Apuntes de Econometra IINota del autor. Este documento es un resumen del libro de texto de la asignatura Econometra II de la licenciatura de Economa en la UNED. Como tal, es mi visin de la asignatura, que no tiene por qu coincidir con la de los dems.No he sido capaz de seguir las mismas pautas en todo el documento, sobre todo en lo que hace referencia a los globos de resalte.Para las ecuaciones he usado el editor de ecuaciones de Word 2010, que est mucho mejor que sus hermanos anteriores. Ya hemos pasados de Neanderthal a Cromagnon. Aun as, en ocasiones es complicado y muy costoso en tiempo pasar todo el formalismo matemtico a formato electrnico, por lo que he decidido hacerlo a mano, mtodo tradicional, y pegar las imgenes escaneadas. Esto le da un aspecto en extremo cutre al trabajo, pero la finalidad no es cuidar el aspecto.He decidido, en la medida de lo posible, construir las frases siguiendo el orden tradicional de sujeto-verbo-predicado, evitando adems separar el sujeto con una coma. He evitado el uso de condicionales (sobre todo si no se dice qu condicin aplica), he cambiado algunas palabras modernas (tipo criticismo) por su versin clsica (crtica) y alguna cosilla por el estilo.Si alguien quiere usar estos apuntes, por m, encantado. Eso s, bajo su responsabilidad. El que los reciba es libre de hacer lo que considere: editarlos, cambiarlos, copiarlos, distribuirlos y quemarlos (o borrarlos del disco duro; tambin se puede quemar el disco duro, pero me parece muy radical).Suerte a todos los que se examinen.Fdo. J.Mayo de 2013 Presentacin del Programa de Econometra IIEl objeto de esta parte del programa son los modelos economtricos de series de tiempo. Toda la Econometra trabaja con datos de series histricas.La economa cuantitativa se dedica a la medicin de las regularidades; esta medicin se particulariza en la determinacin de los valores de las constantes econmicas, supuesto que estas existan.Las series histricas se interpertan como muestras seleccionadas en forma representativa (aleatoria) a partir de una poblacin denominada proceso estocstico.Aleatorio significa representativo. Tal representatividad se supone conseguida si las observaciones de la muestra fueran seleccionadas de forma independiente del seleccionador de la muestra. El programa pretende realizar aplicaciones orientadas a definir la lnea de trabajo del economista.El anlisis de series temporales prolonga la aplicacin de la inferencia clsica atemporal a una inferencia pensada para series de tiempo. Tras un proceso de generalizaciones formales, se pretende llegar a formular modelos de series de tiempo, con significado y forma, similares a los utilizados en los modelos estructurales.El programa se inicia con el estudio de los procesos estocsticos univariantes estacionarios en el dominio del tiempo (ARMA) y en el de las frecuencias (Anlisis Espectral), para terminar en cuestiones de no estacionaridad (tendencias).El anlisis univariante de series de tiempo se generaliza a dominios no univariantes como la cointegracin, series planteadas en el dominio del tiempo, as como modelos de funciones de transferencia, en el dominio de las frecuencias o periodicidades.El anlisis de los ciclos puede verse como antecedente del estudio de series de tiempo, si bien bajo presupuestos metodolgicos diferentes. Los primeros estudios de ciclos son empiricistas, no estocsticos, y adoptan la idea de modelo. La omisin de variables se interpreta como un problema de especificacin. Se parte de la hiptesis de pluralidad de causas.Se impone gradualmente la idea de modelo economtrico. El modelo pasa a ser la unidad de anlisis, frente a la idea de la medicin de teoras econmicas cualitativas, que pareca esperar como un resultado lgico. No se cuestiona el fundamento de la validez de un modelo, sino que ste se acepta sin ser cuestionado.La medicin de teoras cualitativas hubiera obligado a plantearse problemas como el tratmiento de las dems causas (condicin ceteris paribus). La condicin de ceteris paribus se subsuma en las discrepancias de la regresin, reinterpretadas (de forma forzada) como perturbaciones aleatorias. En los modelos de regresin mltiple los planteamientos cambian: la regresin mltiple y la condicin de ceteris paribus son visiones contradictorias. En una regresin mltiple, algunas de las dems causas son susceptibles de ser especificadas explcitamente en el modelo, quedando el resto subsumidas en las discrepancias de la regresin, interpretadas como perturbaciones aleatorias.Tinbergen es empiricista por cuanto otorga la primaca a los datos. La experiencia de las cuantificaciones economtricas ha registrado coeficientes con valores diferentes, y a veces, con signos contrarios a los esperados de acuerdo a las consideraciones tericas.Los mtodos estadsticosLos modelos de series de tiempo se apoyan en la aplicacin de los mtodos estadsticos. El objeto de la econometra ha sido el desarrollo de mtodos de inferencia estocstica y de la especificacin y estimacin de modelos estocsticos (modelos de series de tiempo). Esto se desarrolla en un marco de formalizacin creciente. Histricamente, se