ecuación de 2º grado

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_Seg_grado.html[25/03/2011 17:20:19]

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x - 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x - 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x - 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x - 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = -4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x - 1) = 9



2x2 + 5x - 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 - 12 = - 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si

x = 0

o si

x- 4 = 0

x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x - 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo

(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido

por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al

cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16



x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 - 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x2 + 6x - 16 = 0

Hacemos

x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)2

(cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

, y queda

x + 3 = 5 y x + 3 = -5

(pues 52 = 5 y también (-5)2 = 5

Entonces

x = 5 - 3

x = 2

Y

x = - 5 - 3

x = - 8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = -8.

Otro ejemplo para analizar y estudiar:

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0

Veamos: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:

x2 – 6x = - 8 y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:

¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo



x2 – 6x = -8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

x2 - 6x + 9 = - 8 + 9

(x – 3)2 = 1

Extraemos las raíces cuadradas

y queda

x – 3 = 1 y x - 3 = -1

Si

x – 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

Si

x – 3 = -1

x = -1 + 3

x = 2

Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2

Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.

Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (-) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2x2 + 3x - 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = -5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el - :

y también

Así es que las soluciones son

.

Aquí debemos anotar algo muy importante :

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión

. Esa raíz cuadrada sólo existirá

cuando el radicando (b2 - 4ac ) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por ?. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de ? y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:

Si ? es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

Si ? es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si ? es cero, la ecuación tiene una única solución.

http://www.profesorenlinea.cl/PSU/Matematica/Preguntas/Pregunta%2028_2010.html



En el ejemplo anterior el discriminante era ? = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a - b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a - b la raíz y lo dividimos por 2a.

Trabajando con ecuaciones de segundo grado

Como lo dijimos al comienzo, cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax2 +

bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x2 y x, respectivamente y c es el término independiente.

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.

Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es

ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

ax2 + bx = 0; si c = 0.

ax2 + c = 0; si b = 0.

Algunos ejemplos, con soluciones

1) Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0

Se identifican las letras, cuidando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5; b = 13; c = 6.

Se aplica la fórmula:

Como la raíz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Según esto, tendremos dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo -.

Llamaremos X 1 y X 2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: -5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.

Probando con

, se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las raíces de - 5x2 + 13x + 6 = 0

2. - Resolver: 6x - x2 = 9



Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

- x2 + 6x - 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante (?) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas

En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuación de segundo grado.

Para hacerlo, hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación.

Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del álgebra.

Problema 1

La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números

Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

x = Primer número

Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será:

10 - x = Segundo número

Para entenderlo mejor:

Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 - 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1.000 - x .

La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces:

x2 + (10 - x)2 = 58

Esta es la ecuación a resolver

Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida.

Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban:

(a - b)2 = a2 - b2, lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a - b)2 = a2 - 2•a•b + b2

Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 - 2•10•x + x2 = 58 = x2 + 100 - 20•x + x2 = 58

Ordenando y agrupando: 2x2 - 20•x+ 42 = 0;

Dividiendo entre 2 toda la ecuación:

x2 - 10x + 21 = 0

Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3.

Veamos, si tenemos

a = 1, b = -10 c = 21

Los números buscados son 7 y 3.

Problema 2

El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.



Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que:

x = ancho de la sala

El largo es 3 metros mayor que el ancho, así es que:

x + 3 = largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos:

x • (x + 3 ) = área de la sala.

Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan:

x + 3 = nuevo ancho de la sala

x + 5 = nuevo largo de la sala

(x + 3 ) • (x + 5) = nueva área de la sala

Según los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:

(x + 3 ) • (x + 5) = 2 • x • (x + 3)

Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x

Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0

Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver.

Se aplica la fórmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = -3.

La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.

Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el área original era 8m • 5m = 40 m2.

Problema 3

Halle el área y perímetro del triángulorectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros

Como es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x - 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuación:

(x + 3)2 + (x - 4)2 = (2x - 5)2

Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:

x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2 - 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 - 2 • (2x) • 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25

Reagrupando:

x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0

Finalmente:

-2x2 + 18x = 0

Es la ecuación a resolver

Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.

La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.

El área de un triángulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es

El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m.

Nota final:

Cada método de solución es aplicable según sea la naturaleza de la ecuación cuadrática, pero siempre es posible aplicar el método de completación de cuadrado de binomio y el de la aplicación de la fórmula de las soluciones generales de una ecuación cuadrática.

Ecuación de 2º grado.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuacion_de_segundo_grado/ecuacion.htm#2[24/03/2011 21:01:08]

Solución general de la ecuación de segundo grado.

Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:

ax2 +bx + c = 0

donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominadorcomún (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.

Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:

Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1 = 0 tendrá por soluciones:

Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.

Ejercicio 2

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2/2 = x/2 + 3

b) 3x2 = 12

Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo ambas ecuaciones ("atención al denominador común en laprimera"). Después compruébalas en la escena siguiente. Lee las instrucciones que se te dan para poderhacerlo.

En el ejemplo a) del ejercicio deberás poner: "a = 1" , "b = -1" y "c = -6"con lo que se obtienen lassoluciones de la ecuación:

x = -2 ; x = 3.

En el ejemplo b), las soluciones deben ser x = 2 y x = -2 ("ojo" que en este caso b = 0.) Seguro que estaecuación también sabes resolverla sin usar la fórmula (decimos que es una ecuación de segundo gradoincompleta).

basta observar que 3x2 = 12 es lo mismo que x2 = 4 y por tanto x = raiz cuadrada de 4, o sea 2 o -2.

