Patache Laura

ECONOMETRIE Note de curs

Constanţa - 2011

2

ISBN 978-606-598-094-5

© Ex Ponto - 2011

3

CUPRINS

CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA: ISTORIC ŞI CONCEPTE ................................................ 5

1.1. Definiţiile econometriei ................................................................................................ 5

1.2. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei ....................................................... 7

1.3. Elemente fundamentale privind erorile econometrice .................................................. 13

1.4. Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice ....................................... 14

CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI ........ 16

2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric ................... 17

2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor ........................................................................... 17

2.1.2 Firma privită ca sistem ................................................................................................ 24

2.1.3 Legăturile sistemului econometric cu mediul exterior ................................................. 25

2.2. Comportamentul econometric al firmei ....................................................................... 25

2.2.1 Intervenţia de reglare prin compensare ........................................................................ 26

2.2.2 Modelul „intrări – proces - ieşiri” al producţiei (input-output) ..................................... 26

2.2.3 Importanţa conceptului de sistem managerial econometric .......................................... 27

2.3. Situaţia decizională econometrică ............................................................................... 27

CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN

ECONOMIE……………………………………………………………………………………30

3.1. Dependenţe şi interdependenţe între fenomenele economice în tabloul econometric .... 30

3.2. Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie ..................................... 35

3.2.1 Modele econometrice liniare ....................................................................................... 36

3.2.2 Modele econometrice neliniare ................................................................................... 36

3.2.3 Modele unifactoriale ................................................................................................... 36

3.2.4 Modele multifactoriale ................................................................................................ 36

3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple ................................. 37

3.2.6 Modele econometrice euristice sau raţionale şi modele decizionale sau operaţionale ... 37

3.2.7 Modele statice şi modele dinamice .............................................................................. 38

3.2.8 Modele econometrice parţiale şi globale (agregate) ..................................................... 38

4

CAPITOLUL 4. MODELUL UNIFACTORIAL .................................................................... 40

4.1. Definirea şi identificarea unui model unifactorial ........................................................ 40

4.2. Estimarea parametrilor modelului unifactorial ............................................................. 45

4.3. Ipotezele modelului liniar ........................................................................................... 53

4.4. Verificarea ipotezelor modelului liniar ........................................................................ 55

4.5. Verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric ................ 67

4.6. Evaluarea modelului de ajustare .................................................................................. 68

4.7. Cea mai bună regresie ................................................................................................. 71

CAPITOLUL 5. APLICAŢII ŞI PROBLEME ....................................................................... 73

5.1. Instrumente Excel - Regression ................................................................................... 73

5.2. Aplicaţii practice ......................................................................................................... 75

5.3. Probleme rezolvate ..................................................................................................... 81

5.4. Probleme de rezolvat .................................................................................................. 90

5.5. Grile de întrebări ......................................................................................................... 92

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………...99

ANEXE

5

CAPITOLUL 1. ECONOMETRIA: ISTORIC ŞI CONCEPTE

1.1. Definiţiile econometriei

Un an de referinţă pentru istoricul Econometriei se consideră a fi anul 1930 când la Cleveland s-a înfiinţat Societatea de Econometrie (Econometric Society), avându-i ca iniţiatori pe: Irving Fischer – preşedinte, L. V. Bortkiewicz, R. Frisch, H. Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi alţii. Mulţi dintre preşedinţii acestei societăţi au fost laureaţi ai premiului Nobel de-a lungul anilor, precum: K. Arrow, G. Debreu, R. Frisch, T. Haavelmo, L. Klein, T. Koopmans, W. Leontief, R. E. Lucas, Jr., J. Mirrlees, F. Modigliani, P. Samuelson, R. Solow, J. Tinbergen, şi J. Tobin.

Un rol deosebit în dezvoltarea şi popularizarea econometriei l-a avut revista acestei societăţi, „Econometrica”, care a apărut trimestrial, începând din ianuarie 1933 şi începând cu anul 1970 emite 6 numere pe an. (pentru detalii puteţi accesa http://www.econometricsociety.org)

Studierea cantitativă a fenomenelor economice este mult mai veche. Printre precursorii econometriei moderne amintim: F. Quesnay1, W. Petty2, Gregory King, A. Cournot, Leon Walras, E. Engel, A. Marshall, R. A. Fisher, K. Pearson şi alţii.

Econometria este o disciplină economică de frontieră apărută în domeniile de interferenţă ale teoriei economice, statisticii şi matematicii.

Informaţia receptată prin intermediul simţurilor determină universul mental. Metodele statistice şi econometrice exploatează informaţiile culese în scopul „obiectivizării” spaţiului mintal. Dacă spaţiul fizic este limitat la trei dimensiuni, cel mental are proprietatea unei dimensiuni nelimitate, de aceea percepţiile noastre sunt diferite, ele fiind consecinţa proceselor psihice sub impactul dorinţelor, intereselor, aspiraţiilor etc., astfel: „Lumea exterioară n-ar putea exista fără universul mental care o percepe, iar, în schimb, universul mental îşi împrumută imaginile de la percepţii”3.

Etimologic, termenul de econometrie provine din cuvintele greceşti: eikonomia (economie) şi metren (măsură). El a fost introdus (1926) de către Ragnar A.K. Frisch4, economist

1 Francois Quesnay (1694 - 1774) a fost economist francez al şcolii fiziocrate. În 1758 a publicat Tableau économique creat pe bazele gândirii fiziocrate marcând, astfel, o prima fază de abordare a economiei în sens analitic. 2 Sir William Petty (1623 - 1687) a fost economist şi filosof englez. El a dezvoltat metode eficiente pentru studiu pământului, în contextul în care acest pământ era confiscat şi dat soldaților lui Oliver Cromwell. A avut contribuții însemnate în teoria fiscalității, teoria monetară, diviziunea muncii şi conturile de venituri. Amintim câteva dintre lucrările sale: A Treatise of Taxes and Contributions (1662); Political Arithmetic posthum. (approx. 1676, pub. 1690); Verbum Sapienti posthum. (1664, pub. 1691); Political Anatomy of Ireland posthum. (1672, pub. 1691); Quantulumcunque Concerning Money posthum. (1682, pub. 1695). 3 P. Culiano, Out of this world, Shambhala Publications, Inc., Boston & London, 1991, citat de Tudorel Andrei, Regis Bourbonnais, în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, pag.20 4 Ragnar Anton Kittil Frisch (1895-1973), economist norvegian cu domenii de studiu econometria şi teoria producţiei a obţinut Premiul Nobel pentru Economie în anul 1969. Amintim următoarele lucrări ale sale: Kvantitativ formulering av den teoretiske økonomikks lover [Quantitative formulation of the laws of economic theory](1926);

6

şi statistician norvegian, prin analogie cu termenul „biometrie”, folosit de Fr. Galton şi K. Pearson la sfârşitul secolului al XIX-lea, care desemna cercetările biologice care utilizau metodele statisticii matematice.

Dezvoltarea rapidă a econometriei a generat formularea mai multor definiţii cu privire la domeniul acestei discipline economice.5

Există mai multe categorii de definiţii: a) definiţia istorică; b) definiţia restrictivă; c) definiţia extinsă. Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei

„Econometrica” (ianuarie 1933): „înţelegerea efectivă a realităţilor constitutive din economie prin unificarea temei economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice”.6

Definiţia restrictivă (cvasi-stabilă) a econometriei propusă de Cowles Commission for Research in Economics (Chicago, 1940-1950), consideră că există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stocastice). Susţinătorii acestei definiţii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele inducţiei statistice (teoria estimaţiei, verificarea ipotezelor statistice) la verificarea relaţiilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele economice cercetate.

Conform acestor definiţii, un studiu econometric presupune: � existenţa prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul

economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă formalizarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat;

� posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice; construirea modelului econometric şi rezolvarea acestuia. Această definiţie restrictivă exclude din domeniul econometriei cercetările economice care

nu se fundamentează pe: � o teorie economică – implicită sau explicită privind modelul econometric al fenomenului,

procesului sau sistemului studiat; � o interpretare aleatoare a modelului respectiv.

Astfel, analiza seriilor cronologice, modelul lui Leontief (Balanţa Legăturilor între Ramuri – B.L.R.7) ca şi statistica economică (care se fundamentează pe metoda balanţelor) nu intră în

"Sammenhengen mellem primærinvestering og reinvestering [The relationship between primary investment and reinvestment]"(1927) şi "Correlation and scatter in statistical variables" (1929). 5 Vezi Eugen Ştefan Pecican, Econometrie ediţia a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colecţia Oeconomica, Bucureşti, 2006; Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007 şi alţii 6 R. Frisch citat de Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.15 7 Balanţa legăturilor dintre ramuri − BLR − este un model matematic de structură ce oglindeşte trăsăturile esenţiale ale reproducţiei, reflectă dezvoltarea economiei naţionale de ansamblu şi, separat, pe ramurile acesteia, conexiunile existente în economie, evidenţiază fluxurile de bunuri ce au loc în procesul reproducţiei, ca urmare a legăturilor dintre ramuri, proporţiile ce se formează în economia naţională. Preocupat de problema echilibrului economic în contextul crizei mondiale, economistul Wassily Leontief a început, în anul 1931, activitatea de cercetare a legăturilor de producţie dintre ramurile economiei americane. El divizează economia naţională pe ramuri ale producţiei, ramuri pe care le pune faţă în faţă (pe de o parte, producătoare, pe de altă

7

sfera de cuprindere a econometriei: prima, deoarece existenţa unei teorii economice nu este necesară, iar ultimele două, fiindcă nu permit aplicarea metodelor inducţiei statistice.

Definiţia extinsă a econometriei, promovată de economiştii din ţările anglo-saxone, ţine seama de puternica dezvoltare, apărută după 1950, a metodelor cercetării operaţionale: teoria optimului, teoria stocurilor, teoria grafelor, teoria deciziilor, teoria jocurilor etc.

Prin econometrie, în sensul larg al termenului, se înţelege econometria, definită în mod restrictiv, adică, include domeniile menţionate atunci când ea este înţeleasă în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării operaţionale. În prezent, în domeniul econometriei se includ şi tehnicile moderne de analiză a datelor sau analiza marilor tabele.

Deoarece încă nu s-a cristalizat o concepţie unitară privind „frontierele” econometriei, în manualele sau tratatele de econometrie, autorii, de regulă, îşi menţionează concepţia pe baza căreia şi-au structurat lucrările.

În ţara noastră, atât în literatura de specialitate, deşi rareori se fac precizări exprese, cât şi prin structura planurilor de învăţământ de la facultăţile economice, econometria este concepută şi aplicată ca metodă generală de investigare cantitativă a fenomenelor şi proceselor economice – adică, în accepţiunea largă a termenului.

1.2. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei Metoda modelelor sau metoda modelării reprezintă principalul instrument de investigare

econometrică a fenomenelor econometrice. Dar, modelarea sau metoda modelelor nu constituie o noutate în ştiinţa economică. Tabloul economic al economistului fiziocrat F. Quesnay (1738), legile lui Engel (1857), coeficientul de elasticitate formulat de Marshall (1890) reprezintă momente istorice de la care cercetarea economică trece de la etapa descriptivă la etapa de explicare formală a cauzelor şi formelor de manifestare ale fenomenelor economice.

Modelele sunt reprezentări ale sistemelor care pot fi studiate fără ca sistemele să fie atinse fizic, social şi economic. Există trei clase mari de modele: iconice, analogice şi analitice. Cele iconice sunt modele vizuale ale obiectivelor reale pe care le reprezintă şi se folosesc cu predilecţie în arhitectură, redând, la scară: clădiri, cartiere, porturi, centrale electrice, aeroporturi ş.a.m.d.. Modelele analogice sunt utilizate mai rar. Ele reproduc fenomene din anumite domenii apelând la tehnici din alte domenii, prin analogie. De exemplu, circuitul monetar naţional se poate reda printr-un sistem hidraulic cu pompe, conducte şi recipiente astfel încât să poată fi examinată circulaţia unui lichid, reprezentând fluxul bănesc. Se pot face experimente pe astfel de modele accelerând sau frânând circulaţia prin manipularea de robinete sau vane cu care sistemul de conducte este echipat. Aceste modele sunt, evident, mai scumpe decât modelele analitice datorită construcţiilor speciale şi proceselor tehnice la care se apelează. În vederea realizării unor scenarii privind evoluţia ocupării în zonă, am recurs la modelarea analitică, specifică activităţii de management. Aceste modele apelează, de regulă, la formule matematice. Cele mai cunoscute modele analitice sunt modelele cercetărilor operaţionale dintre care: programarea liniară,

parte, consumatoare pentru a putea produce), oferind, astfel, posibilitatea relevării interdependenţelor dintre ele. Balanţele, BLR, pot avea caracter statistic sau previzional, pot fi elaborate în expresie fizică sau valorică, sunt modele statice sau dinamice. (vezi Caracotă D. şi Caracotă C., Dimensiuni contemporane ale dezvoltării durabile şi competitive, Capitolul 5: Analiza input-output, disponibilă la adressa: http://www.biblioteca-digitala.ase.ro/biblioteca/pagina2.asp?id=cap5)

8

programarea dinamică, programarea stocastică, modele de stocare, modele cu fenomene de aşteptare, lanţuri Markov ş.a..

Întrucât modelarea, şi în special cea analitică, se realizează prin simplificarea realităţii, există posibilitatea ca această simplificare să afecteze precizia redării faptelor. În consecinţă, luarea oricărei decizii bazate pe modelare implică un anumit grad de risc. De aceea, atunci când se aplică, este necesar ca modelele să fie validate artificial, anterior aplicării practice. Chiar şi în aceste condiţii, este recomandat ca asociat deciziei care se ia în urma folosirii unui model, să se calculeze riscul aferent astfel încât aplicarea deciziei în prezenţa riscului să fie eficientă economic.

Abilitatea de a construi modele prin care să se reprezinte tot mai adecvat sistemele la care se referă, a crescut considerabil în ultimele decenii, atât ca urmare a dezvoltării cercetărilor operaţionale care pun la dispoziţie tot mai multe tipuri de modele sub formă prefabricată, cât şi, datorită posibilităţilor de a apela la o tehnică de calcul tot mai performantă pentru testarea validităţii şi rezolvării modelelor.

Concomitent cu progresele şi facilităţile oferite de ştiinţă şi tehnologie, se lărgeşte şi gama complicaţiilor care limitează modelele, astfel: se reduc resursele naturale, populaţia globului creşte, se accentuează globalizarea, pretenţiile cresc în toate domeniile vieţii ş.a.m.d.. 8

În general, modelul reprezintă un instrument de cercetare ştiinţifică, o imagine convenţională, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării.

Fiind o construcţie abstractă, în care se neglijează proprietăţile neesenţiale, modelul este mai accesibil investigaţiei întreprinse de subiect, aceasta fiind una din explicaţiile multiplelor utilizări pe care modelul le are în epoca contemporană.

Utilizat în economie, modelul - imagine abstractă, formală a unui fenomen, proces sau sistem economic – se construieşte în concordanţă cu teoria economică, rezultând modelul economic.

Modelul economic, reproducând în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat, prin transformarea sa în model econometric, devine un obiect supus cercetării şi experimentării (verificării), de la care se obţin informaţii noi privind comportamentul fenomenului respectiv.

În acest mod, reprezentările econometrice, spre deosebire de modelele economice care explică structura fenomenului sau procesului economic de pe poziţia teoriei economice, au întotdeauna o finalitate practică, operaţională, ele devenind instrumente de control şi dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice.

Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi: a) variabile economice; b) variabila eroare (aleatoare), u; c) variabila timp, t. a) Variabilele economice, de regulă, se împart în: � variabile explicate, rezultative sau ENDOGENE, Yi , i= , şi

� variabile explicative, factoriale sau EXOGENE, Xj, j = independente de variabilele

endogene Yi . unde: n = numărul variabilelor rezultative;

k = numărul variabilelor factoriale.

8 Laura Iacob Patache, Piaţa muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Editura Universitară, Bucureşti, 2010, 152 şi urm.

9

În cazul modelelor de simulare sau de prognoză, variabilele Xj se mai împart în: � variabile exogene predeterminate (variabile de stare a sistemului – capacitatea de

producţie a unei întreprinderi, sau cu lag – xt-1, yt-1) şi � variabile instrumentale sau de comandă economică (dobânda, impozitul pe profit

etc.) b) Variabila aleatoare, u, sintetizează ansamblul variabilelor, cu excepţia variabilelor Xj, care

influenţează variabila endogenă Yi, dar care nu sunt specificate în modelul econometric. Aceste variabile (factori), pe baza ipotezelor teoriei economice, sunt considerate factori întâmplători (neesenţiali), spre deosebire de variabilele Xj, care reprezintă factorii determinanţi (esenţiali) ai variabilei Yi.

De asemenea, variabila eroare reprezintă eventualele erori de măsură – erori întâmplătoare şi nu sistematice – conţinute de datele statistice privind variabilele economice.

Pe baza acestor premise economice se acceptă că variabila aleatoare „u” urmează o lege de probabilitate L(u), în acest scop formulându-se o serie de ipoteze statistice cu privire la natura distribuţiei acestei variabile, ipoteze statistice care vor trebui testate cu teste statistice adecvate fiecărei ipoteze.

c) Variabila timp, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice.

Deşi timpul nu poate fi interpretat ca variabilă concretă (economică), se recurge la această variabilă explicativă (fictivă) din două motive:

� în primul rând, timpul, ca variabilă econometrică, permite identificarea unor regularităţi într-un proces evolutiv, ceea ce constituie un prim pas spre specificarea precisă a unor variabile care acţionează în timp;

� în al doilea rând, el reprezintă măsura artificială a acelor variabile care acţionează asupra variabilei Y care, fiind de natură calitativă, nu pot fi cuantificate şi, ca atare, nici specificate în modelul econometric. Un exemplu cunoscut în acest sens îl constituie funcţia de producţie Cobb-Douglas cu progres tehnic autonom9:

(1.1)

unde: Q = volumul fizic al producţiei; K = capitalul; L = forţa de muncă; e = numărul natural; t = timpul; u = variabila aleatoare; A, α, (1-α) şi g = parametrii funcţiei, A este o constantă, α şi (1-α) reprezintă elasticitatea outputului în raport cu capitalul fix şi, respectiv, forţa de muncă (cu cât creşte outputul dacă K, respectiv L cresc cu 1%):

9 Vezi, Daniela Luminiţa Constantin, Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998, pag.164-167

10

(1.2)

(1.3)

g este rata progresului tehnic în perioada [0,t].

Sursa de date - Variabilele economice se introduc într-un model econometric cu valorile lor reale sau empirice (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unităţilor observate). Aceste valori ale variabilelor unui model se pot obţine pe două căi: fie pe baza sistemului informaţional statistic (banca de date), fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor statistice.

O problemă fundamentală care se ridică în această etapă o reprezintă calitatea datelor statistice, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora. Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficienţe, fiind compromis sub aspect operaţional. Deoarece problema autenticităţii datelor economice ţine de domeniul statisticii economice, ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condiţiile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune:

o colectarea lor de la unităţi statistice omogene; o reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere

ale acestora în timp sau în spaţiu; o descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări

fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat; o exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă, în mod

special, la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale. „Materia primă” pentru calcule economice o constituie seriile cronologice (serii de timp

sau serii dinamice), mai rar seriile teritoriale, ale variabilelor economice respective, preluate sau construite pe baza băncii de date statistice existente.

O serie cronologică se construieşte prin observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică:

t 1 2... T xt x1 x2... xT yt y1 y2... yT

În comparaţie cu aceasta, o serie de spaţiu rezultă prin observarea variabilelor Y şi X într-o

anumită perioadă de timp - lună, trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unităţi socio-economice omogene, i= , n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce aparţin aceluiaşi sector

economic etc. O astfel de serie se prezintă, de regulă, sub următoarea formă:

xi x1 x 2 … xn yi y1 y2 … yn

11

Într-un model econometric, un fenomen economic X={xi}, i= , poate fi introdus cu

următoarele valori:

[1] Valori reale sau empirice, xi = (x1, x2,.., xn), valori exprimate în unităţi de măsură specifice naturii fenomenului X, ele fiind mărimi concrete şi pozitive, deci aparţin sistemului numerelor raţionale. Vectorul valorilor lui X, xi = (x1, x2,.., xn), poate fi definit prin doi parametri:

- media aritmetică a variabilei X

- abaterea medie pătratică a variabilei X

unde: = fiind dispersia variabilei.

De obicei, se consideră că variabila X urmează o distribuţie normală de medie şi de

abatere medie pătratică σx : L(x) = N( ,σx).

[2]Valorile centrate :

Aceste valori sunt tot mărimi concrete, dar ele aparţin sistemului numerelor reale având atât valori pozitive cât şi negative.

Se poate demonstra uşor că aceste valori centrate au media egală cu zero, iar dispersia lor este egală cu dispersia valorilor reale:

(1.6)

= = = M(x2) (1.7)

[3] Valori centrate şi normate sau abateri standard:

Media şi dispersia acestor valori este:

(1.8)

12

= = (1.9)

În plus faţă de aceste două proprietăţi L( ) = N(0;1)10, abaterile standard sunt mărimi

abstracte (adimensionale). Aceste calităţi conduc, atât la diminuarea calculelor statistice cu aceste valori, cât şi la efectuarea de comparaţii între distribuţiile mai multor fenomene economice de naturi diferite.

Un model econometric poate fi format dintr-o singură relaţie sau dintr-un sistem de relaţii statistice. Aceste relaţii pot fi: relaţii de identitate sau deterministe, relaţii de comportament, relaţii tehnologice şi relaţii instituţionale.

Relaţiile de identitate sunt de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite în „Sistemul de balanţe ale economiei naţionale”.

Relaţiile de comportament sunt acele ecuaţii stocastice care reflectă şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene. De exemplu, într-un model macroeconomic, relaţiile de comportament se referă la dependenţe privind consumul, investiţiile, importul şi exportul, sistemul de preţuri, cererea monetară etc.

Relaţiile tehnologice descriu atât imperativele de ordin tehnologic privind producţia cât şi relaţiile tehnico-economice existente în producţie, forţa de muncă şi fondurile de producţie ale unei unităţi, ale unei ramuri sau ale economiei naţionale. Aceste relaţii tehnologice sunt reprezentate de cunoscutele funcţii de producţie de diferite tipuri.

Relaţiile instituţionale sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stocastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradiţie sau fie de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de exemplu, ecuaţiile care explică stabilirea impozitelor sau a cotizaţiilor în funcţie de venit.

Tipologia modelelor econometrice este extrem de vastă. Totuşi, un model econometric poate fi construit prin intermediul unei singure ecuaţii de comportament, tehnologice sau instituţionale, sau cu ajutorul unui sistem de ecuaţii de genul celor patru relaţii, menţionate mai sus, denumite modele cu ecuaţii multiple.

Testele statistice11 sunt instrumente de lucru indispensabile investigaţiei econometrice. Necesitatea utilizării acestora este determinată de faptul că demersul econometric constă într-o înşiruire logică de ipoteze privind semnificaţia variabilelor exogene, a calităţii estimaţiilor obţinute, a gradului de performanţă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t, testul F etc.

Pe lângă aceste teste statistice, în practica curentă, în diverse domenii, se foloseşte frecvent un test denumit „testul erorii”.

10 Relaţia L(x**) = N(0;1) se citeşte: variabila x** = urmează legea de probabilitate normală având media

egală cu zero iar abaterea medie pătratică este egală cu unu (legea normală, centrată şi redusă). 11 Vezi – ipoteză statistică, test, eroare de gradul 1 şi gradul 2, prag de semnificaţie, nivel de semnificaţie – Dicţionar statistic-economic, D.C.S., Bucureşti, 1969

13

În general, aplicarea acestui test presupune compararea a două valori: 0 = valoarea observată sau estimată; T = valoarea teoretică, aşteptată sau prognozată. Pe baza celor două valori se definesc:

- eroarea absolută, = ;

- eroarea relativă, = 100 .

Se construiesc cele două ipoteze: H0: 0 ≈ T; H1: 0≠ T. Stabilindu-se arbitrar o valoare absolută (Ea) sau relativă (Er)

12 de echivalare a celor două valori, (0) şi (T), regula de (alegere) decizie a celor două ipoteze este următoarea:

� este acceptată ipoteza H0 dacă Ea ≤ ea sau Er ≤ er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), sunt echivalente, adică diferenţele dintre ele sunt întâmplătoare şi nu sistematice;

� este acceptată ipoteza H1 dacă Ea > ea sau Er > er ⇒ cele două valori, (0) şi (T), diferă semnificativ şi nu pot fi considerate ca echivalente, respectiv extrase din aceeaşi urnă sau dintr-o colectivitate omogenă. Acest test al erorii este utilizat în mod curent în domeniul analizei statistico-economice a

variaţiei în timp şi/sau în spaţiu a unui fenomen economic, dar poate fi aplicat şi în domeniul econometriei, dar cu discernământ şi nu în mod excesiv.

