電力回路 対称座標法 - osaka...
TRANSCRIPT
電力回路対称座標法
平成20年6月30日
2
単位値から実値への変換
• 単位値は，実値をベース値で割って得る
• 実値は，単位値にベース値を掛けて求まる
)(.).()( AupA ベース電流電流電流 ×=
)(.).()(
Ωベースインピーダンスインピーダンス
Ωインピーダンス
×= up
)(.).()( VupV ベース電圧電圧電圧 ×=
3
三相電力回路
• 三相一回線送電線の回路
– 回路図
– 回路方程式
( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
+++=−+++=−+++=−
bbcacacccccc
cbcaabbbbbbb
cacbabaaaaaa
ILjILjILjRVVILjILjILjRVVILjILjILjRVV
ωωωωωωωωω
21
21
21
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
cccbcca
bcbbbab
acabaaa
c
b
a
c
b
a
III
LjRLjLjLjLjRLjLjLjLjR
VVV
VVV
ωωωωωωωωω
2
2
2
1
1
1
4
三相電力回路
• 三相一回線送電線の回路
– インピーダンス表示
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
c
b
a
VVV
V
1
1
1
1
ZIVV =− 21
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
c
b
a
VVV
V
2
2
2
2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
c
b
a
a
III
I
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
cccbcca
bcbbbab
acabaaa
cccbca
bcbbba
acabaa
LjRLjLjLjLjRLjLjLjLjR
ZZZZZZZZZ
Zωωω
ωωωωωω
5
三相電力回路
• 三相電力回路の特徴
– 三相のインピーダンスは右式で表される。
• 相間の相互インダクタンスを考慮する必要が有る場合は複雑
• 不平衡となる場合はさらに複雑
• 力技で解けないこともないが・・・
– 楽したい
– 三相平衡の特徴が利用できないか？• 変数変換でなんとかしてみよう！
– そんなに都合のよい変数変換法ってあるんかいな
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
cccbca
bcbbba
acabaa
ZZZZZZZZZ
6
対称座標法• 定義
– 三相交流電圧・電流に対して次式で定義される
• 零相
• 正相
• 逆相
[ ]cba VVVV &&&& ++=31
0 [ ]cba IIII &&&& ++=31
0
[ ]cba VVVV &&&& 21 3
1 αα ++= [ ]cba IIII &&&& 21 3
1 αα ++=
[ ]cba VVVV &&&& αα ++= 22 3
1 [ ]cba IIII &&&& 22 3
1 αα ++=
但し πα 3
2je= 回転を表す。 123 == πα je
011 34
32
2 =++=++ππ
ααjj
ee
1回転
7
対称座標法• 対称座標変換の行列表示
• 対象座標成分から相座標成分への逆変換
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
VVV
VVV
&
&
&
&
&
&
αααα
2
2
2
1
0
11
111
31
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
III
III
&
&
&
&
&
&
αααα
2
2
2
1
0
11
111
31
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
2
1
0
2
2
2
1
01
2
2
11
111
11
1113
VVV
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
&
&
&
αααα
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
300030003
11
111
11
111
2
2
2
2
αααα
αααα
電流も同様
検算
8
対称座標法
• 三相平衡の場合の各値
– 各相の電圧・電流
• 同一振幅
• B相の位相はa相のπ2/3遅れ
• C相の位相はb相のπ2/3遅れ
– 各対称成分は
• 零相
• 正相
• 逆相
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
==
=
−
−
aj
bc
aj
ab
ja
VeVV
VeVV
VeV
&&&
&&&
&
α
απ
π
θ
32
32 2
[ ] [ ] [ ] 01 2312
31
31
0 =++=++=++= αααα aaaacba VVVVVVVV &&&&&&&&
[ ] [ ] [ ] aaaaacba VVVVVVVVV &&&&&&&&& =++=++=++= 333133
312
31
1 1 αααααα
[ ] [ ] [ ] 01 213124
312
31
2 =++=++=++= αααααα aaaacba VVVVVVVV &&&&&&&&
9
対称座標法
• 三相交流電圧・電流の対称座標変換– 相座標系(a,b,c)→対称座標系(0,1,2)
– 対称座標系(0,1,2) →相座標系(a,b,c)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
電流も同様
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
VVV
VVV
&
&
&
&
&
&
αααα
2
2
2
1
0
11
111
31 但し ( )πα 3
2exp j=
10
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
• 相座標表現
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
III
III
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
より
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
2
1
0
2
2
11
111
11
111
III
ZZZZZZZZZ
VVV
cccbca
bcbbba
acabaa
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
αααα
αααα
11
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
• 相座標形式
• 対称座標形式
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
222120
121110
020100
2
1
0
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
どないして変換する?
