Écoulement en conduite

7/26/2019 coulement en Conduite

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1Hydraulique 3GEN 2015-2016

Hydraulique

Ecoulementsde liquides rels

en conduite

Pertes de charge


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Plan du chapitre

1 Caractristiques dun coulement en conduite

2 Ecoulement laminaire pleinement tabli en conduite

3 Ecoulement turbulent pleinement tabli en conduite

4 Thorme de Bernoulli gnralis

5 Calcul de pertes de charges rgulires

6 Calcul de pertes de charges singulires

7 Mesure de dbit dans une canalisation


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Exprience de Osborne Reynolds (1842-1912)

1883 : tude exprimentale mis en vidence les deux rgimesdcoulements de liquides rels sous pression

1- Caractristiques dun coulement en conduite

Quelles conditions provoquaientle passage dun rgime lautre ?

Re

VL

L

V

L

V

~visqueusesForces

inertied'Forces

2

2

==

Rgime laminaire

Rgime transitoire

Rgime turbulent

Re < 2000

2000 < Re < 4000

Re > 4000


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Zone dentre et coulement tabli

coulement tabli

Les effets visqueux ontcontamin toute lacanalisation

La vitesse ne dpend que de ret pas de s pas dacclration du fluide

Caractristiques dun coulement en conduite

Couche limite

Cne potentiel

Pas deffet visqueux Fluideparfait

Acclration du fluide

La vitesse dpend de ret de s

Rgion dentre Rgion tablie

Le

s

s : abscisse curviligne



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Longueur dentre ou dtablissement Le

Caractristiques dun coulement en conduite

Fin de la zone dentre : position laquelle les couches limites serejoignent

Ledpend du rgime dcoulement (laminaire ou turbulent)

Le / D = 0,05 Re

coulement turbulent : Le / D = 4,4 Re1/6

Quelques valeurs numriques: eau, D = 0,01 m,

= 10-6 m2.s-1

pour Re = 102 (U = 0,01 m.s-1,) Le= 5 cm

pour Re = 103

(U=0,1 m.s-1

) Le= 50 cmpour Re = 105 (U=10 m.s-1) Le= 30 cm

coulement laminaire :

Dans la zone dcoulement pleinement tabli, on va pouvoir tablir pour lechamp de vitesse des rsultats exacts (laminaire) ou universels (turbulent).



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v ne dpend que de r

Ecoulement pleinementdvelopp (tabli) Ecoulement endveloppement

Ecoulement pleinementdvelopp (tabli)

Zone dentre oudtablissement

Couche limite

r s

D

Lev dpend de s et r

Longueur de rtablissement de lcoulement aprs chaque singularit:changement de diamtre, coude, bifurcation, etc

Zone dentre et coulement tabli

Caractristiques dun coulement en conduite1- Caractristiques dun coulement en conduite


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Gradient de pression

0csts

gz)(p

s

*p


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Contraintes visqueusesHypothses

coulement stationnaire:

coulement tabli axisymtrique Profil de vitesse: ( ) ( ) xx ervrv =

0t

v=

r

L

xD

Systme (volume defluide) linstant t

Systme linstant t+dt

Bilan de quantit de mouvement sur laxe de la conduite



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coulement tabli acclration nulle rsultante des forces quiagissent sur le systme (volume de fluide) est nulle

quilibre entre forces de pressions (aux deux extrmits) et visqueuses(sur la paroi latrale de llment fluide):

r)

2

r L

p1 r 2 (p1-p) r 2

L

0> ,pr

(r)2L

p=

p/L constant donc (2

/ r)aussi

/ r = A = A.r

Contraintes visqueuses



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= 0 au centre de la canalisation

est maximale la paroi:max= p pour r=D/2

Le gradient de pression

p/L et le frottement visqueux la paroip sont

constants dans tout lcoulement et relis par la relation:

Ce raisonnement est valable en rgime laminaire, en rgime turbulent (contraintes etpressions moyennes) et en prsence de fluides non newtoniens.