podan haber intentado medir las elasticidades sin recurrir a la regresin. Los datos principales en economa son series histricas. La cuestin estriba en si la estadstica atemporal es trasladable al estudio de la economa medida con series histricas.El desarrollo de los mtodos estadsticos en el dominio atemporalLa estadstica descriptiva trata de someter los datos a un proceso de reduccin, cuyas caractersticas pasan a ser reinterpretadas dentro de la inferencia estocstica, en un principio atemporal.El problema de la econometra se convierte en un problema de inferencia estocstica. En el avance, el trnsito de la interpretacin de las discrepancias (desde errores de medida hasta variables omitidas) se realiza de forma poco convincente. El probabilismo en Econometra no es el resultado de una paciente generalizacin inductiva, sino de una introduccin apriorstica como hiptesis mantenida.Los mtodos estadsticos asociados a la medicin han sido interpretados como una rama de la matemtica aplicada. Lo novedoso de la Political Arithmetic deriva de la pretensin de la aplicacin de los mtodos estadsticos a conceptos econmicos.Con el tiempo, los datos se llevan a tabla de doble entrada, permitiendo la comparacin de diferentes entidades administrativas. En un principio, prevalece una visin esttica. Los procedimientos grficos son medios de presentacin de resultados numricos, para pasar posteriormente a ser medios de investigacin.Se produce gradualmente una cierta evolucin metodolgica. En la escuela inglesa, Pearson aade la idea de ley (ley de frecuencias, de los grandes nmeros, de la mortalidad).La agregacin de individuos lleva a reconocer los fenmenos sociales de masa. Las poblaciones podran representarse mediante parmetros. El objetivo fundamental es la descripcin, la reduccin de datos. La escuela histrica alemana propone utilizar historia cualitativa y numrica (datos estadsticos). Hay una escuela continental (francesa). En ella, la estadstica se identifica con la informacin numrica sobre la sociedad. Se desarrollan dos sistemas:Tablas descriptivas destinadas a informar.Los estados informativos para los administradores.En determinado momento irrumpen las probabilidades, que conducen a distintos tipos de certeza:La matemtica (equiprobabilismo).La fsica (frecuencias observadas).La moral, basada en el testimonio y la conjetura de ndole subjetiva.Dentro de la escuela francesa se instaura la idea del hombre medio: la media representa los ideales de la sociedad.La ley de probabilidad binomial (atemporal) se complica cuando hay que calcular la probabilidad de un suceso para un nmero elevado de lanzamientos. El descubrimiento de la ley normal permite aplicar la probabilidad a un nmero prcticamente infinito de sucesos independientes.Aunque el nmero de pruebas sea atemporal, se realiza en el tiempo. Por eso, a veces, se considera como natural la correspondencia entre el nmero de pruebas y el tiempo.Los errores de medida son accidentales e inevitables. Son ms probables los ms pequeos, dependiendo su magnitud de los instrumentos de medida. No hay sesgos (errores sistemticos).La generalizacin de la probabilidad de los juegos de azar a los errores de medida mantiene el principio de que en ambos campos se prescinde de la dimensin temporal de las observaciones. Cuando se relacionan inductivamente los nmeros referidos a dos o ms fenmenos, el instrumento utilizado es la correlacin. La correlacin aparece y se contempla como un esquema conceptual opuesto al de la causalidad propia del razonamiento deductivo.K. Pearson asume la idea de que la correlacin es una categora opuesta a la causacin. Las razones para su escepticismo sobre la causalidad derivan de su teora del conocimiento, influenciada por Ernst Mach. Mach se apoya ms en la fsica que en la biologa. La categora de causalidad pasa a ser substituida por el concepto matemtico de funcin, concepto que define una relacin de dependencia de los fenmenos entre s. Pearson interpreta las leyes como frmulas abreviadas que sintetizan las percepciones. Las leyes funcionales nunca se cumpliran estrictamente. La idea metafsica de causa cedera su lugar a la idea de correlacin entre hechos observados.Qu significa correlacin? Alguna relacin de causa-efecto entre las cosas. Valores de la correlacin inferiores a 1 (correlacin perfecta) significaran que causas y efectos no han sido asilados perfectamente.El desarrollo histrico de los mtodos estadsticos en el dominio del tiempo.La aplicacin de los mtodos estadsticos atemporales a series de tiempo puede verse como un intento de convertir las fluctuaciones temporales en desviaciones atemporales. El procedimiento seguido para trasladar los conceptos atemporales al tiempo se asocia a la transformacin de las series de tiempo en estacionarias. Con ello se pretenda descubrir leyes estadsticas. Existan razones para explicar y comprender el salto lgico de lo atemporal a lo temporal. La evolucin puede entenderse como un desplazamiento de la media de la distribucin de cada generacin, lo que hace aparecer de modo natural el desplazamiento en el tiempo. Cuando las variaciones de las series