解析学における計算の理論九州大学 数理科学特論９／数理科学特別講義Ⅸ（集中講義）

平成29年7月

河村彰星（東京大学）

http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kawamura/t/kyushu_H29/スライドも後で載せます

第二部 実数と計算色々な演算の計算可能性・計算量

実函数の計算

函数 𝑓: [0, 1] → 𝐑 を計算する機械 𝑀

文字列 0𝑛 𝑡 の 2−𝑛 近似

機械 𝑀

文字列 0𝑚 𝑓(𝑡) の 2−𝑚 近似

神託

𝑡 が任意の正確さでわかるとき𝑓 𝑡 を任意の正確さで求められるか？

「」

𝑓: 0,1 → 𝐑 が多項式時間計算可能⟺ 多項式時間計算可能な次の函数が存在

この 𝜇: 𝐍 → 𝐍 は 𝑓 の連続度 すなわち

𝑥 − 𝑦 < 2−𝜇 𝑛

⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 < 2−𝑛

計算可能ならば連続

𝑢, 0𝑛 𝑓 𝑢 の 2−𝑛 近似 0𝑛 0𝜇 𝑛

有理数

最大化

定理［Friedman］

次は同値• 𝐏 = 𝐍𝐏• もし 𝑔: 0,1 2 → 𝐑 が 𝐅𝐏 ならば

ℎ 𝑡 = max𝑦∈[0,1]

𝑔(𝑡, 𝑦)

で定まる ℎ: [0,1] → 𝐑 も 𝐅𝐏

［Friedman］ H. Friedman. The computational complexity of maximization and integration. Adv. Math. 53, 1984.

最大値を「達成する点」は求まらない（連続でない）

最大化

𝜑0𝜑1𝜑2

𝜑 を充足する割当の有無

×××○××××××○×

2O(𝑛)個の割当充足○ 不充足×

命題論理式

𝜑

𝑡

𝑦

𝑡

𝑔 の値：○では正×では零

𝑔

ℎ

最大をとる

詳しくは黒板で

K. Ko. On the computational complexity of ordinary differential equations. Inform. Contr. 58, 1983.A. Kawamura. Lipschitz continuous ordinary differential equations are polynomial-space complete. Comput.

Complexity 19, 2010.

計算量の例（微分方程式）

定理［Ko 1983］

リプシッツ連続な 𝑔: 0, 1 × [−1, 1] → 𝐑 が FPSPACEなら

ℎ 0 = 0, ℎ′ 𝑡 = 𝑔 𝑡, ℎ 𝑡で定まる ℎ: [0,1] → 𝐑 も FPSPACE

多項式空間（同様に定義）

𝑡

𝑦

0 1

𝑔(𝑡, 𝑦) ℎ(𝑡)

定理［K 2010］

もしこれが FPについても成立つならば 𝐏𝐒𝐏𝐀𝐂𝐄 = 𝐏

唯一つ存在（コーシー・リプシッツの定理）

以下このことを（やや不正確だが）

「𝑔 から ℎ を求めるのは PSPACE完全」のように呼ぶことにする

微分方程式の計算量（PSPACE完全）

微分方程式の計算量（PSPACE完全）

滑らかな動きのみでPSPACE計算を実現するため

少し頑張る必要あり

5

最大・最小化 積分

定理［葛］

函数 𝑔: 0,1 𝑖+1 → 𝐑 をMAXMIN𝑖 𝑔 : 𝑦 ↦ max

𝑥1∈[0,1]min

𝑥2∈[0,1]… m? ?

𝑥𝑖∈[0,1]𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖 , 𝑦)

に移す操作 MAXMIN𝑖 は「𝚺𝑖p

完全」

定理［Friedman］

函数 𝑔: 0,1 2 → 𝐑 を

INT𝑔 : 𝑦 ↦ න0

1

𝑔 𝑥, 𝑦 d𝑥

に移す操作 INT は「#𝐏 完全」

微分

定理［Pour-El他］

• 𝑓 ∈ C1 0,1 が計算可能でも𝑓′ は計算可能とは限らない

• しかし 𝑓′ が計算可能な連続度をもてば 𝑓′ は計算可能• 特に 𝑓 ∈ C2 0,1 ならば 𝑓′ は計算可能

多項式の根

13

定理

多項式の係数（複素数の有限列）を与えられその根をすべて答える問題は 𝐅𝐏

Shoenhage 1982 の算法実は 𝐅𝐍𝐂 でもできる（Neff 1990）

𝐍𝐂：「効率的に並列化可能」という級𝐋 と 𝐏 の間

零点・逆函数

14

定理

𝑓 0 < 0 < 𝑓 1 なる 𝑓 ∈ C 0,1• 計算可能ならば計算可能な零点あり• 𝐅𝐏 であっても 𝐅𝐏 な零点をもつとは限らず有理数の零点がある場合 ➡ それは計算可能有理数の零点がない場合 ➡ 零点を二分探索（時間は掛るかもしれない）

