economy of referential preferences - teycir goucha

8/2/2019 Economy of Referential Preferences - Teycir Goucha

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E c o n o m y o f R e f e r e n t i a l P r e f e r e n c e s

A n e w m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h f o r c h o i c e t h e o r y a n d g e n e r a l e q u i l i b r i u m

T e y c i r G o u c h a *

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r w e i n t r o d u c e b a s i c n o t i o n s o f a n e w e c o n o m i c m o d e l w h e r e p r e f e r e n c e

r e l a t i o n s o n c o m m o d i t i e s s e t a r e r e p r e s e n t e d b y a g r o u p a c t i o n o n E u c l i d e a n s p a c e

i n s t e a d o f u t i l i t y f u n c t i o n . C o n d i t i o n s t h a t e n s u r e t h e e x i s t e n c e o f i n d i v i d u a l

d e m a n d f u n c t i o n a n d a g e n e r a l e q u i l i b r i u m i n t h e s e t t i n g o f e x c h a n g e e c o n o m y a r e

e x a m i n e d .

J E L C 6 2 , D 5 0 , D 5 1

K e y w o r d s : G e n e r a l E q u i l i b r i u m , P r e f e r e n c e R e l a t i o n s , G r o u p T h e o r y .

I N T R O D U C T I O N

T h e m a t h e m a t i c a l m o d e r n c o n c e p t i o n o f g e n e r a l e c o n o m i c e q u i l i b r i u m ( G E E ) i s

p r o v i d e d b y A r r o w - D e b r e u m o d e l d e v e l o p e d f r o m 1 9 5 0 ( A r r o w , D e b r e u 1 9 5 4 ) . T h i s

m o d e l p i c t u r e s t h e e c o n o m y a s a c o l l e c t i o n o f m e c o n o m i c a g e n t s w h o m a k e s u p p l y a n d

d e m a n d d e c i s i o n s o v e r a n i t e s e t o f l c o m m o d i t i e s i n o r d e r t o f u r t h e r t h e i r o w n

i n t e r e s t s . T h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m r e s e a r c h p r o g r a m t h e n s t u d i e s m a n y p r o p e r t i e s o f e c o -

n o m y , p a r t i c u l a r l y t h e p r i c e , c h o i c e s o f a g e n t s , i n d i v i d u a l a n d a g g r e g a t e d d e m a n d f u n c -

t i o n s ( B a l a s k o , 1 9 9 8 ) .

I n a p u r e e x c h a n g e m o d e l , a l l a g e n t s a r e c o n s u m e r s , a n d e a c h o f t h e m i s p r o v i d e d w i t h

a p r e f e r e n c e r e l a t i o n r e p r e s e n t e d b y a u t i l i t y f u n c t i o n o n R

l

a n d a n i n i t i a l e n d o w m e n t

e 2 R

+

l

r e p r e s e n t i n g h i s s u p p l y o e r i n t h e m a r k e t . A g e n t s a r e a s s u m e d t o t a k e a s g i v e n

t h e m a r k e t p r i c e s o f g o o d s . I n e x c h a n g e f o r h i s s u p p l y , e a c h a g e n t t r i e s t o c h o o s e t h e

c o n s u m p t i o n b u n d l e w h i c h m a x i m i z e s h i s u t i l i t y g i v e n h i s b u d g e t c o n s t r a i n t . S u c h

b u n d l e r e p r e s e n t s t h e i n d i v i d u a l d e m a n d . A g g r e g a t e d d e m a n d o f a n e c o n o m y i s t h e s u m

o f a l l i n d i v i d u a l o n e s , a n d i t i s c l e a r l y a f u n c t i o n o f p r i c e .

E q u i l i b r i u m , i s b y d e n i t i o n t h e v e c t o r p r i c e p 2 R

+

l

w h i c h m a k e s a l l m a r k e t s c l e a r

( S u p p l y = D e m a n d ) . T h e c e n t e r p i e c e o f t h e s u b j e c t ( G E E ) d e a l s w i t h t h e e x i s t e n c e a n d

p r o p e r t i e s o f e q u i l i b r i u m . T o e n s u r e a n a r m a t i v e a n s w e r t o t h a t q u e s t i o n , m a n y c o n d i -

t i o n s o n p r e f e r e n c e r e l a t i o n s , a n d h e n c e o n u t i l i t y f u n c t i o n s , a r e a s s u m e d . I n s u m m a r y ,

i t i s a s s u m e d t h a t p r e f e r e n c e s a r e c o n t i n u o u s , m o n o t o n i c a n d c o n v e x , o r e q u i v a l e n t l y ,

u t i l i t y f u n c t i o n s a r e d i e r e n t i a b l e a n d c o n c a v e . W h e n t h e s e c o n d i t i o n s h o l d f o r a l l

a g e n t s , t h e e c o n o m y i s t h e n c a l l e d n e o c l a s s i c a l , a n d e q u i l i b r i u m p r i c e s c a n b e r e a c h e d

( A l i p r a n t i s & a l , 1 9 8 9 ) .