histricas se traducen a una distribucin de frecuencias atemporal, rara vez adoptan la forma de la campana de Gauss. Antes bien, aparecen como distribuciones asimtricas, dejando la media de ser constante.Los investigadores de modelos de series de tiempo se han decantado por la probabilidad y la correlacin. La aceptacin de este esquema requiere que las series de tiempo puedan ser consideradas la imagen emprica de sucesos aleatorios, es decir, conseguir que las series de tiempo sean estacionarias. Para Wold, si los procesos temporales fuesen estacionarios cabra aplicar la regresin y el anlisis espectral.El problema principal radica en la caracterstica de dependencia de las observaciones sucesivas de las series de tiempo. Las observaciones no son consideradas independientes de las anteriores. Yule subraya las dificultades de investigar relaciones causales mediante la correlacin de fenmenos econmicos. La investigacin de relaciones causales entre fenmenos econmicos presenta muchos problemas de dificultad peculiar, y presenta muchas oportunidades para establecer conclusiones falaces. En lugar de hablar de relacin causal, cantidades relacionadas causalmente, se usa correlacin, cantidades correlacionadas. Un coeficiente de correlacin elevado no es prueba de relacin cuasal.Una de las razones de la dificultad de las inferencias econmicas se debera a la pluralidad de causas, que condicionara la interpretacin de los coeficientes de correlacin, pudiendo estar enmascarados los efectos de las diferentes causas.Hooker propone correlacionar las desviaciones respecto a una media instantnea (idea aproximada a la tendencia). Este procedimiento sera aplicable cuando las oscilaciones son peridicas. En una primera etapa, los datos se presentan en forma de tablas; luego se representan grficamente en el tiempo. En la poca de Pearson los diagramas temporales y las formas geomtricas son tan importantes como las ecuaciones.El mtodo de las diferencias variantes y el significado de la correlacinEl origen del mtodo de diferencias se encuentra en los algoritmos monetarios utilizados por los comerciantes, los financieros y los especuladores, derivados de la observacin de los movimientos de precios y cantidades. El empleo de diferencias y tasas obedece a razones econmicas, antes que a formales.Se considera desde un principio que la dificultad principal de llevar los mtodos atemporales a series histricas estara en la no estacionaridad, entendida como indicador de la existencia de causas inalteradas. Para eliminar su influencia se recurre a la transformacin de las series histricas observadas en estacionarias, lo que conllevara la eliminacin de la dimensin histrica (temporal).Para Hooker, las medias mviles seran tiles en caso de movimientos peridicos. La aplicacin de la transformacin de diferencias sera til para tratar movimientos cortos, fueran o no peridicos, siendo su principal ventaja la sencillez de aplicacin. A largo plazo, lo adecuado para medir la interdependencia podra ser utilizar desviaciones respecto a la media aritmtica.Las primeras diferencias revelaran los movimientos a corto plazo. Las variaciones sistemticas estaran representadas en los movimientos a largo plazo; las irregulares, en los movimientos a corto.Student proporciona una regla para decidir el orden de diferenciacin (el valor en el que se estabiliza la varianza) como procedimiento para descubrir la correlacin verdadera. Permitira sustituir una correlacin espuria por otra considerada verdadera. El criterio sera el valor en el que se estabilizara la varianza. Inconveniente: a veces la varianza no se estabiliza.A Yule le preocupa la autocorrelacin de cada serie. Las series autocorrelacionadas generaran correlaciones espurias. Persons: Las caractersticas de series de tiempo anuales pueden concebirse constituidas por los siguientes elementos : tendencia secular, fluctuaciones cclicas, fluctuaciones irregulares. Parece ser adverso al empleo del mtodo de las diferencias, prefiriendo correlacionar desviaciones a la tendencia.La transformacin de las series en estacionarias se va asociando a razones formales tales como que la tendencia secular impedira la percepcin de los movimientos peridicos o aleatorios. Los primeros se eliminan con desviaciones a la tendencia, y los segundos mediante diferencias. Las regularidades que se descubran a partir del estudio de tales transformaciones consistan en movimientos similares a oscilaciones en torno a una media constante, dentro de un rango de amplitud constante. La serie resultante es estacionaria.La aplicacin de primeras diferencia a varias series de tiempo permitiran determinar empricamente leyes econmicas correlacionando las series diferenciadas, descubriendo con ello relaciones a corto plazo, y reduciendo (atenuando) la amplitud de las tendencias o cambios seculares.El anlisis espectralLa hiptesis contraria a la aleatoriedad es la regularidad (en sentido estricto, la periodicidad), cuya medicin se instrumenta mediante el anlisis del periodograma. Partiendo de la aceptacin de la hiptesis de la probabilidad, se ha rechazado el periodograma, pues las series