加減乘除計算題之算則與其原理 劉文斌

高雄市甲圍國小

劉曼麗 國立屏東大學科普傳播學系

一、前言

在計算的教學過程中，我們都會一步步細心的指導孩子每一個計算過程與步

驟，並時時提醒孩子們常犯的錯誤，例如「一定要靠右對齊唷！」、「注意小數點

的位置！」。但是在耳提面命的同時，您是否曾想過這些形式與步驟的形成原因

是什麼？學生在計算的過程非得按照這個方式與步驟才能完成嗎？抑或者不需

要這麼的杞人憂天，認為它終究不過是一個制式的規定，老師怎麼教，學童就怎

麼做，所以不需要解釋也沒有任何的原因或原理！問題的答案顯然是否定的。以

下將從整數的加減乘除算則出發，再依序延伸到分數和小數。在說明之前請您先

想想看以下的問題：

‧ 整數加減法直式紀錄，一定要靠右對齊嗎？

‧ 整數乘法直式紀錄中為什麼所乘出來的每一層數字要向左空一格呢？

‧ 整數除法直式紀錄一定要由左而右作運算嗎？

‧ 不同分母的分數作加減時為什麼要通分？

‧ 分數乘法為什麼是分子乘分子、分母乘分母？

‧ 分數除法為什麼是顛倒相乘？

‧ 小數加減法直式紀錄為什麼是對齊小數點而不是靠右對齊？

‧ 小數乘法直式紀錄需要靠右對齊嗎？相乘之後積數的小數點位置在哪裡？

‧ 小數除法直式紀錄中，餘數的小數點位置有時為什麼和商不同？

上述的問題不知您是否曾經想過，亦或是視為理所當然？其實問題的背後都

隱藏著基本的數學概念，加減乘除算則的紀錄方式都是依附著這些基礎而發展，

相信當您了解這些背後的概念及原理後，對教學將會有實質的幫助，孩童也能在

您有系統、有組織的教學中獲得更完整的概念。本單元將依序說明整數、分數、

小數加減乘除四種運算的算則與其原理。

二、整數加減法

在說明「數」的運算前，讓我們回想一下：這些即將被我們拿來作運算、賦

予其加減乘除意義的「數」，最初到底是如何紀錄且產生的？問題的答案想必大

家都不陌生，其實「數」都是藉著「十進位記數系統」發展而來的！所謂的十進

位記數系統就是透過印度-阿拉伯記數系統的協助，所發展出的一套運算規則，

它利用了 0～9 共十個數字和滿十進一的規則來紀錄「數」，例如整數「198」不

只紀錄了 198 個「一」，也紀錄了 1 個「百」、9 個「十」和 8 個「一」；左邊的

數值都會是相鄰右邊數值的十倍，同時也產生了「位值」與「位名」的概念。以

下的說明皆會利用到這些最基本的原則，因為數的加減乘除運算終究是脫離不了

上述「數」的「由來」，透過運算所產生的「數」，紀錄的方式同樣都需符合「十

進位記數系統」的概念！

當孩童可以利用幾個百加減幾個百、幾個十加減幾個十、幾個一加減幾個一

的方式作整數加減的運算，表示他們的數概念已發展到部分全體運思，懂得利用

多階單位的策略進行加減運算。若此時進一步指導孩童作整數加減算則時，我們

一開始都會「規定」孩子要將被加數和加數靠「右」對齊，然後一個數字對齊一

個數字之後再進行加減運算。但弔詭的是，很多老師在教學現場並沒有向孩子解

釋為何要靠右對齊？因此孩子便無法連結他所利用的多階單位策略運算和算則

的關係，只知道用這樣的方法好像比較快求出答案，也可以更符合老師的要求！

低頭檢查一下你的皮夾，是不是都習慣將千元大鈔、百元大鈔整理放在一

起，在結帳的時候才不會顯得手忙腳亂，作最有效的金錢管理。而這個整理的動

作，就是對齊「同單位」的過程。在做整數加減問題時，我們同樣也要將被加（減）

數與加（減）數的各個數碼（0～9）所代表的位值一一對齊後再作運算，就如同

錢包裡不同面額的大鈔分門別類的被收在一起。而整數加減算則中「靠右對齊」

的規定，其實就是將各個數碼對齊「同單位」的一種方法。只不過我們不用像整

理錢包中的千元鈔、百元鈔一張張分開整理這樣地繁複，只要將個位對齊了，其

他的十位、百位等也都會依序跟著對齊！例如：352+417=( )，寫成直式紀錄

時，我們只需要將 352 和 417 靠右對齊個位（2 和 7），則其他的位數也都會跟著

一一對齊（圖 1）：

百 位

十

位

個

位

3 5 2 ← 靠右對齊「個位」＋ 4 1 7 ← 靠右對齊「個位」 7 6 9

圖 1 加法直式紀錄與說明

將各個數值一一對齊之後，就如同已經整理好的錢包，馬上就可知道有多少

錢了！多少個一元？多少個十元？多少張佰元鈔票、仟元鈔票？因為我們都已經

整理好了，所以算起來也會特別容易！

接著，當然就是要執行計算囉！其中加加減減的過程，就是「化聚」的運用，

所謂的「化」就是將某量或某數以高階單位改以低階單位來描述，反之則稱為

「聚」。在加減計算中，不夠減時利用借位作「化」的動作；相加過程若超過十，

則必須進位作「聚」的動作，而「化」和「聚」的借位和進位，其實都是配合我

們所熟悉的整數十進位記數系統所作的運算過程。我們在作整數加減算則時，也

同樣利用了相同的概念，例如在作個位相減不夠減時，則向被減數的十位進行借

位，並將借來的「10」寫在被減數的個位上面；反之作相加計算時，個位數相加

若超過「10」，我們就只寫下超過「10」後的個位位值，而將十位位值記在十位

數的上面繼續作運算，依此類推，反覆利用直到算出結果（圖 2）。

2 個一加 7 個一得到 9 個一 5 個十加 1 個十

得到 6 個十

3 個百加 4 個百得到 7 個百

百

位

十

位

個

位

百位

十

位 個

位

1 1 5 10

1 6 5 1 6 5

＋ 5 9 － 5 9

2 2 4 1 0 6

圖 2 加法直式紀錄與說明

綜合上述，整數加減算則其實就是先透過靠右對齊使其「同單位」，再利用

「多階單位的策略」進行運算，過程中也利用了十進位記數系統和「化」、「聚」

作進退位的處理。若將其完全利用數字和運算符號寫成一般展開式，與上述一長

串的說明作連結，或許您更能體會出整數加減算則中的數學結構，例如：

165＋59＝（1×100＋6×10＋5×1）＋（5×10＋9×1） ＝1×100＋6×10＋5×1＋5×10＋9×1 ＝1×100＋（6＋5）×10＋（10＋4）×1……………先整理「個位」 ＝1×100＋（6＋5）×10＋1×10＋4×1……………10 個一進位成 1 個十 ＝1×100＋（6＋5＋1）×10＋4×1………………接著整理「十位」 ＝1×100＋12×10＋4×1 ＝1×100＋（10＋2）×10＋4×1…………………10 個十進位成 1 個百 ＝（1＋1）×100＋2×10＋4×1……………………最後整理「百位」 ＝2×100＋2×10＋4×1

