edaran kod linear.pptx
DESCRIPTION
aplikasi matematikTRANSCRIPT
Disediakan oleh:
Ainun Bariah binti Jaafar (2012141340038)Andi Haslinda binti Andi Sikandar (2012141340039)Maizura binti Abd Rahim (2012141340042)
KOD LINEAR
KERJA KURSUS APLIKASI MATEMATIK (MTE 3143)
1.0PENGENALANKOD LINEAR
Teori mengenai Kod Pembetulan Kesilapan bermula daripada hasil kerja Richard Hamming pada tahun 1947.
Hamming merupakan seorang ahli Matematik yang bekerja di Bell Telephone Laboratories dalam bidang komputer.
Pada masa itu, program dalam komputer mengambil masa yang lama untuk membuat pengiraan.
Dia tertanya-tanya mengapa jika komputer boleh mengesan kesilapan tetapi komputer tidak dapat membetulkan kesilapan tersebut. Lalu, Hamming memikirkan bagaimana hendak mengesan dan membaiki kesilapan yang wujud.
• Mempunyai 6-digit
KATAKOD(codeword )
Sesuatu kod adalah kod linear jika katakodnya (codeword) adalah set
vektor-vektor C yang memenuhi satu sistem persamaan HCT = 0 di mana
H adalah matriks semakan pariti dan C adalah matriks katakod yang
ditransposkan.
INGAT!!!!!
Modulo 2 (0,1)
Galois Field GF(2)
MENGIRA DIGIT SEMAKAN
3 digit mesej [001]
Maka, [001] akan ditransmit sebagai
[001011]
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 1= 1
CONTOH
Contoh katakod (codeword) yang dihantar
Contoh mesej
C4 C5 C6 codeword yang
dihantar
001 0+0=0 0+1=1 0+1=1 001011
010 0+1=1 0+0=0 1+0=1 010101
011 0+1=1 0+1=1 1+1=0 (mod 2)
011110
2.0BERAT &
JARAKMINIMUM
• Berat suatu katakod adalah bilangan digit yang bukan sifar dalam katakod itu. Jadi, dalam contoh kod binari, berat merupakan bilangan digit ‘1’ dalam katakod itu.
• Untuk dua katakod x dan y, jarak Hamming, d(x,y) ditakrifkan sebagai bilangan tempat di mana x dan y berbeza. bagi sesuatu set kod C, jarak minimum, ɗ (C) pula ditakrifkn sebagai nilai terkecil bagi d(x,y) bagi x,y dan C dengan x ≠ y
1. Andaikan C1 adalah satu set kod dengan
C1 = (00,01,10,11)
Jarak antara pasangan katakod berikut adalah:d (00,01) = 1 d(00,10)=1 d(00,11)=2d (01,10) = 2 d(01,11)=1 d(10,11)=1
Jadi jarak minimum, ɗ (C1) = 1
CONTOH 1
2. Andaikan C2 = (0000,0101,1010,1111)
Jarak antara pasangan katakod yang mungkin adalah:d (0000,0101) = 2 d(0000,1010)=2d (0000,1111) = 4 d(0101, 1010)=4d(0101, 1111)=2 d(1010,1111) =2
Jadi jarak minimum, ɗ (C2) = 2
CONTOH 2
Jika katakod 0101 dihantar, tetapi gangguan menyebabkan kesilapan berlaku dan katakod yang diterima adalah 0010, kesilapan dapat dikesan tetapi tidak dapat dibetulkan.
