楕円関数入門 - 福岡大学nyamada/tokuron2012/...1 楕円の弧長...
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数 学 特 論 1
— 楕円関数入門 —
2013 Fall Semester N. Yamada Version:2013.9.3
目次Chapter 0. Preliminalies (1–3)
曲線、弧長、線素
Chapter 1. 楕円の弧長 (4–16)
楕円の弧長、楕円積分、正弦曲線、レムニスケートの弧長
Chapter 2. 楕円積分 (17–29)
楕円積分、円環のポテンシャル、非線形バネ、単振り子
Chapter 3. ヤコビの楕円関数 (30–49)
ヤコビの楕円関数、楕円関数の微分、楕円の性質
Chapter 4. なわとびのひも (50–63)
楕円関数の弧長、等速円運動、なわとびのロープ、変分原理
Chapter 5. 加法定理 (64–70)
加法定理、別の表現
Chapter 6. 複素変数への拡張 (71–82)
純虚数への拡張、複素数への拡張、2重周期性
参考書：
戸田盛和、楕円関数入門、日本評論社、2011, ISBN 978-4-535-60128-4.
The latest version is available from the URL:
http://www.sm.fukuoka-u.ac.jp/ nyamada/講義ノート
1むにゃむにゃ
想 定 問答集：
Q:せんせ
先生、ご っ つ
ものすごいページ数でっせ。あのぉ、これほんま
本当にみ な
全部講義しはるんでっ
すかぁ？
A: うぅん。せ
そうやなぁ、どないしょう
うするかなぁ。まぁ、でたとこ
所勝負っちゅ
と言うか、い
行きあたりばっ
たりっちゅ
と言うか…
Q: 試験もやりはる
あるんですやろ？
A: そらぁ、せ な
しないとあ か ん
いけないことになっとるがな。
Q: よろしゅうたのんまっせぇ。
A:せ
そうやなぁどっか
何処のえらいさん
× ×みたいによっしゃ
peanuts,よっしゃ
peanutsっちゅ
というわけにはいかんさかい
からなぁ、
んんん、まぁ、ぼちぼちや り
講義しながら考えるわ。
Q: (このせんせ先生、 よぅまぁこんなあほな
こと、問答
やっ考えてはるわ。)
0 準備
平面上の曲線は、パラメータ t を用いて
(x(t), y(t)), a ≦ t ≦ b
と表される。 (x(a), y(a)) から測った弧長は
s =
∫ t
a
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
で求められる。これは、 [a, b] の分割
a = t0 < t1 < · · · < tn = b
によってできる曲線の分点 {(x(ti), y(ti))}ni=0 を結んでできる折れ線の長
さの極限である。
弧長を s(t) とするとds
dt=
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
である。
ds =
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
を (パラメータ t で表された)線素 (line element)という。線素はパラ
メータに依存しないので、
ds =√
( dx)2 + (dy)2
と表すと便利である。
この記法を用いると
s =
∫ s
0
ds
=
∫ t
a
√(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
dt
と簡明に表される。曲線のパラメータとして弧長 s をとることができる。
これを弧長パラメータという。
曲線 (x(t), y(t)) の (一つの)接ベクトルは
T (t) =
(dx
dt,dy
dt
)1
である。その長さは
∥T (t)∥2 =(dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2
=
(ds
dt
)2
と求められる。曲線が弧長パラメータで表されているときには
∥T (s)∥2 =(dx
ds
)2
+
(dy
ds
)2
=
((dx
dt
)2
+
(dy
dt
)2)(
dt
ds
)2
=
(ds
dt
)2(dt
ds
)2
= 1
となり、接ベクトルは単位ベクトルになる。
例題 0.1 曲線が関数 y = f(x) のグラフになっているときの線素は
ds =√1 + ( dy)2
である。
曲線が極座標で (r(t), θ(t)) と表されているときには
x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) = r(t) sin θ(t)
なので
dx
dt=
dr
dtcos θ − r sin θ
dθ
dtdy
dt=
dr
dtsin θ + r cos θ
dθ
dt
となり、線素の記号で表すと
dx = dr cos θ − r sin θ dθ
dy = dr sin θ + r cos θ dθ
2
となり、
( ds)2 = (dx)2 + (dy)2
= (dr)2 cos2 θ − 2r dr sin θ cos θ dθ + r2 sin2 θ( dθ)2
+ (dr)2 sin2 θ + 2r dr sin θ cos θ dθ + r2 cos2 θ( dθ)2
= (dr)2 + r2( dθ)2
である。従って線素の極座標表示は
ds =√( dr)2 + r2( dθ)2
である。
例題 0.2 原点中心、半径 ρ の円周は極座標で
r(θ) = ρ, θ = θ
と、パラメータ θ を用いて表されるので、線素は ds =√0 + ρ2 = ρ で
ある。従って円周の長さが
s =
∫ 2π
0
ds =
∫ 2π
0
ρ dθ = 2πρ
という周知の関係式が得られる。
問題 0.1 弧長パラメータに関する線素を求めよ。これにより曲線の線素
ds がパラメータに依存しないことがわかる。
問題 0.2√x+√y = 1 (0 ≦ x ≦ 1) で定まる曲線の線素を求め、全長を
求めよ。
問題 0.3 x-y 平面内で、傾き m の直線の線素を求めよ。これがピタゴラ
ス 2の定理 (3平方の定理)を表していることを説明せよ。
2Pythagoras (circa 750 B. C.–??)
3
1 楕円の弧長
平面上の楕円の方程式は
x2
a2+
y2
b2= 1
である。パラメータ θ を用いて
x = a cos θ, y = b sin θ
とも表される。
周知のように円柱を平面で切った切り口は楕円になる。
例題 1.1 具体的に円柱 x2 + y2 = 1 と平面 −y + z = 0 で考える。
平面上の直交ベクトル (1, 0, 0), (0, 1, 1) と法線ベクトル (0,−1, 1) でできる直交行列は
P =
1 0 0
0 1/√2 1/
√2
0 −1/√2 1/
√2
であり、上の三つのベクトルをそれぞれ e1,
√2e2,
√2e3 に写す。切り口
の曲線は
x = cos θ, y = sin θ, z = sin θ
で表される。この曲線を P で変換 (合同変換！)すると
P
cos θ
sin θ
sin θ
=
cos θ√2 sin θ
0
となる。像は x-y 平面上の楕円である。
4
楕円の面積は、次のように求められる。
S = 4
∫ a
0
b
√1− x2
a2dx (
x
a= u, dx = a du)
= 4ab
∫ 1
0
√1− u2 du (u = sin θ, du = cos θ dθ)
= 4ab
∫ π/2
0
cos2 θ dθ
= 4ab
∫ π/2
0
1 + cos 2θ
2dθ
= abπ
これに対して、楕円の弧長を考える。
y 軸の正の部分から右回りに (いつもと異なる)測った角度 φによって、
楕円は
x = a sinφ, y = b cosφ (a > b)
と表される。
5
これを用いて弧の長さ s は
s =
∫ φ
0
√(dx
dφ
)2
+
(dy
dφ
)2
dφ
=
∫ φ
0
√a2 cos2 φ+ b2 sin2 φdφ
=
∫ φ
0
√a2(1− sin2 φ) + b2 sin2 φdφ
= a
∫ φ
0
√1− a2 − b2
a2sin2 φdφ
= a
∫ φ
0
√1− k2 sin2 φdφ
(k =
√a2 − b2
a2
)と表されるが、この不定積分は一般には求まらない。
問題 1.1 この計算を、線素を用いて行ってみよ。
定義 1.1
E(k, φ) =
∫ φ
0
√1− k2 sin2 φdφ
を k を母数 (modulus)とする第 2種不完全楕円積分 (imcomplete el-
liptic integral of the second kind)という。特に、
E(k,
π
2
)= E(k) =
∫ π2
0
√1− k2 sin2 φdφ
を第 2 種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the second
kind)という。
変数変換 sinφ = z を行うと、 φ = arcsin z, dφ =dz√1− z2
なので
E(k, φ) =
∫ sinφ
0
√1− k2z2
dz√1− z2
=
∫ sinφ
0
√1− k2z2
1− z2dz
E(k) =
∫ 1
0
√1− k2z2
1− z2dz
とも表される。
6
問題 1.2 母数 k = 0 のときに対応する楕円はどんな図形か？また E(0)
の値はいくらか？
問題 1.3 楕円x2
9+
y2
4= 1 の全長を楕円積分を用いて表せ。
問題 1.4 楕円 3x2 + 2y2 = 6 の全長を楕円積分を用いて表せ。
問題 1.5 方程式 x2 + xy+ y2 = 2 で表される曲線が楕円であることを確
かめ、その全長を楕円積分を用いて表せ。
問題 1.6 E(k) の z による積分表示は z = 1 で広義積分になっている。
その収束を示せ。
例題 1.2 (正弦曲線の弧長) 正弦曲線
y = b sinx
a(b : 振幅、2πa : 周期、 1
a: 振動数)
の長さを考えよう。
原点から P (x0, y0) までの長さ s は
s =
∫ x0
0
√1 +
(dy
dx
)2
dx
=
∫ x0
0
√1 +
(b
acos
x
a
)2
dx
=
∫ x0
0
√1 +
b2
a2− b2
a2sin2 x
adx
変数変換：ϕ =x
a, ϕ0 ≡
x0
a, dϕ =
1
adx
=
∫ ϕ0
0
a
√1 +
b2
a2− b2
a2sin2 ϕ dϕ
=
∫ ϕ0
0
√a2 + b2 − b2 sin2 ϕ dϕ(
k2 =b2
a2 + b2
)=√a2 + b2
∫ ϕ0
0
√1− k2 sin2 ϕ dϕ
=√a2 + b2E(k, ϕ0)
7
と求められる。第 2種楕円積分が用いられている。
特に、x0
a=
π
2のときは ϕ0 =
π
2となるので
s =√a2 + b2E(k)
と、第 2種完全楕円積分で表される。
問題 1.7 この計算を、線素を用いて行え。
定義 1.2 第 1種不完全楕円積分 (imcomplete elliptic integral of the
first kind)を次のように定義する。
F (k, φ) =
∫ φ
0
dφ√1− k2 sin2 φ
(0 ≦ k < 1)
k を母数 (modulus)と呼ぶ。特に、 φ =π
2のとき
K(k) = F(k,
π
2
)=
∫ π/2
0
dφ√1− k2 sin2 φ
を第 1種完全楕円積分 (complete elliptic integral of the first kind)
という。
この前にも行ったように、変数変換
z = sinφ
を行うと dz = cosφdφ だから∫ φ
0
dφ√1− k2 sin2 φ
=
∫ z
0
1√1− k2z2
dz
cosφ
(積分の上端 z は φ に対応する z = (sinφ) の意味)
=
∫ z
0
1√1− k2z2
1√1− sin2 φ
dz
より
F (k, φ) =
∫ z
0
dz√(1− z2)(1− k2z2)
とも表される。
8
問題 1.8 次の関係式を確かめよ。
K(0) =
∫ π/2
0
dφ =
∫ 1
0
dz√1− z2
=π
2
問題 1.9 0 < k < 1に対して K(k)の z による積分表示を求めよ。また、
それが広義積分として収束することを示せ。
例題 1.3 (レムニスケートの弧長) レムニスケート (lemniscate)は、極座
標で
r2 = a2 cos 2θ
と表される曲線である。
x-y 座標で表すと、 x = r cos θ, y = r sin θ なので
x2 + y2 = r2
x2 − y2 = r2(cos2 θ − sin2 θ) = r2 cos 2θ
を用いて
x2 + y2 =a2
r2(x2 − y2)
より
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2)
と表される。
もっと別の表し方もできる。
x2 + y2 = a2 cos2 ϕ, x2 − y2 = a2 cos4 ϕ
9
と置くことにより (どこからこんなことを思いつくのだろう)
x2 =a2
2(cos2 ϕ+ cos4 ϕ)
=a2
2cos2 ϕ(1 + cos2 ϕ)
=a2
2cos2 ϕ(2− sin2 ϕ)
= a2 cos2 ϕ
(1− 1
2sin2 ϕ
)y2 =
a2
2(cos2 ϕ− cos4 ϕ)
=a2
2cos2 ϕ(1− cos2 ϕ)
=1
2a2 cos2 ϕ sin2 ϕ
となる。すなわち
x = a cosϕ
√1− 1
2sin2 ϕ
y =a√2sinϕ cosϕ
と表される。ϕ = 0 のとき (a, 0), ϕ = π2のとき (0, 0) である。
さて、このパラメータ表示を用いてレムニスケートの弧長を求めよう。
これまでの計算と問題を解いてみて分かったように、線素を用いる計算
が簡明である。線素を計算しよう。
dx =
−a sinϕ√1− 1
2sin2 ϕ+ a cosϕ
− sinϕ cosϕ
2√1− 1
2sin2 ϕ
dϕ
=a sinϕ√
1− 12sin2 ϕ
(−(1− 1
2sin2 ϕ
)− 1
2cos2 ϕ