. T e y c i r G o u c h a , A r i a n a , T u n i s i a , e - m a i l : g o u c h a @ h o t m a i l . c o m

1


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T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o b u i l d a n e w g e n e r a l f o r m u l a t i o n o f c o n s u m e r s ' c h o i c e w h e r e

r a t i o n a l i t y i n v o l v e s n o t o n l y m a x i m i z a t i o n o f p r e f e r e n c e , b u t a l s o a w e l l d e n e d r e f e r e n c e

o f c h o i c e , h e n c e o u r t e r m i n o l o g y o f E c o n o m y o f R e f e r e n t i a l P r e f e r e n c e ( E R P ) . A l t h o u g h

i t i s c l e a r t h a t t h i s a p p r o a c h c a n r e p l a c e , i n m a n y i n s t a n c e s , t h e c o n v e n t i o n a l o n e b a s e d

o n u t i l i t y f u n c t i o n , i t i s n o t o u r m a i n p u r p o s e i n t h i s p a p e r .

S i n c e t h i s p a p e r i s i n t e n d e d f o r b o t h m a t h e m a t i c i a n s a n d e c o n o m i s t s , t h e m a i n b a s i c

n o t i o n s o f t h e s e t w o e l d s a r e p r e s e n t e d . T h e r s t s e c t i o n i s d e v o t e d t o b a s i c t o o l s o f t h e

G E E i n t h e A r r o w - D e b r e u m o d e l o f t h e n i t e d i m e n s i o n a l c a s e . I n s e c t i o n t w o w e t r e a t

s e v e r a l e x a m p l e s t h a t s h o w t h e c o n s i s t e n c y o f t h e g r o u p a c t i o n a p p r o a c h a n d w e e x p l i -

c i t l y d e t e r m i n e t h e i n d i v i d u a l d e m a n d f u n c t i o n . W e e n d b y p r o v i n g o u r m a i n t h e o r e m

e s t a b l i s h i n g t h e e x i s t e n c e o f a n e q u i l i b r i u m i n t h e E R P .

1 . T h e g e n e r a l e q u i l i b r i u m m o d e l o f a n e x c h a n g e e c o n o m y

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o p r e s e n t a b r i e f i n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y o f g e n e r a l

e c o n o m i c e q u i l i b r i u m i n t h e n e o c l a s s i c a l f r a m e w o r k w i t h a n i t e n u m b e r o f c o m m o d i t i e s

a n d a g e n t s . F o r m o r e d e t a i l s a b o u t n o t i o n s a n d t h e o r e m s o f t h i s s e c t i o n , s e e ( A l i p r a n t i s

& a l , 1 9 8 9 , C h 1 ) .

1 . 1 F u n d a m e n t a l n o t i o n o f e x c h a n g e e c o n o m y : c o m m o d i t y , p r e f e r e n c e a n d

d e m a n d

A n e c o n o m y i s g i v e n b y a s e t L =

f

1 ; 2 ; ; l

g

o f c o m m o d i t i e s a n d m a g e n t s . I n t h e p u r e

e x c h a n g e m o d e l , a l l a g e n t s a r e c o n s u m e r s . T h e c o n s u m e r i 2f

1 ; ; m

gi s c h a r a c t e r i z e d

b y a n i n i t i a l e n d o w m e n t e

i

2 R

+

l

, w h i c h r e p r e s e n t s h i s s u p p l y , a n d a p r e f e r e n c e r e l a t i o n


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S a m e a s i n e c o n o m i c r e a l i t y , p r i c e p l a y s a f u n d a m e n t a l r o l e i n t h i s t h e o r e t i c a l m o d e l .

T h e r e i s a p r i c e f o r e a c h u n i t o f c o m m o d i t y l ; a n d w e w i l l d e n o t e b y p = ( p

l

) , t h e v e c t o r

o f p r i c e s . I n G E E , a l l a g e n t s ( c o n s u m e r s ) a r e a s s u m e d t o b e p r i c e - t a k e r s : t h e y b e l i e v e

t h a t t h e i r a c t i o n s ( s u p p l y a n d d e m a n d f o r c o m m o d i t i e s ) d o n o t a e c t p r i c e s . P r i c e s

s e r v e t o d e s c r i b e t h e r a t e a t w h i c h c o m m o d i t i e s c a n b e e x c h a n g e d . I n o t h e r w o r d s , t w o

b u n d l e s x ; y 2 R

+

l

c a n b e e x c h a n g e d , i f

h

p ; x

i

=

h

p ; y

i

, w h e r e

h

;

i

i s t h e s c a l a r p r o d u c t

i n R

l

G i v e n h i s i n i t i a l e n d o w m e n t e

i

, a n d v e c t o r p r i c e p , e a c h a g e n t c o m p u t e s h i s o w n b u d g e t

w

i

=

h

p ; e

i

i

T h e c o n s u m e r ' s p r o b l e m c o n s i s t s t h e n t o c h o o s e a m o n g b u d g e t f e a s i b l e

b u n d l e s , t h o s e w h i c h a r e o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h e i r p r e f e r e n c e r e l a t i o n . T h i s m e a n s

f o r t h e c o n s u m e r i , t o c h o o s e x 2 R

+

l

, s u c h t h a t x


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O n e o f m a i n p r o p r i e t i e s o f d e m a n d f u n c t i o n s t a t e s t h a t i t i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 0 , i e ,

f ( p ) = f ( p ) 8 2 R + T h e n , i t i s p o s s i b l e t o d e a l o n l y w i t h n o r m a l i z e d p r i c e p 2 S

l

, o r

p 2

l

=

n

p 2 R

+

l

; p

1

+ p

2

+ + p

l

= 1

o

. T h e s e t o f a l l s t r i c t l y p o s i t i v e p r i c e s w i l l b e

d e n o t e d b y S

1 . 2 C o n d i t i o n s o f e x i s t e n c e o f g e n e r a l e q u i l i b r i u m

W e w i l l r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o t h e n e o c l a s s i c a l m o d e l o f a n e x c h a n g e e c o n o m y

D e n i t i o n 4 .

