Prelim.indd viii 7/13/10 11:32:54 AMEcuacionesdiferencialesPrelim.indd i 7/13/10 11:32:52 AMPrelim.indd ii 7/13/10 11:32:52 AMEcuacionesdiferencialesIsabel Carmona JoverErnesto Filio LpezREVISIN TCNICAMara de Jess Rivera FloresInstituto Tecnolgico de HermosilloFlix Rodrigo Villegas ValenzuelaInstituto Tecnolgico de SonoraJorge Sierra CavazosRuth Rodrguez GallegosSalvador Garca LumbrerasVctor Segura FloresInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus MonterreyJos Manuel Nieto JalilInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Sonora NorteAddison-WesleyPrelim.indd iii 7/13/10 11:32:52 AMEditor:Rubn Fuerte Riverae-mail: ruben.fuerte@pearsoned.comEditor de desarrollo:Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin:Juan Jos Garca GuzmnQUINTA EDICIN, 2011D.R. 2011 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500, 5 piso Col. Industrial Atoto, CP 53519Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 1031Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, foto-qumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0206-0ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0207-7ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0208-4Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 13 12 11 10Addison-Wesleyes una marca deDatos de catalogacin bibliogrficaEcuaciones diferencialesIsabel Carmona Jover, Ernesto Filio LpezQuinta edicinPearson Educacin, Mxico, 2011ISBN: 978-607-32-0206-0rea: MatemticasFormato: 20 25.5 cm.Pginas: 536Prelim.indd iv 7/15/10 2:51:36 PMPrlogo a la cuarta edicinEl mundo es, en todas sus partes, una aritmticaviviente en su desarrollo, y una geometrarealizada en su reposo.PLATN: TIMEODesde tiempo inmemorial, la matemtica ha ejercido una fascinacin especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella toma partido, a favor o en contra: a favor por lo sugerente de su ecacia y la hermosura de su constitu-cin; en contra, por sentirse, quizs, ante una tarea superior a las propias fuerzas.Voy a decir algo a aquellas personas que piensan que la matemtica no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura ma-temtica,puesobtieneconclusionesacercadehechososuposicioneslgicas, compara,inere,calcula,acopiadatos,proyecta,mide,lamayorpartedelas veces usando leyes lgicas, algebraicas, topolgicas y otras que constituyen la basedeestaformidableciencia.Lamatemticaposee,asuvez,talarmona, proporcin, exactitud y belleza que se identica con la msica de las esferas, citando libremente a Pitgoras.El libro que est en sus manos en este momento pretende presentarle una introduccin, a nivel elemental y bsico, de una parte de la matemtica sumamen-te til y aplicable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferenciales.El texto contiene la exposicin y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primero y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. Tam-bin se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los mtodos de series y transformadas de Laplace.Ellibrocontieneproblemasresueltosyejerciciosparaqueelestudiante pongaapruebasuaptitudy,cuandoresuelvalosdeopcinmltiple,podr aquilatar la precisin del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada captulo contiene un resumen y un examen de autoevaluacin; este ltimo conunniveldeconocimientomedio,sucienteparadetectarunaclaracom-prensin del texto. Adems, en esta quinta edicin, aparecen algunas soluciones con el uso de computadoras utilizando Matemticas 7, incorporando solucio-nes grcas.Sehaprocuradorodearacadacaptulodeunambientehumansticome-diante biografas, comentarios, curiosidades y pasatiempos.El requisito para leer este libro es conocer el clculo diferencial e integral.Prelim.indd v 7/13/10 11:32:53 AMEstelibronaci,creciysalialaluzgraciasalacolaboracindemis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia. Cada uno de ellos aport lo que a su rea competa. Especialmente agradezco al licenciado Juan Manuel Silva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al doctor Christian Garrigoux Michel por su participacin en la redaccin de las biografas.Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que deseo disfrute y le sea til en su formacin profesional y en su trabajo.viPrlogo a la cuarta edicinPrelim.indd vi 7/13/10 11:32:53 AMPrlogo a la quinta edicinVivimos en un planeta que necesita renovarse para alcanzar las metas de pleni-tud que por impulso interior tiene que alcanzar. El libro que tiene usted en sus manos ha madurado a travs de los aos, ayudando a muchas personas a com-prender un poco mejor los temas que trata.La revisin efectuada tiene por objetivo agregar algunas soluciones con el uso de computadoras utilizando el software Mathematica e incorporando solu-ciones grcas. Se busca favorecer la rpida aproximacin de las grcas y as obtener el esquema exacto de los fenmenos de movimiento que se presentan en el rea de ingeniera. Tambin, una vez que se haya expuesto la teora para la comprensin de los temas y se hayan resuelto algunos ejemplos, se presentan los comandos necesarios para resolver otros ejercicios.Se aadieron, asimismo, algunos conceptos y se corrigieron aspectos sea-lados por los profesores para que el aprendizaje sea ecaz, sin perder por ello la riqueza didctica e incluso amena que se procur desde el primer momento.Agradecemos la colaboracin del doctor Jorge Sierra Cavazos y del doctor Salvador Garca Lumbreras en la revisin del texto, cuyo esfuerzo signica una invaluableaportacin.TambindamoslasgraciasalacasaeditorialPearson Educacin que tan amablemente nos brind su apoyo y conanza.ISABEL CARMONA JOVERVCTOR SEGURA FLORES Prelim.indd vii 7/13/10 11:32:54 AMPrelim.indd viii 7/13/10 11:32:54 AMEstructura lgicade los captulos1Qu son lasecuacionesdiferenciales?2Ecuacionesdiferenciales ordinariasde primer orden4Ecuacionesdiferencialesde orden superior6Resolucinde ecuacionesdiferencialesmediante series8Seriesde Fourier3Aplicacionesde las ecuacionesdiferencialesde primer orden5Aplicacionesde las ecuacionesdiferencialesde segundo orden7Transformadasde Laplace9Mtodos numricospara resolverecuacionesdiferencialesPrelim.indd ix 7/13/10 11:32:54 AMPrelim.indd x 7/13/10 11:32:54 AMContenidoPrlogo a la cuarta edicinvPrlogo a la quinta edicinviiEstructura lgica de los captulosixCAPTULO 1Qu son las ecuaciones diferenciales?1Cmo resolver una ecuacin diferencial?2Definiciones bsicas3Existencia y unicidad de las soluciones27CAPTULO 2Ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden37Ecuaciones diferenciales de variables separables39Ecuaciones diferenciales homogneas47Ecuaciones diferenciales exactas54Ecuaciones diferenciales con factores integrantes65Ecuaciones diferenciales lineales73CAPTULO 3Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales de primer orden91Geometra92Ecuacin de Bernoulli108Ecuacin de Lagrange111Ecuacin de Clairaut113Qumica117Biologa122Fsica126Prelim.indd xi 7/13/10 11:32:54 AMCAPTULO 4Ecuaciones diferenciales de ordensuperior145Introduccin146Ecuaciones diferenciales reducibles a ecuacionesde primer orden146Ecuaciones diferenciales lineales151Principio de superposicin o linealidad153Dependencia e independencia lineal154Wronskiano156Ecuaciones diferenciales lineales homogneas167Ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes167Ecuacin de Cauchy-Euler170Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes179Ecuaciones diferenciales lineales no homogneasde segundo orden185Mtodo de coeficientes indeterminados para obtener yp 186CAPTULO 5Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales de segundo orden215Aplicaciones geomtricas216Osciladores220Oscilaciones forzadas221Cada libre y leyes de movimiento225Circuitos elctricos229Flexin de vigas232Otras aplicaciones239CAPTULO 6Resolucin de ecuaciones diferenciales mediante series247Introduccin248Pruebas de convergencia de series249Desarrollo de una funcin en series262Operaciones con series de potencias269Puntos notables273Mtodo para resolver ecuaciones diferenciales, alrededorde puntos ordinarios, usando series de potencias280Solucin de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares290Mtodo de Frobenius. Ecuacin indicial291Ecuacin de Bessel315xiiContenidoPrelim.indd xii 7/13/10 11:32:54 AMCAPTULO 7Transformadas de Laplace335Introduccin336Transformada inversa de Laplace341Traslacin sobre el eje s342Existencia de la transformada346Propiedades de la transformada de Laplace354Resolucin de ecuaciones diferenciales mediantela transformada de Laplace usando fracciones parciales363Derivacin de transformadas375Integracin de las transformadas376Funcin escaln unitario385Traslacin sobre el eje t390Funciones peridicas403Convolucin405Aplicaciones de la transformada de Laplace414CAPTULO 8Series de Fourier429Introduccin430Series trigonomtricas y funciones peridicas430Frmulas de Euler440Convergencia de las series de Fourier450Series de Fourier para las funciones pares e impares467Funciones de periodo arbitrario474Desarrollo de funciones no peridicas en series de Fourier482CAPTULO 9Mtodos numricos para resolverecuaciones diferenciales499Mtodo de Euler 500Bibliografa 515ndice analtico517ContenidoxiiiPrelim.indd xiii 7/13/10 12:45:13 PMPrelim.indd xiv 7/13/10 11:32:55 AMCmo resolver una ecuacin diferencial?Definiciones bsicasExistencia y unicidad de las solucionesQu son lasecuacionesdiferenciales?1Georg Friedrich Riemann(1826-1866)Carmona-01.indd 1 7/13/10 10:17:00 AM2Captulo 1Qu son las ecuaciones diferenciales?Lo que precede en el ladillo escrito en clave Morse, es la frase que tarde o tem-prano decimos y la que todos queremos or: es un lenguaje.Para representar la realidad en movimiento usamos tambin una clave espe-cial, una simbologa sinttica que nos informa acerca de una velocidad, de un ascenso de temperatura, de un aumento de poblacin, de un monto de intereses, hasta del menor cambio en cualquier aspecto de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en comn que son variaciones a travs del tiempo, esa dimensin inmutable (en el sentido de la cuarta dimensin) en la cual se mueven la materia y la conciencia.As pues, en matemticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes.Cmo resolveruna ecuacin diferencial?Hay dos maneras de aprender a patinar sobre hielo. Primera: En una librera se compra uno de los siguientes manuales: Cmo dominar el patinaje en 15 lec-ciones; Patinar y rascar, todo es empezar; Historia del patinaje sobre hielo en el Paleoltico y sus repercusiones en el mundo moderno; Agarre su patn; El patn, su constitucin, desarrollo y reforzamiento, con bibliografa e ilustracio-nes a todo color; se va uno a casa se instala en su lugar favorito y se sumerge en la lectura sin olvidar tomar apuntes, hacer anlisis comparativos y aplicar el clculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegar un momento en el que ya est uno totalmente capacitado para estrenar los patines regalo de la abuelita, momento, repito, en el que quiz ya sufri uno su primer reuma. Segunda: se toma el par de patines y amparndose en el instinto de conservacin se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos rotos.As