econometria ii

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMIA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE ECONOMIA

.

CAPITULO I

MODELOS MULTIECUACIONALES 1. EVALUACIÓN DE MODELOS MULTIECUACIONALES

1.1. EXOGENEIDAD

En términos generales:

1º Variable Endógena es aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar.

2º Variable exógena es aquella cuyos valores se toman como datos para analizar

el comportamiento de las endógenas.

Para seleccionar variables exógenas se considera el criterio siguiente:

DEPARTAMENTAL Se consideran como exógenas aquellas que están

total o parcialmente al margen del sistema (Clima,

población, política, tecnología)

CAUSAL Se consideran exógenas aquellas que no están

influidas por las endógenas.

Según Koopmans (1950) la definición estadística de exogeneidad debe ser

más estricta que la definición teórica.

DEFINICIÓN I: En un sistema con variables retardadas se considera como

estadísticamente exógenas además de las anteriores las que

cumplan las siguientes condiciones:

1º Que sólo intervengan en las ecuaciones estructurales con algún nivel de

retardo.

2º Que aún interviniendo sin ningún nivel de retardo, estás sólo dependan de

variables estrictamente exógenas o de variables retardadas.

DEFINICIÓN ESTADÍSTICA: Partimos de la definición de un sistema completo

como:

X X X X u

X X X X u

X X X X u

t t t rt rt t

it i t i t ri rt it

rt r t r t rr rt rt

1 11 1 21 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

= + + + += + + + += + + + +

α α αα α αα α α

* * ... *

* * ... *

* * ... *

2

y presentando una función de distribución conjunta de las perturbaciones aleatorias

independiente para cada periodo t, así:

En un sistema sin variables retardadas se considera como estadísticamente

exógenas aquellas variables cuya función de distribución es independiente de las

variables exógenas. Es decir:

1º El conjunto de variables endógenas no intervienen en las ecuaciones de las

endógenas.

2º Las funciones de distribución de las perturbaciones aleatorias son

independientes.

3º El Jacobiano del conjunto de perturbaciones aleatorias con respecto al total de

variables presenta valores nulos en las perturbaciones correspondientes a las

variables exógenas con respecto a las variables endógenas.

Por lo general, se distinguen dos conceptos de exogeneidad:

1º Predeterminación Una variable es predeterminada en una ecuación

específica si es independiente de los errores

contemporáneo y futuro en tal ecuación. Es decir:

( ) ( ) ( ) .0;0;0 ≠== −+ nttttmtt uXEuXEuXE

2º Exogeneidad Estricta Una variable es estrictamente exógena si es

independiente de los contemporáneo, futuro y

pasado en la ecuación relevante. Es decir:

( ) ( ) ( ) .0;0;0 === −+ nttttmtt uXEuXEuXE

Para explicar estos conceptos es preciso considerar un modelo con variables

rezagadas; así:

ttttt

ttttt

uXYYX

uXYXY

21221212

11121111

+++=+++=

−−

−−

ββαββα

u t1 y u t2 son mutua y serialmente independientes.

En la primera ecuación, si 02 =α entonces tX está predeterminada para tY .

Considerando la segunda ecuación, si 02 =α y 021 =β entonces tX es

estrictamente exógena para tY . Si 021 ≠β entonces tX depende de 1,1 tu por medio

),,( 1 rit uuuf LL

3

de 1−tY .

En los modelos no dinámicos y sin correlación serial en los errores, no es

necesario hacer esta distinción.

Engle, Hendry y Richard sugieren tres conceptos adicionales:

1º Exogeneidad débil.- una variable tX es débilmente exógena para estimar un

conjunto de parámetros si la inferencia sobre condicional

en tX no supone una pérdida de información. Es una

condición requerida para la estimación eficiente.

Ejemplo: tY y tX tienen una distribución normal bivariada, existen cinco

parámetros: 12221121 ,,,, σσσuu . Es posible transformarlos

mediante una transformación unívoca en ( )2,, σβα y ( )222 ,σu .

Ambos conjuntos son separados, por lo tanto, para estimar

( )2,, σβα no es necesario información de ( )222 ,σu .

2º Superexogeneidad.- Si tX es débilmente exógena y los parámetros en la

distribución conjunta de tY y tX permanecen sin cambios

ante las variaciones en la distribución marginal de tX . Es

una condición requerida para propósitos de política.

Ejemplo: Si modificamos 22u y 22σ (parámetros en la distribución

marginal de tX se producen cambios en ( )2,, σβα , entonces no

es superexógena.

3º Exogeneidad fuerte.- Si tX es débilmente exógena y no está precedida

por ninguna de las variables endógenas del

sistema.