A n e o c l a s s i c a l e x c h a n g e e c o n o m y i s a n e x c h a n g e e c o n o m y E : A R

+

l

P s u c h t h a t :

1 . T h e s e t A o f a g e n t i s n i t e .

2 . E a c h a g e n t i h a s a n o n - z e r o i n i t i a l e n d o w m e n t e

i

( i . e . , e

i

> 0 ) a n d h i s p r e f e r e n c e

r e l a t i o n

i

i s n e o c l a s s i c a l .

3 . T h e t o t a l e n d o w m e n t e =

P

e

i

i s s t r i c t l y p o s i t i v e , i . e . e 0 h o l d s .

T h e d e n i t i o n o f g e n e r a l e q u i l i b r i u m c a n b e n o w a n n o u n c e d :

D e n i t i o n 5 .

L e t E : A R

+

l

P , a n e x c h a n g e e c o n o m y w i t h m a g e n t s . L e t e

i

2 R

+

l

d e n o t e t h e i n i -

t i a l e n d o w m e n t o f a g e n t i a n d f

i

i t s d e m a n d f u n c t i o n . W e s a y t h a t t h e v e c t o r p i s a n

e q u i l i b r i u m p r i c e f o r

Ei f

P

i = 1

I

f

i

( p ) =

P

i = 1

I

e

i

T h e o r e m 6 . E a c h n e o c l a s s i c a l e x c h a n g e e c o n o m y h a s a n e q u i l i b r i u m .

T h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g m a t h e m a t i c a l r e s u l t , w h i c h w e w i l l

u s e i n s e c t i o n t w o t o p r o v e o u r m a i n r e s u l t .

T h e o r e m 7 .

L e t S =

p 2 R

l

; p

i

> 0 f o r i = 1 ; 2 ; ; l ; p

1

+ p

2

+ p

l

= 1

t h e s e t o f a l l s t r i c t l y p o s i t i v e

p r i c e s . F o r a f u n c t i o n ( ) = (

1

( ) ;

2

( ) ; ;

l

( ) ) f r o m S i n t o R

l

a s s u m e t h a t :

i i s c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d f r o m b e l o w ;

i i s a t i s e s W a l r a ' s L a w , i . e . , p ( p ) = 0 h o l d s f o r e a c h p 2 S ;

i i i .

f

p

n

g

S ; p

n

p = ( p

1

; ; p

l

) a n d p

k

> 0 i m p l y t h a t t h e s e q u e n c e

f

k

( p

n

)

g

o f

t h e k

t h

c o m p o n e n t s o f

f

( p

n

)

g

i s b o u n d e d ; a n d

i v p

n

p 2 @ S w i t h

f

p

n

g

S i m p l y l i m

n 1

k

( p

n

) k

1

= 1

T h e n , t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e v e c t o r p 2 S s a t i s f y i n g ( p ) = 0

4


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F o r p r o o f s o f t h e o r e m s 6 a n d 7 w e r e f e r t h e r e a d e r t o ( A l i p r a n t i s & a l , 1 9 8 9 , p 3 2 - 3 4 ) .

2 . R e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e a n d c o n d i t i o n s o f e q u i l i b r i u m

I n t h i s s e c t i o n i t i s s h o w n b y e x a m p l e s t h a t p r e f e r e n c e r e l a t i o n s o n c o m m o d i t i e s s e t c a n

b e r e p r e s e n t e d b y a g r o u p a c t i o n o n R

l

. T h i s v i e w p o i n t s h e d s s o m e n e w l i g h t o n t h e e c o -

n o m i c r a t i o n a l i t y a n d c o n d i t i o n s o f e q u i l i b r i u m . I n t h i s w o r k w e w i l l t o u c h o n l y a f e w

a s p e c t s o f g r o u p t h e o r y a n d k n o w l e d g e o f e l e m e n t a r y m a t r i c i a l c a l c u l u s i s s u c i e n t ( s e e

R o m a n , 2 0 1 2 , f o r d e t a i l s a n d m a n y e x a m p l e s o f g r o u p a c t i o n ) .

2 . 1 M o t i v a t i o n s a n d e x a m p l e s o f r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e

B e f o r e i n t r o d u c i n g o u r g e n e r a l f r a m e w o r k , w e b e g i n b y a s i m p l e e x a m p l e w h e r e w e c a n

s e e t h a t i n d i e r e n c e s e t s o f u t i l i t y f u n c t i o n m a y b e r e p r e s e n t e d , o r m o r e p r e c i s e l y

r e p l a c e d b y g r o u p a c t i o n o n R

l

E x a m p l e 1 T h e c o m m o d i t y s p a c e i s R

+

2

a n d t h e u t i l i t y f u n c t i o n u i s :

u : R

+

2

R ; u

x

y

= x y

W e c h o o s e t h e o n e - p a r a m e t e r ' s s u b g r o u p G o f G L ( 2 ; R ) , G =

a 0

0

1

a

!

; a 2 R

+

. T h e

a c t i o n o f G o n R

2

i s s i m p l y t h e M a t r i c i a l o n e o n t h e E u c l i d e a n s p a c e , n a m e l y :

g

x

y

=

a x

1

a

y

!