1.3. Elemente fundamentale privind erorile econometrice

Modelarea econometrică prezintă şi anumite limite. Astfel, un model econometric surprinde numai coordonatele principale ale evoluției unui fenomen economic, numai variabilele importante şi relațiile dintre acestea. Intr-adevăr modelul cuprinde şi influenţa unei variabile reziduale, numai că, niciodată, nici un model, indiferent cât de performant ar fi el, nu poate copia întreaga realitate. Astfel, putem spune că de fiecare dată când elaborăm un model econometric luăm în calcul şi o anumită probabilitate. Erorile care apar au ca principale surse, pe lângă cele oferite de calculul probabilităților, şi erori care apar din comportamentul uman strict implicat în evoluția unui fenomen economic sau social. Acest aspect afectează eventualele previziuni şi simulări. Eroarea este definită ca diferenţa dintre rezultatul x al măsurării (respectiv a eliminării neterminării) şi valoarea reală, adevărată, originară x0. (în cazul econometriei eroarea este numită şi eroare reală econometrică13) Cauzele apariţiei erorilor în econometrie se regăsesc în insuficienţa metodelor de măsurare, a celor de analiză şi interpretare sau calcul, respectiv în sfera subiectiv-umană prin care se percepe multi-variant, n-dimensional, fenomenul economic studiat.

Rezolvarea erorilor conţine proceduri de revenire asupra determinărilor respective.

12 Un astfel de test şi criteriu de decizie se utilizează în comerţul cu produse îmbuteliate sau ambalate pentru care, de regulă, criteriul de decizie este de ± 5 % din volumul sau greutatea, T, a ambalajului. 13

vezi Ioan Gâf-Deac, 2007, p.77

14

În prezent, nu putem concepe modelarea proceselor economice fără a apela la utilizarea unor pachete de programe care permit rezolvarea de ecuații simultane, efectuarea de previziuni, prelucrarea statistică a datelor, etc. Dintre acestea, cele mai des utilizate în econometrie sunt: Data Analysis din EXCEL, EVIEWS, SAS, SPSS, STATISTICA, MATLAB şi altele cu performanţe diferite şi multiple.

1.4. Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice

Apariţia şi rapida afirmare a econometriei trebuie înţeleasă şi explicată prin prisma raportului dialectic dintre teorie şi practică, a conexiunii inverse pozitive ce se manifestă între elementele acestui raport.

Dezvoltarea continuă şi dinamică a forţelor de producţie sub impactul progresului ştiinţific şi tehnic modifică condiţiile şi interdependenţele din producţie, repartiţie, circulaţie şi consum, ceea ce, pe plan teoretic şi practic, creează probleme dificile privind explicarea şi dirijarea evoluţiei fenomenelor economico-sociale către anumiţi indicatori ţintă, formulaţi şi urmăriţi de o anumită politică economică.

Necesitatea elaborării unor instrumente de investigare şi de sporire a eficienţei metodelor de organizare, dirijare şi conducere a economiei, pe de o parte, şi succesele metodelor statistico-matematice în alte domenii ale ştiinţei – fizică, chimie, astronomie etc. – pe de altă parte, au determinat adoptarea de către ştiinţele economice a acestor metode.

Econometria s-a format şi se dezvoltă nu în urma unui proces de diversificare a ştiinţei economice, ci prin integrarea dintre teoriile economică, matematică şi statistică.

În cadrul acestei triade, teorie economică - matematică – statistică, locul central îl ocupă teoria economică. Deşi, penetrarea ştiinţei economice de către metodele statistico-matematice reprezintă un progres calitativ, nu trebuie uitat faptul că fenomenele economice, pe lângă componenta lor cuantificabilă, conţin aspecte care nu pot fi reprezentate prin cantitate.

Aceste particularităţi ale fenomenelor economice constituie, în general, limitele econometriei în sistemul ştiinţelor economice. De remarcat că raporturile econometriei cu ştiinţele economice nu sunt numai de dependenţă.

Într-adevăr, un model econometric nu se poate elabora dacă nu s-a constituit o teorie economică a obiectului cercetat. Similitudinea sa formală cu obiectul economic investigat depinde de nivelul de abstractizare a teoriei, de definirea univocă şi operaţională a noţiunilor şi categoriilor economice, de scopurile urmărite de teoria economică - scopuri euristice sau de dirijare privind obiectul studiat.

Modelul astfel construit reprezintă o verigă intermediară între teorie şi realitate. El reprezintă o cale de confruntare a teoriei cu practica, singurul mod de experimentare pe baza căruia ştiinţa economică îşi poate fundamenta ipotezele, din moment ce obiectul său de cercetare poate fi numai observat, nu şi izolat şi cercetat în laborator.

Prin această experimentare, mijlocită de modelul econometric, ştiinţele economice validează, renunţă sau elaborează metode noi, îşi confruntă problemele de semantică şi semiotică economică, îmbogăţindu-şi în felul acesta sistemul de informaţii privind structura şi evoluţia obiectului economic.

În prezent, tipologia metodelor econometrice utilizate de ştiinţele economice este extrem de vastă. Folosirea din ce în ce mai amplă a acestor modele la investigarea fenomenelor

15

economice se datorează progreselor însemnate făcute în domeniul metodelor de estimare a parametrilor modelelor şi al testelor de verificare pe care se fundamentează acestea şi, nu în ultimul rând, al utilizării calculatoarelor electronice care permit rezolvarea operativă a celor mai complexe modele econometrice.

Particularizând legăturile econometriei cu unele dintre disciplinele economice, este necesar să subliniem corespondenţa dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea macro sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele simulării şi, mai ales, ale predicţiei econometrice. Activitatea de previziune a economiei este aceea care „oferă” o serie de elemente utile elaborării modelului privind, îndeosebi, etapa de specificare a acestuia. În această etapă, previziunea defineşte variabilele endogene (rezultative) şi pachetul variabilelor exogene corespunzătoare obiectivelor urmărite în funcţie de informaţiile statistice existente. Econometria, la rândul ei, contribuie la obţinerea variantelor economice, oferind informaţii cu privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de acţionare a pârghiilor economice. În acest fel, previziunii economice i se oferă o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferitele variante ale politicii economice care ar putea fi aplicate.

Menţionăm, de asemenea, legătura econometriei cu sistemul financiar-contabil, domeniu în care modelarea pătrunde tot mai mult – vezi modelele ARCH. De asemenea, trebuie remarcat faptul că, la elaborarea modelelor econometrice, se recomandă, cu o tot mai mare insistenţă, introducerea relaţiilor financiar-bancare, ca fiind deosebit de semnificative pentru descrierea mecanismelor economice. Domeniul cooperării economice internaţionale, ca, de altfel, şi cel privind comerţul interior, domeniu în care previziunile sunt greu de realizat, altfel decât cu ajutorul metodelor statistice, reprezintă, de asemenea, sectoare ale economiei ce pot beneficia de rezultatele econometriei în ceea ce priveşte planificarea şi eficientizarea activităţilor desfăşurate. Este totodată necesar să subliniem frecvenţa tot mai mare a aplicării metodelor econometrice în lucrări din domeniul biologiei, medicinii, demografiei şi, în special, în domeniul marketingului, managementului sau viitorologiei.

În concluzie, se poate reţine ideea că metoda econometriei este metoda modelării sau metoda modelelor. Modelul econometric – expresie formală, inductivă a unei legităţi economice – reprezintă un mijloc de cunoaştere a unui obiect economic, iar modelarea econometrică este o metodă care conduce la obţinerea de cunoştinţe sau informaţii noi privind starea, structura (conexiunile dintre elemente) şi evoluţia unui proces sau sistem economic.

16

CAPITOLUL 2. BAZELE ECONOMICE ŞI MATEMATICE ALE ECONOMETRIEI

Diferitele situaţii ce reflectă realităţile dintre variabile se regăsesc în exprimări teoretice economice. În practică apar însă cerinţe ce vizează necesitatea cunoaşterii mărimii relative a parametrilor dintre variabile. Totodată, aspectele teoretice enunţate sau formulate într-un anume conţinut trebuie testate, pentru ca într-o etapă imediată, relaţiile confirmate să fie folosite pentru predicţii cantitative şi calitative. Paul Samuelson (1954) arăta că econometria este „aplicarea statisticii matematice pentru a furniza suport empiric modelelor construite cu ajutorul economiei matematice şi pentru a furniza estimări numerice”. Matematica, statistica şi economia în interferenţă dau atribut complex econometriei, preponderent fiind, aşa cum am mai spus, studiul cantitativ al realităţii micro sau

macroeconomice. În sens extins, economia conferă lărgimea semnificativă a econometriei, respectiv limite extreme pentru acţiunile de măsurare ce pot prezenta interes decizional. Obiectul, domeniul şi metodele econometriei sunt subordonate manipulării sistemelor complexe, respectiv stabilirii elementelor decizionale, pentru managementul comportamentului productiv/reproductiv. Înregistrările statistice primare sunt urmate de evaluări intuitive, căutând legăturile între conţinutul şi valoarea datelor provenite din observaţii, şi cele măsurate prin modelare. Astfel, se identifică raporturi structurale reale pe baze cauzale, deterministe. Unele valori din serie sunt determinate probabilistic pe baza valorilor precedente. Desluşind mecanismele de transformare a variabilelor între ele se pot preciza relaţiile funcţionale, aferente structurii reale a obiectului, procesului sau fenomenului economic studiat. Evidenţierea modului şi a formei sub care o variabilă influenţează altă variabilă reprezintă complexitatea de a acţiona a cercetării. De regulă, se urmăreşte reducerea pe cât posibil la relaţii de formă liniară. Prin demersuri econometrice, mecanismul de transformare este descompus până la obţinerea seturilor de date considerate a fi adevărate, atunci când se demonstrează verosimilitatea maximă a acestora. Între realitate şi model se înregistrează un anume izomorfism, în conţinutul căruia persistă contradicţii între:

1) structura şi procesul economic cercetat 2) cauze şi manifestările stocastice, şi între 3) situaţiile empirice şi cele reale-raţionale.

Constatarea de mai sus marchează diferenţele între econometrie şi economia matematică, respectiv între tratarea cantitativă, empirică a fenomenologiei şi statisticii problemei economice şi, respectiv, cercetarea raţională a structurii şi cauzelor problemei economice.

17

În sine, econometria prin faptul că „măsoară”, deci induce cuantificări ale informaţiilor, determină „cunoaştere”, în înţeles general, cognitiv. Dintr-un model raţional este posibilă construirea, deci generarea, unui model empiric, care „împinge” cunoaşterea în noi areale evolutive, cu ajutorul rezultatelor-imagini. Modelele econometrice reconstituie mecanismele economice în imagini, care sub procesări statistice duc la noi rezultate-imagini, folositoare managementului comportamentului sistemelor complexe. Modelele posibilităţilor sunt generate de statistici specifice, cu ajutorul cărora se experimentează întreg setul de modele alternative, până la stabilirea celui cu verosimilitate maximă. Statisticile reprezintă intrările (inputs) principale în procesele economice cercetate. Reductibilitatea poate afecta predicţia, în măsura în care concentrarea sau simplificările operate prin statistici pierd din calcule variabile cu potenţial permanent de influenţă.

În fapt, econometria reprezintă o extensie sau o dezvoltare ulterioară a economiei matematice.

Între micro şi macroeconomie sunt marcate raporturi dimensionale, respectiv este formalizat un dualism necontradictoriu.

Aplicabilitatea modelelor econometrice este urmărită concomitent ca imagine – rezultat, în cele două niveluri, respectiv micro şi macroeconomic.

Ajustarea ecuaţională econometrică şi deopotrivă estimarea reprezintă proceduri sau instrumente de căutare a aliniamentelor de predicţie, cu grad cât mai înalt de verosimilitate.

Ipotezele simplificatoare nu trebuie să influenţeze tendinţa de creştere a identificării verosimilităţi.

2.1. Conceptul de sistem cadru pentru interpretarea fenomenului econometric

2.1.1 Elementele definitorii ale sistemelor a) Definiţia sistemului Bertalamffy – părintele teoriei sistemice defineşte sistemul „ca un complex de elemente în

interacţiune”. În cadrul acestuia, interacţiunea se conduce după principii ştiinţifice care ordonează şi face

ca ansamblul, în general, să aibă tendinţa optimizării permanente a activităţii lui. Pentru scopuri ştiinţifice şi practice sistemul se defineşte astfel: „este un grup, un complet,

un ansamblu de elemente naturale şi artificiale, care generează scopuri comune (scopul comun care le reuneşte)”.

Sistemul organizaţiei sociale este cea mai complexă categorie de sistem; în cadrul acestuia are loc fenomenul de conducere.

Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o definiţie mai largă a acestuia: „un ansamblu organizat, o clasă de fenomene care satisfac următoarele exigenţe:

- să se poată specifica un set, o mulţime de elemente identificabile; - să existe relaţii identificabile cel puţin între unele dintre ele; - anumite relaţii să implice alte relaţii (lanţul infinit de relaţii);

18

- un complex de relaţii, la un timp dat implică un anume complex la un timp următor, aspect ce pune în evidenţă dinamica sistemului.”

Structural, sistemele se referă la reunirea părţilor specifice, din rândul cărora enumerăm: b) Componentele sistemului econometric. Acestea sunt reprezentate de elemente şi conexiuni. Elementul este o calitate (un obiect, un proces, „ceva”) dintr-un fenomen, care este privit

ca parte nesupusă analizei. Elementele fixează limitele infinitului din orice concret. Conexiunea este un anumit raport între elemente, care le reuneşte în cadrul funcţionării

sistemului. Conexiunile pot fi: legături cauzale, de coordonare a funcţiilor, succesiunii sau

simultaneităţii, raporturi de subordonare (fără a fi relaţii cauzale) ş.a. Conexiunile stabilesc limitele sintezei anumitor părţi ale unui fenomen economic în sistem.

Pe lângă conexiunile interne dintre elementele sistemului există şi conexiuni externe (legături cu alte sisteme).

Sistemele, în realitate, nu există; ele se construiesc în scopul cunoaşterii şi reprezintă o ordonare ce răspunde unui anumit scop epistemologic.

La definirea unui sistem econometric este necesară o informaţie prealabilă despre fenomenul studiat şi o formulare foarte riguroasă şi precisă a obiectului cercetării economice.

În raport cu el însuşi, sistemul econometric are o structură, stare, repertoare, calendarul şi transformarea.

Structura este o ordine relativ stabilă, calitativ determinată a conexiunilor dintre elementele sistemului (structura se mai numeşte şi organizare econometrică).

Starea sistemului este definită de mulţimea de valori pe care o au variabilele ce caracterizează conexiunile la un moment dat.

Transformarea este o trecere de la o stare la alta. Dacă sistemul econometric acţionează în scopul realizării transformării el se numeşte operator. Dacă sistemul se transformă, el se numeşte operant.

Rezultatul oricărei transformări se numeşte imagine econometrică. Repertoarul reprezintă mulţimea stărilor posibile ale sistemului econometric într-o

perioadă (O-T). Calendarul reprezintă mulţimea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică în

(O-T). Orice sistem econometric este definit univoc în timp şi spaţiu. c) Relaţiile sistemului econometric cu mediul exterior

În raport cu mediul, sistemul econometric apare ca o incluziune şi are o intrare, o ieşire, o comportare şi o funcţie. Conceptul de incluziune semnifică faptul că orice sistem se poate încadra într-o structură mai largă. Limitele unui sistem econometric sunt relative. Sistemele econometrice sunt în toate cazurile deschise (nu pot funcţiona decât în universul ce le înconjoară, ca o incluziune a acestuia şi aşa cum cere acesta). Pentru a analiza un fenomen economic ca sistem, acesta trebuie să fie separat de alte fenomene, individualizat ca un lucru independent (relativ), definit riguros şi univoc.

19

Numai astfel sistemul econometric devine un câmp, un spaţiu obiectiv şi structurat pentru cercetarea problemei economice de interes (fenomenul econometric în cazul de faţă). Pentru a defini un proces, un obiect sau un fenomen economic ca sistem, el trebuie separat şi opus restului „lumii”, trebuie să i se cunoască graniţele. Intrarea apare ca un dispozitiv ce recepţionează acţiunile exterioare, format din elemente identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recepţionează informaţii (intrarea este informaţională în econometrie). Intrarea mai este definită şi drept capacitatea de a recepţiona informaţii exterioare, sau orice acţiune informaţională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior acţionează aspra sistemului. Ieşirea este definită analog intrării, fiind un dispozitiv prin care sistemul acţionează asupra altor sisteme, respectiv un grup de elemente identificabile prin care informaţiile ies din sistem. Elementele intrării sunt: capacitatea de a transmite informaţii, orice acţiuni informaţionale ale sistemului asupra altor sisteme.

d) Caracteristicile şi principiile funcţionării sistemelor econometrice. Valoarea de comandă este sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în ansamblu, superior organizat în condiţiile unui mediu ce produce perturbaţii. Adaptabilitatea este însuşirea de a menţine la ieşire valoarea de comandă neschimbată, în condiţiile unui mediu perturbator. Sistemul econometric adaptiv funcţionează după principiul independenţei relative a ieşirii, în raport cu intrarea. Relaţia intrare – ieşire în sistemele econometrice adaptive nu mai este explicabilă prin cauzalitatea liniară din viziunea clasică ci rezidă dintr-o cauzalitate specifică, fiind înţeleasă prin conceptul de stabilitate. Stabilitatea înseamnă menţinerea stării la ieşire, independent de modificările intrării. Stabilitatea se realizează prin echilibru, prin homeostază şi prin perfecţionarea structurii (autoorganizare şi instruire). Echilibrul reprezintă stabilitatea sistemelor econometrice cu o structură slabă (acestea tind să se deplaseze spre un punct propriu de echilibru). Homeostaza reprezintă stabilitatea sistemelor biologice (menţinerea unui sistem de organizare ridicat, deja câştigat). Pe calea schimbării interioare a conexiunilor, în anumite limite normale, sistemul econometric îşi permite menţinerea comportamentului. Stabilitatea dinamică adaptivă se realizează prin autoorganizare, autoreglare şi instruire. Autoreglarea este capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se depărtează de valoarea de comandă dată. Folosirea capacităţii proprii de reglare impune o altă caracteristică, şi anume autonomia (independenţa de a crea şi folosi capacitatea proprie de reglare). Autoorganizarea este un proces de adaptare la perturbaţii externe pe calea diversificării structurii, cu scopul de păstrare a stabilităţii, de a nu oscila, de a nu se distruge. Atingerea valorilor de comandă e posibilă numai prin existenţa unei structuri funcţionale, adaptată, adecvată valorii de comandă. Modificându-se valorile de comandă şi/sau condiţiile în care funcţionează sistemul econometric se înregistrează schimbări adecvate de structură. Aceste schimbări fac parte din

20

procesul de autoorganizare. Structura nu este ceva static ci este singura, deseori, care trebuie să se schimbe, pentru adaptarea sistemului la perturbaţii. Legătura inversă (feed-back) este capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux permanent din spaţiu, dinspre punctul terminus (unde se evidenţiază ieşirea) spre dispozitivul de reglare. În managementul economic controlul este denumit feed-back. Reglatorul este legat cu intrarea şi cu ieşirea. Ca urmare a conexiunii inverse, acesta intervine asupra stării generale a sistemului econometric (se realizează intervenţii directe asupra intrării şi asupra stării sistemului). Mecanismul reglării este redat în figurile de mai jos:

Figura nr.1: Schema unui sistem cu legături directe Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47

Figura nr.2: Schema unui sistem cu legături inverse (feed-back) Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.47

I

III II I

III II

21

Timp mort (Tm)

Timp efectiv de reglare

a b X+∆X ZX Y+∆Y Y

Z

Figura nr.3: Schema unui sistem cu autoreglare prin circuitul feed-back a = apariţie, perturbare dispozitiv de comandă; b = timp de stocare + prelucrare informaţii la dispozitivul de comandă şi timpul transmiterii comenzii la efector;

- Pentru Tab < Tm perturbaţia nu are timp de traversare stabilitate; ∆Y = capacitate de sarcină pentru R

Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48

Figura nr.4: Schema unui sistem cu autoreglare şi autoorganizare

Valoarea x a intrării în S variază, ajungând xx ∆≠ . Rezultatul y la ieşire trebuie menţinut constant. Sesizarea variaţiei lui y, care devine yy ∆+ , se transmite prin legătură inversă la

regulatorul R. R aplică valorii x la intrare o corecţie Z, care este de natură să restabilească rezultatele la valoarea y. Noua intrare se modifică la Zx şi sistemul îşi menţine y la ieşire la norma dată. Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.48

perturbare

S

reglare

R

[S]

R

22

Timpul mort (Tm) este intervalul dintre apariţia perturbaţiei la intrare şi până când aceasta se reflectă la ieşire, traversând întregul ansamblu.

Timpul de reglare efectivă (de transfer) este perioada de la apariţia perturbaţiei până când informaţia ajunge la dispozitivul de comandă (recepţie, transmitere, mesaj) plus timpul pentru stocare-prelucrarea informaţiilor la dispozitivul de comandă şi transmiterea comenzii până la efector.

Reglarea efectivă are loc în paralel cu procesul de traversare a perturbaţiei prin ansamblu. Acest aspect este posibil numai pentru perturbaţii ce sunt sesizate încă la intrare, când regulatorul este legat direct cu intrările.

Există şi perturbaţii care nu sunt sesizate la intrare de către regulator, fie pentru faptul că nu se urmăresc sistematic, deci nu sunt cunoscute sub aspectul efectelor lor, fie că informaţia întârzie să atingă la regulator.

Dacă timpul de transfer sau de reglare efectivă este mai scurt decât timpul mort, perturbaţia nu are timp să traverseze sistemul şi să-şi realizeze efectul, rezultatul rămânând stabil.

Capacitatea de sarcină a dispozitivului de reglare este reflectată de nivelul perturbaţiei pe care o poate prelua regulatorul.

Fiecare sistem acţionează într-un mediu specific, are o funcţie specifică şi trebuie, în general, să răspundă la un anumit tip de intrări perturbatoare (să aibă o anumită capacitate de sarcină).

La perturbaţii foarte puternice R se blochează şi depărtează ieşirea de valoarea de comandă, iar sistemul econometric se dezorganizează. Apare necesitatea intervenţiei din afara sistemului, pentru reorganizare şi pentru deblocarea dispozitivului de reglaj.

Reglarea se poate face prin: � autoreglare; � autoorganizare; � compensare; � schimbări aduse în mediul perturbator. Autoreglarea este acţiunea dispozitivului de reglare asupra intrării perturbatoare. Autoorganizarea este acţiunea de intervenţie asupra structurii sistemului pentru adaptarea

acestuia la perturbaţii (schimbarea unor legături în structură, schimbarea destinaţiei unor elemente, suplimentarea sau scoaterea unor elemente din sistem).

Compensarea (comanda pură) are loc când forţele exterioare compensează efectele perturbărilor deja suferite şi când acestea procedează la reorganizare. Rezultă necesitatea obiectivă a existenţei unui sistem supraordonat, care să joace acest rol compensator. La reglarea prin compensare nu mai are loc alertarea dispozitivului propriu de reglaj (circuitul informaţional se deschide de către sistemul supraordonat).

O organizaţie, respectiv un fenomen economic se manifestă ca sistem econometric suprastabil atunci când funcţionează ca sistem de autoreglare şi autoorganizare (există tendinţa de a apela la reglare prin compensare chiar şi în situaţii când şi-ar putea folosi propriile capacităţi pentru a putea face faţă perturbaţiilor).

Reglarea prin schimbări aduse mediului perturbator înseamnă eliminarea din afară a intrărilor perturbatoare.

23

e) Alte caracteristici de funcţionare şi comportare Orientarea este însuşirea sistemului econometric de a-şi optimiza nivelul răspunsurilor în

condiţii de perturbaţii variate. Orientarea este rezultatul capacităţii sistemului de a capta şi prelucra, şi de a folosi informaţia despre mediu şi despre starea lui însuşi pentru a elabora stări noi, neconforme cu tendinţa liniară a cauzei.