Ejemplo: Se tiene el modelo:

tttt

ttt

uYXX

uXY

21211

1

++=+=

−− ααβ

( )tt uu 21 , se distribuye normal bivariada y son serialmente independientes,

( ) ( ) ( ) 1221222111 , σσσ === tttt uuCovatyuVatuVat .

Si 012 =α entonces tX es débilmente exógena debido a que la

distribución marginal de tX no involucra a β ni a 11σ .

Pero la segunda ecuación demuestra que tY precede a tX , es decir, tX

4

depende de 1−tY ; por lo tanto, tX no es fuertemente exógena.

La definición de Engle, Hendry y Richard es en términos de un

concepto llamado causalidad de Granger. Así:

"Si tX es débilmente exógena y no es causada en el sentido de Granger por

ninguna de las variables endógenas del sistema, entonces se define como

fuertemente exógena".

1.2. PRUEBA DE EXOGENEIDAD

El enfoque de la Fundación Cowles para ecuaciones simultáneas sostiene el

punto de vista de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad.

Tenemos un modelo de ecuaciones simultáneas con tres variables endógenas

321 ,, YYY y tres variables exógenas 321 ,, ZZZ .

Supongamos que la primera ecuación del modelo es:

ttttt uZYYY 11133221 +++= αββ

se quiere probar si es posible tratar a 32 YyY como exógenas para la estimación de

esta ecuación.

Para probar esta hipótesis seguimos el siguiente procedimiento:

1º Obtenemos los valores predichos de 32 YyY , a partir de las ecuaciones en la

forma reducida para estas últimas.

2º Luego se estima el modelo:

ttttttt uYYZYYY 133221133221ˆˆ +++++= γγαββ

empleando mínimos cuadrados ordinarios.

3º Se realiza la prueba de Wald para probar la hipótesis:

0:

0:

321

320

≠≠==

γγγγ

H

H

si se acepta la hipótesis nula entonces 32 YyY si pueden tratarse como

exógenas en la estimación de la ecuación; y si se rechaza la hipótesis nula

entonces 32 YyY no pueden tratarse como exógenas en la estimación de la

ecuación.

Se tiene el modelo siguiente:

5

tttt

tttt

ttttt

uCINDDINF

uINFDDI

uDDENCIDD

3321

2321

114321

+++=+++=

++++= −

δδδβββ

αααα

Verificaremos que las variables DD e INF se pueden tratar cono exógenas en

la segunda ecuación, se tiene el procedimiento siguiente:

1º Estimamos la forma reducida de DD e INF y obtenemos los valores predichos

estáticos de DD e INF, nos da:

Dependent Variable: DD

Method: Least Squares

Sample: 1992:02 1997:12

Included observations: 71

============================================================

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

============================================================

C 37.82578 11.54381 3.276716 0.0017

DD(-1) 0.686693 0.087386 7.858146 0.0000

ENC -0.400755 0.206661 -1.939190 0.0567

CIN 0.038788 0.010386 3.734700 0.0004

============================================================

R-squared 0.848166 Mean dependent var 207.9296

============================================================

DDF

================================================================================

Modified: 1992:02 1997:12 // frdd.fit ddf

1992:01 NA 144.7520 146.4577 147.9097 153.1752 151.2739

1992:07 155.2140 164.7869 156.9519 154.5775 156.8674 157.9472

1993:01 171.6747 164.1451 170.1863 164.5127 158.1686 153.1212

1993:07 164.9365 178.5399 164.1107 167.7566 173.7750 173.9148

1994:01 194.8023 180.7786 182.7720 188.9755 178.1305 179.3825

1994:07 185.6961 219.4566 196.9213 200.7219 201.4028 200.8673

1995:01 239.0520 215.7034 224.6584 236.4655 225.9911 219.8976

1995:07 225.4408 247.7038 230.3212 234.5356 234.8269 230.6908

1996:01 258.3213 233.7957 230.7273 237.7114 241.8207 242.2752

1996:07 236.4521 250.4778 238.3640 235.9629 235.6657 237.1514

1997:01 260.8767 241.0755 244.8116 257.7485 259.6422 261.2410

1997:07 253.4000 279.0850 267.5338 260.7541 266.3076 261.8484

================================================================================

Dependent Variable: INF


Sample: 1992:02 1997:12


============================================================


============================================================

C 5.239088 0.542312 9.660657 0.0000

DD(-1) -0.019710 0.004105 -4.801078 0.0000

ENC 0.053570 0.009709 5.517762 0.0000

CIN -0.001711 0.000488 -3.507769 0.0008

============================================================


============================================================

6

INFF

================================================================================

Modified: 1992:02 1997:12 // frinf.fit inff

1992:01 3.500000 4.008865 3.872067 3.424886 3.545896 3.490536

1992:07 2.875449 3.159742 3.740656 3.466783 3.676729 2.952576

1993:01 3.270704 2.953143 3.007627 3.047820 3.690561 3.643172

1993:07 2.353319 2.372938 2.984426 2.271774 2.434575 1.733955

1994:01 1.423582 1.805801 1.524053 1.334873 1.867048 1.901173

1994:07 2.005350 0.926592 1.317732 1.282110 1.420033 1.150795

1995:01 0.215221 0.944469 0.608405 0.371529 1.193807 1.102860

1995:07 1.269565 0.729651 1.096230 1.045941 1.129630 1.238353

1996:01 0.811535 1.334264 1.524015 0.831504 0.646067 0.558532

1996:07 1.241294 0.626075 1.364197 0.873296 1.130797 1.108127

1997:01 0.471394 1.091477 1.313852 0.135472 -0.091280 -0.022570

1997:07 0.575497 -0.462633 0.228249 0.256949 0.207520 0.663370

================================================================================

2º Se estima el modelo extendido, obteniéndose:

Dependent Variable: I


Sample: 1992:02 1997:12


============================================================


============================================================

C 26.54475 15.14426 1.752793 0.0843

DD 0.003468 0.050426 0.068765 0.9454

INF 2.088850 1.073380 1.946050 0.0559

DDF -0.042697 0.076812 -0.555866 0.5802

INFF 2.607720 2.241078 1.163601 0.2488

============================================================


============================================================

3º Realizamos la prueba de Wald para probar la hipótesis:

0:

0:

541

540

≠≠==

γγγγ

H

H

El Eviews da el resultado siguiente:

Wald Test:

Equation: MEI

====================================================

Null Hypothesis C(4)=0

C(5)=0

====================================================

F-statistic 2.252994 Probability 0.113108

Chi-square 4.505988 Probability 0.105084

====================================================

se realiza la comparación:

( )66,2,95.01357193449.3252994.2 FF =<=

se acepta la hipótesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden tratarse

como exógenas en la segunda ecuación.

7

1.3. CAUSALIDAD DE GRANGER

En algunas oportunidades es importante determinar si cambios en una variable

causa cambios en otra variable.

El test de causalidad de Granger nos ayuda a determinar si de acuerdo a los

datos (no la teoría) existe una variable cuyos cambios anteceden cambios en otra

variable. Es importante que las series sean estacionarias para evitar el riesgo de

obtener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esta característica es

necesario aplicar alguna transformación para convertirlas en estacionarias,

asumiendo que al hacerlo se mantienen las relaciones de causalidad.

Granger se basa en la premisa de que el futuro no puede provocar el presente o

el pasado.

Si un evento A ocurre después de un evento B, se sabe que A no puede

provocar a B. Al mismo tiempo, si A ocurre antes de B, esto no necesariamente

implica que A provoque a B.

Consideremos dos series de tiempo ( )tt XyY , la serie tX fracasa en la

causalidad de Granger de tY si en una regresión de tY sobre las Y rezagadas y las X

rezagadas los coeficientes de esta última son cero. Es decir, la hipótesis es:

( )0:

,...,2,10:

1

0

≠==

i

i

H

kiH

ββ

y se estima el siguiente modelo:

∑∑=

−=

− ++=k

i

titi

k

i

itit uXYY11

βα

si se acepta la hipótesis nula, entonces tX fracasa en causar a tY , siendo K arbitrario.

Si se rechaza la hipótesis nula, es decir X causa Y, entonces cambios en X deben

preceder en el tiempo a cambios en Y.

La prueba de causalidad de Granger asume que la información relevante para

la predicción de las variables tY y tX está contenida únicamente en los datos de

series de tiempo sobre estas variables.

El test dependerá de m (el # de rezagos) y este es arbitrario, es decir uno

puede especificar el número de rezagos. Y el resultado de pronto se vería afectado.

Entonces uno debería efectuar los tests con diferentes rezagos y asegurarse que la

conclusión del test no se afecte por el número de rezagos.

Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiente modelo:

8

ttttt

ttttt

uXYYX

uXYXY

21221212

11121111

+++=+++=

−−

−−

ββαββα

escribamos la forma reducida del modelo:

tttt

tttt

vXYX

vXYY

2122121

1112111

++=++=

−−

−−

ππππ

para la no causalidad de Granger se requiere que 021 =π . En cambio, para que tX

sea predeterminada de tY debe cumplirse que 02 =α . Para que tX sea estrictamente

exógena para tY se requiere que 02 =α y 021 =β .

Sabemos que:

21

21112

211 αα

ββαπ

−+

=

entonces 021 =π no implica que 02 =α y 021 =β . Por lo tanto, la prueba de

causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeterminación ni a la prueba de

exogeneidad estricta.

1.4. EVALUACIÓN

Mucho de lo establecido para modelos uniecuacionales es directamente

aplicable con la inmediata generalización que supone trabajar con g ecuaciones en

lugar de con una sola.