Por tanto: "Si la parábola corta al eje X en dos puntos, los valores de x en esos puntos son la dossoluciones o raíces de la ecuación de segundo grado"

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

El propósito de este tema es enseñarte a resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En primer lugar se analiza gráficamente un sistema para que se entienda mejor el significado de las soluciones. Verás que un sistema puede tener una solución, no tener solución o tener infinitas soluciones. A continuación se pasa a resolver sistemas. Se analizan uno a uno los tres métodos de resolución: Página 4 Método de Sustitución Página 7 Método de Igualación Página 10 Método de Reducción Página 14 Ejercicios Resueltos. Aparecen tres ejercicios resueltos con varios ejemplos cada uno indicando qué método puede ser el más conveniente en cada caso, aunque se puede aplicar cualquiera de ellos. Página 19 Ejercicios Propuestos. Estos ejercicios no están resueltos pero se indica la solución. Página 21 Problemas Resueltos. Estos sistemas son muy útiles para resolver problemas en los que aparecen dos incógnitas. En este apartado se explica cómo se puede hacer el planteamiento de un problema y luego se resuelve. Página 33 Problemas Propuestos. Ahora te toca a ti practicar. No mires la solución hasta el final.

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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON

DOS INCÓGNITAS.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma: ax + by = c donde a, b, y c son números (coeficientes) y las incógnitas son x e y. Gráficamente representa una recta en el plano. Veamos un ejemplo. Representa la recta 2x + y = 1 Para representar una recta en el plano 1º Despejamos y. y = -2x + 1 2º Hacemos una tabla de valores dando los valores que queramos a la x. x -2 -1 0 1 2 y 5 3 1 -1 -3 3º Representamos los puntos en el plano y los unimos.

Atención !! Las soluciones de la ecuación anterior son los puntos por los que pasa la recta, por lo tanto tiene infinitas soluciones, que hemos ido encontrando dando valores a la x. Algunas de estas soluciones son: (-2, 5), (-1,3), (0, 1), (1,-1), (2,-3), (3,-5) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma:

⎩⎨⎧

=+=+

''' cybxacbyax

Nuestro objetivo es resolver dicho sistema, es decir, encontrar los valores de x e y que cumplen las dos ecuaciones a la vez. ¿habrá siempre solución? ¿habrá una única solución o infinitas?

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Gráficamente lo que tenemos son dos rectas en el mismo plano y se pueden dar tres situaciones: 1º. Las rectas se cortan en un punto. Hay una solución, que es el punto de corte.

2º Las rectas son paralelas. No hay solución, pues las rectas no se cortan.

3º Las rectas son coincidentes. Hay infinitas soluciones, los puntos de una de las rectas.

Para resolver un sistema analíticamente se pueden seguir tres métodos. Dependiendo de cómo venga expresado el sistema un método puede ser más fácil de aplicar que otro.

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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. 1. Se despeja una incógnita de una ecuación (la que te parezca más fácil de despejar) 2. Se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando sacas la otra. Atención!! En el paso 3 pueden suceder tres situaciones: * Si llegas a 0 = 0 entonces hay infinitas soluciones * Si llegas a 0 = k ( k distinto de cero) no hay solución * Si llegas a un valor entonces hay una solución única y haces el paso 4. Este método resulta fácil de aplicar cuando una de las incógnitas tiene coeficiente igual a uno o cuando una de las incógnitas te la dan ya despejada. Ejemplo 1

⎩⎨⎧

=+=+

522

yxyx

1º Despejo por ejemplo la x de la primera ecuación: x = 2 – y 2º Sustituyo 2(2 - y) + y = 5 3º Resuelvo la ecuación 4 - 2y + y = 5

-y = 5 – 4 y = -1

4º Sustituyo el valor obtenido en una ecuación x + (-1) = 2 x -1 = 2 x = 3 O bien sustituyes en la ecuación del primer paso x = 2 – (-1) x = 3

Si quieres comprobar que la solución es correcta la sustituyes en las ecuaciones iniciales: 3-1 = 2 , 2 = 2 es correcto 2·3-1 = 5 , 6-1 = 5, 5 = 5 es correcto. Gráficamente las dos rectas se cortan en el punto (3,-1)

Solución ( x = 3 , y = -1)

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Ejemplo 2.

⎩⎨⎧

=−=+

42042

yxyx

1º Despejo x = 4 + 2y 2º Sustituyo 2 (4 + 2y) + 4y = 0 3º Resuelvo 8 + 4y + 4y = 0 8y = -8 y = -8/8 y = -1 4º Sustituyo x = 4 + 2·(-1) x = 4- 2 x = 2

Si quieres comprobar que la solución es correcta la sustituyes en las ecuaciones iniciales: 2·2 + 4· (-1) = 4 - 4 = 0 es correcto 2-2·(-1)1 = 2 +2 = 4 es correcto. Gráficamente las dos rectas se cortan en el punto (2,-1) Ejemplo 3

⎩⎨⎧

=+=+

34212

yxyx

1º Despejo x = 1 - 2y 2º Sustituyo 2 (1 - 2y) + 4y = 3 3º Resuelvo 2 - 4y + 4y = 3 0y = 3 - 2 0 = 1 Esto es imposible, luego el sistema no tiene solución (las rectas son paralelas). Ejemplo 4

⎩⎨⎧

=−=−

12363

yxyx

1º Despejo x = 1 + 2y 2º Sustituyo 3 (1 + 2y) - 6y = 3 3º Resuelvo 3 + 6y - 6y = 3

Solución ( x = 2 , y = -1)

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0y = 3 – 3 0 = 0 hay infinitas soluciones ( las rectas son coincidentes) Para encontrar soluciones da valores a una de las incógnitas y despeja la otra. Ejemplo 5

⎩⎨⎧

=−=+

7541123

yxyx

1º Despejo 3x = 11 - 2y

3

211 yx −=

2º Sustituyo 753

211·4 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − yy

3º Resuelvo 753

844=−

− yy

321

315

3844

=−− yy

2115844 =−− yy 2323 −=− y 1=y 4º Sustituyo 3x + 2 · (1)= 11 3x = 9 x = 3

Observa que en este ejemplo no había ningún coeficiente igual a 1 y los cálculos han sido más complicados. Ejemplo 6

⎩⎨⎧

=+−=+043132

yxyx

1º Despejo 3x = - 4y

34yx −

=

2º Sustituyo 1334·2 −=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − yy

Solución ( x = 3 , y = 1)

