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Introducción a la Econometría

1 Pro fesor Genaro Sánchez Barajas

PRESENTACION

La econometría como disciplina que forma parte de las matemáticas aplicadas, al utilizar conceptos

matemáticos y estadísticos en la economía, ha resultado de gran utilidad para estos profesionistas en

el estudio que suelen hacer sobre el comportamiento actual y futuro de los fenómenos económicos,

así como para identificar y cuantificar las relaciones estructurales que éstos mantienen entre sí, al

igual que para expresar matemáticamente sus teorías y para verificarlas con el instrumental que les

proporciona la estadística.

Así, este trabajo integra en forma sistematizada los conocimientos básicos sobre esta disciplina; de

manera didáctica describe los conceptos teóricos y la aplicación de las técnicas mediante las cuales

es posible:

1. Realizar el análisis estructural de las relaciones entre variables independientes y

dependientes;

2. Estimar a partir de información histórica la evolución futura de ciertas variables;

3. Hacer planeación micro y macroeconómica; y

4. Evaluar la aplicación de políticas fiscales, de ingreso, monetarias, etc.

Como se indicó, dichas técnicas se aplican en la presentación matemática y en la verificación de

cierta teoría económica, ya que mediante el análisis funcional se establecen las relaciones entre un

fenómeno y las causas que hipotéticamente lo determinan, relaciones que posteriormente se

comprueban, preferentemente, mediante el uso de los métodos de la estadística inferencial. Una vez

que se comprueba que existen estas relaciones, se puede decir que se está en condiciones de estimar

el comportamiento futuro del fenómeno.



Este acervo de conocimientos es de gran utilidad para el ejercicio profesional de los economistas,

que pueden constatar la veracidad y comportamiento futuro de las variables micro y macro

económicas. Debido a ello he puesto gran cuidado en la elaboración de este libro, en su

presentación y exposición didáctica, en la descripción de su alcance, de sus limitaciones y, por

consiguiente, en el uso concreto que tiene en determinadas situaciones.

Con este enfoque estimo que esta obra debe ser parte de la bibliografía básica que deben consultar

los estudiantes y profesionales de la economía. Pienso que su consulta le permitiría a los primeros

aprender los conceptos fundamentales de la econometría y, a los segundos, ratificar, refrescar y

enriquecer los conocimientos suficientes para hacerlos competitivos en el mundo globalizado que

nos ha tocado vivir, donde la constante es el cambio y la competencia entre las personas.

Idealmente está escrito para autodidactas, sería una gran satisfacción alcanzar este objetivo; si no

lo logro, pido disculpas y prometo perseverar en el mismo en un futuro próximo.

Finalmente, aprovecho para agradecer a los profesores Alberto Reyes de la Rosa y Ekatherina

Peregrina, que participaron activamente en la captura, presentación y revisión meticulosa de los

ejemplos numéricos, en particular al profesor Alberto Reyes de la Rosa por la incorporación de

materiales interesantes de otros autores y por su participación en la interpretación de los resultados y

en el análisis de congruencia que deben guardar entre si los conceptos, así como en el diseño de

casos en los que se ilustra la aplicación de los conocimientos econométricos básicos. La anterior ha

permitido que el libro cuente con un mejor formato, que su lectura garantice la transmisión correcta

del conocimiento, que se exponga con sencillez y sin perder el rigor técnico, es decir, que sea útil

para el ejercicio docente, profesional y de investigación.

Doctor Genaro Sánchez Barajas



I. INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA I.1 Definición Econometría es la disciplina que en el ámbito económico mide las relaciones que existen entre un fenómeno bajo estudio y las variables que lo explican. La medición se hace con el instrumental matemático y las relaciones se verifican, generalmente, con las técnicas de la estadística inferencial. El fenómeno económico se estudia a través de la observación y su comportamiento, se registra preferentemente con datos cuantitativos (en ocasiones con cualitativos, expresados a través de variables llamadas categóricas, dicotómicas, ficticios o dummy). La matemática permite expresar su comportamiento a través de ecuaciones que pretenden describir determinada teoría económica, misma que en turno permite a la estadística indicar si es o no verídica. Así, una vez que se expresa la teoría económica en forma uniecuacional o multiecuacional, la estadística proporciona los métodos para corroborar sí se prueba o no con rigor técnico. I.2 Propósito1 Con base en la definición, puede decirse que la econometría tiene tres propósitos fundamentales: 1. Hacer el análisis estructural de las relaciones económicas. 2. Predecir a partir de valores observados o históricos de ciertas variables económicas, su evolución futura. 3. Evaluar la aplicación de políticas microeconómicas (a nivel de empresa) y/o macroeconómicas (a

nivel de los grandes agregados de un país).

1.3. Evol uci ón y perspec ti vas de l a econom et ría Algunos estudiosos como G.S. Maddala (1996:2) comentan que en opinión de Stigler en 1699 se identifica a Charles Devenant como pionero en el área, puesto que hizo y publicó ese año el primer programa de demanda empírica; otros consideran que su origen está en los trabajos realizados en dicho siglo XVII por Sir William Petty, quien escribió en 1676 y luego publicó en 1690 su obra la aritmética política o más recientemente, en 1758, con la Tableau Économique elaborada por el célebre médico francés Francois Quesney. En opinión de Julián Pérez (1998) han existido las siguientes etapas evolutivas: i). Etapa I: Antecedentes, que comprende desde las primeras expresiones económicas a través de las matemáticas, hasta 1914. ii). Etapa II. Desarrollos iniciales; abarca desde la publicación de H. Moore de Economic Cycles: Their law and causes, obra que muchos especialistas catalogan como el primer trabajo econométrico formal, digamos hasta 1930. iii). Etapa III. Formalización. Se le llama así porque el 29 de diciembre de 1930 se fundó la Econometric Society en la ciudad norteamericana de Cleveland, a iniciativa de Charles Roos Ragnar Frisc y Irving Fisher; esta etapa llega hasta 1950.



iv). Etapa IV. Extensión, va desde la publicación de la monografía número diez de la Cowles Comissión, en la cual se presentan las normas básicas de la investigación econométrica, etapa que se prolongó hasta 1979. v. Etapa V. Diversidad de enfoques, la cual se inicia con la publicación del Time Series Análisis de Box & Jenkins, que brinda un nuevo enfoque ( modelos univariantes de series temporales, conocidos como modelos ARIMA ) para explicar mejor ( ya que los distintos modelos clásicos empezaron a fallar sistemáticamente en sus predicciones ) el comportamiento y relación de las variables económicas en un sistema económico internacional agobiado por la crisis petrolera, el abandono del patrón oro y el cambio del flujo financiero que ocasionaron altos niveles de inflación y desempleo en economías completamente desestabilizadas. Señala Julián Pérez que “en este contexto surgieron múltiples críticas a la modelización tradicional, representada por los grandes modelos macroeconómicos de ecuaciones simultáneas, que sirvieron como incentivo para el desarrollo de contrastes nuevos, especificaciones alternativas, y técnicas nuevas para abordar el análisis económico aplicado. Esta diversidad de planteamientos constituye el segundo de los factores diferenciadores que delimitan esta última etapa de la historia econométrica. En los umbrales del siglo XXI, el instrumental teórico sobre análisis econométrico ha sido fortalecido por un desarrollo exponencial de las tecnologías informáticas, las cuales han aportado poderosas herramientas computacionales que han permitido el uso de sistemas de resolución muy complejos en periodos muy cortos. Asimismo, los lenguajes de programación “amigables” han facilitado a los investigadores la posibilidad de generar sus propias herramientas de computo, lo que ha diversificado enormemente las posibilidades de aplicación teórica.” Finalmente es interesante indicar que dentro de la econometría moderna, en opinión de los profesores Luis Miguel Galindo y Horacio Catalán ( 2003) en la actualidad se analizan profusamente las propiedades estadísticas de las series utilizadas en el análisis económico, mediante el estudio de los temas de cointegración y de raíces unitarias, cuyo origen se localiza en los modelos ARIMA y en el concepto de regresión espúrea ( Granger & Newbold, 1974), así como también la relación entre la estructura temporal de las series de tiempo ( dinámica de corto plazo) y la presencia de un mecanismo de corrección de errores que captura las relaciones de largo plazo ( Davidson, Hendry, Srba y Yeo, 1978). Estos son los conocimientos frontera en el nuevo estado del arte econométrico, mismas bases que norman el contenido del curso sobre introducción a la econometría. 1.4 Los mod el os mac roe conómi cos má s conoci dos 1.4.1. Norteamericanos, Se dice que en 1998 apareció publicado al mismo tiempo que se inauguró un sitio en Internet gratuito con la versión electrónica, el MME para la economía de EEUU con el nombre de US Model, de Ray Fair, profesor de la universidad de Yale. Entre otras aplicaciones, es útil como simulador al contener información para crear escenarios en sectores claves como: los hogares, las empresas, el sector financiero, el sector gobierno federal, el sector gobierno local, y el sector externo.



1.4.2. Los españoles Destacan el modelo Wharton –Universidad Autónoma de Madrid, (WUAM), que existe desde 1981. También, el Modelo de investigación y simulación de la economía española (MOISSES) y, el que se publicó en 1994, intitulado: “Modelo de Aproximación Trimestral, MAT. 1.4.3. Los de México Cronológicamente el que primero se conoció fue el Modelo UNAM de Ibarra ( Ibarra, 1970), le siguieron el modelo de Clavijo ( 1976), el modelo de planeación hacendaria ( 1979), el modelo de Ruffat, versión modificada del modelo de Beltrán ( 1981), el modelo Galileo ( 1983), el modelo MODEM del CIDE (1984), el modelo Aspe-Jarques (1985), el modelo Amiela-Huerta (1985), el modelo Ricardo Lago ( 1991) y el modelo Eudoxio ( 1995). 1.5. Conceptos bá si cos Al ser la econometría la disciplina que expresa una teoría económica a través de las matemáticas y de verificarse con métodos estadísticos, es conveniente señalar que la expresión matemática adopta la forma de modelos. Al respecto, un modelo es una representación simplificada de la realidad expresada a través de símbolos matemáticos ( José Hernández, 1992:17). Cuando el modelo se relaciona con la economía, se habla de modelos económicos, que son representaciones simplificadas de cierto conjunto de relaciones económicas. Dentro de estos destacan los modelos econométricos, que se definen como modelos económicos que contienen las especificaciones necesarias para su aplicación empírica, es decir los modelos econométricos constituyen el marco dentro del cual se desenvuelven las investigaciones econométricas. Para su formulación se requiere metodológicamente de las siguientes etapas de trabajo: 1.- Evolución de la teoría o hipótesis. 2.- Especificaciones: es la exposición de la teoría económica con símbolos matemáticos, es decir, la definición del modelo econométrico dirigido a probar la teoría económica. 3.– Estimación: la determinación del valor numérico de los parámetros del modelo. 4.- Verificación: Es la aceptación o el rechazo de la teoría económica mediante el método de pruebas de hipótesis estadísticas. 5.- Predicción: Se evalúan relaciones estructurales y futuros resultados con base en el modelo establecido. 6.- Utilización del modelo para fines de control, formulación o evaluación de políticas. 1.- ESPECIFICACION Ursicino Carrascal ( 2001) señala que el proceso de construcción de un modelo econométrico se inicia con la especificación de la relación a estimar y la formulación de un conjunto de hipótesis. Este procedimiento inicial que requiere selecciones entre distintas alternativas puede incurrir, sin embargo en errores. Por ello es conveniente someter al modelo elaborado y estimado a diversas pruebas estadísticas que permitan comprobar su validez y calidad antes de utilizarlo en el trabajo empírico. De ahí que se diga que un modelo se especifica cuando se definen las siguientes:



a)Variables: Endógenas: son las que explican el modelo y cuyo valor se determina dentro del mismo. Exógenas: son aquellas cuyos valores no los determina el modelo, son independientes, por consiguiente, influyen en el mismo pero no son influenciadas por el resto de las variables del modelo. Retardadas: son aquellas cuyos valores corresponden a momentos, años o periodos de tiempo pasado que influyen en las variables endógenas del presente; pueden ser endógenas o exógenas. Predeterminadas: son variables exógenas mas endógenas retardadas. Ficticias: Se usan para hacer análisis con variables cualitativas. Perturbación aleatoria: Es una variable aleatoria cuya inclusión se debe al hecho de que las relaciones económicas no se cumplen exactamente. Dicha inclusión, que confiere a los modelos el carácter estocástico, se justifica por las siguientes razones no excluyentes: 1.- Resumen de la influencia conjunta de las variables exógenas, que, por tener poca importancia, no son incluidas en el modelo de forma independiente. 2.- Recogen los errores de medida en la observación de las variables. 3.- Recogen la aleatoriedad inherente al comportamiento humano. Dicotómicas (ficticias, dummy y categóricas) son las variables cualitativas del modelo, expresan atributos, genero, raza, idioma etc. b).- Parámetros: Son coeficientes que acompañan a las variables en el modelo. Son magnitudes que permanecen constantes dentro de un fenómeno concreto y que, por esta razón, reciben el nombre de parámetros estructurales. En la teoría económica suelen tener ciertas restricciones para que ésta se cumpla, por ejemplo el signo para indicar que se cumple o no cierta relación entre las variables dependiente e independiente. c) Ecua ciones . Son relaciones matemáticas con las que se trata de expresar la forma en que aparecen relacionadas las variables y los parámetros que componen el modelo. Matemáticamente se clasifican así: Lineales: Cuando la forma funcional es lineal. No lineales: Cuando la ecuación es de cualquier otro tipo. Desde el punto de vista económico, las ecuaciones se clasifican en : De comportamiento: Recogen las acciones de los sujetos económicos.



