FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA CICLO VI

dass

Universidad Nacional

FACULTADINGENIERIA QUIMICA

TEMA: ECUACIÓN DE ESTADO

ALUMNO

ROJAS VELASQUEZ, AIRTUN FIDEL

Catedrático: ING. ROSALIO CUSI PALOMINO

Curso: TERMODINAMICA I

Escuela: INGENIERIA QUIMICA

Ciclo: VI

2010

UNIVERSIDAD SAN LUIS GONZAGA DE ICA TERMODINAMICA I

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CAPITULO I: ASPECTO GENERALES

1.1 INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones de estado son útiles para describir las propiedades de los fluidos, mezclas, sólidos o incluso del interior de las estrellas. Cada substancia o sistema hidrostático tiene una ecuación de estado característica dependiente de los niveles de energía moleculares y sus energías relativas, tal como se deduce de la mecánica estadística.

El uso más importante de una ecuación de estado es para predecir el estado de gases y líquidos. Una de las ecuaciones de estado más simples para este propósito es la ecuación de estado del gas ideal, que es aproximable al comportamiento de los gases a bajas presiones y temperaturas mayores a la temperatura crítica. Sin embargo, esta ecuación pierde mucha exactitud a altas presiones y bajas temperaturas, y no es capaz de predecir la condensación de gas en líquido.

Por ello, existe una serie de ecuaciones de estado más precisas para gases y líquidos. Entre las ecuaciones de estado más empleadas sobresalen las ecuaciones cúbicas de estado. De ellas, las más conocidas y utilizadas son la ecuación de Peng-Robinson (PR) y la ecuación de Redlich-Kwong-Soave (RKS).

Hasta ahora no se ha encontrado ninguna ecuación de estado que prediga correctamente el comportamiento de todas las sustancias en todas las condiciones.

Además de predecir el comportamiento de gases y líquidos, también hay ecuaciones de estado que predicen el volumen de los sólidos, incluyendo la transición de los sólidos entre los diferentes estados cristalinos.

Hay ecuaciones que modelan el interior de las estrellas, incluyendo las estrellas de neutrones. Un concepto relacionado es la ecuación de estado del fluido perfecto, usada en Cosmología.

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1.2 ANTECEDENTE

En la siguiente clase de Termodinámica, el Prof. Lisando Calderón trabaja profundamente el tema "Ecuaciones de Estado".

Para su abordaje, comienza por la ecuación de estado de Van der Waals quien ofrece un adelanto semi-teórico de la ecuación de estado el gas ideal.

Más tarde y tras exponer la importancia y limitaciones de la misma se explica la forma de determinar el valor de A y de B en la fórmula, para poder después introducir el tema de las ecuaciones de estado reducidas y comparándola con la de Van der Waals. Durante esta primera clase, el profesor también trabaja sobre dos términos fundamentales: el de presión reducida y volumen reducido.

Casi finalizando la clase explica las "Ecuaciones del virial" y la "Ley de los estados correspondientes"

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1.3 RESUMEN

El diseño de equipos de procesos utilizados en la industria química requiere de datos termodinámicos. Estos datos son entregados por las ecuaciones de estados y se pueden aplicar al diseño de muchos tipos de equipos, como por ejemplo:

Para intercambiadores de calor se debe determinar la entalpía a la entrada y salida del equipo usando los datos de temperatura y presión; determinar el volumen de un fluido a cierta temperatura y presión para el diseño de recipientes, y generalmente para el diseño de rehervidores, condensadores, bombas, compresores y expandidores

En la industria petroquímica, específicamente en los procesos de liquefacción, las ecuaciones de estados se utilizan entre muchas aplicaciones para: predecir con alta precisión entalpías para así optimizar el diseño de intercambiadores de calor; determinar datos de equilibrios vapor/líquido de los gases para los procesos de separación; predicción precisa de la densidad de líquidos para conocer la masa o volumen y calcular el calor total; determinar la potencia requerida en los compresores, etc.

En los procesos de separación, como la destilación, para el diseño de equipos se requiere de datos de equilibrios líquido/vapor. Estos datos pueden ser obtenidos por correlaciones gráficas o analíticas. Ambas utilizan datos de presión, volumen y temperatura, los cuales son proporcionados por las ecuaciones de estado.

