qualidade da Previsão

Podemos comparar a qualidade de previsão de dois modelos diferentes (por exemplo um AR

versus um MA) comparando a variância do erro de previsão Var (en (h)) dos dois modelos.

Esta é a abordagem paramétrica. Temos uma outra forma, mais eficaz, de avaliarmos a

previsão de um (ou mais) modelo(s) e que é descrita a seguir.

O período de observação da série é dividido em dois sub-períodos: o primeiro é des-

ignado por in-sample estimation period e o segundo por out-of sample forecast. Fixe-se o

período de estimação, por exemplo, de 1 a t1 (veja-se a figura 6-18). Embora as observações

180

Insample estimation period

Outof sampleforecastevaluation period

t11 n

Figura 6-18: In-Samples Estimation Period vs. Out-of Sample Forecast Period

disponíveis sejam y1, ..., yt1 , ..., yn o modelo é estimado apenas para o período de 1 a t1.

Com base no modelo estimado no período in-sample estimation, geram-se depois as pre-

visões para o período out-of sample forecast e, finalmente comparam-se as previsões com

os valores observados mas não utilizados na estimação. O esforço de previsão no período

pós-estimação é equivalente ao de uma previsão verdadeira15.

Seja

e (h) = et1 (h) = yt1+h − E (yt1+h| Ft1)

yph = E (yt1+h| Ft1)

yoh = yt1+h

(com t1 + h = n).

Avaliação da Previsão I

Tendo-se calculado os erros e (1) , e (2) , ..., e (h) , podemos agora avaliá-los através das

seguintes medidas:

Erro Médio de Previsão

EMP =1

h

h∑i=1

(yoi − ypi ) =

1

h

h∑i=1

e (h)

15Também se definem as previsões in-sample forecast. Tratam-se de previsões geradas no período de esti-

mação do modelo. Por exemplo, previsões a h-passos

E (yt+h| Ft) , t+ h ≤ t1.

O esforço de previsão é baixo porque o modelo de previsão usa estimativas θ baseadas nas observações

y1, ..., yt1 (a qualidade da previsão a um passo, h = 1, pode ser avaliada através dos critérios habituais de

ajustamento R2, σ, etc.).

A avaliação da qualidade da previsão deve basear-se nas previsões out-of-sample.

181

Raiz do Erro Quadrático Médio (REQM ou RMSE)

REQM =

√√√√1

h

h∑i=1

(yoi − ypi )

2 =

√√√√1

h

h∑i=1

e (h)2

Erro Absoluto Médio (EAM ou MAE)

EAM =1

h

h∑i=1

|yoi − ypi | =

1

h

h∑i=1

|e (h)|

Erro Percentual Absoluto Médio (EPAM ou MAPE)

EPAM =1

h

h∑i=1

∣∣∣∣yoi − ypiyoi

∣∣∣∣ =1

h

h∑i=1

∣∣∣∣e (h)

yoi

∣∣∣∣Coeficiente de Theil

U =REQM√

1h

∑hi=1 (ypi )

2 +√

1h

∑hi=1 (yoi )

2, 0 ≤ U ≤ 1

EQM penaliza fortemente os erros maiores. A grande maioria das previsões pode ser ex-

celente mas o EQM pode ser alto se existir uma previsão má ou muito má. O EAM não

é tão severo neste aspecto. Se a grande maioria das previsões for boa então o EAM vem

relativamente baixo.

Relativamente ao coeficiente de Theil, quanto mais baixo U melhor é a previsão. O

caso U = 1 é o pior cenário (por exemplo, prever sistematicamente zero quando os valores

observados são diferentes de zero, ou prever sempre valores positivos quando os valores

observados são sempre negativos, etc.).

As estatísticas anteriores avaliam a magnitude do erro de previsão e, com excepção do

EMP, não levam em conta se o erro de previsão é positivo ou negativo. Em certos casos, o

sinal do erro de previsão é importante. Para ilustrar esta situação, considere-se o seguinte

exemplo. Seja y a hora de partida do avião, yp a previsão da hora de chegada ao aeroporto

(para embarcar) e e = y − yp o erro de previsão. Se e > 0, ele ou ela chega adiantado; se

e < 0 chega atrasado e perde o avião. Como poderemos avaliar o erro de previsão? Função

quadrática do tipo EQM? (penalizar de igual forma chegar cedo ou tarde?). Uma função de

182

avaliação poderia ser

L (e) =

999 e < 0

ke e > 0, k > 0.(6.17)

Assim, chegar atrasado envolveria uma “perca” de 999 (valor que supomos muito alto), ao

passo que chegar adiantado e unidades de tempo, envolveria uma “perca” proporcional a e

(supondo 999 > ke). Uma estatística de avaliação da qualidade da previsão baseada em

(6.17) é

1

h

h∑i=1

(999Ie(i)<0 + ke (i) Ie(i)>0

). (6.18)

Escolhe-se o modelo que minimiza (6.18).

Outro caso em que a função perca L (e) é não simétrica aplica-se a modelos de previsão

que visam definir regras de compra e venda. Seja yph a previsão do retorno a h passos e yoh o

correspondente valor observado. Considera-se uma previsão correcta quando yph apresenta o

mesmo sinal que yoh. A função perca é

L (e) =

1 yphyoh < 0

0 yphyoh > 0.

(6.19)

Observe-se: se a previsão é correcta yph e yoh apresentam o mesmo sinal e, portanto, o produto

yphyoh é positivo. Uma estatística de avaliação da qualidade da previsão baseada em (6.19) é

1

h

h∑i=1

Iypi yoi<0. (6.20)

A equação (6.20) representa a proporção de previsões com sinal incorrecto. Pode-se preferir,

todavia, trabalhar com a proporção de previsões com sinal correcto:

PPSC =1

h

h∑i=1

Iypi yoi>0.

Avaliação da Previsão II

Os erros de previsão podem devem-se, basicamente, às seguinte razões:

• As previsões estão quase sempre acima ou abaixo dos valores observados (exemplo:

valores observado: 10, 11, 9, 12; previsões: 15, 16, 13, 16);

• A variabilidade das previsões é diferente da variabilidade dos valores previstos (exem-

183

plo: valores observados: 10, 11, 9, 12; previsões: 2, 18, 5, 20).

• As previsões estão pouco correlacionadas com os valores observados.

Na metodologia que se segue procura-se identificar estas várias fontes de erro.

Considere-se

s2o =

1

h

h∑i=1

(yoi − yo)2 , s2

p =1

h

h∑i=1

(ypi − yp)2

r =1h

∑hi=1 (yoi − yo) (ypi − yp)

s0sp

e defina-se

UE =(yo − yp)2

EQM, UV =

(so − sp)2

EQM, UC =

2 (1− r) s0spEQM

,

respectivamente a proporção do enviesamento, da variância e da covariância. Note-seEQM =

1h

∑hi=1 (yoi − y

pi )

2 . A estatística UE mede o erro sistemático, UV mede a capacidade de yp

reproduzir a variabilidade de yo e UC mede o erro não sistemático. A situação ideal (yoi 6= ypi )

é UV = UE = 0 e UC = 1. Note-se que UV + UE+ UC = 1 (demonstração no apêndice

6.I).

Ao contrário do EMP, da REQM e do EAM as estatísticas EPAM, U de Theil, UV , UEe

UC não dependem da escala da variável. Por exemplo, se a variável em estudo for “entrada de

turistas na fronteira (unidade: no de indivíduos)” e depois resolvermos passar para “entrada

de turistas na fronteira (unidade: milhares de indivíduos)”, as estatísticas EPAM, U de Theil,

UV , UEe UC não sofrem alteração (porque não dependem da escala da variável).

Exemplo 6.6.5 Na figura seguinte apresentam-se estatísticas referentes a três modelos de

previsão. Analise a qualidade das previsões com base nas estatísticas REQM, U de Theil,

UE , UV , UC e Corr (entre os valores observados e previstos).

Recursive Forecasting vs. Rolling Window

Suponha-se que estamos incumbidos de criar um modelo de previsão a 5 passos. Por

exemplo, podemos estar a trabalhar com dados diários e o nosso objectivo é definir um

modelo de previsão semanal. A qualidade da previsão a h passos, com h 6= 5 não nos

interessa (só nos interessa a qualidade da previsão a 5 passos). A avaliação da previsão

184

Observadoh y yp1 yp2 yp3 modelo1 modelo2 modelo31 1 2 2 1 1 1 02 2 3 3 3 1 1 13 3 2 3 4 1 0 14 2 4 4 4 4 4 45 4 4 5 7 0 1 96 5 5 6 2 0 1 97 6 5 7 9 1 1 98 7 7 8 3 0 1 169 5 4 9 9 1 16 1610 9 10 10 11 1 1 4

Média 4.4 4.6 5.7 5.3 1 2.7 6.9Variância 5.64 5.24 6.81 10.61 1.2 20.61 31.29corr(y,ypi) 0.9124 0.9230 0.6567

UE 0.0400 0.6259 0.1174UV 0.0074 0.0204 0.1129UC 0.9526 0.3537 0.7698U 0.0986 0.1458 0.2341

Modelos de Previsão erro quadráticos de previsão

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

yyp1yp2yp3

Figura 6-19: Três modelos em confronto

feita nos pontos anteriores não serve porque as estatísticas REQM, Coeficiente de Theil,

etc., avaliam a qualidade da previsão a vários passos, ponderando de igual forma esses erros.

Como fazer? Para avaliar a qualidade da previsão a 5 passos fazemos variar t1 (veja-se a

figura 6-18). Podemos ainda ter a chamada “previsão recursiva” (recursive forecasting) ou a

“janela móvel” (rolling window). Exemplifica-se a seguir.

Recursive forecasting

• Estima-se o modelo entre as observações 1 a 1000 e prevê-se para 1005;


• Estima-se o modelo entre as observações 1 a 1002 e prevê-se para 1007; etc.

Rolling window



• Estima-se o modelo entre as observações 3 a 1002 e prevê-se para 1007; etc.

185

Em ambos os casos, em cada iteração, faz-se sempre uma previsão a 5 passos. Todavia,

com o método rolling window, o período de estimação contém sempre 1000 observações (o

esforço de estimação é constante). Na primeira hipótese o esforço de estimação vai dimin-

uindo à media que se acrescentam mais observações no período da estimação. Ao fim de

várias iterações temos uma amostra de valores observados e valores previstos a 5 passos,

que podemos comparar usando as estatísticas já estudadas (EQM, EAM, etc.). Em termos

formais, seja,Y ik = yk, yk+1, ..., yi , yreh,i := E (yi+h| Y i1) a previsão a h passos usando o

método recursive forecasting, yroh,i := E(yi+h| Y ii−k

), i > k, a previsão a h passos usando

o método rolling window e yoi := yi+h os valores observados. Com base em s previsões

out-of-sample, podemos calcular, por exemplo,

EQM re (h) =1

s

s∑i=1

(yoi − yreh,i

)2, EAM re (h) =

1

s

s∑i=1

∣∣yoi − yreh,i∣∣EQM ro (h) =

1

s

s∑i=1

(yoi − yroh,i

)2, EAM re (h) =

1

s

s∑i=1

∣∣yoi − yroh,i∣∣ .Em geral, devemos esperar

REQM re (1) ≤ REQM re (2) ≤ ... ≤ REQM re (h)

EAM re (1) ≤ EAM re (2) ≤ ... ≤ EAM re (h)

Previsão no EVIEWS

A previsão no EVIEWS é definida na janela “forecast”. Para obter previsões out-of-

sample é necessário, em primeiro lugar, encurtar a amostra na fase da estimação. Para

concretizar, suponha-se que estão disponíveis 1100 observações da série y. Se o período

out-of-sample forecast for 1001-1100, o período de estimação é obviamente 1-1000. Assim,

na opção de estimação deve-se escrever na caixa “sample” 1 1000 (veja-se a figura 6.6.6).

Depois de estimado o modelo, escolhe-se a opção “forecast” e na caixa “Forecast sample”

escreve-se 1001 1100 (veja-se a figura 6-20).

A opção “Dynamic forecast” faz a previsão de y ignorando os valores observados de y no

período 1001-1100 (segue a metodologia exposta em “Avaliação da Previsão I”). Por exem-

plo, no caso da previsão AR(1) usa-se a fórmula µn+h,n = c + φ1µn+h−1,n. A opção “Static

forecast” segue o espírito da metodologia “Recursive Forecasting vs. Rolling Window” para

h = 1 com a seguinte diferença: o período de estimação mantém sempre fixo. No exem-

186

Figura 6-20: Previsão no EVIEWS

187

plo em análise o período de estimação é sempre 1-1000. A previsão AR(1) para o período

1001 é c + φ1y1000; para o período 1002 é c + φ1y1001, etc. Os parâmetros estimados c e φ1

baseiam-se sempre na amostra 1-1000. Em qualquer destas opções o EVIEWS calcula várias

estatísticas a partir dos erros de previsão e (i) , i = 1, 2, ... Por razões óbvias a previsão para

além do período de observação da variável (no exemplo em estudo, 1101-) só pode fazer-se

usando a opção “Dynamic forecast”.

6.6.7 Outros Métodos de Previsão Lineares

Médias Móveis

Para “tendências localmente constantes” a previsão de y, para o período n+ 1, n+ 2, ...,

baseada na informação y1, ..., yn é

ypn+h =yn + yn−1 + ...+ yn−N+1

N, h = 1, 2, ...

onde N é o no de obs. incluídas em cada média (período da média móvel). A previsão é

constante.

Para “tendência localmente lineares” pode-se usar o método das “médias móveis duplas”

(médias móveis de médias móveis usadas depois numa estrutura linear ...). Estes métodos

podem ser replicados através dos métodos de alisamento exponencial.

Alisamento Exponencial

Para “tendências localmente constantes” a previsão de y, para o período n+ 1, n+ 2, ...

, baseada na informação y1, ..., yn é

ypn+h = Sn, h = 1, 2, ...

Sn = αyn + (1− α)Sn−1, 0 < α < 1

188

Pode-se provar que o alisamento exponencial é uma média ponderada de y1, ..., yn e S016:

Sn = αyn+α (1− α) yn−1 +α (1− α)2 yn−2 + ...+α (1− α)n−1 y1 +(1− α)n S0. (6.21)

Para “tendências localmente lineares” pode-se usar o método de Holt.

Estes métodos podem ser encarados como casos particulares dos modelos ARIMA. Por

exemplo, a previsão do modelo ARIMA(0,1,1) é equivalente à previsão do modelo

Sn = αyn + (1− α)Sn−1.

Dem. Uma forma de provar esta afirmação consiste em mostrar que, se yt segue um

ARIMA(0,1,1)

yt = yt−1 − θut−1 + ut, µt = yt−1 − θut−1

então, a previsão para yn+1 pode-se escrever na forma da equação (6.21)17. Uma demon-

stração alternativa é a seguinte. No modelo ARIMA(0,1,1) a previsão para yn+1 é E (yn+1| Fn) =

16Com efeito,

Sn = αyn + (1− α)Sn−1

= αyn + (1− α) (αyn−1 + (1− α)Sn−2)

= αyn + (1− α)αyn−1 + (1− α)2Sn−2

= αyn + (1− α)αyn−1 + (1− α)2

(αyn−2 + (1− α)Sn−3)

= αyn + (1− α)αyn−1 + (1− α)2αyn−2 + (1− α)

3Sn−3

= ...

= αyn + α (1− α) yn−1 + α (1− α)2yn−2 + ...+ α (1− α)

n−1y1 + (1− α)

nS0.

O alisamento exponencial é uma média ponderada de y1, ..., yn e S0.17Com efeito, a previsão para yn+1, µn+1,n, é

µn+1,n = yn − θun= yn − θ (yn − µn)

= yn − θyn + θµn

= (1− θ) yn + θ (yn−1 − θun−2)= (1− θ) yn + θyn−1 − θ2un−2= (1− θ) yn + θyn−1 − θ2 (yn−2 − θun−3)= (1− θ) yn + (1− θ) θyn−1 + θun−3

= ...

= (1− θ) yn + (1− θ) θyn−1 + (1− θ) θ2yn−2 + ...+ (1− θ) θn−1y1 + θny0.

Para verificar que a previsão do modelo ARIMA(0,1,1) é equivalente à previsão do modelo Sn = αyn +(1− α)Sn−1 basta comparar a expressão obtida para µn+1,n com (6.21). Estas expressões são iguais para

α = (1− θ) (admitindo que S0 = y0). É fácil observar que a previsão para yn+h, h ≥ 1, em ambos os

modelos, é Sn = µn+1,n.

189

µn+1,n. Verifique-se agora que

µt = yt−1 − θut−1

= yt−1 − θ(yt−1 − µt−1

)= (1− θ) yt−1 + θµt−1.

Logo, no modelo ARIMA(0,1,1), tem-se

µn+1,n = (1− θ) yn + θµn

ou, redefinindo, Sn = µn+1,n e α = 1− θ, vem

Sn = αyn + (1− α)Sn−1,

que é precisamente a expressão do alisamento exponencial.Como conclusão: os modelos ARIMA são (muito) mais gerais do que modelos concor-

rentes vistos neste ponto.

6.A Método para Obter a FACP

Considere a regressão linear

yt+s = φs1yt+s−1 + φs2yt+s−2 + ...+ φssyt + ξt+s

e suponha-se que Var (yt) = 1 e E (yt) = 0 (a correlação parcial e total é independente da

origem e da escala das variáveis). Multiplicando ambos os termos por yt+s−j, j = 1, 2, ..., s,

tomando os valores esperados e dividindo por γ0 obtém-se o sistema,

ρj = φs1ρj−1 + ...+ φssρj−s j = 1, 2, ..., s. (6.22)

Para obter φ11 considera-se a equação (6.22) para s = 1,

ρ1 = φ11ρ0 (ρ0 = 1).

190

Donde,

φ11 = ρ1.

Para obter φ22 considera-se o sistema (6.22) com s = 2, ρ1 = φ21 + φ22ρ1

ρ2 = φ21ρ1 + φ22

e resolve-se em ordem a φ22 (e em ordem a φ21). Aplicando, por exemplo, a regra de Cramer

obtém-se

φ22 =

∣∣∣∣∣∣ 1 ρ1

ρ1 ρ2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 ρ1

ρ1 1

∣∣∣∣∣∣=ρ2 − ρ2

1

1− ρ21

.

Utilizando o mesmo procedimento pode-se concluir que

φ33 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 ρ1 ρ1

ρ1 1 ρ2

ρ2 ρ1 ρ3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 ρ1 ρ2

ρ1 1 ρ1

ρ2 ρ1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=ρ3 − 2ρ1ρ2 + ρ3

1 + ρ1ρ22 − ρ2

1ρ3

2ρ21ρ2 − ρ2

2 − 2ρ21 + 1

.

6.B Transformação de um Processo MA(1) Não Invertível

num Invertível

Mostra-se a seguir que um processo não invertível pode transformar-se num processo in-

vertível com funções de autocorrelação e autocorrelações parciais iguais.

Associado a um processo MA(1) não invertível existe sempre um outro processo MA(1)

invertível com a mesma FAC e FACP. Por exemplo, considere-se o processo MA(1) não

invertível.

yt = 4ut−1 + ut, θ = 4. (6.23)

Este modelo não serve para previsão pois a representação autoregressiva não está bem definida.

191

O processo (6.23) verifica:

ρ1 =θ

θ2 + 1=

4

42 + 1=

4

17

ρs = 0 para s > 1

e

φ11 = ρ1 =θ

θ2 + 1=

4

17

φss =θs(1− θ2

)1− θ2(s+1)

= 154s

1− 42s+2

Ora o processo

yt =1

4ut−1 + ut, θ =

1

4

tem a mesma FAC e FACP do processo y. Com efeito,

ρ1 = φ11 =θ

θ2

+ 1=

1θ(

1θ

)2+ 1

=θ

θ2 + 1=

4

17

φss =

(1θ

)s (1−

(1θ

)2)

1−(

1θ

)2(s+1)= 15

4s

1− 42s+2.

Na prática, qual é o alcance deste resultado? Se não ocorrer invertibilidade na fase da es-

timação devemos definir outros valores iniciais para os parâmetros. Por exemplo, se o pro-

grama fornece como estimativa θ = 4 devemos definir outros valores iniciais até que o

software encontre a estimativa 1/4 para o parâmetro do processo MA. Convém lembrar que

a estimação de processos MA envolve problemas de optimização não linear. Por vezes, a

solução do problema de optimização é um extremante local (e não global, como é dese-

jável). Poderão existir outros extremantes que serão detectados se definirmos outros valores

de inicialização.

6.C Invertibilidade de Processos MA (exemplos)

Observação 6.C.1 Se uma raiz r é complexa, i.e. r = a+ bi, o módulo é |r| =√a2 + b2.

Exemplo 6.C.1 yt = (1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3)ut é invertível?

θ3 (L) =(1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3

).

192

Resolvendo θ3 (L) = 0 em ordem a L (através de um qualquer software) obtêm-se as

seguintes raízes

−0.42 + 1.3i, −0.42− 1.3i, 1.05

Como

|−0.42 + 1.3i| =√.422 + 1.32 > 1 , |1.05| > 1

conclui-se que o processo yt = (1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3)ut é invertível. O método dos

coeficientes indeterminados permite determinar os parâmetros φi que figuram do lado direito

da expressão

1

1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3= 1 + φ1L+ φ2L

2 + ...

Multiplicando ambos os termos por (1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3) tem-se

1 =(1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3

) (1 + φ1L+ φ2L

2 + ...).

Depois de se multiplicarem e reordenarem todos os termos do lado direito da expressão

anterior vem,

1 = 1 + (φ1 − 0.5)L+ (0.1− 0.5φ1 + φ2)L2 + ...

Desta equação resulta: φ1 − 0.5 = 0

0.1− 0.5φ1 + φ2 = 0

...

Da primeira equação sai φ1 = 0.5; da primeira e da segunda sai, φ2 = 0.15, etc. Em suma

(1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3

)−1= 1 + 0.5L+ 0.15L2 + 0.52L3

+0.49L4 + 0.27L5 + ...

e, portanto,

yt = −0.5yt−1 − 0.15yt−2 − 0.52yt−3 − 0.49yt−4 − 0.27yt−5 − ...

Nota final: o programa Mathematica (entre outros) calcula facilmente os parâmetros φi. A

instrução é

Series[1

1− 0.5L+ 0.1L2 − 0.5L3,L,0,5].

193

O programa EVIEWS apresenta as raízes invertidas do polinómio θq (L). Nestas condições,

o processo y é invertível se as raízes invertidas θq (L) forem em módulo inferiores a um (ou

dentro do circulo unitário no plano complexo). Segue-se a explicação. Suponha-se que o

polinómio MA é θ (L) = (1− 0.2L+ 0.4L2) . As raízes de θ (L):

θ (L) = 0⇒ L1 = 0.25− 1.56i, L2 = 0.25 + 1.56i

As raízes estão fora do círculo unitário, pois

|L1| =√

0.252 + (−1.56)2 = 1.58 > 1, |L2| = ... = 1.58 > 1.

Logo o processo yt = θ (L)ut é invertível. O programa EVIEWS apresenta as raízes inver-

tidas. No exemplo em análise, φ (L) = (1− 0.2L+ 0.4L2) , o EVIEWS não apresenta L1 e

L2 mas sim

1

L1

e1

L2

.

Quando as raízes são reais é óbvio que |L| > 1 implica |1/L| < 1. Quando as raízes são

complexas pode-se provar que |L| > 1⇔ |1/L| < 1. Com efeito, suponha-se que uma raiz

de φ (L) é a + bi. Esta raiz está fora do círculo unitário se |a+ bi| =√a2 + b2 > 1. Se a

raiz a+ bi é invertida, tem-se

1

a+ bi=

a

a2 + b2− b

a2 + b2i

e ∣∣∣∣ 1

a+ bi

∣∣∣∣ =

√(a

a2 + b2

)2

+

(b

a2 + b2

)2

=1√

a2 + b2.

Conclui-se, portanto, que

|a+ bi| =√a2 + b2 > 1⇔

∣∣∣∣ 1

a+ bi

∣∣∣∣ =1√

a2 + b2< 1.

Retomando o exemplo φ (L) = (1− 0.2L+ 0.4L2) o EVIEWS apresenta

1

0.25− 1.56i= 0.100 16 + 0.624 97i

1

0.25 + 1.56i= 0.100 16− 0.624 97i.

194

Como√

0.100 162 + 0.624 972 = 0.632 95 < 1 o processo yt = θ (L)ut é invertível. Em

suma, no programa EVIEWS as raízes invertidas θq (L) devem ser em módulo inferiores a

um (ou dentro do circulo unitário no plano complexo). Veremos ainda que as raízes invertidas

do polinómio AR φ (L) devem também ser em módulo inferiores a um (ou dentro do circulo

unitário no plano complexo) para que o processo seja ESO.

Exemplo 6.C.2 Retome-se o exemplo 6.C.1. O programa EVIEWS em lugar de fornecer as

raízes

−0.42 + 1.3i, −0.42− 1.3i, 1.05

fornece as raízes invertidas, i.e., o lado direito das seguintes expressões:

1

−0.42 + 1.3i= −0.225− 0.696i,

1

−0.42− 1.3i= −0.225 + 0.696i,

1

1.05= 0.952.

Assim, no programa EVIEWS as raízes invertidas de θq (L) devem ser em módulo inferiores

a um (ou dentro do circulo unitário no plano complexo). Verifique que |−0.225− 0.696i| <

1, |−0.225 + 0.696i| < 1, |0.952| < 1.

6.D Estacionaridade de 2a Ordem do Processo AR(1)

A ESO pode ser discutida a partir de vários conceitos. Para processos lineares é relativamente

fácil estudar a ESO. Considere-se (com c = 0) o processo AR(1)

yt = φyt−1 + ut = φty0 + φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut (6.24)

(tendo-se admitido que o processo teve início em t0). Questão: para que valores de φ a

média, a variância e a covariância não dependem de t? A média é

E (yt) = E (E (yt| F0)) = φt E (y0) .

Claramente, se |φ| > 1 então E (yt)→∞ e o processo não é ESO. Se φ = 1 vem

E (yt) = φt E (y0) = E (y0) .

195

Nada se pode dizer, por enquanto. Se |φ| < 1 vem E (yt) = φt E (y0) → 0 quando t → ∞.

Para simplificar admite-se que o processo y é inicializado em condições estacionárias i.e.,

admite-se E (y0) = 0. Nestas condições

E (yt) = φt E (y0) = 0.

Por outro lado, o segundo momento é

E(y2t

)= E

(E(y2t

∣∣F0

))= E

(E((φty0 + φt−1u1 + φt−2u2 + ...+ φut−1 + ut

)2∣∣∣F0

))= E

(E((

φ2ty20 + φ2(t−1)u2

1 + φ2(t−2)u22 + ...+ φ2u2

t−1 + u2t + ...

)∣∣∣F0

))= E

(φ2ty2

0 + φ2(t−1)σ2 + φ2(t−2)σ2 + ...+ φ2σ2 + σ2)

= φ2tE(y2

0

)+ σ2

(φ2(t−1) + φ2(t−2) + ...+ φ2 + 1

).

Se φ = 1 vem E (y2t ) = E (y2

0)+σ2t→∞. Se |φ| > 1 vem E (y2t ) = φ2t

E (y20)+σ2 1−φ2t

1−φ2 →

∞. Se |φ| < 1 vem E (y2t ) = φ2t

E (y20) + σ2 1−φ2t

1−φ2 →σ2

1−φ2 .

Teoricamente pode-se definir E (y20) 6= σ2

1−φ2 e, neste caso, com |φ| < 1, o processo é

apenas ESO assimptoticamente. Se o processo é inicializado em “condições estacionárias”

i.e. E (y20) = σ2

1−φ2 , então, no caso |φ| < 1, resulta imediato que

E(y2t

)= φ2t σ2

1− φ2 + σ2 1− φ2t

1− φ2 =σ2

1− φ2 (constante ∀t).

Relativamente às covariâncias. Suponha-se y0 = 0 (para simplificar). No caso |φ| < 1 já

vimos que γk = φkγ0 e ρk = φk. Suponha-se agora φ = 1. Tem-se, a partir de (6.24),

yt = u1 + u2 + ...+ ut−1 + ut

196

e, assim,

E (ytyt−k) = E (E (ytyt−k |Ft−k )) = E (yt−k E (yt |Ft−k ))

= E ((u1 + u2 + ...+ ut−k) E (yt |Ft−k ))

= E ((u1 + u2 + ...+ ut−k) (u1 + u2 + ...+ ut−k))

= E(u2

1 + u22 + ...+ u2

t−k)

+ E (termos cruzados)

= σ2 (t− k) (depende de t)

= γt,k

Correlações (ainda o caso φ = 1):

γt,kγ0,k

=σ2 (t− k)

σ2t=t− kt

= 1− k

t= ρt,k

(depende de t). Coligindo todos resultados conclui-se que a média, a variância e a covariân-

cia não dependem de t se |φ| < 1. Em suma,

|φ| < 1⇔ yt é ESO

(supondo que a condição inicial tem distribuição estacionária ou que o processo foi iniciado

num passado remoto).

Outra forma de analisar a questão em estudo é a seguinte18. Considere-se novamente o

AR(1)

yt = c+ φyt−1 + ut

O esqueleto da equação anterior é a equação às diferenças finitas

yt = f (yt−1) = c+ φyt−1, f (x) = c+ φx

Satisfeitas outras condições (ver Tong, 1990) o processo y é EE se o ponto fixo y da EDF

yt = c + φyt−1 é assimptoticamente estável. O ponto fixo y da equação às diferenças finitas

18Apenas para o leitor que tenha estudado o problema da estabilidade no âmbito das equações às diferenças

finitas determinísticas.

197

(determinística) é o que resulta de

y = f (y)

y = c+ φy ⇒ y =c

1− φ.

Como se sabe, a condição |f ′ (y)| < 1 implica que y é assimptoticamente estável. Ora

f ′ (x) = φ. Portanto, se |φ| < 1, y é assimptoticamente estável e y é EE.

Pode-se também recorrer às proposições 4.5.1 e 4.5.4 notando que, no caso AR(1) a

função g é g (x) = φx e imediatamente se verifica que |g (x)| < |x| se |φ| < 1. Nas

condições das proposições referidas, o processo é EE. É ESO se o momento de segunda

ordem existir. Facilmente se verifica que existe. Nestas condições, o processo AR(1), com

|φ| < 1, é EE e ESO.

6.E Estacionaridade de 2a Ordem do Processo AR(p)

A ESO pode ser analisada convertendo a equação yt = φ1yt−1 +...+φpyt−p+ut num sistema

de equações lineares mediante as seguintes mudanças de variáveis:

y1,t = yt, y2,t = yt−1, ..., yp,t = yt−p+1.

Tem-se

y1,t = c+ φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + ut

y2,t = y1,t−1

...

yp,t = yp−1,t.

198

De forma compacta, tem-se uma estrutura de um processo vectorial AR(1), habitualmente

designado por VAR(1) (vector AR), yt= c + Ayt−1+gt, i.e.

y1,t

y2,t

...

yp,t

︸︷︷︸

yt

=

φ1 φ2 · · · φn−1 φn

1 0 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 1 0

︸︷︷︸

A

y1,t−1

y2,t−1

...

yp,t−1

︸︷︷︸

yt−1

+

ut

0...

0

︸︷︷︸

gt

Resolvendo recursivamente o sistema yt= Ayt−1+gt (dada a condição inicial Y0) obtém-se

yt= Aty0+At−1g1+At−2g2+...+ Agt−1+gt.

É relativamente óbvio que devemos exigir At → O (matriz nula) quando t → ∞. Por

exemplo se At → O quando t→∞ então

E (yt| F0) = Aty0 → 0 (vector nulo)

(isto é E (yt| F0) converge para a sua média marginal, se At → O). Seja Λ = diag (λ1, ..., λn)

a matriz dos valores próprios de A e P a matriz dos vectores próprios associados (admitem-

se linearmente independentes). Como se sabe da álgebra linear, verifica-se a igualdade

At = PΛtP−1. Logo devemos exigir que todos os valores próprios de A sejam em mó-

dulo menores do que um. Só nestas condições se tem At → O. Pode-se provar que esta

condição é equivalente à seguinte: o processo AR(p) é estacionário sse as raízes da equação

φp (L) = 0 estão todas fora do círculo unitário no plano complexo.

6.F Processos ARMA Sazonais

Neste apêndice faz-se uma breve análise dos processos ARMA sazonais ou SARMA.

Muitas sucessões envolvem uma componente sazonal ou periódica de período S (número

de observações por período). Exemplos:

199

yt Frequência S

Entrada de Turistas Mensal 12

Entrada de Turistas Trimestral 4

Retornos de um Título Diários 5

0.02

0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

1980 1981 1982 1983 1984 1985

Crédito Total ao Consumo EUA

Considere-se, yt - entrada de turistas na fronteira, dados mensais. É natural esperar:

yt−12 “alto”⇒ yt “alto”

yt−12 “baixo”⇒ yt “baixo”

Se só existisse a componente sazonal teríamos:

yt = Φ1yt−12 + ut, ou

yt = Φ1yt−12 + Φ1yt−24 + ut.

Processo AR(P)S

• AR(1)S yt = Φ1yt−S + ut ut ruído branco

• AR(2)S yt = Φ1yt−S + Φ2yt−2S + ut

• AR(P)S yt = Φ1yt−12 + Φ2yt−2s + ...+ ΦPyt−Ps + ut ou,

(1− Φ1L

S − Φ2L2S − ...− ΦPL

PS)yt = ut

ΦP

(LS)yt = ut.

200

Para um AR(1)S , yt = Φ1yt−S + ut, deixa-se como exercício verificar que

yt =

∞∑j=0

Φj1ut−jS, E (yt) = 0,

Var (yt) = σ2

∞∑j=0

Φ2j1 =

σ2

1− Φ21

(σ2 = Var (ut) ),

Relativamente à covariância pode-se concluir:

Cov (yt, yt+1) =

∞∑i=0

∞∑j=0

Φi1Φj

1 E (ut−iSut+1−jS) = 0

Cov (yt, yt+2) = Cov (yt, yt+3) = Cov (yt, yt+S−1) = 0

Cov (yt, yt+S) =∞∑i=0

∞∑j=0

Φi1Φj+1

1 E (ut−iSut−jS) = σ2

∞∑i=0

Φj1Φj+1

1 = σ2 Φ1

1− Φ21

.

Donde

ρk =

Φm1 k = mS, m = 0, 1, 2, ...

0 k 6= mS, m = 0, 1, 2, ...

Também se pode concluir

φkk =

Φ1 k = S

0 k 6= S.

Na figura seguinte apresenta-se a FAC e FACP (teóricas) de um processo AR(1)S=12 com

Φ1 = 0.5.

FAC

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 12 24 36 48FACP

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 12 24 36 48

O processo AR(P)S tem o mesmo comportamento básico do processo AR(P).

Processo MA(Q)S

• MA(1)S yt = −Θ1ut−S + ut, ut ruído branco;

201

• MA(2)S yt = −Θ1ut−S −Θ2ut−2S + ut;

• MA(Q)S yt = −Θ1ut−S −Θ2ut−2S − ...−ΘQut−QS + ut ou,

yt =(1−Θ1L

S −Θ2L2S − ...−ΘQL

Qs)ut

yt = ΘQ

(LS)ut

Para um MA(1)S , yt = −Θ1ut−S + ut, deixa-se como exercício verificar que

E (yt) = 0,

Var (yt) =(1 + Θ2

1

)σ2 (σ2 = Var (ut) ).

Também se pode concluir:

ρk =

− Θ1

1+Θ21

k = S

0 k 6= S

e

φkk =

− Θ1

1+Θ21

k = S

−Θm1 (1−Θ21)

1−Θ2(m+1)1

k 6= S.

Na figura seguinte apresenta-se a FAC e FACP (teóricas) de um processo MA(1)S=12 com

Θ1 = −0.5

FAC

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 12 24 36 48

FACP

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 12 24 36 48

O processo MA(Q)S tem o mesmo comportamento básico do processo MA(Q).

Processos Multiplicativos ARMA(p,q)(P,Q)S

Componentes não sazonal e sazonal (modelo ARMA(p,q)(P,Q)S):

φp (L) ΦP

(LS)yt = θq (L) ΘQ

(LS)ut

202

Exemplo 6.F.1 Modelo ARMA(2,1)(1,0)12

(1− φ1L− φ2L

2) (

1− Φ1L12)yt = (1 + θ1L)ut(

1− φ1L− φ2L2 − Φ1L

12 + φ1Φ1L13 + φ2Φ1L

14)yt = ut + θ1ut−1

yt = φ1yt−1 + φ2yt−2 + Φ1yt−12 − φ1Φ1yt−13 − φ2Φ1yt−14 + ut + θ1ut−1

Corresponde a um modelo ARMA(14,1) com restrições (não lineares) entre os parâmetros

(incluindo restrições de nulidade).

6.G Demonstração da Proposição 6.5.1

Dem. a) Dado o modelo y = Xβ1 + γd + u, o estimador OLS de γ é

γ = (d′Md)−1

d′My, M = I−X (X′X)−1

X′

= (d′Md)−1

d′M (Xβ1 + γd + u)

= γ + (d′Md)−1

d′Mu.

Analise-se a convergência em probabilidade dos termos (d′Md)−1e d′Mu (note-se que

ξp−→ ξ e ζ

p−→ ζ implica ξζp−→ ξζ). Tem-se

d′Md = d′(I−X (X ′X)

−1X′)

d

= d′d− d′X (X ′X)−1

X′d

= 1− x′t∗ (X′X)−1

xt∗

= 1−x′t∗n

(X′X

n

)−1

xt∗ .

Tendo em conta que x′t∗/n −→ 0 e(

X′Xn

)−1 p−→ Q−1 facilmente se conclui que

d′Mdp−→ 1. (6.25)

203

Por outro lado,

d′Mu = d′(I−X (X′X)

−1X′)

u

= d′u− d′X (X′X)−1

X′u

= ut∗ − d′X

(X′X

n

)−1X′u

n

e, usando um raciocínio idêntico, conclui-se que

d′Mdp−→ ut∗ . (6.26)

Devido a (6.25) e (6.26) resulta:

γ=γ+ (d′Md)−1

d′Mup−→ γ + ut∗ .

b) Considere-se

y = Xβ0 + ε, εt∗ = d′My.

Tem-se

γ =

(1−

x′t∗n

(X′X

n

)−1

xt∗

)−1

d′My

=

(1−

x′t∗n

(X′X

n

)−1

xt∗

)−1

εt∗

e,

γ

εt∗=

(1−

x′t∗n

(X′X

n

)−1

xt∗

)−1

.

Resulta γεt∗

p−→ 1

6.H Uma Nota sobre Intervalos de Confiança

Considere-se novamente a equação (6.13). Argumentámos que a substituição de µn+h,n por

µn+h,n aumenta a variância do erro de previsão numa quantidade proporcional a 1/n. Veja-se

esta questão mais em pormenor.

204

Quando µn+h,n é desconhecido, a variável yn+h definida em

P ( l1 < yn+h < l2| Fn) = 0.95,

deve ser centrada usando-se µn+h,n (e não µn+h,n) Observe-se que a variável yn+h − µn+1,n

continua a possuir distribuição normal de média zero. No entanto, a variância de yn+h −

µn+1,n é agora,

Var(yn+h − µn+h,n

∣∣Fn) = Var(yn+h − µn+h,n + µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn)= Var

(yn+h − µn+h,n

∣∣Fn)+ Var(µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn)= Var (e (h)) + Var

(µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn)(observe-se que yn+h−µn+h,n é independente de µn+h,n−µn+h,n, pois yn+h−µn+h,n envolve

apenas erros aleatórios posteriores a n, enquanto µn+h,n − µn+h,n envolve variáveis até ao

período n). Como consequência, o IC a 95% construído a partir de µn+h,n é

µn+h,n ± 1.96√

Var (e (h)) + Var(µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn).Pode-se provar que Var

(µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn) é uma quantidade de ordem O (1/n); assim,

para amostra grandes, Var(µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn) é uma quantidade “pequena” quando com-

parada com Var (e (h)) e pode ser negligenciada. A quantidade Var(µn+h,n − µn+h,n

∣∣Fn)pode ser estimada a partir de uma equação auxiliar. Para exemplificar considere-se a previsão

a um passo de um AR(1). A estimativa de c da equação

yt = c+ φ1 (yt−1 − yn) + ut

fornece uma estimativa para µn+1,h (i.e., fornece µn+1,n) pois yn+1 = c + φ1 (yn − yn) = c.

Por outro lado, o erro padrão de c = µn+1,n é uma estimativa para

Var(µn+1,n − µn+1,n

∣∣Fn) = Var(µn+1,n

∣∣Fn) .

205

6.I UE + UV + UC = 1

Veja-se em primeiro lugar que o EQM pode-se decompor em várias parcelas. Considere-se:

EQM =1

h

h∑i=1

(yoi − ypi )

2

=1

h

h∑i=1

(yoi − yo + yo − ypi + yp − yp)2

=1

h

h∑i=1

((yoi − yo)− (ypi − yp) + (yo − yp))2

=1

h

h∑i=1

(yoi − yo)2

︸︷︷︸σ2o

+1

h

h∑i=1

(ypi − yp)2

︸︷︷︸σ2p

+ (yo − yp)2 − 21

h

h∑i=1

(yoi − yo) (ypi − yp)︸︷︷︸ρσ0σp

= σ2o + σ2

p + (yo − yp)2 − 2ρσ0σp

= (σo − σp)2 + (yo − yp)2 + 2 (1− ρ)σ0σp

Assim

EQM = (σo − σp)2 + (yo − yp)2 + 2 (1− ρ)σ0σp

e, portanto, dividindo ambos os termos pelo EQM, obtém-se

1 =EQM

EQM

=(σo − σp)2

EQM︸︷︷︸UV

+(yo − yp)2

EQM︸︷︷︸UE

+2 (1− ρ)σ0σp

EQM︸︷︷︸UC

206

Capítulo 7

Modelação da Média: Abordagem Não

Linear


7.1 Introdução

Ao longo das últimas décadas os modelos ARMA têm dominado a abordagem de séries tem-

porais (os primeiros trabalhados datam de 1927 com os modelos autoregressivos estudados

por Yule). Existem razões para o sucesso dos modelos ARMA Gaussianos:

• simplicidade: as equações às diferenças finitas são fáceis de tratar;

• o modelo ARMA Gaussiano é completamente caracterizado pela média, variância e

pelas autocorrelações;

• são fáceis de aplicar e implementar (a maioria dos programas de estatísticas possui um

módulo para tratar os modelos ARMA);

• a teoria está completamente desenvolvida: as principais questões, relacionadas com a

estimação, inferência e previsão estão resolvidas;

• apesar da simplicidade são relativamente flexíveis e úteis na previsão.

Todavia, os modelos ARMA apresentam limitações:

• não são apropriados para dados que exibam súbitas alterações em períodos irregulares;

207

• não são apropriados para dados que exibam forte assimetria e achatamento;

• os coeficiente de autocorrelação e autocorrelação parcial de ordem k são apenas um

dos aspectos da distribuição conjunta de (yt, yt−k) . Pode suceder ρk e φkk serem

baixos, mas existir uma forte relação não linear entre yt e yt−k. Por exemplo ρk (y2) =

Corr(y2t , y

2t−k)

pode ser alto;

• não modelam dados que exibam “soluções periódicas estáveis”. Retomaremos este

tema mais à frente.

Discuta-se um pouco mais em detalhe a primeira limitação mencionada. Um modelo

ARMA Gaussiano estacionário possui momentos de todas as ordens, i.e., E(|yt|k

)< ∞

para qualquer k ∈ N. Este facto implica que a probabilidade de y assumir (transitoriamente)

valores muito altos ou muito baixos é praticamente nula e, neste sentido, os modelos ARMA

não são apropriados para dados que exibam súbitas alterações em períodos irregulares. Para

esclarecer este ponto, assuma-se que E (y) = 0 e recorde-se que se y possui o momento de

ordem k, então (pela desigualdade de Markov) vem, para c > 0

P (|y| > c) ≤ O(c−k)

A expressão anterior estabelece que P (|y| > c) é proporcional (ou menos do que propor-

cional) a c−k. Como c−k tende para zero quando c → ∞, P (|y| > c) tende também para

zero nas mesmas condições, e relativamente depressa se k é uma valor alto. Logo, a possi-

bilidade de |y| assumir um valor arbitrariamente grande é praticamente nula. Se y possuir

apenas o primeiro ou segundo momento, P (|y| > c) continua a tender para zero, mas a uma

taxa muito mais baixa, e y pode assumir valores “moderadamente” altos. A existência de

todos os momento como no caso do modelo ARMA Gaussiano, pode, em certos casos, não

ser uma propriedade desejável, pois em última análise impede que o modelo capte dados que

exibam súbitas alterações, excluindo portanto, os casos em que y assume transitoriamente

valores muito altos ou muito baixos.

Enquanto os modelos lineares são definidos apenas pela representação ARMA, o número

de especificações não lineares é virtualmente infinito. Embora a literatura dos modelos não

lineares esteja ainda na sua infância, existem já muitos modelos não lineares propostos na

literatura. Vamos apenas focar alguns modelos não lineares mais utilizados. Mas afinal, o

que é um modelo não linear?

208

Uma forma simples (mas não geral) de introduzir modelos não lineares consiste em ap-

resentar a não linearidade através dos momentos condicionais. Considere-se o modelo

yt = µt + ut, ut = σtεt

onde εt é um ruído branco, µt = g (yt−1, yt−2, .., yt−p;ut−1, ut−2, ...ut−q) é a média condi-

cional de yt e σ2t = h (yt−1, yt−2, ..., yt−p;ut−1, ut−2, ..., ut−q) > 0 é a variância condicional

de yt. O modelo é não linear na média se g é uma função não linear dos seus argumentos1.

O modelo é não linear na variância se σt é não constante ao longo do tempo pois, neste caso,

o processo ut, definido por ut = σtεt, é não linear, por ser um processo multiplicativo.

Vejamos alguns exemplos. No caso

yt = φyt−1 + log(1 + y2

t−1

)+ ut

tem-se um processo não linear na média, pois, µt = φyt−1 + log(1 + y2

t−1

)é uma função

não linear de yt−1. Também

yt = ξut−1ut−2 + ut

é um processo não linear, pois µt = ξut−1ut−2 é não linear nos valores passados de ut.

Os modelos não lineares na variância mais conhecidos são os modelos do tipo ARCH;

serão discutidos no capítulo 8.

Uma classe importante de processos não lineares na média baseiam-se na ideia de regime-

switching. Podem ser usados em duas circunstâncias gerais:

• existem alterações bruscas e inesperadas nas trajectórias dos processos (e.g., ataques

especulativos, crashes bolsistas, anúncios públicos de medidas do governo, eventos

políticos e, em geral, eventos extraordinários não antecipados).

• existem alterações da dinâmica do processo sem alterações bruscas nas trajectórias.

Por exemplo, a taxa de juro no período 1993 a 2006 exibe dois períodos com com-

portamento bem diferenciado: no primeiro, as taxas de juro e a volatilidade são rel-

ativamente altas e o processo evidencia uma tendência de reversão para uma média,

seguindo-se, depois de 1995, um período de baixas taxas de juro, baixa volatilidade e

1Dizemos que uma função é não linear se não for uma função linear afim, i.e., se não verificar a relação

f (x1, ..., xn) = a0 + a1x1 + ...+ anxn, onde ai ∈ R.

209

ausência de reversão para uma média. Outro exemplo é a taxa de inflação no período

1974-2006 (basta verificar os níveis de inflação e volatilidade nos anos 70/80 e nos

anos 90).

Para este tipo de fenómenos, os modelos com alterações (estocásticas) de regime (ou

regime-switching) podem ser, no essencial, de dois tipos:

• a mudança de regime é função de uma variável observável; são exemplos, modelos

com variáveis impulso (dummy), os modelos limiares ou threshold AR (TAR), os mod-

elos onde os coeficientes associados às componentes AR são funções não lineares dos

valores passados y (STAR, smoothed transition AR), entre outros;

• a mudança de regime não é observada, incluindo-se, nesta classe, os modelos onde os

regimes são independentes entre si (como, por exemplo, os modelos simple switching

ou de Bernoulli) e os modelos onde existe dependência entre os regimes (como por

exemplo, os modelos MS, Markov-Switching).

Antes de entrarmos nos processos estocásticos não lineares, faz-se, na próxima secção,

uma breve incursão sobre os sistemas autónomos do tipo

yt = g (yt−1)

(determinísticos). O estudo da estabilidade deste tipo de sistemas é relevante para um estudo

mais aprofundado dos processos estocásticos do tipo yt = g (yt−1)+ut (ou, mais geralmente,

yt = g (yt−1, yt−2, ..., yt−p) + ut), pois parte da dinâmica subjacente ao processo estocástico

depende da função g (ou g no caso multivariado).

7.2 Estabilidade em Equações às Diferenças Finitas Deter-

minísticas

Nesta secção vamos analisa-se o sistema autónomo yt = g (yt−1) onde y é um vector de

tipo m × 1 e g é uma função real2 g : Rm → Rm. O modelo é determinístico (a condição

inicial é determinística - i.e. é conhecida).

2O domínio de g poderá ser S ⊂ Rm mas neste caso devemos exigir que S ⊆ g (S) (suponha-se que esta

condição não se verifica - então poderia suceder que ξ ∈ S e y1 = g (ξ) /∈ S e não seria possível agora

continuar com y2 = g (y1) = g (g (ξ)) pois g (ξ) /∈ S).

210

7.2.1 Pontos Fixos e Estabilidade de Sistemas Lineares

Definição 7.2.1 (Ponto Fixo de f ) Um vector y é designado por ponto fixo de g se g (t, y) =

y, para todo o t.

No ponto fixo o sistema dinâmico discreto não varia (está em equilíbrio). Com efeito,

se yt−1 = y e y é um ponto fixo, a variação da solução, ∆yt, é nula, i.e., ∆yt = yt −

yt−1= g (yt−1)− yt−1= y − y = 0.

Por exemplo, considere-se y0 = 2 e a equação às diferenças finitas (EDF)3 yt = (1/2) yt−1+

1 (note-se m = 1). Iterando a equação é fácil verificar que y1 = 2, y2 = 2, ... Logo y = 2 é

o ponto fixo de g (x) = (1/2)x+ 1. Para calcular o ponto fixo de g basta resolver a equação

(1/2) y + 1 = y em ordem a y.

Exemplo 7.2.1 Considere-se yt = 2yt−1 (1− yt−1) . Tem-se g (x) = 2x (1− x) . Os pontos

fixos (de g) calculam-se a partir da relação g (y) = y, i.e., 2y (1− y) = y. Os pontos fixos

são portanto y = 0 e y = 1/2.

Exemplo 7.2.2 Considere-se o sistema não linear y1t

y2t

=

y2t−1

y2t−1y1t−1

.

Tem-se, portanto

g

x1

x2

=

x2

x2x1

com domínio

x1

x2

∈ R2 : x1 6= 0

.

Determinem-se os pontos fixos de g. Para o efeito, resolve-se g (x) = x, i.e.,

x2

x2x1

=

x1

x2

.

3O ramo da matemática que estuda a dinâmica de sistemas determísticos usa, por vezes, uma linguagem um

pouco diferente da que estamos habituados. Por exemplo, a equação yt = φyt−1 é designada por equação às

diferenças finitas homogénas de primeira ordem linear. Mantemos a designação “equação às diferenças finitas”

ou “sistema de equações às diferenças finitas” (consoante o caso) para identificar a equação yt = g (yt−1) .

211

4 2 2 4

4

2

2

4

a

bc

de

Linha 45º

f(x)

yt

yt1

Figura 7-1: Gráfico Teia de Aranha do PVI yt = 0.5yt−1, y0 = 4

É fácil verificar que o único ponto fixo é 1

1

.

Proposição 7.2.1 Seja S um intervalo fechado e g : S → R uma função contínua. Se

S ⊆ g (S) então g tem um ponto fixo em S.

Dem. Nicolau (2004).

Quando m = 1 e a EDF é autónoma é muito útil o gráfico teia de aranha no estudo da

estabilidade. Para ilustrar a interpretação do gráfico representa-se na figura 7-1 o gráfico

teia de aranha associado à equação yt = 0.5yt−1, com valor inicial y0 = 4 (ponto a). No

momento 1 tem-se y1 = 0.5× 4 = 2 (ponto b ou c). Este valor, y1 = 2, pode ser interpretado

como o valor inicial com respeito a y2; assim, poderíamos colocar y1 = 2 no eixo das

abcissas. Em alternativa, o valor y1 ”parte” da linha de 450 (ponto c) e o procedimento é

repetido iterativamente. Assim, no momento 2 tem-se y2 = 0.5 × 2 = 1 (ponto e) e assim

sucessivamente. O gráfico mostra que limt→∞ yt = 0.

Na figura 7-2 representa-se o gráfico teia de aranha da EDF yt = y2t−1 (o que sucede

quando o valor inicial se encontra no intervalo (1,∞) ? E no intervalo (0, 1)? E ainda no

intervalo(−1, 0)?)

212

Figura 7-2: Gráfico Teia de Aranha da Aplicação f (x) = x2 (estão traçadas duas órbitas

com valores inicias -1.1 e 0.9)

Seja yt = yt (y0) a solução da EDF (ou do sistema de EDF) yt = g (t, yt−1) , dada a

condição inicial y0 (para simplificar admite-se, sem perda de generalidade, que t0 = 0). A

expressão yt (y0) define a solução como uma função explícita da condição inicial y0. No

caso da EDF autónomas é usual considerar-se a notação yt = gt (y0) em lugar de yt = yt (y0)

onde

gt (x) := g(...g(g︸︷︷︸t vezes

(x))).

Exemplo 7.2.3 Se g (x) = 11+x

, então

g2 (x) = g (g (x)) = g

(1

1 + x

)=

1

1 + 11+x

,

g3 (x) = g (g (g (x))) = g

(g

(1

1 + x

))= g

(1

1 + 11+x

)=

1

1 + 11+ 1

1+x

.

Dada a EDF yt = 11+yt−1

, o valor y3 dado y0 = 1 é

g3 (1) =1

1 + 11+ 1

1+1

=3

5.

Naturalmente, podemos obter este valor considerando o procedimento iterativo,

y1 =1

1 + 1=

1

2, y2 =

1

1 + 12

=2

3, y3 =

1

1 + 23

=3

5.

A expressão gt (y0) representa o valor de yt dada a condição y0.

Definição 7.2.2 (Estabilidade - Caso g : R→ R) O ponto fixo y diz-se estável se para cada

ε > 0 existe um δ = δ (t0, ε) tal que, para cada qualquer solução yt (y0) a desigualdade

213

|y0 − y| ≤ δ implica |yt (y0)− y| < ε para todo o t ≥ t0. O ponto fixo y diz-se assimptot-

icamente estável se é estável e se existe um δ0 > 0 tal que a desigualdade |y0 − y| ≤ δ0

implica |yt (y0)− y| → 0 quando t→∞. O ponto fixo y diz-se instável se não é estável.4

(A definição adapta-se facilmente ao caso multivariado - basta trocar |·| por ‖·‖ e ajustar

as notações). Grosso modo, um ponto fixo y é estável se yt = yt (y0) permanecer “perto” de

y para todo o t sempre que y0 se encontrar “perto” de y. O ponto fixo y é assimptoticamente

estável se for estável e toda a solução inicializada perto de y converge para y.

Exemplo 7.2.4 Considere-se yt = φyt−1 +c, com c 6= 0. Tem-se g (x) = φx+c. Resolvendo

g (y) = y, i.e., φy + c = y conclui-se que o (único) ponto fixo é y = c/ (1− φ). No

caso φ = 1 não existe ponto fixo (a equação x + c = x é impossível, com c 6= 0). A

estabilidade do ponto fixo y pode, no caso presente, ser discutida directamente a partir gt

(na generalidade dos casos não lineares não é possível obter gt). Tem-se, com a condição

inicial y0, yt = gt (y0) = y0φt + c1−φt

1−φ . Assim

gt (y0)− y = y0φt + c

1− φt

1− φ −c

1− φ = φt(y0 −

c

1− φ

)∣∣gt (y0)− y

∣∣ = |φ|t∣∣∣∣y0 −

c

1− φ

∣∣∣∣ = |φ|t |y0 − y| .

Impondo |gt (y0)− y| < ε vem |φ|t |y0 − y| < ε. Se |φ| < 1 então y é estável. Basta

considerar um δ tal que |y0 − y| ≤ δ < ε. Nestas condições tem-se |gt (y0)− y| < ε para

todo o t > 0. Se |φ| > 1 o termo |gt (y0)− y| tende para∞ o que significa que não existe

um δ > 0 nos termos da definição de ponto fixo estável; logo y é instável. Analise-se a

estabilidade assimptótica. Tem-se para φ 6= 1

limt→∞

gt (y0) = limt→∞

(y0φ

t + c1− φt

1− φ

)=

c1−φ = y se |φ| < 1

±∞ se |φ| > 1

Assim, se |φ| < 1 o ponto fixo y é assimptoticamente estável; se |φ| > 1, y é instável.