三、整數乘法

在使用整數乘法算則時，除了類似整數加減計算運用「同單位」、「多階單位

策略」及「整數化聚」的概念之外，多了乘法的運算，兩兩相乘之後的位置也都

有制式的規定與步驟，這些原因又是什麼呢？以下我們暫時拋開看似惱人的原

因，先由牽一髮而動全身的關鍵螺絲釘---「乘法對加法分配律」開始說起吧！

到底什麼是乘法對加法的分配律呢？其實這是我們經常使用到的基本數學

5 減 9 不夠減，所以向被減數「6」借位

5 加 9 超過 10，所以在個位寫「4」並紀錄進位的數值「1」

概念。若試著用長方形面積的不同求法來作說明（圖 3），我們就可以很輕易的

看出其中「乘法對加法分配律」的性質。例如下圖右：

11 8 3

圖 3 應用長方形面積說明分配律

我們可以很輕易的利用長×寬得到此長方形面積為 11×6＝66 平方單位，但

若將原本的長方形切割成如上圖右兩部分，則此長方形的面積就會等於「斜線部

分面積＋灰色部分面積」，也就是 8×6＋3×6＝66 平方單位，當然，兩種方式的結

果都是一樣的！所以我們可以將上面的算式紀錄整理一下：

11×6＝8×6＋3×6＝66（平方單位）

上述的方法就是將原本的長邊（11）分成斜線長方形的寬（8）和灰色長方

形的寬（3）兩部分，所以這個式子也可以寫成 11×6＝（8＋3）×6＝8×6＋3×6

＝66，其中的（8＋3）×6＝8×6＋3×6 就是乘法對加法分配律的應用（右分配）。

而這也說明了乘法對加法分配律中「先加再乘」和「先乘再加」的結果是一樣的。

當然，我們也可以將原來的長方形以不同的方式切割成另外兩部分如下圖 4：

圖 4 應用長方形面積說明分配律

11

4

2

6

6

長方形面積當然也會等於「斜線部分面積＋灰色部分面積」，也就是 11×4＋

11×2＝66 平方單位，所以也可將算式紀錄成 11×6＝11×（4＋2）＝11×4＋11×2

＝66，這就是乘法對加法的左分配性質。

以上是兩位數乘以一位數的情況，但若擴充到二位數乘以二位數的情況又該

如何呢？例如 68×37，我們可仿照前述將被乘數先拆成兩部分，並利用乘法對加

法分配律的方式得到 68×37=（60＋8）×37=60×37＋8×37，然後再利用乘法對加

法分配律的性質將 60×37 和 8×37 分別分解成為 60×30＋60×7 和 8×30＋8×7，最

後可將算式紀錄成：

68×37＝（60＋8）×37

＝60×37＋8×37

＝60×(30＋7)＋8×(30＋7)

＝60×30＋60×7＋8×30＋8×7

比較一下等號最左邊的式子（68×37）和最右邊的式子（60×30＋60×7＋8×30

＋8×7），哪一個比較容易作運算呢？很顯然的，最右邊的這個式子你應該可以不

費吹灰之力就可迎刃而解了！除了簡化計算過程之外，其實這個式子所隱含的意

義可大有玄機呢！你看出來了嗎？其實「它」就是整數乘法算則中所紀錄的完整

過程呢！以 68×37 為例，將詳細的計算過程寫成直式紀錄如下圖 5：

千 位

百 位

十 位

個 位

6 8 × 3 7 第一層→ 5 6 ←7×8…..○4

第二層→ 4 2 0 ←7×60…○2

第三層→ 2 4 0 ←30×8…○3

第四層→ 1 8 0 0 ←30×60..○1 2 5 1 6

圖 5 乘法直式紀錄與說明

進行右分配

進行左分配

a×（b＋c）＝a×b＋a×c：a 要乘以 b 和 c，a 在括號的左邊，稱作左分配 （a＋b）× c＝a×c＋b×c：c 要乘以 a 和 b，c 在括號的右邊，稱作右分配

從上面的紀錄可以很輕易的觀察到其實兩數相乘的結果就是從第一層數加

到第四層數的總和，也就是 7×8＋7×60＋30×8＋30×60。這個結果就如同上述利

用乘法對加法分配律運算之後所得到等號最右邊被加號所分隔開的四個部分。當

然，其中也還利用到加法和乘法的交換律。

68×37＝60×30○1 ＋60×7○2 ＋8×30○3 ＋8×7○4

說到這邊，不難發現原來整數乘法算則背後最主要的原理，其實就是「乘法

對加法分配律」的應用。而我們一般常用的乘法算則，紀錄方式的過程更為簡化，

僅使用了一次「乘法對加法分配律」，以相同的例子68×37來說明，直式紀錄僅分

成兩層，第一層就是7×68的結果，第二層就是30×68的結果。其中，第二層的個

位數值「0」通常省略不寫，是因為我們實際上僅是在做3×68的動作，試著要算

出3個「十」的68倍是多少個「十」，最終當然只紀錄204即可，表示結果是204

個「十」，沒有用到的「個位」位值，自然就省略不寫囉！（如圖6）

千

位

百

位

十

位

個

位

6 8

× 3 7

第一層→ 4 7 6

第二層→ 2 0 4

2 5 1 6

圖 6 乘法直式紀錄與說明

最後，我們再用同樣的例子寫成展開式來看看！細細體會，您也會發現蘊含

其中的數學結構：

68×37＝（6×10＋8×1）×（3×10＋7×1）

＝（6×10）×（3×10）＋（6×10）×（7×1）＋（8×1）×（3×10）＋（8×1）×（7×1） ＝（6×3）×100＋（6×7）×10＋（8×3）×10＋（8×7）×1

30×68 的結果，「0」通常省略不寫

7×68 的結果

利用「乘法對加法分配律」將其展開。

＝（6×3）×100＋（6×7）×10＋（8×3）×10＋5×10＋6×1 ＝（6×3）×100＋[（6×7）＋（8×3）＋5] ×10＋6×1 ＝（6×3）×100＋71×10＋6×1 ＝（6×3）×100＋7×100＋1×10＋6×1 ＝（6×3＋7）×100＋1×10＋6×1 ＝25×100＋1×10＋6×1 ＝2×1000＋5×100＋1×10＋6×1