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3º Resuelvo 1338

−=+− yy

33

39

38 −

=+− yy

398 −=+− yy 3−=y

4º Sustituyo 43

123

)3·(4==

−−=x

MÉTODO DE IGUALACIÓN 1. Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones (la que te parezca más fácil de despejar) 2. Se igualan las expresiones quedando una ecuación con una incógnita 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando sacas la otra. También se puede sustituir en una de las dos ecuaciones obtenidas en el punto 1. Atención!! En el paso 3 pueden suceder las tres situaciones descritas anteriormente Este método es útil cuando la misma incógnita aparece ya despejada de las dos ecuaciones, en otro caso es más conveniente emplear cualquiera de los otros métodos pues son más cortos. Ejemplo 1

⎩⎨⎧

=+=+

522

yxyx

1º Despejo por ejemplo la y de las dos ecuaciones: y = 2 – x y = 5 – 2x 2º Igualo 2 - x = 5 – 2x 3º Resuelvo la ecuación - x + 2x = 5 - 2

x = 3

4º Sustituyo el valor obtenido en una ecuación 3 + y = 2 y = 2 - 3 y = -1 O bien sustituyes en la ecuación del primer paso y = 2 – 3 y = -1

Solución ( x = 4 , y = -3)

Solución ( x = 3 , y = -1) 7 de 34

Ejemplo 2.

⎩⎨⎧

=−=+

42042

yxyx

1º Despejo 24yx −

=

x = 4 + 2y

2º Igualo yy 2424

+=−

3º Resuelvo 248

24 yy +

=−

- 4y = 8 + 4y - 8y = 8 y = -1 4º Sustituyo x = 4 + 2·(-1) x = 4- 2 x = 2

Ejemplo 3

⎩⎨⎧

=+=+

34212

yxyx

1º Despejo x = 1 - 2y

243 yx −

=

2º Igualo 1 - 2y = 243 y−

3º Resuelvo 243

242 yy −

=−

2 - 4y = 3 - 4y -4y +4y= 3-2 0y = 1 0 = 1 Esto es imposible, luego el sistema no tiene solución (las rectas son paralelas).

Solución ( x = 2 , y = -1)

8 de 34

Ejemplo 4

⎩⎨⎧

=−=−

12363

yxyx

1º Despejo x = 363 y+

x = 1 + 2y

2º Igualo 363 y+ = 1 + 2y

3º Resuelvo 363 y+ =

363 y+

3 + 6y = 3 +6y 0y = 0 hay infinitas soluciones Ejemplo 5

⎩⎨⎧

=−=+

7541123

yxyx

1º Despejo 3

211 yx −=

457 yx +

=

2º Igualo 457

3211 yy +

=−

3º Resuelvo 12

152112

844 yy +=

−

44 - 8y = 21 + 15y -8y -15y = 21 – 44 -23 y = -23 y = 1

4º Sustituyo x = 3

211−

x = 3


9 de 34

Ejemplo 6 Este es un ejemplo donde el mejor método es el de igualación pues ya está despejada una incógnita.

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

945

2

yx

yx

1º Despejo Ya están despejadas

2º Igualo 945

2−= yy

3º Resuelvo 5

45205

2 −=

yy

2y = 20y-45 -18y = -45

y = 1845

−−

y = 25

4º Sustituyo x = 4·25 - 9, x = 10-9 , x =1

MÉTODO DE REDUCCIÓN Antes de desarrollar este método recuerda que dada una ecuación ax + by = c, otra equivalente (con las mismas soluciones) se puede obtener multiplicando toda la ecuación por un número distinto de cero. Así las siguientes ecuaciones tienen las mismas soluciones

2x + y = 1, 10x + 5y = 5, 4x +2y = 2, x + 21

2=

y

Para aplicar el método de reducción se multiplicarán las dos ecuaciones o una de ellas por un número conveniente de manera que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente cambiado de signo en las dos ecuaciones. 1. Se elige la incógnita (la que te parezca más fácil) 2. Se hace que los coeficientes de dicha incógnita en las dos ecuaciones sean opuestos. 3. Se suman las dos ecuaciones quedando una ecuación con una incógnita que se resuelve. 4. Se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones. Atención!! En el paso 3 pueden suceder las tres situaciones descritas anteriormente

Solución ( x = 1 , y =25 )

10 de 34

Este método es útil cuando los sistemas no están preparados para resolverlos por los otros dos métodos vistos. Ejemplo 1

⎩⎨⎧

=+=+

522

yxyx

Vamos a ver como se resuelve este sistema de dos formas: eligiendo primero la x y después la y. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por (-2)

⎩⎨⎧

=+−=−−

52422

yxyx

3º Sumando las dos ecuaciones -2x - 2y = -4 + 2x + y = 5

- y = 1 y = -1 4º Se sustituye en una ecuación x + (-1) = 2 x = 3

1º Elijo la incógnita y. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la segunda ecuación por (-1)

⎩⎨⎧

−=−−=+

522

yxyx

3º Sumando las dos ecuaciones x + y = 2 + -2x - y = -5

- x = -3 x = 3 4º Se sustituye en una ecuación 3 + y = 2 y = -1

Solución ( x = 3 , y = -1)

Solución ( x = 3 , y = -1)

11 de 34

Ejemplo 2.

⎩⎨⎧

=−=+

42042

yxyx

1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la segunda ecuación por (-2)

⎩⎨⎧

−=+−=+

842042

yxyx

3º Sumando las dos ecuaciones 2x + 4y = 0 + -2x + 4 y = - 8

8y = -8 y = -1

4º Se sustituye en una ecuación x -2 · (-1) = 4 x = 4 – 2 x = 2

Ejemplo 3

⎩⎨⎧

=+=+

34212

yxyx

1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por (-2)

⎩⎨⎧

=+−=−−342242

yxy

3º Sumando las dos ecuaciones -2x - 4y = -2 + 2x + 4y = 3

0x + 0y = 1 0 = 1

Esto es imposible, luego el sistema no tiene solución.