; w h e r e g =

a 0

0

1

a

!

f o r s o m e a > 0

W e a s s e r t t h a t i n d i e r e n c e s e t s o f u a r e e x a c t l y t h e o r b i t s f o r v e c t o r s o n R

+

2

I n d e e d , e x c e p t t h e t r i v i a l c a s e ( c = 0 ) w h i c h i s o b v i o u s l y a u n i o n o f t w o o r b i t s , x c > 0

a n d t h e i n d i e r e n c e s e t I

c

=

n

x

y

2 R

+

2

; u

x

y

= c

o

G i v e n a n y c o m m o d i t y

x

0

y

0

2 I

c

,

h i s o r b i t i s n o t h i n g b u t I

c

i t s e l f . A c t u a l l y , f o r a n y g =

a 0

0

1

a

!

2 G , i t i s c l e a r t h a t

g

x

0

y

0

=

a x

0

1

a

y

0

!

2 I

c

. C o n v e r s e l y , a n y c o m m o d i t y

x ~

y ~

2 I

c

i s i n t h e o r b i t o f

x

0

y

0

,

s i n c e

x ~

y ~

=

0

B

@

x ~

x

0

0

0

y ~

y

0

1

C

A

x

0

y

0

=

a 0

0

1

a

!

x

0

y

0

w h e r e a =

x ~

x

0

=

1

y ~

y

0

w h i c h i s d u e t o t h e f a c t

t h a t x

0

y

0

= c = x ~ y ~

I t r e m a i n s t o s h o w t h a t a n y o r b i t i s a n i n d i e r e n c e s e t . T h i s c a n b e d e d u c e d f r o m t h e

f a c t t h a t ( a x ) (

1

a

y ) = x y , a n d f o r a l l

x ~

y ~

s u c h t h a t x ~ y ~ = x y w e h a v e

0

@

x ~

x

0

0

y ~

y

1

A

x

y

=

x ~

y ~

A s i n d i e r e n c e s e t I

c

i s a r b i t r a r y , t h i s i s s u c i e n t t o c o n c l u d e t h a t t h e d e s c r i p t i o n o f

i n d i e r e n c e s e t s o f c o n s u m e r w i t h g i v e n u t i l i t y f u n c t i o n u c a n b e e c i e n t l y m a d e b y a

g r o u p a c t i o n s o n R

+

2

T h i s e x a m p l e g a i n s i n i n t e r e s t o n l y i f w e a r e a b l e t o s e e h o w g r o u p a c t i o n b e c o m e s

u s e f u l t o d e n e a m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k o f c o n s u m e r ' s t h e o r y a n d g e n e r a l e q u i l i b r i u m .

I n o t h e r w o r d s , w e h a v e t o d e n e a c o m p l e t e o r d e r o n R

+

l

a n d a c o n s u m e r m a x i m i z a t i o n

p r o b l e m i n t h i s n e w s e t t i n g .

A c t u a l l y , l e t G a t o p o l o g i c a l g r o u p a n d a c o n t i n u o u s a c t i o n o f G o n R

l

. H e r e a n d

s u b s e q u e n t l y , O

x

d e n o t e s t h e o r b i t o f x 2 R

l

u n d e r g r o u p a c t i o n . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t

a n y g r o u p a c t i o n i n d u c e s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n R

l

. I n d e e d , s u c h e q u i v a l e n c e c a n b e

o b v i o u s l y d e n e d a s f o l l o w i n g :

5


6/10

x y i 9 g 2 G s t

g

( x ) = y

B u t s i n c e t h i s i s n o t s u c i e n t t o g i v e a t o t a l l y ( c o m p l e t e ) o r d e r o n R

+

l

. S o m e o t h e r c o n -

d i t i o n s a r e n e e d e d . W i t h t h e n o t a t i o n R

+ +

l

=

x 2 R

l

/ x

i

> 0 ; 1 6 i 6 l

, o u r b a s i c

a s s u m p t i o n i s t h e f o l l o w i n g :

A x i o m 1

F o r a l l x

2R

+ +

l

; t h e r e i s a u n i q u e v

2R

+

s u c h t h a t x

2 O

v I

l

w h e r e I

l

=

0

@

1

1

1

A

2R

l

W e w i l l d e n o t e b y v

x

t h e u n i q u e r e a l v s u c h t h a t w e h a v e x 2 O

v I

l

O f c o u r s e t h i s i m p l i e s t h a t t h e q u o t i e n t o f R

+ +

l

b y t h e e q u i v a l e n c e r e l a t i o n i n d u c e d b y

t h e a c t i o n o f g r o u p i s i d e n t i e d w i t h R

+

C l e a r l y , w e c a n d e d u c e a p r e f e r e n c e r e l a t i o n o n R

+ +

l

f r o m a g r o u p a c t i o n w h i c h v e r i e s

a x i o m 1 . I n d e e d , w e s a y t h a t x i s m o r e d e s i r a b l e t h a n y w h e n v

x

> v

y

, a n d t h e y a r e e q u i -

v a l e n t i f v

x

= v

y

W e s i m p l y n o t e , t h a t v

x

= v

y

9 g 2 G s u c h t h a t

g

( x ) = y x y

T h e a b o v e a x i o m i s n o t o n l y a s i m p l e m a t h e m a t i c a l h y p o t h e s i s , b u t i t h a s a n e v i d e n t

e c o n o m i c m e a n i n g w h i c h a s s e r t s t h a t c o n s u m e r c o m p a r e s e a c h b u n d l e w i t h a v e r y s i m p l e

o n e w h i c h i s v I

l

= v

0

@

1

1

1

A

. B y i d e n t i f y i n g v I

l

a n d v 2 R , f u r t h e r a n a l y s i s m a y e v e n t u -

a l l y l e a d t o i n t e r p r e t v I

l

i n t e r m s o f a m e d i u m o f e x c h a n g e o r m o n e y . B u t t h i s i s s t i l l

j u s t a m e r e e v e n t u a l i t y

I n m a n y e x a m p l e s , a x i o m 1 i s a v a i l a b l e f o r a l l R

+

l

a n d t h e a b o v e p r e f e r e n c e c a n b e

e x t e n d e d t o a l l c o m m o d i t i e s o n R

+

l

. W h e n t h i s i s n o t t h e c a s e w e a s s u m e t h a t a l l x 2

R

+ +

l

a r e p r e f e r r e d t o a n y t h i n g o n t h e t h e b o u n d a r y . T a k i n g i n t o a c c o u n t t h i s d e t a i l , w e

s t a t e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n :

