ecuații de gradul ii
TRANSCRIPT
![Page 1: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/1.jpg)
ECUAŢIA DE GRADUL ECUAŢIA DE GRADUL DOIDOI
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
![Page 2: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/2.jpg)
Forma generalForma generalăă2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
20 0, , ; 0b ax c a c R a 20 0, , ; 0c ax bx a b R a
20 0, ; 0b c ax a R a
Forme particulareForme particulare
![Page 3: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/3.jpg)
Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ
![Page 4: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/4.jpg)
Relaţiile lui Viète Relaţiile lui Viète 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
1 2
1 2
bx xa
cx xa
bSacPa
![Page 5: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/5.jpg)
22 21 2 1 2 1 2
23 31 2 1 2 1 2 1 2
24 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2 1 2
2
3
2
( ) ( ) 4
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
FORMULE UTILE !FORMULE UTILE !2 2 21 2
3 3 31 2
4 4 2 2 21 2
21 2
21 2
2
3
( 2 ) 2
4
4
x x S P
x x S PS
x x S P P
x x S P
x x S P
![Page 6: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/6.jpg)
François VièteFrançois Viète (1540 – 1608) (1540 – 1608)
François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei
mederne.
![Page 7: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/7.jpg)
Date numerele reale x1 şi x2 calculăm
este ecuaţia care are ca soluţii numerele date.
1 2 1 2,S x x P x x
02 PSxx
Formarea ecuaţiei de gradul doi Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile
![Page 8: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/8.jpg)
unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei
Descompunerea trinomului în factori liniari
212 xxxxacbxax
02 cbxax
![Page 9: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/9.jpg)
Semnul soluţiilor ecuaţiei de Semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doi
00
00
00
00
Dacă:
00
0
![Page 10: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/10.jpg)
Dată ecuaţia
Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul cui putem stabili farcui putem stabili farăă a rezolva ecuaţia dacă soluţiile a rezolva ecuaţia dacă soluţiile xx11 şi x şi x22 au acelaşi semn sau semne contrare ? au acelaşi semn sau semne contrare ?
ÎNTREBARE ?ÎNTREBARE ?
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
![Page 11: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/11.jpg)
Semnul numSemnul număărulruluui i
Semnul numSemnul număărulruluui i
RĂSPUNS CORECT !RĂSPUNS CORECT !
PP
SS
![Page 12: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/12.jpg)
Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şi depind de semnul numarelor P şi SS
![Page 13: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/13.jpg)
!!! !!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de ecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelor semnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S
![Page 14: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/14.jpg)
ΔΔ > 0 > 0 ( ( + + ))
P < 0P < 0 ( ( – – ))
S > 0S > 0 ++
S = 0 S = 0 00
S < 0S < 0 – –
P = 0P = 0 S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
P > 0P > 0 ( ( + + ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
ΔΔ = 0 = 0P > 0P > 0( ( + + ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
P = 0P = 0 S = 0S = 0 00
ΔΔ < 0 < 0 -- --
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2, , 0x x R x x
1 2,x x R
Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi
![Page 15: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/15.jpg)
EXERCITIIEXERCITII
1. 1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile:
2 5 0x x
2 7 3 0x x
23 7 2 0x x
23 5 2 0x x
![Page 16: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/16.jpg)
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
1 1 20 ,x x x
1 20 , 0x x
1 1 20 ,x x x
1 20 , 0x x
SOLUŢIE CORECTĂ ?!SOLUŢIE CORECTĂ ?!
2 05 0
0P
x xS
2 07 3 0
0P
x xS
2 03 7 2 0
0P
x xS
2 03 5 2 0
0P
x xS
![Page 17: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/17.jpg)
22. . Să se determine parametrul m pentru care soluţiile ecuaţiei sunt:
ambele pozitive de semne opuse ambele negative egale
EXERCIŢIIEXERCIŢII
2 2 3 0,x x m m R
![Page 18: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/18.jpg)
m - ∞ 3 4 + ∞ΔΔ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - -
- PP - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + SS - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SOLUŢIESOLUŢIE
ambele pozitive ΔΔ > 0 , P > 0 , S > 0 > 0 , P > 0 , S > 0 m
de semne opuse ΔΔ > 0 , P < 0 > 0 , P < 0 m ( - ∞. 3)
ambele negative ΔΔ > 0 , P < 0 , S < 0 > 0 , P < 0 , S < 0 m ( 3, 4)
egale negative ΔΔ = 0 , P > 0 , S < 0 = 0 , P > 0 , S < 0 m = 4
![Page 19: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/19.jpg)
33. . Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
după valorile parametrul real m.
Algoritm de lucru:Algoritm de lucru:calculăm ΔΔ, SS şi PPstabilim semnele acestor numere într-un tablou comunanalizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
EXERCITIIEXERCITII
2 3 2 1 0,x x m m R
![Page 20: Ecuații de gradul Ii](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/58eceaf31a28ab881e8b467b/html5/thumbnails/20.jpg)
Fie ecuaţia
determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă: soluţii reale pozitivesoluţii reale de semne opuse
Test de autoevaluareTest de autoevaluare
2 2 0,x x m m R