12
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
III
III
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα より
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
2
1
0
2
2
11
111
11
111
III
ZZZZZZZZZ
VVV
cccbca
bcbbba
acabaa
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
αααα
αααα
は
と表せる
13
対称座標法
• 電圧・電流以外の諸量の取り扱い
– インピーダンス
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
2
1
0
2
2
2
2
2
1
0
2
2
1
2
2
2
1
0
2
2
1
2
2
2
1
0
11
111
11
111
31
11
111
11
111
11
111
11
111
III
ZZZZZZZZZ
III
ZZZZZZZZZ
III
ZZZZZZZZZ
VVV
cccbca
bcbbba
acabaa
cccbca
bcbbba
acabaa
cccbca
bcbbba
acabaa
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
αααα
αααα
αααα
αααα
αααα
αααα
14
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– ここまででは，対称座標法のメリットが見えん
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
222120
121110
020100
2
1
0
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
2
2
222120
121110
020100
11
111
11
111
31
αααα
αααα
cccbca
bcbbba
acabaa
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
15
対称座標法
• 対称座標の利点
– インピーダンス行列の扱い
• 送電線路の場合– 自己インダクタクス
– 相互インダクタンス
– 相座標系でのインピーダンス行列
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
smm
msm
mms
cccbca
bcbbba
acabaa
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
ccbbaa LLL ≅≅
accacbbcbaab LLLLLL ≅≅≅≅≅
ccbbaas ZZZZ &&&& ≅≅≡
accacbbcbaabm ZZZZZZZ &&&&&&& ≅≅≅≅≅≡
密
16
対称座標法• 対称座標の利点
– インピーダンス行列の扱い
• 送電線路の場合
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++++++++++++++
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
msmsms
msmsms
msmsms
smm
msm
mms
cccbca
bcbbba
acabaa
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
αααααααααααα
αααα
αααα
αααα
αααα
αααα
112112
2
11
111
31
11
111
11
111
31
11
111
11
111
31
22
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222120
121110
020100
17
対称座標法• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
( ) ( ) ( )[ ] msmsmsms ZZZZZZZZZ &&&&&&&&& 222231
00 +=+++++=
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]( ) ( )[ ] 0111
11222
31
22231
01
=++++++++=
++++++++=
ms
msmsms
ZZ
ZZZZZZZ&&
&&&&&&&
αααααα
αααααα
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]{ } { }[ ] 0111
11222
31
22231
02
=++++++++=
++++++++=
ms
msmsms
ZZ
ZZZZZZZ&&
&&&&&&&
αααααα
αααααα
{ } { } { }[ ]( )( ) 021
2222
31
231
10
=+++=
+++++=
ms
msmsms
ZZ
ZZZZZZZ&&
&&&&&&&
αα
αα
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]( ) ( )[ ] [ ] msmsms
msmsms
ZZZZZZ
ZZZZZZZ&&&&&&
&&&&&&&
−=−=++++++++=
++++++++=
331
11
31422233
31
222231
11
αααααααα
αααααααα
18
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
{ } { } { }[ ]( )( ) 021
2222
31
231
20
=+++=
+++++=
ms
msmsms
ZZ
ZZZZZZZ&&
&&&&&&&
αα
αα
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]( ) ( )[ ] [ ] msmsms
msmsms
ZZZZZZ
ZZZZZZZ&&&&&&
&&&&&&&
−=−=++++++++=
++++++++=
331
11
31242233
31
222231
22
αααααααα
αααααααα
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]( ) ( )[ ] 01