Finalitatea nu este o însuşire generală a sistemelor (sistemele fizice n-au această însuşire). Nu se poate reduce la o finalitate determinată acţiunea sistemelor hipercomplexe, de tipul organizaţiilor sociale sau cele ale fenomenelor economice, (deci organizaţiile sociale nu au însuşiri de finalitate, ci au însuşiri de elaborare, de creştere, de creaţie, de dezvoltare).

Acţiunea este finalistă în sistemele cibernetice. Unele entităţi se pot manifesta ca organizaţii finaliste, pentru realizarea unei valori comandate, ele fiind, în esenţă, subsisteme sociale cu structuri şi destinaţii specifice.

Echifinalitatea constă în aceea că interacţiunile dintre părţile unui sistem se subordonează cerinţei realizării aceleaşi valori de comandă.

Comportarea înfăţişează sistemul în acţiune sau funcţionarea lui. Aceasta e definită de totalitatea acţiunilor sistemului, ca reacţie sau adaptare la mediul exterior, în urma recepţionării şi prelucrării informaţiei.

Comportarea este un rezultat al caracterului orientat al funcţionării, al capacităţii de autoreglare şi autoorganizare, al posibilităţii de a răspunde într-un mod adecvat la un mediu complex.

Comportarea este un rezultat direct al conducerii sistemului ca un proces de obţinere, de recepţie, de prelucrare şi transmitere de informaţie.

Eficienţa comportării se măsoară prin orientarea către scopul urmărit. Prin comportare sistemul îndeplineşte o funcţie. Funcţia sistemului se defineşte din mai

multe unghiuri. Există o funcţie externă, ca o expresie a comportării exterioare a sistemului. Ea este dată de

menţinerea conexiunilor cu alte sisteme. Funcţia internă este o expresie a comportării interioare, pentru adaptarea şi perfecţionarea

propriei structuri. Ea corespunde cu dinamica structurii. O definiţie mai îngustă a funcţiei este cea a funcţiei cu rol instrumental sau scop. Aceasta

se exprimă prin finalitatea sistemului sau subsistemului (apare ca realizare a valorii de comandă). În îndeplinirea funcţiei (atât internă cât şi externă) sistemele econometrice, au două

caracteristici importante în cadrul entităţilor organizate: de căutare şi de iniţiativă. Căutarea este caracteristică sistemelor hipercomplexe de a lua în consideraţie anumite

condiţii, de a căuta şi de a selecta cea mai bună soluţie ce se impune, ca rezultat al comportării intenţionale a sistemelor din mediul economic unde intervine omul ca factor de cunoştinţă.

Iniţiativa este calitatea de a se comporta, în sensul de a găsi un drum nou, de a inventa. Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt:

1. Caracterul aleator (pentru aceeaşi acţiune corespund comportării diferite ale sistemului se impune obiectiv necesitatea conducerii economice);

2. Caracterul dinamic (schimbarea conexiunilor interne şi externe în timp, pentru adaptare şi stabilitate, prin perfecţionarea parametrilor, a structurii şi a programului general de comportare);

24

3. Comportarea (este determinată de conexiunile informaţionale neechivalente cu cele substanţiale şi energetice);

4. Feed-back (conexiunea inversă) (joacă rol determinant în comportarea sistemelor dinamice complexe);

5. Stabilitatea dinamică reprezintă adaptarea structurii şi autoinstruirea (homeostaza). 6. Calitatea substanţială specifică este a unuia dintre elemente, care interacţionează în

sistem şi se manifestă nestabil şi activ, respectiv omul. 7. Caracterul deschis; sistemul este în permanentă interacţiune cu mediul ca factor esenţial

al viabilităţii, al capacităţii sale de reproductivitate, de continuitate şi de schimbare. 8. Tendinţa de optimizare este dată de caracterul proiectiv, de capacitatea de creştere şi de

creaţie. 9. Caracterul complex rezultă din faptul că are cel puţin o componentă care este la rândul

ei sistem (omul).

2.1.2 Firma privită ca sistem Caracteristicile sistemice ale firmelor pot fi privite ca aspecte econometrice, întrucât ele

constau dintr-un număr de elemente şi de conexiuni între ele. Secţiile, serviciile, atelierele, locurile de muncă sunt verigi ale firmei care pot fi privite ca

subsisteme ale acesteia, şi ele însele se pot identifica drept sisteme/subsisteme. Omul, - individual luat în considerare – este un sistem complex, de tipologie cu totul

deosebită. Rezultă că firma poate fi privită ca sistem în cele mai diferite moduri, în funcţie de scopul

cercetării econometrice. Ca sistem econometric, firma este locul de realizare a anumitor procese şi relaţii

valorice, economice, a creării elementelor forţei de muncă şi a mijloacelor.

Ca sistem economic complet, firma este un produs al activităţii conştiente a oamenilor, care o pot schimba sau lichida în mod deliberat.

Oamenii şi mijloacele de producţie funcţionează ca principali factori ai producţiei sociale, dar şi cu principalele rezultate ale activităţii de producţie.

Elementele sistemului „firmă” sunt verigile care pot fi privite, fie autonom, fie în compunerea obiectului, procesului sau fenomenului cercetat.

Toate elementele firmei au o destinaţie funcţională în cadrul sistemului (funcţia pe care o îndeplineşte unul din elemente nu o mai poate îndeplini şi altul).

Destinaţia funcţională a unui element din structura firmei trebuie privită ca posibilitate a comportării sale dinamice în componenţa sistemului econometric şi ca o condiţie a acţiunii reciproce cu celelalte elemente.

Orice element poate să-şi manifeste funcţia sa numai în prezenţa altui element. Într-un sistem econometric un element trebuie să dispună de capacitatea de a influenţa un

alt element şi de a recepţiona influenţele altora. Numai astfel e posibil să existe setul, mulţimea de conexiuni şi relaţii definitorii pentru un sistem econometric.

Aşadar, teoria sistemelor econometrice aplicată la nivel de firmă arată evoluţiile din verigile firmei.

Relaţiile sau conexiunile între elementele sistemului econometric sunt de trei categorii: - materiale;

25

- valorice; - de proprietate.

1. Relaţiile materiale reprezintă setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care rezultă o valoare de întrebuinţare.

Legând mijloacele de anumite caracteristici, cu oamenii de anumite calificări, rezultă o valoare de întrebuinţare corectă.

Scopul relaţiilor materiale este acela al creării unui produs al muncii care să aibă o anumită valoare de întrebuinţare.

Aceste relaţii sunt, deci, în legătură cu crearea şi mişcarea valorilor de întrebuinţare. 2. Relaţiile valorice sunt reprezentate de conexiunile între forţa de muncă şi mijloacele

materiale exprimate valoric, necesare reproducţiei. Scopul producţiei privită ca sistem de relaţii valorice este crearea de valoare nouă. 3. Relaţiile de proprietate îl reprezintă pe om ca proprietar al unei cantităţi de bogăţie

materială, opus celorlalţi subiecţi economici (omul este proprietar la repartiţia valorii nou create).

2.1.3 Legăturile sistemului econometric cu mediul exterior Se realizează cu ajutorul fluxurilor materiale, a fluxurilor energetice şi a fluxurilor

informaţionale. Firma este caracterizată prin intrările reprezentate de relaţiile cu alte organizaţii

furnizoare şi prin ieşiri ca relaţii cu unităţile beneficiare. Pentru îndeplinirea funcţiei specifice (de producţie), firma e dotată cu mijloacele

economice, financiare necesare, are un statut e funcţionare şi o valoare de comandă stabilită prin planul propriu.

Analiza firmei ca sistem subordonat scopului conducerii, evidenţiază trei subsisteme: - subsistemul condus; - subsistemul conducător; - subsistemul de legătură. Prin subsistemul de legătură informaţional subsistemul conducător se leagă de

subsistemele conduse. Realizarea valorii de comandă ajunge cu flux de informaţii (feed-back) la factorii de

decizie, care iau hotărâri de reglare a subsistemului econometric condus, pe care le transmit la factorii ce îşi modifică acţiunea, transformând valoarea intrării.

2.2. Comportamentul econometric al firmei Comportamentul general al firmei este suprastabil, urmărind realizarea funcţiei firmei,

independent de relaţiile multiple cu mediul exterior. Pentru o comportare suprastabilă, firma acţionează circuitul de reglare internă, care

reuşeşte să atragă capacităţile interne de inventivitate şi iniţiativă în vederea rezolvării tuturor problemelor care se ivesc în procesul de funcţionare.

26

2.2.1 Intervenţia de reglare prin compensare Aceasta are loc prin deschiderea circuitului de reglare intern pentru a solicita mijloacele de

stabilire a echilibrului; firma dispune de posibilităţi duble de reglare, dar este cu adevărat eficientă doar atunci când se manifestă în sistem suprastabil.

Intervenţia de reglare-compensare este necesară în unele perioade, tocmai ca urmare a locului pe care îl are firma în sistemul economic general.

Firma are funcţii precise şi este dotată cu mijloace specifice, fiind capabilă pentru preluarea doar a anumitor perturbaţii.

2.2.2 Modelul „intrări – proces - ieşiri” al producţiei (input-output)

Lărgirea înţelesului noţiunii de producţie se extinde şi asupra unor entităţi considerate neproductive, ca urmare a definirii producţiei sistem (I-P-I).

Într-o astfel de viziune, producţia se defineşte după cum urmează: � un ansamblu de activităţi care au drept rezultat o creştere a valorii de întrebuinţare a unui

obiect sau serviciu; � orice proces sau procedură care transformă un set de intrări într-un set specific de ieşiri; � un proces prin care sunt create bunuri sau servicii.

Caracteristicile generale ale sistemului de producţie sunt:

• intrările;

• procesul propriu zis şi

• ieşirile. Intrările antrenează cheltuieli variabile, nivelul lor fiind în funcţie de numărul de unităţi

productive. Procesul propriu-zis este o secvenţă complexă de operaţii, care depind ca natură şi ca

număr de specificul intrării. Caracteristica procesului de producţie este transformarea şi sporirea valorilor intrărilor,

datorită intervenţiei muncii vii. Spre deosebire de procesele fizice, randamentul procesului de producţie este supraunitar.

η = > 1

Cadrul procesului de producţie este constituit din elementele care conturează transformările.

Cadrul generează cheltuieli fixe (nu variază cu volumul operaţiilor). Modificarea cadrului se realizează mai dificil şi prin cheltuieli de investiţii.

Orice sistem de producţie trebuie să producă ceva util. Înfiinţarea, construirea, organizarea şi menţinerea unui sistem de producţie trebuie să aibă

anumite obiective. Trebuie, deci, definite ieşirile sistemului econometric, cu toate caracteristicile lor. Toate elementele enunţate se încadrează în legea finalităţii sistemelor econometrice. Ieşirile sunt în formulă compusă, primul element definitoriu al producţiei. Producţia este deci, un sistem condus, dirijat către un anumit scop, către o finalitate ce este

orientată către ieşirile din sistem. Pe lângă legea finalităţii, sistemele trebuie să se supună legii optimalităţii conform căreia

realizarea obiectivului să se facă pe calea cea mai avantajoasă din punct de vedere economic.

27

Stocările (depozitările) se întâlnesc imediat după intrarea în sistem a elementelor de intrare şi în faţa fiecărei operaţi pentru care apare necesar un timp de staţionare.

Transferul sau deplasarea între operaţiile fluxului se realizează cu toate mijloacele de transport posibile.

În funcţie de stocările necesare şi de transferul între operaţii, există procese de producţie continue sau discontinue.

2.2.3 Importanţa conceptului de sistem managerial econometric

Conceptul de sistem permite punerea în evidenţă a numeroşilor factori care contribuie la evaluarea deciziei.

Luarea deciziilor fără o referinţă la un sistem econometric concret va fi hazardată. Raportarea rezultatelor oricărei acţiuni economice la structurile din sistemul econometric

în care au concurat la obţinerea unui rezultat ar mări şansele unor rezultate ulterioare, adoptând unele decizii în funcţie de variabilele ce contribuie la reuşita acestora.

Perspectiva sistemică permite explicarea proceselor productive şi econometrice de maximă complexitate şi dinamicitate, a căror esenţe cu greu pot fi scoase în evidenţă cu alte mijloace de investigaţii.

Utilizând conceptul de sistem econometric se încearcă analiza fenomenului economic aşa cum este el, ca un set de elemente în interacţiune.

Conceptul de sistem econometric se foloseşte pentru a explica mecanismul de manifestare a fenomenelor din viaţa economică, sau ca mijloc operaţional pentru a optimiza activitatea economică, prin construirea de modele pe baza comportamentului sistemic.

Sistemul econometric este un concept prin care se delimitează câmpul în cadrul căruia se cercetează procesul obiectiv economic, adică baza obiectivă, structurală temporală şi spaţială.

Cadrul sistemic pune într-o lumină nouă nu numai mijloacele folosite pentru perfecţionarea funcţionării, a conducerii şi a prognozei, ci şi alte aspecte, precum: procesele specifice de autoorganizare şi autoreglare, aspecte privind manifestarea creatoare a individului în grup, explicarea responsabilităţii în comportamentul subiecţilor ca fenomen social.

Conceptul de sistem ajută înţelegerea ideii că procesul managerial are ca obiectiv adecvarea organizării sistemului econometric la mişcarea reală.

Pentru acesta, aspectele esenţiale ale procesului sunt cele de obţinere a informaţiei econometrice şi de utilizare a ei, spre a face posibilă dezvoltarea unor procese specifice de organizare, reglare, stabilizare, de punere în operă în mod eficient a capacităţilor elementelor complexe din care e alcătuit sistemul productiv/econometric.

În conceptul de sistem econometric se poate stabili rolul pe care urmează să-l joace fiecare element al sistemului (stabilirea destinaţiei funcţionale a fiecărui element) şi apoi a legăturilor ce se vor crea în sistem.

2.3. Situaţia decizională econometrică Ea este caracterizată prin reunirea a trei elemente, şi anume: 1. Mulţimea parametrilor independenţi sau a stimulilor (notată S) care definesc condiţiile

obiective şi alcătuiesc variabilele necontrolabile;

28

2. Mulţimea alternativelor raţional posibile sau a reacţiilor (notată R), cu care se răspunde la fiecare stare a condiţiilor obiective şi care alcătuiesc variabilele controlabile;

3. Mulţimea indicatorilor de rezultat (notată I), ce pot fi raţional luaţi în considerare la alegerea criteriului de decizie.

1) Stimulii – În această categorie intră acele elemente ale mediului care nu pot fi modificate în momentul luării deciziei.

Există şi parametri necontrolabili, comuni, sub forma unor restricţii politice şi economice ale ţării, comportarea maşinilor, a inovaţiilor, a unor fenomene legate de forţa de muncă. Parametrii necontrolabili pot fi continui, discreţi sau categorii de stare.

2) Reacţiile – Această mulţime este constituită din totalitatea posibilităţilor ce stau la dispoziţia decidentului pentru rezolvarea unei probleme de decizie. Ca valoare sunt înţelese în cel mai general sens al cuvântului de „valoare” (cantitate, mărime, tip, număr, ş.a.). Mulţimea reacţiilor este generată de mulţimea stimulilor dintr-o stare a naturii.

3) Indicatorii – În stări ale naturii date pentru fiecare variantă raţional aplicabilă, se obţin rezultate, care pot fi caracterizate prin indicatori.

Luarea unei decizii înseamnă alegerea unei variante econometrice de acţiune dintre mai multe posibile, şi se face subordonat cerinţei de optimalitate.

Optimizarea se înfăptuieşte totdeauna relativ la un criteriu. O variantă este mai bună decât alta numai în măsura în care ea satisface mai mult un criteriu decât altul.

Criteriile de decizie sunt: 1. criteriul simplu de decizie; se ia în considerare un singur indicator de rezultat, ceilalţi

fiind neglijaţi sau păstraţi la un nivel constant (optimul relativ). 2. criteriul complex de decizie; constituie o submulţime a mulţimii indicatorilor de rezultat

I, care se ia în considerare la rezolvarea unei probleme de decizie. În cazul criteriilor complexe de decizie se deosebesc mai multe variante: a) se aleg valori limitative pentru toţi indicatorii de rezultat din submulţimea lui I, mai

puţin unul, în funcţie de care se optimizează maximum sau minimum (programare matematică); Exemplu: Producţia în perioada t = Qt B1,B2 – constante Cheltuielile totale în perioada t = Cht Productivitatea muncii WL Atunci:

max[WL] b) Se stabilesc relaţii funcţionale între doi sau mai mulţi indicatori şi se combină într-unul

singur. Exemplu: Cheltuieli echivalente = Cheltuieli din exploatare + Cheltuieli din investiţii

c) Transformarea indicatorilor de rezultat în abateri de la valorile optime. Se stabileşte o matrice A care conţine pe rânduri valoarea unui indicator în fiecare variantă,

iar pe coloane, valoarea tuturor indicatorilor pentru o variantă.

29

Matricea A V

V1 V2 V3 … Vn I I1 a11 a12 a13 … a1n

I2 a21 a22 a23 … a2n

I3 a31 a32 a33 … a3n

… … … … aij … Im am1 am2 am3 … amn

De la matricea indicatorilor de rezultat se calculează elementele unei matrice C

transformate; acestea constituie abateri de la valoarea optimă a indicatorului de rezultat.

Matricea C V

V1 V2 V3 … Vn I I1 c11 c12 c13 … c1n

I2 c21 c22 c23 … c2n

I3 c31 c32 c33 … c3n

… … … … cij … Im cm1 cm2 cm3 … cmn

Σcij Elementele cij se obţin cu ajutorul relaţiei:

cij = ξ

ξ

aij = valoarea optimă a unui indicator. Varianta optimă este aceea care are suma abaterilor cij minimă:

Varianta optimă = varianta min [Σcij] cu aij = elemente din matricea A.

30

CAPITOLUL 3. PRINCIPALELE TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE

3.1. Dependenţe şi interdependenţe între fenomenele economice în tabloul econometric

Teoria economică studiază fenomenele şi procesele economice pornind de la premisa că acestea nu se desfăşoară la întâmplare ci pe baza unor legi proprii, relativ stabile şi relativ repetabile, specifice naturii acestor fenomene. Deoarece fenomenele din economie sunt, în general, cuantificabile, legile economice pot fi descrise sub forma unor legături cantitative (a unor determinări numerice) între aceste fenomene. Acest fapt face posibilă utilizarea statisticii şi matematicii de către teoria economică. În plus, succesele deosebite obţinute de astronomie prin utilizarea metodelor statistico-matematice – descoperirea planetei Neptun, în 1846, ca urmare a calculelor efectuate de astronomul francez Urbain de Verrier (1811-1877) sau a planetei Pluton, în 1930, în urma calculelor efectuate în 1915 de astronomul american Percival Lowell (1855-1916) etc. – au convins economiştii de utilitatea şi necesitatea adoptării acestor metode, adoptare justificată de cel puţin două motive:

1) Atât fenomenele astronomice, cât şi fenomenele economice nu pot fi decât observate; ele nu pot fi nici izolate din mediul real şi nici reproduse în laborator, pentru a fi cercetate în cursul unor experienţe controlate.

2) În economie acţionează anumite legi asemănătoare prin formularea lor cu legile ce se manifestă în alte domenii ale ştiinţei – fizică, chimie, astronomie etc. Istoria doctrinelor (gândirii) economice relevă următoarele exemple în acest sens, cum ar fi:

- legea lui Malthus – în lume, producţia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar populaţia în progresie geometrică;

- legile lui Engel14 – atunci când venitul naţional creşte într-o ţară dezvoltată: a) cheltuielile alimentare cresc într-o proporţie mai mică; b) cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi proporţie; c) cheltuielile pentru bunuri de folosinţă îndelungată cresc într-o proporţie mai mare; - legea lui Pareto descrie polarizarea veniturilor, respectiv un număr tot mai mare de

locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari:

y= (3.1)

unde: x = venitul familiilor; y = numărul familiilor al căror venit este mai mare sau egal cu venitul xk ; y = N (x ≥ xk ); A, a = parametrii funcţiei. 15

14 Legile lui Engel au fost formularizate de Törnqvist prin intermediul următoarelor modele:

a) y = a +u; b) y = a +u; c) y = ax +u;

unde: y = cheltuielile familiilor; x = venitul familiilor; a, b ,c = parametrii modelelor; u = variabila aleatoare.

31

Faptul că o serie din aceste formulări au fost criticate, reformulate sau dezvoltate de teoria economică interesează mai puţin în cazul de faţă. Trebuie apreciată intenţia autorilor de a oferi descrieri riguroase, lipsite de ambiguităţi, cu posibilităţi operaţionale privind explicarea, reglarea şi dirijarea funcţionării mecanismelor economice.

Existenţa obiectivă a acestor legături (legi economice, relativ stabile şi relativ repetabile) dintre fenomenele şi procesele ce formează un sistem economic, reprezintă suportul teoretic pe care econometria îşi fundamentează reflectarea formală a acestora. Aceste legături pot fi descrise cu ajutorul metodelor statistico-matematice. În domeniul economic, deşi există o mare diversitate de modelele, modelarea acestora la orice nivel – micro sau macroeconomic – se pot interpreta cu ajutorul următoarei scheme:

Feed back

la variabilele de intrare

Feed back

la relaţiile modelului

Figura nr.5: Bazele constitutive ale modelului analitic/matematic

După cum se vede pe grafic, modelul comportă, în primul rând, o funcţie Y a ieşirilor ca

variabilă dependentă care contabilizează impacturile variabilelor independente X şi ale parametrilor A asociaţi.

Dacă ne referim la un proces de producţie, de exemplu, analiza economică efectuată pe baza schemei de mai sus, evidenţiază faptul că indicatorii de rezultate yi = Qi – volumul producţiei globale, marfă sau nete – depind atât de volumul şi natura factorilor de producţie, respectiv volumul şi calitatea obiectelor muncii (M), volumul şi nivelul tehnic al mijloacelor de muncă (K), numărul, experienţa şi nivelul de instruire al forţei de muncă (L), cât şi de modul lor de interacţiune în cadrul structurii tehnice, organizatorice a procesului de producţie.

15 Vezi, Eugen Pecican, Ovidiu Tănăsoiu, Andreea Iluzia Iacob, Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001, pag.22 şi urm.

Constante şi parametri

θθθθ, A, B

Sistem de relaţii Variabile

X

Ieşiri

Y

32

Cunoaşterea legităţii de variaţie în timp sau în spaţiu a unui indicator de efect economic în funcţie de variaţia factorilor cuantificabili se poate face folosind două modele de lucru:

a) Primul, cel mai frecvent utilizat şi în prezent, îl constituie modelul determinist, care reflectă legătura funcţională dintre elementele de intrare şi de ieşire ale sistemului – variabilele exogene şi variabilele endogene. Pe baza definiţiilor formulate de teoria economică cu privire la elementele obiectului respectiv, statistica economică, utilizând metode proprii, exprimă, printr-un sistem de indicatori, elementele cuantificabile ale sistemului economic. Pe baza parametrilor de performanţă ai sistemului (sau ai indicatorilor de eficienţă a factorilor de producţie) se construiesc modele econometrice deterministe între efecte şi eforturi, explicându-se variaţia variabilelor factoriale şi a indicatorilor de performanţă sau de eficienţă ale acestora. Astfel, în cazul unui proces de producţie, se definesc:

� consumul specific c = Q = c x M (3.2)

� productivitatea muncii W = Q = W x L (3.3)

� eficienţa fondurilor fixe e = Q = e x K (3.4)

Pe baza modelelor deterministe (3.2), (3.3) şi (3.4), de exemplu, prin operaţii simple, se pot obţine modele deterministe ce conţin trei şi patru factori.

Astfel, pe baza relaţiilor (3.3) şi (3.4) se obţine: W x L = e x K

w = e x

w = e x f (3.5)

unde: f = reprezintă înzestrarea tehnică a muncii.

Relaţia (3.1) devine: Q = W x L = e x f x L (3.6) În cazul unui ansamblu de i unităţi sau ramuri economice relaţia (3.6) se însumează:

=

Această relaţie, înmulţită cu termenul se transformă în:

= = (3.7)

unde: gi = Li/ reprezintă structura forţei de muncă.

Modelul (3.6) reflectă dependenţa deterministă dintre efectul economic Q şi cele trei grupe de factori utilizate de analiza economică: factori calitativi, structurali şi cantitativi.