)dϕ
=a sinϕ√
1− 12sin2 ϕ
(−3
2+ sin2 ϕ
)dϕ
dy =a√2(cos2 ϕ− sin2 ϕ) dϕ
=a√2(1− 2 sin2 ϕ) dϕ
10
なので
( ds)2 = (dx)2 + (dy)2
=
{a2 sin2 ϕ
1− 12sin2 ϕ
(−3
2+ sin2 ϕ
)2
+a2
2(1− 2 sin2 ϕ)2
}( dϕ)2
となる。ここで {· · · } のなかを取り出して計算する。 a2
1− 12sin2 ϕ
を
くくりだしたとして、残るものを計算すると
sin2 ϕ
(−3
2+ sin2 ϕ
)2
+1
2(1− 2 sin2 ϕ)2
(1− 1
2sin2 ϕ
)= sin2 ϕ
(9
4− 3 sin2 ϕ+ sin4 ϕ
)+
1
2(1− 4 sin2 ϕ+ 4 sin4 ϕ)
(1− 1
2sin2 ϕ
)= sin2 ϕ
(9
4− 3 sin2 ϕ+ sin4 ϕ
)+
1
2
(1− 9
2sin2 ϕ+ 6 sin4 ϕ− 2 sin6 ϕ
)=
1
2(これは驚いた！！)
となる。これより
( ds)2 =a2
1− 12sin2 ϕ
1
2( dϕ)2
ds =a√2
dϕ√1− 1
2sin2 ϕ
なので、レムニスケートの弧長は
s =a√2
∫ ϕ
0
dϕ√1− 1
2sin2 ϕ
=a√2F
(1√2, ϕ
)
11
と表される。2つのループをまわる全長は、 ϕ =π
2のときの 4 倍で
s(全長) = 4a√2
∫ π/2
0
dϕ√1− 1
2sin2 ϕ
= 4a√2K
(1√2
)と求められる。
注意: (ここからの小さい文字の部分は、時間があれば話すことにする。）レムニスケートは、
x = az + z3
1 + z4, y = a
z − z3
1 + z4
というもう一つのパラメータ表示を持っている。実際、
x2 + y2 =2a2(z2 + z6)
(1 + z4)2=
2a2z2
1 + z4
x2 − y2 = 4a2z4
(1 + z4)2
なので
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2)
をみたしている。このパラメータによる線素を計算すると
dx =a
(1 + z4)2(1 + 3z2 − 3z4 − z6) dz
dy =a
(1 + z4)2(1− 3z2 − 3z4 + z6) dz
なので
( ds)2 = (dx)2 + (dy)2
=a2
(1 + z4)4{(1 + 3z2 − 3z4 − z6)2 + (1− 3z2 − 3z4 + z6)2}( dz)2
=2a2(1 + z4)3
(1 + z4)4( dz)2
=2a2
1 + z4(dz)2
となる。先述のパラメータ表示
x2 + y2 = a2 cos2 ϕ, x2 − y2 = a2 cos4 ϕ
12
との関係をみてみよう。パラメータの変域は ϕ : 0 → π2 と z : 1 → 0 が、方向
を込めて対応しているので、 dϕ と dz は符号が異なることに注意する。
ds =a√2
dϕ√1− 1
2 sin2 ϕ
であったので
a√2
dϕ√1− 1
2 sin2 ϕ
= −√2a√
1 + z4dz
dϕ√1− 1
2 sin2 ϕ
= − 2√1 + z4
dz
である。これより、
s =a√2
∫ ϕ
0
dϕ√1− 1
2 sin2 ϕ
=a√2F
(1√2, ϕ
)
に代入して ∫ ϕ
0
dϕ√1− 1
2 sin2 ϕ
= −2∫ z
1
dz√1 + z4
= F
(1√2, ϕ
)
より、符号と積分区間に注意して∫ 1
z
dz√1 + z4
=1
2F
(1√2, ϕ
)が得られる。ϕ と z の対応は、 x2 + y2 の表示式より
cosϕ =
√2z√
1 + z4
である。
パラメータ表示
x = az + z3
1 + z4, y = a
z − z3
1 + z4
の図形的意味を考えよう。
x+ y = 2az
1 + z4
x2 + y2 = 2a2z2
1 + z4
13
より
x2 + y2 = az(x+ y)(x− az
2
)2+(y − az
2
)=
(az√2
)2
なので、レムニスケート上の点 (x, y) は、この円上にもある。この円は中心(az2,az
2
)で原点を通るので、円とレムニスケートの（原点以外の）交点になっ
ている。
さて、定積分 ∫ c
0
dx√1− x4
を考えよう。 x2 = 1 − η2 と変数変換すると x dx = −η dη で、x : 0 → 1,η : 1→ 0 であるから∫ c
0
dx√1− x4
= −∫ √
1−c2
1
ηxdη√
2η2(1− 12η
2)
=1√2
∫ 1
√1−c2
dη√(1− η2)(1− 1
2η2)
(η = sinφ, dη = cosφdφ)
=1√2
∫ π/2
ϕ
dφ√1− 1
2 sin2 φ
(c = cosϕ)
=1√2
{F
(1√2,π
2
)− F
(1√2, ϕ
)}
14
である。これより∫ 1
c
dx√1− x4
=1√2F
(1√2, ϕ
)∫ 1
0
dx√1− x4
=1√2F
(1√2,π
2
)=
1√2K
(1√2
)が得られる。z での表現と見比べると
1√2F
(1√2, ϕ
)=
∫ 1
c
dx√1− x4
=√2
∫ 1
z
dz√1 + z4
が得られる。ただし、
c = cosϕ =
√2z√
1 + z4
である。
これらの考察より、レムニスケートの弧長は∫dz√1 + z4
や
∫dz√1− z4
によっても表せる。
f(x) =
∫ x
0
dx√1− x4
の逆関数をガウス 3のレムニスケート関数という。楕円積分の逆関数を考えるこ
とは第 3 章で本格的に考察する。ガウスとレムニスケートについては高木貞治、近世数学史談、岩波文庫、2008
に興味深い記述がある。この本は
高木貞治、近世数学史談／数学雑談：復刻版、共立出版、2012高木貞治、近世数学史談–3版、共立全書、2006
としても出版されている。数学の内容はとても難しい。
最初に、レムニスケートを極座標表示で
r2 = a2 cos 2θ
と紹介した。このままで弧長を計算することもできる。
ds =√
( dr)2 + (r dθ)2 =
√1 +
(rdθ
dr
)2
dr
3F. Gauss (1777—1855)
15
なので
2rdr
dθ= −2a2 sin 2θ
rdr
dθ= −a2
√1− cos2 2θ
= −a2√
1− r4
a4
rdr
dθ= −
√a4 − z4
1
r
dθ
dr= − 1√
a4 − r4
rdθ
dr= − r2√
a4 − r4
より
ds =
√1 +
r4
a4 − r4dr
=
√a4
a4 − r4dr =
a2√a4 − r4
dr
であるから、原点から測って
s =
∫ r
0
a2√a4 − r4
dr
となり、全長は
s(全長) = 4
∫ a
0
a2√a4 − r4
dr
(r = aσ, dr = a dσ, r : 0→ a, σ : 0→ 1)
= 4
∫ 1
0
a2
a2√1− σ4
a dσ
= 4a
∫ 1
0
dσ√1− σ4
=4a√2K
(1√2
)と求められる。
16
2 楕円積分
すでに第 1種と第 2種の楕円積分を定義したが、ここで第 3種も含め
て、あらためてまとめて定義する。
定義 2.1 楕円積分を次のように定義する。∫dz√
(1− z2)(1− k2z2)(第 1種楕円積分)
∫ √1− k2z2
1− z2dz (第 2種楕円積分)∫dz
(1 + nz2)√(1− z2)(1− k2z2)
(第 3種楕円積分)
ここで k (0 ≦ k < 1) を母数、 n をパラメータという。この表記をルジャ
ンドル 4-ヤコビ 5の標準型という。
すでに計算したことがあるように、 z = sinφ によって変数変換すると
dz = cosφdφ,dz√1− z2
= dφ
なので、各々の楕円積分は
F (k, φ) =
∫ φ
0
dφ√1− k2 sin2 φ
E(k, φ) =
∫ φ
0
√1− k2 sin2 φdφ
π(k, n, φ) =
∫ φ
0
dφ
(1 + n sin2 φ)√1− k2 sin2 φ
とも表される。特に、区間 [0, π2] 上での楕円積分は
K(k) =
∫ π/2
0
dφ√1− k2 sin2 φ
(第 1種完全楕円積分)
E(k) =
∫ π/2
0
√1− k2 sin2 φdφ (第 2種完全楕円積分)
4A. M. Legendre (1752—1833)5C. G. J. Jacobi (1804—1851)
17
と呼ばれている。
楕円積分で表される自然現象を計算するために、ポテンシャルについ
て解説する。
力の場 (ベクトル場) F (x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)) が
スカラー関数 (実数値関数) U(x, y, z) によって
F = −∇U
すなわち
f1 = −∂U
∂x, f2 = −
∂U
∂y, f3 = −
∂U
∂z
と表されるとき U を F のポテンシャル (potential)という。力の場とし
ては、質点に働く万有引力 (重力)、電荷に働くクーロン力など、いろい
ろなものが考えられる。重力のもとになるポテンシャルは、位置エネル
ギーとも呼ばれる。
たとえば、原点に質量 1 の質点があるときに生ずるポテンシャルは、
原点から距離 r にある点 P (x, y, z) では
U(x, y, z) =1
r=
1√x2 + y2 + z2
である。このポテンシャルによって点 P では
−∇U =( x
r3,y
r3,z
r3
)の力が働く。ベクトルの方向は原点と P を結ぶ直線上で、その大きさは
∥∇U∥ = 1
r2
であり、万有引力の法則「2 点を結ぶ直線に沿って、距離の 2 乗に反比
例する」を表している。
例題 2.1 (円輪 (リング)のポテンシャル) 一様な線密度をもつ円輪が垂
直な平面内にあるときの万有引力のポテンシャルを求めよう。
円輪は線密度 (単位長さあたりの質量) 1 で、 y-z 平面内にあり、原点
中心、半径 r とする。円輪上の点 Q は
Q(0, r cos θ, r sin θ)
と表される。 x-y 平面上の点 P (a, b, 0) におけるポテンシャルを求めよ
う。(円輪上に電荷がある時の電場を求めると考えても同じである。)
18
円輪上の点 Q による P でのポテンシャルは1
PQである。
PQ =√a2 + (b− r cos θ)2 + r2 sin2 θ
=√a2 + b2 + r2 − 2br cos θ
=√a2 + (b+ r)2 − 2br(1 + cos θ)
=
√a2 + (b+ r)2 − 4br cos2
θ
2
であり、円輪全体によるポテンシャルは、円輪にそって積分すればよい。
半径 r の円の線素は r dθ なので
U =
∫ 2π
0
r
PQdθ = 2
∫ π
0
r
PQdθ
となる。ここで上下対称であることを用いている。従って
U = 2r
∫ π
0
dθ√a2 + (b+ r)2 − 4br cos2 θ
2
である。
k2 =4br
a2 + (b+ r)2
とおき、 θ = π− 2φ と変数変換する。 dθ = −2 dφ であることと cos θ2=
19
cos(π2− φ) = sinφ に注意すると
U =2r√
a2 + (b+ r)2
∫ π
0
dθ√1− k2 cos2 θ
2
=4r√
a2 + (b+ r)2
∫ π/2
0
dφ√1− k2 sin2 φ
= 4rk
2√br
∫ π/2
0
dφ√1− k2 sin2 φ
= 2k
√r
bK(k)
と、求めるポテンシャルが完全楕円積分を用いて表される。
例題 2.2 (非線形バネ) バネは伸びたり縮んだりすると元に戻ろうとする
力が働く。バネの変位 (伸び、縮み)と力が比例すると考えるのがフック 6
の法則である。Newton7の運動方程式「力 =質量×加速度」をバネの振動にあてはめると、次のように考えられる。
静止したバネの終端 (おもりの位置)を原点とし、 x 軸に沿って運動す
るものとする。摩擦は考慮しない。
おもりの変位を x(t) とすると
x′(t) : 速度
x′′(t) : 加速度
6R. Hooke (1635—1703)7I. Newton (1642—1727)
20
である。従ってフックの法則は
x′′(t) = −αx(t)
で表される。 α は比例定数 (バネ定数)である。符号は復元力であること
から定まる。これは 2階定数係数線形常微分方程式であり、基本解が
x1(t) = cos√αt, x2(t) = sin
√αt
一般解が
x(t) = Ax1(t) +Bx2(t)
と求められる。
バネによる力 f(x) が
f(x) = −(αx+ βx3)
と与えられる場合を考える。その理由を説明する。一般に f(x) は複雑
な関数である。しかし、 f(0) = 0 は仮定してよい。変位がなければ力
も働かないからである。f(x) を x＝ 0 でテイラー 8展開して近似する
と、第 1 近似は f(x) ≈ −αx となる。符号は力がもとに戻るように働くことを表している。これがフックの法則である。次のオーダーの近似は
f(x) ≈ −αx− βx3 となる。バネによる力は変位 x と符号が異なる (復元
力)ので x2 の項は現れない。
従って運動方程式は
md2x
dt2= −(αx+ βx3)
となる。 β ̸= 0 の場合を考えているので√α
mt = s
(√α
m
dt
ds= 1
)と変数変換して
dx
ds=
dx
dt
dt
ds=
√m
α
dx
dt
d2x
ds2=
m
α
d2x
dt2
8B. Taylor (1685—1731)
21
より
d2x
ds2=
m
α
(− α
mx− β
mx3
)= −x− β
αx3
となる。さらに、 √β
αx = ξ
とすると
d2ξ
ds2=
√β
α
(−x− β
αx3
)= −(ξ + ξ3)
と簡単な式になる。あらためて
ξ → x, s→ t
と記号を変えれば、運動方程式は
d2x
dt2= −(x+ x3)
となる。このように独立変数 t, 従属変数 x に定数倍の変数変換を加える
ことをスケール変換という。時間や長さを測る基準を変えることに相当
する。数学ではこのようにうまくスケール変換を行って方程式を簡明な