Exemplo 7.2.5 Retome-se o exemplo 7.2.1 (yt = 2yt−1 (1− yt−1)). Vimos que os pontos

fixos são y = 0 e y = 12. Discute-se agora a estabilidade a partir do gráfico teia de aranha

- ver a figura 7-3. Estão representados três valores iniciais. É fácil concluir que qualquer

ponto que se encontre numa vizinhança do ponto fixo 1/2 (por exemplo ponto A ou B) não

4Se a EDF é autónoma leia-se gt (y0) em lugar de yt (y0) .

214

0.5 0.25 0.25 0.5 0.75 1

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

A BC

Figura 7-3: Gráfico Teia de Aranha da equação yt = 2yt−1 (1− yt−1) (representados três

valores iniciais).

só não se afasta de 1/2 como também converge para y = 1/2. Este ponto fixo é portanto

assimptoticamente estável. O ponto fixo zero é instável. Basta observar o que sucede quando

y é inicializado no ponto C.

Considere-se um sistema de m equações lineares yt = Ayt−1 com a condição inicial y0

e seja

r = max |λi| : λi é um valor próprio de A (i = 1, ...,m) . (7.1)

A estabilidade de um sistema de equações lineares é estabelecida na seguinte

Proposição 7.2.2 (a) Se r < δ < 1 então existe uma constante C > 0 tal que

‖yt‖ ≤ Cδt ‖y0‖

para t ≥ 0, para qualquer y0 ∈ R. Além disso verifica-se limt→∞ ‖yt‖ = 0.(b) Se r > 1

então algumas soluções do sistema tendem para ∞. (c) Se r ≤ 1 e se a multiplicidade

algébrica de todos os valores próprios que verificam |λ| = 1 for igual a um então existe uma

constante C > 0 tal que ‖yt‖ ≤ C ‖y0‖ para t ≥ 0.


Notar que se λ é número complexo então |λ| = |α + βi| =√α2 + β2.

Resulta da proposição anterior que o ponto fixo y = 0 é, assimptoticamente estável se

r < 1, instável se r > 1, e estável se r ≤ 1 e se a multiplicidade algébrica de todos os

215

4

2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y1y2

Figura 7-4: Trajectórias y1t e y2t

valores próprios que verificam |λ| = 1 for igual a um.

Exemplo 7.2.6 Estude-se a estabilidade do sistema y1t

y2t

=

1 −5

0.25 −1

y1t−1

y2t−1

.

Os valores próprios são ±12i. Logo r = 1

2. Como r < 1 conclui-se que o ponto fixo y = 0

é assimptoticamente estável. Nas figuras seguintes analisa-se graficamente a dinâmica do

sistema admitindo y0 = (10, 1)T . Na figura 7-4 apresentam-se as trajectórias y1t e y2t. A

figura 7-4 é elucidativa quanto à estabilidade do sistema. Em ambos os casos se observa

y1t → 0, y2t → 0 quanto t→ 0.

Exemplo 7.2.7 Considere-se o sistema de EDF

yt =

cos θ sen θ

− sen θ cos θ

yt−1.

Os valores próprios são λ = cos θ±i sin θ e |cos θ − i sin θ| = |cos θ + i sin θ| =√

cos2 θ + sin2 θ =

1. Como a multiplicidade algébrica de todos os valores próprios que verificam |λ| = 1 é

igual a um conclui-se que o ponto fixo y = 0 é estável.

216

7.2.2 Estabilidade de Sistemas Não Lineares

Linearização

A proposição seguinte fornece um método para analisar a estabilidade assimptótica no caso

escalar (EDF autónomas).

Proposição 7.2.3 Suponha-se que g : R→R tem derivada de primeira ordem contínua num

intervalo aberto contendo o ponto fixo y. Então (a) se |g′ (y)| < 1, y é assimptoticamente

estável; (b) se |g′ (y)| > 1, y é instável.

Dem. (a) Dado que, por definição,

limx→y

|g (x)− g (y)||x− y| = lim

x→y

|g (x)− y||x− y| = |g′ (y)|

então existe uma vizinhança Vε (y) de raio ε > 0, tal que, para |g′ (y)| < α < 1,

|g (x)− y| < α |x− y| , x ∈ Vε (y) .

Resulta que x ∈ Vε (y) ⇒ g (x) ∈ Vε (y) (pela desigualdade anterior, constata-se que g (x)

está mais "perto"de y do que x está de y, por um factor de ordem α < 1). É imediato verificar

que g (x) ∈ Vε (y) ⇒ g2 (x) ∈ Vε (y) . Repetindo o argumento conclui-se gt (x) ∈ Vε (y) .

Logo, ∣∣g2 (x)− y∣∣ = |g (g (x))− y| < α |g (x)− y| < α2 |x− y| .

Por indução, conclui-se |gt (x)− y| < αt |x− y|. Como αt → 0 segue-se que y é assimp-

toticamente estável. (b) Utilizando argumentos idênticos conclui-se que gt (x) se afasta cada

vez mais de y à medida que t→∞.

Exemplo 7.2.8 Retome-se os exemplos 7.2.1 e 7.2.5. Com g (x) = 2x (1− x) tem-se g′ (x) =

2− 4x e, portanto, pela proposição 7.2.3, o ponto fixo 0 é instável pois |g′ (0)| = 2 > 1 e o

ponto 1/2 é assimptoticamente estável pois |g′ (1/2)| = 0 < 1.

Analise-se agora a estabilidade de sistemas de EDF. Uma forma de abordar a estabilidade

de sistemas de EDF consiste em linearizar g (x) em torno do ponto fixo y (o caso escalar ap-

resentado atrás baseia-se também no método da linearização). Suponha-se que g (x) possui

derivadas de segunda ordem contínuas. Então, pela fórmula de Taylor vem

217

gi (x) = gi (y) +∂gi (y)

∂xT(x− y) +

1

2(x− y)T

∂g2i (z)

∂x∂xT(x− y) , i = 1, ...,m

ou, mais compactamente,

g (x) = g (y) + g′ (y) (x− y) + h (x) (7.2)

Note-se que g′ (y) é o Jacobiano de g no ponto y (é uma matriz de constantes). Reescreva-se

a equação (7.2) na forma

g (x) = Ax + h (x)

onde

A = g′ (y) =

∂g1(y)∂x1

· · · ∂g1(y)∂xm

.... . .

...

∂gm(y)∂x1

· · · ∂gm(y)∂xm

, (7.3)

h (x) = g (y)− g′ (y) y +1

2

(x− y)T

∂g21(z)

∂x∂xT(x− y)

...

(x− y)T ∂g2m(z)∂x∂xT

(x− y)

(note-se que z varia com x). Tem-se agora:

Proposição 7.2.4 Suponha-se que g : Rm→Rm tem derivadas de segunda ordem contínuas

num conjunto aberto contendo o ponto fixo y. Dado

r = max |λi| : λi é um valor próprio de A (i = 1, ...,m)

e A é dada pela equação (7.3) tem-se, (a) se r < 1 então y é assimptoticamente estável; (b)

se r > 1 então y é instável.

Dem. Kelley e Peterson, (1991), p. 180.

Obviamente esta proposição generaliza a proposição 7.2.3.

218

Exemplo 7.2.9 Considere-se o seguinte modelo presa-predador,

y1t = (1 + ρ) y1t−1 − 0.001y1t−1y2t−1

1 + 0.0001y1t−1

y2t = (1− δ) y2t−1 + 0.00003y1t−1y2t−1

1 + 0.0001y1t−1

onde y1t e y2t representa, respectivamente, o número de presas e o número de predadores no

momento t, ρ é a diferença entre a taxa de nascimento e a taxa de mortalidade das presas e

δ é a taxa de mortalidade dos predadores. Suponha-se que ρ = 0.1 e δ = 0.01. Tem-se

g (x1, x2) :=

g1 (x1, x2)

g2 (x1, x2)

=

1.1x1 − 0.001 x1x21+0.0001x1

0.99x2 + 0.00003 x1x21+0.0001x1

.

Os pontos fixos resultam da resolução do sistema g (x1, x2) = (x1, x2) . Obtém-se dois

pontos fixos,

y1 =

0

0

, y2 =

344.828

103.448

.

Estude-se a estabilidade do ponto fixo y2, recorrendo-se à proposição 7.2.4. Para o efeito

determina-se

A = g′ (y2) =

∂g1(y2)∂x1

∂g1(y2)∂xm

∂gm(y2)∂x1

∂gm(y2)∂xm

.

Depois de alguns cálculos obtém-se

A =

1.003 −0.3333

0.0029 1

.

Os valores próprios são λ1, λ2 = 1.00167± 0.0310466i. Donde

|λ1| = |1.00167 + 0.0310466i| =√

1.001672 + 0.03104662 = 1. 002,

|λ1| = |1.00167− 0.0310466i| =√

1.001672 + 0.03104662 = 1. 002,

pelo que r = 1.002 > 1 e, portanto, o ponto fixo y2 é instável. A figura 7-5 ilustra o

comportamento dinâmico do sistema.

219

50

50

150

250

350

450

550

0 100 200 300 400 500 600 700

y1y2

Figura 7-5: Trajectórias y1t e y2t (t = 0, 1, ..., 800)

Método Directo de Liapunov

Veja-se agora o chamado “Método Directo de Liapunov”. Considere-se um sistema de EDF

yt = g (yt−1) com a condição inicial y0 e seja y um ponto fixo de g. Considere-se uma

função real V dem variáveis nas seguintes condições: V é contínua numa vizinhança Vε (y) ,

V (x) > 0 se x 6= y em Vε (y) e V (y) = 0. Uma função nestas condições designa-se por

função Liapunov. Defina-se

∆V (x) := V (g (x))− V (x)

em Vε (y) (não confundir a função V com a vizinhança de z de raio ε, Vε (z)).

Proposição 7.2.5 (Método Directo de Liapunov) Seja y um ponto fixo de g e assuma-se

que g é contínua numa certa vizinhança de y. Se (a) ∆V (x) ≤ 0 para todo o x ∈ Vε (y)

então a solução y é estável; se (b) ∆V (x) < 0 para todo o x ∈ Vε (y) e x 6= y então a

solução y é assimptoticamente estável; se (c) ∆V (x) > 0 para todo o ε > 0 e x ∈ Vε (y) e

x 6= y então a solução y é instável.

Apresenta-se uma explicação heurística do resultado (no caso escalar). Imagine-se a

função V (x) como uma distância entre x e y com x ∈ Vε (y) . Considere-se 0 < δ < ε.

Por hipótese y0 ∈ Vδ (y) e, como, V (g (y0)) ≤ V (y0) o ponto y1 = g (y0) não se afasta

de y (y1 não está mais distante de y do que y0 está de y). Logo y1 ∈ Vδ (y) . Seguindo o

mesmo raciocínio tem-se que V (g (y1)) ≤ V (y1) implica y2 ∈ Vδ (y) . Iterando, conclui-

se que yt ∈ Vδ (y) ⊂ Vε (y) . Logo a solução y é estável. Suponha-se agora a desigual-

dade estrita V (g (x)) < V (x) . Por hipótese y0 ∈ Vε (y) e V (g (y0)) < V (y0) implica

220

|g (y0)− y| < α |y0 − y|, 0 < α < 1. Por seu lado, a desigualdade V (g (y1)) < V (y1) im-

plica |y2 − y| = |g (y1)− y| < α |g (y0)− y| < α2 |y0 − y| . Iterando, conclui-se |yt − y| <

αt |g (y0)− y| → 0 quando t→∞.

Exemplo 7.2.10 Considere-se yt = yt−1 − y3t−1. O único ponto fixo é y = 0. A proposição

7.2.3 é inconclusivo, pois com g (x) = x − x3, tem-se |g′ (0)| = 1. Considere-se a função

V (x) = x2. Vem

∆V (x) =(x− x3

)2 − x2 = x6 − 2x4 = x4(x2 − 2

)< 0

no conjuntox : |x| <

√2

= V√2 (y) . Logo o ponto fixo y = 0 é assimptoticamente

estável.

Exemplo 7.2.11 Retome-se o exemplo 7.2.7,

yt =

cos θ sen θ

− sen θ cos θ

yt−1

com ponto fixo,

y =

0

0

.

Defina-se

V

x1

x2

= x21 + x2

2.

Facilmente se verifica V (y) = 0 e V (x) > 0 para x 6= y. Tem-se

∆V (x) = V

x1 cos θ + x2 sen θ

−x1 sen θ + x2 cos θ

− V x1

x2

= (x1 cos θ + x2 sen θ)2 + (−x1 sen θ + x2 cos θ)2 − x2

1 − x22

= 0.

Consequentemente o ponto fixo é estável.

Bacia do Escoadouro

Na literatura é usual designar-se um ponto fixo assimptoticamente estável como um escoad-

ouro (sink) e um ponto fixo instável como fonte (source). A designação escoadouro sugere

221

que o sistema dinâmico inicializado numa vizinhança do escoadouro converge para o escoad-

ouro. Utiliza-se também a designação bacia do escoadouro (basin of the skin) para definir

o conjunto de pontos W tal que se y0 ∈ W então yt = gt (y0) → y (onde y é um es-

coadouro). Analiticamente escreve-se: W (y) = y0 ∈ Rm : gt (y0)→ y5. No exemplo

7.2.5, onde g (x) = 2x (1− x) , vimos que o ponto 1/2 é um escoadouro: qualquer ponto

na vizinhança de 1/2 converge para 1/2. Uma inspecção da figura 7-3 sugere que a bacia do

escoadouro é o conjunto (0, 1) , i.e., W (1/2) = (0, 1) .

A proposição seguinte tem aplicação no caso de EDF autónomas (não lineares).

Proposição 7.2.6 Seja E = x : |g (x)− y| ≤ δ |x− y| , 0 < δ < 1 . Se existe um ε1 > 0

tal que Vε1 (y) ⊂ E então

yt = gt (y0)→ y

para todo o y0 ∈ Vε1 (y) .


A proposição 7.2.6 não fornece toda a bacia do escoadouro. Na figura 7-6 a função g (x) ,

com ponto fixo y = 1, está definida na região V para x < 1 e na região III para x > 1. Apenas

os pontos x pertencentes ao intervalo (A, 1) verificam |g (x)− y| < |x− y| .Concretamente,

E = x : |g (x)− y| < δ |x− y| , 0 < δ < 1 = (A, 1) mas não existe um ε > 0 tal que

Vε (y) = Vε (1) ⊂ E e, portanto, a proposição 7.2.6 não é aplicável. Também a proposição

7.2.3 não é aplicável, pois |g′ (1)| = 1 (admitindo que g′ (x) existe numa vizinhança de

1). Verifica-se, no entanto, por simples inspecção gráfica, que o sistema dinâmico definido

por g (x) converge para y = 1 se o valor inicial pertencer a (A, 1) . Além disso, qualquer

ponto do intervalo (1, B) tem como aplicação um ponto de (A, 1) . Ou seja, embora não se

verifique |g (x)− y| < |x− y| quando x ∈ (1, B) , os ponto de (1, B) movem-se para (A, 1)

onde aqui se tem |g (x)− y| < |x− y| para x ∈ (A, 1) . Assim, a bacia do escoadouro é

(A, 1) ∪ (1, B) ∪ 1 = (A,B) .

A discussão precedente sugere uma forma de se determinar a bacia do escoadouro.

Suponha-se que E1 é um conjunto de pontos y0 tais que gt (y0) → y e y0 ∈ E1 (este

conjunto pode determinar-se através da proposição 7.2.6). Num segundo passo determina-se

o conjunto E2 = x : g (x) ∈ E1 e, por recorrência, Ei+1 = x : g (x) ∈ Ei . Se em dado

momento Ek+1 = Ek então a bacia do escoadouro é dado pela união dos conjuntos E ′is.

5No caso não autónomo deve ler-se W (y) = y0 ∈ Rn : yt (y0)→ y .

222

0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

II

I

IIIIV

V

VI

f(x)

A B

Figura 7-6: Bacia do Escoadouro

Exemplo 7.2.12 Considere-se g (x) = (3x− x3) /2 (figura 7-7). Os pontos fixos são−1, 0, 1.

Analise-se o ponto 1. É fácil verificar que E1 = (0, b) =(0, 1/2

(−1 +

√17))⊂ W (1) (a

proposição 7.2.6 é aplicável: numa vizinhança do ponto 1, a função g (x) encontra-se nas

regiões II e V; no entanto, a proposição fornece um primeiro conjunto contido em E1). Tem-

se agora

E2 = x : g (x) ∈ E1 = x : 0 < g (x) < b = (e, c) ∪ (b, d) ⊂ W (1)

onde e = −2, 11569, c = −√

3, d =√

3. Este procedimento pode ser continuado com

E3 = x : g (x) ∈ E2, E4, etc.

Exemplo 7.2.13 Considere-se g (x) = tanx, −π/2 < x < π/2. O ponto fixo é y = 0 (pois

g (0) = 0). Na figura 7-8 verifica-se que a função g (x) não se encontra nem na região II

nem na região V (neste caso concreto, qualquer que seja o valor inicial, o sistema dinâmico

afasta-se cada vez mais de y = 0). Assim, y = 0 não é escoadouro.

Exemplo 7.2.14 Considere-se g (x) = 3x (1− x) . Verifica-se que os pontos fixo são 0 e

2/3. Na figura 7-9 analisa-se o ponto fixo 2/3 (tendo-se representado para o efeito as

curvas x e −x + 2y = −x + 4/3). A proposição 7.2.3 não esclarece a natureza do ponto

fixo y = 2/3 pois |g′ (2/3)| = 1. Também a proposição 7.2.6 não é aplicável pois embora

E = x : |g (x)− 2/3| < |x− 2/3| = (0, 2/3) não existe um ε > 0 tal que Vε (2/3) ⊂

E. Também não se pode concluir imediatamente que o intervalo (0, 2/3) pertence à bacia

223

1a e c bd

II

IIIIV

V

IVI

Figura 7-7: Bacia do Escoadouro da Aplicação f (x) = (3x− x3) /2

1 0.5 0.5 1

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

I

II

IIIIV

V

VI

Figura 7-8: g (x) = tg x

224

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

0.5

1

1.5

I

II

IIIIV

V

VI

Figura 7-9: g (x) = 3x (1− x)

Figura 7-10: Trajectória de yt = 3yt−1 (1− yt−1), y0 = 0.5 (t = 1, ..., 50)

do escoadouro (verifique-se isso através de inspecção gráfica). Este exemplo mostra as

limitações das proposições 7.2.3 e 7.2.6. Pode-se provar que o ponto 2/3 não é de facto

um escoadouro6 (i.e. um ponto fixo assimptoticamente estável) pelo que não há lugar à

determinação da bacia do escoadouro. Na figura representa-se a trajectória yt com t =

1, ..., 50.

Um resultado que ultrapassa, em certas circunstâncias, as limitações apontadas às proposições

7.2.3 e 7.2.6 e, além disso, é directamente aplicável a sistemas de equações às diferenças

consiste no seguinte.

6Prova-se que não existe um ε > 0 tal que f (2/3− ε)− 2/3 > 2/3− f2 (2/3− ε) .

225

Proposição 7.2.7 Admitam-se as condições da proposição 7.2.5 e suponha-se ∆V (x) < 0

para todo o x ∈ Vε (y) e x 6= y. Se y0 ∈ Vε (y) então gt (y0)→ y quando t→∞.

Logo Vε (y) ⊆ W (y) .


y1t = y2t−1 − y2t−1

(y2

1t−1 + y22t−1

)y2t = y1t−1 − y1t−1

(y2

1t−1 + y22t−1

).

Estude-se a estabilidade do ponto fixo y = (0, 0)T e determine-se a respectiva bacia do

escoadouro. Para o efeito tome-se a função V (x1, x2) = x21 + x2

2. Vem

∆V (x) =(x2 − x2

(x2

1 + x22

))2+(x1 − x1

(x2

1 + x22

))2 −(x2

1 + x22

)= ...

=(x2

1 + x22

)2 (−2 +(x2

1 + x22

))< 0

no conjunto

(x1, x2) :

√x2

1 + x22 <√

2

= V√2 (y) ⊆ W (y) .

Exemplo 7.2.16 Retome-se o exemplo 7.2.10, yt = yt−1−y3t−1. Resulta óbvio que V√2 (y) ⊆

W (y) .

Exemplo 7.2.17 Retome-se o exemplo 7.2.12, yt =(3yt−1 − y2

t−1

)/2. Analise-se a bacia

do escoadouro do ponto y = 1 e, para o efeito, considere-se V (x) = (x− 1)2 . Tem-se

∆V (x) =((

3x− x2)/2− 1

)2 − (x− 1)2

=9

4x2 − x− 3

2x3 +

1

4x4

=1

4(x− 4) (x− 1)2 x.

A função ∆V (x) está representada na figura 7-11, a qual permite concluir que V1 (1) =

x : |x− 1| < 1 ⊆ W (1) . No exemplo 7.2.12 foi-se um pouco mais longe. De facto,

observou-se que V1 (1) ⊂ W (1).

A terminar esta secção mostra-se que se um ponto pertence a uma certa bacia de escoad-

ouro então esse ponto não pode pertencer a outra bacia de escoadouro. Assim,

226

4

3

2

1

0

1

2

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Figura 7-11: Gráfico da função ∆V (x) = 14

(x− 4) (x− 1)2 x

Proposição 7.2.8 Se y1 e y2 são escoadouros e y1 6= y2 então W (y1) ∩W (y2) = ∅.

Dem. Mostra-se que W (y1) ∩W (y2) 6= ∅ ⇒ y1 = y2. Seja y0 ∈ W (y1) ∩W (y2) .

Então para cada ε > 0 existe um n1 ∈ N tal que t ≥ n1 implica ‖gt (y0)− y1‖ < ε/2 e

existe um n2 ∈ N tal que t ≥ n2 implica ‖gt (y0)− y2‖ < ε/2. Logo as duas desigual-

dades verificam-se simultaneamente para o maior dos n′s, i.e. definindo n3 = max n1, n2

tem-se que t ≥ n3 implica ‖gt (y0)− y1‖ < ε/2 e ‖gt (y0)− y2‖ < ε/2. Utilizando a

desigualdade triangular para t ≥ n3 vem

‖y1 − y2‖ =∥∥y1 − gt (y0)−

(y2 − gt (y0)

)∥∥≤

∥∥y1 − gt (y0)∥∥+

∥∥y2 − gt (y0)∥∥

<ε

2+ε

2= ε.

Como a distância entre y1 e y2 é menor do que ε para cada ε > 0, deverá ter-se y1 = y2.

7.2.3 Pontos Periódicos

Definições

Definição 7.2.3 Um vector p ∈ Rm é um ponto periódico de período k se

gk (p) = p (7.4)

e k é o menor inteiro positivo tal que (7.4) se verifica (i.e., gs (p) 6= p para s = 1, 2, ..., k −

1). A órbita de valor inicial p diz-se uma órbita periódica de período k.

227

Note-se que se p é um ponto periódico de período 2 então p é um ponto fixo de g2. O

recíproco não é verdade. Por exemplo, um ponto fixo de g2 pode ser também um ponto fixo

de g e, neste caso, de acordo com a definição, este ponto tem período 1.

Considere-se uma órbita de valor inicial p, i.e., p,g (p) ,g2 (p) , ... . Se p é um ponto

periódico de período 3, p deve repetir-se de três em três iterações. Por exemplo, p,g (p) ,g2 (p) ,p, ... .

Mas g (p) e g2 (p) também se repetem de três em três iterações, ..,p, g (p) , g2 (p) ,p, g (p) , g2 (p) ,p... .

Neste exemplo, é suficiente identificar a órbita de período 3 através dos três elementos

p, g (p) , g2 (p) (se p é ponto fixo de g e, portanto, ponto periódico de período 1, en-

tão a órbita periódica de período 1 é constituída apenas pelo elemento p). Naturalmente,

b = g (p) e c = g2 (p) são também pontos periódicos de período 3. A proposição seguinte

estabelece este resultado.

Proposição 7.2.9 Seja p um ponto periódico de g de período k. Então

g (p) ,g2 (p) , ...,gk−1 (p)

são também pontos periódicos de período k.

Dem. Considere-se um ponto genérico do conjuntog (p) ,g2 (p) , ...,gk−1 (p)

, pi =

gi (p) , com i = 1, 2, ..., k − 1. Mostra-se em primeiro lugar que pi não é um ponto fixo de

gs com s < k, caso contrário pi não poderia ser candidato a ponto periódico de período k

(definição 7.2.3). Suponha-se no entanto que pi é ponto fixo de gs. Viria

gs (pi) = pi ⇔ gs(gi (p)

)= gi (p)⇔ gs+i (p) = gi (p)

o que significa que p repete de s em s iterações, ou seja que p é ponto fixo de gs. Esta

conclusão contradiz a hipótese de p ser ponto periódico de período k > s (i.e., a primeira

vez que p se repete é após k iterações). Basta agora ver que pi = gi (p) é ponto fixo de gk.

Vem

gk (pi) = gk(gi (p)

)= gi

(gk (p)

)= gi (p) = pi.

Exemplo 7.2.18 Considere-se a equação yt = ayt−1 (1− yt−1) . Tem-se portanto g (x) =

ax (1− x) . Investigue-se se existem pontos periódicos de período 2. Determine-se g2 (x)

g2 (x) = g (g (x)) = a (g (x)) (1− g (x)) = a (ax (1− x)) (1− ax (1− x)) .

228

Poderíamos também obter g2 (x) considerando

yt = ayt−1 (1− yt−1)

= a (ayt−2 (1− yt−2)) (1− (ayt−2 (1− yt−2)))

o que permitiria deduzir g2 (x) = a (ax (1− x)) (1− ax (1− x)) . Para determinar eventu-

ais pontos periódicos resolve-se a equação g2 (x) = x em ordem a x. Factorizando g2 (x)−x

obtém-se

−x (1− a+ a x)(1 + a− a x− a2 x+ a2 x2

)= 0

pelo que se conclui que os pontos fixos de g2 são

x1 = 0, x2 =−1 + a

a, x3 =

12

+ 12a+ 1

2

√(−3− 2a+ a2)

a, (7.5)

x4 =12

+ 12a− 1

2

√(−3− 2a+ a2)

a. (7.6)

Estes valores serão pontos periódicos de período 2 se não forem pontos fixos de g. Ora

resolvendo

g (x) = x

sai y = 0 e y = −1+aa. Retome-se os pontos fixos apresentados em (7.5) e (7.6). Conclui-se

que os pontos 0 e (−1 + a) /a não são pontos periódicos de período 2 pois eles são pontos

fixos de g (e, portanto são pontos periódicos de período 1). Relativamente a x3 conclui-se

que12

+ 12a+ 1

2

√(−3− 2a+ a2)

a=−1 + a

a

se a = 1, e12

+ 12a+ 1

2

√(−3− 2a+ a2)

a= 0

se a = −1. Logo x3 é ponto periódico de período 2 se a 6= 1 e a 6= −1. Seguindo o

mesmo raciocínio conclui-se que x4 é ponto periódico de período 2 se a 6= 3 e a 6= −1.

Para concretizar suponha-se que a = 3.3. Tem-se y = 0, y = −1+aa

= . 696 97, x3 = .

823 6 e x4 = . 479 43. Na figura 7-12 é evidente que 0. 823 6, 0.47943 forma uma órbita

de período 2.

Outra forma (embora pouco eficiente) de confirmarmos as conclusões emergentes da

figura 7-12 consiste em se calcular iterativamente a trajectória y. A tabela seguinte fornece

229

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 8 15 22 29 36 43

t

y

Figura 7-12: Trajectória de yt = 3.3yt−1 (1− yt−1) , y0 = 0.1

t: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13yt: 0.1000 0.2970 0.6890 0.7071 0.6835 0.7139 0.6740 0.7251 0.6577 0.7429 0.6303 0.7690 0.5863 0.8004

t: 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27yt: 0.5271 0.8226 0.4816 0.8239 0.4788 0.8235 0.4796 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236

t: 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41yt: 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236

Figura 7-13: Sucessão yt = 3.3yt−1 (1− yt−1) , y0 = 0.1, t = 1, ..., 41

os valores de yt ao longo do tempo, com y0 = 0.1. É óbvio, a partir de certo valor de t

(digamos, a partir de t = 20) yt repete os valores .8236 e .4794 de duas em duas iterações.

É também interessante confirmarmos que .823 6 e .47943 são pontos periódico de período

2 a partir do gráfico teia de aranha, figura 7-14.

Exemplo 7.2.19 Retome-se o exemplo 7.2.2. Tem-se

g2 (x) = g

g

x1

x2

= g

x2

x2x1

=

x2x1x2x1

x2

=

x2x1

1x1

e

g3 (x) = g

g

g

x1

x2

= g

x2x1

1x1

=

1x11x1x2x1

=

1x1

1x2

.

Deixa-se como exército verificar que não existem ponto periódicos de período 2 e existem

três pontos periódicos de período 3.

Um modelo que pode gerar pontos periódico é o modelo linear por troços (ou, simples-

mente, modelo limiar). Assume-se um comportamento diferenciado do sistema dinâmico

consoante o estado do sistema no momento t−1, concretamente, consoante yt−1 se encontre

230

0.5 0.25 0.25 0.5 0.75 1

0.4

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 7-14: Gráfico Teia de Aranha da equação yt = 3.3yt−1 (1− yt−1)

abaixo ou acima de certo limiar γ. No caso mais simples o modelo corresponde a

yt =

c1 + φ1yt−1, yt−1 < γ

c2 + φ2yt−1, yt−1 ≥ γ.

A função g (x) pode não ser contínua (no limiar γ), como o exemplo precedente mostra.

O modelo seguinte, com c1 = γ (φ2 − φ1) + c2, define uma função contínua no ponto γ.

yt =

γ (φ2 − φ1) + c2 + φ1yt−1, yt−1 < γ

c2 + φ2yt−1, yt−1 ≥ γ.

A função g (x) é portanto

g (x) =

γ (φ2 − φ1) + c2 + φ1x, x < γ

c2 + φ2x, x ≥ γ.

Logo g (γ) = c2 + φ2γ e limx↑γ g (x) = γ (φ2 − φ1) + c2 + φ1γ = c2 + γφ2. Podemos ainda

exigir a existência de um ponto fixo no ponto γ fazendo

γ (φ2 − φ1) + c2 + φ1x = x, Solução: x =−γφ2 + γφ1 − c2

φ1 − 1

c2 + φ2x = x, Solução: x = − c2

φ2 − 1

231

e, agora resolvendo,−γφ2+γφ1−c2

φ1−1= − c2

φ2−1, sai c2 = γ (1− φ2) . Assim, tem-se

g (x) =

γ (φ2 − φ1) + γ (1− φ2) + φ1x, x < γ

γ (1− φ2) + φ2x, x ≥ γ.

ou

g (x) =

γ (1− φ1) + φ1x, x < γ

γ (1− φ2) + φ2x, x ≥ γ.

Veja-se que

g (γ) = γ (1− φ2) + φ2γ = γ

e

limx↑γ

g (x) = γ (1− φ1) + φ1γ = γ.

Estabilidade dos Pontos Periódicos

Tal como no caso dos pontos fixos de g, pontos periódicos podem ser estáveis ou instáveis.

Intuitivamente, um ponto periódico de período k é estável se qualquer trajectória iniciada

numa vizinhança desse ponto não se afasta desse ponto de k em k iterações, para todo o t (da

mesma forma se interpreta ponto periódico assimptoticamente estável e instável). O facto

essencial é que um ponto periódico de g de período k é um ponto fixo de gk. Desta forma,

a definição de estabilidade para pontos periódicos pode basear-se na definição 7.2.2, sendo

que agora deverá ler-se gk em lugar de g (gt deverá ler-se gkt). Em geral são aplicáveis as

proposições precedentes, desde que se procedam às necessárias adaptações. Por exemplo, a

proposição 7.2.3 estabelece que y é assimptoticamente estável se |g′ (y)| < 1 e instável no

caso contrário. Se as condições da proposição 7.2.3 se aplicarem, e fazendo h (x) = gk (x) ,

podemos estabelecer que o ponto periódico p de período k é assimptoticamente estável se

|h′ (p)| < 1 e instável no caso contrário.

Vimos na proposição 7.2.9 que, se p é ponto periódico de período k então a aplicação

g admite adicionalmente k − 1 pontos periódicos. Se p exibe uma certa característica qual-

itativa que conclusões podemos tirar para os demais pontos periódicos? A proposição e a

demonstração seguintes mostra que todos os pontos periódicos partilham das mesmas pro-

priedades qualitativas. Desta forma pode-se falar de órbitas periódicas estáveis e instáveis

(em alternativa a pontos periódicos estáveis e instáveis).

232

Proposição 7.2.10 Seja g uma aplicação de classe C1 emR e seja p1, p2, ..., pk uma órbita

periódica de período k. Então p1, ..., pk é assimptoticamente estável (escoadouro) se

|g′ (pk) ...g′ (p1)| < 1

e instável (fonte) se

|g′ (pk) ...g′ (p1)| > 1.

Dem. Nicolau (2004).Pode-se provar que se pi é um ponto periódico assimptoticamente estável (instável) da

órbita p1, ...pk então pj é também um ponto periódico assimptoticamente estável (instável).

Exemplo 7.2.20 Considere-se a EDF yt = 3.5x (1− x) . Utilizando-se um programa de

Matemática obtiveram-se os seguintes resultados:

k Pontos Fixos de gk (os pontos periódicos estão em negrito)

1 0,0.714286

2 0, 0.714286,0.428571,0.857143

3 0, 0.714286

4 0, 0.714286, 0.428571, 0.857143,0.38282,0.500884,0.826941,0.874997

Analisa-se agora a estabilidade dos pontos periódicos na tabela seguinte.

k Análise da Estabilidade dos Pontos Periódicos (proposição 7.2.10)

1 |g′ (0)| = 3.5, |g′ (0, 0.714286)| = 1.5

2∣∣g′ (0.428571) g′ (0.857143)′

∣∣ = 1.25

3 −

4 |g′ (0.38282) g′ (0.500884) g′ (0.826941) g′ (0.874997)| = 0.03

Os resultados apresentados na tabela anterior podem também ser obtidos da seguinte

forma

∣∣∣(g2 (0.428571))′∣∣∣ =

∣∣∣(g2 (0.857143))′∣∣∣ = 1.25∣∣∣(g4 (0.38282)

)′∣∣∣ =∣∣∣(g4 (0.500884)

)′∣∣∣ =∣∣∣(g4 (0.826941)

)′∣∣∣ =∣∣∣(g4 (0.874997)

)′∣∣∣ = 0.03.

233

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

Figura 7-15: Gráfico Teia de Aranha da equação yt = 3.5yt−1 (1− yt−1)

Naturalmente esta segunda alternativa é bastante mais trabalhosa. Conclui-se que todos os

pontos periódicos de período k = 4 são assimptoticamente estáveis; todos os outros pontos

em análise são instáveis. O gráfico 7-15 permite identificar um comportamento periódico

de período k = 4.

Tem interesse ainda observar o gráfico teia de aranha do modelo g4 (x) - ver figura 7-16.

Observe-se (talvez com alguma dificuldade) que a função g4 corta o eixo de 45o oito vezes

(considerando também o ponto zero). Este facto corrobora a primeira tabela deste exemplo

(última linha).

7.3 Modelo Limiar Autoregressivo (Threshold AR - TAR)

7.3.1 Introdução

Como argumentámos na introdução deste capítulo, uma classe importante de processos não

lineares na média baseia-se na ideia de regime-switching. Nesta secção apresentam-se vários

modelos onde a mudança de regime depende de uma variável observável. Provavelmente o

modelo mais conhecido desta família (onde os regimes dependem de variáveis observáveis)

é o modelo Threshold AR ou TAR. Para exemplificar, considere-se um modelo TAR com

234

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

y

Figura 7-16: Gráfico Teia de Aranha do Modelo g4 (x)

dois regimes

yt =

φ10 + φ11yt−1 + ut qt−d < γ

φ20 + φ21yt−1 + ut qt−d > γ(7.7)

onde γ é o valor do limiar (threshold values), qt−d é a variável limiar e d > 0 é um inteiro.

No caso especial em que qt−d = yt−d o modelo (7.7) designa-se por Self-Exciting TAR ou

SETAR (é o próprio processo y que determina a mudança de regime).

A ideia principal do modelo pode ser exposta da seguinte forma. Se certo fenómeno y

é não linear na média, então é incorrecto assumir que y se comporta linearmente em todo o

seu domínio. A solução que está implícita no modelo TAR consiste em assumir linearizações

diferenciadas, consoante o valor de y. Em lugar de se ter uma aproximação linear global, têm-

se várias linearizações em sub-intervalos do espaço de estados7. Por exemplo, no modelo

(7.7), com qt−d = yt−1, pode admitir-se que a representação linear φ10 + φ11yt−1 + ut é uma

boa aproximação para o comportamento de yt quando yt−1 < γ. Todavia, quando yt−1 sai do

intervalo (−∞, γ) , yt passa a ser melhor caracterizado pelo segundo ramo da especificação

(7.7).

7A este respeito a fórmula de Taylor é instrutiva. Suponha-se que f : R → R possui derivada contínua

de primeira ordem. Pela fórmula de Taylor tem-se f (x) = f (a) + f ′ (a) (x− a) + O(|x− a|2

). Esta

fórmula diz-nos que f (x) pode ser arbitrariamente bem aproximada através da expressão linear (em x) f (a)+f ′ (a) (x− a). Note-se que a, f (a) e f ′ (a) são constantes e o erro envolvido na aproximação é de ordem

|x− a|2 . Se procuramos aproximar f (x) quando x se afasta de a a aproximação piora significativamente,

tendo em conta o erro envolvido O(|x− a|2

). Assim, podemos usar a fórmula de Taylor na forma linear,

repetidamente, para vários valores de a, e assim obter boas aproximações de f em todo o seu domínio. É este

o princípio que está subjacente ao modelo TAR.

235

Outra interpretação do TAR é sugerida pela seguinte representação equivalente de (7.7):

yt =(φ10Iqt−d≤γ + φ11Iqt−d≤γyt−1

)+(φ20Iqt−d>γ + φ21Iqt−d>γyt−1

)+ ut.

=(φ10Iqt−d≤γ + φ20Iqt−d>γ

)︸︷︷︸φ0(yt−1)

+(φ11Iqt−d≤γ + φ21Iqt−d>γ

)︸︷︷︸φ1(yt−1)

yt−1 + ut

= φ0 (qt−d) + φ1 (qt−d) yt−1 + ut.

Observa-se, assim, que o modelo TAR pode ser interpretado como um processo AR de coe-

ficientes aleatórios com dependência em qt−d.

7.3.2 Soluções Periódicas

Considere-se o processo linear, yt = c + φyt−1 + ut, |φ| < 1. Recorde-se que o esqueleto

da equação estocástica é a correspondente equação determinística com ut ≡ 0, i.e., yt =

c + φyt−1. De acordo com a definição 7.2.1, o ponto fixo da equação yt = g (yt−1) é o valor

y tal que g (y) = y. No caso linear, g (x) = c+φx, a solução de g (y) = y é y = c/ (1− φ) .

Recorda-se que se yt for inicializado no ponto fixo, yt permanece no valor do ponto fixo

para todo o t . Com efeito, se yt−1 = y e y é um ponto fixo, a variação da solução, ∆yt, é

nula, i.e., ∆yt = yt − yt−1 = g (yt−1) − yt−1 = y − y = 0. Se a solução não é inicializada

numa vizinhança do ponto fixo, mas |φ| < 1, então yt tenderá para y, quando t → ∞.

Quando a equação é linear (de primeira ordem) existe apenas o ponto fixo y = c/ (1− φ),

que poderá ser ou não assimptoticamente estável (dependendo do valor de φ). Uma das

características dos processos não lineares é o de admitirem esqueletos com vários pontos

fixos e com periodicidade superior a um. Esta possibilidade permite modelar dados que

exibam “soluções periódicas estáveis”.

Para concretizar considere-se o exemplo:

yt =

1 + 0.5yt−1 + ut yt−1 < 0

−1− 0.5yt−1 + ut yt−1 ≥ 0.(7.8)

O esqueleto da equação é

yt =

1 + 0.5yt−1, yt−1 < 0

−1− 0.5yt−1, yt−1 ≥ 0(7.9)

236

4 2 2 4

4

2

2

4

15.01 −−−= tt yy15.01 −+= tt yy

Figura 7-17: Gráfico Teia de Aranha do modelo (7.9). Os valores 0.4 e -1.2 são pontos

periódicos de período 2

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

1 6 11 16 21 26 31

t

y

Figura 7-18: Trajectória de (7.10) com y0 = 5

e a função g (x) representa-se na forma

g (x) =

1 + 0.5x x < 0

−1− 0.5x x ≥ 0.(7.10)

As figuras 7-17 e 7-18 mostram que os valores 0.4 e -1.2 são pontos periódicos8 de período

2. Estes pontos são assimptoticamente estáveis. Qualquer que seja o valor de inicialização,

a solução yt é atraída para a órbita 0.4,−1.2 .

Não faz sentido falar-se em soluções periódicas do modelo estocástico definido em (7.8).

8É possível obter estes pontos resolvendo g (g (x)) = x em ordem a x.

237

Figura 7-19: Gráfico dos pares (yt−1, yt) após se ter gerado uma trajectória do processo 7.8

(traçam-se também as rectas 1 + .5x e −1− 0.5x)

A componente estocástica impede, de facto, que yt possa oscilar entre os pontos 0.4 e -1.2.

Todavia, o comportamento periódico subjacente ao esqueleto está parcialmente presente no

modelo estocástico, tal como mostra a figura 7-19, onde se apresenta o gráfico scatter (i.e. o

gráfico dos pares (yt−1, yt)) depois de se ter simulado uma trajectória.

Como o processo é EE (veja-se o exemplo 4.5.9), pode também indagar-se que tipo

de distribuição estacionária define o processo. A expressão analítica desta distribuição é

desconhecida, mas pode estimar-se de várias formas. Provavelmente o procedimento mais

simples consiste em gerar uma trajectória suficientemente longa e, depois de se desprezarem

os primeiros valores9 (digamos os primeiros 10), estima-se a função de densidade marginal

f (x) através do estimador

f (x) =1

nSh

nS∑i=1

K

(x− yih

)(7.11)

onde h é a bandwidth, nS é o número de observações simuladas usadas na estimação e K

é, por exemplo, o Kernel (ou núcleo) Gaussiano (para uma discussão alargada do estimador

f ver o ponto 10.2). Sob certas condições sabe-se que f (x)p−→ f (x) onde f não é mais

do que a densidade estacionária. Naturalmente, é necessário considerar vários valores de

9A justificação: o valor incial y0, a partir da qual é gerada a trajectória, não é obtido em condições esta-

cionárias porque estas são desconhecidas.

238

Figura 7-20: Densidade Estacionária de 7.8 estimada a partir de 50000 observações simu-

ladas.

x na expressão (7.11) para se ter uma ideia do comportamento de f no espaço de estados

da variável. Como ns está sob nosso controle, a função f pode ser estimada de forma ar-

bitrariamente precisa. Na figura 7-20 apresenta-se a densidade estacionária estimadaf (x) .

A existência de duas modas acaba por não surpreender tendo em conta a estrutura do es-

queleto (recorde-se a existência de dois pontos periódicos). Já a assimetria da distribuição

não é clara (pelo menos à primeira vista). A probabilidade de y se encontrar abaixo de zero

é cerca de 0.562 ('∑Iyt≤0/n) e E (y) = −0.333. O gráfico teia de aranha talvez possa

explicar estes valores. Observe-se que na estrutura determinística, um valor negativo inferior

a −2 é seguido por outro valor negativo, enquanto um valor positivo passa imediatamente

a negativo. Este facto explica por que razão a probabilidade de y se encontrar abaixo de

zero é superior a 0.5 e, de certa forma, também explica a existência de uma média marginal

negativa.

239


A estacionaridade estrita pode ser analisada no contexto das proposições apresentadas no

ponto 4.5. Por exemplo, no modelo mais geral

yt =

φ10 + φ11yt−1 + ...+ φ1pyt−p + ut yt−d < γ1

... ...

φk0 + φk1yt−1 + ...+ φkpyt−p + ut yt−d > γk

se a condição max1≤i≤k∑p

j=1

∣∣φji∣∣ < 1 se verificar, então o processo é EE, atendendo

à proposição 4.5.4. Esta condição é apenas suficiente, mas não necessária. Como tal,

pode ser demasiado exigente. Para certos modelos particulares são conhecidas as condições

necessárias e suficientes. É o caso do modelo

yt =

c1 + φ1yt−1 + ut yt−d < γ1

c2 + φ2yt−1 + ut γ1 ≤ yt−d ≤ γ2

c3 + φ3yt−1 + ut yt−d > γ2

(7.12)

Proposição 7.3.1 O processo yt definido pelo sistema (7.12) é EE sse qualquer uma das

seguintes condições se verificar:

(i) φ1 < 1, φ3 < 1, φ1φ3 < 1;

(ii) φ1 = 1, φ3 < 1, c1 > 0;

(iii) φ1 < 1, φ3 = 1, c3 < 0;

(iv) φ1 = 1, φ3 = 1, c3 < 0 < c1;

(v) φ1φ3 = 1, φ1 < 1, c1 + φ3c1 > 0;

O resultado apresentado não envolve qualquer restrição sobre o regime 2. Mesmo no

caso de k regimes AR(1), o teorema acima continua a aplicar-se (neste caso o regime 3 é

encarado como o último regime).

240

7.3.4 Exemplo (Bounded Random Walk)

Um caso muito interessante é o seguinte:

yt =

c1 + φ1yt−1 + ut yt−1 < γ1

c2 + yt−1 + ut γ1 ≤ yt−1 ≤ γ2

c3 + φ3yt−1 + ut yt−1 > γ2

(7.13)

Assuma-se |φ1| < 1 e |φ3| < 1. Observe-se que o processo no regime 2 é integrado de ordem

1, i.e., exibe o comportamento de um random walk. No entanto y é EE, pela proposição

7.3.1.

Se P (γ1 ≤ yt ≤ γ2) é uma probabilidade alta, então durante a maior parte do tempo

y comporta-se como um random walk. Sempre que os limiares γ2 ou γ1 são atingidos o

processo passa a exibir reversão para uma certa média e, deste modo, y é globalmente esta-

cionário e, portanto, limitado em probabilidade (ou contrário do random walk). Na figura

7-21 apresenta-se uma trajectória simulada a partir do processo

yt =

0.9yt−1 + ut yt−1 < −3

yt−1 + ut −3 ≤ yt−1 ≤ 3

0.9yt−1 + ut yt−1 > 3

(7.14)

onde ut é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição N (0, 0.22) .

Processos do tipo (7.14) confundem-se facilmente com passeios aleatórios. Por esta

razão, o teste Dickey-Fuller tende a não rejeitar a hipótese nula de raiz unitária quando a

alternativa é um processo estacionário do tipo (7.14); por outras palavras, o teste Dickey-

Fuller é pouco potente contra alternativas do tipo (7.14). No contexto do modelo (7.13),

pode mostrar-se que a potência do teste Dickey-Fuller diminui quando γ1 é baixo e γ2 é alto

ou φ1, φ2 < 1 são altos ou Var (ut) é baixa.

7.3.5 Estimação

Considere-se, sem perda de generalidade, o modelo com dois regimes:

yt =

φ10 + φ11yt−1 + ...+ φ1pyt−p + ut qt−d ≤ γ

φ20 + φ21yt−1 + ...+ φ2pyt−p + ut qt−d > γ(7.15)

241

Figura 7-21: Trajectória Simulada a partir do Processo (7.14)

onde se assume que ut é um ruído branco com Var (ut) = σ2. Os parâmetros desconheci-

dos são d, γ, σ2 e φ =(φ′1 φ′2

)′onde φi =

(φi0 φi1 ... φip

)′. Reescreva-se (7.15)

na forma

yt =(φ10 + φ11yt−1 + ...+ φ1pyt−p

)Iqt−d≤γ

+(φ20 + φ21yt−1 + ...+ φ2pyt−p

)Iqt−d>γ + ut.

Seja x′t = (1, yt−1, ..., yt−p) . Observe-se que cada um dos “ramos” pode escrever-se como

(φ10 + φ11yt−1 + ...+ φ1pyt−p

)Iqt−d≤γ =

(1 yt−1 ... yt−p

)︸︷︷︸

x′t

φ1Iqt−d≤γ

= x′tφ1Iqt−d≤γ(φ20 + φ21yt−1 + ...+ φ2pyt−p

)Iqt−d>γ =

(1 yt−1 ... yt−p

)︸︷︷︸

xt

φ2Iqt−d>γ

= x′tφ2Iqt−d>γ.

242

Assim, (7.15) pode ainda escrever-se na forma

yt = x′tφ1Iqt−d≤γ + x′tφ2Iqt−d>γ + ut

=(

x′tIqt−d≤γ x′tIIqt−d>γ) φ1

φ2

+ ut

ou ainda, com xt (γ)′ =(

x′tIqt−d≤γ x′tIIqt−d>γ)

yt = xt (γ)′φ+ ut.


yt| Ft−1 ∼ N(xt (γ)′φ, σ2

)e o método da máxima verosimilhança é equivalente ao método dos mínimos quadrados

condicionados. Assim, o estimador para φ, dado γ, é

φ (γ) =(X (γ)′X (γ)

)−1X (γ) y (7.16)

onde X (γ) é a matriz das variáveis “explicativas” endógenas desfasadas (dado γ), tendo

por linha genérica o vector-linha xt (γ)′ e y é o vector das observações yt . Claro que o

estimador φ (γ) depende de γ, que é desconhecido. Como estimar γ? Seja

σ2 (γ) =

∑nt=1

(yt − xt (γ)′ φ (γ)

)2

n

a soma dos quadrados dos resíduos. Supondo d conhecido, toma-se para estimativa de γ o

valor que minimiza σ2 (γ) , i.e.,

γ = arg minγ∈Γ

σ2 (γ) . (7.17)

O conjunto Γ é o espaço do parâmetro γ (todos os valores que γ pode assumir). Claramente

Γ = R. Como a derivada de σ2 (γ) em ordem a γ não está definida, o problema de esti-

mação (7.17) é não standard. Uma forma expedita de obter a sua solução consiste em fazer

percorrer γ no conjunto Γ e, depois, seleccionar o valor que minimiza σ2 (γ) . Felizmente, a

243

escolha dos valores relevantes para γ é relativamente pequena. Sejam y(1), y(2), ..., y(n) são

as estatística de ordem tais que

y(1) ≤ y(2) ≤ ... ≤ y(n).

Como σ2 (γ) não se altera quando γ varia entre duas estatísticas de ordem, o problema de

optimização (7.17) é equivalente a

γ = arg minγ∈Γ

σ2 (γ) , Γ =y(1), ..., y(n)

(7.18)

ou seja, para obter γ basta percorrer γ no conjunto Γ e seleccionar, depois aquele que mini-

miza σ2 (γ). Na prática, impõe-se que cada regime possua pelo menos uma certa fracção π

de observações (efectivamente, não faz sentido, tomar γ = y(1) ou γ = y(n)). Assim, deve

restringir-se o conjunto Γ, passando a sery((π(n−1))), ..., y((1−π)(n−1))

onde (.) representa a

parte inteira do número. Neste novo conjunto Γ não fazem parte as π100% mais baixas nem

as (1− π) 100% mais altas.

Falta-nos ainda tratar a estimação de d, que é também não standard tendo em conta que

d ∈ N. Como σ2 depende de d, escolhe-se d num certo conjunto D = 1, 2, ..., d∗ de forma

a minimizar σ2. Logo, (γ, d)

= arg minγ∈Γ,d∈D

σ2 (γ, d)

onde, agora,

σ2 (γ, d) = n−1

n∑t=1

(yt − xt (γ, d)′ φ (γ, d)

)2

e

φ (γ, d) =(X (γ, d)′X (γ, d)

)−1X (γ, d) y.

Em suma, os passos na estimação dos parâmetros são o seguintes:

1. para cada γ ∈ Γ e para cada d ∈ D, construir X (γ, d) e estimar φ (γ, d) e σ2 (γ, d);

2. tomar para estimativa de γ e de d o par (γ, d) que minimiza σ2 (γ, d); seja esse par

dado por(γ, d).

3. tomar para estimativa de φ, o valor φ(γ, d).

244

Exemplo 7.3.1 Considere

yt =

φ1yt−1 + ut se yt−d ≤ γ

φ2yt−1 + ut se yt−d > γ

com Var [ut] = σ2. Suponha que os resultados na fase da estimação são:

Valores de σ2em função de γ e d

d→

γ ↓1 2

-1 15.5 16

-0.7 12.4 13.5

-0.1 12.1 12.3

-.001 3.5 2.5

0.0 1.2 2.4

1.2 2.5 2.8

1.5 5.5 7

Resulta do quadro (veja o valor a negrito) que γ = 0, d = 1 e σ2 = 1.2. Por outras

palavras

(0, 1) = arg min σ2 (γ, d) e min σ2 (0, 1) = 1.2.

Para ilustrar a matriz X (γ, d), suponha que os dois últimos valores de y são yn−1 = 1.5

e yn = −1.5; então a última linha da matriz X (γ, d) é

xn

(γ, d)′

=[yn−1Iyn−1≤0 yn−1Iyn−1>0

]=[

0 1.5]

(o valor yn = −1.5 não entra na matriz X).

7.3.6 Inferência

Pode mostrar-se que o estimador para d é super-consistente, isto é, possui uma variância pro-

porcional a 1/nα com α > 1 (os estimadores habituais possuem uma variância proporcional

a 1/n). A distribuição assimptótica é também conhecida (Hansen, 2000). Dada a super-

consistência de d podemos, para efeitos de inferência estatística sobre os demais parâmetros,

assumir que d é conhecido.

245

Inferência sobre φ

Sob certas condições (incluindo estacionaridade estrita) tem-se

√n(φ (γ)− φ0

)d−→ N

(0, I (γ0)−1) , (7.19)

onde I (γ0) = σ−2 E (xt (γ0) xt (γ0)) (γ0 e φ0 são, de acordo com a notação habitual, os

verdadeiros, mas desconhecidos valores dos parâmetros γ e φ). Supomos, naturalmente, que

γ é um estimador consistente para γ0. A matriz I (γ0) é estimada consistentemente por

1

n

n∑t=1

xt (γ) xt (γ)′ .

O resultado (7.19) indica-nos que, em grandes amostras, a inferência estatística sobre os

parâmetros φij conduz-se da forma habitual.

Inferência sobre a existência de Threshold

Uma questão importante é saber se o modelo TAR é preferível ao simples AR. Para o efeito,

testa-se H0 : φ1 = φ2 pois, sob esta hipótese, o TAR reduz-se ao AR. Aparentemente, o

resultado (7.19) permite ensaiar H0, no quadro do teste de Wald. Esta ideia é incorrecta,

pois sob a hipótese nula o parâmetro γ não identificável. Este é um problema que ocorre

tipicamente em modelos não lineares (veja-se, por exemplo, o modelo Markov-switching,

no ponto 7.4). Observe-se que, sob a hipótese nula, a função de verosimilhança deixa de

depender do parâmetro γ (é indiferente o valor que γ assume)10. Nestas circunstâncias, a

matriz de informação é singular e não é possível usar os resultados assimptóticos habituais.

Hansen (2000) sugere o seguinte procedimento:

1. obter Fn = n(σ2n − σ2

n

)/σ2

n onde σ2n é a variância dos erros de regressão do modelo

AR (sob H0) e σ2n resulta de (7.18);

2. simular u∗t , t = 1, ..., n com distribuição i.i.d. N (0, 1) ;

3. y∗t = u∗t ;

4. fazer a regressão de y∗t sobre xt =(

1 yt−1 ... yt−p

)e obter σ∗2n

10Veja-se mais um exemplo. No caso yt = βxγ + ut, x > 0, ocorre uma situação similar com H0 : β = 0ou com H0 : γ = 0. Por exemplo, sob a hipótese β = 0, γ desaparece da especificação; como consequência, a

verosimilhança deixa de depender de γ. Já o ensaio H0 : β = β0 com β0 6= 0 não levanta problemas.

246

5. obter γ = arg minγ∈Γ σ∗2n (γ) onde σ∗2n (γ) resulta da regressão de y∗t sobre xt (γ);

6. obter F ∗n = n(σ∗2n − σ∗2n

)/σ∗2n

7. repetir os passos 2-6 B vezes

8. valor-p = percentagem de vezes (em B) em que F ∗n ≥ Fn.

A fundamentação do teste baseia-se na prova segundo a qual F ∗n possui a mesma dis-

tribuição assimptótica de Fn, sob H0. Observe-se, com efeito, que F ∗n é construída sob a

hipótese de ausência de threshold. Assim, existe indício de violação da hipótese nula quando

σ2n é significativamente superior a σ2

n, de tal forma que Fn tende a ser geralmente alto quando

comparado com F ∗n . Nestas circunstâncias raramente ocorre F ∗n ≥ Fn (nas B simulações) e

o valor-p vem baixo.