În general, un model determinist se exprimă prin relaţia:

y = f(x), sau y = f(x1, x2,…) (3.8)

33

Modelele deterministe se utilizează curent în practica economică la analiza pe factori a variaţiei, în timp sau spaţiu, a multor fenomene economice. În acest scop, modelul determinist reprezintă suportul teoretic al aplicării metodei indicilor – teritoriali sau dinamici – metodă ale cărei avantaje şi limite sunt bine cunoscute economiştilor.

b) Al doilea model de lucru este reprezentat de modelul econometric – în sensul definirii restrictive a econometriei – care, fundamentându-se pe metoda regresiei (metodă specifică statisticii), descrie legătura statistică sau stocastică dintre intrările sistemului – factorii de influenţă X – şi ieşirile acestuia – variabilele rezultative Y cu ajutorul unui model aleator:

Y = f(X) + U (3.9)

Acest procedeu se bazează pe principiul cutiei negre, principiu cibernetic, care, în economie, se foloseşte atunci când descrierea formală a structurii sistemului este inaccesibilă din cauza imposibilităţii obţinerii informaţiilor necesare, sau când obţinerea acestor informaţii ar necesita cheltuieli excesive, care nu se justifică prin aportul în cunoaştere pe care îl realizează.

Spre deosebire de modelul determinist (3.8), acceptat fără rezerve de teoria şi practica economică, modelul econometric (3.9) introduce în schema de descriere a legităţii de manifestare a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă aleatoare sau întâmplătoare (U).

Aparent, această modalitate de formalizare a legăturilor dintre fenomenele economice ar contrazice teoria economică – fenomenele nu se produc la întâmplare, ci pe baza unor legi proprii, inerente lor – aşa cum s-a afirmat la începutul acestui capitol. Această interpretare este inexactă.

Acceptarea introducerii variabilei aleatoare în vederea explicării legităţii de variaţie a unui fenomen economic concret este cerută de unul din motivele de mai jos:

� apariţia şi variaţia, în timp sau spaţiu, a unui fenomen economic este determinată de un sistem numeros de factori, calitativi şi cantitativi. Imposibilitatea cuantificării anumitor factori precum şi dificultăţile ridicate de rezolvarea unor modele cu multe variabile factoriale conduc la o specificare formală incompletă din punct de vedere economic a obiectului investigat. Această specificare formală incompletă este corectată şi vizualizată cu ajutorul variabilei aleatoare (U);

� legătura cauză-efect nu poate fi cercetată în mod nemijlocit în laborator, aşa cum procedează ştiinţele tehnice, deoarece obiectul economic investigat nu poate fi izolat, extras din mediul economic, ci numai observat prin intermediul datelor statistice. Pe baza acestora, prin intermediul unui model statistico-matematic, legătura obiectivă este estimată, aproximată, prin mijlocirea informaţiei statistice;

� de foarte multe ori, datele statistice provin din observări selective (seriile cronologice având, de asemenea, această particularitate), din sondaje aleatoare, care imprimă tuturor indicatorilor cercetaţi pe baza lor această particularitate statistică. Pentru a justifica concret necesitatea folosirii variabilei aleatoare (U) în cadrul unui model

econometric, cât şi datorită unor inadvertenţe ce se întâlnesc în practică datorită utilizării unor modele de regresie în locul modelelor economice deterministe, va fi abordată succint această problemă.

34

De foarte multe ori, se studiază legătura dintre un indicator al producţiei (Q) şi productivitatea muncii (W), sau dintre productivitatea şi înzestrarea tehnică a muncii (f) cu ajutorul unei funcţii, de regulă, de forma:

Q = a + b x W, sau W = a + b x f . Teoria economică a formulat dependenţa dintre variabilele de mai sus prin intermediul

modelelor deterministe, Q = W x L şi, respectiv, W = e x f. În comparaţie cu acestea, modelele Q = a + b x W şi W = a + b x f sunt afectate de erori de

specificare şi de identificare. Eroarea de specificare este reprezentată atât de neglijarea factorului L – forţa de muncă, sau a eficienţei fondurilor fixe, cât şi de faptul că parametrii modelelor vor fi calculaţi prin estimaţii statistice, ca să nu mai amintim de faptul că, de cele mai multe ori, datele statistice provin dintr-un sondaj. Vizualizarea şi interpretarea corectă a legăturii dintre variabilele respective impune specificarea variabilelor aleatoare în cadrul modelelor econometrice.

Referitor la eroarea de identificare, aceasta constă în alegerea greşită a funcţiei matematice. Funcţia Q = a + b x W arată că, dacă W = 0, atunci Q = a, ceea ce reprezintă o aberaţie economică. În astfel de situaţii modelul va trebui să fie de forma: y = b x x + U.

35

3.2. Sistematizarea modelelor econometrice utilizate în economie

În momentul actual, tipologia modelelor econometrice este extrem de diversificată, tentativa de clasificare a metodelor şi modelelor econometrice este dominată de dificultăţi reale, sistematizarea tipurilor fiind mai pragmatică. (vezi Figura nr.6)

Figura nr.6: Sistematizarea tipurilor de modele econometrice Sursa: Ioan Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007, pag.119

I

Unifactoriale Y= f(x) + u; {x= un singur factor

determinant}

Multifactoriale Y= f(x1,x2,…xi, …xn) + u; {xn= mai mulţi factori

determinanţi}

II Liniare

Y0 = α0 + α1x1 + α2x2 +,…, + u {legături directe când coeficienţii sunt +; legături indirect (inverse) pentru coeficienţi -}

Neliniare (prin logaritmare se pot transforma în model liniar)

III Parţiale {agregare} cunoaştere econometrică Agregate (globale) {dezagregare} cunoaştere econometrică

IV

Statice y = f(x1t,….,xjt,….,xkt) + ut; (t = ), (j = )

Dinamice yt = f( x1t, x2t,t) + ut; cu variabila timp yt = f( xt, yt-k) + ut; model autoregresiv cu valori decalate yt = f( xt,…, xt-j,… xt-k) + ut; (t = ), (j = ) k < t

V Cu o singură ecuaţie

{unifactoriale, multifactoriale, liniare, neliniare, parţiale, agregate, statice, dinamice}

Cu ecuaţii multiple {forma structurală; forma canonică (redusă)}

VI Euristice {forma simplificată a modelului real} Raţionale {exprimare teoretică}

VII Decizionale {fundamentarea deciziilor}

Operaţionale {sunt acceptate ipoteze ce permit aplicarea}

Inte

rdep

ende

nţa

relaţi

onală

într

e di

feri

te ti

puri

de

mod

ele

36

3.2.1 Modele econometrice liniare Dacă între variabile factoriale şi variabila finală, rezultantă se identifică liniaritate, forma

legăturilor se prezintă astfel: y= a0 +a1x1+a2x2+….+u (3.10)

Modelele liniare prezintă o serie de neajunsuri, astfel, anumite elemente de consum nu se modifică liniar cu evoluţia veniturilor (există anumite intervale de saturaţie, spre exemplu produsele alimentare), precum şi faptul că coeficientul de elasticitate nu se manifestă ca potenţial reglator de expresii, cum este coeficientul de regresie.

În situaţia modelelor liniare, coeficientul de regresie este exprimat de parametrii variabilelor factoriale.

Semnul legăturilor este dat de semnul coeficienţilor (+ sau -). Atunci când coeficienţii sunt pozitivi legătura este directă, iar în expresie negativă legătura

este inversă (corectivă). Mărimea coeficientului de regresie este măsură a variaţiei variabilei rezultante (y), la o

modificare cu o unitate a variabilei factoriale.

3.2.2 Modele econometrice neliniare Acestea se identifică prin funcţii matematice neliniare, cum ar fi: funcţia exponenţială,

parabola, hiperbola, funcţia logaritmică etc. Modelul neliniar prin logaritmare se poate transforma într-un model liniar. Astfel, analiza legăturii consumului unui produs cu venitul unei familii se poate face cu un

model de forma: C = a x Vb x u (3.11)

care prin logaritmare se transformă într-un model liniar de forma: log C = log a + b log V + log u (3.12)

unde: C – cheltuielile medii de consum pe o familie V – venitul mediu pe familie.

3.2.3 Modele unifactoriale Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice datorită, mai ales, simplităţii şi, de aici, operativităţii şi costului său redus. Îmbracă forma:

y = f(x) + u (3.13)

Măsura în care alţi factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt neglijaţi sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influenţe întâmplătoare.

3.2.4 Modele multifactoriale

Sunt acele modele de forma: y = f(xi) + u; i = (3.14)

Modelul multifactorial, eliminând deficienţa modelului unifactorial, transformă însă avantajele acestuia în dezavantaje. Din acest motiv, se recomandă ca, în practică, să nu se folosească un model cu mai mult de trei sau patru variabile factoriale.

Structural, modelele multifactoriale sunt de o mare diversitate. Ca regulă generală, ele se construiesc prin dezvoltarea modelului unifactorial al variabilei explicate y. Pe lângă variabila

37

factorială iniţială x1, se introduc fie alte variabile exogene x2, x3, …, xk, fie valori decalate ale acestora xt, xt-1, …, xt-h.

3.2.5 Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Modelele care sintetizează variaţia prin expresii uni-ecuaţionale sunt din categoria celor uni şi multifactoriale, liniare şi neliniare, parţiale sau agregate, statice şi cele dinamice.

Complexitatea fenomenelor economice impune însă formula transpunerii prin ecuaţii multiple.

Forma structurală a modelului econometric semnifică transpunerea ecuaţională formală a fenomenului economic prin formalizare matematică.

Forma generală a modelului econometric cu ecuaţii multiple este: Y1 + b12 Y2 + … + b1nYn + c11X1 + c12X2 + … + c1mXm = U1 b21Y1 + Y2 + … + b2nYn + c21X1 + c22X2 + … + c2mXm = U2 (3.15)

………………………………………………………………. bn1Y1 + bn2Y2 + … + Yn + cn1X1 + cn2X2 + … + cnmXm = Un unde: Yi (i = ) – variabile explicate sau endogene;

Xj (j = ) - variabile explicative sau exogene.

Soluţionarea modelului aflat într-o astfel de formă impune glisarea sa în forma canonică (redusă). Asupra acesteia se aplică metode din categoria „celor mai mici pătrate” (MCMMP):

� MCMMP într-o singură treaptă(M. Wald); � MCMMP în două trepte (H. Theil); � MCMMP în trei trepte (A. Zellner); � Metoda verosimilităţii maxime cu informaţie limitată (Anderson – Rubin).

Un model econometric este sub forma redusă sau canonică dacă fiecare variabilă endogenă este exprimată numai în funcţie de variabile exogene.

3.2.6 Modele econometrice euristice sau raţionale şi modele decizionale

sau operaţionale Modelele euristice (raţionale) sunt folosite în special în teoria economică pentru a explica

pe o cale mai simplă un sistem complex de dependenţe şi interdependenţe care se manifestă în domeniul economic. Modelul teoretic este în fapt o formă simplificată a modelului real deoarece apelează la un număr restrâns de factori neputând include toţi factorii.

Modele decizionale (operaţionale) se regăsesc uzual în practica economică. Deciziile de politică economică se bazează pe modele decizionale, fiind vizualizate elementele esenţiale evolutive ale fenomenului economic, din rândul cărora se extrag punctele de sprijin pentru prognoză.

Diferenţa dintre aceste două tipuri de modele econometrice nu este absolută, un model raţional poate fi utilizat ca un model operaţional dacă pot fi acceptate anumite ipoteze.

38

3.2.7 Modele statice şi modele dinamice Un model econometric static este acela în care dependenţa variabilelor endogene „y” faţă

de valorile variabilelor exogene „xj” se realizează în aceiaşi perioadă de timp:

y= f(x1t, …, xjt, …, xkt) + ut; t = , j = (3.16)

Modelele dinamice se definesc prin următoarele tipuri:

a) Modele cu variabila timp – prin introducerea în pachetul de variabile explicative „xj”, în mod explicit, a variabilei timp, astfel formula de calcul va deveni:

yt = f(x1t,x2t,t) + ut (3.17) Acest model se justifică fie prin existenţa, în unele situaţii, printre factorii de influenţă ai variabilei y a unor factori de natură calitativă (spre exemplu, influenţa preferinţelor consumatorilor asupra volumului vânzărilor sau a progresului tehnic în funcţiile de producţie), fie prin acceptarea ipotezei unui efect inerţial în evoluţia fenomenului y (generată de masa socială )

b) Modele autoregresive - când în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi variabila explicată „y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k, reprezentând un model autoregresiv de ordin „k”:

yt = f(xt,yt-k) + ut (3.18)

c) Modele cu decalaj – în care variabila factorială „x” îşi exercită influenţa asupra variaţiei variabilei „y” pe mai multe perioade de timp:

yt = f(xt,…, xt-1,…, xt-k) + ut ; t = , j = , k<t (3.19)

unde: k – lungimea perioadei de decalaj (lag)

3.2.8 Modele econometrice parţiale şi globale (agregate) Aceste modele rezultă în urma clasificării modelelor econometrice în raport cu sfera lor de

cuprindere. Includerea unui anumit model în clasa modelelor parţiale sau globale este relativă. Pe exemplul concret al modelării consumului populaţiei, modelul consumului alimentar al

populaţiei este un model parţial în raport cu modelul global al consumului total al populaţiei – acesta fiind rezultatul agregării consumului: alimentar, nealimentar şi de servicii. Pe de altă parte, modelul consumului alimentar este un model agregat în raport cu modele parţiale ale consumului pe panele de consumatori ş.a.m.d.

Indiferent de forma modelului econometric, esenţial este faptul că orice descriere econometrică trebuie să se fundamenteze pe o concepţie economică, explicită sau implicită, a fenomenului studiat.

Raportarea modelelor parţiale la modelele globale permite formulare următoarelor aprecieri:

- agregarea modelelor parţiale nu conduce la obţinerea modelului global al variabilei respective;

- modelul global rezultă ca o medie a modelelor parţiale; - în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explicaţie istorică a

dependenţei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate estima pe baza modelelor parţiale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului

39

global de regresie (coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficienţilor parţiali);

- în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă coeficientul global de regresie rămâne stabil.

40

CAPITOLUL 4. MODELUL UNIFACTORIAL

4.1. Definirea şi identificarea unui model unifactorial Modelul unifactorial este folosit în mod frecvent la modelarea fenomenelor economice

datorită, mai ales, simplităţii şi, de aici, operativităţii şi costului său redus. Îmbracă forma:

(4.1)

unde: y = (y1, y2, …, yn) – variabila endogenă, rezultativă sau explicată; x = (x1, x2, …, xn) – variabila exogenă, factorială, cauzală sau explicativă independentă de variabila endogenă y; u = (u1, u2, …, un) - variabila reziduală, aleatoare sau eroare.

Relaţia (4.1) este o ipoteză construită pe baza teoriei economice prin care se presupune

faptul că fenomenul economic y este rezultatul unui complex de factori, dar, doar unul este principal, x. Măsura în care alţi factori posibili să se afle în manifestarea fenomenului economic sunt neglijaţi sau, pot fi incluşi în categoria celor care pot induce doar influenţe întâmplătoare, ei fiind încorporaţi în variabila reziduală, u. Ca orice ipoteză teoretică, ea trebuie validată sau invalidată în urma unor testări statistice.

Spre exemplu, plecând de la teoria economică cererea de bunuri şi servicii (q) în sens microeconomic este o variabilă dependentă, în funcţie de preţ (p) (exprimată prin legea cererii) - variabila independentă - şi alte împrejurări (numite factorii cererii).

Putem aprecia că: (4.2)

Plecând de la valorile preţului exprimate în lei/bucată în funcţie de care variază cantitatea cerută din bunul respectiv, conform comportamentului cumpărătorului raţional, cu cât preţul este mai mare cantitatea de bunuri cerută este mai mică, curba cererii evoluând ca în Figura nr.7:

Tabelul nr.1 Preţul (lei/buc.) Cantitatea (buc.)

20,00 30 18,00 40 16,00 55 15,00 65 13,00 70 11,00 95 10,00 100 9,00 115 8,00 145 6,00 185

41

Figura nr.7: Dependenţa cererii funcţie de preţ O determinare a cantităţii cerute doar în funcţie de evoluţia preţului este, desigur,

simplistă, politica economică, ca şi rezultatele economice nu se pot încadra doar în aprecieri cantitative pozitive sau negative, ci într-o arie definitorie a optimului cantitativ.

În economie este, de asemenea, posibilă raportarea unui proces sau fenomen necunoscut la unul cunoscut, respectiv la categorii de cunoaştere sesizată.

Datele certe furnizează concluzii certe, iar cele aproximative intră sub incidenţa statistică, furnizând date aproximative.

Ştiinţa economică, în esenţă, este cantitativă, şi prin măsurări, deci prin înlăturări de nedeterminări, se stabilesc raporturi între obiectele şi fenomenele, respectiv procesele, măsurate.

Este sesizat întotdeauna un anume izomorfism între realitate şi model. Descoperirea legăturilor constante între relaţiile economice obiectivează imaginea

structurală a obiectului, fenomenului sau a procesului economic. Starea de suficienţă explicativă a evoluţiilor economice rezultă din suficienţa statisticii,

întrucât măsurarea operează asupra cantităţilor care sunt înscrise în orizonturile aşteptate, productive şi reproductive.

Toate obiectele, fenomenele şi procesele economice se pot măsura, nu este obligatoriu, însă, ca în primă faza aceste raporturi matematice să devină şi expresii matematice.

În alte cazuri, ştiinţa computaţională, prin expresii matematice prealabile, anticipează raporturile matematice economice. Chiar legile din economia politică sunt raporturi între cantităţi măsurabile.

Alternativ, prin măsurarea economică sunt aşteptate rezultate distincte, punctuale sau rezultate medii.

În practică, în ştiinţa economică sunt aşteptate rezultatele medii care reflectă desfăşurarea individuală a obiectului, fenomenului sau procesului economic.

Realităţile economice reprezintă câmpul de verificare al teoriei economice. Noţiunile economice formulate pe baza observaţiilor pot structura raţionamente, care la rândul lor cristalizează teorii. Raţionamentele intră sub incidenţă deductivă.

Sesizarea cantitativă şi calitativă a unui fenomen economic conduce la cunoaşterea sa, în corelaţie cu legităţile generale.

Elementele de algoritm general de mai sus sunt completate de practica analizelor de senzitivitate a modelelor, când variaţiile infinitezimale pot provoca schimbări în procesările de ansamblu. De aceea, raportul cauză-efect este posibil să fie perceput ca un raport de echilibru.

42

Această perspectivă asupra evoluţiei realităţilor economice ne ajută să avem o viziune mai largă, astfel, funcţia deterministă (4.2) se transformă în:

(4.3)

unde: u = variabila reziduală cuprinde toţi factorii cantitativi şi calitativi a căror influenţă este neglijată sau au efecte întâmplătoare.

Identificarea modelului constă în alegerea unei funcţii/sau a unui grup de funcţii matematice, cu ajutorul căreia/cărora se urmăreşte să se aproximeze valorile variabilei endogene y numai în funcţie de variaţia variabilei exogene x. Gama de funcţii matematice, liniare sau neliniare, care se pot utiliza în acest sens este largă. Dintre acestea menţionăm următoarele:

- funcţia liniară: y=a+bx+u - funcţia semilogaritmică: y=a+b log x+u

y a>0;b<0 a,b>0 y b>0

a<0;b>0 b<0

0 x 0 x

- funcţia putere16 şi funcţia logaritmică: - funcţia inversă (hiperbola):

y=a xb+u şi log y=a+b log x+u

y b>1 y b=1 b>0 nivel de saturaţie

0<b<1 a b<0 b<0 0 x 0 x

16 Menţionăm că funcţia putere prin logaritmare se transformă într-o funcţie logaritmică.

43

- parabola de gradul II - funcţia lui Konius y=a+bx+cx2+u y=x(a+b log x)+u

y a<0; b,c>0 y a>0; b>0 yM yM

a,c>0; b<0 a>0; b<0 a,c<0; b>0

ym 0 x 0 x

- funcţiile lui Tornquist - funcţia logistică

I. I.

II. II.

III. III.

y nivel de saturaţie III y

aII II nivel de saturaţie nivel de saturaţie c (b>0)III I(b<0) aI I II (b<0)

0 c x 0 x

Alegerea unei funcţii matematice ca funcţie de regresie a unui model econometric se face

pe baza valorilor reale sau empirice ale celor două fenomene economice, sistematizate, fie în serii cronologice (de timp), fie în serii spaţiale.

În cazul modelului unifactorial funcţia de regresie se numeşte regresie simplă deoarece implicate în model avem o variabilă dependentă şi una independentă. Ea este şi liniară atunci când relaţia dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte.

O primă apreciere asupra distribuţiei variabilelor x şi y o vom avea dacă realizăm diagrama de împrăştiere a valorilor, de fapt reprezentarea într-un sistem de axe a punctelor având

44

coordonatele xi şi yi. Analiza vizuală a organizării şi formei norului de puncte obţinut poate oferi indicii importante asupra relaţiei dintre variabile. Datele de sondaj vor susţine ipoteza asocierii între variabile dacă forma norului de puncte se apropie de o curbă funcţională. Astfel, se pot aprecia asocieri liniare, curbilinii etc. Dacă în norul de puncte nu se poate distinge o tendinţă, se va spune că variabilele nu sunt corelate.

În figura de mai jos sunt ilustrate câteva tendinţe identificabile direct. Cazul (a) ilustrează o asociere pozitivă, (b) – o asociere negativă, (c) – lipsă de asociere,

(d) – asociere curbilinie.

(a) (b) (c) (d)

Figura nr.8: Asocierea dintre variabilele modelului

Relaţiile de interes pentru regresia liniară sunt cele ilustrate în cazurile (a) şi (b), unde este identificabilă o tendinţă liniară în norul de puncte.

Plecând de la exemplul de mai sus construim corelograma dintre cele două variabile. Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin puncte. (vezi Figura nr.9)

Figura nr.9: Corelograma cererii funcţie de preţ

Prin alegerea liniei de tendinţă care aproximează cel mai bine funcţia putem identifica ecuaţia (R2 – coeficientul de determinare - trebuie să aibă o valoare cât mai apropiată de 1). (vezi Figura nr.10)

45

Figura nr.10: Linia de tendinţă a evoluţiei cererii funcţie de preţ Astfel, cazul în discuţie se apropie cel mai bine de forma unei funcţii exponenţiale:

(4.4)

, deoarece y trebuie să fie pozitiv, iar care ne relevă legătura indirectă dintre cele

două variabile; care prin logaritmare se transformă în: (4.5)

unde, dacă notăm: ln a = a1 şi ln u = u1 obţinem o funcţie logaritmică:

(4.6) .

4.2. Estimarea parametrilor modelului unifactorial

Parametrii unui model econometric sunt reprezentaţi de coeficienţii funcţiei de regresie acceptată în etapa de identificare a acesteia. Aceşti parametrii fiind necunoscuţi ei vor trebui estimaţi pe baza datelor experimentale sistematizate în seriile statistice ale celor două variabile y şi x, prin valorile yi, xi, i = .

Funcţiile de regresie ale unui model unifactorial pot fi funcţii liniare, sau funcţii neliniare dar care pot fi liniarizate prin procedee ca: logaritmarea, schimbarea de variabile şi fixarea arbitrară a valorii unor parametri.

Liniarizarea prin logaritmare 1) Dacă plecăm de la modelul neliniar exprimat prin funcţia putere:

(4.7)

prin logaritmare obţinem:

(4.8) .

46

2) Dacă avem modelul neliniar exponenţial:

(4.9)

prin logaritmare obţinem:

(4.10) .

Liniarizarea prin schimbarea de variabile Fie modelul neliniar:

yi = a0 +a1xi + a2xi2 + … + akxi

k + ui (4.11);

dacă notăm cu: x1i = xi; x2i = xi

2;…; xki = xik; se obţine modelul liniar multifactorial de forma:

yi = a0 +a1x1i + a2x2i + … + akxki + ui (4.12).

Liniarizarea prin schimbarea arbitrară a valorii unor variabile Acest procedeu se poate aplica doar atunci când pe baza unei analize economice a

fenomenelor studiate, se poate evalua valoarea unui parametru. Astfel, dacă luăm exemplul funcţiei logistice:

(4.13)

care se pretează la descrierea evoluţiei consumului (y) unui anumit produs în funcţie de venitul consumatorului (x) şi având în vedere faptul că: consumul unui anumit produs are anumite limite/ un nivel de saturaţie, nivel exprimat de parametrul (e) al funcţiei logistice; constanta (c) putând să ia, spre exemplu, valoarea pe care consumul produsului a atins-o într-o ţară dezvoltată unde acesta s-a stabilizat, funcţia logistică poate fi transformată într-una liniară:

(4.14) .