形に書き換えて考察することが多い。
これに対して、具体的な問題を扱う物理や工学の分野ではスケール変
換で実際の問題の感覚が失われることを懸念してもとの方程式のままで
扱うことも多いようである。
ここでは以後d2x
dt2= −(x+ x3)
を考える。そして、最後にスケールをもとに戻してみることにする。
方程式の両辺に dx/dt を掛けて不定積分をとる。∫dx2
dt2dx
dtdt =
∫−(x+ x3)
dx
dtdt
22
左辺に部分積分を用いて計算すると
1
2
(dx
dt
)2
= E − x2
2− x4
4
が得られる。 E は積分定数であるが、物理的には全エネルギーを表して
いる。
1
2
(dx
dt
)2
: 運動エネルギー
U =x2
2+
x4
4: 位置エネルギー
である。また、この関係式は E が時間に関して一定であること、すなわ
ち、エネルギー保存則を表している。このように運動方程式に dx/dt を
掛けて積分し、何らかの情報を得る方法を (広い意味で)エネルギー法と
呼んでいる。
さて、
dx
dt= ±
√2E − x2 − x4
2
t = ±∫ x dx√
2E − x2 − x4
2
である。実際の運動は、根号内が正の範囲で実現する。dx
dt= 0 となるの
は振幅が最大となるときである。これは、 U = E (全エネルギーが位置
エネルギーで実現される)のときと言っても同じである。このときの x を
a とする。
23
つまり、
2E − a2 − a4
2= 0
すなわち
a4 + 2a2 − 4E = 0
より
a2 = −1 +√1 + 4E
である。これより、
2E − x2 − 1
2x4 =
1
2(a2 − x2)(2 + a2 + x2)
と因数分解できる (一つの解が a2, 解の和が −2 であるから)。
そこで、
x = a cosφ
と変換すると
dx = −a sinφdφ
x2 = a2 cos2 φ = a2(1− sin2 φ)
より
a2 − x2 = a2 sin2 φ
2 + a2 + x2 = 2 + a2 + a2(1− sin2 φ)
= 2(1 + a2)− a2 sin2 φ
なので
t = ±√2
∫ φ −a sinφa sinφ
√2(1 + a2)− a2 sin2 φ
dφ
= ±√2
∫ φ dφ√2(1 + a2)− a2 sin2 φ
= ± 1√1 + a2
∫ φ dφ√1− k2 sin2 φ
where k2 =a2
2(1 + a2)
= ±√2
akF (k, φ)
24
となる。振動の周期 T は φ が 2π = 4 · π2となるときなので
T =4√2
akK(k)
である。
もとのスケールに戻そう。√α
mt = s,
√β
αx = ξ
だったので
dx
dt=
√α
β
dξ
ds
ds
dt=
α√mβ
dξ
ds
E(x) = m
(dx
dt
)2
=α2
βE(ξ)
より、もとのスケールに戻るには
時間 t(ξ で測った)に
√m
αを掛ける
エネルギー E(ξ で測った)はβ
α2で置き換える
ことになる。
もとのスケールで t, x, E を t(x), x(x), E(x),変換したスケールで s = t(s),
ξ = x(ξ), E(ξ) などと表すことにする。
a2 は x2 に関する方程式の解であるから a は x と同じ (物理)次元をも
つ。(これが x = a cosφ と変換した根拠である。 φ は無次元量である。)
従って a の変換も x に準じて
a(x)2 =
α
βa(ξ)
2
なので
a(x)2 =
α
β
(−1 +
√1 + 4
β
α2E(x)
)=
1
β
(−α +
√α + 4βE(x)
)
25
と表される。さらに
k(ξ)2 =
a(ξ)2
2(1 + a(ξ)2)=
βαa(x)
2
2(1 + βαa(x)2)
=βa(x)
2
2(α + βa(x)2)= k(x)
2
を用いて
t(x) = ±√
m
αt(ξ) = ±
√m
α
1√1 + a(ξ)2
∫ φ dφ√1− k(ξ)
2 sin2 φ
= ±√
m
α
1√1 + β
αa(x)2
∫ φ dφ√1− k(x)
2 sin2 φ
= ±√m√
α + βa(x)2
∫ φ dφ√1− k(x)
2 sin2 φ
と表される。これより、周期 T は
T =4√m√
α + βa2
∫ π/2
0
dφ√1− k2 sin2 φ
=4√m√
α + βa2K(k)
と求められる。
β = 0 のときがフックの法則に従う線形方程式で
md2x
dt2= −αx
である。基本解は
cos
√α
m, sin
√α
m
なので、解の周期は
T0 = 2π
√m
α
である。 β > 0 のときの周期
T =4√m√
α + βa2K(k)(
k2 =βa2
2(α + βa2)
)
26
で β → 0 とすると k → 0 なので
K(0) =π
2
より
T0 =4√m√α
π
2= 2π
√m
α
と、連続的に結ばれている。
例題 2.3 (振り子の振動) 単振り子 (重さの無視できるひもに下げられた
質点が平面内を運動する振り子)を考える。最大の振れ角を α とし、角
変数を θ(t) とする。
糸の長さを ℓ, 質量を m とすると
運動エネルギー :m
2
(ℓdθ
dt
)2
位置エネルギー : mgℓ(1− cos θ)
と与えられるので、全エネルギーは
m
2
(ℓdθ
dt
)2
+mgℓ(1− cos θ) = E
で与えられる (g は重力加速度)。 θ = α のときには運動エネルギーが 0
になるので
E = mgℓ(1− cosα)
である。m
2
(ℓdθ
dt
)2
+mgℓ(1− cos θ) = mgℓ(1− cosα)
27
より
cos θ − cosα = 2
(sin2 α
2− sin2 θ
2
)を用いて
dθ
dt= 2
√g
ℓ
√k2 − sin2 θ
2
である。ここで
k2 = sin2 α
2
と置いた。 ∣∣∣∣sin θ
2
∣∣∣∣ ≦ k
なので
sinθ
2= k sinφ
とおくことができてdθ
dt= 2
√g
ℓk cosφ
と表せる。また、
θ = 2arcsin(k sinφ)
と表せるので
dθ =2k cosφ√1− k2 sin2 φ
dφ
であり
t =
∫ t
0
dt =
∫dt
dθdθ
=
∫1
2
√ℓ
g
dθ
k cosφ
=1
2
√ℓ
g
∫1
k cosφ
2k cosφ√1− k2 sin2 φ
dφ
=
√ℓ
g
∫dφ√
1− k2 sin2 φ
より ∫ φ
0
dφ√1− k2 sin2 φ
=
√g
ℓ
∫ t
0
dt =
√g
ℓt
28
となるので
t =
√ℓ
gF (k, φ)
と表される。周期 T は θ = 0 から θ = α すなわち φ = 0 から φ =π
2ま
での 4 倍だから
T = 4
√ℓ
gK(k)
と求められる。
振幅 α が十分小さいときは、k が十分小さいことに対応する。 k → 0
とすると
T0 = 2π
√ℓ
g
が得られる。具体的に地表では
g = 9.8 (m/s2)
である。 π ≈ 3.14 を用い、 ℓ = 0.25 (m) とすると
T0 = 1.0030 (s)
と求められる。振り子時計の振り子が約 25 cm である理由はこれで理解
できる。もっとも、現代の振り子時計はクォーツで制御されていて、振
り子は単なる飾りにすぎない。振り子の長さを微妙に調節して時計の進
み遅れを調整するなどという行為は想像できないだろう。
問題 2.1 電卓を用いて T0 を実際に求めて、上の数値を確かめよ。
問題 2.2 月面上での重力定数は 1.617m/s2 であるという。月面上の振り
子が 1 秒の周期を持つようにするには、振り子の長さをどれくらいにす
ればよいか？
29
3 ヤコビの楕円関数
正弦関数 (sin)は最初、三角比として習い、続いて円を用いて一般の関
数として定義した。逆三角関数はその後になって導入し、それらの微分、
積分が計算できるようになった。
これに対し、まず定積分
y =
∫ x
0
dx√1− x2
(−1 ≦ x ≦ 1)
によって関数 y = arcsin x を定義し、この逆関数として
x = sin y
を定義することが考えられる。
問題 3.1 上の広義積分が収束することを示せ。また逆関数が定義できる
ことを示せ。
これだけでは新しいことができたわけではないが、この発想の転換を
参考にして次のようにして考えることができる。
定義 3.1 関数 u = sn−1 x を
u =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
= sn−1 x
によって定義する。母数も明記するときには
u = sn−1(x, k) (0 ≦ k < 1)
と表す。この逆関数を考えて関数 sn を
x = sn u = sn (u, k)
と定義する。これをヤコビの sn 関数という。
u = sn−1 xの定義域は −1 ≦ x ≦ 1であり、値域は −K(k) ≦ u ≦ K(k)
である。三角関数のときと同様に (snu)2 を sn2 u と表す。これから導入
する他の楕円関数についても同じである。
問題 3.2 sn−1 の広義積分が収束すること、逆関数が定義できることを確
かめよ。 sn の定義域、値域を確かめよ。
30
問題 3.3 sn(−K(k), k), sn (0, k), sn (K(k), k) の値を求めよ。
関数 x = snu の定義域は −K(k) ≦ u ≦ K(k) である。これを拡張す
ることを考える。
K(k) ≦ u ≦ 3K(k) の範囲では
sn(u, k) = sn(2K − u, k)
とおくと u = K に関して対称に拡張していることから u = K(k) で連
続で
sn(3K, k) = − sn(K, k) = −1 = sn(−K, k)
となるので、周期関数として R 上に拡張することができる。以下、拡張したものも同じ記号で
sn(u, k)
と表す。
定義 3.2 ヤコビの楕円関数の仲間である cnu = cn(u, k), dnu = dn(u, k)
を次のように定義する。
cnu =√1− sn2 u (−K(k) ≦ u ≦ K(k))
or cn2 u = 1− sn2 u
dnu =√1− k2 sn2 u (−K(k) ≦ u ≦ K(k))
or dn2 u = 1− k2 sn2 u
特に k＝ 0 の場合は K(0) =π
2であり
sn(u, 0) = sin u
cn(u, 0) = cos u
dn(u, 0) = 1
である。
問題 3.4 k = 0 の場合について上の関係式を確かめよ。
問題 3.5 cn(−K(k), k), cn (0, k), cn (K(k), k), dn(−K(k), k), dn (0, k),
dn (K(k), k) の値を求めよ。
31
これまでからなじみ深かった三角関数の拡張としてヤコビの楕円関数
が得られた。これらの関数が面白い (興味深い)性質を持ったり、数学の
いろいろな分野と関連をもっていることが分かると「数学的に豊かな内
容をもっている」と評価され、広く、深く研究されるようになる (実際に
そうである)。さらにこれらの関数が、物理学を始めとする自然現象の解
析に役立つことが分かれば、なお一層興味深い。これらについても述べ
ていきたい。
周期関数として snu を拡張したように cnu, dn u も周期関数に拡張で
きる。
cn(u, k) = − cn(u− 2K, k) (K ≦ u ≦ 3K)
dn(u, k) = dn(u− 2K, k) (K ≦ u ≦ 3K)
と拡張し、他の区間でも同様にする。これによって
sn(u, k), cn(u, k) は周期 4K(k),
dn(u, k) は周期 2K(k)
となる。
問題 3.6 cnu, dnu について周期を確かめよ。
この拡張で 3つの関数はいずれも R 上の滑らかな関数になる。今のところは周期の端点 (−K, K など)では連続に拡張しただけだが、後に述
べる (予定の)微分や加法定理を用いると滑らかさが確かめられる。
母数について、k = 1 の場合も考えたいので、準備として双曲線関数
を復習する。
sinhx =ex − e−x
2, coshx =
ex + e−x
2
とおく。
cosh2 x− sinh2 = 1
(sinhx)′ = coshx, (coshx)′ = sinh x
がなりたつ。
tanh x =sinhx
coshx, sechx =
1
coshx
32
とおく。
(tanhx)′ =1
cosh2 x= sech2 x, 1− tanh2 x =
1
cosh2 x
がなりたつ。これらは簡単に確かめられる。
それぞれのグラフは上のようになっていて、tanh x の逆関数について
d
dxtanh−1 x = cosh2 y =
1
1− tanh2 y=
1
1− x2
である。
さて、
u =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
で k = 1 とすると
u|k=1 =
∫ x
0
dx
1− x2= tanh−1 x
なので
sn(u, 1) = tanhu
である。また、
cn(u, 1) = dn(u, 1) =1
coshu
もすぐにわかる。
問題 3.7 これらを確かめよ。
sn(u, k), cn(u, k), dn(u, k) のグラフの概形は Maple や Maxima などの
ソフトウェアを用いて描くことができる。たとえば Maple のコマンドは
33
plot(JacobiSN(u,0.5), u=-5..5);
plot(JacobiCN(u,0.5), u=-5..5);
plot(JacobiDN(u,0.5), u=-5..5, y=0..1);
である。実際に描いてみると次のようなグラフが得られる。
sn(u, 0.5)
cn(u, 0.5)
dn(u, 0.5)
34
K(0.5) = 1.685750355 . . . (これも Maple で求めた)なので周期も確かめ
られる。
振幅関数について述べる。
u =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
= sn−1 x
において
x = sinϕ
