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PREFCIO

Este volume corresponde ao primeiro livro virtual lanado pelo Sistema de Ensino Interativo SEI.

O livro trata de lgica, teoria dos conjuntos, relao, produto cartesiano, funes reais, funo do 1 grau e

2 grau, modular, exponencial e logartmica ao longo de 12 captulos.

Cada um dos doze captulos inicia-se com uma breve introduo do assunto, seguido de questes dos

ltimos concursos da AFA, EFOMM, Escola Naval, IME e ITA, sendo um total de 345 exerccios.

H ainda um ltimo captulo onde se encontra o gabarito das questes, bem como a soluo daquelas que

nos captulos anteriores possuem sua numerao iniciada com a letra R, totalizando 63 solues.

Os exerccios dos captulos 10, 11 e 12 que possuem sua numerao iniciada com a letra V sero resolvidos

em vdeo aulas e postados no site do livro, www.sistemasei.com.br/editora-sei, regularmente e de maneira

gratuita, bem como este livro.

Com isto o autor e diretor do Sistema de Ensino Interativo SEI espera estender a sala de aula do SEI residncia dos que usarem este livro, principalmente daqueles que no podem frequentar um curso

preparatrio, contribuindo para sua preparao e aprovao.

O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, ser um prazer receber comentrios,

correes e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email

luciano@sistemasei.com.br.

BOM TRABALHO!

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SOBRE O AUTOR

Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpada de Matemtica do

Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpada Brasileira de Matemtica - OBM (1994), alm

disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo ltimo.

Aps algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemtica, retornando ao Rio de

Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduao em Matemtica.

Paralelamente graduao foi professor nos principais cursos preparatrios do Rio de Janeiro, tendo

contribudo na aprovao de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA.

Dois anos aps ter terminado a Graduao em Matemtica iniciou o Mestrado em Geometria Diferencial e

em seguida o Doutorado em Sistemas Dinmicos, tendo participado de congressos nacionais, por exemplo,

na UFRJ, UFBA, UFAL e USP, e internacionais, como em Warwick (Inglaterra), Cournouaille (Frana) e

PUC- CHILE (Santiago do Chile, Chile) nos quais ministrou algumas palestras.

Fundador do Sistema de Ensino Interativo SEI, Luciano um dos autores dos artigos de matemtica do SEI Ensina.

Atualmente Luciano Diretor do Sistema de Ensino Interativo SEI, no qual coordenador e professor de matemtica, alm disso, professor adjunto da UFRJ e professor contratado da Escola Naval.

Luciano Nunes Prudente

Diretor do Sistema de Ensino Interativo - SEI

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MATEMTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 1

NDICE

1. Lgica............................................................................................. 2. Teoria dos Conjuntos....................................................................... 3. Produto Cartesiano.......................................................................... 4. Relao.......................................................................................... 5. Conjuntos Numricos...................................................................... 6. Funo........................................................................................... 7. Funo Constante............................................................................ 8. Funo do 1 Grau.......................................................................... 9. Funo do 2 Grau.......................................................................... 10. Funo Modular.............................................................................. 11. Funo Exponencial........................................................................ 12. Funo Logaritmo.......................................................................... 13. Gabarito/Solues.............................................................................

05

09

19

22

25

32

48

49

62

77

84

94

123

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CAPTULO 1 - LGICA

Construo Axiomtica da Cincia

A linguagem da Cincia construda a partir de Termos primitivos e Definies.

Termo primitivo um vocbulo cujo significado no descrito por outros vocbulos.

Definir a ao de descrever o significado de um vocbulo a partir de outros vocbulos previamente definidos ou de

termos primitivos.

A introduo de novos vocbulos na Cincia ser sempre feita a partir de termos primitivos ou de definies.

Proposio ou sentena matemtica uma afirmativa a qual se associa um nico valor: verdadeiro ou falso, que

representaremos respectivamente por 1 ou 0.

Axioma uma proposio cuja veracidade assumida por definio e um Teorema uma proposio cuja veracidade

deve ser verificada por meio de outros axiomas ou teoremas.

A matemtica construda por meio de Axiomas e Teoremas.

Definio: A negao de uma proposio uma nova proposio cujo valor o oposto da original.

Ento dada uma proposio p, temos:

Definio: Conectivo o elemento utilizado para unir duas proposies.

Os conectivos se dividem em primrios e secundrios.

Sejam p e q duas proposies, ento:

Conectivos Primrios

1) Conectivo e ( ):

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

2) Conectivo ou ( ):

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

p p

0 1

1 0

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Conectivos Secundrios

1) Condicional se ento ( ):

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

2) Condicional se e somente se ( ):

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Definio: Tautologia uma proposio que assume apenas o valor verdadeiro.

Sejam p, q e r proposies, seguem as principais tautologias:

Negao da negao

1. p p

Comutatividade do e do

2. p q q p

3. p q q p

Associatividade do e do

4. p q r p q r

5.p q r p q r

Distributividade

6. p q r p q p r

7. p q r p q p r

Negao do e do

8. p q p q

9. p q p q

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Implicao lgica

10. p q p q

11. p q q p

12. p q p q

Equivalncia lgica

13. p q p q

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EXERCCIOS

NVEL A

ESCOLA NAVAL R1. (EN 1998) Considere a proposio:

Se x > 5 ento y = 6. A proposio equivalente

(A) Se x < 5 ento y 6 (B) Se y 6 ento x < 5 (C) se y > 5 ento x = 5 (D) Se y 6 ento x 5 (E) Se x 5 ento y 6.

2. (EN 1994) A negao da proposio:

3x" e y 2" ,

:

(A) 3x" e "2y

(B) 3x" e "2y

(C) 3x" ou "2y

(D) 2x" e "3y

(E) 3x" ou "2y .

3. (EN 1992) Sabe-se que se x > 4 ento y = 2 . Podemos da concluir que:

(A) Se x < 4 ento y 2 .

(B) Se x 4 ento y 2 . (C) Se y = 2 ento x > 4 .

(D) Se y 2 ento x 4.

(E) Se y 2 ento x < 4.

NVEL B

ESCOLA NAVAL R1. (EN 1989) Dada a proposio p (q r) ( p q) (p r) podemos afirmar que : (A) logicamente falsa

(B) uma tautologia

(C) equivalente a ( p q) r (D) equivalente a ( p q)V r

(E) equivalente a qp

NVEL C

ITA

R1. (ITA 2002) Considere as seguintes afirmaes sobre nmeros reais positivos:

I. Se x > 4 e y < 2, ento x2 2y > 12.

II. Se x > 4 ou y < 2, ento x2 2y > 12.

III. Se x2 < 1 e y

2 > 2, ento x

2 2y < 0.

Ento, destas (so) verdadeira(s)

(A) apenas I.

(B) apenas I e II.

(C) apenas II e III.

(D) apenas I e III.

(E) todas.

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CAPTULO 2 - TEORIA DOS CONJUNTOS

Elementos Primitivos

A Teoria dos Conjuntos tem sua estrutura baseada em trs termos primitivos: Elemento, Conjunto e na Relao de

Pertinncia.

Embora termos primitivos intuitivamente sabe-se a diferena entre eles. Considere, por exemplo, as proposies:

A uma Vogal

B no uma vogal

Primeiramente sabemos que estas proposies tm valor verdadeiro, ou seja, a letra A um elemento do conjunto das vogais e

a letra B no um elemento do conjunto das vogais.

Note que o elemento se liga ao conjunto pela relao de pertinncia, nos exemplos acima esta relao foi feita atravs do verbo

SER, a fim de evitar as limitaes da lngua, as mesmas proposies podem ser escritas utilizando uma simbologia universal, que

respectivamente introduzimos abaixo:

U,O,I,E,AA

.U,O,I,E,AB

Um conjunto est bem definido quando dado um elemento podemos julgar se este pertence ou no ao conjunto.

Varivel o smbolo utilizado para representar um elemento qualquer de um dado conjunto, neste caso, este conjunto

denominado Domnio da varivel.

Funo Proposicional ou Proposio aberta toda proposio que possui uma varivel.

Ex.: U,O,I,E,Ax uma proposio aberta, onde x a varivel e o seu domnio o conjunto .U,O,I,E,A

Soluo da Funo Proposicional todo elemento pertencente ao Domnio da varivel que d valor verdadeiro proposio

aberta.

Ex.:

.

)V(U,O,I,E,AU

)V(U,O,I,E,AO

)V(U,O,I,E,AI

)V(U,O,I,E,AE

)V(U,O,I,E,AA

U,O,I,E,Ax

Conjunto Soluo da Funo Proposicional ou Conjunto Verdade da Funo Proposicional o conjunto de todas as solues

de uma Funo Proposicional.

Ex.: .U,O,I,E,ASU,O,I,E,Ax

Definio: O Quantificador Universal todopara utilizado quando todos os elementos do Domnio da varivel pertencem ao Conjunto Soluo da Funo Proposicional.

Ex.: .0x,IRx2

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Definio: O Quantificador Existencial existe utilizado quando existe um elemento do Domnio da varivel pertencente ao Conjunto Soluo da Funo Proposicional.

Ex.: .0x:IRx2

Definio: Sejam A e B dois conjuntos, define-se a relao de incluso por:

.BxAx,xBA

Neste caso dizemos que A um subconjunto de B ou que A est contido em B.

Definio: Conjunto Universo o conjunto maximal definido pela relao de incluso, ou seja, o conjunto que contm todos

os outros. Assim,

UA,A .

Definio: Conjunto Vazio o conjunto minimal dado pela relao de incluso, ou seja, o conjunto que est contido em todos

os outros. Representa-se o conjunto vazio por . Assim,

A,A .

Em particular temos que:

xUx,x .

Ex.: Dado 3,2,1A ento .A3,2,1eA3,2,A1,A

Definio: Conjunto das Partes o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou seja,

AB:B:)A( Ex.

3,2,1,1,3,3,2,2,1,3,2,1,)A(3,2,1A

Obs.: Seja )C(n o nmero de elementos de um conjunto C, ento

.2:))A((n )A(n

Observe no exemplo acima que .8))A((ne3)A(n

Definio: Seja A um conjunto o seu Complementar definido por

Ax:xAC .

Definio: Sejam A e B dois conjuntos, ento

BxAx,xBA . Ou equivalentemente

ABBABA .

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Operaes entre conjuntos

Definio: Sejam A e B dois conjuntos, ento a Unio entre A e B um terceiro conjunto definido por:

BxAx:xBA .

Ex.

5,4,3,2,1BA5,4,3,2B

3,2,1A

Definio: Sejam A e B dois conjuntos, ento a Interseo entre A e B um terceiro conjunto definido por:

BxAx:xBA .

Ex.

3,2BA5,4,3,2B

3,2,1A

Teorema 1. Sejam A e B conjuntos quaisquer ento

.)BA(n)B(n)A(n)BA(n

Definio: Sejam A e B dois conjuntos, ento a Diferena entre A e B um terceiro conjunto definido por:

BxAx:xB\ABA .