D

4

L

p

p

=

D

2r)r(

p =

( ) pRr ==

( ) 00r ==v(r) r)

= A.r



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2- coulement laminaire pleinement tabli en conduite

rxD

Systme (volume defluide) linstant t

Systme linstant t+dt

L

Bilan de quantit de mouvement sur laxe de la conduite

r

(r)2

L

p=

relation entre et dvx /dr en rgime laminaire:

soit

drx

dv-=

r2L

p

dr

dvx

=

Conditions limites: adhrence la paroi vx(r =D/2=R) = 0

intgration ( )

=

22

xR

r1

L16

Dprv

profil de vitesseparabolique


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2

v

drr2R

r

1vR

1

U

max

R

02

2

max2 =

=

( ) pRr ==

( ) 00r ==

vmaxU=vmax/2

Profil laminaire

Profil non visqueuxv(r)

r)

L16

Dpv

2

max = ( )

=

2

maxxR

r1vrvVitesse maximale :

Vitesse dbitante ou

vitesse moyenne :

Dbit volumiqueL128

pDU

4

DV

42

==&

On peut envisager de mesurer ledbit volumique par une simplemesure de diffrence de pression la paroi entre deux sectionsdistantes de L.



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4D

VL128p

&

=

Loi de Hagen - Poiseuille

Ludwig Hagen (1797 -1884) : ingnieur hydraulicien allemandJean-Louis-Marie Poiseuille (1797 1869) : mdecin franais

En 184016xP2,/DSi

2xP2,xVSi

&

Retrouver la loi de Hagen-Poiseuille par lanalyse dimensionnelle

Variables dont dpend la perte de charge : p = f (L,D,,U)En utilisant le thorme de V.B. (p=5, q=3) on trouve que:

=DL

UpD

L

Dp

4k

URV4

2

==&soit

La constante k(=32) est trouve grce lexprience ou un modle.



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3- coulement turbulent pleinement tabli en conduite

coulement turbulent :

- grande majorit des coulements industriels

- variations rapides irrgulires et alatoires de la vitesse

- coulement 3D. Mlanges importants transfert chaleur intressant.

- impossibilit de mesurer la vitesse en tout pt pour caractriser

lcoulement- caractrisation des vitesses, pression en termes statistiques

- turbulence entrane une dissipation dnergie supplmentaire par rapport lcoulement laminaire

laminaire turbulent


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Profils de contrainte et de vitesse en conduite:



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Profils de contrainte et de vitesse en conduite:

paroi de laconduite

axe de laconduite

Profil de contrainte Profil de vitesse

Sous-couche visqueuse ou couche laminaire secondaire : visc>> turbulent

gradient de vitesse trs important

Couche externe: visc


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Profil de vitesse dans la sous-couche visqueuse:

Exemple Epaisseur de la sous-couche visqueuse

Ecoulement deau dans une canalisation de 10 cm

Si vd varie de 0,1 10 m.s-1, lpaisseur de la sous-couche visqueuse (ou

couche laminaire secondaire) varie de 0,08 0,0013 cm (Re de 104 106)

Prdominance de laminairedevant turbulent

Aspect turbulent trs peu prononcEcoulement presque laminaire dans cette zone

Profil de vitesse linaire



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Profil de vitesse dans la zone externe:

DVRe =

n

R

r

maxvv

- lexposant ndpend du nombre de Reynolds Re

( )n1

max R

r1

v

rv

=

Exprience:

-approximation du profil de vitesse par une loi enpuissance:



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A retenir sur lcoulement tabli turbulent en conduite circulaire:Le profil de vitesse peut tre dcompos en trois zones:

une zone proche de la paroi o le profil de vitesse est linaire;les effets visqueux dominent et lcoulement est presquelaminaire;

une zone intermdiaire o la vitesse varie de faonlogarithmique;

une zone centrale o le profil suit approximativement une loi enpuissance.

