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Ecuaciones Algebraicas

Una ecuación es una igualdad entre dos partes. Cada parte se llama miembro de la ecuación.

Cuando existen variables en alguno de los miembros de la ecuación, ésta se llamará

ecuación algebraica.

En consecuencia, de este principio, se deriva la Ley de transposición de términos, la

cual permite que una cantidad, si está sumando pase a restar al miembro contrario y

viceversa, y si está multiplicando pase a dividir y viceversa.

Tipos de Ecuaciones: Según como estén dispuestas las variables en una ecuación, se

tienen (principalmente):

1. Ecuaciones Polinómicas (conformadas por un polinomio algebraico P(x)).

2. Ecuaciones Racionales (de la forma P(x)/Q(x)).

3. Ecuaciones Trigonométricas (la variable es un ángulo).

4. Ecuaciones Exponenciales (la variable es un exponente).

Raíces o soluciones: Son los valores numéricos de las variables que verifican o satisfacen

a una ecuación.

Principio Fundamental de las Ecuaciones:

En toda ecuación, si a ambos miembros se les aplica las mismas operaciones iguales, los

resultados serán iguales.

2

En una ecuación algebraica, existen tantas raíces o soluciones como el máximo valor del

exponente de la variable.

Ecuaciones de Primer Grado

Son ecuaciones en las que la variable está elevada hasta la potencia 1. Tienen la forma

ax + b = 0. También se les llama ecuaciones lineales.

Para hallar la variable simplemente se despeja por medio de la Ley de Transposición, o

sea, “Números a un lado y letras al otro”.

Ejemplos:

x = 1

3

Conjunto Solución: {x / x = 1

3 , x ∈ R}

Solución Gráfica:

2 (x+3) - 2 = 5x + 3

2x + 6 -2 = 5x + 3 Propiedad distributiva

2x + 4 = 5x + 3 Reducimos términos semejantes de cada miembro

2x – 5x = 3 – 4 Transponemos términos

-3x = -1 Reducimos términos semejantes

x = −1

−3 Despejamos la incógnita

-2 -1 -0 -1 -2

x = 1

3

3

EJEMPLO 2.

x -(2x+1) = 8-(3x+3)

x-2x-1 = 8-3x-3

x-2x+3x = 8-3+1

2x = 6

x= 6

2

x= 3

15x-10 = 6x-(x+2) +(-x+3)

15x-10 = 6x-x-2-x+3

15x-6x+x+x = -2+3+10

11x = 11

x= 11

11

x= 1

4

𝟔𝒙

𝟑𝒙= 𝟐 ,

𝟔𝒙

𝒙= 𝟔,

𝟔𝒙

𝟐𝒙 = 3Escriba aquí la ecuación.

EJEMPLO 3.

𝟔 (𝒙 − 𝟏) + 𝟑(𝒙 − 𝟐) + 𝟐(𝒙 − 𝟑)

𝟏𝟖 =

𝒙 − 𝟒

𝟏𝟐

𝟔𝒙 − 𝟔 + 𝟑𝒙 − 𝟔 + 𝟐𝒙 − 𝟔

𝟏𝟖 =

𝒙 − 𝟒

𝟏𝟐

𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟖

𝟏𝟖 =

𝒙 − 𝟒

𝟏𝟐

𝟏𝟐(𝟏𝟏𝒙 − 𝟏𝟖) = 𝟏𝟖(𝒙 − 𝟒)

𝟏𝟑𝟐𝒙 – 216 = 𝟏𝟖𝒙 − 𝟕𝟐

𝟏𝟑𝟐𝒙 – 𝟏𝟖𝒙 = −𝟕𝟐 + 𝟐𝟏𝟔

𝟏𝟏𝟒𝒙 = 𝟏𝟒𝟒

𝒙 =𝟏𝟒𝟒

𝟏𝟏𝟒 =

𝟕𝟐

𝟓𝟕 =

𝟐𝟒

𝟏𝟗

3 6 9 2

3 3 9 3

1 1 3 3 3*3*2 = 18

1

5

EJEMPLO 4.