se aprenden muchas cosas: hacindolas.Para resolver una ecuacin diferencial primero hay que identicarla y des-pusarriesgarseensusolucin.Unarealidaddinmicasecaracterizaporsus cambios, los cuales se controlan en clculo por medio de derivadas o diferenciales, por lo que una ecuacin que contiene derivadas o diferenciales es una ecuacin diferencial. Ya identicada intentemos integrarla, y si eso no resulta como un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales ms o menos familiares. Por ejemplo, si tenemos la ecua-cin diferenciald ydxx22=__ _ __ _ _____ ____ ___ __ __ _ __ _Carmona-01.indd 2 7/13/10 10:17:01 AMDefiniciones bsicas3estamos ante una ecuacin diferencial que contiene una segunda derivada, por lo que la llamamos de segundo orden. Si integramosY volvemos a integrarObtenemos una funcin-solucin que podemos comprobar al instante con slo derivarla dos veces:ddxxc x cxc31 2216 2+ + = +ddxxc x212+ =Por lo qued ydxx22=El resultado nos convence de la exactitud del mtodo empleado. As, en este captulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferencia-les y el mtodo geomtrico para obtener soluciones.Definiciones bsicasDefinicin 1.1Una ecuacin diferencial es aquella ecuacin que contiene derivadas o dife-renciales.Definicin 1.2Orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada de mayor orden con-tenida en la ecuacin.Definicin 1.3Gradodeunaecuacindiferencialeslapotenciaalaqueestelevadala derivadademayororden,siempreycuandolaecuacindiferencialest dada en forma polinomial.d ydxx22= ddxdydxx = ddydxxd = xx ddydxxdx = dydxxc = +212dydxxc = +212dyxc dx = +212dyxc = +212 dx = + + yxc x c31 26Carmona-01.indd 3 7/13/10 10:17:02 AM4Captulo 1Qu son las ecuaciones diferenciales?TipoOrdinariasParcialesLa ecuacin diferencial contiene derivadas de una o ms variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.La ecuacin diferencial contiene derivadas parciales de una o ms variables dependientes con respecto a dos o ms variables independientes.OrdenPrimer ordenSegundo ordenTercer ordenOrden nF(x, y, y) 0F(x, y, y) 0F(x, y, y, y, y) 0F(x, y, y, , yn) 0GradoLinealesNo linealesa)La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.b)Cada coeciente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x.Las que no cumplen las propiedades anteriores.Ejemplos de ecuaciones diferencialesEcuacin diferencial Tipo Orden Grado Linealdydxex=2 Ordinaria 1 1 S= + ytxtkxysParcial 1 1 Sx y xy y20 + + = Ordinaria 2 1 Syy x y x + =2Ordinaria 2 1 No+ =ytysc22Parcial 2 1 Sxd ydxxdydxx v y2222 20 + + ( )= Ordinaria 2 1 SClasificacin de las ecuaciones diferenciales{(Contina)Carmona-01.indd 4 7/13/10 10:17:03 AMDefiniciones bsicas5Ecuacin diferencial Tipo Orden Grado Lineal=44222vtkvmnParcial 4 1 Noy y y yv( ) + =320 Ordinaria 5 3 Noy yxy + =Ordinaria 1 1 Nosen y y + = 0 Ordinaria 1 ? NoEJERCICIOS 1.1Elegir la opcin que da la clasicacin correcta de las siguientes ecuaciones diferenciales:1.y xyy x + = sena.Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal.b.Parcial, orden 2, grado 1, lineal.c.Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal.d.Ordinaria, orden 3, grado 1, no lineal.2.cxtyrcte25522+ =a.Ordinaria, orden 2, grado 2, lineal.b.Parcial, orden 5, grado 1, lineal.c.Parcial, orden 2, grado 2, no lineal.d.Parcial, orden 2, grado 1, lineal.3.x yy x yy y3 20 + =a.Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal.b.Parcial, orden 2, grado 1, no lineal.c.Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.d.Parcial, orden 1, grado 1, lineal.4.y x y x y xy + ( ) = 2 13 3 2 /a.Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal.b.Parcial, orden 2, grado 32, no lineal.c.Ordinaria, orden 3, grado 32, no lineal.d.Parcial, orden 3, grado 1, lineal.e.Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.(Continuacin)Carmona-01.indd 5 7/13/10 10:17:04 AM6Captulo 1Qu son las ecuaciones diferenciales?Definicin 1.4Solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que no contiene deriva-das y que satisface a dicha ecuacin; es decir, al sustituir la funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial resulta una identidad.Definicin 1.5Solucin general de una ecuacin diferencial es la funcin que satisface a la ecuacin y que contiene una o ms constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).Definicin 1.6Solucin particular de una ecuacin diferencial es la funcin que satisface la ecuacin y cuyas constantes arbitrarias toman un valor especfico.EJEMPLO1La funcinx y c + =2 es la solucin general de la ecuacin diferencial:dydx y= 12Porque derivndola implcitamente se tiene: 1 2 0 + = ydydx o bien2 1 yy = .Sustituyendo y c x = 2 yyy = 12 se obtiene una identidad:2121 c xc x = = 1 15. + =uxuyxy222a.Ordinaria, orden 2, grado 2, no lineal.b.Parcial, orden 1, grado 2, lineal.c.Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal.d.Parcial, orden 2, grado 1, no lineal.Respuestas: 1. c; 2. b; 3. c; 4. a; 5. d.EJEMPLO2Lafunciny ex= +8essolucinparticulardelaecuacindiferencial y ex + =0 porquederivandolasolucinysustituyndolaenlaecuacin dada, se obtiene:y ex' = + = e ex x00 0 =Carmona-01.indd 6 7/13/10 10:17:05 AMDefiniciones bsicas7EJEMPLO3La funciny x c x c = + + 321 2 es solucin general de la ecuacin diferencial y = 6, porque:y x c = + 61yy = 66 6 =EJEMPLO4La funcint xy x y g y f x = + + + 2 32 2( ) ( )es la solucin general de la ecua-cin diferencial parcial:= +24 6ty xy xporque = + +txy xy f x 2 62( )y = +24 6ty xy x; as que sustituyendo:4 6 4 6 y x y x + = + .EJEMPLO5Lafunciny c e c e c e c ex x x x= + + + 1 2 3242essolucingeneraldelaecua-cin diferencial:y y yIV + = 5 4 0 Porque:y c e c e c e c ey c e c ex x x xx= + += + + 1 2 32421 22 2xx x xx x xc e c ey c e c e c e+ += + + 4 48 832421 2 32 cc ey c e c e c e c exIV x x x x421 2 324216 16 = + + + + Sustituyendo:c e c e c e c ex x x xyIV1 2 324216 16 + + +

5 5 20 201 2 32425c e c e c e c ex x x xy

+ + + + +4 4 4 41 2 32424c e c e c e c ex x x xy

= = 0 0 0Carmona-01.indd 7 7/13/10 10:17:07 AM8Captulo 1Qu son las ecuaciones diferenciales?EJEMPLO6La funciny e x xx= + ( ) 3 2 2 cos senes solucin particular de la ecuacin diferencialy y y + = 2 5 0,porque:y e x x e x xy ex x= + ( ) + + ( )=6 2 2 2 3 2 2 sen sen cos cosxx xx x e x x ( ) + + ( ) + 12 2 4 2 6 2 2 2 cos cos sen sene x x e x xx x + ( ) + + ( ) 6 2 2 2 3 2 2 sen sen cos cos ;sustituyendo:e x x e x xex xx ( ) + + ( ) + 12 2 4 2 2 6 2 2 23cos cos sen senccos coscos2 2 12 2 4 26 2x x e x xe xxx+ ( ) + ( ) +sen sen ( ) + + ( ) = 2 2 15 2 5 212 2 4sen sen x e x xe xxxcos[ cos ssen sen sen 2 12 2 4 2 3 2 21x x x x x + + + + cos cos22 2 4 2 6 2 2 2 5 2 sen sen sen x x x x x + + cos cos115 2 0 00 0cos ] ( ).x ex= = =EJEMPLO7La funcin definida por tramosyxx x= ,8.Enciertopuntodeunacurva,lapendienteesigualalrecprocodela abscisa. Hallar la familia de curvas que tienen esta propiedad.Respuesta:y x c = + ln9.Hallar las curvas para las cuales cada normal en un punto dado y su in-terseccin con el eje x tienen la misma longitud.Respuesta:x y cx k2 22 + + =10.Hallar la familia de curvas con la propiedad de que en cualquier punto la pendiente de la normal se obtiene del recproco de la abscisa restndole la unidad.Respuesta:y x x c = + ( )+ ln 111.Encontrar la curva que pasa por el punto (0, 3) y tal que la proyeccin de su tangente en dicho punto sobre el eje x siempre tenga una longitud igual a 2.Respuesta:y ex 29 =12.La proyeccin de la recta normal desde un punto P de la curva sobre el eje x tiene una longitud igual a la abscisa en P. Encontrar la ecuacin de dicha curva que pasa por el punto (2, 3).Respuesta:y x2 213 + =13.La pendiente de una curva, en cualquier punto (x, y) es 2x y . Determi-nar la ecuacin de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (0, D).Respuesta:y x ex= +2 2 314.Lapendientedeunacurvaencualquierpuntoes32x .Determinarla ecuacin de dicha curva, sabiendo que pasa por el punto (1, 1).Respuesta:y x =315.Hallar una curva que pase por el punto (0, 1), de modo que la pendien-te de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la abscisa del punto, aumentada en 5 unidades.Respuesta:yxx = + 225 1Carmona-03.indd 104 7/13/10 11:25:16 AM16.Demostrar que la curva cuya pendiente de la tangente en cualquier pun-to (x, y) es proporcional a la abscisa del punto x y0 0, ( ), en una parbola.17.Hallar la curva para la que se cumple que la pendiente de la tangente en cualquier punto es k veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.Respuesta:y cxk=18.Hallar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en cualquier punto es la suma del doble de la ordenada y la mitad de la abscisa del punto.Respuesta:y x cex= +1418219.Hallarlaecuacindelafamiliadecurvasconlapropiedaddequela distancia del origen a la recta tangente en un punto P de una curva es igual a la abscisa en P.Respuesta:x y cx2 2+ =20.Encontrar la familia de curvas con la propiedad de que la recta normal en cualquiera de sus puntos P coincida con la recta que une al punto P con el origen.Respuesta:x y c2 2+ =21.Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:r c = ( ) sen cosRespuesta: r c = + ( ) cos sen22.Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:r c = cos2Respuesta: r c2= sen23.Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:rc= ( ) 1 cosRespuesta:rc=+ 1 cos24.Sea la familia de rectasy c x =1; encontrar la familia de trayectorias iso-gonales que forman con dichas rectas un ngulo de 3 radianes.Respuesta: 231 2 2tan ln= +( )yxc x y25.Demostrar que la recta normal corta al eje x enx x yy1 = + 26.Demostrar que la longitud de la normal desde un punto P hasta el eje y es:x yy12+ Geometra105Carmona-03.indd 105 7/13/10 11:25:18 AM106Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden27.Demostrar que la longitud de la subtangente es yy.28.Hallar la longitud de la recta tangente a una curva desde el punto (1, 1) al eje x, sabiendo que su pendiente es 2x.Respuesta: 521 118 = .29.La interseccin con el eje y de la normal a una curva en cualquier punto es y2. Si la curva pasa por el punto (1, 1), encontrar su ecuacin.Respuesta:y x2 22 3 + =30.La tangente a una familia de curvas en el punto P corta a los ejes coor-denadosformandoconellosuntringulo;yaquelascoordenadasdel punto P forman con los ejes un rectngulo, hallar la familia de curvas con la propiedad de que el rea del tringulo es siempre el doble que la del rectngulo.Respuesta:xy c =31.Encontrar la curva que cumple la condicin de que el rea acotada por dicha curva desde (0, 1) a (x, y), el eje x y la ordenada, es igual a la or-denada.Respuesta:y ex=32.Hallar la curva en el plano xy, con la propiedad de que el rea acotada por esta curva, el eje x y la ordenada, es igual a la longitud de la curva desde el punto (0, 1) al punto (x, y).Respuesta:y x = cosh33.Hallar las coordenadas del punto o puntos de la curvay x = 22 que estn ms prximos al punto (9, 0).Respuesta: (1, 2)34.Hallar las coordenadas del punto o de los puntos de la curvax y2 29 =que estn ms cercanos al punto (0, 7).Respuesta:( ) ( )4 7 4 7 , , ,En los siguientes ejercicios, elegir la opcin que contiene la solucin correcta.35.La