Ex.

5,4A\Be1B\A5,4,3,2B

3,2,1A

Teorema 2. Sejam A e B conjuntos quaisquer ento

).B(n)A(n)BA(n

Definio: Sejam A e B dois conjuntos, ento a Diferena simtrica entre A e B um terceiro conjunto definido por:

ABBABA .

Ex.

.5,4,1BA5,4,3,2B

3,2,1A

Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, seguem as principais propriedades das operaes entre conjuntos.

1. Complementar do complementar

AA CC .

2. Comutatividade

ABBA .

ABBA .

3. Associatividade

C)BA(CBA . C)BA(CBA .

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4. Distributividade

CABACBA . CABACBA .

5. Complementar da unio e da interseo

CCC BABA .

CCC BABA .

6. Complementar de Sobconjuntos CC ABBA .

7. Diferena CBABA .

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EXERCCIOS

NVEL A

EFOMM

R1. (EFOMM 2010) Se X um conjunto com um nmero finito de elementos, n(X) representa o nmero de elementos do

conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades:

n(A B C) = 25, n(A C) = 13, n(B A) = 10,

n(A C) = n(C (A B)). O maior valor possvel de n(C) igual a

(A) 9

(B) 10

(C) 11

(D) 12

(E) 13

R2. (EFOMM 2010) Analise as afirmativas abaixo.

I - Seja K o conjunto dos quadrilteros planos, seus subconjuntos so:

P = {x K / x possui lados opostos paralelos};

L = {x K / x possui 4 lados congruentes};

R = {x K / x possui 4 ngulos retos}; e

Q = {x K / x possui 4 lados congruentes e 2 ngulos com medidas iguais}.

Logo, L R = L Q. II - Seja o conjunto A = {1,2,3,4}, nota-se que A possui somente 4 subconjuntos.

III- Observando as seguintes relaes entre conjuntos:

{a, b, c,d} U Z = {a, b, c, d, e},

{c,d} U Z = {a, c, d, e} e

{b, c, d} Z = {c}; pode-se concluir que Z = {a, c, e}. Em relao s afirmativas acima, assinale a opo correta.

(A) Apenas a afirmativa I verdadeira.

(B) Apenas as afirmativas I e III so verdadeiras.

(C) Apenas as afirmativas I e II so verdadeiras.

(D) Apenas a afirmativa III verdadeira.

(E) Apenas a afirmativa II verdadeira.

3. (EFOMM 2007) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natao, 260 musculao e 94 esto impossibilitados de fazer

esportes. Neste caso, o nmero de alunos que fazem s natao

(A) 116

(B) 142

(C) 166

(D) 176

(E) 194.

4. (EFOMM 2006) Sejam os conjuntos U = {1,2,3,4} e A = {1,2}. O conjunto B tal que BA = {1} e BA = U (A) 0

(B) {1}

(C) {1,2}

(D) {1,3,4}

(E) U.

AFA

5. (AFA 1998) Em um grupo de n cadetes da Aeronutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam

basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os trs esportes. Qual o valor de n, sabendo-se

que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?

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(A) 31

(B) 37

(C) 47

(D) 51.

R6. (AFA 1998) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o

helicptero ESQUILO e 50 no so pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO?

(A) 5

(B) 10

(C) 15

(D) 20.

7. (AFA 1995) Assinale a afirmao correta.

(A) A interseco de conjuntos infinitos pode ser finita.

(B) A interseco infinita de conjuntos no vazios vazia.

(C) A reunio infinita de conjuntos no vazios tem infinitos elementos.

(D) A interseco dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B.

8. (AFA 1995) Analisando-se uma amostra populacional, com relao altura, determinou-se:

- 95% tem altura maior ou igual a 1,62m;

- 8% tem altura menor ou igual a 1,62m.

Qual o percentual de indivduos com, exatamente, 1,62m?

(A) 3

(B) 5

(C) 8

(D) 13

ESCOLA NAVAL R9. (EN 2009) Os 36 melhores alunos do Colgio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questes para estabelecer a antiguidade

militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 s acertaram a primeira questo, 6 s acertaram a segunda, 7 s acertaram a terceira, 9

acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as

questes, podemos afirmar que o nmero de alunos que no acertaram todas as 3 questes igual a

(A) 6

(B) 8

(C) 26

(D) 30

(E) 32.

10. (EN 1989) Considere os conjuntos A={x} e B={x,{A}} e as proposies:

I - {A} B

II- {x} A

III- A B

IV- B A

V- {x , A} B As proposies FALSAS so:

(A) I , III e V

(B) II , IV e V

(C) II , III , IV e V

(D) I , III , IV e V

(E) I , III e IV

11. (EN 1991) Sejam A, B e C conjuntos. A condio necessria e suficiente para que A(BC) = (AB) C : (A) A = B = C

(B) AC =

(C) A C =

(D) A = (E) AC = B

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ITA R12. (ITA 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a,b,c, d,e, f , g, h}. Sabendo que (B

C A)C = {f, g, h}, BC

A = {a, b} e AC \B = {d, e}, ento, n(P( A B)) igual a (A) 0.

(B) 1.

(C) 2.

(D) 4.

(E) 8.

13. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmaes sobre o conjunto

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:

I. U e n(U) = 10.

II. U e n(U) = 10.

III. 5 U e {5} U.

IV. {0, 1, 2, 5} {5} = 5 Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s)

(A) apenas I e III.

(B) apenas II e IV.

(C) apenas II e III.

(D) apenas IV.

(E) todas as afirmaes.

NVEL B

ITA

R1. (ITA 2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que:

n(AB)= 23, n(BA)=12, n(CA)=10, n(B C)= 6 e n(A B C)= 4, ento n(A), n(A C)

, n(A B C), nesta ordem, (A) formam uma progresso aritmtica de razo 6.

(B) formam uma progresso aritmtica de razo 2.

(C) formam uma progresso aritmtica de razo 8, cujo primeiro termo 11.

(D) formam uma progresso aritmtica de razo 10, cujo ltimo termo 31.

(E) no formam uma progresso aritmtica.

R2. (ITA 2006) Seja U um conjunto no vazio com n elementos, n 1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade:

Se A, B S, ento A B ou B A ento, o nmero mximo de elementos que S pode ter : (A) 2

n- 1

(B) n/ 2, se n for par, e (n + 1)/ 2 se n for mpar

(C) n + 1

(D) 2n 1

(E) 2n 1

+ 1.

3. (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(AB) formam, nesta ordem, uma progresso aritmtica de razo r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A B) + r = 64, ento, n(A\B) igual a: (A) 12

(B) 17

(C) 20

(D) 22

(E) 24.

4. (ITA 2003) Sejam U um conjunto no-vazio e A U, B U. Usando apenas as definies de igualdade, reunio, interseco e complementar, prove que:

I. Se A B = , ento B AC.

II. B\AC = B A.

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R5. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Ento, o nmero

de elementos de P(B \ A) U P() igual a (A) 8.

(B) 16.

(C) 20.

(D) 17.

(E) 9.

6. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o nmero de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A B)= 8,n(AC)= 9, n(BC)= 10, n(ABC) = 11 e n (ABC) = 2. Ento, n(A) + n(B) + n(C) igual a

(A) 11

(B) 14

(C) 15

(D) 18

(E) 25.

IME 7. (IME 2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operao , definida por

X Y = (X Y) (Y X). Pode-se afirmar que

(A) (X Y) (X Y) =

(B) (X Y) (X Y) =

(C) (X Y) (Y X) =

(D) (X Y) (X Y) = X

(E) (X Y) (Y X) = X

NVEL C

ESCOLA NAVAL

R1. (EN 1988) Se 70% da populao gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock , quantos por cento da

populao, no mnimo, gostam de samba, choro, bolero e rock?

(A) 5%

(B) 10%

(C) 20%

(D) 45%

(E) 70%.

ITA

R2. (ITA 2011) Analise a existncia de conjuntos A e B, ambos no vazios, tais que (A\B) U (B\A) = A

3. (ITA 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e no vazios tais que A B e n ({C : C B \ A}) = 128. Ento, das afirmaes

abaixo:

I n(B) n(A) nico; II n(B) + n(A) 128; III a dupla ordenada (n(A), n(B)) nica.

(so) verdadeira(s)

(A) apenas I.

(B) apenas II.

(C) apenas III.

(D) apenas I e II.

(E) nenhuma.

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4. (ITA 2010) Considere as afirmaes abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:

I. A negao de x A B : x A ou x B.

II. A (B C) = (A B) (A C)

III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B)

Destas, (so) falsa(s)

(A) Apenas I

(B) apenas II

(C) apenas III

(D) apenas I e III

(E) apenas nenhuma.

5. (ITA 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, n(B\C) = 3n(B C) = 6n(A B),

n(A B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) uma progresso geomtrica de razo r > 0. a) Determine n(C)

b) Determine n(P(B\C)).

6. (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X Y ) Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z Y = , W (X

Z) = {7, 8}, X W Z = {2, 4}. Ento o conjunto

[X (Z W)] [W (Y Z)] igual a (A) {1, 2, 3, 4, 5}

(B) {1, 2, 3, 4, 7}

(C) {1, 3, 7, 8}

(D) {1, 3}

(E) {7, 8}.

7. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O nmero de subconjuntos de

A com um nmero de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B :

(A) 28 9.

(B) 28 1.

(C) 28 26.

(D) 214

28. (E) 2

8.

R8. (ITA 2006) Considere A um conjunto no vazio com um nmero finito de elementos. Dizemos que F = {A1,...,Am} P(A) uma partio de A se as seguintes condies so satisfeitas:

I. Ai , i = 1 ,... , m

II. AiAj = , se i j, para i, j = 1, ... , m III. A = A1 A2 Am Dizemos ainda que F uma partio de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine:

a) As ordens possveis para uma partio de A

b) O nmero de parties de A que tm ordem 2

9. (ITA 2004) Seja A um conjunto no-vazio.

a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m.

b) Denotando P1(A)=P(A) e P

k + 1(A) = = P(P

k(A)), para todo nmero natural k 1, determine o menor k, tal que n(Pk(A))

65000, sabendo que n(A) = 2.

NVEL C

IME R10. (IME 2010) Sejam os conjuntos P1, P2 , S1 e S2 tais que

(P2 S1) P1, (P1 S2) P2 E

(S1 S2) (P1 P2).

Demonstre que (S1 S2) (P1 P2).