𝟑( 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟏 (𝟒𝒙 + 𝟏)

𝟏𝟐=

𝒙 − 𝟏

𝟒

𝟔𝒙 + 𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟏

𝟏𝟐=

𝒙 − 𝟏

𝟒

𝟏𝟎𝒙 + 𝟒

𝟏𝟐=

𝒙 − 𝟏

𝟒

𝟒(𝟏𝟎𝒙 + 𝟒) = 𝟏𝟐 (𝒙 − 𝟏)

𝟒𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐

𝟒𝟎𝒙 − 𝟏𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 − 𝟏𝟔

𝟐𝟖𝒙 = −𝟐𝟖

𝒙 = −𝟐𝟖

𝟐𝟖 = −𝟏

6

EJEMPLO 5.

𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟔

𝟒 +

𝟏

𝟑 ( 𝒙 − 𝟓) = −𝟓𝒙

𝟕𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟔

𝟒 +

𝟏

𝟑 ( 𝒙 − 𝟓) = 𝟎

𝟕𝒙

𝟏 −

𝟓𝒙 − 𝟔

𝟒 +

(𝒙 − 𝟓)

𝟑 = 𝟎

𝟖𝟒𝒙 − 𝟑(𝟓𝒙 − 𝟔) + 𝟒(𝒙 − 𝟓)

𝟏𝟐= 𝟎

𝟖𝟒𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟖 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝟎

𝟏𝟐= 𝟎

𝟕𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟎

𝒙 =𝟐

𝟕𝟑

EJEMPLO 6.

𝟒 − 𝟏𝟎𝒙+𝟏

𝟔 = 𝟒𝒙 −

𝟏𝟔𝒙+𝟑

𝟒

𝟒

𝟏 −

𝟏𝟎𝒙 + 𝟏

𝟔−

𝟒𝒙

𝟏 +

𝟏𝟔𝒙 + 𝟑

𝟒 = 𝟎

𝟒𝟖 − 𝟐( 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏) − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟑(𝟏𝟔𝒙 + 𝟑)

𝟏𝟐 = 𝟎

7

𝟒𝟖 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐 − 𝟒𝟖𝒙 + 𝟒𝟖𝒙 + 𝟗 = 𝟎

−𝟐𝟎𝒙 + 𝟓𝟒 = 𝟎

𝒙 = −𝟓𝟓

−𝟐𝟎 =

𝟓𝟓

𝟐𝟎 =

𝟏𝟏

𝟒

𝟏𝟎𝒙 −𝟖𝒙−𝟑

𝟒 = 𝟐(𝒙 − 𝟑)

𝟏𝟎𝒙

𝟏 −

𝟖𝒙−𝟑

𝟒 = 𝟐(𝒙 − 𝟑)

Ecuaciones de Segundo Grado

Son ecuaciones en las que la variable está elevada hasta la potencia 2. Tienen la forma

ax2 + bx + c = 0. También se les llama ecuaciones cuadráticas.

Fórmula General Cuadrática

Sea ax2 + bx + c = 0

x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄

𝟐𝒂

8

La anterior conocida comúnmente como: “Fórmula del bachiller”.

De la fórmula general, la expresión b2 – 4ac se denomina Discriminante de la ecuación

ax2 + bx + c = 0, e indica los tipos de soluciones de la ecuación:

1. Si b2 – 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones Re distintas.

2. Si b2 – 4ac = 0, entonces la ecuación tiene una sola solución Re (dos soluciones iguales).

3. Si b2 – 4ac < 0, entonces la ecuación no tiene soluciones Re. Las soluciones son

complejas.

Para solucionar la ecuación cuadrática, en general, existen tres alternativas distintas:

1. Ejemplar la fórmula general cuadrática.

2. Despejar normalmente la variable (para casos: ax2 + c = 0)

3. Factorizar e igualar a cero, y luego deducir las raíces.

Ejemplos:

Alternativa 1

3x2 - 5x + 2 = 0

(3)(x)2 + (-5)(x)+(2) = 0

x= −(−5)± √(−5)2−4 (3)(2)

2(3)

a b c

x= 5±√1

6

x= 5+√1

6 : x =1

x= 5−√1

6 : x =

2

3



x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄

𝟐𝒂

9

x= −(−5)± √25−24

2(3)

Alternativa 2

4x2 - 8 = 0

4x2 = 8

x2 = 8

4

x2 = 2

x2 = ±√2

Alternativa 3

2x2 - 5x + 2 = 0 2𝑥2 2x x

2 -1 -2 = -4x-x =-5x

x = √2

=== x = − √2

(x-2 )(2x-1) = 0

(x -2) = 0: x = 2

(2x-1)=0 : x = 1

2

2x=1

10

Casos Especiales

No siempre las ecuaciones lineales y/o cuadráticas presentan la forma estándar ax + b = 0 ó

ax2 + bx + c = 0, sino que en muchas ocasiones éstas inicialmente presentan otras formas con

fracciones, radicales, etc. En estos casos necesitamos transformar la ecuación original en una

ecuación equivalente, utilizando las propiedades (P1 y P2) y las operaciones descritas

anteriormente.