Institucionales: Describen los efectos de orden jurídico, social y de la política económica sobre el fenómeno en estudio. Estructurales: Describen la composición del fenómeno bajo estudio. Identidad: Son las ecuaciones que expresan relaciones contables o identidades entre magnitudes económicas. d).- Dat os : Los datos de las variables pueden corresponder a valores de una variable en el tiempo: series de tiempo, o a valores para diferentes individuos, grupos u objetos en un momento dado, llamados de corte transversal y que generalmente provienen de las encuestas. e).- Clas ifi cac ión o t ip o de modelos : Pueden clasificarse de diversas maneras, las más comunes son: i). Por el número de ecuaciones, es decir, pueden ser uniecuacionales o multiecuacionales, todo depende del número de ecuaciones con que se constituyan. ii). Por la forma de sus ecuaciones, pueden ser lineales cuando sus ecuaciones lo son, no lineales si alguna no lo es. iii). Por la relación entre el número de ecuaciones y el número de variables endógenas, se dice que es completo cuando coincide el número de ambas; es incompleto, cuando difiere dicho número. iv). Por el momento del tiempo a que se refieren sus valores: son estáticos o dinámicos. En el primer caso todas lasa variables están referidas al mismo instante de tiempo; en el segundo, cuando dentro del modelo se incorpora alguna variable retardada. 2.- ES TIMAC IÓ N CO NDICIO NES TÉCNICAS PARA LA CO NS TRUCCIÓ N Y O PERACIÓ N DE MO DELO S Mode l o li ne al s i mple : unie cuaci onal 1.- Pre se ntaci ón: Como señala el p rofesor José Hernández Alonso ( op . cit . , 33), la relac ión económi ca más senc ill a es la que se es t ablec e ent re dos variabl es XeY med iant e una ecua ción l inea l E ST RUCT URAL como la s i gui ent e:

iii XY µβα ++= Donde:



Yi: v ariab le endó gena, e xp licad a o dep endient e; X i: variab le e xó gena, e xp licat iva o indep endient e;

iµ : p ert urbación aleat oria o e xp licac ión de los ef ect os que no e xp lica X i sobre iY ; α y β: p arámet ros desconocidos cuy o valor es necesario det erm inar ( es t imar ). El propós ito d e l a e conomet ría es es t imar va lores es t ruct urales ( d e α y β ) a p art ir de una seri e de observ acion es o dat os mues t rales de l as variab les Yi, X i con i= 1,2,3,. . . . . . ,n, mediant e la solución de un “ s is t ema de ecuaciones normal es”, que p ermit e calcu lar las in có gnit as del s is t ema, es de cir, conocer los va lores de los p arámet ros p rop ues t os p or la relac ión Y= f(X). Dicho modelo (Urs ic ino, 2001) se funda ment a en el cumpl i mi ento de l as si gui entes h i pótesi s o supues tos cl ási cos:

1. Imp lícit as en l a esp ecifi cac ión de la ecu ación del mode lo es t á l a line alid ad de la re lac ión y la cons t ancia de los p arámet ros .

2. No exis t en rela ciones l inea les e xa ct as ent re las variabl es e xp licat ivas o regr esoras , adem ás de que es t as no son variabl es ale at orias .

3. Exis t e linea lidad e xact a ent re l as variab les solo cuando la var iabl e indep endient e es t a elevada a la p ot encia 1 (Gujarat i, 1990:32) y se excluy en t érminos como x2, 2x ent re ot ros . De las dos int erp ret aciones de line alid ad la de los p arámet ros es la más imp ort ant e en la t eoría de la regr es ión y s ignif ica qu e los p arámet ros es t án elevados a l a p rimera p ot encia.

4. Las p ert urbaciones aleat orias son variables (aleat orias o es t ocás t icas ) indep endient es e igu alm ent e dis t ribuidas normales de med ia cero y ciert a varianz a.

5. No exis t e aut ocorrelación (son indep endient es ) ent re s i las p ert urbaciones aleat orias . µ i

6. T odas las p ert urbaciones aleat orias t ienen i gual vari anz a, i.e. , h ay homocedas t icid ad, de l as µ i.

7. Exis t e cero covari anz a (cov) ent re la v ariab le e xp licat iva (X i) y la vari able o p ert urbación aleat oria ( iµ ), es decir, no es t án correlacion adas , de maner a que su s ignific anci a en la variab le dep endient e (Yi)es sep arada y adit iva. Cuando X e iµ es t án correlac ionadas (p os it iva o ne gat iva ment e) es dif íci l ais lar l a inf luenci a ind ividua l de X i y de iµ sobre Yi (Gujarat i, 1990 :59). Es t a hip ót es is 7 se cump le cuando Yi no es una variable ale at oria (ver hip ót es is 2), en cuy o caso Cov(X i, iµ )=0.

Al resp ect o, conviene r ecordar que un a p ert urbación a leat oria o var iabl e es t ocás t ica es aquella que t oma cu alqui er valor en un con junt o de números p os it ivos o negat ivos , con una p robabilid ad dada. U p roceso es t ocás t ico es aquel que gener a result ados en un exp erim ent o, cada uno de ellos con una p robabilidad de ocurr enci a. En econo mía p uede ser la p roducción diaria de t ornillos , de ladril los ; el in greso de las p ersonas en un mes , et c. donde cada uno de ellos t oma una p robabil idad de o currenc ia. Esp eranz a mat emát ica o valor esp erado es el valor medio o p romedio de una p oblación (que p ueden ser los result ados es t ocás t icos que gener a el e xp eriment o).



As í, en el lanz am ient o de un dado que t ien e 6 car as : 1,2,3,4,5, y 6, s i hacemos e l exp erim ent o de l anz ar el dado una v ez , genera un p roceso es t ocás t ico, cuy a variabl e a leat oria será aque lla que t ome los v alores d e l as car as : 1,2,3,4,5, y 6 y cuy a p robabilidad de ocurren cia de c/u ser á P=1/6, lu e go s i X=c ara o result ado p os ible; E=(Esp eranz a mat emát ica); P(Probabil idad)

)6(61

)5(61

)4(61

)3(61

)2(61

)1(61

)( +++++=ixE

5.3621

66

65

64

63

62

61

)( ==+++++=ixE

E(xi)=3.5 que aunque no e xis t e, aun as í es e l valor esp erado en el e xp erim ent o.

8. El mode lo es t á bien esp ecifi cado. En economet ría la re lac ión line al s imp le ent re dos variables se denomina modelo lineal s impl e, M LS. La es t ima ción p unt ual de los p arámet ros p oblaciona les α y β se h ace p or el mé todo de mínimos cuadrados que minimiz a la suma de los cuadrados de los res iduos ,

2

ie∑ y que garant iz a ciert as propiedad es es t adís t icas de los es t imadores a y b, de

los p arámet ros α y β , que ase guran la conf iabi lidad del p roceso de inferen cia ( a p art ir de una mues t ra se es t iman o infieren los valores de los est imadores de los p arámet ros). Se sup one que las pro pi e dade s de l os e s ti madore s as í obt enidos son: que son linea les , inses gados , óp t imos , suficient es , cons is t ent es y eficient es . As í, la ecuac ión de re gres ión, que t oma va lores de una mu es t ra de valores de Yi e X i es : Ŷ= a+bX+ ei donde: a es es t imador de α b es es t imador de β Ŷes es t imador de Y

ie es el es t imador de iµ El mét odo de mínimos cuadr ados , basado en los mínimos cuadrados ordin arios ,

M CO, minimiz a 2

ie∑ p ues t o que ie i=Yi- Ŷi= Yi-a-bX i. Ap licando las condic iones

de mini miz ación, se d educe el “ s is t ema de ecu acion es normal es”: ∑ ∑+= xbnay (1)

∑ ∑ ∑+= 2xbxaxy (2) cuy a resolución p ermit e obt ener los valores de las incó gn it as a y b



2. Re pre se ntati vi dad de l mode l o descri pti vo En es t adís t ica descr ip t iva se ut iliz an dos medid as de disp ers ión p ara conoc er e l grado d e ap roxi mac ión ( cap acid ad descrip t iva ) de la ecua ción de r e gres ión Ŷ= a+bX+ ei, ( que p roviene de una mues t ra) de los valores de los p arámet ros α y β .Una es la v arianz a de los res iduos , med ida d e disp ers ión absoluta , y ot ra es el coefic ient e de det erm inac ión, med ida de d isp ers ión relativ a . 2.2 Confi abili dad de l os e s ti madore s de l os paráme tros La es t imación p unt ual de los p arámet ros estructural e s del modelo : α y β , dada p or a y b, resp ect ivament e, que p rovienen de un a mues t ra, se sup one que son dos valores numéri cos que p uedan p rovienen de mues t ras dist int as disp onibles dent ro del marco mu es t ral y cuy o número , de ést as últ imas , dep ende de su selección de acuerdo con la ap lic ación de l mét odo con o s in reemp laz o. As í según la mues t ra ut iliz ada, es el valor que se obt ien e p ara a y b. Para t ener una idea de las oscilac iones que p ueden p roducirse en sus valor es al p asarse de una mues t ra u ot ra, se calcu lan l as varianz as de es t os dos es t imadores : a y b. 3.- Verificación de la teoría económica Para ello se re aliz a l a p rueba de hip ót es is sobre la s ignific ación es t adís t ica de los p arámet ros , en cuy o cálcu lo int ervienen su vari anz as y ot ras medidas es t adís t icas que se p resent arán y usarán en la medid a que se vay a avanz ando en el curso de economet ría. 4.- Pre di cci ón Una vez obt enida la ecua ción de r e gres ión, qu e se ha v erifi cado l a c alid ad de sus es t imadores y comp robado que describe ap rop iadament e la t eorí a econó mic a, e l inves t igador es t á en condic iones de visua liz ar el fut uro ( hac er p laneac ión) ap licando el mod elo uni ecua ciona l ( o mult iecua ciona l ) en la p roy ección de los valores , di gamos nec esarios p ara cons t ruir escenarios económi cos fut uros de su int erés . He aquí el uso y alcan ce de los conoci mient os bás icos de l a econo met ría.



II . CONCEPTOS Y EJERCICOS PARA REFRESCAR O ACTUALIZAR LOS CONOCIMIENTOS NECESARIOS PARA CONSTRUIR MODELOS 2 y 3

II .1Conjuntos y números real e s Defi ni ci ón de conjunto: de manera senc ill a diremos que un con junt o es un grup o de objet os ; digamos , p odemos decir que los números p ares ent re 3 y 15 es un conjunt o, los cua les son 4,6,8,10,12,14, donde a c ada uno de es t os números se l e llam a mi embro o e lem ent o del conjunt o. Un conjunt o se esp ecific a lis t ando sus mie mbros , en cualqu ier ord en, dent ro d e llaves . E l conjunt o ant erior se p one as í: {4,6,8,10,12,14}, mismo que p odemos ident ificar con la let ra A. As í, decimos p or ejemp lo que un con junt o A es un subconjunt o de un conjunt o B ⇔ t odos los element os de A t ambién son element os de B. Si A= {6,8,10} y B = {4,6,8,10,12,14}, ent onces A es un subconjunt o de B. Ahora bien, ciert os conjunt os de números t ienen nombres esp ecial es . Los números 1,2,3,4,5, . . . . ,et c. forman el conjunto de l os e nte ros pos i ti vos o núme ros naturale s = {1,2,3,…} . Los p unt os susp ens ivos indican qu e l a l is t a de ele ment os no t ienen f in, aun cu ando sabemos cual es son los ele ment os del con junt o. Por ot ra p art e, los ent eros p os it ivos junt o con el cero y los ent eros negat ivos –1,-2,-3,-4.. . . forman el conjunt o de los ent eros ={……-4,-3,-2,1,0,1,2,3,4,….}. Igua lment e, e l conjunt o de los números racionales , cons is t e en núm eros como 1/2 y 1/8, que se p ueden escr ibir como una raz ón ( coc ient e ) de dos ent eros , es decir, un número ra ciona l es aquel que p uede escribirse co mo p /q, donde p y q son ent eros y q ≠ 0 y a que no se p uede div idir ent re cero. Los nú meros 17/19, -3 /8 y –5/-3 son raciona les ; e l ent ero 3 es rac ional y a que 3 = 3/1. T odos los ent eros son racionales . Los números racion ales se p ueden rep resent ar mediant e núm eros de ci mal e s conme nsurabl e s ( con un número definido de cifras ), t al es como 3/4= 0.75 y 3/2 = 1.5 o mediant e de ci male s i nconme nsurabl e s pe ri ódi cos ( con un grup o de dígit os que se rep it en indefinidament e), t ales como 2/3= 0.66666... . , -4/11 = 0.3636... . . , y digamos 2/15 = 0.13333... . . , T ambién, los números que se rep resent an mediant e de ci male s i nconme nsurabl e s no pe ri ódi cos se l l aman núme ros i rraci onale s . Un número irracional no se p uede escribir como un ent ero dividido ent re ot ro ent ero. Los números Π = 3.1416 y 2 son irraciona les . Los dos , tanto l os núme ros raci onale s como l os núme ros i rraci onale s forman e l conjunto de l os núme ros re ale s . Est os números p ueden rep resent arse mediant e puntos e n una re cta y se l es ll aman coorde nadas . Ejemp lo:



II .2 Ecuaci ones S i gni fi cado: una ecuación es un p lant eamient o que señala que dos expres iones son iguales : Cada una de las expres iones se llama lado o miembro y est án sep aradas p or el s igno de i gu aldad (=) . Ejemp los de ecu acion es : a).- x+2=3 ; b).- y /y -5=7 ; c).- w=7-z ; d).- x2 + 3x+2= 0 Vemos qu e cad a e cuac ión cont ien e cuando menos un a vari abl e , donde és t a se rep resent a genera lment e ( p ero no necesari ament e ) p or las let ras finales de l alfabet o l at ino y se de fi ne como aqu ell a l it eral qu e p uede t omar cua lquier va lor dent ro de un dominio o ran go qu e se esp ecífic a p reviament e. Decimos que las ecua ciones a) y b) son ecu acion es en las var iabl es x y y, resp ect ivament e. La e cuac ión c) se da en l as variab les w y z : En l a ecu ación a) x+2=3, se les l lam a constante s a los números 2y 3 p or que su valor es fijo. Es imp ort ant e decir que una ecua ción s iempre debe es tar defin ida; es decir, nunc a se p ermit e que una vari able t en ga un va lor p ara e l cu al cualqu ier expres ión d e l a ecuac ión result a indefin ida. As í, en e l c aso de la ecua ción y /(y -5)=7, la y no p uede ser 5 p or que p rovocaría que e l denom inador fuer a 0. Por ot ra p art e, se entiende por re sol ve r una e cuaci ón, el encont rar t odos los valores de sus variables p ara los cuales la ecuac ión se verific a; a es t os valores los llam amos sol uci one s de l a e cuaci ón y decimos que la sat is facen. Cuando una let ra rep resent a un número o cant idad desconocida en una ecua ción se le deno mina i ncógni ta. Así, en las ecu ación a).- x+2=3, la vari able x es l a incó gnit a; sólo el v alor 1 p ara x sat is face l a ecua ción. A es t a solución se le l lam a raí z y cómo es una sola solución escribi mos [ ]1 . En c) w=7-z es una ecuación con dos incó gnit as : w y z . Una soluc ión es e l p ar de v alores : w=4 y z = 3; no obs t ant e, exis t e una cant idad infin it a de solu ciones ; i gual ment e, en d). X 2 +3 x+2=0, la r aíz o solución es –2 p or que al sus t it uir x p or -2 se verif ica la ecu ación : (-2)2+3(-2)+2 =0 Derivado de lo ant erior ( con base en las solu ciones encont radas ) t ambi én p odemos decir que una e cuac ión es un conjunt o de res t riccion es i mp ues t as a cualqui era de las vari ables que la int e gran.

− π -1.5 1 / 2 π

-3 -2 -1 0 1 2 3

2



F inalment e, es conven ient e dec ir que una e cuac ión debe resolv erse p ara las incó gnit as ; di chas soluc iones son los v alores encont rados p ara las v ariab les que, a l sus t it uirlos en lugar de l a incó gn it a, sat is facen la ecua ción. Ecuaci ón l i ne al Una ecuación lineal en la variable x puede escribirse así: Ax+b=0 Donde a y b son constantes y a≠ 0. También se le denomina de primer grado por que el exponente o mayor potencia de la variable x es uno. Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática en la v ar iable x podemos escr ibir la de la s iguient e manera: ax2 +bx + c=0. Donde a,b y c son cons t ant es y a ≠ 0. es de segundo gr ado dado que el e xp onent e má xi mo de l a vari able x es dos . En ge ne ral pode mos de ci r que , por e je mpl o: 3x + 4 = 0, es una e cuación line al de p rimer gr ado; X 2 + X + 12 = 0, es un a ecua ción cuadrát ic a de se gundo gr ado cuy a curva se l lam a p arábola. X 3 – X = 0, es una ecuación cúb ica d e t ercer grado ; y X n = 0, es una ecuación d e grado e-n és imo. II .2. 1. Sol uci ón de ecuaci ones Dado que por definición todas las ecuaciones expresan una igualdad del lado izquierdo con el lado derecho, todas las operaciones en uno de los lados, también deben realizarse del otro lado para que se mantenga la igualdad. Cualquier número puede sumarse o sustraerse de un lado de la ecuación, siempre y cuando el mismo número sea agregado o restado del otro lado. Simultáneamente ambos lados pueden multiplicarse o dividirse por el mismo número, ser elevados a la misma potencia o sacarles la raíz cuadrada a ambos lados. Cuando se resuelven las ecuaciones se debe tener cuidado con la remoción de los paréntesis y de las fracciones.



Sol uci ón de ecuaci ones l ineal es a).- s i t enemos 3-5( 2X – 1 ) ( X – 3 ) = 43 – 10X 2 resolvemos 3 –5 ( 2X 2 – 5X – 3 ) = 43 –10X 2 3 –10X 2 + 25X + 15 = 43 – 10X 2 25X = 25 X = 1 b).- Sea 5X – 6 = 3X, s i sumamos -3X en los dos lados 5X – 6 + ( -3X ) = 3X+ (-3X) 2X – 6 = 0 X = 3 c).- Digamos que 2( p + 4 ) = 7p + 2 2p + 8 = 7p + 2 2p = 7p + 2 – 8 -7p + 2p = -6 -5p = - 6 p = -6/-5 p = 6/5 d).- Si deci mos que la ecuac ión S = P + Prt es la fórmula p ara el valor S de una invers ión de un cap it al P a un a t asa de int erés a nua l s imp le ( r ) durant e un p eriodo de ( t ) años , ent onces , s i queremos conocer el c ap it al, desp ejamos P as í: S = P + Prt S = P ( 1 + rt ) P = S / 1 + rt

Sol uci ón de una ecuaci ón cuadráti ca( 3 )

La gráf ica o curva d e l a fun ción cuadrát ic a Y = f (X) = a x2 + b x + c = 0 se denomina p arábol a, mism a que t iene las s i guient es car act erís t icas . 1.- Cuando a es may or que 0, la curva abr e hac ia arr iba; 2.- Cuando a es menor qu e 0, la curva abr e hac ia ab ajo; 3.- El vért ice es ( - b/2a, f ( - b/ 2 a ) )

4 . - La ordenada en el or i gen ( int erc ep ción ) Y ) es c.



El p unt o en que la p arábola Y = ax2 + bx +c int ercep t a el eje Y, es el de la ordenada en el ori gen y se obt iene cuando damos a x el va lor de 0. O sea que las coordenadas de la int erc ep ción con el eje Y, son ( 0, c ). Así, si la ecuación cuadrática es Y = f ( x ) =ax2+bx+c sustituyendo en, -x2 – 4x +12, vemos que a = -1, b = -4 y c = 12. Puesto que a es menor que 0, la parábola abre hacia abajo. La coordenada X del vértice es –b / 2a = -(-4) / 2 (- 1) = -2 . La coordenada Y es f( -2) = - (-2)2 – 4 ( - 2 ) + 12 = 16. Así, el vértice o punto más alto de la parábola es (-2, 16 ). Como c = 12, la ordenada en el origen (x= 0) es 12. Para determinar las abscisas en el origen, se iguala Y a 0, es decir Y = -x2 -4x +12 y con ello determinamos el valor de x : 0 = -x2 - 4x + 12 0 = - ( x2 + 4x – 12 ) 0 = - ( x + 6 ) ( x – 2 ) luego entonces X1 = -6; también, X2 = 2 Así tenemos el vértice en ( -2, 16), las intercepciones en ( -6,0 ) y ( 2, 0 ). Como el punto de intercepción al eje Y es ( 0, 12 ) denominado ordenada en el origen, está a dos unidades a la derecha del vértice, ( -2, 16 ), existe un punto a la izquierda del mismo con igual ordenada ( -4, 12 ), con el que se obtiene la simetría con respecto al vértice.

y

x

a < 0

Vérticey

x

a > 0Vértice



Sol uci ón de ecuaci ones cuadráti cas u sando l a fórmul a cuadráti ca En la ecuación ax2 + bx + c = 0, donde a,b y c son constantes y a diferente de cero, entonces la fórmula es: X = -b ± acb 4− / 2a ; nota, la b dentro del radical es al cuadrado, no pude poner el exponente. a).- Resolver 4x2 - 17x + 15 = 0 aquí tenemos: a = 4; b = -17 y c = 15 luego X = - (-17) ± )15)(4(4)17( −− cuadradoal / 2(4) = 17 ± 49 / 8 las raíces son : X1 = 17+7 / 8 = 24 / 8 = 3 y X2 = 17 – 7 / 8 = 10/8 = 5/4 b).- 3x2 - 5x = 2 3x2 - 5x – 2 = 0 a = 3, b = -5 y c = -2 Así, X = 5 ± 2425+ / 6 = 5 ± 49 / 6 = 5 + 7 / 6 Luego X1 = 5+7/6 = 2 y X2 = 5-7/2 = -2/6 = -1/3

y

0

3

6

9

12

15

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Vértice (-2,16)

(0,12)

(-6,0)x(2,0)

simetría(-4,12)



Sistema de ecuaciones o ecuaciones simultáneas

Cuando una situación se describe en forma matemática, en ocasiones se expresa por medio de un conjunto de ecuaciones. Al respecto, es importante decir que un conjunto de ecuaciones simultáneas se puede resolver normalmente con álgebra si el número de ecuaciones es igual al número de variables. Así para resolver dos variables se requieren dos ecuaciones; generalizando, resolver para n variables, significa que se requieren n ecuaciones. Sin embargo en ocasiones aun cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables no se encuentra su solución. Lo anterior se ilustra con los siguientes ejemplos: Sistema de Ecuaciones Lineales i).- inconsistente : x-y = 2 ..............(1) el sistema es inconsistente por que es igual a 2 o 5 pero no x-y = 5 ..............( 2) ii).- Dependiente : 2x + 3y = 6 ......( 1 ) 6x + 9y = 18 .....( 2 ) hay una relación o dependencia de 1 a 3 de la ecuación uno a la dos, o viceversa. iii).- Independientes y consistentes: x + y = 5 ................( 1 ) x – y = 1 ...............( 2 ) Solo tienen solución los sistemas de ecuaciones que son ambas : independientes y consistentes, cuya solución puede ser por los métodos de 1.- eliminación ; 2.- sustitución y 3.- determinantes. 1.- Por eliminación de una variable por adición o sustitución 5x + 2y = -5 ...........( 1 ) -3x +4 y = 29 ................( 2 ) si multiplicamos ( ¡ ) por 2 : 10 x + 4 y = - 10 .............. ( 1 ) por 2 -3x + 4y = 29 ..................( 2 ) solución 13 x + 0 = - 39 x = -3 Comprobación: Sustituimos ( - 3 ) por X en ( 1) y tenemos 5 ( -3 ) + 2y = - 5 -15 + 2y = -5 y = 5



respuesta X = -3 ; Y = 5 2.- Por sustitución de una variable Ejemplo: 3x – 4y = 5 .................( 1 ) X + 7y = 10 ....................( 2 ) D e la segunda ecuación x = 10 – 7y, luego sustituyendo ( 10 – 7y ) por x en ( 1 ) tenemos: 3(10-7y) – 4y = 5............( 1 ) 30 – 21y – 4y = 5 30 – 25y = 5 30 – 5 = 25y 25 = 25y y = 1 sustituimos 1 por y en ( 1 ): 3x – 4(1) = 5 x = 3 respuesta x = 3 ; y = 1 3.- Por determinantes Referencias: sabemos que una matriz se define como un arreglo rectangular de números y que una matriz cuadrada es aquella en que el número de “ renglones “ es igual al número de “ columnas “ : A cada matriz cuadrada A corresponde un sòlo valor conocido como su determinante A . 3.1.- Tipos de determinantes. Determinante de segundo orden, se define como :

A = 2221

1211

aaaa

= a11a22 – a12a21

vemos que el valor de A está dado por la diferencia de dos productos cruzados. Con números

3154

= 4(3) – 5(1) = 7

determinante de tercer orden, se define en términos de determinante de segundo orden

A =

333231

232221

131211

aaaaaa

aaa



A = a113332

2322

aaaa

- a12 3331

2321

aaaa

+ a13 3231

2221

aa

aa

ejemplo:

A = 214502351

−− = 1

2150

− -5

2452

−− + 3

1402

−

A = ( 0-5 ) – 5 ( -4+20 ) + 3 ( 2 – 0) = -5+20 - 100 + 6 - 0 = -105 + 26

A = - 79

En general decimos que un determinante de orden n se define en términos del determinante de orden (n-1).

Ejemplos:

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas para X e Y .

3x –4y = 5

x +7y = 10

X = 71045 −

entre7143 −

= 35 – ( -40 )/ 21 – ( -4) = 75 / 25 = 3

X = 3

Para Y = 10153

entre 71

143 − = 30 – 5 / 21- (-4 ) = 25/ 25



Y = 1

Regla de Cramer

Al método de resolver un par de ecuaciones lineales de dos incógnitas se puede extender al caso general de una ecuación con n incógnitas . Si Ax = h

La solución es X1 = 1A entre A

Donde A es el determinante base o determinante de la matriz coeficiente A , y 1A representa el determinante de la matriz coeficiente A con el coeficiente de X1 reemplazado por la columna de las constantes h1 , h2 , h3........, hn.

X2 = 2A entre A y en general Xj = Aj entre A

Observe que cuando la matriz A es singular, es decir, A = 0 no se puede usar la Regla de Cramer.

