ecuaciones de rectas i
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Diapositivas realizadas por
Efrén Giraldo T. MSc.
Su único objetivo es facilitar el estudio.
Ecuaciones de Rectas I
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222MIS VALORES
Entrega
Transparencia
Simplicidad
y Persistencia
MI VISIÓN: Tender a ser un ser humano completo mediante la
entrega, la transparencia, la simplicidad y la persistencia.
MI MISIÓN: Entrega a la Voluntad Suprema.
Servir a las personas.
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ELABORÓ HERNÁN GIRALDO T. MSc.
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Rectas y Vectores
¿Existe alguna relación matemática entre una recta y un vector paralelo a la recta?
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Después del punto, la recta es el lugar geométrico más sencillo.
El manejo vectorial simplifica las ecuaciones en 3D.
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Al final de este capítulo Usted amigo estudiante debe:
Tener una clara comprensión de las diversas ecuaciones que
describen una línea recta.
Pasar de un tipo de ecuación a otra
Estar en capacidad de enfrentar problemas de rectas.
Objetivos
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Un vector director de una recta es cualquier vector que tenga la misma
dirección que la recta dada. Puede estar en ella o ser paralelo.
𝑣 es el vector director de la recta
𝑣
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𝑣
Para determinar la ecuación una recta son necesarios
VECTOR DIRECTOR INTERACTIVO
1.Dos puntos R2
2. O un punto y un vector R3
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Sean los puntos A=(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y B= (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), hallar el vector AB
Sencillamente se restan las coordenadas de B y A en 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝐀𝐁 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1
El vector AB tiene la misma dirección que la línea AB en dirección +
𝐴𝐵
A(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
B(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)
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Si dos vectores están en la misma línea, el vector AB se puede expresar en
función de 𝑣 , como proporcion de 𝑣, o lo que es lo mismo: como
combinación lineal de 𝑣 :
AB = 3𝑣
𝑣
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A
B
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AB = 𝛼𝑣
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Siendo 𝛼 un escalar (un parámetro):
Lo que significa que el vector AB es 𝛼 veces 𝑣 : en este caso es 3 veces 𝑣:
Si se suma tres veces 𝑣, da el vector 𝑣
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Ecuaciones de la recta
1. Ecuación Vectorial (4 formas)
2. Ecuación Paramétrica (una forma)
3. Ecuación Simétrica (dos formas)
4. La ecuación como la intersección de 2 planos 𝜋1 𝑦 𝜋2
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1. Ecuación vectorial de la recta
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recta 𝑙
𝑃0(𝑥𝑜 , 𝑦𝑜, 𝑧0)
𝑄(𝑥, , 𝑦, 𝑧)
Para obtener la ecuación de una recta 𝑙, se requiere su vector director
𝑣 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 y de un punto 𝑃0(𝑥0 ,𝑦0, 𝑧0) de coordenadas conocidas.Además toda ecuación lleva otro punto Q(𝑥, 𝑦, 𝑧) de coordenadas
desconocidas que representa todos los puntos de la recta.
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𝑃𝑜𝑄 = 𝛼𝑣 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
𝑃𝑜𝑄 = 𝑥 − 𝑥𝑜, 𝑦 − 𝑦𝑜, 𝑧 − 𝑧𝑜
recta 𝑙
𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝟎)
𝑸(𝒙, , 𝒚, 𝒛)
Estas son dos formas de la ecuación vectorial de la recta.
𝑃0Q es combinación lineal de 𝒗 𝒙𝟏,𝒚𝟏, 𝒛𝟏
𝑃0Q es también la diferencia entre las coordenadas de Q y de P
𝑃𝑜𝑄 = 𝛼𝑣 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
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𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝟎)
𝑸(𝒙, 𝒚, 𝒛)
Si partimos del gráfico anterior y trazamos los vectores posición de 𝑷𝟎 y de Q:
𝑷𝟎
𝑸
𝑶
𝑶𝑶𝑸 = 𝑂𝑷𝟎 +𝑷𝟎𝑄
𝑂𝑄 = 𝑂𝑃0 +𝑃0𝑄
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Vector director de la rectaVector posición de un punto de coordenadas conocidas
OQ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = O𝑃0 𝑥𝑜,𝑦𝑜,𝑧𝑜 +𝛼. 𝑣 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
𝑸 𝒙, 𝒚, 𝒛
𝑶
𝑶𝑸 = 𝑂𝑷𝟎 +𝑷𝟎𝑄
𝑣𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝒐, 𝒛𝟎)𝑷𝟎
𝑸
𝑶
𝑶𝑸 = 𝑂𝑷𝟎 +𝑷𝟎𝑄
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𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑜,𝑦𝑜,𝑧𝑜 + 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑥𝑜,𝑦𝑜,𝑧𝑜) + 𝛼(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
O en coordenadas:
Estas son otras dos formas de la ecuación vectorial de la recta
Otras dos formas de la ecuación vectorial de la recta
Si la ecuación anterior se expresa en componentes:
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Vector director
Hallar la ecuación vectorial de la recta 𝑃0𝑄 conocidos 𝑃0 y el vector director de 𝑃0𝑄.
