ecuaciones de valor
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Matemática FinancieraTRANSCRIPT
Ecuaciones de Valor
Quetzaltenango 19 de Diciembre de 2,015
ÍNDICE
INTRODUCCION.............................................................................................................................1
JUSTIFICACIÓN.............................................................................................................................2
ECUACIONES DE VALOR............................................................................................................3
DEUDAS EQUIVALENTES EN UN PUNTO COMÚN...............................................................3
DIAGRAMAS DE TIEMPO-VALOR..............................................................................................4
FECHA FOCAL:...............................................................................................................................4
DESARROLLO................................................................................................................................5
CONCLUSION.................................................................................................................................9
REFERENCIAS.............................................................................................................................10
BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................11
INTRODUCCION
Es muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra u otras
nuevas obligaciones. Los pagos al ser efectuados en diferentes intervalos de
tiempo no pueden ser comparados a menos que se les busque un valor
equivalente en un mismo punto en la línea de tiempo. La solución de este tipo de
problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad
de valores ubicados en una sola fecha denominada fecha focal. En la fecha focal
debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para que la
suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalencia
financiera.
1
JUSTIFICACIÓN
La presente investigación es llevada a cabo con el propósito de que los estudiantes
de matemática financiera, adquieran un poco sobre lo que consisten las
ecuaciones de valor y así ampliar sus conocimientos sobre sus diferentes
aplicaciones en las innumerables situaciones que se presentan en la vida
profesional y en el mundo de las finanzas, conociendo principalmente el enfoque
del factor tiempo, en un punto determinado, el cual se conoce como FECHA
FOCAL y por el cual se podrán comparar dos o más pagos de distintas
condiciones. En otras palabras solo se puede sumar, restar o igualar la cantidad de
dinero al ubicado en una misma fecha, de una (o más) inversión(es) de capital con
dos fechas de pagos diferentes y en diferentes lapsos de tiempo.
Así también el estudiante será capaz de resolver los problemas básicos de las
inversiones equivalentes, de manera que el valor y el tiempo produzcan el mismo
resultado económico. Esto es lo que se expresa en ecuaciones de valor. Haciendo
énfasis, diferentes valores en un punto común.
2
ECUACIONES DE VALOR
Son procedimientos matemáticos que permiten calcular el valor de las nuevas
obligaciones en renegociaciones de deudas. Se trata de igualar el valor de las
viejas obligaciones con el valor de las nuevas obligaciones. Se acostumbra escribir
en la parte superior de la grafica de tiempo-valor, los valores de las viejas
obligaciones y en la parte inferior, el valor de las nuevas obligaciones.1
DEUDAS EQUIVALENTES EN UN PUNTO COMÚN
Las ecuaciones de valores equivalentes son una de las técnicas más útiles de las
matemáticas financieras, debido a que nos permiten plantear y resolver diversos
tipos de problemas financieros, mediante los desplazamientos simbólicos de los
capitales a través del tiempo.
Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar sus
deudas, es decir, para remplazar un conjunto de obligaciones que previamente
contrajeron por otro nuevo conjunto de obligaciones que le sea equivalente, pero
con otras cantidades y fechas.
En general, estos conjuntos vienen relacionados a un flujo de deudas y el otro al
de los pagos, o bien, uno se refiere a los depósitos y el otro, a los retiros
producidos en una cuenta bancaria, así como también, se presentan casos de
transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que
debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente,
pero con otras cantidades y fechas de vencimiento
1 José Horacio Ramírez Pérez (10/08/2007), Renegociaciones de Deudas, Ecuaciones de Valor, Articulo recuperado de: http://www.mailxmail.com/curso-renegociaciones-deudas/definiciones
3
La solución de este tipo de problemas se plantea en términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicados en una sola fecha
denominada fecha focal; planteada en términos algebraicos.
DIAGRAMAS DE TIEMPO-VALOR
Si en una línea de tiempo se colocan los valores en juego, se tiene un diagrama de
tiempo-valor. Estos diagramas son de gran utilidad para el análisis de los
problemas y permiten apreciaciones intuitivas; el lector debe familiarizarse con
ellos ya que se utilizarán con frecuencia en estos apuntes.