La diferencia conceptual al analizar los errores en modelos multiecuacionales,

respecto al caso de ecuación única, reside en que ahora los errores en la variable

endógena de una ecuación no pueden asignarse directamente a un defectuoso

funcionamiento de la misma, sino que frecuentemente vendrán inducidos por errores

en otras ecuaciones conexas con la que estamos estudiando.

El proceso de evolución se realiza ecuación por ecuación y siguiendo los

mismo criterios que en la evaluación de un modelo multiecuacional; es decir, el

criterio económico, criterio estadístico y criterio econométrico.

1.4.1. CRITERIO ECONÓMICO

Consiste en contrastar si los resultados de la estimación cumplen con las

restricciones impuestas por la teoría económica.

La evaluación consiste en verificar si las categorías de signo y tamaño son los

que la teoría exige. Por lo tanto, existen sólo dos alternativas:

A.- Los parámetros estimados tengan el tamaño y el signo que la teoría señala, o

9

B.- los parámetros estimados no posean las características que la teoría espera.

Tenemos el modelo de determinación de la renta siguiente:

( )tttt

ttttt

ttt

GGIBCPPBI

uTIBPBIPBIIB

uPBICP

++=++−+=

++=

− 22110

110

βββαα

La teoría económica determina que:

0010 211 <><< ββα

Los resultados econométricos de la estimación del modelo son:

Dependent Variable: CP

Method: Two-Stage Least Squares

Sample(adjusted): 1950:2 1985:4

Included observations: 143 after adjusting endpoints

Instrument list: C PBI(-1) TIB GG

============================================================


============================================================

C -142.1103 10.13736 -14.01848 0.0000

PBI 0.673290 0.004185 160.8802 0.0000

============================================================


Adjusted R-squared 0.994549 S.D. dependent var 484.8804

S.E. of regression 35.79936 Sum squared resid 180704.8

F-statistic 25882.43 Durbin-Watson stat 0.165631

Prob(F-statistic) 0.000000

============================================================

Dependent Variable: IB

Method: Two-Stage Least Squares

Sample(adjusted): 1950:2 1985:4

Included observations: 143 after adjusting endpoints

Instrument list: C PBI(-1) TIB GG

============================================================


============================================================

C 61.22132 48.49890 1.262324 0.2089

PBI-PBI(-1) 7.496991 1.826459 4.104659 0.0001

TIB 35.78810 5.098588 7.019217 0.0000

============================================================

R-squared -1.225633 Mean dependent var 385.1077

Adjusted R-squared -1.257428 S.D. dependent var 130.6596

S.E. of regression 196.3126 Sum squared resid 5395412.

F-statistic 29.63298 Durbin-Watson stat 1.342052

Prob(F-statistic) 0.000000

============================================================

La función consumo personal presenta correcto el signo y tamaño del

parámetro, mientras la función inversión bruta presenta un signo correcto y el otro

cambiado.

10

1.4.2. CRITERIO ESTADÍSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN)

Consiste en someter a los parámetros estimados a una serie de test o exámenes

para determinar su grado de confiabilidad o certeza.

La investigación aplicada ha centrado todos estos exámenes en el uso del

siguiente procedimiento:

A.- Test o Prueba de Hipótesis: Pueden ser pruebas individuales o conjuntas,

dentro de las cuales se encuentran las pruebas de significancia. La regla de

decisión es: Si el estadístico calculado supera al valor de la tabla se rechaza la

hipótesis nula, es decir, el estadístico calculado cae en la región crítica.

B.- Test de Bondad de Ajuste: de un modelo estimado a través del coeficiente de

determinación (R2): El coeficiente de determinación nos indica la proporción

o porcentaje de variación total en la variable dependiente que ha sido

explicada por los cambios de las variables explicativas del modelo.

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL:

En la función de consumo personal, la propensión marginal a consumir es

significativa al 5% (0.0000); mientras que en la función de inversión bruta, el

acelerador y el coeficiente de la tasa de interés son significativos al 5 % (0.0001 y

0.0000 respectivamente).

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL:

La función de consumo personal e inversión bruta en conjunto son estadísticamente

significativas al 5 % (0.000000 y 0.000000 respectivamente).

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE:

En la función de consumo personal es aceptable y significa que el 99.4587 %

de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la

función de inversión bruta no se puede interpretar el resultado porque nos sale

negativo.

TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL

Conceptualmente, no es fácil disponer de una medida única integradora de la

bondad de un modelo multiecuacional en su conjunto. Se ha propuesto el coeficiente

de Determinación de Dhrymes, que se define:

∑∑

=

=

=G

h

y

yG

h

h

h

hRR

1

2

2

1

22

σ

σ

11

La crítica a este coeficiente se sustenta en que un modelo multiecuacional no

es simplemente una unión de ecuaciones individuales, sino que cobra un carácter

unitario que exige una evaluación también global.