Ejemplo, encuentre los valores de las tres incógnitas (X, Y, Z ) de las siguientes ecuaciones usando la Regla de Cramer:

x + y +z = 6

5x –y +27 = 9

3z +6y –5z = 0

los ponemos en notación matricial

563215111

−−

zyx

= 096

X = 560219116

−− entre

563215111

−− = 57/57 = 1



Y = 503295161

− entre

563215111

−− = 114/57 = 2

Z = 063915611

− entre 563

215111

−− = 171/57 = 3

Sistema no lineal, también llamado solución de ecuaciones simultáneas cuando al menos una de las ecuaciones es cuadrática.

Un sistema de ecuaciones simultáneas de un tipo más complejo se puede resolver usando el método de sustitución, ejemplo:

X2 + 4y = 20 ...............(1)

Y 2x = 8 .............(2)

Sustituya ( 8+2x) por y en (2) en la primera ecuación:

X2 + 4(8+2x) = 20 ............(1)

X2 + 32 + 8x = 20

X2 + 8x +12 = 0

( x + 6 ) ( x + 2 ) = 0

obtenemos ya sea x = -6 o x= -2

Si x = -6, la segunda ecuación se convierte en :

Y -2(-6) = 8 ...........(2)

Y +12 = 8

Y = -4

Cuando x = -2, la segunda ecuación se convierte en :

Y -2(-2) = 8 ..............(2)

Y + 4 = 8

Y = 4



Respuesta: hay dos soluciones: ya sea x = -6 con y = -4 o también: x = -2, y = 4.

Ejemplo 2: resolver el sistema X2 -2x + y -7 = 0 ........(1)

3x –y + 1 = 0 ............(2)

despejando y en la segunda ecuación obtenemos :

y = 3x + 1 .........................(3)

sustituyendo en la (1) y simplificando:

X2 - 2x + ( 3x +1 ) -7 = 0

X2 + x -6 = 0

(x + 3 ) (x – 2 ) = 0

se obtiene X = -3 o bien X = 2

de la ecuación (3), cuando x = -3, tenemos y = -8 ; también, cuando x )= 2, y = 7. II.3 El Concepto de una Función(2 y 3) Como señalan E. Haeussler y R.S. Paul, el matemático G.W. Leibniz en el siglo XVII introdujo el concepto de Función dentro del vocabulario matemático; una función es un tipo especial de relación de entrada y salida, o dicho en otras palabras: insumo y producto. Definición: una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. El conjunto de todos los números de entrada a los cuales se aplica la regla se le llama dominio de la función. Al conjunto de todos los números de salida se le llama ámbito o contradominio. Ejemplo, al invertir dinero a una tasa de interés, el interés I, (salida), depende del tiempo t ( entrada ) en que se invierte el dinero. Para expresar esta dependencia decimos: “ I es función de t “ . Así, supongamos que $ 100.00 producen interés simple a una tasa anual del 6%; escribimos: I=100(i)t I=100(0.06)t . . . . . . . . . . . . .(1) Donde I se exp resa en p esos y t en años . Si t =1/2, obt enemos: I=100(0.06)1/2.. . . . . . . . . . . . . .(2) En este caso, en (2) se asigna a la entrada t el valor ½ y a la salida 3. En (1) se define la regla: el

multiplicar t por 100(0.06). Dicha en otra forma t → I, también: t →100(0.06)t.



De lo anterior observamos que el número de entrada t no puede ser negativo porque (-) no tiene sentido. Luego entonces el dominio consiste en todos los números no negativos, t ≥0. En la ecuación (2), cuando la entrada es ½, la salida es 3, es decir, es la parte del ámbito o contradominio. A la variable t que representa números de entrada para una función se le llama variable independiente y a la variable I que representa números de salida se le denomina dependiente, pues su valor depende del valor de la variable independiente; decimos que la segunda es función de la primera, en otras palabras, la salida es función de la entrada. Por costumbre se usa la letra f para represent ar reglas de funciones, pero si lo deseamos, podemos usar otras letras. En el caso anterior escribimos I=f(t).

Debe comentarse que f(t) no significa f multiplicado por t, sino que f(t) significa la salida que corresponde a t.

Lo anterior lo podemos generalizar diciendo que gráficamente lo expresamos de la siguiente manera; digamos si

f(x)=2x y si recordamos que una función es una correspondencia mediante la cual se asigna exactamente un número de

salida en el contradominio a solo uno de los números de la entrada del dominio, tenemos:

1 f 1=f(1) 2 4=f(2) x 2x =f(x) II .3:1.- Funci ones espe ci al es Función cons tan te: Una función cons t ant e de la forma k(x)= c, en donde c es una cons t ant e, se denomina función cons tante. Ejemplo: j( x)=3, el domin io de j son todos los números reales . Como dic en E.F . Haeuss ler y R. S. Paul3 : “ las func iones cons t ant es p ert enecen a una clase más amp lia de funcion es “ , denominadas funciones polinomial es . En gen eral d eci mos que una func ión de l a s i guient e form a: F(x)=CnX n + Cn- 1X n- 1+ . . . . . . . .+C1X 1+ C0, donde n es un número ent ero no negat ivo y Cn, Cn- 1, . . . . . . , C0 son const ant es con Cn ≠ 0 se llaman función p olinomi al en ( x). A



n se le l lam a grado de l a funci ón y a cada C i, coe fic ient e. Lu e go f( x) =4X 2 – 6X + 3 es una función p olinomi al de se gundo gr ado con co efic ient e ini cia l 4; t ambi én : H(x) = 2-3X es una fun ción d e p rimer grado. En es t e caso se d ice que l a p rimera es una función cuadrática y la se gunda, función linea l. Con base en lo ant erior es que p odemos decir qu e en una ecua ción se es t able ce un a relac ión p art icular ent re dos o m ás e xp res iones al gebrai cas . L as ecu acion es p ueden cont ener cualqu ier nú mero de v ariab les . Con l a t erminolo gía mat emát ic a se e xp resa como Y=f(X) . Se dic e que Y es función de X, es decir e l valor de Y dep ende del va lor que t ome X; cuando su valor dep ende de más de una v ariab le escr ibimos : Y = f(x, z , h) . En es t e caso el va lor de Y dep ende del v alor que t omen las vari ables ( x, z , h). Como p uede observarse, lo ant erior p uede formal iz arse y genera liz arse p ara más variabl es que ll amar emos e xp licat ivas o ind ep endient es . I I .3:2.- Funci ones exponenci al es y l ogarítmi ca s I I .3.2.1.- Funci ones exponenci al es Est as se caract eriz an p or cont ener una cons t ant e (b) el evada a un e xp onent e variabl e ( x), es dec ir, f(x) = bx , donde b es may or que 0 y t ambién b es 1≠ , x es cualqui er núm ero re al; t ambi én de cimos qu e cu ando es may or que 1, l a curv a Y=bx

asciende de iz quierd a a dere cha, en ot ras p alabras , al aument ar x t ambién lo hac e y. Cuando 0 1≤≤ b , ent onces , en ese c aso la curva de Y=bx d esciend e de iz quierd a a derecha, se observa un comp ort amient o dist int o de la variable y al del caso ant erior, es dec ir, al aum ent ar x, el v alor de la v ariab le y disminuy e y t oma valores cercanos a 0. Un ejemp lo t íp ico del uso de una función exp onencia l es su ap licación a los int ereses que gan a un cap it al invert ido durant e ciert o núm ero de años a una t asa d e int erés det erminada. Habl amos de i nte rés compue sto( 3) cuando: “ el int erés que p ercibe una suma de dinero inv ert ida ( cap it al o mont o esp ecial ) se reinvi ert e, de manera que es t e int erés t ambi én gan a int erés . Es dec ir, e l int erés se compone o conviert e en c ap it al y , p or ello, “ hay int erés sobre int erés “ . Por ejemp lo sup óngase que se inviert en $ 100dólares ( o cualquier ot ra unidad monet aria ) a la t asa de l 5% co mp ues t o anualment e. Al final del p rimer año, e l valor de l a invers ión es el c ap it al original ( $ 100) más el int erés generado p or es t e [ ])05.0(100 = 100 + 100(0.05) = $105.00 Es t a es la cant idad sobre la que se genera int erés p ara el segundo año. Al final del segundo p eriodo anual, el va lor de la invers ión es el cap it al que se t enía al fina l



del p rimer año, ( $105 más el int erés p roducido p or esa cant idad [ ])05.0(105 = 105+105(0.05) = $110.25. As í, el cap it al se incre ment a en 5% cada año. Los $110.25 rep resent an el cap it al original, m ás t odo el i nte ré s acumul ado; se le denomina monto acumul ado o monto compue sto. La diferencia ent re el mont o comp ues t o y el cap it al origina l se denomina i n teré s compue sto .Así, el int erés co mp ues t o aquí es 110.25 – 100.00= 10.25 . En t érminos m ás genera les , s i se invi ert e un cap it al P a una t asa de 100r p or cient o comp ues t o anualment e ( p or ejemp lo, al 5%r es ( 0.05), el mont o comp ues t o desp ués de un año será P + Pr o bien P ( 1 + r ) . Al final del segundo año, e l mont o comp ues t o es P(1+r) +P [ ])1( r+ = P(1+r) + [ ]r+1 = P(1+r)2 Esta op eración cont inúa. Desp ués de t res años , e l mont o co mp ues t o es P(1+r)3 . En gen eral, e l monto compues to S de un cap it al P al final de n años , a la t asa de r comp ues t a anualment e, es t á dado p or S = P ( 1+ r )2 . . . . . . . . .(1) Por cons iderar imp ort ant e dist inguir las ecua ciones de int erés comp ues t o de las de i nte ré s si mple , diremos que( 2) ca lcula mos és t e últ imo, cuando “ el dinero es invert ido a int erés s imp le, los p agos de int erés son hechos cada año sob re l a i nversi ón ori gi nal . Por cons igu ient e s i P p esos son invert idos a una t asa de r p or t años , el valor d e la invers ión, A, al f inal d el p eriodo, será: A= P+ Prt Ejemp lo: Calcul e el valor d e una invers ión de $ 500.00 desp ués 3 años s i el int erés s imp le se p aga anua lment e a un a t asa anual d el 5%. A = P + Prt A = 500 + ( 500*5/100*3) A = 575 p esos II .4 Funci ones Expl íci tas e Impl íci tas. Cualquier fun ción que es de la for ma Y=f(X) es cono cido co mo una func ión exp líc it a de Y. Claram ent e se ve que el valor de Y dep ende del valor de X, y decimos que mi ent ras que X es una var iabl e ind ep endient e, Y es una var iabl e dep endient e.



En ciert os casos no se dis t ingue con cl aridad la re lac ión funcion al ent re las variabl es dep endient e e indep endient e. Por ejemp lo, 2x2+3xy +y 2=0, es una función de la form a f( x, y )=0 conociéndose como un a función imp lícit a. En ocas iones una función e xp lícit a p uede, p ero no s iemp re, derivarse de funciones imp lícit as s imp les , p or eje mp lo, la función imp líc it a 2 x2 + 3y – 8 = 0, p roduce dos funciones e xp lícit as :

YX

=−8 2

3

2X

Y= −4

32

II .5 El Rango o domi ni o de una Vari abl e Para much as funcion es de la for ma Y = f(X) la v ariab le indep endient e X p uede t ener cualqui er valor ne gat ivo, c ero o p os it ivo. En t ales casos decimos que el r an go o dominio de l a variab le X es el con junto de todos los números enteros . Ejemp los de es t e t ip o de funciones son: Y = 3x Y = 2x2 - 5 Y = x3 - 3 x2 + 3 x - 1 En ot ros casos deseamos lim it ar el ran go d e l a var iabl e ind ep endient e. Por e jemp lo la función Y X= . Si Y es un número real X debe t ener un valor p os it ivo. En est e caso X se limit a al rango d e números p os it ivos . El rango o do minio es t á det erminado cu ando X>0. Si el movi mient o de l a var iabl e indep endient e se res t ringe a c iert o ran go, ent onces se deben fij ar los lí mit es sup eriores e inferiores de l ran go. As í, s i nos int eresan t odos los valores de x ent re x=a, y x=b, el ran go es a< x<b o hablando más es t rict ament e a≤x≤b donde x p uede ser i gual a cua lquier a de los límit es o es t os cont enida a el los . En funciones a l gebra icas se sup one que las var iabl e es cont inua cu ando p uede dividirse o fra ccion arse, y es discret a cuando no se p uede dividir o fr acc ionarse. II . 6 Si metría3 La s imet ría forma p art e del anális is sobre el comp ort amient o gráfico de las ecuac iones . As í p or ejemp lo: 1.- Si t enemos la e cuac ión Y= X 2 y s i le damos va lores a X de –1,0 y 1, obt enemos p ara Y los va lores 1,0 y 1, resp ect ivament e. S i graf ica mos es t os valores observamos que la p art e o p orción que es t á del lado iz quierdo d el eje de las “ y ” es el esp ejo o ima gen sobre sobre e l ej e “ y ” de la p art e que se halla a l lado dere cho del m ismo, y viceversa. Con lit era les dir emos que s i ( X 0,Y0) es cua lquier p unt o en la curva, ent onces el p unt o ( -X 0,Y0) t ambién es t á en la curva, p or lo que decimos que es una cur va s i mé tri ca con re spe cto al e je “y”.