Para las correlaciones gráficas, la ecuación de estado más usada es la de Benedict-Weeb-Rubin, la cual se utilizó para construir las gráficas de Kellogg, las que incluyen los datos de equilibrios para los 12 principales hidrocarburos.

Para las correlaciones analíticas, las ecuaciones de estados más usadas son las de Benedict-Weeb-Rubin y la de Redlich-Kwong o la de Soave. Los datos de equilibrios se determinan por la siguiente ecuación.

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1.4 OBJETIVOS

1.- Conocer la relación que liga las diferentes variables que afectan al comportamiento de los gases.

2.- relacionar mediante una expresión analítica los valores p-v-t de un fluido

3.-Determinar las constantes de equilibrio liquido-vapor para los cálculos de comportamiento de fases

4.- Determinar los valores de entalpía (h), y entropía (s) para el cálculo de trabajo, potencia, y calor, de acuerdo con los principios termodinámicos

5.- Si bien uno de los objetivos perseguidos en la formulación de una ecuación de estado es la de su validez general, el compromiso entre su sencillez analítica y su universalidad resulta difícil de satisfacer.

6.- También se hace necesario buscar una solución de compromiso respecto a la precisión en las diferentes zonas (equilibrio de fases, zona de líquido, etc.).

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CAPITULO II: MARCO TEORICO

2.1 ECUACIÓN DE ESTADO

Gases son el estado de agregación molecular más simple » Llenan completamente el recipiente que los contiene» Son totalmente solubles entre ellos.

Ecuación de estado – ecuación que relaciona las variables que describen el estado físico del sistema

» Ecuación de estado para un gas: p = f (T,V,n)» Propiedades de Gases (puros) – cuatro, pero con sólo tres

especificamos el estado del sistema Presión (p), Volumen (V), Temperatura (T), cantidad de sustancia (moles,

n)

La ecuación que describe normalmente la relación entre la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad (en moles) de un gas ideal es:

P.V = n.R.T

Donde:

P = Presión

V= Volumen

n= Moles de Gas.

R= Constante universal de los gases ideales .

T= Temperatura absoluta

Teoría cinética molecular:

Esta teoría fue desarrollada por Ludwig Boltzmann y Maxwell. Nos indica las propiedades de un gas ideal a nivel molecular.

Todo gas ideal está formado por pequeñas partículas puntuales (átomos o moléculas).

Las moléculas gaseosas se mueven a altas velocidades, en forma recta y desordenada.

Un gas ideal ejerce una presión continua sobre las paredes del recipiente que lo contiene, debido a los choques de las partículas con las paredes de éste.

Los choques moleculares son perfectamente elásticos. No hay pérdida de energía cinética.

No se tienen en cuenta las interacciones de atracción y repulsión molecular.

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La energía cinética media de la translación de una molécula es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.

2.2 CAMBIOS DE ESTADO.

Paso de una sustancia de un estado a otro. Los más importantes son:

a) la evaporación

b) la condensación

c) la solidificación

d) la fusión

e) la vaporización

f) la sublimación

En un cambio de estado el cuerpo absorbe o desprende una determinada cantidad de calor por unidad de masa, denominado calor latente (de fusión, de ebullición, etc.), y durante el mismo la temperatura permanece invariable y constante para una presión externa dada.

Evaporación.

Paso de una sustancia del estado líquido al de vapor, a una temperatura inferior a la de ebullición. Tiene lugar sólo en la superficie del líquido y se produce de forma gradual.

Condensación.

Paso de una sustancia de la fase de vapor a la líquida (o la sólida); el proceso inverso es la vaporización (o la sublimación).

Solidificación.

Paso de un cuerpo del estado líquido al sólido; es el fenómeno inverso de la fusión. Para cada cuerpo tiene lugar a una temperatura determinada -punto de solidificación o de fusión- con desprendimiento de calor y, generalmente, acompañada de una disminución del volumen.

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Fusión.

Paso de un cuerpo del estado sólido al líquido. Se verifica con absorción de calor, generalmente con aumento de volumen, y a una temperatura constante que depende de la naturaleza de los cuerpos y de la presión externa.

Vaporización.

Paso de una sustancia del estado líquido al gaseoso. Puede ser evaporación o ebullición según afecte sólo a la superficie o a todo el volumen. El calor de vapor es la cantidad de vapor que absorbe la unidad de masa de una sustancia al vaporizarse a una temperatura dada.