Inferência sobre o threshold

Seja

Fn (γ) = n

(σ2n (γ)− σ2

n (γ)

σ2n (γ)

). (7.20)

Sabe-se que (Hansen, 1997)

Fn (γ0)d−→ ξ

onde P (ξ ≤ x) =(1− e−x/2

)2. Com base neste resultado, Hansen (1997) recomenda o

seguinte procedimento para a construção de um intervalo de confiança para γ:

1. Calcular Fn (γ) para γ ∈ Γ

2. Determinar o conjunto Cα =γ : Fn (γ) ≤ qξα

onde qξα é o quantil da distribuição de

ξ (inclui, portanto, todos os γ tais que Fn (γ) é menor ou igual a qξα).

Como P (γ0 ∈ Cα)→ α (quando n→∞), o intervalo de confiança a α100% é precisa-

mente Cα.

Usando a função de distribuição de ξ, tem-se qξ0.90 = 5.94, qξ0.95 = 7.35 e qξ0.99 = 10.59.

Ilustre-se o procedimento com o seguinte exemplo artificial. Admita-se que se obser-

vam os valores da tabela 7.1. Note-se que a estimativa para γ é γ = 1.2 pois Fn (1.2) =

0. Tendo em conta que qξ0.95 = 7.35, o intervalo de confiança para γ a 95% é C0.95 =

γ : 1.15 ≤ γ ≤ 1.45 .

247

γ Fn

1 12.2

1.1 10.2

1.15 7.35

1.2 0

1.35 6.31

1.45 7.35

1.6 15

Tabela 7.1: Intervalo de Confiança para o Threshold: Ilustração do método de Hansen

7.4 Modelo Markov-Switching

7.4.1 Introdução

Outro modelo importante baseado na ideia de regime switching é o modelo Markov-Switching

(MS). Nos modelos apresentados no ponto anterior a mudança de regime é baseada em var-

iáveis observáveis. No modelo MS a mudança de regime não é observável.

Considere-se o modelo

yt = c1 + δ1dt + φyt−1 + ut (7.21)

onde dt é uma variável dummy

dt =

1 se evento A ocorre

0 se o evento A não ocorre.

Sabemos exactamente quando o evento A ocorre. Por exemplo, o evento A pode represen-

tar “segunda-feira”. Trata-se de um evento obviamente determinístico. Suponhamos agora

que A não é observável. Como modelar, estimar e prever y? São estas as questões que

abordaremos ao longo deste ponto.

Para trabalharmos com alguma generalidade, admita-se que estão definidos N regimes.

Por exemplo, um modelo relativamente simples com dois regimes, N = 2, é

yt =

c1 + φyt−1 + ut se yt está no regime 1

c1 + δ1 + φyt−1 + ut se yt está no regime 2(7.22)

O regime 1 pode estar associado, por exemplo, ao evento “A não ocorre” e o regime 2 “A

ocorre”. Este modelo é, em vários aspectos, similar ao modelo (7.21); há, no entanto, um

diferença apreciável: agora não se sabe quando é que y está no regime 1 ou 2. Seja St o

248

regime em que o processo y se encontra no momento t (assim, se St = i, então yt está

no regime i). No modelo anterior, equação (7.22), S pode assumir os valores St = 1 ou

St = 2. A sucessão St é claramente um processo estocástico com espaço de estados

(finito) E = 1, 2, ..., N.

É necessário, naturalmente, especificar um modelo para St. Admita-se E = 1, 2 . Se

o valor que S assume em t nada tem a ver com o valor que S assume em t − 1, t − 2,

..., então St é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro

p que pode ser identificado com o regime 1, isto é, P (St = 1) = p. O processo y vai

“saltando” entre os regimes 1 e 2 de forma independente de acordo com a probabilidade

p. Num dado momento t, y está no regime 1 com probabilidade p (independentemente do

regime anterior assumido). Na prática, a independência entre os sucessivos valores de St não

é apropriada para um grande número de aplicações. Por exemplo, suponha-se que y é a taxa

de crescimento do produto. Admita-se ainda que y se comporta diferentemente consoante a

economia está em expansão ou em recessão. Temos, assim dois regimes St = 1 (recessão),

St = 2 (expansão). A sucessão St não é provavelmente independente: se a economia, num

certo momento, está em expansão (St−1 = 2), é mais provável que no momento seguinte a

economia se encontre em expansão do que em recessão. Formalmente,

P (St = 2|St−1 = 2) > P (St = 1|St−1 = 2) .

Logo St é formado por uma sucessão de v.a. dependentes. Uma sucessão ou trajectória de

S, poderá ser, por exemplo, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, ... .

7.4.2 Cadeias de Markov em tempo discreto com espaço de estados dis-

cretos finito

Um modelo conveniente para caracterizar St , num cenário de dependência temporal, é

a cadeia de Markov homogénea em tempo discreto com espaço de estados discretos finito.

A teoria das cadeias de Markov tem aplicações em muitas áreas, como por exemplo, em

modelos de inventário, em genética, em filas de espera, etc. Iremos apresentar as ideias

principais.

Uma cadeia de Markov é um processo de Markov no seguinte sentido:

P (St = j|St−1 = i, ..., S0 = i0) = P (St = j|St−1 = i)

249

isto é, St é independente de St−2, St−3, ..., S0 dado St−1.

Uma cadeia de Markov é completamente caracterizada pela chamada matriz de probabil-

idades de transição a um passo (ou simplesmente matriz de probabilidades de transição) e,

eventualmente, por uma condição inicial. No caso de dois regimes, E = 1, 2 , esta matriz

define-se da seguinte forma

P =

P (St = 1|St−1 = 1) P (St = 2|St−1 = 1)

P (St = 1|St−1 = 2) P (St = 2|St−1 = 2)

=

p11 p12

p21 p22

.

No caso geral (N regimes) tem-se

P =

p11 · · · p1N

.... . .

...

pN1 · · · pNN

.

A matriz P respeita as condições:

• 0 ≤ pij ≤ 1, (i, j = 1, ..., N) ;

•∑N

j=1 pij = 1, (i = 1, ..., N) (as linhas soma 1).

Exemplo 7.4.1 Convencione-se que St = 1 representa o estado “economia em recessão no

momento t”; St = 2 representa o estado “economia em expansão no momento t”. Suponha-

se que a matriz de probabilidades de transição é

P =

0.7 0.3

0.2 0.8

.

Se a economia está em expansão no período t − 1, i.e., St−1 = 2, a probabilidade da

economia se encontrar ainda em expansão no período t é 0.8 e a probabilidade de ela passar

para recessão é 0.2.

Podemos estar interessados em calcular uma probabilidade de transição a dois passos,

por exemplo,

P (St = 1|St−2 = 2) .

250

Neste caso, pela lei das probabilidades totais, vem com N = 2

P (St = 1|St−2 = 2) =2∑i=1

P (St = 1, St−1 = i|St−2 = 2)

=2∑i=1

P (St = 1|St−1 = i, St−2 = 2)P (St−1 = i|St−2 = 2)

=2∑i=1

P (St = 1|St−1 = i)P (St−1 = i|St−2 = 2)

= elemento (2, 1) da matriz P 2 = P × P.

Relativamente ao exemplo 7.4.1, calcule-se a matriz P 2. Tem-se:

0.7 0.3

0.2 0.8

0.7 0.3

0.2 0.8

=

0.55 0.45

0.3 0.7

.

Assim, P (St = 1|St−2 = 2) = 0.3 (elemento (2, 1) da matriz P 2).

O resultado geral é dado pelas designadas equações de Chapman-Kolmogorov:

P (Sm+n = j|S0 = i) =

#E∑k=1

P (Sm = k|S0 = i)P (Sm+n = k|Sm = j) .

Deduz-se da expressão anterior que

P (Sn+h = j|Sn = i) = elemento (i, j) da matriz P h. (7.23)

Note-se ainda o seguinte:

P (St = 1|St−k = 2) = P (St+k = 1|St = 2) .

Não interessa o momento em que a probabilidade é calculada. O que é relevante é o des-

fasamento temporal entre as variáveis. Na equação anterior o desfasamento é k. Esta pro-

priedade resulta de se ter uma matriz de probabilidades de transição que não depende de t.

Diz-se nestes casos que a matriz de probabilidades de transição é homogénea.

Em certos problemas é importante obter probabilidades relacionadas com eventos a longo

prazo. No exemplo 7.4.1, é interessante saber a probabilidade da economia se encontrar

em expansão (ou recessão) no longo prazo, dado que no momento presente a economia se

251

encontra em expansão. Formalmente, a questão é

limn→∞

P (St+n = 2|St = 2) . (7.24)

Tendo em conta a observação anterior, a probabilidade em questão corresponde ao elemento

(2, 2) da matriz limite

limn→∞

0.7 0.3

0.2 0.8

n

.

Observe-se 0.7 0.3

0.2 0.8

10

=

0.40059 0.59941

0.39961 0.60039

0.7 0.3

0.2 0.8

20

=

0.4 0.6

0.4 0.6

0.7 0.3

0.2 0.8

40

=

0.4 0.6

0.4 0.6

.

É intuitivo admitir-se que

limn→∞

0.7 0.3

0.2 0.8

n

=

0.4 0.6

0.4 0.6

.

Logo limn→∞ P (St+n = 2|St = 2) = 0.6, mas também limn→∞ P (St+n = 2|St = 1) =

0.6. Isto é, a probabilidade da economia se encontrar em expansão (ou recessão) no longo

prazo é independente do estado inicial, o que é bastante intuitivo (no longo prazo é irrelevante

saber se hoje a economia está ou não em expansão).

Nem todas as cadeias de Markov admitem estas probabilidades limites. Sob certas

condições pode-se provar a

Proposição 7.4.1 Se S é recorrente11 positiva aperiódica com espaço de estados finito 1, 2, ..., N12

11Um regime ou estado i é recorrente sse, depois de o processo se iniciar em i, a probabilidade de retornar

a i, ao fim de algum tempo finito, é igual a um. Se S é contável e se todos os estados comunicam, então todos

os estados são recorrentes ou transientes (Taylor e Karlin, 1984).12O caso infinito adapta-se facilmente.

252

então, o vector (linha) das probabilidades estacionárias

π =(π1 π2 · · · πN

)onde

πi = limn→∞

P (St+n = i|St = j) (para qualquer j)

= P (St = i) ≥ 0

satisfaz as equações

π = πP,N∑i=1

πi = 1.

πi; i = 1, 2, ..., N é a distribuição estacionária da cadeia S.

Exemplo 7.4.2 Considere-se o exemplo 7.4.1,

P =

0.7 0.3

0.2 0.8

.

O vector das probabilidades estacionárias pode ser determinar da seguinte forma:

(π1 π2

)=

(π1 π2

) 0.7 0.3

0.2 0.8

(π1 π2

)=

(0.7π1 + 0.2π2 0.3π1 + 0.8π2

)Tem-se,

π1 = 0.7π1 + 0.2π2

π2 = 0.3π1 + 0.8π2

π1 + π2 = 1

⇔

π1 = 0.4

π2 = 0.6

π1 + π2 = 1.

Exemplo 7.4.3 Considere p11 1− p11

1− p22 p22

, 0 < p11, p22 < 1.

Pela proposição 7.4.1 é fácil concluir que as probabilidades estacionárias são dadas por

π1 =1− p22

2− p11 − p22

, π2 =1− p11

2− p11 − p22

.

253

Retomando o exemplo 7.4.2, facilmente se obtém:

π1 =1− 0.8

2− 0.7− 0.8= 0.4, π2 =

1− 0.7

2− 0.7− 0.8= 0.6.

Observação 7.4.1 Um método para determinar Pn é o seguinte. Como se sabe, quando os

vectores próprios de P são independentes verifica-se P = VΛV−1 onde V é a matriz dos

vectores próprios de P e Λ é a matriz diagonal dos valores próprios. Ora se V•1 é vector

próprio de P e λ1 é o valor próprio associado V•1 então V•1 é ainda vector próprio de P n

e λn1 é o valor próprio associado. Logo P n = VΛnV permite obter facilmente P n.

7.4.3 Modelos Markov-Switching

Seja y a variável dependente. Um exemplo de um modelo MS com dois regimes E = 1, 2

é, por exemplo,

yt =

c1 + φ1yt−1 + σ1εt se St = 1

c2 + φ2yt−1 + σ2εt se St = 2(7.25)

onde St é uma cadeia de Markov homogénea (escondida ou latente por St não ser observável)

com matriz de probabilidades de transição

P =

p11 p12

p21 p22

.

Uma representação equivalente é

yt = c1 + (c2 − c1) ISt=2 +(φ1 + (φ2 − φ1) ISt=2

)yt−1

+(σ1 + (σ2 − σ1) ISt=2t

)εt.

Outra representação sugestiva:

yt = c (St) + φ (St) yt−1 + σ (St) εt (7.26)

onde

c (St) =

c1 se St = 1

c2 se St = 2, φ (St) =

φ1 se St = 1

φ2 se St = 2, σ (St) =

σ1 se St = 1

σ2 se St = 2.

254

A representação (7.26) sugere que o modelo MS (7.25) pode ser escrito como um processo

AR(1) com coeficientes aleatórios (vários outros modelos não lineares podem também ser

representados como um AR(1) com coeficientes aleatórios).

7.4.4 Função densidade de probabilidade de y

Vamos caracterizar a fdp f (yt| Ft−1) que é essencial no âmbito da estimação, inferência e

previsão.

Retome-se o modelo

yt =

c1 + φ1yt−1 + σ1εt se St = 1

c2 + φ2yt−2 + σ2εt se St = 2.

Se assumirmos εt ∼ N (0, 1) então as fdp condicionadas associadas aos regimes 1 e 2

(N = 2) são respectivamente

f (yt| Ft−1, St = 1) =1√σ2

12πe− 1

2σ21(yt−c1−φ1yt−1)2

f (yt| Ft−1, St = 2) =1√σ2

22πe− 1

2σ22(yt−c2−φ2yt−1)2

.

Como obter f (yt| Ft−1)? Recordando a regra da probabilidade total

P (A) =∑i

P (A|Bi)P (Bi)

(ou fx (x) =∑

i fx|y (x| yi) fy (yi) no caso em que y é uma v.a. discreta) tem-se que fdp

condicionada de y é

f (yt| Ft−1) = f (yt| Ft−1, St = 1)P (St = 1| Ft−1)

+f (yt| Ft−1, St = 2)P (St = 2| Ft−1)

=(σ2

12π)−1/2

e− 1

2σ21(yt−c1−φ1yt−1)2

P (St = 1| Ft−1)

+(σ2

22π)−1/2

e− 1

2σ22(yt−c2−φ2yt−1)2

P (St = 2| Ft−1) .

Se identificarmos, para simplificar, f (yt| Ft−1, St = i) = fit tem-se

f (yt| Ft−1) = f1tP (St = 1| Ft−1) + f2tP (St = 2| Ft−1) .

255

Claro que P (St = 1| Ft−1)+P (St = 2| Ft−1) = 1. É interessante observar que a fdp condi-

cionada é igual à média ponderada das fdp condicionadas associadas aos vários regimes. Os

ponderadores são naturalmente P (St = 1| Ft−1) e P (St = 1| Ft−1) (e somam 1). Por ex-

emplo, se num determinado momento, P (St = 1| Ft−1) é muito alto (perto de 1) a função

f (yt| Ft−1) dependerá sobretudo de f1t e pouco de f2t.

No caso geral com N regimes, a expressão da fdp é

f (yt| Ft−1) =

N∑i=1

fitP (St = i| Ft−1) . (7.27)

7.4.5 Probabilidades Associadas aos Regimes

A expressão (7.27) envolve as probabilidades P (St = i| Ft−1) , i = 1, 2, ..., N que são

necessário caracterizar.

Regimes Independentes

No caso mais simples em que St é uma sucessão de v.a. independentes (não só dos seus

valores passados e futuros como também de Ft−1) tem-se

P (St = i| Ft−1) = P (St = i) = pi (7.28)

e, portanto,

f (yt| Ft−1) =N∑i=1

fitpi.

Esta hipótese é conhecida pelo menos desde 1972 com os trabalhos de Goldfeld e Quandt,

entre outros.

O caso de regimes independentes é um caso particular da cadeia de Markov. Notando

que

P (St = i|St−1 = j) = P (St = i)

para qualquer i e j ∈ E, conclui-se que este caso induz uma matriz de probabilidades de

256

transição com colunas iguais,

P =

P (St = 1) P (St = 2) · · · P (St = N)

P (St = 1) P (St = 2) · · · P (St = N)...

.... . .

...

P (St = 1) P (St = 2) · · · P (St = N)

.

A probabilidade de atingir, por exemplo, o regime 1 é sempre igual a P (St = 1) não im-

portando o regime em que S se encontre no período anterior (ou seja, o evento St = 1 é

independente de St−1).

Regimes Seguem uma Cadeia de Markov

Sob esta hipótese, St dado St−1, não depende de Ft−1. Isto é,

P (St = i|St−1 = j,Ft−1) = P (St = i|St−1 = j) = pji. (7.29)

Tem-se, pela regra da probabilidade total, com N = 2

P (St = 1| Ft−1) = P (St = 1|St−1 = 1,Ft−1)P (St−1 = 1| Ft−1)

+P (St = 1|St−1 = 2,Ft−1)P (St−1 = 2| Ft−1)

= P (St = 1|St−1 = 1)P (St−1 = 1| Ft−1)

+P (St = 1|St−1 = 2)P (St−1 = 2| Ft−1)

= p11P (St−1 = 1| Ft−1) + p21P (St−1 = 2| Ft−1) .

De uma forma geral,

P (St = i| Ft−1) =N∑j=1

pj1P (St−1 = i| Ft−1) (7.30)

Estas expressões envolvem uma estrutura recursiva que iremos expor a seguir. Tendo em

conta a expressão (7.30), calcule-se P (St−1 = i| Ft−1) . Observe-se, em primeiro lugar, que

P (St−1 = 1| Ft−1) = P (St−1 = 1| yt−1,Ft−2) =g (yt−1, St−1 = 1| Ft−2)

f (yt−1| Ft−2).

A primeira igualdade verifica-se por definição. A segunda envolve a regra P (A|B,C) =

257

P (A,B|C) /P (B|C) , sendo g a função de probabilidade conjunta de (yt−1, St−1) . Tem-se

assim, pela regra das probabilidades totais (com N = 2)

P (St−1 = 1| Ft−1) =g (yt−1, St−1 = 1| Ft−2)

f (yt−1| Ft−2)

=f (yt−1| Ft−2, St−1 = 1)P (St−1 = 1| Ft−2)∑Nj=1 f (yt−1| Ft−2, St−1 = j)P (St−1 = j| Ft−2)

. (7.31)

Para simplificar, defina-se

pit = P (St = i| Ft−1)

pi,t−1 = P (St−1 = i| Ft−2)

fi,t−1 = f (yt−1| Ft−2, St−1 = i) .

Em suma, com N = 2, a expressão da fdp é

f (yt| Ft−1) = f1tp1t + f2tp2t = f1tp1t + f2t (1− p1t)

onde

p1t = p11P (St−1 = 1| Ft−1) + p21P (St−1 = 2| Ft−1)

= p11P (St−1 = 1| Ft−1) + p21 (1− P (St−1 = 1| Ft−1))

= p11f1,t−1p1,t−1

f1,t−1p1,t−1 + f2,t−1 (1− p1,t−1)(7.32a)

+p21

(1− f1,t−1p1,t−1

f1,t−1p1,t−1 + f2,t−1 (1− p1,t−1)

). (7.32b)

Observe-se a estrutura recursiva: dadas as condições iniciais

f1,0, f2,0 e p1,0,

obtém-se (para t = 1) p1,1 e depois f (y1| F0) . Com os valores

f1,1, f2,1 e p1,1

obtém-se (para t = 2) p1,2 e depois f (y2| F1) . O procedimento recursivo é repetido até se

obter f (yn| Fn−1) .

258

Regimes dependentes de St−1 e de Ft−1

Assume-se para simplificar N = 2. Sob esta hipótese a cadeia de Markov é não homogénea

(varia ao longo do tempo). Desta forma, as probabilidades P (St = 1|St−1 = 1,Ft−1) e

P (St = 2|St−1 = 2,Ft−1) dependem deFt−1. Suponha-se, para simplificar, que estas prob-

abilidades dependem apenas de yt−1. Uma forma de relacionarmos as probabilidades com

yt−1 consiste, por exemplo, em formular uma representação probit para as probabilidades:

P (St = 1|St−1 = 1,Ft−1) = Φ (α0 + α1yt−1) ,

P (St = 2|St−1 = 2,Ft−1) = Φ (β0 + β1yt−1)

onde Φ é a função de distribuição normal (como é usual na representação probit). A matriz

de probabilidades de transição é agora

Pt =

p11t p12t

p21t p22t

=

Φ (α0 + α1yt−1) 1− Φ (α0 + α1yt−1)

1− Φ (β0 + β1yt−1) Φ (β0 + β1yt−1)

O procedimento anterior (ponto “Regimes Seguem uma Cadeia de Markov”) mantém-se

válido, havendo apenas que substituir pij por pijt.

Regimes dependentes apenas de Ft−1

Assume-se para simplificar N = 2. Sob esta hipótese, St dado Ft−1, não depende de St−1.

Por exemplo, suponha-se que St depende de yt−1.Desta forma, a probabilidade P (St = i| Ft−1)

pode ser estimada no quadro do modelo probit ou logit. Considerando a representação probit,

tem-se

P (St = 1| Ft−1) = Φ (β0 + β1yt−1) . (7.33)

Esta hipótese, mais restritiva do que a precedente, simplifica consideravelmente a cal-

culatória já que a função densidade de probabilidade condicional pode agora expressar-se

simplesmente na forma f (yt| Ft−1) =∑2

i=1 fitP (St = i| Ft−1) = f1tΦ (β0 + β1yt−1) +

f2t (1− Φ (β0 + β1yt−1)) .

259


Considere-se

yt =

c1 + φ11yt−1 + ...+ φ1pyt−p + ut se St = 1

...

cN + φN1yt−1 + ...+ φNpyt−p + ut se St = N

(7.34)

onde ut é um ruído branco e S é uma cadeia de Markov estacionária com vector de proba-

bilidades estacionárias (π1, π2) . O modelo anterior pode escrever-se na forma

yt = c (St) + φ1 (St) yt−1 + ...+ φp (St) yt−p + ut

ou ainda na forma Markoviana

yt

yt−1

yt−2

...

yt−p+1

︸︷︷︸

yt

=

φ1 (St) φ2 (St) · · · φp (St)

1 0 · · · 0

0 1 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · 0

︸︷︷︸

At

yt−1

yt−2

yt−3

...

yt−p

︸︷︷︸

yt−1

+

c (St) + ut

0

0

0

0

︸︷︷︸

Ct

.

(7.35)

Stelzer (2009) estabelece a seguinte

Proposição 7.4.2 Considere-se o processo (7.34) na representação (7.35) e assuma-se: u

é um processo EE, E(log+ ‖A0‖

)<∞, E

(log+ ‖C0‖

)<∞ e

γ = limn→∞

1/ (n+ 1) E(log+ ‖A0A−1...A−t‖

)< 0.

Então y é EE. Além disso, se At é um processo EE então E(log+ ‖A0‖

)< 0 implica

γ < 0.

Proposição 7.4.3 Considere-se yt = c (St) +φ1 (St) yt−1 +ut com dois regimes N = 2. Se-

jam π1 e π2 as probabilidades estacionárias da cadeia de Markov S. Se ut é um processo

EE com segundo momento finito e |φ11|π1 |φ21|

π2 < 1 então y é EE.

260

Dem. Considerando a norma Euclidiana e a desigualdade de Jensen, tem-se

E(log+ ‖C0‖

)= E

(log+

√c2 (St) + u2

t

)=

1

2E(log+

(c2 (St) + u2

t

))≤ 1

2log(E(c2 (St)

)+ E

(u2t

))<∞.

Como a cadeia de Markov é estritamente estacionária (tem distribuição estacionária π =

(π1, π2), segue-se que At é um processo EE, pelo que basta verificar E(log+ ‖A0‖

)< 0.

No caso em análise a “matriz” A0 reduz-se ao elemento A0 = φ1 (St) . Tem-se

log |φ1 (St)| =

log |φ11| St = 1

log |φ21| St = 2

e, portanto,

E(log+ ‖A0‖

)= E (log |φ1 (St)|)

= P (St = 1) log |φ11|+ P (St = 2) log |φ21|

= π1 log |φ11|+ π2 log |φ21|

= log (|φ11|π1 |φ21|

π2) .

Segue-se que |φ11|π1 |φ21|

π2 < 1 implica E(log+ ‖A0‖

)< 0.


yt =

2yt−1 + ut se St = 1

0.6yt−1 + ut se St = 2P =

0.1 0.9

0.2 0.8

(7.36)

onde ut é um processo ruído branco. Um processo AR(1) com coeficente φ = 2 não só é não

estacionário como é explosivo (tende para mais infinito em tempo finito). No entanto, yt é

EE. Com efeito, a partir de P obtém-se π1 = 0.1818 e π2 = 1 − π1 = 0.8182 (conferir a

proposição 7.4.1 e o exemplo 7.4.3). Por outro lado, invocando a proposição 7.4.3, tem-se

|φ11|π1 |φ21|

π2 = 20.18180.60.8182 = 0.746 < 1. Logo y é EE. Este resultado é interessante.

De facto poderíamos pensar que o comportamento explosivo de yt no regime 1 implicaria

um processo não estacionário. Isto não sucede porque a probabilidade do sistema estar num

dado momento no regime estável é relativamente elevada. O processo pode, episodicamente,

entrar no regime 1 e atingir valores extremamente elevados, mas num intervalo de tempo

261

Figura 7-22: Simulação de uma trajectória do processo (7.36) onde ut ∼ N (0, 1) (10000

observações)

relativamente curto o process reentra no regime 2 com probabilidade elevda, e o valor do

processo retorna ao intervalo dos valores “moderados” do processo (diríamos ao centro de

gravidade da distribuição estacionária). A figura apresenta uma trajectória simulado do

processo.

No contexto dos modelos MS com heterocedasticidade condicional, Bauwens et al. (2006)

o seguinte modelo

yt =

c1 + σ1tεt se St = 1

...

cN + σNtεt se St = N

onde

σ2it = ωi + αiu

2t−1 + βiσ

2t−1.

Supõe-se ainda que a cadeia St depende de yt−1,

P (St = i| Ft−1) = pit(y2t−1

), i = 1, 2, ..., N

Sem perda de generalidade, seleccione-se o regime 1 como sendo o regime “estável”, α1 +

β1 < 1. Bauwens et al. (2006) estabelecem a

262

Proposição 7.4.4 Suponha-se: (a) εt é uma sucessão de v.a. i.i.d. de média zero e variân-

cia um, com função de densidade contínua em R; (b) αi > 0, βi > 0, para i = 1, 2, ..., N ;

(c) α1 + β1 < 1 e (d) p1t

(y2t−1

)> 0 e pit

(y2t−1

)→ 1 quando y2

t−1 →∞. Então y é EE.

A proposição assegura que o processo retorna ao regime estável sempre que yt tende a

assumir valores muito altos (alínea d)).

No caso especial em que as probabilidades são constantes, pit = πi, é válido a seguinte

Proposição 7.4.5 Suponham-se verificadas as condições (a) e (b) da proposição anterior.

SeN∑j=1

πj(βj + αj

)< 1

então é EE.

7.4.7 Estimação e Inferência

Comece-se por analisar o modelo (7.25) e seja θ o vector dos parâmetros a estimar. Como ha-

bitualmente, o estimador de máxima verosimilhança é dado por θn = arg maxθ∑n

t=1 lt (θ) ,

onde

lt (θ) = log f (yt| Ft−1;θ) = log (f1tp1t + f2t (1− p1t)) .

Se os regimes são independentes, p1t é dado pela equação (7.28); se seguem uma cadeia de

Markov, p1t é dada por (7.32a); finalmente, se os regimes são Ft−1 mensuráveis, p1t é dado

por (7.33) ou (??).

Pode-se mostrar:√n(θn − θ0

)d−→ N

(0, I (θ0)−1)

onde I (θ0) é a matriz de informação de Fisher. Verifica-se I (θ0) = A (θ0) = B (θ0) onde

A (θ) = −E

(∂2lt (θ)

∂θ∂θ′

), B (θ) = E

(∂lt (θ)

∂θ

∂lt (θ)

∂θ′

).

Estimadores consistentes de A e B são

An = − 1

n

n∑t=1

∂2lt

(θn

)∂θ∂θ′

p−→ A (θ0)

Bn =1

n

n∑t=1

∂lt

(θn

)∂θ

∂lt

(θn

)∂θ′

p−→ B (θ0) .

263

Os ensaios individuais para os parâmetros da média e da variância condicional (GARCH)

podem ser feitos como habitualmente. Isto é, podem basear-se no resultado

θi,na∼ N (θi, vii)

onde θi é o parâmetro (escalar) i, e vii é o elemento ii da matriz I (θ0)−1 /n.

No ensaio, um regime versus dois regimes, H0 : c1 = c2, φ1 = φ2, σ1 = σ2, H1 : H0 é

falsa, a situação é similar ao do ensaio H0 : φ1= φ2 no contexto do modelo TAR: os testes

assimptóticos habituais (rácio de verosimilhanças, Wald e multiplicador de Lagrange) não

podem ser empregues. Sob a hipótese nula (um regime) vários parâmetros não são identi-

ficáveis (o score com respeito a estes parâmetros é identicamente nulo e a matriz informação

de Fisher resulta singular). Uma forma de lidar com este tipo de ensaio não standard é

proposto por Davies (1987), que obtém um limite superior para o nível de significância do

teste rácio de verosimilhança quando q parâmetros apenas são identificáveis sob a hipóteses

alternativa:

P (supLR > LRobs) ≤ P(χ2q > LRobs

)+V.LR

(q−1)/2obs . exp −LRobs 2−q/2

Γ(q/2).

(7.37)

onde Γ é a função gama, LRobs = 2 (logL1n − logL0

n) e L1n e L0

n são os valores da função de

log-verosimilhança sob H1 e H0, respectivamente. Se a função o rácio de verosimilhanças

admite um máximo global então V = 2√LRobs. Os passos para implementar o teste no

contexto do modelo (7.25) são os seguintes:

1. Estimar o modelo AR(1) e obter L0n;

2. Estimar o MS (7.25) e obter L1n;

3. Calcular LRobs, P(χ2q > LRobs

), V, etc.;

4. Calcular o limite superior de P (supLR > LRobs) usando a expressão (7.37).

Suponhamos que se obtém P (supLR > LRobs) ≤ 0.02. Então rejeita-se H0 ao n.s. de

5% pois o verdadeiro p-value é inferior a 0.02. Suponhamos que P (supLR > LRobs) ≤

0.06. Nada se pode concluir ao n.s. de 5% pois o verdadeiro p-value pode ser 0.04 ou 0.055.

Tudo o que sabemos é que é inferior a 0.06.

Outro teste, designado por teste-J, é proposto por Garcia e Perron (1996) e baseia-se na

264

significância estatística do parâmetro δ (teste-t) da regressão

Xt = (1− δ) X(1)t + δX

(2)t + εt

onde X(1)t e X

(2)t são os previsores dos modelos com um e dois regimes, respectivamente (o

teste generaliza-se imediatamente ao caso em que X(1)t é o previsor do modelo com menos

regimes). Assim, a rejeição de H0: δ = 0 mostra evidência a favor do modelo com mais

regimes.

7.4.8 Previsão

Suponha-se que y segue um modelo MS com dois regimes e estão disponíveis em n ob-

servações de y, y1, y2, ..., yn . Usando, como previsor para yn+h a função E (yn+h| Fn) ,

tem-se

E (yn+h| Fn) = E (yn+h| Fn, Sn+h = 1)P (Sn+h = 1| Fn)

+ E (yn+h| Fn, Sn+h = 2)P (Sn+h = 2| Fn)

onde E (yn+h| Fn, Sn+h = i) é, como já vimos, a média condicional do regime i (no contexto

do modelo (7.25) tem-se E (yn+h| Fn, Sn+h = 1) = E (c1 + φ1yn+h−1| Fn)). A probabili-

dade P (Sn+h = i| Fn) depende da hipótese que se tem sobre S. Se admitirmos que S segue

uma cadeia de Markov, vem

P (Sn+h = 1| Fn) =2∑i=1

P (Sn+h = 1, Sn = i| Fn)

=2∑i=1

P (Sn+h = 1|Sn = i,Fn)P (Sn = i| Fn)

=

2∑i=1

P (Sn+h = 1|Sn = i)P (Sn = i| Fn) .

Tendo em conta (7.23), resulta

P (Sn+h = j|Sn = i) = P hi,j = elemento (i, j) da matriz P h.

265

Finalmente, tendo em conta a equação (7.31),

P (Sn = i| Fn) =f (yn|Sn = i,Fn−1)P (Sn = i| Fn−1)∑Nj=1 f (yn|Sn = j,Fn−1)P (Sn = j| Fn−1)

.

7.4.9 Aplicação

Analisa-se a taxa de juros FED fund13 (EUA) no período Julho de 1954 a Outubro de 2006

(628 observações mensais).

A literatura dos modelos de taxas de juro (a um factor) sugere que a volatilidade da taxa

de juro depende do nível da taxa de juro. Um dos modelos mais usados em matemática

financeira (tempo contínuo) é o processo CIR (devido a Cox, Ingersoll e Ross):

drt = β (τ − rt) dt+ σ√rtdWt, β, τ , σ > 0 (7.38)

onde rt é a taxa de juro spot instantânea e W é o chamado processo de Wiener. Todos

os parâmetros podem ser estimados consistente e eficientemente pelo método da máxima

verosimilhança. A discretização do processo (i.e. a passagem para um processo em tempo

discreto que aproximadamente traduz a dinâmica de (7.38)) simplifica a análise (embora no

caso presente não seja necessário). A discretização pelo esquema de Euler (supondo para

simplificar que o hiato entre duas observações consecutivas, ∆, é constante e igual a um)

conduz ao modelo,

rt = c+ φrt−1 + σ√rt−1εt (7.39)

onde c = βτ, φ = (1− β). Esta discretização de Euler envolveu a troca de drt por rt− rt−1,

dt por ∆ = 1, e dWt por√

∆×εt. Estas trocas representam apenas aproximações e envolvem,

por isso, erros.

Resultados preliminares mostram que existe forte presença de heterocedasticidade e que

a sua dinâmica é compatível com a que está subjacente ao modelo (7.39).

A estimação dos parâmetros do modelo (7.39), pelo método da máxima verosimilhança,

assumindo normalidade, conduziu aos resultados que se apresentam na figura 7-23.

Vários autores têm sugerido a existência de diferentes dinâmicas ou regimes no compor-

tamento da taxa de juro (veja-se, por exemplo, Gray, 1996). Concretamente, argumenta-se o

seguinte: quando as taxas de juro são altas (anos 80) a volatilidade é alta e o processo exibe

13É oficialmente designada por Federal funds effective rate, com maturidade overnight.

266

Mean loglikelihood 1.07420Number of cases 628

Covariance of the parameters computed by the following method:QML covariance matrix

Parameters Estimates Std. err. Gradientc 0.0764 0.0394 0.0000fhi 0.9878 0.0091 0.0000sigma 0.0355 0.0052 0.0000

Figura 7-23: Resultados da estimação do modelo (7.39)

Mean loglikelihood 0.767141Number of cases 628

Covariance of the parameters computed by the following method:Inverse of computed Hessian

Parameters Estimates Std. err. Gradientc1 0.0937 0.0508 0.0000fhi1 0.9848 0.0077 0.0000sigma1 0.5497 0.0183 0.0000c2 0.2100 0.1357 0.0000fhi2 0.9697 0.0157 0.0000sigma2 0.0866 0.0093 0.0000p11 0.9976 0.0024 0.0000p22 0.9912 0.0083 0.0000

Figura 7-24: Resultados da estimação do modelo (7.39)

reversão para uma média de longo prazo; quando as taxas de juro são baixas, a volatilidade

é baixa e observa-se ausência de reversão para uma média. Este argumento sugere a existên-

cia de dois regimes: um regime de altas taxas de juro e alta volatilidade e um regime de

baixas taxas de juro e baixa volatilidade. Depois de vários ensaios seleccionou-se o seguinte

modelo:

yt =

c1 + φ1yt−1 + σ1εt se St = 1

c2 + φ2yt−1 + σ2√yt−1εt se St = 2

(7.40)

cujos resultados de estimação, pelo método da máxima verosimilhança, assumindo normali-

dade, estão apresentados na figura 7-24.

A figura 7-25 apresenta a sucessão das probabilidades estimadasP (St = 1| Ft−1) ; t = 2, ..., n

.

Recorde-se que P (St = 1| Ft−1) é a probabilidade de y se encontrar no regime 1 no mo-

mento t, dadoFt−1. Podemos observar, a partir da figura 7-25, que o processo y se encontrou,

com alta probabilidade, no regime 1 durante as décadas de 80 e 90. Durante os anos 2003-

2005 o processo encontrou-se, com alta probabilidade no regime 2. Em 2006, o processo

não está totalmente em nenhum dos regimes.

267

Figura 7-25: Taxa de juro e probabilidades P (St = 1| Ft−1) estimadas

Página em branco

268

Capítulo 8

Modelação da Heterocedasticidade

Condicionada - Caso Univariado


8.1 Introdução

Vimos no capítulo 3 que fortes variações dos retornos são normalmente seguidas de fortes

variações dos retornos em ambos os sentidos, e que baixas variações dos retornos são normal-

mente seguidas de baixas variações dos retornos, também, em ambos os sentidos (veja-se,

por exemplo, a figura 3-17). Este facto estilizado indica muito claramente que a volatilidade

não é constante ao longo do tempo. Uma forma mais subtil de mostrar que a volatilidade

não é constante consiste em constatar que a série dos quadrados dos resíduos (ou mesmo os

quadrados dos retornos) é autocorrelacionada.

8.1.1 Por que razão a volatilidade não é constante?

• Uma parte da volatilidade pode ser relacionada com a especulação. Em certos mode-

los distingue-se duas classes de investidores: investidores racionais que tendem a “em-

purrar” o preço dos activos na direcção do valor fundamental ou intrínseco da empresa

(normalmente formalizado como o valor actual dos fluxos financeiros que o investidor

espera vir a receber no futuro) e especuladores que baseiam as suas decisões em in-

formações estatísticas geradas pelo mercado, como por exemplo, os preços passados

e o volume de transacções. Quando a proporção de especuladores é alta e os sinais

269

de mercado são interpretados de forma análoga pela maior parte dos especuladores,

formam-se tendências fortes de compra ou de venda que se reflectem no preço e na

volatilidade.

• Episódios de extrema volatilidade ocorrem quando uma “bolha especulativa” rebenta,

i.e., quando depois de um período considerável de crescimento dos preços, sucede

uma repentina e inesperada quebra do mercado. Estas “bolhas especulativas” estão

normalmente associadas a uma nova tecnologia (por exemplo, o boom da electrónica

nos anos 60, da biotecnologia nos anos 80 ou da internet no fim dos anos 90) ou

a um novo negócio (mais uma vez o caso da internet no fim dos anos 90). Gera-

se um ambiente de euforia em torno dos títulos associados a uma certa tecnologia

e/ou negócio e emerge um comportamento irracional de grupo totalmente desligado

do valor intrínseco dos títulos.

• Graves crises económicas e políticas também explicam momentos de alta volatilidade.

• Uma outra explicação (em certa medida complementar com as precedentes) relaciona

a volatilidade com a chegada de informação aos mercados. Suponha-se, num cenário

ideal ou hipotético, que o mercado está em equilíbrio (não há flutuação dos preços).

Quando chega informação ao mercado os agentes reavaliam as suas carteiras (perante

a nova informação, deixam de ser “óptimas”); tenderão, por conseguinte, a vender

ou a comprar activos até que se atinja um novo equilíbrio. A acção de comprar e

vender títulos tende a alterar os preços. A hipótese crucial é a de que a informação não

chega de forma homogénea e contínua ao mercado. Quando a chegada de informação

é reduzida e pouco relevante os mercados tenderão a exibir baixa volatilidade; pelo

contrário, quando a informação é intensa e relevante, poderão ocorrer períodos de

forte volatilidade. A informação relevante aqui deve ser entendida como a informação

que, de alguma forma, afecta a rendibilidade dos activos. Por exemplo, a libertação de

notícias relacionadas com inflação, taxas de juro, PIB, etc., geralmente têm impacto

sobre a volatilidade e sobre os preços.

O modelo que se apresenta a seguir procura replicar o fenómeno de volatilidade não

constante a partir do conceito de chegada de informação. Seja Nt o número de notícias no

dia t.Quando uma notícia chega ao mercado supõe-se que existe uma revisão do preço de um

certo activo. Essa revisão traduz-se numa variação do preço numa quantidade aleatória dada

270

por εi,t (i = 1, ..., Nt). Se existir uma notícia (relevante) num certo dia t, o logaritmo do preço

no dia t é representado por logPt = logPt−1 + µ+ ε1,t; se existirem duas notícias o modelo

passa a ser representado por logPt = logPt−1 + µ + ε1,t + ε2,t (e assim sucessivamente).

Assuma-se que εi,t; i = 1, 2, ..., Nt é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuiçãoN (0, σ2)

e independentes de Nt. Tem-se assim que o retorno do activo é dado por

rt = µ+

Nt∑i=1

εi,t. (8.1)

Resulta do modelo que a variância de rt dado Nt é não constante, pois

Var (rt|Nt = nt) = ntσ2

(de acordo com este modelo, quanto maior é o número de notícias que chegam ao mercado,

maior é a volatilidade). É razoável admitir-se uma distribuição de Poisson de parâmetro λ

para a v.a. Nt, i.e., Nt ∼ P (λt). Podemos ainda refinar o modelo, incorporando persistência

em Nt, i.e. permitindo que Nt seja alto (baixo) sempre que Nt−1 é alto (baixo). Por outras

palavras, o volume de informação tende a ser alto (baixo) em períodos seguidos. Nestas

circunstâncias, passa a assumir-se Nt ∼ P (λt) com λt = Nt−1 + 1 (o número médio de

notícias no dia t é igual ao número de informações do período anterior mais uma unidade)

(adiciona-se uma unidade para evitar que λt = 0 para algum t). Na figura 8-1 representa-se

uma trajectória simulada de (8.1) para µ = 0, σ = 0.0015 e Nt ∼ P (λt) , λt = Nt−1 + 1.

Podemos observar que a trajectória simulada replica algumas das características típicas das

séries financeiras.

Retome-se a equação (8.1). Esta equação sugere a especificação

rt = µ+ ut, ut = σtεt.

O essencial nesta equação é a ideia de que ut tem variância condicional σ2t não constante.

Suponha-se de agora em diante que σ2t é Ft−1-mensurável (i.e., σ2

t depende apenas de var-

iáveis observadas no momento t− 1)1.

1No exemplo anterior, σ2t = ntσ2 não é Ft−1-mensurável.

271

0.0250.02

0.0150.01

0.0050

0.0050.01

0.0150.02

0.0250.03

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

t

Figura 8-1: Simulação de uma trajectória de rt, assumindo µ = 0, σ = 0.0015 eNt ∼ P (λt)onde λt = Nt−1 + 1.

8.1.2 Processos Multiplicativos

Considere-se ut = σtεt e as seguintes hipóteses:

H1 εt é uma sucessão de v.a. i.i.d. com E (εt) = 0 e Var (εt) = 1;

H2 εt é independente de ut−k, k ∈ N;

H3 σt é Ft−1 mensurável.

Tem-se:

E (ut| Ft−1) = E (σtεt| Ft−1) = σt E (εt| Ft−1) = 0

Var (ut| Ft−1) = E(u2t

∣∣Ft−1

)= E

(σ2t ε

2t

∣∣Ft−1

)= σ2

t E(ε2t

∣∣Ft−1

)= σ2

t .

Assim, processos multiplicativos do tipo ut = σtεt, com σt não constante, são processos het-

erocedásticos (variância não constante). Este tipo de modelos estão presentes na abordagem

tradicional da heterocedasticidade. Por exemplo, se zt−1 > 0 é exógena e ut = αzt−1εt,

então a expressão Var (ut| zt−1) = α2z2t−1 não é constante.

Processos estocásticos com heterocedasticidade condicional (HC) (variância não con-

stante ao longo do tempo), são também definidos a partir de um processo multiplicativo do

tipo ut = σtεt mas, comparativamente ao caso tradicional, a forma como σ2t é especificado

varia substancialmente, como veremos a seguir. Que função especificar para σt ou σ2t ? Vimos

que uma das características das séries financeiras é exibir volatility clustering: fortes vari-

ações são normalmente seguidas de fortes variações em ambos os sentidos, devendo ocorrer,

272

portanto, Corr(u2t−1, u

2t

)> 0. Suponha-se, por um momento que ut representa a série fi-

nanceira. Portanto, se u2t−1 é um valor alto (baixo), em média, u2

t será também um valor alto

(baixo). Nestas circunstâncias, faz sentido escrever o seguinte modelo para σ2t :

σ2t = ω + α1u

2t−1, ω > 0, α1 ≥ 0. (8.2)

Com efeito, tem-se esquematicamente:

u2t−1 é “alto”⇒ σ2

t é “alto”⇒ u2t é “alto” (recorde-se ut = σtεt).

No caso clássico de heterocedasticidade, a variância depende da evolução de uma ou mais

variáveis exógenas, determinadas fora do modelo (zt−1 no exemplo anterior); no modelo de

HC, a volatilidade σ2t é uma variável aleatória função de choques aleatórios determinada

dinamicamente, a partir do próprio modelo:

u2t−1 → σ2

t → u2t → σ2

t+1 → ...

Se ut é encarado como uma v.a. residual do modelo

yt = µt + ut

é fácil ver que a heterocedasticidade definida em ut é transmitida a yt:


(yt − µt)2∣∣Ft−1

)= Var (ut| Ft−1) = σ2

t .

8.1.3 Distribuições de Caudas Pesada

Uma característica muito importante dos modelos de HC é o de implicar (sob certas condições)

distribuições marginais leptocúrticas. Retome-se o modelo ut = σtεt sob as hipóteses H1-

H3. Admita-se ainda que o choque aleatório εt tem distribuição N (0, 1) . Tem-se

E (ut) = 0

Var (ut) = E(u2t

)= E

(σ2t

)E(u3t

)= 0 ⇒ skweness = 0.

273

Mostre-se que a distribuição marginal de u é leptocúrtica. Para o efeito, calcule-se o coefi-

ciente de kurtosis de u,

ku =E (u4

t )

E (u2t )

2

e verifique-se que ku > 3. Ora

E(u4t

)= E

(σ4t ε

4t

)= E

(σ4t

)E(ε4t

)= E

((σ2t

)2)

E(ε4t

)> E

(σ2t

)2E(ε4t

)= E

(u2t

)2E(ε4t

)= E

(u2t

)23

pelo que

ku =E (u4

t )

E (u2t )

2 >E (u2

t )2

3

E (u2t )

2 = 3.

Este resultado sugere que um modelo de HC pode ser adequado para modelar retornos, pois

acomoda uma das características mais importantes das séries financeiras que é a dos retornos

seguirem uma distribuição leptocúrtica.

8.1.4 O papel da Média Condicional e o Modelo de Heterocedasticidade

Condicionada

Vimos que fortes variações de y são normalmente seguidas de fortes variações em ambos os

sentidos. Teoricamente, este efeito pode ser modelado através da média condicional. Esta

seria a situação ideal. Se a média condicional modelasse este efeito, conseguiríamos prever

razoavelmente as variações de y e, nestas circunstâncias, não só o erro ut = yt − µt seria

baixo como também a volatilidade de y poderia ser baixa e mesmo constante ao longo do

período. No entanto, vimos que a média condicional é geralmente uma componente muito

fraca do modelo (recorde-se a questão dos mercados eficientes). Isto é, se considerarmos o

modelo yt = µt + ut, a média condicional µt (representada, por exemplo, por um AR ou

MA), é uma componente pouco explicativa do modelo. Assim, quando y2t é alto, u2

t também

é alto (porque a média condicional não acompanha as flutuações de yt) e, consequentemente,

espera-se que u2t esteja fortemente correlacionado com u2

t−1.

8.1.5 Vantagens dos modelos de Heterocedasticidade Condicionada

Antes do artigo seminal de Engle (1982) as dependências temporais nos momentos superi-

ores a um eram tratadas como simples ruído. Engle mostrou que as dependências temporais

274

do segundo momento, podem explicar razoavelmente a evolução da volatilidade ao longo do

tempo. A volatilidade condicional (doravante volatilidade) da série pode ser identificada com

a variância condicional, σ2t , ou, simplesmente, com σt (em princípio, é preferível identificar

a volatilidade com σt, pois σt está na escala da variável).

Iremos ver que os modelos de HC permitem:

• modelar a volatilidade (e as covariâncias condicionais, no caso multivariado); como

se sabe, a volatilidade é uma variável fundamental na análise do risco de mercado, na

construção de portfolios dinâmicos, na valorização de opções, etc.;

• estimar de forma mais eficiente os parâmetros definidos na média condicional (por

exemplo, se um processo ARMA exibir heterocedasticidade condicional, a estimação

conjunta dos parâmetros da média e dos parâmetros da variância permite estimar efi-

cientemente os parâmetros da média);

• estabelecer intervalos de confiança correctos para y. Isto é, se y exibe HC e esta é neg-

ligenciada, os intervalos de previsão para y são incorrectos. Observe-se, com efeito,

que os intervalos de confiança dependem da variância do erro de previsão e o erro de

previsão depende (entre outros aspectos) da variância (condicional) da v.a. residual.

8.2 Modelo ARCH

Considere-se o seguinte modelo

yt = µt + ut,

µt = E (yt| Ft−1) média condicional

ut = σtεt

Assumam-se as hipóteses H1-H3.

Definição 8.2.1 ut segue um modelo ARCH(q) (ou tem representação ARCH(q)) se

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ αqu

2t−q, ω > 0, αi ≥ 0

275

Panel (a)

4

2

0

2

4retornos

0

5

10

15

20

volatilidade

r(t) sigma(t)

Panel (b)

15

10

5

0

5

10

15retornos

0

5

10

15

20

volatilidade

r(t) sigma(t)

Panel (c)

15

10

5

0

5

10

15retornos

0

5

10

15

20

volatilidade

r(t) sigma(t)

Panel (d)

30

20

10

0

10

20

30retornos

0

5

10

15

20

volatilidade

r(t) sigma(t)

Figura 8-2: Simulação de 4 trajectórias ARCH de acordo com o modelo (8.3).

É importante constatar que σ2t ∈ Ft−1.

Como a volatilidade exibe forte dependência temporal, raramente se considera q =

1. Discute-se a seguir esta questão através de um exercício de simulação. Na figura 8-2

apresenta-se as trajectórias simuladas para o retorno (rt) e σt considerando diferentes val-

ores para os parâmetros αi. O modelo simulado é

rt = ut, (µt = 0)

ut = σtεt, εt RB Gaussiano com variância 1 (8.3)

σ2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ α8u

2t−8.

Em todos os casos ω = 1. Na figura 8-2 tem-se:

• Painel (a) ARCH(0) α1 = ... = α8 = 0;

• Painel (b) ARCH(1) α1 = 0.8, α2 = ... = α8 = 0;

• Painel (c) ARCH(3) α1 = 0.3, α2 = 0.3, α3 = 0.2, α4 = ... = α8 = 0;

• Painel (d) ARCH(8) α1 = 0.2, α2 = ... = α8 = 0.1

276

Na figura 8-2 os gráficos que mais fielmente reproduzem o fenomeno de volatility clus-

tering (volatilidades altas (baixas) são geralmente seguidas por volatilidades altas (baixas))

e exibem alguma persistência no comportamento da volatilidade (tal como vimos nos pontos

3.2.2 e 3.2.3), correspondem aos painéis (c) e (d). A simulação sugere que é mais apropriado

em aplicações empíricas considerar-se um q elevado (não obstante, veremos adiante que é

problemático estimar-se um modelo com q elevado).

8.2.1 Dois Primeiros Momentos de ut

Como εt é independente de ut−k, k ∈ N, segue-se que σ2t (que é uma função de ut−k, k ∈ N)

é independente de εt. Logo,

E (ut) = E (σtεt) = E (σt) E (εt) = 0,

Var (ut) = E(u2t

)= E

(σ2t ε

2t

)= E

(σ2t

)E(ε2t

)= E

(σ2t

). (8.4)

Por outro lado, como ut é uma diferença de martingala, pois E (|ut|) <∞ e E (ut| Ft−1) =

0, resulta pela proposição 4.4.1, que ut é não autocorrelacionado, i.e. Cov (ut, ut−k) = 0.

8.2.2 Representação AR de um ARCH

Vimos, já por várias ocasiões, que existem dependências no segundo momento do processo.

A representação autoregressiva do processo ARCH mostra exactamente esse aspecto. Tem-

se,

σ2t = ω + α1u

2t−1

u2t + σ2

t = ω + α1u2t−1 + u2

t

u2t = ω + α1u

2t−1 + u2

t − σ2t︸︷︷︸

vt

u2t = ω + α1u

2t−1 + vt

Como E (vt| Ft−1) = E (u2t − σ2

t | Ft−1) = E (u2t | Ft−1)− σ2

t = 0, conclui-se pela definição

4.4.3, que vt (admitindo que E (|vt|) < ∞) é uma diferença de martingala e, portanto,

um processo não autocorrelacionado (E (vt) = 0 e Cov (vt, vt−k) = 0). Logo, tem-se o

importante resultado: se ut segue um modelo ARCH(1) então u2t segue um processo AR(1).

277

Esquematicamente:

ut ∼ ARCH(1)⇒ u2t ∼ AR(1).

Assim, o processo u2t é autocorrelacionado (se α1 > 0) e apresenta as características básicas

de um processo AR(1). De igual forma se conclui:

ut ∼ ARCH(q)⇒ u2t ∼ AR(q).

8.2.3 Estacionaridade de Segunda Ordem do ARCH(q)

Estude-se a ESO de u. Vimos que E (ut) e Cov (ut, ut−k) são finitos e não dependem de t;

só falta estudar Var (ut). Em que condições Var (ut) = E (u2t ) não depende de t e é finita?

Considere-se o ARCH(1) na sua representação autoregressiva:

u2t = ω + α1u

2t−1 + vt, α1 ≥ 0.

Da estrutura autoregressiva conclui-se que a condição |α1| < 1 (ou equivalentemente: a raiz

do polinómio AR (1− α1L) = 0 é, em módulo, superior a um) implica E (u2t ) = σ2 <

∞. Se adicionarmos a esta condição, a restrição α1 ≥ 0, a condição de ESO passa a ser

simplesmente,

0 ≤ α1 < 1.

Se u é um processo ESO vem

E(u2t

)= ω + α1 E

(u2t−1

)E(u2t

)= ω + α1 E

(u2t

)⇒ E

(u2t

)=

ω

1− α1

Considere-se agora o ARCH(q) na sua representação autoregressiva:

u2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ αqu

2t−q + vt, αi ≥ 0.

Da estrutura autoregressiva conclui-se que, se as raízes do polinómio AR (1− α1L− ...− αqLq) =

0, estiverem todas fora do circulo unitário (complexo), então E (u2t ) = σ2 <∞. Se adicion-

armos a esta condição, as restrições αi ≥ 0, a condição de ESO simplifica-se e, pode-se

provar, é igual a

α1 + α2 + ...+ αq < 1, (αi ≥ 0).

278

Neste caso, depois de algumas contas, obtém-se

Var (ut) = E(u2t

)=

ω

1− (α1 + α2 + ...+ αq).

Observação 8.2.1 Embora a expressão Var (ut| Ft−1) seja variável, Var (ut) é constante.

Assim: ut é condicionalmente heterocedástico (heterocedasticidade condicional) mas em

termos não condicionais ou marginais, ut é homocedástico. De forma análoga, também

num processo estacionário, a média condicional é variável e a não condicional é constante.

Por exemplo, num processo AR(1) estacionário, a média condicional é variável ao longo do

tempo e dada por µt = c+ φyt−1; no entanto, a média marginal c/ (1− φ) é constante.

8.2.4 FAC e FACP de um u2t e Identificação do Processo ARCH(q)

Suponha-se que o momento de ordem quatro de u é finito não depende de t. A FAC de u2t é

dada por

ρk(u2)

= ρk =Cov

(u2t , u

2t−k)√

Var (u2t ) Var

(u2t−k) , Var

(u2t

)= E

(u4t

)− E

(u2t

)2

Vimos que se ut segue um ARCH(q), então u2t segue um AR(q). Assim, a FAC e a FACP

teóricas de u2 exibem o comportamento típico de um AR:

• (FAC) ρk não se anula e ρk → 0;

• (FACP) φkk =

não se anula se k = 1, 2, ..., q

0 se k = q + 1, q + 2, ...

Em particular, tem-se num ARCH(1):

ρk = αk1, k ≥ 1

φ11 = α e φkk = 0, k ≥ 2.

Observação 8.2.2 Num ARCH(1) o 4o momento existe se 3α21 < 1 i.e. se α1 < 0.5774 e esta

condição é, na prática, um pouco severa.

Passos para a identificação da ordem q de um processo ARCH(q)

1. Estima-se o modelo yt = µt + ut supondo σ2t constante;

279

FAC de u^2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29

FACP de u^2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29

Figura 8-3: Simulou-se (n = 5000) um ARCH(q). Qual a ordem de q?