2xy = 2xy = Defi ni ci ón: Una curva es s imét rica con resp ect o al eje “y ” ⇔ (-X 0,Y0) queda en la curva cuando (X 0,Y0) t amb ién qued a. 2.- De manera comp lem ent aria p odemos decir que s i t enemos la e cuac ión X=Y2

p odemos p robar la s imet ría con resp ect o al eje “ x”, dando valores a Y, di gamos : -1,0 y 1, en cuy o c aso X t oma los valor es 1,0 y 1, que a l graf icar los obt enemos un a curva en la que v emos qu e a cad a p unt o en ell a, con coorden adas (X 0,- Y0) corresp onde ot ro p unt o en la misma curva con coordenad as (X 0,Y0). 2yx = Lue go ent onces dec imos que una curv a es s imét ric a con resp ect o al eje d e las “ x” ⇔ ( X 0, - Y0 ) es t á en la curva cuando ( X 0, Y0 ) t amb ién lo es t á. 3.- Cuando t enemos Y=X 3 y le damos valor es a X de –1,0 y 1, obt enemos p ara Y los valores de –1, 0 y 1

y

-1

1

3

5

7

9

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4x

y

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 -1 0 1 2 (-1,-1)

(1,1)

x



en es t e caso se dice que la curva es s imét ric a con resp ect o al “ origen”p orque s i el p unt o ( X,Y ) es t á en la curva, ve mos que el p unt o con coordenadas ( -X, -Y ) t ambién lo es t á ; en consecu enci a, el se gment o de rect a qu e une los p unt os (X,Y) y ( -X,-Y) es bisecado p or el ori gen. Definic ión: una curva es s im ét rica con resp ect o al “ origen ” ⇔ el p unt o (-X,-Y) es t á en la curva cuando e l p unt o (X,Y) t ambién lo es t á. II .7 Rectas, Pa rábol as y S i st ema s3 II .7.1 Rectas Se p ueden rep resent ar en forma convenient e muchas rela ciones ent re cant idades mediant e re ct as . Una caract erís t ica d e una r ect a es su incl inac ión. Por eje mp lo en el s i guient e di a gram a la re ct a L1 t iene una may or inclina ción que la re ct a L2, el lo s ignif ica qu e L1 t iene may or inclin ación con resp ect o al eje hor iz ont al

y

050

100150200250300

0 1 2 3 4

L2

L1

X Para medir la incl inac ión de un a rect a se ut il iz a el con cep t o de Pe ndi ente . As í s i t enemos los p unt os (2, 1) y (4, 5) p odemos t raz ar la rect a L.

0123456789

10

0 2 4 6 8X

Y

Se observ a que la coordenad a x au ment a de 2 a 4 y la coorden ada Y au ment o 1 a 5. La t asa p romedio de vari ación d e Y con resp ect o a x es l a raz ón:



224

2415

==−−

=→

→=

→→→→

horizontalcambioverticalcambio

XenCambioYenCambio

El l o í ndi ca que para ca da aume nto uni tari o e n X se ti ene un aume nto de 2 uni dade s en Y. Por e l l o l a re cta ascie nde de i z qui e rda a de re cha. Se di ce que l a pe ndi e nte de l a re cta es 2. De fi ni ci ón : Sean (X 1 y Y1) y (X 2 y Y2) dos p unt os sobre una rect a en donde X 1 = X 2, la p endient e de la re ct a es el núm ero dado p or:

mY Y

X X

cambioverticalcambio horizontal

=−−

=2 1

2 1

(1)

No se define la p endient e de una rect a vert ical, p ues X 1 = X 2 t al que el denominador en (1) es cero.

(x2, y2)

(x1, y1)

0

50

100

150

0 0,5 1 1,5 2X

Y

Donde x1 = x2 Para una re ct a horiz ont al, dos p unt os cualquiera t iene Y1 = Y2, p or lo que e l numerador en (1) es cero; y deci mos que m = 0

(x1,y1) (x2,Y2)

0

50

100

150

0 1 2 3 4

X

Y

Y1 = Y2 Con base en lo ant es e xp ues t o p odemos resumir dici endo que :



FO RMAS DE ECUACIO NES DE RECTAS Forma p unt o- p endient e Y-Y1= m(X-X 1) Forma p endient e-int ercep ción”Y” Y= mX+b Forma line al gen eral Ax+By +C=0 Rect a vert ical X=0 Rect a horiz ont al Y=b I I .7.1.1Ejerci ci os: 1.- Encont rar la ecuac ión de la re ct a que t iene p endient e 2 y p asa p or (1,-3). Sabe mos que m=2 y que (X 1, Y1)=(1,-3), ut iliz ando la forma p unt o-p endient e, escribimos Y-(-3)=2(X-1), resolviendo t enemos: Y+3=2X-2, lue go ll e gamos a la forma line al gen eral 2X- Y-5=0. 2.- Hallar la ecua ción d e l a re ct a que p asa p or los p unt os (-3,8) y (4,-2). Aquí t enemos que m=-2-8/4-(-3)=-10/7 s i t omamos las coordenad as del p rimer p unt o (-3.8) como (X 1,Y1) en la form a p unt o-p endient e, escribi mos Y-8=-10/7 [ ])3(−−X , hac iendo op erac iones t endremos lo s igu ient e: Y-8=-10/7(X+3) 7Y-56=-10X-30 o bien 10X+7Y+26=0 Ahora, s i esco gemos las coord enadas d el se gundo p unt o (4,-2) como (X 1, Y1) t ambién ll e gamos a l mismo r esult ado. 3.- Cuando t enemos e l p unt o (0,b) decimos que un a re ct a cort a el ej e “ Y” y se denomina i nte rce pci ón Y; as imismo indic amos que b es l a ordenad a en e l ori gen. Si conoc emos la p endient e (m) y la ordenada en el ori gen (b) de una rect a, la ecuac ión es : Y -b=m(X-0),

y

y = mx+b

pendiente m(0,b)

x



Si desp ejamos Y t enemos Y=mX+b, l lam ada forma p endiet e-int erc ep ción “ y ”. Ejempl o económi co: Sea X = q = cant idad ; lue go s i (2, 4)=(q1, , p 1) Y = p = p recio (6, 1)=(q2, p 2) t enemos que m= −

−= − = −1 4

6 23

434

(2, 4)

-5

0

5

10

-5 0 5 10 15

(6, 1)

p

q

ello s i gnif ica qu e p or cada aum ent o unit ario en q, ocas ion a una dism inución d e ¾ en P . En resumen p odemos decir qu e una re ct a: 1.- T iene p endient e cero, cuando la re ct a es horiz ont al; 2.- T iene p endient e indefinid a, cuando la re ct a es vert ical ; 3.- T iene p endient e p os it iva, cuando la r ect a asci ende de iz quierda a d erecha. 4.- T iene p endient e negat iva, cuando la re ct a desciend e de iz quierd a a dere cha. La ecu ación d e una re ct a con p endient e 3 y ordenada en el or i gen -4 es : Y = m x + b Y = 3x + (-4) Y = 3x - 4 Aplica ciones: Un fabricant e disp one de 100 kilos de mat erial con e l que p uede p roducir dos p roduct os , A y B, que requieren de 4 y 2 kilos de mat erial p or unidad, resp ect ivament e. Si X y Y denot an A y B, ent onces t odos los niveles de p roducción es t án dados p or los cambios de X y Y que sat is facen la ecu ación :

4x + 2y = 100 en donde x, y ≥0. Desp ejando Y, se obt ien e la forma p endient e-ordenada en el or i gen Y = -2 x + 50 donde m=-2 indic ando l a t asa d e var iac ión d el n ivel de p roducción de B con resp ect o al nivel de p roducción de A, as í s i fabricamos una unidad más de A, se



requieren 4 kilos más de mat eria l, lo que d aría p or result ado 4/2=2 un idades menos de B. Por cons i gui ent e al aument ar X en una unid ad, Y dism inuy e en 2 unid ades . Para t raz ar su gráfica de Y=-2 x+50 p uede ut iliz ar la int ercep ción y (0, 50) y s i cuando x=10, y =30, t enemos:

(0, 50)

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15

(10, 30)

p

q

Uso de l a sumatori a ∑

Como se usar á mu cho, sab emos que con p rop iedad se escrib e ∑=

n

i 1

donde i=1,2,. . .n,

y que n = t amaño de la mues t ra; s in e mbar go, en lo suces ivo y p or mot ivos p ráct icos s imp lement e se escribir á ∑ , s in que se olvid e su rep resent at ividad ap rop iada.



III . ILUSTRACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS APLICANDO LOS CONCEPTOS BÁSICOS EXPUESTOS: MEDIANTE EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN ( 5) ,

Co n base en lo s co n cept o s y sup uesto s básico s ant es ex p uesto s, ah ora est amo s en co n dicion es de in ic iar su ap licació n al ám bito eco no m étr ico, es decir , lo s ut ilizaremo s p ara exp resar y desar ro llar la t erm ino lo gía y m ét o do s de est a discip lin a ap licada a la c ien cia eco nó m ica, mediant e la co n st rucció n de m o delo s. .

Em p ezaremo s con la ap licació n del co ncepto de fun ció n en e l ám bito de la r egresió n y co r r elación .

Re gre s i ón es la es t imación de una v ariab le d ep endient e, con una ecua ción p or e l mét odo de míni mos cuadrados . L a ecu ación se d enomin a de re gr es ión: Y = f(x) .

La co rre l aci ón es la det erminación del grado d e rela ción que e xis t e ent re dos variabl es p or medio del co efic ient e de corr ela ción (r).

III .1 Model o Li neal Si mpl e.MLS ( 15)

La re gres ión y correlación son s imp les cuando solament e se manejan dos variab les y es múlt ip le cuando se man eja más de dos vari ables . La e cuac ión de re gres ión p uede corresp onder a dif erent es formas fun ciona les (linea l, cuadr át ica, e xp onenci al, lo garít mic a) et c.

La se le cci ón de l a forma funci onal ade cuada se obti ene uti liz ando el di agrama de di spe rs i ón :

X

Y

Es t o nos índica la dis t ribución qu e t ienen las v ariab les , s i t ien en l a form a ant erior, inmedi at ament e se ve que el a jus t e o ecuac ión a m anej ar es lin eal.

Pero s i t iene la s iguient e forma, ent onces la ecu ación a man ejar es cuadr át ica o de segundo grado.



X

Y

X

Y

El mét odo de es t imación de Y var iabl e dep endient e, a p art ir de X variable indep endient e, se denomina “ mínimos cuadrados”, p orque es t á demost rado que la suma de las diferen cias ent re los valores rea les y los observados es un mínimo, es decir:

X

Y

h

valores rea les

Las “e cuaci ones normale s” se obtie ne n as í :

Si def inimos Q como un míni mo, t enemos

Valores observados

bXaY +=ˆ



( )2∑ −−= ii bXaYQ hacemos

∑ =−−−⇒=∂∂

0)1)(ˆ(20 ii bXaYaQ

∑ =−+− 0)1)(ˆ(2 ii bXaY

∑ ∑∑ =−+−− 0)1)(ˆ(2 ii XbaY

∑ ∑∑ =++− 0222 ii XbaY

dividimos ent re dos y hacemos

∑ ∑+= ii XbnaY

s i dividimos ent re n

XbaY +=

Ahora ( ) )(20 iii XbXaYbQ

−−−⇒=∂∂ ∑

( ) )(222 iii XbXaY −−−∑

∑ ∑ ∑ =++− 0222 2XbXaXY iii

dividimos ent re 2 y hacemos

∑ ∑ ∑+= 2XbXaXY iii

As í las ecuac iones norma les p ara hall ar a y b son:

∑ ∑+= ii XbnaY (1)

∑ ∑∑ += 2iiii XbXaYX (2)

Ahora bien, en el c aso de l a corre lac ión los va lores del coefi cient e osc ilan ent re 0, 1 y -1. Cuando r t iende a cero, se dice qu e hay una nula re lac ión o corre lac ión ent re X y Y. Cuando r t iende a uno, se dice que hay una fuert e relación o correla ción ent re X y Y, t al que X es una buena variable e xp licat iva de Y. Es decir, p odemos exp licar e l comp ort amient o de Y basándonos en el comp ort amient o de X. En est e caso se dice que a med ida que aument a X, Y t amb ién lo h ace. Gráficam ent e:



y=f(x)

X

Y

Igua lment e cuando r t iende a -1, t ambién hay una fuert e correlación ó relac ión ent re X y Y, p or lo que la p rimera s irve p ara exp licar ó det erminar ade cuada ment e los cambios en Y. Pero en es t e caso a med ida que X au ment a Y d isminuy e.

Gráficam ent e:

y=f(x)

Título del eje

Título del eje

Ejemp lo del cál culo de l coef icient e de correl ación r. Se d esea es t imar el grado d e relac ión que e xis t e ent re la cir cula ción mon et aria y el nive l gener al de p recios .