と変数変換すると dx = cosϕ dϕ で
u =
∫ sinϕ
0
cosϕ dϕ√(1− sin2 ϕ)(1− k2 sin2 ϕ)
=
∫ sinϕ
0
dϕ√1− k2 sin2 ϕ
= sn−1(sinϕ)
と表される。 u が ϕ の関数として表された。この逆関数を amu と表し、
振幅関数 (amplitude)という。すなわち
u =
∫ sinϕ
0
dϕ√1− k2 sin2 ϕ
= am−1 ϕ
ϕ = am u = am(u, k)
であり、さらに
x = sinϕ = sin(am u)
u = am−1 ϕ = sn−1(sinϕ)
snu = sinϕ = sin(amu)
が成り立っている。また、
cnu =√1− sn2 u
=√
1− sin2(amu)
= cos(am u)
である。
x = sn u は最初、 −1 ≦ x ≦ 1, −K ≦ u ≦ K に対して定義され、周期
4K をもつように拡張された。変数の対応は
−π
2≦ ϕ ≦ π
2
x=sinϕ←→ −1 ≦ x ≦ 1snu←→ −K ≦ u ≦ K
35
となっているので
snu = sinϕ = sin(am u)
より
ϕ = amu
は −K ≦ u ≦ K の範囲で −π
2≦ ϕ ≦ π
2が対応し、単調増加である。
K ≦ u ≦ 3K のときはπ
2≦ ϕ ≦ 3π
2が対応すると考えると
sinϕ = sin(π − ϕ) = snu = − sn(u− 2K)
= − sin(am(u− 2K)) = sin(− am(u− 2K))
π − ϕ = − am(u− 2K)
ϕ = π + am(u− 2K) = am u
となり、単調増加関数 9として接続できる。特に
am(2K) = π
am(3K) = π + amK =3π
2
であり、一般には
am(nK(k)) =nπ
2(n ∈ Z)
が成り立っている。
ヤコビの楕円関数の導関数を考えよう。定義に戻ると
x = snu⇐⇒ u =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
であるからdu
dx=
1√(1− x2)(1− k2x2)
である。逆関数の微分公式から
dx
du=√
(1− x2)(1− k2x2)
=√
(1− sn2 u)(1− k2 sn2 u)
= cnu dnu
9Mapleの振幅関数は、−K ≦ u ≦ K を超えた区間では単調増加にはなっていないので使う際には注意が必要である。
36
となる。すなわちd sn u
du= cnu dnu
である。特に k = 0 なら、周知の (sinu)′ = cosu である。さらに、
d cnu
du=
d
du
√(1− sn2 u) =
−2 sn u2√1− sn2 u
d sn u
du
= − snu dnu
(k = 0 のときは (cosu)′ = − sinu)
d dnu
du=
d
du
√1− k2 sn2 u =
−2k2 sn u
2√1− k2 sn2 u
d snu
du
= −k2 snu cnu
が得られる。公式としてまとめて書いておこう。
定理 3.1 (ヤコビの楕円関数の微分)
(snu)′ = cnu dnu
(cnu)′ = − snu dnu
(dnu)′ = −k2 snu cnu
問題 3.8 snu, cn u, dn u について u = 0, u = ±K での導関数の値を求めよ。これから周期関数として拡張した関数の滑らかさが確かめられる。
問題 3.9d2 sn u
du2,d2 cnu
du2,d2 dnu
du2を求めよ。
もう一度定義に戻ると
sn−1 x =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
であった。 cn−1 x や dn−1 x に対してもこれに対応する積分表示を求め
37
ることができる。次のように計算する。
(cnu)′ = − snu dnu
= −√1− x2
√1− k2(1− x2) (here, x = cnu)
dx
du= −√1− x2
√1− k2(1− x2)
= −√1− x2
√k′2 + k2x2 (where k′2 = 1− k2)
u = −∫ x
1
dx√(1− x2)(k′2 + k2x2)
(積分の下端 x = 1 は u = 0 のとき x = cn 0 = 1 であるから)
u =
∫ 1
x
dx√(1− x2)(k′2 + k2x2)
と計算できる。また、dn2 u = 1− k2 sn2 u より
sn2 u =1
k2(1− dn2 u)
cn2 u = 1− sn2 u =1
k2(dn2 u+ k2 − 1)
=1
k2(dn2 u− k′2) (here, k′2 = 1− k2)
なので、(dn u)′ = −k2 sn u cnu より
dx
du= −k2 1
k
√1− x2
1
k
√x2 − k′2
= −√
(1− x2)(x2 − k′2) (where x = dnu)
u = −∫ x
1
dx√(1− x2)(x2 − k′2)
(積分の下端 x = 1 は u = 0 のとき x = dn 0 = 1 であるから)
=
∫ 1
x
dx√(1− x2)(x2 − k′2)
と計算できる。積分表示をまとめておこう。
38
定理 3.2 (楕円関数の逆関数の積分表示)
sn−1(x, k) =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
cn−1(x, k) =
∫ 1
x
dx√(1− x2)(k′2 + k2x2)
dn−1(x, k) =
∫ 1
x
dx√(1− x2)(x2 − k′2)
(where k′2 = 1− k2)
第 1種楕円積分
F (k, φ) =
∫ φ
0
dφ√1− k2 sin2 φ
は、変数変換 u = sinφ により、 du = cosφdφ なので
F (k, φ) =
∫ u
0
du√1− u2
√1− k2u2
と表された。すなわち、
F (k, φ) = sn−1 u
であり、第 1種楕円積分は snu に他ならない。第 2種、第 3種楕円積分
についてはどうだろうか？
第 2種楕円積分
E(k, ϕ) =
∫ ϕ
0
√1− k2 sin2 ϕ dϕ
において sinϕ = sn u と変換すると、cosϕ = cn u に注意して
cosϕ dϕ = cnu dnu du
なので
dϕ = dnu du
である。また、 √1− k2 sin2 ϕ =
√1− k2 sn2 u = dnu
39
より
E(k, ϕ) =
∫ u
0
dn2 u du
が得られる。ここで、積分の上端 u は sinϕ = snu により定まっている。
ここに現れた
ε(u) =
∫ u
0
dn2 u du
をヤコビのエ (イ)プシロン関数という。
第 3種楕円積分
π(k, n, φ) =
∫ φ
0
dz
(1 + nz2)√(1− z2)(1− k2z2)
については
z = sn u
とおくと
dz = cnu dnu du =√1− z2 dnu du
1
(1 + nz2)√(1− z2)(1− k2z2)
=1
(1 + n sn2 u)√1− z2 dnu
より
π(k, n, φ) =
∫ u
0
du
1 + n sn2 u
と表される。
まとめておこう。
定理 3.3 (楕円積分の表示式)
F (k, ϕ) = sn−1 u (第 1種楕円積分)
E(k, ϕ) =
∫ u
0
dn2 u du (第 2種楕円積分)
π(k, n, φ) =
∫ u
0
du
1 + n sn2 u(第 3種楕円積分)
楕円x2
a2+
y2
b2= 1 (a ≧ b > 0)
に戻って、楕円関数を用いてその性質を調べよう。
40
パラメータ ϕ を用いて、この楕円を
x = a sinϕ, y = b cosϕ
とパラメータ表示する。パラメータの意味は次の図のようになっている。
ϕ = am(u, k) とおくと
x = a sin(am(u, k)) = a sn(u, k)
y = b cos(am(u, k)) = b cn(u, k)
と表される。 ここで母数 0 ≦ k < 1 は任意である。微分については
dx = a cnu dnu du
dy = −b sn u dnu du
なので、弧長の線素は
ds =√a2 cn2 u+ b2 sn2 u dnu du
となる。特に k2 =a2 − b2
a2と選ぶと
ds = a
√1− a2 − b2
a2sn2 u dnu du
より
ds = a dn2 u du
となる。これを用いると弧長は
s = a
∫ u
0
dn2 u du
= aε(u) = aE(k, ϕ)
41
と表される。楕円の弧長を求めようとして楕円積分、楕円関数の考察を
はじめたのであったことを思い起こすと、当然の結果であるといえる。
楕円のパラメータ表示
x = a sn(u, k), y = b cn(u, k)
において k2 =a2 − b2
a2とする。このとき
k =
√a2 − b2
a= e
を離心率 (eccentricity)という。 0 ≦ e < 1 である。 e = 0 のときが円、
e が大きくなるに従って楕円は長く伸びて行く。
2点 S(ae, 0), S ′(−ae, 0) を楕円の焦点 (focus)という。
図の記号を用いる。
BS =√a2e2 + b2 =
√a2 = a
OS = ae
である。 P (x, y) を楕円上の点とすると
PS2= (OS − x)2 + y2
= (ae− a snu)2 + b2 cn2 u
= a2(e− snu)2 + b2(1− sn2 u)
= a2(e− snu)2 + a2(1− e2)(1− sn2 u)
= a2(1− 2e snu+ e2 sn2 u)
42
であるから
PS2= a2(1− e sn u)2
である。また、
PS ′2 = (OS + x)2 + y2
= a2(e+ sn u)2 + a2(1− e2)(1− sn2 u)
= a2(1 + 2e snu+ e2 sn2 u)
であるから
PS ′2 = a2(1 + e sn u)2
である。これより
PS + PS ′ = a(1− e snu) + a(1 + e sn u)
= 2a :一定
が得られる。楕円の最も基本的な性質である。
次の図を見てほしい。
ℓ を S を通る OA に垂直な半径とする。
OB = b = a√1− e2 = ae′ (where e′ = k′ =
√1− e2)
である。 PS ⊥ OS となる楕円上の点 P (x, y) について
x = a snu = OS = ae
より e = snu であるから ℓ の長さは
PS = ℓ = y = b cnu = ae′√1− sn2 u
= ae′2
43
と求められる。
次の図を見ながら、原点から接線への距離 (接線におろした垂線の長さ)
を求めよう。
円のときと異なり、楕円上の点 P (x, y)での接線に原点からおろした垂線
の足は P とは一致しない。 x = a sn u, y = b cnu と表されているので、
接線の傾きはdy
dx=
dy/du
dx/du= − b
a
snu
cnu= −e′ sn u
cnu
であり、接線の方程式は
y − b cnu = −e′ snucnu
(x− a sn u)
b cnu+ ae′sn2 u
cnu=
ae′
cnu(cn2 u+ sn2 u)
=ae′
cnu
より
y = −e′ snucnu
x+ae′
cnu
となる。一般に直線 y = px + q への原点からの距離は|q|√1 + p2
であっ
たから
ℓ2 =a2e′2
cn2 u
1 + e′2 sn2 ucn2 u
=a2e′2
cn2 u+ e′2 sn2 u
=a2e′2
1− (1− e′2) sn2 u=
a2e′2
1− e2 sn2 u
=a2e′2
dn2 u(note that k2 = e2)
44
と計算できて、 ℓ の長さは
ℓ =ae′
dnu
と求められる。
ところで、焦点を「焦点」と呼ぶ理由を知っているだろうか？図を見
ながら計算しよう。
いつもの通り、楕円上の点を P (x, y) とし、パラメータ表示 x = a sn u,
y = b cnu を用いる。先ほど計算したように
dy
dx= −e′ sn u
cnu
である。これより
法線の傾き:cnu
e′ snu= tan θ0
SP の傾き:b cnu
a snu− ae=
e′ cnu
snu− e= tan θ+
S ′P の傾き:b cnu
a snu+ ae=
e′ cnu
sn u+ e= tan θ−
と求められるので
tan(θ0 − θ±) =tan θ0 − tan θ±1 + tan θ0 tan θ±
=sn u cnu∓ e cnu− e′2 snu cnu
e′ sn u(snu∓ e) + e′ cn2 u
=(1− e′2) sn u cnu∓ e cnu
e′ ∓ ee′ snu
=e cnu(e snu∓ 1)
e′(1∓ e snu)= ∓ e
e′cnu
45
である。すなわち、 S, S ′ は P での法線の両側の等しい角度の上にある。
従って、 S から出て P に達した光はここで反射して (入射角と反射角が
等しい)、 S ′ に達する (vice versa)。これが「焦点」と呼んだ理由である。
注意: (ここからの小さい文字の部分は、時間があれば話すことにする。）
例題 3.1 (ザイフェルト 10の球面螺旋) 半径 Rの球面上の点を極座標で (R, θ, φ)と表す。
x = R sin θ cosφ
y = R sin θ sinφ
z = R cos θ
である。
球面上の曲線 s(t) は
s(t) = (R sin θ(t) cosφ(t), R sin θ(t) sinφ(t), R cos θ(t))
と表される。線素は
( ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2
= (R cos θ cosφdθ −R sin θ sinφ dφ)2
+ (R cos θ sinφ dθ +R sin θ cosφdφ)2
+R2 sin2 θ( dθ)2
= R2 sin2 θ(dφ)2 +R2( dθ)2
と求められる。 r = R sin θ と書くと
10Seifert (??—??)