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11. (IME 2011) Em relao teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C:

I. Se A B e B C ento A C.

II. Se A B e B C ento A C.

III. Se A B e B C ento A C. Esto corretas:

(A) nenhuma das alternativas

(B) somente a alternativa I

(C) somente as alternativas I e II

(D) somente as alternativas II e III

(E) todas as alternativas

12. (IME 2000) Trs jogadores, cada um com um dado, fizeram lanamentos simultneos. Essa operao foi repetida cinqenta

vezes. Os dados contm trs faces brancas e trs faces pretas. Dessas 50 vezes.

a) em 28 saiu uma face preta para o jogador I;

b) em 25 saiu uma face branca para o jogador II;

c) em 27 saiu uma face branca para o jogador III;

d) em 8 saram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II;

e) em 7 saram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I;

f) em 4 saram faces pretas para os trs jogadores;

g) em 11 saram faces pretas para os jogadores II e III.

Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador.

R13. (IME 1986-1987) Dados dois conjuntos A e B, define-se

A B (A B) (B A) .

Prove que dados trs conjuntos arbitrrios X, Y e Z

X (Y Z) (X Y) (X Z).

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CAPTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO

Definio: Sejam IRB,A , o produto cartesiano entre A e B definido por:

BxAx:y,xBA .

O Plano Cartesiano obtido pelo produto cartesiano da reta por ela mesma, ou seja,

IRyIRx:y,xIRIRIR 2 .

A representao grfica do plano cartesiano dada por um par de eixos perpendicurales, chamados eixos coordenados, cujo

ponto em comum chamado de origem do plano cartesiano.

O eixo horizontal chamado eixo das abscissas e seus pontos so representados por IRx,0,x . Quando 0x o ponto localiza-se direita da origem, caso contrrio esquerda,.

O eixo vertical chamado eixo das ordenadas e seus pontos so representados por IRy,y,0 . Quando 0y o ponto localiza-se acima da origem, caso contrrio abaixo.

Assim a origem o ponto de coordenadas 0,0 .

Os pontos no pertencentes a nenhum dos eixos sero representados por 0\IRy,x,y,x , onde os valores de x e y so obtidos pelas coordenadas dos pontos de interseo das perpendiculares traadas pelo ponto y,x aos eixos coordenados.

Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regies disjuntas chamadas quadrantes, desta forma

define-se:

Quadrante4y,x0ye0x

Quadrante3y,x0ye0x

Quadrante2y,x0ye0x

Quadrante1y,x0ye0x

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As retas xyexy so chamadas respectivamente de bissetrizes dos quadrantes mpares e pares.

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EXERCCIOS

NVEL C

ITA

R1. (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos no vazios de R. Considere as afirmaes:

I- Se (E x G) (F x H), ento E F e G H.

II- Se (E x G) (F x H), ento (E x G) (F x H) = F x H.

III- Se (E x G) (F x H) = F x H, ento (E x G) (F x H) Ento:

(A) Apenas a afirmao (I) verdadeira

(B) Apenas a afirmaes (II) verdadeira

(C) Apenas as afirmaes (II) e (III) so verdadeiras

(D) Apenas as afirmaes (I) e (II) so verdadeiras

(E) Todas as afirmaes so verdadeiras.

2. (ITA 1989) Sejam A, B e C subconjuntos de IR , no vazios, e AB = {p IR; p A e p B}. Dadas as igualdades: 1-(AB)xC = (AxC) (BxC) 2-(AB)xC = (AxB) (BxC)

3-(A B)A (A B) B

4-A(BC) = (AB) (AC)

5-(AB)(BC) = (AB)(AB) Podemos garantir que:

(A) 2 e 4 so verdadeiras.

(B) 1 e 5 so verdadeiras.

(C) 3 e 4 so verdadeiras.

(D) 1 e 4 so verdadeiras.

(E)1 e 3 so verdadeiras.

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CAPTULO 4 - RELAO

Definio: Sejam IRB,A , uma Relao R de A em B um subconjunto qualquer de BA .

Em particular, uma Relao R de IR em IR um subconjunto qualquer de 2IR .

Assim, a regio abaixo um exemplo de um grfico de uma relao de IR em IR.

Definio: O Domnio e a Imagem de uma relao R de A em B so definidos por:

Ry,x:xD R . Ry,x:yIm R .

Definio: Seja R uma Relao de A em B, a Relao Inversa 1R de B em A definida por:

Ry,x:x,yR 1 .

Em particular, o grfico de um relao e da sua relao inversa so simtricos em relao a bissetriz dos quadrantes mpares.

Definio: Uma Relao de A em B dita Reflexiva se e somente, se:

Rx,x,Ax .

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Definio: Uma Relao de A em B dita Simtrica se e somente, se:

Rx,yRy,x .

Definio: Uma Relao de A em B dita Antissimtrica se e somente, se:

x,yy,xRx,yRy,x .

Definio: Uma Relao de A em B dita Transitiva se e somente, se:

Rz,xRz,y

Ry,x

.

Definio: Uma Relao de A em B dita de Equivalncia se e somente, se uma Relao Reflexiva, Simtrica e Transitiva.

Definio: Uma Relao de A em B dita uma Relao de Ordem se e somente, se uma Relao Reflexiva, Antissimtrica e

Transitiva.

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EXERCCIOS

NVEL A

EFOMM

R1. (EFOMM 2006) Dados A = {2,3,4} e B = {1,6,8,12}, a relao R1 = {(x,y) A x B y = x + 4} de A em B dada por: (A) {(3,6), (4,8)}

(B) {(2,6), (4,8)}

(C) {(6,2), (8,4)}

(D) {(2,6), (3,12), (4,8)}

(E) {(2,1), (3,6), (4,8)}

NVEL C

IME

R1. (IME 1986) Seja N* o conjunto dos nmeros naturais no nulos e n N*. Mostre que a relao Rn = {((a, b) a, b N* e a

b mltiplo de n } uma relao de equivalncia.

R2. (IME 1984) Dada a matriz M = (mij )

M =

1111

1101

1010

1101

e o conjunto A = {a1; a2; a3; a4}, define-se em A uma relao R por:

ai R aj m i j = 1 Verifique se R uma relao de equivalncia.

3. (IME 1983) Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relao m por

Rm = {(i; j) i = j + km; k inteiro}.

Mostre que m uma relao de equivalncia.

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CAPTULO 5 - CONJUNTOS NUMRICOS

OPERAO

Uma operao definida em um conjunto uma relao que associa a dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou

seja,

212121 a*a:a,a*a,aBAA:*

Quando o resultado da operao for um elemento de A, a operao dita fechada, assim,

212121 a*a:a,a*a,aAAA:*

uma operao fechada.

CONJUNTOS NUMRICOS

1-Nmeros Naturais:

.....,3,2,1,0IN .

....,3,2,1IN* .

A soma e a multiplicao de dois nmeros naturais so exemplos de operaes fechadas neste conjunto, logo:

ba:b,ab,aINININ:

e

ba:b,ab,aINININ:

Em particular, a soma e a multiplicao gozam das seguintes propriedades:

INceb,a , temos:

1.1-Associatividade (Adio):

cbacba .

1.2- Comutatividade (Adio):

abba .

1.3- Existncia de elemento neutro (Adio):

INa,aaeea:INe sss .

Em relao aos nmeros naturais o elemento neutro da adio o nmero zero.

1.4- Associatividade (Multiplicao):

cbacba .

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1.5- Comutatividade (Multiplicao):

abba .

1.6 - Existncia de elemento neutro (Multiplicao):

INa,aaeea:INe ppp .

Em relao aos nmeros naturais, o elemento neutro da multiplicao o nmero um.

1.7- Distributividade da multiplicao em relao adio:

cabacba .

1.8- No existem divisores de zeros:

0b

ou

0a

0ba:INb,a .

2-Nmeros Inteiros:

....,2,1,0,1,2...,Z .

...,2,1,1,2...,Z* .

Repare que ZIN , porm existem nmeros inteiros que no so nmeros naturais, cuja necessidade se percebe

quando se tenta resolver, por exemplo, a seguinte sentena:

.02x

De fato, suponha que haja soluo natural, ento,

.INx022x0xINx

Definindo a soma e a multiplicao de maneira natural, defini-se a operao de subtrao por:

).b(aba:b,ab,aZZZ:

As operaes de adio, subtrao e multiplicao so fechadas em relao ao conjunto dos nmeros inteiros, alm

disso, estas operaes gozam das mesmas propriedades dos nmeros naturais e da seguinte:

2.1- Inverso aditivo:

ab,0abba:Zb,Za .

3-Nmeros Racionais:

*ZqZp:q

pQ .

*** ZqZp:q

pQ .

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Repare que QZIN , porm existem nmeros racionais que no so nmeros inteiros, cuja necessidade

percebida quando se tenta resolver a seguinte sentena:

.01x2

De fato, suponha por absurdo que haja soluo inteira, ento,

.Zximpar1x2Zx

Definindo a soma, a multiplicao e a subtrao de maneira natural, define-se a operao de diviso por:

.b

a

b

1aba:b,ab,a

QQQ: *

O conjunto dos nmeros racionais fechado em relao adio, subtrao, multiplicao e diviso, sempre que definida, e

goza das mesmas propriedades dos nmeros inteiros e da seguinte:

3.1- Inverso Multiplicativo:

1* ab,1abba:Qb,Qa .

4-Nmeros Reais:

A esta altura o leitor pode se perguntar se todo nmero pode ser escrito sob a forma de frao, a resposta para esta pergunta no.

Existe a necessidade de outros tipos de nmeros, isto percebido, por exemplo, quando se tenta resolver a equao:

2x2 .

De fato, suponha que a soluo desta equao seja um nmero racional, dito isto, sabemos que x pode ser escrito como a razo de

dois nmeros inteiros, sejam p e q inteiros com q no nulo e tais que:

1)q,p(mdc,ZqeZp,q

px *

Ento

.p2p:Zpp|2p|2q2p2q

p2x 00

222

2

2

Logo,

0022

0222

0 q2q:Zqq|2q|2p2qq2p2 O que implica

.2)q,p(mdc

O que um absurdo uma vez que por hiptese p e q so primos entre si.

Logo h a necessidade que existam nmeros que no podem ser escritos como a razo de dois nmeros inteiros. Estes nmeros

sero chamados de nmeros Irracionais.

Define-se o conjunto dos nmeros reais como a unio do conjunto dos nmeros racionais e dos nmeros irracionais.

Geometricamente os nmeros reais IR podem ser representados pela reta, o que define uma bijeo entre estes conjuntos, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um nico nmero real da mesma forma que a cada nmero real corresponde um nico

ponto da reta.

Esta bijeo est definida a menos de um ponto fixo chamado origem que representa o nmero zero e de uma escala que define o

sistema de unidade, em particular, esta escala tambm define os nmeros naturais e os nmeros inteiros.

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Os nmeros racionais podem ser obtidos construindo-se primeiramente os racionais positivos menores que um, a partir de

construes geomtricas, depois estes so levados a toda a reta a partir de translaes.

Diante do que foi dito acima temos que IRQZIN .

O conjunto dos nmeros reais fechado em relao s quatros operaes fundamentais: adio, subtrao, multiplicao e

diviso, esta ltima estando definida. Alm disso, o conjunto dos nmeros reais goza das mesmas propriedades relativas a adio

e multiplicao que os nmeros racionais.