Solución ( x = 2 , y = -1)

12 de 34

Ejemplo 4

⎩⎨⎧

=−=−

12363

yxyx

1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la segunda ecuación por (-3) 3º Sumando las dos ecuaciones 3x - 6y = 3 + -3x + 6y = -3

0x + 0y = 0 0 = 0

Hay infinitas soluciones Ejemplo 5

⎩⎨⎧

=−=+

7541123

yxyx

1º Elijo la incógnita y. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por 5 y la segunda por 2 3º Sumando las dos ecuaciones 15x - 10y = 55 + 8x + 10y = 14

23x = 69

x = 2369 x = 3

4º Se sustituye en una ecuación 3·3 +2 y =11 9 + 2y = 11 2y = 11-9 2y = 2 y = 1

Ejemplo 6

⎩⎨⎧

=+−=+043132

yxyx

1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por -3 y la segunda por 2


13 de 34

3º Sumando las dos ecuaciones -6x - 9y = 3 + 6x + 8y = 0

- y = 3 y = -3

4º Se sustituye en una ecuación 2x + 3·(-3) = -1 2x - 9 = -1 2x = -1+9 2x = 8 x = 4

EJERCICIOS RESUELTOS. Ejercicio 1 Resuelve por el método que consideres más adecuado los siguientes sistemas.

1. ⎩⎨⎧

=−+=

192352

yxyx

El método más apropiado parece el de sustitución, pues hay una

incógnita despejada ya. 1º Despejo x = 2y + 5 2º Sustituyo 3·(2y + 5) -2y = 19 3º Resuelvo 6y + 15 - 2y = 19 4y = 19 - 15 4y = 4 y = 1 4º Sustituyo x = 2·1 + 5 x = 2 + 5 x = 7

2. ⎩⎨⎧

=+=−

563536

yxyx

Este sistema no tiene ninguna de las incógnitas despejadas y tampoco

tiene ningún coeficiente igual a 1, luego lo mejor es aplicar el método de reducción. 1º Elijo la incógnita y. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por 2.

Solución ( x = 4 , y = -3)


14 de 34

3º Sumando las dos ecuaciones 12x - 6y =10 + 3x + 6y = 5

15x = 15 x = 1

4º Se sustituye en una ecuación 6· 1 – 3y = 5 6 - 3y = 5 -3y = 5-6 -3y = -1

y = 31

3.⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

3225

342

xy

xy Este sistema tiene prácticamente despejada la y en las dos ecuaciones,

luego interesa el método de igualación.

1º Despejo 6

4xy = Primera ecuación

3

265 +=xy

15

26 +=xy Segunda ecuación

2º Igualo 15

266

4 +=xx

3º Resuelvo 30

41230

20 +=

xx

20x = 12x + 4 8x = 4

x =84 , x=

21

4º Sustituyo y = 621·4

y =62 , y =

31

Solución ( x = 1 , y = 31 )

Solución ( x =21 , y =

31 )

15 de 34

Ejercicio 2 Resuelve por el método que consideres más adecuado los siguientes sistemas.

1. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

143

4563yx

x

El método más apropiado parece el de sustitución, pues hay una incógnita casi despejada. 1º Despejo de la 1ªec x = 2

2º Sustituyo en la 2ªec 5·2 + 3

4y = 14

3º Resuelvo 10 + 3

4y = 14

3

4y = 4

4y = 12 y = 3

2. ⎩⎨⎧

=+=−

5002100

yxyx

Como hay dos incógnitas con el mismo coeficiente cambiado de signo lo mejor es aplicar el método de reducción. Sumando las dos ecuaciones x - y = 100 + 2x + y = 500

3x = 600 x = 200

4º Se sustituye en una ecuación 200 – y = 100 - y = -100 y = 100


Solución ( x = 200 , y =100)

16 de 34

3. ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=−

xy

yx

2113

12

Este sistema tiene prácticamente despejada la y en las dos ecuaciones, luego interesa el método de igualación.

1º Despejo 12−=xy Primera ecuación

3

211 xy −= Segunda ecuación

2º Igualo 3

21112

xx −=−

3º Resuelvo 3

21122

2xx −

=−

6

4226

63 xx −=

−

3x -6 = 22 – 4x 7x = 28 x = 4

4º Sustituyo 124−=y y =2-1 = 2

4. ⎩⎨⎧

=−=−04123

yxyx

Se puede resolver fácilmente por sustitución de y. 1º Despejo de la 2ªec y = 4x 2º Sustituyo en la 1ªec 3x – 2·4x = 1 3º Resuelvo 3x - 8x = 1

-5x = 1 ; x = 51−

y = 54−

Solución ( x = 4, y =2)

Solución ( x = 51− , y =

54− )

17 de 34

Ejercicio 3 Resuelve por el método que consideres más adecuado los siguientes sistemas.

1. x 2·(x y) 3y 2

x y 33 2

− + = −⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

Lo primero que hay que hacer es reducir las ecuaciones.

1ª Ec x – 2x – 2y = 3y – 2 2ª Ecu x y 33 2+ =

-x -5y = -2

x + 5y = 2 2x 3y 186 6 6

+ =

2x + 3y = 18 El sistema reducido es:

x 5y 22x 3y 18

+ =⎧⎨ + =⎩

De la 1ª ec x = 2 – 5y

Sustituyendo en la 2ª ecuación se tiene:

2·(2-5y) + 3y = 18 4 – 10y + 3y = 18 -7y = 18 – 4; y = -2 x = 2 – 5· (-2) ; x = 12

2. 3x 2y 1

2·(x 1) 3y 1 2x y3 2

+ =⎧⎪⎨ − +

− = +⎪⎩

Operamos en la segunda ecuación:

2x 2 3y 1 2x y3 2− +

− = +

4x 4 9y 3 12x 6y6 6 6− + +

− =

4x – 4 – 9y – 3 = 12x + 6x -14x -9y = 7 14x + 9y = -7 El sistema reducido es:

3x 2y 114x 9y 7

+ =⎧⎨ + = −⎩

Para resolverlo por reducción, multiplico por ejemplo la primera

ecuación por -9 y la segunda por 2

Solución ( x = 12, y = - 2)

18 de 34

Sumando las dos ecuaciones -27x - 18 y = -9 + 28x +18 y = -14

x = -25 3· (-25) + 2 y = 1 2y = 1 + 75 y = 38

3. 0,8x 0,2y 2,20,4x 2y 3,2

− =⎧⎨ + =⎩

Para evitar los decimales se puede multiplicar las dos ecuaciones por 10 y resolver el sistema. Queda de la forma:

8x 2y 224x 20y 32

− =⎧⎨ + =⎩

Resuelvo por reducción: multiplico por ejemplo la segunda ecuación por -2 : Sumando las dos ecuaciones 8x - 2 y = 22 + -8x - 40 y = -64

-42 y = -42 y = 1 8x -2·1 = 22 8x = 24 ; x = 3

SISTEMAS PROPUESTOS Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más apropiado.