四、整數除法（長除法）

讓我們先回想一下，還記得你是如何教導三年級的孩子們作整數除法嗎？接

著，又是如何引導他們使用整數除法算則呢？第一個問題大家都可以根據自身豐

富的教學經驗輕易的回答，但是對於第二個問題或許就有不同的教學方式。「為

什麼要從最左邊的數開始除起？」、「為什麼商數的位置是寫在被除數的上

面？」，以上這些算則中制式的規定，一旦沒有經過我們在課堂中詳細的引導，

學童可能僅是在記憶各個數值位置如何擺放，他們只要記得商數該擺哪裡、餘數

又該放哪裡即可，並無法將解題的想法和紀錄過程作密切的連結。

尚未教導孩子作直式紀錄時，我們通常都是用「先乘後減」的策略進行解題，

對於已經熟悉九九乘法的小朋友來說都能迎刃而解。例如「27 元分給 4 個人，

每人最多可以分到多少錢？還剩下多少錢？」，利用先乘後減的策略，學童可能

會有如下的想法：

27 ÷ 4＝( )…( ) 6×4＝24 27－24＝3

因為 1×4=4、2×4＝8……6×4＝24、7×4＝28，7×4＝28「太多」了，所以用

6×4＝24，再用 27－24＝3，3 元已經不夠分給 4 個人，所以每人最多可以分得 6

元，剩下 3 元。其中，利用背誦九九乘法的過程如 1×4=4、2×4＝8……6×4＝24、

7×4＝28，若要馬上知道 7×4＝28「太多」了而用 6×4＝24，除了要靠學童反覆

練習與計算的經驗累積之外，還要對九九乘法的背誦非常熟悉，而這也就是利用

「估商」策略找到「最大」商的運用。

但如果佈題的情境超過學童利用九九乘法立即解決的情況，此時我們仍然是

透過先乘後減的策略進行解題，不過此時還利用了「多階單位」的策略來協助。

例如「92 元分給 4 個人，每人最多可以分到多少錢？還剩下多少錢？」，此時我

們會引導孩子先分 9 個「十」，再分 2 個「一」。每人先可分得 2 個「十」，剩下

1 個「十」不夠分，再將它轉換成 10 個「一」，繼續平分下去，其中的「十」和

「一」是兩種不同的單位，「大單位」分到不夠分，再轉換為「次大單位」繼續

分，這其實也應用了化聚中「化」的策略！

上述兩種解題過程中，先後運用了「先乘後減」、「估商」、「多階單位」與化

聚中「化」的策略進行解題，而這四種解題策略就是整數除法算則（長除法）的

精神所在！它就是運用了這四種基本的元素濃縮精簡而成的紀錄方式！看到這

裡或許您更覺得疑惑了？裡面真的有這些「元素」嗎？又是如何應用的呢？說明

之前，別忘了除法的情境有兩種情況（請參考除法類型情境部分的說明），包含

除與等分除對我們來說已經不陌生，整數除法算則也可利用這兩種不同的情境來

作區分，解題過程的意義當然也就大相逕庭。以下將透過這兩種不同的觀點來說

明其中「先乘後減」、「估商」、「多階單位」及化聚中「化」策略的應用：

（一）包含除的觀點：

若以包含除問題情境引入，我們可將其視為要算出「被除數中有多少個除

數？」的問題，此時被除數和除數的單位是相同的。以三位數除以一位數為例，

問題的情境：「有 629 人，每 5 人一組，最多共可分成幾組？剩下多少人？」，此

時算則的意義則可解釋成「629 人是 6 個「百」人、2 個「十」人和 9 個「一」

人，每 5 人一組，5 個「百」人可分成 1 個「百」組，2 個「百」組則需要 10 個

「百」人，不夠，所以最多可分得 1 個「百」組，剩下 1 個「百」人；加上原有

的 2 個「十」人，共有 12 個「十」人，每 5 人一組，10 個「十」人可分成 2 個

「十」組，3 個「十」組則需要 15 個「十」人，不夠，所以最多可分得 2 個「十」

組，剩下 2 個「十」人；加上剩下的 9 個「一」人是 29 個「一」人，每 5 人一

組，25 個「一」人可分成 5 個「一」組，6 個「一」組則需要 30 個「一」人，

不夠，所以最多可以分成 5 個「一」組，剩下 4 人，所以共可分成 1 個「百」組、

2 個「十」組和 5 個「一」組，即 125 組最後剩下 4 人。其中的 1、2 和 5 就是

長除法紀錄中對齊百位、十位和個位的位置，直式紀錄如下圖 7：

圖 7 除法直式紀錄與說明

上述利用包含除觀點引入的整數除法算則是否看起來有點陌生？因為我們

必須不斷的調整被除數與除數的單位「人」和商數的單位「組」之間的轉換，對

於百位、十位和個位位值的意義是「人」或「組」需掌握的非常精確，才能順利

從包含除觀點以了解其中的意義。

（二）等分除的觀點：

看似相同的紀錄方式，若以等分除的觀點來看就簡單多了！因為一般的整數

除法算則就是透過此觀點出發，以多階單位策略進行運算而得到的紀錄方式。我

百

位

十

位

個

位

百位

十

位

個

位

百位

十

位

個

位

1 1 2 1 2 5

5 ） 6 2 9 5 ） 6 2 9 5 ） 6 2 9

5 5 0 5 0

1 1 2 1 2

1 0 1 0

2 2 9

2 5

4

1 2 3

6 個「百」人，每 5 人一組，

可以分得 1 個「百」組，剩

下 1 個「百」人

1 個「百」人換成 10 個「十」人，加上原本的 2 個「十」

人是 12 個「十」人，每 5

人一組，可以分得 2 個「十」

組，剩下 2 個「十」人