O conjunto dos nmeros reais munido das operaes soma e produto chamado de corpo dos nmeros reais.

4.1-Intervalos:

bxa:IRxb,a

bxa:IRxb,a

bxa:IRxb,a

bxa:IRxb,a

xa:IRx,a

xa:IRx,a

ax:IRxa,

ax:IRxa,

Definem-se tambm os seguintes conjuntos:

Inteiros Positivos:

...,3,2,1Z* .

Inteiros no-negativos:

...,3,2,1,0Z .

Inteiros negativos:

1,2,3...,Z* .

Inteiros no-positivos:

0,1,2,3....,Z .

Racionais Positivos:

0q

p:Q

q

pQ* .

Racionais no-negativos:

0q

p:Q

q

pQ

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Racionais negativos:

0q

p:Q

q

pQ* .

Racionais no-positivos:

0q

p:Q

q

pQ .

Reais Positivos:

0x:IRxIR* .

Reais no-negativos:

0x:IRxIR .

Reais negativos:

0x:IRxIR* .

Reais no-positivos:

0x:IRxIR .

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EXERCCIOS

NVEL A

AFA

R1. (AFA 2011) Se = 2. 2 2. 2 2 2 . 2 2 2 , ento

(A) (IR IN)

(B) pode ser escrito na forma = 2k, k Z

(C) [(Q Z) (IR Q)] (D) [(Z Q) (IR IN)]

2. (AFA 2008) Analise as alternativas abaixo e marque a correta.

(A) Se = B {m N | m < 40}, ento o nmero de elementos do conjunto B 6.

(B) Se = 1 1

2 1 2 1

, ento [(IR Q) (IR Z)]

(C) Se c = a + b e b divisor de a, ento c mltiplo de a, necessariamente.

(D) Se A =]1, 5[ e B =]3,3[, ento BA=]3,1[.

R3. (AFA 2005) Considere um subconjunto A contido em *N e constitudo por y elementos dos quais:

13 so mltiplos de 4

7 so mltiplos de 10

5 so mltiplos de 20 e

9 so nmeros mpares.

correto dizer que y um nmero:

(A) par menor que 19.

(B) mltiplo de 12.

(C) mpar entre 10 e 20.

(D) primo maior que 21.

ESCOLA NAVAL

R4. (EN 1993) Sejam A = [0,2], B = (1,2] e C = (1,3). O complemento de A(BC) em relao ao conjunto B igual a:

(A) (1,0) [1,2] (B) (1,2)

(C) (1,0] [1,2] (D) (1,1]

(E) (1,0) (1,2]

NVEL B

ITA

R1. (ITA 2004) Seja o conjunto S = {r Q : r 0 e r2 2}, sobre o qual so feitas as seguintes afirmaes:

I. S5

7eS

4

5

II. {x IR : 0 x 2 } S =

III. 2 S.

Pode-se dizer, ento, que (so) verdadeira(s) apenas

(A) I e II

(B) I e III

(C) II e III

(D) I

(E) II

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NVEL C

ITA

1. (ITA 2012) Sejam r1, r2 e r3 nmeros reais tais que r1r2 e r1+r2+r3 so racionais. Das afirmaes: I. Se r1 racional ou r2 racional, ento r3 racional;

II. Se r3 racional, ento r1 + r2 racional;

III. Se r3 racional, ento r1 e r2 so racionais,

(so) sempre verdadeira(s)

(A) apenas I.

(B) apenas II.

(C) apenas III.

(D) apenas I e II.

(E) I, II e III.

IME

2. (IME 1993) Indique se verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta.

a) O conjunto dos nmeros reais no tem pontos extremos reais;

b) Existe um nmero em Q (racionais) cujo quadrado 2;

c) O ponto correspondente a 77

66 na escala dos nmeros reais R est situado entre os pontos

66

55 e

88

77.

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CAPTULO 6 - FUNO

Definio: Sejam IRB,A , uma Funo de A em B uma Relao de A em B tal que a cada elemento de A associado um

nico elemento de B. Representa-se uma Funo de A em B por:

xfxBA:f

O grfico de uma Funo de A em B a representao dos pontos da funo no plano cartesiano, em particular:

BAAx:xf,xGf

Em seguida o grfico de uma funo e o grfico de uma relao.

De fato, existem pontos no domnio da circunferncia tais que a reta perpendicular ao eixo das abscissas intercepta o seu grfico

em mais de um ponto.

O Domnio e o Contradomnio e a Imagem de uma Funo de A em B, so definidos por:

yxf,Ax:ByAfImBCD

AD

f

f

f

.

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Classificao de Funes:

Funo Injetora:

Uma funo injetora se e somente, se quaisquer dois elementos distintos do seu domnio possurem imagens distintas, ou seja,

.xfxfxx:Ax,xinjetoraf 212121

O grfico abaixo um exemplo de grfico de funo injetora.

J o prximo no um exemplo de grfico de funo injetora, uma vez que existe ponto na imagem tal que a reta perpendicular ao

eixo das ordenadas intercepta o grfico da funo em mais de um ponto.

Funo Sobrejetora:

Diremos que uma funo sobrejetora se e somente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomnio, ou seja,

ff CDImasobrejetorf

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Seja

d,cb,a:f

dependendo do conjunto imagem f pode ser uma funo sobrejetora,

Ou no:

No segundo caso existem pontos no contradomnio tais que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas por estes pontos no

intercepta o grfico da funo.

Funo Bijetora:

Diremos que uma funo bijetora se e somente se for injetora e sobrejetora, ou seja,

aSobrejetoreInjetorafBijetoraf

Em seguida o grfico de uma funo bijetora.

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Classificao de Funes quanto ao crescimento:

Funo Crescente:

Seja BA:f

212121 xfxfxx,Ax,xcrescentef

Funo Decrescente:

Seja BA:f

212121 xfxfxx,Ax,xedecrescentf

Obs.: Estas funes tambm podem ser chamadas de funes estritamente crescentes ou estritamente decrescentes.

Obs.: Toda funo crescente ou decrescente injetora.

Funo no Crescente:

212121 xfxfxx,Ax,xcrescentenof

Funo no Decrescente:

212121 xfxfxx,Ax,xedecrescentnof

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Funo Montona:

crescentedenof

ou

crescentenof

ou

crescentedef

ou

crescentef

montonaf

Classificao de Funes quanto Paridade:

Funo Par:

Seja BA:f

xfxf,Axparf

Obs.: O grfico de uma funo par simtrico em relao aos eixos das ordenadas.

Funo mpar:

Seja BA:f

xfxf,Axmparf

Obs.: O grfico de uma funo mpar simtrico em relao a origem do sistema de coordenadas.

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Classificao de Funes quanto Periodicidade:

Funo Peridica:

Seja BA:f

xfTxf,Ax:0Tperidicaf

O Perodo de uma funo peridica definido por:

Ax,xfTxf,IRT:TmnP *

Em seguida o grfico de uma funo peridica:

Obs.: Existem funes peridicas que no possuem perodo, por exemplo, as funes constantes,

b)x(fx

BA:f

Funo Composta:

Sejam BA:f , DC:g funes, e os conjuntos B e C tais que, CB , define-se A Funo Composta de f por g por:

))x(f(g)x(fg:yx

DA:fg

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Funo Inversa:

Uma vez que uma funo BA:f uma relao, sempre existe a sua relao inversa AB:R f . O Teorema seguinte d

condies para que a relao inversa de uma funo tambm seja uma funo.

Teorema: Seja BA:f uma funo, ento:

funoAB:Rbijetoraf1

f

Se BA:f uma Funo Bijetora, ento a Relao Inversa de B em A uma funo e chamada de Funo

Inversa de B em A AB:f1 . Em particular,

A11

B11

idffAx,xxff

idffBy,yyff

Onde idA a funo identidade restrita ao conjunto A.

Obs.: Caso IRIR:f ento

idffff 11

Ou seja,

IRx,x)x(ff)x(ff 11

Teorema: O grfico de uma funo bijetora e o grfico da sua funo inversa so simtricos em relao bissetriz dos quadrantes

mpares, ou seja, a reta xy .

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EXERCCIOS

NVEL A

AFA

1. (AFA 2009) Um estudo sobre a concentrao de um candidato em provas de memorizao indicou que, com o tempo

decorrido, sua capacidade de reao diminui.

A capacidade de reao (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em horas, podem ser expressos pela relao E =

3

1t

1t2

.

Sendo assim, INCORRETO afirmar que

(A) a concentrao tende a ser mxima por volta de 20 minutos do incio da prova.

(B) a cada intervalo de 1h de prova h uma queda de 33, 3 % na capacidade de reao.

(C) a capacidade de reao nunca menor que 2

(D) se a capacidade de reao 24, ento o tempo t decorrido maior que 24 minutos.

R2. (AFA 2005) Observe os grficos abaixo, das funes f e g, definidas no intervalo ]1,0[

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Com base nos grficos, assinale a alternativa FALSA.

(A) ]1,0[x,))x(f(g))4,0(f(g .

(B) ))1(f(g))6,0(f(g .

(C) ))1,0(f(g))05,0(f(g .

(D) ]8,0;3,0[x,x))x(g(g .

R3. (AFA 2001) Se f e g so funes de IRemIR definidas por f(3x+2) = 2

2x3 e g(x 3) = 5x 2, ento f(g(x)) ;e:

(A)5

4x

(B) 5x 9

2

(C) 5x + 13

(D) 5

11x5 .

4. (AFA 2001) Os nmeros inteiros do domnio da funo real )x32()x25()x(f so as razes da equao 0)x(g .

Uma expresso analtica da funo )x(g :

(A) x2xx 23

(B) x2xx 23

(C) x2x3x23

(D) x2x3x23 .

R5. (AFA 1999) Seja D = 5,4,3,2,1 e f: D R, a funo definida por f(x) = (x 2)(x 4). Ento, pode-se afirmar que f (A) bijetora. (B) somente injetora. (C) somente sobrejetora. (D) possui conjunto imagem com 3 elementos.

ESCOLA NAVAL

R6. (EN 2011) Considere f uma funo definida no conjunto dos nmeros naturais tal que f(n + 2) = 3 + f(n), n N, f(0) =

10 e f(1) = 5. Qual o valor de f (81) f (70) ?

(A) 2 2

(B) 10

(C)2 3

(D) 15

(E) 3 2

R7. (EN 1993) Sejam h(x) = x3, t(x) =

x1

1

, x 1 e, f(x) = t(h(2x)). O valor de f-1(1/9) :

(A) 2 (B) 1 (C) 1

(D) 2

(E) 3

8. (EN 1990) Se, para todo x real, f(2x + 3) = 3x + 2 ento f [f(x)] igual a:

(A) x

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(B) 2

3x

(C) 2

5x3

(D) 4

25x9

(E) 9x + 4

9. (EN 1989) Sabendo que f , g e h so funes reais de varivel real e que f e g no se anulam, considere as afirmaes abaixo :

I - fo (g + h) = fog + foh

II - (g + h) of = gof + hof

III - ogf

1

fog

1

IV -

g

1fo

fog

1

Podemos afirmar que:

(A) todas as afirmativas acima so verdadeiras.