Sublimación.

Paso de un cuerpo directamente del estado sólido al de vapor o del de vapor al sólido; este último se llama también condensación.

La transición sólido-vapor se produce cuando el sólido está sometido a una presión inferior a su presión de vapor, por lo que en muchos casos la cantidad de vapor en equilibrio con la fase sólida es mínima.

Se llama calor de sublimación al absorbido (o desprendido) por la unidad de masa de una sustancia al sublimar.

Estado metastable.

El de un sólido, líquido o gas que permanece en un determinado estado de agregación en unas condiciones en que debería haberse producido un cambio de agregación.

La experiencia empírica indica que los cuerpos materiales adoptan diversas formas según el valor que toman las variables termodinámicas que los caracterizan.

El estado sólido se reconoce por la invariabilidad de forma y volumen; el estado líquido presenta sólo invariancia de volumen y el estado gaseoso carece de ambas. Para una misma sustancia y a presión constante, los estados sólido, líquido y gaseoso corresponden a valores crecientes de la temperatura.

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A temperaturas bajas, la energía cinética de las moléculas es insuficiente para superar las fuerzas de cohesión que tienden a mantenerlas unidas. Se tienen entonces los sólidos cristalinos.

En éstos los movimientos de las moléculas se limitan a vibraciones en torno a determinados puntos que corresponden a los nudos de la red cristalina.

En el otro extremo del espectro, para valores muy superiores de la temperatura, la energía potencial intermolecular es prácticamente despreciable frente a la agitación molecular. El correspondiente estado de agregación es el gaseoso.

El estado intermedio corresponde a los líquidos y al estado amorfo: aunque pequeña, la velocidad de las moléculas es lo suficiente para que éstas no puedan formar un retículo cristalino.

Aumentando todavía la temperatura a partir del estado gaseoso, se llega a un punto en el que las moléculas se han disociado en sus átomos constituyentes y éstos a su vez han desaparecido para dar lugar a núcleos y electrones separados: este nuevo estado, característico de la materia estelar, se conoce con el nombre de plasma

2.3 LA ECUACIÓN DE ESTADO PARA GASES REALES

Haciendo una corrección a la ecuación de estado de un gas ideal, es decir, tomando

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en cuenta las fuerzas intermoleculares y volúmenes intermoleculares finitos, se obtiene la ecuación para gases reales, también llamada ecuación de Van der Waals:

(P + a.n2/V2).(V - nb) = n.R.T

Donde:

P = Presión del gas

V= Volumen del gas

n= Moles de gas.

R= Constante universal de los gases ideales

T= Temperatura.

a y b; son constantes determinadas por la naturaleza del gas con el fin de que haya la mayor congruencia posible entre la ecuación de los gases reales y el comportamiento observado experimentalmente.

Constante de Van Der Walls

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Fuerza de atracciónFuerza de repulsión

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Gas a (atm.L2/mol2) B (L/mol)

He 0.034 0.0237

Ar 1.34 0.0322

H2 0.244 0.0266

N2 1.39 0.0391

O2 1.36 0.0318

2.4 ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES

Partiendo de la ecuación de estado:

P.V = n.R.T

Tenemos que:

P.V/n.T = R

Donde R es la constante universal de los gases ideales, luego para dos estados del mismo gas, 1 y 2:

P1.V1/n1.T1 = P2.V2/n2.T2 = R

Para una misma masa gaseosa (por tanto, el número de moles «n» es constante), podemos afirmar que existe una constante directamente proporcional a la presión y volumen del gas, e inversamente proporcional a su

temperatura.

P1.V1/n1.T1 = P2.V2/n2.T2

Formas alternativas

Como la cantidad de sustancia podría ser dada en masa en lugar de moles, a veces es útil una forma alternativa de la ley del gas ideal. El número de moles (N) es igual a la masa (m) dividido por la masa molar (M):

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n = m/M

Y sustituyendo n, obtenemos:

P.V =m.R.T/M

Donde:

P = ρ.(R/M).T

Esta forma de la ley del gas ideal es muy útil porque se vincula la presión, la densidad ρ = m/ V, y la temperatura en una fórmula única, independiente de la cantidad del gas considerado.