D e n i t i o n 8 .

W e s a y t h a t a p r e f e r e n c e r e l a t i o n 0 . i t f o l -

l o w s t h a t v

x

6 v

y

N o w w e w i l l s o l v e a s i m p l e p r o b l e m o f c o n s u m e r ' s d e m a n d w i t h n o u s e o f u t i l i t y f u n c -

t i o n . T h e g r o u p G a r e t h e s a m e a s i n e x a m p l e 1 .

E x a m p l e 2 . L e t p =

1

2

;

3

p

2

t h e p r i c e v e c t o r a n d w = 2 0 0 t h e b u d g e t o f t h e c o n s u m e r .

T o s o l v e t h e c o n s u m e r ' s p r o b l e m w h i c h i s

M a x i m i z e v

x

s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t p x 6 w

, w e s e t t h a t x =

t 0

0

1

t

!

v

x

v

x

f o r s o m e t a n d v

x

2 R

+

. I t ' s n o t d i c u l t t o v e r i f y t h a t t a n d v

x

e x i s t a n d

t h a t t h e y a r e u n i q u e . A c t u a l l y , i f x =

x

1

x

2

2 R

+ +

2

, t h e n w e c a n s e e t h a t v

x

= x

1

x

2

p

a n d

t =

x

1

x

2

q

. T h e b u d g e t c o n s t r a i n t b e c o m e s :

p ;

t 0

0

1

t

!

v

x

v

x

= w

1

2

t v

x

+

3

p

2 t

v

x

= 2 0 0 v

x

=

4 0 0 t

t

2

+ 3

p

6


7/10

W e t h e n o b t a i n v

x

( t ) =

4 0 0 t

t

2

+ 3

p

, t h a t r e a c h e s i t s m a x i m u m a t t = 3

4

p

, f o r w h i c h w e h a v e

v

x

= 2 0 0 ( 3

4

p

)

? 1

F i n a l l y , t h e s o l u t i o n o f t h i s m a x i m i z a t i o n p r o b l e m g i v e s u s x =

2 0 0

2 0 0 3

p

3

!

a s t h e c o n -

s u m e r ' s d e m a n d .

T o t r e a t t h e g e n e r a l c a s e w e m u s t g i v e n e c e s s a r y a n d / o r s u c i e n t c o n d i t i o n s o n g r o u p s

t o e n s u r e r e l i a b i l i t y a n d e c i e n c y o f a x i o m p r e f e r e n c e a n d s o t h e e x i s t e n c e o f i n d i v i d u a l

d e m a n d f u n c t i o n . I n d e e d , u n d e r t h e a x i o m 1 , w e h a v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m :

T h e o r e m 9 . L e t a c o n s u m e r w i t h r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e r e l a t i o n o n R

+

l

g i v e n b y a g r o u p

G a c t i n g o n R

+

l

. T h e n , t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m f o r t h e c o n s u m e r u n d e r t h e b u d g e t

c o n s t r a i n t i s e q u i v a l e n t t o t h e m i n i m i z a t i o n o f a n o n n e g a t i v e c o n t i n u o u s r e a l v a l u e d

f u n c t i o n o n t h e g r o u p G

P r o o f . S i n c e r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e s a r e d e t e r m i n e d b y v = v

x

w h e r e x = v

x

g

(

I

)

, t h e n

t h e d e m a n d f u n c t i o n i s g i v e n b y t h e s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g p r o b l e m :

M a x i m i z e v

x

s u b j e c t t o t h e b u d g e t c o n s t r a i n t

h

p ; x

i

= w

T h i s m a x i m i z a t i o n p r o b l e m i s c l e a r l y e q u i v a l e n t t o n d i n g t h e m a x i m a l v a l u e o f v , s u c h

t h a t

h

p ; v

g

(

I

) i

= w . S o , w e h a v e t o m a x i m i z e v = v

(

g

)

=

w

h

p ;

g

(

I

) i

B u t s i n c e

g

(

I

)

2 R

+

l

a n d p 2 R

+ +

l

, w e h a v e

h

p ;

g

(

I

) i

> 0 . A s

h

p ;

g

(

I

) i

0 8 g 2 G , c o n -

t i n u i t y o f v

(

g

)

f o l l o w s d i r e c t l y f r o m c o n t i n u i t y o f g r o u p a c t i o n a n d s c a l a r p r o d u c t o n R

l

A s w i s x e d , a n d w a n d

h

p ;

g

(

I

) i

a r e b o t h p o s i t i v e , t h e n t h e p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o

m i n i m i z i n g

h

p ;

g

(

I

) i

f o r g 2 G

I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n w e a s s u m e t h a t r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e s s a t i s f y t h e f o l -

l o w i n g a x i o m w h i c h i s t h e c o r n e r s t o n e o f o u r a p p r o a c h :

A x i o m 2

F o r c o n s u m e r i 2 I , t h e g r o u p a c t i o n ' s : G

i

R

+

l

R

+

l

w h i c h d e n e s h i s p r e f e r e n c e

r e l a t i o n s o n t h e c o m m o d i t y s p a c e R

+

l

, s a t i e t i e s : 9 ! g

i

2 G

i

; s u c h t h a t

h

I ;

g

i

I

i

6

h

I ;

g

I

l

i

; 8 g 2 G

i

T h e o r e m 1 0 .