Dacă notăm cu ajungem la forma ecuaţiei liniare:

(4.15) .

47

Metodele pe baza cărora se pot calcula parametrii unui model econometric sunt: a) metoda punctelor empirice; b) metoda punctelor medii; c) metoda celor mai mici pătrate; d) metoda celor mai mici pătrate generalizată; e) metoda verosimilităţii maxime cu informaţie limitată sau completă17.

Dintre toate metodele mai sus menţionate cea mai des utilizată este metoda celor mai mici pătrate. Primele două metode nu asigură o rigoare statistică a calculelor, iar celelalte două metode au o valoare mai mult teoretică, deoarece în economie, ipotezele pe care se fundamentează pot fi acceptate doar cu multă reţinere.

Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) pleacă de la următoarele relaţii:

unde: yi, xi = valorile reale ale celor două fenomene economice existente în seriile statistice ale acestora; a = este interceptul (locul pe ordonată unde dreapta de regresie se intersectează cu Oy, valoarea lui y pentru x=0); b = este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică y atunci când x creşte (scade) cu o unitate);

= valorile teoretice ale variabilei y, obţinute numai în funcţie de valorile factorului esenţial xi şi

de valorile estimatorilor/parametrilor a şi b, respectiv şi ;

= estimaţiile valorilor variabilelor reziduale ui.

Prin MCMMP minimizăm funcţia:

17 Vezi E. Şt. Pecican, Econometria pentru…economişti. Econometrie - teorie şi aplicaţii, Ediţia a treia, Ed. Economică, Bucureşti, 2007, p.75-80

48

Sistem de ecuaţii ce se transformă în final în:

din care se vor calcula valorile estimatorilor:

- estimaţia parametrului a:

;

- estimaţia parametrului b:

(4.20) ;

- dispersia variabilei x:

- covarianţa dintre variabilele y şi x:

49

- coeficientul de corelaţie liniară a celor două variabile:

unde: R= coeficientul de corelaţie dintre X şi Y; = abaterea standard a variabilei Y;

= abaterea standard a variabilei X.

Spre exemplu, zece subiecţi sunt testaţi de Departamentul de Resurse Umane al firmei în ceea ce priveşte nivelul de creativitate (Y) şi stilul caligrafic (X) al grafiei lor. Au fost obţinute următoarele rezultate:

Tabelul nr.2

Pentru determinarea coeficienţilor ecuaţiei de regresie a şi b vom utiliza ca modalitate de calcul metoda celor mai mici pătrate. Această metodă nu necesită cunoaşterea valorii coeficientului de corelaţie, a mediei sau a abaterii standard a variabilelor implicate. De aceea metoda este utilă în cazurile în care cunoaştem doar datele brute.

Pentru calculul lui a şi b avem următorul sistem de ecuaţii:

unde: n = numărul de cazuri ale unei variabile.

Nr. crt. X Y 1 17 11 2 13 15 3 15 14 4 11 18 5 19 10 6 10 19 7 12 16 8 11 15 9 13 15

10 14 14

50

Calculăm: Tabelul nr.3

Nr. crt. X Y X² XY 1 17 11 289 187 2 13 15 169 195 3 15 14 225 210 4 11 18 121 198 5 19 10 361 190 6 10 19 100 190 7 12 16 144 192 8 11 15 121 165 9 13 15 169 195

10 14 14 196 196

Total 135 147 1895 1918

Obţinem astfel: 10a + 135b = 147 135a +1895b = 1918

În urma rezolvării sistemului de ecuaţii va rezulta: a = 27,08, iar b = -0,91. Astfel, ecuaţia de regresie obţinută va fi de forma:

y = 27,08 – 0,91x Vom face în continuare predicţii ale nivelului de creativitate pornind de la această ecuaţie

în situaţiile în care un subiect ar obţine nota 11, respectiv nota 19 la proba de caligrafie. y1 = 27,08 – 0,91*11 = 17,07 y2 = 27,08 – 0,91*19 = 9,79 Putem observa că între valorile estimate şi valorile efective obţinute sunt câteva diferenţe

(17,07 estimată faţă de 17 obţinută, respectiv 9,79 estimată faţă de 10 obţinută). Aceste diferenţe între valorile reale si cele estimate reprezintă erorile de estimare sau

valorile reziduale. Dacă am calcula toate valorile reziduale şi media lor, am obţine media zero şi abaterea standard ar fi eroarea standard a estimării. Aceasta se interpretează asemănător cu abaterea standard în situaţia unei distribuţii normale a datelor.

Procesul de regresie, aşa cum am văzut mai sus, presupune doi paşi. Primul se referă la determinarea ecuaţiei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecuaţii în predicţie.

Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corelaţie. O asociere puternică între două elemente conduce la creşterea preciziei predicţiei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o corelaţie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă.

51

Calcularea coeficienţilor de regresie a, respectiv b se pot determina, atunci când se cunoaşte valoarea coeficientului de corelaţie dintre cele două variabile X şi Y, media şi abaterea standard a celor două variabile, şi astfel:

unde: R = coeficientul de corelaţie dintre X şi Y; = abaterea standard a variabilei Y;

= abaterea standard a variabilei X.

unde: = media variabilei Y;

= media variabilei X.

Spre exemplu, specialiştii din Departamentul de Resurse Umane din cadrul unei firme au

realizat un studiu pe un număr de 50 de angajaţi pentru a se determina deficitul de atenţie şi tulburările emoţionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a obţinut un coeficient de corelaţie (R) între acestea de 0,80. Utilizând regresia avem posibilitatea să estimăm ce tulburări emoţionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de atenţie şi tipul de relaţie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de atenţie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emoţionale) a fost 16, iar abaterea standard 4. Coeficienţii ecuaţiei de regresie liniară a şi b vor fi:

.

Între caracteristicile estimatorilor un interes aparte îl reprezintă acele calităţi care fac ca estimaţiile să reprezinte cât mai fidel valorile adevărate ale parametrilor, adică acele valori care reprezintă pentru econometrician aportul fiecărui factor la modificarea variabilei-efect. Estimatorii pot fi nedeplasaţi, consistenţi şi eficienţi.

Estimatorul nedeplasat, este acel parametru a cărui mărime rezultată prin aplicarea

metodei de estimare ( nu se abate sistematic de la valoarea adevărată (a,b) aşa încât dacă avem

k eşantioane de aceiaşi dimensiune n, media estimatorilor obţinuţi pe baza datelor din aceste eşantioane r fi egală cu valoarea adevărată ( .

Estimatorul consistent vizează acea proprietate a estimatorului care interesează calitatea

metodei de estimare de a oferi soluţii ( care se apropie de adevăratele valori (a,b) cu o

probabilitate din ce în ce mai mare pe măsură ce numărul de unităţi ce formează eşantionul creşte.

52

Abordând, pentru început, cazul general, afirmăm că estimatorul (pentru parametrul a

reprezentând fie media, fie dispersia, fie parametrul de regresie) obţinut în urma prelucrării datelor unui eşantion de n unităţi este consistent dacă:

unde: m=număr pozitiv oricât de mic Dacă egalitatea este adevărată, afirmăm că secvenţa de valori aleatoare ( ), valori

obţinute pentru n din ce în ce mai mare, converge în probabilitate spre constanta a. Aşadar, constanta a reprezintă limita de probabilitate a secvenţei , ceea ce exprimăm prin :

Revenind la parametru de regresie b şi la estimatorul acestuia se poate argumenta că:

cu o probabilitate care devine tot mai apropiată de 1 pe măsură ce

dimensiunea eşantionului n creşte.

Estimator eficient (eficace) se referă la calitatea estimatorului de a reprezenta, în raport

cu valoarea adevărată b, o estimaţie nedeplasată având totodată o împrăştiere (evaluată de dispersie) mai mică decât a altor estimatori obţinuţi prin alte metode. Eficienţa este legată de precizie, întrucât o împrăştiere mică a rezultatelor estimării în raport cu valoarea adevărată atribuie metodei de estimare calitatea de a fi precisă, eficace, performantă. Pentru a aprecia mărimea împrăştierii şi pentru a putea obţine o dispersie în condiţii normale sunt necesare mai multe eşantioane(secvenţe ale unei serii de date) abordate printr-o anumită metodă,

obţinându-se mai multe estimaţii care, în raport cu b, prezintă o împrăştiere mai mică decât dacă

aceleaşi eşantioane ar fi fost prelucrate cu altă metodă. Pentru obţinerea estimaţiei intervalului de încredere pentru parametru regresiei b ne sunt necesare elementele:

- estimaţia punctuală ;

- repartiţia estimaţiei parametrului care, acceptând normalitatea repartiţiei variabilei reziduale, este cea normală. Pentru valorile standardizate18 ne este dată probabilitatea de

a ne situa în intervalul Variabila standardizată pentru estimaţia va rezulta

astfel: = Dacă avem în vedere că dispunem, de regulă, de un eşantion mic de

valori (ceea ce face ca în loc de să preferăm testul t Student) indicatorul este de cele

mai multe ori necunoscut, urmând a-l estima ( iar , variabila normată devine

.

Considerând că variabila normată construită pe baza estimaţiei punctuale este perfect compatibilă cu valorile normate pentru care se cunosc probabilităţile în tabelul respectivei repartiţii, astfel încât pentru un risc apriori stabilit α, putem defini intervalul:

18 Conform tabelului distribuţiei normale reduse (standard) - z

53

În această relaţie observăm:

- intervalul de încredere reprezentat de distanţa dintre şi

dependentă în mare măsură de împrăştierea estimaţiei ;

- nivelul de încredere α reprezintă probabilitatea de a comite o eroare de genul I (de a infirma o ipoteză deşi ea este adevărată). De regulă, se consideră α =0,05 (sau 5%), α =0,01 (sau 1%);

- coeficientul de încredere (1-α) este mărimea complementară a nivelului de încredere exprimată în raport cu unitatea (0,95; 0,9) sau în procente (95%, 99%);

- valorile critice sunt reprezentate de nivelul inferior, respectiv, de nivelul superior al intervalului de încredere.

4.3. Ipotezele modelului liniar

Clasa modelelor liniare poate fi exprimată prin relaţia:

y = α1x1 + α 2x2 +…+ α pxp + u (4.28)

unde:

y = variabila dependentă (explicată, endogenă, rezultativă), x = vectorul variabilelor independente (explicative, exogene), de dimensiune 1×p, α = vectorul coeficienţilor, de dimensiune p×1, parametrii modelului, u = o variabilă, interpretată ca eroare (perturbare, eroare de măsurare etc.).

Observaţii 1. Liniaritatea relaţiei se referă la coeficienţi şi nu la variabile. Astfel, modelul:

y = α1x12

+ α2 +…+ α3 + u (4.29)

este tot un model liniar.

2. Considerând că x1 este constant egală cu 1, se obţine un model liniar care include un termen constant (termenul liber al modelului).

3. Pentru p=2 şi x1=1 se obţine modelul liniar simplu/ unifactorial, dreapta de regresie (y =

α1+ α2x+u). 4. Utilitatea principală a unui model liniar este aceea de predicţie a valorii lui y din valorile

cunoscute ale variabilelor x. 5. Un coeficient αi are interpretarea: modificarea cu 1 a valorii variabilei xi produce o

modificare a valorii y cu αi unităţi. Deoarece scalele de măsură sunt, în general, diferite, interpretarea în acest sens a coeficienţilor poate deforma imaginea importanţei variabilelor

54

independente în model. Din acest motiv se introduc coeficienţii de regresie standardizaţi (bi,

i= definiţi drept coeficienţii de regresie estimaţi ai modelului:

=b1 + b2 + … + bp (4.30)

în care nu există termen liber, iar variabilele şi sunt variabilele standardizate, prin

standardizare înţelegându-se transformarea de tipul = .

Coeficienţii de regresie standardizaţi au interpretarea: modificarea cu o abatere standard a valorii variabilei x produce o modificare cu bi abateri standard a valorii variabilei dependente. În acest fel, mărimea coeficienţilor standardizaţi reflectă importanţa variabilelor independente în predicţia lui y.

Presupunem că avem un set de n observaţii efectuate asupra variabilelor implicate în model. Prin urmare dispunem de (xi1, xi2, . . . . , xip, yi), i = .

Notând cu y vectorul de tip n×1 având drept componente valorile măsurate pentru variabila y, cu X matricea (xij)n×p a valorilor măsurate pentru variabilele x şi cu u vectorul de tip n×1 având drept componente valorile erorilor, modelul se rescrie în relaţia matriceală:

y = α X + u (4.31)

Ipotezele modelului ar putea fi sintetizate după cum urmează:

1) Matricea de experienţe, n observaţii pentru p variabile, este fixată: Xn×p nu este stocastică. În plus, n > p. Altfel spus, datele obţinute corect (fără erori sistematice de observare) sunt în număr suficient de mare (peste numărul de parametrii care urmează a fi estimaţi) astfel încât soluţiile să prezinte stabilitate.

2) X este de rang p (coloanele sunt liniar independente – formează o bază a unui spaţiu vectorial p-dimensional).

3) a) Valorile variabilei reziduale sunt independente (nu sunt corelate) adică nu există fenomenul de autocorelare a erorilor:

cov(ui,uj) =0, pentru

b) Variabila reziduală prezintă o împrăştiere (dispersie) egală pentru diferitele segmente de valori xi, altfel spus, dispersia este constantă şi independentă de variabila xi: σ2(ui/xi) = M[ui – M(ui/xi)]

2 = M[ui2/ xi] = σ2 , deoarece M(ui) =0.

c) Vectorul de perturbaţii (n-dimensional) u constă din n variabile aleatoare cu media 0 şi urmează, fie şi asimptotic, o repartiţie normală (vectorul u este o variabilă aleatoare n-dimensională normală):

M(ui) = 0 u ~ N(0, σ2).

55

Este evident că reziduurile constituie estimaţii ale erorilor ui. Se poate demonstra că:

unde:

= dispersiile reziduurilor

= dispersiile teoretice ale reziduurilor.

Este de notat că numitorul este egal cu numărul gradelor de libertate a sumei de la numărător (n observaţii din care am obţinut p estimaţii).

De remarcat că ultima ipoteză, a normalităţii, este, mai degrabă, o ipoteză simplificatoare decât una restrictivă, cum sunt primele două. Aceasta deoarece erorile se datorează, în general, în procesele studiate, acţiunilor simultane ale unor factori aleatorii, ceea ce prin teorema de limită centrală conduce la concluzia că u, ca sumă a lor, tinde spre o repartiţie normală.

4.4. Verificarea ipotezelor modelului liniar

Prima ipoteză, conform căreia variabilele x şi y sunt corecte şi nu sunt afectate de erori

de măsură, ar putea fi apreciată ca „de la sine înţeleasă”, totuşi există o serie de aspecte care îndreptăţesc menţionarea explicită, deşi nu unanim acceptată a problemei calităţii datelor, respectiv autenticitatea şi veridicitatea acestora.

Variabilele economice se introduc într-un model econometric (yi = y1, y2,…, yn; xi = x1, x2,…,xn; n = numărul unităţilor observate) cu valorile lor reale sau empirice. Aceste valori se pot obţine: fie pe baza sistemului informaţional statistic (banca de date) şi/sau evidenţa financiar-contabilă, fie prin efectuarea de observări statistice special organizate – de tipul anchetelor statistice.

Dacă un model economic se construieşte cu date false sau afectate de erori de măsură, el va căpăta aceste deficienţe, fiind compromis sub aspect operaţional. Deoarece problema autenticităţii datelor economice ţine de domeniul statisticii economice19, ne vom rezuma numai a aminti că datele statistice care privesc variabilele economice specificate în model trebuie să fie culese fără erori sistematice de observare şi de prelucrare, îndeplinind condiţiile de omogenitate. Omogenitatea datelor presupune:

o colectarea lor de la unităţi statistice omogene; o reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de cuprindere

ale acestora în timp sau în spaţiu; o descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări

fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat; o exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă, în mod

special, la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale.

19 Vezi regula celor trei sigma, regulă care constă în verificarea următoarelor relaţii: şi

, dacă valorile se încadrează în aceste intervale ipoteza se acceptă fără rezerve.

56

Neconfirmarea celei de-a doua ipoteze, independenţa variabilelor exogene - specifică modelelor multifactoriale -, este semnalată prin noţiunea de multicoliniaritate

20. Cea mai simplă metodă de detectare a multicoliniarităţii este bazată pe studiul matricei de

corelaţie dintre variabilele x. Se pot determina astfel perechile de variabile independente care sunt puternic corelate între ele. O structură mai complexă a intercorelaţiilor poate fi detectată prin calcularea determinantului acestei matrice de corelaţie. O valoare apropiată de zero a determinantului reflectă o puternică corelaţie între anumite variabile, deci existenţa multicoliniarităţii.

O altă abordare a problemei este aceea a stabilirii unui indicator sintetic pentru a decide dacă o variabilă este coliniară cu celelalte (sau cu un grup dintre celelalte). Notând cu Ri

2 coeficientul de determinare21 obţinut la estimarea regresiei multiple având ca variabilă dependentă pe xi şi ca variabile independente restul variabilelor x, adică:

xi = f(x1,x2,…,xi-1, xi+1,…,xp)

se introduce toleranţa variabilei xi prin:

τ i = 1 − Ri2

O valoare mică a lui τi (uzual mai mică decât 0,1) reflectă un coeficient Ri2 apropiat de 1,

deci o legătură liniară puternică între xi şi restul variabilelor independente. Prin urmare xi este coliniară cu celelalte variabile independente.

Se defineşte factorul de inflaţie a varianţei (variance inflating factor), notat VIF, inversul toleranţei:

VIF i =

Denumirea provine din aceea că un asemenea factor apare multiplicativ în definirea

varianţei coeficienţilor estimaţi (se poate spune că se măsoară de câte ori este supraevaluată varianţa coeficienţilor datorită multicoliniarităţii în raport cu situaţia când nu ar exista coliniaritate). Interpretarea este dedusă din cea a toleranţei: o valoare VIF mare (uzual mai mare decât 10), denotă multicoliniaritate.

Eliminarea multicoliniarităţii

O rezolvare comună a problemei multicoliniarităţii este aceea ca dintre două variabile independente corelate să se reţină în model doar una.

Prin interpretarea toleranţelor sau a factorilor de inflaţie se vor exclude din model acele variabile care au toleranţe mici (sau factori de inflaţie mari).

20 Termen introdus de R. Frisch, Statistical Confluence Analysis by Means of Complete Regression Systems, Institute of Economics, Oslo University, 1934 21 Vezi subcapitolul 4.6. Evaluarea modelului de ajustare

57

Cea de-a treia ipoteză vizează trei aspecte legate de variabila aleatoare ui, pe de-o parte, ca valorile variabilei reziduale u să fie necorelate, adică nu există fenomenul de autocorelare a erorilor, pe de altă parte, erorile au dispersii egale (sunt homoscedastice)şi nu diferite

(heteroscedastice) şi, de asemenea, variabila aleatoare urmează o distribuţie normală. Depistarea autocorelării erorilor se face utilizând următoarele procedee:

- Procedeul grafic vizează realizarea corelogramei între valorile estimate ale variabilei endogene şi valorile variabilei reziduale .

ûi

ŷi

Figura nr.11: Corelograma între valorile estimate ale variabilei endogene şi valorile variabilei reziduale

O regularitate a graficului semnalează o corelare a reziduului. Totuşi, trebuie menţionat că prin grafic nu putem decât semnala prezenţa autocorelării, decizia finală trebuie însă luată pe baza aplicării unui test statistic adecvat cum ar fi: testul Durbin-Watson sau testul Breusch-Godfrey.

- Autocorelarea reziduurilor se poate verifica şi pe baza calculării coeficientului de autocorelare de ordinul I:

(4.42)

Acesta este definit în intervalul [-1,1]. Dacă valoarea sa este de -1 avem o autocorelare strict negativă, dacă este 0 variabilele sunt independente, iar dacă este +1 autocorelarea este strict pozitivă.

- Testul Durbin-Watson constă în calcularea valorii:

Această valoare empirică DW, se compară cu două valori teoretice, d1 şi d2, preluate din tabelul distribuţiei Durbin-Watson în funcţie de un prag de semnificaţie α, arbitrar ales, (α=0,05 sau α=0,01), de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate (n,n≥15). Regula de decizie a aplicării testului este: Dacă: 0<DW<d1 - autocorelarea este pozitivă; d1≤DW≤d2 - indecizie;

58

d2<DW<4-d2 - erorile sunt independente; 4-d2≤DW≤4-d1 - indecizie; 4-d1<DW<4 - autocorelarea este negativă. Cei doi autori, acceptând ipoteza de normalitate a variabilei reziduale, au demonstrat că distribuţia variabilei aleatoare d este cuprinsă între două distribuţii limită, d1 şi d2, ale căror mărimi depind de pragul de semnificaţie α, de numărul de variabile exogene (k) şi de valorile observate (n,n≥15). Dezvoltând relaţia lui DW aceasta devine:

Pentru un n suficient de mare cele trei sume, , fiind

aproximativ egale, relaţia de mai sus se transformă în:

Se notează cu coeficientul de autocorelare de ordinul I al reziduurilor ui şi

atunci rezultă:

unde: .

Dacă DW=4 şi r1=-1 avem o autocorelare strict negativă, dacă şi r1

nu ne putem pronunţa, dacă DW=2 şi r1=0 variabilele sunt independente, dacă

şi r1 nu ne putem pronunţa, iar dacă DW=0 şi r1=1 autocorelarea este

strict pozitivă. - Testul Breusch-Godfrey este utilizat în vederea depistării unei autocorelării de ordin

superior. Ca urmare a presupunerii existenţei unei autocorelări de ordin superior se construieşte următorul model:

unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia toţi coeficienţii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt care implică non-existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor. În vederea utilizării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ui, obţinute în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate asupra modelului iniţial. Variabila reziduală ui este regresată apoi în funcţie de variabilele exogene iniţiale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ui-1, ui-2, …, ui-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma:

59

Presupunând că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub forma unui χ2

α,v, pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu: v=p, unde p = mărimea decalajului, respectiv: .

Dacă BG> χ2α,v, ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că există cel puţin un

coeficient de autocorelare nenul. În general, autocorelarea erorilor este provocată de două cauze: fie faptul că variabila

endogenă y se autocorelează în evoluţia sa (ca urmare a unui efect inerţial) generând o autocorelare în timp a erorilor, fie datorită omiterii unei variabile exogene x, cu influenţă semnificativă asupra lui y, adică a unei erori de specificare a modelului econometric.

Eliminarea fenomenului de autocorelare a variabilei reziduale ui se fundamentează pe evitarea cauzelor care îl generează.

Dintre modalităţile de a evita consecinţele statistice pe care le generează acest fenomen menţionăm:

- Aplicarea metodei celor mai mici pătrate generalizate în vederea estimării parametrilor modelului care, în cazul autocorelării reziduurilor, permite obţinerea de estimatori nedeplasaţi, consistenţi şi eficienţi. Această metodă se utilizează atunci când avem modele multifactoriale, numărul variabilelor explicative fiind mai mare de unu.

- În cazul modelului unifactorial de forma: se estimează parametrii

acestuia, a şi b, cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate. Se determină valorile ajustate ale variabilei endogene:

(4.49)

şi reziduurilor:

(4.50)

şi se aplică testul Durbin-Watson. Dacă ipoteza de independenţă a variabilelor reziduale nu poate fi acceptată aceasta presupune o autocorelare de ordinul întâi a erorilor, respectiv:

unde: zi = variabila reziduală de medie zero şi dispersie constantă. Ştiind că

.

Dacă înlocuim relaţiile (4.50) şi (4.52) în relaţia (4.51) obţinem:

În ecuaţia de mai sus variabilele yi şi xi sunt cunoscute, iar valoarea coeficientului de autocorelaţie se va calcula cu relaţia:

60

Se introduce valoarea acestuia în relaţia (4.53) şi se vor estima parametrii a şi b prin

aplicarea din nou a metodei celor mai mici pătrate. Fie şi estimaţiile parametrilor a şi

b, calculate pe baza diferenţelor de ordinul întâi a variabilelor y şi x. Se ajunge la modelul:

(

unde: ( = diferenţele teoretice (ajustate) de ordinul întâi ale variabilei

endogene y, calculate pe baza funcţiei de regresie. Se pot utiliza şi alte metode de eliminare a autocorelării erorilor cum ar fi: procedeul prin baleiaj –Hildreth-Lu, procedeul iterativ al lui Cochran şi C. Orcutt, procedeul Durbin şi altele.22 În baza ipotezei de homoscedasticitate a variabilei reziduale (3) se poate admite că legătura

dintre cele două variabile y şi, respectiv, x este relativ stabilă. Contrariul homoscedasticităţii este heteroscedasticitatea, care înseamnă că erorile nu au

dispersiile egale ci diferite. Dacă dispersiile nu sunt egale, estimatorii rămân nedeplasaţi, dar nu mai sunt eficace,

MCMMP conducând la o subestimare a parametrilor modelului influenţând sensibil şi calitatea diferitelor teste statistice aplicate acestuia.