Ecuaciones que contienen fracciones algebraicas:

Un ejemplo de ecuación con fracciones algebraicas es:

7

𝑥−1−

6

𝑥2−1 = 5 𝑥2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

7 (𝑥+1 )−6

(𝑥−1)(𝑥+1)= 5

(𝑥+1)(𝑥−1)

(𝑥−1)= (𝑥 + 1)

7𝑥 + 7 − 6

𝑥2 − 1= 5

7𝑥 + 1 = 5(𝑥2 − 1)

7𝑥 + 1 = 5𝑥2 − 5

−5𝑥2 + 7𝑥 + 6 = 0

(-1)(−5𝑥2 + 7𝑥 + 6) = 0

5𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0 a=5 b=-7 c= -6

11

Ahora, utilizando la fórmula, obtenemos:

𝑥 = −(−7) ± √(−7)2 − 4 ∗ 5 (−6)

10

𝑥 = 7 ± √49 + 120

10

𝑥 = 7 ± √169

10

𝑥1 = 7 + 13

10= 2

𝑥2 = 7 − 13

10= −

6

10= −

3

5

Otra forma de solucionar el ejercicio

5𝑥2 − 7𝑥 − 6 = 0

1. Se buscan dos números o variables los cuales al multiplicarse den como resultado el

primer y tercer término.

2. Al encontrar estos números o variables se multiplican en cruz y luego se operan de tal

forma que me dé como resultado el término de la mitad.

5𝑥2 = 5𝑥 ∗ 𝑥

−6 = 3 ∗ −2 se multiplica en forma diagonal (5𝑥 ∗ −2) y (3 ∗ 𝑥)

Fórmula General

Cuadrática


x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄

𝟐𝒂

12

−10𝑥 + 3𝑥 = −7𝑥

3. Luego Estos números o variables serán ubicados de forma vertical

5𝑥2 = 5𝑥 ∗ 𝑥

−6 = 3 ∗ −22

(5𝑥 + 3)(𝑥 − 2)=0 (5𝑥 + 3) = 0 (𝑥 − 2)=0

5𝑥 = −3 𝑥 = 2

𝑥 = −3

5

4. Ya teniendo resuelta la factorización se determinan las dos soluciones.

𝑥1 = 2

𝑥2 = −3

5

Otro ejemplo

𝑥

𝑥 + 2−

4

𝑥 + 1=

−2

𝑥 + 2

𝑥(𝑥 + 1) − 4 (𝑥 + 2)

(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)=

−2

𝑥 + 2

𝑥2 + 𝑥 − 4𝑥 − 8

(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)=

−2

𝑥 + 2

𝑥2 − 3𝑥 − 8 =−2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)

(𝑥 + 2)

𝑥2 − 3𝑥 − 8 = −2𝑥 − 2

13

𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 Factorizando

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 (𝑥 − 3) = 0 (𝑥 + 2) = 0

𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −2

Mediante la fórmula de la cuadrática: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 a =1, b=-1 c=-6

𝑥 = − (−1) ± √(−1)2 − 4(1) (−6)

2(1)

𝑥 = 1 ± √1 + 24

2

𝑥 = 1 ± 5

2

𝑥1 = 1 + 5

2=

6

2= 3 𝑦 𝑥2 =

1 − 5

2= −

4

2= −2



x= −𝒃± √𝒃𝟐−𝟒 𝒂𝒄

𝟐𝒂

16

Problemas planteados con palabras (ecuaciones lineales)

Los problemas planteados con palabras son enunciados que expresan relaciones entre cantidades

numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que

pueda resolverse por medios conocidos.

Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:

1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable.

2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de la misma

variable

3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuación algebraica.