L e t e

i

2 R

+ +

l

t h e i n i t i a l e n d o w m e n t o f c o n s u m e r i w h o s e p r e f e r e n c e i s d e n e d b y a

g r o u p G

i

. T h e n i t s d e m a n d f u n c t i o n i s e x p l i c i t l y g i v e n b y :

f

i

: R

+ +

l

R

+

l

, f

i

(

p

)

=

w

i

v

p

I ;

g

i

I

g

p

? 1

g

i

I

w h e r e p = v

p

g

p

I , a n d w

i

=

h

p ; e

i

i

i s t h e b u d g e t o f c o n s u m e r i

P r o o f . L e t p 2 R

+ +

l

t h e g i v i n g v e c t o r p r i c e . B y t h e o r e m 9 t h e m a x i m i z a t i o n p r o b l e m i s

e q u i v a l e n t t o m i n i m i z e

h

p ;

g

I

i

f o r g

2G

i

. B u t s i n c e p

2R

+ +

l

, t h e r e i s g

p

2G

i

a n d v

p

>

0 ; s u c h t h a t p = v

p

(

g

p

I ) . T h e n w e h a v e t o m i n i m i z e

g

p

I ;

g

I

f o r g 2 G . N o w ,

g

p

I ;

g

I

=

I ;

( g

p

g )

I

, a n d , b y a x i o m 2 , t h e m i n i m u m i s g i v e n f o r g

i

= g

p

g , o r

e q u i v a l e n t l y f o r g = g

p

? 1

g

i

. F i n a l l y , v

m a x

=

w

i

v

p

I ;

g

i

I

a n d f

i

= v

m a x

g

p

? 1

g

i

I =

w

i

v

p

I ;

g

i

I

g

p

? 1

g

i

I

7


8/10

R e m a r k 1 1 . S i n c e p = v

p

g

p

I ; w h e r e g

p

2 G

i

, w e c a n w r i t e p = M

p

I w h e r e M

p

i s t h e

d i a g o n a l m a t r i x w i t h e n t r i e s m

i ; i

= p

i

. I n o t h e r w o r d M

p

= v

p

g

p

a n d t h e i n d i v i d u a l

d e m a n d f u n c t i o n f o r c o n s u m e r i t a k e s t h i s f o r m : f

i

(

p

)

=

w

i

I ;

g

i

I

M

p

? 1

g

i

I

C o r o l l a r y 1 2 . T h e d e m a n d f u n c t i o n i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e 0 .

P r o o f . L e t 2 R

+

, f r o m t h e a b o v e e x p r e s s i o n o f i n d i v i d u a l d e m a n d f u n c t i o n , f

i

(

p

)

=

h

M

p

I ; e

i

i

I ;

g

i

I

M

p

? 1

g

i

I A s M

p

i s a d i a g o n a l m a t r i x f o r m o f t h e p v e c t o r , t h e n M

p

=

M

p

, a n d M

p

? 1

=

? 1

M

p

. T h i s c l e a r l y i m p l i e s f

i

( p ) = f

i

( p )

2 . 2 R e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e s a n d e q u i l i b r i u m

W e s t a r t w i t h a n e x a m p l e t a k e n f r o m ( A l i p r a n t i s & a l , 1 9 8 9 ) t o s e e h o w o u r g r o u p s '

b a s e d a p p r o a c h i s a b l e t o p r o v i d e s a m e r e s u l t s a s t h e c o n v e n t i o n a l o n e b a s e d o n u t i l i t y

f u n c t i o n .

E x a m p l e 3

L e t a n e c o n o m y w i t h t w o c o m m o d i t i e s a n d t h r e e a g e n t s a n d n o t e t h a t ( p

1

; p

2

) i s t h e

v e c t o r p r i c e . U t i l i t y f u n c t i o n s o f a g e n t s a r e u

1

( x ; y ) = x y ; u

2

( x ; y ) = x

2

y a n d u

3

( x ; y ) =

x y

2

, a n d t h e i r i n i t i a l e n d o w m e n t a r e e

1

=

1

2

; e

2

=

1

1

a n d e

3

=

2

3

. T h e s e a s s u m p -

t i o n s a r e e x t r a c t e d f r o m e x a m p l e 1 . 4 . 1 0 i n A l i p r a n t i s a n d a l l ] .

F o r u s , a l l p r e f e r e n c e s a r e g i v e n b y g r o u p s a n d t h e i r a c t i o n s o n R

+

2

C o n s u m e r 1 . T h e g r o u p o f p r e f e r e n c e i s t h e m a t r i c i a l s u b g r o u p G

1

=

t 0

0

1

t

!

; t > 0

I t s

m a x i m i z a t i o n p r o b l e m

M a x i m i z e v = v

X

s u b j e c t t o t h e b u d g e t c o n s t r a i n t p

1

x + p

2

y = b

1

w h e r e X = ( x ; y ) , i s e q u i -

v a l e n t t o n d i n g t h e g r e a t e s t v s u c h t h a t

P ; v

t 0

0

1

t

!