de tiempo no se caracterizan por oscilaciones de amplitud fija.Se ha pretendido reinterpretar el anlisis peridico en trminos de probabilidades manteniendo la hiptesis de aleatoriedad. Se espera que este anlisis permita tratar ciclos con amplitudes variables. El periodograma pasa a ser concebido como un estimador del espectro poblacional.Hasta 1936 (Wald), no se resolvi el problema de la separacin de los diferentes componentes reconocidos en las series de tiempo (anlisis espectral). A juicio de Morgenstern, han existido pocos intentos de aplicar el anlisis de Fourier, debido a las dificultades del clculo al haber muchos coeficientes a calcular.Los mtodos considerados dentro del anlisis espectral se basan en los resultados matemticos de Kolmogorov, Wiener y Cramer, pudiendo verse como generalizaciones del anlisis de Fourier.El espectro se concibe como una descomposicin de la varianza mediante el anlisis armnico:Proporciona simplicidad conceptual a la interpretacin terica de un comportamiento que vara en el tiempo.Tiene propiedades simples en el muestreo.El anlisis espectral se relaciona con la causalidad. Ha sido aplicado a la determinacin de ciclos estacionales y a la estimacin de modelos con retardos distribuidos, dentro de la econometra formal.Anlisis de la causalidadConsideraciones previasSe ha reemplazado la palabra causar por otras como determinacin, influencia, correlacin o dependencia funcional. El planteamiento causal se traslada a la medicin: Las curvas de demanda de la teora econmica convencional son relaciones causales. Si en nuestros anlisis estadsticos no partimos de aceptar las relaciones causales entre precios y cantidades, no aproximamos las curvas tericas de demanda.El progreso analtico derivado del principio causal deriva de que una vez conocido el movimiento de la causa, se sigue de modo necesario el del efecto.Consideraciones:La relacin causal se establece entre una sola causa A y un solo efecto B. Slo cabe hablar de una relacin necesaria si se abstrae la relacin entre un efecto y una sola causa, lo que excluye la pluralidad de cusas. La causalidad es una idea lgica, formulada como una proposicin simple, relacionando un solo efecto (variable endgena) con una sola causa (variable exgena). Adems, se establece deductiva y racionalmente con carcter necesario y general.El concepto de relacin funcional, de dependencia o interdependencia, no excluye la idea de cusa. Ante un desconocimiento de la direccin de la influencia entre A y B se opta por emplear otro trmino: dependencia.Crticas atemporales del principio causalEn el orden atemporal, existe un gran progreso analtico derivado de hacer abstraccin del tiempo. Un progreso similar ocurre tambin en la causalidad y en la doctrina de las probabilidades.La econometra ha tratado de evitar el recurso al principio causal, sin proponer un sustituto adecuado ni llegar a invalidarlo. La dualidad entre establecer una o varias causas es utilizada para explicar la diferencia entre la causalidad aplicada a los fenmenos fsicos y a los sociales. En los primeros, se considera posible atribuir un determinado efecto a una sola causa, mientras en las ciencias sociales habr que aceptar una pluralidad de causas. Como, de hecho, no se conocen todas las causas, es preciso recurrir a esquemas alternativos, como los basados en las probabilidades, o la regresin. La regresin no es independiente de la correlacin: inferir causalidad a partir de los coeficientes de regresin implicara inferir causalidad a partir de correlacin.El determinismo causal es contradictorio con la probabilidad. En el esquema causal, puesta la causa el efecto se sigue necesariamente, y no con una determinada probabilidad.La causalidad choca con los planteamientos derivados de los mtodos estadsticos. Causalidad lgica y correlacin estadstica obedecen a esquemas opuestos. La econometra procede a sustituir la terminologa de causa y efecto por la de variables exgenas y endgenas.Segn el positivismo lgico moderno, la relacin entre una causa y un efecto sera un principio lgico, aplicable tan solo a ciencias de observacin (no experimentales) como la economa, aceptada la condicin de ceteris paribus. Para el positivismo, toda proposicin cientfica ha de estar dotada de contenido emprico.McLelland pretende aunar causalidad y probabilidad. En economa, las relaciones tienden a ser vlidas en promedio o en su mayor parte. Asume la pluralidad de causas determinantes de un nico efecto, para argumentar que el trmino conexin necesaria entre cusa y efecto debe remplazarse por el de probabilidad. La econometra posterior a los aos 30 asume la multiplicidad de causas (mltiples regresores). La aceptacin de la nocin de correlacin, atemporal, favorecera medir cuantitativamente una relacin entre una sola variable endgena (efecto) y mltiples variables exgenas (regresores).La causalidad en el tiempoSi la causalidad se analizase en el tiempo debera ser, adems de una relacin necesaria, permanente.En los modelos dinmicos se acostumbra a incluir entre los regresores la propia variable endgena retardada (una garanta para mejorar o conseguir un buen