Lorsque Reaugmente, lpaisseur de la sous-couche visqueuse devienttrs petite devant le diamtre D, lexposant naugmente et le profil devitesse saplatit.

Donc, on a presque un profil de vitesse uniforme, comme pour un fluideparfait, lexception dune trs petite zone prs de la paroi. Cettecaractristique sera utilise pour le calcul des pertes de charge dansles conduites.



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4- Thorme de Bernoulli gnralis appliqu aux conduites

Principe nonc par Daniel Bernoulli( conservation de lnergie dansun coulement) nest valable que pour un fluide parfait.

zU2g

1

g

pC 2 ++=

Charge moyenne C du fluide au niveau des sections

Etude des liquides relsncessit de tenir compte des forces de cisaillement gnres par laviscosit du liquide.

Dissipation dnergie cause du frottement;

Diminution de la charge C.

Importance dintroduire une valeur reprsentant la perte dnergie entre2 points de lcoulement pour un bilan nergtique conforme.


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2U1U

S1:

paroi solide

S2

+++=++ m1222

222

121

11 HJzU2g

g

pzU

2g

g

p

Charge moyenne C du fluide au niveau des sections

J12 perte de charge positive (singulires et rgulires) entre lessections

Hm hauteur manomtrique des machines hydrauliquesU vitesse dbitante du fluide (U= /S)

Coefficient dnergie cintique

V&

zU2g

g

p

C2

++=

g

w

Vg

W

Htt

m

&

&

&

==



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Exprimer la charge moyenne Cmen fonction de deux paramtres globaux quicaractrisent lcoulement dans la canalisation:

la vitesse de dbit U, qui est une mesure du dbit rel

un paramtre qui caractrise la forme relle du profil de vitesse dans lasection : facteur de correction appliqu U pour tenir compte de la distributiondes vitesses la section.

=

S

33 dSvSU

1

Pour un coulement laminaire, le calcul de ces deux grandeurs est simple et

rigoureux.

Pour un coulement turbulent, la dfinition de ces paramtres globaux est pluscomplexe, et le calcul de leurs valeurs plus compliqu.



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Application au cas dun coulement laminaire en conduite circulaire(coulement de Poiseuille) :

( )

=

2

2

max

R

r1vrv

2

vU max=

g

p

g

U

zg

U

g

p

C

*22

+=++=

2=

donc

Charge moyenne dans une section droite


rdr2R

r1

R

8R

0

3

2

2

2


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Application au cas dun coulement turbulent en conduite

Lexprience montre que est proche de 1.

Il est dautant plus proche de 1 (profil de vitesse en rgime turbulent estdautant plus aplati) que le nombre de Reynolds est lev.

En pratique, on prendra : 1

Remarque: Lexpression de la charge moyenne en rgime turbulent(~1) estsemblable lexpression de la charge en fluide parfait(=1) pour lequel lavitesse vest la mme pour toutes les lignes de courant (profil de vitesse uniforme:

v=U).



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Conclusion gnrale sur lexpression de la charge moyenne dans une section:

La charge moyenne du fluide dans une section circulaire droite scrit :

avec

= 2 en rgime laminaire ~ 1 en rgime turbulent

Thorme de Bernoulli gnralis entre deux section dun coulement enconduite

J12 perte de charge (singulires et rgulires) entre les sections 1 et 2

Hm hauteur manomtrique des machines hydrauliques

g

p

2g

Uzg

p

2g

UC

*22

+=++=

+= m1221 HJCC

g

w

Vg

WH ttm

&

&

&

==



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5- Calcul des pertes de charge rgulires

Pertes de charges rgulires : pertes de charge induites par lefrottement du fluide sur les parois dune canalisation sectionconstante et pour un coulement tabli

Vitesse dbitante U= cst

Coefficient dnergie cintique = cst

12

2

2

222

1

11

JU2g

g

*p

U2g

g

*p++=+

g

*p*p

J21

12

=

Thorme de Bernoulli gnralis

Remarque : La perte decharge rgulire estgale la variation dehauteur pizomtrique

(1)(2) (1)

(2)g

p

*

1

g

p

*

2


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Equation de DARCY WEISBACH

Julius WEISBACH (1806-1871)Henry-Philibert-Gaspard DARCY (1803-1858)

Formule exprimant la perte de charge en rgime turbulent.