1

1

= p

1

+ 2 p

2

s i n c e f o r e a c h

X = ( x ; y ) t h e r e i s a u n i q u e t > 0 a n d v > 0 w i t h X = v

t 0

0

1

t

!

1

1

T h e n , w e h a v e t o n d M a x v > 0 ; s u c h t h a t v

p

1

p

2

;

t

1

t

!

= p

1

+ 2 p

2

w h i c h g i v e s :

v

h

t p

1

+

1

t

p

2

i

= p

1

+ 2 p

2

v =

t ( p

1

+ 2 p

2

)

t

2

p

1

+ p

2

N o w , v = v ( t ) r e a c h e s i t s o p t i m u m w h e n

d v

d t

= 0 , a n d t h i s o c c u r s a t t

0

=

p

2

p

1

q

. S i n c e f o r

t =

p

2

p

1

q

> 0 w e h a v e

d

2

v

d t

2

0

; v ( t ) =

t

2

(

p

1

+ p

2

)

p

1

t

3

+ p

2

r e a c h e s i t s m a x i m u m

a t t =

2 p

2

p

1

3

q

w h e r e v

m a x

=

p

1

+ p

2

p

1

2 p

2

p

1

1 / 3

+ p

2

p

1

2 p

2

2 / 3

. F r o m t h i s , w e d e d u c e t h a t t h e d e m a n d

o f t h e 2 n d c o n s u m e r i s x

2

( p ) =

2 p

1

+ 2 p

2

3 p

1

;

p

1

+ p

2

3 p

2

8


9/10

C o n s u m e r 3 T h e g r o u p i s G

3

=

t

2

0

0

1

t

!

; t > 0

; t h e m a x i m u m o f v ( t ) =

t

(

2 p

1

+ 3 p

2

)

p

1

t

3

+ p

2

i s

r e a c h e d a t t

0

=

p

2

2 p

1

3

q

, a n d v

m a x

=

2 p

1

+ 3 p

2

p

1

(

p

2

2 p

1

)

2 / 3

+ p

2

(

2 p

1

p

2

)

1 / 3

. T h e n w e n d x

3

( p ) =

2 p

1

+ 3 p

2

3 p

1

;

4 p

1

+ 6 p

2

3 p

2

a s t h e d e m a n d o f c o n s u m e r 3 .

T o c a l c u l a t e t h e e q u i l i b r i u m p r i c e , i t s u c e s t o e s t a b l i s h t h e c o m m o n e q u i l i b r i u m c o n d i -

t i o n : Z ( p ) =

P

i = 1

3

x

i

( p ) ?

P

i = 1

3

e

i

= 0 . I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t

1 6 p

2

? 1 3 p

1

6 p

1

;

1 3 p

1

? 1 6 p

2

6 p

2

= 0 . T h e l a s t e q u a l i t y g i v e s , u n d e r t h e c o n d i t i o n p

1

+ p

2

= 1 , t h e v a l u e o f

p r i c e e q u i l i b r i u m , p

e q

=

1 6

2 9

;

1 3

2 9

. A l l t h e s e r e s u l t s a r e e x a c t l y t h e s a m e o b t a i n e d b y t h e

u s e o f u t i l i t y f u n c t i o n s .

B a s e d o n t h e a b o v e e x a m p l e s a n d r e s u l t s , w e s u g g e s t t o d e n e a n e w m a t h e m a t i c a l

f r a m e w o r k o f a n e x c h a n g e e c o n o m y w h e r e t h e s e t I o f a g e n t s i s n i t e . T h i s i s t o b e

d e n e d a s :

D e n i t i o n 1 3 . A n e x c h a n g e e c o n o m y i s s a i d t o b e o f r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e s i f :

T h e c o n s u m p t i o n s e t c o i n c i d e s w i t h R

+

l

;

E a c h a g e n t i h a s a s t r i c t l y p o s i t i v e i n i t i a l e n d o w m e n t , i . e . , e

i

2 R

+ +

l

a n d ;

T h e p r e f e r e n c e r e l a t i o n

i

i s r e f e r e n t i a l ( d e n i t i o n 8 ) , a n d s a t i s e s a x i o m 2 , f o r

a l l i 2 T

T h e m a i n r e s u l t o f t h i s p a p e r i s p r o v i d e d b e l o w :

T h e o r e m 1 4 .

E v e r y e x c h a n g e e c o n o m y o f r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e s h a s a n e q u i l i b r i u m p r i c e .

P r o o f . I t i s b a s e d o n T h e o r e m 7 , s e c t i o n 1 .

A c c o r d i n g t o t h e o r e m 1 0 t h e e x c e s s d e m a n d f u n c t i o n i n E R P i s g i v e n b y Z : S R

l

,

Z ( p ) =

P

i

f

i

(

p

)

?

P

i

e

i

=

P

i 2 I

w

i

v

p

I ;

g

i

I

g

p

? 1

g

i

I ? e , w h e r e e =

P

i

e

i

2 R

+ +

F i r s t , t h e c o n t i n u i t y o f Z i s a c o n s e q u e n c e o f c o n t i n u i t y o f g r o u p a c t i o n a n d s c a l a r p r o -

d u c t o n R

l

. A n d s i n c e a l l f

i

2 R

+

l

, t h e n Z i s c l e a r l y b o u n d e d f r o m b e l o w .