2. Obtêm-se os resíduos ut = yt − µt, t = 1, ..., n;

3. Calcula-se u2t , t = 1, ..., n;

4. Calcula-se a FAC e a FACP de u2t e identifica-se a ordem q.

Na figura 8-3 simulou-se um ARCH(q) com n = 5000 observações. Qual a ordem de q?

8.2.5 Características da Distribuição Marginal de ut

Suponha-se que εt é um ruído branco Gaussiano N (0, 1) . Então a distribuição condicional

de ut é N (0, σ2) , i.e., ut = σtεt| Ft−1 ∼ N (0, σ2t ) . Sob certas condições, a distribuição

marginal de ut, f (ut), é dada pela expressão

f (ut) = lims→−∞

f (ut| Fs) .

Como na prática não se consegue obter a expressão para o limite anterior, f é geralmente

desconhecida; podemos ainda assim investigar algumas propriedades de f calculando alguns

momentos:

E (ut) = 0

Var (ut) = E(u2t

)=

ω

1− (α1 + ...+ αq)

E(u3t

)= 0⇒ skweness = 0

ku =E (u4

t )

E (u2t )

2 > kε = 3 (já vimos).

Tem-se a seguinte importante conclusão: ku ≥ kε. A distribuição de u tem caudas mais

pesadas do que a distribuição de ε. Se, como habitualmente, se assumir εt ∼ N (0, 1) , então

280

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

5

10

15

20

25

alfa 1

kurtosis

Figura 8-4: Valor de kurtosis como função do parâmetro α1, associada a um ARCH(1)

a distribuição marginal de u é leptocúrtica! Note-se, em esquema:

ut| Ft−1 = σtεt| Ft−1 ∼ N(0, σ2

t

)⇒ ut ∼ Dist.Leptocurtica.

Podemos obter uma expressão exacta para ku. Por exemplo, suponha-se ut ∼ ARCH(1),

εti.i.d.∼ N (0, 1) e 3α2

1 < 1. Deixa-se como exercício mostrar que

E(u4t

)= 3 E

(σ4t

),

E(σ4t

)=

ω2 (1 + α1)

(1− α1) (1− 3α21),

ku =E (u4

t )

E (u2t )

2 =3 (1− α2

1)

1− 3α21

= 3 +6α2

1

1− 3α21

> 3.

Vimos que a distribuição de u tem caudas mais pesadas do que a distribuição de ε. A

proposição seguinte caracteriza as caudas da distribuição marginal.

Proposição 8.2.1 Seja ut = σtεt onde εt é um ruído branco Gaussiano N (0, 1) e σ2t =

ω + α1u2t−1. Suponha-se α1 ∈ (0, 2eγ) onde γ é a constante de Euler, γ ' 0.5772. Seja

κ > 0 a solução única da equação

ακ1 E(Z2κ)

= 1⇔ (2α1)κ√π

Γ

(κ+

1

2

)= 1 (8.5)

onde Γ é a função Gama eZ ∼ N (0, 1) . Então quando x→∞, a probabilidade P (ut > x)

281

converge para

c

2x−2κ, c > 0.

A proposição 8.2.1 basicamente estabelece que as abas da fdp f (x) de ut têm caudas de

Pareto (i.e., para x suficientemente “grande” P (ut > x) - como função de x - e f (x) apre-

sentam um decaimento polinomial). Este resultado está de acordo com os factos estilizados

analisados no capítulo 3. É interessante verificar, mais uma vez, que embora a distribuição

condicional seja normal a distribuição marginal é leptocúrtica e apresenta caudas pesadas

(light-value input causes heavy-tailed output). O parâmetro κ obtém-se da resolução da

equação (8.5). Não há, no entanto, uma solução explícita para κ (em função de α1) - a

equação (8.5) deve resolver-se numericamente.

Algumas conclusões:

• Embora ut seja um processo não autocorrelacionado, ut não é uma sucessão

de variáveis independentes (basta observar, por exemplo, E(u2tu

2t−1

)6= 0 ou que

E (u2t | Ft−1) depende de u2

t−1);

• Mesmo que ut seja condicionalmente Gaussiano a distribuição marginal não é Gaus-

siana. Em particular, se ut é condicionalmente Gaussiano então a distribuição marginal

é leptocúrtica.

8.2.6 Momentos e Distribuição de y

Seja

yt = µt + ut

ut = σtεt

(assumem-se as hipóteses habituais para εt). Deixa-se como exercício verificar que:

• E (yt| Ft−1) = µt;

• Var (yt| Ft−1) = σ2t ;

• Se εt é Gaussiano então yt| Ft−1 ∼ N (µt, σ2t ) ;

• E (yt) = E (µt) ;

• Var (yt) = Var (E (yt| Ft−1)) + E (Var (yt| Ft−1)) = Var (µt) + E (σ2t ) .

282

Retorno B

4

3

2

1

0

1

2

3

4

t

Retorno A

4

3

2

1

0

1

2

3

4

t

Figura 8-5: Qual é o retorno mais volátil?

8.2.7 Volatilidade: Definições

A volatilidade condicional no momento t (= σt) é uma medida da magnitude das variações

(ou flutuações) não explicadas dos preços no momento t. No entanto, como µt é quase

sempre uma componente pouco explicativa de y (i.e. µt ≈ 0, pelo menos para dados de

frequência alta - dados semanais ou diários) podemos dizer (sem grande margem de erro)

que a volatilidade condicional é uma medida da magnitude das variações (ou flutuações)

dos preços no momento t. Esta é a definição usual de volatilidade do ponto de vista das

instituições financeiras:

“[. . . ] practitioners often refer to the term volatility when speaking of movements

in financial prices and rates.” RiskMetrics

Um título A pode exibir, comparativamente a um outro título B, maior volatilidade condi-

cional em certos momentos do tempo mas, globalmente A pode ser menos volátil do que

B. Nas figuras 8-5 o retorno A exibe episódios de grande volatilidade, mas B é (global-

mente) mais volátil (i.e. considerando o período todo).

Definimos volatilidade não condicional (ou marginal) como uma medida da magnitude

das variações (ou flutuações) dos preços num hiato de tempo (meses ou anos) (que não são

explicadas). Pode ser medida através da estatística

Var (ut) =

∑nt=1 ut

2

n.

ou se yt ∼ ARCH(q)

Var (ut) =ω

1− (α1 + ...+ αq), (α1 + α2 + ...+ αq < 1).

283

No exemplo acima, a volatilidade marginal de B é maior do que a de A, embora B exiba

volatilidade constante.

8.3 Modelo GARCH

Tendo em conta a forte dependência temporal da volatilidade, era usual, nas primeiras apli-

cações, considerar-se um ARCH de ordem elevada. Um ARCH de ordem elevada levanta

problemas de estimação (mais concretamente, de convergência dos algoritmos de optimiza-

ção) e, não raras vezes obtêm-se máximos locais (e não globais, como é desejável). Como

consequência, alguns das estimativas dos parâmetros podem vir desprovidos de significado

(por exemplo, podem vir negativos)2. Para superar este problema, foram tentadas várias

soluções (a maioria ad-hoc e sem muita relevância). Contudo, a melhor solução apareceu

com o modelo GARCH. Veremos adiante este aspecto.

Definição 8.3.1 ut segue um modelo GARCH(p,q) (ou tem representação GARCH(p,q)) se

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ αqu

2t−q + β1σ

2t−1 + ..+ βpσ

2t−p

ω > 0, αi ≥ 0, β ≥ 0 (ver no entanto a observação 8.3.1).

Surpreendentemente, o modelo mais simples GARCH(1,1), σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1,

veio a revelar-se suficiente em muitas aplicações.

8.3.1 GARCH(p,q) representa um ARCH(∞)

Considere-se o GARCH(p,q):

σ2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ αqu

2t−q + β1σ

2t−1 + ...+ βpσ

2t−p

σ2t = ω + (α1L+ ...+ αqL

q)︸︷︷︸A(L)

u2t +

(β1L+ ...+ βpL

P)︸︷︷︸

B(L)

σ2t

(1−B (L))σ2t = ω + A (L)u2

t .

2No método dos mínimos quadrados (OLS) a estimação é relativamente simples e imediata, mesmo que o

número de parâmetros a estimar seja alto. Afinal, o “algoritmo de optimização” converge numa única iteração.

Já no âmbito dos modelos ARCH a estimação é mais complicada pois a função a minimizar é altamente não

linear e os estimadores não podem ser escritos através de uma fórmula “fechada”.

284

Assim,

(1−B (L))σ2t = ω + A (L)u2

t

σ2t =

ω

1−B (L)+

A (L)

1−B (L)u2t =

ω

1−B (L)+D (L)u2

t

σ2t =

ω

1−B (1)+(d1L+ d2L

2 + ...)u2t

=ω

1−B (1)+∞∑i=1

diu2t−i.

Em suma, o modelo GARCH(p,q) pode ser representado como um ARCH(∞):

σ2t =

ω

1− β1 − ...− βp+ d1u

2t−1 + d2u

2t−2 + ...

Os parâmetros di podem ser determinados pelo método dos coeficientes indeterminados3 ou

a partir da fórmula de Taylor (veja-se o exemplo seguinte).

Exemplo 8.3.1 Represente-se o GARCH(1,2) num ARCH(∞). Tem-se

σ2t = ω + α1u

2t−1 + α2u

2t−2 + β1σ

2t−1

σ2t = ω +

(α1L+ α2L

2)︸︷︷︸

A(L)

u2t + (β1L)︸︷︷︸

B(L)

σ2t .

Assim, o GARCH(1,2) pode representar-se na forma

σ2t =

ω

1−B (1)+

A (L)

1−B (L)u2t =

ω

1− β1

+α1L+ α2L

2

1− β1Lu2t .

Podemos obter os primeiros termos do desenvolvimento em série (de potências de L) de

α1L+α2L2

1−β1Lno programa Mathematica através da instrução

Series[α1L+ α2L

2

1− β1L, L, 0, 7].

3Considere-se

A (L)

1−B (L)= D (L)

⇔ α1L+ α2L2 + ...+ αqL

q

1− β1L− ...− βpLP= d1L+ d2L

2 + ...

⇔ α1L+ α2L2 + ...+ αqL

q =(d1L+ d2L

2 + ...) (

1− β1L− ...− βpLP).

A partir da última equação igualam-se os coeficientes homólogos e resolvem-se as igualdades obtidas em ordem

a di.

285

O output do programa fornece:

α1L+ α2L2

1− β1L= α1L+ (α2 + α1β1)L2 +

(α2β1 + α1β

21

)L3

+(α2β

21 + α1β

31

)L4 +

(α2β

31 + α1β

41

)L5

+(α2β

41 + α1β

51

)L6 +

(α2β

51 + α1β

61

)L7 + ...

Assim,

d1 = α1, d2 = α2 + α1β1, d3 = α2β1 + α1β21, etc.

Em geral di = β1di−1, i = 3, 4...

Observação 8.3.1 A condição ω > 0, αi ≥ 0, β ≥ 0 certamente implica σ2t > 0 mas não

é necessário exigir tanto. Vimos atrás que σ2t = ω

1−B(1)+∑∞

i=1 diu2t−i. Logo, para se ter

σ2t > 0 basta exigir

ω > 0 e di ≥ 0, i = 1, 2, ...

Por exemplo, no GARCH(1,2) vimos:

d1 = α1, d2 = α2 + α1β1, di = β1di−1

Assim, temos apenas de garantir

α1 ≥ 0, β1 ≥ 0, α2 ≥ −α1β1

(verifique que os valores α1 = 0.2, α2 = −0.05, β1 = 0.5 são admissíveis).

8.3.2 Representação ARMA de um GARCH

Para simplificar considere-se o GARCH(1,1): σ2t = ω+α1u

2t−1 + β1σ

2t−1. Some-se a ambos

os termos a variável u2t :

u2t + σ2

t = ω + α1u2t−1 + u2

t + β1σ2t−1,

286

isole-se u2t no lado esquerdo da equação e simplifique-se a equação até se obter o ARMA

implícito:

u2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + u2

t − σ2t︸︷︷︸

vt

= ω + α1u2t−1 + β1σ

2t−1 + β1u

2t−1 − β1u

2t−1 + vt

= ω + (α1 + β1)u2t−1 − β1

(u2t−1 − σ2

t−1

)︸︷︷︸vt−1

+ vt

= ω + (α1 + β1)u2t−1 − β1vt−1 + vt.

Como E (vt) = 0 e Cov (vt, vt−k) = 0 conclui-se: u2t ∼ ARMA(1, 1). No caso geral

pode-se mostrar

ut ∼ GARCH(p,q)⇒ u2t ∼ ARMA(max p, q , p).

Por exemplo,

ut ∼ GARCH(1,2)⇒ u2t ∼ ARMA(2,1)



Em geral é problemático identificar o GARCH a partir das FAC e FACP de u2t . Por duas

razões: 1) o GARCH implica uma estrutura ARMA para u2t e, como se sabe, no ARMA,

nenhuma das funções de autocorrelação (FAC ou FACP) é nula a partir de certa ordem em di-

ante (e, é esta característica que facilita a identificação das ordens do AR ou do MA, mas não

do ARMA); 2) não existe uma correspondência perfeita entre a estruturas ARMA e GARCH

(por exemplo, um ARMA(2,2) para u2t pode ser um GARCH(2,1) ou um GARCH(2,2) para

ut). Quer isto dizer que as funções de autocorrelação não são interessantes nesta fase? De

forma alguma, por duas razões: 1) se FAC e a FACP de u2t não apresentarem coeficientes

significativos então não existe efeito ARCH; 2) a existência de vários coeficientes de auto-

correlação e de autocorrelação parcial significativos é indício forte da presença de efeitos

ARCH4.

4Coeficientes de autocorrelação de u2t estatisticamente significativos podem ainda dever-se a um erro de es-

pecificação do modelo (veremos isso adiante) ou à presença de outros modelos não lineares, como por exemplo,

o modelo bilinear.

287

Como regra geral, não devemos usar o ARCH; o GARCH é preferível. A identificação

das ordens p e q do GARCH faz-se na fase da estimação.

Estacionaridade de Segunda Ordem num GARCH(p,q)

Como se sabe E (ut) = Cov (ut, ut−k) = 0, ∀k ∈ N. Assim, para discutir a ESO do

processo u, basta analisar E (u2t ) .

Vimos

ut ∼ GARCH(p,q)⇒ u2t ∼ ARMA(max p, q , p).

De facto, pode-se mostrar

u2t = ω +

q∑i=1

αiu2t−i +

p∑i=1

βiu2t−i −

p∑i=1

βivt−i + vt

= ω +

maxp,q∑i=1

(αi + βi)u2t−i −

p∑i=1

βivt−i + vt

= ω + (A (L) +B (L))u2t−i + (1−B (L)) vt.

Tem-se assim

(1− A (L)−B (L))u2t = ω + (1−B (L)) vt.

A ESO de ut depende das raízes do polinómio autoregressivo, (1− A (L)−B (L)). Conc-

retamente, para que se tenha E (u2t ) = σ2 < ∞ é necessário e suficiente que as raízes do

polinómio autoregressivo estejam fora do circulo unitário. Se adicionarmos a esta condição,

as restrições αi ≥ 0 e βi ≥ 0, a condição de ESO simplifica-se e, pode-se provar, é igual a

q∑i=1

αi +

p∑i=1

βi < 1.

8.4 Modelo IGARCH

Definição 8.4.1 ut segue um modelo IGARCH(p,q) (ou tem representação IGARCH(p,q)) se

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ αqu

2t−q + β1σ

2t−1 + ..+ βpσ

2t−p

eq∑i=1

αi +

p∑i=1

βi = 1

288

i.e., a soma dos parâmetros α′s e β′s é igual a um.

Vamos analisar apenas o IGARCH(1,1): σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1, onde α1 + β1 = 1.

A designação Integrated GARCH resulta do facto de u2t possuir uma raiz unitária:

u2t = ω + (α1 + β1)︸︷︷︸

1

u2t−1 − β1vt−1 + vt

u2t = ω + u2

t−1 − β1vt−1 + vt

(1− L)u2t = ω − β1vt−1 + vt

(logo u2t é um ARIMA(0,1,1)). Nestas condições ut não é ESO. Durante algum tempo

pensou-se que ut seria também não estacionário em sentido estrito. Daniel Nelson mostrou

que um IGARCH poderia ser estritamente estacionário (EE). Concretamente mostrou: 1) a

condição necessária e suficiente para que ut seja EE5 é

E(log(β1 + α1ε

2t

))< 0;

2) e que esta condição acaba por ser menos exigente que a condição de ESO, α1 + β1 < 1.

Se E (log (β1 + α1ε2t )) < 0, então a distribuição conjunta de (u1, u2, ..., uk) é igual à

distribuição conjunta de (ut, ut+1, ..., ut+k) para todo o t e k e, em particular, as funções

densidade de probabilidade são constantes no tempo f (ut) = f (us) ,∀t, s; pode-se ainda

mostrar que σ2t é uma variável aleatória limitada em probabilidade (não tende para∞, como

à primeira vista poderíamos pensar) e σ2t

p−→ σ2 (ω) (σ2 (ω) é uma v.a.) (embora não

exista o segundo momento). Vários estudos mostram que os testes assimptóticos habituais

permanecem válidos6. Para assentar ideias, suponha-se εt ∼ N (0, 1) . Então:

• se α1 + β1 < 1⇒ ut é ESO;

• se α1 + β1 < 1 vem, pela desigualdade de Jensen,

E(log(β1 + α1ε

2t

))≤ log E

(β1 + α1ε

2t

)= log (β1 + α1) < 0

e, portanto, α1 + β1 < 1⇒ log E (β1 + α1ε2t ) < 0; isto é, se o processo é ESO então

5Na proposição 4.5.5 e exemplo 4.5.13 aborda-se, do ponto de vista teórico, esta questão.6Esta conclusão contrasta com o processos integrados na média, por exemplo do tipo, yt = yt−1 + εt que,

como se sabe, não são nem estacionários de segunda ordem nem estritamente estacionários e onde os testes

habituais não são válidos.

289

( )[ ] 0log

12

1

11

<+

<+

tE αεβ

βα ( )[ ] 0log

12

1

11

<+

>+

tE αεβ

βα

( )[ ] 0log

12

1

11

>+

>+

tE αεβ

βα

1β

1α

1

1 3

Figura 8-6: Regiões no espaço dos parâmetros (α1, β1) onde o processo ut é E2O e EE

é também EE;

• pode-se provar que α1 + β1 = 1 ⇒ E (log (β1 + α1ε2t )) < 0 (este valor esperado

pode ser calculado de forma exacta7). Como referimos, o processo IGARCH é EE. A

condição de ESO acaba por ser mais exigente do que a condição de EE. A primeira

exige a existência do momento de segunda ordem enquanto EE exige que toda a es-

trutura probabilística (leia-se função de distribuição finita) seja estável ao longo do

tempo, independentemente dos momentos serem finitos ou não.

• E (log (β1 + α1ε2t )) < 0 6⇒ α1 + β1 < 1

A figura 8-6 mostra três regiões no espaço dos parâmetros (α1, β1). Na região (α1, β1) ∈ R2 : α1 + β1 < 1,E (log (β + αε2)) < 0

o processo ut é ESO e EE. Na região (α1, β1) ∈ R2 : α1 + β1 > 1,E (log (β + αε2)) < 0

o processo ut não é ESO mas é EE. Na região (α1, β1) ∈ R2 : α1 + β1 > 1,E (log (β + αε2)) > 0

o processo ut não é ESO nem EE.

8.4.1 Persistência na Variância

Certos processos exibem reversão para a média; outros não (e.g. RW). É usual chamar a estes

últimos processos persistentes no sentido em que choques nas inovações exercem um efeito

7Com efeito, a variável aleatória Z = log(β1 + α1ε

2)

tem distribuição conhecida. Por exemplo, basta

fazer uma transformação de variável e atender ao facto de ε2 ∼ χ2(1).

290

fhi = 0.8

80859095

100105110115120

1 26 51 76 101 126 151 176

fhi = 0.1

80859095

100105110115120

1 26 51 76 101 126 151 176

fhi = 1

70

80

90

100

110

120

1 26 51 76 101 126 151 176

fhi = 0.98

80859095

100105110115120

1 26 51 76 101 126 151 176

Figura 8-7: Persistência e o processo AR(1)

persistente no nível do processo. Na literatura, variam não só as definições de persistência

como também as ferramentas estatísticas usadas para a avaliar.

Considere-se por exemplo o AR(1)

yt = µ (1− φ) + φyt−1 + εt, ut ruído branco

Uma medida de persistência pode basear-se em φ. Se φ = 1 o processo é persistente. Se |φ| <

1 não é persistente. Poderíamos ainda discutir “níveis de persistência” (quanto mais perto φ

estiver de 1 maior é a “persistência”). Na figura 8-7 mostram-se 4 trajectórias simuladas de

yt = µ (1− φ) + φyt−1 + εt, (εt ruído branco Gaussiano) para µ = 100, y0 = 80. Apenas

φ varia (tudo o resto é igual, incluindo as inovações εt). Consideram-se os casos φ = 0.1,

φ = 0.8, φ = 0.98 e φ = 1. Procura-se verificar a velocidade da reversão do processo

face à sua média de longo prazo (no caso φ = 1 não existe média de longo prazo) dada uma

condição inicial y0 = 80 relativamente afastada da média de longo prazo. Isto é, tende ou não

o processo rapidamente para a sua média de longo prazo? A figura mostra que quanto maior

é o valor do parâmetro φ mais lenta é a reversão e, portanto, maior é o nível de persistência.

291

Existem outras medidas de persistência. Por exemplo a half-life é o valor de h tal que

E (yt+h − µ| Ft) ≤1

2(yt − µ) , (supondo yt > µ)

Suponha-se que em t existe um desvio de y face à sua média de longo prazo igual a yt − µ.

Questão: quantos períodos são necessários para que metade desse desvio seja eliminado (em

média)? Ou, em quanto tempo o processo elimina metade do desvio yt − µ? A resposta é h.

Para exemplificar, considere-se o processo AR(1), yt = φyt−1 + ut (note-se, µ = 0).

Como se viu atrás

E (yt+h| Ft) = φhyt.

Assim, a half-life é o valor de h tal que φhyt = 12yt. Logo

φhyt =1

2yt ⇒ h =

log (1/2)

log φ.

Se temos dados diários (t = 1 corresponde a uma dia) e, por exemplo, φ = 0.8, então

h = log (1/2) / log (0.8) = 3.1 é o número de dias necessários para que, em média, metade

do desvio de y face à sua média de longo prazo seja eliminado. Valores altos de h indicam

maior persistência (o processo demora mais tempo a eliminar desvios face à média de longo

prazo e, neste caso, o processo exibe uma reversão para a média mais lenta). No caso φ →

1 ⇒ h → ∞ e o processo é persistente. Obviamente, se E (yt+h| Ft) não converge quando

h→∞ o processo y é persistente.

Tradicionalmente, o conceito de persistência aplica-se à média do processo. Com o

GARCH surgiu a ideia da persistência em variância. Choques na variância são rapidamente

eliminados e σ2t tende rapidamente para E (σ2

t ) ou, pelo contrário, os choques têm um efeito

duradouro na variância?

Podemos também definir uma half-life para a variância. Trata-se do valor de h tal que

E(σ2t+h − σ2

∣∣Ft) ≤ 1

2

(σ2t − σ2

)(supondo σ2

t > σ2)

onde σ2 = E (σ2t ) . Para exemplificar, considere-se o GARCH(1,1). Vem σ2 = ω/ (1− α1 − β1)

e

E(σ2t+h − σ2

∣∣Ft) = (α1 + β1)h(σ2t − σ2

)(este resultado mostra-se no capítulo da previsão). Assim a half-life é o valor de h tal que

292

(α1 + β1)h (σ2t − σ2) = 1

2(σ2

t − σ2) . Logo

(α1 + β1)h(σ2t − σ2

)=

1

2

(σ2t − σ2

)⇒ h =

log (1/2)

log (α1 + β1).

Quando α1+β1 tende para 1, h tende para mais infinito e o processo é persistente na variância

(ou a volatilidade é persistente).

Uma das dificuldades na análise dos processos GARCH em geral, e dos IGARCH em

particular, é o de que certos processos podem ser persistentes num certo modo de convergên-

cia e não ser num outro modo de convergência. Pode-se provar que os IGARCH, emb-

ora persistentes de acordo com a medida E(σ2t+h − σ2

∣∣Ft) não são persistentes no modo

de convergência designado “quase certamente” ou “com probabilidade 1” (como notámos

σ2t

q.c.−→ σ2 (ω) , i.e. σ2t converge quase certamente para uma variável aleatória, apesar de

E (σ2t ) não existir).

Em muitas aplicações empíricas observa-se que a estimativa para α1 + β1 se encontra

muito perto de um, sugerindo que a volatilidade pode ser persistente (forte dependência

temporal) e que Var (yt) pode não existir. Este facto está de acordo com os factos estilizados

discutido no ponto no capítulo 3.

Um modelo estacionário mas em que a volatilidade exibe memória longa é o FIGARCH

(GARCH fraccionário).

8.4.2 Alterações de Estrutura e o IGARCH

Modelos aparentemente IGARCH podem também dever-se a alterações de estrutura (tal

como processos aparentemente do tipo yt = yt−1 + ut podem dever-se a alterações de estru-

tura). Por exemplo, considere-se a seguinte simulação de Monte Carlo:

yt = ut, ut = σtεt, t = 1, 2, ..., 1000

σ2t = ω + αu2

t−1 + βσ2t−1, (8.6)

α = 0.1, β = 0.6, ω =

0.5 t = 1, 2, ..., 500

1.5 t = 501, 502, ..., 1000

Este modelo foi simulado 500 vezes. Na figura 8-8 representa-se uma das 500 trajectórias

simuladas.

Em cada simulação (ou trajectória simulada) estimaram-se os parâmetros. Embora o

293

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

Figura 8-8: Uma trajectória simulada de acordo com o modelo 8.6

modelo simulado não seja claramente um IGARCH (note-se que α + β = 0.7), concluiu-se

que:

• em 83% das simulações a soma dos parâmetros α + β esteve acima de 0.99;

• em 99.6% das simulações a soma dos parâmetros α + β esteve acima de 0.95;

• em todos os casos α + β esteve acima de 0.9.

Este exercício de simulação ilustra o impacto de alterações de estrutura sobre os coefi-

cientes α e β. A mensagem é clara: num aplicação empírica, se α + β estiver próximo de

um, convém verificar se o modelo subjacente é de facto um IGARCH ou, pelo contrário, se

existem alterações de estrutura que causem um falso IGARCH . Não obstante, quer se veri-

fique α+β = 1 ou o caso de ω não ser constante ao longo da amostra, o processo subjacente

é sempre não estacionário de segunda ordem. No primeiro caso a variância não é finita; no

segundo não é constante. Quebras de estrutura ocorrem frequentemente quando o período

de análise é muito extenso. Nestes casos, ou se modela a quebra de estrutura (em princípio

é a melhor estratégia) ou se encurta o período de observação (se os objectivos da aplicação

empírica assim o permitirem).

8.4.3 EWMA (Exponential Weighted Moving Averages)

Considere-se a seguinte estimativa para a volatilidade no momento t

σ2t (h) =

1

h

h∑i=1

y2t−i =

1

h

(y2t−1 + y2

t−2 + ...+ y2t−h)

294

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0.0007

Jan

89

Jun

90

Nov

91

Apr

93

Sep

94

Feb

96

Jul9

7

Dec

98

May

00

Oct

01

Mar

03

Aug

04

Jan

06

Vol30Vol60Vol120Vol240

Figura 8-9: Estimativas da volatilidade do índice Dow Jones ao longo do período, baseadas

no estimador σ2 (h) para diferentes valores de h (e.g., Vol30 = σ2t (30) , Vol60 = σ2

t (60) ,etc.)

(supomos E (yt| Ft−1) = 0).

Na figura 8-9 mostram-se várias estimativas da volatilidade do índice Dow Jones ao longo

do período, baseadas no estimador σ2 (h) para diferentes valores de h (e.g., Vol30 = σ2t (30) ,

Vol60 = σ2t (60) , etc.)

O estimador σ2t (h) levanta as seguintes questões e objecções:

• qual o melhor valor de h? É um pouco arbitrária a escolha de h;

• o estimador σ2t (h) implica que todas as observações no período (t− h, t− 1) têm o

mesmo peso na determinação do valor de σ2t (h) . Por exemplo, com

σ2t (240) =

1

240

240∑i=1

y2t−i =

1

240

(y2t−1 + y2

t−2 + ...+ y2t−240

)todas as observações têm um peso de 1/240. No entanto, seria preferível dar mais peso

às observações mais recentes;

• o estimador σ2t (h) implica que todas as observações fora do período (t− h, t− 1)

têm peso zero. Como consequência, pode suceder o seguinte. Se na janela amostral

(t− h, t− 1) existir uma observação extrema, a volatilidade é sobrestimada; quando

essa observação sai da janela amostra, a volatilidade estimada cai depois abruptamente.

O estimador Exponential Weighted Moving Averages (EWMA, proposto pela J.P. Mor-

gan) resolve algumas das fragilidades dos estimador acima descrito, dando mais peso às

295

observações mais recentes:

σ2t = (1− λ)

∞∑i=1

λi−1y2t−i, 0 < λ < 1

= (1− λ)(y2t−1 + λy2

t−2 + λ2y2t−3 + ...

).

Quanto mais alto for λ, mais peso o estimador dá às observações mais antigas (o decréscimo

dos ponderadores é, no entanto, sempre exponencial).

Os ponderadores, ωi = (1− λ)λi, somam 1,

∞∑i=1

ωi = (1− λ)(1 + λ+ λ2 + ...

)= 1

(recorde-se a soma de uma progressão geométrica). Por exemplo, com λ = 0.5 vem

σ2t = (1− λ)

(y2t−1 + λy2

t−2 + λ2y2t−3 + ...

)= 0.5×

(y2t−1 + 0.5y2

t−2 + 0.25y2t−3 + 0.125y2

t−4 + ...).

A expressão de σ2t pode ser reescrita de uma forma mais sugestiva. Notando que

σ2t−1 = (1− λ)

(y2t−2 + λy2

t−3 + λ2y2t−4 + ...

)temos

σ2t = (1− λ) y2

t−1 + λσ2t−1. (8.7)

Qual a relação entre o IGARCH e o EWMA? Considere-se um processo y com média

condicional igual a zero e com especificação IGARCH(1,1): yt = ut, ut = σtεt. Vem

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1, α1 + β1 = 1

= ω + (1− β1) y2t−1 + β1σ

2t−1.

Se ω = 0 conclui-se que um IGARCH(1,1) corresponde ao modelo EWMA. Assim, o mod-

elo EWMA é um caso muito particular do IGARCH.

296

8.5 Modelo CGARCH

Considere-se o GARCH(1,1):

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1

= ω + α1

(u2t−1 − σ2

)+ β1

(σ2t−1 − σ2

)+ α1σ

2 + β1σ2

= σ2 (1− α1 − β1) + α1σ2 + β1σ

2 + α1

(u2t−1 − σ2

)+ β1

(σ2t−1 − σ2

)= σ2 + α1

(u2t−1 − σ2

)+ β1

(σ2t−1 − σ2

)Esta equação relaciona σ2

t com a respectiva média de longo prazo e mostra como se processa

a dinâmica de ajustamento de σ2t face à constante σ2.

O Component GARCH model (CGARCH) permite representar:

σ2t = qt + α1

(u2t−1 − qt−1

)+ β1

(σ2t−1 − qt−1

)(8.8)

qt = σ2 + ρ(qt−1 − σ2

)+ φ

(u2t−1 − σ2

t−1

)onde σ2 = E (σ2

t ) . O ajustamento de curto prazo de σ2t faz-se agora em relação à v.a. qt,

a qual tende, no “longo prazo”, para σ2. A primeira equação é designada de componente

transitória e a segunda equação de componente de longo prazo. O modelo CGARCH é um

GARCH(2,2) com restrições sobre os parâmetros. Com efeito, substituindo

qt =σ2 (1− ρ) + φ

(u2t−1 − σ2

t−1

)(1− ρL)

na equação (8.8) vem

σ2t =

σ2 (1− ρ) + φ(u2t−1 − σ2

t−1

)(1− ρL)

+ α1

(u2t−1 −

σ2 (1− ρ) + φ(u2t−2 − σ2

t−2

)(1− ρL)

)

+β1

(σ2t−1 −

σ2 (1− ρ) + φ(u2t−2 − σ2

t−2

)(1− ρL)

)= ... =

= (1− α1 − β1) (1− ρ)σ2 + (α1 + φ)u2t−1 − (α1ρ+ (α1 + β1)φ)u2

t−2

+ (β1 − φ+ ρ)σ2t−1 + ((α1 + β1)φ− β1ρ)σ2

t−2.

Atendendo à condição de ESO do GARCH(p,q) é fácil concluir que o processo CGARCH é

297

ESO sse

ρ (1− α1 − β1) + α1 + β1 < 1.

Nestas circunstâncias,

Var (ut) =(1− α1 − β1) (1− ρ)σ2

1− (ρ (1− α1 − β1) + α1 + β1)= σ2.

A principal vantagem do CGARCH está na interpretação da dinâmica de ajustamento, e não

necessariamente no ajustamento da variância (um GARCH(2,2), sem restrições nos parâmet-

ros, ajusta melhor, i.e., o valor da função de verosimilhança não decresce).

O caso φ = 0 sugere a presença de um GARCH(1,1). Com efeito, se φ = 0, vem

qt = σ2 + ρ (qt−1 − σ2) . Para simplificar, suponha-se que q0 = σ2. Se φ = 0 ⇒ qt = σ2

(verifique!). No caso q0 6= σ2 tem-se qt → σ2 (se |ρ| < 1). Esta convergência é deter-

minística (a velocidade de ajustamento depende de ρ). Em qualquer dos casos (q0 = σ2 ou

q0 6= σ2), e supondo |ρ| < 1, tem-se, ao fim de algum tempo, um ajustamento dinâmico, de

acordo com o modelo σ2t = σ2 + α1

(u2t−1 − σ2

)+ β1

(σ2t−1 − σ2

). Assim, o caso φ = 0,

sugere a presença de um GARCH(1,1).

O parâmetro ρ está associado à reversão de qt para σ2. Quanto mais alto (mais próximo

de um) mais lenta é a velocidade de reversão e, portanto, maior é o nível de persistência na

variância condicional. Note-se que a reversão de σ2t para σ2 é feita através de qt, i.e., σ2

t →

qt → σ2.

8.6 Modelo GJR-GARCH

O modelo GJR-GARCH é devido a Glosten, Jagannathan e Runkle. Uma das característi-

cas das séries de retornos de títulos é o Leverage Effect (i.e. momentos de maior volatili-

dade são despoletados por variações negativas nos preços). Vimos no ponto 3.2.4 que este

efeito pode ser detectado através da medida (naive) Cov (y2t , yt−1) < 0. Veremos agora uma

forma bastante mais eficiente de estimar esse efeito. Comece-se por observar que o mod-

elo ARCH/GARCH apenas detecta o chamado “efeito magnitude”. Isto é, a volatilidade só

responde à magnitude do valor de ut. Em esquema:

↑ u2t−1 ⇒ ↑ σ2

t (efeito magnitude)

298

Para modelar o efeito assimétrico é necessário que a volatilidade responda assimetricamente

ao sinal de ut. Mais precisamente, a volatilidade deve aumentar mais quando ut < 0 (“má

notícia”) do que quando ut > 0 (“boa notícia”).

O modelo GJR-GARCH (assim como o EGARCH, AARCH, etc.) modela não só o efeito

magnitude como também o efeito assimétrico. A especificação mais simples (suficiente para

um grande número de aplicações) é

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + γ1u

2t−1Iut−1<0,

Iut−1<0 =

1 se ut−1 < 0

0 se ut−1 ≥ 0.

De acordo com o efeito assimétrico devemos esperar γ1 > 0. Como é que σ2t varia como

resposta a uma variação em ut−1? Uma forma de visualizar esta relação consiste em fixar

σ2t−1 = σ2 (variância marginal) e depois traçar σ2

t como função de ut−1. Este gráfico designa-

se por news impact curve (NIC). NIC é portanto uma função de ut−1. No caso GARCH,

tem-se

NIC (ut−1) = ω + β1σ2 + α1u

2t−1 = const.+ α1u

2t−1 (8.9)

e, no caso do modelo GJR-GARCH, a NIC é

NIC (ut−1) = ω + β1σ2 + α1u

2t−1 + γ1u

2t−1Iut−1<0 (8.10)

= const.+ α1u2t−1 + γ1u

2t−1Iut−1<0

Por exemplo, admita-se α1 = 0.2, β1 = 0.5, ω = 0.1, γ1 = 0.4. Para estes valores as

NIC (8.9) e (8.10) estão representadas na figura 8.6. Como seria de esperar, a NIC associada

ao modelo (8.10) é assimétrica e aba esquerda é mais inclinada, traduzindo o facto de que a

299

volatilidade é comparativamente maior quando ut−1 < 0.

0

2

4

6

8

10

12

4 3 2 1 0 1 2 3 4

u(t1)

Vol

(t) NIC GARCHGJRGARCH

NIC GARCH e GJR-GARCH para α1 = 0.2, β1 = 0.5, ω = 0.1, γ1 = 0.4

Para ensaiar o efeito assimétrico podemos considerar o ensaio H0: γ1 = 0 (através, por

exemplo, do teste de Wald). Pode-se provar que a condição de ESO (no caso em que a

distribuição de ε é simétrica) é α1 + γ1/2 + β1 < 1. Nesta circunstâncias,

Var (ut) = E(σ2t

)=

ω

1− (α1 + γ1/2 + β1)

Este modelo é designado por TGARCH no EVIEWS.

8.7 Modelo GARCH-M

A teoria financeira postula uma relação entre rendimento esperado e o risco associado. Em

geral deve-se esperar que os activos com maior risco estejam associados aos activos com

maior rendimento.

yt = c+ λg(σ2t

)+ ut, ut = σtεt, σ2

t = ω + α1u2t−1 + β1σ

2t−1.

Especificações mais utilizadas:

g(σ2t

)= σt, g

(σ2t

)= log σt

300

Dada a estreita relação entre os parâmetros da média e da variância condicional, um erro de

especificação da variância condicional afecta a consistência dos estimadores dos parâmetros

da média condicional.

8.8 Modelo de Heterocedasticidade Condicionada com Var-

iáveis Explicativas

Considere-se um modelo GARCH(1,1) (poderia ser outro modelo qualquer) com variáveis

explicativas:

yt = µt + ut

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + g (xt)

onde a função g é tal que σ2t > 0 (com probabilidade 1). Que variáveis poderemos considerar

para xt? Vejamos alguns exemplos:

• Dias da semana (ou qualquer outro efeito de calendário):

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + δ1St + δ2Tt + δ3Q

at + δ5Q

ut

onde St = 1 se t é uma segunda-feira, etc. (deverá ter-se ω+min δi > 0⇒ σ2t > 0).

• Ocorrência de factos, notícias significativas. Por exemplo8,

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + δ1goodt + δ2badt

goodt =

1 t = são divulgados resultados da empresa ABC acima do esperado

0 0

badt =

1 t = são divulgados resultados da empresa ABC abaixo do esperado

0 0

8A chamada “armadilha das variáveis artificiais” não ocorre no exemplo (embora pareça) pois as notícias

podem ser “boas”, “más” ou simplesmente não ocorrerem (e, neste caso, vem goodt = badt = 0).

301

• Variação do preço do crude.

• Medida de volatilidade de outro activo/mercado

• Volume de transacções:

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + δ1vol

∗t−1

onde vol∗t−1 pode ser especificada como vol∗t−1 = volt−1σvol

ou vol∗t−1 = log (volt−1) ou

vol∗t−1 = volt−1/volt−2, sendo vol o volume de transacções. Observe-se que o vol-

ume de transacções pode ser considerado como uma variável proxy da variável não

observada “chegada de informação”.

• Qualquer outra variável (estacionária) que supostamente afecte a volatilidade.

No ponto 7.4.9 vimos que o modelo em tempo discreto, compatível com o processo CIR,

em tempo contínuo, drt = β (τ − rt) dt+ σ√rtdWt conduz ao modelo,

rt = c+ φrt−1 + ut

ut = σtεt

σ2t = σ2rt−1

Inspirados nesta especificação, certos autores modelam a taxa de juro em tempo discreto

combinando as características do GARCH com as características do processo de difusão

(modelo CIR):

rt = c+ φrt−1 + ut

ut = σtεt

σ2t = ω + α1u

2t−1 + βσ2

t−1 + γrt−1.

O ensaioH0: γ = 0 vs. H1 : γ > 0 permite analisar se a nível da taxa de juro influencia pos-

itivamente a volatilidade. Geralmente conclui-se γ > 0. A figura 8-10 sugere (claramente)

γ > 0.

302

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Jan

54

May

56

Sep

58

Jan

61

May

63

Sep

65

Jan

68

May

70

Sep

72

Jan

75

May

77

Sep

79

Jan

82

May

84

Sep

86

Jan

89

May

91

Sep

93

Jan

96

May

98

Sep

00

Jan

03

May

05

Figura 8-10: Taxa de Juro (Bilhetes do Tesouro a 3 meses -EUA)

8.9 Estimação

Seja yt = µt+ut onde ut = σtεt. Suponha-se que v.a. εt tem distribuição conhecida (normal,

t-Student ou outra) de média zero e variância um. O vector dos parâmetros desconhecidos,

θ, envolve parâmetros definidos na média condicional e na variância condicional.

A média condicional µt pode depender de uma variável xt (esta variável pode ser encar-

ada também como um vector de variáveis explicativas). Por exemplo, podemos ter,

yt = γ0 + γ1xt + φ1yt−1 + ut

ut = σtεt, εt ∼ N (0, 1)

σ2t = ω + α1u

2t−1

θ = (γ0, γ1, φ1, ω, α1)′ .

A estimação do vector θ poderia ser feita da seguinte forma (tome-se como referência o

modelo acima apresentado):

Passo 1 Estimação OLS de γ0, γ1 e φ1 com base na equação yt = γ0 + γ1xt + φ1yt−1 + ut.

Passo 2 A partir do passo 1, obtêm-se os resíduos u2t . Como σ2

t = ω + α1u2t−1 implica

uma representação AR(1) para σ2t = ω + α1u

2t−1, ou seja, u2

t = ω + α1u2t−1 + vt

(vejam-se os pontos 8.2.2 e 8.3.2), os parâmetros ω e α1 estimam-se a partir da equação

u2t = ω + α1u

2t−1 + vt, considerando o estimador OLS.

303

O procedimento acima descrito envolve estimadores consistentes mas altamente inefi-

cientes, pois em ambos os casos os erros das equações são heterocedásticos (no caso da

estimação ω e α1, a situação é particularmente grave, pois, pode mostra-se, vt tende a exibir

forte heterocedasticidade).

O método de estimação mais utilizado é o método da máxima verosimilhança (o GMM

também pode ser utilizado) que se descreve a seguir.

8.9.1 Estimador de Máxima Verosimilhança

Assuma-se que todos os parâmetros de interesse, incluídos em θ, apenas aparecem na densi-

dade conjunta condicional f (Yn| Xn;θ) , ondeYn = (yn, yn−1, ..., y1) eXn = (xn, xn−1, ..., x1) .

Para simplificar a exposição, admite-se (sem perda de generalidade) que as condições inici-

ais Y0 são conhecidas. Tem-se assim, que a densidade relevante, para a estimação de θ, é

f (Yn| Y0,Xn;θ) .

Proposição 8.9.1 Se yt é condicionalmente independente de (xn, ..., xt+1) (n > t) dado

(Yt−1,Xt), i.e.,

f (yt| Yt−1,Xn) = f (yt| Yt−1,Xt) ,

então

f (Yn| Y0,Xn;θ) = f (yn| Yn−1,Xn;θ)× f (yn−1| Yn−2,Xn−1;θ)

×...× f (y1| Y0, x1;θ)

=n∏t=1

f (yt| Yt−1,Xt;θ) (8.11)

Dem. (esboço) Tem-se

f (Yn| Y0,Xn;θ) = f (yn| Yn−1,Xn;θ) f (Yn−1| Y0,Xn;θ)︸︷︷︸(∗)

(8.12)

Desenvolva-se a expressão (*):

f (Yn−1| Y0,Xn;θ) = f (yn−1| Yn−2,Xn;θ) f (Yn−2| Y0,Xn;θ)

= f (yn−1| Yn−2,Xn−1;θ)︸︷︷︸por hipótese

f (Yn−2| Y0,Xn;θ)︸︷︷︸(∗)

(8.13)

304

Desenvolva-se a nova expressão (*):

f (Yn−2| Y0,Xn;θ) = f (yn−2| Yn−3,Xn;θ) f (Yn−3| Y0,Xn;θ)

= f (yn−2| Yn−3,Xn−2;θ)︸︷︷︸por hipótese

f (Yn−3| Y0,Xn;θ)︸︷︷︸(∗)

(8.14)

A nova expressão (*) pode ser desenvolvida de forma similar. Coligindo as equações (8.12)-

(8.14), obtém-se (8.11).A hipótese definida na proposição anterior, estabelece que yt não depende dos valores

futuros xt+1, xt+2 dado It = Yt−1 ∪ Xt ou, por outras palavras, xt dado Xt−1 não depende

de Yt−1 (ou ainda, y não causa à Granger x). Doravante assume-se esta hipótese.

A função de verosimilhança (supondo que as condições iniciais Y0 são dadas) é

Ln (θ) = f (Yn| Y0,Xn;θ) =

n∏t=1

f (yt| It;θ) (8.15)

onde It = Yt−1∪Xt (na prática, se a ordem máxima do desfasamento das variáveis definidas

na média condicional for p, deverá ler-se no produtório, “t = p + 1” e não “t = 1”; para

simplificar, continue a assumir-se “t = 1”).

O estimador de máxima verosimilhança é, como habitualmente,

θn = arg maxθ

logLn (θ) = arg maxθ

logn∏t=1

f (yt| It;θ) = arg maxθ

n∑t=1

log f (yt| It;θ) .

Sob certas hipóteses, incluindo, (yt, xt) é um processo estacionário e fracamente depen-

dente, o estimador de máxima verosimilhança é consistente e assimptoticamente eficiente.

A sua distribuição é dada por

√n(θn − θ0

)d−→ N

(0, I (θ0)−1)

onde I (θ0) é a matriz de informação de Fisher. Verifica-se I (θ0) = A (θ0) = B (θ0) onde

A (θ) = −E

(∂2lt (θ)

∂θ∂θ′

), B (θ) = E

(∂lt (θ)

∂θ

∂lt (θ)

∂θ′

)

lt (θ) = log f (yt| It;θ) .

305

Sob certas condições, A e B podem ser estimados consistentemente por

An = − 1

n

n∑t=1

∂2lt

(θn

)∂θ∂θ′

p−→ A (θ0)

Bn =1

n

n∑t=1

∂lt

(θn

)∂θ

∂lt

(θn

)∂θ′

p−→ B (θ0) .

A aplicação do método da máxima verosimilhança exige (em princípio) o conhecimento

da fdp condicional de yt dado It; ou seja, é necessário conhecer-se f (yt| It) . Num modelo

de heterocedasticidade condicional do tipo yt = µt + ut onde ut = σtεt, a fdp f resulta

imediatamente da distribuição dos erros ε. Por exemplo, suponha-se εti.i.d∼ N (0, 1) . Logo,

ut| It = σtεt| It ∼ N(0, σ2

t

)⇒ yt| It ∼ N

(µt, σ

2t

).

e, portanto,

log f (yt| It;θ) = −1

2log (2π)− 1

2log σ2

t (θ)− 1

2σ2t (θ)

(yt − µt (θ))2 . (8.16)

Implementação no programa EVIEWS

Considere-se, a título de exemplo, o modelo

yt = γ0 + γ1xt + φ1yt−1 + ut

ut = σtεt, εt ∼ N (0, 1)

σ2t = ω + α1u

2t−1 + α1u

2t−2 + β1σ

2t−1 + δ0segt + δvolumet−1

onde segt é uma variável dummy que assume 1 se t corresponde a uma segunda feira. Para

estimar o modelo no EVIEWS, através do método da máxima verosimilhança, basta selec-

cionar “estimate” e depois “ARCH"em method. Ver a figura 8-11.

Escolhendo 1 em “Threshold order” poderia estimar-se o GJR-GARCH.

Eficiência do Estimador de MV vs. Estimador OLS

Considere-se o modelo de regressão linear

yt = x′tβ + ut, ut = εtσt, εti.i.d∼ N (0, 1)

306

Figura 8-11: Estimação do GARCH no EVIEWS

onde x′t =(

1 x1t · · · xkt

). Como ut é não autocorrelacionado e marginalmente

homocedástico resulta que o estimador OLS βn = (X′X)−1 X′y é BLUE (best linear unbi-

ased estimator). Significa que é o melhor estimador? Não. O estimador de MV (não linear)

para β, βn, é assimptoticamente mais eficiente. Pode-se provar que a matrix

Var(βn

)− Var

(βn

)é semidefinida positiva. Isto implica, em particular, que as variâncias dos estimadores OLS

são maiores ou iguais às correspondentes variâncias dos estimadores de máxima verosimil-

hança. Para confirmarmos esta ideia, simulou-se 1000 vezes o modelo

yt = β1 + β2xt + ut, xti.i.d∼ N (0, 1) , t = 1, ..., 1000

β1 = 10, β2 = 5,

ut = εtσt, εti.i.d∼ N (0, 1)

σ2t = 0.05 + 0.2u2

t−1 + 0.75σ2t−1

Em cada simulação estimaram-se os β1 e β2 pelo método OLS e pelo método da MV (us-

ando este último método estimaram-se ainda os parâmetros da variância condicional). Os

resultados estão presentes na tabela 8.1. Por exemplo, o erro quadrático médio do estimador

307

β1 β2

(1) OLS (2) MV (1)/(2) (3) OLS (4) MV (3)/(4)

Erro Quad.Médio 0.001 0.0006 1.667 0.0011 0.0006 1.833

Tabela 8.1: Eficiência do Estimador OLS vs. Estimador de MV

Figura 8-12: Distribuições do Estimadores OLS e de MV de β2 (obtidas a partir de uma

simulação Monte Carlo)

OLS relativamente ao parâmetro β1 é

1

1000

1000∑i=1

(β

(i)

1 − 10)2

e β(i)

1 é a estimativa OLS para β1 obtida na i-ésima simulação).

A tabela 8.1 sugere que o estimador ML é substancialmente mais preciso do que o esti-

mador OLS. Com base nas 1000 estimativas OLS e de MV do parâmetro β2, apresenta-se na

figura 8-12 as fdp estimadas (não parametricamente) dos estimadores OLS e de MV.

A figura 8-12 confirma a tabela 8.1: o estimador de MV é mais eficiente do que o esti-

mador OLS (i.e., é mais preciso ou apresenta menor variabilidade). A figura 8-12 também

sugere que ambos os estimadores são asimptoticamente centrados.

Prova-se (sob as condições usuais de regularidade) que o estimador de máxima verosim-

ilhança apresenta as propriedades habituais, isto é, é consistente, assimptoticamente eficiente

e tem distribuição assimptótica normal (como vimos). O estimador OLS é consistente para

308

os parâmetros da média condicional mas, como vimos, não é assimptoticamente eficiente.

8.9.2 Estimador de Pseudo Máxima Verosimilhança

Na prática, a distribuição de εt não é conhecida. Podemos ainda assim supor, por exemplo,

εt ∼ N (0, 1) ou εt ∼ t (n)? A resposta é afirmativa no seguinte sentido: mesmo que a

verdadeira distribuição seja desconhecida, podemos ainda assim “trabalhar” com a hipótese

εt ∼ N (0, 1) ou εt ∼ t (n) e obter, sob certas condições, estimadores consistentes. Seja

yt = µt (yt−1, yt−2, ..., xt, xt−1, ...;θ) + ut

ut = σt (ut−1, ut−2, ...;θ) εt εt ∼ ?

Suponhamos que a verdadeira mas desconhecida fdp condicional de ε é f . O estimador de

máxima verosimilhança

θn = arg maxθ

n∑t=1

log f (yt| It;θ)

não pode ser implementado, pois a função f é desconhecida. O estimador de pseudo máxima

verosimilhança usa como pseudo verdadeira fdp a função h (que na generalidade dos casos

é diferente de f ),

θpmv

n = arg maxθ

n∑t=1

log h (yt|xt, ...x1, yt−1, yt−2, ...y1;θ)

Sob certas condições, mesmo que h 6= f, o estimador de pseudo máxima verosimilhança

apresenta boas propriedades. As condições são:

• h pertence à família das densidades exponenciais quadráticas (a normal e a t-Student,

entre muitas outras distribuições, pertencem a esta família);

•∫yh (y| It) dy = µt (a média condicional está bem especificada);

•∫

(y − µt)2 h (y| It) dy = σ2

t (a variância condicional está bem especificada).

Pode-se provar, sob estas condições:

θpmv

n

p−→ θ0

√n(θpmv

n − θ0

)d−→ N

(0,A (θ0)−1 B (θ0) A (θ0)−1)309

Se, por acaso, a função h é a própria função f , i.e., f = h, então o estimador de pseudo

máxima verosimilhança é o estimador de máxima verosimilhança e, neste caso, tem-se

A (θ0) = B (θ0) e, portanto, A (θ0)−1 B (θ0) A (θ0)−1 = A−1 (θ0) .

Em suma, mesmo que a distribuição de εt não seja conhecida podemos supor, por exem-

plo, εt ∼ N (0, 1) (ou εt ∼ D tal que a densidade h satisfaça as condições estabelecidas),

porque θpmv

n é, ainda assim, um estimador consistente (embora não assimptoticamente efi-

ciente) e tem distribuição assimptótica normal. O único cuidado adicional é tomar como

matriz de variâncias-covariâncias (assimptótica) a expressão9 A (θ0)−1 B (θ0) A (θ0)−1e

não I (θ0)−1.

8.9.3 Método da Máxima Verosimilhança com Distribuições Não Nor-

mais

No âmbito do método da máxima (ou da pseudo máxima) verosimilhança, normalmente

assume-se εt ∼ N (0, 1). Contudo, verifica-se habitualmente que os resíduos estandardiza-

dos, ε = ut/σt apresentam um valor de kurtosis quase sempre acima do valor 3, i.e., kε > 3.

Este resultado é, até certo ponto, inesperado. O que é habitual é ter-se ku > 3. Quando ut

são ponderados por σt seria natural esperar-se uma redução significativa do valor da kurtosis

pois os valores muito altos e muito baixos de ut serão ponderados por valores altos de σt.

Embora ocorra uma redução do valor da estatística de kurtosis quando se passa de ut para

εt = ut/σt, normalmente observa-se ainda kε > 3 (embora kε < ku). Assim, também a

distribuição condicional ut| Ft−1 (e não só a marginal) é leptocúrtica.

Já vimos uma forma de lidar com este problema: basta tomar o estimador de pseudo

máxima verosimilhança. Uma alternativa consiste em formular uma distribuição leptocúrtica

para εt tal que E (εt) = 0 e Var (εt) = 1. É importante assegurar E (εt) = 0 e Var (εt) = 1.

Com efeito, suponha-se que Var (εt) = λ2 6= 1. Vem então Var (ut| Ft−1) = λ2σ2t e deix-

amos de poder identificar a variância condicional como σ2t . Vejamos algumas distribuições

habitualmente consideradas na literatura.

Hipótese: εt ∼ t-Student(v)

A implementação desta distribuição envolve uma (pequena) dificuldade: se X ∼ t-

Student(v) então Var (X) = v/ (v − 2) . Mas deverá ter-se Var (εt) = 1 (pois só assim

9Esta opção no EVIEWS é dada por “heteroskedasticity consistent covariance (Bollerslev-Wooldrige)” no

menu “options” da estimação.

310

Var (ut| Ft−1) = σ2t - caso contrário ter-se-á Var (ut| Ft−1) = σ2

tv/ (v − 2)). A solução é

simples. Basta reparametrizar a variável:

εt = X√

(v − 2) /v ⇒ Var (εt) = 1, kε = kx = 3 +6

v − 4

Considere-se assim a distribuição t-Student T(0,1) (de média zero e variância 1):

g (x) =1√

π (v − 2)

Γ(v+1

2

)Γ(v2

) (1 +x2

v − 2

)− v+12

.

Para aplicar o método da máxima verosimilhança é necessário conhecer-se f (yt| It−1) .

Pode-se provar10

f (yt| It) =1

σtg

(yt − µtσt

)=

1

σt

1√π (v − 2)

Γ(v+1

2

)Γ(v2

)1 +

(yt−µtσt

)2

v − 2

− v+1

2

.