1. 5x 11y 35x 11y 1

+ =⎧⎨ − =⎩

(Solución x = 25

, y = 111

)

2. 3x 2y 75x 6y 7

− =⎧⎨ + = −⎩

(Solución x = 1, y = -2)

3. x 2yy 2x=⎧

⎨ =⎩ (Solución x =0, y = 0)

Solución ( x = -25, y = 38)

Solución ( x = 3, y = 1)

19 de 34

4. x 3y 32x 6y 12− = −⎧

⎨ + =⎩ (Solución x = 3

2, y = 3

2)

5. 2x 3y 7x 5y 23

− =⎧⎨ + =⎩

(Solución x = 8, y = 3)

6. 5x 7y 346x 8y 8− =⎧

⎨ + =⎩ (Solución x = 4, y = -2)

7. x y 22x y 5+ =⎧

⎨ + =⎩ (Solución x = 3, y = -1)

8. 6x 5y 2275x 4y 188

+ =⎧⎨ + =⎩


9. 2x 4 5yy 11 3x

+ =⎧⎨ − = −⎩


10. 5x 2y 13x 5y 13

− =⎧⎨ + =⎩


11.y 6x

2y 5x7

=⎧⎪⎨ −

=⎪⎩


12.x 3 5

y2·(x 3y) x 9

+⎧ =⎪⎨⎪ − + =⎩


13.1 x y 723x 2y 2

⎧ − =⎪⎨⎪ + =⎩

(Solución x = 4, y = -5)

14.x y 73 5x y 13 4

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − = −⎪⎩

(Solución x = 313

, y = 1609

)

15.3x 2y 2x 4y x y 1

5 3 221x 15 13·(2x y) 45

− − −⎧ − = +⎪⎨⎪ − = − +⎩

(Solución x = 365, y = 145)

20 de 34

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Algunos problemas pueden resolverse empleando sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Muchas veces se pueden resolver utilizando una sola ecuación con una incógnita, pero el planteamiento de dicha ecuación es mas complicado que plantear un sistema de los que estamos estudiando. Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos: 1. Elegir las incógnitas x e y que siempre coinciden con lo que nos preguntan en el problema. 2. Plantear dos ecuaciones traduciendo el problema al lenguaje algebraico 3. Resolver el sistema. Por último conviene siempre comprobar que la solución es correcta o al menos que tiene sentido. Hay una serie de “problemas tipo” que se resuelven fácilmente y el planteamiento de las ecuaciones siempre es igual. Pero también hay problemas para los que el planteamiento de las ecuaciones es más complicado. Lee el enunciado las veces que haga falta hasta que comprendas las dos ecuaciones que hay que plantear. PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?. Resolución Este problema es un problema tipo que aparece muchas veces variando el enunciado. 1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿Cuántos coches y cuántas motos hay?” x = número de coches y = número de motos 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación

Como hay 55 vehículos en total x + y = 55 2ª Ecuación

Hay 170 ruedas entre todos los vehículos. Un coche tiene 4 ruedas luego x coches tendrán 4x ruedas. Una moto tiene 2 ruedas luego y motos tendrán 2y ruedas. En definitiva la ecuación que da el total de ruedas es: 4x +2y = 170 (ATENCIÓN: No se debe mezclar el número de ruedas con el número de vehículos.) El sistema es el siguiente:

21 de 34

⎩⎨⎧

=+=+

1702455

yxyx

3. Paso. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por reducción. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por (-4)

⎩⎨⎧

=+−=−−17024

22044yxyx

3º Sumando las dos ecuaciones -4x - 4y = -220 + 4x + 2y = 170

-2y = -50 y = 25 4º Se sustituye en una ecuación x + 25 = 55 x = 30

Ahora se comprueba que es correcta la solución: 1º Entre todos los vehículos suman 55. Efectivamente 30+25 =55 2º El número de ruedas es 170. Efectivamente 30 · 4 + 2 · 25 = 120 + 50 = 170. 2. Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros. Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras? Este problema es un problema tipo que aparece muchas veces variando el enunciado. 1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿A cómo está el kilo de peras y el de plátanos?” x = precio del kg de plátanos y = precio del kg de peras 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros 2x + 3y = 7,80 2ª Ecuación Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros 5x + 4y = 13,20 El sistema es el siguiente:

Solución ( x = 30 , y = 25)

22 de 34

⎩⎨⎧

=+=+

20,134580,732

yxyx

3. Paso. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por reducción. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por -5 y la segunda por 2

⎩⎨⎧

=+−=−−

4,26810391510

yxyx

3º Sumando las dos ecuaciones -10x - 15y = -39 + 10x + 8y = 26,4

-7y = -12,6 y = 1,8 4º Se sustituye en una ecuación 2x +3·1,8 = 7,80 2x = 7,80 – 5,4 x = 1,2

Ahora se comprueba que es correcta la solución: Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros 2·1,2 + 3·1,8 = 2,4 + 5,4 = 7,8 Bien Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros 5·1,2 + 4·1,8 = 6 + 7,2 = 13,20 Bien 3. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 14 cabezas y 38 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral? Resolución. Este problema tiene el mismo planteamiento que el problema 1 1. Paso. Se eligen las incógnitas x = número de gallinas y = número de conejos 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación (cabezas)

Como hay 14 cabezas en total x + y = 14 2ª Ecuación (Patas)

Solución ( x = 1,2 , y = 1,8)