Incluso aunque todas las ecuaciones individuales se ajusten bien a los datos y

sean estadísticamente significativos, no tendremos la garantía de que en su conjunto,

cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajustada.

En el ejemplo del modelo de determinación de la renta, el coeficiente de

determinación del modelo es positivo aunque el coeficiente de determinación de la

función de inversión bruta es negativo, el coeficiente de determinación de Dhrymes

se obtiene de la siguiente forma:

844284.0

6596.1308804.484

6596.130225633.1

6596.1308804.484

8804.484994587.0

2

22

2

22

22

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

R

R

1.4.3. CRITERIO ECONOMÉTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN)

Corresponde a determinar si todos los supuestos del modelo se han cumplido

de manera satisfactoria. Hay que detectar si existe un alto grado de multicolinealidad,

heterocedasticidad, autocorrelación, observaciones atípicas, normalidad y estabilidad

parametrica.

MULTICOLINEALIDAD:

La multicolinealidad es una cuestión de grado, no de existencia. La decisión

importante no es entre presencia y ausencia, sino entre los distintos grados de

multicolinealidad.

La regla de Klein en su versión de correlaciones indica que existe un alto

grado de multicolinealidad si:

YXX Rrji>

donde ji XXr es el coeficiente de correlación simple entre dos regresores cualquiera y

YR es el coeficiente de correlación múltiple de la ecuación, o la raíz cuadrada de su

coeficiente de determinación. O en su versión más empleada, si al menos una

correlación entre regresores supera a una correlación de uno de los regresores con la

endógena.

La matriz de correlaciones de las variables del modelo son:

12

Correlation Matrix

================================================

PBI-PBI(-1) IB TIB

================================================

PBI-PBI(-1) 1.000000 0.210195 -0.043968

IB 0.210195 1.000000 0.821177

TIB -0.043968 0.821177 1.000000

================================================

La función de consumo personal no presenta multicolinealidad. La primera y

segunda versión de Klein no se puede aplicar para la función de inversión bruta por

tener un coeficiente de determinación negativo. La tercera versión de Klein nos

indica que existe un bajo grado de multicolinealidad.

HETEROCEDASTICIDAD:

La hipótesis nula es la existencia de homocedasticidad, es decir no existencia

de heterocedasticidad. Esta hipótesis se verificará en los siguientes tests:

1º WHITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede

adoptar la heterocedasticidad. Abrimos la estimación del modelo original

(para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ White Heteroskedasticity (no cross terms) y el

computador nos muestra el resultado.

En nuestro caso para la primera ecuación es:

White Heteroskedasticity Test:

============================================================


Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599

============================================================

Para la segunda ecuación da:


============================================================



============================================================

Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis

alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe

heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta.

2º WHITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la

heterocedasticidad. Se abre la estimación del modelo original (para cada una

de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ White Heteroskedasticity (cross terms) y el

13

computador nos muestra para la primera ecuación:


============================================================



============================================================

Para la segunda ecuación da:


============================================================



============================================================

Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis


heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta.

3º HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha

elegido que el modelo autorregresivo de heterocedasticidad es de primer

orden. Después de abrir la estimación del modelo original ejecutamos la

siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ Arch LM Test ⇒ 1 ⇒ OK y se obtiene para la

primera ecuación:

ARCH Test:

============================================================



============================================================

El resultado de la segunda ecuación es:

ARCH Test:

============================================================



============================================================


alternativa en la primera ecuación a un nivel de significancia del 1 %; es decir,

existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden uno en la

función de consumo personal. En la función de inversión bruta existe

homocedatsicidad.

Ahora, se comprobará heterocedasticidad de segundo orden; siendo los

resultados de la primera ecuación:

14

ARCH Test:

============================================================



============================================================

En la segunda ecuación se obtiene:

ARCH Test:

============================================================



============================================================

De acuerdo a la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis


heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden dos en ambas

funciones.

AUTOCORRELACION:

La hipótesis nula es la no existencia de autocorrelación de orden p, es decir

ausencia de autocorrelación de orden p. Esta hipótesis se comprobará en los

siguientes tests:

1º DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de autocorrelación de primer

orden, por lo tanto, utilizamos el estadístico Durbin-Watson que se tiene en la

estimación de la primera ecuación, luego buscamos en la tabla de Durbin -

Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143

observaciones y una variable explicativa (excluyendo el intercepto); a

continuación aplicamos la regla correspondiente:

{ 2647.172.1165631.00 32143421UL ddDW

Como el DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la

hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden.