定理

𝑓 0 = 0 で 𝑓 1 = 1 なる狭義単調函数 𝑓 ∈ C 0,1• 𝑓 計算可能ならば 𝑓−1 計算可能• 𝑓 が 𝐅𝐏 であっても 𝑓−1 が 𝐅𝐏 とは限らない

零点・逆函数

15

定理

𝑓 0 = 0 で 𝑓 1 = 1 なる狭義単調函数 𝑓 ∈ C 0,1𝑓−1 が多項式の連続度をもつと仮定すると• 𝑓 が 𝐅𝐏 ならば 𝑓−1 も 𝐅𝐏• 𝑓 を 𝑓−1 に移す操作は「𝐅𝐏 完全」（対数空間帰着で）

実函数に対する演算の計算量

(summary by Ker-I Ko)http://www.cs.sunysb.edu/~keriko/cca10.pdf

C. H. Papadimitriou. On the Complexity of the Parity Argument and Other Inefficient Proofs of Existence. Journal of Computer and System Sciences 48, 498-532, 1994.

Ker-I Ko. Computational Complexity of Fixed Points and Intersection Points. Journal of Complexity 11(2), 265-292, 1995.

計算量の例（不動点）

定理［Papadimitriou 1994, Ko 1995］

函数 𝑓: 0, 1 𝑑 → 0,1 𝑑（但し逆連続度と呼ばれる多項式 𝑝 が存在し

もし 𝑓 𝑥 − 𝑥 < 2−𝑝 𝑛 ならば或る不動点 𝑥0 が存在して 𝑥 − 𝑥0 < 2−𝑛）

から 𝑓 の不動点 𝑥 を一つ求める問題（𝑑 ≥ 3）は PPAD完全

離散的な問題であるシュペルナーの補題の計算量と同じ

図：ウィキペディアより

𝑑 = 1 なら FP

𝑑 = 2 未解決

C. H. Papadimitriou, N. K. Vishnoi. On the Computational Complexity of Limit Cycles in Dynamical Systems. Proc. ITCS 2016.

計算量の例（連続力学系）

定理［Papadimitriou and Vishnoi 2016］

多項式 𝑓: 0, 1 2 → 𝐑𝟐 からሶ𝑥 = 𝑓 𝑥

で定まる力学系の（近似的）極限閉軌道（limit cycle）上の点を一つ求める問題は PSPACE完全

二階計算量

• 色々な構成の計算量を自然に述べるには神託チューリング機械と多項式時間などの概念を次頁のように拡張するとよい場合がある

𝜑

𝑣 𝜑(𝑣)

多項式時間機械 𝑀

𝑢 𝜓 𝑢

𝜓

神託からの答は長いかもしれない

（これまでの実数の表現 𝜌𝐑 では𝜑 𝑣 があまり長くなることはなかったけど）

➡ 制限時間は 𝑢 と 𝜑 の両方に依る

二階多項式

定義

• 函数 𝜑: Σ∗ → Σ∗ のうち 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ |𝜑 𝑥 | ≤|𝜑 𝑦 | なるもの全体を Σ∗∗ で表す

• そのような 𝜑 ∈ Σ∗∗ の長さ 𝜑 :𝐍 → 𝐍 を𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥

• 神託チューリング機械 𝑀 が 多項式時間 とは計算 𝑀𝜑(𝑥) における遷移回数が或る二階多項式 𝑃(|𝜑|)(|𝑥|) で抑えられること

+ と × と |𝜑| の適用で作られる式例えば 𝜑 4 𝜑 2 𝑥 3 2 + 5 + 𝜑 𝑥 4

今後は FPや FPSPACEはこの定義とする

さっきの例

定理（再掲）

リプシッツ連続な 𝑔: 0, 1 × [−1, 1] → 𝐑 が FPSPACEなら

ℎ 0 = 0, ℎ′ 𝑡 = 𝑔 𝑡, ℎ 𝑡で定まる ℎ = ODE 𝑔 : [0,1] → 𝐑 も FPSPACE

定理（再掲）

もしこれが FPについても成立つならば 𝐏𝐒𝐏𝐀𝐂𝐄 = 𝐏

定理

演算子 ODE: CLip 0,1 × −1, 1 → C 0, 1 は

表現法 𝛿func+L と 𝛿func の下で FPSPACE完全

系 どう表すか？（次頁）

どういう意味で？

（その次の頁）

実函数の名

𝑓(𝑢) の 2−𝑚近似(𝑢, 0𝑚)0𝜇(𝑛)0𝑛

函数 𝑓 ∈ C[0, 1] の 𝛿func名とは

𝜇 は 𝑓 の連続度 すなわち

𝑥 − 𝑦 < 2−𝜇(𝑛) ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 < 2−𝑛

• すべての連続函数 𝑓: [0,1] → 𝐑 は名をもつ• これは 函数適用 𝐴𝑝𝑝𝑙𝑦: C 0,1 × 0,1 → 𝐑 をPにする最弱の表現法である

これに加えてリプシッツ定数の情報を付加した表現 𝛿func+L

これに加えて逆連続度の情報を付加した表現

…… 必要に応じて用いる

𝐴

ワイラオホ帰着

答質問

出力入力

答質問

出力入力 多項式時間

𝐵

多項式時間

𝐴 ≤W

𝐅𝐏𝐵

𝐴 𝐵

「𝐴 は 𝐵 に多項式時間で帰着可能」

（Weihrauch）

微分方程式の解の存在と計算量

コーシー・ペアノの定理（の不成立）＠計算可能性［PR］

𝑔 ↦ ℎは表現法𝛿funcの下で計算不可能

［PR］ M. B. Pour-El and I. Richards. A computable ordinary differential equation which possesses no computable solution. Ann. Math. Log. 17, 1979.

ℎ 0 = 0, ℎ′(𝑡) = 𝑔(𝑡, ℎ(𝑡))

コーシー・ペアノの定理

任意の𝑔に対し解ℎは（原点の近くで）存在

コーシー・リプシッツの定理＠PSPACE

𝑔 ↦ ℎは表現法𝛿func+Lの下で FPSPACE

コーシー・リプシッツの定理

リプシッツ連続な𝑔に対し解ℎが存在

コーシー・コワレフスカヤ＠P

𝑔 ↦ ℎは表現𝛿anの下で P

コーシー・コワレフスカヤの定理

解析的な𝑔に対し解析的な解ℎが存在様々な数学的現象の

データ操作としての側面を理解

数値計算の問題の難しさを計算量により分類

「解析函数に対する計算は容易」？

収束する級数の名

𝑓 𝑧 =

𝑗∈𝐍

𝑎𝑗𝑧𝑗

𝑓 の 𝛿an名𝑎𝑗の

2−𝑛近似0𝑗 , 0𝑛

この級数の収束の速さに関する情報 𝑆

多項式時間で変換𝑎𝑗 𝑗, 𝑆 𝑓, 𝑆

級数の和を取る

テーラー展開

集合の表現（緩い判定）

「画面上に描画する」（自由に拡大表示）計算の難しさ

01 ?

𝜒𝑆 𝑥, 0𝑛 = ൞

1, 𝑑𝑆 𝑥 < 2−𝑛のとき

0, 𝑑𝑆 𝑥 > 2 ⋅ 2−𝑛のとき

?, それ以外どちらでもよい

有理数座標の点

測度の計算

→黒板

??

最近の研究題材

• Gevrey階層（解析函数より広い函数クラス）に対する固定パラメタ計算量［KMRZ15］

• FPの内部の計算量（対数空間 Lや並列計算 NC）［KO14］

• 離散力学系の模倣の困難さとノイズの関係［BRS15］

• フラクタル図形の描画の計算量［BY09］

• ランダム性との関係［BMN16］

［KMRZ15］A. Kawamura, N. Müller, C. Rösnick, M. Ziegler. Computational benefit of smoothness: Parameterized bit-complexity of numerical operators on analytic functions and Gevrey’s hierarchy. J. Complexity 31, 689–714, 2015.

［KO14］ A. Kawamura, H. Ota. Small complexity classes for computable analysis. Proc. MFCS 2014.

［BRS15］ M. Braverman, C. Rojas, J. Schneider. Tight space-noise tradeoffs in computing the ergodic measure. ArXiv:1508.05372, 2015.

［BY09］ M. Braverman, M. Yampolsky. Computability of Julia Sets. Springer, 2009. ［BMN16］ V. Brattka, J. S. Miller and A. Nies. Randomness and Differentiability. Trans. Amer.

Math. Soc. 368, 581-605, 2016.