2 個「十」人換成 20 個「一」

人，加上原有的 9 個「一」

人是 29 個「一」人，可分

得 5 個「一」組，剩下 4 人

所以 629 人共可分成 1 個「百」組、2 個「十」組和 5 個「一」組，也就是 125組剩下 4 個人

們可將其視為是要算出「當被除數被等分成若干份（由除數顯示）時，每份有多

少？」。同樣舉三位數除以一位數問題為例，問題的情境：「共有 629 元，分給 5

個人，每一人最多可分得多少錢？剩下多少錢？」，此時被除數的單位是「元」

而除數的單位是「人」，以等分除的觀點來說，算則的意義可解釋成「若 629 元

是 6 張百元鈔票、2 個十元硬幣和 9 個一元硬幣，先分 6 張百元鈔票，每一人可

分到 1 張百元鈔票，剩下 1 張不夠分，將它換成 10 個十元硬幣，加上原有的 2

個十元硬幣共是 12 個，則每一人剛好可分得 2 個十元硬幣，剩下 2 個十元硬幣

不夠分給五個人，再將它換成 20 個一元，加上原有的 9 個一元硬幣共是 29 個，

最後每人可分得 5 個一元硬幣，剩下 4 個一元，所以每人總共得到 1 張百元鈔票、

2 個十元硬幣和 5 個一元硬幣，即每人可分得 125 元剩下 4 元」，直式紀錄如下

圖 8：

圖 8 除法直式紀錄與說明

眼尖的您應該不難發現，上述兩個例子的數字和結果都是相同的，但紀錄過

程的步驟和意義卻大為不同，茲將其中的差異整理如下表 1：

百

位

十

位

個

位

百位

十

位

個

位

百位

十

位

個

位

1 1 2 1 2 5 5 ） 6 2 9 5 ） 6 2 9 5 ） 6 2 9 5 5 4 1 1 2 1 2 1 0 1 0 2 2 9 2 5 4 1 2 3 先分 6 張百元鈔票，每人可

分到 1 張，剩下 1 張百元鈔

票不夠分給 5 人

剩下 1 張百元鈔票換成 10個十元硬幣，加上原有的 2

個是 12 個，則每人可分得 2

個十元硬幣，剩下 2 個不夠

分給 5 人

剩下的 2 個十元硬幣換成

20 個一元硬幣，加上原有的

的 9 個是 29 個，每人可分

到 5 個一元硬幣，剩下 4 個

一元

所以分給 5 人，每人會有 1 張百元鈔票、2 個十元硬幣和 5 個一元硬幣，即 125元剩下 4 元

表 1 包含除與等分除觀點的差異

項目 觀點 問題情境 單位 算則意義

包含除觀點 有 629 人，每 5 人一組，最多可分成幾組，剩下多少人？

相同 被除數（人） 除數（人）

「被除數」包含多少個「除數」？ EX：629 人中有幾個 5 人？

等分除觀點 有 629 元，平分給 5 人，每一人最多可分得多少錢？剩下多少錢？

相異 被除數（元） 除數（人）

「被除數」被等分成若干份（由「除數」

顯示），每份有多少？ EX：629 元平分給 5 人，每人有多少錢？

綜合上述，不論是透過包含除或等分除觀點引入的整數除法算則，我們都是

由最高位由左而右作「先乘後減」的計算，直接紀錄所利用最大的數，而蘊含其

中最重要的概念就是「估商」策略的運用！我們當然也可以一步步的作計算，慢

慢的由小而大作計算，但是對於講求效率的算則紀錄方式來說，是既囉唆且不必

要的！以同樣的例子來說，紀錄 629÷5 時，為什麼在求商數百位數字時，馬上就

知道用「1」、十位可以用「2」、個位位置又直接將「5」擺上去？其實我們都是

在作「估商」的動作！先分 6 個百，因為 1×5＝5、2×5＝10（超過 6），1×5＝5

是最靠近又不超過 6 的結果；再分 12 個十，因為 1×5＝5、2×5＝10、3×5＝15

（超過 12），2×5＝10 是最靠近又不超過 12 的結果；最後分 9 個一，同理因 1×5

＝5、2×5＝10（超過 9），所以 1×5＝5 是最靠近但不超過 9 的結果，所以商數的

百位、十位、個位數字分別是 1、2 和 5，紀錄過程中所出現的都是「最大」、「最

靠近」的數。同樣以整數除法算則作三位數除以二位數時，我們也會直接跳過百

位，直接檢驗計算出商數十位的數字，因為我們早已在不斷的反覆估商練習中知

道百位已經無法繼續平分，直接換成以十為單位來繼續估商，省略了最初和過程

中不斷反覆估算的步驟。所以我們在作除法時，最初一定是從最小開始算起，不

斷的嘗試，漸漸的會找到用最大的、最靠近的數，最後更直接用最接近的數，作

更簡便的計算，之後再進一步將過程紀錄成直式，這種經由結構化精簡成形式化

語言和符號的過程，就是整數除法算則的意義。若考慮整數都是十進位的記數系

統觀念，進一步利用展開式的方法表示 629÷5，我可以將它寫成如下的算式：

629÷5＝（6×100）÷5＋(2×10) ÷5＋(9×1）÷5 ＝[1×100＋(1×100)÷5]＋(2÷5)×10＋(9÷5)×1………先分 6 個「百」，剩下 1 個「百」

＝1×100＋[(10＋2)÷5]×10＋(9÷5)×1…………………1 個「百」換成 10 個「十」 ＝1×100＋[2×10＋(2×10)÷5]＋(9÷5)×1 ＝1×100＋2×10＋[(20＋9)÷5]×1……………………2 個「十」換成 20 個「一」 ＝1×100＋2×10＋5×1＋[(4×1)÷5]……………………剩下 4 個「一」不夠除以 5