46
( ds)2 = (r dφ)2 + (R dθ)2
であり、 r の定義からdr = R cos θ dθ
なので
( dr)2 = R2 cos2 θ( dθ)2
= R2(1− sin2 θ)( dθ)2
= (R2 − r2)( dθ)2
となり
( ds)2 = (r dφ)2 +(R dr)2
R2 − r2
と書き直せる。
この球面上で、弧の長さ s(t) が φ に比例するスパイラルを考える。
Rφ(t) = ks(t)
と表される。
k は比例定数で、
k = 0 のとき φ(t) = 0 だからこれは x 軸の上にある子午線である
k = 1 のとき s(t) は大円の弧長に等しい
k < 0 は k > 0 と対称である
という性質があるから、考えるべき k の範囲は
0 ≦ k ≦ 1
である。曲線を微分の形で表すと
dφ =k
Rds
なので、線素の表現から
(ds)2 =k2r2
R2( ds)2 +
(R dr)2
R2 − r2
(ds)2 =R4
(R2 − r2)(R2 − k2r2)(dr)2
( ds)2
R2=
R2( dr)2
(R2 − r2)(R2 − k2r2)
となる。ここで、
x =r
R
47
とおく。 ( dr)2 = R2( dx)2 に注意すると
( ds)2
R2=
R4( dx)2
(R2 − r2)(R2 − k2r2)
=( dx)2
(1− x2)(1− k2x2)
であるから、 θ = 0 (極) から積分して
s
R=
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
である。逆関数をとると
(x ) =r
R= sn
s
R
であり、また、
z2 = R2 − r2 = R2 cn2s
R
なので
z
R= cn
s
R
dns
R=
√1− k2 sn2 s
R=
√1− k2 r
2
R2
=
√R2 − k2r2
R
と求められる。
幾何学的な様子がよく分かるように k を消去したい。線素の式より
R4
(dr
ds
)2
= (R2 − r2)(R2 − k2r2)
Rdr
ds=√R2 − r2
√R2 − k2r2
R
であり、また、球面上の線素の式より
dr
dθ=√R2 − r2
である。したがって
Rdr
ds=
√R2 − k2r2
R
dr
dθ
Rdθ
ds=
√R2 − k2r2
R
となる。
Rdθ
dsは半径 R の球面上の極からみた角 θ を曲線に沿って微分したものであ
る。図のように
48
α を曲線と子午線の交わる角度とすると
Rdθ
ds= cosα
と表される。したがって
sns
R=
r
R
cns
R=z
R
dns
R= cosα
とすべてスパイラルの幾何学的量で表すことができた。
49
4 なわとびのひも
準備として、楕円関数のグラフで定まる曲線 y = b snx
cの長さを計算する。
b, c を定数として関数 y = b snx
cを考える。
dy
dx=b
ccnx
cdn
x
c
である。弧長 s については、 ( ds)2 = (dx)2 + (dy)2 より(ds
dx
)2
= 1 +
(dy
dx
)2
= 1 +
(b
c
)2
cn2x
cdn2
x
c
(cn2 u = 1− sn2 u = 1− 1
k2(1− dn2 u))
(dn2 u = 1− k2 sn2 u ≧ 1－ k2)
= 1−(b
c
)2 1− k2
k2dn2
x
c+
(b
c
)2 1
k2dn4
x
c
と計算できる。ここで特に、 b =2k
1− k2c ととると
(ds
dx
)2
= 1− 4
1− k2dn2
x
c+
(2
1− k2
)2
dn4x
c
となる。符号に注意すると
ds
dx=
2
1− k2dn2
x
c− 1
が得られる。原点からの弧長は
s =
∫ x
0
ds
dxdx
=
∫ x
0
(2
1− k2dn2
x
c− 1
)dx
=2
k′2
∫ x
0dn2
x
cdx− x (where k′
2= 1− k2)
と表せる。もう少し準備の計算を続ける。
ε(u) =
∫ u
0dn2 u du
50
で、積分の変数変換
sinϕ = snu
を考える。 √1− k2 sin2 ϕ = dnu
cosϕdϕ = cnu dnu du
cosϕ =
√1− sin2 ϕ =
√1− sn2 u = cnu
であるから
dϕ = dnu du
である。これより
ε(u) =
∫ u
0dn2 u du =
∫ u
0dnudnu du
=
∫ ϕ
0
√1− k2 sin2 ϕdϕ = E(k, ϕ)
と第 2種楕円積分を用いて計算できる。(同じ計算をすでにしたような気がする。)積分の端点と積分変数の混乱を避けて∫ x
0dn2
ξ
cdξ
と表すと
ξ
c= u, dξ = c du
ξ : 0→ x, u : 0→ x
c
から ∫ x
0dn2
ξ
cdξ = c
∫ x/c
0dn2 u du = cε
(xc
)となる。これより、先ほどの弧長について
s =2c
k′2ε(xc
)− x
と表せることがわかる。
x = 0 の次に曲線が x 軸と交わる点を x = 2a とする。
x = 2a⇔ snu = 0
⇔ u = 2K(k)
51
と対応しているのでx
c=
2a
c= 2K(k)
である。ただし、 K(k) は第 1種完全楕円積分である。したがって
1
c=K(k)
a
が成り立ち、変数の対応は
x : 0→ 2a⇔ u : 0→ 2K(k)
⇔ ϕ : 0→ π (by sinϕ = snu)
となっているので、第 2種楕円積分は
E = E(k) =
∫ π/2
0
√1− k2 sin2 ϕdϕ
=
∫ K
0dn2 u du = ε(K)
である。よって x＝ 0 から x = 2a までの弧長の全長は
ℓ =2c
k′22E − 2a
=4aE
Kk′2− 2a
と求められる。
話題を変える。質点が
x(t) = r cosωt
y(t) = r sinωt
に従って運動しているとする。
x2 + y2 = r2 : 定数
ω : 定数
であるから、この運動は等速円運動である。ω を角速度という。また
振幅 : r, 周期 : T =2π
ω, 振動数 : ν =
ω
2π
である。この運動の速度は
v(t) = (x′(t), y′(t))
= (−rω sinωt, rω cosωt)
= rω(− sinωt, cosωt)
52
と求められ、方向は円の接線方向、速度の大きさが rω である。また、この質点に働く加速度は
f = v′(t) = −rω2(cosωt, sinωt)
であり、円の中心に向かう方向で大きさ rω2 である。
質点に働く力は (質量)× f で求められる。これを向心力という。その反作用が遠心力で、円の中心から外側に向かう方向に、大きさ (質量)× rω2 で働く。
なわとびのロープの形を考える。両端を固定し、その両端を結ぶ直線を x 軸としてロープが一定の角速度で回転しながら、常に平面内にあるとする。回転し
ている平面内のロープの形を考えることで単純化されたなわとびを考えている。
固定端を結ぶ直線を x 軸、固定端を x = 0, x = 2a とする。ロープの線密度をρとし、角速度 ω で回転しているとする。
ロープの各点に働く力のつり合いを考える。各点に働く力は次の通りである。
張力 T : これは接線方向に働く
遠心力: これは今の仮定から y 軸方向に働く
ロープに働く重力は考えないものとする。
これらが x 軸方向、 y 軸方向でそれぞれつり合っている。
53
x 軸方向のつり合い：弧長パラメータ s を用いてロープの曲線は (x(s), y(s)) と表され、 (x′(s), y′(s))は単位接ベクトルになっている。従って
T cosψ = Tdx
ds
が張力 T の x 方向の成分になっている。ロープは回転のみで x 方向には変化しないので、力のつり合いは
d
ds(T cosψ) =
d
ds
(Tdx
ds
)より
T cosψ = Tdx
ds=一定 ≡ T0
となる。
y 軸方向のつり合い：ロープの長さ ds の小さな部分に働く遠心力は、質量が ρ ds, 半径 y なので
f = ρω2y ds
である。
54
長さ ds の小部分に働く張力の y 成分は、その左端では −T dydsで、右端では
Taylor展開の第 1項までをとって
Tdy
ds+
d
ds
(Tdy
ds
)ds
である。
この張力が遠心力とつり合うので
ρω2y ds = − d
ds
(Tdy
ds
)ds
よりd
ds
(Tdy
ds
)+ ρω2y = 0
となる。 y を未知関数とする微分方程式が得られたように見えるが、 T も未知なので、このままでは解けない。
d
ds
(Tdy
dx
dx
ds
)+ ρω2y = 0
と書けることと、 Tdx
ds= T0 より
d
ds
(dy
dx
)+ρω2
T0y = 0
である。ここで
p =dy
dx
と未知関数をとりかえると
dp
ds=dp
dy
dy
ds=dp
dy
dy
dx
dx
ds= p
dp
dy
dx
ds
pdp
dy
dx
ds+ρω2
T0y = 0
55
であり、また (ds
dx
)2
=(dx)2 + (dy)2
(dx)2= 1 + p2
であることからp√
1 + p2dp
dy= −ρω
2
T0y
が得られる。これがロープの形を決める微分方程式である。未知関数は p(y) である。
この微分方程式は変数分離形なので∫p√
1 + p2dp = −ρω
2
T0
∫y dy
√1 + p2 = −ρω
2
2T0y2 + C
が得られる。 C は任意定数であるが、 p = 0 となるときがdy
dx= 0 となると
き、すなわち極大点 (y の最高点)なので、これを b として
C = 1 +ρω2
2T0b2
ととると √1 + p2 = 1 +
ρω2
2T0(b2 − y2)
である。方程式としてはこれで解けたことになるが、 p
(=dy
dx
)が y で表され
ているのでロープの形はこの式からは分からない。
もう少し計算する。
1 + p2 = 1 +ρω2
T0(b2 − y2) + ρ2ω4
4T02 (b
2 − y2)2
より
p2 =ρω2
T0(b2 − y2)
{1 +
ρω2
4T0(b2 − y2)
}である。この右辺を
b2
c2(1− η2)(1− k2η2)
56
の形にまとめたい。そのためには
k2 =
ρω2b2
4T0
1 + ρω2b2
4T0
(then 0 < k < 1)
1
c=
√ρω2
T0
(1 +
ρω2b2
4T0
)η =
y
b
とおくとうまくできて
dx
c=
dη√(1− η2)(1− k2η2)
1
c=
2k
k′2b(k′ =
√1− k2)
が得られる。
問題 4.1 これらの関係式を確かめよ。
これより
η = sn(xc
)すなわち
y = b sn(xc
)である。定数の間に
b =2k
k′2c
が成立しているので、先に弧長の計算を行っておいた関数と同じである。
両端の距離 2a と定数 c には
1
c=K(k)
a
の関係があったから
y = sn
(Kx
a
)がロープの形を表している (両端の距離を表す a とパラメータ k で表されたので)。 sn 関数が現れている。また、その全長は
ℓ =4a
k′2E
K− 2a
である (これを計算しておいたのである)。完全楕円積分が現れている。
57
現実のなわとびは、ロープの長さ ℓ と両端の距離 2a が定まっているものである。この立場からパラメータを点検してみよう。
ℓ =4a
k′2E(k)
K(k)− 2a
により ℓ から母数 k が定まる。ロープの最大高さ b は
b =2k
k′2c,
1
c=K(k)
a
により定まる。次に
1
c=
√ρω2
T0
(1 +
ρω2b2
4T0
)により、張力の x 成分 T0 が定まる。さらに回転数
ω
2πが決まると T0 が具体的
に定まる。(速くまわすと強く引っ張られる。)両端でロープが x 軸となす角 ψ0 は
tanψ0 =dy
dx
∣∣∣∣x=0
=b
ccnx
cdn
x
c
∣∣∣∣x=0
=b
c
によって定まる。ロープの張力の x 軸成分は両端で
T cosψ0 = T0
であるから、ロープの張力は
T =T0
cosψ0= T0
√b2
c2+ 1 = T0
√(2k
k′2
)2
+ 1
と定まる。このように ℓ と 2a (なわとびを始める時の状態)から、最高点の高さやロープを回す手の感覚 (張力)が得られる。なわとびのロープは、遠心力の位置エネルギーが最小になる形になっている。
これは
“運動はエネルギーを最小にするように実現される”
という変分原理 (variational principle)によっている。なわとびのロープの形を変分原理で述べると
長さ i.e.,
∫ds =
∫ √1 +
(dy
dx
)2
dx : 一定
のもとで ∫y2 ds =
∫y2
√1 +
(dy
dx
)2
dx
58
を最大にする y を求めるという問題になる。左辺の符号を変えたものが位置エネルギーである。
もう少し詳しく述べると、遠心力 f = ω2y はポテンシャル（位置エネルギー）
u = −1
2ω2y2 により、 f = −du
dyと与えられる。線密度 ρ, ロープの線素 ds, 全
長 ℓ とすると遠心力による全位置エネルギーは
U = −ρω2
∫ ℓ
0y2 ds
で与えられる。また、∫ρy2 ds は x 軸のまわりの慣性モーメントと呼ばれるも
のである。すなわち、位置エネルギーを最小にすることは、慣性モーメントを
最小にすることと同じである。
このような問題を数学では条件付き極値問題という。