3. Andaikan C3 adalah satu set kod dengan
C3 = (000000,010101,101010,111111)
Jarak antara pasangan katakod yang mungkin adalah:d(000000,010101)=3 d(000000,101010)=3d(000000,111111)=6 d(010101, 101010)=6d(010101,111111)=3 d(101010,111111)=3
Jadi jarak minimum, ɗ (C3) = 3
CONTOH 3
Jika katakod 101010 dihantar, tetapi gangguan menyebabkan kesilapan berlaku dan katakod yang diterima adalah 111010, kesilapan dapat dikesan dan dapat dibetulkan mengikut peraturan ‘Pengesanan Logik Majoriti’
1. Diberi digit mesej adalah [100], cari digit semakan dan codeword.
Digit semakan = 110
codeword = [100110]
LATIHAN
2. Tuliskan katakod (codeword) yang sepadan dengan digit mesej berikut;
a) 111b) 101
Digit mesej : 111C = C1C2C3C4C5C6
C4 = C1 + C2 = 1+1=0C5 = C1 + C3 = 1+1=0C6 = C2 + C3 =1+1 =0
C = [111000]
Digit mesej : 101C = C1C2C3C4C5C6
C4 = C1 + C2 = 1+0=1C5 = C1 + C3 = 1+1=0C6 = C2 + C3 =0+1 =1
C = [101101]
LATIHAN
3. Berapakah bilangan 3 digit mesej ada pada kod?
Bilangan 3 digit mesej ialah ;
iaitu,23 = 8
000
001
010
011
100
101
110
111
LATIHAN
4. Senaraikan semua codeword bagi kod 3 digit mesej dalam soalan 3 000
001
010
011
100
101
110
111
000000
001011
010101
011110
100110
101101
110011
111000
LATIHAN
5. Secara berpasangan, carikan jarak minimum di antara mana-mana dua katakod (codeword) dalam soalan 4.
LATIHAN
3.0PERSAMAAN
SEMAKAN PARITI
PERSAMAAN SEMAKAN PARITI
Katakod (codeword) memenuhi persamaan semakan pariti seperti di bawah.
Boleh dituliskan dalam persamaan matriks seperti di bawah:
Boleh dituliskan dalam persamaan matriks seperti di bawah:
Oleh itu,
H = matriks semakan pariti = transpos bagi vektor katakod
PENGHANTARAN MAKLUMAT KATAKOD
• Apabila katakod di kirim, saluran transmisi kebiasaannya mengalami gangguan yang menyebabkan ralat berlaku.
• gangguan ialah vektor E,
• katakod yang diterima ialah vektor R,
Maka,
Katakod yg
diterima
Katakodsebenar
Gangguangyg berlaku
R = C + EC = R - E
CONTOH 1Jika C = [110011] dan E = [001000],cari R.
R = C + E= [110011] + [001000]= [111011]
CONTOH 2
Jika R = [010000], dan C = [111000], cari E. E = R – C= [010000] – [ 111000] = [101000]
1) Jika C = [100110] , E = [000101], cari R. 2) Jika R = [001000], E = [000011], cari C.3) Jika R = [101011], C = [101110], cari E.
LATIHAN
4.0 SINDROM
• Dalam situasi sebenar, kita tidak mengetahui ralat yang diterima.
• Oleh itu, kita boleh mencari ralat dengan menggunakan sindrom S.
• Sindrom S boleh dinyatakan sebagai
SINDROM
Oleh itu,
= Transpos bagi vektor sindrom
= Hamming matriks
semakan pariti
= Transpos bagi vektor
katakod yang diterima
Dengan menggunakan dan
Maka setiap katakod mempunyai sindrom 0=[000]
Andaian katakod yang diterima
tiada ralat,
Maka,
Persamaan sindrom katakod yang diterima dengan sindrom ralat.
Dari,
Maka,
Katakod yang diterima, R mempunyai sindrom yg
sama dengan ralat E.
Mencari perkataan yang sepadan dengan sindrom
tertentu• Katakod yg diterima, R mempunyai sindrom yang
sama dgn sindrom ralat, E.
• Untuk mendekod, kita perlu mencari semua perkataan yg mempunyai sindrom yg sama dgn R.
• Bilangan perkataan yg mempunyai sindrom, sama dgn bilangan katakod
3 digit katakod
3 digit semakan/sindrom
Kemungkinan bilangan
sindrom ialah
Cari semua perkataan dengan sindrom [010]
Dengan menggunakan kod linear yg ditakrifkan,
Maka, untuk S = [010]
CONTOH 1
Boleh diselesaikan menggunakan pengetahuan ruang vektor.