Depistarea heteroscedasticităţii23 se poate realiza prin mai multe procedee dintre care menţionăm:

- Procedeul grafic prin care se construieşte corelograma privind valorile variabilei factoriale x şi valorile variabilei reziduale u. Dacă pe măsura creşterii/scăderii valorilor variabile x se observă o creştere/scădere a valorii variabilei u înseamnă că acestea sunt corelate şi nu independente.

û û x x

a) Corelare pozitivă b) Corelare negativă

22 Vezi E. Şt. Pecican, Op.cit., p. 222-224 şi T.Andrei, R. Bourbonnais, Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008, p.230-233 ş.a. 23 Vezi D.N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd edition, New York, Mc Graw-Hill, 1995, p.369-380; T.Andrei, R. Bourbonnais, op.cit., p.239-266; I.Gâf-Deac, Econometrie, Ed. Fundaţiei “România de Mâine”, Bucureşti, 2007, p.193-196 ş.a.

61

- Procedeul dispersiilor variabilelor reziduale (Testul F, Fisher-Snedecor) se poate aplica atunci când se utilizează serii lungi de date. În acest caz, seria valorilor reziduale ui (care în prealabil a fost ordonată în raport cu mărimea variabilei x) se împarte în două sau mai multe grupe calculându-se dispersiile corespunzătoare (grupa trebuie să conţină cel puţin 5 valori). Dacă seria a fost împărţită în 3 sau 4 grupe se testează perechile de grupe, corespunzător, se obţin perechi de dispersii, urmând ca dispersia cea mai mare dintre cele două să fie plasată la numărătorul raportului F. Dacă numărul de termeni ai seriei este impar se recomandă eliminarea termenului de mijloc al seriei, astfel încât să se ajungă la subeşantioane egale.

unde: k = numărul variabilelor exogene care, întrucât numitorii dispersiilor se simplifică, iar M(ui)=0, se obţine relaţia:

Dacă Fc > Fα, adică valoarea calculată a lui F este mai mare decât

valoarea tabelată24, se infirmă ipoteza de homoscedasticitate, erorile fiind heteroscedastice, eliminarea acestui fenomen făcându-se cu ajutorul metodei regresiei ponderate.

- Calculul coeficientului de corelaţie liniară simplă:

Dacă valoarea coeficientului de corelaţie liniară este aproximativ egală cu zero atunci se acceptă ipoteza de homoscedasticitate.

- Testul Goldfeld-Quandt presupune în prealabil ordonarea datelor astfel încât valorile seriei de date xi să apară în ordine crescătoare. Se elimină un număr de c valori centrate (unde, de regulă, se consideră că c trebuie să reprezinte o treime sau un sfert din numărul total de observaţii) pentru a se face mai evidentă eventuala discrepanţă dintre împrăştierea termenilor din prima parte a seriei ui, respectiv din ultima parte a acesteia. Se aplică MCMMP în fiecare grupă separat (grupă de dimensiune (n-c)/2) şi calcularea sumei pătratelor erorilor pentru fiecare grupă în parte. Calcularea raportului dintre sumele pătratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunzătoare celor două subeşantioane se realizează cu formula (suma pătratelor erorilor având valoarea cea mai mare se plasează la numărător):

24 Valoarea tabelată, corespunzătoare distribuţiei Fisher-Snedecor este prezentată în Anexa 1.

62

unde: k=numărul variabilelor exogene

Dacă Fc > Fα, atunci ipoteza de homoscedasticitate este

infirmată.

- Testul Park se bazează pe existenţa unei relaţii de dependenţă între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabila exogenă x de forma:

(4.60)

unde: ωi = variabila reziduală care verifică ipotezele aferente metodei celor mai mici pătrate Prin logaritmare modelul neliniar (4.33) este liniarizat:

Necunoscând valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice se notează cu ûi

2 pătratul erorilor, astfel relaţia devine:

Ipoteza de homoscedasticitate este verificată dacă parametrul b aferent variabilei exogene x are valoare nesemnificativă, cazul contrar indicând heteroscedasticitatea.

- Testul Glejser presupune că variabila exogenă ar fi cauza heteroscedasticităţii. Astfel dacă se formulează relaţia între variabila exogenă şi erorilor estimate, în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate, asupra modelului iniţial sunt create premisele de testare. După calcularea erorilor, valoarea absolută a acestora este amplasată în regresie, în raport de valorile variabilei exogene. Pentru acest scop între cele două variabile sunt folosite următoarele relaţii:

;

în această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul , caz în care se va aplica

regresia ponderată asupra datelor iniţiale, care vor fi împărţite la xi, rezultând astfel un model de forma:

63

La toate relaţiile de mai sus se poate aplica regresia ponderată asupra datelor iniţiale rezultând modelele aferente. Verificarea homoscedasticităţii erorilor presupune, ca şi în cazul testului precedent, verificarea semnificaţiei parametrului corespunzător variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative în cazul unor eşantioane de dimensiuni mari, iar, în cazul celor de dimensiuni mici, este pur teoretică. Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate realiza prin următoarele

procedee: - Construirea modelului pe baza abaterilor centrate ale variabilelor.

Dacă :

pe baza relaţiilor (4.69), (4.71) şi în baza ipotezelor obţinem:

Notând cu =

= rezultă:

Estimarea parametrului b presupune minimizarea funcţiei:

64

Şi calculul derivatei parţiale a funcţiei:

- Metoda regresiei ponderate. Dacă :

Heteroscedasticitatea presupune că , ceea ce înseamnă:

unde: = coeficient de ponderare.

Estimarea parametrilor modelului presupune minimizarea funcţiei:

Conform relaţiei (4.72) rezultă:

unde: σu

2 şi λi sunt, în general, necunoscute. Însă, în practică, s-a constatat faptul că abaterile standard sunt aproximativ proporţionale

cu valorile variabilei exogene x, adică:

În baza relaţiilor (4.76), (4.79) şi (4.78) obţinem:

Dar relaţia de mai sus este echivalentă cu aplicarea metodei celor mai mici pătrate modelului iniţial, după ce în prealabil a fost împărţit la xi:

65

Calculând derivatele parţiale în raport cu şi ale funcţiilor (4.80) şi (4.81) şi anulându-le

se ajunge la acelaşi sistem de ecuaţii pe baza căruia se determină cei doi estimatori:

Metoda poate fi utilizată în practică pentru modelarea investiţiilor unor întreprinderi de dimensiuni diferite în funcţie de capital, cifră de afaceri şi venit: I=f(K, CA, V)+u.

Legea de probabilitate a variabilei reziduale ui este legea normală, de medie nulă şi abatere medie pătratică constantă ( .

Se ştie faptul că, dacă erorile urmează legea normală şi în baza celorlalte ipoteze putem scrie relaţia:

Plecând de la relaţia de mai sus, în funcţie de diferite praguri de semnificaţie ale lui α, din

tabela distribuţiei normale sau a distribuţiei Student se vor prelua valorile corespunzătoare lui 25.

Verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza unui grafic în cadrul căruia pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y ( , iar pe axa Oy se vor trece valorile

variabilei reziduale . Dacă valorile empirice ale variabilei reziduale se înscriu în banda ,

cu un anumit prag de semnificaţie α, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptată cu acest prag de semnificaţie (vezi Figura nr.12)

25

Valoarea tabelată, corespunzătoare distribuţiei t Student este prezentată în Anexa 2.

66

ûi

0

ŷi

Figura nr.12: Histograma de verificare a ipotezei de normalitate O altă modalitate de verificare a ipotezei de normalitate a erorilor o constituie testul

Jarque-Bera. El reprezintă o cale mai obiectivă fiind fundamentat pe prezumţia că în cazul repartiţiei normale nivelul coeficientul de asimetrie („skewness”) (S) este egal cu zero şi nivelul coeficientului de boltire („kurtosis”) (K)este egal cu 3.Dacă u urmează o repartiţie normală nivelul calculat al „JB” urmează asimptotic distribuţia χ2 cu 2 grade de libertate:

unde: n = numărul de observaţii; S = coeficientul de asimetrie, care măsoară asimetria distribuţiei erorilor în jurul mediei

acestora, care este egală cu zero; K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson, care măsoară boltirea distribuţiei –cât de

„ascuţită” sau de aplatizată este distribuţia comparativ cu distribuţia normală; JB = coeficientul Jarque-Bera care trebuie să fie mai mic sau cel mult egal cu valoarea lui

pentru a verifica ipoteza de normalitate.

67

4.5. Verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric

Verificarea semnificaţiei estimatorilor constă în a accepta, sau a respinge, una din cele două ipoteze:

H0: a,b = 0 H1: a,b ≠ 0.

Testul adecvat în acest scop, şi fiind variabile aleatoare repartizate normal, este testul t

Student. Prin centrarea şi normarea estimaţiilor şi , în cazul ipotezei:

H0: L( )=N(0, ) şi L( )=N(0, )

unde: ) – abaterea medie pătratică a estimatorului ;

– abaterea medie pătratică a estimatorului ;

se obţin valorile: şi care se compară cu valoarea teoretică, astfel:

� tα= variabila normală, dacă i= , n>30, preluată din tabela distribuţiei normale, în funcţie

de o valoare arbitrar aleasă a probabilităţii p sau a pragului de semnificaţie α, p+α=1; aceste valori, de regulă fiind: p=0,9 şi α=0,1; p=0,95 şi α=0,5; p=0,99 şi α=0,01;

� tα,n-(k+1) = variabila student, dacă i= , n≤30, preluată din tabela distribuţiei Student, în

funcţie de valoarea stabilită pentru α şi de numărul gradelor de libertate, n-(k+1); n=numărul observaţiilor; k=numărul variabilelor exogene xj, j= ,(k+1= numărul

parametrilor modelului econometric). Pe baza celor două valori, tcal şi tα,v, regula de decizie a testului este:

� dacă: atunci se acceptă ipoteza nulă, estimatorii nu sunt semnificativ

diferiţi de zero, se renunţă la ei şi la model; � dacă: atunci se acceptă cea de-a doua ipoteză, modelul este corect;

� dacă: atunci se reţine modelul fără termen liber de forma:

y=bx+u . În practică, deoarece t0,05 > 2, economiştii acceptă ipoteza a doua dacă: .

În acelaşi timp, ştiind că şi sunt repartizaţi normal, se poate estima intervalul de

încredere al parametrilor acestora:

68

Parametrii a şi b vor fi consideraţi semnificativ diferiţi de zero dacă:

4.6. Evaluarea modelului de ajustare Modelul econometric , este expresia formală a modelului economic real,

, conceput pe baza teoriei economice şi rezultat pe baza unui singur experiment,

unui singur sondaj statistic. Prin urmare, în această etapă se urmăreşte să se verifice:

1) dacă ipoteza de pornire - x este principalul factor de influenţă al fenomenului y – este corectă sau nu;

2) dacă legitatea economică dintre cele două variabile este de forma y=a+bx; 3) dacă rezultatele obţinute pot fi considerate sistematice – în sensul că se vor obţine aproape

aceleaşi rezultate dacă se va repeta experienţa cu alte sondaje, de volum şi structură (alte unităţi statistice) diferite. În general, scopurile urmărite în această etapă se rezolvă cu ajutorul metodei analizei

variaţiei, cunoscută şi sub numele de metoda ANOVA. Reziduuri mici exprimă o ajustare mai bună a datelor experimentale, dar stabilirea unui

criteriu care să indice cât de mici trebuie să fie reziduurile pentru ca regresia să fie acceptată este o problemă dificilă.

Metoda analizei variaţiei porneşte de la identitatea:

ridicăm la pătrat rezultând:

Prin ridicarea la pătrat a binomului din partea dreaptă a relaţiei (4.88) rezultă:

69

, adică xi şi ui sunt variabile independente, dacă variabilele sunt

homoscedastice (ipoteza 3b). În baza relaţiei (4.90) relaţia (4.89) devine:

Această relaţie arată că variaţia valorilor observate în jurul valorii medii se descompune

într-un termen ce exprimă variaţia valorilor estimate în jurul mediei şi într-un termen datorat reziduurilor ajustării. Prin urmare, regresia estimată va fi cu atât mai bună cu cât ultimul termen va fi mai mic, sau cu cât variaţia valorilor estimate va fi mai apropiată de variaţia valorilor observate. Se alege drept indicator sintetic de precizie a ajustării raportul:

Pentru o bună ajustare a ecuaţiei de regresie la datele experimentale, trebuie ca acest raport să fie apropiat de 1.

Cantitatea R2 se numeşte coeficientul de determinare şi, exprimat procentual, arată cât din varianţa variabilei dependente este explicată de ecuaţia estimată.

deci poate fi interpretat şi în următorul sens: cu cât se îmbunătăţeşte prognoza valorilor y prin considerarea modelului estimat.

Se arată că R2 creşte prin includerea mai multor variabile în model, astfel încât are loc o supraestimare în cazul modelelor extinse. O soluţie propusă este ajustarea coeficientului de determinare prin:

Ca măsură a asocierii dintre y şi ansamblul variabilelor x se introduce coeficientul de

corelaţie multiplă, notat cu R. Poate fi definit drept coeficientul maxim de corelaţie simplă (Pearson) dintre y şi o combinaţie liniară de variabile x. Astfel se explică faptul că valoarea calculată a lui R este întotdeauna pozitivă şi tinde să crească o dată cu mărirea numărului de variabile independente.

Metoda celor mai mici pătrate poate fi astfel gândită ca o metodă care maximizează corelaţia dintre valorile observate şi valorile estimate (acestea reprezentând o combinaţie liniară de variabile x). O valoare R apropiată de 0 denotă o regresie nesemnificativă, valorile prognozate de regresie nefiind mai bune decât cele obţinute printr-o ghicire aleatorie (sau bazate doar pe distribuţia lui y).

70

Deoarece R tinde să supraestimeze asocierea dintre y şi x, se preferă indicatorul definit anterior, coeficientul de determinare, R2, care este pătratul coeficientului de corelaţie multiplă.

Dacă notăm cu:

SPg = ;

SPreg = ;

SPrez = ;

cele trei sume de pătrate care apar în identitatea introdusă la definirea coeficientului de determinare, relaţia (4.93). Sumele sunt referite ca suma pătratelor globală (SPg), suma pătratelor datorate regresiei (SPreg) şi suma pătratelor reziduale (SPrez). Fiecare sumă de pătrate are ataşat un număr de grade de libertate: νg = n-1, νreg = p-1, νrez = n-p şi se poate realiza un tabel al analizei dispersionale (ANOVA) sub forma:

Tabelul nr.4

Sursa de variaţie

Suma de pătrate

Grade de libertate

Media pătrată F

Regresie SPreg νreg SPreg / νreg = s2reg F = s2

reg / s2

Reziduală SPrez νrez SPrez / νrez = s2

Globală SPg νg SPg / νg

Testul F de semnificaţie globală

Primul test utilizat în analiza regresiei este un test global de semnificaţie a ansamblului coeficienţilor (exceptând termenul liber, dacă acesta apare).

Ipotezele testului sunt: H0: α1 = α2 = … = αp = 0

H1: (∃)i, astfel încât αi ≠ 0. În condiţiile ipotezei nule, se demonstrează că statistica F, calculată în tabelul ANOVA

(Fc), este repartizată Fisher-Snedecor Fα,p-1,n-p, încât se poate verifica ipoteza nulă. Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea

unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus iniţial. Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă:

Fc >Fα,p-1,n-p . Teste t – Student

În situaţia când este respinsă ipoteza nulă, se acceptă că ecuaţia de regresie este semnificativă la nivel global, cu menţiunea că s-ar putea ca anumiţi coeficienţi/estimatori să nu fie semnificativi. Pentru testarea fiecărui coeficient se utilizează un test t cu ipotezele:

71

H0: αi = 0 H1: αi ≠ 0.

În condiţiile ipotezei H0 se arată că statistica ti= este repartizată Student cu n – p grade

de libertate, ceea ce permite utilizarea testului t. În expresia care dă statistica testului, s(ai) este abaterea standard estimată a coeficientului, dată ca rădăcina pătrată din elementul corespunzător de pe diagonala principală a matricei s2(X’X)-1 - matricea X a variabilelor independente exogene.

Nerespingerea ipotezei nule arată că datele experimentale nu permit stabilirea necesităţii prezenţei variabilei xi în model, variabila este nesemnificativă în model.

Regula de decizie este că se acceptă ipoteza H1 şi se respinge ipoteza nulă dacă:

tc >tα, n-p .

4.7. Cea mai bună regresie

Procesul de selectare a celei mai bune regresii are loc în contextul în care există o variabilă dependentă y şi o mulţime de variabile independente posibile x.

Problema poate fi formulată: Care este acea submulţime minimală de variabile independente care permite estimarea

unui model liniar semnificativ şi adecvat valorilor observate y?

Etapele selectării celei mai bune regresii 1. Se identifică toate variabilele independente posibile (cu alte cuvinte se specifică modelul

maxim). 2. Se specifică criteriul de selectare a celei mai bune regresii. 3. Se specifică o strategie pentru selectarea variabilelor independente. 4. Se realizează estimarea şi analiza modelului. 5. Se evaluează reliabilitatea modelului ales.

Strategii de selectare a celui mai bun model Metoda tuturor regresiilor posibile

Se estimează toate regresiile posibile. Se reţin valorile coeficienţilor de determinare; gruparea este după cardinalul mulţimii de

predictori.

Variabile independente R2 {x1}, {x2} … … {x1,x2}, {x1,x3}, …, {xn-1,xn} … … … {x1,x2,…,xn} …

Se analizează valorile R2 şi se reţine acea submulţime de variabile pentru care se realizează

compromisul acceptabil între numărul de variabile şi mărimea coeficientului de determinare.

72

Selecţia prospectivă

Procedura începe prin includerea în model a variabilei independente având cel mai mare coeficient de corelaţie cu variabila y. La fiecare pas următor, se analizează fiecare dintre variabilele neincluse încă în model printr-un test F secvenţial şi se extinde modelul prin includerea acelei variabile care aduce o contribuţie maximă (probabilitatea critică din testul F este cea mai mică). Procesul se opreşte atunci când modelul nu mai poate fi extins, criteriul uzual fiind acela al fixării un prag de intrare (PIN) şi acceptând doar variabilele pentru care probabilitatea critică în testul F secvenţial este mai mică sau egală cu acest prag.

Procedura are ca limitări faptul că anumite variabile nu vor fi incluse în model niciodată, deci importanţa lor nu va fi determinată. Pe de altă parte, o variabilă inclusă la un anumit pas rămâne permanent în model, chiar dacă, prin includerea ulterioară a altor variabile, importanţa ei poate să scadă.

Selecţia retrogradă

Se începe cu estimarea modelului complet şi apoi, într-un număr de paşi succesivi, se elimină din model variabilele nesemnificative. La fiecare pas, pe baza unui test F parţial, se elimină acea variabilă care are cea mai mare probabilitate critică. Procesul se opreşte atunci când nici o variabilă nu mai poate fi eliminată.

Criteriul uzual este acela de fixare a unui prag de eliminare (POUT) şi considerarea doar a variabilelor care au probabilitatea critică mai mare decât acest prag.

Selecţia pas cu pas

Procedura pas cu pas (stepwise regression) este o combinaţie a celor două metode descrise anterior. La un pas ulterior al regresiei prospective se permite eliminarea unei variabile, ca în regresia retrogradă. O variabilă eliminată din model devine candidată pentru includerea în model, iar o variabilă inclusă în model devine candidată la excludere. Pentru ca procesul să nu intre într-un ciclu infinit, trebuie ca PIN ≤ POUT.

73

CAPITOLUL 5. APLICAŢII ŞI PROBLEME

5.1. Instrumente Excel - Regression

Estimarea coeficienţilor unui model liniar prin metoda celor mai mici pătrate şi calculul statisticilor necesare testelor statistice asociate sunt efectuate de procedura Regression, una dintre cele mai complexe din pachetul de prelucrări statistice din Excel. Procedura permite şi construirea graficelor necesare pentru aprecierea vizuală a potrivirii modelului liniar. Deşi acestea, din motive evidente, necesită prelucrări suplimentare de scalare înainte de interpretare, existenţa lor este un real ajutor pentru statistician.

Termeni

Modelul liniar estimat de procedură este Y = α0X0 + α1X1 + α2X2 + … + αp-1Xp-1 + ε, care exprimă faptul că variabila Y se poate obţine ca o combinaţie liniară a variabilelor X0, X1,…, Xp-1

la care se adaugă o "eroare" ε. Pentru estimarea parametrilor modelului se consideră disponibile n observaţii asupra

tuturor variabilelor din model. Valorile sunt structurate ca un tablou dreptunghiular, fiecare variabilă ocupând o coloană (deci o linie este referită drept o observaţie), este prezentat în figura nr.13.

Figura nr.13: Dialogul procedurii Regression

74

Input

Input Y Range – se precizează domeniul (coloana) pe care se află valorile variabilei dependente yi. Input X Range – se precizează domeniul pe care se află valorile tuturor variabilelor independente.

Acest domeniu trebuie să fie compact, fiecare variabilă Xi ocupând o coloană. Labels – se marchează boxa de control în cazul în care prima linie din tabloul de date este cu

denumirile variabilelor (situaţie recomandată). Constant Is Zero – se marchează boxa de control dacă modelul care se estimează este fără termen

liber. Confidence Level – se precizează, procentual, siguranţa statistică dorită în raportarea intervalelor

de încredere deci valoarea (1–α)×100, unde α este pragul de semnificaţie. Intervalele obţinute sunt suplimentare, întotdeauna afişându-se cele pentru α = 0,05. Boxa se va marca doar dacă se doreşte şi un alt prag de semnificaţie.

Output options

Output Range, New Worksheet Ply, New Workbook – Precizează zona unde se vor înscrie rezultatele. Zona de rezultate este foarte complexă, cuprinde tabele care depind de mărimea modelului, de numărul de observaţii, de numărul graficelor dorite etc. Prin urmare se va prefera o foaie de calcul nouă sau o zonă liberă în dreapta şi în jos.

Residuals

Residuals – se marchează boxa de control în cazul când se doreşte calcularea reziduurilor modelului estimat.

Residual Plots – se marchează boxa de control în cazul când se doreşte obţinerea diagramelor reziduuri – variabilă independentă, adică vizualizarea punctelor de coordonate (xij, rj), j = , având ca abscisă o valoare a variabilei independente Xi, iar ca ordonată reziduul

corespunzător. Standardized Residuals – această boxă de control se va marca dacă se doreşte calculul valorilor

standardizate ale reziduurilor. Valorile astfel obţinute provin, teoretic, dintr-o distribuţie normală standard, astfel încât o histogramă a acestor valori trebuie să se apropie de curba normală (clopotul lui Gauss).

Line Fit Plots – se marchează această boxă de control dacă se doreşte afişarea diagramelor Y – variabilă independentă, prin care se vizualizează, pe un acelaşi grafic, punctele de coordonate (xij, yobs,i), (xij, yest,i), j= , unde abscisele sunt valorile variabilei independente, iar ordonatele

sunt valorile observate şi cele estimate ale variabilei dependente. Este desenat câte un grafic pentru fiecare variabilă independentă. Interpretarea acestor diagrame poate oferi indicaţii asupra adecvanţei modelului, asupra valorilor aberante.

Normal Probability

Normal Probability Plots – se marchează dacă se doreşte vizualizarea repartiţiei de sondaj a variabilei Y într-o reţea de probabilitate.

75

5.2. Aplicaţii practice Instrumente Excel

Pentru prelucrarea unui set de date memorat într-un document Excel se pot utiliza atât funcţiile statistice ale aplicaţiei, cât şi proceduri obţinute prin Tools – Data Analysis.