derivada dxdt es proporcional a x. Seax( ) 0 10 =yx( ) 5 15 = . Hallar el valor de x cuandot = 20 .a.4 05 .b.50 6 .c.0 81 .d.16 21 .36.Dada la ecuaciny xy 236 = , elegir la opcin que contiene dos solucio-nes que pasan por el punto( , ) 4 1 .a.y x y x = ( )= ( )2 17 2 17322322,b.No tiene solucin porque no es linealCarmona-03.indd 106 7/13/10 11:25:19 AMc.y x y x = ( )= +( )2 15 2 17322322,d.No puede tener dos soluciones porque contradice el teorema de exis-tencia y unicidad.37.Seleccionarlaopcinquecontienelastrayectoriasortogonalesdela familia de circunferencias cuyos centros estn en el eje x y pasan por el origen.a.x y kx2 2+ =b.yy xxy =2 22c. yxyx y =22 2d.x y cy2 2+ =38.Elegir la opcin que contiene la ecuacin de la curva C que se muestra en la gura, sabiendo que el rea del tringulo APB es constante.a.y kx c36 = +b.A k =c.tan =AByd.y dy kdx22 =CP (x, y)Figura 3-5.39.Hallar la curva que pasa por el punto (1, 1), cuya normal en cualquier punto (excepto en x = 0) queda dividida en dos partes iguales por el eje y.a.y x2 22 3 + =b.yy x = 2c. yx c222= +d.c =32Geometra107Carmona-03.indd 107 7/13/10 11:25:20 AM108Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden40.Quopcincontienelafamiliadetrayectoriasortogonalesdelafun-cincos y aex=?a.cos y aex=b.sec y aex=c.sen y cex=d.sen y cex=Respuestas:35.b.Los dems valores son resultados intermedios.36.c.Es no lineal y admite dos soluciones por ser cuadrtica, como puede vericarse.37.d.La opcin a contiene precisamente la familia de circunferencias cu-yos centros estn en el eje x y pasan por el origen (que es dato del ejercicio). La opcin b representa la ecuacin diferencial de la fami-lia de la opcin a. La opcin c es la ecuacin que da la solucin co-rrecta en la opcin d.38.a.Las dems opciones representan los pasos intermedios en la solucin del problema.39.a.Las dems opciones son pasos intermedios.40.d.Ecuacin de Bernoulli1Es una ecuacin de la forma:y f x y r x y nn + = ( ) ( ) , , 0 1Paran = 0 1 ,la ecuacin es lineal.MTODOS DE SOLUCIN:1.Convertirla en lineal mediante la sustitucin:u yn= 12.Sin convertirla en lineal, mediante la sustitucin:y u x v x = ( ) ( )1James Bernoulli la estudi en 1695.EJEMPLO1Resolver la ecuacin:yxy xy + = 2221.Aqu:n = 2Entonces,u y y u = = 1 1 yy u u = 2Sustituyendo, + = u uxu xu2 1 222 Carmona-03.indd 108 7/13/10 11:25:21 AMDividiendo entreu2:uxu x =22 ,que ya es una ecuacin lineal en la variable u, con solucin:u x x cx = + 22 2lnComou y =1, entonces:yx x cx=+122 2ln2.Seay uv =Seav x ( ) lasolucindeyxy + =20,esdecir,v xx( ) =12laecuacin dada se transforma en:vu u vxv xu v + + = 222 2sustituyendo v(x), despus de haber dividido la ecuacin:u uxxxxuxuxudu++= = 21221232222uudxxu x cux c212212= = +=+lnlnComoy uv =yx x c=+ ( )122lnEJEMPLO2Resolvery xy xy + =12Seau y y = = ( )11232Entonces,y u =23,y u u =2313Ecuacin de Bernoulli109Carmona-03.indd 109 7/13/10 11:25:23 AM110Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenSustituyendo:23132313u u xu xu + = u xu x + =3232 lineal en uu e e x dxu e exxdxxdx==343232332xxx xx dxu e e c22 24343432= +uu cey cexx= + = +1134323422Utilizando Mathematica, las ecuaciones diferenciales de Bernoullia y yx xyb y yxx y)) ( ) =+ = 22 312 233sensense resuelven constepone=Integrate[xExp[-x]Sin[3x],x]150e(-x--3(1+5x)Cos[3x]+(4-5x)Sin[3x])solutionone=ssteptwo^(1/2)//PowerExpandce + 150e(-3(1-x -x++5x)Cos[3x]+(4-5x)Sin[3x])solutiontwo =stepttwo^(1/2)//PowerExpand;cs=Range[-5,7]{-5,-44,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}tographone=Tablee[solutionone/.ccs[[i]],{i,1,13}];0 1 2 3 4 5 6 70.20.40.60.81.0Figura 3-6.Carmona-03.indd 110 7/13/10 11:25:24 AMtographtwo =Table[solutiontwo/.ccs[[i]],{i,1 1,13}];Plot[Evaluate[tographtwo],{x,0,5}Plo otRange{0,15}]EJEMPLO1Resolver la ecuacin:y y x y = + ( ) + 12 Seay p = , entoncesy p x p = + ( )+ 12Diferenciando y sustituyendo dy por pdx:pdx p dx xdp pdpdx x p dpdxdpx p= + + + = += ( )( )1 222de donde dxdpx p + = 2ya es lineal en x, cuya solucin es:x p cep= +2 2Ecuacin de Lagrange111Figura 3-7.Ecuacin de LagrangeEs una ecuacin de la forma:y x y y = + ( ) ( ) MTODO DE SOLUCINSeay p =Se diferencia y se sustituye dy por pdx quedando una ecuacin lineal con respecto a x. La solucin queda en forma paramtrica. Pueden existir soluciones singularesdelaformay c x c = + ( ) ( ),dondecesunarazdelaecuacin c c = ( ).111Carmona-03.indd 111 7/13/10 11:25:25 AM112Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenSustituyendo este valor de x en la ecuacin de y, tenemos:y p p ce py p c p epp= + ( ) +( )+= + + ( )1 2 22 122Por lo tanto, la solucin es:x p cey p c p epp= += + +2 22 12( )Para hallar una solucin singular, se deriva la ecuacin dada con respecto a y:0 2 = + x y , comoy p =entonces:x p + = 2 0Esta ecuacin, junto con y p x p = + + ( ) 12, forman un sistema del cual se eli-mina p.pxyxxxy xx= = + += 212 4422Comprobando:y x = 112sustituyendo:xx xxxxxx = + + = + +22241 1212221xxxx22441 = +Comoxxxx +2 24 41, la funciny xx= 24 no es solucin singular.Carmona-03.indd 112 7/13/10 11:25:27 AMEJEMPLO2Resolver la ecuacin:y xy y = + + 12Seay p = , entoncesy xp p = + + 12 diferenciando:pdx xdp pdxppxppdp= + ++= ++10122Si dp = 0, entoncesp c =Y la solucin general de la ecuacin es:y cx c = + + 12Sixpp++=102; entoncesxpp=+ 12Tomandoestaecuacinyy xp p = + + 12paraeliminarelparmetrop, tenemos:pxx2221=adems:yppp pyppyy=++ +=+ =11111222222Igualando:xxyy222211=x y2 21 + =es una solucin singular.Ecuacin de ClairautTiene la forma:y xy y = + ( )MTODO DE SOLUCINEl mismo que el de la ecuacin de Lagrange. La solucin general tiene la forma:y cx c = + ( )Ecuacin de Clairaut113Carmona-03.indd 113 7/13/10 11:25:28 AM114Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenTambin puede tener solucin singular, la que se obtiene eliminando p de las ecuaciones:y xp p = + ( ),x p + = ( ) 0EJEMPLO1Resolver la ecuacin:y xyy= 1Seay p = , entoncesy xpp= 1Diferenciando y tomandody pdx =pdx xdp pdxpdpxpdp= + += +10122Sidp p c = = 0, = y cxc1 es la solucin general.Si xpxp+ = = 1012 2,Sustituyendo eny xpp= 1 tenemos:ypppyp= = 1 122 2Tomando las ecuaciones:xp= 12 yyx= 2eliminando p:yp224= ,px21= 4 1422y xy x= = Para saber si es o no solucin singular, la comprobamos:Derivando:2 4 yy = yy = 2,yy = 2Carmona-03.indd 114 7/13/10 11:25:30 AMSustituyendo:y xy yyyyy= = +2 14222yy y= +2 2 S es solucin.Un ejemplo de lo que puede hacer Mathematica con la ecuacin de Clairaut se ve en la ecuaciny xy y ey= + + 2sol=DSolve[y[x]==x*y'[x]+y'[x]^2+Exp[y'[x]],,y[x],x]{{y[x]e +xC[1]+C[1]}}Plot[Evac[1] 2lluate[Table[y[x]/.sol/.{C[1]1/k},{k,-5,5,2} }]],{x,1,5}]EJERCICIOS 3.2Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli.1.yxy x y + =1 234 4Respuesta: 13 32x yx c + =2. y xy xy + =2Respuesta:y cex33212= +3.yxy x y + =143 1Respuesta:y x cx2 4 243= +4.y xy xy = 212Respuesta:y cex= +2425.3 23 2xy y x y =Respuesta:y x cx3 3 2 =Ecuacin de Clairaut115Figura 3-8.864222 3 4 5Carmona-03.indd 115 7/13/10 11:25:31 AM116Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenResolver las siguientes ecuaciones de Lagrange y Clairaut.6.2y xy y y = + ln Respuesta: x cp pycp p= = ln 2227.y y y = + 12Respuesta: x p p cy p p= += + ln sen1218.y xy y = + 2 sen Respuesta: xcpppppycpppp= = 2 22coscossensen9.y xy ey= +32Respuesta: xepepepcpyepepcpp p pp p= + += + 2 4 46 6 3222 3 32 2eep10.y xyy= 1Respuesta: y cxcy x= = 142, .,solucin generalsolucin n singular.11.y xy y = + Respuesta:y cx c = +{, solucin general.12.y xy y = + 32Respuesta: y cx cyx= += 31222, solucin generalsoluc., iin general.13.y xyy= + 2Respuesta:y cxc= +2, solucin general.14. x xyy= + 12Respuesta: y cxcyx= +=134223, solucin singularsolu., ccin general.15.y xyy= + 5Respuesta: y cxcy x= +=5202, solucin general., solucinn singular.Carmona-03.indd 116 7/13/10 11:25:33 AMQumicaProceso primario: Ley de crecimientoo decaimientoEJEMPLO1Un material radiactivo se desintegra a una razn proporcional a la cantidad presente.Siinicialmentehay40mgdematerialyalcabodeunahorase observa que ha perdido 8% de la cantidad inicial, hallar:1.La cantidad de masa en cualquier momento t.2.La masa del material despus de 3 horas.3.El tiempo que transcurre hasta la desintegracin de la mitad de la canti-dad inicial.SOLUCIN:1.Seaylacantidad,enmiligramos,presentedematerialradiactivo,en-tonces dydtky = , es la ecuacin del proceso. Integrando:ln y kt cy cekt= +=Para t = 0 se cumple que y = 40Sustituyendo en la solucin, se obtiene c = 40 = y ekt40Parat y = = = 1 40 3 2 36 8 , . .porque el 8% de 40 es 3.2 mg.36 8 4036 840400 0834.ln..== =eky ekteslaecuacinquedalacantidaddematerialradiactivoencualquier tiempo t.2.Para t = 3:y ey==4031 150 25 .. . mgQumica117Carmona-03.indd 117 7/13/10 11:25:34 AM118Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden3.Para y = 20 mg:tettt====?ln...20 4020 08348 310 0834h. Si se utiliza Mathematica hay que denir el problema con valor inicial, por ejemploy t ky t ( ) ( ) = sujetoay y ( ) 00= ,ydespusrecurriralainstruccin decay.Clear[d1]d1=DSolve[{y'[t]==-ky[t],y[0]== y0}, ,y[t],t]d1[[1,1,2]]e y0decay[t_,k_,y0_]=-ktdd1[[1,1,2]]e yPlot[decay[1,k,10],{k,0,1}-kt]]Proceso de segundo orden: reacciones qumicasEJEMPLO2PartiendodedossustanciasAyBsedeseaobteneruncompuestoC.La ley de conversin para estas sustancias es: la rapidez de transformacin de la cantidad x del compuesto C es proporcional al producto de las cantida-des no transformadas de las sustancias A y B. Tomando medidas unitarias suponemos que una unidad de A y una unidad de B producen una unidad de C.1.Demostrarquelaleydeconversinent = 0 vienedadaporlaecua-cin diferencial: dxdtk a x b x = ( ) ( )2.Si en t = 0 hay m unidades de la sustancia A, n unidades de la B y nin-guna del compuesto C, hallar la solucin para x.3.Sia = 4 kg,b = 5 kg,x =1 kg,ent = 50 min;hallarelvalordex cuando t =1 h,40 min.Carmona-03.indd 118 7/13/10 11:25:35 AMSOLUCIN:1.Si al principio hay m unidades de A, n unidades de B y cero unidades de C, entonces, las x unidades de C en un tiempo t constan de: mxm n + unidades de A y nxm n + unidades de B; por lo tanto, quedan sin combinar:amxm n0 +unidadesdeAybnxm n0 +unidadesdeBylaecua-cin es:dxdtK amxm nbnxm nKa m n= ++=+ ( )0 00++ ( ) +=+ ( )mxm nb m n nxm nKmnm na0200 0 0 0m a n mxmb m b n nxnKmnm n+ + =+ ( )22 0 01 1 anmx bmnx + + = kk a x b x ( ) ( )DondekKmnm na am nmb bm nm=+ ( )=+=+2 0 0, , . .2. dxa x b xkdt ( ) ( ) =CASO 1. a = b ( )=dxa xkdt21a xkt C= +Para t = 0 y x = 0 = Ca11 1a xkta = +despejando x:xa ktakt=+21 unidades de CQumica119Carmona-03.indd 119 7/13/10 11:25:38 AM120Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenCASO 2. ab ( ) ( )=1a x b xdx kdtPor fracciones parciales tenemos:1 1 1a x b xAa xBb x a x b a a b b x ( ) ( ) =+= ( ) ( ) + ( ) (( )Integrando: ( ) ( )= +1 1b aa xa bb x kt C ln ln1b ab x a x kt Cb xa xb a kt = += [ln( ) ln( )]ln ( )( ++C)Para t = 0, x = 0ln ;lnbab a C Cbab a= ( )=Entonces,ln lnb xa xb a ktba= ( )+ln lnln( )( )b xa xbab a kta b xb a xb a kt = ( )= ( )bb xa xbaeb a kt= ( )de donde:xab ea beb a ktb a kt=( ) ( ) ( )1 si b>a3.Si a = 4 kg; b = 5 kg; x = 1 kg y t = 50 mn, entonces:120 14 51615505050=( )=eee kkkk; ==1501615lnPara t = 100 minutos:x x == =20 2016154 5161531191 622; . 