ひとつの例として、 (x, y) ∈ R2 が制約条件 g(x, y) = 0 をみたしながら変化するとき、f(x, y) の極値を考えよう。このような極値を求める問題を、グラフで考えると次のようになっている。一
般に、g(x, y) = 0 をみたす (x, y) の全体は、x-y 平面上の曲線になっている。この曲線を C とする。関数 z = f(x, y) のグラフで定まる曲面上で、曲線 C の上にある部分だけを考えると、空間内の曲線 C̃ が得られる。制約条件 g(x, y) = 0のもとで f(x, y) の極値を考えることは、この空間曲線 C̃ の極値を求めることに対応している。
点 (a, b)で極値をとったとして、(a, b)のみたす条件を考えてみよう。(a, b)の近傍で曲線 C が y = φ(x)と表されているとする。このような表現は gy(a, b) ̸= 0ならば可能である (陰関数の存在定理)。y = φ(x) を f(x, y) に代入すると、1変数関数 f(x, φ(x)) が得られるが、(a, b) の仮定から、これは x = a で極値をとっている。したがって、
fx(a, b) + fy(a, b)φ′(a) = 0
が成立している。一方、制約条件についても g(x, φ(x)) = 0 であるから、
gx(a, b) + gy(a, b)φ′(a) = 0
59
が成り立つ。これらから φ′(a) を消去すると
fx(a, b)−gx(a, b)
gy(a, b)fy(a, b) = 0
が得られる。これをfx(a, b)
gx(a, b)=fy(a, b)
gy(a, b)
と表し、この値を λ とおく。すなわち、
fx(a, b)− λgx(a, b) = 0, fy(a, b)− λgy(a, b) = 0
が成り立つ。
ここまでの考察をまとめると、次のようになる。
定理 4.1 (ラグランジュ11の未定乗数法) 制約条件 g(x, y) = 0 のもとで、関数f(x, y)が点 (a, b)で極値をとるとする。ただし、gx(a, b) ̸= 0または gy(a, b) ̸= 0であるとする。このとき
fx(a, b)− λgx(a, b) = 0, fy(a, b)− λgy(a, b) = 0
をみたす定数 λ が存在する。
この定理を利用して、実際に極値の候補となる点を求めるには、次のように
すればよい。 λ を定数として、2変数関数
F (x, y) = f(x, y)− λg(x, y)
を考え、その極値を R2 で求めるときのように、 Fx(x, y) = 0, Fy(x, y) = 0 を計算すると、関係式
fx − λgx = 0, fy − λgy = 0
が得られる。この関係式から、 x, y を（λ を用いて）求め、 g(x, y) = 0 に代入して λ を求めることができる。この λ により、改めて x, y が定まるが、これが極値の候補となる点である。このようにして求めた点に対して、実際に極値
となるかどうか、極小値か、極大値かなどを判定すればよい。このようにして、
制約条件のもとでの極値問題を解く方法をラグランジュの未定乗数法という。
例題 4.1 制約条件 x+ y = 2 のもとで x2 + y2 の極値を求めよう。
F (x, y) = x2 + y2 − λ(x+ y − 2)
とおく。
Fx = 2x− λ, Fy = 2y − λ
11J. L. Lagrange (1736—1813)
60
なので、 Fx = Fy 0 となるのは
x =λ
2, y =
λ
2
の時である。 x+ y = 2 より λ = 2 と定まるので
(x, y) = (1, 1)
が極値を取る点の候補となる。
(言訳)もっとも、この問題では y = 2− x として z = x2 + y2 に代入するとz = 2(x− 1)2 + 2 となり、すぐに最小値がわかる。
関数 y に対する変分原理から、 y に対する微分方程式が導かれる。
I(y) =
∫ b
aF
(y,dy
dx
)dx
とする。 y(a) = y(b) = 0 をみたす関数について I(y) の最小値が y0 で実現したとすると、 ϕ(a) = ϕ(b) = 0 をみたす関数 ϕ に対して
f(ε) = I(y0 + εϕ) : R→ R
は ε = 0 で最小値をとるからdf
dε
∣∣∣∣ε=0
= 0 である。
df
dε=
d
dε
∫ b
aF
(y0 + εϕ,
d(y0 + εϕ)
dx
)dx
=
∫ b
a
(∂F
∂yϕ+
∂F
∂p
dϕ
dx
)dx
=
∫ b
a
(∂F
∂y− d
dx
∂F
∂p
)ϕdx
であり、 ϕ は任意だったから、 y0 は
∂F
∂y− d
dx
(∂F
∂p
)= 0
をみたす。この微分方程式をオイラー 12・ラグランジュの微分方程式という。
なわとびの問題に戻ろう。
制限条件
∫ √1 +
(dy
dx
)2
dx :一定
変分問題
∫y2
√1 +
(dy
dx
)2
dx :最大
12L. Euler (1707—1783)
61
なので未定乗数 α に対し、
I(y) =
∫ 2a
0(y2 − α)
√1 +
(dy
dx
)2
dx
の極値問題を考えることに相当する。オイラー・ラグランジュの方程式は、F (y, p) =(y2 − α)
√1 + p2 なので
d
dx
(y2 − α)dydx√
1 + ( dydx)2
− 2y
√1 +
(dy
dx
)2
= 0
すなわち、
(y2 − α) ddx
dydx√
1 + ( dydx)2+ 2y
( dydx)2√
1 + ( dydx)2−
√1 +
(dy
dx
)2 = 0
である。ここで、第 1項が
d
dx
dydx√
1 + ( dydx)2=
d2ydx2√
1 + ( dydx)2−
( dydx)2(
1 + ( dydx)2)3/2 d2ydx2
=1(
1 + ( dydx)2)3/2 d2ydx2
であり、第 2項の括弧内が−1(
1 + ( dydx)2)1/2
であることより
(y2 − α) 1(1 + ( dydx)
2)3/2 d2ydx2
− 2y(1 + ( dydx)
2)1/2 = 0
y2 − α1 + ( dydx)
2
d2y
dx2− 2y = 0
となる。 dydx をかけて
dydx
d2ydx2
1 + ( dydx)2=
2y
y2 − αdy
dx
と考えると積分できて
1
2log
(1 +
(dy
dx
)2)
= log |y2 − α|+Const.
62
従って
1 +
(dy
dx
)2
= β(α− y2)2 β : Const.
が得られる。初期条件としてdy
dx= 0 となるときの y の値を b とすると
β =1
(α− b2)2
で (dy
dx
)2
= β(α− y2)2 − 1
=1
(α− b2)2(α− y2)2 − 1
=1
(α− b2)2{(α− y2)2 − (α− b2)2
}=
1
(α− b2)2(b2 − y2)(2α− y2 − b2)
となる。従って (dy
dx
)2
=2
α− b2(b2 − y2)
(1 +
b2 − y2
2(α− b2)
)であり、
2
α− b2=ρω2
T0
とおくと、力のつり合いから導いた方程式
p2 =ρω2
T0(b2 − y2)
(1 +
(b2 − y2)ρω2
4T0
)と一致する。
ここで紹介した変分法の考え方は、数学と自然現象を結ぶ架け橋とも言えて、
多くの微分方程式 (常微分方程式、偏微分方程式)の源泉となっている。
63
5 加法定理
ヤコビの楕円関数の母数 k について k → 0 や k → 1 としてみると
sn(u, k)→ sinu (k → 0)
cn(u, k)→ cosu (k → 0)
dn(u, k)→ 1 (k → 0)
sn(u, k)→ tanhu (k → 1)
cn(u, k)→ sechu (k → 1)
dn(u, k)→ sechu (k → 1)
が得られる。
問題 5.1 これらの関係式を確認せよ。
sinu については加法定理
sin(u+ v) = sinu cos v + cosu sin v
をよく知っている。 tanhu についても
tanh(u+ v) =tanhu+ tanh v
1 + tanhu tanh v
が成り立つ。
問題 5.2 sinhu, coshu, tanhu, sechu について加法定理を求めよ。
楕円関数に対しても、これらを結ぶ加法定理が成り立つ。
定理 5.1 (sn の加法定理) 次が成り立つ。
sn(u+ v) =snu cn v dn v + sn v cnudnu
1− k2 sn2 u sn2 v
証明 u+ v = c とおく。
F (u) =snu cn(c− u) dn(c− u) + sn(c− u) cnudnu
1− k2 sn2 u sn2(c− u)
を考えて
F (u) = sn c
を示す。 c は定数、u を変数と考えている。まず、
F ′ =∂F
∂u= 0
64
を示す。記述を簡単にするため
snu = s1, cnu = c1, dnu = d1
sn(c− u) = s2, cn(c− u) = c2, dn(c− u) = d2
と書く。
N = F (u) の分子 = s1c2d2 + s2c1d1
D = F (u) の分母 = 1− k2s12s22
とすると、商の微分公式より
∂F
∂u=N ′D −DN ′
D2
であるから ∂F/∂u = 0 を示すには
N ′D −DN ′ = 0
を示せばよい。
s1′ = c1d1, c1
′ = −s1d1, d1′ = −k2s1c1
s2′ = −c2d2, c2
′ = s2d2, d2′ = k2s2c2
なので
N = s1c2d2 + s2c1d1
= −s1s2′ + s2s1′
N ′ = −s1′s2′ − s1s2′′ + s2′s1
′ + s2s1′′
= s2s1′′ − s1s2′′
となる。一方、
s1′′ = c1
′d1 + c1d1′
= −s1d12 − k2s1c12
= −s1(1− k2s12)− k2s1(1− s12)= −(1 + k2)s1 + 2k2s1
3
s2′′ = −c2′d2 − c2d2′
= −s2d22 − k2s2c22
= −(1 + k2)s2 + 2k2s23
であるから
N ′ = −(1 + k2)s1s2 + 2k2s13s2 + (1 + k2)s1s2 − 2k2s2
3s1
= 2k2s1s2(s12 − s22)
D = 1− k2s12s22
D′ = −2k2s1s22s1′ − 2k2s12s2s2
′
= −2k2s1s2(s2c1d1 − s1c2d2)
65
となる。これより
ND′ = (s1c2d2 + s2c1d1)2k2s1s2(s1c2d2 − s2c1d1)
= 2k2s1s2(s12c2
2d22 − s22c12d12)
= 2k2s1s2(s12(1− s22)(1− k2s22)− s22(1− s12)(1− k2s12))
(s12, s2
2 について対称なので (s12 − s22) の因数をもつ)
= 2k2s1s2(s12 − s22)(1− k2s12s22)
= N ′D
となるので、
F ′(u) = 0
つまり F (u) が u に関して定数であることがわかる。これより
F (u) = F (0) = sn c
である。以上より snu の加法定理が得られた。
さて、このような加法定理の公式をどのようにして発見したのだろうか？
戸田先生の本（参考書）には、Jacobi が振り子の運動を用いて幾何学的にこの公式を導いた考え方が解説されている。ここでは、同じ本にあるもうひとつ
の説明を紹介する。
k → 0 の時 sn(u, k) → sinu, k → 1 の時 sn(u, k) → tanhu であるから、加法公式もそれぞれ k → 0, k → 1 の時の極限として
sin(u+ v) = sinu cos v + cosu sin v
= sinud sin v
dv+d sinu
dusin v
tanh(u+ v) =tanhu+ tanh v
1 + tanhu tanh v
含んでいなければならない。
d tanhu
du=
1
cosh2 u= 1− tanh2 u
に注意すると
tanhud tanh v
dv+d tanhu
dutanh v
= tanhu(1− tanh2 v) + (1− tanh2 u) tanh v
= tanhu+ tanh v − tanhu tanh v(tanhu+ tanh v)
= (tanhu+ tanh v)(1− tanhu tanh v)
66
であるから
tanh(u+ v) =1
1 + tanhu tanh v
tanhud tanh vdv + d tanhu
du tanh v
1− tanhu tanh v
=tanhud tanh v
dv + d tanhudu tanh v
1− tanh2 u tanh2 v
と書き表せる。 snu の加法定理は、これらを k → 0 の時の極限、k → 1 の時の極限としてもつようになっているはずなので
sn(u+ v) =snud sn v
dv + d snudu sn v
1− k2 sn2 u sn2 v
と考えるのが自然である。（これ以外にもあるかもしれないので、この説明は証
明ではない。）
問題 5.3 snu の加法定理で k → 0, k → 1 として sinu, tanhu の加法定理が導けることを確かめよ。
問題 5.4 定理の証明と同じアイデアで sinuの加法定理を導け。(途中で、(sinu)′ =cosu を用いるがこれは加法定理を用いて証明されているので、別証明といえるかどうか？)
定理 5.2 (cn の加法定理) 次の関係式が成り立つ。
cn(u+ v) =cnu cn v − snu sn v dnudn v