11332224
31
222231
21
=++++++++=
++++++++=
ms
msmsms
ZZ
ZZZZZZZ&&
&&&&&&&
αααααααα
αααααααα
( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]( ) ( )[ ] 0111
112242
31
222231
12
=++++++++=
++++++++=
ms
msmsms
ZZ
ZZZZZZZ&&
&&&&&&&
αααααα
αααααααα
19
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
• 送電線インピーダンスの対称座標表示
• インピーダンスの対称座標成分は対角項のみ
• 零相，正相，逆相が互いに干渉しない
• アドミタンスでも同様
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ms
ms
ms
ZZZZ
ZZ
ZZZZZZZZZ
&&
&&
&&
&&&
&&&
&&&
0000002
222120
121110
020100
20
対称座標法
• インピーダンス行列の扱い
– 送電線路の場合
• 対称分の各相を独立に表現可能 絵– 零相回路
– 正相回路
– 逆相回路
» 送電線の回路が簡単に描けるようになったでぇ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
+=
ms
ms
ms
ZZZ
ZZZ
ZZZ
&&&
&&&
&&&
2
1
0 2
000 IZV &&& =
111 IZV &&& =
222 IZV &&& =
210 ZZZ &&& =>
21
対称座標法
• 電力回路で用いる機器の対称座標表示
– 負荷
• 三相平衡な場合
– 対称座標表示
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
smm
msm
mms
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
c
b
a
III
ZZZZZZZZZ
III
ZZZZZZZZZ
VVV
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
1
0
222120
121110
020100
2
1
0
0000002
III
ZZZZ
ZZ
III
ZZZZZZZZZ
VVV
ms
ms
ms
&
&
&
&&
&&
&&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
不平衡な場合は→密になる
22
対称座標法
• 電力回路で用いる機器の対称座標表示
– 発電機
• 回路図
• 三相平衡な内部電圧源を持つ
• 三相平衡な内部インピーダンスを持つ
• 接地インピーダンス で中性点接地されている
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
c
b
a
smm
msm
mms
c
b
a
n
n
n
c
b
a
III
ZZZZZZZZZ
VVV
VVV
EEE
&
&
&
&&&
&&&
&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
nZ&
23
対称座標法
– 発電機
• 内部起電力
• 中性点電圧
• 出力電圧・電流
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
1
0
2
1
00
000000
003
0
0
III
ZZ
Z
VVVIZ
En
&
&
&
&
&
&
&
&
&&&
&
( ) ( )03IZIIIZV ncbann&&&&&&& −=−−−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
EE
EE
EE
c
b
a
&&
&&
&&
α
α 2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
11
111
31
11
111
31 2
2
2
2
2
2
1
0
EEE
E
EEE
EEE
c
b
a
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
αα
αααα
αααα
[ ] [ ]210 VVVVVV cba&&&&&& ⇒ [ ] [ ]210 IIIIII cba
&&&&&& ⇒
零・正・逆相別の回路図
24
対称座標による故障計算• 故障の種類
– 短絡故障
• 落雷，樹木接触等– 一線地絡
– 二線地絡
– 三線地絡
– 二線短絡
– 三線短絡
– 断線故障
• 電線・ジャンパ線の切断，遮断器故障による接点開放
– 一線断線
– 二線断線
25
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 一相(a相)の端子を接地
• 故障条件
– 故障条件の対称座標表示
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=
0
0
cb
a
II
V&&
&
無負荷
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
III
III
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
0210 =++= VVVVa&&&&
0212
0 =++= IIIIb&&&& αα
但し ( )πα 32exp j=
022
10 =++= IIIIc&&&& αα
26
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
02211100210 =−−+−=++= IZIZEIZVVVVa&&&&&&&&&&&
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
222
1111
000
IZV
IZEV
IZV
&&&
&&&&
&&&
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=++
0
0
22
10
212
0
1221100
III
III
EIZIZIZ
&&&
&&&
&&&&&&&
αα
αα 解く
27
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+−