3 32 kgde C.Carmona-03.indd 120 7/13/10 11:25:39 AMEJERCICIOS 3.31.Eluraniosedescomponeaunavelocidadproporcionalalacantidad presente.Siinicialmentehay10gydespusde2horassevequeha perdido el 5% de su masa original, hallar:a.La ecuacin que representa la cantidad restante en cualquier tiempo t.b.La cantidad de uranio despus de 5 horas.Respuestas: a. y = e0.026t b. y = 8.781 g2.En una reaccin qumica, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a la cantidad de M no transformada todava. Si al inicio de la reaccin haba 200 g de M y una hora ms tarde 75 g, calcular el porcentaje de M transformada despus de 2 horas.Respuesta: 85.93 por ciento.3.Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a lacantidadexistenteencadamomento.Enunapruebarealizadacon 60 mg de este material, se observ que despus de 3 horas, solamente el 80% de la masa permaneca en ese momento. Hallar:a.La ecuacin que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t.b.Qu cantidad permanece cuando t = 5 h?c.Para qu valor de t, la cantidad de material es de la cantidad inicial?Respuestas: a. y = 60 e(tln0.8)/3 b. y = 41.365 mgc. t = 18.6 h4.Cierto material radiactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente se cuenta con 300 g del material y despus de dos aos se observa que el 14% de la masa original se ha desintegrado, hallar:a.Una expresin para la cantidad de material en un tiempo t.b.El tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 por ciento.Respuestas: a. y = 300 et[0.5ln(43/50)] b. t = 4.73 aos5.Se sabe que cierto material se desintegra a una razn proporcional a la cantidad presente. Si despus de una hora se observa que el 20% se ha desintegrado, hallar la vida media del material.Respuesta: 3.11 horas6.Los experimentos demuestran que la rapidez de conversin del azcar de caa en solucin diluida es proporcional a la concentracin de az-car an no diluida. Supongamos que en t = 0 la concentracin de azcar es 1/150 y en t = 5 h es 1/200. Hallar la ecuacin que da la concentracin de azcar sin diluir en funcin del tiempo.Respuesta: y = 1/150 e0.058t7.Se ha observado en el laboratorio que el radio se desintegra a una rapi-dezproporcionalalacantidadderadiopresente.Suvidamediaesde 1 600 aos Qu porcentaje desaparecer en un ao?Respuesta: 0.043 por ciento.8.En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la can-tidadexistente.Silacantidaddecultivoseduplicaen4horasqu cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez de crecimiento?Respuesta: ocho veces ms.Qumica121Carmona-03.indd 121 7/13/10 11:25:39 AM122Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden9.LaconversindeunasustanciaAsiguelaleydelprocesodeprimer orden. Si al cabo de 20 segundos apenas una cuarta parte de la sustancia se transform, hallar cundo se transformarn nueve dcimas partes de esa sustancia.Respuesta: t = 160 segundos10.Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegracin de 40 horas. Hallar cunto tiempo tardar en desaparecer el 90% de su radiac-tividad.Respuesta: 132.8 horasBiologaEJEMPLO1Por experiencia se sabe que en una cierta poblacin la rapidez de nacimientos y de muertes es proporcional al nmero de individuos que instantneamente estn vivos en un momento dado. Encontrar el modelo matemtico del com-portamiento del crecimiento de esta poblacin.Sea y el nmero de individuos de la poblacin.Llamamos dNdt a la rapidez de nacimientos,adems, dMdt a la rapidez de muertes. Entonces:dNdtK yn= y dNdtk ym=N MyLa ecuacin del proceso es:dydt = entrada-salidadydtK y K yn m= dydtK K yn m= ( )dyyK K dtn m= ( )ln ln y K K t cn m= ( )+y ce K K tn m= ( )Carmona-03.indd 122 7/13/10 11:25:40 AMEJEMPLO2Enciertoinstitutotecnolgicosedeclaraunaepidemiadehepatitis.Se quiere encontrar el modelo matemtico de la propagacin de la enfermedad, partiendo del hecho de que ya existe un nmero determinado de estudiantes enfermos.Haremos las siguientes suposiciones:El nmero de estudiantes E, es grande. Ei es el nmero de estudiantes infec-tados. En es el nmero de estudiantes no infectados. La razn de cambio de alumnos infectados es dEi dt.dEidta bEi cEi = + +2; porque esta funcin cuadrtica se acerca ms a la reali-dad, ya que al principio de la epidemia hay pocos enfermos; luego este n-mero aumenta y se espera que despus disminuya; entre los estudiantes En estn los inmunes y los ya recuperados (a, b y c son constantes).SecumplequeE Ei En = + encualquiertiempot,ytambin: dEidt= 0, cuandoEi = 0yEi E = .Tomando en la ecuacin propuesta dEidt= 0tenemos:1.SiEi = 0, entoncesa = 02.SiEi E = , entoncesbE CE + =20,cbE= Sustituyendo estos valores:dEidtbEibEiE= 2, dEidtbEEi E Ei = ( )LlamaremosK b E = , constante.Entonces:dEidtKEi E Ei = ( )Inicialmente, en t = 0 hay Eo estudiantes infectados, de ah que:Ei Eo =Resolviendo la ecuacin diferencial: dEiEi E EiKdt ( ) =1 1EEiEE Ei Kt c ln ln ( )= +En t = 0:cEEoE Eo=1lnBiologa123Carmona-03.indd 123 7/13/10 11:25:41 AM124Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenEJERCICIOS 3.41.Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del Mediterr-neo crece en proporcin al nmero presente en cada momento. Despus de 2 horas de observacin se forman 800 familias de la mosca y despus de 5 horas se forman 2 000 familias. Encontrar: a. La ecuacin que repre-sentaelnmerodefamiliasenfuncindeltiempo,yb.elnmerode familia que haba al inicio.Respuestas: a.y et= 4340 305 .b.y = 4342.La poblacin de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al nmero de habitantes que hay en un momento dado en ella. Si despus de 5 aos, la poblacin se ha triplicado y despus de 8 aos es de 45 000 habitantes, hallar el nmero de ciudadanos que haba inicialmente.Respuesta: 7 760 habitantes.3.Una industria le ha encargado a una de sus empacadoras procesar pesca-doparaproducirunconcentradoricoenprotenasparamejorarlaali-mentacin de los consumidores. Se sabe que 6 kg de pescado son los que se necesitan para producir un kilogramo de este producto. Para esto hay que secar el pescado en cuartos especiales, en los cuales se hace pasar una corriente de aire seco sobre ellos para quitarles la humedad. Por otra parte, los investigadores han demostrado que la velocidad de secado es proporcional a la humedad que contenga el pescado y adems que a los 25minutosdelprocesosehaperdidolamitaddelahumedadinicial. Para producir este concentrado se requiere que el pescado contenga so-lamente 10% de su humedad inicial. Cunto tiempo tiene que permane-cer el pescado en el cuarto para perder el 90% de su humedad?Respuesta: 1 hora 23 minutos, aproximadamente.4.Enelprocesoderespiracinabsorbemosairequecontieneprincipal-mente nitrgeno y oxgeno, y al exhalar despedimos bixido de carbono. Se quiere puricar el ambiente de un saln donde se encuentran bailan-do un gran nmero de personas; para ello, se hace pasar una corriente de airepurode3 500m3/hdeairealquellamaremosQa1,ysehacesalir 3 000 m3/h de aire contaminado (Qa2), con bixido de carbono. A la con-centracin de bixido de carbono por C fCO2. Se sabe que el volumen del saln es de 10 000 m3 y que la concentracin inicial de bixido de carbo-no en el cuarto es de 0.1% del volumen de ste. Suponiendo que la den-Entonces:1 1EEiE EiktEEoE Eoln ln= +Ei E EoEo E EiektE ( ) ( ) =EiEE Eo ektE= ( )+1 1Carmona-03.indd 124 7/13/10 11:25:43 AMsidad permanece constante, cul es la concentracin de bixido de car-bono,C fCO2,alcabode4horasdehaberseiniciadoelbaile?La concentracin se expresa en g/m3.Respuesta: C f g mCO20 0301193= .5.La tasa de crecimiento de una poblacin es proporcional al nmero de sushabitantes.Sidespusde18aoslapoblacinsehaduplicadoy despus de 25 aos la poblacin es de 200 000 habitantes, hallar: a. el nmeroinicialdehabitantesyb.cuntoshabitantestendralcabode 100 aos.Respuestas: a. 76 372 habitantes.b. 3 588 954 habitantes.6.En cierto zoolgico se ha observado que la cantidad de animales aumen-ta proporcionalmente al nmero actual de dichos animales. Si despus de 5 aos su nmero se ha duplicado y despus de 7 aos el nmero de animales es 576, hallar el nmero de animales con que se contaba el da de la inauguracin del zoolgico.Respuesta: 218 animales.7.El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:dxdtx a by = + ( ) dydty c gx = + ( )fue diseado por el matemtico Volterra (1860-1940), para describir el comportamiento de dos especies que compiten para sobrevivir en el mis-mo hbitat. Resolver esta ecuacin, usando la regla de la cadena: dydxdydxdtdx= Respuesta:y e kx ea by c gx=8.Ciertasenfermedadessepropaganmediantepicadurasdeinsectos(la malaria), o por transmisiones (la tifoidea). Supongamos que x representa la cantidad de transmisores en una cierta poblacin, y y es la cantidad de sanos, en el instante t. Si los transmisores se eliminan de la poblacin con rapidez , de manera que se cumple:dxdtx = Y si la enfermedad se propaga con una rapidez proporcional al producto xy, tendremos:dydtxy = a.Para x(0) = X0, hallar x en cualquier instante t.b.Para y(0) = Y0, hallar y en cualquier instante t (usar el resultado anterior).c.Cuandot , cul es el valor lmite de y y qu signica?:Respuestas: a. x x et=0b. y y eax et=010( )c. y y eax=00Biologa125Carmona-03.indd 125 7/13/10 11:25:44 AM126Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden9.Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monxido de car-bono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido del 4.5% de monxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. a. Encontrar una expresin para la concentracin de monxido de carbono en el cuarto en cualquier instante. b. La concentracin de monxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo: 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. En-contrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentracin.Respuestas: a.C et= ( )( )9 200 130000b. t = 4 horas10.En una estacin de metro subterrneo de 7 500 m3 se ha comprobado que hay una concentracin de 0.2% de CO2. Para renovar a atmsfera, unos ventiladores introducen aire del exterior (el cual tiene una concentracin CO2 de 0.06%) a una velocidad de 7 000 m3/min. Hallar el porcentaje de CO2 despus de 15 minutos.Respuesta: 0.06 por ciento.FsicaEJEMPLO1Segn la ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfra una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28 y la sustancia se en-fra de 100 a 80 en 12 minutos, en qu momento estar a una temperatura de 50 grados?Llamaremos T a la temperatura de la sustancia a los t minutos.Entonces, dTdtk T = ( )28es la ecuacin del proceso, donde la constante negativa representa prdida o disminucin.La solucin por el mtodo de variables separables es:T cekt= +28Aplicando las condiciones iniciales:t = 0 T =100tenemos:100 28 = + C ,C = 72y parat =12 ,T = 8080 72 2812= +ekk =1121318lnEntonces:T et= +( ) ( )72 281 12 13 18 lnCarmona-03.indd 126 7/13/10 11:25:45 AMParaT = 5050 28721 12 13 18=( ) ( )et lnln ln11361121318=t t = 43 72 .minutosEJEMPLO2Unobjetoquepesa30kgsedejacaerdesdeunaalturade40m,conuna velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire es pro-porcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad lmite debe ser de40m/seg.Encontrar:1.Laexpresindelavelocidaddelobjetoenun tiempo t, 2. la expresin para la posicin del cuerpo en un tiempo t y 3. la velocidad despus de 8 segundos.1.La fuerza neta F sobre un cuerpo esF mg kv = , donde m es la masa del objeto, g es la fuerza de la gravedad ykves la fuerza debida a la resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).Adems, por la segunda ley de Newton, tenemos:F mdvdt= mdvdtmg kv = (1)En este problema: = 30 kgy como = mg, entoncesmg = 30 kgym = =309 83 06.. kg masa (tomamos m = 3)v. lim = 40 m seg, dondevmgk. lim = ; entonces:40 =mgk,kmg= =4034Sustituyendo estos valores en la ecuacin (1): dvdtv + =1410 ecuacin lineal, cuya solucin es:v C et= +1440Con condicin inicial: parat = 0, v = 3,3 40 371 1= + = C C = +v et37 404Fsica127Carmona-03.indd 127 7/13/10 11:25:47 AM128Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden2.Para encontrar la posicin del cuerpo tomamos vdxdt= , entonces: dxdtet= +37 404, ecuacin de variables separables,con solucin:x e t Ct= + +148 4042Para t x = = 0 0 yC2148 = = + x e tt148 40 14843.Parat = 8v e = +37 402 = v 35m/segEJEMPLO3Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una inductancia de 1 henrio, una resistencia de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la corriente en el circuito para cualquier tiempo t.El circuito ms sencillo RL consta de:Una resistencia R, en ohmios.Una inductancia L, en henrios.Una fuerza electromotriz, fem E, en voltios.La cantidad de corriente I, en amperios, queda expresada por la ecuacin:dldtRLIEL+ =Entonces, para E = 5, L = 1 y R = 80, la ecuacin del circuito es:dldtI + = 80 5, ecuacin lineal, cuya solucin es:I cet= +11680Parat = 0,I = 0; entonces:c = 116Figura 3-9.ERLCarmona-03.indd 128 7/13/10 11:25:48 AMLa corriente en cualquier tiempo t es:I et= ( )116180EJEMPLO4Un circuito RC tiene una fem de 200 cos 2t (en voltios), una resistencia de 50 ohmios y una capacitancia de 102 faradios. En t = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en un tiempo t.El circuito RC consta de:Una resistencia R, en ohmios.Una fem E, en voltios.Una capacitancia C, en faradios (no hay inductancia).La ecuacin que da la cantidad de carga elctrica q, en culombios, es:dqdt RCqER+ =1, ademsIdqdt=Entonces:E t = 200 2 cos ,R = 50,C =102 y la ecuacin es:dqdtq t + = 2 4 2 cosecuacin lineal, cuya solucin es:q t t cet= + +cos 2 22senParat = 0,q = 0; entonces:c = 1 = + q t t etcos 2 22senNOTA: 4 2 2 22 2e tdt e t tt tcos cos = + ( )senUna vez obtenida la carga, podemos encontrar la corriente:Idqdtt t et= = + +2 2 2 2 22sen cosFigura 3-10.RLEFsica129Carmona-03.indd 129 7/13/10 11:25:50 AM130Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenEJEMPLO5Unresortedepesodespreciableestsuspendidoverticalmente.Ensuex-tremo libre se ha sujetado una masa de m = 40 kg. Si la masa se mueve con velocidad de v0 = 1 m/seg, cuando el resorte est sin alargar, hallar la veloci-dad v cuando el resorte se alarga 2 metros.La fuerza del resorte es proporcional (y opuesta) al alargamiento (Ley de Hooke). Ademssecumple:fuerzanetasobreelobjeto=pesodelobjetofuerza del resorte.Entonces:mdvdtmg kx = O tambinmdvdxdxdtmvdvdxmg kx = = , ecuacin de variables separables, cuya solucin es:v gxkmx c2 22 = + , o bien,mv mgx kx c2 22 = +Parax = 0,v v =0. Entonces,c mv =0, por tanto:mv mgx kx mv2 2022 = +Para los valores del problema, la velocidad del alargamiento queda en fun-cin de la constante k; cuyo valor puede especificarse mediante condiciones iniciales. En este caso, la velocidad es:v gk24101 = +EJEMPLO6En cierto depsito hay 189 L de solucin salina que contiene 10 kg de sal. Sevierteagua en el depsito con una velocidad de 4 L por minuto y sale la mezcla con velocidad de 3 litros por minuto. La concentracin se mantiene homognea. Hallar la cantidad de sal al cabo de media hora.Volumen inicial: V0180 = , L cantidad de sal Q010 = kg, velocidad del agua al entrar e = 4, velocidad de la mezcla al salirf = 3.Sea Q la cantidad de sal en el depsito en un momento dado. El volumen de solucinsalinaencualquiermomentoes:V et ft0 + .Laconcentracin de sal es Q V et f0 + ( ), y la sal que sale del depsito lo hace a una razn de f Q V et ft0 + kg/minuto.Entonces:dQdt V e f tQ ++ ( )=L00Carmona-03.indd 130 7/13/10 11:25:51 AMdQtQ ++=31800dQdt tQ = + ( )3180, dQdtdtt=+3180ln ln ln Q t C = + ( )+ 3 180QCt=+ ( )1803Parat = 0 ,Q a = =10 c = 58 32 106.Parat = 30 ,Q = 6 3 . kg de sal.EJERCICIOS 3.51.Una sustancia se enfra desde 100 hasta 70 en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire 20), hallar la temperatura despus de 30 minutos.Respuesta: T = 512.Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitacin en la cual hay una temperatura constante de 18. Si despus de 15 minu-tos la temperatura del cuerpo es de 8 y despus de 25 minutos es de 12, hallar la temperatura inicial del cuerpo.Respuesta: T = 3.53.Sedeseaenfriarunasustancia,lacualseintroduceenunrefrigerador que est a una temperatura constante de 5. Al cabo de 30 minutos, la sustancia est a 8 y despus de 40 minutos est a 6. Hallar la tempera-tura inicial de la sustancia.Respuesta: T = 864.Un cuerpo a una temperatura de 30 est inmerso en un bao cuya tem-peraturasemantieneen50.Despusdeunahoralatemperaturadel cuerpo es de 40, hallar:a.La temperatura del cuerpo despus de dos horas a partir de la inmersin.b.El tiempo que se necesita para que la temperatura del cuerpo sea de 48.Respuestas: a. T = 45b.t = 3 19 18 h seg min5.La temperatura del aire es de 40. Si un objeto se enfra en el aire pasando de una temperatura de 120 a otra de 100 en 20 minutos, encontrar:a.la temperatura del cuerpo despus de 50 minutos.b.Eltiemponecesarioparaquelatemperaturadelobjetoseade70 grados.Respuestas: a. T = 79b. t = 68 minutosFsica131Carmona-03.indd 131 7/13/10 11:25:53 AM132Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden6.Un cuerpo de masa m = 2 kg se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial v0 = 3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar:a.La ecuacin del movimiento.b.La velocidad en un tiempo t = 20 seg.c.El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su altura mxima altura.Respuestas: advdtkmv gb vgkgkec tk.. ( ).+ = = + +23210== +2 321kkgln7.Un cuerpo de masa 14.7 kg se suelta con velocidad inicial de 0.5 m/seg y encuentra una fuerza debida a la resistencia del aire dada por 8 v2, ha-llar la velocidad para el momento t =2segundos.Respuesta: v = 4.23 m/seg8.Un cuerpo con una masa de 9.7 kg se suelta de una altura de 300 m sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad. Si la velocidad lmite debe ser de 95 m/seg, encontrar:a.La velocidad del cuerpo en un tiempo t.b.La posicin del cuerpo en un tiempo t.c.Eltiempoquenecesitaelcuerpoparaalcanzarlavelocidadde 50 m/seg.Respuestas: a v eb x t ett. ( ). . ( )..= = + 95 195 921 5 19 79 7cc t . . seg = 7 249.Se deja caer un objeto que pesa 98 kg desde una altura de 50 m con una velocidad inicial igual a cero. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, hallar:a)La velocidad cuando t = 0.25 min.b)La posicin del objeto cuando t = 3 seg.c)El tiempo invertido desde que se solt el objeto hasta que toc tierra.Respuestas: a vb xc t.. .. .m/segmseg===14744 13 1910.Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial, hallar la corrien-te en el circuito para un tiempo t = 1/5 seg.Respuesta: I = 0.2992 amperios11.Un circuito RL tiene una fem de 8 sen 2 t voltios, una resistencia de 10 ohmios, una inductancia de 2 henrios y una corriente inicial de 5 am-perios, hallar la corriente en el circuito cuandot =2seg.Respuesta: I = 0.2779 amperiosCarmona-03.indd 132 7/13/10 11:25:54 AM12.Un circuito RC tiene una fem de 300 cos 2t voltios, una resistencia de 200 ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios. Inicialmente no hay car-ga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en t = 4 seg.Respuesta: I = 0.2779 amperios13.Hallar la corriente en un circuito RL que tiene un voltaje constante, R = 40 ohmios, y L = 8 henrios. Para t = 0, los valores de E e I son cero vol-tios y 10 amperios, respectivamente. Calcular el tiempo necesario para que I = 5 amperios.Respuesta: t = 0.14 segundos14.Un circuito que consta de un condensador y una resistencia se conecta como en la gura:Si lleva una carga q = 0.05 coulombios y el interruptor se cierra cuando t = 0, hallar la carga elctrica despus de 9 segundos si c = 3 103 fara-dios y R = 103 ohmios.Respuesta: q = 0.0025 coulombios15.Un objeto que tiene una masa de 4 kg est suspendido de un resorte de pesodespreciable.Sielobjetosemueveconvelocidadv0 =3m/seg cuando el resorte est sin alargar, hallar la velocidad cuando se alargue 50 centmetros.Respuesta: v = (18.8 k/16)1/2 m/seg16.Un tanque contiene inicialmente 100 L de una solucin salina que con-tiene 25 kg de sal. Se vierte agua dulce en el tanque a una velocidad de 4 kg/min, mientras que sale del tanque una solucin bien mezclada a la misma velocidad. Hallar:a.La cantidad de sal en el tanque en cualquier momento t.b.El tiempo que se necesita para que haya una cantidad de 10 kg de sal.c.Sit , averiguar la cantidad de sal que queda en el tanque:Respuestas: a Q eb tc Qt.. . min.===2522 902517.Un depsito contiene inicialmente 200 L de una solucin salina que con-tiene 40 kg de sal. En t = 0 se vierte agua en el depsito a una velocidad Figura 3-11.CFsica133Carmona-03.indd 133 7/13/10 11:25:55 AM134Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordende 8 litros por minuto y sale del depsito una solucin bien mezclada a 6 litros por minuto. Hallar el tiempo necesario para que haya en el tan-que una cantidad de sal de 10 kilogramos.Respuesta: t = 58.74 minutos18.Encontrar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilndrico que tiene un radio de 4 m y una altura de 5 m a travs de un oricio redondo con 1/24 m de radio situado en el fondo del tanque. La velocidad de sa-lida del lquido es aproximadamentev gh = 0 6 2 . m/seg, donde h es la altura del lquido en el tanque y g la gravedad.Respuesta: t = 4 h 18 minutos19.Hallar el tiempo que tarda en vaciarse un tanque semiesfrico de 2 m de dimetro lleno de agua, si sta sale por un oricio de 0.1 m de radio que hay en el fondo del tanque, sabiendo que la velocidad de salida de agua por un oricio es la dada en el problema 18.Respuesta: t = 35.16 segundosxrFigura 3-12.rhhFigura 3-13.20.Para ir a su clase un joven recorre un camino en lnea recta, de tal mane-raquesuvelocidadexcedeen3asudistanciarespectodelpuntode partida. Si v = 4 cuando t = 0, encontrar la ecuacin del movimiento.Respuesta: x = 4et 321.Un tanque cnico de 10 m de altura y 6 m de radio pierde agua por un oricio en su fondo. Si el rea de la seccin recta del oricio es m2, encontrar:Carmona-03.indd 134 7/13/10 11:25:55 AMa.La ecuacin que representa la altura h del agua en un instante cualquiera.b.El tiempo que tarda en vaciarse.Respuestas: a hgtb t../ /min 9 seg5 2 5 210125 2722= =22.Un trineo de 50 kg de peso se empuja en lnea recta contra el viento con una fuerza de 10 kg. Si la friccin es despreciable, pero la resistencia del aire es, en