五、分數加減法

從整數到引入分數的教學過程，可能是我們每位現場老師心中永遠的疙瘩！

如何讓孩童可以完整的了解分數概念已是一個很大的挑戰（請參考分數的多重意

義部分說明），若遇到分數相加減問題時，勢必又是另一個嚴峻的考驗！

如果將分數單獨從分子或分母來看，其實都是大家所熟悉的「整數」，所以

在作分數加減問題時，學童第一個想到的一定就是分子相加減分子、分母相加減

分母！其實分數的加減在異分母的情況下是需要透過「通分」的過程。可是「通

分」的意義是什麼？當孩子錯用分子相加減分子、分母相加減分母作分數加減問

題時又該如何作解釋及引導呢？這都是我們可能會面臨但又無法立即交代清楚

的問題！但是，這些基本的原理對學童來說卻是非常重要的觀念，若是讓他們硬

是將「通分」的方法記起來，學童也只是學得記憶性的知識而不知其所以然，所

以在初引入分數加（減）法問題時，最好要避免佈純分數的計算題讓學童解題。

水能載舟亦能覆舟，部分的學童或許能了解通分的概念，但大部分的學童絕對僅

是將過程與步驟死記下來解題，這是值得我們留意的。

分數的加減運算如同整數的加減運算，都需要利用如同將千元大鈔、百元大

鈔整理放在一起的「同單位」概念來進行，只是兩者的方式不同。整數加減算則

是透過「靠右對齊」，而分數加減則是透過「通分」的方式。「通分」若從字面上

來看，我們可以把它想成是「通通分成一樣大小」！分數是等分割後再合成的結

果，其中的分母就是所分割的份數，表示切割的多寡；分子則是合成的結果，表

示真正的數量。當兩個異分母的分數作加減問題時，因為切割份數不同，測量單

位當然就不同，勢必無法直接作合成化聚的運算，而要使其化為「同單位」，就

必須將兩個原來經過不同分割而成的分數化成相同的單位後才能進一步做加減

運算，而「將其等分割成相同的份數」的過程就是在尋找「共測單位」，目的就

如前所述，要「通通分成一樣大小」！當然，我們有很多種找出共測單位的方式，

但通常只要增加分割的份數，我們一定可以找到一個適合的測量單位（記數單

位），但為了簡便，我們都會找最小的共測單位，這也就是利用最小公倍數的概

念在尋找適當的分母！例如： 2 3 和 3 4 作加減運算，

2 3 是以

1 3 為測量單位，

3 4 則是以

1 4

為測量單位，無法直接相加，所以我們可以將 2 3 中的每個 1 3 再分成四等份，

3 4 中的

每個 1 4 再分成三等份，此時 2 3 就等於

8 12，

3 4 就等於

9 12，兩者皆分成 12 等份，以

1 12為

測量單位，就可以輕易的作加減運算，其中找出共測單位「 1 12」的過程就是「通

分」。當然，我也可以將其細分成 24 或 36 等份，以「 1 24」或「 1 36」為共測單位，

但為了計算過程的簡便，我們當然是找 3 和 4 的「最小公倍數」12 作為共測單

位的分母囉！

另外，若是同分母分數相加減時，當然就不需要再找一個「共測單位」，因

為其本身的單位就已經相同，步驟就不用這麼的繁複，看似簡單的同分母分數相

加減，其實卻是最容易犯錯的時刻！因為有些學童可能會直接用分子相加（減）

分子、分母相加（減）分母而得到錯誤的結果，那麼又該如何引導呢？如下圖 9

和圖 10 將舉例並說明兩種分數相加的情況：

（一）同分母

佈題：

1 4 塊披薩和

2 4 塊披薩共是多少個披薩？

1 4 塊（以

1 4 為測量單位，有 1 個

1 4 塊）、

2 4 塊（以

1 4 為測量單位，有 2 個

1 4 塊）

算式： 1 4 ＋

2 4

1 4 塊＋

2 4 塊，測量單位相同，不需要「通分」

＝ 1＋2

4 ＝ 3 4 塊 1 個

1 4 塊＋2 個

1 4 塊得到 3 個

1 4 塊，所以共是

3 4 塊披薩

1 4 塊

2 4 塊

3 4 塊

測量單位皆為 1 4

圖 9 同分母分數相加與說明

＋ ＝

上圖 9 中，同分母分數 1 4 塊加 2 4 塊時，若只看等號的左邊（ ＋ ），圖示

的結果好像應該是 3 8 （ ）塊，但正確的答案卻是

3 4 塊？也正因為圖示的誤

導，部分的學童可能就會直接利用分子加分子、分母加分母的方式來作計算！實

際上， 1 4 是一個測量單位，

1 4 ＋

2 4 算式的意義表示 1 個

1 4 加上 2 個

1 4，結果應是 3

個 1 4 得到

3 4 。若直接將分子、分母相加即

1＋2 4＋4 ＝

3 8 ，結果是以另一個測量單位

1 8 所

得到的結果，雖然測量單位是可以任意作切割的，但由 1 4 變成

1 8 時，除了測量單

位改變，其實分數在部分全體意義中的「全體」，同時也被悄悄的改變了！ 1 4 為

測量單位時是以「1（ ）」為全體，但變成 1 8 時則是以「2（ ）」為全體。

所以在作同分母分數加減算則時，分母不能相加減分母最主要的原因，就是因為

不論是以何種等分割方式為主的「全體」，都是不會被改變的！

（二）異分母

佈題：

2 3 塊披薩和

1 4 塊披薩共是多少塊披薩？

2 3 塊（以

1 3 為測量單位，有 2 個

1 3 塊）、

1 4 塊（以

1 4 為測量單位，有 1 個

1 4 塊）

算式： 2 3 ＋

1 4

2 3 塊＋

1 4 塊，測量單位不同，需要「通分」

＝ 8 12＋ 3 12 利用「通分」找出「共測單位」是

1 12 塊

＝ 8＋3

12 ＝ 11 12 塊 8 個

1 12 塊＋3 個

1 12 塊得到 11 個

1 12 塊，所以共是

11 12 塊披薩

2 3 塊

1 4 塊

8 12塊

3 12 塊

11 12 塊

圖 10 異分母分數相加與說明

簡單來說，「通分」的意義就是尋找「共測單位」使之化成「同單位」的過

尋找

共測單位

＋ ＋＝

程。若單位不同，合成化聚就顯得沒有意義了，例如分別有 2「公斤」和 3「台

斤」的蘋果，因為「公斤」和「台斤」單位不同，我們就不會去作如 2＋3＝5 合

成的運算，因為所合成的結果「5」是沒有意義的。

六、分數乘法

分數的乘法對學童來說應該算最輕鬆愜意作計算的一個算則了！因為它和

整數的乘法相類似，最大的差異應該在於中間多了一條線分隔成上下兩部分，學

童只要透過分子乘以分子、分母乘以分母馬上就可以得到答案，不僅「口訣」好

記，九九乘法經過多年的洗禮也早已是滾瓜爛熟，所以分數的乘法對大部分的學

童來說，都不會有太大的問題。但是，若再追問下去，「分母乘分母、分子乘分

子的理由是什麼？」或「分數乘法」的意義是什麼？相信我們一時之間對這看似

簡單的問題會不知所以然吧！其實原因和分數最初的概念－「等分割與合成」的

意義是相同的，分數的乘法只是再經過一次的「等分割與合成」的結果。

以分數 2 3 為例，

2 3 的意義就是將「1」等分成 3 份後，再取其中的 2 份所得

到的值。相對地，分數乘法 3 4 ×

2 3 的意義是將被乘數

3 4 等分成 3 份，再取其中的 2

份。若說得再詳細一點， 3 4 就是將 1 分成 4 份，取其中的 3 份共有 3 個

1 4 ，每一

個 1 4 又再等分成 3 份，共被分成 4×3＝12 等份，每一份就是

1 12，然後拿出其中的

2 份是 2 12。但因原本就有 3 個 1 4，所以總共拿出 3×2＝6 份，也就是 6 個

1 12得到

6 12。

上述的過程中，「4×3＝12」和「3×2＝6」就是口訣中「分母×分母」和「分子×

分子」的過程。所以除了被乘數 3 4 原本已是等分割與合成的結果之外，乘以分數

2 3 的過程等於又再做了一次等分割與合成的動作，所以分數乘以分數的過程其實

就是兩次「等分割與合成」的結果，第一次的全體為「1」，第二次則是以「被乘

數（ 3 4 ）」為等分割的全體。所以分數乘法算則的口訣「分母×分母」指的就是將