Funcţiile statistice uzuale sunt (în ordine alfabetică): AVEDEV – abaterea medie absolută AVERAGE – media aritmetică BINOMDIST – funcţia de repartiţie binomială CHIDIST – funcţia de repartiţie χ2 CHIINV – inversa funcţiei de repartiţie χ2 CHITEST – aplicarea testului χ2 CONFIDENCE – intervalul de încredere pentru medie FDIST – funcţia de repartiţie F FINV – inversa funcţiei de repartiţie F FTEST – aplicarea testului F HARMEAN – media armonică KURT – coeficientul de aplatizare MIN, MAX – valorile extreme din listă MEDIAN – mediana MODE – valoarea mod NORMDIST – funcţia de repartiţie normală NORMINV – inversa funcţiei de repartiţie normală NORMSDIST – funcţia de repartiţie normală standard NORMSINV – inversa funcţiei de repartiţie normală standard PERCENTILE – quantile QUARTILE – quartile RANK – rangul argumentului într-o listă SKEW – coeficientul de asimetrie STANDARDIZE – valoarea standardizată a argumentului STDEV – abaterea standard TDIST – funcţia de repartiţie Student, t TINV – inversa funcţiei de repartiţie Student TTEST – aplicarea testului Student VAR – dispersia

Pentru a utiliza procedurile statistice, trebuie ca prin Tools – AddIns să se verifice dacă este instalat utilitarul Analysis ToolPak. În caz afirmativ, comanda Tools – Data Analysis va deschide dialogul Data Analysis din care sunt accesibile o serie de prelucrări statistice conduse de dialogurile asociate. Astfel, Descriptive Statistics va produce indicatorii statistici ai unei variabile continue.

Tot în partea de descriere statistică poate fi încadrată şi metoda de creare a cuburilor OLAP prin Data – Pivot Table, metodă prin care se obţin distribuţiile simple sau multivariate ale unor variabile discrete sau indicatorii statistici esenţiali ai subpopulaţiilor.

76

De asemenea, pentru procedurile legate de reprezentările grafice se iniţiază Insert - Chart (sau uneltele corespunzătoare) oferind grafice, histograme etc. Exemplu de aplicare a modelului unifactorial

Se cunosc următoarele date privind câştigul salarial net lunar real26 şi populaţia ocupată civilă în România, în perioada 2002-2008 (vezi Tabelul nr.5):

Tabelul nr.5

Anul Populaţia ocupată

(mii pers.) Câştig salarial net lunar

real (RON/salariat) 2002 8329 379

2003 8306 536,272

2004 8238 733,775

2005 8390 1044,4

2006 8469 1320,65

2007 8726 1719,3

2008 8730 2293,498 Sursa: Anuarul Statistic al României 2009,INS, Bucureşti

a) Să se construiască un model econometric care descrie legătura dintre cele două

variabile; b) Ştiind că în anul 2009, populaţia ocupată a fost estimată să scadă la 8715 mii persoane,

să se estimeze valoarea câştigului salarial nominal net lunar real pentru anul 2009. Rezolvare:

a) Notând cu: y = câştigul salarial nominal net lunar real; x = populaţia ocupată civilă;

Modelul va fi de forma: .

Pentru alegerea funcţiei matematice f(x) se recurge la reprezentarea grafică a celor două şiruri de valori.

Pentru realizarea acesteia se poate utiliza programul Microsoft Excel inserându-se diagrama prin puncte. Prin alegerea liniei de tendinţă care aproximează cel mai bine funcţia putem identifica ecuaţia. (vezi Figura nr.14)

26 Câştig salarial nominal net lunar real a fost calculat aplicând câştigului salarial nominal net lunar o corecţie cu indicele câştigului salarial real (2000=100).

77

Figura nr.14: Diagrama prin puncte a corelaţiei dintre câştigul salarial nominal net lunar real şi populaţia ocupată civilă

Dacă deschidem dialogul Data Analysis, Analysis Tools, Regression, (programul EXCEL),

din analiza rezultată funcţia de regresie determinată are următoarea formă:

unde:

Pentru a verifica corelaţia dintre cele două variabile y şi x avem coeficientul de corelaţie liniară R (0,924) care cu cât este mai aproape de 1 legătura dintre cele două variabile este mai strânsă. Valoarea coeficientului de determinare (R2) este de 0,853 (apropiată de 1).

Tabelul nr.6: Coeficientul de corelaţie al funcţiei de regresie

Regression Statistics

Multiple R 0,923594487 R Square 0,853026777 Adjusted R Square 0,823632132 Standard Error 287,7189046

Observations 7

Unde: Multiple R – coeficientul multiplu de corelaţie. R Square – coeficientul de determinare (este egal cu pătratul coeficientului de corelaţie multiplă). Poate fi gândit, exprimat procentual, drept proporţia din variaţia variabilei dependente explicată de variaţia variabilelor independente: 85,3% din variaţia lui y este explicată de variabila x. Adjusted R Square – valoarea corectată a coeficientului de determinare. Este introdusă pentru a contracara (parţial) efectul creşterii mecanice a lui R2 o dată cu numărul variabilelor independente. Standard Error – eroarea standard a estimaţiei. Se calculează ca abaterea standard a reziduurilor (pentru numărul gradelor de libertate utilizat se va vedea tabloul ANOVA, în continuare) şi este estimaţia abaterii standard a erorilor u (în ipoteza normalităţii acestora). Observations – numărul de observaţii din eşantion.

78

În vederea testări ipotezelor, în continuare, vom interpreta tabelul analizei dispersionale (ANOVA).

Tabelul nr.7: Analiza dispersională - ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 2402322 2402322 29,0198023 0,002973402 Residual 5 413910,8 82782,17

Total 6 2816233

Coloanele acestui tablou au semnificaţiile uzuale într-un tablou ANOVA: Sursa de variaţie – arată descompunerea variaţiei totale în variaţia explicată de regresie şi cea reziduală (neexplicată). df – numărul gradelor de libertate; SS – sumele de pătrate potrivit descompunerii; MS – media sumelor de pătrate: SS împărţită la numărul respectiv de grade de libertate. Valoarea de pe linia a doua (Residual) este estimaţia dispersiei pentru repartiţia erorilor şi este pătratul erorii standard a estimaţiei. F – valoarea statisticii F pentru testul Fisher-Snedecor; Significance F – este probabilitatea critică unilaterală.

Primul test utilizat în analiza regresiei – Testul F - este un test global de semnificaţie a ansamblului coeficienţilor (exceptând termenul liber).

Cele două ipoteze sunt:

Η0 : b=0;

H1 : (∃) i astfel încât b≠0. Numărul de grade de libertate (df), ataşat fiecărei sumă de pătrate (SS) ne ajută să

identificăm valoarea lui Fαp-1, n-p (valoare tabelată Fisher-Snedecor). Astfel, p-1 = 1 n-p = 5 n-1 = 6; unde: p – variabila x plus termenul liber (1+1) n – numărul de observaţii (7). Valoarea calculată a lui Fc este de 29,02, fiind mai mare decât valoarea tabelată a lui

F0,05;1;5 de 6,61, ceea ce respinge ipoteza nulă. Nerespingerea ipotezei nule duce la concluzia că datele observate nu permit identificarea unui model liniar valid, deci regresia nu este adecvată în scopul de prognoză, propus iniţial.

De asemenea, valoarea lui Significance F (probabilitatea critică unilaterală) de 0,003 trebuie să fie mai mică, şi este, decât pragul de semnificaţie de 0,05, respingându-se, astfel, ipoteza nulă în favoarea ipotezei alternative. (vezi, Tabelul nr.7)

Dată fiind situaţia - ipoteza nulă este respinsă -, se acceptă că ecuaţia de regresie este semnificativă la nivel global, cu menţiunea că s-ar putea ca anumiţi coeficienţi să nu fie semnificativi. Astfel, că al doilea test t testează fiecare coeficient cu ipotezele:

H0 : a,b=0 H1 : a,b≠0.

79

Tabelul nr.8: Valorile estimate pentru coeficienţii modelului şi statisticile necesare verificării ipotezelor

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%

Intercept -25684,71619 4981,95556 -5,155549041 0,00359812 -38491,24064 -12878,19174

X Variable 1 3,173255373 0,58905765 5,387003094 0,0029734 1,659034483 4,687476263

Liniile tabelului se referă la variabilele din model, incluzând şi termenul liber. Coloanele tabelului sunt următoarele: (prima coloană) – sunt afişate denumirile existente în tabloul de date sau create automat pentru variabilele independente implicate. Intercept este denumirea pentru termenul liber (constant) al modelului. Coefficients – conţine valorile estimate ale coeficienţilor. În ipotezele distribuţionale ale modelului liniar, valorile calculate ale coeficienţilor provin din repartiţii normale, fiind astfel posibile verificări statistice ale coeficienţilor. Standard Error – eroarea standard a coeficientului (abaterea standard a repartiţiei coeficientului). t Stat – statistica t P-value – probabilitatea critică bilaterală a testului t cu ipotezele precizate la t Stat. Lower 95%, Upper 95% – limitele inferioară şi superioară ale intervalului de încredere pentru parametrul respectiv. Limitele la pragul 0,05 sunt calculate automat, indiferent de iniţializarea procedurii Regression.

Din Tabelul nr.8 rezultă următoarele aspecte: - valoarea lui t Stat calculată în tabel, pentru variabila exogenă şi termenul liber, se

situează peste valoarea lui t0,05,5 = 2,573 (valoarea teoretică a lui t pentru n-p grade de libertate şi un prag de semnificaţie de 0,05), ceea ce respinge, de fiecare dată, ipoteza nulă, variabilele fiind semnificative pentru model;

- probabilitatea critică bilaterală a testului t cu ipotezele precizate la t stat (P-value) se situează sub pragul de semnificaţie de 0,05, respingând ipoteza de nulitate.

Tabelul nr.9: Valorile estimate pentru variabila reziduală

Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals

1 745,3278132 -366,327813 -1,394736346

2 670,756312 -134,484312 -0,512028164

3 457,5135509 276,261449 1,05182263

4 940,1656931 104,234307 0,396855961

5 1190,535542 130,114458 0,495390623

6 2004,792871 -285,492871 -1,086969837

7 2017,803218 275,694782 1,049665133

Observation – numărul de ordine al observaţiei. Predicted y – valoarea y prognozată pentru observaţia respectivă; se obţine înlocuind valorile x ale observaţiei în modelul estimat. Residuals – valoarea erorii de predicţie (diferenţa dintre valoarea observată şi valoarea prognozată).

80

Standard Reziduals – valoarea standardizată a erorii. Este obţinută prin împărţirea reziduului la abaterea standard a reziduurilor (rezultatul nu este susţinut absolut riguros de teorie).

Ipoteza de independenţă a erorilor, care presupune cov(ui,uj) =0, pentru , se realizează

pe baza calculării coeficientului de autocorelare de ordinul I:

ceea ce confirmă ipoteza de independenţă a erorilor.

Ipoteza homoscedasticităţii este verificată prin procedeul grafic, figura de mai jos

confirmând necorelarea dintre variabila x şi variabila reziduală u, punctele din figura nr.15 pot fi considerate într-o regiune de tip bandă orizontală.

Figura nr.15: Diagrama reziduurilor corelată cu valorile variabilei x În ceea ce priveşte ipoteza normalităţii, punctele din figura nr.16, diagrama reziduuri –

variabilă dependentă y, se pot considera într-o regiune de tip bandă orizontală ceea ce nu contrazice ipotezele de normalitate a erorilor. Forma de bandă uniformă reflectă constanţa dispersiei reziduurilor pentru tot domeniul variabilei dependente y.

Figura nr.16: Diagrama reziduurilor corelată cu valorile variabilei y

b) unde x = 8715 rezultă y = 1967,695

Astfel, la o scădere a populaţiei ocupate civile cu 15 mii persoane (de la 8730 la 8715 mii pers.), câştigul salarial nominal mediu net lunar real se va diminua cu 325,8 RON (până la valoarea de 1967,695 RON/salariat).

81

5.3. Probleme rezolvate 1. Specialiştii pe Managementul Resurselor Umane (MRU) din cadrul unei firme au

realizat un studiu pe un număr de 50 de angajaţi pentru a se determina deficitul de atenţie şi tulburările emoţionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a obţinut un coeficient de corelaţie (r) între acestea de 0,80. Utilizând regresia avem posibilitatea să estimăm ce tulburări emoţionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de atenţie şi tipul de relaţie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de atenţie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emoţionale) a fost 16, iar abaterea standard 4, să se determine coeficienţii ecuaţiei de regresie liniară a şi b.

Rezolvare:

Notă teoretică: Regresia simplă (o variabilă dependentă şi una independentă) şi liniară (relaţia

dintre cele două variabile poate fi descrisă printr-o dreaptă în cadrul norului de puncte).

Regresia se leagă foarte mult de conceptul de corelaţie. O asociere puternică între două elemente conduce la creşterea preciziei predicţiei unei variabile pe seama alteia. Dacă am avea o corelaţie perfectă (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisă.

Procesul de regresie presupune doi paşi. Primul se referă la determinarea ecuaţiei de regresie, iar cel de-al doilea constă în utilizarea acestei ecuaţii în predicţie.

Forma generală prin care se exprimă o ecuaţie de regresie este:

Unde: Y- prim este rezultatul estimat;

a - este interceptul (locul pe ordonata unde dreapta de regresie se intersectează cu OY, valoarea lui Y pentru X=0);

b - este panta de regresie (ne arată cu cât se modifică Y atunci când X creşte (scade) cu o unitate;

X - este variabila criteriu (cunoscuta). Calcularea coeficienţilor de regresie a, respectiv b conduce la realizarea primului

pas din procesul regresiei. Există două posibilităţi de calculare a lor: I. dacă se cunoaşte valoarea coeficientului de corelaţie dintre cele două

variabile X şi Y, media şi abaterea standard a celor două variabile putem aplica următoarele formule:

Unde: r este valoarea coeficientului de corelaţie dintre X şi Y; Sy este abaterea standard a variabilei Y; Sx este abaterea standard a variabilei X.

82

Unde: My este media variabilei Y;

Mx este media variabilei X. II. dacă nu se cunosc decât datele brute prin metoda celor mai mici pătrate.

b = r = 0,80 x = 0,64

a = 16 - 0,64 * 20 = 3,2 Ecuaţia de regresie va fi:

2. Plecând de la funcţia de regresie să se estimeze valorile lui Y pentru X0 = 0, X1 = 1 şi X2 =2 şi să se interpreteze rezultatele.

Rezolvare:

Dacă un subiect obţine scorul 0 la deficit de atenţie, estimăm să obţină rezultatul 3,2 la

scala de tulburări emoţionale. Dacă un alt subiect obţine nota 1 la deficitul de atenţie, predicţia noastră este că va obţine rezultatul de 3,84 la testul de tulburări emoţionale, iar dacă va obţine nota 2 rezultatul va fi de 4,48. 3. Specialiştii MRU din cadrul unei firme au realizat un studiu pe un număr de 50 de

subiecţi pentru a se determina deficitul de atenţie şi tulburările emoţionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a obţinut un coeficient de corelaţie r = 0,80. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de atenţie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emoţionale) a fost 16, iar abaterea standard 4, să se determine eroarea standard Sy/x şi să se interpreteze rezultatul.

Rezolvare:

Formula de calcul prescurtată a acestei erori standard este:

unde: Sy este abaterea standard a variabilei y

r este valoarea coeficientului de corelaţie Vom obţine:

Să luăm cazul în care un subiect obţine nota 1 la proba de deficit de atenţie. Valoarea

estimată a tulburărilor emoţionale este de 3,84. Cu ajutorul acestei erori standard putem

83

aproxima că în 68% din cazurile în care un subiect obţine nota 1 la deficitul de atenţie

(adică, între –1 şi +1 Sy/x) vom obţine o valoare estimată de tulburări emoţionale de 3,84 ± 2,4. Cu cât coeficientul de corelaţie este mai mare, cu atât eroarea de estimare va fi mai mică.

4. La nivelul unei firme care îşi desfăşoară activitatea în sectorul comercial s-au

înregistrat următoarele date legate de personalul din compartimentul vânzări (60 de angajaţi):

Nr. Crt. Sex Vechimea în muncă Salariul lunar Timp nelucrat

ani mii lei minute

1 M 2 752 61

2 F 11 760 35

3 F 21 770 42

4 M 10 759 47

5 M 16 769 54

6 M 28 779 30

7 F 19 769 57

8 M 9 759 48

9 F 5 755 49

10 F 11 760 37

11 F 25 776 40

12 M 27 779 31

13 M 17 766 57

14 F 1 750 62

15 M 20 765 59

16 F 31 781 30

17 F 23 772 33

18 M 3 753 48

19 M 16 767 55

20 M 7 756 47

21 F 11 760 36

22 F 22 773 42

23 M 4 754 46

24 F 21 771 56

25 M 17 768 57

26 F 8 755 35

27 F 24 774 34

28 M 23 773 32

29 M 16 765 50

30 M 11 759 45

31 F 18 768 58

84

A. Să se grupeze personalul după variaţia celor 4 caracteristici pe intervale egale. Rezolvare:

Notă teoretică: Indicatorul statistic este expresia numerică a unui fenomen, proces sau a unei categorii

economico-sociale, definite în timp şi în spaţiu. Indicatori primari (absoluţi) şi indicatori derivaţi. Indicatorii utilizaţi se împart în indicatori primari sau absoluţi şi în indicatori derivaţi.

Nr. Crt. Sex Vechimea în muncă Salariul lunar Timp nelucrat

ani mii lei minute

32 F 8 757 46

33 F 14 765 39

34 M 29 778 31

35 F 22 770 44

36 F 7 756 47

37 M 21 774 43

38 F 17 767 51

39 M 2 755 60

40 F 16 765 52

41 M 16 765 50

42 M 15 764 52

43 M 34 784 30

44 F 17 768 52

45 F 30 778 34

46 M 17 768 51

47 F 14 763 45

48 M 25 775 33

49 M 8 757 45

50 M 18 769 44

51 M 12 760 38

52 F 26 775 32

53 M 10 758 45

54 F 21 771 42

55 M 14 763 45

56 M 6 755 49

57 F 1 750 61

58 M 32 783 31

59 F 15 764 53

60 M 16 765 40

Total - 960 45939 2698

85

Indicatorii primari sau absoluţi exprimă direct nivelul real de dezvoltare al caracteristicii cercetate, caracterizând fenomenul/procesul la modul cel mai general din punct de vedere cantitativ.

Indicatorii derivaţi se obţin în faza de prelucrare statistică a mărimilor absolute prin aplicarea variantelor metode şi procedee de calcul statistic.

Mărimea relativă sau indicatorul relativ este rezultatul comparării sub formă de raport a doi indicatori statistici şi exprimă printr-un singur număr proporţiile indicatorului raportat faţă de indicatorul bază de raportare.

Forma cea mai simpla de exprimare a mărimilor relative este în unităţi sau coeficienţi. Forma cea mai obişnuită şi sugestivă de exprimare a mărimilor relative este cea a procentelor.

Promolele se folosesc când indicatorul comparat este mult prea mic faţă de indicatorul bază de comparare şi exprimarea în coeficienţi sau chiar in procente.

În cazul în care rezultatul raportului dintre cele două mărimi comparate are o valoare foarte mică se utilizează prodecimile sau procentimele.

Tabelele statistice constituie un ansamblu de judecăţi prezentate într-o formă succintă în cuvinte şi expresii numerice referitoare la fenomene şi procese studiate.

Elementele de conţinut se referă la subiectul şi predicatul tabelului. Subiectul tabelului îl reprezintă colectivitatea şi părţile sale componente şi se înscrie în

capetele rândurilor. Predicatul tabelului este format din totalitatea aspectelor cantitative referitoare la

colectivitatea cercetată şi se înscrie în capătul coloanelor. Elementele de formă ale unui tabel: titlul general, titlurile interioare, reţeaua şi notele

explicative. În etapa observării se întocmesc tabelele descriptive sau enumerative. În etapa prelucrării se întocmesc tabelele de prelucrare. După felul cum este prelucrat subiectul sau predicatul sau ambele, se disting: tabele

simple, tabele pe grupe, tabele combinate, tabele combinate cu dublă intrare, tabele de asociere. Numărul de grupe se alege diferenţiat atât pentru caracteristicile numerice, cât şi pentru

cele nominative. După mărimea variaţiei caracteristicii studiate, se disting grupări pe variante (numerice şi

nominative) şi grupări pe intervale de variaţie (egale sau neegale). Mărimea intervalului de grupare se obţine făcând diferenţa între două limite inferioare sau

superioare a două grupe alăturate, fie între limita superioară şi limita inferioară a aceluiaşi interval. Mărimile relative ale planului sunt specifice oricărei economii moderne. Mărimile relative

ale sarcinii de plan pot avea valori minime sau maxime. Mărimile relative pot fi:

� de structură (conţinutul informaţional al mărimii relative de structură poate fi acela de pondere sau greutate specifică);

� de coordonare; � ale dinamicii; � de intensitate.

Mărimile medii constituie instrumente principale de cunoaştere a fenomenelor de masă şi au un mare grad de aplicabilitate în activitatea practică.

86

Prin definiţie, media valorilor individuale ale unui fenomen de masă este expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esenţial, tipic şi obiectiv în apariţia, manifestarea şi dezvoltarea lui – sub rezerva faptului că acest indicator are relevanţă pentru fenomenul studiat.

Media aritmetică simplă se foloseşte pentru seriile simple. În cazul unei serii de distribuţie, media aritmetică simplă este înlocuită cu media aritmetica ponderată.

Media armonică se calculează din valorile inverse ale termenilor seriei ca medie simplă sau ponderată.

Media pătratică este acea valoare care înlocuind termenii seriei ridicaţi la pătrat nu modifică suma pătratelor lor.

Media geometrică se bazează pe relaţia de produs a termenilor seriei. Media cronologică este o forma transformată a mediei aritmetice şi, anume, este o medie

generală din medii parţiale. Mediile mobile se utilizează pentru a determina nivelul mediu al unei

serii de momente şi pentru a măsura sezonalitatea. Seria statistică este prezentarea paralelă a două şiruri de date în care primul şir prezintă

caracteristica de grupare, iar cel de al doilea, rezultatul centralizării frecvenţelor sau valorile unei alte caracteristici cu care se află în raport de interdependenţă.

După posibilităţile de caracterizare a fenomenelor seriile pot fi:

� serii statistice independente; � serii statistice interdependente.

După conţinutul caracteristicii:

� de timp (dinamice sau cronologice); � de spaţiu (teritoriale); � de distribuţie (repartiţie).