magnitud, igual al doble de la velocidad del trineo, y si el tri-neo parte del reposo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida al nal de 2 segundos.Respuesta: 2.72 m/seg, x = 6.55 m23.Un tanque cilndrico que tiene un volumen de 20 m cbicos est lleno de aire atmosfrico que se comprime de un modo adiabtico, hasta que su volumen se hace igual a 15 m3. Calcular el trabajo invertido en la com-presin.NOTA: El proceso adiabtico se representa por la ecuacin de Poisson: PPVVk00= donde k es una constante para el gas dado. Tomar P0 = 1 atmsfera.Respuesta:Wkkk=201431 11;24.Un tubo de 10 cm de dimetro contiene vapor a 100 C. Se encuentra aislado con una capa de 3 cm de espesor y conductividad trmica k = 175 106 cal/cm grado seg. Si la supercie externa del aislante se mantiene a 45 C, encontrar la prdida de calor en un metro de longitud del tubo y la temperatura a la mitad del aislante.Respuesta:La prdida de calor es 12.87 cal/seg.La temperatura para el radio 6.5 es de 69.29 grados cent-grados.6.53Figura 3-14.Fsica135Carmona-03.indd 135 7/13/10 11:25:56 AM136Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenOtras aplicacionesEJEMPLO1Un banco ofrece 10% de inters compuesto continuamente en una cuenta de ahorros. Determinar el importe del inters ganado en 1 ao con un depsito de un milln de pesos.Sea x la suma de dinero al cabo de t aos; entonces: dxdtx = 0 10 .es la ecua-cin que satisface el problema, cuya solucin es:x cet=0 1 .Y para las condiciones iniciales: t = 0; x = 1 000 000 tiene la forma:x = 1 000 000e0.1tPara t = 1, x = 1 105 170.90 se tiene:1 105 170.90 1 000 000 = 105 170.90 es lo que gan este ao.EJERCICIOS 3.61.Hallar el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al doble al 15% por ao, con un inters compuesto continuo.Respuesta: t = 4.62 aos2.Un hombre tiene una fortuna que aumenta una tasa proporcional al cua-dradodesucapitalactual.Sitenaunmillndepesoshaceunaoy ahora tiene dos millones, determinar:a.La cantidad que tendr dentro de seis meses.b.La que tendr dentro de dos aos.Respuestas: a. Cuatro millones.b. Innito.3.Sea dsdt = 0 4 . slavariacindecantidaddedinerosconrespectoal tiempo, donde 0.4 representa 40% de inters compuesto durante un ao. Calcular:a.El tiempo necesario para que se duplique la cantidad.b.La cantidad inicial, si en 10 aos el capital es de dos millones.Respuestas: a. t = 1.733 aos.b. s0 = 36 631.284.El radio de la Luna es aproximadamente de 1 738 km. La aceleracin de la gravedad en su supercie es aproximadamente 1.67 m/seg2. Determi-ne la velocidad de escape de la Luna.Respuesta: ve = 2.4 km/seg5.Teniendoencuentaelproblemaanterior,determinarlavelocidadde escape de Marte, Jpiter y Venus, si:Carmona-03.indd 136 7/13/10 11:25:56 AMLos Bernoulli137Planeta Radio (km) *Tierra 6 372 1Marte 3 389 0.37Venus 6 195 0.86Jpiter 69 880 2.64Donde * representa la aceleracin de la gravedad en la supercie del planeta con respecto a la Tierra.Respuestas:Marte: ve = 4.9 km/segJpiter: ve = 59.67 km/segVenus: ve = 10.21 km/segLafamiliaBernoullifueparalamatemticaloquelafamiliaBachparalamsica. Entre 1654, fecha de nacimiento de Jacobo, y 1863, ao en que muri Juan Gustavo, tataranieto de Juan, hermano del primero, esta familia suiza brind 12 matemticos de notoriedad. Sin lugar a dudas, los Bernoulli de ms peso fueron Jacobo (1654-1705), Juan (1667-1748) y Daniel (1700-1782), hijo de este ltimo.Debemos a Jacobo el uso de las coordenadas polares, la obtencin del radio de curvatura, el estudio de la curva llamada catenaria y muchos ms resultados, con-secuencia de la aplicacin del clculo a problemas de fsica. Los famosos nmeros de Bernoulli, distribucin de Bernoulli, lemniscata y polinomio de Bernoulli son obras de Jacobo.Su hermano Juan, maestro reputado y hombre de mal genio, fue an ms prolco, especialmente en el desarrollo del clculo que aplicaba indistintamente a problemas de matemticasodefsica.Asescomoseencuentranentresusobraselestudiodela propagacin de la luz (reexin y refraccin), de las trayectorias ortogonales a ciertas familias de curvas o de la famosa braquistcrona la trayectoria de ms rapidez para el movimiento de una partcula pesada entre dos puntos. Jacobo y Juan, a pesar de cierta tensin entre ellos debida a asuntos de prioridad de descubrimientos, intercam-biaron ideas toda su vida. Tambin estaban en relacin continua con Leibniz, padre de la herramienta que estaban usando.El tercer gran Bernoulli, Daniel, se interes ms en ciertas ramas de la fsica como laastronoma,lateoracinticadelosgasescreacinsuyay,sobretodo,enla hidrodinmica. Sin embargo, sus trabajos en probabilidad y ecuaciones diferenciales parciales lo colocan tambin entre los grandes de la matemtica.Tal como le haba iluminado toda su vida,tambin ahora el entendimiento iluminese instante de la existencia de Juan Gaviota.Tenan razn. l era capaz de volar ms alto.JUAN SALVADOR GAVIOTA, R. BACHLos BernoulliDaniel Bernoulli(1700-1782)Carmona-03.indd 137 7/13/10 11:25:57 AM138Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenEl par de amigosUn excursionista, Liborio, camina a la velocidad de 1.6 km/h por la orilla de un ro de curso recto con 1 km de ancho. Su amigo, Nicasio, est en la orilla opuesta y se decide a alcanzar a Liborio nadando en todo momento en direccin a l.La velocidad a que nada Nicasio en aguas tranquilas es de 3.6 km/h y la corriente del ro es de 1 km/h en sentido opuesto a la marcha de Liborio. Cuando Nicasio alcance aLiborioculserladistanciarecorridaporstedesdeelmomentoenqueNicasio salt al agua hasta el momento del alcance?SOLUCIN: 0.93 kilmetros.El caracol y el muroUn caracol sube verticalmente por un muro de 12 m de altura. Durante el da sube 2 m y durante la noche resbala, retrocediendo 1 m. Cuntos das tardar en subir al muro, sabiendo que su velocidad promedio es de 16.6 cm por da?SOLUCIN: 11 das.Propiedades metafsicas del nmero 3Representaelprincipiodelanaturalezaenfuncin,transmutacinymanifestacin. SegnPitgoras,generalamsica,ensealageometra,eslarazndelavirtudyla sntesisdelintelecto.Estformadopordossemicrculosquejuntosconstituyenel crculo completo, smbolo del alma. En la mente humana es creacin, conservacin y renovacin.Numeracin hebrea, aproximadamente 300 a. C.PREGUNTA: Cmo construir la pista de patinaje ms rpida entre dos puntos? (Bra-quistcrona). (Reto para Jacobo y Juan Bernoulli.)Llegaron a la ecuacin que cumpla la mxima rapidez:y y c [ ( ) ] 12+ = Cmo se obtuvo?Con solucin: x a = ( ) senUna cicloide!y a = ( cos ) 1 Y cmo se lleg a ella?Los libros tejieron, cavaron, deslizaron su serpentinay poco a poco, detrs de las cosas de los trabajos, surgicomo un olor amargo con la claridad de la salel rbol del conocimiento.Fragmento Los libros, PABLO NERUDA1510501005001000Carmona-03.indd 138 7/13/10 11:25:57 AMEL PAR DE AMIGOSConsideremos inmvil la corriente del ro y Liborio llevar su velocidad ms la del ro.V VS b tL NL= + = == =1 6 1 2 6 3 62 6/ . . ..km/h km/hS tN = 3 6 .dydxb ya xy a x= ( ) == 2 6 . t yComotSN=3 6 .y a xSyy a x S ynn( ) ..( ) = = 2 63 61318Derivando: + = + y a x y y y ( )131812 entonces:yya x=+131812;seay z y z = =zza xdzzdxa x =++=13181 18131181322;ln(zz z a x cz z c a x+ + = ++ + = 1122 13 18) ln( ) ln( )/Paraa x y z ca c a = = = = =0 0 0 113 18 13 18 ;/ /z z axaaxa+ + = = 1 1 12 13 18 13 18 13 18 13 / / / /( ) ( )1182 13 181 1 + = zxaz ( )/Elevando al cuadrado:1 1 2 1213 9213 18+ = + zxaz zxa/ /2 1 1 12 113 18 13 9zxaxadydx= = / / xaxa13 18 13 181/ /Integrando:21851183115 18 13 18y axaaxa= + / /++cParax y = = 0 0Propiedades metafsicas del nmero 3139ybFigura 3-15.Carmona-03.indd 139 7/13/10 11:25:58 AM140Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden018518311851831= + + = a a c y c a ac a =468155Para x = = = = = yca a yL22341551234155, pero km kmComot yL L= = =12 610262341551831 .horasla distancia sertVL L = = =18311 61441550 93 ( . ) . kmLa braquistcronaQueremos resbalar desde A hasta B, cunto tiempo tardaremos?De acuerdo con la ley de cada, la velocidad v en cada punto depende solamente de la altura respectiva:vdsdtgx dtdsgx= = = 22,Ahora bien,( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ds dx dy dxdydx2 2 2 2221 = + = +=ddx y ) ( )2 21+ Elevando a la potencia :ds dx y dtygxdx = + =+11222entonces:Integrando, se obtiene el tiempo total de cada desde A a B:tgyxdxx=+12120Para diferenciales pequeos la curva puede sustituirse por la cuerda, entonces:ytg ==tan11211 122+= tancos xdxgdxxx hxx hxAadamos otro diferencial, donde similarmente:tgdxxxx h212=+cosSumando:tgdxx gdxxx hxxx h1 2121222++= += cos coscos ggx x hgx h x ( )+ + ( )22 cosFigura 3-16.A(0, 0)B(x, y)yy1y2xyx hhxx + hdydxdxCarmona-03.indd 140 7/13/10 11:25:59 AMDerivando en funcin de los ngulos e igualando a cero para obtener un mnimo:22222 2x x hgdx h xgd ( )++ ( )cos cos sen sen == ( )= +( )02 2sen senx x h x x h dcos cosTambin tenemos:tan tan == y yhy yh1 2Sumando:tan tan + = + y y y yh1 2h y y (tan tan ) + = =2 1 constanteDiferenciandosec sec2 20 d d + =y d d cos cos2 2= de dondex x h x h x ( )= + ( )sen sen Multiplicando y dividiendo por el factor apropiado:x x h x x hx x hx h x x h xx h x ( )+ ( )+ =+ ( )+ +( )+ +sen ssensen sen x x h x h x + =+ +; estarelacindebepermanecerconstante;porejemplo, igual a 12Tomando h sucientemente pequeo:sen sen 2 2 x x=de ah que:sen sen =dyxds =2 comods y dx = + 12entoncesyxy = +212de dondeyxx = 2 o sea:x x ( ) 1 22+ = La braquistcrona141Carmona-03.indd 141 7/13/10 11:26:00 AM142Captulo 3Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer ordenCambiemos los ejes de coordenadas para que la ecuacin adopte el aspecto clsico:y y cdydxc yyyc ydy dx( ) 12+ ===Sea: dxdy = tanentonces,tan ==yc yy y csen2Diferenciando:dy c ddx dyc===22sensen costantan ( cos )( cos )dc d = 1 2Integrando:xcy c cc= = = = 22 21212 2( )( cos )( co sensenss ) 2Tomando ca y22 0 = = tenemos:x ay a= = ( )( cos ) sen1 ecuaciones paramtricas de la cicloidexdydxyFigura 3-17.Carmona-03.indd 142 7/13/10 11:26:01 AMHORIZONTALES1.Matemticofrances(1713-1765)autorde:Teoradela forma de la Tierra, basada en los principios de la hidros-ttica. Tosco, inculto, grosero.2.LenguajehabladoantiguamenteenFrancia.Letrasde pira en desorden. Metal precioso.3.Smbolo del nitrgeno. Introducir, fundare. Smbolo de la aceleracin de la gravedad.4.Palabra latina que signica: dada. Atormentar, aigir.5.(Al revs). Segunda letra del alfabeto. Dudosa, insegura, indecisa. Sociedad annima.6.Fruto del nogal. ABONA en desorden. (Al revs). Cami-no, carril de hierro.7.Existir. Smbolo del argn. Nombre de varn. Vocal.8.Smbolodelaluminio.Fuerzaqueatraeloscuerposal centro de la Tierra. Smbolo del azufre.9.Parteresguardadaarticialmenteenaguasnavegables. Dios de la mitologa egipcia. 10.Smbolodeloxgeno.poca,temporadadelargadura-cin. Infusin. Obra te jida de muchos hilos. 11.Dicultad que opone un conductor al paso de la corriente. Contraccin de preposicin y artculo.VERTICALES1.Aparato para acumular electricidad.2.Smbolo del litio. Madre del padre o de la madre. Vocal.3.