A force dexpriences, ils dmontrrent que :

J varie proportionnellement la longueur L de la conduite, la racine carrede la vitesse moyenne U et au diamtre inverse de la conduite D.

J dpend de la rugosit de la paroi , de la viscosit et de la masse

volumique du fluide.

J est indpendant de la pression dans la conduite.


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Equation de DARCY WEISBACH

Analyse dimensionnelle : p*=f (,,U,D,L,) (p =7, q =3)

On exprime p* laide dun coefficient de perte de charge rgulire

2g

U

D

Lg

*p*pJ

2

2112 =

=

2U

DL/D),(Rep*

2

D=

soit

On trouve : p*/(U2

) = f (Re, L/D, /D) (4 nombres s.d.)


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( )2

U

D

Lzzgpp

2

1221 +=

Variationdaltitude(>0 ou 0)

Variation depression(>0 ou


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Pertes de charge en coulement turbulentInfluence de la rugosit

Mesure moyenne de la dimensiondes asprits de la paroi interne.

Paroi rugueuse Paroi lisse

Profil de

Vitesse v1(x2)

Sous-couchevisqueuse

Augmentation despertes de charge

Modifications dans lasous-couche visqueusesi

~

S


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Pertes de charge en coulement turbulentValeurs de coefficients de rugosit

Matriaux Valeur de (mm)

Plastique 0,001Cuivre 0,001

Acier commercial 0,046

Acier galvanis 0,15

Fonte nue 0,25Fonte revtue de ciment 0,24

Fonte asphalte 0,12

Acier rivet 3,0

Bton lisse 0,3Bton rugueux 3,0

Bois 0,18 0,9

- Valeurs typiques pourdes canalisations neuves.

- varie avec lge, lusure,la corrosion, lincrustation,


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Pertes de charge en coulement turbulent Conduite lisse: la rugosit nintervient pas (rgime hydrauliquementlisse )

domaine de validit: 2000 < Re< 105

, /D< 10-3

domaine de validit: Re> 105, /D 105, / D> 10-33,71D

2log

1=

+=

Re

2,51

3,71D

2log

1

Formule de Colebrook : formule gnrale, relation implicite en


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Le diagramme de Moody (1944)

laminaire

turbulent

parfaitement lisse

/D

Transition

Re=UD/

Re= 2.105

/D= 0,002

= 0,024


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Influence du dbit sur la perte de charge

Conduite circulaire : longueur L, diamtre D, rugosit

fixsdbit variable

Cas laminaire: V~gDVL128J

4laminaire12&&=

Cas turbulent: si U(donc ) assez grand, indpendant de Re,

variations non linaires (quadratique) de J avec .

V&

V&

2

2

turbulent12 V~2gUDL(/D)J &=


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chauffement du fluide sous laction des pertes de charge

Puissance mcanique dissipe par le frottement visqueux

Conversion de cette nergie mcanique en nergie thermique

chauffement du fluide VgJTcm 12p&& =

2g

V

D

LJ

212

12 =

Application numrique

Air D=10 cm L=10 m U= 10 m/s

Nombre de Reynolds : Re = U D / = 67000

= 0,02 Cp= 1 kJ/(kg.K) J12= 10,2 m

T = 0,1 K

Dans ce cours, on suppose donc que lchauffement du fluide pardissipation de lnergie mcanique est ngligeable et que latemprature du fluide est constante

5 C l l d t d h li


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Canalisation section non circulaire

hRe

C =

VDRe hh =

P

S4

Dh=

Pour pouvoir appliquer dans des canalisations non-circulaires lesrelations vues prcdemment, on introduit :