En un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes: en sentido
positivo (de izquierda a derecha, si se tiene una fecha inicial y se cuenta con un
valor futuro; en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene una fecha de
vencimiento, o final, y un valor antes del vencimiento.2
Positivo si busco el Monto Negativo si busco el Capital
Presente Futuro
FECHA FOCAL:
Es la fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones,
dicho de otra manera es la fecha que se escoge para la equivalencia.
Deuda 2
Deuda 1
Hoy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 Gerardo Gutiérrez Jiménez, Apuntes de Matemáticas Financieras, Diagramas de Tiempo-Valor, Articulo recuperado de: csh.izt.uam.mx/cursos/gerardo/uam/matefin/diagramas.pdf
4
Trimestres
Pago 1 Fecha Focal
En la fecha focal debe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes
alternativas para que la suma algebraica sea cero como se establece en el
principio de equivalencia financiera.
Una ecuación de valor se fundamenta en que el dinero tiene un valor que depende
del tiempo. Por tal razón, al plantearla se debe respetar la Regla Fundamental de la
Suma Financiera de Capitales: “Dos o más capitales financieros no pueden
sumarse mientras no coincidan sus vencimientos” Es así como para plantear la
ecuación, habremos de efectuar una suma financiera de capitales, trasladando
todos ellos a una cierta fecha, tomando en cuenta el aumento o disminución del
dinero a través del tiempo. A ese vencimiento o fecha de referencia se le llama
FECHA FOCAL.
DESARROLLO
En las operaciones financieras vamos a encontrar un problema básico, y es el de
las inversiones equivalentes; de manera que, en valor y en tiempo estas produzcan
el mismo resultado económico. Y esto es lo que se expresa en ecuaciones de
valor.
“Este planteamiento de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los más
importantes en matemáticas financieras, por lo que es necesario asegurarse de
que se comprenda cabalmente.
En su forma más simple podría considerarse, por ejemplo, que la fórmula del
monto a interés simple es una ecuación de valores equivalentes, ya que
M = C (1 + it)
El monto Mes equivalente un capital C, colocado a un tiempo t y a una tasa i.”3
3 Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013). Matemáticas Financieras, México D.F
5
Un mismo valor situado en fechas diferentes es, desde el punto de vista financiero,
un valor distinto. No se debe olvidar que solo se pueden sumar, restar o igualar
dinero ubicado en una misma fecha (a esta fecha llamaremos fecha focal).
“Para compensar esa pérdida de valor, al capital original se le agregan intereses a
fin de que el monto futuro sea equivalente en cuanto a poder adquisitivo al capital
actual.
C = M
C + I = M
C M
t
Así, un capital C es equivalente a un monto M, a un plazo t.”4
EJEMPLO;
El señor Juan Pellico firmó el primero del mes de febrero un pagaré por 15,000
quetzales a 120 días, con 9.7% de interés anual. 90 días después suscribió otro
pagaré por 12,000 quetzales a 120 días, sin pagar intereses. 90 días después de
esa fecha inicial, conviene con su acreedor, el señor Juan Miguel Solís, sustituir
estas dos obligaciones en la siguiente forma.
Pagar 6,000 quetzales el 1 de mayo y recoger los dos pagarés, sustituyéndolo por
uno solo a 150 días, contados a partir de la fecha en que se cancelan los 6,000
quetzales. El señor Juan Miguel Solís indicó estar de acuerdo con dicha
renovación, siempre y cuando logre un rendimiento del 11.2% anual. ¿Qué pago
único deberá realizar el señor Juan Pellico, al vencer los 240 días, considerando
esta como la fecha focal? Utilice el año comercial.