Para la segunda ecuación utilizamos el estadístico Durbin-Watson de la

estimación, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de

significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y dos

variables explicativas; a continuación aplicamos la regla correspondiente:

{ 267.1706.1342052.10UL

ddDW

32143421

El valor del DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la

15

hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden.

2º BREUSCH - GODFREY (LM).- Comprobaremos que no existe

autocorrelación de primer orden. Abrimos la estimación del modelo original y

se ejecuta la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ Serial Correlation LM Test ⇒ 1 ⇒ OK y el

EVIEWS nos muestra el siguiente resultado de la primera ecuación:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

============================================================



============================================================

Y nos muestra el siguiente resultado para la segunda ecuación:


============================================================


============================================================

Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis

alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,

existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal y

en la función de inversión bruta.

A continuación, se verificará autocorrelación de segundo orden;

obteniéndose para la primera ecuación:


============================================================



============================================================

Obtenemos para la segunda ecuación:


============================================================


============================================================


alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir,

existe autocorrelación de segundo orden en las funciones de consumo e

inversión bruta.

3º BOX – PIERCE.- Verificaremos que no existe autocorrelación de primer

orden y segundo orden. Abrimos la estimación del modelo original y se

ejecuta el siguiente comando:

16

View ⇒ Residual Tests ⇒ Correlogram –Q- Statistics ⇒ 2 ⇒ OK y el

EVIEWS y el computador nos da el siguiente resultado para la primera

ecuación:

Correlogram of Residuals

==============================================================

Sample: 1950:2 1985:4


==============================================================

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

==============================================================

.|*******| .|*******| 1 0.899 0.899 118.09 0.000

.|****** | *|. | 2 0.778-0.160 207.14 0.000

==============================================================

Se tiene:

0:

0:

11

10

≠=

ρρ

H

H

comparamos:

( )2

1,95.0

2 84.3572743.115899.0*143 χ=>==BPQ

Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir,

existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal.

Para verificar segundo orden, tenemos:

0:

0:

211

210

≠≠==

ρρρρ

H

H

calculamos:

( ) ( )2

2,95.0

22 99.5128355.202778.0899.0*143 χ=>=+=BPQ


existe autocorrelación de segundo orden en la función de consumo personal.

A partir de la segunda ecuación se obtiene:

Correlogram of Residuals

==============================================================

Sample: 1950:2 1985:4


==============================================================

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

==============================================================

.|** | .|** | 1 0.327 0.327 15.655 0.000

.|* | .|. | 2 0.117 0.011 17.665 0.000

==============================================================

17

Se tiene:

0:

0:

11

10

≠=

ρρ

H

H

comparamos:

( )2

1,95.0

2 84.3290847.15327.0*143 χ=>==BPQ


existe autocorrelación de primer orden en la función de inversión bruta.

Para verificar segundo orden, tenemos:

0:

0:

211

210

≠≠==

ρρρρ

H

H

calculamos:

( ) ( )2

2,95.0

22 99.5248374.17117.0327.0*143 χ=>=+=BPQ


existe autocorrelación de segundo orden en la función de inversión bruta.

NORMALIDAD:

Se plantea la siguiente hipótesis:

Ν≠Ν≈

uH

uH

:

:

1

0

se utiliza el estadístico Jarque - Bera, cuya fórmula es:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−= 22 3

4

1

6KS

KNJB

se tiene la siguiente regla de decisión:

( )2

2,95.099.5 χ=<JB

entonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una

distribución normal.

El test de normalidad lo obtenemos de la siguiente forma para la primera

ecuación:

Abris EQ1 ⇒ View ⇒ Residual Tests ⇒ Histogram-Normality Test ⇒ OK,

obteniéndose el siguiente resultado:

18

0

2

4

6

8

10

12

14

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Series: Residuals

Sample 1950:2 1985:4

Observations 143

Mean 1.02E-12

Median -3.450644

Maximum 101.6454

Minimum -73.31450

Std. Dev. 35.67308

Skewness 0.333192

Kurtosis 3.135286

Jarque-Bera 2.754957

Probability 0.252214

a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribución

normal.

El test de normalidad se obtiene de la siguiente forma para la segunda

ecuación:

Abris EQ2 ⇒ View ⇒ Residual Tests ⇒ Histogram-Normality Test ⇒ OK,

obteniéndose el resultado siguiente:

0

5

10

15

20

25

30

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

Series: Residuals

Sample 1950:2 1985:4

Observations 143

Mean 4.84E-14

Median -9.054948

Maximum 764.3070

Minimum -643.3132

Std. Dev. 194.9253

Skewness 0.233754

Kurtosis 5.681904

Jarque-Bera 44.15825

Probability 0.000000

entonces, a un nivel de significancia del 1 % lo residuos no se aproximan a una

distribución normal.

PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS:

Asumimos en el test de Chow como punto de quiebre 1995:2 y en la función

consumo personal nos da:

Chow Breakpoint Test: 1975:2

============================================================


============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hipótesis nula; es

decir, existe cambio estructural.

19

Consideramos como punto de quiebre 1980:2, en la función inversión bruta

resulta:

Chow Breakpoint Test: 1980:2

============================================================


============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que aceptamos la hipótesis nula; es

decir, no existe cambio estructural.

2. SIMULACIÓN

Para simular los efectos de valores alternativos en diferentes variables o

parámetros, es preciso disponer de una cierta solución del modelo que la haga

factible en un contexto de simultaneidad de las diferentes ecuaciones.

La simulación más habitual es la que supone cuantificar los efectos sobre las

endógenas de valores alternativos para las variables exógenas del modelo. Si los

datos de las variables exógenas son históricos se tiene una simulación ex - post o

histórica; en cambio, si los datos de las variables exógenas son supuestos para el

futuro se trata de una simulación ex - ante.

Es posible realizar otras simulaciones que correspondan a variaciones en los

términos de error de cada ecuación (factores adicionales) o incluso retoques en

algunos de los parámetros (ajuste y afinado).

2.1. OBJETIVOS

Los objetivos de la simulación pueden ser:

1º La evaluación del modelo y la evaluación de la capacidad predictiva del

modelo.

2º La predicción, se trata de determinar los valores de las variables endógenas

del modelo en base a los valores de las variables exógenas.

3º La comparación de políticas alternativas, en base a diferentes escenarios se

puede determinar los diferentes efectos de las políticas y poder elegir la más

conveniente.

4º El análisis de las condiciones dinámicas del modelo, consiste en determinar la

estabilidad del modelo.

20

2.2. TIPOS

Se tienen los siguientes tipos de simulación:

1º Simulación Residual.- Para cada ecuación en forma aislada, se da tanto a las

exógenas como a las endógenas explicativas sus valores reales y se

comprueban los errores de cada ecuación y las identidades. Es útil realizarla

para comprobar que no existen errores de transcripción, redondeo en los

valores de los parámetros, etc., en el modelo definitivamente seleccionado. Es

decir:

tttt xyyy 41132211ˆ αααα +++= −

2º Simulación Estática.- Se consideran valores reales en las variables

explicativas, excepto las endógenas corrientes de cada ecuación, que se

determinan por el propio modelo en forma conjunta. Sirve para un análisis del

funcionamiento período a período del modelo, puede conseguirse trabajando

simultáneamente con todas las ecuaciones, pero sin conexión dinámica.

Tenemos:

tttt xyyy 41132211ˆˆ αααα +++= −

Resultados satisfactorios no garantizan el que el modelo no se

desestabilice o presente errores importantes después de varios periodos de

funcionamiento, ya que en este tipo de simulación, en cada nuevo periodo se

sustituyen las endógenas desplazadas por sus valores reales y no por los de

solución del modelo para periodos anteriores.

3º Simulación Dinámica.- La solución es simultánea para todas las ecuaciones y

sólo se suministra datos (reales del pasado o supuestos) para las exógenas y el

valor inicial de partida de las endógenas. Esta es la que permite contrastar la

estabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sería:

tttt xyyy 41132211ˆˆˆ αααα +++= −

4º Simulación Estocástica.- Se trabaja con las distribuciones de probabilidad

tanto de los parámetros como del término de error. Nos permite establecer el

grado de incertidumbre sobre los efectos estimados de una determinada

política.

2.3. SOLUCIÓN DEL MODELO

La mayor o menor complejidad en la solución del modelo dependerá de la

propia forma en que la simultaneidad se manifieste, de la inclusión o no de

ecuaciones dinámicas, de la posible coexistencia de relaciones no lineales junto a

otras lineales y del tamaño del modelo.

21

La existencia de variables endógenas desplazadas en el modelo, la forma

reducida ya no nos permite una solución inmediata del modelo, dado que la

simultaneidad afecta también a las variables endógenas desplazadas y no de todas las

variables predeterminadas como se hace en la forma reducida.

Theil y Boot propusieron a estos efectos la denominada Forma Final del

modelo, donde las variables endógenas corrientes quedan expresadas en función de

sólo las exógenas (corrientes y desplazadas), mediante un proceso de eliminación

repetitiva de todas las variables endógenas desplazadas en la forma reducida.

La forma reducida del modelo es:

ttY VXY +∏=

Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamiento de ∏ de

la forma siguiente:

⇒∏ 0 término independiente.

⇒∏ 0 endógenas desplazadas.

⇒∏ 0 exógenas corrientes.

⇒∏ 0 exógenas desplazadas.

Asumimos que sólo existen variables desplazadas un período, entonces la

forma reducida se expresa:

ttttt VZZYY +∏+∏+∏+∏= −− 132110

donde tZ sólo incluye las exógenas corrientes del modelo.