23 de 34

Hay 38 patas entre todos los animales. Una gallina tiene 2 patas luego x gallinas tendrán 2x patas. Un conejo tiene 4 patas luego y conejos tendrán 4y patas. En definitiva la ecuación que da el total de patas es: 2x +4y = 38 El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=+=+

384214

yxyx

3. Paso. Resolver el sistema. Por sustitución por ejemplo. x = 14 – y Sustituyo en la 2ª ec. 2·(14-y) + 4y = 38 28 - 2y + 4y = 38 2y = 10 y = 5 Calculo la otra incógnita x = 14-5 x = 9

Ahora se comprueba que es correcta la solución: 1º Entre todos los animales suman 14. Efectivamente 5+9 =14 2º El número de patas es 38. Efectivamente 2 · 9 + 4 · 5 = 18 + 20 = 38. 4. He comprado un DVD y me ha costado 105 euros. Lo he pagado con 12 billetes de dos tipos, de 5 euros y de 10 euros. ¿Cuántos billetes de cada clase he entregado? El planteamiento de este problema es igual que el del problema número dos. 1. Se eligen las incógnitas x = billetes de 5 euros y = billetes de 10 euros 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación (billetes) Utiliza 12 billetes en total x + y = 12 2ª Ecuación (dinero) Le cuesta 105 euros 5x + 10y = 105 El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=+=+

10510512

yxyx

3. Paso. Resolver el sistema.


24 de 34

Lo resuelvo por ejemplo por sustitución x = 12 – y Sustituyendo 5·(12 - y) + 10y = 105 60 – 5y + 10y = 105 5y = 45 y = 9 x = 12 – 9 = 3

Ahora se comprueba que es correcta la solución: Son 12 billetes en total 3 + 9 = 12 Bien Paga 105 euros con esos billetes 3·5 + 9·10 = 15 + 90 = 105 Bien 5. Un fabricante de bombillas gana 0,3euros por cada bombilla que sale de la fábrica, pero pierde 0,4 euros por cada una que sale defectuosa. Un día en el que fabricó 2100 bombillas obtuvo un beneficio de 484,4 euros. ¿Cuántas bombillas buenas y cuántas defectuosas fabrico ese día? Este problema es similar al anterior en planteamiento pero cambia un detalle. 1. Se eligen las incógnitas x = número de bombillas buenas y = número de bombillas defectuosas 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación (bombillas) Se fabricaron 2100 bombillas en total x + y = 2100 2ª Ecuación (beneficio = ganancia - pérdida) Se obtiene un beneficio de 484,4 euros 0,3x – 0,4y = 484,4 El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=−=+

4,4844,03,02100yx

yx

3. Paso. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por sustitución x = 2100 – y Sustituyendo 0,3·(2100 - y) – 0,4y = 484,4 630 – 0,3y – 0,4y = 484,4


25 de 34

- 0,7y = 145,6 y = 208 x = 2100 – 208 = 1892

Ahora se comprueba que es correcta la solución: Son 2100 bombillas en total 1892 + 208 = 2100 Bien El beneficio es de 484,4 0,3·1892 – 0,4·208 = 567,6 - 83,2 = 484,4 Bien 6. Halla dos números tales que la suma de un tercio del primero más un quinto del segundo sea igual a 13 y que si se multiplica el primero por 5 y el segundo por 7 se obtiene 247 como suma de los dos productos. 1. Se eligen las incógnitas x = primer número y = segundo número 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación

“La suma de un tercio del 1º más un quinto del 2º es 13” 1351

31

=+ yx

2ª Ecuación “Si se multiplica el 1º por 5 y el 2º por 7 se obtiene 247” 5x + 7y = 247 El sistema es el siguiente:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

24775

1353yx

yx

3. Paso. Resolver el sistema. Lo primero es quitar denominadores en la 1ª ecuación. mcm(3,5)= 15

1ª ec. 15195

153

155

=+yx luego 5x + 3y = 195

Solución ( x = 1892 , y = 208)

26 de 34

El sistema equivalente es:

⎩⎨⎧

=+=+

2477519535

yxyx

Lo resuelvo por ejemplo por reducción. Multiplico la 1ª ec por -1 y sumo las dos ecuaciones

-5x - 3y = -195 + 5x + 7y = 247

4y = 52 y = 13 4º Se sustituye en una ecuación 5x +3·13 = 195 5x = 195 – 39 5x = 156 x= 31,2

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “La suma de un tercio del 1º más un quinto del 2º es 13”

13512,31

31

+ = 10,4 +2,6 = 13 Bien

“Si se multiplica el 1º por 5 y el 2º por 7 se obtiene 247” 5·31,2 + 7·13 = 156 + 91 = 247 Bien 7. El perímetro de un rectángulo es 64cm y la diferencia entre las medidas de la base y la altura es 6cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo. 1. Se eligen las incógnitas x = medida de la base y = medida de la altura 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación “El perímetro es 64cm” 2x + 2y = 64 2ª Ecuación “La diferencia entre la base y la altura es 6cm” x - y = 6 El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=−=+

66422

yxyx

Solución ( x = 31,2 , y = 13)

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3. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por reducción. Multiplico la segunda ecuación por 2 y sumo las dos ecuaciones 2x + 2y = 64 + 2x - 2y = 12

4x = 76 x = 19 Se sustituye en una ecuación 19 - y = 6 y = 13

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “El perímetro es 64cm” 2·19 + 2·13 = 38 + 26 = 64 Bien “La diferencia entre la base y la altura es 6cm” 19 - 13 = 6 Bien 8. La edad de Manuel es el doble de la edad de su hija Ana. Hace diez años, la suma de las edades de ambos era igual a la edad actual de Manuel. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 1. Se eligen las incógnitas x = edad actual de Manuel y = edad actual de Ana 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación “La edad de Manuel es el doble de la edad de su hija Ana ” x = 2y 2ª Ecuación “Hace diez años, la suma de las edades de ambos era igual a la edad actual de Manuel” x – 10 + y -10 = x El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=−+−=

xyxyx1010

2

3. Resolver el sistema. De la 2ª ecuación se obtiene: x – x + y = 20 luego y = 20

Solución ( x = 19 , y = 13)