一個基準單位量（被乘數的單位分數）透過再等分割活動後是「平分成幾等分」，

而「分子×分子」就是指被乘數的原份數（被乘數的單位分量）經等分割活動及

倍的活動之後應「拿出多少份」，最後再透過合併等分割份數的方式所得到的結

果。算式說明如下圖 11：

34 ×

2 3 ＝

3×2（拿出多少份） 4×3（平分成幾等分）＝

6 12

圖解：

圖 11 分數乘法與說明

綜合上述，當在真分數乘以真分數的情況下，琅琅上口的口訣中「分母×分

母」、「分子×分子」其實就是要算出要平分成幾份（求分母），再算出要拿出幾份

（求分子）。但是，當被乘數或乘數換成是假分數或帶分數時又該如何解釋呢？

其實，我們只要多轉個彎，就可以再利用前述相同的方式作運算。例如 5 4 ×

2 3，

5 4

是超過 1 的假分數，我們已無法用兩次「等分割與合成」的結果作合理的解釋，

但是若將原算式轉換成 5×（ 1 4 ×

2 3 ），其中的

1 4 ×

2 3 就會如同前述真分數相乘的情況，

而 5×（ 1 4 ×

2 3 ）就是 5個（

1 4 ×

2 3 ）的結果（如下圖左）。

如果是帶分數的情況又會如何呢？其實我們通常都會將帶分數轉換成假分

數，再用分子乘以分子、分母乘以分母的方式作計算。但別忘了，我們仍然可以

利用乘法對加法的分配律來運算，例如 1 1 4 ×

2 3，可以將其列式成 1

1 4 ×

2 3 ＝（1＋

1 4 ）

× 2 3 ＝1×

2 3 ＋

1 4 ×

2 3 ，其中 1×

2 3 就是 1 個

2 3 ，而

1 4 ×

2 3 就是前述再次「等分割與合成」

的結果（如下圖 12）。

3 4 就是有 3 個

1 4

每一個 1 4 先分成 3 等分，每一等分就是

1 12

（分母 12＝4×3）

總共拿出 6 等分，也就是 6 個 1 12得到 6 12

（分子 6＝3×2）

or

or

or

假分數時 帶分數時 5 4 ×

2 3 ＝ 1

1 4 ×

2 3 ＝

5 4 就是有 5 個

1 4

1 1 4 就是 1 個 1 和 1 個

1 4

每一個 1 4 先分成 3 等分，

每一等分就是 1 12

將 1 和

1 4 都三等分（乘法對加

法的分配律），每一等分分別是 1 3 和

1 12

再從中拿出 2 等分，也就

是 2 個 1 12得到

2 12，一共有

5 個 2 12就是

10 12

拿出其中的兩份分別是 2 個 1 3

和 2 個 1 12，總共就是

23＋

2 12＝

10 12

圖 12 分數乘法與說明

七、分數除法

「顛倒相乘」似乎是作分數除法的一道聖旨，只要聖旨一出，任何難題都可

以瞬間迎刃而解！所以只要學童熟練分數的乘法，我們通常在課堂上就會很自然

而然地「跳過」分數除法算則的說明，直接告訴他們「顛倒相乘」的口訣。但是，

「顛倒相乘」的理由到底是什麼呢？

在說明之前，讓我們再回頭複習一下整數除法的意義，算式 8÷4 若用包含除

的情境解釋，就是指 8 是由幾個 4 所組成。同樣的道理，同分母的分數除法 8 9 ÷ 4 9

的意義就是 8 9 是由幾個

4 9 所組成，我們可以由算式

8 9 ÷

4 9 ＝8÷4＝2(個)得到答案，

所以同分母的分數除法可以轉換成以整數除以整數的方式來作計算。再進一步推

展到異分母的分數除法，根據上述，我們只要找出相同的單位分數後就可用整數

除以整數的方式來計算，而找相同單位分數的過程，其實就是在作異分母加減問

題時所採用「通分」的方式。例如 3 4 ÷

2 5 ，我們可以尋找一共測單位如

1 20 ，將

3 4 化

成 15 20 ，

2 5 化成

8 20 。如此一來，原問題

3 4 ÷

2 5 就變成

15 20 ÷

8 20 ＝15÷8＝

15 8 。但我們通

常對算式過程中尋找相同單位分數的過程簡單的帶過，因 3 4 ÷

2 5 可以直接用

3 4 ×

5 2

得到相同的答案。但值得我們思考的是：若此時直接引入「顛倒相乘」的作法與

口訣，是否只是提高了學童背誦口訣的意願！

在作異分母分數除法算則時，直接頒佈聖旨－「顛倒相乘」的方式似乎不夠，

應該要利用「單位轉換」的觀念進一步作說明。在引導的過程中，可透過從兩個

不同單位分數同時轉換為以兩分數的「共測單位」為新單位的方式解題，但在通

分的過程中故意先不乘出結果，透過一步步的推導過程讓學童發現其中顛倒相乘

的規則。所以「顛倒相乘」僅是簡化過程的一種紀錄方式，並不具有任何的意義。

故在引導的過程中，直接將規則硬往學童身上套是揠苗助長的，留一點墊步與思

考的空間，他們或許會跳得更高、更遠！。引導方式如下： 3 4 ÷

2 5 ＝（

3 4 ×

5 5 ）÷（

2 5 ×

4 4 ）←利用通分尋找「共測單位」為

1 20

＝ 3×5 4×5 ÷

2×4 5×4

＝ 3×5 20 ÷

4×2 20 ←

3 4 是 3×5 個

1 20 ，

2 5 是 4×2 個

1 20

＝（3×5）÷（4×2） ← 3×5 20 ÷

4×2 20 的商和（3×5）÷（4×2）的商一樣

＝ 3×5 4×2 ←分數可視為整數相除的意涵（a÷b＝

a b ），暫不算出結果

＝ 3 4 ×

5 2 ←讓學童觀察乘數恰好是除數的倒數，故為「顛倒相乘」

＝ 15 8

八、小數加（減）法

小數和分數的關係就像是可以互借醬油、鹽巴的好鄰居一樣，除了都是等分

割後的結果之外，在初引入小數的概念時，我們也常常藉由分數作為引入的媒

介。小數的加減運算當然也可以透過分數加減運算的解題策略，先轉換為分數作

加減再化為小數，但這都是初引入時所使用的教學策略與解題模式。

小數如同整數，皆符合十進位記數系統，所以小數加減算則可視為整數加減

算則的延伸，前者的差異只不過是在整數後面多加了小數點。如此一來，算則的

規定當然也就有了一些改變！但是所秉持的精神仍然是維持著相同的原則－都

必須利用對齊「同單位」的概念進行。整數加減算則中原本該「向右對齊」的規

定，在作小數加減運算時則派不上用場了！唯有「對齊小數點」後，其他的位名

才會一一對齊。所以為了對齊「同單位」，在作小數加減算則時不再是利用「個

位」位名「向右對齊」了，而是要改變成對齊「小數點」！除此之外，十進位的

系統也由 10、100 向小數點右方延伸至 10-1（十分位）、10-2（百分位）等，如同

前述在整數加減運算中「多階單位」及「化聚」的策略，仍然以相同的模式運作

著！

百 位

十 位

個

位

百

位

十

位

個

位

小

數

點

十

分

位

百 分 位

1 2 1 ← 靠右對齊個位 1 2 1 . 0 ←整數加減法中的靠右對齊也可以看成是

對齊「小數點」，並將

小數點後的數值與位

名省略不寫。

＋ 3 7 ← 靠右對齊個位 ＋ 3 7 . 0 1 5 8 1 5 8 . 0

圖 13 小數加法與說明

如上圖 13 所示，整數加減算則中我們也可以看做是省略了小數點符號，121

＋37＝158 可看作是 121.0＋37.0＝158.0，原本向右對齊的規則其實也是在對齊

小數點，只不過將小數點右方的十分位、百分位等位名省略不看。從「靠右對齊」

到對齊「小數點」這樣的轉變，似乎對學童來說是一個全新的觀念，但只要我們

將小數與整數算則中對齊同單位的方法與連結交代清楚，學童將可了解對齊後小

數點左右兩方各個位名的位置與關係。對於早已熟練整數加減運算經驗的學童，

小數加減算則就很容易上手了！

最後，如上述的方式寫成展開式如下：

2.85＋0.28＝（2×1＋8×10-1＋5×10-2）＋（2×10-1＋8×10-2） ＝2×1＋（8＋2）×10-1＋（5＋8）×10-2………13 個「0.01」可進位 1 個「0.1」