2.5 LEY DE BOYLE-MARIOTTE (1627-1691)

La Ley de Boyle-Mariotte (o Ley de boyle, como se la conoce a veces), formulada por Robert Boyle y Edme Mariotte, es una de las leyes de los gases ideales que relaciona el volumen y la presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante, y dice que el volumen es inversamente proporcional a la presión; donde es constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes.Cuando aumenta la presión, el volumen disminuye, mientras que si la presión disminuye el volumen aumenta.

El valor exacto de la constante k no es necesario conocerlo para poder hacer uso de la Ley; si consideramos las dos situaciones de la figura, manteniendo constante la cantidad de gas y la temperatura, deberá cumplirse la relación:

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La relación entre el volumen y la presión: Ley de Boyle

Robert Boyle

Estudia la relación entre la presión ejercida sobre un gas y el volumen resultante.

Utiliza un tubo en forma de J y emplea Hg para ejercer presión sobre el gas:

Figura: Al aplicar presión, el volumen de un gas disminuye

El volumen de una cantidad fija de gas mantenido a temperatura constante inversamente proporcional a la presión

Esto se describe numéricamente así:

PV = K

P1V1 = P2V2

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O bien así:

V = K.1/P

El valor de la constante depende de la temperatura y de la cantidad de gas usada.

Una gráfica de V vs. 1/P nos dará una recta cuya pendiente es igual a la constante.

Figura: Representación gráfica de la ley de Boyle

2.6 LEYES DE CHARLES Y GAY-LUSSAC

En 1802, Louis Gay Lussac publica los resultados de sus experimentos, basados en los que Jacques Charles hizo en el 1787. Se considera así al proceso isobárico para la Ley de Charles, y al isocoro (o isostérico) para la ley de Gay Lussac.

Proceso isóbaro (de Charles)

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La relación entre la temperatura y el volumen: Ley de Charles

Jacques Charles (1746-1823)

El volumen de una cantidad fija de gas a presión constante se incrementa linealmente con la temperatura.

Al extrapolar esta línea, se predice que todos los gases deberían tener un volumen de cero cuando la temperatura es igual a -273.15°C (sin embargo todos los gases se licuan o solidifican antes de llegar a esta temperatura.)

Figura: Al calentar un gas, se expande

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Figura: Al enfriar un globo con N2 líquido, el volumen decrece.

En 1848 William Thomson (Lord Kelvin) propone una escala de temperatura absoluta para la cual 0°K es igual a -273.15°C

La ley de Charles puede replantearse en términos de la escala absoluta así:

El volumen de una cantidad fija de gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. Manteniendo la presión constante.

Esto se describe numéricamente así:

El valor de la constante depende de la cantidad de gas y de la presión.

Proceso isocoro (de Gay Lussac)

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2.7 LEY DE AVOGADRO

La Ley de Avogadro fue expuesta por Amedeo Avogadro en 1811 y complementaba a las de Boyle, Charles y Gay-Lussac. Asegura que en un proceso a presión y temperatura constante (isobaro e isotermo), el volumen de cualquier gas es proporcional al número de moles presente, de tal modo que:

Esta ecuación es válida incluso para gases ideales distintos. Una forma alternativa de enunciar esta ley es:

El volumen que ocupa un mol de cualquier gas ideal a una temperatura y presión dadas siempre es el mismo.

Un mol de cualquier gas ideal a una temperatura de 0 °C (273,15 K) y una presión de 1.013,25 hPa ocupa un volumen de 22,4140 litros.

La relación entre la cantidad de gas y el volumen: Ley de Avogadro

El volumen de un gas depende también de la cantidad de sustancia.

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Figura: Al aumentar el número de moléculas de un gas a presión y temperatura constantes, el volumen crece.

Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1823), descubre la ley de los volúmenes de combinación:

A una temperatura y presión dadas, el volumen de los gases que reaccionan entre sí como cocientes de números pequeños.

Por ejemplo, dos volúmenes de hidrógeno reaccionan con un volumen de oxígeno para dar dos volúmenes de vapor de agua.

Amadeo Avogadro interpretó los datos de Gay-Lussac usando la:

Hipótesis de Avogadro:

Volúmenes iguales de gases a las mismas presión y temperatura tienen el mismo número de moléculas

Una mol de cualquier gas (6.02 x 1023 moléculas de gas) a 1 atmósfera de presión a 0°C ocupan aproximadamente 22.4 litros.