Si no existen variables desplazadas, es decir:

ttt VZY +∏+∏= 20

entonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden.

Reemplazando 1−tY en la forma reducida nos da:

( ) tttttttt VZZVZZYY +∏+∏++∏+∏+∏+∏∏+∏= −−−−− 1321231221010

simplificando, tenemos:

( ) ( ) ( )11231131222

2

110 −−−− ∏++∏∏+∏+∏∏+∏+∏+∏+∏= ttttttt VVZZZYIY

Repitiendo el proceso s veces, resulta:

( ) ( )( ) ( )st

s

tttst

s

st

s

ttst

ss

t

VVVVZZ

ZZYIY

−−−−−−−

−−−+

∏++∏+∏++∏∏+∏∏+∏∏

++∏+∏∏+∏+∏+∏++∏+∏+∏=

12

2

111131

1

1312

131221

1

11

2

110

...

......

22

Cuando s crece indefinidamente supondremos que 01 →∏ s. Luego se anula

los coeficientes de 1−−stZ e 1−−stY .

La suma de matrices del término independiente es: sIS 1

2

11 ... ∏++∏+∏+=

como se trata de una progresión geométrica infinita, nos da igual:

( ) 1

1

1

−

∞→

∏−=∏−

= II

ISlím

s

La forma final del modelo puede resumirse:

( ) ( ) ∑∑∞

=−

∞

=−

−− ∏+∏∏+∏∏+∏+∏−∏=1

1

1

1

13122

1

10

r

rt

r

r

rt

r

tt VZZIY

Esta expresión recoge los siguientes efectos denominados:

1º Multiplicador de impacto.- recoge el efecto inmediato que cualquier cambio

en la variable exógena tiene sobre la variable endógena. En este modelo es

2∏ . .

2º Multiplicador dinámico.- recoge el efecto según pasa uno, dos, ... , s períodos

que cualquier cambio en la variable exógena tienen sobre la variable

endógena. En este modelo son:

( ) ( ) ( ) ...;;; 2

13121312312 ∏∏+∏∏∏∏+∏∏∏+∏∏

3º Multiplicador total a largo plazo.- viene a ser la suma de todos los

multiplicadores. Tenemos:

( ) ( ) ( ) ...2

131213123122 +∏∏+∏∏+∏∏+∏∏+∏+∏∏+∏=MLP

sacando factor común, nos queda:

( )( )...2

113122 +∏+∏+∏+∏∏+∏= IMLP

reemplazando la suma del término independiente da:

( )( ) 1

13122

−∏−∏+∏∏+∏= IMLP

simplificando tenemos:

( )( ) 1

132

−∏−∏+∏= IMLP

23

En caso de trabajar con variaciones en porcentaje tanto de las variables

exógenas como de las variables endógenas, podemos hablar en forma equivalente de

elasticidad impacto, elasticidad dinámica y elasticidad total a largo plazo.

Si no existen variables rezagadas (endógenas y exógenas), los coeficientes de

la forma reducida son directamente los multiplicadores de impacto y son los únicos

multiplicadores en el tiempo y coinciden con los multiplicadores totales.

En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un tamaño que

resulta incómodo seguir todo este proceso y se busca una solución al modelo

mediante algún algoritmo de resolución por tanteo de sistema de ecuaciones,

frecuentemente alguna variante del algoritmo de Gauss - Seidel.

2.4. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINÁMICO

Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan ciertas

condiciones de convergencia en relación con las matrices de parámetros de las

endógenas desplazadas.

La estabilidad del modelo la entendemos en el sentido de que tienda a una

nueva solución de equilibrio después de que se haya provocado un cambio inicial en

uno o varios de los valores de las exógenas.

Para el caso de un modelo de G ecuaciones simultáneas con variables

endógenas retardadas hasta s periodos, podríamos expresar el conjunto de ecuaciones

dinámicas fundamentales como una ecuación en diferencias vectoriales con

coeficientes consistentes del tipo:

( )tGYAYAYAYA STSTTT =′++′+′+′ −−− .....22110

donde,

⇒′−rtY vector de las variables endógenas (1xG) que se han transpuesto a

efectos de post multiplicar la matriz de coeficientes.

⇒rA matriz de los coeficientes de todas las variables endógenas (GxG) para

cada retardo establecido r ( r = 0, 1, .., s) en las diferentes ecuaciones

del modelo.

( ) ⇒tG incluye a todas las variables exógenas desplazadas, corrientes y

término de error para las G ecuaciones.

Dhrymes comprobó que la ecuación en diferencias vectoriales de orden s

puede reducirse a una de sólo primer orden; por lo tanto:

01 =− −tt AYY

econometria ii

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