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Sustituyendo en la primera x = 2 · 20 x = 40

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “La edad de Manuel es el doble de la edad de su hija Ana ” 40 = 2·20 Bien “Hace diez años, la suma de las edades de ambos era igual a la edad actual de Manuel” 40 – 10 + 20 – 10 = 40 Bien 9. José dice a Eva: “Mi colección de discos compactos es mejor que la tuya ya que si te cedo 10 tendríamos la misma cantidad”. Eva le responde: “Reconozco que llevas razón. Solo te faltan 10 para doblarme en número”. ¿Cuántos discos tiene cada uno? 1. Se eligen las incógnitas x = Discos que tiene José y = Discos que tiene Eva 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación “Si José cede 10 a Eva tienen la misma cantidad ” x -10 = y + 10 2ª Ecuación “A José le faltan 10 para tener el doble de discos que Eva” x + 10 = 2y El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=++=−yx

yx210

1010

3. Resolver el sistema. Por sustitución De la 1ª ecuación despejando x se obtiene: x = y + 20 Sustituyendo en la 2ª la x se tiene y + 20 +10 = 2y luego y = 30 El valor de x será: x = 30 + 20; x = 50

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “Si José cede 10 a Eva tienen la misma cantidad ” 50 – 10 = 40

Solución ( x = 40 , y = 20)

Solución ( x = 50 , y = 30)

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30 + 10 = 40 Bien “A José le faltan 10 para tener el doble de discos que Eva” 50 + 10 = 60 2·30 = 60 Bien 10. En una fábrica de zumos se mezclan dos tipos de calidades, una de 0,5 euros/l y otra de 0,8 euros/l. ¿Cuántos litros de zumo se mezclarán de cada tipo para obtener 120 litros con un coste de 75 euros? 1. Se eligen las incógnitas x = litros de zumo de calidad 0,5 e/l y = litros de zumo de calidad 0,8e/l 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación (litros) “Se obtienen 120 litros” x +y = 120 2ª Ecuación (coste) “La mezcla tiene un coste de 75 euros” 0,5x +0,8y = 75 El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=+=+

758,05,0120yx

yx

3. Resolver el sistema. Por sustitución De la 1ª ecuación despejando x se obtiene: x = 120 - y Sustituyendo en la 2ª la x se tiene 0,5·(120-y) + 0,8y = 75 60 – 0,5y + 0,8y = 75 0,3y = 15

y = 50 El valor de x será: x = 120 - y ; x = 120 – 50 , x = 70

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “Se obtienen 120 litros” 70 + 50 = 120 Bien “La mezcla tiene un coste de 75 euros” 0,5·70 + 0,8·50 =35 + 40 = 75 Bien

Solución ( x = 70 , y = 50)

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11. Laura ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Irene ha comprado otro abrigo 25 euros mas caro, pero ha conseguido una rebaja del 20 % , con lo que solo ha pagado 8 euros más que Laura. ¿Cuál era el precio de cada abrigo? 1. Se eligen las incógnitas x = Precio del abrigo de Laura sin rebaja y = Precio del abrigo de Irene sin rebaja 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación (Precios sin rebaja) “El abrigo de Irene es 25 euros más caro que el de Laura ” y = x + 25 2ª Ecuación (Lo que paga cada una con descuento) El abrigo de Laura tenía un descuento del 15% luego realmente lo que ella paga es el 85%. Paga 0,85x El abrigo de Irene tenía un descuento del 20% luego realmente lo que ella paga es el 80%. Paga 0,80y Con estos descuentos Irene paga 8 euros más que Laura, luego la ecuación queda: 0,8y = 0,85x + 8 El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

+=+=

885,08,025xy

xy

3. Resolver el sistema. Por sustitución Sustituyendo en la 2ª la y se tiene 0,8·(x + 25) = 0,85x + 8 0,8x + 20 = 0,85x + 8 12 = 0,05x

x = 240 euros cuesta el abrigo de Laura sin rebaja El valor de y será: y = 240 + 25 ; y = 265 euros cuesta el abrigo de Irene sin rebaja

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “El abrigo de Irene es 25 euros más caro que el de Laura ”

Solución ( x = 240 , y = 265)

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Efectivamente el de Irene cuesta 245 euros, 25 euros mas que el de Laura que cuesta 240. “Irene paga 8 euros más que Laura” 0,8·265 =212 euros paga Irene 0,85· 240 = 204 euros paga Laura. Luego efectivamente Irene ha pagado 8 euros más. 12. Un empresario quiere distribuir una gratificación entre sus empleados. Se da cuenta de que si da a cada uno 80 euros le sobran 20 euros y si da a cada uno 90 euros le faltan 40 euros. ¿Cuántos empleados tiene?, ¿Cuánto dinero tiene para repartir? 1. Se eligen las incógnitas x = nº de empleados y = dinero para repartir 2. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación “Si da a cada uno 80 euros le sobran 20 euros” 80x +20 = y 2ª Ecuación “Si da a cada uno 90 euros le faltan 40 euros” 90x - 40 = y El sistema es el siguiente:

⎩⎨⎧

=−=+yxyx

40902080

3. Resolver el sistema. Por Igualación 80x + 20 = 90x - 40

60 = 10x x = 6 empleados El valor de y será: y = 80·6 + 20 ; y = 480 + 20 , y = 500 euros

Ahora se comprueba que es correcta la solución: “Si da a cada uno 80 euros le sobran 20 euros” 6·80 = 480 euros , le sobran 20 para llegar a 500. “Si da a cada uno 90 euros le faltan 40 euros” 6·90 = 540 , le faltarían 40 euros, pues solo tiene 500.