∑ ∑∑=

2,2,

,,

yxyxr

donde x x x, = − , y y y y, = −

Años C ircu la ció n

M o n et ar ia ( X)

N iv el Gral . d e Pre cio s

( Y) x x x, = − y y y, = − x’ *y’ ( x’ ) 2 ( y,) 2

199 8 100 .0 100 .0 - 96.4 - 34.1 3 329 0.4 5 929 2.9 6 116 5.0 8 199 9 112 .3 103 .4 - 84.1 - 30.7 3 258 4.6 7 707 2.8 1 944 .54 200 0 145 .0 107 .3 - 51.4 - 26.8 3 137 9.2 3 264 1.9 6 720 .03 200 1 179 .8 127 .7 - 16.6 - 6.43 106 .79 275 .56 41. 39 200 2 276 .9 164 .0 80. 5 29. 87 240 4.2 7 648 0.2 5 892 .02 200 3 364 .4 202 .4 168 .0 68. 27 114 68. 80 282 24. 00 466 0.3 4 T otal 1 178 .4 804 .80 212 34. 22 539 87. 54 842 3.3 9

xx

ni= = =∑ 117840

6196 40

.. y

xn

i= = =∑ 804 806

134 13.

.



∑∑∑=

22,

,,

'yx

yxr

( )

9957.)3933.8423(54.53987

22.21234==r

Por lo t ant o r=.9957 lo cua l s i gnif ica que hay una gr an re lac ión o correl ación ent re X (circula ción monet aria), y Y (niv el genera l de p recios), a medid a que au ment a X, aument a Y t al que s i gr afic amos los dat os ant eriores obt enemos una curva con p endient e p os it iva.

Gráficam ent e:

Y=f(x)

1996 1998 2000 2002 2004Título del eje

Título del eje

La forma funcion al Y=f(x) p uede t ener la for ma func ional cuadr át ica cuy a e cuac ión es : Y=a+bx+ cx2 , e xp onencia l Y=abx et c. En cu alqui er caso, se l e ll ama “ ecuac ión de re gres ión” y los valores de los p arámet ros se det erminan con las “ ecuac iones normales”. El núme ro de e cuaci one s normal es vi e ne dado por e l núme ro de paráme tros a de te rmi nar. En el caso de la ecuación line al los p arámet ros a det erminar son “ a” y “ b” luego se nec es it an dos ecua ciones norm ales l as cua les son:

∑ ∑+= xbnay (1)

∑ ∑ ∑+= 2xbxaxy (2) En caso de Y=a+b x+c x2, las e cuac iones son:

∑ ∑∑ ++= 2xcxbnay (1)

∑ ∑ ∑ ∑++= 32 xcxbxaxy (2)

∑ ∑ ∑ ∑++= 4322 xcxbxayx (3)



En el c aso de un p olinomio: Y=a +bx+cz +dQ

ent onces neces it amos 4 ecu acion es :

∑ ∑ ∑ ∑+++= Qdzcxbnay (1)

∑ ∑ ∑ ∑∑ +++= Qxdxzcxbxaxy 2 (2)

∑ ∑ ∑ ∑ ∑+++= Qzdzcxzbzazy 2 (3)

∑ ∑∑∑∑ +++= 2QdzQcxQbQaQy (4) Ejemp lo adi ciona l: Añ o ( x) Pro d u cció n d e T r ig o ( y) 2x 2y yx * y yye ˆ−=

1 1 1 1 1 1.6 - 0.6 2 3 4 9 6 2.5 0.5 3 2 9 4 6 3.4 - 1.4 4 6 16 36 24 4.3 1.7 5 7 25 49 35 5.2 1.8 6 4 36 16 24 6.1 - 2.1

T o t al 23 91 115 96 23. 0 0.0

DIAGRAMA DE DISPERSIONExiste una relación de caracter lineal.

0 10 20 30X

Y

La ecua ción de re gres ión a man ejar será : Y=a+b x. Para encont rar a y b usamos las ecuac iones norma les :

∑Y = Na+b∑X

∑YX =a∑X+b∑ X2

Sus t it uy endo: 23 = 6a + 21b 96 =21a + 91b



a = 96-91b/21 = 23-21b/6 = 576-546b = 483-441b = 93 = 105b de donde :

8857.010593

==b , sus t it uy endo en

∑ ∑ =+ yanxb que es i gual a (0.8857)*21+ 6a = 23 quedando

6a=23-18.5997=4.4003 a = 4.4003/6 = 0.7333 as í a = 0.7333

lue go la ecua ción de r e gres ión será Y = 0.7333+0.8857X.

Con ello p odemos es t imar ó c alcu lar los valor es de Y en función de las var iac iones de X. S i de se amos e s ti mar Y , e ntonces si sabe mos que X re pre se nta l os años: Y 1 =0.8857(1) + 0.7333=1.6 Y 2 =0.8857(2) + 0.7333=2.5 Y 3 =0.8857(3) + 0.7333=3.4 Y 4 =0.8857(4) + 0.7333=4.3 Y 5 =0.8857(5) + 0.7333=5.2 Y 6 =0.8857(6) + 0.7333=6.1 Como es t o es una es t imación p odemos cal cular el error es t ándar de la ( es t imación).

( )2ˆ

ˆ2

−−

= ∑n

yyσ

yye ˆ−= ( )22 yye −=

-0.6190 0.3832 0.4952 0.2453

-1.3905 1.9334 1.7238 2.9715 1.8381 3.3786

-2.0476 4.1927 0.0000 13.1047

( ) 2761.326

1047.13ˆ =

−=σ

xxi

n= = =∑ 21

635.



lue go ( )

2ˆ

22

−−

= ∑n

yyσ =3.2761 83.3

623

==∑=

n

xY i

x xi x, = − y yi y, = − '' yx ( )2'x ( )2'y -2.5 -2.83 7.0833 6.25 8.0278 -1.5 -0.83 1.2500 2.25 0.6944 -0.5 -1.83 0.9167 0.25 3.3611 0.5 2.17 1.0833 0.25 4.6944 1.5 3.17 4.7500 2.25 10.0278 2.5 0.17 0.4167 6.25 0.0278

15.5000 17.50 26.8333

( ) ===∑∑

∑)8333.26(50.17

50.1522,

,,

yx

yxr 7152.0

6698.2150.15

==r

Por lo t ant o r=0.7152 que es e l coef ici ent e de correl ación a p art ir del cua l calcu lamos e l coef ici ent e de det ermin ación R2=(.7152)2=0.5116. La fórmul a de S. Sh ao es 6:

El coef ici ent e de det ermin ación R2y x=

y

yx2

2

1σσ−

∑∑−= 2

22 1

ye

R ,∑∑= 2

22 ˆ

yy

R ,totalVarianza

licadaVarianzaR

exp2 =

Donde : ( )

1841.261048.13ˆ 2

2 ==−

= ∑n

yyyxσ

( )

4722.48333.262

2 ==−

= ∑nn

yyyσ

R2y x= 5116.04884.01

4722.41841.2

1 =−=−

De aquí en ad elant e usare mos R2y x, p ara calcu lar ry x= coefici ent e de corre lac ión.



III .1.1 Otros Métodos d e Es ti maci ón III .1.1.1 Método de Momentos para Obt ener l os Pará met ro s a y b Si con el m ét odo de míni mos cuadrados ii bXaY +=ˆ ent onces =ie res iduos = variabl e al eat oria, t al que iiiii bXaYYYe −−=−= ˆ ,lue go las dos “ ecuac iones normales” p ara obt ener a y b se obt ienen con base en algun as de las hip ót es is

p lant eadas ; as í recordando que ∑ ∑ === 01

)( iii een

eE y que

∑ ∑ ==== 01

0),cov( iiiiii eXeXn

ex

As í: i) ∑ = 0ie ó ∑ =−− 0)( ii bXaY (1)

ii) ∑ = 0iiex ó ∑ =−− 0)( iii bXaYX (2)

Sabi endo que ∑ = naa , las ecua ciones (1) y (2) t ambién se p ueden escrib ir de l a s igui ent e maner a:

∑ ∑+= ii XbnaY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1)

∑ ∑∑ += 2iiii XbXaYX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2)

Su solución p ermit e obt ener los valor es de a y b, cuy o valor es id ént ico al obt enido con el mét odo de mín imos cuadr ados . S i quere mos s imp lificar la obt ención de a y b resolvamos s imult áne ament e l as ecua ciones (1) y (2). As í:

( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 22

ii

iiii

XXn

YXYXnb

ii XbYa −=

T ambién s i hacemos iii XXx −= e iii YYy −= t enemos ∑∑= 2

i

ii

xyx

b ; el p arámet ro a se

obt iene i gual, es decir ii XbYa −= . III .1.1.2 Método de Parti ci paci ón de l os Resi duos para Obtener l os Paráme tro s a y b, así como el Coefi ci ente de Det ermi naci ón. Como señala el p rofesor G.S. M addala (1996:79) s i en las ecuaciones norma les sus t it uimos el valor de a de l a ecua ción (1) en l a ecua ción (2), a p art ir de la ecuac ión en que ,XbaXbaYi +=+= t enemos que

∑ ∑ ∑+−= 2)( iiii XbXbYXXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(3)

∑ ∑+−= 2)( iii XbXbYXnXY Con esas referenc ias , ahora se d efinen las s i guient es S `s

∑ ∑ −=−= 222)( iiiiYY YnYYYS

∑ ∑ −=−−= iiiiiiiiXY YXnYXYYXXS ))((



as í como ∑ ∑ −=−= 21

22)( XnXXXS iiiXX

La ecu ación (3) se p uede denot ar co mo bSX X=SX Y obt eniéndoseXX

XY

SS

b = as í como

XbYa ˆˆ −= Ahora bien p ara obt ener el coeficient e de det ermina ción (r2), recordemos que los res iduos es t imados son iii bXaYe −−= , mismos que sat is facen ∑ = 0ie y ∑ = 0iieX Si denot amos l a suma de cuadrados res idu ales con R SS donde

( )∑ −−= 2ii bXaYRSS

= ( )[ ]2iiii XXbYY −−−∑

= ( ) ( ) ( )( )∑ ∑ ∑ −−+−+− iiiiiiii XXYYbXXbYY 2222

= XYXXYY bSSbS 22 −+

Pues t o que XX

XY

SS

b = , se t iene XYYYXX

XYYY bSS

SS

SRSS −=−=2

Si e xp resamos SY Y como T SS= Suma de Cuadrados T ot al, t ambién a bSX Y con ESS como la sum a de cu adrados e xp licad a, dec imos que: T SS = ESS + RSS. (T ot al)=(Exp licada)(res idu al)

Ahora s i denot amos con 2XYr =coefici ent e de det erm inac ión de X en Y =

TSSESS

y

TSSRSS

rXY =− 21 decimos que 2XYr exp lica el efe ct o de X en Y y que 21 XYr− es la

p rop orción no e xp licad a p or X, o en ot ras p alabras , és t e ú lt imo ind ica l a p rop orción del efect o de ot ras variab les en Y, dis t int as a X. Derivado de lo ant erior

2xyr t ambién se obt iene as í :

YY

XY

YYXX

XYXY S

bSSS

Sr ==

22

En es t a forma ahor a se cuent a con nuevas fórmu las p ara obt ener el coefi cient e d e det erminac ión. III.1.1.2 O tros Mé todos de Esti maci ón: Exis t en ot ros como el de M áxima Veros im ilit ud, M ínimos Cuadrados de Primera y Se gunda Et ap a, et c. cuy a ilus t ración no se hace en es t e libro.



Practi ca Núme ro I Nombre del alumno:_____________________________________________________________

1. Indique que s i gnif ica y p ara que s irve: a) El aná lis is de re gr es ión s imp le;

Se usa p ara p robar hip ót es is sobre la relación ent re una variab le dep endient e Y, y una vari able indep endient e, X, y p ara p ronós t ico, que cont ras t a con el an ális is d e regr es ión múlt ip le en e l que hay más de una v ariab le ind ep endient e.

b) El aná lis is de re gr es ión lin eal Sup one que hay una relac ión lin eal ent re X y Y.

c) El dia gr ama d e disp ers ión. Su fin es det erm inar p or insp ección ocular la re lac ión funcion al ent re X y Y.

2. Est ablez ca la r ela ción genera l ent re e l consumo Y, y el in greso d isp onible X, con:

a) Forma line al e xact a o det ermin is t ica;

ii bXaY +=ˆ b) Forma es t ocás t ica;

iii ebXaY ++=ˆ

c) ¿Por qué se sup one que l a m ay oría de los va lores observados de Y no caen e xact ament e sobre una líne a rect a?

Porqué hay ot ras variables exp lic at ivas omit idas que t ambién t ienen efect o en Y; p or errores de medición d e Yi y p or la aleat oried ad inher ent e a la conduct a humana.

3. Con el mét odo de m ínimos cuadrados ord inarios , p ara es t imar los va lores p oblacionales de α y β con los valor es mues t rales de a y b di ga: a) ¿Porqué se usa és t e mét odo?

Da la lín ea re ct a óp t ima que minim iz a las difer enci as de Yi con iY

b) ¿Qué propiedades t ienen los es t imador es a y b? Produce es t imadores con p rop iedades de inses gabil idad, efic ienc ia, sufi cien cia y cons is t encia.

c) ¿Por qué se miden v ert ical ment e las desvi acion es? Porque t rat amos de exp licar movim ient os en Yi que se miden en el eje v ert ical.



d) ¿Porqué no s imp lem ent e se t oman l a suma de las desvi acion es s in elevar las al cuadrado ?

Por que su suma es igu al c ero.

e) ¿Porqué no t omarse la suma d e las desvi acion es absolut as? Por que su suma no es un mínimo.