＝2×1＋（8＋2）×10-1＋1×10-1＋3×10-2 ＝2×1＋（8＋2＋1）×10-1＋3×10-2……………11 個「0.1」可進位 1 個「1」

＝（2＋1）×1＋1×10-1＋3×10-2 ＝3×1＋1×10-1＋3×10-2

九、小數乘法

我們直接比較如下所示小數和整數乘法算則：

0 ‧ 9 9

× 0 ‧ 4 6 × 4 6

5 4 ← 第一層 → 5 4

3 6 ← 第二層 → 3 6

0 ‧ 4 1 4 4 1 4

圖 14 小數乘法與說明

在上圖 14 右邊算式中第一層的數字 54 和第二層數字 36 分別是代表由 6×9

所得到 54 個一和 4×9 所得到 36 個十，這是我們在整數乘法算則中很熟悉且清楚

的計算過程；但是，我們再看看左邊的 54 和 36，你可以很輕易的分辨出它們所

代表的意義嗎？比較一下左邊和右邊的算式，我們其實不難發現，原來除了小數

點和小數點前的「0」之外，各個數碼的位置都一樣，也就是說：左邊的算式和

小數倍問題的解題概念似乎沒有什麼關連！因為此種紀錄方式，是我們透過熟悉

的整數乘法算則來解決小數倍的乘法問題。

小數乘法算則其實是透過轉換為分數簡化後的一種紀錄方式，且轉換為分數

的過程非常地單純，皆是以 10 的倍數作為分母的分數！以 0.9×0.46 為例，我們

可以將原題轉換為分數形式成 9 10 ×

46 100 ，而分數的乘法如前所述就是再一次等分

割與合成的結果，而我們目前所使用的小數乘法算則，只不過是將其中的過程以

另一種更簡單的形式紀錄下來。分子乘以分子部分就好比整數的乘法，可求得

9×46＝414，分母乘以分母部分就是等分割後的結果，先將「1」十等份得到「 1 10 」，

再將「 1 10 」一百等份得到「

1 1000 」，結果是一千等份其中的 414 份，轉換為小數

就是 0.414。而分數切割是由「十」等份後再「一百」等份得到一千等份的結果，

因此我們可以由被乘數 0.9 的小數位數「1」加上乘數 0.46 的小數位數「2」，而

得到 0.9×0.46 的結果是「3」位小數。

值得一提的是，此時小數乘法成人算則中各個數碼位置所表示的位名，和整

數成人算則中各個位名皆須對齊的方式已經完全風馬牛不相干了！為了簡化成

整數的計算，小數乘法算則中的被乘數與乘數全部都向右對齊，乘完的結果再用

上述「被乘數的小數位數」加「乘數的小數位數」的結果來決定「積的小數位數

有幾位？」。而其中相加後所得到的小數位數結果，就是代表分數中共等分成幾

份的意義。

0.9 × 0.46＝

＝ 9 10 ×

46 100 （先轉化成分數再作計算）

＝ 9×46

10×100 （分子如同整數乘法的計算）

＝ 414 1000 （被乘數和乘數的小數位數之和為 3，即

如同 414 被 1000 等份的意義） ＝0.414

圖 15 小數乘法與說明

顯然的，我們如果直接教導學童直接使用小數乘法算則，他們勢必無法輕易

的了解其中的解題紀錄過程而容易迷失學習的方向，最後可能只會死板地先算整

數乘法，再數數看被乘數和乘數的小數位數而得到最後的結果。所以，在初引入

小數的乘法時，我們可以利用小數與分數的轉換，將小數的乘法轉換成學童已熟

悉的分數乘法，最後再轉換成小數。其中分子乘以分子（9×46）就是整數乘法算

則的部分，而分母（1000）就是對照小數的位數，如此與成人的算則作連結（圖

15），相信學童對成人的算則將不再霧煞煞！

我們也可利用 10-1、10-2 等方式將其化為展開式：

0.9 × 0.46＝（9×10-1）×（46×10-2） ＝（9×46）×（10-1×10-2）………對照「整數乘法算則」和「分數等分割」的意義

＝（9×46）×10-（1＋2）……………「1＋2」可對照被乘數和乘數的小數位數 ＝414×10-3 ＝0.414

十、小數除法

0 ‧ 9 小數位數

1 位

× 0 ‧ 4 6 小數位數

2 位

5 4 第一層

3 6 第二層

0 ‧ 4 1 4 小數位數

1＋2 位

最棘手的小數除法終究得面對它！學生一定常被小數點的位置搞得暈頭轉

向。大家在教學時應該也有解釋到無力卻仍舊抵不過孩子一再犯錯的感受吧！相

信大部分孩子的疑問一定都是「為什麼商的小數點和餘數的小數點對齊的位置不

同？」、「商的小數點到底是對齊被除數移位前的小數點還是移位後的小數點？」

其實小數除法與整數的除法雷同，差別就在於「小數點」的處理，我們只要透過

大小單位轉換的活動就可以理解兩個不同小數點位置所代表的意義。以下直接對

照整數除法算則來說明小數除法算則的意義：

（一）除數為整數

小數除以整數和整數除法算則類似，以等分除的觀點來看，就是個位有幾個

1 等分完後還有剩餘，繼續等分並紀錄十分位、百分位等小數點的位值。只是將

被除數的單位延續成多少個 0.1、多少個 0.01 被等分的意義。此時紀錄商數有幾

個 0.1、幾個 0.01 的位置時，就必須加上小數點作區別，如此繼續平分到問題所

要求的結果即可順利求出答案。

（二）除數為小數

當被除數和除數皆為小數的時候，小數除法算則中通常都會將小數點同時向

右移動，目的就是要讓除數變成整數，算式就會變成和第（一）種類型（小數除