(B) somente I a II so verdadeiras

(C) somente a IV falsa

(D) somente II e III so verdadeiras.

(E) somente I falsa.

R10. (EN 1988) Seja x {-1, 0, 1}. Se f1 (x) = 1x

3x

e fn+1 (x) = f1 nf (x) para todo n natural, ento f1988(x) igual a:

(A) 1x

3x

(B) x

(C) x1

3x

(D) 1x

x3

(E) 1x

3x

.

NVEL B

ITA

R1. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmaes:

I. {0} S e S U

II. {2} S\ U e S T U = {0, 1}

III. Existe uma funo f : S Tinjetiva. IV. Nenhuma funo g : T S sobrejetiva. Ento, (so) verdadeira(s)

(A) apenas I.

(B) apenas IV.

(C) apenas I e IV.

(D) apenas II e III.

(E) apenas III e IV.

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IME

R2 (IME 2007) Seja f : IR IR, onde IR o conjunto dos nmeros reais, tal que:

)4(f.)x(f)4x(f

5)4(f

O valor de f(4) :

(A) 5

4

(B) 4

1

(C) 5

1

(D) 5

1

(E) 5

4.

R3. (IME 2006-2007) Considere os conjuntos A={(1,2),(1,3),(2,3)} e B={1,2,3,4,5}, e seja a funo f : A B tal que: f(x,y) = x + y

possvel afirmar que f uma funo:

(A) injetora

(B) sobrejetora

(C) bijetora

(D) par

(E) mpar.

NVEL C

EFOMM

R1. (EFOMM 2009_2010) Seja f: R R uma funo estritamente decrescente, quaisquer xl e x2 reais, com xl < x2 tem-se f(xl) > f(x2) Nessas condies, analise as afirmativas abaixo.

I - f injetora .

II - f pode ser uma funo par.

III- Se f possui inversa, ento sua inversa estritamente decrescente.

Assinale a opo correta.

(A) Apenas as afirmativas I verdadeira.

(B) Apenas as afirmativas I e III so verdadeiras.

(C) Apenas as afirmativas II e III so verdadeiras.

(D) As afirmativas I, II e III so verdadeiras.

(E) Apenas a afirmativa II verdadeira.

ITA

R2. (ITA 2005) Seja D = R \ {1} e f : D D uma funo dada por f(x) = 1x

1x

. Considere as afirmaes:

I. f injetiva e sobrejetiva

II. f injetiva, mas no sobrejetiva

III. f(x) + f

x

1 = 0,para todo x D, x 0

IV. f(x) . f(x) 1 , para todo x D Ento, so verdadeiras

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(A) apenas I e III.

(B) apenas I e IV.

(C) apenas II e III.

(D) apenas I, III e IV.

(E) apenas II, III e IV.

R3. (ITA 2003) Considere uma funo f : IR IR no- constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y), x, y IR. Das afirmaes:

I. f(x) > 0, x IR.

II. f(nx) = [f(x)]n, x IR, n IN*.

III. f par.

(so) verdadeira(s):

(A) apenas I e II.

(B) apenas II e III.

(C) apenas I e III.

(D) todas.

(E) nenhuma.

4. (ITA 2003) Mostre que toda funo f : IR \ {0} IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domnio, par.

5. (ITA 2002) Sejam a, b, c reais no nulos e distintos, c > 0. Sendo par a funo dada por:

f(x) = cx

bax

, c < x < c.

Ento f(x), para c < x < c, constante e igual a (A) a + b.

(B) a + c.

(C) c.

(D) b.

(E) a.

R6. (ITA 2010) Seja f : IR IR bijetora e mpar. Mostre que a funo inversa f 1 : IR IR tambm mpar.

7. (ITA 2010) Sejam f, g : R R tais que f par e g mpar. Das seguintes afirmaes I. f . g mpar,

II. f g par,

III. g f mpar,

(so) verdadeira(s)

(A) apenas I

(B) apenas II

(C) apenas III

(D) apenas I e II

(E) todas.

8. (ITA 2009) Seja f: IR IR \ {0} uma funo satisfazendo s condies:

f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y IR e f(x) 1, para todo x IR \ {0}. Das afirmaes:

I. f pode ser mpar.

II. f (0) =1.

III. f injetiva.

IV. f no sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x IR. (so) falsa(s) apenas

(A) I e III.

(B) II e III.

(C) I e IV.

(D) IV.

(E) I.

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9. (ITA 2009) Seja f : IR \ {1} IR definida por f(x) = 1x

3x2

a) Mostre que f injetora.

b) Determine D= {f(x), x IR \ {1}} e f 1 : D IR\ {1}.

R10. (ITA 2001) Se f : ] 0,1 [ IR tal que, x ] 0, 1[ , 2

1)x(f e

f(x) =

2

1xf

2

xf

4

1

ento a desigualdade vlida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 :

(A)2

1

2

1)x(f

n

(B)2

1)x(f

2

1n

(C)2

1)x(f

12

1n

(D)n2

1)x(f

(E)n2

1)x(f .

11. (ITA 1999) Sejam f, g, h: R R funes tais que a funo composta

h o g o f : R R

a funo identidade. Considere as afirmaes:

I A funo h sobrejetora. II Se xo R tal que f(x0) = 0, ento f(x) 0 para todo x R com x x0. III A equao h(x) = 0 tem soluo em R. Ento:

(A) Apenas a afirmao (I) verdadeira.

(B) Apenas a afirmao (II) verdadeira.

(C) Apenas a afirmao (III) verdadeira.

(D) Todas as afirmaes so verdadeiras.

(E) Todas as afirmaes so falsas.

12. (ITA 1997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos nmeros racionais e o conjunto dos nmeros irracionais,

considere as funes f , g : R R definidas por:

I x se 0,

Q x se ,1)x(g

I x se 1,

Q x se ,0)x(f

Seja J a imagem da funo composta f o g: R R. Podemos afirmar que:

(A) J = R

(B) J = Q

(C) J = {0}

(D) J = {1}

(E) J = {0, 1}.

R13. (ITA 1997) Seja f, g : R R funes tais que g(x) = 1 x e f(x) + 2f(2 x) = (x 1)3, para todo x R. Ento f[g(x)] igual a

(A) (x 1)3 (B) (1 x)3 (C) x

3

(D) x

(E) 2 x.

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14. (ITA 1996) Seja f : *R R uma funo injetora tal que f (1) = 0 e f (x . y) = f (x) + f (y) para todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2,

x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progresso geomtrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que

5

1ii )x(f = 13 f (2)

+ 2 f (x1) e 4

i

i 1 i 1

xf( )x

= 2 f (2 x1), ento, o valor de x1 :

(A) 2 (B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 1.

15. (ITA 1993) Seja f: IR IR uma funo no nula, mpar e peridica de perodo p. Considere as seguintes informaes: I. f(p) 0

II. f(x) = f(xp), x IR

III. f(x) = f(xp), x IR

IV. f(x) = f(x), x IR Podemos concluir que:

(A) I e II so falsas

(B) I e III so falsas

(C) II e III so falsas

(D) I e IV so falsas

(E) II e IV so falsas

R16. (ITA 1992) Dadas as funes f:IR IR e g: IR IR, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog. Ento podemos afirmar que:

(A) h estritamente crescente, inversvel e sua inversa estritamente crescente.

(B) h estritamente decrescente, inversvel e sua inversa estritamente crescente.

(C) h estritamente crescente, mas no necessariamente inversvel.

(D) h estritamente crescente, inversvel e sua inversa estritamente decrescente.

(E) n.d.a

17. (ITA 1991) Considere as afirmaes:

I- Se f: IR IR uma funo par e g: IR IR uma funo qualquer, ento a composio gof uma funo par. II- Se f: IR IR uma funo par e g: IR IR uma funo mpar, ento a composio fog uma funo par. III- Se f: IR IR uma funo mpar e inversvel ento f -1: IR IR uma funo mpar. Ento:

(A) Apenas a afirmao I falsa;

(B) Apenas as afirmaes I e II so falsas;

(C) Apenas a afirmao III verdadeira;

(D) Todas as afirmaes so falsas;

(E) n.d.a.

18. (ITA 1990) Seja a funo f: IR {2} IR {3} definida por f(x) = 12x

3x2

. Sobre sua inversa podemos garantir que:

(A) no est definida pois f no injetora.

(B) no est definida pois f no sobrejetora.

(C) est definida por f-1

(y) = 3y

2y

, y 3.

(D) est definida por f-1

(y) = 3y

5y

1, y 3.

(E) est definida por f-1

(y) = 3y

5y2

, y 3.

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IME

(19) (IME 2011_2012) Seja a, b e c nmeros reais e distintos. Ao simplificar a funo real, de varivel real,

2 2 2(x b) (x c) (x c) (x a) (x a) (x b)f (x) a b c

(a b) (a c) (b c)(c a) (c a)(c b)

, obtm se f(x) igual a :

(A) x2 (a + b + c)x + abc

(B) x2 + x abc

(C) x2

(D) x2 (E) x

2 x + abc

20. (IME 2009) Sejam f uma funo bijetora de uma varivel real, definida para todo conjunto dos nmeros reais e as relaes h

e g, definidas por:

2 2

3

h : IR IR

x, y h x, y x , x f y

e

2 2

3

g : IR IR

x, y g x, y x , x f y

Pode-se afirmar que

(A) h e g so sobrejetoras.

(B) h injetora e g sobrejetora.

(C) h e g no so bijetoras.

(D) h e g no so sobrejetoras.

(E) h no injetora e g bijetora.

R21. (IME 2004) Seja uma funo

f : IR {0} IR, onde IR representa o conjunto dos nmeros reais, tal que f(a / b) = f(a) f(b) para a e b pertencentes ao domnio de f. Demonstre que f uma funo par.

R22. (IME 2007) Seja IRIN:f uma funo tal que

n

0k)2n(

)1n(2008)k(f , onde N e IR so, respectivamente, o conjunto

dos nmeros naturais e o dos nmeros reais. Determine o valor numrico de

)2006(

1

f.

R23. (IME 1996) Seja f uma funo real tal que x, a IR : f(x + a) = 2

1 + 2)]x(f[)x(f , f peridica? Justifique.

24. (IME 1992-1993) 2. Considere uma funo

L:IR IR

que satisfaz:

1. L crescente, isto , para quaisquer 0 x y L x L y .

2. L xy L x L x , x, y IR . Mostre que:

a) L 1 0 ;

b) 1

L L x , x IRx

;

c) x

L L x L y , x e y IRy

;

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d) nL x nL x , x IR e n IN ;

e) n 1L x L x , x IR e n IN,n 2n

;

f) 0 x 1 y L x 0 L y L.