Assim, o estimador de máxima verosimilhança é θn = arg maxθ∑n

t=1 lt (θ) , (θ inclui

v) onde

lt (θ) = log f (yt| It) = log1√

σ2tπ (v − 2)

Γ(v+1

2

)Γ(v2

)1 +

(yt−µtσt

)2

v − 2

− v+1

2

= −1

2log σ2

t −1

2log π − 1

2log (v − 2)

+ logΓ(v+1

2

)Γ(v2

) − v + 1

2log

(1 +

1

v − 2

(yt − µt)2

σ2t

)

Hipótese: εt ∼ GED (Generalized Error Distribution)

10Seja g (x) a fdp de ε e G (x) =∫ x−∞ g (x) dx a respectiva função de distribuição. Qual é a fdp de

yt = µt + σtεt condicionada a Ft−1, sabendo que (1) a fdp de εt é dada pela função g e (2) µt e σt são

conhecidos dado Ft−1 (ou It)? Trata-se de um problema clássico de mudança de variáveis. Comece-se por

analisar a função de distribuição condicional

P (yt ≤ y| Ft−1) = P (µt + σtεt ≤ y| Ft−1) = P

(εt ≤

y − µtσt

∣∣∣∣Ft−1) = G

(y − µtσt

)Logo, a fdp de yt condicionada a Ft−1 é, pelo teorema da derivada da função composta, dada pela expressão

f (y| Ft−1) =dP (yt ≤ y| Ft−1)

dy= G′

(y − µtσt

) d(y−µtσt

)y

= g

(y − µtσt

)1

σt.

311

3 2 1 0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x

g(x)

Figura 8-13: Distribuição GED no caso v = 1/2

Diz-se que εt tem distribuição GED se a sua fdp é dada por

g (εt) =v exp

−1

2

∣∣ εtλ

∣∣vλ2(1+1/v)Γ(1/v)

, Γ função Gama, λ =

√2−2/vΓ (1/v)

Γ (3/v)

Pode-se provar E (εt) = 0 e V ar (εt) = 1. Se v = 2⇒ distribuição normal padronizada, se

v < 2⇒ g é leptocúrtica. Na figura 8-13 traça-se a g com v = 1/2.


Considere-se, a título de exemplo, o modelo

yt = γ0 + γ1xt + φ1yt−1 + ut

ut = σtεt, εt ∼ t (v)

σ2t = ω + α1u

2t−1 + α1u

2t−2 + β1σ

2t−1 + δ0segt + δvolumet−1

onde segt é uma variável dummy que assume 1 se t corresponde a uma segunda feira. Para

estimar o modelo no EVIEWS, através do método da máxima verosimilhança, basta selec-

cionar “Student’s t” em “Error distribution”. Ver a figura 8.9.3. O output fornece também

uma estimativa para o número de graus de liberdade da distribuição t-Student. Esta estima-

tiva é interessante pois fornece informação sobre o achatamento da distribuição condicional.

8.10 Ensaios Estatísticos

Há basicamente dois momentos de interesse na realização de ensaios estatísticos. Num

primeiro momento, interessa verificar se existe evidência do efeito ARCH. Posteriormente,

depois da estimação, haverá que analisar a adequabilidade do modelo estimado.

312

8.10.1 Ensaios Pré-Estimação

Teste ARCH (teste multiplicador de Lagrange)

Considere-se

yt = µt + ut

ut = σtε

σ2t = ω + α1u

2t−1 + ...+ αqu

2t−q.

Existe efeito ARCH se pelo menos um parâmetro αi for diferente de zero. Se todos forem

zero, não existe efeito ARCH. Pode-se provar, sob a hipótese H0: α1 = α2 = ... = αq = 0

que

nR2 d−→ χ2(q)

onde R2 é o coeficiente de determinação da regressão de u2t sobre as variáveis

(1 u2

t−1 ... u2t−q

)(8.17)

(u é o resíduo supondo σ2t constante). Suponha-se que q é elevado e a hipótese nula é

rejeitada. Então é conveniente considerar o GARCH. Na verdade, pode-se provar que o teste

multiplicador de Lagrange do efeito GARCH baseia-se também na regressão de u2t sobre as

variáveis u2t−i.

313

Para a realização do teste os passos são:

1. Estima-se o modelo yt = µt + ut supondo σ2t constante;

2. obtêm-se os resíduos ut = yt − µt, t = 1, ..., n; (resíduos OLS, depois da regressão

OLS de y sobre as variáveis explicativas, ou resíduos ARMA);

3. regressão OLS de u2t sobre as variáveis definidas em (8.17);

4. obtenção de R2 da equação anterior e cálculo do valor-p

P(χ2

(q) ≥ nR2).

FAC de u2t

Como se viu, a existência de um processo GARCH implica a correlação das variáveis u2t

e u2t−k. O teste Ljung-Box é assimptoticamente equivalente ao teste ARCH. A sua hipótese

nula é H0: ρ1 (u2t ) = ... = ρm (u2

t ) = 0, sendo ρi (u2t ) o coeficiente de autocorrelação entre

u2t e u2

t−i. Sob H0 tem-se

Q = n (n+ 2)m∑i=1

1

n− i ρ2i

(u2t

) d−→ χ2(m−k)

onde k é o número de parâmetros estimados menos o termo constante. Evidência contra a

hipótese nula sugere a existência de um efeito ARCH.


O programa EVIEWS fornece o valor-p do teste multiplicador de Lagrange. Para obter

esse valor é necessário estimar primeiro o modelo sem efeito ARCH. No exemplo a seguir

(figura 8-14) considerou-se

yt = c+ θut−1 + ut.

onde y são os retornos do PSI20 (Jan 93 a Out 04). O modelo foi estimado através da in-

strução y c ma(1). Uma vez estimado o modelo, o programa EVIEWS oferece a opção

“ARCH LM test...” em “view”-“Residual Tests”. A figura 8-14 mostra que o valor-p é zero,

pelo que existe forte evidência contra a hipótese nula; por outras palavras, existe forte ev-

idência da presença de efeito ARCH. O teste Ljung-Box (ver a figura 8-15) corrobora as

conclusões do teste ARCH.

314

ARCH Test:

Fstatistic 23.58130 Probability 0.000000Obs*Rsquared 218.9822 Probability 0.000000

Test Equation:Dependent Variable: RESID^2Method: Least SquaresIncluded observations: 2925 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error tStatistic Prob.

C 5.64E05 8.24E06 6.840992 0.0000RESID^2(1) 0.183900 0.018517 9.931537 0.0000RESID^2(2) 0.058698 0.018824 3.118322 0.0018RESID^2(3) 0.019230 0.018745 1.025890 0.3050RESID^2(4) 0.040301 0.018739 2.150692 0.0316RESID^2(5) 0.004380 0.018741 0.233690 0.8152RESID^2(6) 0.036872 0.018741 1.967414 0.0492RESID^2(7) 0.032363 0.018739 1.727034 0.0843RESID^2(8) 0.109910 0.018745 5.863338 0.0000RESID^2(9) 0.020103 0.018824 1.067965 0.2856

RESID^2(10) 0.029723 0.018517 1.605224 0.1086


Figura 8-14: Output do EVIEWS associado ao teste multiplicador de Lagrange H0: α1 =α2 = ... = α10 = 0 (o p-value está destacado)

Figura 8-15: FAC de u2t (e valores-p da estatística Ljung-Box)

315

Existem muitos outros testes para ensaiar efeitos e modelos específicos (ver por exemplo,

Franses e van Dijk, 2000). Estes testes têm como objectivo sugerir a especificação da estru-

tura de σ2t e, portanto, são realizados antes da fase da estimação (final) do modelo. Como

alternativa, podemos discutir esses efeitos específicos (por exemplo, efeito assimétrico) na

fase da estimação, a partir dos ensaios habituais de significância e dos critérios SC e AIC.

Por exemplo, suponha-se que se pretende ensaiar a presença do efeito assimétrico. Em

alternativa aos testes apresentados em Franses e van Dijk (2000), pode-se ensaiar a hipótese

γ1 = 0 (já na fase da estimação) no contexto do modelo

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1 + γ1u

2t−1Iut−1<0, Iut−1<0 =

1 se ut−1 < 0

0 se ut−1 ≥ 0.

8.10.2 Ensaios Pós-Estimação

Depois do modelo estimado (pelo método da máxima (ou da pseudo) verosimilhança) há

interesse em testar determinada suposição envolvendo os parâmetros ou em analisar a ade-

quabilidade do modelo. Os três testes assimptóticos, rácio de verosimilhanças, multiplicador

de Lagrange ou teste de Wald, podem naturalmente ser usados. Uma aplicação do teste

multiplicador de Lagrange foi já vista (teste ARCH).

Teste de Wald

O teste de Wald é muito fácil de usar no programa EVIEWS. Veja-se primeiro um esboço

da teoria. Já concluímos que

√n(θn − θ0

)d−→ N (0,V0) (8.18)

onde

V0 =

I (θ0)−1 = A (θ0)−1se θn é o est. de máxima verosimilhança

A (θ0)−1 B (θ0) A (θ0)−1se θn é o est. de pseudo máxima verosimilhança

Suponha-se que se pretende ensaiar H0: Rθ0 = r onde R é uma matriz de tipo q × k

(recorde-se que θ é um vector coluna de dimensão k) e r é um escalar. Por exemplo, se

316

k = 5 e H0: θ4 + 2θ5 = 3 tem-se q = 1 e

θ4 + 2θ5 = 3⇔(

0 0 0 1 2)

︸︷︷︸R

θ1

θ2

θ3

θ4

θ5

︸︷︷︸

θ

= 3︸︷︷︸r

.

Para obter a estatística de teste associada a H0: Rθ0 = r considera-se, a partir de (8.18),

√n(Rθn − r

)d−→ N (0,RV0R

′)

e, consequentemente11,

n(Rθn − r

)′(RV0R

′)−1(Rθn − r

)d−→ χ2

(q). (8.19)

O programa EVIEWS permite aplicar de forma muito fácil o teste de Wald. No exemplo

anterior, e depois de estimado o modelo GARCH, bastaria seleccionar “view”-“coefficient

tests”-“Wald” e depois escrever “c(4)+2*c(5)=3”. É possível também ensaiar relações não

lineares entre os parâmetros, como por exemplo, “c(4)^2+c(5)^2=1”.12

Testes individuais (por exemplo, do tipo H0: θ2 = 0) baseiam-se na relação

θna∼ N

(θ0,

V0

n

)

devido a (8.18) (para n finito mas suficientemente alto, θn tem distribuição aproximadamente

igual a N (θ0,V0/n)). Assim, para ensaiar, por exemplo, H0: θ2 = 0 considera-se o rácio-t

tθn,2 =θn,2

se(θn,2

)com distribuição N (0, 1) onde se

(θn,2

)é o erro padrão de θn,2 (é a raiz quadrada do ele-

11Note-se que se X é um vector aleatório dimensão q × 1 com distribuição N (µ,Σ) , então

(x− µ)′Σ−1 (x− µ) ∼ χ2(q).

12Neste caso não linear seria necessário adaptar a estatística de teste (8.19). Observe-se que Rθ0 expressa

uma relação linear.

317

mento (2,2) da matriz V0/n). O programa EVIEWS fornece automaticamente os rácios-t.

Testes de Diagnóstico

O modelo em análise é

yt = µt + ut, ut = σtεt.

e as hipóteses são E (εt) = 0, Var (εt) = 1 (verificam-se sempre, por construção), εt é um

processo diferença de martingala ou ruído branco e εt é um processo homocedástico.

Nestas circunstância, se o modelo está bem especificado, deve ter-se: εt deve ser não

autocorrelacionado e εt deve ser condicionalmente homocedástico.

Assim, se

(a) y é, por exemplo, um ARMA e a média condicional não captar esta estrutura, os proces-

sos ut e εt exibirão autocorrelação;

(b) de igual forma, se y segue um GARCH e a variância condicional não captar esta estrutura

ε2t = u2

t/σ2t exibirá autocorrelação;

(c) finalmente, se ε segue uma distribuição leptocúrtica então kε > 3.

Para analisar (a) e (b), devemos:

1. estimar um modelo ARMAX+GARCH;

2. obter os resíduos ut;

3. obter os resíduos estandardizados εt = ut/σt;

4. (Análise da questão (a)). Efectuar o teste Ljung-Box tomando como hipótese nula,

H0: ρ1 (εt) = ... = ρm (εt) = 0 (ρi (εt) é o coeficiente de autocorrelação entre εt e

εt−i) e estatística de teste

Q = n (n+ 2)m∑i=1

1

n− i ρ2i (εt)

d−→ χ2(m−k)

onde k é o número de parâmetros AR e MA estimados. Evidência contra a hipótese

nula sugere que εt é autocorrelacionado. Neste caso é necessário rever a especificação

da média condicional.

318

5. (Análise da questão (b)). Efectuar o teste Ljung-Box tomando como hipótese nula,

H0: ρ1

(ε2t

)= ... = ρm

(ε2t

)= 0 (ρi

(ε2t

)é o coeficiente de autocorrelação entre ε2

t e

ε2t−i) e estatística de teste

Q = n (n+ 2)

m∑i=1

1

n− i ρ2i

(ε2t

) d−→ χ2(m−k)

onde k é o número de parâmetros estimados (McLeod e Li, 1983, sugere que k pode

ser apenas o número de parâmetros dinâmicos estimados na variância condicional; por

exemplo, 2 no GARCH(1,1)). Evidência contra a hipótese nula sugere que ε2t é auto-

correlacionado. Neste caso é necessário rever a especificação da variância condicional.

Taylor (2005), p. 258, aponta outros procedimentos alternativos.

Teste Alternativo

Uma forma alternativa de analisar a questão (b) atrás referida consiste em verificar a

presença de efeitos ARCH remanescentes através da especificação (Franses e van Dijk, 2000,

e Lundbergh e Teräsvirta, 2002):

yt = µt + ut

ut = σtεt

εt = et

√1 + π1ε2

t−1 + ...+ πmε2t−m

Sob H0: π1 = π2 = ... = πm = 0 (não existem efeitos ARCH remanescentes), tem-se

nR2 d−→ χ2(m)

onde R2 é o coeficiente de determinação da regressão de ε2t sobre as variáveis

(1 ε2

t−1 ... ε2t−m xt

)

onde

xt =1

σt

∂σ2t

∂η′

e η′ é o vector de parâmetros especificados em σ2t . Calcule-se

∂σ2t∂η′ no caso σ2

t = ω+α1u2t−1 +

319

β1σ2t−1. Tem-se

∂σ2t

∂η′=

∂σ2t

∂

(ω α1 β1

) =(

∂σ2t∂ω

∂σ2t∂α1

∂σ2t∂β1

).

Suponha-se∂σ20∂ω

= 0. Vem

∂σ2t

∂ω= 1 + β1

∂σ2t−1

∂ω= 1 + β1

(1 + β1

∂σ2t−2

∂ω

)= ... =

= 1 + β1 + β21 + ...+ βt−1

1 =t∑i=1

βi−11 =

1

β1 − 1

(βt1 − 1

).

Deixa-se como exercício verificar que

∂σ2t

∂η′=

( ∑ti=1 β

i−11

∑ti=1 β

i−11 u2

t−i∑t

i=1 βi−11 σ2

t−i

).

Nota: O programa EVIEWS “esquece o vector xt”. Como consequência, o valor da

estatística nR2 apurado no EVIEWS depois da estimação ARCH/GARCH está subestimado

e, assim, a probabilidade P ( rejeitar H0|H1 é verdadeira) vem baixa. Tenderemos a concluir

quase sempre que o modelo está bem especificado, mesmo nos casos em que ainda existem

efeitos ARCH remanescentes. No EVIEWS, é bem mais simples considerar o teste Ljung-

Box (aplicado a ε2t ).

8.11 Previsão

A previsão no contexto do modelo ARCH/GARCH envolve habitualmente a previsão de yt

e de σ2t . Todavia, em várias aplicações, como por exemplo, estimação do risco de mercado,

construção de portfolios dinâmicos, valorização de opções, etc., a previsão da volatilidade é

mais importante do que a previsão de yt.

Vamos analisar a previsão de yt e de σ2t e estabelecer os respectivos intervalos de con-

fiança (ICs) ou de previsão. Concretamente, temos um modelo do tipo ARMA+GARCH,

baseado em n observações, y1, y2, ..., yn e procura-se,

• prever yn+1, yn+2, ...;

• estabelecer ICs para yn+1, yn+2, ...;

320

• prever σ2n+1, σ

2n+2, ...;

• estabelecer ICs para σ2n+1, σ

2n+2, ...;

8.11.1 Previsão da Variância Condicional

Vimos que o previsor com EQM mínimo para yn+h (dada a informação emFn) é E (yn+h| Fn) .

De igual forma, o previsor com EQM mínimo para σ2n+h (dada a informação em Fn) é (nat-

uralmente)

E(σ2n+h

∣∣Fn) .Note-se que E

(u2n+h

∣∣Fn) = E(σ2n+hε

2n+h

∣∣Fn) = E(σ2n+h

∣∣Fn). Para facilitar a notação

considere-se σ2n+h,n := E

(σ2n+h

∣∣Fn) . Vejam-se os exemplos seguintes.

Modelo ARCH(1) σ2t = ω + α1u

2t−1


Como σ2n+1 = ω + α1u

2n tem-se

σ2n+1,n = E

(ω + α1u

2n

∣∣Fn) = ω + α1u2n

(na prática, como σ2n+1,n é desconhecido deve considerar-se σ2

n+1,n = ω + α1u2n).



2n+1 tem-se

σ2n+2,n = E

(ω + α1u

2n+1

∣∣Fn)= ω + α1 E

(u2n+1

∣∣Fn)= ω + α1 E

(σ2n+1

∣∣Fn)= ω + α1σ

2n+1,n

Podemos ainda escrever σ2n+2,n como função do valor u2

n. Basta substituir na expressão an-

terior, σ2n+1,n por ω + α1u

2n. Vem

σ2n+2,n = ω + α1σ

2n+1,n

= ω + α1

(ω + α1u

2n

)= ω (1 + α) + α1u

2n

321


σ2n+h,n = E

(ω + α1u

2n+h−1

∣∣Fn)= ω + α1 E

(u2n+h−1

∣∣Fn)= ω + α1 E

(σ2n+h−1

∣∣Fn)= ω + α1σ

2n+h−1,n.

Tal como anteriormente, podemos escrever σ2n+h,n como função de u2

n. Pode-se provar que

σ2n+h,n = ω + α1σ

2n+h−1,n = ω

1− αh11− α1

+ αh1u2n

Se 0 ≤ α1 < 1, conclui-se

σ2n+h,n →

ω

1− α1

= Var (ut) (quando h→∞).

O caso α1 = 1 é analisado adiante, no contexto do GARCH.

Modelo GARCH(1,1) σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1



2n +β1σ

2n tem-se

σ2n+1,n = E

(ω + α1u

2n + β1σ

2n

∣∣Fn) = ω + α1u2n + β1σ

2n

(na prática, como σ2n+1,n é desconhecido deve considerar-se σ2

n+1,n = ω + α1u2n + β1σ

2n).



2n+1 +β1σ

2n+1 tem-se

σ2n+2,n = E

(ω + α1u

2n+1 + β1σ

2n+1

∣∣Fn)= ω + α1 E

(u2n+1

∣∣Fn)+ β1 E(σ2n+1

∣∣Fn)= ω + (α1 + β1)σ2

n+1,n

322


σ2n+h,n = E

(ω + α1u

2n+h−1 + β1σ

2n+h−1

∣∣Fn)= ω + α1 E

(u2n+h−1

∣∣Fn)+ β1 E(σ2n+h−1

∣∣Fn)= ω + (α1 + β1)σ2

n+h−1,n

Um pouco à semelhança do que fizemos para a previsão no ARCH, a expressão

σ2n+h,n = ω + (α1 + β1)σ2

n+h−1,n (8.20)

pode ser reescrita, como função de u2n e σ2

n. Pode-se provar que a solução da equação (8.20),

sob a condição 0 ≤ α1 + β1 < 1 (e dada a condição inicial σ2n+1,n = ω + α1u

2n + β1σ

2n) é

σ2n+h,n =

ω(

1− (α1 + β1)h)

1− α1 − β1

+ (α1 + β1)h−1 (α1u2n + β1σ

2n

).

Assim, no caso α1 + β1 < 1, tem-se

σ2n+h,n →

ω

1− α1 − β1

= Var (ut) (quando h→∞).

No caso α1 + β1 = 1 (IGARCH(1,1)) vem

σ2n+2,n = ω + σ2

n+1,n

σ2n+3,n = ω + σ2

n+2,n = ω +(ω + σ2

n+1,n

)= 2ω + σ2

n+1,n

...

σ2n+h,n = (h− 1)ω + σ2

n+1,n

e, portanto,

σ2n+h,n = σ2

n+1,n, se ω = 0

σ2n+h,n → ∞, se ω > 0 (quando h→∞).

Para além da estimação pontual de σ2n+h,n, há interesse também em estabelecer ICs. Esta

questão é tratada no ponto 8.11.3.

323

8.11.2 A Previsão da Variável Dependente y

Qualquer que seja o modelo para y, o previsor de yn+h com EQM mínimo, baseia-se, como

vimos, no valor esperado condicionado de y. Assim, a previsão pontual de yn+h não envolve

qualquer novidade face ao que foi já exposto no ponto 6.6. Todavia, a estimação por inter-

valos deve agora reflectir a presença de heterocedasticidade condicional. Seja (l1, l2) o IC a

(1− α) 100% associado a yn+h, i.e, l1 e l2 são tais que

P ( l1 < yn+h < l2| Fn) = 1− α⇔

P

(l1 − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)<yn+1 − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)<l2 − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)

∣∣∣∣∣Fn)

= 1− α.

Seja Zn+h = (yn+h − E (yn+h| Fn)) /√

Var (yn+h| Fn) e q1−α/2 o quantil de ordem 1−α/2

da distribuição da v.a. Zn+h| Fn. Como também se tem

P(−q1−α/2 < Zn+h < q1−α/2

∣∣Fn) = 1− α

(supondo que a distribuição de Z| Fn é simétrica) conclui-se


= −q1−α/2 el2 − E (yn+h| Fn)√

Var (yn+h| Fn)= q1−α/2.

Resolvendo estas igualdades em ordem a l1 e a l2,

l1 = E (yn+h| Fn)−q1−α/2√

Var (yn+h| Fn), l2 = E (yn+h| Fn)+q1−α/2√

Var (yn+h| Fn)

obtém-se o seguinte IC13 a (1− α) 100% para yn+h:

E (yn+h| Fn)± q1−α/2√

Var (yn+h| Fn)

13Note-se que Var (yn+h| Fn) = Var (en (h)| Fn) onde en (h) = yn+h−E (yn+h| Fn) é o erro de previsão

a h passos. Assim, o IC (1− α) 100% pode ser também apresentado da seguinte forma:

E (yn+h| Fn)± q1−α/2√

Var (en (h)| Fn).

324

Por exemplo, assuma-se que yn+h| Fn tem distribuição N (E (yn+h| Fn) ,Var (yn+h| Fn))

e, portanto, Zn+h| Fn ∼ N (0, 1). Nestas condições, o IC a 95% para yn+h é

E (yn+h| Fn)± 1.96√

Var (yn+h| Fn).

Infelizmente esta expressão só está correcta para h = 1. O problema é o de que yn+h| Fnpara h > 1 não tem geralmente distribuição normal na presença de efeitos ARCH/GARCH,

mesmo que as inovações εt sejam Gaussianas e, portanto, mesmo que yn+1| Fn tenha dis-

tribuição normal. No ponto 8.11.3 apresentamos um procedimento de bootstrap que permite

obter IC correctos para yn+h, com h ≥ 1.

Outro caso de interesse é o da previsão de longo prazo. Se o processo é ESO (e ergódico),

a previsão de yt e de σ2t no longo prazo, i.e. quando t → ∞ é, respectivamente, E (y) =

limh→∞ E (yn+h|Fn) e Var (y) = limh→∞Var (yn+h|Fn) (tratam-se afinal dos momentos

marginais da distribuição de y). O IC a (1− α) 100% para a previsão de longo prazo de y é,

desta forma,

E (y)± ζ1−α/2√

Var (y)

onde ζ1−α/2 é o quantil de ordem 1 − α/2 da distribuição marginal de y. Este quantil pode

ser estimado a partir da distribuição empírica da sucessão de valores observados y1, ..., yn .

Analise-se nesta secção apenas a previsão a um passo e deixe-se o caso da previsão a

h > 1 passos para o ponto 8.11.3

Exemplo 8.11.1 Considere-se o modelo AR(1)+GARCH(1,1)

yt = c+ φyt−1 + ut,

σ2t = ω + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1.

Se ut| Ft−1 ∼ N (0, σ2t ) então um IC a 95% para yn+1 é E (yn+h| Fn)±1.96

√Var (yn+h| Fn)

ou seja

c+ φyn ± 1.96√ω + α1u2

n + β1σ2n.

Modelo de Regressão

Considere-se o modelo de regressão

yt = x′tβ + ut

325

onde x′t é um vector linha de dimensão k e β vector coluna de dimensão k. Supomos que u e

X são independentes e ainda que ut| Ft−1 ∼ N (0, σ2t ) . O previsor de yn+1 de EQM mínimo

é

E (yn+1| Fn,xn+1) = x′n+1β

Por que razão o valor esperado é condicionado também a xn+1? A razão é a seguinte: a

previsão de y no momento n + 1 depende de xn+1, e, portanto, xn+1 tem de ser conhecido.

Na prática, só em casos muito especiais se conhece xn+1 no momento n (mesmo assim,

podemos estar interessados em prever yn+1 admitindo um dado cenário ou hipótese para

xn+1).

Assim, um IC para yn+1 a 95% é

x′n+1β ± 1.96√

Var (yn+1| Fn)⇔ x′n+1β ± 1.96σn+1,n.

Analise-se agora uma questão que é normalmente descurada no âmbito das séries tempo-

rais (mas não na área da econometria). O intervalo de previsão acima estabelecido assume

que β é conhecido. Ao substituirmos β pela respectiva estimativa, introduz-se uma nova

fonte de variabilidade, que deve ser incorporada no intervalo de previsão. Para se ter em

conta a variabilidade de β, é necessário obter a distribuição da variável yn+1 − x′n+1β. A

representação

yn+1 − x′n+1β = x′n+1β + un+1 − x′n+1β = un+1 + x′n+1

(β − β

)= en (1)

permite concluir que yn+1−x′n+1β tem distribuição normal de média E (en (1)| Fn,xn+1) =

0 e variância

Var (en (1)| Fn,X) = Var(

x′n+1

(β − β

)+ un+1

∣∣∣Fn,xn+1

)= x′n+1 Var

((β − β

)∣∣∣Fn,xn+1

)xn+1 + E

(u2n+1

∣∣Fn,xn+1

)= x′n+1 Var

(β)

xn+1 + σ2n+1,n

(assumindo-se E (un+1|X) = 0). Considerando (1− α) 100% = 95% tem-se

P ( l1 < yn+h < l2| Fn) = 0.95⇔

P

(l1 − x′n+1β√

Var (en (1)| Fn,xn+1)<

yn+1 − x′n+1β√Var (en (1)| Fn,xn+1)

<l2 − x′n+1β√

Var (en (1)| Fn,xn+1)

∣∣∣∣∣Fn)

= 0.95.

326

Obtém-se assim o seguinte IC a 95% para yn+1:

x′n+1β ± 1.96

√x′n+1 Var

(β)

xn+1 + σ2n+1,n. (8.21)

Para amostra grandes podemos continuar a usar a aproximação x′n+1β ± 1.96σn dado que

x′n+1 Var(β)

xn+1 é aproximadamente proporcional a 1/n e, portanto, tende para zero as-

simptoticamente (por outras palavras, é uma quantidade “pequena” quando comparada com

σ2n+1,n).

8.11.3 Intervalos de Confiança para y e para a Volatilidade baseados

em Boostrap

Vimos até agora as seguintes questões:

• intervalos de confiança para yn+1;

• previsão de σ2t para os períodos n+ 1, n+ 2, ...;

Estas questões são relativamente simples tratar. Já a obtenção de intervalos de confiança

para yn+h, h > 1 e para σ2n+h, h ≥ 1 é problemática, pois não são conhecidas as distribuições

de interesse. Estas questões resolvem-se de forma muito satisfatória recorrendo ao bootstrap.

Para exemplificar considere-se o modeloyt = c+ φyt−1 + ut

ut = σtεt

σ2t = ω + αu2

t−1 + βσ2t−1.

(8.22)

onde ε tem distribuição desconhecida de média nula e variância um. O algoritmo é o

seguinte:

1. Estimar o modelo (8.22) e obter

εt, t = 1, ..., n , onde εt =utσt

σ2 =ω

1− α− β, µ =

c

1− φ

θ =(c, φ, ω, α, β

)′

327

2. Simular o modelo y∗t = c+ φy∗t−1 + u∗t

u∗t = σ∗t ε∗t

σ∗2t = ω + αu∗2t−1 + βσ∗2t−1

(8.23)

com os seguintes valores iniciais: σ∗20 = σ2 e y∗0 = µ. Os valores de ε∗t são retirados

aleatoriamente com reposição do conjunto ε1, ..., εn .

3. Estimar o modelo (8.23) e obter as seguintes previsões: y∗n+h = c∗ + φ∗y∗n+h−1

σ∗2n+h = ω∗ + α∗u∗2n+h−1 + β∗σ∗2n+h−1

Note-se que θ∗=(c∗, φ

∗, ω∗, α∗, β

∗)′é o vector das estimativas obtidas no contexto

do modelo simulado (8.23).

4. Repetir os passos 2 e 3 B vezes. Com este procedimento obtêm-se as seguintes séries:

y∗(1)n+j, y

∗(2)n+j, ..., y

∗(B)n+j

, j = 1, ..., h,

σ∗2 (1)n+j , σ

∗2 (2)n+j , ..., σ

∗2 (B)n+j

, j = 1, ..., h.

5. Um intervalo de previsão a (1− α) 100% para yn+j é

[qα2, q1−α

2

]onde qα

2e q1−α

2são os quantis empíricos da amostra

y∗(1)n+j, y

∗(2)n+j, ..., y

∗(B)n+j

.

6. Um intervalo de previsão a (1− α) 100% para σ2n+j é

[qα2, q1−α

2

]onde agora qα

2e q1−α

2são os quantis empíricos da amostra

σ∗2 (1)n+j , σ

∗2 (2)n+j , ..., σ

∗2 (B)n+j

.

Com o passo 3 incorpora-se a variabilidade do estimador de θ na construção dos ICs (esta

ideia é idêntica à que conduz a considerar o valor x′n+1 Var(β)

xn+1 na expressão 8.21).

Para mais pormenores veja-se Pascuala et al. (2006).

328

8.12 Problema dos Erros de Especificação na Média Condi-

cional

Considere o modelo

yt = µt + ut, E(u2t

∣∣Ft−1

)= σ2 constante

Em aplicações desconhece-se a verdadeira função µt. Suponha-se que se propõe (errada-

mente) para a média condicional a especificação mt 6= µt. Ou seja propõe-se

yt = mt + vt,

onde vt é tomada como a v.a. residual. Nestas condições pode existir um efeito ARCH

espúrio.

Para exemplificar, suponha-se que o verdadeiro processo é

yt = c+ φyt−1 + ut, ut RB Gaussiano N(0, σ2

)Por erro de especificação supõe-se mt = c. Nestas condições existe um efeito ARCH es-

púrio. O modelo considerado (erradamente) é

yt = c+ vt, vt = φyt−1 + ut

onde vt é tomada como a v.a. residual. Ora

v2t = (φyt−1 + ut)

2 = φ2y2t−1 + u2

t + 2φyt−1ut

= φ2 (c+ vt−1)2 + u2t + 2φyt−1ut

= φ2c2 + φ22cvt−1 + φ2v2t−1 + u2

t + 2φyt−1ut.

Tomando o valor esperado condicional e reagrupando os termos vem:

E(v2t

∣∣Ft−1

)= c∗1 + c∗2vt−1 + φ2v2

t−1.

Significa que vt exibe um efeito do tipo ARCH, apesar do modelo inicial ser condicional-

mente homocedástico.

329

Considere-se agora um caso mais geral.

Modelo Verdadeiro : yt = µt + ut,

Modelo Especificado Incorrectamente : yt = mt + vt,

commt 6= µt. Tem-se vt = µt−mt+ut. Como µt emt pertencem a Ft−1 e E (ut| Ft−1) = 0

vem

E(v2t

∣∣Ft−1

)= E

((µt −mt + ut)

2∣∣Ft−1

)= E

((µt −mt)

2 + 2 (µt −mt)ut + u2t

∣∣Ft−1

)= E

((µt −mt)

2∣∣Ft−1

)+ E

(u2t

∣∣Ft−1

).

• Se E (u2t | Ft−1) = σ2 então a variância condicional de vt, E (v2

t | Ft−1), não é con-

stante, pois E(

(µt −mt)2∣∣Ft−1

)não é constante.

• Se E (u2t | Ft−1) = σ2

t então a variância condicional associada ao modelo incorrecto

yt = mt + vt será superior à verdadeira variância condicional σ2t . Com efeito,

E(v2t

∣∣Ft−1

)= E

((µt −mt)

2∣∣Ft−1

)+ σ2

t .

A conclusão deste ponto é óbvia: é importante especificar bem a média condicional.

Como nota final registe-se que, na prática, a média condicional que especificamos é

E(yt| F∗t−1

)onde F∗t−1 é o “nosso” conjunto de informação, necessariamente limitado, e

não o conjunto de todos os acontecimentos ω ∈ Ω que geram y no momento t − 1. Como

resultado a média condicional que especificamente envolve quase sempre erros de especifi-

cação. A existência do efeito ARCH pode dever-se ou acentua-se na presença desses erros

de especificação. É interessante observar Engle (1982): “the ARCH regression model is an

approximation to a more complex regression which has no-ARCH disturbances. The ARCH

specification might then picking up the effect of variables omitted from the estimated model.

The existence of an ARCH effect would be interpreted as evidence of misspecification”.

330

8.13 Modelos Não Lineares na Média combinados com o

GARCH

8.13.1 Modelo Limiar Autoregressivo com Heterocedasticidade Condi-

cionada

O modelo TAR tal como foi apresentado na secção 7.3 não é apropriado para séries tem-

porais financeiras, pois assume que a variância condicional é constante ao longo do tempo.

Podemos, no entanto, generalizar o TAR de forma a acomodar heterocedasticidade condi-

cionada. Se admitirmos o caso mais geral em que o padrão de heterocedasticidade se dis-

tingue consoante o regime, o modelo a considerar, com dois regimes e um desfasamento

(veja-se Gospodinov, 2005) é

yt = (φ10 + φ11yt−1) Iqt−d≤γ + (φ20 + φ21yt−1) Iqt−d>γ + ut. (8.24)

onde ut = σtεt e εt é uma sucessão de v.a. i.i.d. de média zero e variância um e

σ2t =

(ω1 + α1u

2t−1 + β1σ

2t−1

)Iqt−d≤γ +

(ω2 + α2u

2t−1 + β2σ

2t−1

)Iqt−d>γ. (8.25)

Aborda-se a seguir a estimação do modelo. Suponha-se que ε é um ruído branco Gaussiano.

Assim,

yt| Ft−1 ∼ N(µt, σ

2t

)onde µt = (φ10 + φ11yt−1) Iqt−d≤γ + (φ20 + φ21yt−1) Iqt−d>γ e σ2

t é dado pela equação

(8.25). Seja θ o vector de todos parâmetros do modelo com excepção de γ.A função log-

verosimilhança vem

logLn (θ, γ) =

n∑t=1

log f (yt| Ft−1;θ, γ)

log f (yt| It;θ, γ) = −1

2log (2π)− 1

2log σ2

t (θ, γ)− 1

2σ2t (θ, γ)

(yt − µt (θ, γ))2 .

O problema de optimização maxθ∑n

t=1 log f (yt| Ft−1;θ, γ) não é standard, pois a derivada

de logLn (θ, γ) em ordem a γ não existe. O princípio do método de máxima verosimilhança

mantém-se, todavia: é necessário maximizar a função em ordem aos parâmetros. A esti-

mação dos parâmetros processa-se da seguinte forma:

331

Parâmetro Estimativa Erro Padrão

c 0.0478 0.0075

φ 0.2332 0.0112

ω 0.0118 0.0015

α 0.1111 0.0073

β 0.8812 0.0074

Log-Veros.= −11439.3

Tabela 8.2: Resultados da estimação do modelo AR+GARCH

1. Escolha-se um valor para γ no conjunto Γ (sobre o conjunto Γ veja-se o ponto 7.3.5).

Seja γ∗ esse valor.

2. Resolva-se o problema de optimização maxθ logLn (θ, γ∗) em ordem a θ; seja θn (γ∗)

o valor que maximiza Ln (θ, γ∗) (dado γ∗), i.e., θn (γ∗) = arg maxθ logLn (θ, γ∗) .

3. Registe-se o valor de logLn

(θn (γ∗) , γ∗

).

4. Repitam-se os passos 1-3 até se exaurir o conjunto Γ.

5. A estimativa para γ é aquela que maximiza a função de verosimilhança; seja γn esse

valor.

6. A estimativa para θ é, naturalmente, θn (γn) .

Exemplo 8.13.1 Considere o retorno diário em percentagem, yt = 100 × log (Pt/Pt−1),

associados ao índice NASDAQ, no período 5-02-1971 a 13-10-2006 (9006 observações).

Na tabela 8.2 apresentam-se os resultados da estimação do modelo AR(1)+GARCH(1,1).

De seguida, estimou-se o modelo SETAR (8.24)-(8.25), com qt−d = yt−1. Seguiram-se

os seis passos do procedimento descrito atrás. Obteve-se γn = −0.356 (trata-se do valor

que maximiza a função de log-verosimilhança logLn (θ, γ)). A figura 8-16 mostra o valor

de logLn como função de γ (observe-se que γn = −0.356 maximiza logLn). Para o valor

γn estimado, obtiveram-se os resultados que constam da tabela 8.3. O primeiro regime mod-

ela os retornos quando estes estão em queda, mais precisamente, quando o retorno anterior

é inferior a −0.356%. A média marginal deste regime é −.1718/ (1− .0563) = −.182%.

Tendo em conta este valor, há tendência para o processo sair do regime 1, mantendo, ainda

assim, uma rendibilidade negativa. Talvez o dado mais significativo é a forte persistência

da volatilidade neste regime, associada a valores altos de volatilidade (w1 > w2). Este

resultado está de acordo com os factos estilizados habitualmente observados em dados fi-

nanceiros, segundo os quais, a volatilidade tende a ser superior quando as cotações estão

332

Figura 8-16: Valor da máximo da função log-Verosimilhança como função do parâmetro γ.Estimativa de γ : −0.358316

Parâmetro Estimativa Erro Padrão

φ10 -0.1718 0.0312

φ11 0.0563 0.0310

ω1 0.0233 0.0075

α1 0.0982 0.0097

β1 0.9776 0.0152

φ20 0.0426 0.0099

φ21 0.2384 0.0177

ω2 0.0175 0.0024

α2 0.0733 0.0073

β2 0.8575 0.0093

Log-Veros.= −11344.5

Tabela 8.3: Resultados da estimação do modelo SETAR+GARCH

a descer. A volatilidade associada ao regime 1 pode ser identificada como a “má volatili-

dade”, i.e., aquela que está ligada à queda dos preços.

8.13.2 Modelo Markov-Switching com Heterocedasticidade Condicionada

Vimos na secção 7.4 que a separação das dinâmicas do processo em estudo em dois ou mais

regimes permite, na maior parte dos casos, obter diferentes valores para σi (veja-se o mod-

elo (7.25)). Significa isto que os erros são heterocedásticos. No entanto, é possível ir um

pouco mais longe se admitirmos, mesmo em cada regime, erros heterocedásticos. Em séries

financeiras, o modelo (7.25) pode mostrar-se insuficiente para modelar a volatilidade típica

333

das séries financeiras. O caminho está assim indicado: é necessário admitir, em cada regime,

uma especificação dinâmica para a volatilidade. Entendeu-se inicialmente (e.g. Hamilton)

que os modelos Markov-switching com efeitos GARCH eram intratáveis e impossíveis de

serem estimados, devido à dependência da variância condicional de toda a trajectória passada

(em última análise, a estrutura que se admitia para um Markov-Switching com N regimes

obrigaria posteriormente a expandir o número de regimes para Nn sendo n o número de

observações). Gray (1996) propôs um modelo que resolve a dependência da variância condi-

cional de toda a trajectória passada.

O modelo MS+GARCH com dois regimes é

yt =

c1 + φ1yt−1 + σ1tεt se St = 1

c2 + φ2yt−2 + σ2tεt se St = 2

onde σit seguem a representação sugerida por Gray(1996),

σ2it = ωi + αiu

2t−1 + βσ2

t−1, (8.26)

sendo

ut = yt − E (yt| Ft−1) , σ2t = Var (yt| Ft−1) .

Pode mostrar-se que o problema da “dependência da variância condicional” surge quando se

define σ2it como função de ui,t−1 (erro no período t− 1 associado ao regime i) e de σ2

i,t−1. A

especificação (8.26) evita esse problema; observe-se que σ2it depende ut−1 e σ2

t−1.

Momentos de y

Determinem-se os momentos do processo. Seja µit = E (yt| Ft−1, St = i) . No contexto

do modelo (7.25) tem-se:

E (yt| Ft−1, St = 1) = c1 + φ1yt−1, E (yt| Ft−1, St = 2) = c2 + φ2yt−1.

334

Tem-se

µt = E (yt| Ft−1)

= E (yt| Ft−1, St = 1)P (St = 1| Ft−1)

+ E (yt| Ft−1, St = 2)P (St = 2| Ft−1)

= µ1tp1t + µ2tp1t.

E (yt| Ft−1) é, portanto, a média ponderada dos valores esperados condicionais dos regimes

1 e 2. Por outro lado,

σ2t = Var (yt| Ft−1) = E

(y2t

∣∣Ft−1

)− (E (yt| Ft−1))2

= E(y2t

∣∣Ft−1, St = 2)P (St = 1| Ft−1)

+ E(y2t

∣∣Ft−1, St = 2)P (St = 2| Ft−1)− µ2

t

=(µ2

1t + σ21t

)p1t +

(µ2

2t + σ22t

)p2t − µ2

t .

8.A Estabilidade de EDF e a Estacionaridade (Caso mod-

elo ARCH)

Apresenta-se uma abordagem alternativa para analisar a ESO. A ideia é tomar, num primeiro

passo, os valores esperados marginais como função de t, e verificar depois em que condições

esses valores esperados não dependem de t. Considere-se o ARCH(1). Como se sabe neste

caso tem-se

E(u2t

)︸︷︷︸ηt

= ω + α1E(u2t−1

)︸︷︷︸ηt−1

, i.e.

ηt = ω + α1ηt−1

O ponto fixo da equação às diferenças finitas (EDF)14, ηt = ω + α1ηt−1, é

ω

1− α1

.

14Ver a definição de ponto fixo na secção 7.2.

335

Este ponto é assimptoticamente estável se |α1| < 1; além disso, se a condição inicial é ω1−α1

então ηt = ω1−α1 , ∀t. Quando a condição inicial é η0 6= ω

1−α1 pode-se provar que a solução da

EDF ηt = ω + α1ηt−1 é

ηt = ω(1− αt1)

1− α1

+ αt1η0 (Solução)

Se |α1| < 1⇒

ηt = ω(1− αt1)

1− α1

+ αt1η0 →ω

1− α1

Se a condição inicial não é igual à solução de longo prazo, ω1−α1 , o processo ut é “assimptot-

icamente estacionário” (ou ESO se o processo teve início num passado remoto). Em suma,

se α1 < 1 (por hipótese α1 ≥ 0) (e a condição inicial for ω/ (1− α1)) então

E(u2t

)=

ω

1− α1

, ∀t

e o processo ut é ESO.

No caso ARCH(2), tem-se σ2t = ω + α1u

2t−1 + α2u

2t−2, ω > 0, α1 ≥ 0, α2 ≥ 0. Assim,

Var (ut) = E(u2t

)= E

(σ2t

)= E

(ω + α1u

2t−1 + α2u

2t−2

)= ω + α1 E

(u2t−1

)+ α2 E

(u2t−2

)Donde

E(u2t

)︸︷︷︸ηt

= ω + α1E(u2t−1

)︸︷︷︸ηt−1

+ α2E(u2t−2

)︸︷︷︸ηt−2

, i.e.

ηt = ω + α1ηt−1 + α2ηt−2(1− α1L− α2L

2)ηt = ω

Pode-se provar que ηt converge se as raízes de (1− α1L− α2L2) estiverem fora do circulo

unitário, i.e.,

α1 + α2 < 1, α2 − α1 < 1, −1 < α2 < 1.

Como α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, a única condição que precisamos de verificar é α1 + α2 < 1.

336

Nestas condições, se η0 = ω1−(α1+α2)

e α1 + α2 < 1 o processo u é ESO e

E(u2t

)= ω + α1 E

(u2t

)+ α2 E

(u2t

)⇒ E

(u2t

)=

ω

1− (α1 + α2).

337

Página em branco

338

Capítulo 9

Modelação da Heterocedasticidade

Condicionada - Caso Multivariado


9.1 Introdução

Vimos no ponto 3.2.6 que muitas séries financeiras (por exemplo, índices bolsistas ou co-

tações de acções) apresentam co-movimentos de rendibilidade e volatilidade, isto é, quando

a rendibilidade e a volatilidade de uma série aumenta (diminui), a rendibilidade e a volatili-

dade das outras tende, em geral, a aumentar (diminuir).

A estimação destes co-movimentos de rendibilidade e volatilidade deve ser naturalmente

feita no quadro da estimação multivariada (por multivariada entendemos várias equações).

Esta análise é relevante, por exemplo, no âmbito da selecção de portfolios, da gestão do risco,

etc. Permite também discutir questões do tipo:

• como se transmite a volatilidade de um mercado aos demais mercados? qual a magni-

tude do impacto da volatilidade de um mercado sobre outro?

• os mercados “globais” influenciam a volatilidade de outros mercados (regionais ou

nacionais) sem serem por eles influenciados (“contagiados”)?

• A volatilidade de um activo transmite-se a outro directamente (através da sua variância

condicional) ou indirectamente (através das covariâncias condicionais)?

339

• Como se comportam as correlações condicionais? São variáveis ao longo do tempo?

Tendem a aumentar ou a diminuir em períodos de alta volatilidade e instabilidade dos

mercados?

Para tratar estas questões vai considerar-se um modelo genérico, envolvendom equações:

y1t = µ1t + u1t,

...

ymt = µmt + umt

onde µit := E (yit| Ft−1) para i = 1, ...,m. Para usarmos uma notação mais compacta,

definam-se os seguintes vectores-coluna m dimensionais:

yt =

y1t

...

ymt

, µt =

µ1t

...

µmt

, ut =

u1t

...

umt

.

De forma compacta, o modelo pode representar-se na forma

yt = µt + ut.

A média condicional µt não é aqui relevante, mas pode supor-se que yt é bem mode-

lado por um VARMA (vector ARMA, ou mesmo vector ARMAX). Tem-se um modelo de

heterocedasticidade condicional multivariado se ut é um processo multiplicativo do tipo,

ut = H1/2t εt

onde εt é um vector de v.a. i.i.d. (condicionalmente homocedástico) tal que

E (εt) = 0, Var (εt) = Im (matriz identidade de ordem m)

e Ht é uma matriz quadrada de ordem m, simétrica, definida positiva e Ft−1 mensurável

(Ft é a σ-algebra gerada por (yt,yt−1, ..)). A notação H1/2t merece alguns comentários. A

menos que Ht seja uma matriz diagonal, H1/2t não representa naturalmente a raiz quadrada

dos elementos de Ht. H1/2t é uma matriz quadrada ordem m tal que H

1/2t

(H

1/2t

)′= Ht. A

matriz H1/2t pode ser obtida utilizando a factorização de Cholesky.

340

Dadas as hipóteses, tem-se

Var (yt| Ft−1) = Var (ut| Ft−1) = E (utu′t| Ft−1)

= H1/2t Var (εt| Ft−1)︸︷︷︸

Var(εt)=Im

(H

1/2t

)′= Ht.

9.2 Densidade e Verosimilhança

Para simplificar a exposição assuma-se normalidade dos erros: εt ∼ N (0, Im) . Nestas

circunstâncias, tem-se a seguinte relação:

εt ∼ N (0, Im)⇒ ut| Ft−1 ∼ N (0,Ht)⇒ yt| Ft−1 ∼ N (µt,Ht) .

Assim, a densidade conjunta condicional de yt é

f (yt| Ft−1) = (2π)−m/2 |Ht|−1/2 exp

−1

2(yt − µt)

′H−1t (yt − µt)

.

A função log-verosimilhança é então

logLn (θ) =n∑t=1

log f (yt| Ft−1)

= −nm2

log (2π)− 1

2

n∑t=1

log |Ht| −1

2

n∑t=1

(yt − µt)′H−1

t (yt − µt)

= −nm2

log (2π)− 1

2

n∑t=1

log |Ht (θ)| (9.1)

−1

2

n∑t=1

(yt − µt (θ))′H−1t (θ) (yt − µt (θ))

(a última equação destaca a dependência face a θ). No caso univariado (i.e. m = 1), vem

Ht = σ2t e log f (yt| Ft−1) é dada pela equação (8.16).

Nesta fase é necessário definir uma hipótese sobre a estrutura de µt e de Ht. A média

condicionalµt pode ser definida através de um VAR(1) (vector autoregressivo) ou VARMA(1,1)

(vector ARMA), etc. Não abordaremos aqui a especificação da média condicional. Neste

capítulo estamos interessados sobretudo na especificação de Ht. Nos pontos seguintes dis-

cutiremos possíveis especificação para Ht.

341

9.3 Modelo VECH (ou VEC)

É necessário, em primeiro lugar, introduzir o operador vech . Considere-se, por exemplo,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

O operador vech selecciona os elementos abaixo da diagonal principal (elementos dentro dos

quadrados) e passa-os para um vector-coluna:

vech (A) =

a11

a21

a22

a31

a32

a33

.

Obviamente que não se perde informação com esta operação se A é uma matriz (real)

simétrica, hipótese que doravante se assume, sempre que se empregar tal operador.

O modelo VECH (ou VEC) (Engle e Kroner, 1995) propõe uma estrutura GARCH(p,q)

multivariada. No caso GARCH(1,1), a matriz Ht é tal que

vech (Ht) = w + A1 vech(ut−1u

′t−1

)+ B1 vech (Ht−1) . (9.2)

No caso m = 2 (processo bivariado) e GARCH(1,1) a expressão (9.2) toma a forma

vech (Ht) =

h11,t

h12,t

h22,t

=

w11

w12

w22

+

α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

u21,t−1

u1,t−1u2,t−1

u22,t−1

+

β11 β12 β13

β21 β22 β23

β31 β32 β33

h11,t−1

h12,t−1

h22,t−1

(h11,t := σ2

1t, ht,22 := σ22t, h12,t := σt12). Note-se, por exemplo, que a covariância condi-

342

cionada h12,t := E (u1tu2t| Ft−1) é igual a

w12 + α21u21,t−1 + α23u

22,t−1 + α22u1,t−1u2,t−1 + β21h11,t−1 + β22h12,t−1 + β23h22,t−1 (9.3)

Como subproduto do método, obtêm-se as correlações condicionais entre os retornos1

ρij,t =hij,t√hii,thjj,t

, i, j = 1, ...,m.

A condição de ESO no caso GARCH(1,1) é a seguinte: ut é ESO se todos os valores

próprios de A1 + B1 forem em módulo menores do que um (i.e., sse as raízes em λ de

|A1+B1 − λI| forem em módulo menores do que um)2. Nestas condições:

E (vech (utu′t)) = E (vech (Ht)) = (I−A1−B1)−1 w.

A principal vantagem do modelo VEC é a sua grande flexibilidade, pois permite que

todos os elementos de Ht dependam de todos os produtos cruzados de vech(ut−1u

′t−1

)e de

todos os elementos de Ht−1. No entanto, as suas desvantagens superam largamente as suas

vantagens. As duas principais desvantagens do modelo VEC são as seguintes:

• O número de parâmetros a estimar é excessivamente alto. No GARCH(1,1) multivari-

ado comm equações, o número de parâmetros a estimar é (m (m+ 1) /2) (1 + (m (m+ 1)))

(veja-se a tabela 9.1)3.

• Por definição a matriz Ht deve ser definida positiva, mas não é fácil garantir isso a

partir das matrizes A e B. Se Ht não é definida positiva, é possível, por exemplo, obter

1É indiferente identicar ρij,t como as correlações condicionais entre os retornos ou entre os erros, pois,

por definição, ρij,t = Corr (yit, yjt| Ft−1) = Corr (uit, ujt| Ft−1) . Já as correlações marginais não são

necessariamente iguais, isto é, em geral, tem-se Corr (yit, yjt) 6= Corr (uit, ujt).2Com efeito, pode-se provar que

E (vech (Ht)| F0) =(I+ (A1 +B1) + ...+ (A1 +B1)

t−1)w+ (A1 +B1)

tvech (H1)

sendo vech (H1) ∈ F0). Se (A1 +B1)t → 0 (quando t → ∞) então E (vech (Ht)| F0) converge para o

momento estacionário E (vech (Ht)) = (I− (A1+B1))−1. Ora, (A1 +B1)

t → 0 sse os valores próprios de

A1 +B1 são em módulo menores do que 1.3Com efeito, note-se que A1 e B1 são matrizes quadradas de ordem m (m+ 1) /2 e o vector w possui

m (m+ 1) /2 elementos. Assim, o número total de elementos a estimar é 2 (m (m+ 1) /2)2+m (m+ 1) /2 =

(m (m+ 1) /2) (1 + (m (m+ 1))) .

343

m (m (m+ 1) /2) (1 + (m (m+ 1)))

2 21

3 78

4 210

Tabela 9.1: Número de parâmetros a estimar no VEC

coeficientes de correlação superiores a um e/ou variâncias negativas (i.e. ρij,t > 1 ou

ht,ii < 0).

Estas duas desvantagens acabam por limitar, de facto, a aplicação do modelo. Mesmo no

caso m = 2 têm-se 21 parâmetros (tabela 9.1). Estimar 21 parâmetros usando o OLS é fácil

(desde que o número de graus de liberdade assim o permita). Mas estimar 21 parâmetros

maximizando a função log-verosimilhança (9.1) é extremamente difícil. Frequentemente,

implementa-se o modelo VEC impondo várias restrições de nulidade sobre A1 e B1, como

podemos ver no exemplo seguinte.

Exemplo 9.3.1 Existem efeitos de rendimento e de volatilidade do PSI20 que possam ser

antecipados através do Dow Jones (DJ)? Seja y1t e y2t o retorno diário associado, respec-

tivamente, aos índices, PSI20 e DJ. Para reduzir o número de parâmetros a estimar, as var-

iáveis y1t e y2t foram previamente centradas (e, como consequência, os termos constantes

das equações foram eliminados). Depois de vários ensaios, definiu-se o seguinte modelo y1t

y2t

=

φ11 φ12

0 φ22

y1,t−1

y2,t−1

+ H1/2εt

onde

vech (Ht) =

h11,t

h12,t

h22,t

=

0

0

w22

+

α11 0 α13

0 0 0

0 0 α33

u21,t−1

u1,t−1u2,t−1

u22,t−1

+

β11 0 0

0 0 0

0 0 β33

h11,t−1

h12,t−1

h22,t−1

+

γvolt−1

0

0

(vol é uma medida do volume de transacções do mercado português). Todas as matrizes

quadradas são triangulares superiores, porque se assume que o DJ influencia o PSI20 e

não existem efeitos de feedback (o PSI20 não influencia o DJ). Usando os dados no período

344

31/12/92 a 15/03/99 (1496 observações) obteve-se,

y1t = .2343(.028)

y1t−1 + .1430(.023)

y2t−1, y2t = .0753(.023)

y2t−1

h1t = .3132(.0466)

u21t−1 + .0466

(.0151)u2

2t−1 + .6053(.0459)

h1t−1 + .0254(.0062)

volt−1

h2t = 1.25× 10−6

(5.2×10−7)+ .0903

(.0195)u2

2t−1 + .897(.0227)

h2t−1, h12,t = 0.

Assim,

A1 =

.3132 0 .0466

0 0 0

0 0 .0903

, B1 =

.6053 0 0

0 0 0

0 0 .897

Os valores próprios (estimados) da matriz A1 + B1 são 0.987, 0.918, 0 . Conclui-se: (1)

O comportamento do índice DJ afecta significativamente o comportamento do PSI20, quer

em termos de rendimento quer em termos de volatilidade; (2) ganhos do DJ afectam favo-

ravelmente o PSI20; (3) aumentos ou diminuições de volatilidade do DJ afectam no mesmo

sentido o PSI20; (4) os valores próprios respeitam a condição de ESO (note-se, todavia, que

estão sujeitos a variabilidade amostral). As conclusões (1)-(3) são válidas, naturalmente,

no muito curto prazo (um, dois dias). As possibilidades de ganho são muito reduzidas,

pois grande parte das variações dos índices não são explicadas (alta volatilidade). Como

nota final registe-se que a hipótese h12,t = 0 não é realísta, pois implica que as correlações

condicionais são zero. Ora a literatura mostra que as correlações condicionais entre índices

bolsistas é quase sempre significativa.