4. i)Es t ablez ca la diferen cia ent re a y b p or un lado, y α y β p or el ot ro; en una p oblación infin ita , α y β son los p arámet ros de la lín ea d e re gres ión verdadera p ero desconoc ida en t ant o que a y b son los p arámet ros d e l a líne a de re gres ión es t imad a conoc ida.

ii) Es t ablez ca l a difer enci a ent re iµ y ie , es decir que s i gnif ica iµ y ie ?

iµ es el t érmino de p ert urbación aleat orio, error es t ocás t ico en la relación verdadera p ero desconocid a en una p oblación infinit a ent re X i y Yi, mient ras que

iii YYe ˆ−= iii) Escriba las ecu acion es p ara las r ela ciones verdad eras en el universo y es t imadas con la mues t ra ent re X e Y.

Para la verd adera : iii XY µβα ++= Para la es t imad a: iii ebXaY ++=ˆ 5. Con los s iguient es dat os a)hallar los valores de a y b; b)rep resent ar

gráf ica ment e la l ínea de r e gres ión y mos t rar las desviaciones de cada Yi de l corresp ondient e iY . Int erp rét elas .

a) Para hal lar a y b t enemos:



Año Y=Consumo X=Ingreso XiYi Xi2

1 102 114 11,628 12,9962 106 118 12,508 13,9243 108 126 13,608 15,8764 110 130 14,300 16,9005 122 136 16,592 18,4966 124 140 17,360 19,6007 128 148 18,944 21,9048 130 156 20,280 24,3369 142 160 22,720 25,600

10 148 164 24,272 26,89611 150 170 25,500 28,90012 154 178 27,412 31,684

Suma 1,524 1,740 225,124 257,112Media 127 145

∑ ∑ ∑ ∑ ======= 12,257,124,225,145,740,1,127,524,1,12 2iiiii XYXXXYYn

( )∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−= 22

ii

iiii

XXn

YXYXnb = 2)740,1()112,257)(12(

)524,1)(740,1)14,225)(12(−

−= 86.0

744,57728,49

=

ii XbYa −= =127-(0.86*145)=127-124.70=2.30 Lue go la ecua ción de r e gres ión: ii XY 86.030.2ˆ += b)Para ello obt ene mos 2 p unt os cualesquiera sobre la l ínea d e re gres ión, d i gamos Cuando X i = 114, =iY 2.30+(0.86*114)=100.34 Cuando X i = 178, =iY 2.30+(0.86*178)=155.38

100

120

140

160

100 120 140 160 180

INGRESO X

CO

NSU

MO

Y

Coment arios :_______________________________________________________________________________________________________________________________

iXY 86.030.2ˆ +=



III .2 Regresi ón y Correl aci ón no Li neal , Cuadráti ca o Paraból i ca7 En es t e caso el comp ort amient o de Y, como r esult ado de los c ambios en X, no es linea l, p or lo que l a ecu ación de re gr es ión será: Y=a +bx+c x2 y p ara encont rar a, b, c, las ecu acion es line ales serán :

∑ ∑∑ ++= 2xcxbnay (1)

∑ ∑ ∑ ∑++= 32 xcxbxaxy (2)

∑ ∑ ∑ ∑++= 4322 xcxbxayx (3)

Ejemp lo: E xis t en 8 vendedores y se desea exp licar o es t imar sus volúmenes de vent as en función de su exp eriencia a cumul ada. Para el lo se regis t ran sus vent as (Y), y el número de años de t rabajo (X).

Y=f(x)

Observar la s i guient e t abla :

Ven d ed o r Ven t as

( Y) Exp eri en ci as en añ o s ( X)

X2 X3 X4 X*Y X2 *Y

A 9 6 36 216 1,2 96 54 324 B 6 5 25 125 625 30 150 C 4 3 9 27 81 12 36 D 3 1 1 1 1 3 3 E 3 4 16 64 256 12 48 F 5 3 9 27 81 15 45 G 8 6 36 216 1,2 96 48 288 H 2 2 4 8 16 4 8

T o t al 40 30 136 684 3,6 52 178 902

Sus t it uy endo los result ados de la t abla ant erior en las ecuac iones t enemos lo s igui ent e:

8a+30b+136c=40 30a+136b+684c=178 136a 684b+3652c=902

Resolviendo el s is t ema de ecuac iones p or el mét odo de cram er, e l result ado es : Y=3.5914-0.9127X+0.2842 X2 . La cual nos p ermit e es t imar las vent as ( Ye ) en función de los años de e xp erienci a (X) d e los vendedor es .

De es t a manera y es igu al:



Y1 = 3.5 914- 0.9 12 7( 6) + 0.2 84 2( 6) 2 = 8.34 64 Para A Y2 = 3.5 914- 0.9 12 7( 5) + 0.2 84 2( 5) 2 = 6.13 29 Para B Y3 = 3.5 914- 0.9 12 7( 3) + 0.2 84 2( 3) 2 = 3.41 11 Para C Y4 = 3.59 14- 0 .91 27( 1) + 0.28 42( 1) 2 = 2. 96 29 Para D Y5 = 3.5 914- 0.9 12 7( 4) + 0.2 84 2( 4) 2 = 4.48 78 Para E Y6 = 3.59 14- 0 .91 27( 3) + 0.28 42( 3) 2 = 3. 41 11 Para F Y7 = 3.59 14- 0 .91 27( 6) + 0.28 42( 6) 2 = 8. 34 64 Para G Y8 = 3.59 14- 0 .91 27( 2) + 0.28 42( 2) 2 = 2. 90 28 Para H

La es t imación es buena y nos s irve p ara calcul ar las vent as de los vendedores y t ambién p ara calcular los coefi cient es de correla ción y de det erminación, p ara es t o neces it amos hac er los s i guient es cá lculos :

y )ˆ( yye −= 22 )ˆ( yye −= )( YY − ( )Y Y− 2 8.3464 0.6536 0.4272 4 16 6.1329 -0.1329 0.0177 1 1 3.4111 0.5889 0.3468 -1 1 2.9629 0.0371 0.0014 -2 4 4.4878 -1.4878 2.2135 -2 4 3.4111 1.5889 2.5246 0 0 8.3464 -0.3464 0.1200 3 9 2.9028 -0.9028 0.8150 -3 9

40 0.0 6.4662 0 44

Susti tuye ndo l os re sul tados de l a tabl a ante ri or e n l a si guie nte s e cuaci one s:

( )8082.0

84662.62ˆ ==

∑ −=

nyy

yxσ lue go σ2y x=0.8082

( )5.5

8442 ==

−= ∑

nYY

yσ

como:y

xy

xyR2

22 1

σσ

−=

Por lo t ant o t enemos que R2y x=1-(.8082/5.5)=.8530, lo cual índica que el 85.3% de

los camb ios en Y se d eben a var iac iones en X. Dicho en ot ras p alabras e l coefic ient e de det ermina ción r2

y x , , nos índica el p orcent aje de cambio que t ien en



las vent as como result ado de los años de exp erien cia d e los vendedores . Conoc ido R2

y x , , p odemos calcular el co efic ient e de corr ela ción ry x.

En es t e caso: 9235.8530.02 === yxRryx Lo cual rev ela que hay una alt a correla ción o rela ción p os it iva ent re X y Y, de t al forma que p odemos ut iliz ar a (X) años de e xp erien cia como v ariab le indep endient e o e xp licat iva d e l as vent as (Y); no se t iene que recurrir a buscar ot ra variable indep endient e o exp lic at iva de Y, di ga mos quiz á los p recios (Z ).

III .3 MODELO LINEAL GENERAL O MULTIPLE ,MLG.

Para con st rui rse se u sa l a Regre si ón y Correl aci ón Múl ti pl e( 7 ) M uchas veces neces it amos e xp licarnos los camb ios de Y en func ión de var ias variabl es . En es t e caso se ap lican el an ális is de r e gres ión y correla ción mú lt ip le.

Por ejemp lo: El c aso ant erior las vent as Y p odemos exp lic arlas no solam ent e en función de los años de e xp erienc ia s ino t ambi én en fun ción, di gamos de las calif ica ciones que obt ien en los vend edores en sus cursos de act ualiz ac ión qued ando la función Y=f(X1, X2) . Si hac emos que Y=X 1 , t endremos que Y=f(X1, X·3) . Donde X 1=vent as , X 2=años de exp erien cias ; X 3= ca lifi cac iones de los vend edores .

En es t e caso la e cuac ión de re gr es ión será: X1=a+ bX2+c X3 , y p ara encont rar a, b, c; nec es it amos resolver e l s i guient e s is t ema de ecua ciones :

∑ ∑∑ ++= 21 XcXbnaY (1)

∑ ∑ ∑ ∑++= 212

111 XXcXbXaYX (2)

∑ ∑ ∑ ∑++= 222122 XcXXbXaYX (3)

El co efic ient e de d et ermina ción lo denom inare mos p or: R2

123: indic ando que los cambios en X 1, , se deb en a l as varia ciones de X 2 y X 3

Ven d ed o r Ven t as ( Y)

Exp eri en ci as en añ o s ( X1 )

C alif ica ció n ( X2 )

Y2

X1

2

X22

Y* X1 Y*X2

X1 *X2

A 9 6 3 81 36 9 54 27 18 B 6 5 2 36 25 4 30 12 10 C 4 3 2 16 9 4 12 8 6 D 3 1 1 9 1 1 3 3 1 E 3 4 1 9 16 1 12 3 4 F 5 3 3 25 9 9 15 15 9 G 8 6 3 64 36 9 48 24 18 H 2 2 1 4 4 1 4 2 2

T o t al 40 30 16 244

136 38 178 94 68



Sus t it uy endo los result ados de la t abla ant erior en e l s i s te ma de e cuaci one s te ne mos:

8a+ 30b+16c= 40 30a+136b+68c=178 16a+ 68b+38c= 94

Resolviendo e l s is t ema p or el mét odo de Cram er nos queda:

21 3636.17273.04545.0ˆ XXY ++−=

Por lo cual p odemos es t imar las vent as :

=1Y -0.4545+0.7273(6)+1.3636(3)= 8.0000 para A =2Y -0.4545+0.7273(5)+1.3636(2)= 5.9091 para B =3Y -0.4545+0.7273(3)+1.3636(2)= 4.4545 para C =4Y -0.4545+0.7273(1)+1.3636(1)= 1.6364 para D =5Y -0.4545+0.7273(4)+1.3636(1)= 3.8182 para E =6Y -0.4545+0.7273(3)+1.3636(3)= 5.8182 para F =7Y -0.4545+0.7273(6)+1.3636(3)= 8.0000 para G =8Y -0.4545+0.7273(2)+1.3636(1)= 2.3636 Para H

Y ( )YY ˆ− ( )2YY − ( )YY − ( )2YY −

8.0000 1.0000 1.0000 4 16 5.9091 0.0909 0.0083 1 1 4.4545 -0.4545 0.2066 -1 1 1.6364 1.3636 1.8595 -2 4 3.8182 -0.8182 0.6694 -2 4 5.8182 -0.8182 0.6694 0 0 8.0000 0.0000 0.0000 3 9 2.3636 -0.3636 0.1322 -3 9

40.0000 0.0000 4.5455 0.0 44 En es t e caso el error es t ándar de es t imac ión será

( )5682.0

85455.4ˆ 2

123 ==−

= ∑n

YYσ p or lo que σ2

123=0.5682

De manera s i mil ar el coefi cient e de d et ermina ción:



R 2123

21232

11= −

σσ

( )5.5

8442

12 ==−

= ∑n

YYσ lue go t endremos 8966.

555682.0.

11232 == −R

Indicando que el 89.66 % de los cambios en Y se deben a los cambios de X1 y X2.

Igualmente el coeficiente de corr elación ser á: 8966.01232

123 == RR =0.9468, revelando que hay una fuerte correlación o relación posit iva ent re Y, X1, X2. Por lo que podemos ut ilizar X1, X2 para exp licar adecuadamente a Y.



IV. BANDAS O INTERVALOS DE CONFIANZA. Se const ruyen para “asegurar” con cierta p robabilidad de que los valores r eales u observados se hallen dent ro de un intervalo dado.

Si bxaY +=ˆ

Y : es el valor est imado con los parámet ros a y b así como con los cambios que experimente X. Luego la banda de conf ianza: αzsY b

ˆ ± cuando se maneja la población ó muest ras gr andes; αtsY b

ˆ ± , cuando se manejan muest ras pequeñas. Donde αt y αz : probabilidad fijada ap rioríst icamente. IV.1 Cal i dad o Bondad de l os Esti madore s8 ¿Cómo determinamos si los est imadores $ $a y bL L de los parámet ros poblacionales a y b (en el caso de que manejemos una r elación lineal donde y=a+bx) son los adecuados o ap rop iados ?; dicho en ot ras palabras, ¿De qué manera los p rincip ios estadíst icos de est imación pueden ap licarse al análisis de regr esión? Los valores de $a y $b encajan en la naturaleza de los p romedios o medias. Es posible que ningún valor de y sea igual al de $y (ningún punto observado en el diagrama de dispersión cae dent ro de la l ínea de tendencia calcu lada), pero los valores de $y pueden estar cercanos de los de y . Puesto que se espera que haya errores en todas las est imaciones, es necesar io med ir la cant idad de error e inferir a part ir de ella el gr ado de conf ianza que se puede at ribuir a los est imadores. Primero calcular emos el error estándar del coeficiente de regr esión, $b . Este concep to es similar en significado al del error estándar de la media descrito antes, cuando usamos la información de la muest ra para est imar la media de la población. Designar emos el error estándar del coeficiente de regr esión con S

b$, su cuadrado

viene dado por la fórmula:

( ) ( )( )

( ) ( ){ }2

2 22

2 2

2 22

sy

b

n yn xy x y

n x x

n n x x$ =

− −−

−

− −

∑ ∑∑∑∑∑

∑

∑∑

donde gr ados de libertad igual a n-k; k es e l número de parámet ros. Más adelante observaremos que hay similitud de las lit erales y por consigu iente de las cant idades ent re paréntesis de esta fórmula con las que se usan para calcular $a y $b , por el método de Cramer. Para encont rar bS ˆ , simp lemente le sacamos raíz a esta cant idad, así:



bbSS ˆ2=

Cont inuando con el desarro llo del p rocedimiento para verificar la calidad de los est imadores, recordemos que hemos supuesto que los errores ( )YYe ˆ−= son aleatorios e independientes. Ahora haremos un supuesto adicional; que están dist ribuidos normalmente. Así, si la dist ribución de los error es es normal, l a

cant idad t b bSb

= −$

$ sigue la dist ribución t con (n-2) grados de l ibertad.