R25. (IME 1987) Seja f uma funo bijetora de uma varivel real e a relao h, definida por

2 2

3

h :IR IR

x, y h x, y x , x f y

Verifique se h bijetora e calcule uma relao g, tal que

g h x, y x, y , x, y IR

h g x, y x, y , x, y IR

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CAPTULO 7 - FUNO CONSTANTE

Definio: Seja IRb , a relao:

,b)x(fx

IRIR:f

uma funo, chamada funo constante.

Definida a funo temos

.bImIRCD

IRD

f

f

f

Grfico:

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CAPTULO 8 - FUNO DO 1 GRAU

Definio: Sejam IRbeIRa* , a relao:

,bxa)x(fx

IRIR:f

uma funo, chamada Funo do 1 Grau ou Funo Afim, denomina-se o parmetro a por coeficiente angular e o parmetro

b por coeficiente linear. Definida assim temos:

.IRIm

IRCD

IRD

f

f

f

Grfico:

O grfico de uma funo do 1 grau uma reta. Para fazer um esboo do seu grfico fundamental que se determine a sua raiz,

bem como seu comportamento.

A raiz de uma funo o valor de x tal que 0)x(f , em particular, a raiz de uma funo do 1 grau obtida resolvendo-se a

equao do 1 grau associada.

Ou seja,

.a

bxbax0a,0bax0)x(f .

O prximo passo determinar o comportamento da funo do 1 Grau, que dado pelo coeficiente angular.

Se 0a ento a funo do 1 Grau crescente.

De fato

.xx

xaxa

bxabxa

)x(f)x(f

21

21

21

21

Analogamente se 0a a Funo do 1 Grau decrescente.

Resumindo:

O grfico de uma funo do 1 grau tem em comum com o eixo das abscissas o ponto de coordenadas )0,a

b( e com o eixo das

ordenadas o ponto de coordenadas )b,0( e o seu comportamento dado pelo sinal do coeficiente angular, caso este seja positivo a

funo ser crescente, caso contrrio, ser decrescente.

Em particular a funo do 1 grau sobrejetora, pois, ff ImCD e injetora, pois,

.0a,xx

xaxa

bxabxa

)x(f)x(f

21

21

21

21

A seguir seguem os esboos do grfico de uma funo do 1 grau, nos diferentes casos.

Pgina | 50

1 Caso: a < 0 e b > 0

2Caso: a < 0 e b < 0

3 Caso: a > 0 e b < 0

4Caso: a > 0 e b > 0

Pgina | 51

Analisando os grficos acima conclumos que o sinal da funo do 1 grau obtido de acordo com o sinal do coeficiente

angular, ou seja, com o sinal de a.

Resumindo:

direita da raiz a funo do 1 grau tem o mesmo sinal do coeficiente angular.

Obs.: Se 0b a funo do 1 grau pode ser chamada de funo linear, neste caso o grfico contm a origem do plano

cartesiano.

Obs.: Nem toda relao cujo grfico uma reta uma funo do 1 grau, em particular podemos ter uma funo constante

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b)x(fx

IRIR:f

Ou simplesmente uma relao

IRy:)y,c(:R

EQUAO DO 1 GRAU

Definio: Sejam*a IR , b IR , a equao do 1 grau de coeficientes a e b uma sentena aberta equivalente :

a x b 0.

Discusso de equaes do tipo ax b 0 :

Seja 0bax onde IRb,a , ento:

Se 0a a equao 0bax uma equao do 1 grau, neste caso a equao classificada como possvel e determinada e

a

bS .

0a A equao 0bax se reduz :

x

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0bx0

Assim temos dois casos a analisar 0be0b .

Se 0be0a a equao se reduz a

00x0

Assim IRS j que todo nmero real soluo, neste caso a equao classificada como possvel e indeterminada.

Se 0be0a a equao se reduz a 0bx0 e neste caso S j que nenhum nmero real soluo, neste caso a equao classificada como impossvel.

Resumindo:

possvelImEquao0be0a

adaminerdetinePossvelEquao0be0a

adaminerdetePossvelEquao0a

INEQUAO DO 1 GRAU

Definio Sejam*a IR , b IR , uma inequao do 1 grau de coeficientes a e b uma sentena aberta equivalente a

a x b 0

ou

a x b 0

ou

a x b 0

ou

a x b 0

A soluo de uma inequao do 1 grau pode ser obtida pela analise do grfico da funo do 1 grau correspondente.

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EXERCCIOS

NVEL A

AFA

R1. (AFA 2012) Para angariar fundos de formatura, os cadetes do 1 ano da AFA vendem camisas de malha com o emblema da

turma. Se o preo de venda de cada camisa de 20 reais, eles vendem por ms 30 camisas. Fizeram uma pesquisa e verificaram

que, para cada 2 reais de desconto no preo de cada camisa, so vendidas 6 camisas a mais por ms. Dessa forma correto afirmar

que

(A) possvel fazer mais de 10 descontos de 2 reais.

(B) tanto faz vender as camisas 12 reais cada uma ou 18 reais cada uma que o faturamento o mesmo.

(C) o mximo faturamento ocorre se so vendidas menos de 40 camisas por ms.

(D) se o preo de venda de cada camisa de 14 reais, ento o faturamento maior que 680 reais.

R2. (AFA 2010) Na figura abaixo, tem-se representado as funes f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, s

locadoras de automveis , e para x quilmetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as trs opes.

Aps a anlise, essa pessoa conclui que optar pela locadora ao invs das outras duas locadoras, mais vantajoso quando x

]m, + [ , m IR. O menor valor possvel para m

(A) 60

(B) 70

(C) 80

(D) 90

3. (AFA 2009) Considere as funes reais f : IR IR dada por f(x) = x + a, g : IR IR dada por g(x) = x a, h : IR IR dada por h(x) = x a Sabendo-se que a < 0, INCORRETO afirmar que

(A) h(x) f(x) < g(x) x a

(B) x IR g(x) f(x) (C) se x < a, ento f(x) < g(x) < h(x)

(D) se a < x < a, ento f(x) < h(x) < g(x).

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R4. (AFA 2008) " A Arrecadao da CPMF, devido ampliao de sua abrangncia, e ao aumento da alquota, cresceu mais de

140% nos ltimos anos (em bilhes de reais por ano)".

Supondo que o crescimento da arrecadao representado no grfico acima linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y%

representa o aumento da arrecadao do ano de 2005 ao ano de 2006, correto afirmar que y um nmero do intervalo:

(A) [8, 9[

(B) [9, 10[

(C) [10, 11[

(D) [11, 12[

5. (AFA 2008) Considere a tabela para clculo do imposto de renda a ser pago Receita federal no ano de 2007 ano base 2006 (valores arredondados para facilitar os clculos).

Rendimento para base de

clculos (R$)

Alquota

(%)

Parcela a deduzir

(R$)

at 14.999,99 Isento

de 15.000,00 a 30.000,00 15 2.250,00

acima de 30.000,00 27,5 6.000,00

Para se conhecer o rendimento para base de clculo, deve-se subtrair do rendimento bruto todas as dedues a que se tem direito.

Esse rendimento para base de clculo multiplicado pela alquota correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir

correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago.

Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 50.000,00 teve direito s seguintes dedues: R$ 4.400,00 com o total de gastos

em educao, R$ 5.000,00 com o total pago Previdncia, e R$ 1.500,00 por dependente.

Nessas condies, sabendo-se que o valor do imposto pago por este trabalhador, no ano de 2007, foi de R$ 3.515,00, o nmero de

dependentes considerado foi:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 6

R6. (AFA 2005) Seja:

NN nenx

24|xA *

Seja:

01

9x2

4x3|xB Z

incorreto afirmar que:

(A) BA tem 8 elementos.

(B) BA . (C) 0AB . (D) BBA .

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7. (AFA 2005) Seja f a funo real cujo grfico se apresenta a seguir:

Analisando o grfico, INCORRETO afirmar que:

(A) )5,0(f))1(f(f .

(B) R x,)x(f)0(f .

(C) se 1)x(f)x(g , ento

2

5f)2(g .

(D) R x,01)x(f .

8. (AFA 2003) Analise o grfico abaixo das funes f e g e marque a opo correta.

(A) O grfico da funo h(x) = g(x) f(x) uma reta ascendente. (B) O conjunto imagem da funo s(x) = f(g(x)) IR

(C) f(x) . g(x) 0 x t

(D) g(f(x)) = g(x) x IR.

R9. (AFA 2003) Considere a funo f: IRIR tal que

1xse,x1

1xse,1x)x(f e assinale a alternativa verdadeira.

(A) f sobrejetora.

(B) f par.

(C) f no par nem mpar.

(D) Se f definida de IR em IR + , f bijetora.

10. (AFA 2003) Na figura abaixo, tem-se o grfico da funo real f em que f(x) representa o preo, pago em reais, de x

quilogramas de um determinado produto. (Considere f(x) IR)

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De acordo com o grfico, INCORRETO afirmar que

(A) o preo pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 18,00.

(B) com R$ 110,00, foi possvel comprar 55 quilogramas do produto. (C) com R$ 36,00, foi possvel comprar 72 quilogramas do produto.

(D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333... quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto.

R11. (AFA 2002) Um veculo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto , seu valor

comercial sofre desvalorizao constante por ano. Veja a figura seguinte.

Esse veculo foi vendido pelo seu primeiro dono, aps 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do

veculo atinge seu valor mnimo aps 20 anos de uso, e que esse valor mnimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era

novo, ento esse valor mnimo , em reais,

(A) menor que 4500

(B) maior que 4500 e menor que 7000

(C) mltiplo de 7500

(D) um nmero que NO divide 12000.

R12. (AFA 1999) Seja f uma funo real do primeiro grau com f(0) = 1 + f(1) e f(1) = 2 f(0). Ento, o valor de f(3) (A) 3. (B) 2,5. (C) 2. (D) 1,5.

R13. (AFA 1994) O valor de uma mquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale

10.000 dlares e daqui a 5 anos 1.000 dlares, o seu valor em dlares, daqui a 3 anos, ser:

(A) 3600

(B) 4200

(C) 4600

(D) 5000

ESCOLA NAVAL

R14. (EN 1993) Temos x

1 < 2 se e somente se:

(A) x > 1/2

(B) x < 1/2

(C) 0 < x < 1/2

(D) x < 0 ou x > 1/2

(E) x < 0

NVEL B

EFOMM

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R1. (EFOMM 2010) O grfico das trs funes polinomiais do 1 grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(x), b(x) e c (x)

esto representadas abaixo.