345

9.4 Modelo Diagonal VECH

Podem obter-se modelos VECH com menos parâmetros impondo que as matrizes A1 e B1

sejam diagonais. Por exemplo, no caso m = 2, vem

vech (Ht) =

h11,t

h12,t

h22,t

=

w11

w12

w22

+

α11 0 0

0 α22 0

0 0 α33

u21,t−1

u1,t−1u2,t−1

u22,t−1

+

β11 0 0

0 β22 0

0 0 β33

h11,t−1

h12,t−1

h22,t−1

(este princípio aplica-se naturalmente no caso de modelos multivariados GARCH(p,q)).

Com matrizes A1 e B1 diagonais pode optar por escrever o modelo diagonal VECH na

forma equivalente

Ht = ω + a1 ut−1u′t−1 + b1 Ht−1

onde ω, a1 e b1 são matrizes simétricas de tipo m×m e “” é o produto de Hadamard4. Por

exemplo, no caso m = 2, o modelo anterior escreve-se h11,t h12,t

h12,t h22,t

=

w11 w12

w12 w22

+

a11 a12

a12 a22

u2

1,t−1 u1,t−1u2,t−1

u1,t−1u2,t−1 u22,t−1

+

b11 b12

b12 b22

h11,t−1 h12,t−1

h12,t−1 h22,t−1

onde a11 = α11, a12 = α22, a22 = α33, etc. Note-se, portanto, que

h11,t = ω11 + a11u21,t−1 + b11h11,t−1

h12,t = ω12 + a12u1,t−1u2,t−1 + b12h12,t−1

h22,t = ω22 + a22u22,t−1 + b22h22,t−1.

4Dadas duas matrizes A = (aij)m×m e B = (bij)m×m , o produto Hadamard define-se como A B = (aijbij)m×m. Por exemplo, (

1 23 4

)(

5 67 8

)=

(5 1221 32

).

346

A vantagem do modelo em análise face ao modelo VECH é a de reduzir o número de

parâmetros a estimar. Num modelo multivariado GARCH(1,1) com m equações, o número

total de parâmetros a estimar no modelo Diagonal VECH é de apenas 3m (m+ 1) /2. To-

davia há uma desvantagem face ao VECH. Para ilustrar este ponto considere-se o caso

m = 2. No modelo Diagonal VECH é fácil verificar que hii,t só depende dos termos u2i,t−1

e hii,t−1, e h12,t só depende dos termos u1,t−1u2,t−1 e h12,t−1. Desta forma, a especificação

Diagonal VECH elimina a possibilidade de interacção entre as diferentes variâncias e co-

variâncias condicionais. Por outro lado, a matriz Ht, por construção, não resulta definida

positiva. Há várias formas de ultrapassar este último problema no âmbito da especificação

Diagonal VECH. Uma possibilidade consiste em reespecificar o modelo na forma

Ht = ω1 (ω1)′ + a1 (a1)′ ut−1u′t−1 + b1

(b1

)′Ht−1

com ω = ω1 (ω1)′, a1 = a1 (a1)′ e b1 = b1

(b1

)′e ω1, a1 e b1 são matrizes quadradas

de ordem m. As matrizes ω, a1 e b1 assim construídas implicam uma matriz Ht definida

positiva. Esta forma de definir o modelo resulta claro com o seguinte exemplo univariado.

Suponha-se que os parâmetros β0 e β1 do modelo yt = β0 + β1xt + ut têm de ser positivos.

Podemos impor essa restrição estimando yt = β2

0 + β2

1xt + ut e assumindo que β0 = β2

0

e β1 = β2

1. Desta forma β0 e β1 vêm sempre positivos quaisquer que sejam os valores de

β0 e β1. Em termos matriciais, o produto a1 (a1)′ resulta sempre numa matriz semidefinida

positiva, e o produto de Hadamard a1 (a1)′ ut−1u′t−1 = diag (ut−1) a1 (a1)′ diag (ut−1) é,

por definição, uma matriz semidefinida positiva (ou definida positiva se a1 tiver característica

m). Várias versões deste modelo são estimadas pelo software EVIEWS 6.

Um modelo ainda mais restritivo (mas que é usado com algum sucesso na modelação

de sistemas com muitas equações) foi desenvolvido pela J.P. Morgan (1996). Basicamente

usa o princípio exponentially weighted moving average (EWMA) para captar a dinâmica das

variâncias e covariâncias condicionais,

hij,t = (1− λ)ui,t−1uj,t−1 + λhij,t−1.

347

O modelo EWMA, no caso m = 2, tem a seguinte representação VECH:h11,t

h12,t

h22,t

=

1− λ 0 0

0 1− λ 0

0 0 1− λ

u21,t−1

u1,t−1u2,t−1

u22,t−1

+

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

h11,t−1

h12,t−1

h22,t−1

.

Existe uma redução dramática do número de parâmetros a estimar (passamos para apenas 1,

qualquer que seja o número de equações do modelo).

9.5 Modelo BEKK

O modelo BEKK (devido a Baba, Engle, Kroner e Kraft; veja-se Engle et al. 1993) assegura

por construção que Ht é definida positiva. No caso mais simples BEEK(1,1), a matriz de

variâncias-covariâncias condicionais é igual a

Ht = W + A′1(ut−1u

′t−1

)A1 + B′1Ht−1B1

onde W, A1 e B1 são matrizes de tipo m ×m, com W simétrica e definida positiva. Ht é

definida positiva por construção pois W é definida positiva e os demais termos estão expres-

sos como formas quadráticas definidas positivas. No caso m = 2 tem-se

Ht =

w11 w12

w12 w22

+

α11 α12

α21 α22

′ u21,t−1 u1,t−1u2,t−1

u1,t−1u2,t−1 u22,t−1

α11 α12

α21 α22

+

β11 β12

β21 β22

′ h11,t−1 h12,t−1

h12,t−1 h22,t−1

β11 β12

β21 β22

.

Depois de algumas contas, pode-se concluir, por exemplo, que:

h11,t = w11 + α211u

21,t−1 + α12α21u

22,t−1

+α11α12u1,t−1u2,t−1 + α11α21u1,t−1u2,t−1

+β211h11,t−1 + β11β12h12,t−1 + β11β21h12,t−1 + β12β21h22,t−1.

348

Figura 9-1: Simulação do modelo BEKK (m = 2).

Com o modelo BEKK há ainda uma redução de número de parâmetros a estimar: passam

agora a existir (m+ 5m2) /2. Na figura seguinte mostra-se uma simulação com dois activos.

9.6 Modelo de Correlações Condicionais Constantes

O modelo VEC sem restrições é (quase) impossível de ser implementado. O modelo BEKK

envolve ainda muitos parâmetros e a maximização da função de verosimilhança é extrema-

mente difícil para m moderadamente elevado. A hipótese de Bollerslev (1990) consiste em

admitir correlações condicionais constantes (i.e. iguais às correlações marginais): ρij,t = ρij.

Esta hipótese reduz significativamente o número de parâmetros a estimar. Tem-se

ρij = ρij,t =hij,t√σ2itσ

2jt

⇒ ht,ij = ρijσitσjt.

349

VEC BEEK Correl.Const.

m (m (m+ 1) /2) (1 + (m (m+ 1))) m+5m2

23m+ 1

2m (m− 1)

2 21 11 7

3 78 24 12

Tabela 9.2: Número de parâmetros a estimar

Logo

Ht =

σ2

1t ρ12σ1tσ2t · · · ρ1mσ1tσmt

ρ12σ1tσ2t σ22t · · · ρ2mσ2tσmt

......

. . ....

ρ1mσ1tσmt ρ2mσ2tσmt · · · σ2mt

=

σ1t 0 · · · 0

0 σ2t · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · σmt

︸︷︷︸

Dt

1 ρ12 · · · ρ1m

ρ12 1 · · · ρ2m

......

. . ....

ρ1m ρ2m · · · 1

︸︷︷︸

R

σ1t 0 · · · 0

0 σ2t · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · σmt

︸︷︷︸

Dt

= DtRDt.

Supondo que σ2it = ωi + αiu

2i,t−1 + βiσ

2i,t−1, cada elemento σ2

it envolve 3 parâmetros.

Por outro lado, a matriz R envolve m (m− 1) /2 parâmetros. Na tabela 9.2 comparam-se os

modelos VEC, BEEK e de correlações constantes (na versão “GARCH(1,1)”.

Não só o número de parâmetros a estimar é menor como também a maximização da

função de log-verosimilhança é mais fácil. Retome-se a equação (9.1):

logLn (θ) = −nm2

log (2π)− 1

2

n∑t=1

log |Ht| −1

2

n∑t=1

(yt − µt)′H−1

t (yt − µt) .

Pode-se simplificar esta expressão atendendo aos seguintes resultados:

Ht = DtRDt,

log |Ht| = log |DtRDt| = log |Dt|+ log |R|+ log |Dt| = 2 log |Dt|+ log |R| ,

(yt − µt)′H−1

t (yt − µt) = (yt − µt)′D−1

t R−1D−1t (yt − µt) = v′tR

−1vt.

350

Observe-se que vt representa o vector das variáveis aleatórias estandardizadas:

v′t = (yt − µt)′D−1

t =(

y1t−µ1tσ1t

y2t−µ2tσ2t

· · · ymt−µmtσmt

).

Assim,

logLn (θ) = −nm2

log (2π)−n∑t=1

log |Dt| −n

2log |R| − 1

2

n∑t=1

v′tR−1vt.

Podemos simplificar logLn (θ) se substituirmos R pela expressão que representa a solução

da equação matricial ∂ logLn (θ) /∂R = 0. Pode-se provar que tal solução é

R =

∑nt=1 vtv

′t

n.

A função log-verosimilhança que assim se obtém designa-se função log-verosimilhança con-

centrada:

logLn (θ) = const.−n∑t=1

log |Dt| −n

2log

∣∣∣∣∑nt=1 vtv

′t

n

∣∣∣∣− 1

2

n∑t=1

v′t

(∑nt=1 v′tvtn

)−1

vt.

Sabendo log |Dt| = log (σ1t + ...+ σmt) , e utilizando-se mais algumas propriedades ele-

mentares do cálculo matricial, a expressão da função log-verosimilhança pode ainda apresentar-

se na forma simplificada:

logLn (θ) = const.−n∑t=1

log (σ1t + ...+ σmt)−n

2log

∣∣∣∣∣n∑t=1

vtv′t

∣∣∣∣∣ .Note-se que |

∑nt=1 vtv

′t| é naturalmente o determinante de

∑nt=1 vtv

′t. Nos modelos VEC e

BEEK, é necessário inverter a matriz Ht para cada t e para cada iteração do algoritmo de

maximização. Esta dificuldade é superada com o presente modelo. A principal desvantagem

do modelo em análise é o de assumir correlações condicionais constantes.

9.7 Modelo DCC

O modelo DCC (Dynamic Conditional Correlation), devido a Engle (2002), é uma extensão

do modelo de correlações condicionais constantes (CCC).

No modelo de CCC a matriz de variâncias-covariâncias é definida como Ht = DtRDt,

351

sendo R a matriz de correlações condicionais (constante). Esta matriz é, por definição,

E (vtv′t| Ft−1) e calcula-se da seguinte forma:

E (vtv′t| Ft−1) = E

(D−1t (yt − µt) (yt − µt)

′D−1t

∣∣Ft−1

)= D−1

t HtD−1t = R.

Nos modelos VEC e BEKK (entre outros) a matriz E (vtv′t| Ft−1) é variável ao longo

do tempo. Este resultado decorre das hipóteses formuladas para Ht (é, portanto, uma conse-

quência da forma como Ht é especificada). No modelo DCC E (vtv′t| Ft−1) também é var-

iável, mas este resultado decorre directamente da forma como a matriz E (vtv′t| Ft−1) é para-

metrizada. A ideia consiste em propor um modelo para Rt = E (vtv′t| Ft−1) . Considere-se

Rt =

1 ρ12,t · · · ρ1m,t

ρ12,t 1 · · · ρ2m,t

......

. . ....

ρ1m,t ρ2m,t · · · 1

.

Como parametrizar ou modelar ρij,t?

** incompleto**

9.8 Modelo “Triangular”

9.8.1 Introdução e Formalização do Modelo

O modelo que designamos de triangular é inspirado em Christiansen (2007).

Em certas aplicações é admissível supor que a média de y1t condicionada a Fy1t−1 =

y1,t−1, y1,t−2, ... não depende de Fy2t−1 = y2,t−1, y2,t−2, ... , i.e.,

E(y1t| Fy1t−1 ∪ F

y2t−1

)= E

(y1t| Fy1t−1

).

Diz-se, nestes casos, que y2 não causa à Granger y1. Para concretizar, suponha-se que y1t

é o retorno do NASDAQ e y2t é o retorno do PSI20. Dadas as dimensões relativas dos

mercados, não faz sentido, supor-se que y1 (NASDAQ) dado todo o seu passado, possa ser

influenciado pelos valores atrasados de y2 (PSI20). Também em termos de volatilidade,

idêntica conjectura pode ser estabelecida, i.e., a variância de y1t condicionada em Fy1t−1 não

depende dos valores passados de y2, Fy2t−1. No entanto, y2 (PSI20) dado Fy2t−1 pode depender

352

de Fy1t−1 (valores passados do NASDAQ).

Para processos y1 e y2 com as características acima descritas, é possível definirem-se

processos multivariados simplificados.

Para se ilustrar o modelo, considere-se o processo y = (y1, y2, y3) e suponham-se as

seguintes relações: y1 y2 y3 onde “y1 y2” significa y1 influencia y2 dado Fy2t−1 e

y2 não influencia y1 dado Fy1t−1. Suponha-se ainda que y segue um processo VAR(1) (vector

autoregressivo de ordem 1). Sob a hipótese y1 y2 y3 e VAR(1), o processo y tem a

seguinte representação:y1t

y2t

y3t

=

c1

c2

c3

+

φ11 0 0

φ21 φ22 0

φ31 φ32 φ33

y1,t−1

y2,t−1

y3,t−1

+

u1t

u2t

u3t

. (9.5)

A matriz dos coeficientes autoregressivos é triangular, porque na média condicional y1,t ape-

nas depende de y1,t−1, y2t depende de y1,t−1 e y2,t−1 e y3t depende de y1,t−1, y2,t−1 e y3,t−1.

Como definir a estrutura de dependências do segundo momento condicional, continuando

a assumir a relação y1 y2 y3? Uma forma simples e que facilita extraordinariamente a

estimação do modelo, consiste em admitir queu1t = e1t

u2t = ae1t + e2t

u3t = be1t + ce2t + e3t

⇔

u1t

u2t

u3t

︸︷︷︸

ut

=

1 0 0

a 1 0

b c 1

︸︷︷︸

Ψ

e1t

e2t

e3t

︸︷︷︸

et

onde se admite que (e1t, e2t, e3t) são independentes entre si, e eit| Ft−1 ∼ N (0, σ2it) , σ

2it =

ωi +αie2i,t−1 + βiσ

2i,t−1. Observe-se que u2t depende de e2t (efeitos idiossincrásicos) e ainda

dos choques idiossincrásicos da primeira equação. Por seu turno, u3t depende de e3t (efeitos

idiossincrásicos) e ainda dos choques idiossincrásicos da primeira e da segunda equação. A

volatilidade que decorre dos efeitos não idiossincrásicos designa-se de volatility spillover.

A designação “modelo triangular” é agora óbvia: a equação matricial (9.5) representa-se

na forma,

yt = c + Φyt−1 + Ψet (9.6)

sendo Φ e Ψ matrizes triangulares inferiores. Naturalmente que se perde a relação y1 y2 y3, se as matrizes Φ e Ψ não forem triangulares inferiores.

353

Dadas as hipótese sobre o vector et, defina-se

Σt := Var (et| Ft−1) =

σ2

1,t 0 0

0 σ22,t 0

0 0 σ23,t

.

Tendo em conta σ2it = ωi + αie

2i,t−1 + βiσ

2i,t−1, tem-se

Σt =

ω1 0 0

0 ω2 0

0 0 ω3

+

α1e

21,t−1 0 0

0 α2e22,t−1 0

0 0 α3e23,t−1

+

β1σ

21,t−1 0 0

0 β2σ22,t−1 0

0 0 β3σ23,t−1

=

ω1 0 0

0 ω2 0

0 0 ω3

+

α1 0 0

0 α2 0

0 0 α3

︸︷︷︸

A

e2

1,t−1 e1,t−1e2,t−1 e1,t−1e3,t−1

e1,t−1e2,t−1 e22,t−1 e2,t−1e3,t−1

e1,t−1e3,t−1 e2,t−1e3,t−1 e23,t−1

︸︷︷︸

et−1e′t−1

+

β1 0 0

0 β2 0

0 0 β3

︸︷︷︸

B

σ2

1,t−1 0 0

0 σ22,t−1 0

0 0 σ23,t−1

︸︷︷︸

Σt−1

= W + A et−1e′t−1 + B Σt−1

onde “” é o produto de Hadamard e A e B são matrizes diagonais, tendo como elementos

genéricos αi e βi, respectivamente.

Para se estudar a relação entre Var (et| Ft−1) (= Σt) e Var (ut| Ft−1) (= Ht) comece-se

354

por observar que

ut = Ψet,

et = Ψ−1ut,

ete′t = Ψ−1utu

′t

(Ψ−1

)′.

e, portanto,

Ht = Var (ut| Ft−1) = Var (Ψet| Ft−1) = Ψ Var (et| Ft−1) Ψ′ = ΨΣtΨ′.

Desta última relação (i.e., Ht = ΨΣtΨ′), sai Σt = Ψ−1Ht (Ψ−1)

′. Em suma,

Ht = ΨΣtΨ′

= ΨWΨ′ + Ψ(A et−1e

′t−1

)Ψ′ + Ψ (B Σt−1) Ψ′

= ΨWΨ′ + Ψ(A Ψ−1ut−1u

′t−1

(Ψ−1

)′)Ψ′ + Ψ

(B Ψ−1Ht−1

(Ψ−1

)′)Ψ′.

Esta última relação escreve Ht como função dos termos ui,t−1uj,t−1 e hij,t−1. Expandindo

a expressão anterior e depois de cálculos simples mas fastidiosos obtém-se, por exemplo,

h22,t = a2ω1 + ω2 + a2 (α1 + α2)u21,t−1

−2aα2u1,t−1u2,t−1 + a2 (β1 + β2)h11,t−1 − 2aβ2h12,t−1 + β2h22,t−1

(todas as expressões hij,t podem ser assim obtidas).

É também interessante obter Ht como função das expressões σ2i,t:

Ht = ΨΣtΨ′

=

1 0 0

a 1 0

b c 1

σ21,t 0 0

0 σ22,t 0

0 0 σ23,t

1 a b

0 1 c

0 0 1

=

σ2

1,t aσ21,t bσ2

1,t

aσ21,t a2σ2

1,t + σ22,t abσ2

1,t + cσ22,t

bσ21,t abσ2

1,t + cσ22,t b2σ2

1,t + c2σ22,t + σ2

3,t

. (9.7)

355

A partir de (9.7), deduzem-se também os coeficientes de correlação condicionados:

ρ12,t =aσ2

1,t√σ2

1,t

√a2σ2

1,t + σ22,t

=aσ1,t√

a2σ21,t + σ2

2,t

ρ13,t =bσ2

1,t√σ2

1,t

√b2σ2

1,t + c2σ22,t + σ2

3,t

=bσ1,t√

b2σ21,t + c2σ2

2,t + σ23,t

ρ23,t =abσ2

1,t + cσ22,t√

a2σ21,t + σ2

2,t

√b2σ2

1,t + c2σ22,t + σ2

3,t

.

Os sinais dos coeficientes a, b e c são decisivos nos sinais dos coeficientes de correlação

condicionados.

Observação 9.8.1 Tendo em conta as relação Vec (ABC) = (B′ ⊗ A) Vec (C) e Vec (A B) =

diag (Vec (A)) Vec (B) onde ⊗ é o produto de Kronecker e diag é definido como

diag

x1

x2

=

x1 0

0 x2

,

é possível reescrever Ht usando o operador Vec. Depois de algumas contas, obtém-se

Vec (Ht) = W + A Vec(ut−1u

′t−1

)+ B Vec (Ht−1) (9.8)

onde

W = (Ψ⊗Ψ) Vec (W) ,

A = (Ψ⊗Ψ) diag (Vec (A))(Ψ−1 ⊗Ψ−1

),

B = (Ψ⊗Ψ) diag (Vec (B))(Ψ−1 ⊗Ψ−1

).

Como a equação (9.8) está basicamente na forma da equação (9.2) deduz-se que a condição

de ESO do processo ut estabelece que todos os valores próprios de A + B sejam, em mó-

dulo, menores do que um. Pode-se provar que os valores próprios de A + B são 0, 0, 0, 0, 0, 0, α1+

β1, α2 + β3, α3 + β3. Logo, dado αi, βi ≥ 0, o processo é ESO sse αi + βi < 1, i = 1, 2, 3.

Conclui-se que a condição de segunda ordem coincide com a do processo et .

356

9.8.2 Estimação

Considere a representação yt = c + Φyt−1 + Ψet (equação (9.6)), isto é,

y1t = c1 + φ11y1,t−1 + e1t (9.9)

y2t = c2 + φ21y1,t−1 + φ22y2,t−1 + ae1t + e2t (9.10)

y3t = c3 + φ31y1,t−1 + φ32y2,t−1 + φ33y3,t−1 + be1t + ce2t + e3t (9.11)

onde eit| Ft−1 ∼ N (0, σ2it) , σ

2it = ωi +αie

2i,t−1 + βiσ

2i,t−1. A estimação do modelo pode ser

conduzida da seguinte forma:

1. Estimar a equação (9.9), pelo método da máxima verosimilhança, e obter os resíduos

e1t .

2. Substituir, na equação (9.10), e1t por e1t e estimar o modelo. Obter os resíduos e2t .

3. Substituir, na equação (9.11), e1t por e1t e e2t por e2t e estimar o modelo.

Estuda-se a seguir a verosimilhança associada ao modelo em análise. A função log-

verosimilhança é dada pela expressão (9.1). Tendo em conta a estrutura “triangular” do

modelo é possível simplificar a log-verosimilhança e decompô-la em três parcelas, como se

mostra a seguir. Observe-se, em primeiro lugar,

(yt − µt)′H−1

t (yt − µt) = u′t (Ψ′)−1

Σ−1t Ψ−1ut

=1

σ21t

u21t +

1

σ22t

(u2t − au1t)2

+1

σ23t

(u3t − (b− ac)u1t − cu2t)2

log |Ht| = log |ΨΣtΨ′| = log

(|Ψ|2 |Σt|

)= log

(|Ψ|2

)+ log (|Σt|) = log (1) + log

(σ2

1tσ22tσ

23t

)= log

(σ2

1t

)+ log

(σ2

2t

)+ log

(σ2

3t

)(b− ac)u1t − cu2t = −be1t − ce2t.

Tem-se assim,

357

logLn (θ) = −nm2

log (2π)− 1

2

n∑t=1

log |Ht| −1

2

n∑t=1

(yt − µt)′H−1

t (yt − µt) .

= −nm2

log (2π)− 1

2

n∑t=1

(log(σ2

1t

)+ log

(σ2

2t

)+ log

(σ2

3t

))(9.12)

−1

2

n∑t=1

(1

σ21t

u21t +

1

σ22t

(u2t − au1t)2

(9.13)

+1

σ23t

(u3t − (b− ac)u1t − cu2t)2

)(9.14)

= −nm2

log (2π)− 1

2

n∑t=1

(log(σ2

1t

)+ log

(σ2

2t

)+ log

(σ2

3t

))−1

2

n∑t=1

(1

σ21t

u21t +

1

σ22t

(u2t − ae1t)2 +

1

σ23t

(u3t − be1t − ce2t)2

)

= −nm2

log (2π) +

(−1

2

n∑t=1

log(σ2

1t

)− 1

2

n∑t=1

1

σ21t

u21t

)︸︷︷︸

logLn,1

+

(−1

2

n∑t=1

log(σ2

2t

)− 1

2

n∑t=1

1

σ22t

(u2t − ae1t)2

)︸︷︷︸

logLn,2(−1

2

n∑t=1

log(σ2

3t

)− 1

2

n∑t=1

1

σ23t

(u3t − be1t − ce2t)2

)︸︷︷︸

logLn,3

= logLn,1 + logLn,2 + logLn,3

A decomposição logLn (θ) = logLn,1+logLn,2+logLn,3,mostra que a estimação pode

ser feita consistentemente de acordo com os passos acima indicados. A primeira parcela,

logLn,1, só depende do vector

θ1 = (c1, φ11, ω1, α1, β1)′ .

Estes parâmetros são estimados de forma consistente e eficiente maximizando (apenas) logLn,1

(trata-se, portanto, da estimação, pelos métodos habituais, da equação (9.9)). A segunda

parcela, logLn,2, depende do vector,

θ2 = (c2, φ21, φ22, ω2, α2, β2, a)′

358

e ainda de θ1, através dos erros e1t .A estimação de θ2 através da maximização de logLn,2

pode ser feita de forma consistente, mas não eficiente, substituindo os erros e1t por e1t .

A estimação é consistente pois e1t baseiam-se no estimador consistente θ1, obtido no

primeiro passo. Claro que a maximização de logLn,2 corresponde à estimação da equação

(9.10), pelos métodos habituais ((com e1t em lugar de e1t). Este raciocínio aplica-se de

forma análoga a logLn,3.

Como nota final, observe-se que a estimação do modelo pode ser totalmente eficiente

se a maximização de logLn for simultânea (confiram-se as equações (9.12)-(9.14)). Como

se sabe, o problema da maximização de logLn é, entre outros, o dos valores iniciais dos

parâmetros a estimar. Este problema é mitigado no presente contexto: basta fornecer como

valores iniciais as estimativas obtidas na estimação em três passos, acima apresentada.

9.8.3 Testes e Rácios de Variância

Considere-se novamenteu1t = e1t

u2t = ae1t + e2t

u3t = be1t + ce2t + e3t

,

h11,t = σ2

1t

h22,t = a2σ21t + σ2

2t

h33,t = b2σ21t + c2σ2

2t + σ23t.

Observámos que u2t depende de e2t (efeitos idiossincrásicos) e ainda dos choques idiossin-

crásicos da primeira equação. Por seu turno, u3t depende de e3t (efeitos idiossincrásicos) e

ainda dos choques idiossincrásicos da primeira e da segunda equação. Como referimos, a

volatilidade que decorre dos efeitos não idiossincrásicos designa-se de volatility spillover.

Desta forma, existem efeitos de volatility spillover do mercado 1 para o mercado 2 se a 6= 0

e dos mercados 1 e 2 para o mercado 3 se b 6= 0 e c 6= 0.

Pode-se ainda obter informação sobre a evolução da transmissão da volatilidade ao longo

do tempo através de rácios de volatilidade. Seja RV i,jt a proporção da variância do mercado

j que é causada pelo efeito de volatility spillover do mercado i (efeito do mercado i para j,

i 7→ j). Tem-se

RV 1,2t =

a2σ21t

h22,t

,

RV 1,3t =

b2σ21t

h33,t

RV 2,3t =

c2σ22t

h33,t

.

359

Dependent Variable: R1Method: ML ARCHSample (adjusted): 6/01/1993 4/09/2009Included observations: 4055 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error zStatistic Prob.

C 0.052202 0.013247 3.940658 0.0001R1(1) 0.017161 0.017808 0.963644 0.3352

Variance Equation

C 0.007049 0.001077 6.546092 0.0000RESID(1)^2 0.066257 0.004820 13.74617 0.0000GARCH(1) 0.929667 0.005114 181.7812 0.0000

Figura 9-2: Estimação, primeiro passo - ver equação (9.9)



C 0.052704 0.013123 4.016235 0.0001R1(1) 0.449084 0.019369 23.18547 0.0000R2(1) 0.179191 0.015456 11.59382 0.0000RES1 0.552914 0.015972 34.61746 0.0000

Variance Equation

C 0.009916 0.002944 3.367632 0.0008RESID(1)^2 0.068232 0.010502 6.497201 0.0000GARCH(1) 0.923938 0.010928 84.55149 0.0000

Figura 9-3: Estimação, segundo passo - ver equação (9.10)

Por exemplo, RV 2,3t representa a proporção da variância condicional do mercado 3 que é

causada pelo efeito volatility spillover do mercado 2.

9.8.4 Exemplo

Pinto (2010) analisou a transmissão de volatilidade do mercado Norte-Americano (US) para

o mercado Europeu (EU) e, em particular, as repercussões destes dois mercados no mercado

Português (PT), através de um modelo triangular. O período analisado foi 4 de Janeiro de

1993 a 4 de Setembro de 2009. As variáveis em análise são: r1t - retorno do SP500, r2t -

retorno do DJ Euro 50 e r3t - retorno do PSI 20. Nas figuras 9-2 a 9-4 apresentam-se os

modelos estimados (na versão mais simples).

É fácil constatar que existe evidência estatística de efeitos de volatility spillover do mer-

cado US para o mercado EU (a = 0.55291 e rejeita-se a hipótese a 6= 0 com p-value = 0 - ver

figura 9-3) e dos mercados US e EU para o mercado PT (b = 0.233, c = 0.4066 e rejeitam-se

as hipóteses b 6= 0 e c 6= 0 - ver figura 9-4).

360



C 0.043610 0.010837 4.024173 0.0001R1(1) 0.222423 0.010966 20.28223 0.0000R2(1) 0.093210 0.012230 7.621611 0.0000R3(1) 0.143101 0.016376 8.738563 0.0000RES1 0.233364 0.007759 30.07544 0.0000RES2 0.406663 0.008429 48.24352 0.0000

Variance Equation

C 0.027709 0.002862 9.681126 0.0000RESID(1)^2 0.158430 0.009900 16.00381 0.0000GARCH(1) 0.815877 0.010650 76.60615 0.0000

Figura 9-4: Estimação, terceiro passo - ver equação (9.11)

Na figura 9-5 apresentam-se os coeficientes de correlação condicionados (valores médios

mensais). Podem ser retiradas algumas conclusões:

• As correlações condicionadas entre os mercados US e EU e entre os mercados EU e

PT são, em média, relativamente fortes.

• A correlação menos expressiva, mas significativa, é entre o mercado US e o mercado

PT, embora se assista ao longo do período a um aumento dessa correlação.

• Tendo em conta que as correlações são positivas, os retornos tendem a flutuar na

mesma direcção; por outro lado, verifica-se uma tendência de crescimento das corre-

lações, ou seja, uma tendência crescente de interligação entre os diferentes mercados.

• Alguns dos valores mais altos dos coeficientes de correlação coincidem com algumas

crises financeiras5. Este facto é particularmente notório com a crise do subprime de

2008.

Na figura 9-6 analisa-se a transmissão da volatilidade dos mercados EU e US para o

mercado PT através dos rácios de volatilidade. São considerados os seguintes rácios

RV _USt = RV 1,3t =

b2σ21t

h33,t

,

RV _EUt = RV 2,3t =

c2σ22t

h33,t

,

RV _PTt = 1−RV _USt −RV _EUt.

5As principais crises financeiras no período em análise são as seguintes: Recessão do Japão, 1991; Crise do

México, 1994/1995; Bolha Dot.com, 2000; Crise de 2001 (ataque às Twin Towers); Crise da Argentina, 2002;

Crise do Subprime, 2007/2008.

361

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

94 96 98 00 02 04 06 08

PTEU PTUS EUUS

Figura 9-5: Coeficientes de Correlação Condicional

Podem ser retiradas algumas conclusões:

• A volatilidade do mercado PT decorre em larga medida do seu próprio mercado (efeito

idiossincrático), embora este efeito tenha a vindo a diminuir ao longo do tempo. Por

outras palavras, o efeito de volatilidade spillover dos mercados EU e US sobre o mer-

cado PT tem vindo a aumentar ao longo do tempo.

• O efeito de volatilidade spillover do mercado EU (para o mercado PT) é geralmente

mais forte do que o do mercado US. No entanto, no período da crise do subprime, o

mercado US transmitiu mais volatilidade ao mercado PT do que o mercado EU.

• Nos períodos de crise o efeito idiossincrático tende em geral a diminuir. Observe-se

por exemplo, as crise de 2000 (das “dot.com”), de 2001 e de 2008.

• Verifica-se uma tendência de crescimento do rácio de volatilidade US para o mercado

PT.

9.9 GARCH Ortogonal

À semelhança do modelo “triangular”, a principal vantagem do GARCH ortogonal é a de

podermos estimar um GARCH multivariado através de GARCH’s univariados.

362

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

94 96 98 00 02 04 06 08

RV_EU RV_PT RV_US

Figura 9-6: Rácios de Volatilidade

Seja yt = (y1t, y2t, ..., ymt)′

o vector das observações no momento t (t = 1, ..., n). Se

quisermos normalizar as variáveis consideramos

xit =yit − E (yit)

σi.

(substituir E (yit) e σi pelos respectivos momentos da amostra, caso os parâmetros sejam

desconhecidos). Logo E (xit) = 0 e Var (xit) = 1. Para simplificar suponha–se E (yit) = 0.

Nestas condições podemos escrever

yt=

σ1 0 · · · 0

0 σ2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · σm

︸︷︷︸

Σ

x1t

x2t

...

xmt

︸︷︷︸

xt

= Σxt.

Suponha-se que é possível encontrar matrizes Pt de tipo m × 1 e W de tipo m × m nas

seguintes condições:

xt = WPt

PtP′t é diagonal. (9.15)

363

Suponha-se que W é não aleatório dado Ft−1. Vem

Cov (yt| Ft−1) = Cov (Σxt| Ft−1)

= E (Σxtx′tΣ| Ft−1)

= Σ E (xtx′t| Ft−1) Σ

= Σ E (WPtP′tW

′| Ft−1) Σ

= ΣW E (PtP′t| Ft−1) W′Σ

Tendo em conta (9.15) vem

E (PtP′t| Ft−1) =

E (P 2

t1| Ft−1) 0 · · · 0

0 E (P 22t| Ft−1) · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · E (P 2mt| Ft−1)

.

Vantagem da especificação Cov (yt| Ft−1) = ΣW E (PtP′t| Ft−1) W′Σ ? Supondo que se

conhecem as matrizes Σ e W, modelar Cov (yt| Ft−1) equivale a modelar apenas as variân-

cias condicionais de Pit. Não temos que nos preocupar com a modelação das covariâncias

condicionais! Além disso Cov (yt| Ft−1) é definida positiva, por construção.

Obter a matriz W

Seja X a matriz das observações estandardizadas, X =(

x•1 x•2 · · · x•m

)de tipo

n×m (por exemplo, x•1 representa o vector das observações estandardizadas da variável 1)

e

V =X′X

n.

V é a matriz de correlações de yt. Por exemplo, o elemento (1, 2) de V é

x′•1x•2n

=

∑nt=1 x1tx2t

n=

∑nt=1

y1t−E(y1t)σ1

y2t−E(y2t)σ2

n

=1n

∑nt=1 (y1t − E (y1t)) (y2t − E (y2t))

σ1σ2

.

Considerar

x′•1x•2n

=1n

∑nt=1 (y1t − y1) (y2t − y2)

σ1σ2

se os momentos E (y1t), E (y2t), σ1 e σ2 forem desconhecidos.

364

Como se sabe, se W•i é vector próprio de V e λi é o valor próprio associado a W•i então

VW•i = λiW•i, i = 1, ...,m

Compactamente

VW = WΛ

onde W =(

W•1 ... W•m

)é a matriz dos vectores próprios associada a V e Λ = diag (λ1, ..., λm) .

Note-se que W′W = I (V é simétrica, logo é possível obter W tal que W′W = I ). Como

X = PW′ ⇔ P = X (W′)−1

= XW

tem-se

P′P = W′X′XW

= nW′VW

= nW′WΛ

= nΛ.

Portanto, se W é a matriz dos vectores próprios associada a V então P′P é uma matriz

diagonal.

Passos:

1. Estandardizar Y e obter X. Estimar

Σ =

σ1 0 · · · 0

0 σ2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · σm

, σi =√

Var (yit)

2. Calcular V = X′X/n.

3. Calcular os vector próprios (W) de V.

4. Obter P = XW.

5. Modelar separadamente as coluna de P através de um GARCH.

365

Figura 9-7: Aplicação (rendabilidade do índice de mercado: NASDAQ; INDUSTRIAL,

COMPUTER)

6. Para cada t considerar

Cov (yt| Ft−1) = ΣW E (PtP′t| Ft−1) W′Σ.

Modelação de Sistemas de Grande Dimensão

É possível reduzir a calculatória considerando apenas certos vectores de P = XW - estes

vectores designam-se de componentes principais. Para explicar esta ideia, considere-se

P′P

n= Λ (9.16)

Logo Λ pode ser considerado uma estimativa da matriz de variâncias-covariâncias de P.

Como

P =(

P•1 ... P•m

)

366

tem-se

P′P =

P′•1P•1 0 · · · 0

0 P′•2P•2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · P′•mP•m

e, atendendo a (9.16), conclui-se que a variância da componente principal i é igual a

P′•iP•in

= λi.

Por outro lado, atendendo a X = PW′, tem-se

X′X

n=

WP′PW′

n= WΛW′.

Em suma, a proporção da variação total de X que é explicada pela i-ésima componente

principal é λi/∑m

j=1 λi = λi/m. Quanto maior for λi mais peso tem a i-ésima componente

principal na explicação da variação total de X. As componentes principais cujos valores

próprios são muitos baixos podem ser descartados. Na prática procede-se assim:

• ordenam-se os valores próprios por ordem descendente , i.e. λ1 > λ2 > ...

• ordenam-se os vectores próprios de acordo com os valores próprios ordenados, i.e., a

primeira coluna de W, W•1, é o vector próprio associado a λ1, a segunda coluna de

W•2 é o vector próprio associado a λ2, etc.

Em lugar de se trabalhar com W trabalha-se com uma submatriz de W, seja W∗ essa

matriz, constituída pelas primeiras k colunas. Como resultado passa-se a ter apenas as k

componentes principais mais significativas:

P∗ = XW∗

que tem dimensão n× k. Nestas circunstâncias é necessário modelar apenas estas k compo-

nentes principais. Assim,

Cov (yt| Ft−1) ≈ ΣW∗E(P∗t (P∗t )

′∣∣Ft−1

)(W∗)′Σ

367

e

E(P∗t (P∗t )

′∣∣Ft−1

)=

E (P 2

1t| Ft−1) 0 · · · 0

0 E (P 22t| Ft−1) · · · 0

......

. . ....

0 0 · · · E (P 2tk| Ft−1)

.

(P∗t é a linha t da matriz P∗).

Passos:

1. Estandardizar Y e obter X. Estimar

Σ =

σ1 0 · · · 0

0 σ2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · σm

, σi =√

Var (yit)

2. Calcular V = X′X/n.

3. Calcular os valores próprios e vector próprios de V (ordenam-se os valores próprios

por ordem descendente , i.e. λ1 > λ2 > ...e ordenam-se os vectores próprios de acordo

com os valores próprios ordenados).

4. A partir do passo 3 obter W∗ e P∗ = XW∗.

5. Modelar separadamente coluna de P∗ através de um GARCH.

6. Para cada t considerar

Cov (yt| Ft−1) ≈ ΣW∗E(P∗t (P∗t )

′∣∣Ft−1

)(W∗)′Σ.

9.10 Testes de Diagnóstico

Nos vários modelos, a hipótese de partida é ut| Ft−1 ∼ N (0,Ht) ou, de forma equiva-

lente, ut = H1/2t εt onde εt ∼ N (0, Im) . Se o modelo estiver correctamente especificado,

εt deve ser uma sucessão de vectores i.i.d., com matriz de variâncias-covariâcias (con-

temporânea) dada por Im. Naturalmente que εt é desconhecido, mas pode ser estimado da

368

seguinte forma

εt = H−1/2t ut.

εt é o vector dos resíduos estandardizados (e ut é o vector dos resíduos). A matriz H−1/2t

pode obter-se a partir da decomposição Cholesky, seguindo os seguintes passos. 1) Dado

Ht, obter uma matriz triangular H1/2t , usando a decomposição de Cholesky, i.e., obter uma

matriz H1/2t tal que Ht = H

1/2t

(H

1/2t

)′; 2) Inverter H

1/2t . Por exemplo, considere-se um

sistema de duas equações (m = 2)

Ht =

σ21t σ12,t

σ12,t σ22t

=

σ21t ρtσ1tσ2t

ρtσ1tσ2t σ22t

.A decomposição de Cholesky fornece

H1/2t =

σ1t 0

ρtσ2t σ2t

√1− ρ2

t

.(verifique que o produto H

1/2t

(H

1/2t

)′é Ht). Assim,

H−1/2t =

1σ1t

0

− ρt

σ1t√

1−ρ2t1

σ2t√

1−ρ2t

.(Deixa-se como exercício mostrar que E (εt) = 0 e Var (εt) = Var

(H−1/2t ut

)= In). Desta

forma (continuando o exemplo) a expressão εt = H−1/2t ut vale

ε1t

ε2t

=

1σ1t

0

− ρt

σ1t√

1−ρ2t1

σ2t√

1−ρ2t

u1t

u2t

=

u1tσ1t

u2t

σ2t√

1−ρ2t− u1tρt

σ1t√

1−ρ2t

.Vários testes podem ser invocados. Para avaliar se os efeitos de heterocedasticidades

estão convenientemente modelados, Engle (2002) sugere o seguinte procedimento. Primeiro

passo: regressão de ε21t sobre as seguintes variáveis (para além de um termo constante):

• resíduos quadráticos ε2i,t−k, com i = 1, ...,m e k = 1, ..., L (L desfasamentos) e

• termos cruzados εi,t−kεj,t−k, com i, j = 1, ...,m e k = 1, ..., L.

369

Por exemplo no caso m = 2 e L = 1, a regressão envolveria as seguintes variáveis:

(1, ε2

1t−1, ε22t−1, ε1,t−1ε2,t−1

).

Segundo passo: teste F de nulidade de todos os parâmetros com excepção do do termo in-

dependente. Se existir evidência estatística contra a hipótese nula, podemos suspeitar que

a matriz Ht não foi convenientemente modelada. Nos passos seguintes repete-se o proced-

imento, tomando sucessivamente ε2i,t i = 2, ...,m como variável dependente na regressão

auxiliar.

Naturalmente é conveniente verificar também se εt é um ruído branco. O procedimento

anterior pode ser repetido substituindo os resíduos estandardizados ao quadrado simples-

mente pelos resíduos estandardizados e eliminando os termos cruzados.

370

Capítulo 10

Regressão Não Paramétrica

(Última actualização: 1/2010. Preliminar e incompleto)

10.1 Introdução

***

10.2 Estimação Não Paramétrica da Função Densidade de

Probabilidade

10.2.1 Introdução

Suponha-se que X é uma v.a. discreta. A estimação da função de probabilidade, f (x) , é

imediata: f (x) pode ser estimado como a proporção de valores na amostra x1, x2, ..., n

que são iguais a x, i.e.,

f (x) =1

n

n∑t=1

Ixi:xi=x.

Se X é uma variável contínua, a probabilidade do evento xt = x é zero e, desta forma, a

estimação da fdp f (x) deve envolver a proporção de valores xt que se encontram perto de

x, digamos numa vizinhança x± h/2 (h dá a largura do intervalo).

Se tomarmos

1

n

n∑t=1

Ixt:|xt−xh |< 12 =

1

n

n∑t=1

Ixt:− 12<xt−xh

< 12

temos simplesmente a proporção de observações na amostra que se encontram no intervalo

371

(x− h, x+ h) . Esta proporção deve ser dividia por h :

f (x) =1

h

1

n

n∑t=1

Ixt:|xt−xh |< 12. (10.1)

Tem-se assim que f (x) representa a proporção de observações por unidade relativa de fre-

quencia. Naturalmente, podemos fazer variar h. Um valor maior implica um maior alisa-

mento da estimativa (mais observações são consideradas), diminuindo a variabilidade de f .

Todavia, valores muitos altos de h podem distorcer a estimativa de f (x), na medida em que

podem entrar observações muito afastadas de x, não traduzindo, portanto, o comportamento

local de f no ponto x.

Pode-se mostrar que ∫ ∞−∞

f (x) dx = 1.

Apresenta-se a seguir a derivação formal de f . Por definição, a função de distribuição de

X é

P (X ≤ x) = F (x) =

∫ x

−∞f (u) du

A respectiva fdp é

f (x) = F ′ (x) = limh→0

F (x+ h)− F (x)

h

ou, equivalentemente,

f (x) = limh→0

F (x+ h/2)− F (x− h/2)

h

= limh→0

P (x− h/2 < X < x+ h/2)

h

= limh→0

P(∣∣X−x

h

∣∣ < 12

)h

Dada esta definição de f (x) , é imediato concluir que uma estimativa da última expressão é

1n

∑nt=1 Ixt:|xt−xh |< 1

2h

que é exactamente a expressão obtida em (10.1). Esta estimativa pode também ser escrita da

seguinte forma

f (x) =1

nh

n∑t=1

K

(xt − xh

)

372

onde

K (u) =1

2Iu:|u|<1 =

12

se − 1 < u < 1

0 caso contrário.

A função K (u) , designada por kernel (ou núcleo) é uma função densidade de probabilidade

(Uniforme). Resulta que outros kernels, com baseados em funções densidade de probabili-

dade, podem também ser usados. Por exemplo,

K (u) =1√2π

exp

−1

2u2

kernel Gaussiano

K (u) =1

2Iu:|u|<1 kernel Uniforme,

K (u) =15

16

(1− u2

)Iu:|u|<1.

10.2.2 Propriedades

Considerem-se as seguintes hipóteses:

A1 (yt, xt) é um processo EE e fracamente dependente no seguinte sentido: dada uma

sucessão de v.a. yt tem-se |Corr (y1, y1+t)| ≤ C1e−α1t e |Corr (h (y1) , h (y1+t))| ≤

C2e−α2t, C1, C2, t > 0 para qualquer função contínua h.

A2 K é uma função simétrica em torno de zero,∫K (u) du = 1,

∫uK (u) du = 0,∫

u2K (u) du = σ2K ,∫K2 (u) du <∞, |x|K (x)→ 0 quando |x| → ∞, sup |K (x)| <

∞

A3 A função f ′′ (x) é contínua e limitada numa vizinhança de x.

A4 h→ 0 quando n→∞, nh→∞ quando n→∞

A5√nh5/2 → 0 quando n→∞.

Assumam-se as hipóteses A1-A4.

Proposição 10.2.1 Tem-se

E(f (x)

)= f (x) +

h2f ′′ (x)σ2K

2+O

(h4)

Var(f (x)

)= O

(1

nh

).

373

Note-se que O (h4) representa um termo de ordem h4 ou inferior. Por outras palavras,

O (h4) é proporcional ou menos do que proporcional a h4, podendo ser, por exemplo, 2h4.

Obviamente limh→0O (h4) = 0 e limh→0O (h4) /h4 é uma constante.

Proposição 10.2.2 Tem-se f (x)p−→ f (x) .

A demonstração é obvia tendo em conta a proposição 10.2.1:

limn→∞

E(f (x)

)= f (x)

limn→∞

Var(f (x)

)= 0,

pois n → ∞ arrasta h → 0 e nh → ∞. A hipótese A4 é crucial. Nestas condições, o

estimador f (x) é consistente (em probabilidade).

Proposição 10.2.3 Tem-seVar(√

nhf (x))→ f (x)

∫K2 (u) du

Proposição 10.2.4 Sob as hipóteses A1-A4 e∫K (u)2+δ du <∞ tem-se

√nh(f (x)− E

(f (x)

))d−→ N

(0, f (x)

∫K2 (u) du

)

Proposição 10.2.5 Sob as hipóteses da proposição anterior e A5 tem-se

√nh(f (x)− f (x)

)d−→ N

(0, f (x)

∫K2 (u) du

)

10.2.3 Escolha de h

Na prática como escolher K e h? A escolha do kernel é, geralmente, pouco relevante, já

que os resultados finais dependem pouco da escolha do kernel. Muito mais relevante é a

escolha de h. Sabemos que h deve depender de n, tendo em conta as hipóteses A4 e A5. Se

definirmos h = γnα, sendo α e γ parâmetros a determinar, sabe-se que α tem de ser menor

do que zero tendo em conta que h → 0. Por outro lado, como nh = γn1+α → ∞, α deve

respeitar a relação 1 + α > 0. Dada a hipótese A5

√nh5/2 = n1/2γ (nα)5/2 = γn1/2n5α/2 = γn(1+5α)/2 → 0

deverá ter-se (1 + 5α) < 0. Coligindo todas as desigualdades obtém-se −1 < α < −1/5. É

preciso todavia encontrar um valor para α e γ. Para o efeito, é necessário usar um critério de

374

selecção. Existem vários propostos na literatura, mas focaremos apenas o Mean Integrated

Squared Error:

MISE (h) = E

(∫ (f (x)− f (x)

)2

dx

).

Em princípio, poderíamos escolher h a partir do critério mais simples E(f (x)− f (x)2

);

mas existe um inconveniente: queremos que f (x) seja uma boa estimativa para todos os

valores de x que a variável X pode assumir, e não apenas para um x particular. Por isso

integramos o erro quadrático no domínio ou espaço de estados de X.

Fazendo a troca do operador de valor esperado com o do integral, considerando os valores

aproximados de E(f (x)

)e Var

(f (x)

)e notando que

E(f (x)− f (x)2

)' Var

(f (x)

)+(f (x)− E

(f (x)

))2

=f (x)

∫K2 (u) du

nh+h4 (f ′′ (x))2 σ4

K

4

tem-se

MISE (h) =

∫ (f (x)

∫K2 (u) du

nh+h4 (f ′′ (x))2 σ4

K

4

)dx

=

∫K2 (u) du

nh+h4σ4

K

4

∫(f ′′ (x))

2dx.

Resolvendo o problema de optimização

minh

(∫K2 (u) du

nh+h4σ4

K

4

∫(f ′′ (x))

2dx

)

obtém-se o valor óptimo de h (de acordo com o critério MISE):

hopt =

( ∫K2 (u) du

σ4K

∫(f ′′ (x))2 dx

)1/5

n−1/5.

Usando o kernel Gaussiano, tem-se∫K2 (u) du ' 0.282 e σ4

K = 1. O valor de hopt depende

ainda de f ′′ (x) que é desconhecido. Este valor pode ser estimado não parametricamente.

Uma alternativa mais simples consiste em assumir que f (x) ∼ N (µ, σ2) (vários estudos

indicam que esta escolha é relativamente robusta desde que a verdadeira densidade não seja

bimodal ou excessivamente assimétrica). Com estas simplificações obtém-se

hopt = 1.06σn−1/5

375

(σ desvio padrão estimado de xt).

Exemplo 10.2.1 Dow Jones*** retornos

10.2.4 Estimação localmente linear da Média Condicional

Vamos considerar como modelo base

yt = µ (xt) + ut

ut = σ2 (xt) εt

onde εt é um ruído branco e tal que E (εt|xt) = 0, µ (xt) é a média condicional e σ2 (xt)

é a variância condicional. Os momentos condicionais dependem apenas de xt (é natural-

mente possível generalizar). Para simplificar admitiremos que xt = yt−1 (mas é possível

generalizar). O problema de estimação é o dos momentos condicionais µ (x) e σ2 (x) . À

semelhança da estimação de f (x) , a estimação de µ (x) (e σ2 (x)) faz-se localmente, i.e.,

estima-se µ (x) separadamente para cada x. Por exemplo, seleccionando x = 1 estimamos

µ (1) = E (yt|xt = 1)

e repete-se o procedimentos para outros pontos x e assim obtemos uma ideia do comporta-

mento de µ (x) .

Na análise da estimação local da média condicional, o ponto de partida é a fórmula de

376

Taylor de µ (xt) numa vizinhança de x :

µ (xt) = µ (x) +∂µ (x)

∂x′(xt − x) +

∂2µ (x∗)

∂x2

(xt − x)2

2

onde x∗ é um valor entre xt e x. Desta forma yt pode ser representado pela expressão

yt = µ (x) +∂µ (x)

∂x′(xt − x) +

∂2µ (x∗)

∂x2

(xt − x)2

2+ ut.

Se o modelo é linear, por exemplo, um AR(1), vem

yt = µ (x) +∂µ (x)

∂x′(xt − x) +

∂2µ (x∗)

∂x2

(xt − x)2

2+ ut

= c+ φx+ φ (xt − x1) + 0 + ut

= c+ φxt + ut.

Se µ (x) é não linear o erro de aproximação é não nulo e aumenta quando xt se afasta de

x. Desta forma, obtém-se uma boa aproximação de µ (x) se usarmos apenas as observações

que se encontram “perto” de x. Em alternativa, pode-se usar todas as observações mas damos

mais peso às observações que se encontram “perto” de x.

Trade-off na estimação de µ (x) :

• não considerar todas as observações ou não dar peso significativo a parte das obser-

vações acarreta um custo: aumento da variância do estimador.

• considerar demasiadas observações, diminui a variância do estimador mas aumenta o

erro de aproximação R i.e. aumenta o enviesamento do estimador.

O peso a dar às observações é controlado pelo kernel K (u) . Seja x ∈ R. Como atribuir

mais ou menos peso às observações xt?

1

hK

(xt − xh

)=

1

0.1

1√2π

exp

−1

2

(u− 1

.01

)2

h : bandwidth ou parâmetro de alisamento.

Aproximação de ordem zero (estimador de Nadaraya-Watson):

Considera-se a aproximação yt = c + vt onde vt = ∂µ(x)∂x′ (xt − x) + R (xt, x) + ut e

c = µ (x) . O objectivo é estimar c dando mais peso às observações próximas de x. Tem-se

377

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 10-1: 10.2

1√2π

exp−1

2

(u−10.2

)2

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 10-2: 11

1√2π

exp−1

2

(u−1

1

)2

378

assim,

µNW (x, h) = c = arg minc

n∑t=2

(yt − c)2wt

wt = 1hK(xt−xh

). Resolvendo obtém-se

c =

∑nt=2K

(xt−xh

)yt∑n

t=2 K(xt−xh

) .

Aproximação linear:

Considera-se a aproximação

yt = µ (x) +∂µ (x)

∂x′(xt − x) + et

= c+ c1 (xt − x) + et

onde et = R (xt, x) + ut. O objectivo é estimar c dando mais peso às observações próximas

de x. Tem-se assim

µ (x, h) = c

e c obtém-se a partir do problema de optimização

c, c1 = arg minc,c1

n∑t=2

(yt − c− c1 (xt − x))2wt

Notando que

n∑t=im+1

(yt − c− c1 (xt − x))2wt

=n∑

t=im+1

((yt − c− c1 (xt − x))w

1/2t

)2

=n∑

t=im+1

(ytw

1/2t − cw

1/2t − c1w

1/2t (xt − x)

)2

,

o problema de optimização pode ser encarado como um problema de estimação OLS relati-

vamente à seguinte especificação:

ytw1/2t = cw

1/2t + c1w

1/2t (xt − x) + errot

onde c é o parâmetro de interesse (c = µ (x)). Fixado o valor de h e dado o valor de x é

379

imediata a construção das variáveis

ytw1/2t , w

1/2t (xt1 − x1) , etc.

O problema de optimização pode também ser encarado como um problema de estimação

GLS relativamente à especificação

yt = c+ c1 (xt − x) + errot

assumindo-se uma pseudo heterocedasticidade da forma Var (yt|xt) = 1/wt. O estimador

GLS corresponde ao estimador OLS aplicado sobre as variáveis transformadas. Tem-se: c

c1

= (Z′ (x) W (x, h) Z (x))−1

Z′ (x) W (x, h) y

onde

Z (x) =

1 x2 − x...

...

1 xn − x

W (x, h) = diag w2, ..., wn

y =

y2

...

yn

e a estimativa de interesse c é dada por

c =[

1 0]

(Z′ (x) W (x, h) Z (x))−1

Z′ (x) W (x, h) y.

O estimador de Nadaraya-Watson é um caso particular:

c = (Z′ (x) W (x, h) Z (x))−1

Z′ (x) W (x, h) y

e Z (x) = Z = 11×(n−2).

Podíamos estar interessados em E (∆yt|xt = x) e não em E (yt|xt = x) . Nesse caso

tudo se mantém com a seguinte excepção: em lugar de yt deve-se considerar ∆yt, por exem-

380

plo,

E (∆yt|xt = x) =[

1 0]

(Z′ (x) W (x, h) Z (x))−1

Z′ (x) W (x, h) ∆y

Propriedades

Vamos considerar primeiro o caso em que xt é i.i.d., por ser mais fácil tratar.

B1 xt é i.i.d. e E (ut|xt) = 0, Var (ut|xt) = σ2 (xt)

B2 As funções m′′ (x) e f ′′ (x) são contínuas e limitada numa vizinhança de x.

B3 (nh)1/2 h2 → 0 quando n→∞,

Sob as hipóteses A1-A4 e B1 e B2, tem-se

Proposição 10.2.6

E (µNW (x)) = µ (x) +h2

2f (x)(µ′′ (x) f (x) + 2f ′ (x)µ′ (x))σ2

K + o(h2)

Var (µNW (x)) =1

nh

σ2 (x)

f (x)

∫K2 (u) du+ o

(1

nh

)

Proposição 10.2.7

E (µ (x)) = µ (x) +h2

2µ′′ (x)σ2

K + o(h2)

Var (µ (x)) =σ2 (x)

nhf (x)σ2K + o

(1

nh

).