(Al revs). Flor del tilo. Terminacin de innitivo. Ani-mal domstico.4.Vocal. Planta gramnea. Letras de la palabra: gris.5.En paz descanse, en latn. Exponente de una potencia in-determinada. Supercies.6.Tranquilizarn, calmarn. Consonante.7.Metal muy denso y radiactivo. Poeta.8.Recta que toca a una curva en un punto. Preposicin.9.Aturdido, avergonzado. Smbolo del carbono. 10.Smbolo del nmero atmico. Con cuernos o astas (feme-nino, plural). Vocal. 11.Arteria principal. Publica, imprime. 12.Calent, fastidi. Vocales. Nota mu sical. 13.Satlite de Jpiter descubierto por Galileo el 7 de enero de1610.Deestamanera.Generalromanoydictador oponente de Mario. 14.Vocal. Peligroso, enfermo, serio. Cloruro sdico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141234567891011La braquistcrona143Carmona-03.indd 143 7/13/10 11:26:02 AMCarmona-03.indd 144 7/13/10 11:26:02 AMDefiniciones bsicas145Ecuacionesdiferencialesde orden superiorEcuaciones diferenciales reducibles a ecuacionesde primer ordenEcuaciones diferenciales linealesPrincipio de superposicin o linealidadDependencia e independencia linealWronskianoEcuaciones diferenciales lineales homogneasEcuaciones de segundo orden con coeficientes constantesEcuacin de Cauchy-EulerEcuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantesEcuaciones diferenciales lineales no homogneasde segundo ordenMtodo de coeficientes indeterminados para obtener ypLeonard Euler(1707-1783)4Carmona-04.indd 145 7/13/10 10:28:36 AM146Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorIntroduccinEulersepreguntsinohabraunaformamsprcticaparalaexpresineix. Cmo procedi?Sea z = ix, entonces,e eznix zn= =!Por tanto, ixnixx ix x ix x ixn( )= + + + ! ! ! ! ! !12 3 4 5 62 3 4 5 6 777!... +Puesto que: i2= 1; i3= i; i4=1; i5=i; etctera.Entonces,ex x xi xx x xix= + + + + + 12 4 6 3 5 72 4 6 3 5 7! ! ! ! ! ! ...En donde reconocemos las series de dos importantes funciones trigonomtricas, de ah que: eix = cos x + i sen xSimilarmente: e ix = cos x i sen xEstas son las famosas frmulas de Euler que vamos a necesitar en este captulo. Adems, veremos algunas ecuaciones de orden superior a dos.Ecuaciones diferenciales reduciblesa ecuaciones de primer ordenDada la ecuacin diferencial lineal de segundo ordeny f x y g x y + + = ( ) ( ) 0 es natural suponer que una forma de resolverla es integrar dos veces la ecuacin. De hecho, as se realizar, slo que se utilizar el cambio z y z y = = para que las constantes de integracin aparezcan en su momento.EJEMPLO1Dada la ecuacinxy y = , reducirla a una ecuacin de primer orden y en-contrar su solucin.Seaz y z y = = la ecuacin es, entonces,xz z =de primer orden.Integrando: dzzdxx=ln z = ln x + ln co sea, z = c1xdxComoz y dy c xdx = = 1, entonces,y cxc = +1222.Es la solucin general de la ecuacin lineal de segundo orden.Comprobacin: derivando la soluciny c xy c==11perocyxyyxxy y1 = = = yCarmona-04.indd 146 7/13/10 10:28:36 AMEcuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden147EJEMPLO2Veremos algunas ecuaciones de segundo orden en las que no aparece expl-citamente la variable independiente x, que pueden reducirse a primer orden y resolverse. Se hace la siguiente transformacin:Seay z yd ydxdzdx = = =( )Usando la regla de la cadena:ydzdydydxdzdyz = =entonces, en este caso, usaremos:y zy zdzdx==Aplicando al siguiente ejemplo:y yy yzdzdyyz z = =dividiendo entre z:dzdxydz y dyzyy c= += += + +11221( )o sea, dydxyy c = + +212dyyy cdxdyy y cdx2121222 2+ +=+ +=Completando el cuadrado en el denominador y tomando 2c1 1 =c12:212 1121211121dyy cdxcycx cyc+ ( )+=+= ++=tantan( ( )tan( )c x cy c c x c1 21 1 21+= + Se comprueba como en el ejemplo anterior.Carmona-04.indd 147 7/13/10 10:28:38 AM148Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorEJERCICIOS 4.1Reducir el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales y resolverlas:Respuestas1. xy y + = 0 y c x cx y y= + =1 21 0ln( ) 2. y cxc x cx y x= ++ =121 2221 3. y x x x c = + + + ln ( ) 11xx cx y y++ =21 4. ( ) y cxc x cxy y x= + + =121 225. yxx cx= +21212ln22222+=cyyy6. y c ec x=217. yy yy + =20221 2322 0= + ( ) =c x cy y y 8. 2yc y c xyy y31 2231+ = = + 9. ycx cc= + +122141( )10. (( ) y y y y c = = 122 eexy y xyc x11 ++ = 11. y c x xx xcy= + + + + +12 324 18[ln ...]12. ttanh cosh 3 3 0131x y y c = = 334 02x cxy y++ = 13. y c x cy y= ++ =434 013 42/14. y c e cxyx= +142/15. = = 3 0122x y x331 22 0+ + =c x cy xy 16. ycx cy y= ++ =1 32332 0 17. y x c c = + ++221 218. csc xxy y x = = + 0 2 sen cc x cy y y1 22+= 19. y c c x c = +1 1 2tan( )20. y xy 4 = 0 y c x cy y= + =452 015 422/21. y x c c = + + 21 2ln( )Carmona-04.indd 148 7/13/10 10:28:38 AMy e = 2222. xxyxy24 = [cc ce c cxy yx1 121 212 + +=ln( )]23. 6 y c x c = +6717 62/244. yy y y =2y ey yx= += =2 10 1 0 0 ( ) ; ( ) Elegir la opcin que contiene la solucin de las ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden.25. yy ya y c e cbx =+ = +21 2.....y c ec y e cdc xc x== +2211xyc y x cyy ya21 2221+ = ++ = 26. . yy x cb y c xc y2 222122= += + .. == = + ( )=xd y c x cy xy221 2224.27. a ycxcc . tan = +81112bb ycxcc y. tan. ln(= =88111xx cd y x c cy y+= + +=11 2813). ln( )28. coth. cosh31331xa y x c x = +b y c x cc y. cosh. cosh= +=1 231333331 212x c x cd ycx c+ += + . coshEcuaciones diferenciales reducibles a ecuaciones de primer orden149Carmona-04.indd 149 7/13/10 10:28:39 AM150Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superior29. == +y y xa y x c x 211412.b y x cc yc. / ( ).= +=1 21211ttan.+= + +11211 2212xccd y x c x c30. para y yy y y 2120 1 0 1 = = = ( ) ; ( )a yc x cb y x..= +=131 23= += 131 2c y c x cd y..111 x +Respuestas: 25.b.La a y c estn incorrectas porque se aplicaron mal las leyes logart-micas y exponenciales. La d est mal porque tom z = y y se resol-vierondemaneraerrnealasintegrales,sinsepararlasvariablesy tomando algunas variables como constantes. 26.d.Las tres opciones restantes usan inadecuadamente las constantes de integracin. 27.a.Las opciones b y c no tienen la constante c2 y adems el integrado en C se tom como 11x c +. Este ltimo error perdura en la opcin d. 28.b.La opcin a no respeta las leyes logartmicas. La opcin c tampoco y la d tiene el signo x y del cosh x son ambas positivas. 29.c.La opcin a presenta la constante de integracin de la primera inte-gral como sumando, en vez de divisor y le falta la segunda constante correspondiente a la segunda integral. La opcin b es y en lugar de y. La opcin d tiene el error de la constante c1 de la opcin a. 30.d.La opcin a presenta la solucin general, sin aplicar las condiciones iniciales.Laopcinbsuponecorrectalasolucinquepresentala opcin c y le aplica las condiciones iniciales. La opcin c contiene un error de separacin de variables.Carmona-04.indd 150 7/13/10 10:28:39 AMEcuaciones diferenciales linealesDefinicin 4.1Ecuaciones diferenciales lineales.Son de la forma:a xd ydxa xd ydxa xdydxannn nnn( ) ( ) ( ) + + + + 111 1

00( ) ( ) x y h x =con condiciones iniciales:y(x0) = y0y(x0) = y0y(x0) = y0y(n 1)(x0) = y0(n 1)donde y0, y0, , y0(n 1) son constantes arbitrarias.Para n = 2, tenemos:a2y + a1y + a0y = h(x)con y(x0) = y0 y(x0) = y0dividiendo la ecuacin por a2:yaayaayh xa + + =1202 2( )como ai, i = 0, , n son funciones de x, podemos escribir:y f x y g x y x + + = ( ) ( ) ( )que es la forma general de una ecuacin diferencial lineal de segundo orden.Si r(x) = 0 la ecuacin se llama lineal homognea.Si r(x) 0 la ecuacin se llama lineal no homognea.Ecuaciones diferenciales lineales151Carmona-04.indd 151 7/13/10 10:28:40 AM152Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorLas funciones f(x) y g(x) se llaman coecientes de la ecuacin.EJEMPLO1La ecuacinxy x y x y x + = 5 122 2 presentada en su forma ms simple:y xy x y + = 5 122es una ecuacin diferencial lineal no homognea.La ecuacin y xy x y + = 5 02 es una ecuacin diferencial lineal homognea.Unaecuacindiferencialdesegundoordenquenopuedaescribirseenla forma y f x y g x y r x + + = ( ) ( ) ( ) es no lineal.EJEMPLO2Son ecuaciones no lineales:y f x y y g x yy y y y xy y + + =+ == ( ) ( )( )04 212Definicin 4.2La funcin y = h(x) se llama solucin de la ecuacin diferencial lineal (o no lineal) si est definida y es derivable n veces en algn intervalo de tal ma-neraquealsustituirlaenlaecuacin(juntoconsusderivadas)seobtenga una identidad.EJEMPLO1Las funciones y = ex y y = ex son soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea: y y = 0, para toda x. As:y = exy = exy = exSustituyendo en la ecuacin dada, ex ex = 0. De modo similar para:y = exy = exy = exSustituyendo: ex ex = 0.Carmona-04.indd 152 7/13/10 10:28:41 AMPrincipio de superposicin o linealidadTeorema 1. Principio de superposicin o linealidadSean y1(x) y y2(x) soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea y + f(x)y + g(x)y = 0 en un intervalo, entonces, y = c1y1(x), y = c2y2(x) y y = c1y1(x) + c2y2(x) son tambin solucin en el intervalo. Donde c1, c2 R.DEMOSTRACIN:y = c1y1 + c2y2 y y = c1y1 + c2y2Entonces,y py qy c y c y p c y c y q c y + + = + + + + ( ) ( ) (1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ++= + +c yc y c y p2 21 1 2 2)( ) ( cc y c y q c y c y1 1 2 2 1 1 2 2 + + + ) ( )= + + + + + c y py qy c y py qy1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) = + = c c1 20 0 0 como y1 y y2 son soluciones, y = c1y1 + c2y2 es tambin solucin.COROLARIO:Unaecuacindiferenciallinealhomogneasiempretieneuna solucin y 0, conocida como la solucin trivial de la ecuacin.NOTA: Este teorema no se aplica si la ecuacin no es homognea (vea ejemplo 2) o no es lineal (vea ejemplo 3).EJEMPLO2Las funciones y = ex 1 y y = ex 1 son soluciones de la ecuacin diferen-cial lineal no homognea: y y = 1, pero las funciones: y = ex + ex 2 y y = 3(ex 1) no son soluciones de esta ecuacin.EJEMPLO3Las funciones y2 = 2x y y2 = 4 son soluciones de la ecuacin diferencial no lineal:y y + y2 = 0sin embargo, la funciny x = + 2 2 no es solucin.EJEMPLO4Tomando las soluciones de la ecuacin diferencial del ejemplo 1, probare-mos que la funcin y = c1ex + c2ex es solucin de y y = 0.Derivando y:y = c1ex c2exy = c1ex c2exPrincipio de superposicin o linealidad153Carmona-04.indd 153 7/13/10 10:28:42 AM154Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorSustituyendo en la ecuacin diferencial:c1ex + c2ex c1ex c2ex = 0.EJEMPLO5Lasfuncionesy e x y e xx x13 32= = cos y sen sonsolucionesdelaecua-cin diferencial homognea: y 2y + 4y = 0 Yy e A x B xx= + ( cos ) 3 3 sentambin es solucin.Verificamos derivando esta funcin y sustituyndola en la ecuacin diferen-cial dada:y e A x B x e A x Bx x = + + + ( ) ( 3 3 3 3 3 3 sen cos cos sen xxy e A x B x e A xx x)( ( ) = + +3 3 3 3 3 33cos sen senBB x e A x B xe A xxx) ( )(cos sen coscos3 3 3 3 33+ ++ ++ B xA e x B e x A ex x x)cossensen s33 3 3 3 3 eencos sen cos33 3 3 3 3 3xB e x A e x B e xx x x+ ++ cos Ae x Be x A e xB ex x xx3 3 2 3 32 3+ +sen senccos cos sencos3 2 3 2 34 3x A e x B e xA e xx xx + + 44 3 03 3 3 3 2 3 2 4B e xe x A B B A B Axxcos (sen = + + + + AAe x B A A B A B Bx)( ) + + + + + = sen 3 3 3 3 2 3 2 4 0 S es solucin.Dependencia e independencia linealDefinicin 4.3Dependencia lineal. Dos funciones y1(x), y2(x) son linealmente dependien-tes en un intervalo abierto, donde ambas estn definidas, si son proporcio-nalesendichointervalo,estoes,siy1=k1y2 