Nessas condies, o conjunto soluo da inequao

5 6

3

(a(x)) .(b(x))0

(c(x))

(A) (4;1) U [3;+)

(B) [4;1] U [3;+ )

(C) (;4) U [1;+ )

(D) [4;+ ) (E) R {4}

2. (EFOMM 2007) Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$

400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Cludio na B e obtiveram o mesmo

valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados?

(A) 1

(B) 3

(C) 5

(D) 7

(E) 9.

AFA

3. (AFA 2011) Luiza possui uma pequena confeco artesanal de bolsas. No grfico abaixo, a reta c representa o custo total

mensal com a confeco de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confeco de x bolsas.

Com base nos dados acima, correto afirmar que Luiza obtm lucro se, e somente se, vender

(A) no mnimo 2 bolsas.

(B) pelo menos 1 bolsa.

(C) exatamente 3 bolsas.

(D) no mnimo 4 bolsas.

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5. (AFA 2002) O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia 1o de junho comea o plano de racionamento de energia. O modelo energtico brasileiro baseado quase que exclusivamente em hidreltricas, que produzem 97% da energia consumida no pas. Sem chuva, entra em colapso. Revista Veja 16/05/01 No grfico abaixo, tem-se o nvel da gua armazenada em uma barragem ao longo dos ltimos anos, que foi construda para

represar gua a fim de mover as turbinas de uma usina hidreltrica.

Analise as alternativas e marque a opo correta.

(A) O nvel da gua permaneceu constante num perodo de 8 anos.

(B) O nvel de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes at o ano 2000.

(C) Aps o ano de 2000, o nvel da gua da barragem foi insuficiente para gerar energia.

(D) No perodo de 1995 a 2000, o nvel da gua s diminuiu.

6. (AFA 1995) A funo linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a condio f(5x + 2) = 5f(x) + 2. Ento

(A) a = 2b

(B) a = b + 2

(C) a = 2b + 1

(D) a = 2(b + 1)

ESCOLA NAVAL R7. (EN 1991) Representemos por min (a , b) o menor dos nmeros a e b, isto ,

min (a , b) =

base,b

base,a

A soluo da inequao min (2x + 3, 3x 5) < 4 : (A) x < 1/2

(B) x < 3

(C) 1/2< x < 3

(D) x > 1/2

(E) x > 3

NVEL C

AFA

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1. (AFA 2007) No grfico abaixo esto representadas as funes reais f e g sendo A = f g

FALSO afirmar sobre as mesmas funes que

(A) (fog)(x) 0 g(x) 2

(B) se s(x) = 101100 )]x(g[.)]x(f[

1, ento o domnio de s dado por IR * {2}

(C) o grfico da funo j definida por j(x) = )x(g

)x(f

1

1

possui pontos no 4 quadrante

(D) se h: IR B tal que h(x) = f(x) . g(x), ento h ser bijetora se B = [2, +[

ESCOLA NAVAL

2. (EN 1991) Determine o conjunto-imagem da funo (fog) para:

0 se x 0 1 se x 0

f (x) 2x se 0 x 1 e g(x) x / 2 se 0 x 1

0 se x 1 1 se x 1

(A) [0 , 1] {2} (B) ( , +) (C) [0 , 1]

(D) [0 , +) (E) {1}

ITA

R3. (ITA 2006) Seja f : [0, 1) IR definida por f(x) = .1x2/1,1x2

2/1x0,x2

Seja g : (-1/2, 1/2) IR dada por g(x) ,2/1x0),2/1x(f1

0x2/1),2/1x(f

com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g par, mpar ou nem par nem mpar.

4. (ITA 1994) Dadas as funes reais de varivel real f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m uma constante real com 0 < m < 1,

considere as afirmaes:

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I.(f o g)(x) = (g o f)(x), para algum x R. II. f(m) = g(m).

III.Existe a R tal que (f o g)(a) = f(a).

IV.Existe b R tal que (g o f)(b) = mb. V.0 < (g o f)(m) < 3.

Podemos concluir que:

(A)todas so verdadeiras

(B)apenas trs so verdadeiras

(C)apenas uma verdadeira

(D)apenas quatro so verdadeiras

(E)apenas duas so verdadeiras.

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CAPTULO 9 - FUNO DO 2 GRAU

Definio: Sejam*a IR , b , c IR , a relao:

2

f : IR IR

x f ( x ) a x bx c,

uma funo, chamada funo do 2 grau .

Definida assim tem-se

f

f

D IR

CD IR

Grfico:

O grfico de uma funo do 2 grau uma curva chamada parbola. Para fazer um esboo do seu grfico fundamental que

analisemos as razes da equao do 2 grau associada funo, bem como sua concavidade.

Primeiramente vamos estudar a existncia de razes reais. As razes de uma funo do 2 grau so obtidas resolvendo-se a

equao do 2 grau associada.

Ento

0a4

ac4b

a2

bxa

0a

c

a4

b

a2

bxa

0a

cx

a

bxa

0a,0cbxax

2

22

2

22

2

2

Chamando ac4b2 temos

2

2

2

2

a4a2

bx0

a4a2

bxa

Discusso da equao:

0 A equao no possui razes reais S

0 A equao possui duas razes reais e iguais, pois a2

bxx0

a2

bx 21

2

a2

bS

0 A equao possui duas razes reais e desiguais, pois

2

2

bx

2a 4a

1

2

bx

b b b2ax S ,

2a 2 a 2a 2abx

2a

O prximo passo a determinao do vrtice da parbola, aproveitando a fatorao acima temos que:

2

f : IR IR

bx f ( x ) a x ,

2a 4a

Pgina | 63

Como 2

bx 0

2a

Temos que 2

2

b ba 0 f (x) a x f ( )

2a 4a 4a 2a

b ba 0 f (x) a x f ( )

2a 4a 4a 2a

De qualquer maneira

bV , .

2a 4a

Em particular, obtemos que

f

f

a 0 Im ,4a

e

a 0 Im ,4a

Quanto concavidade, se a > 0 a parbola tem concavidade voltada para cima e caso contrrio voltada para baixo.

A seguir seguem os esboos do grfico de uma funo do 2 grau, nos diferentes casos.

1 caso:

a 0

0

2 caso:

a 0

0

Pgina | 64

3 caso:

a 0

0

4 caso:

a 0

0

5 caso:

a 0

0

6 caso:

a 0

0

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Dos grficos acima podemos concluir que:

Se 0 a funo do 2 grau tem o sinal oposto ao sinal do parmetro a no intervalo compreendido pelas razes e o

mesmo sinal do parmetro a no complemento do intervalo das razes.

Se 0 a funo do 2 grau tem o mesmo sinal do parmetro a para todo nmero real diferente das razes.

Se 0 a funo do 2 grau tem o mesmo sinal do parmetro a para todo nmero real.

EQUAO DO 2 GRAU

Definio: Sejam*a IR , b , c IR , a equao do 2 grau de coeficientes a, b e c uma sentena aberta equivalente :

2a x bx c 0

Apenas lembrando, temos que:

b b0 S ,

2a 2a

b0 S

2a

0 S

Soma e Produto das razes:

Sejam 21 xex as razes da equao do 2 grau 2a x bx c 0 , podemos escrever

)xx()xx(acbxax 212

Logo, 2

1 2

2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 21 2

a x b x c a ( x x ) ( x x )

a x b x c a x a (x x ) x a x x

ba a x xb ca

b a (x x ) S e P .c a a

x xc a x xa

Em particular temos as seguintes identidades:

0c,P

SP3S

x

1

x

1.5

SP3Sxx.4

0c,P

P2S

x

1

x

1.3

P2Sxx.2

0c,P

S

x

1

x

1.1

3

3

32

31

332

31

2

2

22

21

222

21

21

Pgina | 66

Discusso de equaes do tipo 2ax bx c 0 :

Seja 0cbxax2 onde IRceb,a , ento:

0a A equao 0cbxax 2 uma equao do 2 grau e basta resolver conforme feito anteriormente.

0a A equao 0cbxax 2 se reduz a 0cbx e a discusso feita conforme a discusso de uma equao do tipo

0bax , veja o captulo 8.

INEQUAO DO 2 GRAU

Definio Sejam*a IR , be c IR. , uma inequao do 2 grau de coeficientes a, b e c uma sentena aberta equivalente :

2

2

2

2

a x bx c 0

ou

a x bx c 0

ou

a x bx c 0

ou

a x bx c 0

A soluo de uma inequao do 2 grau pode ser obtida pela analise do grfico da funo do 2 grau correspondente.

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EXERCCIOS

NVEL A

EFOMM

R1. (EFOMM 2006) Se M e N so as razes de x2 6x + 10 = 0, ento

N

1

M

1 vale:

(A) 6

(B) 2

(C) 1

(D) 3/5

(E) 1/6.

R2. (EFOMM 2005) O intervalo onde a funo f (x) = xax

2ax2

com

*IRa , apresenta sinal positivo

(A)

a

2,

(B)

0,

a

1

(C)

,

a

1

(D)

a

1,

a

2

(E)

0,

a

2.

AFA

3. (AFA 2010) Considere o esboo dos grficos das funes reais f, g e h, tais que f do 2 grau e g e h so do 1 grau. Sabe-se

que V o vrtice da parbola.

O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x)

(A) IR ]1, 5[ (B) IR [1, 5] (C) IR [1, 3] (D) IR ]1, 3[

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4. (AFA 2009) Considere que g : IR B, definida por g(x) = bx2 + cx a funo par e possui como grfico o esboo abaixo.

Marque a alternativa INCORRETA.

(A) Se B = [ a, +[ , ento a funo g sobrejetora.

(B) A funo t : IR IR dada por t(x) = g(x) + a positiva x IR (C) b < c < a

(D) A funo h: IR IR dada por h(x) = g(x) a possui um zero real duplo.

R5. (AFA 2004) Seja

)0a(cxbxa)x(f 2

uma funo real definida para todo nmero real. Sabendo-se que existem dois nmeros x1 e x2, distintos, tais que 0)x(f.)x(f 21

, pode-se afirmar que:

(A) f passa necessariamente por um mximo.

(B) f passa necessariamente por um mnimo.

(C) 21 x.x necessariamente negativo.

(D) 0ac4b2 .

R6. (AFA 1994) O polinmio do 2 grau y = 2

b(x

2 + 1) + ax, com coeficientes reais, no possui raiz real se, e somente se:

(A) a b < 0 (B) a

2 b2 < 0

(C) b2 4a > 0

(D) b2 2ab < 0

R7. (AFA 1994) A soluo da inequao 2x2 3x + 8 >

2x

10x5xx3 23

, no conjunto dos nmeros reais, dada pelo

intervalo:

(A) 2 < x < 5 (B) 2 < x < 3 (C) 1 < x < 3 (D) 1 < x < 5

IME

R8. (IME 1999) Sejam as funes g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x 4 ; h(x) = f (g(x)) = 9x2 6x + 1. Determine a funo f(x) e faa seu grfico.