Gruparea salariaţilor după caracteristica atributivă calitativă – sex exprimată prin cuvinte:

Masculin 32

Feminin 28

Gruparea salariaţilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu variaţie continuă cu limita superioară inclusă în interval: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 34 – 1 = 33 se utilizează funcţiile MAX şi MIN r = 7

k = = = 4,71 ∼5

87

Grupe de salariaţi după vechime

Nr. de salariaţi

1 – 6* 8 6-11 12 11-16 12 16-21 13 21-26 8 26-31 5 31-36 2 Total 60

Notă * - limita superioară inclusă în interval Gruparea salariaţilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu variaţie discontinuă:

Grupe de salariaţi după vechime

Nr. de salariaţi

0-5 7 6-10 9 11-15 10 16-20 15 21-25 11 26-30 5 31-35 3 Total 60

Gruparea salariaţilor după caracteristica salariul net încasat pe intervale de grupare cu variaţie continuă: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 784 – 750 = 34 r = 7

k = = = 4,85 ∼5

Grupe de salariaţi după salariul net încasat

Nr. de salariaţi

750-755 9 755-760 12 760-765 10 765-770 12 770-775 9 775-780 5 780-785 3

Notă * - limita superioară inclusă în interval

88

Gruparea salariaţilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu variaţie discontinuă:

Grupe de salariaţi după salariul net încasat

Nr. de salariaţi

750-754 5 755-759 12 760-764 8 765-769 16 770-774 9 775-779 7 780-784 3

Gruparea salariaţilor după caracteristica timp nelucrat pe intervale de grupare cu variaţie continuă: Se calculează: A – amplitudinea intervalului; r – numărul de grupe; k – mărimea intervalului A = xmax –xmin = 62 – 30 = 32 r = 7

k = = = 4,57 ∼5

Grupe de salariaţi după timpul nelucrat

Nr. de salariaţi

30-35 14 35-40 6 40-45 11 45-50 11 50-55 8 55-60 7 60-65 3

Notă * - limita superioară inclusă în interval Gruparea salariaţilor după caracteristica vechime pe intervale de grupare cu variaţie discontinuă:

Grupe de salariaţi după timpul nelucrat

Nr. de salariaţi

30-34 12 35-39 6 40-44 8 45-49 14 50-54 9 55-59 7 60-64 4

89

B. Să se grupeze salariaţii pe intervale neegale în funcţie de: media aritmetică şi

abaterea medie liniară. Rezolvare: Media aritmetică simplă: AVERAGE(xi)

=

Media aritmetică ponderată:

=

Abaterea medie liniară pentru serii simple: AVEDEV(xi)

=

Abaterea medie liniară pentru serii de frecvenţe:

=

Notăm: y – vechimea în muncă z – salariul lunar w – timpul nelucrat n – numărul de angajaţi

= = = 16 ani

= = = 765,65 ∼766 mii lei

= = = 44,96 ∼45 minute

y = = = 6,57

z = = = 7,03

w = = = 7,70

- y = 16-6,57 =9,43∼9

+ y = 16+6,57=22,57∼22

90

- z = 766-7,03 =758,97

+ z = 766+7,03=773,03

- w = 45-7,70 =37,30

+ w = 45+7,70=52,7

Grupe de salariaţi după

vechime Nr. de salariaţi

Mică 0-9 ani 14 Medie 10-22 ani 33 Mare 23-35 ani 13

Grupe de salariaţi după salariul net

Nr. de salariaţi

Mic 750-759 mii lei 14 Mediu 760 -773 mii lei 34 Mare 774-785 mii lei 12

Grupe de salariaţi timp nelucrat

Nr. de salariaţi

puţin 30-37 minute 16 mediu 38-52 minute 31 mult 53-64 minute 13

5.4. Probleme de rezolvat 1. O firmă ce organizează licitaţii pentru vânzarea unor antichităţi doreşte să determine

relaţia dintre preţul obţinut pentru articolele licitate (u.m.) şi numărul de persoane care participă la licitaţie. În ipoteza unui model de regresie liniară, rezultatele prelucrării în Excel sunt:

Regression Statistics

Multiple R 0,860271 R Square 0,740066 Adjusted R Square 0,707575 Standard Error 177,7908

Observations 10

91

Analiza dispersională - ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 719973,5 719973,5 22,77708 0,001404 Residual 8 252876,5 31609,56

Total 9 972850

Coefficients Standard Error t Stat P-value

Intercept 1086,691 174,4825 6,228079 0,000252

Mărimea audienţei X 9,329102 1,954748 4,772534 0,001404

Să se interpreteze rezultatele din tabele. 2. O companie de construcţii susţine că în timpul perioadelor în care se percep rate ridicate

ale dobânzii, numărul autorizaţiilor de construcţie s-a redus considerabil. Pentru 5 luni s-au înregistrat: rata dobânzii (%) (X) şi numărul autorizaţiilor de construcţie (Y):

a) Reprezentaţi grafic datele şi determinaţi modelul de regresie adecvat analizei legăturii dintre cele două variabile;

b) Testaţi validitatea modelului de regresie găsit, pentru un nivel de semnificaţie de 5% (Fα=10,13);

c) Să se determine în ce proporţie rata dobânzii influenţează variaţia numărului de autorizaţii.

3. Pentru a decide în ce zonă să fie amplasat un magazin de casete video, managerul unei

firme de comercializare şi închiriere de casete video realizează un studiu. Astfel, el consideră că succesul afacerii este cuantificat prin profitul anual brut obţinut (sute euro). Principalul factor de influenţă considerat pentru succesul acestei afaceri este venitul mediu al locuitorilor de pe o rază de un kilometru (zeci euro). Sunt selectate aleator 5 supermarket-uri şi sunt înregistrate valorile celor 2 variabile.

a) Estimaţi parametrii ecuaţiei de regresie, în ipoteza unei dependenţe liniare. b) Testaţi validitatea modelului de regresie, pentru un nivel de semnificaţie de 5%

(Fα=10,13); a) Măsuraţi intensitatea legăturii dintre cele două variabile, folosind un indicator

adecvat şi testaţi semnificaţia acestuia, pentru un nivel de încredere de 95% (tα= 4,541, Fα= 10,13).

Rata dobânzii (%) X 18 11 15 12 16 Nr. autorizaţiilor de construcţie Y 43 119 82 90 80

Profit (mii euro) 2 6 8 11 15 Venit (sute euro) 4 12 21 25 20

92

5.5. Grile de întrebări

1. În ce an a fost înfiinţată Societatea de Econometrie avându-i ca iniţiatori pe I. Fisher, Bortkiewicz Hotelling, L. Schumpeter, N. Wiener şi alţii:

a) 1930 b) 1933 c) 1926

2. Definiţia istorică a econometriei a fost formulată de R. Frisch în primul număr al revistei

„Econometrica” (ianuarie 1933): a) înţelegerea efectivă a realităţilor constitutive din economie prin unificarea temei

economice cu statistica şi matematica”. Altfel spus, econometria este „economia studiată pe baza datelor statistice cu ajutorul modelelor matematice;

b) considera ca există econometrie dacă investigarea fenomenelor economice se face cu ajutorul modelelor aleatoare (stochastice). Susţinătorii acestei definiţii, L. R. Klein, E. Malinvaud, G. Rottier, includ în domeniul econometriei numai cercetările economice care utilizează metodele inducţiei statistice (teoria estimaţiei, verificarea ipotezelor statistice) la verificarea relaţiilor cantitative formulate în teoria economică cu privire la fenomenele sau procesele economice cercetate;

c) include domeniile menţionate atunci când ea este înţeleasă în sens restrictiv, la care se adaugă metodele cercetării operaţionale.

3. Un studiu econometric presupune:

a) existenta prealabilă a unei teorii economice privind fenomenul, procesul sau sistemul economic cercetat, pe baza căreia se construieşte modelul economic, care reprezintă verificarea ipotezelor teoriei economice cu privire la fenomenul, procesul sau sistemul investigat;

b) posibilitatea aplicării metodelor inducţiei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice;

c) posibilitatea aplicării metodelor deducţiei statistice la verificarea ipotezelor teoriei economice.

4. Modelul econometric:

a) un instrument de cercetare ştiinţifica, o imagine convenţionala, homomorfă, simplificată a obiectului supus cercetării;

b) are întotdeauna o finalitate practică, operaţională, el devenind instrument de control şi dirijare, de simulare şi de previziune a fenomenelor economice;

c) reproduce în mod simbolic teoria economică a obiectivului investigat.

5. Variabilele care formează structura unui sistem econometric, după natura lor, pot fi: a) variabile economice; variabila eroare (aleatoare), u; variabila timp, t. b) variabile econometrice; variabila eroare (aleatoare), u; variabila regresiva. c) variabile economice; variabila Fisher; variabila timp, t.

6. Omogenitatea datelor presupune:

1) colectarea lor de la unităţi statistice diverse; 2) reprezentarea aceloraşi definiţii şi metodologii de calcul cu privire la sfera de

cuprindere ale acestora în timp sau în spaţiu;

93

3) descrierea evoluţiei fenomenelor într-un interval de timp în care nu s-au produs modificări fundamentale privind condiţiile de desfăşurare a procesului analizat;

4) exprimarea variabilelor în aceleaşi unităţi de măsură, condiţie care se referă, în mod special, la evaluarea indicatorilor economici în preţuri comparabile sau preţuri reale.

a) 2,3,4; b) 1,3,4; c) toate.

7. O serie de spaţiu rezultă prin: a) observarea variabilelor Y şi X pe perioade egale de timp (t = 1,2,.., T, t

reprezentând luni, trimestre, ani) la aceeaşi unitate economică; b) observarea variabilelor Y şi X într-o anumită perioadă de timp - luna,

trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unităţi socio-economice omogene, i= , n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce aparţin aceluiaşi

sector economic etc.; c) observarea variabilelor Y si X într-o anumita perioada de timp - luna,

trimestru, semestru, an - la un anumit număr de unităţi socio-economice diverse, i= , n = numărul unităţilor de acelaşi profil, ce aparţin mai multor

sectoare economice etc..

8. Valori centrate si normate au media egala cu: a) 1 b) 0 c) -1

9. Următoarea formulă este expresia:

a) Mediei aritmetice; b) Dispersiei; c) Abaterii medie pătratice.

10. Relaţiile instituţionale sunt:

a) de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite in „Sistemul de balanţe ale economiei naţionale”.

b) sunt acele ecuaţii stochastice care reflecta şi modelează un proces de luare a deciziei, care încearcă să descrie răspunsul variabilei endogene Y, sub forma deciziei, la un set de valori ale variabilelor exogene.

c) sunt folosite pentru a explica în mod determinist sau stochastic fenomenele care sunt determinate fie de lege, fie de tradiţie sau de obiceiuri. Din rândul acestora fac parte, de exemplu, ecuaţiile care explică stabilirea impozitelor sau a cotizaţiilor în funcţie de venit.

94

11. Relaţiile de … sunt de tipul ecuaţiilor de balanţă folosite în „Sistemul de balanţe ale economiei naţionale”.

12. Testele … sunt instrumente de lucru indispensabile investigaţiei econometrice. Necesitatea

utilizării acestora este determinată de faptul ca demersul econometric consta într-o înşiruire logica de ipoteze privind semnificaţia variabilelor exogene, a calităţii estimaţiilor obţinute, a gradului de performanţă a modelelor construite. Acceptarea sau respingerea ipotezelor formulate în econometrie se poate face cu ajutorul mai multor teste, cele mai uzuale fiind: testul χ2, testul t - student, testul F-Fisher etc.

13. Matematica, statistica şi economia în interferenţă dau atribut complex econometriei,

preponderent fiind: a) studiul cantitativ al realităţii micro sau macroeconomice. b) studiul calitativ al realităţii micro sau macroeconomice. c) studiul economic al realităţii micro sau macroeconomice.

14. Statisticile în procesele economice cercetate reprezintă: a) intrările (inputs); b) ieşirile (outputs); c) feed-back-ul.

15. Pentru a identifica elementele definitorii ale unui sistem econometric se utilizează o

definiţie mai largă a acestuia: un ansamblu organizat, o clasa de fenomene care satisfac următoarele exigenţe:

1) să se poată specifica un set, o mulţime de elemente identificabile; 2) să existe relaţii identificabile cel puţin intre unele dintre ele; 3) să nu existe relaţii identificabile între ele; 4) anumite relaţii să implice alte relaţii (lanţul infinit de relaţii); 5) un complex de relaţii, la un timp dat implica un anume complex la un timp

următor, aspect ce pune în evidenţă dinamica sistemului.

a) 1,2,4,5; b) 1,3,4,5; c) toate.

16. Ca şi componentă a sistemului econometric este un anumit raport între elemente, care le

reuneşte în cadrul funcţionării sistemului: a) Elementul; b) Conexiunea; c) Structura.

17. Se numeşte imagine econometrică:

a) rezultatul oricărei transformări; b) mulţimea stărilor posibile ale sistemului econometric; c) mulţimea momentelor cărora le corespunde o stare econometrică.

18. … apare ca un dispozitiv ce recepţionează acţiunile exterioare, format din elemente identificabile, care în cazul fenomenului de conducere recepţionează informaţii.

95

19. Adaptabilitatea este: a) sarcina pe care o are de rezolvat sistemul econometric în ansamblu, superior

organizat în condiţiile unui mediu ce produce perturbaţii; b) însuşirea de a menţine la ieşire valoarea de comanda neschimbata, în condiţiile

unui mediu perturbator; c) capacitatea de a recepţiona informaţii exterioare, sau orice acţiune

informaţională din exterior asupra sistemului, ori conexiune prin care mediul exterior acţionează asupra sistemului;

20. Legătura inversă (feed-back-ul) este:

a) capacitatea sistemului econometric complex procesual adaptiv creată cu scopul de a realiza valoarea de comandă, cu care se intervine în momentul când ieşirea se depărtează de valoarea de comanda dată;

b) un proces de adaptare la perturbaţii externe pe calea diversificării structurii, cu scopul de păstrare a stabilităţii, de a nu oscila, de a nu se distruge;

c) capacitatea sistemului econometric de a realiza un flux permanent din spaţiu, dinspre punctul terminus (unde se evidenţiază ieşirea) spre dispozitivul de reglare.

21. Caracteristicile sistemelor econometrice dinamice hipercomplexe sunt:

1) Caracterul aleator; 2) Caracterul dinamic; 3) Comportarea; 4) Feed-back-ul; 5) Caracterul complex.

a) toate; b) 1,2, 4 si 5; c) 1,3,4 si 5.

22. Relaţiile valorice reprezintă:

a) setul de conexiuni dintre oameni şi mijloace, din care rezultă o valoare de întrebuinţare;

b) conexiunile între forţa de muncă şi mijloacele materiale exprimate valoric, necesare reproducţiei;

c) omul ca proprietar al unei cantităţi de bogăţie materială, opus celorlalţi subiecţi economici.

23. Legea lui Pareto consideră faptul că: a) în lume, producţia agricolă creşte în progresie aritmetică, iar populaţia în

progresie geometrică; b) atunci când venitul naţional creşte într-o ţară dezvoltată: cheltuielile alimentare

cresc într-o proporţie mai mică; cheltuielile pentru îmbrăcăminte cresc în aceeaşi proporţie; cheltuielile pentru bunuri de folosinţă îndelungată cresc într-o proporţie mai mare;

c) un număr tot mai mare de locuitori au venituri mici, iar un număr tot mai mic de locuitori au venituri foarte mari.

96

24. Spre deosebire de modelul determinist modelul econometric introduce în schema de descriere a legităţii de manifestare a unui fenomen sau proces economic şi o variabilă:

a) aleatoare; b) economică; c) timp.

25. Modelele econometrice după numărul de variabile pot fi:

a) liniare sau neliniare; b) cu o singura ecuaţie sau cu ecuaţii multiple; c) unifactoriale sau multifactoriale.

26. Modelele euristice se mai numesc şi:

a) raţionale; b) deterministe; c) decizionale.

27. Raportarea modelelor parţiale la modelele globale permite formulare următoarelor

aprecieri: 1) agregarea modelelor parţiale conduce la obţinerea modelului global al variabilei

respective; 2) modelul global rezultă ca o medie a modelelor parţiale; 3) în plan transversal, respectiv în profil teritorial, de exemplu, sau ca explicaţie

istorică a dependenţei dintre două sau mai multe fenomene economice, modelul global se poate estima pe baza modelelor parţiale, dacă se acceptă ca semnificativă valoarea coeficientului global de regresie (coeficient determinat ca medie aritmetică ponderată a coeficienţilor parţiali);

4) în scopuri de prognoză, modelul global nu conduce la rezultate semnificative decât dacă coeficientul global de regresie rămâne stabil.

a) toate; b) 1,2,4; c) 2,3,4.

28. Modelele dinamice cu variabila timp sunt acelea în care: a) se introduce în pachetul de variabile explicative „xj”, ăn mod explicit,

variabila timp; b) variabila factorială „x” îşi exercită influenţa asupra variaţiei variabilei „y” pe

mai multe perioade de timp; c) în pachetul de variabile explicative „xj” se introduce şi variabila explicată

„y”, dar cu valori decalate: yt-1,yt-2,…,yt-k.

29. Dacă notăm cu yi – valorile observate ale variabilei dependente, – valoarea mediei variabilelor dependente, ŷ - valoarea ajustată, dată de ecuaţia de regresie; suma pătratelor globale SPg va fi:

a) ;

b) ;

c) .

97

30. Valoarea lui Significance F (probabilitatea critică unilaterală) trebuie să fie: a) mai mică decât pragul de semnificaţie; b) mai mare decât pragul de semnificaţie; c) egală cu pragul de semnificaţie.

31. Specialiştii pe Managementul Resurselor Umane (MRU) din cadrul unei firme au realizat

un studiu pe un număr de 50 de angajaţi pentru a se determina deficitul de atenţie şi tulburările emoţionale ale acestora, precum şi legătura dintre ele. S-a obţinut un coeficient de corelaţie (r) intre acestea de 0,60. Utilizând regresia avem posibilitatea sa estimăm ce tulburări emoţionale are un subiect dacă cunoaştem în prealabil nivelul deficitului de atenţie şi tipul de relaţie dintre cele două variabile. Astfel, dacă media variabilei X (deficitul de atenţie) a fost 10, iar abaterea standard 4. In acelaşi timp, media variabilei Y (tulburări emoţionale) a fost 20, iar abaterea standard 2, să se determine coeficienţii ecuaţiei de regresie liniară a şi b.

a) 17 şi 0,3; b) 0,3 şi 20; c) 3 şi 1,2.

32. Dacă coeficienţii a şi b ai funcţiei de regresie sunt 3,2 şi 0,26 să se estimeze valorile lui Y

pentru X1 = 5 şi X2 =6. a) 4,5 şi 4,76; b) 16 şi 1,56; c) 16,26 şi 19,46.

33. La nivelul unei firme care îşi desfăşoară activitatea în sectorul comercial s-au înregistrat

următoarele date legate de personalul din compartimentul vânzări (4 angajaţi):

Nr. Crt. Sex Vechimea in munca Salariul lunar Timp nelucrat

ani mii lei minute

1 M 2 752 61

2 F 11 760 35

3 F 21 770 42

4 M 10 759 47

Să se calculeze pentru variabila timp nelucrat media aritmetică simplă şi abaterea medie liniară.

a) 46,25 şi 7,75; b) 46,25 şi 0; c) 185 şi 46,25.

34. Liniaritatea relaţiei se referă la … şi nu la variabile. Astfel, modelul:

y = α 1x1

2 + α 2 +…+ α 3 + este tot un model liniar.

98

35. Variabila …, t, se introduce în anumite modele econometrice ca variabilă explicativă a fenomenului endogen Yi, imprimându-se acestora un atribut dinamic, spre deosebire de modelele statice.

Răspunsuri: 1.a, 2.a, 3.b, 4.b, 5.a, 6.a, 7.b, 8.b, 9.a, 10.c, 11. identitate, 12. statistice, 13.a, 14.a, 15.a, 16.b, 17.a, 18. Intrarea, 19.b, 20.c, 21.a, 22.b, 23.c, 24.a, 25.c, 26.a, 27.c, 28.a, 29.a, 30.a, 31.a, 32.a, 33.a, 34. Coeficienţi, 35. Timp.

99

BIBLIOGRAFIE

Andrei T., Bourbonnais R., în Econometrie, Ed. Economică, Bucureşti, 2008 Andrei T., Statistică şi econometrie, Bucureşti, Ed. Economică, 2004 Anghelache C., Capanu I., Indicatori macroeconomici. Calcul şi analiza economică, Ed.

Economică, Bucureşti, 2003 Anghelache C., Tratat de statistică teoretică şi economică, Ed. Economică, Bucureşti, 2008 Balteş N.(coord.), Analiza economico-financiară a întreprinderii, Ed. Universităţii „Lucian Blaga"

din Sibiu, 2003 Banca Centrală a Maltei, ianuarie 2011, A structural macro-econometric model of the Maltese

economy, disponibil la adresa: http://www.centralbankmalta.org/updates/Downloads/pdfs/econometric_model.pdf (accesat iunie 2011)

Begu L.S., Statistică şi software statistic, Ed. Claudet, 1999 Bianchi C., Brillet J.L., Panattoni L, Uncertainty and Stability in a Macro-Econometric Model,

Annales d-Economie et de Statistique, no 6/7, 1987 disponibil la adresa: http://annales.ensae.fr/anciens/n0607/vol67-16.pdf (accesat mai 2011)

Biji E.M, Lilea E., Roşca E., Vătui M., Statistica pentru economişti, Ed. Economică, Bucureşti, 2010

Bucur I., Macroeconomie, Ed. C.H. Beck, Bucureşti, 2010 Cenuşă Gh., Săcuiu I., Burlacu V., Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Bucureşti, Ed.

ASE, 1999 Constantin D. L., Economie Regională, Ed. Oscar Print, Bucureşti, 1998 Enache C., Mecu C., Economie politică 1 şi 2, ediţia a VII-a, Ed. Fundaţiei România de Mâine,

Bucureşti, 2009 Fair R., Using a Macroeconometric Model to Analyze the 2008–2009 Recession and Thoughts on

Macroeconomic Forecastability, martie 2009, disponibil la adresa: http://fairmodel.econ.yale.edu, (accesat iulie 2011)

Gavrilă I., Ghiţă P.T., Niţescu D., Popescu C., Economie. Aplicaţii. Teste. Probleme. Răspunsuri, ediţia a V-a, revizuită şi îmbunătăţită, Ed. Economică, Bucureşti, 2003

Gâf-Deac I., Econometrie, Ed. Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti, 2007 Greene W. H., Econometric Analysis, ediţia a 4-a, Prentice Hall International, 2000 Griffiths W. E., Hill R. C., Judge G. G., Learning and Practicing Econometrics, New York, John

Wiley& Sons, 1993 Hymans, S. H., Forecasting and Econometric Models. The Concise Encyclopedia of Economics,

2008, disponibil la adresa: http://www.econlib.org/library/Enc/ForecastingandEconometricModels.html (accesat septembrie 2011)

Iacob Patache L., Piaţa muncii şi ocuparea în zona Dobrogea, Ed. Universitară, Bucureşti, 2010 Jula D., Introducere în Econometrie, Ed. Profesional Consulting, Bucureşti, 2003 Kennedy P., A Guide to Econometrics, ediţia a 5-a, Cambridge: MIT Press, 2003 Klein L. R. (coord.), Comparative Performance of U.S. Econometric Models. Oxford: Oxford

University Press, 1991 Lapin L. L., Statistics for Modern Business Decisions, Harcourt Brace Iovanovich Publishers,

N.Y., 1987 Leontief, W.W., Input-Output Economics, Oxford University Press, 1966 Lucey T., Tehnici cantitative. Quantitative techniques, Ed. Tehnică, Bucureşti, 2001 Novotorov A. V., Brikach G. E., New Model of Forecasting Commodity Prices for Farmers.

Insights to Changing World Journal. June, 2008 disponibil la adresa: http://www.franklinpublishiihg.net (accesat august 2011)

100

Patache L., Evoluţia câştigului salarial prin prisma modelului unifactorial, Vol. Educaţie şi cercetare în spaţiul comun european al învăţământului superior/ Ed. Ex Ponto, vol.1, pp.118-127, 2010

Patache L., Reflecţii asupra convergenţei – sigma la nivelul României sub incidenţa politicii regionale de coeziune a Uniunii Europene, vol. „Sub semnul creativităţii şi inovaţiei”, Ed. Europolis, Constanţa, 2009

Patache L., Foresight over the evolution of the employment from Constantza County, in 2009-2013 period, Editura Muntenia, 2008

Patache L., Foresight over the evolution of the employment from Tulcea County, in 2009-2013 period, Editura Muntenia, 2008

Pearson E.S., Hartley H.O., Biometrika Tables for Statisticians, vol.I, Londra, Cambridge University Press, 1966

Pecican E. Şt., Tănăsoiu O., Iacob A. I., Modele econometrice, Ed. ASE, Bucureşti, 2001 Pecican E. Şt., Econometrie, Ed. All, Bucureşti, 1994 Pecican E. Şt., Econometrie ed.a 2-a revăzută şi adăugită, Ed C.H. Beck, Colecţia Oeconomica,

Bucureşti, 2006 Pivodă D., Analiza şi actualizarea la inflaţie, Ed. Economică, Bucureşti, 2001 Popescu T., Serii de timp-aplicaţii în analiza sistemelor, Bucureşti, Editura Tehnică, 2000 Raţiu-Suciu C., Luban F., Hîncu D., Ciocoiu N, Modelare economică, ediţia a 2-a, Ed. ASE, 2009 Samuelson P., Nordhaus D., Economie politică, Ed. Teora, 2000 Shumway R. H., Stoffer D.S., Time Series Analysis and Its Applications: With R Example, ediţia

a treia, Springer Texts in Statistics, 2010 Taşnadi Al., Econometrie, Ed. ASE, Bucureşti, 2005 Tănăsoiu O., Iacob A., Econometrie. Studii de caz, Ed. ASE, Bucureşti, 1998 Zadeh L.A., Polak E., Teoria sistemelo”, Editura Tehnică, Bucureşti,1973 Zaman G., Econometrie, Ed. Pro Democraţia, Bucureşti, 1998

101

ANEXA 1 Distribuţia F

Tabelul conţine valorile F corespunzătoare ariei indicată pe grafic, definită de o pereche de grade de libertate. Valorile F sunt tipărite cu caractere subţiri, iar valorile α sunt redate cu caractere îngroşate. Numărul de grade de libertate ale numărătorului mediei pătratice este înregistrat în capul coloanelor, iar numărul de grade de libertate de la numitorul mediei pătratice este pe linii.

102

continuare ANEXA 1

103

continuare ANEXA 1

104

continuare ANEXA 1

105

continuare ANEXA 1

106

continuare ANEXA 1

107

continuare ANEXA 1

108

ANEXA 2

109

continuare ANEXA 2