La ley de Avogadro:

El volumen de un gas a presión y temperatura constantes es

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directamente proporcional al número de moles del gas.

Esto se describe numéricamente así:

V = K.n

V1/n = V2/n

Al duplicar el número de moles de un gas el volumen se duplicará siempre y cuando T y P permanezcan constantes.

2.8 REDLICH-KWONG

R = constante de los gases (8.31451 J/mol·K)

Introducida en 1949, la ecuación de Redlich-Kwong fue una mejora considerable

sobre las otras ecuaciones de la época. Aún goza de bastante interés debido a su

expresión relativamente simple.

Aunque es mejor que la ecuación de Van der Waals, no da buenos resultados

sobre la fase líquida y por ello no puede usarse para calcular precisamente los

equilibrios líquido-vapor. Sin embargo, puede usarse conjuntamente con

expresiones concretas para la fase líquida en tal caso.

La ecuación de Redlich-Kwong es adecuada para calcular las propiedades de la

fase gaseosa cuando el cociente entre la presión y la presión crítica es menor que

la mitad del cociente entre la temperatura y la temperatura crítica.

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2.9 ECUACIÓN DEL VIRIAL

Donde:

B = -VC

C = V2C/3

R = PCVC/TC

Aunque generalmente no es la ecuación de estado más conveniente, la ecuación

del Virial es importante dado que puede ser obtenida directamente por mecánica

estadística. Si se hacen las suposiciones apropiadas sobre la forma matemática de

las fuerzas intermoleculares, se pueden desarrollar expresiones teóricas para cada

uno de los coeficientes. En este caso B corresponde a interacciones entre pares de

moléculas, C a grupos de tres, y así sucesivamente.

2.10 ECUACIÓN DE SOAVE

R = Constante de los gases (8,31451 J/ (K·mol))

a = 0.42747R2T2C/PC

b = 0.08664RTc/PC

Donde: ω: Es el factor acéntrico del compuesto.

Para el hidrógeno:

En 1972 Soave reemplazó el término a/√. (T) de la ecuación de Redlich-

Kwong por una expresión α (T, ω) función de la temperatura y del factor

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acéntrico. La función α fue concebida para cuadrar con los datos de las presiones

de vapor de los hidrocarburos; esta ecuación describe acertadamente el

comportamiento de estas sustancias.

2.11 ECUACIÓN DE PENG-ROBINSON

R = constante de los gases (8,31451 J/mol·K)

a = 0.45724R2T2C/PC

b = 0.07780RTc/PC

Donde: ω: Es el factor acéntrico del compuesto. La ecuación de Peng-Robinson fue desarrollada en 1976 para cumplir los

siguientes objetivos:1. Los parámetros habían de poder ser expresados en función de las

propiedades críticas y el factor acéntrico. 2. El modelo debía ser razonablemente preciso cerca del punto crítico,

particularmente para cálculos del factor de compresibilidad y la densidad líquida.

3. Las reglas de mezclado no debían emplear más que un parámetro sobre las interacciones binarias, que debía ser independiente de la presión, temperatura y composición.

4. La ecuación debía ser aplicable a todos los cálculos de todas las propiedades de los fluidos en procesos naturales de gases.

Generalmente la ecuación de Peng-Robinson da unos resultados similares a la de

Soave, aunque es bastante mejor para predecir las densidades de muchos

compuestos en fase líquida, especialmente los apolares.

2.12 ELLIOTT, SURESH, DONOHUELa ecuación de estado de Elliott, Suresh, y Donohue (ESD) fue propuesta en

1990. Pretende corregir una desviación de la ecuación de estado de Peng-

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Robinson, en la cual existe una imprecisión en el término de repulsión de van der

Waals. La ecuación tiene en cuenta el efecto de la forma de las moléculas

apolares y puede extenderse a polímeros añadiendo un término extra (no se

muestra). La ecuación fue desarrollada a partir de simulaciones informáticas y

comprende la física esencial del tamaño, forma y puente de hidrógeno.