oy2=k2y1dondek1yk2son constantes 0. Definicin 4.4Independencia lineal. Si y1(x) y y2(x) no son proporcionales en el intervalo son linealmente independientes en el mismo.Carmona-04.indd 154 7/13/10 10:28:42 AMCONSECUENCIA: Las funciones y1(x) y y2(x) son linealmente dependientes en un intervalo el cociente y1/y2 es una constante en el intervalo. Si y1/y2 depende de x en el intervalo y1 y y2 son linealmente independientes en l.Definicin 4.5Las funciones y1(x), y2(x), ..., yn(x) son linealmente dependientes en el inter-valo(a,b)sialmenosunadeellaspuedeexpresarsecomocombinacin lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente indepen-dientes.EJEMPLO1Lasfunciones:y e y ex x122142= = y sonlinealmentedependientes,puesto que yyeexx1221424 = = y que es una constante.Las funciones: y1 = e2x y y2 = e2x son linealmente independientes, puesto que:yyeeexxx 12224= =, que no es una constante.Teniendo en cuenta el principio de superposicin podemos concluir que las funciones linealmente independientes entre s pueden formar una combina-cin lineal del tipo:y = c1 y1 + c2 y2La base o sistema fundamental de solucin de una ecuacin diferencial en un intervalo est formado por n soluciones linealmente independientes.EJEMPLO2y = c1 e2x + c2 e2xes solucin de la ecuacin diferencial y 4y = 0, y como e2x y e2x son fun-ciones linealmente independientes (vea ejemplo 1) forman un sistema funda-mental de soluciones en el intervalo < < x .EJEMPLO3y c x c x = +1 2 es una posible solucin de y + xy y = 0 que consta de dos funciones:y c x y c x1 1 2 2= = ,Estas funciones son linealmente dependientes en x > 0; se puede elegir c1 = c2; pero son linealmente independientes en el intervalo < < x , pues basta encontrar un punto en los reales en donde una de ellas no es mltiplo de la otra o elegir c1 = 0 y c2 = 0. Dependencia e independencia lineal155Carmona-04.indd 155 7/13/10 10:28:43 AM156Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superior y1 y y2 forman una base o sistema fundamental de soluciones de la ecua-cin dada.EJEMPLO4y = c1lnx + c2lnx3 consta de las funciones lnx y lnx2 que son linealmente de-pendientes en el intervalo 0 < < x ; por tanto, no son base o sistema funda-mental de soluciones.Veamos: lnlnlnlnxxxx3 3313= = =constante en0, ( ) .Definicin 4.6Sean y1, y2, y3, , yn, funciones que admiten derivadas hasta el orden (n 1), continuas en el intervalo a x b.W y y yy x y xn( , ,..., )( ) ( )1 21 2=.... ( )( ) ( ) ..y xy x y xn1 2 .. ( ).y xn..yy x y x yn nnn1121 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ... (( ) xse llama wronskiano de estas funciones.WronskianoEJEMPLO1Hallar el wronskiano de las funciones:y x x y x x y xW y y1 2 31 21 ( ) cos , ( ) , ( ) ,( , ,= = = senyyx xx31)cos=sensen coscos sensen co xx xx 002 = + ss21 x =Para el caso de tres funciones:W y y yy y y( , , )1 2 31 2 3= y1 y2 y3y1 y2 y3Carmona-04.indd 156 7/13/10 10:28:43 AMEl wronskiano se usa para determinar si dos o ms funciones son linealmente dependientes o independientes.Teorema 2Sean f (x) y g(x) funciones continuas en [a, b]. Sean y1(x), y2(x) dos soluciones en [a, b] dey f x y g x y + ( ) + = ( ) 0, entonces, y1 y y2 son linealmente indepen-dientes ena b W y y x , ( , )( ) 1 20para todax a b , . Este teorema se puede generalizar para ecuaciones diferenciales de orden n.EJEMPLO2Hallar el wronskiano de las funciones:y x e y x e y eW y y yx x x152 321 2 3( ) , ( ) ,( , , )= = ==e e eex x xx5 255 ee ee e ex xx x x2425 225 ==42ex 2EJEMPLO3Hallar el wronskiano de las funciones:y x y x y xW1 2 32 2= = += cos ; ; sen senyy y yx x1 2 32 2, ,cos( ) =+ sen sensen cxx2oss oscosx xx+ +22cseen sen x x +=20porque el primero y el ltimo renglones son proporcionales.EJEMPLO1Las funciones de los anteriores ejemplos 1 y 2 son linealmente independien-tes en( , ) ; las funciones del ejemplo 3 son linealmente dependientes en ( , ) , porque si tomamos c1 = 1; c2 = 0 y c3 = 1 (1) sen x + (0) cos x + (1)sen x = 0. Comoencontramosc c1 30 0 y sonlinealmentedependientesenel intervalo.NOTA:cos cos x x y x = + = 2 2sen sen xxWronskiano157Carmona-04.indd 157 7/13/10 10:28:44 AM158Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorUna secuencia en Mathematica que indaga si el conjunto de funciones y1 = 1 2sen2x; y2 = cos2x es linealmente dependiente o independiente es:rowone={1-2Sin[x]2,Cos[2x]}{1-2Sin[x]2,Cos[2x]}rowtwo=D[rowone,x]{-4Cos[x]Sin[x],-2Sin[2x]}matrix={rowone,rowtwo};MatrixForm[matrix] 1-2Sin[x] Cos[2x]-4Cos[x]Sin2[[x] -2Sin[2x]wronskian=Det[matrix]4Cos[x]Cos[2x]Sin[x]-2Sin[2x]+4Sin[x]2Sin[2x]Expand[wronskian,TrigTrue]0Elwronskianopuedesercero,auncuandolasfuncionesconsideradasenun cierto intervalo sean linealmente independientes en l.EJEMPLO2Dadaslasfunciones y x x x y x x1 22( ) = ( ) = y,probarquesonlinealmente independientes en 1 1 x , aunque su wronskiano es igual a cero.y xx xx x1220 11( ) = sisi 0. = += += +y c x c xy c x c xy c c12221 21 22 22 2Sustituyendo en la ecuacin diferencial:2 2 2 2 012221222c x c x c x c x + = , s es solucinPara x < 0. = += += +y c x c xy c x c xy c c12221 212 22 222Sustituyendo en la ecuacin diferencial: + + = 2 2 2 2 012221222c x c x c x c x , s es solucin. = y c x x c x1 22+ , es la solucin general.Adems, acabamos de ver que son linealmente independientes y su W = 0; esto parece contradecir al teorema; sin embargo, observamos que la hipte-sis del mismo no se cumple en este caso, puesto que g(x) no es continua en un punto del intervalo; despejando y de nuestra ecuacin:yxy =202 = g xx( )22 es discontinua en x = 0.Por lo tanto, no se puede aplicar dicho teorema.EJEMPLO4Hallar la dependencia o independencia lineal de las siguientes soluciones de y+4y = 0.y1 = cos2x; y2 = cos2x sen2xWronskiano159Carmona-04.indd 159 7/13/10 10:28:46 AM160Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorEJERCICIOS 4.2Usando el principio de superposicin, probar si las funciones dadas son solu-cin de las siguientes ecuaciones diferenciales:1.y c e y c xe y y yx x1 1 2 22 0 = = + + = , de Respuesta: s.2.y c e y c xe y y y ex x x1 1 2 22 = = + = , de Respuesta: no, porque no es homognea.3.y c e x y c e x y y yx x1 1 2 22 2 2 5 = = + + cos , sen de = = 0Respuesta: s.4.y c e x y c e x y y yx x1 1 2 22 2 2 5 = = + = cos , c sen de oos2xRespuesta: no, porque es homognea.5.y c e y c e y y yx x1 122 2510 3 0 = = = / /, de Respuesta: s.6.y c e y yy yx x1 1 222 1 = = = , de Respuesta: no, porque no es lineal.Enlossiguientesejercicios,elegirlaopcinquecontienelasolucindela ecuacin diferencial dada, usando el principio de superposicin para vericarla.7.x y xy y2140 + =a.y c x y c xy c x y c xy1 11 22 21 21 13 22 21 2= == =/ // /,,11 11 22 23 21 13 22 23 2= == =c x y c xy c x y c x/ // /,,b. c. d. 8.y y y + = 2 0a.y c e y c ey c e y c ey c e yx xx xx1 1 2 21 1 2 21 1= == ==,,,22 21 1 2 22== =c xey c e y c exx x,b. c. d.9.y y = 0a.y c e y c ey c xe y c xey c ex xx xx1 1 2 21 1 2 21 1= == ==,,,,y c ey c e y c exx x2 231 1 2 22== =b. c. d. == =yyxx xxx122 22 221coscoscoscos senEl cociente es constante en( , ) ; entonces, las funciones son linealmente dependientes en el intervalo (en realidad es la misma solucin).Carmona-04.indd 160 7/13/10 10:28:47 AM10.y 3y + 2y = 0a.y c e y c ey c e y c ey c ex xx xx1 1 2 21 1 2 21 1= == == ,,,,y c xey c e y c exx x2 21 1 2 22== =b. c. d. 11.y + y = 0a.y c x y c xy c x y c1 1 2 21 1 2 2= == =sensen, tan, cos x xy c x y c xy c x x y c x1 1 2 21 1 2 2= == =cos , tan, senb. c. d. 12.x2y + 4xy + 2y = 0a.y c x y c xy c x y c xy c x1 112 221 112 221 1= == == ,,, yy c xy c x y c x2 221 1 2 22== =,b. c. d. 13.y + 4y = 0a.y c x x y c xy c x y c x1 1 2 21 1 2 22 22= == =sensen, cos, cos s, cos,22 221 1 2 21 1 2xy c x x y c x xy c x y= == =sensen cc x22 cosb. c. d. 14.y 2y + 2y = 0a.y c x y c xy c e x y c xyx1 1 2 21 1 2 2= == =sensen, cos, cos11 1 2 21 1 2 2= == =c e x y c e xy c x y c ex xxsensen, cos, co os xb. c. d. 15.x2y +4xy + 2y = 0a.y c e x y c xy c e y c exx x1 1 2 21 1 2 23 3 = == =sen , cos, cos3331 1 2 21 1 2 2xy c x y c ey c e x y c exx x= == =sensen,, co os3xb. c. d. Respuestas:7.a.8.c.La opcin b no puede formar una base de soluciones porque son LD, de hecho, es la misma solucin. Las opciones a y d dan soluciones quepertenecenaotraecuacindiferencial.Loserroresdelossi-guientes ejercicios son similares.9.a. 10. d. 11. b. 12. b. 13. d. 14. c. 15. d.Wronskiano161Carmona-04.indd 161 7/13/10 10:28:49 AM162Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superiorAveriguarsilasfuncionesdadasacontinuacinsonlinealmenteindepen-dientes (LI) o linealmente dependientes (LD) en su dominio, usando las de-niciones 4.3, 4.4 y 4.5.16.1, x, 2x LD17.7, x2 LI18.x 3, x + 3 LI19.6, x 3, x + 3 LD20.1, 4, x, x2 LD21.1, x1, x2 LI22.ex, ex LI23.ex, e2x, e3x LI24.ex, xex, x2ex LI25.1, x, ex LI26.e3x, 4e3x LD27.lnx2, lnx3 LD28.x2, e2lnx LD29.lnx, xlnx, x2lnx LI30.sen2x, cos2x LI31.senx cosx, sen2x LD32.1, sen2x, cos2x LD33.sen2x, cos2x LI34.1, sen1x, cos1x LD35.coshx, ex, ex LD36.1, senh2x, cosh2x LDEncontrar el wronskiano de las funciones de los ejercicios 37 a 57.37.W(1, x, 2x) = 038.W(7, x2) = 14x39.W(x 3, x + 3) = 640.W(6, x 3, x + 3) = 041.W(1, 4, x, x2) = 042.W(1, x1, x2) = 2x643.W(ex, ex) = 244.W(ex, e2x, e3x) = 7e6x45.W(ex, xex, x2ex) = 2e3x46.W(1, x, ex) = ex47.W(e3x, 4e3x) = 048.W(lnx2, lnx3) = 0Carmona-04.indd 162 7/13/10 10:28:49 AM49.W(x2, e2lnx) = 050.W(lnx, xlnx, x2lnx) = 2ln3x51.W(sen2x, cos2x ) = 252.W(senx cosx, sen2x ) = 053.W(1, sen2x, cos2x) = 054.W(sen2x, cos2x) = sen2x55.W(1, sen1x, cos1x) = 056.W(coshx, ex, ex) = 057.W(1, senh2x, cosh2x) = 0En los siguientes ejercicios, determinar, mediante el wronskiano, si las fun-ciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo correspondiente.58.x x x + + 2 22, , en ( ) ,Respuesta: W =x + ( )22 LI59.x + 2, x, 1, en ( ) ,Respuesta: W = 0 LD60.e3x, ex, en ( ) ,Respuesta: W = 2e4x LI61.3ex, ex en ( ) ,Respuesta: W = 0 LD62.ex, xex, en ( ) ,Respuesta: W = e2x LI63.lnx, xlnx, en0, ( )Respuesta: W = ln2x LI64.lnx5, 2lnx, en0, ( )Respuesta: W = 0 LD65.xxx , , ,12 en0, ( )Respuesta: W = 60xx ;LI66.ex, e2x, e2x, en ( ) ,Respuesta: W = 12ex LI67.1, cos x, en0, ( )Respuesta: W = sen x LI68.x x + + 1 1 , ,en (2, 2)Respuesta: en (2, 1) W = 0, en (1,2) W = 0 LI69.e x e xx xsen1212, cos ,en ( ) ,Respuesta: W =122ex LIWronskiano163Carmona-04.indd 163 7/13/10 10:28:50 AM164Captulo 4Ecuaciones diferenciales de orden superior70.senhx, ex en ( ) ,Respuesta: W = 1 LIEn los siguientes ejercicios elegir la opcin que contiene soluciones lineal-mente independientes o linealmente dependientes mediante el wronskiano o a travs de la denicin 4.5.71.y1 = x, y2 = exa. LDLIporque en elporquex Wc x c ex= =+1 01 2,== = = + = 0 001 21 2c cc x c exenporque( , )LD ccW x10= =constante enporque en( , )LI ==1b. c. d. 72. y y x y x1 2 31 1 = = = + , , , ( , ) ena.LD porque podemos encontrar c c c1 2 31 1 = = , , ====100LILDLIporqueporqueporqueWWc11 2 3 1 2 31 0 0 + + + = = = = c x c x c c c ( )b. c. d. 73.y e y xe y x ex x x122232 2= = = / / /, , ( , ) , ena.LILDporqueporquec y c y c y xW1 1 2 2 3 30 0 + + = ===+ + = = = =00 01 1 2 2