1− k2 sn2 u sn2 v
証明 前の定理の証明と同じ略記法を用いる。
sn(u+ v) =snu cn v dn v + sn v cnudnu
1− k2 sn2 u sn2 v
=s1c2d2 + s2c1d11− k2s12s22
であるから
cn2(u+ v) = 1− sn2(u+ v)
=(1− k2s12s22)2 − (s1c2d2 + s2c1d1)
2
(1− k2s12s22)2
である。ここで、
(1− k2s12s22)2 = (s12 + c1
2 − k2s12s22)(s22 + c22 − k2s12s22)
= (c12 + s1
2d22)(c2
2 + s22d1
2)
67
を用いて
分子＝ (c12 + s1
2d22)(c2
2 + s22d1
2)− (s1c2d2 + s2c1d1)2
= c12c2
2 + c12s2
2d12 + c2
2s12d2
2 + s12s2
2d12d2
2
− (s12c2
2d22 + 2s1s2c1c2d1d2 + s2
2c12d1
2)
= (c1c2 − s1s2d1d2)2
であるから
cn2 (u+ v) =(c1c2 − s1s2d1d2)2
(1− k2s12s22)2
が得られる。ここで、 u = v = 0 のとき cn 0 = 1 をみたすように根号をはずすと
cn(u+ v) =c1c2 − s1s2d1d21− k2s12s22
=cnu cn v − snu sn v dnudn v
1− k2 sn2 u sn2 vと結論が得られる。
問題 5.5 cnu の加法定理で k → 0, k → 1 として cosu, sechu の加法定理が導けることを確かめよ。
定理 5.3 (dn の加法定理) 次の関係式が成り立つ。
dn(u+ v) =dnudn v − k2 snu sn v cnu cn v
1− k2 sn2 u sn2 v証明 前の定理の証明と同じ略記法を用いる。
dn(u+ v) = 1− k2 sn2(u+ v)
= 1− k2(s1c2d2 + s2c1d11− k2s12s22
)2
=(1− k2s12s22)2 − k2(s1c2d2 + s2c1d1)
2
(1− k2s12s22)2
である。ここで、分子を計算すると
分子 = (1− k2s12s22)2 − k2(s1c2d2 + s2c1d1)2
= (d12 + k2s1
2c22)(d2
2 + k2s22c1
2)− k2(s1c2d2 + s2c1d1)2
= d12d2
2 + k2s12c2
2d22 + k2s2
2c12d1
2 + k4s12s2
2c12c2
2
− k2{s12c22d22 + 2s1s2c1c2d1d2 + s22c1
2d12}
= d12d2
2 − 2k2s1s2c1c2d1d2 + k4s12s2
2c12c2
2
= (d1d2 − k2s1s2c1c2)2
68
となるので
dn2(u+ v) =(d1d2 − k2s1s2c1c2)2
(1− k2s12s22)2
が得られる。 u = v = 0 のとき dn 0 = 1 になるよう根号をはずすと、結論が得られる。
加法定理には別の表現も知られている。
定理 5.4 次の関係式が成り立つ。
sn(u+ v) =sn2 u− sn2 v
snu cn v dn v − sn v cnudnu
cn(u+ v) =snu cnu dn v − sn v cn v dnu
snu cn v dn v − sn v cnudnu
dn(u+ v) =snu cn v dnu− sn v cnudn v
snu cn v dn v − sn v cnudnu
証明 おなじみになった略記法を用いて計算する。
sn(u+ v) =s1c2d2 + s2c1d11− k2s12s22
× s1c2d2 − s2c1d1s1c2d2 − s2c1d1
=s1
2c22d2
2 − s22c12d12
(1− k2s12s22)(s1c2d2 − s2c1d1)
であるから、分子を計算して
分子 = s12(1− s22)(1− k2s22)− s22(1− s12)(1− k2s12)
= s12(1− s22 − k2s22 + k2s2
4)− s22(1− s12 − k2s12 + k2s14)
= s12 − s22 + k2s1
2s22(s2
2 − s12)= (s1
2 − s22)(1− k2s12s22)
となるから、まとめると
sn(u+ v) =(s1
2 − s22)(1− k2s12s22)(1− k2s12s22)(s1c2d2 − s2c1d1)
=s1
2 − s22
s1c2d2 − s2c1d1が得られる。
この表現式を用いて
cn2(u+ v) = 1− sn2(u+ v)
= 1− (s12 − s22)2
(s1c2d2 − s2c1d1)2
=(s1c2d2 − s2c1d1)2 − (s1
2 − s22)2
(s1c2d2 − s2c1d1)2
69
なので、分子を計算すると
分子 = s12c2
2d22 − 2s1s2c1c2d1d2 + s2
2c12d1
2 − (s12 − s22)2
= (s1c1d2 − s2c2d1)2 + s12c2
2d22 − s12c12d22
+ s22c1
2d12 − s22c22d12 − (s1
2 − s22)2
= (s1c1d2 − s2c2d1)2 + s12d2
2(c22 − c12)
+ s22d1
2(c12 − c22)− (s1
2 − s22)2
= (s1c1d2 − s2c2d1)2 + (s12 − s22){s12d22 − s22d12 − (s1
2 − s22)}= (s1c1d2 − s2c2d1)2
となることを用いて
cn(u+ v) =s1c1d2 − s2c2d1s1c2d2 − s2c1d1
を得る。根号をはずすときに符号に注意する必要があるが、v = 0のとき s2 = 0,c2 = 1, d2 = 1 なので、これであっている。もうひとがんばりしよう。
dn2(u+ v) = 1− k2 sn2(u+ v)
= 1− k2 (s12 − s22)2
(s1c2d2 − s2c1d1)2
=(s1c2d2 − s2c1d1)2 − k2(s12 − s22)2
(s1c2d2 − s2c1d1)2
なので、ここでも分子だけを取り出すと
分子 = (s1c2d1 − s2c1d2)2 + s12c2
2(d22 − d12) + s2
2c12(d1
2 − d22)− k2(s12 − s22)2
= (∗)2 + k2s12c2
2(s12 − s22) + k2s2
2c12(s2
2 − s12)− k2(s12 − s22)2
= (∗)2 + k2(s12 − s22){s12(1− s22)− s22(1− s12)− (s1
2 − s22)}= (s1c2d1 − s2c1d2)2
と計算できるので
dn(u+ v) =s1c2d1 − s2c1d2s1c2d2 − s2c1d1
が得られる。根号をはずすときの符号は v = 0 のとき s2 = 0, c2 = 1, d2 = 1 より、これで大丈夫である。
問題 5.6 s1 = snu, s2 = sn v などの略記法を用いる。次の等式を示せ。
(s1c2d2 − s2c1d1)2 − (s12 − s22)2 = (s1c1d2 − s2c2d1)2
(s1c2d2 − s2c1d1)2 − k2(s12 − s22)2 = (s1c2d1 − s2c1d2)2
70
6 複素数への拡張
snu は
u =
∫ x
0
dx√(1− x2)(1− k2x2)
(−1 ≦ x ≦ 1)
の逆関数として定義した。変数の関係は
−K ≦ u ≦ K ⇐⇒ −1 ≦ x ≦ 1
であった。 K ≦ u ≦ 3K に対しては対称になるように
snu = sn(2K − u)
として拡張し、 −K ≦ u ≦ 3K の外側では周期関数になるように拡張した。
この拡張が加法定理
sn(u+ v) =snu cn v dn v + sn v cnudnu
1− k2 sn2 u sn2 vと矛盾しないことを確かめる。特別な値
snK = 1, cnK = 0, dnK =√
1− k2
に注意すると
sn(u+K) =snu cnK dnK + snK cnu dnu
1− k2 sn2 u sn2K
=cnudnu
1− k2 sn2 u=
cnu
dnu
が加法定理から得られる。この関係式を用いても K ≦ u ≦ 2K に拡張することができる。一方、対称性による拡張では
sn(u+K) = sn(K − u)
=snK cnudnu− snu cnK dnK
1− k2 sn2 u sn2K=
cnu
dnu
71
となるので両者は一致している。同様に
cn(u+ v) =cnu cn v − snu sn v dnudn v
1− k2 sn2 u sn2 v
より
cn(u+K) =−√1− k2 snu dnu1− k2 sn2 u
= −k′ snudnu
(k′ =√
1− k2)
であり、対称性で拡張したものも
cn(u+K) = − cn(K − u)
= −cnK cnu+ snK snudnK dnu
1− k2 sn2K sn2 u
= −k′ snudnu
となって、両者は一致している。また、( cnudnu
)2+(−k′ snu
dnu
)2=
cn2 u+ (1− k2) sn2 udn2 u
=1− k2 sn2 u
dn2 u= 1
より、拡張した関数も
sn2 (u+K) + cn2 (u+K) = 1
をみたしている。 dn (u+K) に対しては
dn (u+ v) =dnu dn v − k2 snu sn v cnu cn v
1− k2 sn2 u sn2 v
より
dn(u+K) =
√1− k2 dnu
1− k2 sn2 u=
k′
dnu
が得られる。
以上で [K, 2K] の範囲への拡張の正当性が確認された。
sn((u+K) +K) =cn (u+K)
dn (u+K)
より
sn(u+ 2K) = − snu
が得られる。加法定理と
sn (2K) = 0, cn 2K = −1, dn (2K) = 1
72
より
sn(u+ 2K) =snu cn (2K) dn (2K) + sn (2K) cnudnu
1− k2 sn2 u sn2 (2K)
= − snu
となることと合致する。同様に
cn(u+ 2K) = −k′ sn(u+K)
dn(u+K)= −k′ cnu
dnu
dnu
k′
= − cnu
dn(u+ 2K) =k′
dn (u+K)= dnu
が得られる。最後の関係式より、 dnu が周期 2K の周期関数であることが確かめられた。
以上で [K, 3K] への拡張が得られた。さらに
sn(u+ 4K) = sn(u+ 2K + 2K)
= snu
cn(u+ 4K) = cn(u+ 2K + 2K)
= cnu
であることから、 snu, cnu が周期 4K の周期関数であることが示された。こうして実軸上への拡張が完成したので、次に複素数への拡張を考える。ま
ず、純虚数に対して sn(iv) を定義したい。これまでに参考になる考え方がないだろうか？
k → 0 の場合は sinu になるから、これとつながるように拡張するのが自然である。
u =
∫ x
0
dt√1− t2
= arcsinx
であり、 x = iy とおくと ∫ iy
0
dt√1− t2
= arcsin(iy)
となる。 t = iη と変換すると
i
∫ y
0
dη√1 + η2
= i sinh−1 y ≡ iv
であるから、これを iv とおくと
iy = sin(iv) = i sinh v
となる。このアイデアを援用する。
73
注意 6.1 sinh−1 y について、はじめてかも知れないので補足する (老婆心)。
sinh v =ev − e−v
2である。y = sinh v を v について解いて逆関数を求めると
v = sinh−1 y = log(y +
√1 + y2
)であり、(sinh−1 y)′ =
1√1 + y2
である。また、 sin θ =eiθ − e−iθ
2iより
sin(iv) =e−v − ev
2i= −1
i
ev − e−v
2= i sinh v
と表される。
さて、
w =
∫ x
0
dt√(1− t2)(1− k2t2)
= sn−1(x, k)
にこのアイデアを適用しよう。まず、この積分は t = sin θ と変換し、 t = x のときの x の値を x = sinϕ と表すと、変数の関係は
t : 0→ x のとき θ : 0→ ϕ
となり、 dt = cos θ dθ =√1− t2 dθ であるから
w =
∫ ϕ
0
dθ√1− k2 sin2 θ
= sn−1(sinϕ, k)
と書けることに注意しておく。アイデアに倣って 0 から iy まで積分し、 t = iηと変数変換すると ∫ iy
0
dt√(1− t2)(1− k2t2)
= sn−1(iy, k)
= i
∫ y
0
dη√(1 + η2)(1 + k2η2)
≡ iv
となる。右辺を iv とおいた。さらに η = tanψ, y = tanφ と変換すると
dη =dψ
cos2 ψ=
√1 + tan2 ψ
cosψdψ =
√1 + η2
cosψdψ
1 + k2η2 = 1 + k2 tan2 ψ
=cos2 ψ + k2 sin2 ψ
cos2 ψ=
1− k′2 sin2 ψcos2 ψ
(k′2= 1− k2)
74
であるから
v =
∫ y
0
dη√(1 + η2)(1 + k2η2)
=
∫ φ
0
1√(1 + η2)(1 + k2η2)