=−+−
1202
2101
1202102
1
EIZZIZZ
EIZZIZZ&&&&&&&
&&&&&&&
αα
αα
210
11 ZZZ
EI&&&
&&
++=
210
12 ZZZ
EI&&&
&&
++=
( )210
1
210
12
212
0 ZZZE
ZZZEIII
&&&
&
&&&
&&&&
++=
++−−
=−−=αααα
対称分の等価回路
28
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 一線地絡故障(1LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
• 相座標表示– 故障電流
– 健全相電圧
210
10000 ZZZ
EZIZV&&&
&&&&&
++−
=−=
( )210
120
210
1111111 ZZZ
EZZZZZ
EZEIZEV&&&
&&&
&&&
&&&&&&&
+++
=++
−=−=
210
12222 ZZZ
EZIZV&&&
&&&&&
++−
=−=
210
1210
3ZZZ
EIIIIa &&&
&&&&&
++=++=
( ) ( ) ( )1
210
22
02
210
12
210
1202
210
1021
20
1 EZZZ
ZZZZZ
EZZZZEZZ
ZZZEZVVVVb
&&&&
&&
&&&
&&
&&&
&&&
&&&
&&&&&&
++−+−
=++
−+
+++
+++
−=++=
ααααααα
( ) ( ) ( )1
210
22
0
210
122
210
120
210
102
210
1 EZZZ
ZZZZZ
EZZZZEZZ
ZZZEZVVVVc
&&&&
&&
&&&
&&
&&&
&&&
&&&
&&&&&&
++−+−
=++
−+
+++
+++
−=++=
ααααααα
29
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 二相(bc相)の端子が接地
• 故障条件
– 故障条件の対称座標表示
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
==
0
0
a
cb
I
VV&
&&
無負荷
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
III
III
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=++=
=++=
0
0
0
210
22
10
212
0
IIII
VVVV
VVVV
a
c
b
&&&&
&&&&
&&&&
αα
αα
但し ( )πα 32exp j=
30
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
222
1111
000
IZV
IZEV
IZV
&&&
&&&&
&&&
解く
( )( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=−−+−=
=−−+−=
0
0
0
210
222
11100
221112
00
IIII
IZIZEIZV
IZIZEIZV
a
c
b
&&&&
&&&&&&&&
&&&&&&&&
αα
αα
31
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
1022110
201 E
ZZZZZZZZI &
&&&&&&
&&&
+++
=
1022110
21
022110
020210 E
ZZZZZZZE
ZZZZZZZZZIII &
&&&&&&
&&
&&&&&&
&&&&&&
++−
=+++−−
=−−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=++
0210
1222
1100
12
22112
00
III
EIZIZIZ
EIZIZIZ
&&&
&&&&&&&
&&&&&&&
ααα
ααα
1022110
02 E
ZZZZZZZI &
&&&&&&
&&
++−
=
32
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
1022110
20000 E
ZZZZZZZZIZV &
&&&&&&
&&&&&
++=−=
1022110
201
022110
20111111 E
ZZZZZZZZE
ZZZZZZZZZEIZEV &
&&&&&&
&&&
&&&&&&
&&&&&&&&
++=
+++
−=−=
1022110
20222 E
ZZZZZZZZIZV &
&&&&&&
&&&&&
++=−=
210 VVV &&& == より対称分の等価回路
33
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線地絡故障(2LG) 無負荷時
• 相座標表示– 健全相電圧
– 故障電流
1022110
201
022110
202020210
3 EZZZZZZ
ZZEZZZZZZZZZZZZVVVVa
&&&&&&&
&&&
&&&&&&
&&&&&&&&&&
++=
++++
=++=
( ) ( ) ( )1
022110
22
02
1022110
0202
221
20
1 EZZZZZZ
ZZEZZZZZZ
ZZZZIIIIb&
&&&&&&
&&&
&&&&&&
&&&&&&&&
++−+−
=++
−++−=++=
ααααααα
( ) ( ) ( )1
022110
202
1022110
02
2022
210
1 EZZZZZZZZE
ZZZZZZZZZZIIIIc
&&&&&&&
&&&
&&&&&&
&&&&&&&&
++−+−
=++−++−
=++=ααααααα
34
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 二相(bc相)の端子が短絡（接地はしない）
• 故障条件
– 故障条件の対称座標表示
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
=
cb
a
cb
II
I
VV
&&
&
&&
0 無負荷
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
III
III
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−−−=−=++=
=++=
++==++=
22
10212