4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades

requeridas.

5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la

ecuación.

Las siguientes ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes

algebraicos:

1. Un número aumentado en 6

x + 6

2. Un número disminuido en 3

x – 3

3. Un número supera en 8 a otro.

Primer número Segundo número

x + 8 x

17

4. Un número es 3 unidades menor a otro.


x - 3 x

5. La suma de dos números es 20.


x 20 – x

6. Tres enteros consecutivos

Primer número Segundo número Tercer número

x x + 1 x + 2

7. Tres enteros impares consecutivos


x x + 2 x + 4

8. Tres enteros pares consecutivos


x x + 2 x + 4

9. Un número es la mitad de un segundo número


½ x x

O bien

x 2x

10. Un número es el triple de otro


3x x

18

11. Un número es 3 unidades menor que el doble de un segundo número.


2x - 3 x

12. Un número supera en 5 el triple de un segundo número


3x + 5 x

13. El número a supera en 6 al número b

a – 6 = b o bien a = b + 6

14. En número a es 10 unidades menor que el número b.

a + 10 = b o bien a = b - 10

Para resolver problemas que dan origen a ecuaciones de primer grado con una incógnita es

importante identificar la variable para poder plantear a continuación la ecuación que conduce a la

solución del problema.

Ejemplo 1.

La suma de dos números enteros consecutivos es 79, ¿cuáles son los números?

Solución:

a. Elección de la incógnita.

Interpretamos el enunciado para identificar los datos conocidos y la pregunta que se

formula; luego plateamos la ecuación correspondiente.

Primer número: x

Número consecutivo: x + 1

Suma de los dos números: 79

19

b. Planteo de la ecuación:

x + (x + 1) = 79

c. Resolución:

x + x + 1 = 79

2x + 1 = 79

2x = 79 – 1

2x =78

x = 78/2

x = 39

d. Interpretación de los resultados:

Primer número x = 39

Número consecutivo x + 1 = 39 + 1 = 40

Verificación:

x + (x + 1) = 79

39 + (39 + 1) = 79

79 = 79

Respuesta: Los números son 39 y 40

Ejemplo 2.

La edad actual de francisco excede en 5 unidades al doble de la edad de Karen. hace 10

años Francisco tenía el triple de edad que Karen. ¿cuáles son las edades correspondientes

de cada uno?

F = 2k +5

F-10 = 3(K-10)

20

(2k+5)-10 = 3K-30

2K-5 = 3k -30

-5 +30 = 3K-2K

25= K y F = 2k+5 donde reemplazando tenemos F = 55.

Es decir, Karen tiene 25 años y Francisco 55. años

Ejemplo 3.

La diferencia de dos números es 9. Si el menor de ellos es igual a la quinta parte del doble del

mayor, ¿cuáles son los números?

x – x = 9

x = 9 + x

𝑥 = 1

5∗ 2(9 + 𝑥)

5x = 18 + 2x

3x = 18

x = 18

3

x = 6

9 + 6 = 15

Ejemplo 4.

La diferencia de dos números es 5. Si el triple del mayor supera en uno al quíntuplo del menor,

obtenga ambos.

Primer número: x Segundo número: x + 5

3 (x + 5) = 5x + 1

21

3x + 15 = 5x + 1

15 – 1 = 5x – 3x

14 = 2x

x= 14/ 2

x = 7

x + 5 = 12

ejemplo de ejercicios

22

BIBLIOGRAFIA

Studer M. (1991), Algebra, Trigonometría y geometría analítica, Bogotá, Editorial Educativa.

Allendoerfer C. (1990), Matemáticas Universitarias, Cuarta Edición, Bogotá, Mc Graw Hill.

García, J. (1980). Introducción al cálculo. Bogotá, Colombia. Editorial fotolito

(Allueva A. et. Al., 2016).Matemática Aplicada Recuperado de : https://ocw.unizar.es/ciencias-

experimentales/conocimientos-basicos-de-matematicas-para-primeros-cursos-

universitarios/B4_calculo/Bloque4_tema1/resueltos_b4_t1.pdf

https://ocw.unizar.es/ciencias-experimentales/conocimientos-basicos-de-matematicas-para-primeros-cursos-universitarios/B4_calculo/Bloque4_tema1/resueltos_b4_t1.pdf



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