√1 + η2
cosψdψ
=
∫ φ
0
1√1− k′2 sin2 ψ
dψ = sn−1(sinφ, k′)
と計算できる。従って
sinφ = sn(v, k′)
cosφ =
√1− sin2 φ = cn(v, k′)
である。y = tanφ より
y = tanφ =sinφ
cosφ=
sn(v, k′)
cn(v, k′)
が得られる。 v は sn−1(iy, k) = iv で定めたので
iy = sn(iv, k)
であるから、純虚数に対する sn 関数
sn(iv, k) = isn(v, k′)
cn(v, k′)
が得られる。各変数の変域は
−∞ < y <∞
−π2< φ <
π
2−K ′ < v < K ′
である。ここで
K ′ = K(k′) =
∫ π/2
0
dϕ√1− k′2 sin2 ϕ
と書いた。また、この拡張は −K ′ < v < K ′ で定義したが、
sn(iv, k) = isn(v, k′)
cn(v, k′)
の右辺は実数全体で定義できているから −∞ < v <∞ に拡張できる。また、
cn(iv, k) =√
1− sn2(iv, k)
=
√1 +
sn2(v, k′)
cn2(v, k′)=
1
cn(v, k′)
75
であり、(cn 0 = 1 となるよう符号を定めた)
dn(iv, k) =√
1− k2 sn2(iv, k)
=
√cn2(v, k′) + k2 sn2(v, k′)
cn2(v, k′)
=
√1− (1− k2) sn2(v, k′)
cn(v, k′)
=dn(v, k′)
cn(v, k′)
である。いずれも −∞ < v <∞ で定義できる。純虚数変数に対する加法定理を考えよう。 sn に対する加法定理は、第 5章で
実変数について証明した。純虚数に対しては
sn(iv, k) = isn(v, k′)
cn(v, k′)
と定義したので、加法定理は自明ではない。これを確かめよう。
sn(i(v + w), k) = isn(v + w, k′)
cn(v + w, k′)
= i
sn(v,k′) cn(w,k′) dn(w,k′)+sn(w,k′) cn(v,k′) dn(v,k′)
1−k′2 sn2(v,k′) sn2(w,k′)
cn(v,k′) cn(w,k′)−sn(v,k′) sn(w,k′) dn(v,k′) dn(w,k′)
1−k′2 sn2(v,k′) sn2(w,k′)
= isn(v, k′) cn(w, k′) dn(w, k′) + sn(w, k′) cn(v, k′) dn(v, k′)
cn(v, k′) cn(w, k′)− sn(v, k′) sn(w, k′) dn(v, k′) dn(w, k′)
である。いっぽう、加法定理が成立するとすると
sn(iv + iw, k) =sn(iv, k) cn(iw, k) dn(iw, k) + sn(iw, k) cn(iv, k) dn(iv, k)
1− k2 sn2(iv, k) sn2(iw, k)
=i sn(v,k
′)cn(v,k′)
1cn(w,k′)
dn(w,k′)cn(w,k′) + i sn(w,k′)
cn(w,k′)1
cn(v,k′)dn(v,k′)cn(v,k′)
1− k2i2 sn2(v,k′)cn2(v,k′) i
2 sn2(w,k′)cn2(w,k′)
= isn(v, k′) cn(v, k′) dn(w, k′) + sn(w, k′) cn(w, k′) dn(v, k′)
cn2(v, k′) cn2(w, k′)− k2 sn2(v, k′) sn2(w, k′)
となる。 k と k′ をとりかえて
s1 = sn(v, k), c1 = cn(v, k), d1 = dn(v, k)
s2 = sn(w, k), c2 = cn(w, k), d2 = dn(w, k)
と書くと、両者を比較して
s1c2d2 + s2c1d1c1c2 − s1s2d1d2
=s1c1d2 + s2c2d1
c12c22 − k′2s12s22
76
が示されればよいことになる。通分して分子の差を計算する。
(s1c2d2 + s2c1d1)(c12c2
2 − k′2s12s22)− (c1c2 − s1s2d1d2)(s1c1d2 + s2c2d1)
= (s1c2d2 + s2c1d1)(c12c2
2 − (1− k2)s12s22)− (c1c2 − s1s2d1d2)(s1c1d2 + s2c2d1)
= s1c12c2
3d2 − (1− k2)s13s22c2d2 + s2c13c2
2d1 − (1− k2)s12s23c1d1− s1c12c2d2 − s2c1c22d1 + s1
2s2c1d1d22 + s1s2
2c2d12d2
(use c23 = (1− s22)c2, c1
3 = (1− s12)c1)(use d1
2 = 1− k2s12, d22 = 1− k2s22)
= s1(1− s22)c12c2d2 − s13s22c2d2 + k2s13s2
2c2d2
+ s2(1− s12)c1c22d1 − s12s23c1d1 + k2s12s2
3c1d1
− s1c12c2d2 − s2c1c22d1+ s1
2s2c1d1(1− k2s22) + s1s22c2(1− k2s12)d2
= − s1s22c12c2d2 − s13s22c2d2 − s12s2c1c22d1− s12s23c1d1 + s1
2s2c1d1 + s1s22c2d2
= s12s2c1d1(1− c22 − s22) + s1s2
2c2d2(1− c12 − s12)= 0
となるので、目的の等式が示された。
一般の複素数に対しては、加法定理を用いて定義する。
sn(u+ iv) =sn(u) cn(iv) dn(iv) + cn(u) dn(u) sn(iv)
1− k2 sn2(u) sn2(iv)とするのである。ここで
s = sn(u, k), c = cn(u, k), d = dn(u, k)
s1 = sn(v, k′), c1 = cn(v, k′), d1 = dn(v, k′)
と書いて右辺を計算する。
sn(u+ iv) =sn(u) cn(iv) dn(iv) + cn(u) dn(u) sn(iv)
1− k2 sn2(u) sn2(iv)
=s 1c1
d1c1
+ cd(i s1c1 )
1− k2s2(i s1c1 )2
=sd1 + icds1c1c12 + k2s2s12
=sd1 + icds1c1
1− (1− k2s2)s12
=sd1 + icds1c11− d2s12
77
となる。さらに
cn(u+ iv) =cn(u) cn(iv)− sn(u) sn(iv) dn(u) dn(iv)
1− k2 sn2(u) sn2(iv)
=c 1c1− s(i s1c1 )d
d1c1
1− k2s2(i s1c1 )2
=cc1 − isds1d11− d2s12
dn(u+ iv) =dn(u) dn(iv)− k2 sn(u) sn(iv) cn(u) cn(iv)
1− k2 sn2(u) sn2(iv)
=dd1c1− k2s(i s1c1 )c
1c1
1− k2s2(i s1c1 )2
=dc1d1 − ik2scs1
1− d2s12
も得られる。
問題 6.1 cn(u+ iv), dn(u+ iv) に対する結果を確認せよ。
複素平面上で sn 関数の性質を調べよう。実軸 u ∈ R 上では
sn(u+ 2K) = − snu
sn(u+ 4K) = snu
なので周期 4K をもつ (そのように延長した)。特別な値として
sn 0 = 0, snK = 1, sn (2K) = 0
sn (3K) = −1, sn (4K) = 0,
cn 0 = 1, cnK = 0, cn (2K) = −1cn (3K) = 0, cn (4K) = 1,
dn 0 = 1, dnK =√
1− k2, dn (2K) = 1
dn (3K) =√
1− k2, dn (4K) = 1
が得られる。(演習問題にしたような気がする。)複素数 u ∈ C に対しても
sn(u+ 2K) =snu cn (2K) dn (2K) + sn (2K) cnudnu
1− k2 sn2 u sn2 (2K)
= − snu
sn(u+ 4K) =snu cn (4K) dn (4K) + sn (4K) cnudnu
1− k2 sn2 u sn2 (4K)
= snu
78
となるので snu は複素平面 C 上で周期 4K をもつ。また、
sn(iv, k) = isn(v, k′)
cn(v, k′)
であるから、虚軸上では sn は純虚数である。
sn(iv + 2iK ′, k) = isn(v + 2K ′, k′)
cn(v + 2K ′, k′)
= i− sn(v, k′)
− cn(v, k′)= sn(iv, k)
が成り立つので虚軸上では sn は周期 2iK ′ をもっている。特に
sn(iK ′, k) = isn(K ′, k′)
cn(K ′, k′)=∞
である。 u ∈ C に対しても加法定理から得られた関係式
sn(u+ iv, k) =sd1 + icds1c11− d2s12
が成立するので、 v = K ′ として
s = snu, c = cnu, d = dnu
s1 = sn(K ′, k′) = 1, c1 = cn(K ′, k′) = 0
d1 = dn(K ′, k′) =√
1− k′2 = k
を用いると
sn(u+ iK ′, k) =ks
1− d2=
ks
1− (1− k2s2)=
1
ks
i.e., sn(u+ iK ′, k) =1
k sn(u, k)
である。また、 v＝ 2K ′ ととると
s1 = sn(2K ′, k′) = 0, c1 = cn(2K ′, k′) = −1, d1 = dn(2K ′, k′) = 1
より
sn(u+ 2iK ′, k) = snu
となる。すなわち、 snは C上で周期 2iK ′ をもつ。まとめると次のようになる。
定理 6.1 (sn の 2重周期性) u ∈ C に対して
sn(u+ 4K + 2iK ′, k) = sn (u, k)
sn(u+ 4mK + 2niK ′, k) = sn (u, k) (m,n ∈ Z)
が成り立つ。これを楕円関数の 2重周期性と言い、 4K, 2iK ′ を基本周期という。
79
複素平面内の長方形 [0, 4K]× [0, 2iK ′] を基本周期平行四辺形という。ここでの sn の様子を調べれば、複素平面全体での性質がわかる。実変数 u ∈ R に対して snu の値は実数 snu ∈ R である。
sn(u+ iK ′) =1
k sn(u, k)
であるから R, R+ iK ′, R+2iK ′ 上で実数値をとる。v ∈ R に対して sn(iv) の値は純虚数である。
sn(iv + 2K) = − sn(iv)
も純虚数である。代表的な点での値として
sn(iv +K) =sn(iv) cn(K) dn(K) + sn(K) cn(iv) dn(iv)
1− k2 sn2(iv) sn2(K)
=1c1
d1c1
1 + k2 s12
c12
=d1
c12 + k2s12
=d1
1− (1− k2)s12=
1
d1∈ R
sn(iv + 3K) = − sn(iv +K) = − 1
d1∈ R
sn(iK ′) =∞, sn(2K + iK ′) =∞
sn(K + iK ′, k) =1
k, sn(3K +K ′, k) = −1
k
などが得られる。これらをまとめて図に表すと次のようになる。
80
cn も 2重周期性を持っている。
cn(u+ 2K) = − cn(u)
cn(u+ 4K) = cnu
cn(u+ 2iK ′) =cn(u) 1
cn(2K′,k′) − sn(u) sn(2iK ′) dn(u) dn(2iK ′)
1− k2 sn2(u) sn2(2iK ′)
= − cn(u)
cn(u+ 2K + 2iK ′) = cn(u)
なので、基本周期は 4K, 2K + 2iK ′ である。代表的な値として
cn(2K + iK ′) = − cn(iK ′) = − 1
cn(K ′, k′)=∞
cn(4K + iK ′) =∞
cn(K + iK ′) =√
1− sn2(K + iK ′) =
√1− 1
k2
=
√−(1− k2)
k= i
k′
k
が得られる。これらを図示すると次のようになる。
dn の基本周期を求めよう。
dn(u+ 2K) = dn(u)
dn(2iK ′) =dn(2K ′, k′)
cn(2K ′, k′)= −1
dn(4iK ′) =dn(4K ′, k′)
cn(4K ′, k′)= 1
dn(u+ 4iK ′) =dn(u) dn(4iK ′)− k2 sn(u) sn(4iK ′) cn(u) cn(4iK ′)
1− k2 sn2(u) sn2(4iK ′)
= dn(u)
81
であるから 2K, 4iK ′ が基本周期である。いくつかの値を求めると
dn(K) =√1− k2 = k′
dn(K + 2iK ′) =dn(K) dn(2iK ′)− k2 sn(K) sn(2iK ′) cn(K) cn(2iK ′)
1− k2 sn2(K) sn2(2iK ′)
= −dn(K) = −k′
dn(iK ′) =dn(K ′, k′)
cn(K ′, k′)=∞, dn(3iK ′) = −dn(iK ′) =∞
dn(K + iK ′) =√1− k2 sn2(K + iK ′) = 0
dn(K + 3iK ′) = −dn(K + iK ′) = 0
である。これらを図示すると次のようになる。
82