0
210
22
10212
0
0
IIIIIIII
IIII
VVVVVVVV
cb
a
cb
&&&&&&&&
&&&&
&&&&&&&&
αααα
αααα
但し ( )πα 32exp j=
35
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
22
10212
0 VVVVVV &&&&&& αααα ++=++
( ) ( ) 022
12 =−+− VV && αααα
( )( ) 0212 =−− VV &&αα
21 VV && =
22
121212
21 IIIIIIII &&&&&&&& αααα −−+=++−−( ) ( ) 022 2
21
221 =+−+−+ IIII &&&& αααα
033 21 =+ II &&
21 II && −=
36
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
222
1111
000
IZV
IZEV
IZV
&&&
&&&&
&&&
21 VV && = 22111 IZIZE &&&&& −=−
21 II && −= 12111 IZIZE &&&&& =−21
11 ZZ
EI&&
&
+=
21
12 ZZ
EI&&
&
+−=
37
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
0210 =++ III &&&21 II && −=
00 =I&
000 IZV &&& −= 00 =V& 対称分の等価回路
121
2
21
1111111 E
ZZZ
ZZEZEIZEV &
&&
&
&&
&&&&&&&
+=
+−=−=
121
2222 E
ZZZIZV &&&
&&&&
+=−=
21 VV && =
38
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 二線短絡故障(2LS) 無負荷時
• 相座標表示– 健全相電圧
– 故障相電圧
– 故障電流
121
21210
22 EZZ
ZVVVVVa&
&&
&&&&&&
+==++=
( )1
21
21
21
22
212
0 EZZ
ZEZZ
ZVVVVV cb&
&&
&&
&&
&&&&&&
+−=
++
=++==αααα
( )21
12
212
0 ZZEIIIII cb &&
&&&&&&
+−
=++==αααα
39
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) • 三相(abc相)の端子が短絡（接地はしない）
• 故障条件
– 故障条件の対称座標表示
⎪⎩
⎪⎨⎧
=++
==
0cba
cba
III
VVV&&&
&&&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
VVV
VVV
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
11
111
III
III
c
b
a
&
&
&
&
&
&
αααα
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++++++++=
=++
++=++=++=
==
22
10212
0210
22
10212
0210
0
IIIIIIIII
III
VVVVVVVVV
VVV
cba
cba
&&&&&&&&&
&&&
&&&&&&&&&
&&&
αααα
αααα
但し ( )πα 32exp j=KCL
40
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
212
0210 VVVVVV &&&&&& αα ++=++
( ) ( ) 011 212 =−+− VV && αα
22
10212
0 VVVVVV &&&&&& αααα ++=++
( ) ( ) 022
12 =−+− VV && αααα
( )( ) 0212 =−− VV &&αα
21 VV && =
( ) ( )[ ] 011 21 =++− VV &&αα
21 11 VV &&α+
−=
41
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
02 =V&
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
−=
21
21 11
VV
VV
&&
&&α 22 1
1 VV &&α+
−=
012
2 =++ααV&
021 ==VV &&
022
10212
0210 =++++++++ IIIIIIIII &&&&&&&&& αααα( ) ( ) 0113 2
21
20 =++++++ III &&& αααα
03 0 =I&
00 =I&
42
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 発電機端子電圧電流の対称座標表示
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
222
1111
000
IZVIZEV
IZV
&&&
&&&&
&&&
00 =I&02 =V& 0
2
22 =−=
ZVI&
&&
222 IZV &&& −=
0000 =−= IZV &&&
01 =V&1111 IZEV &&&& −=
1
11 Z
EI&
&& =
43
対称座標による故障計算• 発電機近傍の故障
– 三線短絡故障(3LS) 無負荷時
• 対称座標表示での電圧・電流解を求める
• 相座標表示– 端子電圧
– 端子電流
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=++=
=++=
0
0
0
22
10
212
0
210
VVVV
VVVV
VVVV
c
b
a
&&&&
&&&&
&&&&
αα
αα
対称分の等価回路0210 === VVV &&& 020 == II &&1
11 Z
EI &
&& =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=
=++=
=++=
1
1
1
1
1
1
22
10
221
20
210
ZE
c
ZE
b
ZE
a
IIII
IIII
IIII
&
&
&
&
&
&
&&&&
&&&&
&&&&
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3LSも3LGも結果は同じ