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒐,𝒚𝒐,𝒛𝒐 + 𝜶 𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏
Ejercicio # 1. 2D (efrenmatematica.jimdo.com)
𝑃𝑜
Q(x,y)
0
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𝑣 4,2
𝑃𝑜(−2,1)
Q(x,y)
https://www.geogebra.org/m/s6rWwnAc
𝑥𝑜, 𝑦𝑜
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X
https://www.geogebra.org/m/s6rWwnAc
𝑣
O
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v12ecuvectorial.htm
𝒙, 𝒚, 𝒛 = −𝟐, 𝟏 + 𝜶 𝟒, 𝟐
Q(x,y)
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𝒙, 𝒚, 𝒛 = −𝟐, 𝟏 + 𝜶 𝟒, 𝟐
Si me piden o quiero hallar las coordenadas de otro punto (fuera del punto obvio −𝟐, 𝟏 ),
le doy valores al parámetro 𝜶.
𝜶=2
𝒙, 𝒚, 𝒛 = −𝟐, 𝟏 + 𝟐 𝟒, 𝟐𝒙, 𝒚, 𝒛 = −𝟐, 𝟏 + 𝟖, 𝟒
Y esto es una suma de vectores
𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝟔, 𝟓
Este punto es otro punto de la recta 𝑃0𝑄
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ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA (INTERACTIVA)
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑜,𝑦𝑜,𝑧𝑜 + 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
Ejercicio # 2
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http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/v12ecuvectorial.htm
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https://www.geogebra.org/m/Tn8n4Q5a
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑜,𝑦𝑜,𝑧𝑜 + 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1
Ejercicio # 3
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Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 𝑃0 (3,2,1) y 𝑃2 (-1,1,0).
De los puntos 𝑃0 y 𝑃2 se obtiene el vector 𝑃0𝑃2. Este vector sirve de vector director de
la recta 𝑃0𝑃2.
𝑣 −1 − 3, 1 − 2, 0 − 1
𝑣 −4,−1,−1
Ejercicio # 4
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𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3,2,1 + 𝛼 −4,−1,−1
Para cada valor de 𝛼 se obtiene un punto que pertenece a la recta o un vector
de posición del punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) de la recta:
Si 𝛼 = 1, se tiene:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3,2,1 + 1 −4,−1,−1 = −1,1,0 o (-1,1,0)
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2. Ecuación paramétrica de la rectaefrenmatematica.jimdo.com
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(𝑥,𝑦,𝑧) =(𝑥0,𝑦0, 𝑧0) + 𝛼(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1)
(𝑥,𝑦,𝑧) =(𝑥0,𝑦0, 𝑧0) + (𝛼𝑥1,𝛼𝑦1,𝛼𝑧1)
(𝑥,𝑦,𝑧) =(𝑥0 + 𝛼𝑦1, 𝑦0 + 𝛼𝑦1, 𝑧0 + 𝛼𝑧1)
𝑥 = 𝑥0 + 𝛼𝑥1𝑦 = 𝑦0 + 𝛼𝑦1𝑧 = 𝑧0 + 𝛼𝑧1
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𝑥 = 𝑥0 + ∝ 𝑥1𝑦 = 𝑦0 + ∝ 𝑦1𝑧 = 𝑧0 + ∝ 𝑧1
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Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos el vector director y un punto.
Coordenadas del punto coordenadas del vector director
(3)
Ecuaciones paramétricas 29
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4.Ecuación simétrica de la recta
efrenmatematica.jimdo.com
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Despejando el parámetro 𝛼 de cada ecuación anterior, se tiene:
𝑥− 𝑥0= ∝ 𝑥1
𝑧− 𝑧0= 𝛼𝑍1
𝑥 = 𝑥0 + ∝ 𝑥1𝑦 = 𝑦0 + ∝ 𝑦1𝑧 = 𝑧0 + ∝ 𝑧1
∝=𝑥 − 𝑥0𝑥1
𝛼= 𝑍− 𝑍0
𝑍1
𝑦− 𝑦0= ∝ 𝑦1 𝛼= 𝑦− 𝑦0
𝑦1
A partir de la ecuación paramétrica
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32
∝=𝑥 − 𝑥0𝑥1
=𝑦 − 𝑦0𝑦1
=𝑧 − 𝑧0𝑧1
32Que se conoce como las ecuación simétrica de la recta .
Ecuación simétrica de la recta
coordenadas del vector director
coordenadas del punto
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VIDEOS
http://www.monserrat.proed.unc.edu.ar/pluginfile.php/6906/mod_resource/content/2/Rectas%20alabeadas%20anima
ci%C3%B3n.mp4
9/9/2019ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRALDO T.
Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura
http://matematicas.unex.es/~pjimenez/hedima/12espacio.pdf
Vectores interactivos en el espacio
https://www.intmath.com/vectors/3d-space-interactive-applet.php
http://galeon.com/jjisach/u-5.pdf
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