Proposição 10.2.8

µNW (x)p−→ µ (x)

µ (x)p−→ µ (x)

Proposição 10.2.9 Sob as hipóteses anteriores e E(|u|2+δ

)<∞ e

∫K (u)2+δ du <∞

√nh (µNW (x)− E (µNW (x)))

d−→ N

(0,σ2 (x)

∫K2 (u) du

f (x)

)

381

Proposição 10.2.10 Sob as hipóteses anteriores e B3 tem-se

√nh (µNW (x)− µNW (x))

d−→ N

(0,σ2 (x)

∫K2 (u) du

f (x)

)√nh (µ (x)− µ (x))

d−→ N

(0,σ2 (x)

∫K2 (u) du

f (x)

)

O caso em que xt envolve valores desfasados de yt é mais difícil de tratar. De todo o

modo é possível provar que se yt é um processo EE e fracamente dependente, os resultados

anteriores mantêm-se.

10.2.5 Estimação localmente linear da Variância Condicional

10.A Demonstrações


Tem-se

E(f (x)

)= E

(1

nh

n∑t=1

K

(xt − xh

))

= E

(1

hK

(xt − xh

))(devido a A1)

=

∫1

hK

(ξ − xh

)f (ξ) dξ

=

∫1

hK (u) f (uh+ x)hdu (mudança de variável

ξ − xh

= u)

=

∫K (u) f (uh+ x) du

=

∫K (u)

(f (x) + huf ′ (x) +

h2u2

2f ′′ (x) + ...

)du (invocando a fórmula de Taylor)

=

∫K (u) f (x) du+

∫K (u)huf ′ (x) du+

∫K (u)

h2u2

2f ′′ (x) du+ ...

= f (x) +h2f ′′ (x)

2

∫K (u)u2du+ ...

= f (x) +h2f ′′ (x)σ2

K

2+O

(h4)

A última equação decorre de A2. Note-se que todos os termos do tipo∫K (u)ukdu são zero

quando k é ímpar. O termo O (h4) inclui todos os restantes termos são de ordem igual ou

inferior a h4 no seguinte sentido limh→0O (h4) /h4 = constante.

382

Por outro lado,

Var(f (x)

)= Var

(1

nh

n∑t=1

K

(xt − xh

))

=1

n2Var

(1

h

n∑t=1

K

(xt − xh

))=

1

n2Var (w1 + w2 + ...+ wn) (com wt = h−1K ((xt − x) /h)

=1

n2

n∑t=1

Var (wt) +2

n2

∑∑Cov (wi, wj)

=1

nVar (wt) +

2

n

n−1∑t=1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1) (devido a A1).

Analise-se separadamente cada um destes termos.

Var (wt) = Var

(1

hK

(xt − xh

))=

1

h2Var

(K

(xt − xh

))=

1

h2

[E

(K2

(xt − xh

))− E

(K

(xt − xh

))2]

=1

h2

[∫K2

(ξ − xh

)f (ξ) dξ −

(∫K

(ξ − xh

)f (ξ) dξ

)2]

=1

h2

[∫K2 (u) f (hu+ x)hdu−

(∫K (u) f (hu+ x)hdu

)2]

=1

h2

∫K2 (u)

(f (x) + huf ′ (x) +

h2u2

2f ′′ (x) + ...

)hdu

− 1

h2

(∫K (u)

(f (x) + huf ′ (x) +

h2u2

2f ′′ (x) + ...

)hdu

)2

=1

h

∫K2 (u) f (x) du+

∫K2 (u)uf ′ (x) du+ ...

−(∫

K (u) f (x) du+

∫K (u)huf ′ (x) du+ ...

)2

=f (x)

h

∫K2 (u) du+O (1)

(note-se que o termo de ordem O (1) definido na última equação inclui todos os demais

termos não presentes na equação e que são relativamente pequenos em comparação com

f (x)h−1∫K2 (u) du quando n é grande e h é pequeno).

Analise-se 2n

∑n−1t=1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1). Notando que Cov (w1, wt+1) = ρt Var (w1) ,

383

devido a A1, tem-se

2

n

n−1∑t=1

(1− t

n

)|Cov (w1, wt+1)| =

2

n

n−1∑t=1

(1− t

n

)|ρt|Var (w1)

=2 Var (w1)

n

n−1∑t=1

(1− t

n

)|ρt|

≤ Var (w1)

n

(2

n−1∑t=1

(1− t

n

)C2e

−α2t

)(devido a A1)

=Var (w1)

nO (1)

= O

(1

nh

)(pois Var (w1) = O

(1

h

)).

Desta forma,

Var(f (x)

)=

1

nVar (wt) +

2

n

n−1∑t=1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1) (devido a A1).

=f (x)

nh

∫K2 (u) du+O

(1

nh

).



Var(√

nhf (x))

= hVar (wt) + 2hn−1∑t=1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1)

Seja πn =[

1√h

]onde [x] designa aqui a parte inteira de x. Tem-se

2h

n−1∑t=1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1) = 2h

πn∑t=1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1)︸︷︷︸

J1,n

+2h

n−1∑t=πn+1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1)︸︷︷︸

J2,n

Para 1 ≤ t ≤ πn tem-se

384

|Cov (w1, wt+1)| ≤ E |w1wt+1|

= E

∣∣∣∣K (x1 − xh

)1

hK

(xt+1 − x

h

)∣∣∣∣=

1

h2

∣∣∣∣∫ K

(x1 − xh

)K

(xt+1 − x

h

)f1,t+1 (xt, xt+1) dxtdxt+1

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ K (u)K (u+ v) f1,t+1 (x, x) dudv +O (h)

∣∣∣∣= O (1) .

Assim

J1,n ≤ hπn∑t=1

Cov (w1, wt+1) = hO (πn) = O (hπn) = O

(h√h

)= O

(√h)

= o (1) .

Para t > πn considera-se o seguinte argumento:

Cov (w1, wt+1) ≤ ρt Var (w1)

= ρt

(f (x)

h

∫K2 (u) du+O (1)

)=

ρth

(f (x)

∫K2 (u) du+O (h)

).

Assim,

J2,n = 2hn−1∑

t=πn+1

(1− t

n

)Cov (w1, wt+1)

≤ 2

n−1∑t=πn+1

(1− t

n

)ρt

(f (x)

∫K2 (u) du+O (h)

)

= 2

(f (x)

∫K2 (u) du+O (h)

) n−1∑t=πn+1

(1− t

n

)ρt

→ 0

pois∑n−1

t=πn+1

(1− t

n

)ρt ≤

∑n−1t=πn+1 ρt → 0 quando n→∞ e πn →∞.




385

Seja ψt = xt−xh. Tem-se

yt = µ (x) + µ′ (x) (xt − x) + µ′′ (x∗)(xt − x)2

2+ ut

= µ (x) + hµ′ (x)ψt + µ′′ (x∗)h2ψ2

t

2+ ut.

Por outro lado,

µNW (x) =

∑nt=2K (ψt) yt∑nt=2K (ψt)

=

∑nt=2K (ψt) yt∑nt=2K (ψt)

=(nh)−1∑n

t=2K (ψt)(µ (x) + hµ′ (x)ψt + µ′′ (x∗) h2ψ2t

2+ ut

)(nh)−1∑n

t=2K (ψt)

=(nh)−1∑n

t=2K (ψt)(µ (x) + hµ′ (x)ψt + µ′′ (x∗) h2ψ2t

2+ ut

)f (x)

=(nh)−1∑n

t=2K (ψt)µ (x) + (nh)−1∑nt=2 K (ψt)hµ

′ (x)ψt

f (x)+

+(nh)−1∑n

t=2 K (ψt)µ′′ (x∗) h2ψ2t

2+ (nh)−1∑n

t=2K (ψt)ut

f (x)

= µ (x) +µ′ (x)

f (x)

1

n

n∑t=2

K (ψt)ψt +hµ′′ (x∗)

2f (x)

1

n

n∑t=2

K (ψt)ψ2t +

1

f (x)

1

nh

n∑t=2

K (ψt)ut.

Considerem-se os dois primeiros momentos condicionais:

E ( µNW (x)|x1, ..., xn) = µ (x) +µ′ (x)

f (x)

1

n

n∑t=2


2f (x)

1

n

n∑t=2

K (ψt)ψ2t .

386

Pela teorema do valor esperado iterado, vem

E (µNW (x)) = E (E ( µNW (x)|x1, ..., xn))

= E

(µ (x) +

µ′ (x)

f (x)

1

n

n∑t=2


2f (x)

1

n

n∑t=2

K (ψt)ψ2t

)

= µ (x) + µ′ (x) E

(K (u)u

f (x)

)+hµ′′ (x∗)

2E

(K (u)u2

f (x)

)

= µ (x) + µ′ (x)

(h2σ2

Kf′ (x)

f (x)+ o

(h2))

+µ′′ (x∗)

2

(h2σ2

Kf (x)

f (x)+ o

(h2))

= µ (x) +h2σ2

K

2f (x)(µ′′ (x∗) f (x) + 2f ′ (x)µ′ (x)) + o

(h2)

= µ (x) +h2σ2

K

2f (x)(µ′′ (x) f (x) + 2f ′ (x)µ′ (x)) + o

(h2).

Por outro lado,

Var ( µNW (x)|x1, ..., xn) =1

f 2 (x)

1

n2h2

n∑t=2

K2 (ψt)σ2 (xt) .

Dado que o segundo termo da expressão Var (µNW (x)) = E (Var ( µNW (x)|x1, ..., xn)) +

Var (E ( µNW (x)|x1, ..., xn)) é zero, vem

Var (µNW (x)) = E (Var ( µNW (x)|x1, ..., xn))

=1

nhE

(1

f 2 (x)

1

nh

n∑t=2

K2 (ψt)σ2 (xt)

)

=1

nhE

(1

f 2 (x)

1

nh

n∑t=2

K2 (ψt)σ2 (xt)

)

=1

nhE

(1

f 2 (x)

1

hK2 (ψt)σ

2 (xt)

)

E

(1

hK (ψt)σ

2 (xt)

)=

1

h

∫K2

(ξ − xh

)σ2 (ξ) f (ξ) dξ =

∫K2 (u)σ2 (x+ uh) f (x+ uh) du

=

∫K2 (u)

(σ2 (x) f (x) + o (h)

)du

= σ2 (x) f (x)

∫K2 (u) du+ o (h) .

387

Desta forma,

Var (µNW (x)) =1

nhE

(1

f 2 (x)

1

hK2 (ψt)σ

2 (xt)

)

=1

nh

σ2 (x)

f (x)

∫K2 (u) du+ o

(1

nh

).




388

Parte III

Aplicações

389

Página em branco

390

Capítulo 11

Eficiência do Mercado de Capitais

(Última actualização: Maio/2010)

11.1 Introdução e Definições

O mercado de capitais diz-se eficiente se os preços dos produtos financeiros reflectirem toda

a informação disponível. Quando é libertada uma informação relevante (por exemplo, um

anúncio de distribuição de dividendos de valor superior ao esperado, um anúncio de fusões

ou aquisições, etc.) num mercado eficiente os agentes reagem imediatamente comprando ou

vendendo de acordo com a informação e os preços ajustam-se imediatamente.

Num mercado eficiente, supõe-se que os agentes interpretam correctamente a infor-

mação. Caso contrário o preço pode não se ajustar rapidamente e abrem-se oportunidades

para a realização de rendibilidades anormais. Por exemplo, um investidor que compre ime-

diatamente acções após a divulgação de uma “boa notícia” pode obter um retorno anormal

se o preço de mercado se ajustar lentamente à informação disponível. Com efeito, bastará ao

investidor vender as acções depois do preço se ajustar a um nível mais alto.

É difícil imaginar um mercado completamente eficiente em todos os períodos de tempo.

Pode suceder que em certos momentos e face a determinadas notícias o mercado apresente

ineficiências que podem ser exploradas. Faz também sentido admitir que existem mercados

mais eficientes do que outros (mercados emergentes tendem a ser menos eficientes).

A eficiência dos mercados está intimamente relacionada com a informação disponível.

Fama (1970) propôs três formas de eficiência consoante a natureza da informação disponível:

• um mercado é eficiente na forma fraca se os preços dos títulos reflectirem toda a infor-

mação sobre os preços passados; como consequência, as cotações passadas não podem

391

ser utilizadas para obter rentabilidades anormais;

• um mercado é eficiente na forma semi-forte se os preços dos títulos reflectirem toda

a informação disponível ao público; a “informação disponível ao público” inclui os

preços passados, situação económica e financeira da empresa e, em geral, toda a infor-

mação não confidencial que o público em geral pode aceder;

• um mercado é eficiente na forma forte se os preços dos títulos reflectirem toda a in-

formação disponível, pública e privada; a informação privada é conhecida apenas dos

gestores da empresa.

A hipótese dos mercados eficientes admite que todas as informações relevantes estão

disponíveis (a baixo custo) e que as cotações reflectem o conjunto dessas informações. Desta

forma, não é possível com base na informação disponível, obter ganhos persistentes acima

do “retorno normal”; se o mercado é ineficiente, os preços não traduzem o seu valor “justo”

ou valor “intrínseco” e é possível obter rendibilidades anormais.

A questão que normalmente se coloca consiste em saber se é possível obter rendibilidades

anormais de forma persistente utilizando uma estratégia de investimento. Uma forma para

analisar esta questão consiste em comparar a rendibilidade que se obtém a partir de uma certa

estratégia de investimento com a “rendibilidade normal” ou esperada deduzida em função de

um modelo de equilíbrio como o CAPM ou APT. Outra metodologia baseia-se em saber se

os retornos são ou não “previsíveis”. Esta análise pode ser conduzida a partir de um modelo

do tipo

rt = f (xt−1) + ut

onde xt−1 é um vector de variáveis cujos valores são conhecidos no momento t−1. Assim, rt

é previsível se xt−1 explicar rt (por outras palavras, rt é previsível se E (rt| Ft−1) 6= E (rt)).

O vector xt−1 pode incluir rt−1 ou fundamental variables como por exemplo, variáveis fi-

nanceiras (treasury bill rates, bonds returns, dividend yield (dividendo por acção/cotação),

price-earning ratios (cotação/lucro), etc.) ou variáveis macroeconómicas (produto, inflação,

etc.).

11.2 Teste à Eficiência Fraca de Mercado

Analisa-se se é possível obter rendibilidades anormais de forma persistente utilizando uma

estratégia de investimento baseada apenas nos preços passados.

392

Para simplificar admita-se que o retorno normal, E (rt) = µ > 0 é constante. Se o

mercado é eficiente então é indiferente usar ou não usar a informação disponível Ft−1 para

prever rt e, desta forma tem-se

E (rt| Ft−1) = E (rt) . (11.1)

Note-se que E (rt) representa a previsão de rt não baseada em qualquer informação especí-

fica, a não ser nas “características gerais do processo”. Pelo contrário, se

E (rt| Ft−1) 6= E (rt)

então, a informação disponível Ft−1 é relevante para prever os retornos futuros. Nestas

circunstâncias, existe alguma informação sobre a “tendência provável” de rt, e será possível,

em princípio, obter rentabilidades anormais, usando a informação disponível Ft−1.

A equação (11.1) pode ser violada de inúmeras formas. Por exemplo, rt pode ser au-

tocorrelacionado ou rt pode ser uma função não linear de rt−1 (se rt seguir um qualquer

dos modelos discutidos anteriormente, como por exemplo, o modelo Markov-Switching ou o

Limiar Autoregressivo, a equação (11.1) é violada). As regras de compra e venda baseadas

na “análise técnica” baseiam-se também em relações não lineares entre os preços correntes

e os seus valores passados, ou sejam, supõem que a igualdade (11.1) é violada.

Certos autores formalizam o modelo de mercado eficiente estabelecendo que o preço ou

o logaritmo do preço é um passeio aleatório1,

logPt = logPt−1 + ut

sendo ut um processo ruído branco ou, em termos mais gerais, uma diferença de martin-

gala. Esta formalização implica (11.1) e ainda que logPt é uma martingala,

E (logPt| Ft−1) = logPt−1.

1A rigor é um impossibilidade o preço ser um passeio aleatório,

Pt = Pt−1 + ut

uma vez que Pt, neste modelo, é não limitado em probabilidade. Isto significa que pode assumir valores

negativos com probabilidade um quando t tende para ∞. De facto, prova-se que Pt visita os estados −∞ e

+∞ infinitas vezes quando t→∞. Como os preços não podem ser negativos, por definição, o preço não pode

ser um passeio aleatório.

393

Esta formalização é contra intuitiva pois assume que o valor esperado do retorno é zero

(E (rt) = 0) e, portanto, que o prémio de risco é negativo. Todavia, se o retorno for con-

venientemente ajustado ao risco, a propriedade de martingala deve verificar-se (vejam-se as

referências em Campbell et al., 1997, pág. 31).

Um modelo mais natural e compatível com (11.1) é o modelo de passeio aleatório com

deriva (positiva),

logPt = c+ logPt−1 + ut, c > 0.

Considerando rt = logPt− logPt−1, o modelo de passeio aleatório com deriva é equivalente

a rt = c+ ut e, portanto, E (rr| Ft−1) = E (rt) = c.

11.2.1 Testes de Autocorrelação

Analise-se o exemplo seguinte.

Exemplo 11.2.1 Suponha-se rt = c + φrt−1 + ut, |φ| < 1, onde ut é um ruído branco.

Então

E (rt) =c

1− φ, E (rt| Ft−1) = c+ φrt−1

e a equação (11.1) é violada. Note-se também que r é autocorrelacionado.

Um teste à eficiência fraca dos mercados consiste, por exemplo, em ensaiar H0: ρ1 =

... = ρm = 0 através da estatística

Q = n (n+ 2)m∑k=1

1

n− k ρ2k

d−→ χ2(m)

A rejeição de H0 pode sugerir ineficiência de mercado, mas não a implica necessariamente.

Com efeito, pode suceder que a rejeição de H0 se faça com coeficientes de autocorrelação

demasiadamente baixos para oferecerem qualquer possibilidade de ganhos anormais, depois

de deduzidos os custos transacção. Seria necessário investigar se a estrutura de autocorre-

lação detectada implicaria uma rendibilidade superior a um portfolio de referência. Por outro

lado, a não rejeição de H0 não implica aceitação da eficiência da forma fraca porque pode

suceder que E (rt| Ft−1) seja uma função não linear de Ft−1 com fraca dependência linear.

394

11.2.2 Regras de Compra e Venda e a Análise Técnica

Uma forma popular entre traders and financial professionals de definir regras de compra e

venda assenta na chamada “análise técnica”. A análise técnica baseia-se num conjunto de

indicadores estatísticos gerados pelo mercado, tais como preços e volume, visando estabele-

cer regras de compra e venda de activos cotados em bolsa2. A generalidade dos indicadores

procura detectar tendências de subida ou descida das cotações. Analisam-se três regras de

compra e venda (provavelmente as mais utilizadas e conhecidas, mas existem muitas out-

ras regras) e discutem-se procedimentos econométricos destinados a aferir a qualidade das

regras. A previsibilidade associada às regras de compra e venda não significa necessaria-

mente ineficiência de mercado. Para argumentar que um mercado é ineficiente é necessário

demonstrar que a regra de investimento seleccionada é superior a um porfolio de referência.

Regra Média Móvel

Seja

Mt (k) =Pt + Pt−1 + ...+ Pt−k+1

k

uma média móvel (MM) de ordem k da variável P, no momento t. A estatística Mt (k)

fornece uma medida de tendência local de P. Quanto maior for k mais informação atrasada

a média móvel contém e, também, mais alisada é a tendência. Pelo contrário, se k é baixo, a

estatística Mt (k) fornece apenas a tendência recente de P. Defina-se assim a MM de curto

prazo, Mt (c) , onde c é uma valor “baixo” e a MM de longo prazo, Mt (l) onde l é um valor

“alto”. Tipicamente, para dados diários, c e l são escolhido nos intervalos, 1 ≤ c ≤ 5 e

50 ≤ l ≤ 250. Do confronto entre a MM de curto e longo prazo argumenta-se que é possível

projectar uma tendência futura de P. Mais concretamente, se Mt (c) > Mt (l) , os preços

mais recentes estão mais altos do que os preços mais antigos. Isto sugere que os preços

seguem uma tendência positiva. A regra prescreve uma compra para o período t + 1. Se as

duas médias são aproximadamente iguais, a tendência futura sobre os preços não é clara, e

neste caso não há lugar a compra ou venda. Esta regra pode ser melhorada, estabelecendo um

sinal de compra ou venda apenas quando a diferença entre Mt (c) e Mt (l) for significativa,

digamos acima de um certo limiar B (bandwidth). Assim, as regras de compra e venda para

2A abordagem fundamental analysis, ao contrário, estabele regras de compra e venda com base em factores

financeiros e económicos. Por exemplo, analisam-se variáveis financeiras (treasury bill rates, bonds returns,

dividend yield (dividendo por acção/cotação), price-earning ratios (cotação/lucro), etc.) ou macroeconómicas

(produto, inflação, etc.).

395

NASDAQ composite

1780

1880

1980

2080

2180

2280

2380

Jan05 Mar05 May05 Jul05 Sep05 Nov05 Jan06

PMM curtaMM longa

comprar = 1, vender = 0

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1


Figura 11-1: Regra Média Móvel - Aplicação ao NASDAQ composite Jan-05 a Mar-06

o dia t+1, passariam a ser: comprar se Mt (c) > Mt (l)+B; vender se Mt (c) < Mt (l)−B

e não transaccionar se |Mt (c)−Mt (l)| ≤ B.

Na figura 11-1 ilustra-se a regra média móvel ao NASDAQ composite (Jan-05 a Mar-

06). Fixou-se c = 10 e l = 50. Em princípio deveriamos escolher um valor de c entre 1 e

5; todavia, a escolha c = 10 permite identificar melhor graficamente a média móvel Mt (10)

(com c ≤ 5 a série Mt (c) praticamente não se distingue, graficamente, de P ).

Regra Canal

À semelhança da regra média móvel, também esta regra se baseia numa hipótese sobre a

evolução futura da tendência dos preços. Antevê-se uma subida ou descida dos preços com

base na comparação entre o valor actual do preço Pt e o valor mínimo ou máximo atingido

pelos preços nos últimos L dias. Sejam,

mt−1 = min (Pt−1, Pt−2, ..., Pt−L) ,

Mt−1 = max (Pt−1, Pt−2, ..., Pt−L)

respectivamente os valores mínimo e máximo atingidos pelos preços nos últimos L dias. A

ideia é a seguinte: se no dia t houve uma indicação de compra e Pt é significativamente

396

t+ 1t

Comprar Vender Neutro

Comprar Pt > (1 +B)mt−1 Pt < (1−B)mt−1 outros casos

Vender Pt > (1 +B)Mt−1 Pt < (1−B)Mt−1 outros casos

Neutro Pt > (1 +B)Mt−1 Pt < (1−B)mt−1 outros casos

Tabela 11.1: Regras de Compra e Venda Baseadas no procedimento Canal

NASDAQ composite

1780

1880

1980

2080

2180

2280

2380


comprar = 1, vender = 0

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1


Figura 11-2: Regra Canal - Aplicação ao NASDAQ composite Jan-05 a Mar-06

superior a mt−1 então antevê-se uma tendência de crescimento dos preços e a indicação

deve ser de compra; de igual forma, se no dia t houve uma indicação de venda e Pt é sig-

nificativamente inferior a Mt−1 então antevê-se uma tendência de queda dos preços e a in-

dicação deve ser de venda. Diz-se que Pt é “significativamente” superior (inferior) a Mt−1

se Pt > (1 +B)Mt−1 (respectivamente Pt < (1 +B)Mt−1) e B é um parâmetro positivo

(bandwidth), calibrado com base na experiência passada. Formalmente, as regras canal de

compra e venda estão apresentadas na tabela 11.1.

Na figura 11-2 ilustra-se a regra canal ao NASDAQ composite (Jan-05 a Mar-06). Fixou-

se L = 50 e B = 0.

397

t+ 1t

Comprar Vender Neutro

Comprar µt+1,t > 0 µt+1,t < −B outros casos

Vender µt+1,t > B µt+1,t < 0 outros casos

Neutro µt+1,t > B µt+1,t < −B outros casos

Tabela 11.2: Regras de Compra e Venda Baseadas num ARMA

Regra Modelo ARMA

Seja µt+1,t a previsão do retorno para o momento t+ 1 dado Ft, baseado num certo modelo

ARMA. Na tabela 11.2 definem-se as regras de compra e venda. A posição (1,1) na tabela

11.2, estabelece o seguinte: se no período t houve uma indicação de compra e µt+1,t > 0

então antecipa-se uma tendência de subida dos preços e a indicação é de compra para o

período t + 1 . A posição (2,1) estabelece o seguinte: se no período t houve uma indicação

de venda e µt+1,t > B então a indicação é de compra para o período t+1.O período t+1 é de

compra apenas se a previsão do retorno for suficientemente alta, digamos, acima de B > 0.

Se µt+1,t > 0 mas µt+1,t < B entende-se que não existe indicação suficientemente clara

de compra dado que no período anterior o dia foi de venda e, nestas circunstâncias, o dia é

considerado neutro, isto é, não há lugar a venda ou compra. As demais células interpretam-se

de forma similar.

O parâmetroB pode ser estimado com base na informação passada: selecciona-se o valor

que maximiza o lucro.

Medidas de Previsibilidade

Embora as duas primeiras regras atrás apresentadas envolvam preços, as medidas de pre-

visibilidade, por exigirem a aplicação do teorema do limite central e a lei dos grandes

números, são construídas a partir dos retornos, dado que estes são (em princípio) proces-

sos estacionários.

Considere-se um certa regra de compra e venda e defina-se, C o conjunto dos índices t

onde há um sinal de compra para o período seguinte, t+1, e V o conjunto dos índices t onde

há um sinal de venda para o período seguinte, t + 1. Por exemplo, se nos dias 3, 7 e 9 há

sinais de compra para os respectivos períodos seguintes, e nos dias 6 e 11 há sinais de venda

para os períodos seguintes então, C = 3, 7, 9 e V = 6, 11 . Seja nC o cardinal de C, nV

398

o cardinal de V (no exemplo dado nC = 3 e nV = 2),

rC =1

nC

∑t∈C

rt+1

a média empírica dos retornos em que houve um sinal de compra e

rV =1

nV

∑t∈V

rt+1

a média empírica dos retornos em que houve um sinal de venda.

Se a regra de compra e venda é informativa então

E (rt+1| t ∈ C) 6= E (rt+1| t ∈ V )

i.e., o valor esperado dos retornos depende da informação de compra ou venda e, por isso, os

dois valores esperados são diferentes. Se, pelo contrário, E (rt+1| t ∈ C) = E (rt+1| t ∈ V )

então o comportamento dos retornos no período t+ 1 não reflecte a expectativa de subida ou

descida dos preços, dada pela regra de compra e venda.

Numa regra informativa devemos esperar E (rt+1| t ∈ C) > E (rt+1| t ∈ V ) , i.e., o sinal

de compra (venda) está associado a uma expectativa de subida (descida) sustentada dos

preços.

Temos várias formas de testar se uma regra de compra e venda é informativa. Uma

possibilidade consiste em realizar o teste diferença de média. Admitindo que os retornos são

i.i.d., tem-se que, sob a hipótese nula, H0: E (rt+1| t ∈ C) = E (rt+1| t ∈ V ) a estatística

z =rC − rV√σ2CnC

+σ2VnV

(11.2)

tem distribuição assimptótica N (0, 1) .

Um teste preferível que não exige independência dos retornos e pode acomodar autocor-

relação e heterocedasticidade dos erros consiste na análise da significância do parâmetro β1

na regressão

rt = β0 + β1It−1,C + β2It−1,N + ut (11.3)

(com erros padrão robustos) onde It,C e It,N são variáveis dummies; It,C assume o valor 1

quando no período t houve uma indicação de compra e It,N que assume o valor 1 quando no

399

período t houve uma indicação neutra. O chamado “grupo base” consiste na “indicação de

venda”. Da equação (11.3) tem-se

E (rt+1| t ∈ C) = β0 + β1, E (rt+1| t ∈ V ) = β0

e, portanto, se β1 = 0 então E (rt+1| t ∈ C) = E (rt+1| t ∈ V ) . Pelo contrário, se β1 > 0

então E (rt+1| t ∈ C) > E (rt+1| t ∈ V ) . Deve-se então realizar o ensaio H0 : β1 = 0 vs.

H1 : β > 0.

11.3 Teste à Eficiência Semi-Forte de Mercado

Analisa-se se é possível obter rendibilidades anormais de forma persistente utilizando uma

estratégia de investimento baseada nos preços passados e na informação pública disponível.

Seja It = Ft∪FXt onde FXt é o conjunto de toda a informação pública disponível, como

por exemplo, balanços, relatórios da empresa, notícias divulgados pela empresa, etc. Se o

mercado é eficiente no sentido semi-forte então é indiferente usar ou não usar a informação

disponível It−1 para prever rt e, desta forma tem-se

E (rt| It−1) = E (rt)

Pelo contrário, se

E (rt| It−1) 6= E (rt)

então, a informação disponível It é relevante para prever os retornos futuros. Nestas circun-

stâncias, existe alguma informação sobre a “tendência provável” de rt, e será possível, em

princípio, obter rentabilidades anormais, usando a informação disponível It.

Existem inúmeros procedimentos e conjuntos de informação It usados para testar a efi-

ciência (semi-forte) de mercado. A literatura tem estudado (entre muitos outros) os seguintes

tópicos:

• Efeito do tamanho da empresa. A questão é: apresentarão as empresas pequenas, em

termos da sua capitalização de mercado, rendibilidades médias superiores às empresas

grandes, com nível de risco semelhante?

• Reacção do mercado à chegada de informação. Este tópico é importante na análise da

eficiência e é analisado em detalhe na secção 11.3.1.

400

• Valor de mercado versus valor contabilístico. Entende-se que um valor de mercado

baixo face ao valor contabilístico pode indicar, em certas circunstâncias, que as acções

estão subavaliadas.

• Rácio preço/lucro ou price-earnings ratio (P/E). Valores baixos significam que as

acções da empresa em análise são transaccionados a um preço relativamente baixo

face ao valor dos lucros e, portanto, a cotação da empresa poderá estar “barata”;

• Impacto de outras variáveis financeiras como por exemplo, taxas de juro de obrigações

de tesouro, dividendos por acção (dividend yield), etc.

• Impacto de variáveis económicas, como por exemplo, produto, inflação, etc.

• Impacto de outras “anomalias” mercado, como por exemplo, efeito dos dias da semana,

efeito de fim de semana, fim de ano, etc. (efeitos de calendário - algumas destes tópicos

foram já abordados na secção 3.1.6).

Se o objectivo é analisar a eficiência do mercado (e, de certa forma a previsibilidade dos

retornos) com base na variável x (e.g. taxa de juro) a variável x deverá entrar no modelo de

regressão com um ou mais desfasamentos. Só assim é possível testar a previsibilidade de r.

O modelo seria assim do tipo

rt = c+ βxt−1 + ut.

Pode até suceder que o modelo rt = c + βxt + ut (com xt e não com xt−1) produza um

ajustamento superior; mas neste caso o modelo não pode testar a previsibilidade de r com

base em x (note-se de passagem que este último modelo é o CAPM se xt é a rendibilidade

de mercado). Para se obterem rendibilidades anormais com base num modelo de previsão

é necessário saber, com alguma antecipação, a tendência futura dos preços (e daí x entrar

desfasado no modelo).

11.3.1 Reacção do Mercado à Chegada de Informação

Se o mercado é totalmente eficiente os activos respondem imediatamente à chegada de in-

formação relevante ao mercado. A informação relevante poderá ser informação específica

sobre a empresa, como por exemplo, o anúncio de lucros ou dividendos, o anúncio de fusões

e aquisições, etc. Poderá também ser o anúncio de medidas de política económica ou outros

eventos que tenham impacto sobre a rendibilidades dos activos financeiros.

401

A questão é, portanto, óbvia: trata-se de identificar as informações similares relevantes

e verificar se na vizinhança da data da divulgação da notícia as rendibilidades apresentaram

um comportamento “anormal”.

Para simplificar divida-se o estudo do impacto da chegada da informação sobre as rendibil-

idades em duas áreas: A) impacto de notícias similares sobre um conjunto de empresas e B)

impacto de notícias similares sobre uma empresa específica. No caso A) começa-se por

recolher uma amostra de N empresas que estiveram expostas a anúncios não antecipados e

observam-se as rendibilidades anormais na vizinhança das datas dos anúncios. A rendibili-

dade anormal, ra, do activo i no período t é

rat,i = rt,i − rendibilidade esperada do activo i no momento t.

sendo rt,i o retorno do activo i no momento t. Como avaliar a rendibilidade esperada do

activo i no momento t? A abordagem habitual consiste em tomar um modelo de equilíbrio

como o CAPM ou a APT. Tomando o CAPM vem

rat,i = rt,i −(αi + βirm,t

)onde rm,t é a rendibilidade do mercado no momento t. Sejam

rat =

∑Ni=1 rat,iN

, s2t =

∑Ni=1 (rat,i − rat)2

N − 1,

respectivamente, a média e a variância empírica seccional das rendibilidades anormais das

empresas na data t. Estas estatísticas podem ser calculadas para qualquer t, mas tem sobre-

tudo interesse analisar rat e s2t para t numa vizinhança do anúncio. Convencionando que o

anúncio ocorre na data 0 e fixando uma janela temporal de d períodos para antes e depois do

anúncio, rat e s2t podem ser calculadas para t = −d, ...,−1, 0, 1, ...d.

Suponha-se que é divulgada uma notícia “boa”, como por exemplo, um anúncio de div-

idendos acima do esperado. Se as rendibilidades anormais se concentram em t = 0 não

podemos rejeitar a hipótese de o mercado ser eficiente. Pelo contrário, se existirem rendibil-

idades anormais apenas para t > 0 poderão existir indícios de ineficiência, sobretudo se t é

medido em dias. Em geral é preferível usarem-se dados intra-diários, por exemplo, períodos

de 5, 10 ou 15 minutos.

É possível aprofundar a análise construindo uma sucessão rat para todas as obser-

402

vações disponíveis (e não apenas na vizinhança da data do anúncio). Com este procedimento

é possível comparar rat nos períodos vizinhos e não vizinhos do anúncio, por exemplo,

analisando a significância de β2 na regressão,

rat = β0 + β1I0,t + β2I1,t + ut.

onde I0,t e I1,t são variáveis dummies. I0,t assume o valor 1 quando t corresponde à data de

anúncio e I1,t assume o valor 1 quando t corresponde a uma data imediatamente a seguir à

data de anúncio . Se β2 é significante então é possível que o mercado seja ineficiente (ou não

totalmente eficiente). Se, pelo contrário, apenas β1 é significante então o impacto do anúncio

concentra-se no período do anúncio e não há razões para rejeitar a hipótese de eficiência. A

análise poderá ser mais fina, adicionando-se mais variáveis dummies.

Se o objectivo é avaliar o impacto de notícias similares sobre uma empresa específica -

caso B) - o procedimento mais simples consiste em formular a equação de regressão

rt = β0 + β1I0,t + β2I1,t + β3rm,t + ut. (11.4)

A introdução da variável rm,t é importante porque permite isolar o efeito do anúncio do

efeito de mercado. Com efeito, suponha-se que o anúncio tem impacto sobre a rendibilidade

do mercado. Como a rendibilidade do mercado está correlacionado com a rendibilidade da

acção em análise, o anúncio acaba por influenciar a rendibilidade da acção através do com-

portamento global do mercado. Um modelo de regressão sem a variável rm,t não permite

isolar o efeito do anúncio sobre a empresa. Por exemplo, neste modelo mais reduzido, se

o parâmetro β2 vem diferente de zero não se sabe se β2 6= 0 se deve ao efeito retardado

do anúncio sobre a empresa ou ao efeito do mercado sobre a empresa induzido pelo anún-

cio. Pode haver outra razão para introduzir rm,t. Suponha-se que os anúncios coincidem

com movimentos de alta do mercado. Se rm,t não está no modelo os anúncios não podem

distinguir-se dos movimentos de alta.

403

Página em branco

404

Capítulo 12

Selecção de Portfolios


Vai analisar-se o problema da determinação dos pesos óptimos de uma carteira consti-

tuída por m activos com risco e um activo sem risco por parte de um investidor individual.

Os resultados principais devem-se a Markowitz (prémio Nobel 1990), James Tobin (prémio

Nobel 1981) e William Sharpe (prémio Nobel 1990). O objectivo deste capítulo consiste em

apresentar a teoria básica e ilustrar o problema da determinação dos pesos óptimos a partir

de momentos marginais e condicionais da distribuição dos retornos.

Os modelos de heterocedastiocidade multivariada são particularmente úteis quando os

pesos óptimos se baseiam em momentos condicionais.

12.1 Portfolio Baseado em Momentos Marginais

Assumem-se as seguintes hipóteses:

1. Os retornos seguem uma distribuição marginal normal multivariada;

2. As correlações entre os retornos são fixas ao longo do tempo;

3. O investidor é racional, tem aversão ao risco, usa toda a informação disponível e

procura o máximo lucro, para um determinado nível de risco;

4. Não existem custos de transacção;

5. O investidor é price taker, isto é, não tem capacidade de influenciar os preços;

6. O investidor pode emprestar e pedir emprestado sem restrições;

405

7. Todos os activos podem ser convenientemente fraccionados.

12.1.1 Todos os Activos Envolvem Risco

Para além das hipóteses anteriores suponha-se que não existe o activo sem risco, i.e., todos

os activos envolvem risco.

Estabeleça-se a seguinte notação:

• vector dos retornos: rt = (R1t, ..., Rmt)′ ;

• vector do valor esperado dos retornos: µ = (E (R1t) , ...,E (Rmt))′ ;

• matriz das variâncias-covariâncias dos retornos: Var (rt) = H;

• vector dos pesos da carteira: ω = (ω1, ..., ωm)′ ;

• retorno do portfolio: Rpt =∑m

i=1 ωiRit = ω′rt

• valor esperado do portfolio: E (Rpt) = E (ω′rt) = ω′µ

• Variância do portfolio σ2p = Var (Rpt) = Var (ω′rt) = ω′Var (rt)ω = ω′Hω.

Naturalmente que∑m

i=1 ωi = 1 ⇔ ω′1 = 1 onde 1 (a negrito) representa um vector-

coluna de 1’s. Para simplificar, assume-se que todos os activos envolvem risco e que alguns

pesos ωi (mas não todos) podem ser negativos. Na teoria financeira um peso pode ser nega-

tivo quando há lugar a uma venda a descoberto ou short selling1. Esta hipótese simplifica o

problema de optimização.

Em condições normais, qualquer investidor procura dois objectivos antagónicos: max-

imizar o lucro (ou valor do retorno) e minimizar o risco. Os objectivos são contraditórios

porque, em geral, os activos com maior (menor) retorno (em média) são os que possuem

maior (menor) variabilidade. Para conciliar estes objectivos, pode-se, por exemplo, (i) fixar

um valor para o retorno esperado do portfolio e, para esse valor, procurar os activos com a

menor variabilidade possível; ou (ii) fixar um valor para o risco do portfolio (variância) e,

depois, procurar os activos com o maior retorno esperado possível.

1Venda a descoberto ocorre quando se vende um activo financeiro ou derivado que não se possui, esperando

que o preço caia para depois comprá-lo e lucrar na transação. O mecanismo é o seguinte: o agente A pede

(digamos) uma acção a B e promete-lhe todo o rendimento subjacente ao título. A vende imediatamente a

acção a C; mais tarde, A compra no mercado a acção para a devolver a B. Se o preço da acção cair, esta

operação é vantajosa para A.

406

Suponha-se que se opta pelo procedimento (i). O problema de optimização é então minωi Var (Rpt)

s.a E (Rpt) = µp e∑m

i=1 ωi = 1⇔

minωi ω′Hω

s.a ω′µ = µp e ω′1 = 1(12.1)

Considere-se a função Lagrangeana,

L (ω) = ω′Hω + λ1

(µp − ω′µ

)+ λ2 (1− ω′1)

(λ1 e λ2 são os multiplicadores de Lagrange). Resolvendo o sistema, que se obtém a partir

das condições de primeira ordem (∂L/∂ω = 0, ω′µ = µp e ω′1 = 1), e notando que L é

uma função convexa2, obtém-se a solução do problema de optimização:

ω∗ = ω∗(µp)

= g+µph (12.2)

onde

g =β

δH−11−α

δH−1µ, h =

γ

δH−1µ−α

δH−11,

α = µ′H−11, β = µ′H−1µ, γ = 1′H−11, δ = βγ − α2,

1 = (1, 1, ..., 1)′ .

A expressão ω∗(µp)

mostra que os pesos óptimos dependem de µp (fosse definido outro

valor para µp, e os pesos óptimos seriam outros).

Resulta que a variância mínima associada ao retorno µp é

σ2p = Vp

(µp)

= ω∗′Hω∗.

O problema (ii) é equivalente ao problema (i) no seguinte sentido. Suponha-se que se

fixa Vp

(µp)

como restrição e se procura maximizar o retorno, i.e.

maxωi E (Rpt)

s.a Var (Rpt) = Vp

(µp)

e∑m

i=1 ωi = 1.

2A função ω′Hω é estritamente convexa se H for uma matriz definida positiva (hipótese pacífica). As

funções λ1(µp − ω′µ

)e λ2 (1− ω′1) são convexas por serem lineares (funções lineares são, por definição,

côncavas e convexas).

407

Então, pode-se provar, a solução deste problema optimização é precisamente µp. Desta forma

basta estudar o problema formulado na equação (12.1).

Na prática os valores esperados µ e H são desconhecidos. É necessário estimá-los a

partir dos valores observados. Supondo que rt é um processo estacionário fracamente

dependente, µ e H podem ser estimados usando os seguintes estimadores consistentes:

µ =

r1

...

rm

, H =[hij

]i,j=1,..,m

onde hij é o elemento (i, j) da matriz H, dado por

hij =1

n

n∑t=1

(rit − ri) (rjt − rj) .

Exemplo 12.1.1 Considere-se um portfolio constituído pelas acções A1, A2 e A3. Vai ser

tomada uma decisão de investimento no valor de 1 milhão de Euros. A questão é: quanto

comprar de cada um desses activos? Com base em observações diárias suponha-se que se

obtém3:

µ =

5.22

6.05

5.98

H =

1.549 0.9534 0.465

0.9534 2.093 1.0416

0.465 1.0416 1.265

.

As rendibilidades estão anualizadas e em percentagem. Suponha-se que se pretende obter

um retorno esperado do portfolio de µp = 5.85. Usando a expressão (12.2) obtém-se

ω∗ (5.85) = g+µph =

0.176

0.104

0.720

.

3Estimativas baseadas nos retornos dos índices SP500, DowJones e PSI20, no período 04/01/1993-

04/09/2009.

408

Desta forma, a variância mínima do portfolio associado à rendibilidade 5.85 é

Vpt (5.85) = ω∗′Hω∗

=(

0.176 0.104 0.72)

1.549 0.9534 0.465

0.9534 2.093 1.0416

0.465 1.0416 1.265

0.176

0.104

0.720

= 1.03.

O vector de pesos óptimo associado à combinação(σp, µp

)=(√

1.03, 5.85)

diz-nos que a

composição do portfolio deve ser de 17.6% de A1, 10.4% de A2 e 72% de A3.

No exemplo anterior o investidor pode estar interessado em analisar outras combinações

de retorno versus risco (mínimo). Desta forma, podemos fixar outros valores para µp e, as-

sim, obter as correspondentes variâncias mínimas do portfolio. No exemplo anterior, µp pode

variar entre 5.22 e 6.05. Faça-se uma grelha de valores para µp, por exemplo, escrevam-se

100 valores equidistantes para µp no intervalo [5.22; 6.05] e obtenham-se as correspondentes

variâncias mínimas:

µp Vp(µp)

......

5.85 1.03...

...

6.05 1.32

O gráfico definido pelos pares ordenados(√

Vp(µp), µp

)onde µp é maior ou igual ao re-

torno associado à variância mínima de todos os portfolios designa-se por fronteira eficiente.

Na figura 12-1 traçam-se todos os pontos(√

Vp(µp), µp

). O ponto A representa o par

ordenado(√

Vp (µmin), µmin

)onde Vp (µmin) é o valor da variância mínima de todos os

portfolios e µmin é o retorno esperado associado (também mínimo). A fronteira eficiente

é dada pelo segmento AB. O ponto C não faz parte da fronteira eficiente, pois existe um

ponto D com igual variância mas retorno esperado superior. Assim, só os pontos sobre a

curva AB são relevantes para o investidor e, por isso, no gráfico definido pelos pares orde-

nados(√

Vp(µp), µp

)só interessam os pontos onde µp é maior ou igual ao valor da orde-

nada do ponto A. O investidor deve agora decidir qual o par(√

Vp(µp), µp

)sobre a curva

AB que mais lhe interessa, tendo em conta a sua maior ou menor aversão ao risco. Se for

averso ao risco tenderá a escolher um par(√

Vp(µp), µp

)mais próximo do ponto A; se tiver

maior apetência pelo risco tenderá a escolher uma solução mais próxima do ponto B. Contin-

409

Figura 12-1: Fronteira Eficiente: Curva AB

uando o exemplo anterior, suponha-se que a combinação preferida do investidor é(σp, µp

)=(√

1.03, 5.85). Tendo em conta que o vector de pesos é ω = (0.176, 0.104, 0.72)′, o inves-

timento de 1 milhão de Euros seria então alocado da seguinte forma: 176000 Euros em A1,

104000 em A2 e 720000 em A3.

A fronteira eficiente dada pelo segmento AB é uma função não linear. Esta conclusão é

imediata tendo em conta a representação paramétrica da função:

(√Vp(µp), µp

)=

(√(g+µph

)′H(g+µph

), µp

)=(√

c0 + c1µp + c2µ2p, µp

).

Se c0 = c1 = 0 a função seria linear.

Como determinar analiticamente o valor da variância mínima de todos os portfolios efi-

cientes? Trata-se, afinal, de determinar as coordenadas do ponto A =(√

Vp (µmin), µmin

)da figura 12-1. Para o efeito resolve-se o problema de optimização livre

dVp(µp)

dµp=d (ω∗′Hω∗)

dµp= 0,

cuja solução é

µmin = −g′Hh

h′Hg.

410

Inserindo este valor em Vp () obtém-se

Vp (µmin) = g′Hg−(g′Hh)2

h′Hh

Aplicando estas fórmula aos valores do exemplo anterior obtém-se µmin = 5.63 e Vp (µmin) =

0.919.

12.1.2 Modelo com Activo Sem Risco

O porfolio inclui agora o activo sem risco (por exemplo, obrigações e os títulos do Tesouro4).

Tem rendibilidade certa µf (e, por isso, tem variância e covariâncias nulas com os demais ac-

tivos). A rendibilidade do portfolio é agora ω′µ+ (1− ω′1)µf . O problema de optimização

passa a ser minωi ω′Hω

s.a ω′µ+ (1− ω′1)µf = µp.

Note-se que os pesos ω′1, (1− ω′1) , somam um. A matriz H mantém-se naturalmente

inalterada e, por isso, a função objectivo é a mesma. Apenas as restrições são modificadas.

Pode-se provar que a solução é

ω∗(µp)

= c(µp)ω,

c(µp)

=µp − µf(

µ−µf1)′

H−1(µ−µf1

) , ω = H−1(µ−µf1

).

Resulta que a variância mínima associada ao retorno µp é

Vp

(µp)

= ω∗′Hω∗ =(c(µp)ω)′

Hc(µp)ω =c

(µp)2ω′Hω.

Nesta formulação a composição da carteira dos activos com risco é fixa, dado µf , qual-

quer que seja o valor µp. Com efeito, ω∗ é proporcional a ω e a constante de proporcionali-

dade é c(µp). Por exemplo, suponha-se que se tem dois activos com risco e ω = (0.3, 0.6)′ .

Então dado o valor de µf , o número de acções do activo 2 é sempre o dobro do do activo 1,

qualquer que seja o valor que queiramos para a rendibilidade do portfolio.

A observação anterior sugere que o valor do portfolio pode ser dado como uma combi-

4Naturalmente, em condições normais, o estado não entra em falência. Não há portanto risco de incumpri-

mento. Mas é preciso notar que as obrigações e os títulos do Tesouro têm o risco da taxa de juro (risco da taxa

de juro subir e do preço dos títulos descer).

411

nação linear de um portfolio constituído apenas por activos de risco e o activo sem risco.

Este portfolio, constituído apenas por activos de risco, designa-se por tangency portfolio. Os

pesos deste portfolio não poderão ser exactamente dados por ω dado que os pesos ω′is não

somam um. Assim defina-se

ωT =ω∑mi=1 ωi

=ω

ω′1.

Note-se agora que a soma dos pesos do vectorωT somam um e ω = ωT ω′1. Podemos assim

escrever

ω∗ = c(µp)ω =c

(µp)ω′1ωT = aωT , a = c

(µp)ω′1.

O retorno do portfolio pode ser escrito como uma combinação linear entre o retorno do

tangency portfolio, µT e o retorno do activo sem risco, µf :

µp = ω∗′µ+ (1− ω∗′1)µf = aω′Tµ+ (1−a)µf = aµT + (1− a)µf .

Por seu lado a variância do portfolio pode também ser escrita em função de ωT :

Vp

(µp)

= ω∗′Hω∗ = aω′THaωT = a2ω′THωT = a2σ2T

e o desvio padrão do portfolio σp = aσT

A fronteira eficiente é linear no espaço(σp, µp

). Com efeito, usando algumas expressões

já deduzidas, tem-se (σp, µp

)=(aσT , aµT + (1− a)µf

).

Esta representação paramétrica da fronteira eficiente permite deduzir

σp = aσT ⇒ a =σpσT

e, substituindo o valor de a em µp = aµT + (1− a)µf , resulta que a fronteira eficiente no

espaço(σp, µp

)é dada pela recta (na forma reduzida)

µp = µf + sσp, s =µT − µfσT

.

Na figura 12-2 a fronteira eficiente é representada pela recta bT, i.e. µp = µf + sσp. O

declive da recta é s = (a− b) /c (na figura a representa µT , b representa µf e c representa

σT . O valor s é designado por rácio de Sharpe.

412

Figura 12-2: Fronteira Eficiente de um Portfolio com Activo Sem Risco (Recta)

12.2 Portfolio Baseado em Momentos Condicionais

O problema de optimização de um portfolio baseado nos dois primeiros momentos marginais

da distribuição dos retornos implica que a decisão de investimento se mantém fixa ao longo

do tempo, pois se o processo dos retornos é estacionário, como se admite na fase da esti-

mação dos parâmetros, os momentos Var (Rpt) e E (Rpt) são constantes ao longo tempo e,

por isso, a solução óptima é sempre a mesma, quaisquer que sejam as condições de mercado.

Naturalmente, nenhum gestor de fundos segue esta estratégia de investimento, mesmo que

as suas decisões se baseiem nos princípios do portfolio definido no ponto precedente. Na

prática podem estimar µ e H usando médias móveis ou alisamentos exponenciais para de-

sprezarem a informação antiga e actualizarem os parâmetros µ e H com informação mais

recente. Desta forma os peso ωi podem variar ao longo do tempo, e as decisões de investi-

mento podem ajustar-se de acordo com as condições de mercado. Mas a percepção de que

as condições de mercado se alteram ao longo do tempo exige uma abordagem diferente.

Uma decisão de investimento tomada no momento t−1, resulta da avaliação das condições

de mercado e, em geral, da informação disponível no momento t − 1. Esta decisão tomada

no período t − 1 pode naturalmente alterar-se no momento t, se as condições de mercado

e a informação disponível em t se alterarem também. Desta forma, a selecção dos activos

deve basear-se em momentos condicionais e não em momentos marginais. Recorde-se que

as melhores previsões dos retornos e da volatilidade para o período t, dada toda a informação

413

disponível até ao momento t− 1, são dadas pelos dois primeiros momentos condicionais. A

determinação dos pesos óptimos usando momentos condicionais assenta na ideia de que o

portfolio pode ajustar-se continuamente ao longo do tempo em função das condições de mer-

cado. Esta abordagem tem ainda a vantagem de contornar as criticas que se fazem às duas

primeiras hipóteses definidas na secção anterior (os retornos seguem uma distribuição mar-

ginal normal multivariada, e as correlações entre os retornos são fixas ao longo do tempo).

Como se sabe, no quadro de um modelo baseado em momentos condicionais variáveis, não

só a distribuição marginal não é (em condições muito gerais) normal, como também as cor-

relações (condicionais) podem ser variáveis ao longo do tempo.

Na formulação que a seguir apresentaremos, a decisão de investimento é tomada no mo-

mento t − 1, baseada numa suposição sobre o comportamento dos retornos esperados e do

risco envolvido no momento t. Na verdade as perdas ou ganhos que eventualmente ocorram

vão concretizar-se no momento t. É por esta razão que os momentos condicionais envolvem

variáveis aleatórias no momento t, dada a informação disponível em t− 1.

Estabeleça-se a seguinte notação:

• vector do valor esperado condicional dos retornos: µt = (E (R1t| Ft−1) , ...,E (Rmt| Ft−1))′ ;

• matriz das variâncias-covariâncias condicionais dos retornos: Var (rt| Ft−1) = Ht;

• vector dos pesos da carteira no momento t: ωt = (ω1t, ..., ωmt)′ ;

• retorno do portfolio: Rpt =∑m

i=1 ωitRit = ω′trt

• valor esperado condicional do portfolio: E (Rpt| Ft−1) = E (ω′trt| Ft−1) = ω′tµt

• Variância condicional do portfolio Vpt = Var (Rpt| Ft−1) = Var (ω′trt| Ft−1) =

ω′t Var (rt| Ft−1)ωt = ω′tHtωt.

Os principais resultados foram já obtidos nos pontos precedentes. Substituindo os mo-

mentos marginais pelos momentos condicionais têm-se os seguintes resultados:

• Pesos óptimos de um portfolio sem o activo sem risco, dado um determinado nível de

retorno µp,t:

ω∗t = ω∗t(µp,t)

= gt+µp,tht

414

onde

gt =βtδt

H−1t 1−αt

δtH−1t µ, ht=

γtδt

H−1t µt−

αtδt

H−1t 1

αt = µ′tH−1t 1, βt = µ′tH

−1t µt, γt = 1′tH

−1t 1, δt = βtγt − α2

t ,

1 = (1, 1, ..., 1)′ .

• Pesos óptimos de um portfolio com o activo sem risco, dado um determinado nível de

retorno µp,t:

ω∗(µp,t)

= c(µp,t)ωt,

c(µp)

=µp,t − µf(

µt−µf1)′

H−1t

(µt−µf1

) , ωt= H−1t

(µt−µf1

).

• A fronteira eficiente no espaço(σp, µp

)com o activo sem risco é

µp,t = µf + stσp,t, st =µT,t − µfσT,t

.

Este rácio de Sharpe depende de t, pois, em última análise, depende de µt e Ht.

Se o horizonte do investimento fosse h períodos e admitíssemos que não haveria lugar a

alterações do portfolio durante o período do investimento, os momentos condicionais rele-

vantes passariam a ser

E (rt+h| Ft) , Var (rt+h |Ft ) .

Quando o horizonte de previsão é elevado, os momentos condicionais são, em condições

ergódicas, aproximadamente iguais aos momentos marginais.

Naturalmente os valores esperados condicionaisµt e Ht são desconhecidos. É necessário

estimá-los, por exemplo, a partir de um modelo GARCH multivariado.

415

Página em branco

416

Capítulo 13

Risco de Mercado e o Valor em Risco


13.1 Introdução

Em resposta aos desastres financeiros ocorridos no passado recente, a gestão do risco sofreu

uma revolução nos últimos anos. O valor em risco ou Value at Risk (VaR) iniciou essa

revolução e tem ganho reconhecimento como medida fundamental na análise e na gestão do

risco de mercado das instituições financeiras. Presentemente, muitas instituições reportam

medidas de risco relacionadas com o VaR para o público em geral e, em certos casos, também

para agências reguladoras. Por exemplo, os bancos comerciais estão sujeitos a requisitos

mínimos de capital para cobrirem o seu risco de crédito e de mercado. O Acordo Basiléia II

estabelece taxas de segurança baseadas em modelos VaR.

A literatura financeira enumera vários tipos de risco, como por exemplo, risco de mer-

cado, risco de crédito, risco de liquidez, risco operacional (associado ao risco de fraude,

erros de transacção e de apreçamento, etc.) e risco sistémico (associado, por exemplo, a

situações de incumprimento devido a reacções em cadeia). Neste capítulo aborda-se o risco

de mercado, isto é, o risco associado às variações (inesperadas) de preços e taxas e algumas

metodologias de mensuração desse risco.

Para introduzir o VaR é instrutivo, em primeiro lugar, pensar-se em análise de cenários.