ajuste), formulacin contradictoria con el principio causal. Nada se puede causar a s mismo. En cambio, Hicks se concentra en un doble tipo de causalidad: dbil y fuerte. Causalidad dbil significa que A es una de las causas de B, y la fuerte, que A es la nica causa de B.Incluir el tiempo implica perder la caracterstica de necesidad propia de una relacin causal lgica, incompatible con el carcter contingente de las sucesiones en el tiempo.Ignorar la direccin de la influencia es ignorar la propia causalidad.Los intentos de fundamentar la causalidad en regresiones dinmicas no resuelve el problema clsico de sustituir causalidad por correlacin. Hooker seala que el problema de la causalidad no puede inferirse a partir de series de tiempo, dado que al tratarse de datos no experimentales, no cabe consdierar por separado una sola causa. Propone correlacionar las desviaciones a la tendencia, entendida como media instantnea.Para Yule: la dificultad esencial del problema de la correlacin en el tiempo es la dificultad de aislar para el estudio diferentes componentes dentro del movimiento observado de cada variable.Hubo un momento en que el carcter cientfico de un artculo se evaluaba por los valores de los coeficientes de correlacin. La letra ha cambiado, pero el espritu subsiste.La causalidad lgica se establece deductivamente, sin apelacin a la experiencia (datos), poseyendo carcter necesario. La prelacin temporal no tendra validez con independencia de todo tiempo y lugar, no posee carcter necesario. Slo es un resultado emprico que relaciona variables o diferentes retardos, siendo establecida a posteriori.Anlisis univariante de series temporales estacionarias. Fundamentos metodolgicos.Consideraciones previasLos modelos, hiptesis y teoras econmicas trabajan con variables tericas. Que, en la mayor parte de los casos, los datos sean del tipo de series histricas ( temporales) no quiere decir que haya correspondencia necesaria entre las variables tericas y los datos. Las variables consideradas en los modelos estructurales no consideran explcitamente la dimensin temporal de los datos. Los parmetros estimados no variaran aunque se alterase el orden de las observaciones. La distribucin atemporal sigue siendo la misma. Sin embargo, si se produjera un cambio en el orden de las observaciones, afectara a las tendencias y ciclos subyacentes.El planteamiento en la inferencia clsica es considerar la serie histrica como si fuese atemporal. En la teora de los procesos estocsticos se supone que las variables son intrnsecamente aleatorias (de las Xi y la Yi). En los modelos estructurales se introduca una perturbacin aleatoria; adems, se interpretaban las discrepancias de la regresin como la imagen emprica de una variable aleatoria normal e inobservable (perturbacin aleatoria).La hiptesis bsica de la teora de los procesos estocsticos postula que la historia pasada de una variable Z contendra informacin suficiente para predecir su futuro. Se designa con la letra Z para remarcar su naturaleza estocstica. Los modelos de series de tiempo no mantienen correspondencia de modo necesario con la teora econmica. El criterio de especificacin (seleccin de regresores) del modelo es emprico, estando basado en el examen de los datos.Un modelo univariante de series de tiempo ignora cualquier tipo de relacin entre Z y otra variable. Relaciona los valores actuales del proceso con su historia pasada o con otro proceso equivalente a las perturbaciones. Analticamente:Zt = f(Zt-1,,Zt-p,t, ,t-1, ,t-q)Los modelos de series de tiempo se califican como medicin sin teora, tiles, aparentemente, para la prediccin a corto plazo. En los modelos de series temporales, las series histricas se consideran muestras aleatorias temporales. La idea de un modelo de series de tiempo puede introducirse a partir de la nocin ya conocida de la autocorrelacin de las perturbaciones aleatorias.Para Kuznets hay dos posibles tipos de anlisis: (a) histrico, propio de la hisotria econmica cuantitativa, y (b) inferencial, de naturaleza formal, con la determinacin de las recurrencias temporales.Una hiptesis, probabilstica o no, tendra que explicar las regularidades observadas. La ms usada en la de movimientos puramente aleatorios, sometidos a transformaciones de medias mviles, que generaran ciclos regulares, lo que implica aceptar la hiptesis de Slutzky. Kuznets critica que los anlisis de series de tiempo se centrasen en los ciclos y olvidasen la tendencia. Propone emplear coeficientes de correlacin de medias mviles. Por ltimo, el supuesto de varianza constante est pensado para una poblacin atemporal constante, siendo difcil admitir su validez en series de tiempo.Kuznets se adhiere al efecto Slutzky, del que comenta que, mientras las series de partida estn constituidas por observaciones sin correlacin, la serie de medias mviles sucesivas contendra, en parte, observaciones comunes, de manera que estaran correlacionadas. Esto dara lugar a que el movimiento fuese gradual. Kuznets denomina fluctuaciones cclicas a las desviacioens repecto a la tendencia (primaria) suavizadas mediante medias mviles centradas. Reconoce