Ecuaciones diferenciales en variables separables

Suponga que puede escribir F(t,x) como el producto de dos funciones f(t) y g(x) que dependen solo

de t, una de ellas, y la otra depende de x. Esto es: f(t)g(x). Entonces, se puede escribir .

Una expresión de esta forma es una ecuación diferencial de variables separables.

Para resolver este tipo de ecuación se hace lo siguiente:

a) Se escribe

b) Se separan las variables:

c) Se integra:

d) Se calculan las dos integrales

Nota: Todo cero (toda raíz) x = a de g(x) da lugar a la solución constante x(t) a

Ejemplo:

Se identifican las funciones: f(t) = t3;

Se separan las variables: (x6 + 1)dx = t3dt

Se integra:

Queda

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial y halle la curva integral que pasa por

(t, x) = . Separo variables: . Integro: . Queda . Ordenando

da .

Para hallar la curva integral que pasa por (t, x) = .hay que hallar C. Entonces, para

t = 0. Sustituyendo queda -

Ejercicios

1.

2.

3.

4. secxdy – 2ydx = 0

5. x2dy – csc2ydx = 0

6. xdy –ydx = 0

7. 3ydx + (xy + 5x)dy = 0