S e c o n d , a s f

i

i s t h e s o l u t i o n o f m a x i m i z a t i o n p r o b l e m u n d e r t h e b u d g e t c o n s t r a i n t t h e n

h

p ; f

i

( p )

i

=

h

p ; e

i

i

, a n d

h

p ; Z ( p )

i

= 0 f o l l o w s f r o m t h e e q u a l i t y : Z ( p ) =

P

i

f

i

(

p

)

?

P

i

e

i

T h i r d , l e t n o w

fp

n

g S ; p

n

p = ( p

1

; ; p

l

) a n d p

k

> 0 . T o s e e w h y t h e s e q u e n c e

f

Z

k

( p

n

g

o f t h e k

t h

c o m p o n e n t s o f

f

Z ( p

n

)

g

i s b o u n d e d , w e c o n s i d e r r e m a r k 1 1 a n d t h i s

e x p r e s s i o n o f d e m a n d f u n c t i o n :

P

i

f

i

(

p

)

=

P

i

h

M

p

I ; e

i

i

I ;

g

i

I

M

p

? 1

(

g

i

I

)

. S i n c e p

n

2 S, t h e n

t h e k

t h

c o m p o n e n t o f M

p

n

a n d M

p

n

? 1

a r e n o n n e g a t i v e f o r a l l n a n d t e n d r e s p e c t i v e l y t o p

k

a n d ( p

k

)

? 1

, w h i c h c l e a r l y i m p l i e s f

i

( p

k

n

) i s b o u n d e d f o r a l l i 2

f

1 ; 2 ; ; m

g

, a n d c o n -

s e q u e n t l y t h e s a m e h o l d s f o r

f

Z

k

( p

n

g

9


10/10

L a s t , i t r e m a i n s t o p r o v e t h a t l i m

n 1

k

Z ( p

n

)

k

1

= 1 i f p

n

p 2 @ S w i t h

f

p

n

g

S

L e t j 2

f

1 ; 2 ; ; m

g

s u c h t h a t p

j

= 0 . T h e n p

j

n

0 , a n d ( p

j

n

)

? 1

+ 1 w h i c h i m p l i e s

t h a t t h e j

t h

c o m p o n e n t o f i n d i v i d u a l d e m a n d t e n d s t o i n n i t y , n a m e l y w e h a v e

M

p

n

? 1

(

g

i

I)

j

+ 1 f o r a l l c o n s u m e r i . S i n c e

h

M

p

I ; e

i

i

I ;

g

i

I

> 0 f o r a l l i , t h e n

(

f

i

( p )

)

j

+

1 , a n d i t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t l i m

n 1

k

Z ( p

n

)

k

1

= 1

C o n c l u s i o n

I n h i s t h e o r y o f v a l u e , G e r a r d D e b r e u w r o t e : ` ` A s t a t e o f t h e e c o n o m y i s a s p e c i c a t i o n

o f t h e a c t i o n o f e a c h a g e n t . . . B u t t h e s e a c t i o n s a r e n o t n e c e s s a r i l y c o m p a t i b l e w i t h t h e

t o t a l r e s o u r c e s . C a n o n e n d a p r i c e s y s t e m w h i c h m a k e s t h e m c o m p a t i b l e ? " ( D e b r e u ,

1 9 5 9 , p 7 4 )

I n t h i s w o r k w e p r o v e t h a t i f , a l l a g e n t s c h o o s e t h e i r p r e f e r e n c e i n s o m e g r o u p s e t t i n g ,

a n d m a k e t h e i r c h o i c e i n c o m p l i a n c e w i t h a s i m p l e g e n e r a l r u l e o f r e f e r e n t i a l n a t u r e , t h e n

w e c a n n d a s y s t e m o f p r i c e w h i c h m a k e s a l l c h o i c e s c o m p a t i b l e .

A n i n d e p t h w o r k u s i n g a d d i t i o n a l e x a m p l e s w i l l c e r t a i n l y a l l o w u s t o c o m e a c r o s s o t h e r

p r o p e r t i e s o f r e f e r e n t i a l p r e f e r e n c e a n d t o b e t t e r g r a s p i t s e c o n o m i c i n t e r p r e t a t i o n s .

R e f e r e n c e s

A l i p r a n t i s , C . D . , B r o w n , D . J . , B u r k i n s h a w , O . , ( 1 9 8 9 ) , E x i s t e n c e a n d o p t i m a l i t y o f

C o m p e t i t i v e E q u i l i b r i u m . B e r l i n , H e i d e l b e r g , N e w Y o r k , S p r i n g e r .

A r r o w , K . J . a n d G . D e b r e u , ( 1 9 5 4 ) , E x i s t e n c e o f a n E q u i l i b r i u m f o r a C o m p e t i t i v e

E c o n o m y , E c o n o m e t r i c a , 2 2 , 2 6 5 - 2 9 0 .

B a l a s k o , Y . ( 1 9 9 8 ) F o u n d a t i o n s o f t h e T h e o r y o f G e n e r a l E q u i l i b r i u m . A c a d e m i c

P r e s s , B o s t o n .

D e b r e u , G . ( 1 9 5 9 ) , T h e o r y o f V a l u e , A n A x i o m a t i c A n a l y s i s o f E c o n o m i c E q u i l i b r i u m ,

N e w Y o r k : W i l e y .

R o m a n , S . ( 2 0 1 1 ) , F u n d a m e n t a l s o f G r o u p T h e o r y , A n A d v a n c e d A p p r o a c h , B o s t o n ,

B i r k h a u s e r .

1 0

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