Tiga pemboleh ubah pertama tidak bersandar (independent)
Maka kita akan dapat pilihan gabungan kemungkinan utk ‘0’ dan ‘1’
{ [000], [001], [010], [011], [100], [101], [110], [111] }
3 x 6 6 x 1 3 x 1
Untuk mencari perkataan yg sepadan dengan sindrom
[010], senaraikan semua gabungan ‘0’ dan ‘1’ untuk tiga
pembolehubah pertama dan cari nilai
pembolehubah
Cth:
cari nilai
menggunakan
pendaraban matriks
Beberapa perkataan dengan sindrom [010]
Pembolehubah tak bersandar Pembolehubah bersandarPerkataan yang
dibentuk
0 0 0 0 1 0 0000100 0 1 0 0 1 0010010 1 0 1 1 1 010111
Boleh semak jawapan dengan Tatasusunan Piawai Slepian(Slepian’s Standard Array)
TATASUSUNAN PIAWAI SLEPIAN(SLEPIAN’S STANDARD ARRAY)
1) Jika H = ialah kod Hamming,
cari sindrom S, ralat E dan seterusnya dekodkan
perkataan yang diterima iaitu R = [1110011]
(Nov, 2013)
(5 markah)
LATIHAN
2) Matriks semakan dua parity di bawah menunjukkan kod linear.
i. Matriks manakah bukan kod pembetulan kesilapan?Berikan alasan bagi jawapan anda itu.
ii. Antara dua kod di atas, yg manakah merupakan Kod Hamming? Berikan alasan anda.
(2 markah)
(3 markah)
5.0MENDEKOD KATAKOD YG
DITERIMA
Langkah 1• Mengira sindrom, S dari katakod yang diterima, dengan
menggunakan persamaan,
Langkah 2• Menggunakan Tatasusunan Piawai Slepian, cari
sindrom S dan dapatkan perkataan yang mempunyai paling sedikit bilangan ‘1’. Perkataan ini dipilih sebagai ralat, E.
Langkah 3• Katakod dicari dengan C = R – E.
Gunakan langkah di atas untuk mencari katakod
jika katakod yang diterima adalah [101110].
Penyelesaian :Langkah 1
CONTOH
Langkah 2S = [011]Dari Tatasusunan Piawai Slepian, cari
perkataanyang paling sedikit ‘1’ bagi sindrom 011.
Oleh itu, E = 001000
Langkah 3 Jadi, C = R – E C = 101110 – 00100 = 100110
Oleh sebab katakod yang diterima mempunyai sindrom yang sama
dengan ralat, maka langkah satu boleh dipermudahkan dengan
mencari katakod yang diterima dalam
Tatasusunan Piawai Slepiandan sindrom bagi katakod yang
diterima ini adalah perkataan pertama dalam baris yang mana R
terletak.
6.0KOD LINEAR
SECARA UMUM
• Kod linear – kod yang katakodnya terdiri daripada satu set vektor, C yang memenuhi sistem persamaan di mana H merupakan matriks semakan pariti.
• Matriks semakan pariti, H mempunyai peringkat yang berubah-ubah.
Contoh, kod semakan pariti tunggal. Katakod terdiri daripada digit di mana merupakan digit semakan.
Jadi,
** bagi kod semakan pariti tunggal
dengan panjang n, matriks semakan pariti yang sepadan adalah matriks 1
x n
• Bagi kod ulangan sebagai contoh setiap digit diulang 3 kali, katakod terdiri daripada
di mana dan adalah digit ulangan. Jadi, dan
Dengan ini
* Dalam hal ini, matriks semakan partiti bagi kod ulangan di atas ialah 2 x 3.
Secara umumnya, kod ulangan dengan n kali ulangan akan memberi matriks semakan pariti (n-1) x n