Le diamtre hydraulique : o S : surface (m2

)P: primtre mouill (m)

Le coefficient de perte de charge

scrit :

o C dpend de la gomtrieet Reh

On utilise galement le diamtre hydraulique dans la dfinition de laperte de charge J12 :

2g

U

D

LJ

2

h12 =

et dans la hauteurrelative de rugosit : hD

5 C l l d t d h li


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Canalisation section non circulaire

Thorie et exprience:

valeurs de Cpour diffrentes gomtries en rgime laminaire

6 Calcul des pertes de charge singulires


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6- Calcul des pertes de charge singulires

Gnralits

Ecoulement dansune vanne

Pertes de charge singulires: dissipationdnergie induite par un changement degomtrie (singularit gomtrique) coude, bifurcation, largissement, rtrcissement, accessoires : vanne, clapets, dbitmtres

Impossibilit de faire une analyse thoriquepour prdire les dtails de lcoulement.

Caractrisation exprimentale

Essentielles si les longueurs de

canalisations sont relativement courtes, mineures si les longueurs sont importantes(si L/D > 500, on peut les ngliger;ex : rseaux de distribution deaux potables).



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Gnralits

Pertes de charge singulires cart entre pertes de charge totalesmesures exprimentalement etpertes de charge que lon aurait en labsence de singularitsi lcoulementtait tabli au niveau de chaque section.

2g

UKJ

2

12 =

Les pertes de charge singulires sont caractrises par un coefficient sansdimension Kdtermin exprimentalement :

Les coefficients de perte de charge singulires K incluent lesperturbations des coulementsinduites par les singularits en amontet en aval de leur position. Les pertes de charges rgulires au sein des singularits (pertesde charges que lon aurait si lcoulement tait tabli au sein dechaque section) sont prises en compte dans le coefficient K. Ellessont dans la plupart des cas ngligeables par rapport aux pertes decharges singulires.



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Exemple : pertes de charges en prsence dun rtrcissement

#1

Lam

L

Lsing Lav

#2

Contribution des pertes de charge rgulires

CR(pertes de charge quelon aurait si lcoulement tait tabli au niveau de chacune des sections)

$ X

$R-#ing$R-am

$R = $R-am% $R-av% $R-#ing

$R-av

#ingularit&

z2g

U

g

pC

2

++=



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Exemple : pertes de charges en prsence dun rtrcissement

Contribution des pertes de charge singulires CS#1

Lam

L

$ '

Lsing Lav

CR-SingCR-am

CR-av

#2

#ingularit&

CT

12

R = $R-am% $R-av

CS

12

#= $ 12-R = + U2,/2g

2gU

!gp

$2

++=

$# = $ ($R-am% $R-av% $R sing)



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Coefficient de perte de charge singulire

Kdpend a prioride la gomtrie et de Re.

Dans la plupart des cas, Kdpend essentiellement de la gomtrie.

2g

UKJ

2

S-12 =avec U : vitesse dbitante au niveau de lasection (amont ou aval) ayant la plus petitesection de passage

2g

U

D

LLJ

2eq

12

+=

La perte de charge totale (rgulire + singulire) est alors donne par:

2g

U

D

L

2g

UKJ

2eq

2

S-12 ==

Les pertes de charge singulires sont parfois exprimes en terme delongueur quivalente Leq: longueur de canalisation droite qui fournirait la

mme perte de charge que la singularit.Rq : existence dabaques ou tables donnant lavaleur de Leq/D de nombreux accessoires (ex :coude 90L/D=30, coude 45L/D=15



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Changement de section : entre dans une canalisation

a) Entre immerge

K= 0,8

b) Bords vifs

K= 0,5

c) Lger arrondi

K= 0,2

d) Trs arrondiK= 0,04

2g

U

KJ

22

S-12 =



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Changement de section : sortie dune canalisation

a) Sortie immerge

K= 1,0b) Bords vifs

K= 1,0

c) Lger arrondiK= 1,0

d) Trs arrondi

K = 1,0

On ne peut pas diminuer K!!!