R9. (IME 1994) Seja f : IR IR uma funo quadrtica tal que f(x)=ax2+bx+c, a 0, x IR. Sabendo que x1 = 1 e x2 = 5 so as razes e que f (1) = 8. Pede-se: a)Determinar a, b, c;

b)Calcular f (0);

c)Verificar se f (x) apresenta mximo ou mnimo, justificando a resposta;

d)As coordenadas do ponto extremo;

e)O esboo do grfico.

NVEL B

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AFA

R1. (AFA 2011) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde a IR

I) IRxaxax

ax2

II)se a

1

x

1 e a > 0, ento {x IR | x < 0 ou x > a}

III)se a > 0 e |x| < a, ento x2 a < 0

Tem-se a sequncia correta em

(A) F V F (B) F F V (C) V F V (D) F V V

R2. (AFA 2011) Considere a funo quadrtica f: A B de razes x1 = 1 ou x2 = 3 , cujas coordenadas do vrtice so iguais. Se

f(x) 0 x A e f funo crescente x [p, q], ento (q p) igual a (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

3. (AFA 2008) As funes f: IR IR do 1 grau e g: IR [b, + [ do 2 grau esto representadas no grfico abaixo.

Com base nas informaes acima correto afirmar que:

(A) o menor valor de b que torna a funo g sobrejetora um nmero inteiro

(B) (gogof 1

)

2

5 > 0

(C)

}4xou1xIRx{0)x(g

)x(f2

(D) f(x) g(x) 0 {x IR x 0 ou x 6}

Pgina | 70

4. (AFA 2007) A funo f definida por f(x) =

1xse4x2x

2x1se,1x2

2xse,7x4x

2

2

(A) no admite inversa porque no injetora.

(B) no admite inversa porque existem valores de x com

vrias imagens.

(C) admite inversa e uma das sentenas que define a mesma y = 1 3x se x 3

(D) admite inversa f1

tal que f1

(5) = 2

5. (AFA 2005) Dada a funo real f definida por 2xf(x) , considere a funo real g definida por km)f(xg(x) , sendo

Rk,m . INCORRETO afirmar que:

(A) o grfico da funo g em relao ao grfico da funo f deslocado k unidades para cima, se 0k , e m unidades para a

direita, se 0m .

(B) se 0m e 1k , ento o conjunto imagem de g dado por 1y|RyIm . (C) se 2m e 3k , ento as coordenadas do vrtice da parbola que representa g so )k,m( .

(D) a equao do eixo de simetria da parbola que representa g dada por mx .

6. (AFA 2007) Analise as alternativas abaixo e marque a FALSA.

(A) Se a funo f: IR IR tal que f(x) = ax + b, f(3) = 0 e f() > 0, ento f crescente em todo o seu domnio. (B) Se o grfico da funo quadrtica f definida por f(x) = x

2 + kx + m o da figura abaixo, ento k m = 2

(C) Seja f: IR IR tal que f(x) = x2 3x + 2 e A um subconjunto do domnio de f. Se f crescente em A e f(x) 0 em A, ento A = [1, 2]

(D) Se na funo f: IR IR tal que f(x) = ax2 + bx + c, (a a4

b2, ento, necessariamente, o grfico da funo f o

tangente ao eixo das abscissas.

R7. (AFA 2003) Observe o grfico da funo f abaixo.

Sabendo que f definida por

1xse,kpx

1xse,cbxax)x(f

2

analise as alternativas e marque a opo correta.

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(A) ac < 0

(B) pk 0 (C) p = 1 (D) ab > 0.

R8. (AFA 2002) Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$ 2,00 cada uma e tem uma despesa fixa semanal de

R$ 50,00. Se so vendidas x camisetas por semana, ao preo de

30

x

3

22 reais a unidade, ento, o nmero de camisetas que

deve ser vendido por semana para se obter o maior lucro possvel

(A) 60

(B) 65

(C) 80

(D) 90.

R9. (AFA 1998) Seja f: [1, ) [3, ) a funo definida por f(x) = 3x2 6x. Se g: [3, ) [1, ) a funo inversa de f, ento [g(6) g(3)]2 (A) 5

(B) 2 6

(C) 5 2 6

(D) 5 + 2 6 .

10. (AFA 1998) Corta-se um pedao de arame de comprimento 98 cm em duas partes. Com uma, faz-se um quadrado, com a

outra, um retngulo com base e altura na razo de 3 para 2. Se a soma das reas compreendidas pelas duas figuras for mnima, o

comprimento, em cm, do arame destinado construo do quadrado ser

(A) 36

(B) 48

(C) 50

(D) 54.

ITA

11. (ITA 2004) Seja as funes f e g definidas em IR por f(x) = x

2 + ax e g(x) = (x2 + x), em que e so nmeros

reais. Considere que estas funes so tais que

f g

Valor

mnimo

Ponto de

mnimo

Valor

mximo

Ponto de

mximo

1 < 0 4

9 > 0

Ento, a soma de todos os valores de x para os quais (f o g) (x) = 0 igual a

(A) 0

(B) 2

(C) 4

(D) 6

(E) 8.

R12. (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de m para os quais a funo

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f(x) = )2m(x)1m2(x

)3m(x)3m2(x

22

22

est definida e no-negativa para todo x real :

(A)

4

7,

4

1

(B)

,

4

1

(C)

4

7,0

(D)

4

1,

(E)

4

7,

4

1.

13. (ITA 1999) Considere as funes f e g definidas por f(x) = x x

2, para x 0 e

g(x) = 1x

x

, para x 1. O conjunto de todas as solues da inequao (g o f) (x) < g(x)

(A) [1, +[

(B) ], 2[ (C) [2, 1[ (D) ]1, 1[

(E) ]2, 1[ ]1, + [.

NVEL C

AFA 1. (AFA 2003) O conjunto {x IR f(x) < 0}, onde f: IR IR definida por f(x) = ax2 + 2a2x + a3, com *IRa ,

(A) ]; a[

(B) ] ; a[ ]a; + [

(C) ] ; a[ ]a; + [

(D) ]a; + [.

V2. (AFA 2001) O retngulo, com base no eixo das abscissas, est inscrito numa parbola, conforme figura abaixo. O valor de x

que faz esse retngulo ter permetro mximo

(A) 1

(B) 0,5

(C) 0,25

(D) 0,125.

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V3. (AFA 2000) Na figura abaixo, AC = BC, h = AB = 10 e SP perpendicular a AB . O ponto S percorre AB e AS = x.

Nessas condies, a rea da figura sombreada pode ser expressa por:

(A) 5x se x [0, 5] e x2 10x + 50 se x [5, 10]

(B) x2 se x [0, 5] e x2 10x + 50 se x [5, 10]

(C) 5x se x [0, 5] e x2 + 20x 50 se x [5, 10]

(D) x2 se x [0, 5] e x2 + 20x 50 se x [5, 10].

ESCOLA NAVAL

4. (EN 1998) Considere os conjuntos A =

0

2x5

3x2Rx e B = {x R x2 5x + 4 < 0}. O conjunto soluo AB

(A)

4,

2

3

(B)

4,

2

3

(C)

2

3,1

(D) ] 1, 4]

(E) [,4]5

2,

.

V5. (EN 1994) O conjunto soluo da inequao: 0x2x3x

1x

234

4

, :

(A) [,2]]1,]

(B) [2,1]]1,]

(C) [2,0][1,]

(D) [2,1][1,]

(E) [0,1]]1,] .

V6. (EN 1993) O conjunto imagem da funo f(x) = 16xx16 22 :

(A) [4; 4]

(B) (, 4] [4; ) (C) {0}

(D) {-4; 4}

(E) [0; )

V7. (EN 1990) x

2 + 1 > kx para todo x real se, e s se:

(A) k < 0

(B) k > 0

(C) 1 < k < 1 (D) 2 < k < 2 (E) k > 3

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V8. (EN 1988) Para todo x real, -3 < 21xx

2axx

2

2

se e s se:

(A) 3 < a < 2 (B) 1 < a

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V14. (ITA 1990) Seja f: IR IR a funo definida por

f(x) =

1xse,4

1x1se,x

1xse,2x

2

Lembrando que se A IR ento f 1(A) = {x IR:f(x) A} considere as afirmaes: I- f no injetora e f

-1 ([3 , 5]) = {4}

II- f no sobrejetora e f-1

([3 , 5]) = f-1

([2 , 6])

III- f injetora e f-1

([0 , 4]) = [2 , +[ Ento podemos garantir que:

(A) Apenas as afirmaes II e III so falsas;

(B) As afirmaes I e III so verdadeiras;

(C) Apenas a afirmao II verdadeira;

(D) Apenas a afirmao III verdadeira;

(E) Todas as afirmaes so falsas.

15. (ITA 1989) Os valores de , 0 < < e 2

, para os quais a funo f: IR IR dada por

f(x) = 4x2 4x tg2 , assume seu valor mnimo igual a 4, so:

(A)4

3e

4

(B) 5

2e

5

(C) 3

2e

3

(D) 7

2e

7

(E) 5

3e

5

2

IME

V16. (IME 2007) Sejam x1 e x2 as razes da equao x2 + (m 15)x + m = 0. Sabendo que x1 e x2 so nmeros inteiros, determine

o conjunto de valores possveis para m.

V17. (IME 2000) Considere a, b e c nmeros reais tais que a < b < c. Prove que a equao abaixo possui exatamente duas

razes x1 e x2, que satisfazem a condio: a < x1 < b < x2 < c.

0cx

1

bx

1

ax

1

V18. (IME 1989) Resolva o sistema

20yx

4xy3xy73

V19. (IME 1982-1983) Dada a equao 2mx2 2x 3m 2 = 0 , onde m IR:

a) Determine m tal que uma raiz seja nula; calcule a outra raiz.

b) Mostre que a equao dada tem sempre duas razes distintas.

c) Determine m para que uma raiz seja inferior a 1 e a outra seja superior a 1.

20. (IME 1982)

a) Seja a funo y = mx2 (1 + 8m)x + 4(4m + 1), onde m um nmero dado, mas varivel. Mostre que todas as curvas

representativas da funo passam por um ponto A fixo e que so todas tangentes entre si, neste ponto. Calcule as coordenadas do

ponto A e d a equao da tangente comum.

Pgina | 76

b) Determine os dois valores de m para os quais a razo entre as razes da equao mx2 (1 + 8m)x + 4(4m+ 1) = 0, igual a (

4

1).

21. (IME 1981) Determine os valores de h, de modo que a desigualdade

3 < 1xx

1hxx2

2

< 3

seja vlida para qualquer x real.

Pgina | 77

CAPTULO 10 - FUNO MODULAR

Definio: A relao

f :IR IR

x, x 0x f (x) x :

x, x 0

uma funo, chamada funo modular.

Definida assim temos

f

f

f

D IR

CD IR

Im IR

Grfico:

O grfico de uma funo modular obtido de maneira imediata da sua definio

EQUAO MODULAR

Definio: Seja a IR