la dificultad de determinar el tamao de una media mvil (que puede llevar a restos de tendencia o desviaciones en anlisis de series de tiempo).En una visin ms formal, la estimacin de las leyes de comportamiento macroeconmico se efecta a menudo mediante observaciones realizadas sobre perodos sucesivos. El concepto de proceso estocstico representa el conjunto de posibles realizaciones de los fenmenos, estando cada uno de ellos representado por una posible serie histrica susceptible de haber sido observada.Procesos estocsticosUn nmero importante de fenmenos econmicos para los cuales necesitamos formular los modelos probabilsticos aparecen como observaciones discretas sucesivas en el tiempo. El problema a abordar es extender el modelo probabilstico de forma que nos permita representar fenmenos dinmicos. La estructura de dependencia de lso valores de Z(t) es esencial en la definicin de un proceso estocstico.Un proceso estocstico debe representarse por la funcin de distribucin conjunta del proceso:F((Z(t1), , Z(tn)) P[Z(t1) Z1, , Z(tn) Zn) ]Al ser el tamao T del proceso tericamente infinito, la funcin de distribucin debera tener dimensin infinita. Kolomogorov ha demostrado que esto no es necesario si se cumplen las condiciones de regularidad:Que el proceso estocstico Zt dependa de t quiere decir que para cada t, Zt tiene una distribucin aleatoria diferente.Procesos estocsticos estacionariosMalinvaud califica los procesos estacionarios como aquellos cuyas propiedades son estables en el tiempo. El concepto de estacionario en sentido estricto no es operativo, pues requiere el conocimiento de la funcin de distribucin, concepto desconocido en la teora de los procesos estocsticos.Si el proceso estocstico sigue una distribucin normal, coindicen los dos tipos de estacionaridad. Por otra parte, la exigencia de que un momento de un proceso estocstico estacionario sea constante e independiente de t se interpreta como ausencia de movimientos sistemticos, es decir, sin tendencias ni ciclos.La funcin de autocorrelacin generaliza la nocin atemporal de correlacin al tiempo considerando diferentes desfases. Se usa el prefijo auto para indicar correlacin entre valores de la misma serie, considerados para diferentes retardos (designados por u). La funcin de autocorrelacin slo est definida para procesos estacionarios.Si los valores del proceso estocstico estacionario no fueran independientes sino que estuvieran autocorrelacionados, lo razonable sera considerar que la correlacin entre valores sucesivos del proceso se fuese haciendo menor a medida que los valores estn ms alejados en el tiempo. As, habr menos correlacin entre Zt y Zt-k, que entre Zt y Zt-1 (k > 1). En consecuencia, la funcin de correlacin tomar valores decrecientes a medida que crece el valor de u:Valores autocorrelacionados u correlacin Funcin de autocorrelacin decreciente con los retardos crecientes: Ru si u La funcin de autocorrelacin se considera til para la identificacin del proceso al ser diferente segn los procesos a partir de los que ha sido calculada. La autocorrelacin de una variable con su misma historia (en el tiempo), toma el valor 1:r0 = c(0)/c(0) = 1ru 1Es una funcin par del tamao del retardo: ru = r-uNo unicidadEl anlisis de regresin basado en datos de series de tiempo asume implcitamente que las series de tiempo subyacentes son estacionarias. Los contrastes clsicos de la t, la F, etc, se basan en este supuesto. Estos contrastes han sido construidos para distribuciones atemporales, y su generalizacin a series de tiempo es una cuestin no resuelta. Toda distribucin probabilstica atemporal es estacionaria. La estacionaridad es una caracterstica esencial de las variables estocsticas.No basta imponer a las series temporales la condicin de estacionaridad para que el planteamiento sea probabilstico.Como el proceso estocstico estacionario es desconocido, lo son sus funciones de distribucin o densidad, supuesto que existan. La independencia asinttica postulada para los valores del proceso estocstico implica una restriccin de la memoria en el tiempo. Permite modelar la dependencia temporal mediante un nmero finito de parmetros. La dependencia entre valores sucesivos se hace ms dbil a medida que crece el desfase entre las observaciones.Principales procesos estacionariosTres tipos de procesos estocsticos estacionarios: ruido blanco (RB), medias mviles (MA) y autorregresivos (AR).Proceso estocstico estacionario puramente aleatorio (ruido blanco, RB)Malinvaud define un proceso puramente aleatorio en el tiempo como una serie de variables aleatorias independientes con la misma distribucin de probabilidades. El proceso estocstico puramente aleatorio (Ruido Blanco, RB) es el ms simple de los procesos estocsticos estacionarios. Es importante por ser el fundamento para la formulacin de otros procesos estacionarios ms complejos. Generaliza al dominio temporal el concepto de variable aleatoria atemporal. La no correlacin en el tiempo implica una restriccin de la memoria en el tiempo. Analticamente, El concepto de RB implica la independencia de todos los valores sucesivos. La caracterstica