Neste tipo de análise, formulam-se vários resultados possíveis de acordo com a informação

disponível e, quando tal é possível, atribuem-se probabilidades aos diversos cenários. Em

geral, dá-se especial atenção aos piores cenários pois são estes que maior impacto têm sobre

o funcionamento normal da organização.

417

Para avaliar os piores cenários, podemos começar por formular a questão: “Qual é a

perda máxima que a organização pode sofrer num certo período de tempo?”. A resposta

não é particularmente informativa, pois a perda máxima significa perder tudo (com prob-

abilidade praticamente nula). Se reformularmos ligeiramente a questão, obtemos a me-

dida VaR: “Quanto é que podemos perder com probabilidade α > 0 num certo período

de tempo?”. Impõe-se que α seja não nulo mas razoavelmente pequeno com vista a avaliar

os eventos que embora raros podem ocorrer e afectar o funcionamento normal da organi-

zação. VaR é portanto a perda que pode ocorrer num lapso de tempo determinado, com

certa probabilidade α, supondo que o portfolio não é gerido durante o período de análise.

Em termos probabilísticos, o VaR é o quantil de ordem α (em módulo)1 da distribuição

teórica de ganhos e perdas. Para concretizar, seja ∆Vn+h := Vn+h − Vn a variação do

valor do capital investido não gerido durante o horizonte de risco de h dias. Por exem-

plo, considere-se a compra de 200,000 acções 2 de um título no período n , ao preço de

Pn = 5 Euros. O investimento é de Vn = 5 × 200, 000 = 1, 000, 000 Euros. Suponha-se

que no momento n + h o preço do título passa para Pn+h = 5.5 Euros. A variação do cap-

ital é de ∆Vn+h = 1, 100, 000 − 1, 000, 000 = 100, 000. O retorno (em tempo discreto) é

Rn+h = (Pn+h − Pn) /Pn = 0.1. É importante notar que o retorno pode também ser obtido

através da expressão Rn+h = ∆Vn+h/Vn.3 Pode supor-se que Vt é observado no período

t = 1, 2, ..., n, mas não em n + 1, n + 2, ... Os valores que V vier a assumir no periodo

n+ 1, n+ 2, ..., n+ h dizem respeito ao perído de investimento e, portanto, Vn+h, é descon-

hecido para h ≥ 1.

O VaR a 100α% baseado na distribuição marginal de ganhos e perdas é o valor VaR tal

que

P (∆Vn+h < −V aR) = α.

Por seu turno, o VaR a 100α% baseado na distribuição condicional é o valor VaR tal que

P (∆Vn+h < −V aR| Fn) = α.

1O quantil de ordem α < 0.05 da distribuição de ganhos e perdas é um valor negativo. Para que o VaR

represente efectivamente uma “perda”, considera-se esse quantil em valor absoluto.2Seguimos a notação anglo-saxónica: a vírgula separa os milhares.3Este facto é relevante, pelo seguinte. Como iremos ver mais à frente uma das abordagens possíveis ao VaR

consiste em modelar parametricamente o processo ∆Vt . Ora este processo é quase sempre não estacionário.

Para confirmar este facto, veja-se a figura 6-9, no ponto 6.3.2, onde se exibe uma trajectória típica de ∆Vt.Desta forma, usando a relação Rn+h = ∆Vn+h/Vn, pode-se modelar ∆Vn+h via retornos, que é geralmente

um processo estacionário.

418

O VaR (condicional) é uma medida que depende explicitamente de n, h e α e, portanto,

pode ser escrita como V aRn,n+h,α. A estimação do VaR envolve princípios e procedimentos

até certo ponto similares com a da previsão de ∆Vn+h. Em ambos os casos, a lei de prob-

abilidades relevante é a distribuição condicional de ∆Vn+h dado Fn, i.e., f ( ·| Fn) . Com

efeito, o previsor óptimo para ∆Vn+h dado Fn (de acordo com o critério do EQM) corre-

sponde ao primeiro momento da distribuição f ( ·| Fn), i.e., E (∆Vn+h| Fn) . Por seu turno,

o V aRn,n+h,α é o quantil de ordem α da distribuição de f ( ·| Fn). Em ambos os casos, as

quantidades de interesse são parâmetros da distribuição f ( ·| Fn) .

Uma vantagem do VaR é a de poder agregar numa única medida diferentes tipos de risco.

Pelo contrário, as medidas tradicionais de risco não são agregáveis. Revejam-se algumas

medidas tradicionais de risco.

O risco associado com uma obrigação do tesouro é o risco da taxa de juro e a medida

tradicional deste risco é a duração (medida de volatilidade do preço da obrigação face a vari-

ações da taxa de rendimento até à maturidade). O principal risco associado com obrigações

emitidas por entidades particulares é o risco de incumprimento (default risk), o qual pode

ser medido através de um sistema de rakings, disponibilizados em vários casos por agências

de crédito. Para portfolios de acções o risco é normalmente avaliado através da volatilidade

do portfolio, que é função das volatilidades individuais e das correlações entre os diferentes

activos. O risco de taxa de câmbio tipicamente inclui spreads e volatilidades das taxas de

câmbio. Os risco associados a swaps e opções também está sujeito a um tratamento especial.

Em geral, as medidas tradicionais de risco não podem ser agregadas numa única medida

(por exemplo, a duração de uma obrigação não pode ser comparada com a volatilidade de

um portfolio). Pelo contrário, uma das grandes vantagens da metodologia VaR é a de poder

agregar diferentes tipos de risco numa única intuitiva medida de risco.

Para simplificar admite-se inicialmente que o portfolio é constituído por apenas um ac-

tivo.

13.2 Abordagem Não Paramétrica

Seja

∆Vn+1 =∆Vn+1

VnVn = Rn+1Vn

419

variação do capital ao fim de um período. Por definição tem-se

P (∆Vn+1 < −V aRn,n+1,α| Fn) = α

ou, equivalentemente,

P (Rn+1Vn < −V aRn,n+1,α| Fn) = α,

P

(Rn+1 < −

V aRn,n+1,α

Vn

∣∣∣∣Fn) = α,

P(Rn+1 < qRα

∣∣Fn) = α.

Resulta V aRn,n+1,α = −qRαVn onde qRα é o quantil de ordem α da distribuição de Rn+1 dado

Fn.

Se assumirmos

P(Rn+1 < qRα

∣∣Fn) = P(Rn+1 < qRα

)o VaR pode estimado a partir da expressão

V aRn,n+1,α = −qRαVn

onde qRα é o quantil empírico de ordem α da série de retornos Rt4. Observe-se que nen-

huma hipótese é estabelecida sobre a distribuição (marginal) dos retornos - daí a designação

de “abordagem não paramétrica”.

No caso h > 1, considera-se

∆Vn+h =∆Vn+h

VnVn = Rn+h (h)Vn

Para determinar V aRn,n+h,α resolve-se a expressão

P (∆Vn+h < −V aRn,n+h,α| Fn) = α

4Na literatura existem diferentes fórmulas para calcular o quantil empírico de ordem α.Usaremos a seguinte

convenção: o quantil empírico qRα corresponde à estatística de ordem [nα] , sendo [x] o inteiro de x. Por

exemplo, na amostra de dimensão n = 6, 1, 4, 2, 7, 15, 0 , as estatísticas de ordem são: y(1) = 0, y(2) = 1,y(3) = 2, y(4) = 4, y(5) = 7, y(6) = 15. O quantil de ordem α = 0.9 é a estatística de ordem [0.9× 6] = 5,isto é, y(5) = 7.

420

em ordem a V aRn,n+h,α ou, equivalentemente, resolve-se a expressão

P (Rn+h (h)Vn < −V aRn,n+h,α| Fn) = α

P

(Rn+h (h) < −V aRn,n+h,α

Vn

∣∣∣∣Fn) = α

P(Rn+h (h) < qRα

∣∣Fn) = α

em ordem a qRα e obtém-se depois V aRn,n+1,α = −qRαVn. Se assumirmos

P (Rn+h (h) < qα| Fn) = P (Rn+h (h) < qα)

o VaR pode estimado a partir da expressão

V aRn,n+h,α = −qRαVn

onde qRα é o quantil empírico de ordem α da série de retornos Rn+h (h) , n = 1, 2, ....

Naturalmente, o VaR pode ser obtido a partir directamente da distribuição empírica das

variações de capital ∆Vn+h, n = 1, 2, ... .Neste caso viria V aRn,n+h,α = −q∆Vα , onde q∆V

α

é o quantil empírico de ordem α da série ∆Vn+h, n = 1, 2, ....

Se a análise incide sobre um portfolio linear, na construção da série histórica dos retornos

Rp,t = ω1R1,t + ω2R2,t + ...+ ωnRn,t,

onde ωi são os pesos do capital investido no activo i (∑n

i=1 ωi = 1), os pesos devem per-

manecer fixos durante todo o período histórico.

A abordagem não paramétrica embora tenha a vantagem de ser simples, sofre dos seguinte

problemas:

• Embora a distribuição não esteja especificada (por isso mesmo é que o procedimento

se designa por não paramétrico) assume-se (incorrectamente) que a distribuição rele-

vante para obter o VaR é a distribuição marginal de Rn+h e não a distribuição condi-

cional. Mas o VaR está associado a uma previsão dos retornos dada (obviamente) a

informação disponível Fn e, por isso, é a distribuição condicional que nos interessa.

Assim, mesmo que no período n se registe, por exemplo, alta volatilidade e perdas

acentuadas, essa informação é negligenciada para obter o VaR.

421

• Quando α é muito baixo por exemplo α = 0.01 ou inferior o estimador qRα é muito im-

preciso. A justificação teórica é dada pelo seguinte resultado assimptótico. Suponha-

se que Xt, t = 1, ..., n é uma sucessão de variáveis i.i.d. com função distribuição

F e função densidade de probabilidade f e seja qα = inf x : F (x) ≥ α . O quantil

empírico qα (isto, é a estatística de ordem [nα]) tem distribuição assimptótica dada por

√n (qα − qα)

d−→ N

(0,α (1− α)

(f (qα))2

).

A variância assimptótica de qα “explode” quando a fdp no ponto valor qα, f (qα) , é

aproximadamente zero. Isto sucede quando qα é um valor extremo (i.e., muito afastado

do centro da distribuição), isto é, quando α é um valor muito baixo, perto de zero, (ou

muito alto, perto de 1). Em suma, a variância do quantil empírico é alta nas abas e

baixa no centro da distribuição.

• Até onde coligir os dados? Considerar todo o passado disponível? Ou só o pas-

sado recente? Esta questão é mais relevante neste procedimento do que em outros,

pois a metodologia exposta atribui o mesmo peso a todas as observações. Normal-

mente considera-se o passado recente pois dados muito antigos podem não reflectir

a dinâmica do processo no presente e no futuro imediato (será relevante atribuir im-

portância ao crash de 1929-31 para obter o VaR num futuro próximo?). Por outro lado,

também não convém definir janelas de observações muitas curtas pois a eficiência do

estimador do quantil de ordem α pode ser severamente afectada, sobretudo quando α

é muito baixo. Vários estudos indicam como razoável considerar-se os últimos dois

ou três anos de observações.

13.3 Abordagem Paramétrica

Considere-se novamente a expressão para o caso h = 1:

∆Vn+1 =∆Vn+1

VnVn = Rn+1Vn ' rn+1Vn.

Esta expressão mostra que a distribuição condicional de rn+1Vn apenas depende da dis-

tribuição de rn+1 (no momento n, Vn é conhecido). Podemos assim concentrar-nos ape-

nas sobre a distribuição de rn+1. Assuma-se rn+1| Fn ∼ D(µn+1, σ

2n+1

)onde D é uma

422

distribuição qualquer de média µn e variância σ2n. Tem-se

P (∆Vn+1 < −V aRn,n+1,α| Fn) = α

P

(rn+1 < −

V aRn,n+1,α

Vn

∣∣∣∣Fn) = α.

Estandardizando rn+1, isto é, considerando

Zn+1 =rn+1 − µn+1

σn+1

vem

P

(Zn+1 <

−V aRn,n+1,αVn

− µn+1

σn+1

∣∣∣∣∣Fn)

= α (13.1)

−V aRVn− µn+1

σn+1

= qZα ⇒ V aRn,n+1,α = −(µn+1 + qZασn+1

)Vn (13.2)

(qZα é o quantil de ordem α da distribuição da variável Zn+1).

No caso h > 1 tem-se

∆Vn+h =∆Vn+h

VnVn

≈ (rn+1 + rn+2 + ...+ rn+h)Vn, rn+i = log (Pn+i/Pn+i−1)

= rn+h (h)Vn.

Não é por mero acaso que se passa de ∆Vn+h para rn+h (h)Vn. A ideia é obter a distribuição

de ∆Vn+h a partir da distribuição de rn+h (h) . Claro que, formalmente, ∆Vn+h é igual a

Rn+h (h)Vn (onde Rn+h (h) são os retornos discretos multi-períodos). O problema com esta

relação decorre do facto da distribuição de Rn+h (h) ser geralmente difícil de tratar.

Para determinar V aRn,n+h,α considera-se

P (rn+h (h)Vn < −V aRn,n+h,α| Fn) = α

P

(rn+h (h) < −V aRn,n+h,α

Vn

∣∣∣∣Fn) = α

423

e, estandardizando5 rn+h (h), i.e.,

Zn+h =rn+h (h)− E (rn+h (h)| Fn)√

Var (rn+h| Fn)

vem

P

(Zn+h <

−V aRn,n+h,αVn

− E (rn+h (h)| Fn)√Var (rn+h| Fn)

∣∣∣∣∣Fn)

= α.

Conclui-se

−V aRn,n+h,αVn

− E (rn+h (h)| Fn)√Var (rn+h (h)| Fn)

= qZα

⇒ V aRn,n+h,α = −(

E (rn+h (h)| Fn) + qZα√

Var (rn+h (h)| Fn))Vn (13.3)

Estas fórmulas gerais serão agora adaptadas a casos mais simples.

13.3.1 Modelo Gaussiano Simples

O caso mais simples consiste em assumir

rt = µ+ ut, (13.4)

onde ut é um ruído branco Gaussiano, ut ∼ N (0, σ2) .Assim, rn+1 ∼ N (µ, σ2) .No caso

h = 1, tem-se, pela fórmula (13.2)

V aRn,n+1,α = −(µ+ qZασ

)Vn

onde qZα é o quantil de ordem α da distribuição N (0, 1) (observe-se que a variável Zn+1

na expressão (13.1) tem distribuição N (0, 1)). No caso h > 1 é necessário deduzir-se

a distribuição condicional de rn+h (h). Como, por hipótese, rn+h (h) não depende Fn, a

distribuição condicional coincide com a distribuição marginal. Pelas propriedades habituais

da distribuição normal vem rn+h (h) = rn+1 + rn+2 + ...+ rn+h ∼ N (hµ, hσ2) . Assim,

E (rn+h (h)| Fn) = E (rn+h (h)) = hµ

Var (rn+h (h)| Fn) = Var (rn+h (h)) = hσ2

5Admitindo que faz sentido a estandardizazção. Veremos que no caso geral a distribuição de Wn+h é

desconhecida.

424

e, portanto, pela aplicação da fórmula (13.3), vem

V aRn,n+h,α = −(hµ+

√hσqZα

)Vn.

Se µ = 0 deduz-se V aRn,n+h,α =√hV aRn,n+1,α

13.3.2 Modelo RiskMetrics

As hipóteses de normalidade e variância condicional constante, assumidas no modelo an-

terior, são, como se sabe, bastante limitativas. Um modelo relativamente simples, mas

assumindo variância condicional não constante corresponde ao modelo RiskMetrics desen-

volvido pela J.P. Morgan para o cálculo do VaR. A metodologia baseia-se no modelo EWMA

(equação (8.7)):

rt = σtεt, σ2t = (1− λ) r2

t−1 + λσ2t−1

onde εt é um ruído branco de média nula e variância 1. O modelo assenta na hipótese

IGARCH(1,1) com termo constante nulo, ω = 0, e média condicional nula, µt = 0. Para

obter V aRn,n+h,α aplica-se uma vez mais a fórmula (13.3). Para o efeito estude-se a dis-

tribuição condicional de rn+h (h) . Comece-se por verificar que

E (rn+i| Fn) = 0, E(σ2n+i

∣∣Fn) = σ2n (Ver previsão IGARCH, ponto 8.11.1).

Logo, tendo em conta que E (rtrt+i) = 0, vem

E (rn+h (h)| Fn) = 0

Var (rn+h (h)| Fn) = Var (rn+1 + ...+ rn+h| Fn)

= Var (rn+1| Fn) + ...+ Var (rn+h| Fn)

= E(σ2n+1

∣∣Fn)+ ...+ E(σ2n+h

∣∣Fn)= hσ2

n.

425

São conhecidos os dois primeiros momentos. Falta conhecer-se a lei de probabilidade de

rn+h (h) . Assuma-se que rn+h (h)| Fn tem distribuição aproximadamente normal6

rn+h (h)| Fna∼ N (E (rn+h (h)| Fn) ,Var (rn+h (h)| Fn)) .

Pela fórmula (13.3) vem

V aRn,n+h,α = −(qZα√hσn

)Vn

onde qZα é o quantil de ordem α da distribuição N (0, 1) .

Naturalmente outras distribuições podem ser consideradas. Note-se finalmente V aRn,n+h,α =√hV aRn,n+1,α.

13.3.3 Modelo ARMA-GARCH

Assuma-se agora

φp (L) rt = µ+ θq (L)ut

ut = σtεt, ut ∼ GARCH.

6A distribuição de rn+h (h)| Fn é geralmente desconhecida. Mesmo no caso em que rn+1| Fn tem

distribuição normal, rn+i| Fn para i = 2, 3, ... não tem distibuição normal. Relembre-se que, sob certas

condições, a distribuição de rn+i| Fn quando i → +∞ converge para a distribuição marginal que geralmente

é diferente da distribuição condicional. Pode-se mostrar que a função de distribuição de rn+h (h)| Fn é

Fn,h (x) =

∫rn(h)≤x

f (rn+h (h)| Fn+h−1)h−1∏i=1

f (rn+i| Fn+i−1) drn+1...drn+h.

Esta expressão só é conhecida no caso h = 1. Para h > 1 a expressão anterior é intratável. Neste caso a

fdp rn+h (h)| Fn pode considerar-se desconhecida (Tsay (2001), cap.7 conclui erradamente que εn ∼ Normal

⇒ rn+h (h)| Fn ∼ Normal). Apesar destas observações, podemos assumir

rn+h (h)| Fn ≈ N (E (rn+h (h)| Fn) ,Var (rn+h (h)| Fn))

por duas razões:

• se h = 1 e ε ∼ N (0, 1) , rn+h (h)| Fn terá certamente distribuição normal. A distribuição de

rn+h (h)| Fn no caso h = 2 ou h = 3 não deverá, em princípio, afastar-se muito da distribuição

normal;

• com h alto e supondo r estacionário e fracamente dependente, pode-se invocar o teorema do limite

central. Com efeito rn+h (h)| Fn/√

Var (rn+h (h)| Fn) é uma soma normalizada que, sob certas

condições, converge em distribuição para Z ∼ N (0, 1).

426

Tal como no caso anterior, temos de obter a distribuição de rn+h (h)| Fn. Tem-se

E (rn+h (h)| Fn) = µn+1,n + ...+ µn+h,n

onde µn+i,n = E (rn+i| Fn) é a previsão de r para o momento n + i dada a informação

disponível no momento n. Para obter Var (rn+h (h)| Fn) comece-se por observar que

Var (rn+h (h)| Fn) = E((rn+1 + ...+ rn+h −

(µn+1,n + ...+ µn+h,n

))2∣∣∣Fn)

= E(

(en (1) + ...+ en (h))2∣∣Fn) (13.5)

Vimos no ponto 6.6.4 que

en (h) = ψ0un+h + ψ1un+h−1 + ...+ ψh−1un+1 =

h−1∑j=0

ψjun+h−j.

Como

en (1) = un+1,

en (2) = un+2 + ψ1un+1,

...,

en (h) = un+h + ψ1un+h−1 + ...+ ψh−1un+1

resulta

en (1) + ...+ en (h) = un+1 + (un+2 + ψ1un+1) + ...+

h−1∑j=0

ψjun+h−j

= un+h + (1 + ψ1)un+h−1 + ...+

(h−1∑j=0

ψj

)un+1.

Como ut é um RB vem

Var (rn+h (h)| Fn) = E(

(en (1) + ...+ en (h))2∣∣Fn)

= Var (un+h| Fn) + (1 + ψ1)2 Var (un+h−1| Fn)

+...+

(h−1∑j=0

ψj

)2

Var (un+1| Fn) . (13.6)

427

Falta conhecer-se a lei de probabilidade de rn+h (h) . Sob a hipótese

rn+h (h)| Fna∼ N (E (rn+h (h)| Fn) ,Var (rn+h (h)| Fn))

e atendendo à formula (13.3) vem

V aRn,n+h,α = −(

E (rn+h (h)| Fn) + qZα√

Var (rn+h (h)| Fn))Vn

onde E (rn+h (h)| Fn) e Var (rn+h (h)| Fn) são dados pelas expressões (13.5) e (13.6).

Exemplo 13.3.1 Considere-se o modelo

rt = σtεt, σ2t = ω + α1r

2t−1 + β1σ

2t−1.

Tendo em conta que

σ2n+k,n =

ω

1− α1 − β1

+ (α1 + β1)k−1 (α1r2n + β1σ

2n

), (un = rn)

resulta

Var (rn+h (h)| Fn) = Var (un+h| Fn) + Var (un+h−1| Fn) + ...+ Var (un+1| Fn)

=h∑k=1

σ2n+k,n

=h∑k=1

(ω

1− α1 − β1

+ (α1 + β1)k−1 (α1r2n + β1σ

2n

))=

1

1− α1 − β1

(hω −

(α1r

2n + β1σ

2n

) ((α1 + β1)h − 1

)).

Tem-se

rn+h (h)| Fn ∼ N (0,Var (rn+h (h)| Fn))

e

V aRn,n+h,α = −(qZα

√1

1− α1 − β1

(hω − (α1r2

n + β1σ2n)(

(α1 + β1)h − 1)))

Vn.

Exemplo 13.3.2 Na tabela seguinte apresentam-se os resultados da estimação GARCH dos

retornos do Dow Jones (28317 observações diárias).

428

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.00

0.05

0.10

0.15

h

VaR

Figura 13-1: Value at Risk como função de h. V aRn+h,n,0.01 traço grosso; V aRn+h,n,0.05

traço fino.

Dependent Variable: retornos do Dow JOnesMethod: ML ARCHIncluded observations: 28317 after adjusting endpoints

Coefficient Std. Error zStatistic Prob.C 0.000416 4.54E05 9.155216 0.0000

Variance EquationC 1.17E06 5.17E08 22.67097 0.0000

ARCH(1) 0.085080 0.001263 67.38911 0.0000GARCH(1) 0.905903 0.001542 587.6203 0.0000

Rsquared 0.000450 Mean dependent var 0.000188Adjusted Rsquared 0.000556 S.D. dependent var 0.010753S.E. of regression 0.010756 Akaike info criterion 6.640694Sum squared resid 3.275823 Schwarz criterion 6.639529Log likelihood 94026.27 DurbinWatson stat 1.921149

Sabe-se que rn = −0.0101, σ2n = 0.00014.

Dado que o modelo envolve um termo constante c, o V aRn,n+h,α estimado, supondo

Vn = 1, corresponde à expressão

−ch+ qZα

√1

1− α1 − β1

(hω −

(α1u2

n + β1σ2n

)((α1 + β1

)h− 1

))

onde un = rn − c = −0.0101− 0.000416 = −.01051. Na figura 13-1 representa-se o V aR

para α = 0.01 e para α = 0.05 em função de h.

Exemplo 13.3.3 Considere-se o modelo

rt = c+ φrt−1 + ut, ut = σtεt (13.8)

σ2t = ω + γu2

t−1Iut−1<0 + βσ2t−1. (13.9)

429

Tem-se,

E (rn+h (h)| Fn) = µn+1,n + ...+ µn+h,n.

Tendo em conta a estrutura AR(1), vem pela equação (6.12),

µn+h,n = c1− φh

1− φ + φhyn.

Assim,

E (rn+h (h)| Fn) =

(c1− φ1

1− φ + φ1yn

)+ ...+

(c1− φh

1− φ + φhyn

)=

yn (−1 + φ)φ(−1 + φh

)+ c(h (1− φ) + φ

(−1 + φh

))(−1 + φ)2

Por outro lado, para calcular Var (rn+h (h)| Fn) é necessário obterψi (confira-se (13.6)).

Como se sabe, ψj são os coeficientes que resultam da equação ψ (L) = φ−1p (L) θ (L) (veja-

se a equação (6.15)). No caso AR(1) facilmente se conclui que ψ (L) = 1+φL+...+φkLk+

..., pelo que ψi = φi. A aplicação da fórmula (13.6) envolve também Var (un+h| Fn) :=

σ2n+h,n que é necessário estabelecer. Para o modelo definido em (13.9) tem-se,

σ2n+1,n = ω + γu2

nIun<0 + βσ2n

σ2n+2,n = ω + (γ/2 + β)σ2

n+1,n

...

σ2n+h,n = ω + β∗σ

2n+h−1,n, β∗ = γ/2 + β.

Resolvendo iterativamente σ2n+h,n como função de σ2

n+1,n facilmente se conclui que

σ2n+h,n =

ω

1− β∗+ βh−1

∗

(σ2n+1,n −

ω

1− β∗

).

A equação (13.6), para o modelo em análise, escreve-se agora da seguinte forma

Var (rn+h (h)| Fn) =

h∑k=1

(h−k∑j=0

φj

)2(ω

1− β∗+ βh−1

∗

(σ2n+1,n −

ω

1− β∗

)) .

430

O valor de Var (rn+h (h)| Fn), dado pelo programa Mathematica, é igual a

− 1

(−1 + φ)2 (−1 + β∗)

(hω +

φ(−1 + φh

) (−2− φ+ φ1+h

)−1 + φ2

+σ2n+1,n

(1− βh∗

)+ω(1− βh∗

)−1 + β∗

+(ω + σ2

n+1,n (β∗ − 1))×

×

φ2+2h

((β∗φ2

)h− 1

)φ2 − β∗

− 2

φ1+h

((β∗φ

)h− 1

)φ− β∗

.

13.4 Generalização: Portfolio com m Activos

Obtenha-se agora o VaR supondo que o portfolio é constituído porm acções. Para simplificar

assuma-se que

rt = (R1t, ..., Rmt)′∣∣Ft−1 ∼ N (µt,Ht)

onde µt := E (rt| Ft−1) e Var (rt| Ft−1) := Ht. No momento n o portfolio vale Vn, por

exemplo, uma alocação de 1 milhão de Euros no título 1 e 2 mihões no título 2, traduz-se por

um investimento no valor de Vn = 3 milhões, sendo ω1 = 1/3 desse valor investido no título

1 e ω2 = 2/3 investido no título 2. A obtenção do VaR é similar ao do caso de um portfolio

com apenas 1 activo:

P (∆Vn+1 < −V aRn,n+1,α| Fn) = α

P

(∆Vn+1

VnVn < −V aRn,n+1,α

∣∣∣∣Fn) = α

P

(Rp,n+1 < −

V aRn,n+1,α

Vn

∣∣∣∣Fn) = α.

Estandardizando Rp,n+1, isto é, considerando

Zn+1 =Rp,n+1 − E (Rp,n+1| Fn)√

Var (Rp,n+1| Fn)

vem

P

(Zn+1 <

−V aRn,n+1,αVn

− E (Rp,n+1| Fn)√Var (Rp,n+1| Fn)

∣∣∣∣∣Fn)

= α

−V aRn,n+1,αVn

− E (Rp,n+1| Fn)√Var (Rp,n+1| Fn)

= qZα ⇒ V aRn,n+1,α = −(

E (Rp,n+1| Fn) + qZα

√Var (Rp,n+1| Fn)

)Vn

431

Tendo em conta que Rp,n+1 =∑m

i=1 ωiRi,n+1 = ω′rn+1, tem-se Rp,n+1 = E (Rp,n+1| Fn) =

ω′µn+1 e Var (Rp,n+1| Fn) = ω′Hn+1ω e, finalmente

V aRn,n+1,α = −(ω′µn+1 + qNα

√ω′Hn+1ω

)Vn

onde qNα é o quantil de ordem α da distribuição N (0, 1) .

Exemplo 13.4.1 Considere-se um portfolio, no momento n, constituído por de 1 milhão de

Euros no título 1 e 2 mihões no título 2. Admita-se a seguinte distribuição R1,n+1

R2,n+1

∣∣∣∣∣∣Fn ∼ N

0

0

,

0.01 0.002

0.002 0.005

.

Tem-se para α = 0.05

V aRn,n+1,α = 1.645

√√√√√( 1/3 2/3) 0.01 0.002

0.002 0.005

1/3

2/3

× 3 = 0.32 milhões.

O valor em risco com uma probabilidade de 0.05 para um horizonte temporal de h = 1

período é de cerca de 0.32 milhões de euros.

Se considerassemos os dois activos separadamente teríamos:

V aR do título 1 = 1.645√

0.01× 1 = 0.164

V aR do título 2 = 1.645√

0.005× 2 = 0.232.

Observa-se que a soma dos VaR individuais, 0.164 + 0.232 = 0.396, é maior do que o VaR

do portfolio.

13.5 Abordagem pela Teoria dos valores Extremos

A teoria dos valores extremos é um ramo da estatística que se preocupa essencialmente com

o comportamento probabilístico dos valores extremos da amostra e, portanto, centra a sua

análise nas caudas da distribuição. Esta análise é importante em todos os fenómenos em

que a ocorrência de valores muitos altos e muitos baixos é relevante, como por exemplo,

ocorrência de cheias, furacões, recordes desportivos, etc. A teoria dos valores extremos tem

432

também sido aplicada na actividade seguradora e, mais recentemente, nas área das finanças,

no cálculo do VaR.

Recorde-se a abordagem não paramétrica. Vimos que o VaR pode estimado a partir da

expressão

V aRn,n+1,α = −qrαVn (13.10)

onde qrα é o quantil empírico de ordem α da série de retornos Rt (também poderia ser a

partir de rt). Como referimos no ponto 13.2, a estimativa qα é muito imprecisa quando

α é muito baixo (ou muito alto). Como iremos ver a teoria dos valores extremos tem uma

resposta para este problema. O objectivo deste ponto é obter uma estimativa para qa via

teoria dos valores extremos.

13.5.1 Introdução à Teoria e Estimação. VaR Marginal

A teoria dos valores extremos trata habitualmente os eventos extremos que ocorrerm na

aba direita da distribuição. Seguiremos esta lógica na introdução e, depois, por analogia,

focaremos a aba esquerda que é a relevante para o cálculo do VaR. O leitor poderá consultar

o livro de Franke et. al (2008) para mais pormenores sobre a teoria.

Seja yt; i = 1, 2, ..., n uma sucessão de v.a. i.i.d. e Mn = max y1, y2, ..., yn o máx-

imo da amostra. Pode-se provar que se existirem constantes normalizadoras cn > 0, dn ∈ R

e uma distribuição não degenerada H (isto é, que não atribui toda a massa de probabilidade

a um único ponto) tal que c−1n (Mn − dn)

d−→ H, então H é da forma

Hξ (x) = exp− (1 + ξx)−1/ξ

, 1 + ξx > 0, ξ 6= 0.

Nestas circunstâncias, para n suficientemente grande, tem-se P (c−1n (Mn − dn) ≤ x) '

Hξ (x) (ou, P (Mn ≤ x) ' Hξ

(x−λδ

)para algum λ ∈ R e δ > 0). O caso ξ = 0 deve

ser interpretado no seguinte sentido: H0 (x) = limξ→0Hξ (x) = e−e−x. H é designado na

literatura por Generalised Extreme Value distribution (GEV)

Quando o resultado anterior se verifica para a v.a. y, com função de distribuição F e

distribuição limite H, diz-se que F pertence ao domínio máximo de atracção da distribuição

H e, neste caso, escreve-se F ∈ DM (H).

A metodologia de estimação que iremos apresentar, intitulada POT (peaks-over-threshold),

assenta na seguinte proposição:

433

Proposição 13.5.1 Suponha-se que yt é uma sucessão de v.a. com função de distribuição

F . Então as seguintes proposições são equivalentes: 1) F ∈ DM (H); 2) para alguma

função β : R+ → R+,

limu↑xF

sup0<x<xF−u

∣∣Fu (x)−Gξ,β(u) (x)∣∣ = 0 (13.11)

onde

xF ≡ sup x ∈ R : F (x) < 1 ≤ ∞

Fu (x) = P (y − u ≤ x| y > u)

Gξ,β (x) =

1−(

1 + ξ xβ

)−1/ξ

, 1 + ξ xβ> 0, x > 0 se ξ 6= 0

1− e−x, x ≥ 0 se ξ = 0.

Gξ,β é a função de distribuição generalizada de Pareto e Fu (x) é a designada excess

distribuition function. A equação (13.11) basicamente estabelece que (na classe das funções

F tais que F ∈ DM (H)), para valores altos de u, Fu é aproximadamente igual a Gξ,β e,

portanto, uma estimativa para Fu pode basear-se em Gξ,β (sempre que u é relativamente

alto). Tendo em conta que, por definição,

1− Fu (x) = P (y − u ≥ x| y > u) =1− F (x+ u)

1− F (u)

segue-se (considerando o primeiro e o terceiro termo da expressão anterior)

1− F (x+ u) = (1− F (u)) (1− Fu (x))

ou (fazendo a substituição de x+ u por x, passando agora x a ser definido por x > u),

1− F (x) = (1− F (u)) (1− Fu (x− u)) , u < x <∞. (13.12)

Esta relação juntamente com (13.11) constitui o essencial do método que se expõe para a

estimação do VaR. Como F e consequentemente Fu são funções desconhecidas, a expressão

do lado direito de (13.12) pode ser estimada da seguinte forma

(1− F (u)

)(1− Fu (x− u)

)

434

onde,

1− F (u) =1

n

n∑j=1

Iyj>u =N (u)

n, Fu (x− u) = Gξ,β (x− u) .

A estimativa do lado direito de (13.12) é

(1− F (u)

)(1− Fu (x− u)

)=N (u)

n

(1− Gξ,β (x− u)

)=N (u)

n

(1 + ξ

x− uβ

)−1/ξ

.

Substitua-se na expressão (13.12), x por qδ:

1− F (qδ) =N (u)

n

(1 + ξ

qδ − uβ

)−1/ξ

1− δ =N (u)

n

(1 + ξ

qδ − uβ

)−1/ξ

.

Resolvendo esta equação para qδ obtém-se

qδ = u+β

ξ

((n

N (u)(1− δ)

)−ξ− 1

). (13.14)

Se δ não for um valor muito alto (perto de 1) podemos usar para estimativa de qδ a

estatística de ordem [nδ] . Vimos, no entanto, que se δ for um valor muito alto a variância

assimptótica deste quantil empirico aproxima-se de mais infinito. Nestas circunstâncias, a

teoria dos valor extremos tem uma solução que consiste em estimar qδ pela expressão (13.14).

Existem ainda três questões por analisar: 1) Como estimar ξ e β?; 2) como escolher u? e

3) como obter o VaR?

Estimação de ξ e β

Sejam y(1), y(2), ..., y(n) as estatísticas de ordem tais que

y(1) ≥ y(2) ≥ ... ≥ y(N(u)) ≥ ... ≥ y(n)

e Yi = y(i) − u (nota: y(1) é o valor máximo, y(2) é o segundo valor mais alto etc.; relembra-

se o leitor que usámos y(1) para o mínimo, y(2) para o segundo mais baixo, etc. Resulta da

notação que y(1) = y(n), y(n) = y(1), etc.). Para estimar ξ e β dado que N (u) = m é fixo,

assume-se que Y1, Y2, ..., Ym é uma sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição Gξ,β (y) (ξ > 0) .

435

Logo, a função log-verosimilhança é

logLm (ξ, β|Y1, Y2, ..., Ym, N (u) = m) = −m log β −(

1 +1

ξ

) m∑j=1

log

(1 +

ξ

βYj

).

(13.15)

Os estimadores de máxima verosimilhança ξ e β obtém-se a partir da maximização de

logLm. Pode-se provar que, para ξ > −1/2 e m→∞

√m

ξ − ξββ− 1

d−→ N

0

0

,

(1 + ξ)2 − (1 + ξ)

− (1 + ξ) 2 (1 + ξ)

−1 .

Como escolher u?

Quando u é muito alto o valor de N (u) é baixo (significa que o número de observações

efectivamente usadas na estimação é baixo) e a variância do estimador tende a ser alta.

Quando u é baixo, a aproximação para Fu (x) , usando a distribuição Gξ,β (x) tenderá a

ser pobre e, como consequência o estimador qδ pode vir fortemente enviesado.

Para ajudar na escolha de u considera-se o seguinte resultado: se Z ∼ Gξ,β e 0 ≤ ξ < 1,

então the average excess function é linear:

e (u) = E (Z − u|Z > u) =β

1 + ξ+

ξ

1 + ξu, u ≥ 0, 0 ≤ ξ < 1.

Este resultado sugere seleccionar o limiar u de forma que a função estimada para e (u) ,

en (v) , para os valores v ≥ u seja (aproximadamente) linear. Pode-se provar que

en (u) =1

N (u)

n∑j=1

max (yj − u) , 0 .

Para verificar se en (v) é (aproximadamente) linear pode-se analisar no plano o gráfico dos

pontos(y(k), en

(y(k)

))onde y(1), y(2), ..., y(n) são as estatísticas de ordem tais que

y(1) ≤ y(2) ≤ ... ≤ y(n).

Devido à alta variabilidade de en(y(k)

)quando k alto, recomenda-se a eliminação desses

pontos na análise gráfica.

Como obter o VaR?

Como focámos a cauda direita da distribuição (e a que interessa é a esquerda) assume-

436

se yt = −rt. Assim, se qδ é o quantil de ordem δ associada à variável y, então qrα = −qδcom α = 1 − δ, é o quantil de ordem α associado à variável r. Pela equação (13.10), uma

estimativa para o VaR é

V aR = −qrαVn = qδVn, δ = 1− α.

Para obter o VaR a α100% pode-se seguir os seguintes passos:

1. Definir yt = −rt;

2. Definir δ = 1− α;

3. Seleccionar u;

4. Obter(ξ, β), maximizando (13.15);

5. Calcular qδ usando a equação (13.14);

6. Obter o V aR = qδVn

13.5.2 VaR Condicional

O ponto anterior assentou na hipótese de rt; i = 1, 2, ..., n ser uma sucessão de v.a. i.i.d.

Esta hipótese é irrealista. O VaR calculado sob esta hipótese não reflecte a volatilidade cor-

rente no momento n (seria de esperar o VaR aumentasse quando no momento n a volatilidade

é alta). McNeil e Frey (2000) propõem uma abordagem condicional do VaR no âmbito da

teoria dos valores extremos. A ideia assenta no modelo ARMA-GARCH rt = µt+σtεt. Se o

modelo estiver bem especificado será de esperar que εt se comporte aproximadamente como

uma sucessão de v.a. i.i.d. Como os resultados principais da teoria dos valores extremos

se aplicam a sequências i.i.d., é preferível aplicá-los à sucessão εt do que directamente

a rt , pois esta sucessão não é geralmente i.i.d., devido à presença de volatilidade não

constante.

Seja qεα o quantil da distribuição de εt obtido seguindo a metodologia do ponto anterior.

Tem-se assim,

P (εn+1 < qεα| Fn) = α

P

(rn+1 − µn+1

σn+1

< qεα

∣∣∣∣Fn) = α

P(rn+1 < µn+1 + qεασn+1

∣∣Fn) = α.

437

Em suma, uma vez apurado qεα, o quantil da distribuição condicional de rn+1 vem igual a

qrα = µn+1 + qεασn+1.

Como εt não é observado, toma-se

εt =rt − µtσt

onde µt e σt são estimativas da média e da variância condicional baseadas em estimadores

consistentes. Finalmente,

qrα = µn+1 + qεασn+1.

13.6 Avaliação do VaR (Backtesting)

Neste ponto avalia-se a qualidade da estimativa proposta para o VaR. Esta avaliação é impor-

tante por várias razões. As empresas (sobretudo bancos) que usam o VaR são pressionadas

interna e externamente (por directores, auditores, reguladores, investidores) para produzirem

VaR precisos. Um VaR preciso é fundamental na gestão e controle do risco e na alocação de

capital. Por essa razão é essencial que empresa teste regularmente as suas medidas de risco,

na linha das recomendações adoptadas em acordo internacionais. Por outro lado, embora a

definição de VaR seja muito precisa e objectiva, existem diferentes métodos de estimação do

VaR, que produzem diferentes estimativas (algumas bastante díspares); por isso, é importante

identificar a melhor abordagem para o problema concreto em análise.

Christoffersen e Diebold (2000) analisam a qualidade e a precisão dos intervalos de con-

fiança produzidos para uma certa série. Parte da metodologia pode ser adaptada na análise

da qualidade do VaR. Seja V aRt,t−1,α uma estimativa para o VaR a α100% para o período t

baseado na informação t − 1. Sendo este VaR construído no período t − 1 não se sabe, an-

tecipadamente, se no período t se tem ou não ∆Vt < −V aRt,t−1,α. Intuitivamente, é natural

esperar que a desigualdade ∆Vt < −V aRt,t−1,α, com t a variar, ocorra α100% das vezes.

Considere-se o evento aleatório,

It =

1 se ∆Vt < −V aRt,t−1,α ou rt < −V aRt,t−1,αVt−1

0 no caso contrário.

438

Diz-se que a previsão do VaR produz uma cobertura marginal correcta (correct uncondi-

cional coverage) se

P (It = 1) = α⇔ E (It) = α.

Se esta condição se verifica então em α100% dos casos deverá observar-se ∆Vt < −V aRt,t−1,α.

É exactamente este raciocínio que se estabelece a priori quando se procura definir o VaR a

α100%. Interessa depois saber se, na prática, essa desigualdade se verifica efectivamente

em α100% das vezes. Esta condição é, naturalmente, necessária mas não suficiente para

identificar uma medida VaR como apropriada. Suponha-se, como habitualmente nas séries

financeiras, que se tem o fenómeno de volatility clustering. Momentos de alta (baixa) volatil-

idade são seguidos por momentos de alta (baixa) volatilidade. Nestas circunstâncias, o VaR

deve ser alto nos momentos de alta volatilidade e baixo nos momentos de baixa volatilidade.

Se o V aRt,t−1,α não reflecte o fenómeno de volatility clustering (nem em termos gerais as

propriedades da distribuição condicional) então o VaR tenderá a falhar como medida de risco

em períodos consecutivos. Um VaR assim definido traz a seguinte implicação sobre It: em

momentos de alta volatilidade os 1′s tendem a repetir-se (por exemplo, It = 1, It+1 = 1,

It+2 = 1, etc.), pois tenderá a observar-se em períodos seguidos ∆Vt < −V aRt,t−1,α e, em

momentos de baixa volatilidade, uma repetição de 0′s. Ou seja a sucessão It tenderá a ap-

resentar dependência temporal (será autocorrelacionada). Mesmo neste caso, de autocorre-

lação de It, poderá ter-se E (It) = α. Por esta razão a cobertura marginal embora necessária

não é suficiente para identificar o VaR como uma medida precisa.

Diz-se que a previsão do VaR produz uma cobertura condicional correcta (correct condi-

cional coverage) se

P (It = 1| Ft−1) = α⇔ E (It| Ft−1) = α.

Esta condição implica ausência de autocorrelação, pois, tendo em conta a lei do valor esper-

ado iterado,

Cov (It, It−k) = E (ItIt−k)− E (It) E (It−k)

= E (It−k E (It| Ft−k))− E (E (I| Ft−1)) E (E (It−k| Ft−k−1))

= E (It−k E (E (It| Ft−1)| Ft−k))− E (E (I| Ft−1)) E (E (It−k| Ft−k−1))

= E (It−k E (α| Ft−k))− E (α) E (α) = αE (It−k)− α2 = 0.

439

Existem várias formas de testar a cobertura marginal e condicional. Por exemplo, se It

é uma sucessão de v.a. i.i.d. e E (It) = α, então ambas as coberturas são válidas. Outra

possibilidade consiste em analisar somente a cobertura condicional pois, pela lei do valor

esperado iterado, tem-se, com vimos atrás,

E (It| Ft−1) = α⇒ E (It) = E (E (It| Ft−1)) = E (α) = α.

Analise-se o teste de independência de It. Uma possibilidade neste sentido baseia-se no

runs test. Procede-se da seguinte forma. Seja X o número sequências seguidas de 1′s ou

0′s (X é o número de runs)7. Por exemplo, na sucessão 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0 temos

X = 5. Sejam n0 e n1 o número de zeros e uns, respectivamente, e n = n0 + n1 a dimensão

da amostra. O número X fornece informação sobre se a amostra é aleatória ou não. Se

ocorrem poucas sequências de 1′s ou 0′s, como no exemplo,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , (X = 2)

há indicação de dependência temporal na sucessão. Se ocorrem “demasiadas” sequências,

como no exemplo,

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 (X = 13)

também podemos suspeitar algum tipo de dependência temporal (flutuações cíclicas de período

curto). Sob a hipótese, H0: It é uma sucessão de v.a. independentes, a distribuição de X

dado n0 e n1 é conhecida. Quando n0 > 20 ou n1 > 20 é mais conveniente usar-se o

resultado assimptótico. Sob H0 tem-se

Z =X − E (X)√

Var (X)

d−→ N (0, 1)

7O número máximo que X pode assumir é

maxX =

2 min n0, n1 se n0 = n12 min n0, n1+ 1 se n0 6= n1.

440

onde

E (X) =2n0n1

n+ 1

Var (X) =2n0n1 (2n0n1 − n)

n2 (n− 1).

O teste é bilateral (afastamento à hipótese nula pode dever-se quando X é alto ou baixo).

Rejeita-se H0 se a probabilidade P (|Z| > |zobs|) estiver abaixo do nível de significância

fixado.

Se a hipótese H0 não pode ser rejeitada pelos dados, pode-se assumir que It é uma

sucessão de v.a. i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro E (It) . Interessa agora

investigar a cobertura marginal, i.e. se E (It) coincide com α. Seja Sn =∑n

i=1 Ii = n1 a

soma dos 1′s que, como se sabe, tem distribuição Binomial de parâmetros (n,E (It)) . Sob a

hipótese

H0: E (It) = α

a estatística de teste (rácio de verosimilhanças)

RV = −2 logL (α|H0)

L (α)= −2 log

αn1 (1− α)n0

αn1 (1− α)n0

tem distribuição assimptótica χ2(1). α é o estimador de máxima verosimilhança, α = n1/n e

α é a probabilidade previamente fixada para o VaR (por exemplo, α = 0.01 ou α = 0.05).

Exemplo 13.6.1 Suponha-se que numa amostra de 800 observações foi calculado o VaR a

5% (α = 0.05). Observou-se n0 = 750, n1 = 50, X = 90 (na amostra a desigualdade

∆Vt < −V aRt,t−1,α verificou-se 50 vezes). Haverá razões para pensar que o VaR a 5

% é inapropriado? Considere-se primeiro a hipótese, H0: It é uma sucessão de v.a.

independentes. Tem-se:

zobs =90−

(2n0n1n

+ 1)√

2n0n1(2n0n1−n)n2(n−1)

=90− 94.75

3.298= −1.43.

Como o valor-p P (|Z| > 1.43) ' 0.15 é relativamente alto não se rejeita H0. Considere-se

agora H0: E (It) = 0.05. Tem-se α = n1/n = 0.0625 e

RVobs = −2 log0.05n1 (1− 0.05)n0

αn1 (1− α)n0= 2.447.

441

Como o valor-p P(χ2

(1) > 2.477)' 0.118 é relativamente alto não se rejeita H0.

Assim, existe evidência de que o VaR estimado é uma medida adequada.

Se It segue uma cadeia de Markov (em tempo discreto, com espaço de estado 0, 1), o

teste run pode apresentar baixa potência8, isto é, se o usamos o teste run quando It segue

uma cadeia de Markov, a probabilidade de rejeitar independência pode ser baixa.

Suponha-se que It segue uma cadeia de Markov com a seguinte matriz de probabilidades

de transição

P =

1− p01 p01

1− p11 p11

onde pij = P (It = j| It−1 = i) . Só no caso muito particular p01 = p11, It é uma sucessão

de v.a. i.i.d. (com distribuição de Bernoulli). Com efeito, sob a hipótese de independência,

p01 = P (It = 1| It−1 = 0) = P (It = 1| It−1 = 1) = p11

ou seja, a probabilidade de It = 1 não depende do valor assumido por I no período anterior

(e, pode provar, também não depende da história passada de I). Nesta condições It é não

autocorrelacionado9. Imagine-se, pelo contrário, a seguinte matriz de probabilidades, 0.8 0.2

0.1 0.9

.

Calcule-se a probabilidade de It = 1. Se It−1 = 1 a probabilidade de It = 1 é 0.9, mas se

It−1 = 0 a probabilidade de I passar para o estado 1 é de apenas 0.2. Observa-se, portanto,

forte dependência temporal na sucessão It.

Para ensaiar independência, a hipótese nula mantém-se no essencial como no teste runs

test, H0: It é uma sucessão de v.a. independentes ou sejaH0: p01 = p11. Para a avaliarmos

o rácio de verosimilhanças é necessário obter-se, em primeiro lugar, a função de verosimil-

hança associada a sucessão I1, ..., In; facilmente se conclui que

L (pij) = (1− p01)n00 pn0101 (1− p11)n10 pn1111 ,

onde nij é o número de vezes em que I passou de i para j. As estimativas de máxima

8A potência de um teste é a probabilidade de rejeitar H0 dado que H1 é verdadeira.9Pode-se provar que Corr (It, It−1) = p11 − p01. Logo se p11 = p01 a correlação entre It e It−1 é nula.

Nestas condições pode-se também provar que Corr (It, It−k) = 0, para k ∈ N.

442

verosimilhança de pij obtêm-se facilmente a partir de L (pij) ,

p01 = n01/n, p11 = n11/n.

Por outro lado, sob H0: p01 = p11 (substitua-se p01 e p11 por p1)

RV = −2 logL (pij|H0)

L (pij)= −2 log

(1− p1)n00+n10 pn01+n111

(1− p01)n00 pn0101 (1− p11)n10 pn1111

d−→ χ2(1)

onde p1 = (n01 + n11) /n. Uma variante interessante deste teste consiste em tomar como

hipótese nula H0: p01 = p11 = α (não só se testa a independência como também a cobertura

marginal, E (It) = α). Com se têm agora duas restrições impostas em H0 (p01 = p11,

p01 = α), a estatística de teste é

RV = −2 log(1− α)n00+n10 αn01+n11

(1− p01)n00 pn0101 (1− p11)n10 pn1111

d−→ χ2(2).

A vantagem deste teste do ponto de vista prático é clara: de uma vez só, ensaia-se a cobertura

marginal e condicional.

Estes testes, baseados no modelo da cadeia de Markov sofrem no entanto de uma lim-

itação: baseiam-se em dependências de primeira ordem. Ora, pode suceder que It dado

It−1 dependa ainda de It−2. Neste caso, os testes baseados no modelo da cadeia de Markov,

podem perder bastante potência.

Clements e Taylor (2003) generalizam a abordagem anterior. A hipótese E (It| Ft−1) =

α sugere que It dado Ft−1 apenas depende de uma constante, α. Assim, se It depende de

alguma variável Ft−1 mensurável, a hipótese E (It| Ft−1) = α deve ser rejeitada. Para testar

a possibilidade de It depender de alguma variável Ft−1 mensurável, uma possibilidade con-

siste em fazer uma regressão de It sobre as variáveis definidas em Ft−1 (como por exemplo,

It−1, It−2, ..., variáveis dummy reportadas a t− 1, t− 2, etc., retornos, etc.),

It = α0 +k∑i=1

αiIt−i + x′t−1β + ut

onde x′t−1 é um vector 1 ×m de variáveis Ft−1 mensuráveis (que de alguma forma podem

estar parcialmente correlacionadas com It) e β é um vector de parâmetros m×1. A hipótese

de correcta cobertura marginal e condicional envolve o ensaio H0 : α1 = 0, ..., αk = 0, β =

0, α0 = α. Naturalmente a estatística F pode ser usada. Tendo em conta a natureza da

443

variável I, em princípio seria mais apropriado uma regressão binária. No entanto, Sarma et

al. (2003) refere que na presença de forte assimetria dos dados (mais de 95% ou 99% dos

dados são 0’s ou 1’s) a regressão binária envolve problemas técnicos. Para grande amostras

o estimador OLS é apropriado.

444

Página em branco

445

Referências(referências incompletas!)

Basrak, B., R. Davis e T. Mikosch (2002). Regular variation of GARCH processes. Sto-

chastic Processes and their Applications 99(1), pp. 95-115.

Christiansen, C. (2007). Volatility-Spillover Effects in European Bond Markets. European

Financial Management, 13 (5), pp. 923-948.

Bauwens, L., A. Preminger e J. Rombouts (2006). Regime switching GARCH models.

Département des Sciences Economiques Working Paper 2006-6.

Christoffersen, P. e F, Diebold (2000). How Relevant is Volatility Forecasting for Financial

Risk Management? Review of Economics and Statistics 82(1), pp. 12-22

Davies, (1987). Hypothesis testing when a nuisance parameter is present only under the

alternative. Biometrika 74, pp. 33-43.

Dimson E., P. Marsh e M. Staunton (2002). Triumph of the Optimists:101 Years of Global

Investment Returns, Princeton University Press.

Engle R. (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Vari-

ance of United Kingdom Inflation. Econometrica 50 pp. 987-1007.

Engle R. (2001). Financial Econometrics - a New Discipline with new Methods. Journal

of Econometrics 100, pp. 53-56.

Engle, R. (2002). Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate Gen-

eralized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Models. Journal of Business

& Economic Statistics, 20(3), pp. 339-50.

Fama, E. (1970). Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work.

Journal of Finance 25 (2), pp. 383-417.

Engle R. e K. Kroner (1995). Multivariate Simultaneous Generalized ARCH. Econometric

Theory 11, pp. 122-150.

Fan, J. e Q. Yao (2005), Nonlinear Time Series, Springer Series in Statistics, New York.

446

Franke, J., W. Hardle e C. Hafner (2008). Statistics of Financial Markets: An Introduction,

2a ed., Springer, Berlin Heidelberg New-York.

Franses, P. e van Dijk, D. (2000). Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance,

Cambridge University Press, Cambridge.

Gospodinov, N. (2005). Testing For Threshold Nonlinearity in Short-Term Interest Rates.

Journal of Financial Econometrics, 3(3), pp. 344-371.

Gray, S., (1996). Modeling the Conditional Distribution of Interest Rates as a Regime-

Switching Process. Journal of Financial Economics, 42(1), pp. 27-62.

Groeneveld, R.A. e G. Meeden (1984). Measuring skewness and kurtosis. The Statistician,

33, pp. 391-399.

Lundbergh, S. e T. Teräsvirta (2002). Evaluating GARCH models. Journal of Econometrics

110(2), pp. 417-435 .

McNeil, A. e R. Frey (2000). Estimation of Tail-Related Risk Measures for Heteroscedastic

Financial Time Series: an Extreme Value Approach. Journal of Empirical Finance 7,

pp. 271-300.

Mokkadem, A. (1985). Le Modèle Non Linéaire AR(1) Général. Ergodicité et Ergodicité

Géometrique. Comptes Rendues Academie Scientifique Paris 301(I), pp. 889-892.

Morgan J., (1996). RiskMetrics Technical Document, Part II: Statistics of Financial Mar-

ketReturns, 4th edition, New York.

Murteira, B. (1990). Probabilidades e Estatística, Vol. I e II. Mc Graw-Hill.

Nelson, D. (1990). Stationarity and persistence in the GARCH(1,1) model. Econometric

Theory 6, pp. 318-334.

Nicolau, J. (2004). Equações Diferenciais & Equações às Diferenças, Texto de Apoio no

28, CEMAPRE-ISEG/UTL.

Pascuala L. , J. Romob e E. Ruiz (2006). Bootstrap Prediction for Returns and Volatilities

in GARCH models. Computational Statistics & Data Analysis, 50(9), pp. 2293-2312.

Pinto, S. (2010), Transmissão de Volatilidade nos Mercados Financeiros durante Períodos

de Crises, Tese de Mestrado em Matemática Financeira, ISEG/UTL.

447

Stelzer, R. (2009). On Markov-Switching Arma Processes? Stationarity, Existence of Mo-

ments, and Geometric Ergodicity. Econometric Theory, 25(1), pp. 43-62.

Taylor, H. e S. Karlin (1984). An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press,

New York.

Taylor S. (2005). Asset Price Dynamics, Volatility, and Prediction, Princeton University

Press.

Wooldridge, J. (1994). Estimation and Inference for Dependent Processes, in Handbook

of Econometrics, Vol. 4 , pp. 2641-2700., edited by Engle R.F. and McFadden D.L.

Elsevier Science B.V. , Amsterdam.

448

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