Solución ( x = 6 , y = 500)

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetas y 4 gorras cuestan 188 euros. Halla el precio de una camiseta y de una gorra. (Solución: 32 camisetas, 7 gorras ) 2. He comprado un cuaderno que costaba 3 euros y para pagarlo he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado? (Solución: 5 monedas de 20 céntimos, 4 de 50 céntimos ) 3. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 por cada error. Si un alumno ha sacado 10,5 puntos ¿Cuántos aciertos y cuántos errores ha cometido? (Solución:18respuestas correctas , 12 respuestas incorrectas ) 4. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67. (Solución: primer número 129 y segundo número 62 ) 5. La diferencia de dos números es de 14 y la cuarta parte de su suma es 13. Halla dichos números. (Solución: primer número 33 y segundo número 19 ) 6. Dos números suman 21. Si el primero lo dividimos entre 3 y le restamos la sexta parte del segundo, nos da 1. Halla el valor de los dos números. (Solución: primer número 9 y segundo número 12) 7. Ente María y Pedro tienen un total de 65 CD’s . Sabemos que Pedro tiene 7 CD’s más que María. ¿Cuántos CD’s tiene cada uno? (Solución: María tiene 29 CD’s y Pedro 36) 8. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 80 m y la altura es 2/3 de su base. (Solución: base 24 m y altura 16) 9. En el aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3ºB. Además se sabe que si se pasan 8 alumnos de 3º A a 3ºB ambas aulas tendrán el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada aula? (Solución: En el aula de 3º A hay 32 alumnos y en 3ºB 16) 11. Tenemos dos grifos A y B. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y el grifo B durante 1 minuto, salen en total 50 l de agua. Si en cambio abrimos el grifo B durante 2 minutos y el A durante 1 minuto, entonces salen en total 40l. ¿Cuántos litros de agua arroja cada grifo en 1 minuto? (Solución: Grifo A 12 l/min y grifo B 14 l/min) 12. Javier dispone de un capital de 8000 euros, del que una parte la mete en un depósito al 5% anual y otra al 6% anual. Calcula ambas partes sabiendo que el capital acumulado al cabo de un año es de 8450 euros. (Solución: Capital al 5% 3000 euros y capital al 6% 5000 euros)

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13. Una empresa que fabrica jarrones recibe un encargo para un día determinado. Al planificar la producción se dan cuenta de que si fabrican 250 jarrones al día, faltarían 150 al concluir el plazo que tienen. Si fabrican 260 jarrones diarios entonces les sobrarían 80. ¿Cuántos días tienen de plazo y cuántos jarrones les encargaron? (Solución: 23 días de plazo y 5900 jarrones)

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Resolución de sistemas de ecuaciones con dos incognitas.

Un sistema está formado por dos semiecuaciones (arriba y abajo), que siempre debemos ordenar deforma que delante del igual siempre haya las dos letras y detrás del igual esté el término independiente.Si ello no ocurre se hace la transposición de términos. Si aparecen fracciones se resuelven por el métododel mínimo común múltiplo.

2 x + 3 y = 7[A semiecuación de arriba].

4 x − 5 y = 3[B semiecuación de abajo]

Sustitución

Pasos a seguir:

Se despeja la x de la semiecuación de arriba (siempre positiva)•

7−3y

X=

2

El valor de la x despejada de la semiecuación de arriba se sustituye en la x de la semiecuación deabajo.

•

7−3y

4 − 5y = 3

2

Se resuelve la semiecuación de abajo como una ecuación de 1er grado cuya incógnita es y.•

4 ( 7−3y )

5y = 3•

2

4 ( 7−3y ) − 10y = 6

28 − 12y − 10 y = 6

−12y − 10y = 6 − 28

−22y = −22

−22

1

y =

−22

y = 1

El valor de la y obtenida se sustituye por la y de la semiecuación de arriba.•

2x + 3y = 7

2x + 3 ( 1 ) = 7

2x + 3 = 7

2x = 7 − 3

2x = 4

4

X=

2

x= 2

Igualación

Pasos a seguir:

Se despeja la x o la y de las dos semiecuaciones (siempre positivas).•

7 − 3y

1ª Ecuación; x=

2

3 + 5y

2ª Ecuación; x=

4

Como las x despejadas son las mismas se igualan los valores.•

7 − 3y 3 + 5y

=

2 4

2

Se resuelve la ecuación de 1er grado cuya incógnita es y que queda multiplicando en cruz parasuprimir los denominadores..

•

7 − 3y 3 + 5y

=

4•

4 ( 7 − 3y ) = 2 ( 3 + 5y )

28 − 12y = 6 + 10y

−12y − 10 y = 6 − 28

−22y = −22

−22

y =

−22

y = 1

El valor de la y obtenida se sustituye en las dos x despejadas al principio y que por tanto tendrán elmismo valor.

•

7 − 3y

x=

2

7 − 3 ( 1 )

x=

2

7 − 3

x =

2

4

x =

2

3

x = 2

Reducción

Pasos a seguir:

Se multiplica el coeficiente (número de delante) de la x de la semiecuación de abajo por toda lasemiecuación de arriba sin el signo y el coeficiente de la x de arriba por toda la semiecuación de abajosin el signo.

•

2 x + 3 y = 7[A semiecuación de arriba]

4 x − 5 y = 3[B semiecuación de abajo]

4 ( 2 x + 3 y = 7 )

2 ( 4 x − 5 y = 3 )

Quitamos paréntesis mediante la propiedad distributiva.•

8x + 12y = 28

8x − 10y = 6

Cambiamos los signos a conveniencia para poder tachar en caso de estar cambiados los signospudiendo tachar se deja tal y como estaba.

•

En este caso se le cambia el signo, por ejemplo a la primera ecuación, aunque se le podría cambiar elsigno a la segunda. Ojo que se le cambia el signo a todo, incluido lo que hay detrás del signo igual.

− 8x − 12y = − 28

8x − 10y = 6

Se tachan las x y se suman miembro a miembro las y, que se despeja y hallamos su valor•

− 8x − 12y = − 28

+ 8x − 10y = 6

− 22y = −22

−22

y =

−22

y = 1

Para hallar el valor de la x se repiten los pasos con los coeficientes de las y.•

4

7 − 3y

x=

2

7 − 3 ( 1 )

x=

2

7 − 3

x =

2

4

x =

2

x = 2

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ecuación de 2º grado

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