de independencia (condicin establecida para que una muestra sea considerada representativa) se reemplaza por una menos estricta: autocorrelacin nula. Correlacin nula ms normalidad equivale a independencia; no obstante, en las aplicaciones nunca se descubren procesos con autocorrelacin nula.No es infrecuente que el problema se plantee como una cuestin de grado: la autocorrelacin r(t) es suficientemente pequea de modo que se puede suponer que los datos han sido seleccionados al azar.Si tenemos un proceso estacionario (media y varianza constantes en el tiempo), la expresin (4.3) representa su funcin de autocorrelacin. Si el proceso fuera RB seran nulos los valores de la funcin de autocorrelacin en todos sus retardos.Si se verifica que entonces Zt = Vt. Se suponen las hiptesis clsicas de varianza constante y correlacin nula, constituyendo una generalizacin al dominio temporal de los resultados probabilsticos atemporales.El problema debatido en el anlisis de series de tiempo no es distinguir entre la naturaleza uniforme y normal del proceso, sino determinar si se trata de RB o no, es decir, si las observaciones son o no independientes en el tiempo. A partir de la observacin de los valores no es posible discernir que hayan sido generados de acuerdo a una distribucin normal o uniforme. Ni siquiera que posean autocorrelacin nula. Un proceso RB no es un modelo adecuado para la mayora de series macroeconmicas porque no tiene su caracterstica ms comn: la persistencia. La persistencia se corresponde, en este caso, con la idea de un movimiento sistemtico, con una tendencia.De acuerdo a la definicin de RB, se tiene la hiptesis formal de que la funcin de autocorrelacin es nula con carcter general. Para que se pueda establecer con carcter necesario que la autocorrelacin se anula, dado que es prcticamente imposible obtener autocovarianzas nulas, se requerira en trminos cualitativos que la varianza del proceso RB fuera infinita. Se sigue de ello la imposibilidad del proceso puramente aleatorio en el tiempo.En el caso continuo:El valor medio cuadrtico de un proceso puramente aleatorio en el tiempo toma un valor infinito, lo cual significa su inexistencia.La imposibilidad del proceso RB en el caso continuo es coherente con la evidencia obtenida en las simulaciones discretas. Todos los procesos discretos tienen correlaciones distintas de cero, pese a ser generadas por simulacin a partir de procesos pseudo-aleatorios, aparentemente RB. La nocin de persistencia ha de verse como contradictoria con la de independencia. El anlisis estocstico de series temporales atribuye las desviaciones entre la definicin terica de RB (correlacin nula) y la evidencia emprica (correlaciones no nulas) a errores de muestreo. La hiptesis probabilstica asume que las series histricas son muestras aleatorias.Proceso de medias mviles (MA)Consideraciones previasEl fallo de la argumentacin en la que descansa la hiptesis de Slutzky est en asumir que la serie es aleatoria, cuando slo es irregular. La intuicin de una elevada irregularidad lleva a inferir en forma equivocada que una serie irregular es puramente aleatoria en el tiempo (o sea, que es RB).A juicio de Davis, los procesos MA tienen la ventaja de la simplicidad de clculo, as como su utilidad para suavizar fluctuaciones cortas, sin interferir con otras oscilaciones. El grado de suavizado crece con el tamao de la media mvil. Las medias mviles se usan para aproximar tendencias y suavizar movimientos estacionales; sin embargo, han sido cuestionadas en Econometra.Caractersticas de un proceso de medias mviles (MA)Como ambos momentos, media y varianza, no dependen del tiempo t, se considera demostrado que el proceso Zt es estacionario. Adems:Esta condicin implica un nmero finito de parmetros con suma finita. De esta condicin de convergencia se sigue la convergencia a cero de la funcin de autocorrelacin, al depender su valor de los valores de los parmetros i. La forma de la funcin de autocorrelacin ser decreciente.En general, para los momentos de un proceso MA (q) tenemos:Las funciones de autocovarianza y autocorrelacin dependen del desfase u, no del tiempo histrico. Con ello quedara establecida la estacionaridad en sentido amplio o en covarianza de un proceso MA. Sera estacionario en sentido estricto si adems Vt siguiera una distribucin normal.Invertibilidad de un proceso de medias mviles (MA)Se propone determinar la naturaleza del proceso estocstico estacionario RB o MA a partir de su funcin de autocorrelacion. Dado que una misma funcin de autocorrelacin puede corresponder a ms de un proceso, se presenta una situacin de indeterminacin en esta identificacin.Ejemplo La condicin de Invertibilidad pasa por transformar los procesos MA(1) en procesos AR, lo que significa expresar los procesos en funcin de las propias Z observadas en momentos anteriores.Caractersticas de un proceso de medias mviles MA(2)La condicin de invertibilidad para un MA(2) viene dada por la exigencia de que caigan fuera del crculo unitario las races de la ecuacin Los procesos de medias mviles y el efecto SlutzkyLa hiptesis defendida en el manual es