4 Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013). Matemáticas Financieras, México D.F
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a) ELABORANDO EL DIAGRAMA DE TIEMPO-VALOR
FECHA FOCAL
PAGARE 1: 120 DIAS
PAGARE 1 15,000+I PAGARE 2: 30 DIAS
PAGARE 2
15,0000
120 DIAS 240 DIAS
01/02 PAGO 6,000 PAGO FINAL X
Suscripción
b) HACIENDO LOS CALCULOS PARA EL VENCIMIENTO DE LOS PAGARES
DATOS FORMULA CALCULOS
t=120d í asM=Co∗(1+ t∗i36,000 )M=15,000∗(1+ 120∗9.736,000 )
i=9.7 %anual M=15,000∗(1.0323 )
Co=120d í asM=15,485
M=?
El Segundo pagaré no genera intereses.
c) LLEVANDO LOS VIEJOS MONTOS A LA FECHA FOCAL
Para el primer pagare
DATOS FORMULA CALCULOS
C1=15,485M 1=C1∗(1+ t∗i36,000 )M 1=15,485∗(1+ 120∗11.236,000 )
i=11.2% anualM 1=15,485∗(1.0373 )
t=120d í asM 1=16,063.11
M 1=?
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Para el segundo pagare
DATOS FORMULA CALCULOS
C2=12,000M 2=C2∗(1+ t∗i36,000 )1M 2=12,000∗(1+ 30∗11.236,000 )
i=11.2% anualM 2=12,000∗(1.0093 )
t=30d í as0M 2=12,112
M 2=?
d) LLEVANDO LAS NUEVAS OBLIGACIONES A LA FECHA FOCAL
Se realizó un pago de 6,000 quetzales, los cuales ganan intereses en la fecha
focal. Los cálculos son:
DATOS FORMULA CALCULOS
C3=6,000M 3=C3∗(1+ t∗i36,000 )M 3=6,000∗(1+ 150∗11.236,000 )
i=11.2% anualM 3=6,000∗(1.046 )
t=150d í asM 3=6,280
M 1=?
El otro pago, o sea el último pago no gana intereses, dado que se paga en la fecha
focal, por lo que se tiene la siguiente ecuación:
VIEJAS OBLIGACIONES = NUEVAS OBLIGACIONES
16,063.11+12,122 = 6,280 + X
28,175.11-6,280 = X
X = 21,895.11
e) RESPUESTA
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El pago único que deberá hacer Juan Pelico será de 21,895.11 quetzales.
CONCLUSION
El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No
es lo mismo disponer de 1,000 quetzales hoy que dentro de un año, ya que el
dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación. Es decir, los 1,000
quetzales en el momento actual serán equivalentes a 1,000 quetzales más una
cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la
pérdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo.
En este sentido, en matemáticas financieras existen dos reglas básicas:
Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél
que sea más cercano.
Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se
preferirá aquel de importe más elevado
Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el
equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello existen las formulas
de matemática financiera.
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REFERENCIAS
1. Alfredo Díaz Mata y Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013).
Matemáticas Financieras, México D.F
2. Gerardo Gutiérrez Jiménez, Apuntes de Matemáticas Financieras, Articulo
recuperado de: csh.izt.uam.mx/cursos/Gerardo/uam/matefin/diagramas.pdf
3. José Horacio Ramírez Pérez (10/08/2007), Renegociaciones de Deudas,
Ecuaciones de Valor, Articulo recuperado de: http://www.mailxmail.com/curso-
renegociaciones-deudas/definiciones
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BIBLIOGRAFIA
1. Alfredo Díaz Mata y Víctor Manuel Aguilera (5ta. Edición). (2013).
Matemáticas Financieras, México D.F.
2. Petr Zima y Robert L. Brown (2da. Edición). Matemáticas Financieras,
México D.F.
3. Héctor Vidaurri (5ta. Edición). (2012). Matemáticas Financieras, México D.F.
4. SoloContabilidad.com, Ecuaciones de Valores Equivalentes articulo
recuperado de;
http://www.solocontabilidad.com/matematica-financiera/ecuaciones-de-valores-
equivalentes
5. Arthur Goodman (1ra. Edición). (1996). Algebra y Trigonometría con
Geometría Analítica
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