Donde:

2.13 ECUACIÓN DE BOSE IDEAL La ecuación de estado para un gas de Bose ideal es:

donde α; es un exponente específico del sistema (por

ejemplo, en ausencia de un campo de potencia, α=3/2; z; es exp(μ/kT) donde μ; es el potencial químico, Li; es el polilogaritmo, ζ es la función zeta de Riemann y Tc; es la temperatura crítica a la cual el condensado de Bose-Einstein

empieza a formarse.

2.14 EL FACTOR DE COMPRESIBILIDAD (Z)

El factor de compresibilidad Z, es un factor de corrección, que se introduce en la ecuación de estado de gas ideal para modelar el comportamiento de los gases reales, los cuales se pueden comportar como gases ideales para condiciones de baja presión y alta temperatura, tomando como referencia los valores del punto crítico, es decir, si la temperatura es mucho más alta que la del punto crítico, el gas puede tomarse como ideal, y si la presión es mucho más baja que la del punto crítico el gas también se puede tomar como ideal.

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La desviación de un gas respecto de su comportamiento ideal se hace mayor cerca del punto crítico.

Remitiéndonos a la sección de gases ideales tenemos:

PV = RT

Introduciendo el factor de corrección Z:

PV = ZRT

Por lo tanto:

Z = PV/RT

El factor Z también se puede entender como:

z = Vactual/Videal

Donde: Vactual: volumen específico que se tiene del gas. Videal: volumen específico del gas tomado del gas ideal.

Videal = RT/P

SIGNIFICADO DEL VALOR DE Z

Si el valor de Z es igual a 1 esto indica que el gas se comporta como ideal. Si el valor de Z es mayor o menor que 1 el gas se comporta como un gas real. Mientras mas grande sea la desviación del valor de Z con respecto a 1, mayor es la desviación del comportamiento respecto al comportamiento ideal del gas.

Normalización de la temperatura y la presión

Los gases se comportan de forma similar a temperaturas y presiones normalizadas respecto a sus temperaturas y presiones críticas. Es decir, Z es aproximadamente igual a la misma presión y temperatura reducidas para todos los gases.

Presión Reducida

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PR = P/PC

Temperatura Reducida

TR = T/TC

Volumen específico Pseudorreducido

VR = VACTUAL/ (RTC/PC)

Donde:

R = Rp: Es decir, la constante particular del gas.

Diagrama para hallar la compresibilidad (Z)

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EJEMPLO 1:

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Cierto gas se encuentra en un recipiente de 10 litros. A 134 atm. Y 20oC. El gas se expande hasta un volumen de 20 litros. A la presión de 50 atm. Determine la temperatura a la cual deberá someterse.

Pc=33,5

Tc=195oK

Datos:

T=20oC; Tc=195oK

P=134 atm; Pc=33,5 atm

V=10 litros.

Solución:

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EJEMPLO 2:

Calcule la presión a la cual se ha sometido 5 moles de etano para que tenga un volumen de 1,05 litros a la temperatura de 185.1oC.

Calcular:

a) gráficas de Z.

b) ecuación de Redlich Kwong.

Tc=305.4 ºK

Pc=48.2 atm

Solución:

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Con el método gráfico:

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CONCLUCIONES

Las ecuaciones de estado se utilizan para determinar datos de equilibrios, entalpías, presiones, volúmenes, y otras propiedades termodinámicas. La elección de la ecuación a utilizar dependerá de la precisión que se requiera y de las condiciones de operación en las que se trabaje.

Las ecuaciones de estados cúbicas no pueden representar fielmente el comportamiento de los gases, específicamente en la zona de dos fases, ya que sólo poseen dos constantes.

La ecuación del virial, basada en la mecánica estadística, puede representar fielmente el comportamiento. Sin embargo, es poco utilizada en ingeniería debido a la complicación del cálculo de los coeficientes.

De las ecuaciones cúbicas, la más utilizada es la de Redlich-Kwong, la cual combina la simplicidad de una ecuación de 2 parámetros con una alta precisión similar a la ecuación de Benedict-Weeb-Rubin de ocho parámetros.

BIBLIOGRAFIA J.M. Lacalle, "Apuntes de Físico-Química" (Madrid: ETSIIM, 1996). J.M. Lacalle, J.Turet y otros, "Termodinámica" (Madrid: ETSIIM, 1991). O. Redlich and J.N.S. Kwong, "On the Thermodynamics of Solutions V.

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