El número de grados de libertad es el número de observaciones menos dos deb ido al número de parámet ros muest rales ( )$ $a y b que han sido p reviamente determinados, con los datos de la muest ra, lo cual sign ifica en el análisis de regresión que el número de observaciones menos el número de parámet ros calculados, con los datos de la muest ra y usados ( )$ $a y b para obtener cada $Y , consti tuye n l os grados de

l i be rtad, cuyo val or s i rve para me jorar l a e s ti maci ón de b con b . Obviamente si tuviér amos n observaciones y n constantes, no habría “errores” porque cada valor $Y sería igual a l valor r eal Y . En general, en la medida que sea menor el número de constantes, mayor será la libertad dejada a las dif erencias adicionales. Así, t es la medida de la difer encia ent re el coeficiente empírico y el coeficiente hipotét ico de la población, tomando en cuenta la variación de los datos de la muest ra. La t es út il para establecer límites de confianza y para p ruebas de signif icación. El p rocedimiento usual es real izar una p rueba de sign ificancia, es decir, p robar la signif icación estadíst ica del coeficiente poblacional b. Si no hay una relación lineal ent re X y Y en la población, entonces b=0. La hipótesis nula a p robar es que b=0, para ello se escoge un nivel de signif icancia, usualmente es del 5% y se rep resenta con α . Si rechazamos la hipótesis, decimos que el coeficiente b es signif icat ivo estadíst icamente, y es significat ivamente difer ente de 0. Si acep tamos la hipótesis nula, entonces b no es significat iva y p robablemente no hay relación lineal ent re X y Y en la población.



Ejemplo: Y X X2 XY Y 2 $Y )ˆ( YYe −=

2e 5 10 100 50 25 3.3227 1.6773 2.8132 -4 -4 16 16 16 -6.6674 2.6674 7.1152 -6 4 16 -24 36 -0.9588 -5.0412 25.4141 -2 1 1 -2 4 -3.0995 1.0995 1.2089 5 16 256 80 25 7.6042 -2.6042 6.7821

-15 -10 100 150 225 -10.9489 -4.0511 16.4112 -8 -12 144 96 64 -12.3761 4.3761 19.1502 10 13 169 130 100 5.4635 4.5365 20.5799 -1 5 25 -5 1 -0.2452 -0.7548 0.5698

-10 -6 36 60 100 -8.0946 -1.9054 3.6306 ΣY=-26 ΣX= 17 ΣX2 =863 ΣXY=551 ΣY2 =596 103.6751 Si la ecuación de regresión en la población es Y=a+bx. La solución se obt iene con el método de Cramer:

( )$

* *

*a

x y x xy

n x x=

−

−

∑ ∑∑∑∑∑

2

2 2

( )$

* *

*b

n xy x y

n x x=

−

−

∑ ∑∑∑∑ 2 2

sust ituyendo los valores en cada ecuación nos queda:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

$ .a =− −

−= − = −

863 26 17 551

10 863 17 2318058341

38131 ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

$ .b =− −

−= =

10 551 17 26

10 863 17 259528341

7136

Luego la ecuación de r egresión para est imar Y=a+bx ser á $ $ $Y a bx= + es decir: $Y =-3.8131+0.7136x Para saber si hay una relación l ineal ent re X y Y usamos:

( ) ( )( )

( ) ( ){ }S

n y yn xy x y

n x x

n n x xb

2

2 22

2 2

2 22

$

*

=

− −−

−

− −

∑ ∑∑∑∑∑

∑

∑∑

donde los gr ados de libertad es igual a n-k; k es e l número de parámet ros. sust ituyendo:



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( ) ( ){ }

S luego

S S

b

b b

2

22

2

2

2

10 596 2610 551 17 26

10 863 17

8 10 863 17103766728

0015

00155 01245

$

$$

**

.

. .

=

− −− −

−

−= =

= = =

L

Ensegu ida se establece Ho. b=0 y Ha: b 0≠ ; dado que n 30≤ probamos con t donde

7317.51245.0

07136.0

ˆ

ˆ=

−=

−=

bS

bbbt

Dado este valor empírico de t , nuest ra tarea final es escoger la t t eórica ( o de tablas como le llaman ot ros autores ) con un nivel de significación al cual p robaremos la hipótesis nula de que b=0. Supóngase que escogemos el 5% de signif icación, con n-2=10-2=8 grados de libertad, la tabla indica que t α=±2.306, cuya interp retación es que podemos esperar un valor posit ivo o negat ivo de b t an grande como 2.306 si la hipótesis es cierta, es decir, sí el coeficiente de la población es cero. Podemos esperar una diferencia ent re cero y el empírico $b , que es el r esultado de la selección aleatoria de la muest ra, pero esta diferencia no puede ser tan grande como para conducir a valor es de t que exceden de 2.306 (posit ivos o negat ivos). Ahora bien nuest ra t empírica es mucho más grande que 2.306, por ello rechazamos la hipótesis nula que b=0 (que no hay relación l ineal ent re X y Y en la población) y acep tando la hipótesis alternat iva, Ha de que b≠0. Decimos que nuest ro coeficiente de regr esión es significat ivo a un nivel de sign ificación del 5%. Si la t empírica hubiera sido menor que 2.306, d iríamos que el coeficiente de regresión $b =0.7136 no sería significat ivo. La d iferencia ent re $b y cero sería pequeña. En este caso se dice que hay relación lineal porque se rechazó que b=0; en concreto, acep tamos la bondad o cal idad de las est imaciones, acep tando Ha. Gráficamente lo anterior se i lust ra así: H0:b=0 con α=5% y n-2=8 grados de libertad tenemos 306.2±=αt ; Ha=b ≠0 llamado punto crítico para aceptar o rechazar H0

-2.306 b +2.306 αt

Rechazamos Ho Rechazamos Ho

Aceptamos Ha Aceptamos Ha



rechazamos H0 porque btt ˆ<α luego b es dif erente de cero, hay una difer encia signif icat iva que no puede at ribuirse ala selección aleatoria de la muest ra, s ino a los v alores de la v ar iable exógena X expl icando la v ar iable endógena Y. Por ot ra parte para calcu lar los límites o bandas de confianza, se parte del razonamiento de que algunos parámet ros poblacionales se pueden est imar calcu lando el intervalo o banda de confianza en torno al valor del est imador; si e l valor hipotét ico del parámet ro esta contenido dent ro del intervalo, se acep ta la hipótesis; si no, se rechaza. Ahora bien si el n ivel de sign ificación es de 5%, el lo equivale al error de excluir el valor correcto del parámet ro poblacional del intervalo de confianza. Por ello la p robabilidad de inclu irlo en el intervalo de confianza es de 95%. Decir que $b es significat ivo al 5% de nivel de significación, es decir que la p robabilidad es de 95%, que los limites de confianza incluyen o contengan el verdadero parámet ro poblacional. Los limites de confianza se pueden calcular para un coeficiente de confianza del 95% sust ituyendo el valor teórico de t α=±2.306 por el valor empírico

7317.51245.0

7136.0=

−=

btb resolviendo la ecuación para b obtenemos:

a) 0.7136-b=+2.306(0.1245)=0.2871 b=0.7136-0.2871=0.4265 = Límite inferior b) 0.7136-b=-2.306(0.1245)=-0.2871 b=0.7136 + 0.2871=1.0007 = Límite superior Interp retación: Los límites que comprenden el coef iciente verdadero de la población (b) a un nivel de p robabilidad del 95% son: 0.4265 y 1.0007 Comparaci ón de σˆ con

bS

Sabemos que ( ) 5999.3

21064.103

2ˆ

ˆ2

=−

=−−

= ∑n

YYσ y que Sb$

.= 01245

Se ve que 1245.05999.3ˆ ˆ =>= bSσ por que este ú lt imo est ima b a part ir de $b , en tanto que el p rimero es mayor porque est ima Y a part ir de $Y . V. PRUEBA DE SIGNIFICACION DE (R)8. Coeficiente de correlación:



Se p rueba que r=0 e índ ica que X no exp lica a Y.

Se hace con la fórmula 212

Rnrt−

−= luego t rabajando con los datos de la tabla

anterior y sabiendo que n=10; r=0.897 y R2=0.805 tenemos ( )

t =−

= =0897 81 0805

0897 2370442

574..

. ..

. .

Puesto que con α=5% y 8 grados de libertad la tabla dice que t α=±2.306 rechazamos la hipótesis que r=0 y decimos que r es significat ivo con α=5%; que x exp lica el 80% de los cambios en Y, e l 20% restante los exp lican ot ras variab les denotadas por “ ie ”. De esta p rueba de hipótesis se derivan dos p rop iedades: 1.-A medida que r crece es más p robable que sea significat iva. 2. Este valor de t=5.74 es igual al de t=5.74 cuando p robamos $b porqué la hipótesis de que b=0 implica la hipótesis que r=0. VI. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES 8 La infer encia que hacemos de una muest ra sobre una población estadíst ica en cierto sent ido pasa a t ravés de la dist ribución de muchas muest ras o de una muest ra más grande, aún cuando observamos una sola muest ra de un tamaño fijo determinado. En ot ras palabras, la bondad o calidad de un est imador obtenido de una muest ra es evaluada parcialmente en términos de lo que se espera que sucedería si muchas muest ras estuvieran disponibles o si el t amaño de muest ra pudiera aumentarse a nuest ro antojo. Hay cuat ro p rop iedades que debe tener un buen est imador (o también l lamado “estadíst ica” muest ral). 1. Inse sgado . Una p rop iedad deseada en un est imador es que este sea insesgado. Un est imador insesgado es aquel que su valor p romedio o esperado es igual a l valor verdadero, del parámet ro poblacional. Gráficamente9:



2. Consi s te nte . Una segunda p rop iedad deseada en un est imador es que este sea consistente. Una “estadíst ica” consistente es la que se acer ca al valor del parámet ro poblacional a medida que aumenta el t amaño de la muest ra. Aquí va la gráf ica

Vemos que cuando n crece b se acerca a b y que cuando n se acerca al inf inito en el límite, la d ist ribución de b cae sobre b. 3. Efi ci e nte . Una “estadíst ica” eficiente es aquella que t iene la varianza mínima ent re todos los est imadores posibles. En términos del grado, mient ras más eficientes es una “estadíst ica” más pequeña es la var ianza de su dist ribución. Aquí va la gráf ica

4. Sufi ci ente . Una “estadíst ica” o est imador suficiente es aquel que cont iene toda la información disponible de la muest ra que usamos para inferir al parámet ro poblacional. Las sigu ientes cuat ro figuras se resumen en la sigu iente forma.



Al respecto es importante señalar que en la actual invest igación empírica en economía a menudo debemos contentarnos con que los est imadores que posean una o más de estas p rop iedades, pero no todas el l as. Suponiendo que hay más de un método para est imar un parámet ro, un est imador determinado se consider a superior con respecto a ot ras si posee más p rop iedades que los ot ros. De gran importancia es que sea inses gado y consistente8.



Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM Dr. Genaro Sánchez Barajas : Primer examen parcial. Nombre del alumno………………………………………………………calif_______ I.-Conteste con un si o un no las siguientes 10 preguntas: 1.- La econometría expresa y mide las relaciones entre Ye X: Si______;No______

2.- Los modelos multiecuacionales son los únicos que se usan: SI____;NO______

3.-La covarianza mide la relación univoca entre Y e X: SI_______;NO____________

4.- El valor del coeficiente de determinación entre -1,0 y +1:SI_____;NO__________

5.-La variable dicotómica expresa cuantitativamente un atributo: SI_____;NO______

6.- Una variable retardada es estática en el tiempo: SI_______;NO___________

7.-La variables aleatoria también se llama estocástica: SI_____;NO__________

8.- Todas las perturbaciones aleatorias tienen la misma varianza: SI____;NO_____

9.- El método de mínimos cuadrados no produce la variación mínima en los estimadores con

respecto a los parámetros que estiman: SI_____:NO____

10.-El diagrama de dispersión ayuda a identificar la forma funcional: SI______;NO____

Cada respuesta cuenta medio punto, es decir, en total 5.0 puntos II.-Resuelva el siguiente ejercicio e interprete los resultados principales: los coeficientes de la ecuación, los de correlación y determinación. Suponga que el consumo (Y) y el ingreso (X) para los últimos 4 años (en millones de pesos) son los siguientes: Año (Yi) (Xi)

1 3 5 2 4 6 3 5 8 4 8 9



Se desea probar la hipótesis de que el consumo en México depende de las variaciones que experimenta el ingreso, ¿ es cierto? Este ejercicio cuenta cinco puntos, es decir, 5.0

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