que los ciclos no pueden ser generados en la aleatoriedad. Es una hiptesis opuesta a la de Slutzky. Kuznets es favorable a la hiptesis de Slutzky, que revisa las crticas derivadas de aplicar la correlacin atemporal a series de tiempo: el coeficiente de correlacin, en cuanto medida de la relacin entre series de tiempo, ha estado sometido a una crtica considerable. Hay acuerdo en que la magnitud del coeficiente no indica la existencia o ausencia de una relacin funcional entre los fenmenos correlacionados. El coeficiente sera un promedio de una tendencia cambiante en covarianza, un promedio de reducido valor descriptivo, y menos inferencial. Concluye la no generalizacin a series de tiempo de los conceptos construidos para distribuciones de frecuencias atemporales. Slutzky afirma ser posible obtener regularidad a partir de irregularidad. El efecto se llama efecto Slutzky.Crtica 1. El argumento de Slutzky es experimental, no deductivo ni racional. Su conclusin sera, por tanto, de valor contingente y particular, establecida tan slo como una mera posibilidad que no cabra predicar de ningn ciclo concreto. [Malinvaud se lo cuestiona en el mismo sentido: acta sobre ciclos ya existentes, no creando nada nuevo]Crtica 2. El periodograma de un proceso RB debera registrar, por definicin, una contribucin constante en todas las periodicidades. Las evidencias difieren de esta definicin.La transformacin de medias mviles amplifica la contribucin de perodos medios y largos del proceso V, atenuando la contribucin de los ciclos cortos. La conclusin de Malinvaud: el clculo de medias mviles de una serie puramente aleatoria conduce a una serie oscilante. Este resultado tiene una gran importancia para el tratamiento estadstico de datos temporales. () Si se trata de estudiar las fluctuaciones cclicas, el ajuste de medias mviles hace aparecer, al lado de las oscilaciones de la componente sistemtica, oscilaciones artificiales debidas nicamente al tratamiento estadstico. Este fenmeno se llama efecto Slutzky.Proceso autorregresivoEl proceso estocstico estacionario autorregresivo (AR) establece una dependencia de Z de su propia historia pasada.Consideraciones generalesFrisch y Yule sugieren que los sistemas de ecuaciones lineales en diferencias podran ofrecer soluciones al problema de las oscilaciones amortiguadas. El modelo de periodicidad perturbada se expresa mediante ecuaciones autorregresivas.Caractersticas de un proceso autorregresivoEn notacin compacta:Un proceso autorregresivo puede interpretarse como un modelo de regresin mltiple en el que el papel de los regresores corresponde a los valores retardados de la propia serie. Tambin puede considerarse como una ecuacin en diferencias. Dado que los valores retardados de la propia serie invalidan toda interpretacin con significado causal (nada se causa a s mismo), la estimacin de un AR se reduce a un problema de ajuste o de inferencia estocstica.La forma de la funcin de autocorrelacin depende del valor del parmetro 1. Si fuera negativo, la funcin de autocorrelacin se comportara como una sinusoide amortiguada. Si fuese positivo, decrecera exponencialmente. En ambos casos, tendera a cero cuando crece el desafse u. Esto es una forma de caracterizar la estacionaridad.La funcin de autocorrelacin de un AR(1) no se anula a partir del primer retardo, dificultando con ello la identificacin del orden del proceso AR.Funcin de autocorrelacin parcialA la funcin de autocorrelacin usada hasta aqu se la denomina funcin de autocorrelacin total.La funcin de ACP permite identificar el orden de un proceso AR.La ecuacin de Yule-Walker generalizada al orden p es: Entre las funciones de autocorrelacin total y parcial de un AR y un MA se mantiene la relacin de dualidad establecida entre los procesos. La funcin de ACP de un MA es anloga a la funcin de ACT de un AR, y la funcin de ACP de un AR es anloga a un MA. El orden del proceso en el MA viene determinado por la funcin de ACT, mientras que la funcin de ACP es la que determina el orden en un AR.Ejemplo pg 134 y ss: la forma decreciente en forma de sinusoide de la ACT indicara un AR. Los dos primeros retardos de la ACP, relativamente distintos de cero, indicaran un AR(2).Procesos ARMACon los criterios expuestos, no hubiera sido posible identificar todos los procesos posibles generadores de las funciones de autocorrelacin, aun cuando fueren estacionarios. A veces no se anulan las funciones de ACT y ACP a partir de los primeros retardos. Cabe imaginar una situacin en la que ambas funciones decaen exponencialmente y, adems, la ACP registra alternancia de signos para los coeficientes sucesivos.En estos casos se considera que el proceso estocstico estacionario generador debe ser una combinacin de los componentes AR y MA. Se habla de procesos ARMA. La identificacin del proceso ARMA a partir de las funciones de ACT y ACP es ms compleja.Supuesto que |1| F(terico), se rechaza la hiptesis nula, lo que quiere decir que se admite que X estara causando Y en el sentido de Granger de predictividad.Ilustracin emprica del contraste de causalidad debido a Granger[ver ejemplo en pg 410 y ss]