2g

U

KJ

21

12=



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Changement de section : largissement brusque

Source : Techniques de lIngnieur

2

2

1

S

S1K

2gUKJ

21

s =


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p g g

Changement de section : divergents

angles trs petits: longueur importante, pertes par frottement aux parois

angles importants: dcollement de lcoulement, et pertes dans le jetsortant du diffuseur (moins efficace quun largissement brusque)

angle optimum

~ 8pour lequel Kpasse par un minimum(compromis exprimental entre 7 et 14)

2

2

1

SS1

K

g

VKJ 2

2

1= fixS

S

1

2


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50/61


p g g

Changement de direction : coude incurv dune canalisation

+

r/D

Structure de lcoulement:

dcollement sur la paroi

interne

Superposition de la perte decharge rgulire et de la perte

de charge singulire

D&.llement

r

Pertes de chargesingulires

prpondrantes

Pertes de chargergulires

prpondrantes



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Coude incurv

902

848113102

7

r

D,,K

r

D

en

K indpendant du diamtre

Coude brusque

() 30 45 60 90

K 0,11 0,24 0,47 1,13



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Robinetterie : Vanne boisseau sphrique

(

) 5 15 30 45 50 60K 0,05 0,75 5,5 31 53 206

Vanne opercule ( passage direct),vanne papillon,

Autres types de vannes


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7- Mesure de dbit dans une canalisation


54/61


Principe gnral des appareils dprimognes

En fluide rel : pertes de charge

1122theo VSVSV =&

2g

V

g

P

2g

V

g

P 2

22

2

11

En fluide parfait :

421

222theo1PP2SVSV

=&1

2

DD=avec:



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Venturi

Gomtrie classique de Venturi

vC

VDRe=

Gamme de valeurs

fonction de la gomtrie

4dS 20=

Dd=

avec

421

0vtheov1

PP2SCVCV

=

&&

Pour tenir compte de la perte decharge, on ajoute un coefficientcorrecteur Cv , fonction de Re.



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Tuyre

421

0ttheot1

PP2SCVCV

=

&&

Diffrentes gomtries de tuyre

4dS 20=

Dd=

avec

Ctvarie de 0,94 0,995

tC

VDRe=



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Diaphragme

421

0dtheod1

PP2SCVCV

=

&&

4dS 20=

Dd=

avec

dC

VDRe=

Cdvarie de 0,60 0,65



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Remarques

Avec tous ces dispositifs, la mesure du dbitncessite de connatregalement la masse volumique, donc la temprature du fluide. Lesconstructeurs donnent gnralement un coefficient de calibration pour une

temprature de rfrence; il faut alors corriger ce coefficient en fonction dela temprature.

Il existe dautres techniques de mesure globale de dbit:

- rotamtre;- dbitmtre massique;-

A retenir : Ecoulement en conduite


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Zone dentre / Zone dcoulement tabli

Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent(Re < 2300) (Re > 4000)

Profil de vitesse parabolique Profil de vitesse presque uniforme


+= m1221 HJCC

Charge moyenne

zg

p

2g

UC

2

U : vitesse moyenne

: coefficient dnergie cintique = 2 en rgime laminaire ~ 1 en rgime turbulent

A retenir : Ecoulement en conduite Th d B lli li


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m1221 HJCC

Pertes de charge

Pertes de charge rgulires

2g

U

D

L/D),(Re

g

*p*pJ

2

D21

12 =

=

DRe

64

=en rgime laminaire

en rgime turbulent

Re

2,51

3,71D

2log

1 Diagrammede MOODY

Pertes de charge singulires

2g

U

D

L

2g

UKJ

2eq

2

S12- =

A retenir : Ecoulement en conduite Thorme de Bernoulli gnralis


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m1221 HJCC

Hauteurs manomtriques des machines hydrauliques

Voir chapitre suivant

Écoulement en conduite

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