以整數）或整數除以整數時相同，但要注意的是，被除數和除數原來以「1」為

單位結構的意義已經改變了！

我們通常都會將這個看似複雜的原因直接省略不說，但也因為我們的疏忽，

導致學童在作小數除以小數的問題時，所得的「餘數」已經不知道該對齊哪一個

5 . 8 說明： 23.5÷4，2 個「10」不夠等分成 4 份，所以換成 20 個「1」，加上原

有的 3 個「1」是 23 個「1」，等分成四份每份是 5 個「1」剩下 3

個「1」，剩下的 3 個「1」不夠等分成 4 份，所以再換成 30 個「0.1」，

加上原有的 5 個「0.1」是 35 個「0.1」，等分成 4 份每份分得 8 個

「0.1」剩下 3 個「0.1」，所以 23.5 分成 4 等份，每份是 5 個「1」

加 8 個「0.1」是 5.8，剩下 3 個「0.1」是 0.3。其中，商數與餘數

的位置皆需補上小數點，對齊被除數的小數點位置。

4 ）2 3 . 5 2 0

3 5 3 2 0 . 3

小數點？因為他們根本就不清楚同時移動被除數與除數的小數點位置，轉換記數

單位後，餘數此時所代表的意義是什麼？以問題「23.6 公尺長的繩子，1.4 公尺

剪成一段，盡量剪完，可以剪成幾段，還剩下多少公尺？」為例，我們通常都會

將算式寫成如下：

小數點移位後，算式變成 236÷14，此時所代表的意義是將 23.6 公尺長的繩

子換成以「0.1」公尺為新單位，「換單位」後問題的意義即變成「236 個 0.1 公

尺長的繩子，每 14 個 0.1 公尺剪成一段，盡量剪完，可以剪成幾段，還剩下多

少公尺？」，得到的答案商為 16，餘數為 12，商 16 即代表可剪成 16 段，但此時

的餘數 12 卻不是代表剩下 12 公尺，因為此時是以「0.1」為新單位，所剩的「12」

是指還剩下 12 個 0.1 公尺，即 1.2 公尺才是正確的答案！所以在利用「換單位」

的策略進行解題時，小數除以小數所得到的商需對齊移位後的小數點，而餘數的

小數點則需對齊移位前的小數點！最後，我們再將其化為展開式作對照：

23.6÷1.4＝（236×10-1）÷（14×10-1）

＝（236÷14）×10-1……………………………轉換成以 10-1 為單位

＝[（23×10＋6×1）÷14]×10-1………………中刮號內如同作整數除法 236÷14

＝{[（1×10）＋（6×1）]×14}×10-1＋[（12×1）÷14]×10-1

＝[（1×10）＋（6×1）]×1.4＋[（12×1）÷14]×10-1

……可分成 16 個「1.4」，剩下 12 個 0.1 不夠除以 1.4

十一、結語

看完上述的說明，其實加減乘除算則背後的原因，都隱藏著最基本的數學概

念。而這些最精簡的紀錄方式，也都是依附著這些基礎概念所發展出來智慧的結

1 6 . 1 被除數和除數同時乘以 10，也就是轉換成以「0.1」為新的記數單位，即 236 個 0.1 除以 14 個 0.1

1 . 4 . ） 2 3 . 6 . ↑ 1 4 ↑ 2 箭頭所指方向為新的小數點位置，「商」的小數點也應對齊

該位置，紀錄除完以後的結果 9 6 8 4 3 餘數「12」代表剩下的是 12 個「0.1」，而不是 12 個「1」，

故應對齊原來小數點的位置 1 . 2 ∴「商」對齊新的小數點位置，「餘數」對齊原來的小數點位置

晶。透過這些基本的數學概念去了解算則中所蘊含的先人智慧，將會被其中看似

平凡卻又貫穿其中的意涵所震攝住。沒有博大精深、花俏又艱深的技巧，所運用

的都是樸實、簡單又明瞭的數學基礎概念。當您一步步了解整數、分數與小數加

減乘除算則背後的概念及原理後，將會有實質的幫助，學童也能在您有系統、有

組織的教學引導中，取代對算則傳統記憶性的背誦，並獲得更完整的概念。最後，

將上述算則中所可能運用最主要的策略整理如下表，不妨對照表中所運用的策略

和前述的說明，試著找出本文一開始所提及問題的正確答案，希望能加深您對「加

減乘除計算題之算則與其原理」的印象！

表 2 加減乘除算則策略

算則 運用策略

整數 分數 小數

＋ － × ÷ ＋ － × ÷ ＋ － × ÷

十進位記數系統 對齊同單位

化 聚

多階單位 先乘後減

乘法對加法分配律 估商

分數的意義 共測單位 換單位

‧ 整數加減法直式紀錄，一定要靠右對齊嗎？

‧ 整數乘法直式紀錄中為什麼所乘出來的每一層數字要向左空一格呢？

‧ 整數除法直式紀錄一定要由左而右作運算嗎？

‧ 不同分母的分數作加減時為什麼要通分？

‧ 分數乘法為什麼是分子乘分子、分母乘分母？

‧ 分數除法為什麼是顛倒相乘？

‧ 小數加減法直式紀錄為什麼是對齊小數點而不是靠右對齊？

‧ 小數乘法直式紀錄需要靠右對齊嗎？相乘之後積數的小數點位置在哪裡？

‧ 小數除法直式紀錄中，餘數的小數點位置有時為什麼和商不同？

參考文獻

普通數學編輯小組（1997）。普通數學。臺北市 : 許氏美術。 教育部台灣省國民學校教師研習會（2000）。國小數學教材分析-整數的數概念與

加減運算。台北：台霖。 教育部台灣省國師研習會（2000）。國小數學教材分析-整數的乘除運算。台北：

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